İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

Transkript

1 Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ

2 Deetleyele: D. Bilyaa Kısteska, UKİM, PMF öğetim göevlisi, Üskü- başka, Lidiya Kuzmaovska, ofesö - ÜBOO,,Laza Taev, Üskü, üye ve Lyubitsa Dimitova, ofesö - SOU,,Gyoşo Viketiev, Koçaa, üye Yayıcı: Makedoya Cumhuiyeti Eğitim ve Bilim Bakalığı Basımevi: Gafiçki Ceta Ltd., Üskü Tiaz: 50 Makedoya Cumhuiyeti Eğitim Bakalığı N / ve taihli kaaıyla işbu kitabı kullaılmasıa izi veilmişti. CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека Св.Климент Охридски, Скопје 5. (075.3) МАТЕМАТИКА за економисти за lv година на четиригодишното стручно образование: економско-правна струка економски техничар / Костадин Тренчевски... [ и др.]. - Скопје: Министерство за образование и наука на Република Македонија, 0, - 68 стр.: граф. прикази; 9 см Автори: Костадин Тренчевски, Анета Гацовска, Надица Иванова, Јованка Тренчева Смилески ISBN Тренчевски, Костадин [автор] COBISS.MK-ID

3 Ö s ö z İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK kitabı, döt yıllık mesleki eğitimi dödücü sııfıa ait zoulu des olaak matematik desii la ve ogamı üzee hazılamıştı. İktisat hukuku ve ticaet mesleki desi la ve ogamıa göe eğitim göe öğecile içi ögöülmüştü. Amaç, okuyucuyu bi yada iktisatta geekli bazı matematiksel yötemlele taıştımak, öte yada da matematiksel düşümeye alıştıaak doğuda matematik kitalaıda yaalaabili duuma gelmesie yadım etmekti. Kita, döt bölümde ibaetti. Ele alıa koulaı daha iyi ve kolay beimsemek içi he bölümü souda çeşitli düzeylede çözülmüş öekle, alıştımala ve çizimle veilmişti. He des biimii souda, des esasıda ya da evde öğecilei kedi başıa çalışmalaı içi alıştımala veilmişti. Kitabı souda, alıştımalaı çözümlei, bazılaıı ise çözümü içi tavsiyele veilmişti. Biici bölümde Dizile kousu icelemişti. Bu koudaki malzemeyi öğemekle, eel sayılı dizile hakkıda daha kasamlı bilgile edieceksiiz. Buada özellikle aitmetik ve geometik dizileie, olaı geel teimie ve ilk -teimii tolamıa ait fomüllee daha fazla öem veilmişti. Bileşik faiz hesabı adıda veilmiş ola ikici bölüm,ilede buu i/i kısaltmasıyla işaetleyeceğiz, öğecii basit faiz hesabı hakkıda bilgileii yoklamasıa ve bileşik faiz kavamıı öğemesie olaak sağlamaktadı. Döem başı (Atisiatif) ve döem sou (dekuzif) faizleme kavamlaı icelei ve buula öğeci faiz oaıı, faiz miktaıı ve faiz süesii asıl hesaladığıı öğeecekti. İkici bölüm Kıymetli metalle aala ve dövizle başlığı altıda veilmişti. Bu kouu içeiğii öğemekle, kıymetli metalle hakkıda bilgilei geişletilmesii, olaı aılık deecesii asıl hesaladığıı ve hesalama tekikleii öğemeye olaak sağlamaktadı. Buda başka aa ve dövizle hakkıda geiş bilgile veilmiş, özellikle dövizlei satı ve alımı vugulamıştı. Üçücü bölümde Vadeli yatıımla ve vadeli gelile kavamı icelemişti. Amaç, döem başı ve döem sou yatıımlaı taımak ve bu gibi yatıımlaı soudaki değeleii hesalamaktı. Bu bölümde kia, kia yatıımı, iskoto ve iskoto değei kavamlaıı da öğeeceksiiz. Souda, bileşik faiz, yatıımla ve kia ile ilgili daha bileşik oblemle çözebileceksiiz. So ola dödücü bölümde Boçla kavamı icelei, boç, amotizasyo vadesi, taksitle, ödeme gibi kavamla icelemişti. Eşit taksitli boçla, eşit aüiteli ödemele, yuvalak aüiteli ve faklı tüde boçla hakkıda amotizasyo lalaı yaılmaktadı.

4 Bu kitataki des malzemesii geçekleştiike, öğetme, öğecileide kedi başlaıa çalışmalaıı teşvik etmelidi. Bu kitabı kalitesii iyileşmesi yöüde, deetleyelede aldığımız iyi maksatlı eleştiile içi de özellikle miettaımız. İlede de, kitabı içeiğii zegileşmesi yöüde iyi maksatlı he eleştii içi öcede teşekküleimizi suaız. Böylece bu kita, iktisat hukuk bölümüde öğeim göe öğecilee, iledeki meslekleide yaalı olacak bilgilei öğemeleii sağlayacaktı. Mayıs, 00 Yazala

5 İ Ç İ N D E K İ L E R. DİZİLER Dizi Kavamı Dizilei Özelliklei Aitmetik Dizile Aitmetik Dizilei Özelliklei Aitmetik Dizilei İlk Teimii Tolamı Geometik Dizile Geometik Dizilei Özelliklei Aitmetik Dizilei ilk Teimii Tolamı Kou Pekiştime Ödevlei... 3 Kou Özetlei BİLEŞİK FAİZ HESABI Bileşik Faiz Kavamı ve Hesalaması Temel Değei Gelecekteki Değeii Hesalamak Kofom Faiz Hesabı Yatııla Paaı Başlagıç Değei ve Faiz.. Miktaıı Hesalaması Faiz Döem Sayısıı ve Faiz Oaıı Hesalaması Kou Pekiştime Alıştımalaı Kou Özetlei PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VE PERİYODİK KİRALAR Peiyodik Yatıımla Mevduatlaı Gelecekteki Değeii Hesalamak Bieysel Mevduatı Değeii Hesalamak Mevduat Sayısıı ve So Mevduatı Hesalaması Yatıımlada Faiz Oaıı Hesalaması Peiyodik Alacakla (Kiala) Kia Semayesii Hesalaması Kia Tutaıı Hesalaması Kia Sayısı ve Kia Kalaıı Hesalaması Peiyodik Kialada Faiz Oaıı Hesalaması Kama Ödevle Alıştımala... 0 Kou Özetlei... 04

6 4. BORÇLAR Boç Kavamı ve Çeşitlei Eşit Aüiteli Boçlada, Bocu ve Aüitei Hesalaması Eşit Aüiteli Boçlaı Ödemeleii Hesalaması Eşit Aüiteli Boçlada Bocu Ödemiş Kısmıı ve Kala kısmıı Hesalaması Eşit Aüiteli Boçlaı Amotismaıda Faiz Oaı ve Deve Sayısıı Hesalaması Eşit Aüiteli Bocu Amotisma Plaı Yuvalak Tutalı Aüiteli Boçla Yuvalak Aüiteli Boçlaı Amotisma Plaı Boçlaı Döüştüülmesi Tahvillee Ayıla Bocu Amotismaı Kou Pekiştime Alıştımalaı Kou Özetlei... 5 Alıştımalaı Çözümlei ve Cevalaı... 57

7 . DİZİLER.. Dizi Kavamı Gülük hayatta, dizi biçimide sıalamalaa çok astlıyouz, öek beze veya faklı eselei dizisi. Halbuki, matematikte dizilei özel alamı vadı. Özellikle solu ve sosuz dizilei bibiide ayıt etmeliyiz. Solu dizilede, belli bi düzee göe sıalamış solu sayıda esele ve bu duumda, hagisi biici, hagisi ikici vb. olduğuu tam olaak belli ola diziledi. Bi kümei beş elemaı olduğuu faz edelim. Biici elemaı a, ikici elemaı a, üçücüsüü a 3, dödücüsüü a 4 ve beşicisii a 5 ile işaet edeceğiz. Bu şekilde dizi a, a, a 3, a 4, a 5 şeklide yazılı ya da daha kısa a a a 3 a 4 a 5 biçimide yazılabili. Şuu da kaydedelim, a, a, a 3, a 4, a 5 elemalaı, hehagi bi kümei elemalaı olabili. Matematikte, bu elemala daha fazla duumlada sayıladı (doğal, tam, asyoel ya da eel), fakat sayı olması mecbui değildi. Öek, he söz, bi hafle dizisi sayılabili. Bu duumda a, a, a 3, a 4, a 5 elemalaı, bi alfabeye aitti. 5 sayısı, icelee solu dizii uzuluğudu ve uzuluk daima ayı değildi. Öek olaak EKONOMİ sözcüğüü alalım. Buu yedi elemalı solu bi dizi olaak sayabiliiz. Uzuluğu 7 di. He solu dizi, doğal sayıla kümeside {,, 3,. } icelee kümeye bi eşleme olaak algılayabiliiz. Öeği ekoomi sözcüğüü bi eşleme olaak alıyosak e, k, 3 o, 4, 5 o, 6 m, 7 i veya f () = e, f () = k, f (3) = o, f (4) =, f (5) = o, f (6) = m, f (7) = i şeklide yazabiliiz. Bua göe şu souca vaabiliiz: He solu dizi a, a, a 3, a 4,., a, doğal sayıla {,, 3,, } de icelee diziye bi eşlemedi ve bu duumda i ( < i < ) elemaıa kaşılık gele elema i idisiyle işaet edili, a i, b i, x i gibi. Daha da a, a, a 3, a 4,., a solu bi dizi, kısa olaak (a i ) biçimide işaet edili. Biçok duumlada sosuz dizilele de işimiz olabili. Olaı a, a, a 3, a 4,. ile ya da daha kısa (a i ) biçimide işaet ediyouz. a i elemaı i. yede ola elemadı i {,,3, }. Bula geellikle bazı sayıla olduğuda, ilede eel sayıla olduğuu sayacağız. 5

8 Taım. Dizi, doğal sayıla kümeside, eel sayıla kümesie bi eşlemedi. Demek ki, dizi deilice sosuz diziyi kastedeceğiz, aksi halde solu dizi söz kousu oluca, solu dizi diye ifade edeceğiz.., 3, 5, 7, 9,, 3,.. dizisii iceleyelim. Bu duumda eşleme f () =, f () = 3, f (3) = 5, f (4) = 7, f (5) = 9, f (6) =,... biçimide taımlamıştı, buu daha kısa olaak f() =, ya da a = şeklide yazabiliiz.. f ( ) dizisii ilk bikaç teimi: a,5, a 3 3 3,333..., a 4 4 4, 5, a 5 5 5,, vb a = + - dizisii ilk bikaç teimi: a = + - =, a = + - = 5, a 3 = =, a 4 = = 9, a 5 = = 9 vb. () 4. a dizisii ilk bikaç teimi: a 4 4, a 5, di. 5 a, a, a 3, 3 5. a = 8 dizisii bikaç teimi 8, 8, 8, 8, 8, 8,.di. Demek ki, idisie bağlı olmada a teimii değei 8 di. a teimii değei daima sabit ola bu gibi dizilee sabit dizile dei. Noktalaı koodiatlaıı (,а ), (,а ), (3,а 3 ), (4,а 4 ),... yai (,а п ), =,,3,... ekleyeek dizilei çoğu kez koodiat düzlemde belitiyouz. 6. Geel teimi a = 3 + (-) dizisii iceleyelim. içi,,3, değele vemekle, 4,, 4,, 4,, 4, dizisi elde edili. Alıştımala. Dizi edi? Solu ve sosuz dizi içi bie öek yazıız.. (a ) dizisii ilk 5 teimii yazıız: а) a, b ) a, c) a, d) a (). 6

9 3. (a ) dizisii. ci teimii belitiiz. а) a içi = 4, b) a = içi = 3, c) a = 3 içi = Geel teimi a = (-) ola dizii, i hagi değei içi değei 00 du? 5. i hagi değei içi, geel teimi a = 4 5 dizisii teimi 999 olu? 6. Geel teimi veilmiş ola dizii dödücü teimii belitiiz: a) a, b) a, c) a (), d) a = İlk beş teimi veilmiş ola dizilei, geel teimii ifade edecek fomül belitiiz: а) 3, 5, 7, 9,,... b), 4, 9, 6, 5,... c), 3,, 3,,... d),,,,, e) 4,,,,, Dizilei Özelliklei Dizilei bazı özelliklei vadı. Bu özellikle geellikle dizilei atma ve eksilme koşullaıdı. Taım. (a ) dizisi içi: he k doğal sayısı içi, a k+ > a k, () özelliği vasa, dizi kesi alamda atadı (ya da kesi alamda mooto atadı); he k doğal sayısı içi, a k+ < a k, () özelliği vasa, dizi kesi alamda eksiledi (ya da kesi alamda mooto eksiledi); he k doğal sayısı içi, a k+ a k, (3) özelliği vasa, atadı (ya da eksilmeyedi); he k doğal sayısı içi, a k+ a k. (4) özelliği vasa, dizi eksiledi (ya da atmayadı); 7

10 Bi dizii kesi alamda ata olması içi koşul () geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde büyük olmalıdı.. Geel teimi a = 3 ile veilmiş ola diziyi iceleyelim. a < a < a 3 < a 4 <..., yai, < 4 < 7 < 0 <. olduğua göe, bu dizi kesi alamda atadı. Buu doğuda doğuya gösteelim: a + - a = 3( +) - - [3 - ] = = 3 > 0, demek ki, he doğal sayı içi a+ > a geçelidi. Bi dizii kesi alamda eksile olması içi koşul () geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde küçük olduğuu ifade etmektedi.. Geel teimi a. ola diziyi iceleyelim. a < a < a 3 < a 4 <..., yai olduğua göe dizi kesi alamda eksiledi. Buu doğuda doğuya gösteelim: ( ) a a 0, ( ) ( ) demek ki, he doğal sayı içi a +, < a geçelidi. Bi dizii ata ya da eksilmeye olması içi koşul (3) geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde büyük ya da eşit olduğuu yai kedide öceki teimde küçük olmadığıı ifade etmektedi. 3. Şu diziyi iceleyelim:,,,, 3, 3, 4, 4,.. Bu dizii teimlei içi geçeli olduğua göe, dizi eksilmeyedi. Dizi kesi alamda ata değildi, çükü ikici teimi biiciside büyük değildi, o halde daha fazla iceleme içi geek yoktu. Bi dizii eksile ya da atmaya olması içi koşul (4) geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde küçük ya da eşit olduğuu yai kedide öceki teimde büyük olmadığıı ifade etmektedi. 4.,,,,,,,,... dizisii iceleyelim.... olduğua göe, dizi eksiledi ya da atmayadı, çükü ikici teimi biiciside küçük değildi, o halde daha fazla iceleme içi geek yoktu. Şuu da ifade etmeliyiz ki, he dizi (), (), (3) ve (4) özellikleide biii sağlaması mecbui değildi. Öek, böyle bi dizi,,,,,,,,.. di. Halbuki bazı dizilede, bu özelliklede hiçbii sağlamadığıa ağme, belli bi k 0 da soa dizii teimlei (), (), (3) ve (4) özellikleide biii sağlayabili. Böyle duumda, dizi kesi alamda ata, eksile, atmaya ya de eksilmeye olduğuu daha geiş alamda alaşmaya göe ifade edebiliiz. 8

11 ,,,,,,,,... dizisii iceleyelim. Bu dizi taım geeğice ata değildi, çükü 3 > doğu değildi. Bu dizi daha geiş alamda atadı diyebiliiz. Çükü üçü cü teimde başlayaak dizi atadı < < < < <.... Bu alaşma geeklidi, çükü bize daha çok, idisii büyük değelei içi dizii asıl olduğu ilgiledii. 6.,,,,,,,,,,... dizisii iceleyelim. Bu dizi taım geeğice eksile değildi, fakat geiş alamda eksile olduğuu sayabiliiz, çükü altıcı teimde başlayaak dizi eksiledi, > > > > > Öek 6. daki diziyi iceleyelim. Dizii he teimi de küçük ya da eşit olduğuu göüyouz, yai a di. Bu edele bu gibi dizilee üstte sıılı olduklaıı diyeceğiz, yai daha kesi ifadeyle dizi sayısıyla sıılıdı. Bu özellik bizi şu taımı çağıştııyo: Taım. Bi dizide he doğal sayısı içi a M. (5) olmak üzee bi M eel sayısı vasa diziye üstte sıılıdı dei. Beze taım altta sıılı ola dizile içi ifade edebiliiz: Taım 3. Bi dizide he doğal sayısı içi a M. (6) olmak üzee bi M eel sayısı vasa diziye altta sıılıdı dei. 7. Öek deki a dizisii iceleyelim. Bu dizi eksiledi, çükü a a a3 a4... Bu duumda ilk teim a = di ve dizii e büyük teimidi. O halde bu dizi sayısı ile üstte sıılıdı. Bu öeğe beze olaak, şu özellik geçelidi: o. He eksile ve he atmaya dizi üstte sıılıdı. 8. Öek de veilmiş ola a = 3 geel teimli diziyi iceleyelim. Bu dizi aftadı, çükü a < a < a 3 < a 4 < di. Bu dizide ilk teim a = di ve dizii e küçük teimidi. O halde bu dizi altta sayısıyla sıılıdı. 9

12 Bu öeğe beze olaak, şu özellik geçelidi: o. He ata ve he eksilmeye dizi altta sıılıdı. Hem üstte, hem de altta sıılı ola dizilee sıılı dizile dei. Olaı şu şekilde taımlayabiliiz. Taım 4. Bi dizide he doğal sayı içi a M (7) olacak şekilde ozitif bi M eel sayısı vasa diziye sıılıdı dei. Öek deki dizi ( sayısıyla) sıılı,, öek 4 teki dizi de sayısıyla sıılıdı, Öek 5 teki dizi 3 sayısıyla sıılıdı, öek 6 daki dizi sayısıyla sıılıdı. Öek ve 3 teki dizile sıılı değildi. Alıştımala. Hagi dizile kesi alamda ata, eksile, atmaya, eksilmeyedi?. Kesi alamda ata, eksile, atmaya, eksilmeye dizile içi öekle yazıız. 3. a dizisi ata yoksa eksile midi? 4. Şu dizilede hagisi kesi alamda ata, hagisi ise eksiledi: a) a, b) a, c) 3 a, d) ( ) a 5, e) a 5, 5. a) Bi dizi ayı zamada hem ata, hem de eksile olabili mi? b) Sabit dizi, ata yoksa eksile midi? 6.* a ozitif sayısıı hagi değei içi a = а dizisi: a) ata; b) eksile; c) sabitti; d) üstte sıılı; e) altta sıılı; f) sıılıdı? 0

13 .3. Aitmetik Dizile Bazı dizile, geek matematikte, geek gülük hayatta olsu daha fazla astladığıa göe, uygulamalaı da fazladı. Bu edele olaa özel adla da veili. Bu başlıkta, iki özel dizide bahsedeceğiz: Aitmetik dizile ve geometik dizile. Doğal sayılada oluşa,, 3, 4, 5, 6, 7, diziyi iceleyelim. Bu dizide = 3 = 4 3 =.ya da geel olaak iki adışık teimi fakı daima eşitti. Bu özellikte yaalaaak şu taımı kabul edeceğiz. Taım. Bi (a ) diziside iki adışık teimi fakı a + - a daima sabit kalıyosa, yai doğal sayısıa bağlı değilse, ya da a + - a = d olacak şekilde bi d eel sayısı vasa (a) dizisie aitmetik dizisi dei. d sayısıa otak fak dei. Aitmetik dizileide daha bikaç öek iceleyelim.. -4, -,, 5, 8,, 4, dizisi aitmetik dizidi. Çükü he teim kedide öceki teime 3 katmakla elde edili, yai = -, =, + 3 = 5, = 8, =,... Bu duumda d = 3 tü.. 5, 3,, -, -3, -5, -7, dizisi aitmetik dizidi. Çükü he teim kedide öceki teime - katmakla elde edili, yai 5 - = 3, 3 - =, - = -, - - = -3, = -5,... Bu duumda d = - di. 3. 6, 6, 6, 6, 6, 6. dizisi aitmetik dizidi. Çükü he teim kedide öceki teime 0 katmakla elde edili. Bu duumda d = 0 dı. Aslıda he sabit dizi aitmetik dizidi. Şuu fak edebiliiz, bi aitmetik dizisii ilk teimi ve otak fakı veildiğide, dizii tüm teimleii bulabiliiz. Buu aşağıdaki şekilde yaacağız: a = a a = a + d a 3 = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a 3 + d = a + d + d = a + 3d a 5 = a 4 + d = a + 3d + d = a + 4d... Bu yötemi devam edeek a k. teimi içi a k = a + (k - )d. () elde edili.

