TEMEL MATEMATİKSEL KAVRAMLAR «SAYI»

TEMEL MATEMATİKSEL KAVRAMLAR «SAYI» Yrd. Doç. Dr. Müge YURTSEVER KILIÇGÜN Amerikan Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi (National Council of Teachers of Mathematics-NCTM) (2000)'ne göre, matematik programlarının köşetaşını sayılar oluşturmaktadır. Anaokulundan ortaöğretimin sonuna kadar önerilen matematik programları, daha çok sayılara odaklanmaktadır. Ayrıca çocuklar sayılara ve ona bağlı olarak işlemlere günlük yaşantılarında, oyun ve etkinliklerinde de sıklıkla gereksinim duymaktadırlar (Baroody, 2004). Nitekim okul öncesi eğitim kurumlarına çocuklar, bebeklikten itibaren edindikleri oldukça fazla matematiksel deneyim ve beceriyle gelmektedirler. Ancak çocukların, sayı sistemini daha derin anlamaları için zamana ve daha çok deneyime ihtiyaçları vardır (Curtis, Okamoto & VVeckbacher, 2009). Aslında küçük çocuklar günlük hayatlarında sayıları öğrenmeye yönelik birçok fırsat bulurlar. Oyunlarından, basamakları çıkarken ve inerken saymaya; ev telefonu numarasından, babaannesinin evinin ne kadar uzakta olduğuna; yaşından, saatin kaç olduğuna kadar günlük hayatta değişik biçimlerde sayılara ihtiyaç duyarlar. Benzer bir şekilde alışverişte, TV'de, caddede, otobüste, gazetede, kitapta, elbiselerinin üzerinde, asansöre bindiklerinde, araba plakalarında, cep ve ev telefonlarında rakamları görmektedirler. Dolayısıyla çocukların büyük bir kısmı çok erken yaşlarda sayı sözcükleri ve kavramları ile sık sık karşılaşmaktadırlar. 1

Emzirme döneminde annelerin bebekleriyle iletişimlerinden başlayarak 2-3 yaşlarında da ninni ve şarkılarda, hikayelerde ve oyunlarda (1, 2, 3! Başla!), günlük konuşmalarında ('İki kaşık, lütfen') sayı sözcüklerine aşinalıkları bulunmaktadır (Ben-gino & Ellis, 2004). Yine babalar çocuklarıyla özellikle yüksek sesle sayı saymakta, rakamların okunması ve yazılması ile yakından ilgilenmektedirler. Gözlemler, çoğu annebabanın çocuklarının anlamlı olmasa da sayıları öğrenmelerini önemsediklerini göstermektedir. Anne babaların bu çabalarını daha bilinçli hale dönüştürmede eğitimcilerin desteğine ihtiyaç vardır. Çocuğun yararını gözetecek şekilde anne babalara rehberlik etmede öğretmenin rolü ve sorumluluğu büyüktür. Bu işbirliği, matematik eğitiminde fırsatları kaçırmamak adına son derece önemlidir. Sayılarla ilgili çevreden gelen bu uyarıcılara çocukların da olumlu tepki verdikleri görülmektedir. Kendi kendilerine sayı saymakta; sayarken büyük keyif almaktadırlar. Ezbere sayma çocukların sayma becerilerinin ve sözcük dağarcıklarının gelişimi açısından önemlidir. Sayma çocuklar için yararlıdır, ancak anlamanın kanıtı değildir. (Baroody, 2004). Çocuk sayı saymayı bilse de sayıların taşıdığı anlamın farkında olmayabilir. Bununla birlikte sayma işlemi, çocukların matematiğe girişlerinin, sayı sistemini anlamalarının temel formları ve en erken kısmı olduğundan bu beceri desteklenmelidir (Polonsky, Freedman, Lesher & Morrison, 1995). 2

Bir Matematik Sembolünün İşlevi Matematiksel semboller nelerdir? Matematikte sembollerin işlevi nedir? Matematiksel sembollerle matematiksel fikirlere olan ilgimiz ve matematik yapma yaşantılarımız arasında nasıl bir ilişki vardır? Matematiksel semboller sadece kısaltmadan ibaret midir? Matematiksel sembollerin matematiksel fikirlerin ve kavramların kısaltması olduğu söylenebilir (Örneğin 4, 28, x, =). Ancak bunun matematikteki sembollerin, belirli bir kelime ya da ifadenin sadece kısaltma olduğu anlamına gelmediği dikkate alınmalıdır. Örneğin "Aralarında paylaşır" ifadesini bölme işleminin kısaltmasıymış gibi söylemek ve düşünmek cazip gelebilir. Çocuklar sıklıkla matematiksel sembolleri bu şekilde görürlermiş gibi görünür. Dokuz yaşındaki bir çocuk hesap makinesinde 28:4 işlemini yapıyorken, "yirmi sekiz dört ile arasında..." şeklinde kendi kendine konuşabilir. Tam bu noktada öğretmenine şu soruyu sorduğunda "Hesap makinesindeki hangi tuş paylaşırsa ifadesidir?" sanki her kelimenin onu ifade edecek bir tuşu ya da sembolü varmış gibi düşünür. 3

Matematiksel semboller kısaltma değildir. Çocuklar bir sembolü; somut yaşantılar, resimler ve dille ilişkilendirmeyi öğrenmek zorundadırlar. Bir sembol bağlantıların oluşturduğu bir ağı temsil eder. Matematiksel semboller kullanıldığı duruma bağlı olarak farklı anlamlara sahip olabilirler. Matematikteki bir sembolü bir kavramı ifade etme yolu olarak kullanmayı ve bu kavramın da bağlantıların oluşturduğu bir ağı ifade ettiğini düşündüğümüzde; sembol çeşitli kurallara göre onu manipüle etmemizi sağlayan bir araç halini alır. Semboller olmadan görsel olarak kavramı manipüle etmemiz imkânsızdır. Matematiğin sembolleri çeşitli kavramlar arasındaki ilişkileri keşfetmemizi ve onları ifade etmemizi mümkün kılar. Örneğin ne zaman 4+2=6 ifadesini sembollerle yazdığımızda, aslında dört, iki, altı, toplama, eşitlik kavramları arasındaki ilişkiyi ifade ediyoruzdur. Her bir kavram, belirli bir sembolle ifade ettiğimiz karmaşık bağlantılar ağını oluşturmaktadır. 4

Matematiksel semboller kullanıldığı duruma bağlı olarak farklı anlamlara sahip olabilirler. Bir sembol birçok bağlantıdan oluşan komplike (karmaşık) bir ağı temsil edebilir ve aynı zamanda çok çeşitli dil kullanımıyla ilişkilendirilebilir. Örneğin bu semboller çok farklı yaşantılarla bağlanabilir, bir zarla 4 atmak ve diğer zarla 2 atarak 6 elde etmek, bir oyunda 4 kareye sahipken 2 kare daha alarak 6 kareye ulaşmak, 4 TL'ye satılan bir ürünün 2 TL zamlanmasıyla ürünün 6 TL olması gibi. Sayılar için kullanılan semboller, toplama için kullanılan sembol ve eşittir sembolü kullanıldıkları durum ve şekle bağlı olarak farklı anlamlara sahiptir. Bu farklı bağlamlara uygun olması için de birçok ve geniş dil desteğine gereksinim vardır, eder, toplama, sayma, ekleme vb. tüm bunları bir araya getirirsek, çok basit görünen 4+2=6 ifadesi şaşırtıcı bir şekilde bağlantıların karmaşık ağlarını temsil etmektedir. Aynı zamanda bu matematiğin çok güçlü olma ve anlaması zor alanlardan olma nedenidir. 5

Sıfır sembolü Sıfır kavramını anlamayı örnek olarak düşünün. Biçimsel olarak matematik dilinde kelime olarak "sıfır" ve sembol olarak "0" ifadeleri vardır. Bazen 0 sembolünü "hiçbir şey" ya da "yokluk" ifade etmek için de kullanırız. Bir çocuk oyun oynarken 6 taş kazanmış, 6 taş kaybetmişse geriye hiçbir taş kalmaz: 0 taş kalır, hiç taş kalmaz. Sınıftaki çocuklar yaşlarına göre sınıflandırılırken, o sınıfta 7 yaşında bir çocuk yoksa, 7 yaşındaki çocuklar kümesi "boş kümeyi" ifade eder. içinde hiçbir şey yoktur. Kümenin eleman sayısı sıfırdır. 206 sayısındaki sıfır burada hiç onluk olmadığını göstermektedir. Zaten biz sayıyı iki yüz altı olarak okurken de sıfırdan bahsetmeyiz bile! Sayı doğrusundaki 0, yoklukla ilişkilendirilemez, sıfır noktası doğru üzerindeki en önemli noktadır. Termometredeki 0 da, sıcaklığın "olmadığı" anlamına gelmez. 6

Örneklerde de görüldüğü üzere sıfır kavramını anlama matematiği yeni öğrenen çocuklar için önemli bir zorluk oluşturur. Bu kavram resimlerin, dilin, gerçek hayatla ilgili durumların karmaşık ve çeşitli ağıyla sembolün ilişkilendirilmesi ve birbirleriyle bağlantı içinde olmasını içermektedir ve 0 sembolü bağlantıların ağını bize ifade eder. O (Sıfır) ve 10 (On) Sayıları Çocukların anlamakta güçlük yaşamamaları için 1-9 arası sayılar öğretildikten sonra "0" ve "10" sayıları öğretilmelidir. Çocuk 10 sayısı ile ilk kez karşılaştığında basamak fikri ile de tanışmış olur. 10 sayısının öğretimi 1 den 9'a kadar olan sayıların öğretimine benzer olarak öğretilebilir (Aktaş-Arnas, 2004). 7

Tolchinsky'e göre (2003), 4 yaşındaki çocuklar, 0'ın dolaylı anlamının 'hiçbir şey' olduğunu bilirler. Ancak yokluğu ve hiçbir şey olmadığını ifade etmek için sıfır rakamını kullanmaya ve yazmaya isteksiz davranırlar. Daha sonra boşluğu temsil etmesi için "0" rakamını kullanmayı öğrenirler. Çocukların 'hiçbir şeyin olmamasını açıklamak için sıfırı bir araç olarak açıklamaya ihtiyaçları vardır. Bunun için örneğin, 10 dan başlayıp teker teker azaltarak en sonunda kümede hiçbir şeyin kalmaması olarak çocukların görmesi sağlanabilir (Mcdonald, 2007). Bu türden etkinliklerin sık tekrarlanması çocukların öğrenmelerini kolaylaştırır. Ayrıca 0 sayısını öğrenmesi için çocuğa "Kaç tane?" sorusu sorulmalı ve kümede hiçbir nesne bulunmadığında çocuk 0 demesi için cesaretlendirilmelidir (Aktaş- Arnas, 2004). 0 (sıfır) bir sayma sayısı değildir ve saymaya onunla başlanmaz. Eğer onunla başlanırsa, en azından günlük işlerde, sürekli yanlış miktar elde edilir. Bu kuralın çocuk tarafından bilinmesi gereklidir. 1 den başlayarak sayması için çocuğa rehberlik edilmelidir. Sıfırı anlamak Yapılan araştırmalarda sıfırın bir sayı olarak görülmediği belirlenmiştir. Örneğin bir grup çocuğun doğum günlerinin sayısının aylara göre dağılımı gösteren bir tablo verildiğinde ve hangi ayda en az doğum günü bulunduğu sorulduğunda; bazı kişilerin hiçbir doğum günü içermeyen bir ayda en az doğum günü bulunduğunu kabul etmekte zorlandıkları görülmüştür. Sıfırla ilgili bu problemin nedenlerinden birisi sembolü için 'hiç' kelimesinin kullanımının yaygın oluşudur. Sıfırın bir hiç olduğuna dair düşüncenin bu şekilde düzeltilmesi, sayıların sayma özelliğinin gereğinden fazla vurgulanmasının doğal sonuçlarından biridir. 8

Eğer elinizde sıfır sayıda elemanı olan bir küme varsa, elbette ki elinizde hiçbir şey olmayacaktır. Ancak sıfır hiçten öte hiçbir şey değil midir? Sıralama özelliğini göz önünde bulundurduğumuzda, sıfır (sayı doğrusu üzerindeki bir noktanın etiketi gibi) en az diğer sayılar derecesinde bir statüye sahiptir. Aslında bu durumda sıfır, anlamlı ve önemli bir sayıya dönüşmektedir. Sayı doğrusunda 1'den önceki noktayı temsil etmekte ve bazen başlangıç noktası olabilmekte; sayı doğrusunda pozitif ile negatif sayıları ayıran noktayı temsil etmekte; bir alışveriş merkezindeki giriş katı göstermekte; dijital saatlerde gece yansını ifade etmekte; termometredeki donma noktasını göstermektedir. Örneğin bir sınıftaki elbise askıları bir sayı doğrusu gibi etiketlendi; her bir askıda bir çanta asılı olup, birinci askıdaki çantada bir blok, ikincisinde iki blok şeklinde devam ederek hazırlandı. Fotoğraftaki askı 0 ile etiketlenen askıyı göstermekte olduğundan çanta boş olarak asılmıştır. Bu çanta sıfır blok içeren çantadır. Burada sıfırın iki durumunun bir araya geldiğini görmekteyiz; konumu belirten sıfır (sıralama sayısı olan sıfır) ve beraberinde hiçbir şey içermeyen bir çanta (sayma sayısı olan sıfır). Buradan da anlaşılacağı üzere sembol ile dili bağlamayı içeren sıfır kavramı; yalnızca bir 'hiç', bir şeyin yokluğu veya boş kümeyi değil, aynı zamanda sayıların sıralandığı durumları da içermektedir. 9

Bir sayı gerçekten nedir? Örneğin üç nedir? Gözlerimizi kapatalım ve üç sayısına ilişkin bir resim düşünelim. Bir üçgenin içinde düzenli üç nokta görüyorum. Üç meyveden oluşan bir küme görüyorum: Bir elma, bir portakal ve bir muz. Bir doğru üzerinde üç nokta. Bir üçgen, üç kenarı olan bir şekil. 3 sembolünü. Parmaklarıyla üçü gösteren birini. Bu resimler ya üç elemanlı bir küme olarak (noktalar, üçgenin kenarları, parmaklar, şekerler vb.); ya da, daha az ihtimalle, sadece 3 sembolü olarak ifade edilmektedir. Sayılar, sayı sembolleri ve rakamlar Üç sayısı için kullandığımız sembol (3) üç sayısı değildir. Bu sembol bizim 'üç' kavramını simgelememizi, manipüle etmemizi ve diğer sayılarla bağlantısını kurmamızı sağlar. Farklı dillerdeki alfabelerde ve el yazmalarında farklı semboller ve farklı kelimeler kullanılmakta, fakat üç kavramını oluşturan bağlantıların ağı aynı kalmaktadır. 10

