TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

4 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4.. Mekez Eğlm Ölçüle 4... Atmetk Otalama 4... Ağılıklı Atmetk Otalama 4... Geometk Otalama 4..4. Hamok Otalama 4..5 Kuadatk Otalama 4..6. Medya 4..7. Katlle 4..8. Decle ve Pecetle 4..9. Mod 4.. Değşkelk Ölçüle 4... Vayas Ve Stadat Sapma: 4... Otalama Mutlak Sapma OMS 4... Nsp Vayasyo Ölçüle 4.. Asmet Ölçüle 4...Peaso Asmet Ölçüsü 4... Katllede Asmet Hesaplaması 4... Bowley Asmet Ölçüsü 4.4. Mometle

4.. Mekez Eğlm Ölçüle Taımlayıcı öek statstkle, öek vele kullaaak, bulada elde edle dağılışlaı sayısal olaak özetleye değeled. B ve gubuu taımlamak dğe tüm ve guplaıda ayıt edleblecek e az sayıda öek statstğ le yapılmalıdı. Bu statstkle e geel olaak elde edlmes sağlaya değele mometled. Taımlayıcı statstkle üç aa gupta toplaı,. Mekez eğlm ölçüle (ye ölçüle). Değşkelk ölçüle. Asmet ölçüle Bulada mekez eğlm ölçüle, b ve gubua lşk değşke tüm faklı değele etafıda topladığı mekez değeled. Ve setle mekez değele bellemey sağla. Çok çeştl ola otalamalada e öemlle: - Atmetk otalama (mea) - Ağılıklı atmetk otalama - Keslmş atmetk otalama (tacated mea) 4- Geometk otalama 5- Hamok otalama 6- Kuadatk otalama. 7- Medya 8- Katl (çeyek) 9- Setl - Mod Otalamala (aveages) başlıca k amaca hzmet edele: ) Hehag b öekte elde edle kattatf (sayısal) ve gubuu kısa açıklaması; ) İdek (dolaylı) olaak ve bell b doğuluk deecesde populasyou açıklamasıdı. Mekez Eğlm Ölçüle ( Ye Ölçüle) çesde, hesaplamalaıda vele tamamıı kullaıldığı veya vele tamamıı foksyou ola otalamala Atmetk Otalama Ağılıklı atmetk otalama Geometk Otalama Hamok Otalama Kuadatk Otalama Vele tamamıı hesaplamaya dahl olmadığı veya vele tamamıı foksyou olmaya otalamala se Keslmş atmetk otalama Medya Mod Katl Çeyek (/4) Setl (/) d.

Öek otalamalaı, populasyo otalamalaıı yakı tahmleycle (taktcle) olduğuda geelleştmeye müsattle ve böylece öek lmtle dışıda açıklamalaı yapılmasıa yaa. Kısa veya ekoomk şeklde açıklamayı ve daha öemls blmsel aaştımayı olaaklı kıla. 4... Atmetk Otalama Öek vele toplamıı öek hacme bölümüdü. N Populasyo hacm Öek hacm populasyo atmetk otalaması μ N N öek atmetk otalaması Gupladıılmış ve gupladıılmamış(sııflamış/sııflamamış) vele atmetk otalaması ayı ayı şekllede hesapladığı gb gupladıılmış vele atmetk otalamasıı hesaplamasıda da ayı souca vaa ayı yötem vadı. Bula; - Uzu metod - Ojal bmlele kısa metod - Sııf aalığı bmleyle kısa metoddu. Gupladıılmamış vele atmetk otalaması: + +... + μ ü tahmleycsd. Atmetk otalamaı özellkle: - Öek elemalaı otalama etafıda toplama eğlmded ya öeğ e y temsl ede tek b elemadı ve smet oluştua değed. - Atmetk otalamada sapmalaı toplamı sıfıdı. ( )

4 Sapma: Hehag b elemaı değede atmetk otalamaı veya b sabt çıkatılmasıdı. d ve d ( ) ( + +... + ) ( + +... + ) y y z + d a z + d a...... z + y d a z + y d a ΣzΣ(+y) a + d Σz/Σ/+Σy/ - Öek elemalaıı atmetk otalamada sapmalaı kaele toplamı mmumdu. ( ) m Atmetk otalamaı mekez eğlm ölçüsü kabul edlmes ede budu. 4- Öek değelede meydaa gele değşm çok küçük de olsa atmetk otalama bu değşmde etkle. 5- Vele tümüü b foksyoudu. 6- Öek gözlemle tümü a gb b sabt le çapılısa bu ye ve set atmetk otalaması da esk ve set atmetk otalamasıı a le çapımı kada değş. 7- Öek gözlemle tümü a gb b sabt le toplaısa bu ye ve set atmetk otalaması da esk ve set atmetk otalamasıı a le toplamı kada değş. 8- Atmetk otalama tüm vele hesaplama foksyou çde kullaması ede le güçlü b statstkt.

