MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:
İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8
Aritmetik ortalamaya göre Burada m r, aritmetik ortalamaya göre r inci momenttir. r=1 için, aritmetik ortalamaya göre 1. moment; r=2 için ise, aritmetik ortalamaya göre 2. dereceden momenttir. Aritmetik ortalamaya göre 2. moment, varyansa eşittir.
İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre 3. momentini hesaplarsak;
Çarpıklığı belirlemenin en basit yolu, aritmetik ortalama, medyan ve mod arasındaki büyüklük ilişkisine bakmaktır. Veri seti: = Medyan = Mod ise simetrik, > Medyan >Mod ise sağa çarpık, < Medyan < Mod ise, sola çarpık
f (X ) Simetrik f(x) Sağa Çarpık f(x) Sola Çarpık f (X ) 0 0 m X 0 f(x) 0 X X 0 f(x) 0 X X 0 0 m X 0 0 X X 0 0 X X Mod, X medyan mod Xmed Xmed mod
Çarpıklığı ölçmek için, çarpıklık moment katsayısından yararlanabiliriz. Formülde, a 3 çarpıklık moment katsayısı, m 3 aritmetik ortalamaya göre 3. dereceden moment, s standart sapma, m 2 aritmetik ortalamaya göre 2. dereceden momenttir.
Bir köyde hayvansal üretimde bulunan işletmeler incelendiğinde, büyükbaş hayvan sayısının varyansı 6.219, işletmelerin aritmetik ortalamaya göre hayvan sayısı 3. dereceden momenti ise -3.6932 olarak hesaplanmıştır. Çarpıklık moment katsayısıyla, büyükbaş hayvan sayısının çarpıklığını yorumlayalım.
, sıfırdan küçük olduğuna göre, büyükbaş hayvan sayısı sola çarpıktır. Dolayısıyla, hayvan sayısı yüksek olan işletmeler çoğunluktadır.
Basıklık, bir dağılımın, normal dağılış eğrisine göre, zirveli olma durumudur. Sivri Orta basık Düz
4. dereceden moment: 150.3371 ise dağılımın basıklığı kaç olur? >3 olarak hesaplandığından, normal dağılışa göre daha sivridir.
Önemli not:
OLASILIK Olasılık; bir olayın gelecekte ortaya çıkma ihtimalidir. 0 ile 1 arasında bir değer alır. İstatistikçiler olasılığı genellikle, ondalıklı olarak ifade ederler. Yöneticiler ise yüzde kullanırlar.
Olasılıkla ilgili konuların kolay kavranabilmesi için, öncelikle bazı temel terimlerin bilinmesi gerekir. Deney: Belli bir sonuç ya da sonuçlar üreten işlem veya süreçtir. Bir deneyin sonuçları, açıkça ayırt edilebilir. Ancak, deneyin sonuçlarından emin olunamaz. Örnek Uzayı: Bir deneyin, mümkün olan tüm sonuçlarını kapsar. S ile gösterilir. Olay: Bir deneye ait örnek uzayının alt kümesidir. Belli bir tanıma uygun sonuçları içerir.
Deneyin Adı Bir kez para atma Örnek Uzayı (mümkün sonuçlar) Yazı, tura Bir kez zar atma 1, 2, 3, 4, 5, 6 Yeni tohumluk seçme Yatırım kararı Pazardan elma satın alma Doğum Yüksek verim, öncekiyle aynı, düşük verim Kar eder, zarar eder Çürük, Çürüksüz Oğlan, kız
İki para aynı anda (veya bir para ard arda) atılıyor. Bu deneyin tüm mümkün sonuçları aşağıda verilmiştir. İki para örneği Para 2 Para 1 Y T Y YY YT T TY TT Bu deneyin örnek uzayı: S = {YY, YT, TY, TT} Burada, iki paranın da yazı gelmesi (YY) bir sonuçtur. 1. zarın yazı, ikinci zarın tura (YT) gelmesi de bir sonuçtur.
Para 2 Para 1 Y T Y YY YT T TY TT Her ikisinin birden aynı olması, bir olayı tanımlar. Bu olay, örnek uzayının bir alt kümesidir: A = {YY, TT} İki zar aynı atılıyor. Bu deneyin 36 mümkün sonucu vardır (6 2 = 36). Buna göre, örnek uzayının 36 elemanı bulunmaktadır.