Örneğin, Roma rakamında III, 3 sayı sembolüyle temsil edilen aynı sayıyı göstermektedir. Eğer bir sayı ile onu temsil eden sembolü ayırt etmek istiyorsak, 3 sayı sembolüne başvurabiliriz. Sayı sembolleri, kâğıt üzerine çizilen ve sayıları göstermeye ve manipüle etmeye yarayan işaretlerdir. Sayının temsil edilesini sağlar. Örneğin 3, 26, 819 gibi. Burada bahsedilebilecek bir diğer önemli kavram ise rakamdır. Bizim sayı sistemimizde sadece on rakam vardır: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Rakam kelimesini, örneğin, 819 sayı sembolünde 8'e, 1'e ve 9'a atıf yapmak için kullanırız. 11

Üçlü Nesnelerin Kümesi ve Birebir Eşleme Üç kavramı söz konusu olduğunda birçok yetişkinin zihninde çoğunlukla üç elemanlı bir küme imajı oluştuğu açıktır. Bir öğretmen öğrencilere 3 sayısını içeren bir problemi açıklamaya çalıştığında muhtemel kullanacağı yöntem, üç nesnenin yan yana gelerek oluşturduğu birlikten (üç tane sayma pulu, üç tane oyuncak veya üç tane parmak gibi) bahsetmektir. Doğal olarak, çocukların kendi oluşturdukları problemlerde de sayılar bu şekilde -üç çocuk, üç oyuncak, üç şeker, üç ayı gibi üçlü nesnelerin kümesi şeklinde- yorumlanmaktadır. Bu noktada şu önerilebilir: 'üç', bütün bu üç nesneye sahip kümelerin ortak özelliğidir. Bu sayede üç, üç nesneli kümelerin örneklerinden soyutlanan bir kavram olarak görülür. Üç nesneli bir kümenin her bir elemanı ile başka nesnelerle oluşturulmuş üç nesneli bir kümenin her bir elemanını bire bir eşleme ile ifade edilmesi, bu soyutlama sürecine önemli bir katkı sağlayacaktır. Bu yöntem, ister görsel ister uygulama anlamında ele alınsın, öğrencilerin iki küme arasındaki üç kavramının ortak bir özellik olduğuna dikkat çekmek için tasarlanmıştır. 12

Bire bir eşleme kavramının, denklik ve dönüşüm kavramları ile iç içe olduğu açıktır. Örneğin, bir çocuk 3 kupa bardaktan oluşan bir kümeyi bardak altlığı ile bire bir olacak şekilde, eşlediğinde, eşleme işlemi çocuğunun odağının bardaklar ile bardak altlıkları arasındaki farklılık yerine ortak özelliğine, yani üç tane olmasına yönlendirilmesini sağlar. Sıfat mı, isim mi? Aşağıdaki diyalogta öğretmenler sayı kavramını anlamanın bir diğer önemli kısmına işaret etmektedir: Öğretmen: Üç bir sıfat mıdır yoksa isim mi? Öğrenci A: Bir sıfat olmalı, çünkü üç şeyden bahsedilmektedir. Üç elma, üç muz gibi. Üç ifadesi kümeyi tarif etmektedir. Öğrenci B: Bence her ikisi de olabiliyor. Üç bir sayıdır. Üç beşten azdır. Üç on ikinin çarpanıdır. Üç bir asal sayıdır. Üç ile başlayan bir cümle kurduğumuzda üç isim olabiliyor. Üç, bu şekilde sıfat durumundan isim duruma geçince, artık üç şeye sahip küme kavramından bağımsız hale gelir; artık kendine has bir duruma sahip olur. Biz artık üç kavramının varlığından, muhtemel ilişkilendirilecek küme kavramından bağımsız olarak bahsedebilir duruma geliriz. Sayı kavramının öğrenilmesi sürecinde sıfat olan sayı kavramından isim olan sayı kavramına geçiş önemli bir basamaktır. 13

Nominal, sayma ve sıralama Aslında buraya kadar sunulan bakış açısına göre, sayı kavramı gelişimi daha çok basit bir süreç olarak algılanmakta ve üç kavramını oluşturan somut yaşantılar, dil, resimler ve sembolü arasındaki bağlantı ağının karmaşık yapısının farkında olunmadığı görülmektedir. Şu ana kadar 3 sembolünü, üç şeye sahip kümelerin somut örnekleri ile ilişkilendirilmesinden bahsettik. Bu, sayıların sadece sayma yönüne işaret etmektedir. Örneğin üç ayıdan, üç parmaktan, üç çocuktan ve üç nesneye sahip herhangi bir kümeden bahsederken, sayıların sayma yönünü kullanmaktayız. Ancak üç şeye sahip kümelerin dışında, 3 sembolünü başka nelerle ilişkilendirebiliriz? 3 numaralı otobüsün üzerinde yer alan 3 bir etikettir. Sayıların bu şekilde kullanılabilmesi onların nominal yönlerinin bulunmasından ötürüdür. Bu şekilde kullanılan sayılar farklı türdeki nesnelerin etiketlenebilmesi için ve diğer nesneler arasında ayırt edilebilmesi için kullanılır. 3 numaralı otobüsü üstündeki 3 sembolü, binmek istediğimiz otobüsü bilmemizi sağlarken, farklı sayılara sahip otobüslerin arasından ayırt edebilmemize olanak sağlar. Sayı sembolleri nesnelerin etiketleri olarak kullanıldığında işleme tabi tutulması çok zor olan sayılar halini alırlar. Şöyle ki; otobüsün üstündeki 3, kesinlikle üç tane otobüsün varlığından bahsetmemektedir (üç tane otobüs aynı zamanda durağa gelmiş olsa bile!). Buna ek olarak, 3 numaralı otobüsün geldiğini gördüğümüzde, bundan önceki otobüsün 2 numaralı olmasını veya sonrakinin 4 numaralı olmasını bekleyemeyiz. 14

Sayının nominal yönünün kullanıldığı başka durumlara örnek olarak telefon numaraları ve televizyon kanallarını verebiliriz. Temel olarak, sayılar, bütün çevremizde etiketleme aracı olarak kullanılmaktadır. Örneğin saatlerdeki 3 herhangi üç nesneden oluşmuş bir küme değil midir? Kapısında 3 yazan evde oturmaktayım, ancak 3 tane evden oluşmuş bir kümede değil. Gazetenin 3 numaralı sayfası üç elemanlı bir küme belirtir mi? Bu durumlar 3 numaralı otobüs durumu ile aynıdır. Otobüsün üstünde yer alan sembol, bu otobüsü diğer otobüslerden ayırt edebilmemizi sağlar. Ancak yukarıdaki öğretmenlerin verdikleri yanıtların ötesinde 3 sayısının bir başka çok önemli özelliği daha bulunmaktadır. Bu özellik sayının sıralama yönüyle ilişkilidir. Sayılar yalnızca nesneleri etiketlemek için değil, onları aynı zamanda sıraya kaymak için de kullanılır. 3 numaralı oda, 3 numaralı kat, saatteki 3 sayısı, kitabın 3 numaralı sayfası gibi kullanım alanlarında 3 bir sıralama aracı olarak kullanılır, çünkü burada bir sıraya koyma durumu söz konusudur: Bu numaralı nesneler 2 ile 4 numaralı nesneler arasında yer almaktadır. 3 numaralı sayfadan önceki sayfa değişmez olarak 2 numaralı sayfadır ve sonraki sayfa da 4 numaralı sayfadır. Bu türden sayılar sıralama sayılandır, çünkü sayfalara bir sıra verir ve diğer sayfalar birlikteliğinde belirtilen sayfanın nerede karşımıza çıkacağını bize söyler. 15

3 sayısının sıralama özelliği ile kullanılması esnasında, sayma sayısı bakış açısıyla bir 'üç kavramı' bulunmadığı gözden kaçmamalıdır. 3 numaralı sayfa üç sayfadan oluşan bir küme belirtmez, aslında tek bir sayfadan oluştuğunu ifade eder. Bu sayfanın üç kişinin, üç nesnenin yer aldığı bir fotoğrafı veya üç kelimeyi, üç cümleyi içermesi gerekmez. Öyleyse bu sayfa neden 3 ile etiketlenmiştir? Bunun nedeni gayet basittir, çünkü 2 ile 4 numaralı sayfalar arasında yer almaktadır. Sayıların sıralama özelliğini, örneğin bir kitaptaki bir sayfayı bulmada, bilmediğimiz bir binadaki bir odanın yerini tespit etmede, takvimdeki bir tarihi belirlemede, (kriket oyununda) düşecek olan bir sonraki kale için sıranın bizde olduğuna karar vermemizi sağlamada kullanırız. Sayıların sıralama özelliğini matematiksel anlamda en çok somutlaştıran kavram sayı doğrusudur. 16

Özetle 'Sayı nedir?' sorusunun yanıtı; sayıların, nesnelerin birbirinden ayırt edilebilmesi için etkilenmelerinde (nominal yönünü), nesnelerin sıralanabilmesi için onlara birer sıra verilmesinde (sıralama yönü) ve nesneler ile oluşturulan kümelerde kaç tane nesne olduğunun ifade edilmesinde (sayma yönü) kullanıldıklarının bilinmesidir. Sembolleri Sayı Doğrusu ile İlişkilendirmek Sayıların sıralama özelliğinin önemli olmasının anlamı, sayıların anlaşılmasında sayılar için kullanılan semboller (sayı sembolleri) ile sayı doğrusu veya sayı şeridi üzerinde yer alan sayıların ilişkisinin anlaşılmasının çok önemli bir role sahip olmasındandır. Sayı şeridinde, tahtada veya yerde oynanan oyunlarda (sek sek oyunu gibi) olduğu gibi, kareler veya boşluklar sayı sembolleri ile etiketlenir. Daha karmaşık olan sayı doğrusunda ise boşluklar yerine noktalar sayı sembolleri ile etiketlenir. 17

Sayı kavramının öğrenilmesinde daha etkili olabilecek yöntem ise sayı doğrusunun dikey olarak kullanılması olabilir. Bu sayede yukarı gidildikçe sayılar büyür, aşağı inildikçe sayılar küçülür. Bu sayı doğrusunun her iki durumu da (yatay ve dikey) özellikle sayıların sıralama özelliğini vurgulayan bir sayı gösterim şeklidir. Üç sayısı sayı doğrusu üzerinde bir noktayı, sayı şeridindeki bir kareyi temsil ederken, üç nokta kümesini veya üç kareden oluşan bir kümeyi ifade etmemektedir. Buradaki asıl özelliği iki ile dört arasında yer almasıdır. İlişkiler Ağı 'Üç nedir?' sorunun yanıtının apaçık ve basit olmaktan çok uzak olduğu görülmektedir. Üç gibi bir sayının; 3 sembolü, 'üç' kelimesi, nesnelerin oluşturduğu kümeler gibi sayıların sayma özelliği kullanılarak oluşturulan somut durumlar ve sayıların sıralama özelliği kullanılarak oluşturulan sayı doğrusu veya sayı şeridi gibi sayı gösterim şekilleri arasındaki bağlantıların bir ağını içermektedir. Böylece çocuklar çok küçük yaşta çok büyük bir zorlukla karşılaşmaktadırlar. Öyle ki; matematiğin içeriğinde yer alan her konuda devam eden, bir sembolün çok geniş bir alanda farklı durumları temsil etmesi bu zorluğun temel sebebidir. Bu farklılık üç şekerden oluşan bir küme ile üç tabaktan oluşan bir kümenin arasındaki gibi değil, şu sorular arasındaki farklılıklar gibidir: «Bugün kaç sayfa kitap okudun?» ile «Hangi sayfada kaldın?» her iki soruda da «üç» yanıtı verilebilir ancak verilen bu yanıtların tamamen farklı anlamda olduğu göz önünde bulundurulmalıdır. Birisinde sayma sayı (sayfa sayısı), diğerinde ise sıralama sayısı (sayfanın üzerindeki sayı) kullanılmaktadır. 18

Elbette ki bir kelimenin iki farklı anlamı olduğundaki durumuna benzer bir şekilde ('yaz'; mevsim olarak ve 'yaz'; yazma eylemi olarak), bir sembolün farklı anlamları birbirinden tamamen ilintisiz veya gelişigüzel değildir. Bir sayının sayma ve sıralama özellikleri sayma kavramında bir araya gelmektedir. Ancak bu bağlantılar basit algı seviyesinde olanlar için anlamsız gelebilir. Bu sebeple öğretmenin çocuğun bu bağlantılan kurmasında ve tutarlı bir işlem ağı inşa etmesinde çok önemli görevleri bulunmaktadır. Ancak bütün mesele sayıların sayma ve sıralama özelliğinden ibaret değildir. Bir öğretmenin, öğrencileriyle konuşurken kulak misafiri olarak duyulan, şu cümlesindeki sayı kullanımlarını göz önünde bulunduralım: 'Dördüncü sınıfta okuyan dokuz yaşında olan üç öğrenci vardır.' Bu cümle, küçük yaştaki çocuklardan bile sayı sembolleri ve kelimeler ile farklı durumlar arasında ne şekilde bağlantı kurmalarını beklediğimizi göstermektedir. Sekiz kelimeden oluşan basit bir cümlede öğretmen, sayılan üç farklı şekilde kullanmıştır. 'Üç çocuk' 3 sayma sayısına, 'dördüncü sınıf 4 sıralama sayısını işaret etmektedir. Dokuz', ölçme bağlamında kullanıma bir örnektir. 19