5 9- Atmetk otalama veledek uç değelede etklemes se bu statstğ zayıf yöüü oluştuu. Fekas velede atmetk otalamaı hesaplaış şekl -Uzu Metod: f f f La + Lü altlmt + üstlmt (sııf ota oktası) : Sııf Aalığı Öek : A9 A4 5 Sııfla f d -A L a L ü fekas f d f(-a) d fd 6 8 4-5 -4 - -6 7 7 9 5 - -7 6 5 4 5 5 5 7 9 8 6 4 4 5 5 Toplam f 7 f fd 55 fd ' - f.9 f 7 - Ojal bmlele kısa metot: A + fd f A: vasayımlı otalama (hehag b ) d: vasayımlı otalamalada sapmala d A 55 9 +.9 7 fd Düzeltme faktöüdü, vasayımlı otalamaya ekledğ zama atmetk f otalama buluu. -Sııf aalığı bmle le kısa metod: ' fd A +. 6-+5 f 4 +.5.9 7 ' d : sııflaı vasayımlı otalamalaıı çde buluduğu sııfta ye fakı (sapma) L L : sııf aalığı (sııf hacm) ( ) +

6 4... Ağılıklı Atmetk Otalama Gözlemle bell b ktee göe ağılıkladıılmış se ağılıklı atmetk otalama kullaılı. Ağılıklı atmetk otalama kullaılıke tüm gözlemle ağılıklaı eşt se atmetk otalama le ayı soucu ve. İde sayılaı hesaplamasıda, yüzdele otalamasıda çapımlaı otalamasıı alımasıda kullaılı. w Bast sele ç Fekas vele ç X w w w veya w w wf f + f +... Σf w / Σw f + f +... ˆ w... w f + f +... w w f + f +... wf Öek: B öğec w kedl, f adet deste otu almıştı. Bua göe ot otalamasıı hesaplayıız. W f 4 A(4) 4 9 B() A(4) 85 B() 4 4+ 4 +... + 49 w.77 75 C() 5 D() F() 6 C() 4 + 4 +... + 54 Öek: İstatstk Bölge Bmle Sııfladımasıa göe Tükye toplam bölgeye ayılmaktadı. Aşağıda bu bölgelee lşk yılı üfus ve kş başıa düşe GSYİH (YTL) mktalaı velmekted. Bu velede yola çıkaak Tükye geele lşk otalama kş başıa düşe GSYİH mktaıı buluuz. Toplam üfus ( mlyo) (w) w BÖLGE ADI GSYİH ( YTL) () Kuzeydoğu Aadolu..5.75 Otadoğu Aadolu..7 4.8 Güeydoğu Aadolu.4 6.6 9.4 4 İstabul.7. 7 5 Batı Mamaa.9.9 8.4 6 Ege. 8.9 7.59 7 Doğu Mamaa.9 5.7. 8 Batı Aadolu.8 6.4 7.9 9 Akdez.5 8.7.75 Ota Aadolu.9 4. 7.98 Batı Kaadez. 4.8.8 Doğu Kaadez.7. 5.7 TOPLAM 8.4 67.5 75.

7 Atmetk otalama le hesaplaısa:.+. +.4 +.7 +.9 +.+.9 +.8 +.5 +.9 +.+.7 8.4.67 Sakıca ed? Ağılıklı atmetk otalama le hesaplaısa: w (..5) + (..7) +... + (.7.).59.5 +.7 +... +. Keslmş Atmetk Otalama Vele çesde e büyük ve e küçük değele yaklaşık % 5 velede kopmuş olaak aşıı sapa değele çeyo ve bu değele vele doğal yapısıa çok uygu olmadığı kaaat va se, bu duumda vele e alt ve üst kısmıda % 5 lk kısmı atılaak ge kala kısmıı atmetk otalamasıı alıması le elde edle atmetk otalamadı. Öeğ, kşlk b sııfta deslee deva etmemş 5 yada 6 öğec va ve bu öğecle deslee sadece soulaı öğemek ç gelmşle se, söz kousu bu öğecle sıav otlaı ola sıfı değele ve setde çıkaılaak hesaplaa otalama sııfı geçek pefoması ola ot otalamasıı daha doğu açıkla. 4... Geometk Otalama Geometk dz şeklde atış ya da azalış göstee vele e y temsl ede mekez eğlm ölçüsüdü. Taım: Öek ve değele çapımıı, öek hacm deecesde köküe eştt. G..... Özellkle: - > olmalıdı. - Sedek değele he b yee geometk otalama koulduğuda se çapım soucu değşmez..4.8.6. 768 8.8.8.8.8 - Geometk otalamaı ojal gözlemle logatmk sapmalaı eştt. Bu özellkte dolayı otalama oalaa, değşme oalaıa, logatmk dağılmış şeklle uygulaı. Öeğ; fyat dekslede geometk otalama alamlı souçla ve. 4- Atmetk otalama geçekte sp ola değele yee mutlak değelemş gb b şleme bağlı tutulaak çok ata sp değele olduğuda fazla göste. Bu yüzde yukaı eğlmld. 5- Logatmk b dağılımda geometk otalamaı tech ede böyle b dağılımda mutlak sapmalaı değl acak mekez eğlm etafıda sp sapmalaı smetk olma eğlmd.

8 6- G < 7- * *... G G G 8- G bmle değele aasıdak oaa göe değe alı. 9- Uç değelede kada etklemez. -.... G - G altıdak ve üstüdek ojal gözlemle logatmk sapmalaı eştt. Dğe b deyşle, G değe gözlemle G de sp sapmalaıı degele. Bu özellk edeyle G, özellkle otalama oalaa, değşme oalaıa ve logatmk dağıla selee daha uygudu. Öeğ, fyat edeks. G G G < G > G Geometk otalamaı e yaalı olaak kullaıldığı alalada b de otalama değşklk oaıdı. Logatmalaı alımış değşkele teka ojal şekle döüştüülmüş otalamasıa geometk otalama de. Bast sede geometk otalama hesabı : G..... G (..... ) G..... log G log G at log log [ log + log +...log ]! g.... g.9.7 9 g 7 7.5.7..8..6,747, log g log,747, 6,4,898 7 7

9 Fekas selede geometk se hesaplaması: f f. f f N f ( ) f G Σ....... f f f f f G............ N ftae ftae ftae f N f f f N f f...... N f f log G [ f log + f log +... + f log ] f log Σf Σf G at log f log Σf Geometk otalamaı tech ede; geometk otalamada mekez eğlm (mutlak sapma değl) etafıdak sp sapmalaı smetk olma eğlm/özellğd. Bleşk Faz Fomülü P P + ( ) ( + ) ( + ) P P P P P P o log( + ) log P log P o f log g log(... N ( f log + f log N f log N P başlagıç mktaı faz oaı yıl (faz döem) P yıl soak meblağ ( + ) ( ) P P P P +

