ÖKLİDYEN OLMAYAN BİR UZAYDA WEITZENBÖCK EŞİTSİZLİĞİ

Transkript

1 ÖZEL EGE LİSESİ ÖKLİDYEN OLMAYAN BİR UZAYDA WEIZENBÖCK EŞİSİZLİĞİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Eren ÜRER DANIŞMAN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ İZMİR 014

2

3 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI GİRİŞ YÖNEM ÖN BİLGİLER Ökli Düzlemi ile aksi Düzlemi Arasınaki emel Farklar aksi Düzlemine Üçgenin Alan Formülleri AKSİ DÜZLEMİNDE WEİZENBÖCK EŞİSİZLİĞİ.. 8 SONUÇ EŞEKKÜR KAYNAKLAR

4 1. PROJENİN AMACI Bu projee, Weitzenböck Eşitsizliği olarak bilinen ve Ökli üzlemine yer alan bir üçgenin, kenarları aracılığıyla alanını üstten sınırlayan eşitsizliğin bir benzerinin aksi üzlemine yer alan bir üçgen için belirlenip ispatlanması amaçlanmıştır.. GİRİŞ Günümüze matematik erslerine Ökli tarafınan ortaya konulan üzlem geometrisi anlatılmaktaır. Ökli, M.Ö. 300 yılına yazığı Elements alı kitabına bu geometriyi inşa etmiş ve geometrinin sistemli bir bilgi haline gelmesine öncülük etmiştir. (Çaputcu, 011 Ökli üzlem geometrisine temel elemanlar noktalar ile oğrularır. Nokta ve oğru, tanımlanamayan ilkel kavramlarır. Ökli geometrisi; tanımlar, aksiyomlar ve postulatlar olmak üzere üç temel kavrama ayanırılmıştır. anımlar, kenine özgü bir takım özellikleri olan geometrik nesneleri belirlemek ya a iğerlerinen ayırmak için onlara verilen isimen ibarettir. Aksiyomlar ise oğruluğunan şüphelenilmeyen ispatsız olarak kabul eilen temel önermelerir. (Çaputcu, 011 Ökli in elementlerineki aksiyomlara var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yıllar boyunca bilinmesine karşın aynen kullanılmışlarır. Ancak Hilbert 1889 a çağının bilgileriyle Ökli üzlemin aksiyomlarını yenien üzenlemiştir. Artık Ökli üzlemi için, tüm matematik ünyasınca mükemmel olarak eğerlenirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi geçerliir enilebilir. (Çaputcu, 011 arihsel olarak, paralellik aksiyomunu sağlamayan her geometri Ökli ışı bir geometri olarak bilinmekteir. Fakat Hilbert (veya eş anlamlı olarak Birkhoff tarafınan verilen aksiyomlaran en az birini sağlamayan bir geometri Ökliyen olmayan bir geometriir anlayışı yerleşmiş bulunmaktaır. Bunların birkaçı aşağıaki gibiir: (Çaputcu, 011 aksi Düzlemi Maksimum Düzlemi Çin Dama Düzlemi Alfa Düzlemi 0. yüzyılın son çeyreğinen itibaren Ökli üzlemine iyi bilinen teorem ve özellikler bu üzlemlere incelenmeye başlanmıştır. Bu çalışmaa, bu üzlem geometrileri içine en temeli olan aksi üzlemi üzerine urulmuştur. aksi üzlemi ünyanın birçok yerine ortaöğretim müfreatlarının içerisine e yer almaya başlamıştır. aksi üzlemine ait temel bilgiler (Krause, 1975 e yer alan kitapta toplanmıştır. Üçgenin alan formülleri ((Kaya, 006, (Özcan ve Kaya, 003, Pisagor eoremi (Çolakoğlu ve Kaya, 008, Menelaus ve Seva eoremleri ( Özcan ve Kaya, 00, Stewart eoremi (Kaya ve Çolakoğlu, 006, Sinüs ve Kosinüs eoremleri (Bayar, Ekmekçi ve Özcan, 009 Ökli üzlemine taşınmıştır. 3