Sayılar hakkındaki daha sonraki deneyimler için temel oluşturma Sayılar hakkındaki daha sonraki deneyimlerin inşa edilebilmesi adına küçük yaştaki çocukların öğretmenlerinin bu deneyimlerin temellerini oluşturmaları ve bağlantıların ağını geliştirmeleri önemli görülmektedir. Bu yönden bakıldığında, sayıların yalnızca sayma özelliği ile ilişkilendirilmesi, sayılara yönelik son derece kısıdı bir bakış açısını içermektedir. Örneğin, öğrenciler daha sonraki öğrenim yaşantılarında birçok öğrenci için büyük bir gizem kaynağı olan negatif sayılarla karşılaşacaklardır. Ancak, sayıların sıralama özelliği ve bu özellikle bağlantılı sayı doğrusu resmi sayı kavramı öğretiminde en güçlü yöntem olarak kullanılmışsa, sayı kavramına ilişkin bakış açısı negatif sayılarla bağlantı kurulacak şekilde genişletilebilir. Bundan sonra yapılacak şey ise sayı doğrusunu sıfırın diğer tarafına doğru uzanıp, oluşan yeni noktalar için uygun etiketler kullanmaktır. Bir mağazanın asansöründeki düğmeler 3, 2, 1, 0 olarak sırasıyla 3'üncü, 2i'nci, 1 'inci ve zemin katı ifade etmektedir. Zemin kat için sayısını kullanmak matematiksel anlamda ne kadar uygundur! Bu sıralama sayılarının gerçek yaşam bağlamında kullanımına ilişkin apaçık bir örnektir. Aslında sayıların sıralama özelliği sıfırın altında olacak şekilde genişletildiğinde, 5 yaşındaki çocukların bile uygun bağlamlar dahilinde (sayı doğrusu, sıcaklıklar, bir kitabın sayfa numaraları, bir asansörde aşağı yukarı hareketler gibi) negatif sayıları ifade edebildikleri gözlenebilmektedir. Bir öğretmen 5 yaşındaki bir öğrencisiyle sayı doğrusu kullanırken yaşadığı deneyimi şu şekilde ifade etmiştir: Duvara sıfırdan başlayarak yukarı doğru 10'a kadar artan dikey bir sayı doğrusu koydum. İleri ve geri doğru bazı hesaplamalar yaptık. 3'te duruyoruz ileriye doğru iki say; Nereye gelirsin? gibi. Sıfırın altında olacak şekilde bazı noktalar koydum ancak bunları etiketlemedim. Daha sonra, "1'de duruyoruz geriye doğru üç sayalım," diye sordum. Öğrencilerim bunun büyük zevkle yaptılar, fakat bir kız öğrencim beni çok şaşırttı: Ulaştığımız nokta eksi ikidir! Bunu nereden öğrendiğini bilmiyorum. Ancak diğerleri de bu yöntemi sorunsuzca uygulamaya başladılar. Hatta bir öğrencim sıfırın üzerindeki sayılar için geçerli olan örüntünün sıfırın altındaki sayılar için de geçerli olduğunu ifade etti. 20

Sayma özelliğinin fazla vurgulanması Küçük yaştaki çocuklar sayılarla çalışırken, sayma pulları ve blokları ile işlem yaparken veya kümelerdeki nesneleri sayarken, sıralama özelliğinin söz konusu olduğu durumlarda, yapabildikleri kadar sayı doğrusu üzerinde ileri-geri hareketler yapmaları için fırsatlar sunulmalıdır. Bu sayede öğrenciler sembolü ile 'üç' kelimesini ilişkilendirmeyi de, bir noktaya verilen etiket veya nesnelerle oluşturulmuş kümelerin yerini belirleyebilme kadar öğrenebilirler. Sayıların sadece nesnelerin oluşturduğu kümeleri ifade etmediği gerçeğini mutlaka vurgulanmalıdır. Matematiksel kavramları; somut durumlar, semboller, dil ve resimler arasında örülü bağlantıların bir ağı olarak ifade etmiştik ve problem olan şeyin; bir kavramı anlamanın birçok farklı durumla bağlantılı bir sembolü içermesi olduğunu vurgulamıştık. En basit ve en temel düzeyde görünen sayı kavramlarının bile bu duruma dayanan, aynı sayı sembolünün farklı birçok durumda kullanılmasının, problemli bir yanı vardır. Sayma özelliğinin sıralama özelliğinin göz ardı edilmesine yol açacak kadar aşırı vurgulanması ve öne çıkması tartışması, genel uygulanabilirlik ve okul öncesi öğretmenlerinin yükledikleri önem noktalarında sorunlara yol açabilmektedir. Bu durumda içerisinde bağlantıyı barındıran matematik kavramlarında, bu bağlantılara eşit derecede önem vermemiz gerekirken, yalnızca bir bağlantıya ağırlık vermek tehlike yaratır. Eğer bir kavram hakkındaki çocuğun zihninde sadece bir bağlantı baskın ise, daha sonra zihnindeki var olan ağ ile bağlantılı olmayan yeni deneyimlerin inşa edilmesi zor olabilir. Örneğin, eğer sayıların nesnelerden oluşan kümeleri ifade eder düşüncesi ilk yıllarda sürekli olarak desteklenmiş ve baskın olan bağlantı halini almışsa, daha sonra karşılaşılan negatif sayıların gizemli ve anlaşılmaz gelmesi şaşırtıcı olmamalıdır. Çünkü -3'ü nesnelerin bir kümesi olarak düşünemeyiz! Eğer daha önceki öğrenilenlerle yeni öğrenilenler ilişkilendirilemiyorsa, gerçekten anlama değil ezbere dayalı bir öğrenme gerçekleşmiştir. 21

Özümseme, yeniden yapılandırma ve uyma Piaget ve çalışma arkadaşlarının tarafından ortaya konulan anlayarak öğrenme; (i) yeni bilgilerin var olan bağlantıların ağına özümseme süreci; (ii) yeni bilginin var olan bağlantıların ağına bağlanmaya hazır olmadığında, bu bilginin ağa uyma süreci ve (iii) bu yeni bilginin yeniden yapılandırılma süreci dahilinde işler (Inhelder ve Piaget, 1958). Skemp (19713) Piaget'nin fikirlerinin özellikle matematik konuları ve şemaları için -biz buna 'bağlantıların ağı' diyoruz- ne derece önemli olduğunu göstermiştir. Çocukların birçoğu, özellikle matematik alanında, yeniden yapılandırmayı anlamlı bir şekilde başarmada sorun yaşamakta ve kendileri için çok az anlamlı olan kuralların ve işlemlerin ezberlenmesine dayalı son derece kısıtlı ve yetersiz bağlantı ağı ile öğrenimlerine devam etmektedir. İlk yıllardaki sayılarla ilgili deneyimlerin sayı doğrusu kullanılarak yapılan etkinliklerle sağlanmasının önemini vurgulamamızın nedeni, sayıların sadece sayma amacıyla kullanılmadığı daha ileri seviyelerde anlayarak öğrenmelerine temel oluşturabilmesindendir. Öğretmenler yeni matematiksel deneyimler edindiğinde gerekli olan yeniden yapılandırma sürecinin farkında olmalarının oldukça önemli olmasının yanı sıra ustaca yönelttikleri sorularla öğrencilerin var olan bağlantılar ağını yeniden düzenlemeye yardıma olabilirler. Bu sayede çocuklar ezbere dayalı öğrenmek yerine anlayarak öğrenirler. 22

Saymayı anlama Küçük yaştaki çocukların sayı kavramına ilişkin kavrayışları, sayma deneyimleri ile yakından ilişkilidir. Çocukların sayma üzerine hem evdeki hem de kreşteki ilk deneyimleri; hazırlama, eşleştirme ve karşılaştırma içeriklerine sahiptir. Okulun ilk yıllarındaki birçok etkinlik çocukların materyallerin hazırlanmasına katılabilmelerine olanak sağlar ki; bu durum çoğunlukla saymayı içerir. Örneğin, alışveriş oyunlarına hazırlık amacıyla, çocuklar oyundaki hayalı dükkândan bir şeyler alabilmeleri için beş lirayı veya beş pul gibi nesneler üzerinden beşe kadar sayabilmeli. Benzer şekilde, çocukların sayıları eşleştirmeyi yapabilmeleri için birçok fırsat bulunmaktadır. Örneğin beslenme saatinde olan on tane çocuk ve on tane muzu saydıktan sonra, her bir muzu bir çocukla eşleştirebilirler. Bunun gibi, çocuklar kendilerinin sahip olduklarıyla diğer çocukların sahip olduklarının eşit olup olmadığına bakmak için çoğu kez sayma eylemine başvururlar. Örneğin, her bir grupta üç öğrenci olduğunu kontrol etmek için, ya da her bir çocuğun üç tane veya üçten daha az meyvesi olup olmadığını kontrol etmek için sayarlar. 3 ve 4 yaşındaki çocukların, oyun alanındaki kaydırakta aynı anda sadece üç kişinin oynayabileceğini biliyorlar. Diğerlerinin bu esnada kaydırağı sürekli kontrol ettiklerini ve sayı ikiye düşer düşmez kaydırakta oynayabilmek için olabildiğince hızlı bir şekilde harekete geçtiklerini gözlemleyebiliriz. Eğer iki kişi aynı anda ulaşırsa kendi aralarında bir sıralama yaparlar, çünkü bu durumda kaydırakta dört kişi olduğunu ve buna müsaade edilmediğini bilirler! Matematiksel bir perspektiften baktığımızda, sayıları kümelerin tanımlama aracı veya noktalar için birer etiket olarak görebiliriz; ancak daha somut olarak küçük yaştaki çocuklar için sayılar, sayarken kullanılan kelimelerdir. 23

Sayma nedir? Öğrenenin anlamlı bir şekilde sayabilmesi için ne tür bağlantılar kurulmalıdır? Sayma öncesi deneyimler Saymayı öğrenme, ilk olarak çocukların evde edindikleri deneyimlere dayanmaktadır. Burada sayma için üç çeşit ön koşul deneyim önemlidir. Listenin en başında, nesneleri kümelere sınıflamaya ve kategoriye ayırmaya dayanan düşünce bulunmaktadır. Belli bir ortak özelliğe sahip nesneleri sayma, bu özelliğe sahip olmayan nesneleri ayırt edebilme becerisini gerektirir. Bu, eşitlikler oluşturulması hususunda ilk deneyimlerden biridir: bir anlamda aynılık kavramı (aynı renk, aynı boy, aynı aile gibi) üzerine oluşturulmuş nesnelerden oluşan bir kümenin tanımlanması olarak düşünülebilir. Küçük çocukların oyunları, sınıflamaya ve kategorize etmeye dair birçok örnek durum içerir. Blokları, oyuncak hayvanları, model arabaları, bebekleri farklı kümelere ve kategorilere ayırırlar. Diğer yandan ailelerinde olan ile olmayanlar arasında, çocuklar ve yetişkinler arasında, kızlar ve erkekler arasında ayrım yaptıklarında ise kategorize etmektedirler. Aslında kategorize etme dil gelişiminin kalbinde yer alır ve deneyimlerimizi anlamlı hale getirmek adına yaptığımız çok temel bir eylemdir. Burada dikkat çekmek istediğimiz nokta, bu sürecin saymanın öğrenilmesinde ilk aşama olmasıdır. Bir kümedeki elemanları tanımlamak ve diğerlerinden ayırmak, sadece seçilen nesnelerin sayılabilmesi diğerlerinin göz ardı edilmesine olanak tanır. Bu, şuna benziyor: 'Bugün sınıfımızda kaç tane çocuk var?', denildiğinde çocuklar yetişkinlerin sayılmayacağını biliyorlar. Ya da kaç tane erkek çocuğun olduğu sorulduğunda, kızları saymıyorlar. Düşündüğünüzde, bu şekilde hareket etmenin öğrenilmesi küçük bir çocuk için oldukça karmaşık olmalıdır. Burada iki aşama var: Önce çocukları iki kategoriye ayırmalı, sonra saymalılar. 24

İkinci olarak, çocuğun evdeki aile yaşantısı içinde edindiği 'bir tane daha' ve 'başka bir tane' gibi ifadelerin kullanıldığı zengin konuşma deneyimlerinin önemini asla hafife almamalıyız. Saymadaki temel fikirlerden birisi, saydıkça sayıların büyümesidir. Örneğin, altı beşten daha fazladır. Bu sebeple, bir çocuğun erken yaşta 'başka bir tane daha' istemesini öğrenmesi, saymayı öğrenmeye dair esasi ön koşul deneyimleri edinmesini sağlar. Ebeveynler, muhtemelen, 'bir taneden fazla yok' gibi ifadelerin tekrarı ile çok önemli deneyimler kazandırdıklarının farkında bile değildirler. Ancak, öğretmenler çocuklar ile iletişim halinde iken bu durumun farkında olmalıdırlar. Üçüncü olarak, çocukların, gerçek sayma ile karşılaşmadan önce, küçük sayıları (bir, iki, üç gibi) birbirinden ayırt edebildiklerini gösteren bir takım kanıtlar vardır. Üç yaşındaki çocuklar, resimli kitaplara baktıklarında hangi resimde bir inek, hangisinde iki ve üç inek olduğunu ayırt edebilirler. Böylece, sayıların; nesnelerden oluşan kümeleri ifade etmek ve farklı büyüklükteki kümeleri birbirilerinden ayırt etmek için kullanıldığını öğrenmeye başlıyorlar. Bu durum konuşmalarda küçük sayılar kullanıldığında da yaşanmaktadır. Çocuklar, saymayı öğrenmeden önce, iki ayakları, iki elleri, iki gözleri olduğunu, ancak sadece bir burunları olduğunu biliyorlar. Çocuklar aynı zamanda üç kör fare şarkısını ve üç ayının hikâyelerini de biliyorlar. Bütün bu deneyimler, saymayı öğrenmek için çok değerli hazırlıklardır. 25

Bir kümedeki nesneleri çok kısa süreli bir bakışla, gerçekten saymadan, algılamaya 'az sayıdaki nesneleri bir bakışta ayırt etme' denilmektedir. Herhangi bir matematiksel işleme veya örüntüye başvurmadan, iki ya da üç gibi küçük sayılan ayırt etmeye algısal ayırt etme görme olarak adlandırılmaktadır (Clements, 1999). Çocuklar bu noktadan; herhangi çokluktaki nesnelerin düzenlenmesindeki örüntünün, onun fark edilebilirliğine yol açtığı, kavramsal ayırt etmeye doğru ilerlerler. Noktalarının belli bir düzende olduğu domino taşları ve oyun zarları ve deliklerinin düzenli birer dizilime sahip olduğu Numicon şekilleri, küçük çocukların nesneleri bir bakışta ayırt etme becerilerini geliştirmede önemli görsel materyaller olarak ön plana çıkmaktadır. Sayıların sıralanması değişmezdir Çocuklar savmayı öğrenmeye başladıklarında, ilk olarak okul içinde ve dışındaki bütün durumlarda sürekli tekrarlanan ezberlenmiş seslerin bir örüntüsünü (bir, iki, üç, dört,...) öğrenirler. Bu ses grubu büyük oranda, kreşte öğretilen geleneksel çocuk şarkıları kadar anlamsız olmasının yanı sıra, küçük bir çocuğun sıralı öğrenmeye dair olağanüstü bir kapasiteye sahip olduğunu göstermektedir. Ancak yapılan bu tekrarla, sayıların sırasının sabit olmasının saymanın altında yatan bir ilke olduğu öğrenilmektedir. Değişmez olan şey her zaman üç, ikiden sonra gelir ve bu kural bütün sayı sistemine uygulanabilir. Gelman ve Gallistel (1986) buna, sabit sıra ilkesi adını vermektedir. 26