P P + Öek: yılda $, 5$ a atmıştı. Yıllık otalama atış yüzdes ed? %5 gb gözükse de bu otalama % atışı doğu değld. otalama atış yüzdes göstemekted Başlagıç yıl soa +(+ yıl soa (+)+ (+)(+) yıl soa (+) +(+) (+) 5 + 5 5 P P + ( ) Öek: ( ) Fmal baz yıl 945 945 955 945 955 A malı 5 B malı 5 5 fyatla % atmış yalış ot. A % atmış, B %5 düşmüş G *5 4..4. Hamok Otalama Taım: Gözlemle tesle atmetk otalamasıı tesd. Se tüm elemalaı bbe eşt olmadıkça > G > H bağıtısı mevcuttu. Eğe... se G H olu. Hamok otalama küçük değelede çok, büyük değelede az etkle. Hamok otalama aşağı eğmld. H.O da > olmalıdı. H + +... veya H

H.O bell koşulla altıda ve bell fyat tple altıda zama sele otalamak ç kullaılı. Uygulamada sabt ve değşke bmle vadı. Zama sabt üetm değşke olduğuda, eşt zama peyodlaıdak üetm otalaması ç kullaılı. Öeğ; bmlk mal A kşs taafıda dk da ve ye bmlk mal B kşs taafıda dk da üetlyosa mal mktaı sabt, zama değşked. Otalaması alıa değşked ya zamadı.. H + 4 dk da kg mal (ot.) üetlmekted Uçakla 4 km, tele 6 km(57km) 48 H. O 4km / h 46 46 + 4 6 4 Üetm bm sabt, malyet değşke olduğuda bm başıa otalama malyet ç HO kullaılı. Öeğ b kş. makette klo meyveye la, dğe makette aldığı 4 klo meyveye la öde ve. makette 5 klo meyveye la ödese, meyvele otalama fyatı HO dı. HO.5la + + 4 5 Bu öek ağılıklı atmetk otalama le de hesapladığıda ayı doğu soucu ve. Hamok Otalama uygulama yele Zama bm başıa hız Paa bm başıa satı alıa bm sayısı h,4,9 h. 48 + + 5 9 Öek: A ve B gb k şeh aasıda km lk b yol vadı. B otomobll yolu lk yaısıı km/saat hızla gdyo. Dğe yaısıı 4 km/saat hızla gdyo. Hız otalaması ed? v otalama hız ; t geçe zama ; d alıa yol dv*t d vt. vt. t : Yolu lk yaısıda geçe zama t : Yolu kc yaısıda geçe zama

Buada d d/ A M B d t ve t d v v d vt t t+ t. + + v v v v yazılı. Böylece hız otalaması d vt v 4.8 t vt + + + v 4 v v v otalama Hamok 4..5 Kuadatk Otalama Taım: Gözlemle kaele atmetk otalamasıı köküdü. Stadat sapmaı hesaplamasıda kullaılı. Otalama değele otalamasıda kullaılmaz. K > > G > H bağıtısı vadı. K 4..6. Medya ( ) ab a b + Büyüklük sıası le dzlmş b dz e otadak elemaıı değed. + Öek hacm tek se c elema değe Öek hacm çft se ve + c elemalaı atmetk otalamasıdı. Medyaı e öeml özellğ: Elemalaı medyada mutlak sapmalaı toplamı mmumdu. med m.

Medya ı Dğe Özellkle ) Bm sayısıdak değşmelede etkle, uç değelede etklemez. ) Medyaı stadat hatası, atmetk otalamaıkde daha büyüktü. Uygulama yele: gel dağılımı, ücet dağılımı gb değece tam otada ye ala değele blmesde patk yaa ola duumlada tech edl. Bast selede medya hesabı Öek: tek se 6 medya çft se 5 9 5 9 + medya Medya; ütbele, ücetle, bçmde bellemş gözlemle açıklamasıda alam taşı. Sgota hadle geellkle medyaladı. Ulaşım souuda mekez ye olaak medyala seçl. ) Medya vele tümüü kullamaya ve tümüde etklemeye b statstk. Özellkle uç değelede etklemez, daha çok otaca değelede etkle. Tüm vele b foksyou olmaması açısıda zayıf b statstk olmasıı sağla, dğe taafta uç değelede etklememes se bazı açılada güçlü b özellkt. Fekas (Sııfladıılmış) velede medya hesaplaması: -İtepolasyo (atmetk) metot: Medya değe çde buludua sııfa medya sııfı de. Medyaı geçek değe bulmak ç, medya sııfıda alt sııf lmtlede medya oktasıa kada dağılmış fekaslaı, medya sııfıdak tüm fekaslaa oaı tay edl. Σf / Σf Σf Medya L +. L + ( Σf ) fmed f Σf fekaslaı toplamı Lmedya sııfıı alt lmt (Σf / ' y geçe lk sııfı alt lmt) f med medya sııfı fekası Σf medyada öcek fekaslaı kümülatf toplamı sııf aalığı med İtepolasyo metodu vele süekl ve se elemalaıı sııf aalıklaıda eşt dağıldığı vasayımıa dayadıılı. Veya sııf aalığı olaak medya sııfı aalığı kullaılı. Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