14 Bu aslıda dizii geel teimi içi isteile fomüldü. Geçekte k = içi a = a di, a k+ içi yie ayısı elde edili: a k = a k + d = a +(k) d + d = a + kd. Bua göe şu souca vaılı: He doğal sayı k içi şu fomül geçelidi: a ( k ). a k d 4. Bi ayakkabı fabikasıda ilk yıl çift ayakkabı üetilmiş ve he gele yılda 3000 çift ayakkabı içi üetim atmıştı. Fabika kuuluşuda sekizici yıl souda kaç çift ayakkabı üetmişti? a k ile, fabikaı kuuluşuda k. cı yılı üetimii işaet edelim. Yıllaa göe üetim miktalaı bi aitmetik dizisii oluştuduklaı açıktı. Dizii ilk teimi a = ve otak fak d = di. k = 8 içi () fomülüde yaalaaak a 8 = a + (8 - )d = = 7000 elde edili. Demek ki, fabikaı kuuluşuda sekizici yılıda çift ayakkabı üetilmişti. 5. Bi aitmetik dizisii ilk teimi 8, 5. teimi ise 50 di. Otak fak d e kadadı? () deklemii d ye göe çözesek: a a d k k elde edili. Veile değelei fomülde yeie koyasak a a d k 3 k 5 4 elde edili. 6. Bi aitmetik dizisii ilk teimi 3, otak fakı d = - di. Dizii hagi teimi -9 olduğuu buluuz. () deklemii k ya göe çözesek: a a k k d elde edili. Veile değelei fomülde yeie koyasak a a 9 ( 3) k k 9. d elde edili. Demek ki, dizii dokuzucu teimi 9 olu. k içi çözüm, acak doğal sayı olduğu duumda kabul edilebili.

15 Alıştımala. 50-ci tek sayı hagi sayıdı?. 75. çift sayıyı hesalayıız. 3. Otak fakı,3 ve 85. teimi 70,8 ola aitmetik dizisii ilk teimi belitilsi. 4. Veile dizilede hagilei aitmetik dizisidi: а), 8, 4, 0, 6,...,6-4,... b), 8, 7, 8, 3,... c) 9,4, -, - 6, -,...,4-5,... d),, 4, 8, 6,..., -,...? 5. Bi iş ögütüü ocak 000 yılıda bocu EUR olmakla, he gele yılda boç 3500 EUR azalmıştı. Kaç yıl soa boç 000 EUR kalmıştı? 6. -3,, 5, 9, 3, 7, aitmetik diziside, çift idisli yeledeki teimlei silesek, asıl dizi elde edilecekti? 7*. Bi aitmetik dizisii beşici teimi, o ikici teimi ise 33 tü. Aitmetik dizisii ilk teimi ve otak fakı e kadadı? 8*. Baka hesabıda bi mikta aası ola Yusuf, he ay ayı mikta aa hesabıa yatııyo. Tasauf yamaya başladıkta 6 ay soa, Yusuf u deaı, 7 ay soa ise 8500 deaı olmuştu. Tasaufa başlamada öce Yusuf u baka hesabıda kaç aası vamış ve he ay baka hesabıa e kada aa yatımıştı?.4. Aitmetik Dizilei Özelliklei A. Şu öeği iceleyelim.., 4, 7, 0, 3, 6 solu aitmetik dizisi içi: + 9 = = = = = = 9 + (= 0) geçelidi. Geel olaak, a, a, a3,..., am,..., a, a, a. solu aitmetik dizisi veilmiş olsu: Şu çiftlei iceleyelim: ( a ; a ), ( a ; a ), ( a 3; a ),..., ( a m; a m ),..., ( a ; a), buada idislei tolamı + di ( + = +, + ( -) = +, 3 + ( - ) = +,..., m + ( - m +) = +,...). Bu çiftlee a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta ola teimle dei. a m a ( m ) d ve a m a ( m) d olduğua göe, olaı tolam. am am a ( m ) d a ( m) d a a ( ) d a a. Bu tolam, m sayısıa bağlı olmadığıı göüyouz. Yai, m =,,3,. içi, a m + a -(m-) = a + a, di. Buula şu özelliği isatlamış oluyouz: 3

16 0. He aitmetik diziside, uç teimle a ve a de eşit uzaklıkta ola teimlei tolamı uç teimlei a + a tolamıa eşitti.. 5, 7, 9,, 3, 5, 7, aitmetik dizisii iceleyelim. = 5 içi ( 0 ) özelliği 5 +3 = 7 + = = + 7 = (= 8), = 6 içi ise bu özellik 5 +5 = 7 +3 = 9 + = + 9 = = (= 0). 3. Öek deki diziyi iceleyelim. Dizii ikici teimi (7), ilk (5) ve üçücü (9) teimi aitmetik otası olduğuu; Üçücü teimi (9), ikici teim (7) ve dödücü teim () aitmetik otası olduğuu fak edebilisiiz. Bu özellik geel olaak da geçelidi. < m içi 0. He aitmetik diziside a m teimi a m- ve a m+ teimleii aitmetik otasıdı, yai a m a a m m di. 4. Hehagi bi aitmetik diziside a00 a00 a55 geçeli olabili mi? Souu cevabı ozitifti, çükü idislei tolamı eşitti: = di. Bua göe (a 00 ; a 00 ) ve (a 55 ; a 55 ) teimle çifti a ve a 309 uç teimlede eşit uzaklıktadı. öek 4 te isatladığı gibi, aitmetik dizileie ait şu özellik de isatla- ı. a 55 a 00 a 00 a 3 0. Hehagi aitmetik diziside k < m olmak üzee m k a am Diğe sözlele a m teimi, a m-k ve a m+k teimleii aitmetik otasıdı. mk, geçelidi. 4

17 Alıştımala. Veile sayılaı aitmetik otalamasıı belitiiz: a) 5 ve 3; b) x + y ve x y.. Hehagi (solu) bi aitmetik dizisii seçiiz ve, ve 3 özellikleii yoklayıız. a 3. Hehagi bi aitmetik dizisi veilmiş olsu. Değei a ye eşit ola bi teimi va olduğuu gösteiiz. 4*. Hehagi bi aitmetik dizisii seçiiz. İdisle aası + q + = s + t + u eşitliği vasa a + a q + a = a s + a t + a u eşitliği de geçeli olacağıı gösteii. Oda soa buu geel duum içi isatlamaya çalışıız. 5*. a 7 + a = a 5 + a 0 geçeli ola bi aitmetik dizisi içi e diyebilisiiz?.5. Bi Aitmetik Dizisii İlk Teimii Tolamı Çok kez, ilk teimi a ve otak fakı d ile veilmiş ola bi aitmetik dizisii ilk teimii tolamıı belitmek geeki. Aaıla tolamı S ile işaet edeceğiz. S a a a... 3 a. Bu tolamı tes yöde yazasak S a a a... a geçeli olduğuu fak edebiliiz Bu iki deklemi taaf taafa tolamakla: S ( a a... a) ( a a... a) ( a a) ( a a)... ( a a) elde edili. a a a a a3 a a4 a3... olduğua göe, S = (a + a ) elde edili. Oada da S ( a a ). () elde edili. Bu fomülde a = a + ( - )d değiştimekle S [a ( ) d]. () fomülü elde edili. 5

18 Bu fomül, bi aitmetik dizisii aaıla ilk teimii tolamıdı. Fomül a, d, ve S büyüklüklei aasıdaki bağıtıyı göstemektedi ve bu büyüklüklede hehagi bii bilimediğide diğe üç bilie büyüklükle belitilebili.. İlk tek sayıı tolamıı hesalayıız. () fomülüde a = ve d = ile değiştiiyouz: S [a ( ) d] ( ( )) ().. Bi ayakkabı fabikasıda ilk yıl çift ayakkabı üetilmiş ve he gele yılda 3000 çift ayakkabı içi üetim atmıştı. Fabika kuuluşuda sekizici yıl soua kada tolam kaç çift ayakkabı üetmişti? () fomülüde = 8, a = ve d = ile değiştiiyouz: 8 S 8 [ ] Demek ki, ilk sekiz yılda tolam çift ayakkabı üetilmişti. 3. a = 7, d = 5 ve S = 43 içi so aitmetik dizisii e kada üyesi vadı? Değelei değiştieek () şu souca ulaşıız: (4 5( )), yai Bu deklemi çözülmesiyle iki souç elde edili: = 9 ve = -0,8. Göülüyo ki ikici çözüm alamsızdı. Demek ki = 9, böylelikle aitmetik dizisi şöyledi: 7,, 7,, 7, 3, 37, 4, 47. Alıştımala. İlk çift sayıı tolamıı hesalayıız.. İlk 000 doğal sayıı tolamıı hesalayıız. 3. Bi aitmetik dizisii 78 teimii tolamı e kadadı: a) a = 5 ve d = 3; b) a = - ve d =? 4. İlk teimi 7, yüzücü teimi 53 ola aitmetik dizisii ilk 00 teimii tolamıı beşitiiz. 5. İlk doğal sayıı tolamı 75 ti. e kadadı? 6*. a = 6 ve a 45 = 74 ola bi aitmetik dizisii ilk 46 teimii tolamıı belitiiz. 6

19 .6. Geometik Dizile Aitmetik dizilede iki adışık teimi fakı daima ayı sayı olduğuu gödük. Bu des biimide, iki adışık teimi bölümü daima sabit ola dizilede söz edilecekti. Öek, böyle bi dizi, 0, 00, 000, 0 000, di., çükü özelliği vadı. Göüldüğü gibi he gele teim kedide öceki teimde 0 kat büyüktü. Daha soa, bu dizilei tasauf yatıımlada, faizi hesalaması içi uygulamalaı olduğuu gösteeceğiz.. Taım. q 0 olmak üzee, a, aq, aq, aq 3, aq 4,... () biçimide (a ) dizisie geometik dizi dei. Göüldüğü gibi, dizii he gele teimi, kedide öce ola teimi q 0 sayısıyla çaılaak elde edili. a elemaı dizii ilk teimidi, q sayısıa ise otak böle ya da otak çaadı dei, çükü 3 aq aq aq q... a aq di. aq. 3, 6,, 4, 48, 96, dizisi, ilk teimi 3 ve otak bölei ola bi geometik dizidi (...) İlk teimi ve otak çaaı -3 ola geometik dizisii oluştuuuz. Aaıla dizi:, (-3), (-3), (-3) 3 ya da, -6, 8, -54, İlk teimi 8 otak bölei ola dizi: 8, 6,,,,, q > ise, geometik dizi a > 0 içi atadı, a < 0 içi ise eksiledi. 4.,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, diziside a = > 0 ve q = olduğua göe dizi atadı. 5. -, -, -4, -8, -6, -3, -64, -8, diziside a = - > 0 ve q = > olduğua göe dizi eksiledi. q = ise, dizi sabitti, öek: -5, -5, -5, -5, -5,.. 7

20 0 < q < olduğu duumda, geometik dizi a > 0 içi eksiledi, a < 0 içi ise atadı. 6.,,,,,,,... diziside a = > 0 ve q olduğua göe dizi eksiledi. 7.,,,,,,,... diziside a = - < 0 ve q olduğua göe dizi atadı. q < 0 ise, dizii teimleii işaeti değişke olduğuda dizi e ata e de eksiledi. Buu Öek de göebilisiiz. () fomülüde şulaı yazabiliiz: a aq, a a q, a 3 q 4 3 a3q q 5 4 a4q q, a,... a q. () Dizii ilk teimi ve otak çaaı bilidiğide, () fomülüde yaalaaak dizii hehagi teimii belitebiliiz. 8. a = - 6 ve q ola bi geometik dizisii altıcı teimi () fomülü geeğice: a 6 ( 6) ( ) Bi geometik dizisii dödücü teimi 6, altıcı teimi ise 458 di. Dizii ilk teimii ve otak böleii belitiiz. () fomülüde = 4 ve = 6 içi 6 = a q 3 ve 458 = a q 5 deklemlei elde edili. İkici deklemi biici deklemle bölmekle, 9 = q ve oada q = ± 3 elde edili. q = 3 içi biici deklemde a 6, elde edili. q = -3 içi, biici deklemde a 6 3 elde 3 edili. ( 3) 8

21 Alıştımala. Bi geometik dizisii ilk iki teimi 48 ve 4 tü. Dizii beşici teimii belitiiz.. Veile dizilede hagilei geometik diziledi: а), - 8,3, -8,5... (-4) -,... b),8,7,8,..., 3,... c) 9,4, -, - 6, -,...,4-5,... d ),,4,8,6... -,...? Geometik dizisi olalaı ilk teimii ve otak böleii belitiiz. 3. a) İlk teimi ve otak bölei,5 ola geometik dizii beşici teimii buluuz. b) İlk teimi,5 ve otak bölei - ola geometik dizii yedici teimii buluuz. 4. Sütte baktei sayısı he 3 saatte iki katıa ata. 4 saatte baktei sayısı kaç defa atacaktı? 5. Ali ve Beki bi bakaya ayı mikta aa yatımışla. Ali, %3 faiz oaıyla 4 yıl içi, Beki ise %4 faiz oaıyla 3 yıl içi yatımıştı. Hagisi bakada daha çok aa almıştı? 6*. Ediç, yıllık %6 faiz oaıyla bakaya bi mikta aa yatımıştı. a) Yedi yıl soa yatıdığı aa yüzde kaç atacaktı? b) Kaç yıl soa baka hesabıdaki aa aa aaı e az iki katıa çıkacaktı?.7. Geometik Dizisii Özelliklei.,,8,3,8. solu geometik dizisii iceleyelim olduğuu fak ediyouz. Bu özellik, geel duumda da geçeli olduğuu gösteeceğiz. a, a, a 3,..., a solu geometik dizisi veilmiş olsu. a = a ve a a olduğuu göz öüde buluduaak q 9

22 a q a a aq a a elde edili. Oda soa a olduğuda a3a aq aa. elde edili. q Bu şekilde devam etmekle a k = aq k- ve a a ( ) k k q a 3 aq q, buada da a a ve a q : q k a ka ( k ) aq a a k. () q a İdislei tolamı + ola (a ; a - ), (a 3 ; a - ), (a 4 ; a -3 ),... (a k ; a -k+ ),... (a - ; a ) çiftlee, a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta ola teimle dei. Bua göe () eşitliği şu özelliği ifade etmektedi: 0. He geometik dizide, a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta bulua teimlei çaımı, uç teimlei çaımıa eşitti.. Şu geometik dizisii iceleyelim:, 6, 8, 54, 6, 486, = 5 ve = 6 içi bu özelliği yoklayalım: = 5 içi, 6 = 6 54 = 8 8 = 54 6 = 6 (= 34) = 6 içi, 486 = 6 6 = 8 54 = 54 8 = 6 6 = 486 (= 97). 3. Öek deki diziyi iceleyelim. İkici teim (6), biici () ve üçücü (8) teimleii geometik otası; üçücü teim (8), ikici teim (6) ve dödücü teim (54) sayılaıı geomet- ik otası; dödücü teim (54), üçücü teim (8) ve beşici teim (6) i geometik otası olduğuu vb. fak edebiliiz. m Geel olaak, am ve am am q, olduğua göe q ( a m) amam, a m amam. Bua göe şu özellik geçelidi: 0. He geometik diziside < m içi, a m amam, di, yai a m teimi a m- ve a m+ teimleii geometik otasıdı. 0

23 Beze şekilde, 0 özelliğii daha geelii ifade ede şu özelliği de isatlayabiliiz He geometik diziside k < m içi, a m+ teimleii geometik otasıdı. a m a mk a mk, di, yai a m teimi a m-k ve 4. 3 ve 9 sayılaı aasıda veilelele beabe geometik dizisi oluştuacak 5 sayı yeleştiiiz. Öce, a = 3 ve a 7 = a q 6 de q otak böleii belitiyouz. a = 3 değeii değiştimekle 3 q 6 = 9 eşitliğide q 6 = 64 ve q = ± elde edili. q = ise, şu dizi elde edili: 3, 6,, 4, 48, 96, 9,, q = - ise 3, - 6,, -4, 48, -96, 9. Alıştımala. a) 30 ve 0; b) xy ve y x sayılaıı geometik otasıı belitiiz.. Hehagi bi geometik dizisii seçiiz ve, ve 3 özellikleii yoklayıız. a a ola teimi- 3. Hehagi bi geometik dizisi veilmiş olsu. Veile dizide değei i va olduğuu isatlayıız. 4. 3, b, 75 sayılaı bi geometik dizisi olacak şekilde b sayısıı belitiiz. 5*. Bi geometik diziside a a 3 = a a 7 sağladığı duumda, dizi içi e diyebiliiz?.8. Geometik Dizisii İlk - Teimii Tolamı Bi geometik dizisii ilk teimii tolamıı S ile işaet edelim. Ѕ = a + aq + aq aq - + a. () Bu deklemi he iki taafıı q ile çamakla S = aq + aq + aq aq - + aq. () () eşitliğide () eşitliği çıkaılısa: q a S q S a, oada