Sayıların isimleri ile nesnelerin bire bir eşlenmesi Çocuk, bu gürültülerden çıkan sesler ile parmağın fiziksel hareketlerini ve gözün bir sırada dizilmiş nesneler arasındaki hareketlerini, bir ses ile bir nesneyi eşleştirerek, koordine edebilmeyi öğrenmelidir. Böylece çocuk bir sayının isminin, ta ki hiçbir nesne kalmayıncaya dek, bir nesne ile eşleştirilmesi gerektiğini öğrenmelidir. Gelman ve Gallistel, bu durumu bir-bir ilkesi şeklinde adlandırmaktadır. Bu öğrenilmesi çok önemli olan beceridir. Saymayı öğrenen çocuklarla çalışan öğretmenler, iki heceli kelimeler 'yedi' koordinasyonun zorlu problemlerinden birine işaret ettiğini bilirler. Bazen çocuklar fazla sayabilmektedirler. Çocukların sayma hakkında doğru bir kavrayışa sahip olduklarını anlamanın yollarından birisi, nesnelerin farklı şeklide saymayı destekleyecek şekilde -bir doğru boyunca, bir çember üzerinde veya bir yığın halinde- dizilmiş halleri ile yapmaktan geçer. Bu yolla öğrencilerin saymış olduklarının ve geriye sayılacak nelerin kaldığının kaydının tutulması noktasında farkındalığa sahip olup olmadığı görülecektir. Sayma ve sıralama özelliğinin ilişkilendirilmesi Saymanın altında yatan ilkelerden birisi, bir kümenin elemanlarını sayarken ulaşılacak son sayının kümedeki eleman sayısını belirtmesidir. Gelman ve Gallistel bu duruma, sayma ilkesi adını vermektedir. Bu durum, sayıların sayma ve sıralama özelliklerinin bir araya getirir. Her bir sayı ifade edilirken, nesneleri etiketleme ve sıralama söz konusu olduğundan -bir, iki, üç,... gibi- sıralama özelliği bağlamında kullanılmaktadır. Ancak diğer taraftan, çocuk bir şekilde son nesnenin sıralama sayısı ile kümenin elemanlarının çokluğunu ifade eden sayma sayısının aynı olduğunu keşfeder. Bir öğretmen şu durumu aktardı: 4 yaşındaki bir kız çocuğu nesneleri zihninden sayarken aniden büyük bir heyecanla şöyle söyledi: 'Üç üçtür, değil mi!' Biraz daha zihninden sayma yaptıktan sonra yine; 'Dört dörttür! ve Beş beştir!', dedi. Öğrencim, burada öncelikle üçe kadar sayarken üçe vardığında, aslında üç tane nesneyi içeren bir küme oluştuğunu fark etti. Daha sonra, dörde vardığında dört tane, beşe vardığında beş tane elemanı olan bir kümeye ulaştığını anladı. 27

Bir soyutlama olarak sayma Matematik yapmayı öğrenmenin en büyük problemlerinden biri matematiksel kavramları gömülü oldukları bağlamdan soyutlamayı öğrenmektir. Örneğin, bir çocuk 3'e 4 eklemeyi yaparken, kullanılan somut nesnelerin yapılan matematiksel işleme hiçbir etkisi olmayacaktır: üç şeker ve dört şeker, üç erkek ve dört erkek, üç sayma pulu ve dört sayma pulu, bütün bu nesneler aynı soyutlanma ile temsil edilmektedir: 3+4=7 Bu, matematiğin okulda öğrenilen diğer bütün şeylerden belirgin bir şekilde farklı olan yönüdür. Bir şiirde, hikayede, resimde, şarkıda, oyunda, dramada, bağlam etkinlik için esastır. Ancak matematikte, çoğunlukla (her zaman olarak algılanmamalı!) bağlamın önemi çok düşük düzeydedir. Saymada çocuklar ilkin, Gelman ve Gallistel'in ifade ettiği şekilde, soyutlama ilkesi ile karşılaşırlar. Ne saydığınızın hiçbir önemi yoktur; çocuklar, hayvanlar, sayma pulları veya parmaklar için işlem birebir aynıdır. Aynı sayı isimlerini, aynı sırada ve aynı birebir eşleme işleminde kullanırız. Nesnelerin sırası ile ilgisizdir Gelman ve Gallistel aynı zamanda sıra ile ilgisizlik ilkesini tanımlamışlardır. Örneğin, çocuklar sıralanmış nesneleri sayarken, soldan da başlasalar sağdan da başlasalar aynı sonucu elde edeceklerini öğrenmeleri gerekir. Aslında nesneleri, bütün nesneler ile sayı isimlerini tasarlanan sırayla birebir eşleme yapmak şartıyla, istenilen sırayla sayabilirsiniz. Bu durum, yine, öğrenme açısından oldukça karmaşık bir süreç olmakla birlikte, öğretmenlerin hem küçük çocukların sayma deneyimlerinde, hem de kendi anlamalarını ölçmede hedefleri arasında yer alması gerekir. 28

Nesnelerin dizilimi ile ilgisizdir Yardımcı ilkelerden birisi de, bir kümedeki elemanları saymaya kalktığınızda, bu sayma işlemi nesnelerin dizilimi ile ilgili değildir. Eğer bir sıra halinde dizilmiş yedi nesne dağıtılırsa, hala yedi tane nesne bulunur. Bu nesneler bir salkım şeklinde, çember şeklinde veya ne tür bir örüntü ile verilirse verilsin, hala yedi tane nesne olacaktır. Bu ve bir önceki ilke bir araya gelerek, sayının korunma ilkesi adı verilen ilkeyi oluştururlar. Bu durumu çocuğun öğrenmesi açısından, bir kümedeki nesnelerin dizilimine ne türden dönüşümler uygulanırsa uygulansın, korunan bir eşitlik vardır: hala aynı sayıda nesne vardır. Sayı sembolleri ile isimleri eşleştirme Bazı seviyelerde çocukların, sayıların isimleri ile sayıları temsil eden sembolleri eşleştirmeyi öğrenmeleri gerekmektedir. Saymanın ilk aşamalarında sayıların isimlerini - bir, iki, üç, dört, beş- nesnelere işaret ederken ezbere söylemektedirler. Daha sonraki aşamada, sonunda her bir sayının ismi ile karşılık gelen sembolün eşleştirilmesi açıkça kurulana kadar 1, 2, 3, 4, 5,... sembollerine işaret ederken sayıların isimlerini ezbere söylemeyi öğrenmelidirler. 29

'Bir tane daha' ve 'sonraki sayı' ifadelerini ilişkilendirme Verilen herhangi bir sayıdan bir sonra gelen sayı her zaman bir tane fazladır. Yani yedi altıdan bir tane fazladır, çünkü altıdan bir sonra gelen sayıdır. Bu saymanın temel bir ilkesidir. Örneğin 4 yaşındaki bir çocuğa beşten bir büyük sayının ne olduğunu sorulduğunda, cevap veremeyebilir. Ancak bu çocuğa 5 e kadar say dendiğinde kolayca sayabilir. Bunun, yine, karmaşık bir öğrenme süreci olduğunu ve küçük yaşta öğrencileri olan öğretmenlerin bu durumun farkında olmaları ve söz konusu ilkeyi belirgin hale getirmeleri gerekmektedir. Bundan daha karmaşık ve zorlayıcı olan ise tümleme ilkesidir: bir önceki sayı her zaman bir küçüktür. Örneğin küçük yaştaki çocuklar bir önceki sayıyı düşünürken gerçekten zorlanıyorlar. Örneğin 7 yaşındaki çocuklara 'Beşten sonra ne gelir?', denildiğinde hemen 'altı', diyebiliyorlar. Ancak altıdan önce ne geldiğini sorduğunda ise, hiçbir ipucuna sahip değiller! Saymadaki örüntü Yandaki resimde bir yüzlük kare görülmektedir. Yüzlük kare sayıların uzamsal bir dizilimidir. Öyle ki; (a) sayının sıralama yönünü ve (b) basamak değeri ile bağlantılı ilişkilerin görülememesine neden olmaktadır. Şöyle ki, örneğin, 43 sayısı yüzlük karede bulunduğu yere göre tanımlanır. 43 sayısı hakkında belirgin olan şey, bir sırada 42 ile 44 arasında karşımıza çıkmasıdır. Bu karenin kullanımı ile sayının sıralama yönüne vurgu yapılmaktadır. Buradaki 43 sayısı bir kümedeki nesnelerin çokluğunu belirtmemekte (sayma sayısı değil!), sıralı dizilmiş karelerin bulunduğu bir tablodaki bir karenin etiketidir. 43 sayısı, aynı zamanda 3 rakamı ile biten sayıların yerleştiği sütunda, 33 ile 53 arasında yer alan kareye atıfta bulunmaktadır. Bu örüntü, elbette ki, çocukların onluk tabandaki basamak değer sistemimize dair kavrayışlarının geliştirilmesinde oldukça önemlidir. Bu durum, her bir satırda on tane kare olması gerçeğine dayanmaktadır. 30

Yüzlük kare, saymayı öğrenen çocuklar için çok önemli olan, 100'e kadar saymanın örüntüsünü açık hale getirmektedir. İlk olarak, son rakamlar tekrarlanan bir sırada devam etmektedirler. On sayının her bir sırası 1,2,3,4,5,6,7,8,9 "ve" 0 ile bitmektedir. Her bir satırda yer alan on sayının da örüntüsü sesli bir şekilde vurgulandığında, her zaman 'bir, iki, üç, dört, beşi altı, yedi, sekiz, dokuz'lu bir şeyler ifade edilecektir. Böylece onlu sayıların bulundukları yerlerde ise şu örüntü vardır: yirmili sayıların, otuzlu sayıların, kırklı sapların bütünün yer aldığı sıraya ulaşmanın yolunu göstermektedir. Saymanın örüntüsünün farkında olunması ve saymada bu örüntüyü kullanmayı öğrenme, ondan sonraki sayıları saymanın öğrenilmesinde anahtar ilke durumundadır. Sınıfımdaki 100'e kadar sayabilen 4 yaşındaki bir çocuğum, hazine sandığını masanın üzerine boşalttı ve dökülen malzemelere bakarak, 'Burada herhalde 100 den fazla şey var.' dedi. Çocuk, sayabileceğinden çok fazla malzeme olduğunu anlatabilmek için '100'den fazla' deyişini kullandı. İsrail'deki bir anaokulunun çocukların yüzlük hissini geliştirmelerine yardımcı olabilmek adına 'Yüzüncü gün kutlamaları' yapılmaktadır. Çocuğun okuldaki yüzüncü gününde, bireysel veya eşli olarak okula yüz tane şey getirmeleri istenerek çocukların farkındalıkları arttırılmaktadır. 31

Sayılar sonsuza kadar devam eder 20'den sonra 100'e kadar olan sayma örüntüsü bir defa açık bir şekilde oturtulunca, çocuklar yüzlere devam etmelerine olanak tanıyan daha ileriki örüntüyü öğrenirler ve daha sonra binler için de bu öğrenme gerçekleşir. Çocuklar saymada anahtar öneme sahip olan bir fikre sahip olmaya başlarlar: Bu sonsuza kadar devam eder! Her zaman bir sonrakinin olma ihtimali vardır. Çocuklar hep şu soruyla adeta büyülenmişe dönüyorlar: En büyük sayı kaçtır? Birisinin milyon, milyar, trilyon gibi şeyler söylemelerini çok seviyorlar. Daha sonra şunu diyebiliyorlar, 'peki ya milyon, milyar, trilyon ve bir! Öğretmenler, 've bir' hilesini öğrenen bir çocuğun aynı zamanda saymanın anahtar ilkelerinden birine sahip olduğunu bilmelidirler. Bütün sayılar sayma sayısı değildir Sayma hakkında öğrenilmesi gereken son ilke ise, sayı kavramı saymadan daha öte bir yapıya sahiptir. Sayma, sayılar hakkındaki ilk düşüncelerimizle ve sayılarla ilk deneyimlerimizle öyle sıkı bağlanmıştır ki, kolaylıkla sayıları sadece sayma için kullanılan kelimeler ve sembollerden -pozitif tam sayılar- ibaret sanmamıza yol açacak bir zihinsel altyapı geliştirebiliriz. Bu yanlış ve naif düşünce, hayatlarında sayıların birçok çeşidi ile tanışmış ve bunları kullanmış olan yetişkinlerin zihinlerinde bile baskın olabilmektedir. Örneğin, stajyer öğretmenlerin bazılarına 1 ile 20 arasında kaç tane sayı vardır diye sorulduğunda, katılımcıların büyük çoğunluğunun 18 dediği gözlenmiştir. Bu stajyer öğretmenler, ondalıklı sayıları ve kesirli sayıları büyük olasılıkla işlemlerde yıllardır kullandıkları halde, 7/8 ve 9l/2 gibi sayıları göz ardı ettiler. Stajyer öğretmenlerinin birçoğu, toplamları 9 farkları 4 olan iki tane sayı bulamadıkları gözlendi. Bunun sebebi olarak ise, basitçe, 'sayı' kelimesini duyunca akıllarına otomatik olarak sayma için kullandığımız sayıların gelmesidir. 32