4 Öek: Sııfla F. f Σ f Σf -5 6-8 5 5 9-5 6 5-4 5 7 5-7 4 5 8-8 8-8 8 5 4-6 f Σf ( Σ f ) medya L + fmedya / - Medya : 5 +. 5.75 4 Sııf aalığıı bellemes Tüm sııflada sııf aalıklaı eşt olabl veya olmayabl. Medya sııfı a. Sııfla Lü-La+e küçük ölçüm aalığı - 5 5-+ (+ hassasyet bm) 6 - - 5 6 - b. sııfla. 5.9 5.9-.+. (+. hassasyet bm) 6.,9. 5.9 6.. c. sııfla. 5.99 5,99-.+. (+. hassasyet bm) 6..99. 5.99 6.. d. sııfla 5 de az (4) 4-+ (+ hassasyet bm) 5 da az (9) 5 de az (4) e. Sııfla. 5. da az (4.9) 4.9-.+. (+. hassasyet bm) 5.. da az (9.9) Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

5 -Gafk (geometk) metotla medyaı buluması: f 8 8 5 f 5 6 5 6 9 5 8 4 7 alt lmtle Gafk : de daha az eğs 5 Pof. D. Levet ŞENYAY 5 V- İstatstk I

6 f 5 5 7 f 5 8 6 5 8 4 7 6 5 üst lmtle Gafk : de daha çok eğs f ve f Medya sııf lmtle Gafk : de daha az ve de daha çok eğle blkte çzldğ gafk Pof. D. Levet ŞENYAY 6 V- İstatstk I

7 4..7. Katlle ( Q) kuateçeyek Ve set yüzdelk olaak döt eşt paçaya ayıa okta sıasıyla Q, Q, Q olaak göstel. %5 %5 %5 e alt çeyek alt-ota çeyek üst-ota çeyek Q Q Q %5 e üst çeyek Q Q Q f 4 f L+ f θ f f Medya L + fθ f 4 f L + f θ Öek: B mağazada b gülük satış tutalaı ve alışveş yapa müşte sayısı aşağıdak gb sııflamıştı. Satış Müş. f Mktaı Sayısı - 8 4 9-7 8 8 Q 8-6 Q 7-5 8 58 Q 6-44 8 76 4 45-5 4 9 49 54-6 58 f 4 f Q L f θ L kümlatf fekas ¼ ü geçe sııfı alt lmt f Q ' de b öcek sııfa kada f toplamı Q sııf fekası θ + f Pof. D. Levet ŞENYAY 7 V- İstatstk I

8 sııf aalığı 5 8 Q 8 + 9.5 Q f f Medya L + f θ 5 Q 7 + 9.4 8 Q f 4 f L+ f θ Lkümlatf fekası ¾ ü geçe lk sııfı alt lmt f Q ' de b öcek sııfa kada f. Toplamı f θ Q sııfı fekası 75 58 Q 6 + 9 44.5 8 4..8. Decle ve Pecetle Decle b dağılımı eşt paçaya böle ve 9 tae decl vadı, Pecetle se b dağılımı eşt paçaya böle 99 taed. Bast ve fekas selede hesaplaışlaı medya veya katl hesaplamalaıa beze şeklded. age pecetle %7 % 7. pecetle 4..9. Mod Dağılımı e çok teka ede değed. Mod u özellğ sede e yüksek olasılıklı b elema oluşudu. Halk dlde otalama olaak e çok kullaıla mod du. Bde fazla değe ayı fekasa sahp olduğuda tek b mod saptaması olaaksızdı. Kesksz sede değele bb süekl bçmde zledklede, vele gupladıılmadıkça mod dye b elema olmayablecektı. Keskl vele duumuda Pof. D. Levet ŞENYAY 8 V- İstatstk I

9 ble bde fazla tekalamaya değelele kaşılaşılabl, bu duumda da tab mod yoktu. (öeğ şeh üfuslaı). a. Bast seede mod hesabı,,5, mod değe Mod tüm vele b foksyou olmaya b statstk, ya tüm velede etklemez. b. Fekas (Sııfladıılmış) Velede Mod u Hesaplaması: -)İtepolasyo (atmetk ) metot: Δ Mod L + Δ + Δ. Lmod sııfıı alt lmt İ sııf aalığı Δ modal sııf fekası le pemodal(mödda b öcek) sııf fekası aasıdak mutlak fak Δ modal sııf fekası le postmodal(modda b soak) sııf fekası aasıdak mutlak fak Pof. D. Levet ŞENYAY 9 V- İstatstk I

Δ Δ Δ + Δ Δ Δ L + Δ + Δ Δ mode Δ L / / Öek: sııfla fekasla -5 6-8 5 9-5 pemodal sııf -4 5 mod sııfı 5-7 4 postmodel sııf 8- - 8 4-6 ( ) ( ) ( ) 5 5 Mod +.8 5 5 + 5 4-55 Veya 5-+5 Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

-)Gafk(Geometk ) Metodu F. 5 4 5 9 MOD 5 alt lmt -)Deel (Ampk) Metot Bu metod asmetk dağılımlada atmetk otalama le mod aasıdak uzaklığı, atmetk otalama le medya aasıdak aasıdak uzaklığı katı olduğu vasayımıa dayaı. Fazla güvel b soucu he zama vemeyebl. ( medya) mod * vasayıla eştlk Tek modlu fekas eğlede, modeate asmet halde aşağıdak deeysel lşk vadı. Mod Medya Smetk dağılışlada se; mod medya dağılımıda(+)asmet vasa > medya > mod dağılımıda(-)asmet vasa < medya < mod Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