24 S ( q ) a( q ), S a (. q ) q (3) elde edili. Bu ise, bi geometik dizisii ilk teimii tolamıı ifade ede fomüldü. Fomülde a, q, ve S büyüklüklei buluu ve bu büyüklüklede he bii, bilie diğe üç büyüklükle hesalaabili. (3) fomülü, geellikle q > içi uygulaı, q < olduğu duumda ayı fomül şu şekilde yazılaak kullaılı: S a q ( ). (4) q q = ise, bu fomülle kullaılamaz, çükü kesi hem ayı, hem de aydası sıfı olu. Halbuki bu duumda S = a olduğu açıktı.. İlk teimi a = 3 ve q = veilmiş ola geometik dizisii ilk 6 teimii tolamıı belitiiz. a = 3 ve q = değeleii fomülde değiştimekle 3( 6 ) S6 3 (64 ) elde edili.. Bi geometik dizisii ilk teimii tolamı içi kullaıla fomülde yaalaaak şu özdeşliği geçeli olduğuu isatlayıız: 3 a b ( a b)( a a b a b... b ). (3) deklemide a = koyasak q q... q q, q q ( q )( q q... q ). elde edili. Oada q yeie a b a b a b a q koymakla b a b a... b elde edili. Bu deklemi b ile çamakla: elde edili.. 3 a b ( a b)( b ab a b... a ),

25 3 a b ( a b)( a a b a b... b ). 3. Bi geometik dizisii so teimi, teimleii tolamı 7 ve otak çaaı di. Dizii ilk teimi belitilsi. İlk teimii tolamı fomülüde, a a, ( ) 7, ya da a a 7. elde edili. Biici deklemi ile çaaak ikiciside çıkaısak a 7 7, oada da a = 7 elde edili. Buu biici deklemde değiştimekle - = 4 ve oada = 5 elde edili. Alıştımala. Veile geometik dizisii ilk 8 teimii tolamıı belitiiz: а), 3, 9,... b) 5, 5, 5,..., c),,,..., d) 5, 56, 8, Veilelee göe geometik dizisii ilk teimii belitiiz: а) = 8, q =, Ѕ 6 = 765, b) 4, q, S Bi geometik dizisii beşici teimi, ve otak çaaı. di. İlk teimii ve ilk beş 9 3 teimii tolamıı belitiiz. Geometik dizisii yazıız. 4. Ahmet, ocak ayıda dea maaş almıştı. Yıl soua kada maaşı he ay % 3 atmıştı. Ahmet yıl boyuca tolam e kada maaş almıştı? 5*. Bi geometik dizisii ilk teimii tolamı içi kullaıla fomülde yaalaaak şu özdeşliği geçeli olduğuu isatlayıız:.9. Kou Pekiştime Ödevlei. Ne ata e de eksile ola bi diziyi yazıız.. (a ) dizisii tek idisli teimlei ozitif, çift idisli teimlei ise egatifti. Bu dizi ata ya da eksile olabili mi? 3

26 3. ve 4 sayılaı aasıda öyle üç sayı a, b ve c koyuuz ki,, a, b, c, 4 bi geometik dizisi olsu. 4. Hehagi bi aitmetik dizisi içi a = a k + ( - k)d. geçeli olduğuu gösteiiz. 5. Bi tücca sataç tablosuu şu koşullaa göe satıyomuş: Tablou biici kaeside dea, ikici kaeside dea, üçücüsüde 3 dea vb. Tücca sataç tablosuu kaç deaa satıyomuş? 6*. a) a, a, a 3, dizisi, ayı ada hem aitmetik, hem de geometik dizisi ise a = a = a 3 olduğuu isatlayıız. b) a, a, a 3,...,a dizisi ayı ada hem aitmetik, hem de geometik dizisi ise a = a = a 3 =... = a olduğuu isatlayıız. 7. He geometik dizide a = a k q -k geçeli olduğuu isatlayıız 8. He baktei bi saatte ikiye katlaısa, başlagıçta 7 baktei ola bi bitkide 8 saat soa e kada baktei olacaktı? 9. Bi çocuk ocak ayıda kumbaasıa 5 dea koyaak aa biiktimeye başlamıştı. Oda soa he ay bi öceki ayı iki katı kada kumbaasıa aa koymuştu. Yıl souda çocuğu kumbaasıda e kada aa biikmişti? a a a a olduğuu is- 0*. He geometik diziside, ilk teimii çaımı atlayıız. /... ( a ) 4

27 Kou Özetlei Dizi, N doğal sayıla kümeside, R eel sayıla kümesie bi eşlemedi. a k+ > a k ise, dizi he doğal sayı içi kesi alamda atadı; a k+ < a k ise, dizi he doğal sayı içi kesi alamda eksiledi; a k+ a k ise, dizi he doğal sayı içi atmayadı; a k+ a k ise, dizi he doğal sayı içi eksilmeyedi; He doğal sayı içi a M olacak şekilde M eel sayısı vasa dizi üstte sıılıdı dei. He doğal sayı içi a M olacak şekilde M eel sayısı vasa dizi altta sıılıdı dei. Hem üstte hem de altta sıılı ola dizilee sıılı dizile dei. He eksile ve he atmaya dizi üstte sıılıdı; he ata ve he eksilmeye dizi altta sıılıdı. Bi (a ) diziside iki adışık teimi fakı a + - a daima sabit kalıyosa, yai doğal sayısıa bağlı değilse ya da a + - a = d olacak şekilde bi d eel sayısı vasa (a ) dizisie aitmetik dizisi dei. d sayısıa otak fak dei. Bi aitmetik dizisii geel teimi: a m a a ( ) d. He aitmetik diziside a m teimi a m- ve a m+ teimleii aitmetik otasıdı, yai < m içi amk amk di. Bi aitmetik dizisii ilk teimii tolamı S ( a a ), di. ya da S [a ( ) d]. q 0 olmak üzee a, aq, aq, aq 3, aq 4,... biçimide (a ) dizisie geometik dizi dei. Bu dizii geel teimi q a a di. 5

28 He geometik dizide, a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta bulua teimlei çaımı, a a uç teimlei çaımıa eşitti. a m a mk a mk Bi geometik dizisii ilk teimii tolamı a ( q ) S di. q 6

29 . BİLEŞİK FAİZ HESABI.. Bileşik Faiz Kavamı ve Hesalaması Bi mikta aaı faizii hesalaması basit ve bileşik faiz hesalamasıyla yaılabili. Basit faiz, bi yatıımı, yatıım vadesi süesice sadece aaaasıı kazadığı faiz oaıdı. Bileşik faizde, yatııla mikta aa he döemde değişi, yai he döem souda elde edile faiz miktaı aaaaya eklemekle yatıım miktaı büyü ve gelecek döemde ayısı aaaa oluyo. Bua göe bileşik faiz içi şu taımı kabul edebiliiz: Bi yatıımı yatıım vadesi boyuca kazadığı faizi de yei yatıım vadeside yatııma tabi tutulması soucu elde edile getiiyi göstee faizdi. Diğe bi deyişle faizi de faiz kazamasıdı. Kt Basit faiz i, fomülüyle hesalaı ( t yıl sayısıdı). Zama ayla ile veildiğide 00 Km i, fomülüyle hesalaı. Bu duumda m ay sayısıdı ve zama gülele ifade edilise 00 Kd i fomülü kullaılı (d gü sayısı) dea temel kaital içi 8 ayda %6 faiz oaıyla e kada faiz ödeecekti? Veilelee göe, K = 4 000, t = 8 ay, = % 6 dı i Kt 9600 dea dea aaaa, hagi faiz oaıyla 60 güde 304 dea faiz getiecekti? Zama takvime göe ölçülüyo. Kd Veilelee göe, K = , i = 304 dea ve t = 60 gü. O halde i olduğua göe: i % elde edili. Kt mayısta 6 temmuza kada yatııla bi mikta aa %4 faiz oaıyla 4576 dea faiz getidiğie göe, yatııla aaaa e kadadı? Zama takvime göe hesalaı (k, 365). 7

30 Öce, yatııla aaı bakada kaldığı zamaı hesalamamız geeki, yai gü sayısıı saymalıyız. Bu duumda ilk güü sayasak so güü hesaba katmıyouz ya da ilk güü saymazsak so güü sayacağız, yai ilk ve so güde sadece biii hesaba katıyouz. Bu duumda faiz hesalamaı ilk güüü 4 mayıs olaak alısak, mayıs ayıda 8 gü, 30 gü hazia, 3 gü temmuz ve ağustos, eylül ayıda ise so güü hesaba kataak 6 gü vadı. Bua göe tolam gü sayısı t = = 6 gü. O halde K içi fomülü kullaaak i K dea olduğuu buluyouz. Demek ki, 3 mayısta t dea aa yatıılmıştı. 4. Bi masa teisi yaışmasıda tuuvayı kazaa yaışmacı kazadığı aa ödülüü iki bakaya yatııyo. Biici baka %7, ikicisi ise %5 faiz oaıyla hesalama yaıyo. Bi yıl soa he iki bakada tolam 7850 dea faiz elde edildiğie göe, yaışmacı he iki bakaya ayı ayı e kada aa yatımıştı? Yatııla aaaa K = 5000 dea biliiyo. Bu aa miktaı K = x ve K = 5000 x olmak üzee iki bakaya yatıılmıştı. Faiz oaı = %7, = %5 ti ve tolam faiz miktaı i = i + i = 7850 di. O halde veile koşullaa göe şu deklemi kuabiliiz: K t K t i, buada t = t = yıl. Bua göe, 7x x 7850, deklemi elde edili. Deklemi sadeleştieek: x, elde edili. Bu deklemi çözümüde K = x = dea ve K = dea olduğuu buluyouz. Basit ve bileşik faiz hesalama yoluyla elde edile faiz miktalaıı fakıı gömek içi, bi öekle kaşılaştıma yaacağız. Oda soa, bileşik faizi hesalaması içi bi fomül beliteceğiz dea kaital bi bakaya %8 faiz ile döt yıl yatıılmış ola aa basit ve bileşik faiz ile e kada faiz getii? Bi yılda dea aaaa basit faiz fomülü ile dea faiz getii. 00 8

31 Faiz daima aaaaya hesaladığıa göe bu mikta he ayıdı ve döt yılda 760 deaı döt katı kada faiz elde edili. Bua göe tolam faiz miktaı: 8 I deadı. 00 Bileşik faiz hesabıda ise he yıl souda elde edile faiz miktaı aaaaya eklemekle aaaa miktaı büyü ve gelecek yıl ayısı aaaa oluyo. Bua göe, biici yılı faiz miktaı 8 i deadı. Halbuki atık ikici yıl aaaası, biici yılı aaaası ve biici yılı faiz miktaıyla tolamıa eşitti, = deadı İkici yıl faiz miktaı i , 8 dea olu. 00 Üçücü faiz miktaıı hesalamak içi, aaaa yie büyü ve ,8 = 4040,8 8 dea olu. O halde i ,8 39, 64 dea olu. Souda faizi hesalaacak aaaa 4040,8 + 39,64 = 43460,064 olu. Bua göe i , , 8 elde edili Döt yıl içi elde edile faiz miktaı 436,86 deadı. Göüldüğü gibi, bileşik faiz hesabıyla hesalaa faiz miktaı, basit faiz hesabıyla elde edile miktada büyüktü. Bileşik faiz,yılda bi defa, iki defa ya da biçok defa hesalaabili. Faizi hesaladığı zama aalığıa faiz hesalama vadesi dei. Faiz yılda bi hesalaaak yıl souda elde edile faiz aaaaya ekleise, o halde yıllık faiz söz kousu olu. Faiz yılda iki defa hesalaaak aa aaya ekleise, faiz hesalama vadesi 6 aydı ve yaım yıllık faiz hesalaması söz kousu olu. Beze şekilde faiz hesalama yılda döt defa yaılısa faiz hesalama vadesi 3 aydı dei. Basit faiz hesalamasıda döt temel büyüklük: K - aaaa (temel kaital başlagıç mikta) i - faiz miktaı faiz oaı (yüzde olaak), 00 dea aaı zama biimide getidiği faiz. t - aaı faizde kaldığı süe yıl olaak, ya da daha küçük zama ölçü biimide de olabili. Bu büyüklükle, bileşik faiz hesabıı da temel usulaıdı, halbuki buada ek olaak bileşik faizi temel usuu: 9

32 bi yıl esasıda faizi hesalama sayısı m, yai yıllık döem sayısı da katılmaktadı. Patikte, faiz döemleiyle ilgili olaak faiz hesalaı çeşitli işaetlele işaetleiyola. Öeği, faizi yıllık hesalaması (a) ile, yaım yıllık hesalaması (sömesteli) (s) ile, üç ayda bi hesalamayı (kvatal) (q) ile, ayda bi vadeyi (m) ile ve adı geçe he vadelik hesalamalada faiz oaı yıl bazıda sayılmaktadı. Faiz oaı, yıllık faiz oaı gibi veildiğide.a. biçimide işaet yazılı, yaım yıllık faiz oaı olaak alıısa.s. işaeti yazılı. Üç aylık bazıda da faiz oaı veilebili ve bu duumda.q. biçimide ya da aylık bazıda olusa.m. işaeti yazılı. Bu şekilde veilmiş ola faiz oaıa omial faiz oaı dei. Nomial faiz oaı, aslıda baz kabul edile faiz vadeside yüz aa biimii büyüme miktaıdı. Acak fiasma ya da yatıımlala ilgili kaalada vade uzuluğu yıl olduğu kada yılda daha kısa süeli olabili. Öeği tahvil faizleii he altı ayda bi ya da üç ayda bi ödemesi; ya da aylık, üç aylık, altı aylık vadeli hesa açtıılmasıda olduğu gibi. Bu gibi duumlada yıllık olaak veile faiz oaıda etki faiz oaı (ölatif faiz oaı) buluaak işlem yaılmalıdı. Etki faiz oaıı, yıllık omial faiz oaıı (cai faiz ya da iyasa faiz oaı da deile) yıl içideki döem sayısıa bölümesiyle buluu. Etki faiz oaı, omial faiz oaıı bi kısmı gibi belitili. Öek, omial yıllık faiz oaı yıl bazıda veilmiş ike altı ay vadeli bi hesa açtıılısa, altı ay yılı yaısı olduğuu göz öüde buluduaak etki faiz oaı da omial faiz oaıı yaısı olacaktı. Nomial faiz oaı yıl bazıda, faiz hesalama vadesi aylık ise, etki faiz oaı, omial faiz oaıı o ikide bii olacaktı. Beze şekilde, omial faiz oaı sömesteli (yaım yıllık) olduğuda, üç aylık faiz vadesi içi etki faiz oaı omial faiz oaıı yaısıa eşitti, çükü üç aylık döem altı aylık faiz vadesii yaısıdı. Nomial faiz oaı üç aylık, faiz hesalama vadesi yıllık olduğu duumda, bi yıla kaşılık gele etki faiz oaı veilede döt kat büyüktü, çükü yıl, üç ayı döt katıdı. Kaşılaştıma yamak içi aşağıdaki tabloyu iceleyebilisiiz. Oada m =, m =, m = 4, m = ve beze. Faiz vadesi Nomial faiz oaı Etki (ölatif) faiz oaı Yaım yıllık (sömestal) % 8.a. % 4.s. Yıllık % 8.a. % 6.a. Üç aylı % 8.a. %.q. Aylık % 8.a. % 0,667.a. İki yıllık % 8.a. % 3 İki aylık % 8.a. %,

33 He döem souda faiz hesalaaak aaaaya katılısa döem sou (dekuzif) faizleme söz kousu olu; böyle duumda faiz oaı.a.(d) ile işaet edili. Döem sou faizlemei faiz hesalaması başlagıçta yatııla aaaaya göe uygulamaktadı. Faizleme he döem başlagıcıda yaılısa, döem başı faizi hesalaması içi temel değe, döem souda elde edile aaaadı; bu işleme döem başı (atisiatif) faizleme dei ve.a.(a) ile işaet edili. İki şekilde veilmiş ola (döem sou ve döem başı ) faiz oalaıda hagisi daha kâlı olduğuu alamak içi, he ikisii ayı şekilde ifade etmemiz geeki. Bu duumda, ayı aaaada bi yılda ayı faiz miktaı, yai ayı biikim K elde edilmesi öemlidi. Faizii belitilmesi isteile temel değe (aaaa) K veilmiş ve faiz oalaı π%.a.(a) ve %.a.(d) veilmiş olsu. Faiz hesalama şeklii taımlaıa göe döem sou u faizlemede hesalaa aaaaya katılı ve yıl souda K K K. değei elde edili. döem başı faizlemede, boçlu faiz miktaıı π faiz oaıyla öcede ödemelidi. Bu demekti ki biici döem başlagıcıda, hesalaa faiz temel değede çıkaıldığıa göe K değeii değil K K K K değeii çekebili. Bu duumda aaaaı başlagıç değei K K K di. Oada K K olu. K i so değeleii eşitleyeek K K, eşitliği, ya da. deklemi elde edili. π.a.(a) faiz oaı belli olduğu duumda, döem sou faiz oaıı, fomülüyle hesalayabiliiz. %.a.(d) belli olduğu duumda ise döem başı faiz oaı fomülüyle he salaabili. 6. Bi baka %6.a.(d) faiz oaıyla, diğe bi aki baka ise %5,7.a.(a) faiz oaıyla boç veiyola. Hagi bakaı faiz oaı daha uygudu? He iki faiz oaıı kaşılaştıacağız. Halbuki öce döem sou faiz oaıı, döem başı faiz oaıa ve tesie döüştümemiz geeki. 3