Üç para aynı anda (veya bir para ard arda üç kez) atılıyor. Bu deneyin tüm mümkün sonuçları, dallı çizelge kullanılarak aşağıda gösterilmiştir. Buna göre örnek uzayı: S= { YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT,TTY, TTT } Üç paranın da aynı olması: A= { YYY, TTT } Üç paranın ikisinin de aynı olması olayı: B= { YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY}
A) Örnek uzayının genişliği: Mümkün sonuçlar ve aynı anda tekrarlanma sayısı ise; 5 bozuk para aynı anda (yada bir para 5 kez ard arda) atılırsa örnek uzayı kaç sonuçtan oluşur? B) Yada 3 zar aynı anda atılırsa kaç farklı sonuç ortaya çıkar?
X= Mümkün olan sonuçlar n= tekrarlanma sayısı Bozuk para
Olasılığın Hesaplanması Olasılık 3 yaklaşımla hesaplanabilir: 1. Öznel olasılık yaklaşımı 2. Klasik olasılık yaklaşımı 3. Oransal olasılık yaklaşımı Hangi yaklaşımla olursa olsun, bir A olayının olasılığını P(A) ile göstereceğiz.
Öznel Olasılık Yaklaşımı Belli bir olayın (veya sonucun) gelecekte meydana gelme ihtimali, geçmiş deneyim ve bilgilere dayanarak belirleniyorsa subjektif olasılıktan söz edilir. Örneğin, bir çiftçi geçmiş yıllardaki gözlemlerine göre, Nisan ayının ilk haftasında yağmur yağma olasılığının %80 olduğunu söyleyebilir. Bir başka çiftçi ise %75 diyebilir. Her ikisi de bir olasılıktır. Ancak kişiye göre değişmektedir. İki çiftçi de, bu dönemde yağmur yağma olasılığını subjektif olarak belirlemiştir.
Klasik Olasılık Yaklaşımı Bu yaklaşımda, bir deneyin tüm sonuçlarının olasılıkları birbirine eşittir. Örneğin, bir para atıldığında örnek uzayı S = {Y, T} dir. Gerek yazı gelme, gerekse tura gelme sonuçlarının olasılıkları 1/2 dir. Aynı şekilde zar atma deneyinde, herbir yüzün olasılığı 1/6 dır.
Oransal Frekans Yaklaşımı Herhangi bir deneyin n kez tekrarlanması durumunda, bir olayın gözlenme durumunun oransal olarak ifade edilmesi, oransal frekansı verir. Yani, bir olayın olasılığı, deneyin tekrarlanma sayısı sonsuza yaklaşırken, o olayın oransal frekansının alacağı limit değeridir. P(A) = lim n(a) n Pearson, bir parayı 24000 kez atmış ve 12024 inin tura olduğunu görmüştür. Buna göre oransal tura gelme olasılığı: 12024 / 24000 = 0.501 olarak hesaplanır.
Olayların Olasılıkları Belirlenirken Uygulanan Kurallar 1. Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 tir. 0 dan küçük veya 1 den büyük olamaz. 2. Bir örnek uzayındaki, tüm sonuçların olasılıkları toplamı, 1 e eşittir. Örneğin, bir para bir kez atıldığında yazı veya tura gelebilir. Her iki sonucun olasılıkları da 0.5 tir. Bu iki olasılığın toplamı 1 dir. 3. p(s) = 1 (Örnek uzayın olasılığı 1 dir) (P= probability). 4. P(Φ) = 0 (Boş kümenin olasılığı sıfırdır).
Olayların Olasılıkları Belirlenirken Uygulanan Kurallar (devam) 5. p(a ) = 1- p(a) S A A Burada S, örnek uzayı; A, bir olay; A ise A nın tümleyicisi (veya değili) dir. Örnek uzayının olasılığı 1 den, A olayının olasılığı çıkarıldığında, A dışındaki olayların olasılığına ulaşılır.
Bir para 4 kez atıldığında 2 sinin tura gelme olasılığı nedir? S = 2*2*2*2=16 A = {YYTT,YTTY,TTYY,TYTY,TYYT,YTYT}, n(a) = 6 P (A) = 1/16 + 1/16 + 1/16+1/16+1/16+1/16 = 6/16 veya P(A) = n(a) / n(s) = 3/8
Olasılık Kuralları Olasılık hesapları, iki kural çerçevesinde yapılır. 1. Toplama Kuralı 2. Çarpma Kuralı Toplama Kuralı Birbirini engelleyen olaylar (ayrı olaylar) Birbirini engellemeyen olaylar için farklı şekillerde uygulanır. Bir para bir kez atıldığında, ya yazı ya da tura gelir. İkisinin aynı anda gelme olasılığı yoktur. Bu nedenle yazı ve tura gelme olayları, ayrı olaylardır. Bir zar atıldığında, 6 yüzden sadece biri üste gelir. Bu nedenle, zarın yüzleri ayrı olaylardır. Bir işe 4 adaydan biri alınacaksa, bu adaylar ayrı olayları temsil eder. Zira, adaylardan birinin tercih edilmesi, diğer üçünün işe alınmasını engelleyecektir.