(+) Asmet (-) Asmet mod med med mod med5 mod * ( med ) 5. mod.8 ve göüldüğü gb (+) asmetk b dağılımdı. > med > mod Bu vasayım ota deecede asmetk b dağılımda söz kousudu çükü; ota deecede b asmetk dağılımda medya, mod a oala otalamada üçte b kada uzakta buluup asmetk dağılımda, mod, ve medyaı bbde uzaklaşma ede, mod dağılımıı e yüksek odatıdı, medya se dağılımı k eşt paçaya ayıacağıda uzu ola taafa gde, otalama se uç (etamum) değelede çok etkledğ ç küçük değele yöüe doğu medyada daha uzaklaşı. Elemete mod hesaplama metodlaıı ayı souç vemes bekledğde, sey açıklama kousuda seçlecek mod değele hakkıda aaştımacı ked yagılamasıı kullamalıdı. Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

ÖRNEK: B doğu üzede bbe btşk k doğu paçasıı uzuluklaı a ve b olsu. Bu k doğu paçası çap olmak üzee b yaım çembe çzelm. Çembe yaıçapıı a ve b atmetk otalaması olduğuu ve dk h uzuluğuu bulaı geometk otalaması olduğuu göstez. h y a b a+ b a+ b atmetk otalama a + h. psago +. b h y psago + ( + ). y a b psago + + + + h a b h a b ab ab h ab ab geometk otalama Öek: B köydek çftç döüme buğday vemle ve sahp olduklaı buğday aazle aşağıda velmşt. Çftç No 4 5 6 7 8 9 Vem (kg/dö) 5 4 5 95 75 75 Aaz(dö) 5 5 5 5 7 Sadece vem dkkate alıdığıda atmetk otalama : 89 89 kg / dö Ağılıkla (aaz) dkkate alıdığıda se ağılıklı atmetk otalama : w 5.5 + 4.5 +... + 75. +. 55 78.6458 kg / dö 5 + 5 +... + + 9 Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

4 Göüldüğü gb ağılıklı otalama, atmetk otalamada daha küçüktü. w < Buu alamı; yüksek vem elde ede çftçle aazle spete daha küçüktü. 4.. Değşkelk Ölçüle Taımlayıcı statstklede mekez eğlm ölçüle vele öeml b çok özellğ açıklamasıa ağme, ve gubuu dğelede tam olaak ayıacak şeklde tam olaak açıklayamaz. Bu eksklk vele öcelkle değşkelk faklılığıda gel ve so olaak da asmet yapılaıı faklılıklaıda meydaa gel. Dğe b deyşle, ayı mekez eğlm değelee sahp ola faklı vele olabl ve bu faklılık ya değşkelk değelede veya asmet değelede ya da hem değşkelk hem de asmet değele faklılığıda kayaklaabl. 7 8 5 4 Yukaıdak k dağılım ayı aglı (ve yayılımlı) fakat ayı otalamalı k dağılımdı. 8- lmtle aasıdak dağılım homoge (tüdeş) 7-4 lmtle aasıdak dağılım hetooge (ayı tü) dağılımladı. RANG: Üst lmt - Alt lmt + (+ hassasyet bm) Yukaıdak dağılımlaı aglaı -8+5 dğe se 4-7+7 d. Vayasyo, yaygılık mktaıı ; asmet se smet bozulma mktaıı belle. Değşkelk (yaygılık) deeces göstee taımlayıcı statstkle Bu gupta ye ala değşkelk statstkle, tek b değee dayalı statstkled. Dğe b değşkelk statstkle gubu se bu tek değee dayalı değşkelk statstkle b blee değşk şekllede oalaı olaak fade edle ve youmlaa değşkelk statstkled. -) Toplam ag Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

5 -) Katlle aası ag -) Yaı katlle aası ag 4-)Stadat sapma σ 5-)Otalama sapma(a.d) Nsp vayasyo (oalaa değşkelk) ölçüle -) Vayasyo katsayısı -) Otalama sapma katsayısı -) Katl sapma katsayısı Asmet mktaı se ( mod) da buluu. Dağılımla Aasıda Dklk ya da Basıklık Ölçüsü lepta kutk(fazla dk) mezo kutk (ota dklk) plat kutk (yatk tepel) Kutossle Katlle Aası Rag Q Q 44,5,5, 5 Q Q,5 Yaı Katlle Aası Rag Q.D, 6 Q.D (yaı katlle aası ag) çok küçük se mekez elemalaı ufak vayasa sahp olduğu alaşılı, ya da çok yüksek deecede tek düze olduğu alaşılı. Q QD acak dağılımı %5 e yakı b agı kapsa.,4.,6,8-44,6 dağılımı %5 s. 4... Vayas Ve Stadat Sapma: Atmetk otalamada sapmalaı kaele atmetk otalamasıı kae köküe stadat sapma adı vel.stadat sapmaı kaese vayas de. B alada sapma kaele otalamasıdı. Pof. D. Levet ŞENYAY 5 V- İstatstk I

6 S Öek stadat sapması σ Populasyo stadat sapması S Öek vayası σ populasyo vayas Bast selede stadat sapmaı hesaplaışı ( ) ( ) σ N N N N Açıklama : + + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) σ + + Populasyo stadat sapması σ ( μ) N Öek stadat sapması S ( ) Fekas velede Stadat Sapmaı hesaplaması: Pof. D. Levet ŞENYAY 6 V- İstatstk I

7 S f f f f ( ) f ( f f f ( f) f f f) f f f + ( + f f f f) f f + f f f veya S. fd ( f fd) f şeklde daha küçük sayısal değele le hesaplaabl, buada sııf aalığı ve d (vasayımlı) otalamada pozsyo fakıı göstemekted. Öek: Sııfla Fekas f f -5 9 6-5 8 96-5 5 455 595 6-5 8 9 6-5 4 9 6 6-8 84 5-5 8 94 49 6-4 8 86 768 55 5 Pof. D. Levet ŞENYAY 7 V- İstatstk I