34 Döem sou faiz oaıı, döem başı faiz oaıa döüştüüyouz %5,66.a.(a) elde edili. Bua göe % 5,7.a.(a) faiz oaı vee baka daha hesalıdı Bua iamak içi, tes döüşümü de yaacağız. Döem başı faizi döem sou faize döüştüüyouz %6,04.a.(d). Buada da göüldüğü gibi göe % 5, , ,7.a.(a) faiz oaı daha hesalıdı. Alıştımala dea aada % 5 faiz oaıyla basit faizde a) 5 yılda b) 3 ayda c) 5 güde (30,360) ve (k, 365) zama matisleie göe e kada faiz getii?. Faiz oaı %5 basit faiz ile yatııla bi temel kaital K, kaç yıl bakada yatıılmalıdı ki elde edile faiz miktaı temel değee eşit olsu? (Not. K = I) dea boç içi basit faiz hesabıa göe 4 yılda tolam 6900 dea faiz ödemişti. Faiz oaı e kadadı? 4. Yatııla hagi aaaaya %6 faiz oaıyla 3540 dea faiz miktaı ödemişti: a) 4 yılda; b) 8 ayda? 5*. Bi bakaya, aalaıdaki fak 000 dea ola iki faklı kaital yatıılmıştı. Büyük ola aa miktaı %4 faiz oaıyla bi yıl içi küçük ola aa miktaı ise %6 faiz oaıyla 0 ay vadeyle yatıılmıştı. He iki kaitali getidiği faiz miktaı eşit olduğua göe iki faklı kaitali tolamıı hesalayıız. 6. Veile %.a. omial yıllık faiz oaı içi şulaı belitiiz: a) yaım yıllık vadeli etki (ölatif) faiz oaıı; b) üç aylık vadeli etki faiz oaıı; c) aylık vadeli etki faiz oaıı; 7. Üç aylık omial faiz oaı %.q. veilmiş olduğu halde şulaı belitiiz: a) yaım yıllık etki faiz oaıı; b) yıllık etki faiz oaıı; c) aylık etki faiz oaıı. 3

35 8. %0 döem sou faiz oaıı, döem başı faiz oaıa döüştüüüz. 9. %0 döem başı faiz oaıı, döem sou faiz oaıa döüştüüüz. 0*. Hagi faiz oaı daha kazaçlıdı %6.a.(a) yoksa %6,5.a.(d)... Temel Değei Gelecekteki Değeii Hesalamak Bileşik faiz hesalamalaıı yaake, faiz oaıda başka, temel aaı faiz vadesi souda faiz miktaı kada büyümüş değeii de bilmek geeki, yai faizlee değe ya da i / i. Bu duumda, tüm faiz vadeside elde edile faiz miktaıı temel değee katmakla, elde edile aa miktaıa, temel aaı gelecekteki değei dei. Faizlemesi yaıla temel değei başlagıç miktaıa şimdiki değe de dei. Başlagıçta döem sou faiz oaıyla işlem göe K aa miktaıı iceleyelim. K, K,.. K, sıasıyla biici yıl souda, ikici yıl souda,. yıl souda elde edile kaital olsu. Bu değele bi geometik dizii oluştuduğuu gösteeceğiz. Bu temel değei yıllık %.a.(d) faiz oaıyla yılda asıl değiştiğii iceleyeceğiz. Hesalaa he faiz miktaı döem souda aaaaya katıldığıı ve iledeki döemde büyüye aaaa temel kaital olaak alıdığıı hatılatalım. Döem souda kaitali değei biici yıl souda K K K K 00 00, olu. K ikici yıl souda K K K K, Ayı şekilde devam edesek. yıl souda K K K K K, elde edili Buada iki adışık değei K s- ve K s ayıısak, s yıl souda temel kaitali tolam değei, oda öce gele K s- değeie hesalaa faizi katılmasıyla K s miktaı elde edili, yai 33

36 K s K s K s K s olu Bua göe, hehagi iki adışık temel miktaı oaı, yai iki adışık döem soudaki miktalaı oaı: K s olu. K s 00 Açıktı ki, K, K, K,... K değelei otak çaaı ola bi geometik dizi oluştuuyola. Bu duumda veile koşullaa göe kaitali so değei içi: 00 K K( ). 00 fomülü elde edili. Bu fomülü yukaıda adı geçe aametelele geişleteceğiz. Bula bi yılda faiz döem sayısı m, etki faiz oaı daha doğusu, buada döem sou faiz oaıdı ve faizleme dev- m eleii tümü m di. Faiz vadeleii tümü, aslıda faizi hesaladığı yıl sayısı ve faiz vade sayısıı çaımıdı. Bu koşullala, yai bi yılda faiz döem sayısı m olduğuda aaaaı gelecekteki değei içi m K K( ). 00m fomülü elde edili., çaaıa döem sou faiz katsayısı dei. Bu katsayıyı aaaaı gelecekteki değe fomülüde f değiştiisek 00m m K K fomülü elde edili. Not. Aaaaı gelecekteki değeii daha kolay biçimde hesalamak içi, i / i şeklide işaet ettiğimiz faizi faizie ait özel tablola geliştiilmişti. Oada, veile faiz oaı içi e çok kullaıla aametele öcede hesalamış olduğua göe hazı değele gibi kullaılabiliyola. Öek, ilk i / i tablolada faiz katsayısıı değeleii, yai bi aa biimii so değeii döem sou faiz katsayısıyla çaımıı göstemektedi. Oada değei I ile işaet edilmişti ve aaaaı gelecekteki değeii, yılda bi faizi hesalamasıyla, yılda faiz oaı %.a.(d) olduğuda 34

37 K K, fomülü elde edili. Faizleme yılda biçok defa yaılısa, fomül u m K K, m şeklii alı. Buada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla çaılı, faiz oaı ise vade sayısıyla bölüü. Vade sayısı m ile işaetlemişti, yai yılda kaç defa faizleme yaıldığıı göstee sayı olaak gösteili dea aa 0 yılda %8.a.(d) faiz oaıyla, faiz hesalaması yıllık vadeli, yaım yıllık vadeli ve üç aylık vadeli olduğua göe aaı gelecekteki değeii hesalayıız. Veilele: K = 5 000, = 0, = 8%.a.(d). a) Faiz hesalaması yıllık vadeli olduğua göe m = di. Döem sou faiz katsayısı 8,08 di. 00 Açıktı ki, K 0 = K 0 = ,08 0 = 653,93 dea olacaktı. b) m = olsu, yai faiz hesalaması yaım yıllık vadeli olsu. Döem sou katsayı 8,04, aaaa ise K 00 0 = K 40 = ,04 40 = 005,5 dea olu. Bu ise yıllık faiz hesalamasıda fazla olduğu göülüyo. c) m = 4 olsu, yai faiz hesalaması üç ayda bi vadeli yaılmış olsu. Döem sou katsayı, 0, aaaa ise K 0 = K 80 = 5000,0 80 = 885,98 dea olu Döem sou faiz hesalamasıda faiz develeii atmasıyla aaaaı (yatıımı) da gelecekteki değei ata. Yai, faizi hesalaması e kada daha sık yaılısa m değei de o kada ata, buula yatıımı gelecekteki değei de ata. Nomial faiz oaı bi yılda az vade içi veildiğide, yıllık faiz oaıyla e olduğuu icelesek, bu duumda yıllık faiz oaı etki faiz oaı olüü alacaktı. = %8.s.(d) ise, bu faiz oaı sadece yaım yıl içi geçeli olduğuu göz öüde buluduaak yıllık etki faiz oaı %6 olu. =% 8.q.(d) üç aylık vadeli faiz oaı ise, etki yıllık faiz oaı % 3 olu. 35

38 . Başlagıç değei dea ola bi kaitali, = %8.m.(d) faiz oaıyla, faiz vadesi yılda döt defa yai üç aylık faizi hesalamasıyla 5 yıl soa gelecekteki değei belitilsi. Öce yıllık etki faiz oaıı belitmek geeki, bu ise yıllık 8 = %96 dı. Halbuki, faiz 96 vadesi yılı dötte bii olduğuda üç aylık vadeli faiz oaı %4 olu. Bi aylık vade, üç 4 ayda kaç defa geldiğii düşüüsek ayı souca vaabiliiz. Bi çeyek yıl üç ay olduğuda 3 8 = 4% elde edili. faizleme işlemii tolam vade sayısı m = 5. 4 = 0 di. Aaaaı gelecekteki değei: K , , olduğua göe, K 5 = ,74 dea olduğuu buluyouz. Sıadaki öekte, bi aaaaı gelecekteki değeii hesalake, bileşik faiz hesabıı uygulaması ya da basit ve bileşik faiz kaması kullaılmakla elde edile fakı göeceğiz güü dea yatıılmıştı. Faiz oaı = %6.s.(d), faiz hesalaması üç aylık vadelele yılı 30.09, 30., ve güleide yaıldığıda zama matisi (30, 360) koşuluyla, oucu yılı 8.07 güü (ilk güü dahil) yatıımı değei e kada olacaktı? Yatıımı şimdiki değei K = 8 000, faiz vadesi çeyek yıl, yai m = 4, faiz oaı = %6.s.(d), yıllık ölatif faiz oaı %.a.(d) aametelei veilmişti. 6 Kaşılık gele faiz katsayısıı değei,03 tü. 00m 00 4 Yatıımı faizde kalma zamaıı belitmemiz geeki. Yatıımı yaıldığı gü 5.09 de faizi ilk hesalama güüe kada sadece 5 gü vadı. Bu gülei veile zama matisie göe 5 yıl olaak ifade edesek t ' yıl olu. Oda soa 30. taihie kada, yai yılı soua kada bi faiz devesi vadı. İkici yılı başlagıcıda dokuzucu yılı soua kada tolam 8 yıl 360 olduğua göe tolam 3 faiz vadesi vadı. Oucu yıl boyuca taihie kada tam vade ve yatıımı kaldıılacağı güe kada daha 8 gü vadı. Demek ki tolam 35 tam faiz vadesi ve 5 8 ilk yılı t' ve oucu yılı t = 8 gü yıl faiz zamaı elde edili

39 Yatıımı gelecekteki değeii sadece bileşik faiz hesabıı kullaaak hesalıyosak, zamaı tam vade sayısıa, kala gülei ise yıl olaak ifade edeceğiz. Bua göe: K K 35 t' m t" m 8000,03 35, , ,9 dea elde edili. Zamaı tamamıı yıllala ifade edesek, tam vadele 3 aylık yai 90 gü olduğuu göz öüe buluduaak yıl olu. O halde K 8000, , 9 dea olduğuu buluyouz. 360 Faizde kalma zamaıı sadece tam vadeleie basit faiz hesabıı uygulayaak, bileşik ve basit faiz hesalama kombiasyou kullaalım: K 35 K( t') ( t"), fomülüde, sıasıyla öce ilk yılı 5 güü, oda soa 35 tam faiz vadesi ve souda so yılı 8 güü yazılaak ),03 ( ) 5377,86 K 8000 ( dea elde edili. Demek ki, basit ve bileşik faiz kombiasyouu uygulayaak yatıımı gelecekteki değei, sadece bileşik faiz hesabı kullaaak elde edile miktada biaz faklaşıyola ve kombiasyo uygulayaak elde edile gelecek değe biaz büyüktü. Döem sou (soa) ve döem başı (eşi) faizleme aasıdaki temel fak, kouu başlagıcıda ifade edildiği gibi, döem sou faizlemede faiz miktaı döem souda aaaaya eklei, döem başı faizlemede ise faiz miktaı aaaaya eşi eklei. Döem başı faizde boçlu, faiz oaıyla K kaitalie geeke faiz miktaıı eşi ödeme yükümlülüğüü kabul etmişti. K, K,...,K biici, ikici ve beze şekilde - yıl souda kaitali değelei olsu. Biici vadesi başlagıcıda boçlu K değeii değil K K K K K değeii alabilecekti. O halde biici yıl souda boçluu yıllık (m = ) faizleme ile ödeyeceği 00 mikta elde edili. K 00 K K

40 İkici yıl souda, bileşik faiz hesaladığıa göe, faiz tabaı biici yıl souda elde edile miktadı, yai şimdi K di. Demek ki, ikici yıl souda K K K mikta ödemelidi. Bu şekilde devam edeek faizlemei so ci yılıa geliyouz ve aaaaı gelecekteki değei K K K olu. döem başı faizlemede kaitali so değelei K, K, K,.otak bölei ola 00 bi geometik dizi oluştuuyola. - ci döem souda kaitali değei K ise, K = K -, geçe- lidi, yai döem başı faizlemede yıl soa kaitali değei K K. olu. 00 katsayısıa döem başı faiz katsayısı dei Elde edile fomüllei, bi yılda faiz döem sayısı m, etki faiz oaı (ölatif faiz oaı) m π ; buada yıllık döem başı faiz oaıdı ve faiz süesii tolam sayısı m aameteleiyle geişlettiisek, kaitali gelecekteki değei içi şu fomülü elde edeceğiz: K m m K K 00m 00 m m. 00m Fomülde döem başı faiz oaıı katsayısı. koyasak, kaitali gelecekteki değeie ait 00m u m K K, fomülü elde edili. Not. i / i tablolaıda döem sou hesalamada olduğu gibi ρ değei I π ile işaet edili ve yıllık faizlemeyle şimdiki değei (aaaaı) gelecekteki değeii hesalamak içi şu fomül elde edili: 38

41 K K, Bua kaşılık, faizi hesalaması yılda bikaç kez yaıldığıda yukaıdaki fomül K K, m m şeklie döüşü. Bu duumda zama faiz develeiyle çaılı, faiz oaı ise faiz döem sayısıyla bölüü. So fomülle döem sou faizleme fomülüyle ayıdı, halbuki faklı faiz katsayılaıda ötüü elde edile so değele bibiide faklıdı. 4. Şimdiki değei dea ola kaitali, 0 yılda %8.a.(a) omial faiz oaıyla, yıllık, yaım yıllık ve üç aylık faiz develeiyle elde edilecek soaki değei e kadadı? Ödevdeki veilee göe K = 5 000, = %8.a.(a) veilmişti. a) Yıllık faiz devesi m = olsu. Öce döem başı faiz katsayısıı hesalıyouz: 00, Kaitali gelecekteki değei K 0 = K 0 = 5000, = 3498,59 elde edili. b) m = olsu, yai faizi hesalaması yılda iki defa yaıldığıı alalım. 00m 00 Peşi faiz katsayısı, , olduğuu buluyouz. Bua göe 00m 9 kaitali gelecekteki değei K 0 = 40 = 5000, = = 7964,85 dea olduğuu buluyouz. Göüldüğü gibi, yıllık faizlemeyle elde edile gelecekteki değe göe, yaım yıllık faizleme ile elde edile gelecekteki değe biaz azalmıştı. c) m = 4 olsu, yai faizi hesalaması he üç ayda yai yılda 4 defa yaıldığıı alalım. 00m 400 Peşi faiz katsayısı, 00408, olduğuu buluyouz. Bua göe kaitali gelecekteki değei K 0 = 80 = 5000, = 5848,6 dea olduğuu buluyouz. 00m 39 Peşi faiz hesalamasıda, faiz develeii atmasıyla kaitali gelecekteki değei azalmaktadı. Döem sou ve eşi faizi hesalamasıyla elde edile gelecekteki değelei bibiiyle kaşılaştıısak ayı koşulla altıda döem başı faizleme ile döem sou faizlemede daha büyük değe vei. Bua göe boç kedi alıdığıda alacaklıya döem başı faiz hesalaması daha hesalıdı, boçluya ise döem sou faiz hesalaması daha kâlıdı. 5. yıl ve 6 ay öce bakaya dea yatımış ve bi yıl ve 3 ay soa dea çekmemiz geeki. Faiz oaı %6.a.(d), faiz hesalaması 3 aylık develele yaıldığıda bu güde 3 yıl soa yatııla aaı gelecekteki değei e kada olacaktı? Ayı koşulla altıda fakat döem başı faizleme ile aaı gelecekteki değei e kada olacaktı? 39

42 He miktaı ayı ayı gelecekteki değeii hesalayacağız. Yatııla mikta içi faiz süesi 5,5 yıl, çekile mikta içi faiz süesi bi yıl ve 3 ay ve bu güde soa 3 yıl soaki tolam zama süesi yıl 9 aydı ya da ay dı (şek. ). Şek. 6 Döem sou faiz katsayısıda, 05, yaalaaak miktaı 3 yıl soa gelecekteki 4 00 değei S , , ,05 5,54 7 S , ,058, elde edili, yai S = 33644,6 dea olduğuu buluyouz ,8 dea olduğuu buluyouz Peşi faiz hesalamasıyla faiz katsayısı, di. Bu duumda miktaı gelecekteki değei Alıştımala. 8 yıl 8 ay ve 0 gü evvel % 8.a.(d) faiz oaıyla dea yatıılmıştı: a) faiz devesi yıllık; b) faiz devesi üç aylık olduğua göe, yatııla aaı bugükü değei e kadadı? Hesalamalaı öce bileşik faiz hesabıyla, soa bileşik faiz ve basit faiz kombiasyouyla hesalayıız dea ilk 5 yılda % 6.a.(d) faiz oaıyla ve yaım yıllık faiz devesiyle, oda soa daha 4 yıl %8.q.(d) faiz oaıyla ve aylık faiz devesiyle ve souda daha yıl, %7.s.(d) faiz oaıyla ve üç aylık faiz devesiyle bi bakaya yatıılmıştı. Yatııla aaı gelecekteki değei e kadadı? 3* dea ilk 5 yılda %6.a.(a) faiz oaıyla ve yaım yıllık faiz devesiyle, oda soa daha 4 yıl %8.q.(a) faiz oaıyla ve aylık faiz devesiyle ve souda daha yıl, %7.s.(a) faiz oaıyla ve üç aylık faiz devesiyle bi bakaya yatıılmıştı. Yatııla aaı gelecekteki değei e kadadı? 40