Sayının matematiksel bir analizi Şekilde de görüldüğü üzere çocuklar sayıları merkezden ilerleyerek öğrenmektedirler. Bu gelişimin doğal sayılar adını verdiğimiz saymada kullandığımız pozitif tam sayılarla başlamaktadır. Bu gelişim daha sonra tam sayı dediğimiz sayılara doğru genişlemektedir. Buradan sonra sayı kümesi gelişimi, rasyonel sayılara ve daha da sonra reel sayılara doğru ilerlemektedir. Bu sıralamada her bir kümenin bir önceki kümeyi kapsadığı gözden kaçırılmamalıdır. TEMEL KAVRAMLAR Sayma: Ölçme, tartma vb. işlerin sonunda bulunan birimlerin kaç olduğunu bildiren söz, yani adet olarak sayı, bir çokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Rakam: Sayıları yazılı olarak göstermeye yarayan sembollerdir. Rasyonel Sayı: Tam ve kesirli sayıların ortak adıdır. Doğal sayılar: 0 dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Sayma sayıları: 1 sayısından başlayıp sonsuza kadar giden sayılardır. Sayma sayılarına 0'ın dahil olmamasının sebebi boş kümenin içinde temsil edecek bir elemanın olmamasıdır. Nominal Sayılar: İsimlendirme ve tanımlamada kullanılır. Ölçme, miktar gibi sayısal bir değer ifade etmez. '301 numaralı odada oturuyorum, '65 plakalı bir otomobil kullanıyorum' gibi. Kardinal Sayılar: Kümedeki toplam eleman sayısını, miktarı ifade eder. 'Kaç tane?' sorusunun cevabını verir. Bir kümedeki nesneler sayılırken söylenen son sayı kardinal değeri verir. Örneğin, 'Avucumda altı bilye var', 'Dokuz çocuk servise bindi? Ordinal Sayılar: Nesnenin sırasını, konumunu ifade eder. Miktar belirtmez. 'Kaçıncı...?' sorusuna yanıt verir. Ordinal sayılar sıralama ilişkisinin bilinmesini gerektirir. örnek olarak; 'Beşinci sıradaki çocuk gelsin', 'İkinci katta oturuyoruz'. 33

SAYI KAVRAMININ GELİŞİMİ Ritmik saymanın rasyonel saymadan önce geliştiği ve nesnelerin sayılmasının ezbere saymadan daha karmaşık olduğu bilinmektedir. Bilişsel bir aktivite olan anlamlı sayma becerisi sayı sözcüklerini ve sayma ilkeleri bilgisini gerektirmektedir. Bunun için çocukların el-göz koordinasyonu ile birlikte dil ve hafızalarını da ise koşmaları gerekir. Bu koordinasyonu geliştirmek küçük çocuklar için oldukça güçtür (Young- Love-ridge, 2004). Bundan dolayı sayıları anlamaları için çocuklara yardım etmek sanıldığından da zordur. Şöyle ki (Ginsburg, 2009); önünüzde duran masanın üzerinde bir grup nesnenin kaç tane olduğunu öğrenmek istediğinizi farz edin. Masada gelişigüzel düzenlenmiş bir kitap, küçük bir oyuncak ve kırmızı bir blok olduğunu düşünün. Cevap vermeniz için öncelikle, sayma sözcüklerini bilmek zorundasınız. Yani sayıları hatırlamanız gerekir; fakat sayılar kendi kendilerine bir anlam ifade etmezler. Ancak farzedelim ki onları çok iyi biliyorsunuz. Siz 3'ten daha fazla sayabiliyorsunuz. Şimdi işiniz, sadece hafızanızdaki sayı sözcüklerini ezbere saymak değildir, aynı zamanda bu gruptaki nesnelerin sayısına da karar vermeniz gerekir. Matematiksel düşüncenin temelini oluşturan 'sayma' -bir dizinin sayısal değerini belirlemede- karmaşık bir süreçtir ve aşağıda dile getirilen kuralları gerektirmektedir: Birinci kural: Bir dizideki her eleman sayılmalıdır. Paraları, hayvanları, büyük-küçük nesneleri, hatta hayalî şeyleri sayabilirsiniz. İkinci kural: 'Bir, iki, üç...vb. her sayı sözcüğü, dizideki her nesneyle sadece bir kez ilişkilendirilmelidir. Kırmızı bloğu işaret ettiniz ve 'bir', oyuncakta 'iki' ve kitapta 'üç' dediniz. Kırmızı ve blok diye iki sözcükle tanımlamanıza rağmen kırmızı bloğu işaret ettiğinizde 'bir' ve 'iki' diyemezsiniz. Dizideki hiçbir nesneyi atlayamazsınız. Her sayma sözcüğü, dizideki her elemanla bire bir eşleştirilmelidir. Üçüncü kural: Son sayma sözcüğü tanı olarak dizidf kaç tane nesne olduğunu ifade eder. Dizideki son numara; üç' sadece kitaba işaret etmez. Siz ilk önce bloku işaret ettiniz ve 'bir' dediniz. Doğru; bir tane blok var. Sonra oyuncağa işaret ettiniz ve 'iki' dediniz. Ancak bu, orada iki blok olduğu anlamına gelmez. İki rakamı, iki nesne saydığınızı ifade eder. Benzer bir şekilde, kitaba işaret ettiğinizde üç' demenize rağmen sayı sözcüğü, bireysel nesneyi tanımlamıyor ama tüm gruptaki nesneleri - hepsinin kaç tane olduğunu açıklıyor. 34

Sayma işlemine kitap ile başladığımız varsayılım. O durumda kitap 'bir' numara olacaktır, 'üç' numara olmayacaktır. Gerçekte, gruptaki her nesne 'bir', 'iki' ve 'üç' olabilirdi. Ama nasıl sayılırsa sayılsın tüm grupta üç nesne vardır. İşte bu toplam miktara, 'kardinal değer' denir. Bunlara ek olarak, bir grup nesneyi doğru olarak sayabilmeniz için sayıların sabit bir sırada takip edildiğini, sayıların ardışıklığını da bilmeniz gerekir. Yani sayarken 'bir, üç, iki" diyemezsiniz. Bu yüzden okul öncesi eğitim kurumlarında ardışık olarak yazılan rakamlar çocukların bir zihinsel şablon oluşturması açısından önemlidir. Ayrıca sayma işlemi, dili çok farklı şekilde kullanmaya olanak sunar. Günlük konuşmalarda, bir objeye işaret ederken ismini söyleriz yani bir kitaba kırmızı blok diyemeyiz. Saymayı bitirdiğimizde, kitaba işaret edip uç' deriz, uç un kitabın adı olduğunu kastetmiyoruz. Bu, bazen kardinal değere (eleman sayısına) işaret eder. Bu kadar karmaşık olan sayı kavramıyla ile ilgili bilgilerin temelinin atılması yaşamın ilk yıllarından itibaren başlamaktadır. Ancak sayı kavramı gelişmeden önce çocuk parça-bütün, artmaazalma, karşılaştırma gibi işlemlerle sayma öncesi şemaları kullanarak matematikle ilgili deneyimler kazanmakta ve bu aşamada sayma, belli bir nicelemeyi ifade etmeyen bir oyun olarak belirmektedir (Griffin, 2004a; 2004b). Nitekim 1 yaş çocukları kendilerine görsel olarak sunulduğunda nesnelerin azlık-çoklu-ğunu ayırt edebilmektedirler. Miktar farkındalıkları önceleri görseldir ve çok', 'az' gibi kavramlarla ifade edilir. Çocuklar sayma becerileri ile doğduklarından konuşmaya başladıklarında sayı sözcüklerini de kullanmaya başlarlar (Nelson, 2007). Sözel olarak 2 yaş civarında başlayan sayı saymanın gelişmesi yıllar almaktadır. 2-3 yaşlarındaki bir çocuk sayıları sayabilir; ancak saymadaki sıra çoğunlukla doğru olmaz. Sayıları doğru olmayan bir düzende (örn;1-3-2-7 vb.) sayabilir. 35

Çocuğun sayma düzeni sürekli değişiklik gösterir, yaş ve deneyim ile birlikte sayma gittikçe doğru bir form almaya başlar. Çocuklar bu yaşlarda sözgelimi 4 sayısının karşılığını henüz kavram olarak kazanmış değildirler. Zaten 3-4 yaşındaki çocukların sayı sayma davranışı -doğru bir düzende saymayı başarsa da- genellikle kavrayarak saymadan ziyade, modeli taklit etme daha açık bir ifade ile ezbere sayma olarak belirmektedir (Metin & Dağlıoğlu, 2002; Metin, 2002). Etraflarındaki günlük, sıradan çevrede çocuklar bir tabakta 3 diğer tabakta 5 pasta olduğunu görmektedirler. 5 pasta olan tabağın 3 pasta olan tabaktan daha fazla olduğunu bilirler ancak "Bunda 3 tane, şunda ise 5 tane pasta var" diyemezler. Çocuklarda 'daha az' kavramı 'daha çok' kavramından sonra gelişmektedir. 3-4 yaşlarındaki çocuklar, tam olarak ne kadar olduğunu ifade edememelerine rağmen bilişsel olarak ekleme yapıldığında artar'ı bilirler (Ginsburg, 2009). Ayrıca 4 yaşındaki çocukların büyük bir bölümü, 1 den 5 e kadar sözel olarak sayma, bire bir eşleştirme ve kardinal sayı kurallarını kullanmayı ifade eden 'sayma şemasını oluştururlar (Grifiin, 2004). 36

Çocukların doğumdan ilköğretime başlayıncaya kadar, sayma ile ilgili becerilerinin bir hayli geliştiği görülmektedir. Günlük hayatta küçük çocuklar, çok farklı yönlerde saymaya karşı ilgili olduklarından kendiliğinden sık sık yüksek sesle saydıkları, saymaktan zevk aldıkları gözlenmektedir. Hatta 3 yaşındaki çocuklar 10'a kadar rahat saymaktadırlar. 5 yaşındaki çocuklar İden 100e kadar ritmik olarak sayabilmektedirler. Bir yerde yanlış yaptıklarında ise tekrar başa dönerek saymaya başlamaktadırlar (Ginsburg, 2009). Sayı kavramının kazanılmasında sayma hem önemli bir gelişimsel, hem de anlamlandırmada önemli rol oynamaktadır (Akman, 2002). Araştırmacılara göre sayma becerisi aynı zamanda, ilerideki artimetik beceri gelişiminin de öncüsüdür. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi yani dört işlemi yapabilmek için sayı temellerinin atılmış olması gerekir. Dolayısıyla çocukların sayı kavramını kazanmaları son derece önemlidir (Stock, Desoete & Roeyers, 2009). Öte yandan sayma ve daha sonraki aritmetik gelişim arasındaki yakın ilişkiye bir örnek vermek gerekirse, okul öncesi çocukları aritmetik problemlerde tahminlerinin doğruluğunu kontrol etmek için saydıklarında daha doğru saydıkları görülmektedir (Curtis, Okamoto & MarieWeckbacher, 2009). Griffin (2004b)'e göre, çocuk düşüncesinde 5 yaş civarında oluşmakta olan sayı ve miktarın birbirleriyle ilişkilendirilmesi, sayı duygusu ve aritmetiğin başarılı bir şekilde öğrenilmesini sağlar. 37

Çocukta önceleri daha çok sözel bir oyun olarak başlayan sayma, daha sonra nesnelerle ilişkilendirme ve rakamlarla sembolize etme seklinde gelişimsel olarak ilerlemektedir (Baroody, 2004). Çocukların rakamları anlamaları sayı saymada tecrübe kazandıklarına işaret eden bir bulgudur. 6 yaşındaki çocuklar, aynı dokudaki 6-10 nesneyi sayarak eşleştirebilir, gruplandırabilirler. İden 10'a kadar olan nesne grupları ile rakamlar arasında ilişki kurabilir ve İden 10'a kadar olan rakamları düzgün bir şekilde sıralayabilirler. Bunların yanında "en az, en çok, birkaç" gibi sayısal olmayan ancak miktar bildiren ifadeleri de kullanırlar (MEB, 2006). 'Hangisi büyük, 7 mi 9 mu?' sorusu okul öncesi dönemdeki çocuklara yöneltildiğinde verdikleri cevaplar, sayı duyguları hakkında ipuçları sunar. Yanıtları aynı zamanda gelişimsel süreci de gösterir. İlk zamanlarda 'Bilmiyorum' diye yanıtlarlar. Bir sonraki aşamada tereddüt ederek '9 büyüktür' der, nedeni sorulduğunda 'Çünkü 9 daha büyük' gibi bir cevap verirler. Daha sonraki aşamada ise '9 daha büyük' dedikten sonra ikinci sorunun yinelenmesi halinde muhtemelen şu şekilde bir cevap verecektir: 'Sen 7 dedin (durur) parmakları ile göstererek sayar: 8, 9. Yani 9 7'den 2 tane daha fazla. O yüzden 9 daha büyük'. Bu yanıtı veren, matematik eğitim programlarının amaçları arasında yer alan matematiksel düşünme ve akıl yürütmenin gelişmeye başladığının güzel bir örneğidir (Griffin, 2004a). 38

Sözkonusu bu gelişmeye paralel olarak NCTM (2000), ilköğretim 2. sınıf düzeyinden küçük tüm çocukların sayıları anlamlı kullanmasına odaklanır. Bu çocuklardan ayrıca doğal sayıların (0, 1, 2, 3,...) ve sıralama sayılarının (1., 2., 3.,...) bağıl büyüklüklerini ve konumlarını anlamaya başlamaları beklenmektedir. Sonraki adımda bir sayı duygusu geliştirmeleri, bu sayıları sembolize etmeleri ve farklı şekillerde kullanabilmeleri beklenir. NCTM, bu beklentilerin deneyimler ve somut materyal kullanımı ile gerçekleştirilebileceğine vurgu yapar. Benzer hedeflerin Türkiyede 2002 yılında uygulamaya konulan ve 2006da da revize edilen MEB Okul Öncesi Eğitim Programında da yer aldığı görülmektedir (MEB, 2006; 2002). Okul öncesi dönemdeki çocukların zaten günlük etkinliklerinde, konuşmalarında ve oyunlarında sayılarla ilgili tekerlemeler, şarkılar söyledikleri ve matematik kavramlarını kullandıkları görülmektedir. Tüm bunların sayı duygusunun gelişmesine olumlu etkisinin olduğu bilinmelidir. Çocukların sayı kavramını kazanmaları; sayı saymayı tatmin edici bir aktivite olarak görebilmeleri için ev, okul ve oyun gibi farklı ortamlarda bolca sayı uygulamaları yapmaları için ortamların hazırlanması ve fırsatların oluşturulması gerekmektedir. Özellikle öğretmenlerin 'öğretilebilir anların farkında olmaları ve değerlendirmeleri son derece önemlidir. Sayı kavramının kazanılmasında şu üç hususun gözönünde bulundurulmasında yarar vardır (Aunio, Hautamaki & Van Luit, 2005): Birincisi, sayı duygusunun gelişiminde çocuklar arasında bireysel farklılıklar vardır. İkincisi, ilköğretime başlamadan önce sayı kavramının gelişimi yaşıtlarının gerisinde kalmış çocuklar tespit edilerek desteklenmelidir. Üçüncüsü, sayı duygusunun erken gelişimi ilerideki matematik eğitiminin temelidir. Eğer çocuk bu konuda sorun yaşarsa muhtemelen daha sonra öğrenme ve öğretme zorlukları ile karşılaşacaktır. 39