5 Bu projee, 1961 yılına IMO (he International Mathematical Olympia a sorulan ve Weitzenböck olarak bilinen bir eşitsizliğin aksi üzlemine taşınması amaçlanmıştır. Bu amaç oğrultusuna, aksi üzleminin temel özellikleri incelenmiş ve üçgenin alan formülleri üzerine urulmuştur. 3. YÖNEM Bu proje boyunca oğruan ispat yöntemi kullanılmıştır. 4. ÖN BİLGİLER Bir üzlem geometrisi belirlemek için Noktaların, Doğruların, İki nokta arasınaki uzaklığı belirleyen uzaklık fonksiyonunun, Açıların nasıl ölçülüğünün belirlenmesi gerekmekteir. ve analitik üzleme iki nokta olmak üzere Ave Bnoktaları arasınaki Ökli uzaklığı olarak tanımlanmıştır. aksi üzlemine, noktalar ve oğrular Ökli üzlemine oluğu gibi belirlenmekte, açılar a yine Ökli üzlemineki gibi ölçülmekteir. Ancak, Ave B noktaları arasınaki taksi uzaklık olarak tanımlanır. 4

6 Ökli Düzlemi ile aksi Düzlemi Arasınaki emel Farklar (Yavuz, 1 Uzaklık farklı fonksiyonlarla belirlenir: Ökli üzlemineki iki nokta arasına uzaklık, noktalar arasınaki oğru parçasının uzunluğuna eşittir. ve olmak üzere olarak tanımlıır. aksi üzlemine ise iki nokta arasına yatay ve ikeyeki toplam birimler sayılarak bulunur. Yani, ir. Kenar-açı-kenar aksiyomu aksi üzlemine sağlanmaz. Ökli üzlemine İki üçgen arasına yapılan eşlemee iki kenar ve bu iki kenarın arasınaki açı eşit ise bu iki üçgen birbirine benzerir. şekline ifae eilen kenar-açı-kenar aksiyomu aksi üzlemine sağlanmaz: Örnek: Şekileki üçgenlerini göz önüne alalım. Üçgenlerin karşılıklı açıları birbirlerine eşittir. Diğer taraftan, Ökli üzlemine y ( A, B (- - 0 (0-0 E B (1,1 ( B, C (- - (- (- - 0 E ( A, C (- - 0 (- - 0 E B(-,0 A(0,0 C (,0 x ( A, B (1-0 (1-0 E ( B, C ( -1 (0-1 E ( A, C ( - 0 (0-0 E C(-,- 5

7 oluğunan ir. aksi üzlemine ise ( A, B ( B, C ( 0 ( A, C ( A, B ( B, C ( A, C oluğunan Kenar-Açı-Kenar aksiyomu sağlanmamaktaır. 3 Birim çemberlerin görünümleri farklıır: Ökli üzlemine, merkezi M = (0, 0 olan ve merkeze 1 birim uzaklıkta yer alan bütün noktaların kümesine karşılık gelen geometrik yere birim çember enir. aksi üzlemine, analitik üzleme özel olarak merkezi M = (0, 0 olan ve merkeze 1 birim uzaklıktaki noktaların kümesine karşılık gelen geometrik yere axicab birim çemberi enir. Ökli Birim Çember aksi Birim Çember 4 Pi sayıları farklıır: Ökliyen geometrie pi sayısı yaklaşık olarak 3, 14 tür. Pi sayısı çemberin çevre formülünen, çapın çevre uzunluğuna bölünmesiyle bulunur. axicab geometrie birim 6

8 çember ele alınırsa; (0, 0 merkezli 1 yarıçaplı birim çemberin çevresi 8 birimir. Dolayısıyla, olur. 5 axicab geometri, kent coğrafyasına Ökliyen geometriye göre aha yararlı bir geometriir. 4.. aksi Düzlemine Üçgenin Alan Formülleri Proje boyunca kullanılacak olan temel gösterimler aşağıaki gibiir: aksi üzlemine yer alan bir ABC üçgeni için A, B c, B, C a, A, C = b ve a b c p ile gösterilecektir. ÖNERME 4..1 (Özcan ve Kaya, 003 aksi üzlemine yer alan bir üçgeninin kenarı koorinat eksenlerinen birine paralel olsun ve ile açıları geniş açı olmasın. Bu uruma, ir. ÖNERME 4.. (Özcan ve Kaya, 003 Bir üçgeninin kenarı koorinat eksenlerinen birine paralel olsun ve açısı ar açı olmasın. Bu uruma, köşesinen kenarına inilen ikmenin ayağı ve olmak üzere ir. UYARI 4..3 ABC taksi üzlemine bir üçgen olsun. Üçgenin her bir köşesinen koorinat eksenlerine paralel olacak şekile bir çift oğrunun çizilebileceği açıktır. 7