43 4. yıl 3 ay öce dea ve bugü daha dea bakaya yatıılmıştı. Faiz oaı % 5.a.(d) ve yaım yıllık develede faizi hesalamasıyla bu güde dödücü yılı soua kada yatııla aaı gelecekteki değei e kadadı? 5*. Bugü dea bakaya yatııyouz, üç yıl soa ise 000 dea çekecek ve beş yıl soa daha dea yatıılacaktı. Faiz oaı %6.a.(d) ve faiz hesalaması üç aylık olduğua göe bu güde 8 yıl soa bakada e kada aamız olacaktı? Faiz oaı %6.a.(a) uyguladığı duumda elde edile gelecekteki değei ilki ile kıyaslayıız. 6*. Döt yıl öce dea ve bugü daha dea bakaya yatıılmış, iki yıl soa dea çekilecekti. Yatıımlaa %6.a.(d) faiz oaı ve yaım yıllık develede faizi hesalaması uygulamaktadı. Bu güde sekiz yılı soua kada yatııla aaı gelecekteki değei e kadadı? 7*. 5 yıl öce dea, 9 yıl öce daha dea bakaya yatıılmış ve 5 yıl öce hesata dea çekilmişti. Faiz işlemi üç aylık develele %5.a.(d) faiz oaıyla yaıldığıa göe aaı bugükü değei e kada olacaktı?.3. Kofom Faiz Hesabı Döem sou yai faizi döem sou hesalaması söz kousu oluca, atik edelede dolayı, şimdiye dek kulladığımız faiz oalaıda faklı bi cis faiz oaıa ihtiyaç duyulmaktadı. Buu sebebi, bi yılda faiz develeii atmasıyla faiz miktaıı atışıı soucu olaak döem sou faizlemede, kaitali değei de ata ve bazı alaşmazlıklaa sebe olabili. Etki faiz oaıı uygulamakla sadece aa değei faizi değil, faizi de faizi hesalamaktadı. Bu duumda temel değei yıllık faizleme ile ve yılda bikaç defa faizleme ile elde edilecek gelecekteki değele aasıda fak otaya çıkmaktadı. Bu fakı otada kaldımak istesek, etki faiz oaı yeie kofom faiz oaı deile faiz oaıı uygulayacağız. Bu faiz oaıyla, faiz iste yıllık hesalamayla, iste yılda bikaç devede faizi hesalamasıyla ayı faiz miktaı elde edili. Kofom faiz oaıı k,m ile işaet edeceğiz. Bi yılda m defa faizleme ile ve yılda bi defa faiz oaı olmak üzee yaıla faizleme ile ayı faiz miktaı vee kofom faiz oaı şu fomüllei eşitlemesiyle elde edili: 4

44 m k, m K K, m k, m oada da elde edili. Bu deklemde kofom faiz oaı içi şu fomül elde edili: u f 00 m k, m. 00 Elde edile kofom faiz oaı, daima etki faiz oaıda küçüktü.. Yıllık omial faiz oaı = %.a.(d) olduğua göe, üç aylık kofom faiz oaı e kadadı? Elde edile faiz oaıı, etki faiz oaıyla (ölatif faiz oaıyla) kaşılaştııız. Oda soa 0000 dea aaaaı he iki faiz oaıyla bi yıl souda gelecekteki değeleii hesalayaak kaşılaştııız. Faiz döem sayısı m = 4 tü. Yukaıda elde edile fomülde 00, 4 4 k 00 %,87 elde edili. Diğe taafta üç aylık etki faiz oaı %3, 4 olduğuu buluyouz. Göüldüğü gibi, etki faiz oaı kofom faiz oaıda büyüktü. Kofom faiz oaıı veile aaaaya uygulayaak gelecekteki değei 4,87 K ,37 dea elde edili. Etki faiz oaıı uygulamakla 00 4 K' dea elde edili dea, 0 yılda, omial faiz oaı %8.a.(d), faizleme yaım yıllık ve üç aylık olmak üzee, kofom faiz oaıı kullaıldığıda aaaaı gelecekteki değeii hesalayıız. a) m = olsu. Yılda iki faizlemeye kaşılık gele kofom faiz oaı 40 8,, 00 k m 3,93% 00 di. Aaaaı gelecekteki değei içi, 0 k m K K , ,755 elde edili. Bu şekilde elde edile kaital, ölatif faiz oaıyla yaıla hesalamaya göe elde edile kaitalde küçüktü, halbuki yıllık faizleme ile elde edile kaital ile heme de ayı olduğuu göebiliiz. 4

45 8 Öek, etki faiz oaıı uygulayaak K 0 ' , 5 dea, yıl lık faizleme ile K 0 '' , 93 dea elde edili k 8 b) m = 4 olsu. Kofom faiz oaı 00, 4 k m,943% 00. Kofom faiz oa-, m 80 ıyla kaitali gelecekteki değei K 0 K 5000, , 5 00 dea dı. Etki faiz oaıı kullamakla K 0 ' K 5000,0 885, 98 dea 4 00 elde edili. Yılda bi faizleme işlemi yaaak К 0 '' = 653,93 dea elde edili. Yıllık faizleme ile ve döem faizleme ile yaıla işlemlede kaitali gelecekteki değeiyle ilgili meydaa gele samala, Kofom faiz oaıda yaıla yuvalamada kayaklaı Alıştımala. Bugü yatııla 8000 dea %.q.(d) faiz oaıyla, yaım yıllık döem faizleme işlemi uygulayaak yıl 9 ay soa hagi değee bağlı olacaktı? Kofom faiz oaıı uygulayıız.. Bugü 0000 dea yatıı, iki yıl soa 7500 dea çekilecekti. Faiz oaı %9.s.(d), döem vadesi 3 ay olmak üzee, bu güde üç yıl soa e kada aamız olacaktı? Kofom faiz oaı uygulamalıdı. 3. Bakaya dea: a) etki faiz oaı; b) kofom faiz oaı %8.a.(d) ve faiz hesalama vadesi 3 ay olmak koşullaıyla aa yatıdık. 0 yıl soa e kada aamız olacaktı? 4. Üç aylık faiz vadesie ait %,467 kofom faiz oaıı yıllık faiz oaıa döüştüüüz. 5. %8.a.(d) faiz oaıı veiliyo. Yaım yıllık ve üç aylık faiz vadesie kaşılık gelecek kofom faiz oaıı hesalayıız. 43

46 6*. 5 yıl öce bakaya 7000 dea, 9 yıl öce daha 4000 dea yatıılmış, 5 yıl öce ise hesata 5000 dea çekilmişti. Faizi hesalaması 3 aylık vadelele ve %5.a.(d) faiz oaıyla yaıldığıa göe, hesabımızda bugüe kada e kada aa biikmişti. Kofom faiz oaıı hesalayıız..4. Yatııla Paaı Başlagıç Değei ve Faiz Miktaıı Hesalaması Bazı duumlada, belli bi zamada, belli faizleme oaıyla e kada aaya ihtiyacımız olacağıı biliyo, fakat buu içi bakada e kada aaı yatıılması geektiğii bilmiyouz. Aslıda, faiz oaıı, yıl içideki faiz döem sayısıı m ve faiz zamaı ile biike K değei bilidiğie göe, K başlagıç miktaıı, yai aaaayı hesalamamız geeki. Veile kaitali gelecekteki değeii hesalamak içi elde ettiğimiz fomülde, temel değe içi şu fomüllei belitebiliiz: m K K K, döem sou faizleme içi ve m ( ) 00m K K m K 00m m, döem başı faizleme içi. Biike aaı başlagıç değeii bulma işlemie, iskotolama ya da biike değei başlagıç değeii belitme dei. Faiz oalaıı çaımsal tes -m ve ρ -m değeleie iskoto katsayılaı (faktölei) dei. Not. Buada öemli ola i / i tablolaıda yaaladığımızda ele oluyo bilmemiz geeki. Döem sou ve döem başı faizlemei katsayılaı a kaşılık gele I ρ ve I π değele yaı sıa, değelei ikici tabloda okua ve, iskoto katsayılaı da belitili. İkici tabloladaki değele, biici tabloladaki değelei çaımsal tesleidi. Bua göe temel değei başlagıç değeii belitmek içi fomülle K K, yıllık döem sou faizleme içi ve K, K yıllık döem başı faizleme içi şeklide yazabiliiz. 44

47 Tabi ki, yılda bikaç defa faizleme yaılıyosa zama süesi faiz döem sayısıyla çaılı, faiz oaı ise yıl içideki faiz döem sayısıyla bölüü. Bua göe başlagıçtaki temel değe K K, döem sou faizleme içi ve m m K K, döem başı faizleme içi fomülleiyle hesalaabili.. Faiz oaı %6.a.(d) ve yıllık faiz vadesiyle döt yılda dea biiktimemiz geekise, bakaya e kada aa yatımamız geeki? Buada m = 4, K 4 = , = %6.a.(d) olduğu açıktı. Öce faiz katsayısıı oda soa iskoto katsayısıı hesalayalım,, Bua kaşılık iskoto katsayısı 0, 9434 elde 00 edili. O halde başlagıç (yatıılması geeke) kaital K , , 3 4,06 dea olduğuu buluyouz.. Hagi temel değe döt yılda döem süesi: a) yaım yıl; b) üç ay olmak üzee yatımalıyız ki, gelecekteki değei 0000 dea olsu? Temel değei gelecekteki değei K 4 = 0000 deadı. He iki duumu ayı ayı iceleyeceğiz. 8 4 a) m,,04, demek ki K 0000, ,9 deadı; 00 8 b) m 4,,0, oada 0000,0 4 4 K 784,46 dea elde edili Üç yılda, aylık vadeli %6.a.(a) faiz oaıyla 4300 dea ola aaı başlagıç değeii belitiiz. Söz kousudu: bi yılda m = faiz hesalaması, kaitali so değei K 3 = 4300, ve faiz oaı = %6.a.(a) döem başı faizlemedi. Kaitali başlagıç değei fomülüde, K K 00 dea elde edili m m , ,97 4. Altı yıl öce 7000 dea boç alımış, o yıl soa ise daha dea bocu ödemesi geeki. Öceki bocumuzu ödeme imkâı olmadığıı vasayaak %4.a.(d) faiz oaıyla ve yaım yıllık faizleme ile bugü tüm bocu bide ödemek istesek, hagi mikta aayı ödemeliyiz? Ayı koşullala fakat faizleme döem başı (eşi) olmak üzee hagi mikta aayı ödemeliyiz? 45

48 Bocu geiye çevimediğimiz takdide, ou değei bugüe dek, faiz döem sayısı ve %.s.(d) etki faiz oaıyla elde edilecek faiz miktaı kada atmıştı. Demek ki, ödememiş boç bugü: ,0 olacaktı. Ayı zamada ikici bou süeside öce 00 ödediğimize göe, değei 0 yıl içi gei iskotolaacaktı ve ,0 0 olacaktı (şek.). Şek. Bu güü tolam bocu, hesalaa he iki bocu tolamıdı. Bua göe, tüm bocu bugü ödesek aaıla mikta: S = 7000, ,0-0 = 58469,5 deadı. 00 Faizleme döem başı yaıldığı duumda, faiz katsayısı, dea olu. 00 Bua göe geeke aa miktaı: S = 7000, , = 88330,94 deadı. Bakaya yatııla aa miktaıa (ya da gei çevilmesi istee boca hesalaa faiz miktaı e kadadı sousu da soulabili. Kaitali ilk ve gelecekteki değeleii bildiğimize göe, hesalaa faiz miktaı aslıda bu iki değei fakı olduğu açıktı. Faizlemei ci döem souda hesalaa faiz miktaıı I ile işaet edesek, faizleme şekli e olusa olsu ou değei I = K K fomülüyle hesalaı. Daha koke olaak, faiz oaı ve yıl içideki faiz döem sayısı m ola döem sou faizlemede faiz miktaı içi: I = K - K = K m - K = K( m -) fomülü elde edili, buada döem sou faiz katsayısıdı. Peşi (döem başı) faizleme duumuda faiz oaı ve yıl içideki faiz döem sayısı m olmak üzee faiz miktaı içi: I = K - K = K m - K = K( m -) elde edili; buada döem başı faiz katsayısıdı. Ayı fomülle, aa miktaıı sadece so değei yai gelecekteki değei bilidiğide de yazılabili. Bu duumda döem sou hesalamada: I m m K K K K K, ve döem başı hesalamada 46

49 ,98 m m I K K K K K olduğuu buluyouz. Not. i / i tablolaıda yaalaıyosak, fomülle: döem sou hesalama duumuda m m I K, ve döem başı hesalamada I K, şeklide ifade edili. Paa miktaıı sadece gelecekteki değeii kulladığımız duumda ayı fomülle m m m I K, ve m m I K biçimide ifade edili. m yıl öce 6%.a faiz oaı bazıda yaım yıllık faiz vadesiyle 0000 dea aa yatıılmıştı. Bileşik faiz hesabıa göe a) döem sou; b) döem başı faizleme uygulayaak bu mikta aaı faiz miktaı e kadadı? Kaitali başlagıç değei K = 0000 dea, etki faiz oaı %3 ve bi yıl içideki faiz döem sayısı m = biliiyo. Bu duumda tolam faiz döem sayısı 60 tı. 3 a) Döem sou faiz katsayısı, 03 olu. Hesalaa faiz miktaı I 30 = K 30 K = = (, ) = 4896 dea olduğuu buluyouz. 00 b) döem başı faiz katsayısı, 03093, olu. Hesalaa faiz miktaı I 30 = 30 - K = 00 3 = 0000 (, ) = 594,3 dea olduğuu buluyouz. So öekte de göüldüğü gibi, döem başı faizleme alacaklıya, döem sou faizleme ise boçlulaa daha uygu olduğuu kaıtlamaktadı. 6. Bugü yatııla aa, bi yıl altı ay içide dea aaya biiki. Faiz oaı 8%.a ve faiz vadesi 3 ay olduğua göe, a) döem sou; b) döem başı biçimde hesalaa faiz miktaı e kadadı? Kaitali gelecekteki so değei K,5 = dea, m = 4 ve tolam faiz döem sayısı 6 olduğuu biliyouz. a) İskoto döem sou katsayısı 0,9804, ve bu duumda hesalaa faiz miktaı I,5 K, , , 5,0 6 6 deadı. 00 0,98, ve bu duumda hesalaa faiz mik- 00 taı I b) İskoto döem başı katsayısı ,5 K,5 409, deadı. 47

50 Alıştımala. 0 yıl öce bakaya yatıdığımız bi mikta aaı biike bugükü değei deadı. Faizde kaldığı süede faizleme vadesi 3 aylık ve faiz oaı: a) = %6.a.(d); b) = %6.a.(a) olduğua göe bakaya 0 yıl öce e kada aa yatımışız?. Bi kişi, yıl soa 6000 dea, 5 yıl soa 4000 dea ve 8 yıl soa 8000 dea ödemelidi. Faiz oaı %6.a. yaım yıllık faizleme ile a) döem sou; b) döem başı olmak üzee, kişi bocu tümüü bugü ödemek istese, e kada aa ödemelidi? 3. Bi kişi, 38. yaş güüde bakaya %48.a.(d) faiz oaıyla ve aylık faiz döemleiyle dea aa yatııyo. Tam bi yıl soa yatııla aaya e kada faiz ödemişti? 4. Bi kişi bakaya dea aa yatımış ve iki yıl soa hesata dea çekmişti. Faiz oaı %.a.(d), üç aylık faiz döemleiyle, bu güde beş yıl soa zama süeside e kada faiz miktaı ödeecekti? (Not: Faiz miktaı iki kısımda hesalamalıdı. Bu güde soa iki yıl içi ve aa çekildikte soa kala aa miktaı içi faiz hesalaacaktı.) 5. Bi kişi döt yıl öce 4000 dea olmak üzee bocuu bi kısmıı ödemişti. Üç yıl soa daha dea ödemelidi. Kişi bocuu hiçbi kısmıı ödememiş olduğu vasayımıyla, iki yıl soa bocu tümüü bide ödemek içi kaç aa ödeyecekti? Yıllık döem sou faizleme olmak üzee, faiz oaı %6.a. olsu. Döem başı faizleme duumuda ise e kada aa ödeyecekti?.5. Faiz Döem Sayısıı ve Faiz Oaıı Hesalaması Şimdiye dek elde edile fomüllede yıl sayısı olaak öcede bilie ve geellikle yıl içide faiz döem sayısı tam olaak veilmiş şekilde ifade ediliyodu. Zama süesi yıl olaak değil başka şekilde veildiği duumlada yie zama süesii yıl bazıa çevieek hesalamalaı yaıyoduk. Bu ise atikte, özellikle faizleme zamaıı hesalake çok seyek astlamaktadı. Veile bi kaitali belli miktada faiz getidiği zamaı ya da faiz döem sayısıı asıl hesaladığıı göeceğiz. Başlagıç kaital K, döem sou faizleme %.a.(d) faiz oaıyla, yıl içideki döem sayısı m ve faiz süesi tam sayı olmak mecbuiyetide olmaya yıl olsu. Kaitali 48

51 K, döüşümle yaaak faiz süe- 00m gelecekteki değeii hesalaya fomülü K sii bulalım. Bua göe, m m K, K 00m bu ifadei logaitmasıı alaak m K log log K 00m elde edili. Logaitma işlemii temel özellikleide yaalaaak log K mlog K 00. m elde edili. Fomülde, döem sou faiz katsayısıı kataak, faiz süesie ait 00m K log, m log K fomülü elde edili. 0 tabalı logaitmala çok sık e tabaıa göe logaitma ile değiştiili. Böyle duumda elde edile fomülü kaşılığı ola: K l fomül elde edili. ml K Beze şekilde, faizleme döem başı olduğu duumda, faiz oaı %.a.(a), yıl içideki faiz döem sayısı m olduğuu vasayaak, kaitali gelecekteki değe fomülüü logaitmasıı almakla: K 00m log m log K 00 m 00m elde edili. Bu ifadede, döem başı faiz katsayısıı katmakla 00m log K m log, K elde edili. Bu şekilde faiz süesie ait m log fomülü elde edili. K log K. a) Yatııla 5000 dea aa, %6.a.(d) faiz oaıyla kaç yıl soa 985,3 dea olacaktı? 49

52 b) Yatııla 300 dea aaı, %8.a.(a) faiz oaıyla kaç yıl soa gelecekteki değei 845,7 dea olacaktı? Ödevde veile veile, zamaı hesalaması içi yukaıdaki fomülü uygulamasıa yetelidi. Faiz katsayısıı hesaladıkta soa, fomülde yeie koyaak: 6 985,3 a), 03, oada log 3 yıl elde edili. 00 log, ,7 b), , oada log yıl olduğuu buluyouz. log, Fomülde uygulaa logaitma işlemi, kaitali gelecekteki değeii hesalamak içi elde edile fomülde bilie tüm veile değiştiildikte soa da yaılabilidi. Kaitali gelecekteki değeii hesalamak içi kullaıla i / i tablolaıda zamaı da belitebiliiz. Buu biici i / i tabloda okuyaak ya da kaitali başlagıç değeie ait ikici i / i tabloda okuyabiliiz.. Yatııla dea aaya, yıllık faizleme uygulayaak, %5.a.(d) faiz oaıyla kaç yıl soa gelecekteki değei 430,5 dea olacaktı? Kaitali gelecekteki değei K = K -I fomülüde faiz oaı katsayısı içi 430,5 5,55065 elde edili. Biici fiasal tabloda, %5 faiz oaı bölümüde 00000,55065 değei =4 satııa kaşılık geli. Halbuki, i / i tablolada yaaladığımızda bazı duumlada aadığımız değe tam olaak tabloda olmayabili, acak aadığıız değe tablodaki iki değe aasıda buluabili. Böyle duumlada doğusal iteolasyo (aa kestiim) yötemi deile kualı uyguluyouz. Liee iteolasyo yötemi deile kualı ilkesi, aslıda oatılaı özelliğie dayaı. Yai, tabloda adı sıa gele iki değei fakı, olaı eyotlaı aasıdaki fak ile oatılıdı. Buu koke bi öekle iceleyelim. 3. Yatııla dea, yaım yıllık faizleme döemleiyle %6.a.(d) faiz oaıyla e kada zama soa deaa biikecekti? Kaitali gelecekteki değei fomülüde, tablolaı kullaaak K K, değeii K,5 elde edili. Biici i / i tabloda % 3 etki faiz oaıa kaşılık gele sütuda,5 değeii bulamıyouz. Bu sayı, <,5 <,55897 aasıda bulumakta- K dı. Bulaa kaşılık gele satılada, küçük değee 3, büyük değee ise 4 faiz döem sayısı kaşılık geli. 50