Birebir Eşleştirme İki küme arasında kurulan bir ilişki olan bire bir eşleştirme, bir kümedeki her elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman ile eşlemenin yapılmasıdır. Bire bir eşleme becerisi Piaget'ye göre sayının korunumu kavramının temelini oluşturur. Yapılacak olan bire bir eşleme etkinlikleriyle çocukların saymayı anlayarak öğrenmelerini desteklemek mümkündür. Diğer durumda sayma işlemi, ezbere olacaktır (Altıparmak & Öziş, 2005; Aktaş-Arnas, 2004). Bire bir eşleştirmeyi başaramayan çocuk sayma sırasında, sayma işleminin kendisine yoğunlaşıp, bir nesneyi birden kez sayabilir veya bir kümedeki bazı nesneleri sayma işlemine katmayabilir (Akman, 1995). Bu nedenle nesneleri sayarken onlara dokunmaları için çocuklara rehberlik edilmelidir. Zira çocuklar sayıları önce sadece sözel olarak kullanır, sonra nesneler ve gruplarla eşleştirirler. Masaya kişi sayısı kadar tabak, kaşık veya çatal koymak bire bir eşleştirmeye örnek olarak düşünülebilir. Sayma aşamasında olan çocuk henüz bire bir eşleştirme aşamasına gelmediği için, öğretmen ilk zamanlarda ona model olmalıdır. Örneğin, kahvaltı saatinde öğretmen, 'Her kraker için bir parça peynir alacağım. Haydi bakalım, tabağımda 1, 2, 3 kraker var; dolayısıyla 1, 2, 3 parça peynir alacağım' diyerek çocuğun dikkatini bire bir eşleştirmeye çekebilir. Çocuklar, sayı arttıkça eşleştirme yapmakta zorlandık- ı ları için genelde büyük miktarlarda söylediği sayı ile saydığı nesne arasındaki bire bir ilişkiyi kaybedebilmektedirler. Bu durum da özgüvenlerini yitirmelerine ve daha sonra da büyük miktarları saymaktan kaçınmalarına yol açabilir. Bire bir eşleştirme ve 'kendi kendine konuşma' tekniklerini kullanarak model olmak mümkündür, örneğin, öğretmen: 'Oooo! oyun kartımda bir sürü dinazor var. Ben onları sayarken hiçbirini atlamamam için beni dikkatle izleyebilir misin? Bazen çok hızlı sayıyorum ve bazılarını atlayabiliyorum' diyerek çocukla işbirliği yapmayı deneyebilir. Çocuklar küçük grupları karşılaştırmada iyidirler, ama daha büyük gruplarda bunalabilir ve sayısını kabaca tahmin etmekle yetinebilirler. öğretmenler daha büyük gruplarda da bire bir eşleştirmede onlara model olabilirler, örneğin, öğretmen blok köşesinde 'İkimiz de bir sürü arabaya sahibiz, haydi onları bir çizgi üzerine getirelim ve kiminkinin daha fazla olduğunu görelim!' diyebilir; miktarları karşılaştırmak için her grubu sayabilir. Setleri karşılaştırmak için de benzer bir teknik kullanılabilir. Çünkü çocuklar ilk aşamalarda setleri karşılaştırmak için görsel saymayı kullanmaktadırlar. Örneğin dramatik bir oyunda öğretmen çocuğa 'Kimin daha çok plastik yumurtası var?' diye sorabilir ve çocuğa model olacak şekilde, kendi yumurtalarıyla onunkileri bire bir eşleştirebilir. Çocuk da büyük bir olasılıkla kimin daha çok yumurtaya sahip olduğunu gözlemleyecek ve bundan sonra aynı tekniği kendi kendisine de uygulayacaktır. Bunun için öğretmen, çocukların nesne gruplarını sayıca bire bir eşleştirmelerini ve sayarak hangisinin sayıca "daha az", "daha çok" ve "eşit" olduğunu söylemelerini teşvik etmelidir (Moomaw, Carr, Boat, & Barnett, 2010). 40

SAYI KORUNUMU Piaget'ye göre, çocuğun sayı kavramını edinebilmesi için sayı korunumunu kazanmış olması gerekir. Sayı korunumu, sayılacak nesnelerin mekândaki dağılımları nasıl olursa olsun sayının aynı kalacağının bilinmesidir. Piaget'nin kuramına göre, çocuklar ancak üçüncü aşama olan somut işlemler döneminde (7-11 yaş) korunum kavramını kazanmaktadırlar (Aktaş-Arnas, 2004; 2002). Küçük çocukların algılayışlarına göre, nesnelerin boyutları ve düzenleniş şekilleri değiştiğinde sayıları da değişir. Nesneler hareket ettirildiği takdirde, önceden de, hareket ettirildikten sonra da saymış olsalar bile yine de sayının değişmediğini kabul etmezler. Hatta sayının değişmediğini kabul etseler de miktarın değişmediğine inanamazlar. Piaget, bu matematiksel beceri eksikliğinin korunumdan kaynaklandığını belirtmekte ve bu dönemi işlem öncesi dönem (3-6 yaş) olarak adlandırmaktadır (Nelson, 2007). Piaget'nin aksine, son çeyrek asırda yapılan modern araştırmalar okul öncesindeki çocukların sayılarla ilgili korunum kavramım edinebildiklerini göstermektedir (Le Corre, Van de Walle, Brannon & Carey, 2006; Gelman, Meck & Merkin, 1986; Gelman & Meck, 1983; Gelman & Gallistel, 1978). 41

Sayı korunumunu edinmeleri için çocukların, hem sayarak hem de saymaksızın nesneleri, miktarları karşılaştırmaya ve bunları açıklamaya yönelik farklı fırsatarlarla karşılaşmaya ihtiyaçları bulunmaktadır. 'Sence hangisi daha çok?' 'Bunun neden daha az olduğunu bana gösterebilir misin?' 'Benim daha fazlasına sahip olduğumu düşünüyorsun ama ben ikimizin de aynı olduğunu düşünüyorum. Nasıl bulabiliriz?' gibi sorular ile dikkatleri çekilmelidir. Çocuklardan aynı sayıda nesne getirmeleri istenebilir. Örneğin 'Herkes 6 şey getirsin' denebilir. Sonra da 'hangisi daha çok? diye çocukların farketmeleri sağlanabilir. SAYMA İLKELERİ Gelman ve Gallistel (1978), okul öncesi çocuklarının doğru bir şekilde saymayı başarmalarına yönelik beş tane sayma ilkesi olduğunu ileri sürmüşlerdir. Ayrıca, küçük çocukların çok erken yaşlarda bu ilkeleri bildiklerini ancak özellikle büyük nesne gruplarında uygulamaya koymakta zorlandıklarını ifade etmektedirler; 1. Bire bir İlkesi (The one-one to principle): Her nesnenin yalnızca bir kez sayılmasını ifade eder. Her sayının özgün bir adı vardır. 2. Sabit Sıra İlkesi (The stable order principle): Saymada, sayı sözcüklerinin belli, sabit bir sırada söylenmesi kuralıdır. Sayabilmek için sayı sözcüklerinin sırasını bilmeyi ve ardışık olarak sıralamayı gerektirir. Sayma hep aynı sıra ile (1-2-3-4-5...) yapılmalıdır. 3. Kardinal Sayı İlkesi (The cardinal principle): Bir kümedeki nesneler sayılırken söylenen son sayı kümedeki toplam eleman sayısını ifade eder. 'Kaç tane?' sorusunun cevabını veren çocukların kardinal sayıları bildiğini gösterir. Kardinal sayılar eşleştirme ve ardışıklık ilişkilerinin bilinmesini gerektirir. 4. Soyutlama İlkesi (The abstraction principle): Sayılabilecek her nesnenin sayılmasıdır. Bir kümeyi oluşturan elemanlar birbirleriyle ilişkili olmak zorunda değildirler. Aslolan kümenin içinde bulunan elemanların sayılabilir olmasıdır. 42

5. Sıranın Önemsizliği İlkesi (Ihe Order-Irrevalance Principle): Diğer sayma ilkeleri ihlal edilmediği sürece hangi sırada sayılırsa sayılsın sonucun değişmeyeceğini ifade eder. Yani yan yana dizilmeye gerek olmaksızın nasıl sıralanırsa sıralansın saymayı başarabilmeyi gerektirir. Çocuklar önce dokunarak ve yan yana olan özellikle de dokunarak saymayı öğrenirler. Daha sonra karışık haldekileri sayabilirler. Hareket halindeki şeyleri saymak en zor olanıdır. Okul öncesinde bu sıralamayı takip ederek saymayı öğrenmelerine ortam hazırlanmalıdır. İlk üç ilke sayma yöntemini, saymanın nasıl yapıldığını gösterir. Okul öncesi dönemde çocukların miktar problemlerini çözmeleri için başarılı bir şekilde kullanmaları gereken ilkelerdir. Dördüncü ilke, birbirinden farklı olan şeylerin bir bütünlük içinde sayılmasını belirtmektedir. Son ilke ise, nesnelerin düzensiz bir sıra halinde sayılabildiklerini ifade etmektedir. Çocuklar sayma ilkelerinde ustalaştıkça sayı kavramını daha anlamlı kullanmayı da öğrenirler. Ritmik Sayma: Çocuklar ritmik şekilde saymaktan ve şarkılarla sayı saymaktan zevk alırlar. Şarkılar, tekerlemeler, parmak oyunları çocukların, sayıların sıralarını doğru şekilde öğrenmelerine yardım eder (Polonsky ve ark., 1995 ). Çocuklar ilk olarak tek basamaklı sayılarla (1,2,3... gibi) ritmik saymayı öğrenirler. Daha sonra nesneleri sayarak sayma becerisini geliştirirler. Sayma becerisini edinememiş çocukların, matematik eğitiminde başarısız oldukları görülmektedir (Stock ve ark, 2009). Atlayarak Sayma: Okul öncesi çocukları, ritmik saymaya olduğu gibi atlayarak saymaya karşı da ilgilidirler. Atlayarak sayma (2 şer» 5er, 10 ar 100er vb.), saymak için bazen daha az zaman alan ve daha etkili bir yoldur, özellikle sayılar büyük olduğunda atlayarak sayma daha da işlevsel olmaktadır (Polonsky ve ark., 1995 ). Atlayarak sayma, çocuğun, erken çarpma, toplama ve çıkarma stratejilerini anlamasının gelişmesi açısından önemlidir (Mcdonald, 2007). 43

Geriye Sayma: Geriye sayma, çocukların çıkarmayı öğrenmelerine yardım ettiği için önemlidir. Ayrıca, sayı sistemini daha iyi tanımalarına yardım etmenin de bir diğer yoludur (Polonsky ve ark., 1995 ). Anlayarak Sayma: Çocuklar için anlayarak sayma, nesneleri saydıklarında hiçbir nesneyi atlamamaları ve aynı nesneyi birden fazla kez saymamalarıdır. Bunun için her şekil ve boyutta çok çeşitli nesneleri bolca sayma deneyimlerini yaşamaları gerekir. Zira NCTM (2000)'ye göre çocukların sayı duygusunu kazanmaları için anlayarak saymaya ihtiyacı vardır. Anlayarak sayma farklı yeterlilikleri içinde barındırır (Polonsky ve ark., 1995): Sayının doğru sırasını bilme, Bir grup nesne sayılırken her objenin sadece bir kez sayıldığını bilme, Son sayılan objeye verilen numaranın tüm nesnelerin toplamını temsil ettiğini bilme. Bu yeterliklerin yanında sayma sürecinde hiyerarşik ilişkileri de anlamalarını geliştirmek için çocukların çeşitli fırsatlara, deneyimlere ihtiyaçları vardır (McDonald, 2007). Örneğin, '11 oyuncu olabilir ama orada sadece 1 takım var' '5 sınıf, 100 öğrencisi olan 1 okul' gibi. Aynı şekilde buket ve çiçek arasındaki hiyerarşik ilişki gibi farklı türden ilişkileri anlamaları sayıları anlamlı kullanmalarını destekler. Çocukların diğer hiyerarşik ilişkileri anlamaları için kendilerinin de örnekler bulması cesaretlendirilmelidir. Sayısını Görme (Subitizing): Bir grup gösterildiğinde saymadan anında kaç tane olduğu görmeye sayısını görme (subitizing) adı verilir. Küçük çocuklar doğal bir şekilde az sayıdaki nesneleri saymadan kaç tane olduğunu fark etmeye yeteneklidirler. Saymanın kısa yolu olarak sayısını görme, saymadan sonra gelişir. Bu, saymanın hızlı bir formudur; sayı duygusunu ve aritmetiğin gelişimini destekleyen bir beceridir. Küçük çocukların en fazla 4'e kadar sezgisel olarak "sayısını görmeyi öğrenebildikleri bilinmektedir. Yani 4 nesnelik bir grup gösterildiği zaman saymadan 4 nesne olduğunu bilebilmektedirler. Çocukların 'Kaç tane?' sorusuna saymadan gerçekten cevap verdikleri zaman sayıları anlamaya başladıklarına işarettir. Miktar az olduğunda doğru cevap verebilirler, sayı arttığında ise tahmin güçleşir. Aynı zamanda nesnelerin dağılımı da tahmini etkiler. Belli bir sıradaki nesnelerin sayısını tahmin etmek dağınık şekilde bulunan aynı sayıdaki nesnenin sayısını görmekten daha kolaydır. Gözle saymanın, dokunarak saymaya göre oldukça zor olduğunun bilinmesi gerekir. Değişik türden etkinliklerle çocukların tahmin etmede ustalaşmaları sağlanabilir (Le Corre vd., 2006; Clements, 1999). Sayı sözcüklerinin yanısıra "daha az, daha çok, aynı" gibi rakamsal olmayan karşılaştırmalı dil de kullanılmalıdır. Bu, çocuğun sayı olmaksızın da miktarın ifade edildiğini anlamasını kolaylaştırır. Bu kavramlar, çocukların dilini ve sayma becerisini destekler, zenginleştirir (Mcdonald, 2007). 44