8 S (55) 5 9 88.7 9.4 %68.7 %95.45 %99.7 -σ -σ -σ μ σ σ σ σ gözlemle %68 σ gözlemle %95 σ gözlemle %99 uu kapsa. Öek: A ve B malı 4. 4. S.45.959 A B 4. A malı daha homojed. Bu edele Amalıı kaltes B malıı kaltesde yüksekt. 4... Otalama Mutlak Sapma OMS (Aveage Devıatıo - AD): Otalama sapma da de. O.M.S. veya med O.M.S.> Pof. D. Levet ŞENYAY 8 V- İstatstk I

9 Fekas dağılımıda hesaplaması f f med O.M.S. f veya f Odalık kesle va se büyük öeklede kullaılı. Nomal dağılımda A.D. agı se elemalaıı %57,5 kapsa. A.D. küçük se ve dağılımı çok sıkışık ya da tek düze olduğu alaşılı. f,9 O.M.S., veya f f med 44,88 O.M.S., 45 f OM.. S. %57,5 d.,6,, 44,98 veya,4,45,98 45,88 pesoel yıllık ücetle otalama mutlak sapması $ μ 5$ μ μ 45 8-8 8 9-6 6 6 5 5 4 6 6 8 5 - O.M.S88/787$ Bu ölçü yaygılık belt ve stadat sapmaya göe üstülüğü vadı. ) youmlaa (kavam/mutlak) daha kolay ) σ, σ uç değelede çok etkle. Pof. D. Levet ŞENYAY 9 V- İstatstk I

4... Nsp Vayasyo Ölçüle S -Vayasyo Katsayısı: V souç yüzdes azaldıkça tek düzelk ata. S V * % ( ) şeklde bulua souçlada; ayı kouda yapılmış başka aaştıma souçlaıı kaşılaştımaya yaa. % le azaldıkça aaştımaı hassasyet ata. Aks duumda azalı, ya üstü köü b çalışma deebl. S 5.45 6 V. 47 f. 6.6 f - Otalama Sapma Katsayısı: V oms OMS.,8.6 -Katl Sapma Katsayısı: V q Q Q Q + Q Dağılımı uçlaı açık olduğu zama ya da uç değele buluduğuda ve dağılım çabuk b youmu stedğde dağılma ölçüsüü le b hesaplama ya da başka b maksatla kullaılmasıda geek olmadığıda kullaılı. V q 44.5.5.5, 44.5 +.5 67.75 4.. Asmet Ölçüle İk dağılımı ve S S olduğu haldek asmetle faklı olabl. İstatstk teos geellkle omal dağılış vasayımıa dayadııldığıda asmet öem kazamıştı. 4...Peaso Asmet Ölçüsü S kp mod S [ ( med )] ( med ) S S,6,54 6 S kp,5 Mod 7 + *9, 54 5,45 6 + Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

4... Katllede Asmet Hesaplaması Q Q > Q (+) asmet Q Q Q Q < Q Q Q Q Q (-) asmet () asmet yok 4... Bowley Asmet Ölçüsü S kb ( Q med) ( med Q ) Q + Q Q Q Q S kb Q Q 67,75,4,5 ( ),4 (+) asmet mod < med < (-) asmet < med < mod Bo ad-whske Göstemle Bo ad whske göstemlede e uç k ve le blkte üç katl de gösteeblz. Bu göstemlede kutu yatay veya dkey olaak göstelebl ve sol çzg 5 oaıda alt katl ve sağ çzg 75 oaıdak üst katl çe Whske he k ucudak değele Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

e uç oktaladı. Öek hacm e az 5 veya olduğu büyük ve setlede, whskele e uç değele yee yüzde veya 9 veya 5 veya 95 oalaıa ulaşı. Bo ad whske göstem le mmum, lk katl, üçücü katl, medya, mamum değele ve çapıklık yada smet göülebl. %5 %5 %5 %5 Fal Sıavı Souçlaı.yıl.yıl 4.yıl.yıl.yıl 4.yıl 47 56 4 Q 57 6 55 5 59 48 Q 7 76 78 5 59 5 Q 8 8 85 57 6 55 6 67 6 64 69 67 69 7 7 7 76 78 7 76 8 7 8 8 78 8 8 8 8 85 8 84 89 86 9 9 9 94 97 Bo Plot, Amout 8, 6, Q Q Q 4, C C C Vaables Öekle Kaşılaştıılması Vele aalzde kaşıla duumlada e öemls faklı populasyolada elde edle k veya daha fazla öeğ kaşılaştıılması poblemd. Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

Öek: A 7,6 8,,8 9, 8 9,4,4 9,9,7,7, 9,6 B,4 8,,5 7,8 6,7 6,8 5,6,7 6,9,,5 8,9 4, Bo Plot 8, Amout 6,7 5, A Vaables B Quatle-quatle (q-q plot) B 4 A Pof. D. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

4 Öek:,5 İstedğde pecetle ve katlle de ( ),,,..., bu göstemde kullaılabl. Eğm b ola ojde geçe çzg kaşılaştımaya yadımcı olu. Eğe tüm oktala bu 45 deecelk çzg üzede sele o zama k öek aasıda tümüyle hçb fak yoktu; özellkle mekezle ve geşlkle ayıdı. Eğe tüm oktala bu çzg altıda se esk öektek katlle yeye oala daha büyüktü. Başka b değşle, eğe bütü oktala bu çzg üstüde se ye öek eskse oala daha büyüktü. Bu bo ad whske dyagamıda çıkadığımız ayı souçtu. Quatle-quatle q-q plotuda k dağılımı yayılımı hakkıda da blg edeblz. Eğe plot edle oktala de büyük b eğm le atıyosa bu yatay eksede plot edle öeğ dkey eksede plot edle öeğe azaa daha az yayıldığıı göste. Öek: Dağılımla A B 9 medya 9 8 S He k dağılımı a) Stadat sapması ayı olduğu ç vayasyolaı ayıdı. b) Asmetle S kb ( med) S A ı ( 9) S kb B S kb ( 9 8) Öek: A malı B malı At.Ot. Ömü 4 5 Medya Ömü 5 4 mod ( med) A ç mod medya (5)-(4)5 B ç mod medya (4)-(5)5 A ı kaltes B de daha düşük Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