53 Ödevimizi cevabı, 3 ve 4 sayılaı aasıda ola yaım yıl sayısıdı. Buu tam olaak belitmek içi aşağıdaki tabloyu oluştuuyouz:, , , ,5 Daha uygu göüülük sağlamak içi, sütuladaki değelei faklaıı hesalayaak ayı tabloda yazdıkta soa şu oatıyı kuuyouz: (, , ): (4-3) = (,5 -, ): ( -3). Demek ki, 0, , 0, oada da = 3,74 elde edili. Demek ki, faiz süesi = 6,857 yıldı. Bu sayıyı, yıl ay ve gülee çevimek içi, sayıı odalık kısmıı ile çaaak aylaı buluyouz, elde edile sayıı yei odalık kısmıı 30 ile çamakla gü sayısıı elde ediyouz. Bua göe 0,857 kısım yıl, aslıda 0,857 = 0,84 aydı. Şimdi, 0,84 ay kısmıı gülee çevielim: 0, güdü. O halde, faiz süesi 6 yıl 0 ay 9 gü olduğuu buluyouz. Ayı şekilde, faiz süesii hesalamak içi ikici fiasal tabloyu da kullaabiliiz. 4. Yatııla 0000 dea kaital %6.a.(d) faiz oaıyla ve yaım yıllık faiz vadesiyle, e kada zamada deaa atacaktı? a) Öce çözümü fomülü doğuda doğuya kullaaak logaitma işlemi yadımıyla belitelim. Faiz katsayısı =,03, m = olduğua göe, kaitali gelecekteki değei fomülüde değiştieek 80000, elde edili. Bu deklemi he iki taafıı logaitmasıı alısak, log 4 =. log,03, oada da = 3,457 yıl elde edili. b) Ayı souca, ikici fiasal tabloyu kullaaak asıl vaıldığıı göelim. K K 3, fomülüde 3 0, 5, elde edili. Bu değe %3 sütuuda bulumadığıa göe, bua e 4 yakı iki adışık değei buluyouz:0,493 < 0,5 < 0,567. Küçük ola değe 47 yaım yıl vadesie, küçük ola değe ise 46 faiz vadesie kaşılık geli. Bu değelei tabloda yazdıkta soa, oatıyı daha kolay kumak içi so satıda değelei faklaıı da yazacağız. 5

54 3 3 0, , , ,5 0,0074-0, Kaşılık gele oatı: 0,0074: (-) = 0,0067: (46 - ), di. Negatif işaette kutulmak içi: 0,0074 = 0,0067: ( - 46) biçimide yazabiliiz. 0,0067 Şimdi, 46 0, 9054, oada da = elde edili. Bua göe faiz döem süesi = 3,457 yıl olduğuu buluyouz; bu ise tam 3 yıl 5 ay 3 güdü. 0,0074 Çözüle he iki öekte döem sou faizleme söz kousudu. Faizleme döem başı olduğu duumda da ayı şekilde ifade edili. Böyle duumda kaşılık gele döem başı tablola ve döem başı faiz katsayısı ya da iskoto katsayısı belitili. Doğusal iteolasyou uygulaması ayı şekilde yaılı. Yukaıda elde edile fomüllee geeke cebisel döüşümlei yaaak, kaitali başlagıç ya da gelecekteki değei fomülleide, faiz oaıı değei haiç diğe aametele bilidiğide, bilimeye faiz oaıı da belitebiliiz. Döem sou faiz oaı %.a.(d), yıl içideki faiz döem sayısı m, faiz süesi yıl ola bi faizlemeyi iceleyelim. Kaitali gelecekteki değeii hesalamak içi uygulaa m K K, 00m K fomülüde, m, elde edili. Bu deklemde faiz oaı içi: 00 m K K 00 m m K fomülü elde edili. 5. Hagi yıllık döem sou faiz oaıyla 8 yılda, döt aylık faiz döemleiyle bi aaaaı getidiği faiz miktaı kedisie eşit olacaktı? Ödevi koşulua göe I 8 = K di. Buu I 8 = K 8 K faiz deklemide yeie koyasak K = K 8 K elde edili. O halde K 8 = K olu. = 8, m =3 değeleii yukaıda elde edile faiz oaı fomülüde değiştimekle: 5

55 8,79%. a d K K. elde edili. Ayı öekte, faiz oaıı hesalamak içi kullaıla i / i tablolaıda faiz oaıı asıl hesaladığıı gösteelim. Yukaıdaki öeklede bilimeye zamaı belitilmeside uygulaa doğusal iteolasyoda, şimdi yaılacak işlemi tek fakı, tablo değeleide başka, tab- m loda etki faiz oalaıı da yazacağız. Böylece, yukaıdaki veile geeğice I K, faiz hesalama fomülüde veilei yeleie değiştimekle m, 8 m I K m 4 elde edili. Bu duumda I 8 = K olduğua göe, biici fiasal tablou değei içi, 3 4 buada da. elde edili. i / i tablosuda, faiz oaı sütuuda %,75 faiz oaıa kaşılık,9766 değei elde edili; faiz oaı sütuuda ise %3 faiz oaıa,03749 değei kaşılık geli. Bizim aadığımız değe tam bu iki değe aasıdadı. Tabloda okuduğumuz değelei yazacağız ,9766,75%,9766,75%, % 3 0,568 0,75% 0, , Tablodaki değelei faklaı, faiz oalaıı faklaıyla ayı oatıda olduğua göe şu oatıyı yazabiliiz: 0,568 : 0,75 0, :, Bua göe, 0,75 0,083739,75, ifadeside etki faiz oaı içi % 3 0,568 3,98, elde edili, yai omial döem sou faiz oaı = %8,784.a.(d) olduğuu buluyouz. Elde edile bu değe öcekide biaz faklıdı; bu ise tablodaki değelei yuvalamasıda kayaklaı

56 6. Hagi döem başı faiz oaıyla dea yaım yıllık faiz vadesi ile yılda 0000 deaa baliğ olu. Aaıla fomülü, m 00m K K, 00m kaitali gelecekteki değei fomülüde doğuda doğuya bulacağız. Deklemi bilimeye değe ye göe çözelim: 00m K m, 00m K ya da 00m 00m. K m K elde edili. Bu so eşitlikte döem başı faiz içi: K 00m 00m m K elde edili. Souç olaak K 00m m. K fomülü elde edili. Koke öekte, =, m = olduğua göe: K ,9036 K 0000 elde edili. 9,8%. a. a. Alıştımala. Bakaya yatııla 8000 deaı e kada zamada gelecekteki değei dea olu; faizleme döemlei yaım yıllık ve faiz miktaı: a) = %8.a.(d) b) = %8.a.(a).. Faiz döemlei 3 aylık olmak üzee, %7 faiz oaıyla bakaya yatıdığımız 0000 dea kaital a) döem başı; b) döem sou faizleme ile e kada zamada baka hesabımızda dea olacaktı? 54

57 3. Bakaya yatııla 5000 dea kaital 5 yılda 8600 dea olmak içi üç aylık faiz döemleiyle a) döem başı; b) döem sou faizleme, hagi yıllık faiz oaıyla yaılmalıdı? 4. Faiz vadesi yıllık olmak üzee, hagi döem sou faiz oaıyla 8 yılda aaaa iki katıa eişi? Ödevi i / i tablolaıyla da çözüüz. 5. Bugü bakaya 0000 dea yatıdık, iki yıl soa 0000 dea hesata çekeceğiz. Faizleme döemlei 3 aylık olmak üzee bu güde döt yıl soa hesabımızda dea olusa, faizleme hagi faiz oaıyla yaılmıştı? Döem sou ve döem başı faizleme yötemleii ayı ayı iceleyiiz dea boç %4.a.(d) faiz oaıyla döt eşit taksitle ödemelidi. İlk taksit 4 yıl soa, ikici taksit 6, üçücüsü 5 ve dödücüsü 8 yıl soa ödeecekti. Ayı faiz oaıyla ve yıllık faiz döemleiyle tüm boç kaç yıl soa bide ödeebili? 7. Bi kişii, bugü bakaya yatıdığı bi mikta aası yıl ve altı ay soa dea olmuştu ve buda 0000 dea faiz miktaı elde etmişti. Faizi hesalaması yaım yıllık döemlele olduğua göe, aa hagi faiz oaıyla yatıılmıştı? 8. Bii 5. doğum güüde bakaya dea yatımış ve 33. doğum güüde hesabıda dea olduğuu bakada habe almıştı. Faizleme döemlei yaım yıllık olduğua göe, aa hagi faiz oaıyla bakaya yatıılmıştı? 9. Bakaya yıl öce dea yatıılmış, bugü 0000 dea hesata çekilmişti. Bi yıl soa bakaya daha 0000 dea yatıılacaktı. Faiz oaı %0.a(a) yıllık faizleme olduğua göe e kada zama soa baka hesabımızda dea olacaktı?.6. Kou Pekiştime Alıştımalaı. Bi kişi geçe yıl, he üç ayda aasal valıklaıı bakaya yatııyo. Öce 000 dea, üç ay soa faiziyle beabe aasıı çekiyo. Oda soa elde ettiği aayı yie üç ay içi bakaya yatııyo ve üç ay soa yie faiziyle beabe aasıı çekiyo ve bu şekilde daha iki defa tekalıyo. Diğe bi kişi 000 dea aasıı bakaya öce 73 gü içi yatımış, oda soa tümüü çekmiş ve tüm aasıı daha 96 gü içi yie bakaya yatııyo ve souda elde ettiği aasıı daha 93 gü bakaya yatııyo, öyle ki he yatıımı başıda aasıı faizii katmıştı. Üçücü kişi de 000 dea aasıı bi yıl içi bakaya yatımıştı. 55

58 Oda soa he üçü bakada aalaıı çekiyola. Faiz oaı, a) %.a.(d) yaım yıllık vadeli; b) %.a.(a) yaım yıllık vadeli olduğua göe, he bii e kada faiz almıştı? Hagisii tasaufu e hesalıdı?. Bugü bakaya dea yatııyouz. Faiz oaı %5.a.(d) ve faizleme üç aylık döemlele olmak üzee 5 yıl 5 gü soa hesabımızda kaç aa olacaktı? Buu bileşik faiz hesabıyla ve basit ile bileşik faiz kombiasyou uygulayaak hesalayıız taihide bakaya 000 dea yatımıştık. Yıllık faizleme vadesi, %0.a.(a) faiz oaıyla taihide hesabımızda e kada aa biikecekti? 4. Yei yıl ikamiyesi sayeside, geçe yılı so güüde bakaya dea aa yatıdık. Üç yılda soa yıl souda hesabımda 4000 dea çekmeliyim, yatıımı ilk güüde beş yıl geçtikte soa daha dea yatıacağız. Faiz oaı %3.s.(d), faiz döemlei üç ay olmak üzee, bu güde 8. yıl soua kada baka hesabımızda kaç aa biikecekti? dea boç üç eşit taksitle geiye çevilecekti. Taksitlede biicisi bi yıl soa, ikicisi döt yıl soa ve üçücüsü altı yıl soa ödemelidi. Faiz oaı %0.a.(d), yaım yıllık faizleme döemleiyle olmak üzee, yıl 6 ay soa bocu tümüü bide çevimek içi kaç aa ödemesi geeki? 6. Bugü bakaya dea yatıdık, bugüde iki yıl soa daha 4000 dea aylık vadeli %6 faiz oaıyla yatıacağız. Bu güde üç yıl soa faiz miktaı e kada olacaktı? 7. Bi kişi tasauf yatığı bakada, bu güde itibae 8 yılda ödeme koşuluyla dea boç almak istemişti. Bu gü dea yatııyo ve beş yıl soa daha dea yatıacak ve bocu kalaıı vasa 0 yıl soa ödeyecekti. Faiz oaı %8.a.(d), yaım yılık döem faizlemesiyle 0 yıl soa boç e kada olacaktı? 8. Faiz oaı %8.a.(d), üç aylık faiz döemleiyle faizlee bi boç, 5 ay soa dea biiktiğie göe, bocu şimdiki değei e kadadı? a) Sadece bileşik faiz hesabıı kullamakla; b) So ay içi, bileşik ve basit faiz hesalaı kamasıı uygulamakla. Faiz miktaıı da hesalayıız. 9. Kaç yıl soa 0000 dea, yıllık faiz hesalaması uygulayaak, %5.a.(d) faiz oaıyla 74669, dea olacaktı? Ödevi cebisel şekilde ve i / i tablolaıda yaalamakla çözüüz. 56

59 0. %6,5.a.(d) faiz oaıyla, yaım yıllık faizleme uygulayaak hehagi bi mikta aa kaç yıl soa üç katı kada atacaktı? Ayı koşulla altıda faizleme döem başı faiz oaıyla yaıldığıda, zama e kada değişecekti? Hem cebisel hem de fiasal tablolaı kullaaak hesalamayı yaıız.. Bakaya 5 yıl öce 0000 dea, 8 yıl öce de 0000 dea yatıılmıştı. Bugü daha kaç aa yatımalıyız ki 0 yıl soa biike aa dea olsu? Faiz oaı %4.a. yaım yıllık döem sou faizleme uygulaacaktı.. Faiz oaı %6.a.(a), yaım yıllık faiz hesalaması uygulayaak hagi kaitali yıl ve 3 ayda getieceği faiz miktaı, ayı koşulla altıda deaı 30 yılda getieceği faiz miktaıa eşit olacaktı? 3. Sattığı mal kaşılığı bi kişiye 3 faklı teklif gelmişti: ) dea eşi ve %5.a.(d) faiz oaıyla 0000 dea 8 yıl 7 ay 0 gü soa ödeecekti; ) %6.a.(d) faiz oaıyla 0,5 yıl soa dea ödeecekti; 3) dea eşi ve %3.a.(d) faiz oaıyla 0000 dea 8 yıl 7 ay 0 gü soa ödeecekti; Hagi teklif e uygu olduğuu hesalayıız dea aa %5,4.a.(d) faiz oaıyla, dea aa ise %9,6.a.(d) faiz oaıyla bakaya yatıılmıştı. Faizleme döemlei 3 aylık olduğu duumda, e zama he iki kaitali faiz miktaı ayı olacaktı? İkici kaitale döem başı faizleme uygulaıyosa faizlei eşit olduğu zama e kada değişecekti? 5. Bi boç: 8 yıl soa %3.a.(d) faiz oaıyla dea, 0 yıl soa %4.a.(d) faiz oaıyla dea ve 3 yıl soa %6.a.(d) faiz oaıyla 0000 dea ödeecekti. Faizleme döem sayısı yılda iki defa, yai yaım yıllık olduğua göe, boç 5 yıl soa bide ödediği takdide hagi faiz oaıyla ödeecekti? 6. Sıılı soumluluğu ola bi şiketi boçlaı: - 5 yıl soa ödemesi geeke %5.a.(d) faiz oaıyla dea; - 8 yıl soa ödemesi geeke %6.a.(d) faiz oaıyla dea; - yıl soa ödemesi geeke %8.a.(d) faiz oaıyla dea. Ayı zamada 0 yıl soa %3.a.(d) faiz oaıyla dea şiketi alacağı vadı. 5 yıl soa %5.a.(d) faiz oaıyla yıllık faiz hesalaması olmak üzee, (basit faiz hesalaması fomülüyle değil) ödeecek bocu dekleşmesi (saldosu) bileşik faiz hesabıa göe e kadadı? 57

60 7. Bi kişi 34. doğum güüde bakada hesabıa 8000 dea aa yatımıştı. 38. doğum güüde de daha 000 dea ve 4. doğum güüde ise 4000 dea hesabıda çekmişti. Faiz oaı %8.q.(d) üç aylık döemli faizleme ile kişii 46. doğum güüde hesabıda e kada aası olacaktı? Kofom faiz oaıı uygulayıız. 8. SİGA şiketi bi malı eşi ödemek koşuluyla deaa satmaktadı, GASİ şiketi ise, %5.m.(d) faiz oaıyla ve üç aylık döemli faizleme bazıda yıl soa ödemek koşuluyla ayı malı deaa satmaktadı. Hagi teklif daha uygudu? 9. 3 yıl öce bakaya dea yatıdık, bi yıl soa hesata 0000 dea çekmeliyiz, 3 yıl soa daha 0000 dea hesabımızda çekeceğiz. Faiz oaı %4.a.(d), yaım yıllık faizleme vadesiyle e kada zamada soa baka hesabımızda dea olacaktı? 0. yıl öce baka hesabımıza dea yatıdık, 3 yıl soa ise dea hesata çekeceğiz. Yıllık faizleme döemleiyle %5.a.(d) faiz oaıyla 7 yıl soa tolam e kada faiz miktaı elde edilecekti?. İki yıl üç ay öce bakaya yatııla aa bu güe kada elde edile faiziyle beabe 0000 deadı. Bu aada hesalaa faiz miktaı 5000 deadı. Faizi hesalaması üç aylık döem vadeli yaıldığıa göe, hagi döem sou faiz oaıyla hesalamıştı? Döem başı faizleme yaıldığı duumda faiz oalaıdaki fak e kadadı?. Baka hesabıa bi yıl ve ay öce 000 dea yatıılmış, iki yıl üç ay soa ise hesata 0000 dea çekilmiş ve baka hesabıda aa kalmamıştı (saldo 0). Faizleme yaım yıllık döem vadeli yaıldığıa göe, faiz hagi döem sou faiz oaıyla hesalamıştı? 3. Bugü, iki faklı bakada iki eşit mikta aa yatıılmıştı. Biide faiz oaı %6.a.(d), diğeide ise %0.a.(d) di. Kaç yıl soa biici bakada biike aa, ikici bakada biike aada iki defa daha çok olacaktı? Faiz hesalaması yaım yıllık vadeli, bu zama esasıda faizlei fakı 3300 dea olduğua göe, yatııla aa miktaı e kadamış? 58