Rakamlar Çocuklar rakamları önce görsel olarak farketmekte, isimlerini öğrenmektedirler. Anlamlarını ise daha sonra kavramaktadırlar. Gözlemler, çocukların genelde önce kendi yaşlarının rakamlarını öğrendiklerini göstermektedir. Çocuklara kâğıda yazarak rakamları göstermek yerine rakamların gerçek şekillerini algılayabilecekleri; seramikten rakamlar yapma, toprağa rakamlar çizme gibi somut örnekler verilmelidir. Rakamları düzgün yazamamanın çocuğun sayıları anlamadığı anlamına gelmediği bilinmelidir. Rakamları düzgün yazmak, bilişsel gelişimin yanında biyolojik gelişimi de gerektirir. Küçük kas motor becerileri gelişmemiş, el-göz koordinasyonunu henüz kuramamış çocukların rakamları düzgün yazmaları zordur. Rakamları öncelikle farketmeleri için görsel uyarıcılar kullanılmalıdır. Okulların ve sınıfların duvarlarında asılı bulunan rakamlar çocukların farkındalıklarını arttırdığından yararlıdır. Daha sonra benzer olanları eşleştirme, farklı olanları ayırt etme, sınıflandırma, gruplandırma çalışmaları yapılabilir. Rakamların isimlerini, nesne ile olan ilişkileri ve anlamlarını öğrenmeleri için ise her rakam ayrı ayrı verilmelidir. Çocuklar ayrı ayrı her rakam için değişik türden etkinliklerle buluşturulmalıdırlar. Rakamları öğrenmeleri için kağıt ve kalemlere geçmekte acele edilmemelidir, özellikle oyunlarla keyifli ve anlamını kavrayarak öğrenmelerini desteklemek mümkündür. 45

Rakamları bedenlerini kullanarak yazmaları istenebilir. Rakamlar havada, yerde, masada, duvarda, arkadaşının sırtında vb. parmakları ile yazdırılmalıdır. Fasulye, makarna, kil ve özellikle ipliklerle de yazdırılabilir. Çubuklarla kumda, toprakta, karda rakamları yazmak çocuklar için keyifli olabilir. Kutuların üzerine rakamlar yazarak o rakam kadar nesneyi kutunun içerisine atmalarını istemek şeklindeki etkinliklerle çocukların rakam ile nesne arasında ilişki kurmalarını desteklemek mümkündür. Ev ya da cep telefonunu kullanarak acil numaraları aramalarını öğretmek rakamları tanımalarının yanında çocukların güvenliği açısından da yararlıdır. Aynı zamanda anne babalar kendi telefon numaralarını, apartman ve kapı numaralarını da öğretebilirler. UYGULAMA İÇİN ÖĞRETMENLERE VE ANNE-BABALARA ÖNERİLER Okul öncesi dönemde matematiksel sembolleri ve rakamları yazma ve okuma ile çocukları tanıştırmanın zararlı, kötü olduğuna ilişkin kaygıya gerek yoktur. Burada dikkat edilmesi gereken, bu işin doğru şekilde yapılmasıdır. Sembollerin kendisi değil, sembolleri yazmanın anlamsız kullanımı problemdir. Farklı bir ifadeyle, çocuğun deneyimlerinden, yaşantısından çıkan; duyularına hitap eden, görebildiği, duyabildiği, dokunabildiği ya da kimi zaman da hayal edebildiği bir şeye işaret etmeyen soyut sayı sembollerinin kullanımı yararlı değildir. Okul öncesi çocuklarının büyük bir kısmı, sayıları okumayı ve yazmayı öğrenmek istemektedir. Önemli olan çocukların bu meraklarının önünde durmamak ve anlamlı bir bağlamda çocukları sayılarla tanıştırmaktır. Örneğin, çocuk orada 3 yıldız olduğunu görmekte, kontrol etmek için saymakta ve ancak o zaman kaç bulduğunu belirtmek için 3 yazmaktadır. Burada sembollerle tanışmasının bir sakıncası var mıdır? Tam tersine, sadece bir çalışma kitabında ya da fotokopi kağıtlarında sembol yazımı ile eğitim verilirse işte o zaman problem olabilir (Ginsburg, 2009). 46

Sayma ile ilgili bir diğer husus da okul öncesi eğitim kurumlarında genellikle, aynı şeylerden oluşan nesne gruplarıyla sayma eğilimidir, örneğin, 4 sayısını vermek için 4 balık, 4 kitap, 4 köpek, 4 çiçek gibi aynı türden nesne grupları saydırılır. Ancak çok az sayma işleminde birbirinin aynı olmayan şeyleri de içine alacak şekilde sayma yapılır. Oysa bilindiği üzere matematik eğitimcileri saymayı tanımlamak için 'soyut' terimine özellikle vurgu yaparlar. Piaget'nin bilişsel kuramına göre daha işlem öncesi dönemde olan küçük çocukların, soyut olan sayı kavramını anlamaları oldukça zordur. Onun için çocukların sayı kavramını anlamalarını desteklemede farklı türden etkinliklerle çeşitli fırsatlardan faydalanmalarına olanak tanınmalıdır. Bu çeşitlemelerden biri de yukarıda örneği verilen 4 sayısını öğrenmeleri için, 4 balık, 4 kitap, 4 köpek, 4 çiçek sayma fırsatının verilmesinin yanında; bunların her birini içine alan bir grubun (1 balık, 1 köpek, 1 kitap ve 1 çiçek) 4 sayısını verdiğini çocuğun görmesi sağlanmalıdır (Mcdonald, 2007). Daha sonra ise 4 sayısının farklı bileşenlerini farketmesi sağlanmalıdır. Çocuğun 4un 4 tane İden veya 3 tane 1, 1 tane de İden veya 2 tane 2den meydana geldiğini görmesi gerekir. Bu türden fırsatlarla sık sık karşılaşması, çocuğun 4 sayısını anlamlı kullanmasına; sayının yapısını zihinsel olarak inşa etmesine katkıda bulunacaktır. Benzer şekilde diğer sayılarla ilgili de çalışmalar yapmalıdır. Sözgelimi Merriam (1993)'ın 11 sayısını elde etmenin 12 yolunu çocukların keşfetmesini sağlamaya yönelik çalışması, öğretmenlere ve anne-babalara yol göstermesi açısından güzel bir örnektir. Çocukların sayı kavramını kazanmalarına yönelik hazırlanan 'Küçük Çocuklar için Büyük Matematik (Big Math for Little Kids BMLK)', 'Sayı Dünyası (Number Worlds)' gibi programların aşağıdaki ilkeler üzerine kurulduğu görülmektedir. Yapılan araştırmalar, bu öğretimsel ilkelere uygun hareket etmenin başarı şansını arttırdığını, çocukların nispeten daha rahat ve kolay bir şekilde kendi zihinsel anlam yapılarını inşa ettiklerini göstermektedir. Çocukların anlamlı sayı duygusunu edinmelerine yönelik yapılacak programların, etkinliklerin sözkonusu ilkeler ışığında düzenlenmesinin yararlı olacağı düşünülmektedir (Greenes, Ginsburg & Balfanz, 2004; Griffin, 2004a; 2004b): 1. Yeni bilgi çocuğun ilgisi ve mevcut bilgisi üzerine inşa edilmelidir. 2. Öğretilecek yeni bir bilgi seçildiğinde doğal gelişimsel ilerleme takip edilmelidir. 3. Çocuk yeni fikirlerle planlı bir şekilde tanıştırılmalıdır. 4. Yeni kavramlar açıklanmalı ve tartışılmalıdır. 5. Kavramlar uygun bir sırada, ardışık olarak verilmelidir. 6. Çocuğun bağlantılar kurması için zengin, farklı, çok sayıda etkinlik sunulmalıdır. 7. Matematik günlük sınıf etkinlikleriyle bütünleştirilmelidir. 8. Karmaşık matematiksel düşünceler geliştirilmelidir. 9. Dil ve düşünce gelişimleri desteklenmelidir.. 10. Kavramsal anlamanın yanında sayısal akıcılık da öğretilmelidir. 11. Çocuk bir matematikçi gibi düşünmeye teşvik edilmelidir. 12. Etkin katılımlı araştırma, problem çözme ve iletişim için bol miktarda fırsatlar sunulmalıdır. 13. Sık sık tekrarlar yapılmalıdır. 14. Çocuğun sayılarla sıkça ilgilenmesi sağlanmalıdır. 47

Yetişkinlerin okul öncesi dönemdeki çocukların sayma becerilerinin nasıl geliştiğini bilmesi, çocukları tanıyarak işe başlamaları önemlidir. Sayı kavramını sağlıklı bir şekilde kazanmaları için çocuklara yardım edecek yetişkinlerin (öğretmen, anne, baba vd.) belli bir sıralamayı takip etmeleri gerekir. Her bir aşama için çocukların farklı türden deneyimleri yaşamasına fırsat verilmelidir. Sayıları anlama karmaşık ve zor bir süreç olduğundan çok fazla tekrara da ihtiyaç duyulduğu bilinmelidir. Yukarıda ifade edilen ilkelere uygun bir program ile aşağıdaki sıralama takip edilerek çocukların sayıları anlamlı bir şekilde öğrenmeleri desteklenebilir. Ritmik sayma, Düzenli ve dağınık halde bulunan nesnelere dokunarak sayma, Kabaca görsel sayma, Bire bir eşleştirme, Nesneleri sayılarına göre gruplandırma, Rakamları tanıma ve ayırt etme, Rakamları birbirleriyle ve nesnelerle eşleştirme, gruplandırma, Rakamları sıralama ve sıralanan rakamlara uygun sayıda nesne yerleştirme Çocuklara yardım etmek, gelişimsel olmalıdır. Kolaydan zora, basitten karmaşığa, bilinenden bilinmeyene doğru bir yol izlenmelidir. Yakından uzağa öğrenme ilkesinden hareketle çocukların en yakın, günlük yaşantılarının içerisinden başlayarak git gide farklı türden problemlerle karşılaşmaları sağlanmalıdır. Küçük çocuklara verilecek problemlerde önlerine somut materyallerin konulması önemlidir. Zira somut materyaller çocukların problemleri kolayca çözebilmelerine yardım eder. 48

Bir şeyleri saymak için öncellikle çocukların parmaklarını ve nesneleri kullanmalarını yüreklendirin. Gerçek nesnelerle saymak çocukların sayıları, ona bağlı olarak işlemleri anlamasına yardımcı olur. Sayma ile ilgili düşünürlerken boncuklar, fasulyeler ve düğmeler gibi manipülatif nesneleri kullanabilirler. Özellikle okul öncesi eğitim kurumlarında 'abaküs' olarak adlandırılan sayı boncuğundan yararlanılabilir. Saymayı öğrenmeleri için somut nesnelerle başlamak, çocukların sayıları anlamalarını kolaylaştırır. Ellerini her yıkayışta parmaklarını, çorap ve ayakkabılarını giymeden ayak parmaklarını, yemek yerken tabağındaki krakerleri ve masadaki her şeyi saydırabilirsiniz. Çocuk bir krakeri yedikten sonra tabağında kalan krakerleri saydırın. Zihninizden saymak yerine yüksek sesle sayabilirsiniz. Siz bir şeyler yaparken ondan bir şeyler istemenizin; saymaya ihtiyaç duyduğunuzda ondan yardım talep etmenizin, çocuğunuzun saymasını cesaretlendirmenin önemli bir yolu olduğunu bilin. Çocukların gördükleri, sahip oldukları, kullandıkları, oyun oynadıkları her şey, saymayı öğrenmeleri için mükemmel şeylerdir, öğrenmek için çocukların sadece ezberden saymaları ile gerçek nesneleri saymaları ve 1 şeye sahip olmak ile 2 şeye sahip olmak arasındaki farkı anlamaları aynı şey değildir. İçeride sayma alıştırmaları yapın sonra da farklı şeyleri bulup saymak için dışarı çıkın. Çocuklar saymaya karşı istekli oldukça çözmeleri için onlara farklı problemler verin. Örneğin; "Herkesin bir tane kalem alması için kaç tane kaleme ihtiyacımız var?" "İkişer tane almaları için kaç taneye ihtiyaç var?" "Birer tanesini öğretmene verirlerse kaç tane kalem kalır?" "Dışarı çıkmak için kaç ayakkabı giymeniz gerekir?" gibi sorularla sayıları anlamlı kullanmalarını destekleyebilirsiniz. 49

OYUNLAR Okul öncesi çağındaki çocukların öğrenme yaşantısı daha çok formel ve informel oyun deneyimlerine dayanır. Çünkü oynarlarken eylem halindedirler, tüm duyuları aktiftir; oyun sırasında bedenleri kadar zihinlerini ve sözcükleri de kullanırlar. Oyun, çocuk için somut ve önemli bir deneyimdir. Soyut kavramların anlaşılabilmesi için de doğal fırsatlar sunar. Çocukların öğrenme sürecine etkin katılımları, sayıları anlayarak öğrenmelerini sağlar (Tuğrul ve Çaltı, 2002). Dolayısıyla soyut bir kavram olan sayıların anlamlı bir şekilde edinilmesinde oyundan yararlanmak önemlidir. Çocuk, oyun yoluyla öğrenirken eğlenecek, keyif alırken öğrenecektir. Eşini Bul Her çocuğun göğsüne bir rakam yapıştırın. Her rakamdan bir çift olsun. Müziği başlatın ve çocukların müzik eşliğinde dans etmelerine izin verin. Müzik durduğunda herkesin kendi göğsündeki rakamın eşini bulup koluna girmesini isteyin. İkinci aşamada ise müzik durduğunda kendi sırtındaki rakamdan farklı bir rakamı olan arkadaşıyla el sıkışmasını isteyin. Bu oyunu şöyle de kurgulayabilirsiniz: 2 rakamını 2, 3 rakamını 3, 4 rakamını 4 vb. çocuğun göğsüne yapıştırın. İlk aşamadaki gibi müzik eşliğinde oynasınlar ve müzik durduğunda her çocuk, kendi göğsündeki rakamı taşıyan çocukları bulup 'merhaba' desin. 50