9 ANIM 4..4 (Özcan ve Kaya, 003 aksi üzlemine yer alan bir ABC üçgeni için aşağıaki koşulların üçünü e sağlayan oğrusuna ABC üçgeninin taban oğrusu aı verilir: 1. bir köşeen geçmekteir.. koorinat eksenlerinen birine paralelir. 3. oğrusu 1. koşula yer alan köşenin karşı kenarını (oğru parçası olarak kesmekteir. ABC üçgeninin en az bir köşesinen aima bir veya iki taban oğrusu geçtiği açıktır. Böyle bir köşeye taban köşesi enir. Bir taban oğru parçasının taban köşesi ile karşı köşesi arasına kalan parçasına taban oğru parçası aı verilir. EOREM 4..5 (Özcan ve Kaya, 003 Bir ABC üçgenine D noktası, taban oğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi ışınaki iki köşeen birinin taban oğrusu üzerine olup taban oğru parçası üzerine olmayan ik izüşüm noktası,, üçüncü köşenin aynı taban oğrusu üzerine olan ancak taban oğru parçası üzerine olmayan ik izüşüm noktası, taban oğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere Alan ABC ir. 1 ( p (, aban köşesinen tek bir taban oğrusu geçiyor ise 1 ( p (, aban köşesinen iki taban oğrusu geçiyor ise, 5. AKSİ DÜZLEMİNDE WEİZENBÖCK EŞİSİZLİĞİ Ökli üzlemine Weitzenböck Eşitsizliği nin ispatı Heron formülüne ayanmaktaır. aksi üzlemine üçgenin alanını kenarları yarımıyla belirleyen Heron Formülleri, üçgenin kenarlarının eksenlere paralel olup olmamasına veya üçgenin açılarının geniş veya ar açılı olup olmamasına göre eğişmekteir. Bu bölüme, tüm urumlar göz önüne alınarak Weitzenböck Eşitsizliği taksi üzlemine taşınmıştır. Öncelikle Ökli üzlemine Weitzenböck Eşitsizliği ni ifae eip ispatlayalım: 8

10 üzere EOREM 5.1 (Ökli Düzlemine Weitzenböck Eşitsizliği (IMO, 1961 Ökli üzlemine yer alan bir ABC üçgenine, olmak eşitsizliği aima sağlanır. 4 3Alan ABC a b c İSPA: Heron Formülünen ele eilir. Diğer taraftan, oluğu bulunur. ab c iken eşitliğin sağlanacağı açıktır. ÖNERME Alan ABC a b c aksi üzlemine yer alan bir üçgeninin kenarı koorinat eksenlerinen birine paralel olsun ve ile açıları geniş açı olmasın. Bu uruma aşağıaki eşitsizlik sağlanır: Alan( ABC a b c İSPA oluğunan,, olsun. p ele eilir. a b c 3 p ( x y z 9

11 Önerme 4..1 en 1 Alan( ABC a ( p a 1 ( p x ( p ( p x 1 ( p x x 1 1 ( y z x = ( x y x z... (1 ir ( x y 0 ve( x z 0 oluğunan x y x y ve x z x z ir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa x y z ( x y x z Alan(ABC...( bulunur. O hale Eşitlik (1 ve Eşitsizlik ( en, Alan( ABC ( x y x z ( x y z [( p a ( p b ( p c ] p p a b c a b c (3p p p a b c (3 ( ( a b c a b c 4 a b c a b b c a c 4 3( (...(3 ele eilir. Diğer taraftan, ( a b c 0 a b c ( ab b c a c 0 a b c a b b c a c 3( a b c a b c 3( a b c ab b c a c 4( a b c 3( a b c ( a b b c a c...(4 oluğunan (3 ve (4 numaralı eşitsizlikler göz önüne bulunurulursa Alan( ABC a b c...(5 10