61 Kou Özetlei Bi kaitali faizii hesalaması basit ve bileşik olabili. Basit faiz, bi yatıımı, yatıım vadesi süesice sadece aaaasıı kazadığı faiz oaıdı. Yatııla mikta aa he döemde değişi, yai he döem souda elde edile faiz miktaı aaaaya eklemekle yatıım miktaı büyü ve gelecek döemde ayısı aaaa ekleise bileşik faizde söz edili, yai: bi yatıımı yatıım vadesi boyuca kazadığı faizi de yei yatıım vadeside yatııma tabi tutulması soucu elde edile getiiyi göstee faizdi. Diğe bi deyişle faizi de faiz kazamasıdı. Bileşik faiz, yılda bi defa, iki defa ya da biçok defa hesalaabili. Faizi hesaladığı zama aalığıa faiz hesalama vadesi dei. Basit faiz hesalamasıda döt temel büyüklük şuladı: K - aaaa (temel kaital başlagıç mikta) i - faiz miktaı faiz oaı (yüzde olaak), 00 dea aaı zama biimide getidiği faiz. t - aaı faizde kaldığı süe yıl olaak, ya da daha küçük ölçü biimide de olabili. Bu büyüklükle, bileşik faiz hesabıı da temel usulaıdı, halbuki buada ek olaak bileşik faizi temel usuu: bi yıl esasıda faizi hesalama sayısı m, yai yıllık döem sayısı da katılmaktadı. Faizi yıllık hesalaması (a) ile, yaım yıllık hesalaması (sömesteli) (s) ile, üç ayda bi hesalamayı (çeyek) (q) ile, ayda bi vadesi (m) ile ve adı geçe he döemlik hesalamalada faiz oaı yıl bazıda sayılmaktadı. Faiz oaı, yıllık faiz oaı gibi veildiğide.a. biçimide işaet yazılı, yaım yıllık faiz oaı olaak alıısa.s. işaeti yazılı. Üç aylık bazıda da faiz oaı veilebili ve bu duumda.q. biçimide ya da aylık bazıda olusa.m. işaeti yazılı. Bu şekilde veilmiş ola faiz oaıa omial faiz oaı dei. Acak fiasma ya da yatıımlala ilgili kaalada döem uzuluğu yıl olduğu kada yılda daha kısa süeli olabili. Bu gibi duumlada yıllık olaak veile faiz oaıda etki faiz oaı (ölatif faiz oaı) buluaak işlem yaılmalıdı. Etki faiz oaıı, yıllık omial faiz oaıı (cai faiz ya da iyasa faiz oaı da deile) yıl içideki döem sayısıa bölümesiyle buluu. He döem souda faiz hesalaaak aaaaya katılısa döem sou faizleme söz kousu olu; böyle duumda faiz oaı.a.(d) ile işaet edili. Döem sou faizlemei faiz hesalaması başlagıçta yatııla aaaaya uygulamaktadı. 59

62 Faizleme he döem başlagıcıda yaılısa, döem başı faizi hesalaması içi temel değe, döem souda elde edile aaaadı; bu işleme döem başı (atisiatif) faizleme dei ve.a.(a) ile işaet edili. Tüm faiz vadeside elde edile faiz miktaıı temel değee katmakla elde edile biikmiş değee, kaitali gelecekteki değei dei. Faizlemesi yaıla temel değei başlagıç miktaıa K ı şimdiki değei de dei. Döem sou faizleme oaı, bi yılda faiz döem sayısı m ve faiz katsayısı olmak üzee K kaitalii gelecekteki değei döem sou 00m m K K, fomülüyle hesalaı. 00m Peşi (atisiatif) faizlemede, faiz oaı, bi yılda faiz döem sayısı m ve 00m m döem başı faiz katsayısı olmak üzee K kaitalii gelecekteki değei K K, fomülüyle hesalaı. Faiz iste yıllık hesalamayla, iste yılda bikaç devede faizi hesalamasıyla ayı faiz miktaıı vee faiz oaıa kofom faiz oaıı dei ve k,m ile işaet edili. Bi yılda m defa faizlemeyle ve yılda bi defa faiz oaı olmak üzee yaıla faizleme ile ayı faiz miktaı vee kofom faiz oaı şu fomül ile hesalaı: 00 m k, m. 00 Veile K kaitali gelecekteki değei K bilidiğide, temel değei şu fomüllele hesalaı: K K K m döem sou faizleme içi ve m ( ) 00m 60

63 K K m m K, 00m döem başı (eşi) faizleme içi. Biike aaı başlagıç değeii bulma işlemie, iskotolama ya da biike değei başlagıç değeii belitme dei. Faiz oalaıı çaımsal tes -m ve ρ -m değeleie iskoto katsayılaı (faktölei) dei. Faiz oaı ve yıl içideki faiz döem sayısı m ola döem sou faizlemede döem sou faiz katsayısı olmak üzee, faiz miktaı şu fomül kullaılı: m I K, Peşi (atisiatif) faizleme duumuda faiz oaı ve yıl içideki faiz döem sayısı m, döem başı faiz katsayısıdı olmak üzee faiz miktaı şu fomülle hesalaı: I m K, Faizleme döem sou, %.a.(d) faiz oaıyla, yıl içideki döem sayısı m ve döem sou faiz katsayısı olmak üzee faiz süesi şu fomülle hesalaı m log K log K Beze şekilde, faizleme döem başı (atisiatif) olduğu duumda, faiz oaı %.a.(a), yıl içideki faiz döem sayısı m olduğuu vasayaak şu fomül kullaılı: K log. mlog K Yıl içideki faiz döem sayısı m, faiz süesi yıl olduğuu faz edeek yıllık döem sou faiz katsayısı şu fomülle hesalaı: K 00 m m. K 6

64 6

65 3. PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VE PERİYODİK ALACAKLAR (KİRALAR) 3.. Peiyodik Yatıımla Basit ve bileşik faiz hesalaıı uyguladığımız öeklede, belli miktada aasal valıklaı sadece bi defa yatııldığı ya da faklı döemlede yatııla veya isteildiğide hesata çekile miktalaı icelemiştik. Bu duumda, yatıımlaı bazılaı eşit, bazılaı ise faklı, belli bi kuala göe değişebile, öeği aitmetik ya da geometik dizile özelliğie göe ata ya da azala veya tasaufta olduğu gibi öcede belli bi kuala göe uymaya yatıımla olabili. Halbuki çok kez, eşit zama aalıklaıda yatıımlaı tekaladığıa astlıyouz. Böyle duumlada söz kousu mevduattı. Mevduat belli bi süe souda veya isteildiğide çekilmek üzee bakalaa faizle yatııla aadı. Mevduatla belli süelede ayı miktalada yatııldığı duumda sabit mevduatla diye de adladıılıyola. Yatıımla, ödemele seisii başlama oktasıa göe döem başı (atisiatif) ve döem sou (dekuzif) mevduatla olaak ikiye ayılıyola. Yatıım esasıda he mevduatı faizi, yatııldığı güde tüm mevduatlaı tolam değeii hesaladığı aa kada hesalaı. Döem başı ya da döem sou faizledime uygulaabili. Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı duumlada ayı, bazı duumlada ise faklı, yai mevduat vadeleide daha sık ya da daha seyek olabilile. Pek sık tüm mevduatlaı tolam değei e kadadı, sousu soulmaktadı. Yatıım esasıda faizi hesalamış tüm mevduatlaı tolamıa yatıımı gelecekteki değei dei. Şimdi, sadece yatıım döemlei faiz vadeleiyle dek gele sabit (değişmeye) bieysel eiyodik yatıımlaı iceleyeceğiz. Yıl esasıda sadece bi mevduat ödediği duumda, söz kousu yıllık mevduat olu, yatıım yılda iki defa yaıldığıda, altı aylık (yaım yıllık) mevduat, yılda döt defa yatıım yaıldığıda üç aylık (çeyek yıllık) mevduat biçimide adladıılı. Yatıım ayda bi yaılısa aylık mevduat olu. Buada da faizledime vadesi yıllık, altı aylık, üç aylık vb. olabili. Alıştımala. Mevduat edi? Mevduatı temel özelliklei edi?. Faizii hesalamasıa göe mevduatla asıl olabili? 3. Yatıım sayısıa göe asıl mevduatla fak edebiliiz? 63

66 4. Yatıım süesie göe asıl mevduatla fak edebiliiz? 5. Mevduatlaı gelecekteki değei edi? 3.. Mevduatlaı Gelecekteki Değeii Hesalamak He bieysel mevduatı değei V olsu. Bieysel mevduat sayısı, faiz oaı döem sou uygulaa % olsu. Faiz vadesi, yatıım vadesiyle ayıdı. Mevduatı ödemesi döem başı olsu (he vadei başlagıcıda ödeme yaılsı). Vade sou faiz katsayısı. olduğu- 00 u biliyouz. He bieysel mevduat içi bileşik faiz hesabıı uygulayaak faiz miktaıı bulmakla, mevduatlaı gelecekteki değeii elde edeceğiz. Şek. de yatıımla ve faizledimelei gösteilmişti. Şek. Biici vadei başıda yatııla biici mevduat, vade içi kaşılık gele faiz katsayısıyla so vadei soua kada süe içi faizi hesalaı ve değei V di. Yatııla ikici mikta V, ayı şekilde vade içi so vadei soua kada faizi hesalaı ve değei V - di. Bu şekilde kala tüm bieysel yatıımlaı faizlei hesalaı. Soda ikici ola yatıım zamaıa dek geli ve iki vade içi faizlei ve değei V di, so yatıım ise sadece bi vade içi faizlei ve değei V di. Faiz döemii soua kada faizlei hesalamış ola tüm döem başı yatıımlaı tolamı: S = V + V V + V = V ( ) = V ( ) olduğuu buluyouz. Paatez içideki ifade ilk teimi ola teimli bi geometik dizisii tolamıdı. Geometik dizilei ilk teim tolamı fomülüde yaalaaak, yatıımlaı döem başı faizledime ile döem başı yatıımlaı tolamı içi şu fomül elde edili: S V. Not. Faizi faizi i / i tablolaıda, bi aa biimi bazıda döem sou yatıımlaı tolamıı ifade ede, ifadesii değei işaeti altıdaki cetvelde veilmişti. Demek 64

67 ki, üçücü tablodaki değele içi di. Bu ifade i / i tablosuda, ayı faiz oaıda de e kada vadelei I k değeleii tolamakla elde edili, yai... di. Buada, yatıımla yılda %.a.(d) faiz oaıyla yaılmıştı. Bua göe, döem başı faizlee yatıımlaı tolamı: c S V. fomülüyle ifade edili. Not. He bieysel vade içi faiz oaı döem başı olaak veilise, döem başı faiz katsayısıı c kullaacağız. Böyle duumda döem başı faizlee yatıımlaı tolamı S V, 00 fomülüyle ifade edilecekti. Buada döem başı faiz katsayısıdı. Böylece üçücü 00 i / i tablosuda yaalaaak, döem başı faiz oaı olmak üzee S V, fomülü elde edili. Ödevlei çoğuda yatıımlaı tolam sayısı değil de, yıl bazıda yatıım sayısı ve yatıımı zama aalığı (vadesi) veilmiş olabili. Öeği, yıl boyuca, yılda m defa yatıım yaılıyo. Böyle duumda yatıımlaı tolam sayısı m çaımıa eşitti.. He yılı başlagıcıda bakaya 0000 dea yatııyouz. Faiz oaı %6.a.(d), yıllık vadeli olduğua göe 4 yıl souda, bakada e kada aa biikecekti? He bieysel yatıımı değei V a = 0000 deadı. Tolam yatıım sayısı = 4, 4 yıl süeyle döem başı dekuzif faizleme, faiz katsayısı, 06 olmak üzee 4 yatıım söz ko usudu. Yatıımlaı so değei: 4,06 S V 0000, ,06 dea olduğuu buluyouz.. Bugüde başlayaak gelecek iki yıl esasıda, he üç ayı başlagıcıda 5000 e dea yatımaya başlıyouz. Faiz oaı %0.a.(d) üç aylık vadeli olmak üzee, ikici yılı souda tolam e kada aamız olacaktı? 65

68 He bieysel yatıımı değei V aq = deadı. Yatıımlaı sayısı, he yıl döde mevduat = 4 = 8, döem sou faiz katsayısı ise, üç aylık vadeli faizledime ile hesalaacaktı. 0,5 Bua göe, faiz oaı %,5.q.(d) di (çeyek yıllık faiz oaı). O halde, olduğuu buluyouz. Döem başı yatıımlaı gelecekteki değei: 8,05 S V 5000, ,05 dea olduğuu buluyouz. Başlagıçta veile tüm koşulla geçeli olsu, he yatıımı değei V, mevduat (yatıım) sayısı, faiz oaı döem sou % ve faizledime vadesi, yatıımlaı vadesiyle ayı olsu. Şek. Döem sou faiz katsayısı olsu ve yatıımla he eiyodu souda olsu, yai yatıımla döem sou olsu. Şek. de göüldüğü gibi, so yatıımı faizi hesalamaz, soda biicisi bi defa faizlei, ikicisi iki defa ve geiye doğu sayake ikici yatıım defa ve ilk yatıım defa faizlei. Bulaa kaşılık gele faizlemiş miktala sıasıyla V, V, V,,V -, V - di. Faizlemiş yatıımlaı tolamı (gelecekteki değe) içi: S = V + V + V V - + V - = V ( ) elde edili. Paatez içideki ifade, ilk teimi ve otak çaaı ola bi geometik dizisii teimii tolamı olduğua göe, döem sou yatıımlaı gelecekteki değei içi şu fomülü elde ediyouz: S V. Not 3., ifadesii i / i tablolaıda biçimide buluabili. Demek ki, döem sou faizlee yatıımlaı tolamıı hesalamak içi fomül: S V şeklide yazılabili. Not 4. Döem başı faizledime uyguladığı duumda, yatıımlaı gelecekteki tolam değei içi fomül: 66

69 S V, 00 şeklide ifade edili. Buada döem başı faiz katsayısı, di. Üçücü i / i tablolaıda yaalamakla döem sou faizlemiş döem sou yatıımlaı gelecekteki tolam değe- 00 i içi fomül: c S V di. 3. Bakaya he yıl souda döt yıl boyuca 0000 dea yatıılıyo. Yıllık vadeli faiz oaı %6.a.(d) olduğua göe, dödücü yıl souda yatıımı gelecekteki değei e kadadı? Ödevi koşullaıa göe, V da = 0000 dea, = 4, =,06 dı. Vade sou yatıımlaı gelecekteki değei içi: 4, S V dea elde edili.,06 Döem sou faizlemiş döem başı yatıımlaı gelecekteki değei, ayı koşulla altıda, döem sou faizlemiş döem sou yatıımlaı gelecekteki değeide kat daha büyük olduğuu fak edebiliiz, yai S a V S di; Faizledime döem başı olduğu duumda ise S d a V S d di. Demek ki döem başı yatıımla, döem başı faizledime ile elde edile gelecekteki değe, ayı yatıım koşullaıyla, döem sou yatıımlaı döem başı faizledime ile elde edile gelecekteki değei katıdı. (Daha kısa olaak, döem başı yatıımlaı gelecekteki değeii S a ile, döem sou yatıımlaı gelecekteki değeii ise S d ile işaet edeceğiz). 4. Bi kişi, bi buçuk yıl esasıda he ay souda 3000 e dea aa yatııyo. Faiz oaı %6.a.(d) aylık vadeli hesalama ile, yatıdığı aaı gelecekteki değei e kada olacaktı? Ödevi koşullaıa göe, V dm = 3000 dea, = %6.a.(d) di. Yatıımlaı tolam sayısı = -,5 = 8 (yılda mevduat), aylık faizledimeye kaşılık gele faiz oaı 6 %, yai %0,5.m.(d). Döem sou faiz katsayısı 0,5,005 di

70 Döem sou yatıımlaı gelecekteki değei: 8,005 S V ,005 dea olduğuu buluyouz. 5. Bi kişi 5. doğum güüde başlayaak 30. doğum güüe kada he altı ay souda 8000 e dea baka hesabıa yatııyo. 35. doğum güüde hesabıda dea çekmesi geekiyomuş. Faiz oaı = %8.a.(d) altı aylık faiz vadesiyle hesabıda geeke aa biikecek mi? Kişi 5 yıl boyuca döem sou V ds = dea yatıımla yaıyo. 30. doğum güüde yatıımı gelecekteki değei daha 5 yıl faizde kalıyo (şek.3). Sou şudu: 35. doğum güüde hesabıda biike aa deada büyük ya da eşit olacak mı, yai S mıdı? 8 Faiz katsayısı,04, 00 ve yatıımlaı tolam sayısı = 0 du. yatıımla Şek. 3 Bua göe, 0 0 0,04 V , dea olduğuu buluyouz.,04 Demek ki, dea aasıı çekmek içi yatıımcıı hesabıda geeke aası vamış. Alıştımala. Bi yatıımcı he yaıyıl başıda 6 yıl boyuca 5000 dea a) yaıyıllık faiz vadeli %4.a. (d); b) yaıyıllık faiz vadeli %4.a. (a) faiz üzeide yatıısa 6 yılı soudaki yatıım tutaı (gelecekteki değei) e kada olu?. He yılı souda 0 yıl boyuca, yıllık faiz vadeli %4.a.(d) faiz üzeide 0000 dea yatııyouz. So yatıım güüde yatıımlaı tutaıı hesalayıız. 68

71 3. He yaıyıl souda yıl boyuca, altı aylık faiz vadeli %8.a.(d) faiz üzeide 000 dea yatıılıyo. Yatıımla a) döem sou; b) döem başı olduğua göe, yatıımı gelecekteki tutaıı hesalayıız. 4. He ay souda 8 yıl boyuca 3000 dea mevduat, a) aylık faiz vadeli %.a.(d); b) aylık faiz vadeli %.a.(a); faiz üzeide yatıılıyo. Yatıımlaı gelecekteki değeii hesalayıız. 5. Ödev 4 teki koşulla altıda fakat mevduatla döem başı olduğu duumda yatıımı gelecekteki değeii hesalayıız. Elde edile değelei kıyaslayıız. Hagi mevduat şekli ve hagi faiz oaı üzeide yatıımlaı e büyük gelecekteki değei elde edilecekti? 3.3. Bieysel Mevduatı Değeii Hesalamak Faiz oaı %.a.(d), mevduatlaı gelecekteki değei (tutaı) S ve yatıım süesi veilmiş olsu. Sabit mevduatı tutaıı hesalamak içi döem başı mevduatı gelecekteki değei S V, fomülüde V mevduatı içi V S. elde edili.. Beş yıllık yatıım souda, yatıımlaı tutaı dea olmuştu. He yıl başlagıcıda yıllık vadeli %6.a.(d) faizi üzeide yatııla mevduat e kadadı? Buada, =,06 döem sou faiz katsayılı döem başı mevduat söz kousudu. Tolam = 5 mevduat yatıılmış ve yatııla miktalaı tutaı S = deadı. Hesalaması geeke, bieysel yıllık faiz vadeli mevduat tutaıdı. Öeğimizde veile değelei fomülde yeie değiştimekle, V dea elde edili. 5,06,06,06 %.a.(d) faiz oaı, mevduatlaı gelecekteki tutaı S ve yatıım süesi bilidiği duumda, sabit mevduatı hesalaması içi döem sou vadeli mevzuatı gelecekteki tutaı S V, fomülüde V içi şu fomül elde edili: V S. 69