Üç-Beş Oyunu Büyükçe bir zar yapın. Her yönüne farklı bir rakam yazın veya rakamları temsil edecek kadar nokta koyun. Çocuklardan, sınıf duvarına paralel olacak şekilde dizilmelerini isteyin. Çocuklardan herhangi birinden zarı yere atmasını isteyin ve bunu oyun bitene kadar tekrarlayın. Çocuklar, zardaki rakam kadar öne doğru adım atsınlar, ta ki karşı duvara varıncaya kadar. Karşı duvara varıldığında yine zar atmaya devam edin ancak bu kez, hangi rakam geldiyse o kadar geriye doğru adım attırın. Sepete At Sınıfta kaç çocuk olduğunu sınıfınızdaki çocuklarla birlikte sayın. Sonra her çocuktan, eline bir oyuncak veya nesne almasını isteyin. Ardından herkesin elindeki oyuncağı sepete atmasını isteyin ve sepette kaç oyuncak olduğunu sorun. Daha sonra herkesin sepetten birer nesne almasını isteyin ve sonucun ne olduğunu görmelerini sağlayın. Oyuna çocukların ellerine ikişer nesne almalarını ve birer nesneyi sepete bırakmalarını isteyerek devam edin. Sepette kaç nesne olduğunu tahmin etmelerini isteyin. Tüm çocuklardan, ellerindeki ikinci nesneyi de sepete atmalarını isteyin. Sepette toplam kaç nesne olduğunu tahmin etmelerini isteyin. Herkesin sepetten tekrar birer oyuncak almalarını söyleyin. Geriye kalan nesnelerin toplam kaç tane olduğunu tahmin etmelerini isteyerek oyunu devam ettirebilirsiniz. 51

Rakam/Sayı Avı Bu oyunda yapılması geren ilk iş sayı kartlarının hazırlanmasıdır. Kartların bir yüzünde rakamlar diğer yüzünde o rakamın karşılığı kadar nesne resmi olmalıdır. Öğretmen çocuklardan gözlerini kapatmalarını ister. 20'ye kadar sayarlar. Bu sırada öğretmen, kartları sınıfın değişik yerlerine saklar. Çocuklar saymayı tamamladıklarında gözlerini açarlar. Saklanan sayı kartlarını bulmaya çalışırlar. Buldukları kartları küçükten büyüğe doğru -tersi de olabilirsıralarlar. Oyun tüm kartlar bulununcaya ve doğru şekilde sıralanıncaya kadar devam eder. İlk zamanlarda daha az kartlarla oynanmaya başlanmalıdır. Dönem boyunca gittikçe kart sayısını arttırarak oyuna devam edilebilir. Tahmin Oyunu 1 den 5 e kadar çeşitli sayılarda nesnelerin resimlerini içeren kartlar hazırlayın. Kartları çocuklara gösterin ve saymadan kaç tane olduğunu tahmin etmelerini isteyin. Sonra da birlikte sayın ve doğru tahminde bulunup bulunmadıklarını kontrol edin. Daha sonra kartlardaki nesne sayılarını gittikçe arttırarak oynamaya devam edebilirsiniz. Farklı zamanlarda oyunu oynarken kartlardaki nesneleri ve dizilişlerini de değiştirin. Yani farklı kartlar kullanın. Büyük-küçük nesnelerin olduğu, farklı şekillerde dizildiği kartların olması önemlidir. Bu oyunu çocukları ikişerli eşleştirerek de oynatabilirsiniz. Çocuklardan biri A, diğeri B olur. A olanlar kartları gösterir ve sorarlar. B olanlar yanıtlarlar. Daha sonra da kontrol ederler. Sonra da rollerini değiştirirler. Bu oyunda tahminde bulunan öğrenci tahmin ettiği rakamı bir kâğıda da yazabilir veya işaret edebilir. 52

Sandalye Kapmaca Sınıf mevcudundan bir eksik sayıda sandalye sınıfın içinde düzenlenir. Çocuklar müzik eşliğinde dans ederek sandalyelerin etrafında dönerler. Müzik durduğunda herkes bir sandalye kapar ve oturur. Bir kişi ayakta kalacaktır. Ayakta kalan oyundan ayrılır. Diğer turda bir sandalye daha eksiltilir. Tek kişi kalana kadar oyun sürdürülür. Tilki Baba Saat Kaç? Bir ebe seçilir ve ebe karşı duvarda, arkasını dönüp, gözlerini kapatarak bekler. Diğer duvara paralel olarak tek sıra halinde dizilen diğer çocuklar ebeye "Tilki baba, tilki baba saat kaç?" diye sorarlar. Ebe 10 dan küçük bir sayı söyler. Çocuklar söylenen sayı kadar ebeye doğru adım atarlar. Ebe arada bir dönüp çocuklara bakar. Ebe bakmadan önce adımlamayı bitirip, hareketsiz beklerler. Ebe hareket edeni oyundan çıkarır. Sonra tekrar sırtını dönerek çocukların sorusunu bekler. Ebeye çok yaklaşınca ebenin sırtına dokunup başlangıç noktasına doğru koşulur. Başlangıç noktasına varamadan ebeye yakalanan çocuk ebe olur. 53

Rakamlar Dünyası Öğretmen her çocuğun eline bir rakam verir. Her rakamdan iki çocukta bulunur. Çocuklar dağınık bir şekilde sınıfta otururlar. Öğretmen, "2'ler" dediğinde 2 rakamını taşıyan çocuklar, "5'ler" dediğinde 5 rakamını taşıyanlar koşarak yer değişirler. "Rakamlar dünyası!" dediğinde ise sınıftaki tüm çocuklar yer değişir. Oyun bu şekilde devam eder. Bomm! Çocuklar daire olacak şekilde sandalyelerine otururlar. Çocuklardan 1-10 arası sayıları sayarken 5 ve 10 yerine "bomm!" demeleri istenir. Yanlış yapan yerine oturur, yanındaki çocuk başlar. 0 da hata yapıncaya kadar devam eder. Oyun bu şekilde sınıftaki tüm çocuklar atılana dek sürer. 54

On Küçük Şişe Sallanıyor On çocuk el ele tutuşarak hep birlikte: On küçük şişe sallanıyor (el ele tutuşan çocuklar sallanırlar) İçlerinden biri gümm!' düştü yere (çocuklardan biri halkanın ortasına düşer) Dokuz küçük şişe sallanıyor (kalan çocuklar sallanmaya devam ederler) İçlerinden biri gümm!' düştü yere (çocuklardan biri halkanın ortasına düşer) Sekiz küçük şişe sallanıyor (kalan çocuklar sallanmaya devam ederler) Oyun bu şekilde devam eder. Oyunun sonunda düşe düşe hiç şişe kalmamıştır. Sıfır küçük şişe kalmıştır. Hangisi daha çok? Şarkı, Tekerleme ve Parmak Oyunu Örnekleri Sağ elimde 5 parmak Sol elimde 5 parmak Eder hepsi 10 parmak Sen de istersen say bak Say bak, say bak. 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 Ay dede, ay dede yolculuğun nereye? İstanbul'a İstanbulda kim var? Ninem Ninenin kaç çocuğu var? 10 Say bakalım 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 55

1,2, 3, Söylemesi güç Sana verdim 1 elma Adını koydum Fatma Hop hop hop Bir büyük altın top Sayılardan ilki 1 (Bir parmak gösterilir.) Ardından 2 gelir (îki parmak gösterilir.) Şöyle 3 (Üç parmak gösterilir.) Böyle 4 (Dört parmak gösterilir.) Hani bizim 5 kardeş (Elde beş parmak gösterilir.) 5 ten sonra 6 (Altı parmak gösterilir.) Nerde kaldı kahvaltı Kedi 7 ciğeri yedi (Yedi parmak gösterilir.) 7den sonra 8 (Sekiz parmak gösterilir.) 8 den sonra 9 (Dokuz parmak gösterilir.) 9dan sonra 10 gelir (iki elin parmakları gösterilir.) Sayılarımız sondur. 1,2,3,4, 5,6 (Koşma taklidi yapılır.) Delindi pabucumun altı. (Ayak kaldırma hareketi yapılır.) 7, 8, 9, 10 (Parmaklar sayılır.) Kapandı televizyon (Çocuklar oturup birbirlerine bakarlar.) 56

HİKÂYE 7 Şapşal Balıkçı Zamanın birinde 7 balıkçı balığa gitmeye karar vermişler. Deniz kenarına gitmişler ve her biri bir yerde ıbalık tutmaya çalışmış. Günün sonunda her şeylerini toplamışlar. Eve gitmek için hazırlanmışlar. Tam yola çıkarlarken biri: 'Bir dakika' demiş. 'Hepimizin olduğundan emin olalım'. 'Ben nasıl yapılacağını biliyorum,' demiş diğeri. 'Haydi sayalım ve görelim.' İlk balıkçı diğer balıkçıya işaret ederek saymaya başlamış. '1,2,3,4,5,6' 'Hayır! Birimiz eksik,' demiş. 'Bir dakika' demiş diğeri. 'Bir de ben sayayım' o da diğer balıkçıları teker teker işaret ederek başlamış saymaya: '1,2, 3,4, 5,6' 'Sadece 6. Birimiz suya düşmüş olmalı' demiş. Her balıkçı saymış ama her seferinde sadece 6 tane saymışlar. 'Ne yapalım?' diye ağlamışlar. Tam o anda küçük bir çocuk çıkagelmiş. 'Hepiniz neden böyle ağlıyorsunuz? Derdiniz nedir?' Tüm şapşal balıkçılar ağlayarak: 'Ağlıyoruz çünkü, 7'miz balığa geldik. Ama şimdi sadece 6'mız var. Birimiz suya düşmüş olmalı.' Küçük çocuk onlara bakmış ve şöyle söylemiş: 'Eğer eksik arkadaşınızı bulursam, bana sepetinizdeki balıklardan bir tanesini verir misiniz? Çünkü sabahtan beri bir şey yemedim.' 'Evet! Evet!' demişler balıkçılar, 'sadece arkadaşımızı bul, ne kadar balık istersen alabilirsin' demişler. 'iyi, o zaman' demiş küçük çocuk. 'Şimdi izleyin.' Her balıkçıya teker teker işaret ederek saymaya başlamış. '1,2, 3, 4, 5, 6, 7" '7 balıkçı balığa gelmiş ve 7 si de dönecek.' 'Oh! Çok teşekkür ederiz' demiş ağlayan balıkçılar. 'Bizim eksik olanımızı buldun' Özet 1. Matematiksel kavramlar semboller, dil, somut yaşantılar ve resimler arasında kurulan bağlantıların oluşturduğu bir ağ gibi düşünülebilir. 2. Matematiksel semboller, diğer kavramlar arasında var olan ilişkileri ifade etmemizi ve onları kullanmamızı mümkün kılan matematiksel kavramları ifade etmenin bir yoludur. 3. Sayı konusu sayı sembolü, sayının ismi, resimleri (sayı doğrusu gibi) ve somut durumlar (sayma pullarından oluşan bir küme gibi) arasındaki bağlantıların ağını içermektedir. 4. Bağlantılar ağındaki sadece bir bağlantıyı sürekli olarak pekiştirmede, eşit derecede önemli bağlantıların kurulması pahasına ('sayıların, sayı doğrusundaki bir nokta olması' gibi) matematiksel bir anlayışın ('sayıların, nesnelerden oluşan bir küme olması' gibi) oluşma -özellikle eğer bağlantı sınırlı bir şekilde uzun dönem anlamlılığına sahipmiş gibi vurgulanmış ise- tehlikesi potansiyeli vardır. 57

5. Bir sayının nesnelerden oluşan bir kümeyi (örneğin; üç ördek, beş parmak, on sayma pulu) temsil etmesi durumu sayıların sayma yönlerinin olması ile açıklanır. 6. Sayılar bazen tamamen bir etiket gibi kullanılır (örneğin, 9 numaralı bir otobüs). Bu durum, sayıların nominal yönlerinin olması ile açıklanır. 7. Bir sayının nesneleri etiketleyerek sıraya koyması (örneğin; sayfa 9, oda 9) durumu sayıların sıralama yönlerinin olması ile açıklanır. 8. Sayıların sıralama yönleri görüşü, özellikle sayı doğrusundaki gibi, sayı kavra-yaşındaki genişletmenin -negatif sayılar gibi- daha rahat inşa edilmesine olanak tanır. 9. Sıfır yalnızca boş kümeyi temsil etmez (yani; hiçlik veya bir şeyin yokluğu gibi), bunun yanında, örneğin, önemli sıralama anlamını -bir sayı doğrusundaki belirli bir noktayı ya da termometredeki donma noktasınıtaşır. 10. Önemli sayma öncesi deneyimler olarak şunlar ifade edilebilir: Nesneyi türüne göre gruplama ve kategorilendirme, günlük konuşma dilinde 'başka bir tane daha' ve 'bir tane daha' ifadelerinin kullanımı ve az sayıdaki nesneleri bir bakışta ayırt etme. 11. Saymayı öğrenmede anahtar ilkeler şunlardır: Sabit bir sıralamaya sahip -bir nesne ile bir sayı ismi eşleşen- sayıları sayarken, sayılan son sıralama sayısı aynı zamanda kümenin sayma sayısıdır; sayma bir soyutlamadır, bu sebeple sayılan gerçek nesneler sayma süreciyle ilintili değildir; her bir sayı bir sembol (sayı sembolü) ile eşleşir; bir sonraki sayı her zaman sayının bir fazlasıdır; saymadaki örüntü yüzleri ve hatta daha ilerilerini sayma olanağı tanır; sayılar sonsuza dek devam eder. 12. Bununla beraber, çocuklar mutlaka sayma dışında kullandığımız başka sayıların olduğunu da öğrenmeliler. 13. Doğal sayılar kümesi saymada kullandığımız 1,2,3,4,5,... şeklinde sonsuza dek devam eden sayılardan oluşur. 14. Tam sayılar kümesi pozitif, negatif ve sıfır da dahil olmak üzere tam olan sayıları içerir:...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... şeklinde her iki yönde sonsuza dek giden sayılardan oluşur. Tam sayılar kümesi doğal sayılar kümesini içermektedir. 58

15. Rasyonel sayılar kümesi iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilen sayılardan oluşmaktadır (bütün tam sayıları, bütün kesir türlerini -ondalık gösterimler de dahil- içerir). 16. Reel bir sayı, sayı doğrusu üzerindeki bir noktayı temsil eden bir sayıdır. Reel sayılar kümesi rasyonel sayıları içermektedir. Reel sayılar kümesi, aynı zamanda, 2 (karekök 2) gibi sayı sistemimizde tam olarak yazılamayan, ancak gerçek noktaları ve uzunlukları temsil eden irrasyonel denilen sayıları da içermektedir. 17. Sayı konusu -doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve reel sayılar boyunca- geliştikçe sayıların özellikleri de değişmektedir. Örneğin doğal sayılardan tam sayılara doğru ilerledikçe, sayıların sayma yönü yok olmakta, tam sayılardan rasyonel sayılara doğru ilerledikçe ise ardılı olma özelliği kaybolmaktadır. 59