5 mod < med < Mod< 5< 4 < med < mod 5<4<mod Pof. D. Levet ŞENYAY 5 V- İstatstk I

6 4.4. Mometle B dağılımı momet lgl tesadüf değşke çeştl kuvvetle beklee değed. Mometle üç gupta celeebl:. Oje goe mometle.. Atmetk otalamaya goe mometle. Heheg b a oktasıa goe mometle Oje göe mometle: Bulaa sıfıa veya başlagıç oktasıa goe mometle de de. Süekl veya keskl b tesadüf değşke sıfı le fakıı kuvvetle beklee değee o tesadüf degşke oje göe mometle de. Oje göe c momet m veya Pof. D. Levet ŞENYAY 6 V- İstatstk I ' μ le göstel. momet deeces olup μ d. ',, degele alabl. Oje göe c momet E[ ] foksyouu beklee değee tesadüf değşke sıfıa göe c deecede momet de. Bast sede. Momet,, E( ) ( ) + +... + + + 5 + 9 Öek: :,,5,9 4. 75 9. 75 4 + + 5 4 Fekas sesde. momet + 9 ( ) f f E( ) f f.5 ' keskl tesadüf değşke se E( ) μ f ( ) + ' süekl tesadüf değşke se E( ) μ f ( ) ( ) E ( μ) [ μ] μ E + E ( ) μ d μ μ μ

7 μ μ μ μ μ μ + μ μ ( μ ) μ μ μ μ μ + μμ + μ μ μ ve μ μ + μ ( ) E( ) [ ] va( ) [ E( ) ] E( ) E + va( ) Oje göe bazı mometle hesaplaması: Oje göe sıfııcı momet d. ç ' keskl se μ f ( ) f ( ) f ( ) + ' süekl se μ f ( ) d f ( ) d f ( ) + d Oje göe bc momet atmetk otalamadı. ç keskl se; μ f f ( ) E( ) ' + süekl se; μ f ( ) d f ( ) d E( ) ' + Atmetk otalama b tesadüf değşke sıfıa göe bc mometd. + Oje göe kc momet ç; ' keskl se μ f ( ) f ( ) E( ) Pof. D. Levet ŞENYAY 7 V- İstatstk I

8 + + ' süekl se; μ f ( ) d f ( ) d E( ) Oje goe üçücü momet ç ' keskl se μ f ( ) f ( ) E( ) + + ' süekl se ; μ f ( ) d f ( ) d E( ) Sıfıa goe c momet ' keskl se ; μ f ( ) E( ) süekl se; ' μ + f ()E() Hehagb a oktasıa göe mometle: B tesadüf degşke hehagb a oktasıa goe momet o tesadüf değşke a le fakıı kuvvetle beklee deged. μ le göstel. Hehag b a oktasıa göe momet Bast sede. momet, ( ) ( ) a E a μ Fekas sesde. momet, ( ) ( ) f a E a μ f Keskl değşke değşke. momet E ( a) μ ( a) f ( ) Süekl değşke değşke. momet E ( a) μ ( a) f ( ) Teoem: E( μ ) E( a ) μ [ ] E a keskl se; μ [ a] f ( ) μ + [ ] a f ( ) d Pof. D. Levet ŞENYAY 8 V- İstatstk I d

9 Bua mekez mometlede de statstkte fekas dağılımlaıı şekl bellemesde kullaılıla. Atmetk otalamaya göe mometle: μ veya m şeklde göstel. Bulaa kısaca otalamaya goe mometlede de. B tesadüf değşke atmetk otalamada sapmasıı kuvvetle beklee değe olup; μ [ ] E μ şeklde göstel. μ μ f keskl se; ( ) ( ) + süekl se; μ ( μ) f ( ) d Atmetk otalamaya göe bazı mometlee öekle:. Atmetk Otalamaya göe momet Bast sede. momet,,... ( ) ( ) E μ μ Öek: :,, 5, 5 μ 6 ( 6) + ( 6) + ( 5 6) + ( 5 6) μ 4 ( ) ( ) ( 6) + ( 6) + ( 5 6) + ( 5 6) μ Fekas sesde. momet 4 9 E ( μ ) μ f ( ) f Keskl değşke değşke. momet E ( μ ) μ ( μ) f ( ) Süekl değşke değşke. momet Pof. D. Levet ŞENYAY 9 V- İstatstk I

4 E ( μ ) μ ( μ) f ( ) Atmetk otalamaya goe sıfııcı momet d. μ μ f f d keskl se; ( ) ( ) ( ) + + süekl se; μ ( μ) f ( ) d f ( ) d Atmetk otalamaya goe ve oje goe tesadüf değşke bc deecede momet e eştt. Atmetk otalamaya bc deecede momet sıfıdı. keskl se; μ ( μ) f ( ) f ( ) μ f ( ) E ( ) μ μ μ + süekl se; ( μ) f ( ) d f ( ) d μ f ( ) μ + d E ( ) μ μ μ Bmle atmetk otalamada faklaıı toplamı sıfıdı. Atmetk otalamaya goe kc deecede momet vayastı. μ f keskl se ( μ) ( ) f ( ) μ f ( ) + μ f ( ) μ E μ + μ E μ E E V ( ) ( ) ( ) ( ) + μ süekl se μ ( ) f ( ) d + + + ( ) ( ) p( ) d μ f ( ) d + μ f ( ) E ( ) μ + μ E ( ) μ E( ) ( E( ) ) V ( ) tesadüf değşke atmetk otalamaya goe kc deecede momet vayastı. tesadüf değşke oje goe kc deecede momet le bc deecede momet kaes aasıdak fak da vayası ve. ' ' μ μ V : ( ) ( ) μ' ( μ) μ f() çapıklık ölçüsüdü. ( μ) 4 μ f() basıklık ölçüsüde kullaılı. 4 ( a + b) a b + d Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