Bir peynir işletmesinde, 500 gram lık beyaz peynir paketlemesi yapılmaktadır. Paketleme makinesi, paketleri bazen 500 gramdan az, bazen 500 gramdan çok, çoğu zaman da 500 gram olarak paketleme yapmaktadır. İşletme bandından 1000 paket tesadüfi bir örnek çekilip tartıldığında; Olay Ağırlık Şişe sayısı Olasılık A < 500 gr. 25 0.025 B = 500 gr. 930 0.930 C > 500 gr. 45 0.045 Toplam 1000 1.00
Olay Olasılık A 0.025 B 0.930 C 0.045 Toplam 1.00 a) Rastgele çekilen bir paketin 500 gram üstünde veya 500 gram altında olma olasılığı nedir? P (A veya C) = P(A) + P(C) = 0.025 + 0.045 = 0.07 b) Rastgele çekilen bir paketin 500 gramdan fazla veya tam 500 gram peynir olma olasılığı nedir? P (A veya B) = P(A) + P(B) = 0.045 + 0.930 = 0.975
Birbirini Engellemeyen Olaylar Eğer A ve B olayları, aynı anda meydana gelebiliyorsa, bu olaylara birbirini engellemeyen olaylar denir S A B
52 lik iskambil destesinden çekilen kartın maça veya as olması, Karışık karpuz yığınından rastgele çekilen karpuzun kırmızı veya Adana karpuzu olması A, B, C köylerinde tarım yapan çiftçilerden rastgele çekilen bir çiftçinin A köyünden veya pamuk yetiştiriyor olması, Ziraat fakültesi öğrencilerinden rastgele seçilecek bir öğrencinin tarım ekonomisi öğrencisi veya kız olması birbirini engellemeyen A ve B olayları için toplama kuralı: P (A veya B) = P(A) + P (B) P(A ve B) formülüyle uygulanır. S =962 Toplam öğrenci sayısı P(A) =69 Tarım ekonomisi öğrencisi P (B) =493 Ziraat fakültesi öğrencilerinin sayısı P(A ve B) =41 Tarım ekonomisi bölümündeki kız öğrenci sayısı P (A veya B) = P(69/962) + P (493/962) P(41/962)=0.5415
Çarpma Kuralı 1) Ardışık Bağımsız Olaylar: Bir olayın meydana gelmesi, diğerine (veya kendisinden sonra gelene) bağlı değilse, bu olaylar birbirinden bağımsızdır. İki zar aynı anda atıldığında, ikisinin de 1 gelmesi Bir zar ard arda atıldığında, ikisinin de 6 gelmesi Bir para, iki kez atıldığında ikisinin de tura gelmesi Bir sınıftan rastgele çekilen iki öğrencinin, ikisinin de erkek olması. Birbirinden bağımsız ardışık olayların olasılığı: p(a ve B) = p(a). p(b) formülüyle hesaplanır.
İki hilesiz zar birlikte atılıyor: a) İki zarın da 4 gelmesi olasılığı nedir? p(a ve B) = P(4). P(4) P(4 ve 4) = (1/6). (1/6) = 1/36 b) Birinin 2, diğerinin 5 gelmesi olasılığı nedir? p(2 ve 5) = (1/6). (1/6) = 1/36
Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. a) İlk 2 atışta 3 gelmesi olasılığı nedir? 3 gelme olasılığı = 1/6 3 gelmeme olasılığı = 1 (1/6) = 5/6 p(3 ve 3 ve 3 değil ve 3 değil) = =(1/6).(1/6).(5/6).(5/6) = 25/1296
Bir bölgede çiftçilerin %35 i pamuk, %40 ı tütün ve %25 i buğday üretiminde ihtisaslaşmıştır. Buna göre ard arda rastgele 3 çiftçi popülasyon içinden çekilmiştir: a) Pamuk, tütün ve buğday yetiştiren işletmeciyle karşılaşma olasılığı nedir? p(p ve T ve B) = (0.35).(0.40).(0.25) = 0.035 b) İlk ikisinde buğday, sonuncusunda tütün yetiştiren işletmeci çıkma olasılığı nedir? p(b ve B ve T) = (0.25).(0.25).(0.40) = 0.025
2) Ardışık Bağımlı Olaylar: İki olaydan biri gerçekleşmeden, diğeri gerçekleşmiyorsa, ardışık bağımlı olaylardan söz edilir. 52 lik bir iskambil destesinden, ilk çekilen kartın as olduğu bilinirken, ikincisinin vale olması Bir sınıftan rastgele çekilen ilk öğrencinin kız olduğu bilinirken, bu öğrencinin ailesinin İzmir de oturuyor olması
Ardışık bağımlı olayların olasılığı: p(a ve B) = p(a). p(b/a) formülüyle hesaplanır. Burada p(b/a), A gerçekleştikten sonra, B nin gerçekleşme olasılığıdır. Bir başka ifade ile p(b/a), B nin A ya göre şartlı olasılığıdır.