12 oluğu bulunur. ÖNERME 5.3 aksi üzlemine yer alan bir üçgeninin kenarı koorinat eksenlerinen birine paralel olsun ve açısı ar açı olmasın. Bu uruma, köşesinen kenarına inilen ikmenin ayağı ve olmak üzere aşağıaki eşitsizlik sağlanır: İSPA A Alan( ABC a a ( a b c b c a Önerme 4.. en B ir. Eşitsizlik (5 ve (6 an a 1 Alan ABC a p a a ( ( C 1 ( ( p x x a 1 ( ( y z x a 1 ( x y x z a ( y z 1 ( x y x z a ( p x 1 ( x y x z a a... (6 Alan( ABC ( x y x z a ( y z a b c a a olarak bulunur. EOREM 5.4 aksi üzlemine yer alan bir ABC üçgenine D noktası, taban oğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi ışınaki iki köşeen birinin taban oğru üzerine olup taban oğru parçası üzerine olmayan ik izüşüm noktası, 11

13 , üçüncü köşenin aynı taban oğrusu üzerine olan ancak taban oğru parçası üzerine olmayan ik izüşüm noktası, taban oğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere ir. ir. 1 aban köşesinen geçen tek bir taban oğrusu var ise Alan( ABC a b c aban köşesinen geçen iki taban oğrusu var ise Alan( ABC a b c ( İSPA 1 aban köşesinen geçen tek bir taban oğrusu olsun. Bu uruma Önerme 5. ve Önerme 5.3 en A H. c D A 1 b C c A a B Alan( ADC A1 b c ve Alan( DBC A a c ir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa, Alan( ABC ( A A b c a c 1 a b c c ele eilir. Eşitsizliğin sol tarafına cc aşağıaki gibi eklenerek ifae büyütülürse 1

14 bulunur. Alan( ABC ( A A a b c c cc 1 a b c ( c c aban köşesinen geçen iki taban oğrusu var ise A c b H c D C H a B Önerme 5.3 en A Alan( ADC b c ve 1 A Alan( CDB a c ir. Buraan ( A A a b c c ( 1 ir. Eşitsizliğin sol tarafına cc eğerleri aşağıaki gibi eklenerek eşitsizlik büyütülürse bulunur. Alan( ABC ( A A a b c c cc 1 a b c ( ( c c ( 13

15 SONUÇ En genel uruma, taksi üzlemine yer alan bir üçgenin alanını üçgenin kenarları yarımıyla üstten sınırlayan aşağıaki eşitsizlik ele eilmiştir: aksi üzlemine yer alan bir ABC üçgenine D noktası, taban oğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi ışınaki iki köşeen birinin taban oğru üzerine olup taban oğru parçası üzerine olmayan ik izüşüm noktası,, üçüncü köşenin aynı taban oğrusu üzerine olan ancak taban oğru parçası üzerine olmayan ik izüşüm noktası, taban oğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere Alan( ABC a b c ( ir. EŞEKKÜR Bu çalışma boyunca beni teşvik een anışman öğretmenim Özel Ege Lisesi, Bilim Kurulu Eş Başkanı Dr. Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ e ve hiç bir zaman benen esteklerini esirgemeyen aileme teşekkür eerim. KAYNAKLAR Bayar, A., Ekmekçi, S., Özcan, M., 009, On trigonometric functions an cosine an sine rules in taxicab plane, International Electronic Journal of Geometry, Volume No. 1, Çaputcu, H., 011, Maksimum Metriği Geometrisine Bazı Ökli Problemlerinin Benzerleri, Yüksek Lisans ezi, Afyon Kocatepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. Çolakoğlu, B. H., Kaya, R., 008, axicab versions of the Pythagorean theorem, Pi, Mu, Epsilon Journal, Vol. 1, No. 9, Kaya, R., 006, Area formula for taxicab triangles, Pi, Mu, Epsilon Journal, Vol. 1, 4, Kaya, R. Çolakoğlu, B. H., 006, axicab versions of some Eucliean theorems, Int. Jour. of Pure an Appl. Math., 6(1, (006, Krause, E.F., 1975, axicab geometry, Aison - Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 88p. 14

16 Özcan, M., Kaya, R., 00, On the ratio of irecte lengths in the axicab plane an relate properties, Missouri Journal of Mathematical Sciences, 14,, Özcan, M., Kaya, R., 003, Area of a triangle in terms of the axicab istance, Missouri Journal of Mathematical Sciences, 15, 3, Yavuz, D., 006, Analitik geometri ve axicab geometri üzerine, Yüksek Lisans ezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. 15