4 E ( μ ) E ( ) ( ) μ μ μ ( ) E μ E E ( ) μ ( μ ) ( μ ) ( μ ) μ ( μ ) ( μ ) μ ( μ ) ( μ ) μ μ + μ μ + μ μ μ ( ) ( ) μ + μ μ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μ E ( ) E( ) [ ] Va() TEOREM:Atmetk otalamaya goe kc deecede momet dama hehag b a oktasıa goe kc deecede momette küçük ve ya eştt.bua vayası mmum olma özellğ de. E[ ( μ )] E[ ( a) ] E a s ele alalım. [( ) ] 4 4 μ 4 5 ( ) ( ) d veya μ4 μ4 4μ μ 6μ μ μ 4 6 + ( )( ) + ( ) ( ) ( ), 77 5 7 5 9 5 Mometlee Dayaa Asmet Ölçüle B fekas dağılımıı göstedğ smetde ayılış deecese asmetklk veya çapıklık de. Nomal b bölüüm eğs ça şeklded ve otalama etafıda smetkt. Çapık bölüümlede se eğ ça şekl bozulup mod a göe sağa veya sola uzamala göülü. Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

4 B dağılımı çapıklığıı göstee ölçütle gelştlmşt. Bula değşkele ölçme bmlede bağımsız olup, smetk ola duumlada sıfıa eştt. Mometlee dayaa çapıklık ölçülede fekas dağılımlaı blmede olasılık foksyolaı velmşke, dağılımlaı çapıklık deeces öğelmş oluu.mometlee dayaa Asmet(çapıklık) Ölçüle -) μ atmetk otalamaya göe üçücü deecede momet b çapıklık ölçüsüdü μ smetk duumlada μ > eğ sağa çapık se μ < eğ sola çapık se Acak çapıklık ölçüsü olaak μ ü kullaılması bazı sakıcala doğuabl. μ ke de baze eğ smetk olmayabl. Bu da eğ şekl hakkıda yaıltıcı blgle veebl. Buu ede fazla uç değele atmetk otalamayı su olaak yükseltp düşümesd. μ > ke çoğu değe atmetk otalamaı altıdadı. Acak dağılımda bulua büyük uç değele atmetk otalamayı büyütü acak mod u etkleyemez. Bu duumda atmetk otalama le mod aasıdak fak poztf olaak büyü. μ < ke bmle çoğu atmetk otalamaı üzeded. Acak bazı küçük uç değele atmetk otalamayı küçültüle acak mod u etkleyemezle. Bu duumda atmetk otalama le mod aasıdak fak egatf olaak büyü ( μ -mod) μ de meydaa gele bu değşme hesabıda kullaıldığı ç μ ü de etkleyp yaıltıcı souçla veebl. -) β ve Y ÖLÇÜTLERİ: Kal Peaso taafıda gelştle β katsayısı b dağılımı çapıklığıı alamak ç kullaılı. Tek modlu dağılımla ç geçeld. μ β μ β se dağılım smetkt ya omal dağılımdı. Asmetk b dağılımda se β dama poztft. Bu da asmet yöüü tay etmeye mka vemez. İste poztf stese egatf asmet olsu μ dama poztf ve payda da ye ala vayasda egatf olamayacağıda dolayı β dama poztft ve çapıklığı yöü hakkıda b blg vemez. Buu ç R.A.Fshe taafıda le süüle ve β kaeköküe eşt ola Y ölçütü kullaılı μ μ μ μ μ 6 Y β μ Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

4 omal b dağılımda Y olu Y > eğ sağa çapık se Y < eğ sola çapık se β > Y < β Y β > Y > -) Çapıklık ç dğe b fomül se; S k β ( β + ) [5β 6β 9] S k se dağılım smetkt μ olduğuda β ve dolayısıyla olacaktı -Mometlee dayaa basıklık ölçüle- Pof. D. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I S k da sıfı B dağılımda tepe oktasıı ya mod u ye de çok öemld. B fekas dağılımı eğs tepe oktası eğs ya mod u ayı atmetk otalama ve stadat sapmaya sahp omal b bölüümü tepe oktasıa ya mod ua göe daha aşağıda veya yukaıda bulumasıa basıklık fakı de.eğe b eğ tepe oktası omal b dağılımı tepe oktasıda daha yüksek se omale göe sv b eğ, daha alçak se omale göe basık b eğ de. Sv b eğde atmetk otalama etafıda yoğulaşma daha fazla olu. Basıklık fakıı ölçe ölçülee basıklıkölçüle de. -Basıklık ölçüle- -)Peaso basıklık katsayısı:kal peaso basıklık ölçüsü β olup bua peaso basıklık katsayısı da de μ 4 μ 4 β 4 μ 6 β omal b eğ β < dağılım omale göe basık β > dağılım omale göe sv -)Fsche basıklık katsayısı:r.a. Fshe e göe basıklık ölçüsü Y olup bua Fsche basıklık katsayısıda de.

44 μ 4 μ 4 Y β Y μ 6 4 omal b eğ Y > Y < se dağılım svd se dağılım basıktı Pof. D. Levet ŞENYAY 44 V- İstatstk I