Bir işletme ürettiği ürünlerin %4 hatalı olduğunu bilmektedir. 50 örnek bulunan bir kutudan rastgele yapılan ilk çekilişte sağlam bir ürün çıkmıştır. Bu ürün iade edilmediğine göre, ikincisinin hatalı çıkma olasılığı nedir? p(s ve H) = p(s). p(h/s) = p(s) = (4/100). (50) = 2 adet hatalı p(s) = [(50-2)/50] = 48/50 p(h/s) = 2/49 (49= kalan ürün sayısı) p(s).p(h/s) = (48/50). (2/49) = 96/2450
Bir uçağın birbirinden bağımsız 3 motoru var. Motorun bozulma oranı 0.01 dir. Bir uçuşun tamamlanabilmesi için tek bir motorun bozulmaması yeterli olduğuna göre, başarılı uçuş şansı nedir? Uçağın düşmesi için 3 motorun da bozulması gerektiğine göre: p(uçak düşer) = p(a1 ve A2 ve A3) = (0.01).(0.01).(0.01) = 0.000001 p(uçak düşmez) = 1 p(uçak düşer) = 1 0.000001 = 0.999999
Sayma Kuralları Olasılıkla ilgili problemlerin çözümünde, bazı sayma kurallarına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu kurallar, belli bir olayın, örnek uzayda kaç kez yer aldığını, tüm olayları listelemeden hesaplamamıza yardımcı olacaktır. Eşleşme Eğer bir A işlemi n şekilde, B işlemi m şekilde meydana gelebiliyorsa, iki işlem birlikte mxn şekilde gerçekleşebilir.
3 pantolonu ve 5 ayakkabısı olan bir kişi kaç değişik şekilde giyebileceğini öğrenmek istiyorsa, ortaya çıkabilecek kombinasyonlar: m.n. = 3.5. = 15 olarak hesaplanır. Çünkü her bir pantolonun altına, 5 ayrı ayakkabı giyilecektir. (uyumlu olsa da olmasa da)
Permütasyon n adet nesne arasından seçilebilecek r elemanlı küme sayısıdır. Nesnelerin sırası veya yeri dikkate alınır. Örneğin 3 çeşit tarım ürünü yan yana 2 ayrı parsele kaç değişik şekilde ekimi yapılabilir, permütasyonla belirleriz. Buğday, Mısır ve Pamuk 2 parsele: (Buğday, Mısır), (Mısır, Buğday), (Mısır, Pamuk), (Pamuk, Mısır), (Buğday, Pamuk), (Pamuk, Buğday) 6 farklı şekilde oturabilir.
Formülü: n: Nesne sayısı r: Nesnelerle kaçarlı gruplar oluşturulacağı Bir önceki slayttaki örnek için, permütasyon formülünü kullanırsak:
Otobüse yeni binen iki yolcu, 6 boş yer olduğunu görüyor. Kaç değişik şekilde oturabilirler? n= 6, r= 2
Sayısal lotoyu kazanmak için kaç kolon oynamak lazım? 49 sayı 6 farklı şekilde.. Yada şans topu 49 sayı 5 farklı şekilde 12 sayı bir farklı şekilde.
Kombinasyon Belli sayıda nesnenin, sıralama önemli olmaksızın kaç değişik şekilde sıralanabileceği, kombinasyonla hesaplanabilir. Permütasyondan farkı, diziliş sırasının veya yerinin önemli olmamasıdır. Örneğin; Ahmet, Mustafa ve Emre den oluşturulacak ikişerli gruplar: (Ahmet, Mustafa), (Ahmet, Emre), (Mustafa, Emre) şeklindedir.
Formülü : n: Olay sayısı r: Olaylarla kaçarlı gruplar oluşturulacağı Yukarıdaki örnek için kombinasyon formülü kullanılırsa
Yem üreticisi bir firma 10 farklı rasyon yem üretmektedir. Firma üreticiler için, her birinde 2 farklı yem rasyonu bulunan paketleri hazırlamak istemektedir. Bu paketler, kaç farklı şekilde hazırlanabilir?
Mini Sınav Bir bahçıvan dikeceği 5 çeşit ağacı, 20 çeşit ağaç arasından seçecektir. Bu seçim, kaç farklı şekilde yapılabilir?