72 Not.. Faiz hesalaması döem başı olduğu duumda, bieysel mevduatlaı kaşılıklı değelei şu fomüllele hesalaacaktı: döem başı mevduatla içi V S, döem sou u mevduatla içi V S.. Beş yıl soa 0000 deaa ihtiyacımız olacaktı. He yaıyıl souda 5 yıl boyuca e kada mevduat yatımalıyız? Faiz oaı %5.a.(d) yaıyıl vadelidi. 5 Yatıımla sayısı = 0, S = 0000 dea, döem sou faiz katsayısı ise, di. O halde,,05 V S ,05 dea olduğuu buluyouz. 3. İledeki üç yıl boyuca, he üç ay başıda üç aylık mevduatla ödeecekti. Bu güde beş yıl soa sadece bi defa mahsus dea yatıılacaktı. Yedi yıl soa hesabımızda dea çekmeliyiz. Üç aylık vadeli faiz oaı %8.a.(d) olduğua göe, bieysel mevduat e kada olmalıdı ki, bu güde yedi yıl soa hesabımızda dea olsu? Yatıımlaı ve çekile miktaı zama ekseide gösteelim (şek.4). yatıımla Şek.. 4 Mevduatlaı tolam gelecekteki değei hesaladıkta soa bu mikta daha döt yıl faizde kalı. Yatııla dea da yıl faizde kalı. Çekile deada soa şu deklem elde edili: S = So deklem, bu güde gelecekteki yedi yıl süeside yaılacak işlemlei göstemektedi. 34 Bu duumda döem başı yatıımlaı gelecekteki değeii hesalaya S V, fomü- 70

73 8 lüde =, döem sou faiz katsayısı, 0 di. Üç aylık etki faiz oaı % di S tutaı 6 defa faizlei, dea ise 8 defa faizleecekti. O halde,0 6 8 V,0, , ,0 V 8, elde edili. Bua göe mevduatı değei V aq = 4693 deadı. Not.. İcelee so öekteki ödevlee beze ödevlei çözeke yukaıda yaıldığı gibi, yatıımlaı zama ekseide göstemekle, faizledime eiyotlaıı daha kolay hesalayabilisiiz. Alıştımala. Döem sou altı aylık vadeli mevduatlaı 7 yıl boyuca yatıılmasıyla dea tuta elde edilmişti. Faiz oaı: a) altı aylık vadeli %4.a.(d); b) altı aylık vadeli %4.a.(a); olduğua göe bieysel mevduatı değei e kadadı?. Döem başı yıllık vadeli mevduatlaı 6 yıl boyuca %5.a.(d) faiz üzeide yatıılmasıyla hesabımızda 740 dea olmasıı istesek, bieysel mevduat e kada olmalıdı? Faiz vadesi yıllıktı. 3. Bi kişi baka hesabıa 5. doğum güüde 40. doğum güüe kada, döem sou üç aylık vadeli sabit olmak üzee e kada aa yatımalıdı ki, baka hesabıda 50. doğum güüde deaı olsu? Faiz oaı üç aylık vadeli %6.a.(d) di. 4. Bi kişi yıl altı ay boyuca, sabit değeli üç aylık döem başı mevduatla yatıı döem souda hesabıda dea aası olmuştu. Üç aylık vadeli %6.a.(d) faiz üzeide yatııla bu mevduatlaı bieysel değei e kadadı? 5. Bi kişi 35 yaşıda 40 yaşıa kada, vade sou altı aylık mevduatlaı bakaya yatııyo. 43 yaşıı souda 6000 dea hesata kaldımak ve 47 yaşıı souda hesabıda 0000 dea olmasıı istese, kişi hesabıa e kada aa yatımıştı? Faiz oaı %8.a.(d) ve faizledime altı aylıktı. 7

74 3.4. Mevduat Sayısıı ve So Mevduatı Hesalaması Mevduatı gelecekteki değeii (tutaıı) hesalamak içi kulladığımız S V döem başı mevduatlaa ait ve S V döem sou mevduatlaa ait fomülle geeğice, gelecekteki değe tutaı, bieysel mevduat değei ve faiz oaı bilidiğide, yatıımlaı sayısı hesalaabili. Döem başı mevduatla içi S V S, V geçelidi. Oada da S. V elde edili. Yatıımlaı sayısı sadece logaitma işlemiyle belitilebili. Logaitma işlemii temel özellikleide yaalaaak: S log log V V S log log V V S log. log V elde edili. Daha kolay hesalama yamak içi yatıımlaı gelecekteki değei fomülüde, veile değelei değiştiilmeside soa elde edile ifadei logaitması alıı. Beze şekilde döem sou mevduatla içi V S log. log V fomülü elde edili. Not. Döem başı faiz oaı içi hesalamala, döem başı mevduatlaı gelecekteki değeie kaşılık gele fomüllee yaılı.. He yılı başıda %6.a.(d) yıllık vadeli faiz üzeide 0000 dea kaç defa yatıılmalıdı ki hesabımızda 4637 dea olsu? 7

75 6 Mevduatla döem başıdı. Döem sou faiz katsayısı, 06 dı. O halde, ,06,06, ,06 elde edili. Bu ifadei 0 tabaıa göe logaitmii alısak. log,06 = log,648 ve oada = 4 elde edili. Demek ki döt yıl, yai döt defa yatıım yamalıyız dealık mevduatla %6.a.(d) yaıyıllık faizledime üzeide he yaımyılda yatıılıyo. Yatıımlaı gelecekteki değei so mevduatı ödediği güde 4065 dea olmasıı istesek, kaç mevduat ödemelidi? Şuu fak edelim, gelecekteki değe so yatıım yaıldığı güde hesaladığı takdide yatıımla döem soudu. Etki faiz oaı %3 olduğua göe =,03 tü. Bua göe,, , buada da,03 =,3447 ve souda =0 elde edili. Demek ki,,03 0 mevduat ödemelidi. 3. Yatıımla döem sou 3 aylık vadeli, faiz oaı %8.a.(d) üç aylık faizledime vadeli 0000 dealık kaç mevduat yatıılmalıdı ki, gelecekteki değei 3700 dea olsu? 8 Döem sou mevduat,0 içi, geçelidi. O halde,,0 =,744 ve oada elde edili. Ceva tam olsaydı, tam mevduat, yai 3 yıl e mevduat geekecekti, halbuki elde edile değe yaklaşıktı. Ou tam değei =,446 dı. Bu demekti ki, isteile aa tutaıı elde etmek içi mevduat sayısı de fazla olacaktı. Bu duumda, mevduat bilie 0000 dealık ve 3. mevduatı değei diğeleide küçük olacaktı. So mevduat, diğeleide faklıdı ve oa mevduatı kalaı dei. So mevduatı hesalaması içi bi fomül bulalım. Mevduat sayısı tolam olsu ve bulada - taesii değei ayı V, so mevduatı değei V 0 V olsu. Zama ekseide döem başı mevduatlaı duumuu gösteelim (şek.5). Vade sou faiz katsayısı içi: S = V + V V + V 0, S = V ( )+ V 0. Şek. 5 73

76 elde edili. Geometik dizisii teimleii tolamı fomülüde yaalaaak S V V, 0 olduğua u göe, S V0 V S elde edili. V. Not. i / i tablolaıda yaalaıyosak ifadesi, II tablosuda veilmiş ola iskoto katsayısıa kaşılık geli, - ifadesi ise tam III di. Bua göe so mevduat V S V 0 şeklide yazılabili. Not 3. Yatıımlaı sayısıı belitike, doğal sayı olmadığı duumda, içi hesalamada elde edile sayıda ilk büyük ola tam sayı alıı. Böyle duumda V 0 < V, mevduatı değei V di, soucuu ise V 0 dı. Vade sou mevduatlada ise, zama eksei şek.6 da gösteilmişti. Şek. 6 Böyle duumda S = V - + V V + V 0, di. Eşitliği V 0 a göe düzeleyeek, geometik dizisii ilk teim tolamı fomülüde yaalamakla: V0 S V S V. elde edili. Not. 4. i / i tablolaıda yaalaaak V 0 S V fomülüü yazabiliiz. Bu fomül, döem sou yatıımlada diğeleide faklı ola so mevduatı değeii hesalamak içi kullaılı. Not 5. Faiz hesalaması döem başı olduğu duumda, so mevduat içi şu fomül elde edili: döem başı yatıımla içi 74

77 V 0 S V, ve döem sou yatıımla içi V 0 S V. 4. Yaım yıllık vadeli, faiz oaı %0.a.(d) altı aylık faizledime vadeli 8000 dealık kaç mevduat yatıılmalıdı ki, so mevduatta evvel tüm yatıımlaı gelecekteki değei dea olsu? 0,05 00 ti. Gelecekteki değe, so mevduatta altı ay öceki biike aadı,,05 demek ki yatıımla döem başıdı, yai ,05, elde edili. Oada da,05,05 =,3574 ve 6,6 elde edili. Bu duumda = 7 alıı, yai 8000 dea olmak üzee 6 sabit mevduat yatıılı, so yedici mevduat ise özel olaak hesalaacaktı: ,05,05 V ,05,05 elde edili. Bua göe so mevduat 7 dea olacaktı. Not 6. So mevduatı değei egatif sayı elde edildiği duumda, mevduatı gelecekteki değeii hesaladığı gü, baka mevduat sahibie o kada aa gei çevimelidi. Alıştımala. Altı ay vadeli döem başı dea mevduatlada kaç tae ödemeliyiz ki souda 5389 deaımız olsu? Faizi hesalaması altı aylık ve faiz oaı: a) %6.a.(d); b) %6.a.(a) olsu.. Üç aylık vadeli, %6.a.(d) faiz oaı üzeide dealık kaç döem sou mevduat yatıılmalıdı ki, so mevduatı ödediği gü hesabımızda dea olsu? Faiz hesalaması 3 aylık vadelidi. 3. Üç aylık vadeli, %6.a.(d) faiz oaı üzeide 000 dealık kaç döem başı mevduat yatıılmalıdı ki, hesabımızda dea olsu? Faiz hesalaması 3 aylık vadelidi. 4. He iki ayı başıda 000 dea yatıılısa, so yatıımda iki ay soa baka hesabıda dea olacaktı. Faiz oaı %.a. (d) faiz hesalaması he iki ayda yaılmış olsu. So yatıım e kadadı? 75

78 5. He yıl başıda 000 dea yatıılmıştı. So yatıımda döt yıl soa hesata 7000 dea çekilmiş ve so yatıımda altı yıl soa hesata dea kalmıştı. Faiz oaı %6.a.(d) yıllık faizledimedi (dikkat ediiz, yatıım döem başıdı ve biike aa so yatıımda bi yıl soa hesalaı) Yatıımlada Faiz Oaıı Hesalaması. Altı aylık vadeli döem başı 000 dealık boç, hagi faiz oaıyla,6. yılı souda 5000 dea olacaktı. Faiz hesalaması yaıyıllık olsu. Döem başı yatıımlaı gelecekteki değeii hesalamak içi kullaıla fomülü alacağız ve hagi büyüklüklei belli olduğuu, hagilei ise bilimeye olduğuu beliteceğiz. Döem başı yatıımlaı, döem sou faizledimesiyle biike gelecekteki değei hesalamak içi kulladığımız S V, fomülüde, S ve V bilidiğide, bilimeye faiz katsayısıı, yai %.a.(d) değeii hesalamak içi S V S V, S V, S V 0. deklemi elde edili. Bu ise katsayısıa göe bi oliom deklemidi ve geel olaak deecesi 3 te büyüktü. Bu gibi deklemlei çözmek içi (bazı özel duumla haiç), belli bi kual yoktu. Bu edele, bu gibi deklemlei bilie bazı ümeik yötemlele çözeceğiz. Halbuki, amacımız şimdi ümeik yötemlele deklemlei asıl çözüldüğüü öğemek değildi. Buada sadece atik ödevlei yaaıa faiz oaıı e kolay biçimde belitmekti. Bu edele faiz oaıı hesalamasıı fiasal tablolada beliteceğiz. Bua göe, S V fomülüde belitile faiz oaı yaım yıllık vadeli olduğuda di. Oada omial yıllık faiz oaıı da belitiyouz. Veile ödevde ki 3 ödeme olduğuu buluyouz., elde edili. Buada tolam = 6. = 3 di. Demek 76

79 5000 Tabloda 6, 5, olduğua göe, = 3 içi tablolada 6,5 değeie kaşılık gele sayıyı aıyouz. Bu değe tabloda yoktu, fakat bua e yakı iki yaklaşık değe vadı: 000 6, < 6,5 < 65, Bu değelede bii %3,75, diğei ise %4 faiz oaıa kaşılık geli. Bu iki değe ası 6,5 değeie kaşılık gele değei belitmek içi, doğusal eteolasyo yamamız geeki. Buu daha kolay yamak içi veilei tabloda yazacağız , , 75 6, , 75 65, , 5 Oada şu oatıyı kuuyouz: 4 3,75: 65, , ,75 : 6,5 6, yai 0,5 : 3, ,75 : 0, elde edili. Bu şekilde, tablodaki değele aasıdaki oaa göe, faiz oaı aalığıı aa değelemesi yaılı. Bua göe, 0, ,5 3,75 0, 05, yai = %7,55.a.(d) elde edili. 3,04673 Değelei fakıda yaaladığımıza göe, yukaıdaki tabloyu daha bi satı ile geişletecek ve bu faklaı o satıda yazmakla işimiz kolaylaşacaktı. Ayı işlemlei döem sou yatıımla içi de yaacağız. Yatıımlaı gelecekteki değei S V, fomülüde, faiz katsayısı içi: S V S V S V, 0, deklemi elde edili. Bu deklem de değişkeli oliomdu. Yatıımlaı gelecekteki değeii hesalamak içi i / i tablolaıdaki değelei kullaa S V, fomülüde yaalaaak S S V elde edili. i bilie değei içi S V değei tabloda V V V, 77

80 vasa, faiz oaı doğuda doğuya okuu. Aksi halde, faiz oaıı doğusal eteolasyo ile belitiyouz.. Faiz hesalaması 3 ay vadeli olmak üzee, he üç ay souda bakaya 000 dea yatıaak 5 yıl soa hesabımızda 5000 dea olmak içi faiz oaı e kada olmalıdı? Buada, 0 ödeme, yai =0 döem sou yatıımı iceliyouz. S = 5 000, V=000 ve faiz oaı olduğuu alıyouz. O halde deklemi elde edili, oada 4 9 da 5 elde edili. Tablolada 9 sayısıa kaşılık gele bölümde, 5 sayısıı bulamıyouz. 4 Acak %,5 sütuuda 4,5444 ve %,75 sütuuda 5, sayılaıı buluyouz. Aşağıdaki tabloyu oluştuuyouz: 9 4 4,5444 %,5 % 4, 5444 %,5 % 5,9740 %,75 % 5 4 0, %0,5 % 0, , 9 4 0,65496 : 0,5 0,45756 :, 5 oatısıı kudukta soa = %0,7 elde edili Bi kişi 6 yıl öce baka hesabıa dea yatımış, bu güde ve gelecek sekiz yıl esasıda he yıl souda 5000 e dea yatıacaktı. Bu güde sekizici yıl souda kişii baka hesabıda dea biikecekti. Yıllık faiz üzeide faiz oaı ayı olmak üzee, bu güde yıl soa baka hesabıda e kada aası olacaktı? Zama ekseide, bugüe 0 kaşılık gelmek içi -6 da başlayacağız. yatıımla, , Şek. 7 K 30000, 7 S, S 5000 olduğua göe, deklemi elde edili, oada da 7 8, 549, elde edi- 78

81 li. Tabloda = 7 içi, buu değei = %5 elde edili. Şimdi de, bugüde başlayaak yıl boyuca yatııla mevduatlaı tolam değeii hesalayalım: S' K S 30000, , dea elde edili. Alıştımala.,5 yıl boyuca he altı ay başıda yatııla 0000 dealık mevduatlaı süe souda tolam değei 658 dea olmuştu. Mevduatla hagi faiz oaıyla yatıılmıştı?. Döt yıl boyuca he döt ayda 5000 dea mevduat yatıılmış ve so mevduatı yatııldığı güde baka hesabıda dea biikmişti. Döem sou hagi faiz oaıyla yatıım yaılmıştı? Yatıım vadesi döt aylıktı. 3. He yıl a) döem başı; b) döem sou 0000 e dea yatıılaak 0 yıl soa hesabımızda dea biike aamız olması içi hagi faiz oaıyla aayı yatımalıyız? 4. He altı ay souda yatııla 3000 dealık mevduatla 6. yılı souda 8800 dea olmuştu. Faiz hesalama vadesi altı ayda olduğua göe, yatııla aa hagi faiz oaıyla hesalamıştı? 5. Üç aylık döem başı 5000 dealık aüitelele bakaya 8 yıl boyuca aa yatıdık. Faiz hesalama vadesi üç aylık döem sou yaılaak sekizici yıl souda baka hesabımızda 3500 dea biikmişti. Yatııla aa hagi faiz oaıyla hesalamıştı? 3.6. Peiyodik Alacakla (Kiala) Yatıımlada yaıla icelemele, belli zama aalıklala alıa aa miktalaı içi de beze icelemele yaılabili. Öek, baka hesabımızda bulua bi mikta aayı, bide değil, belli ve eşit zama aalıklaıda küçük miktala halide çekebiliiz. Eşit zama aalıklaıda alıa alacakla söz kousu oluca ilk aklımıza gele kiadı. Eşit miktada alacaklaı sabit kiala (etle) diye adladıacağız. Kia aüitelei öcede belilemiş kaua göe değişebili, öeği geometik ya da aitmetik dizisi kauua göe değişebili. Böyle kialaa değişke kiala dei. Özellikleie göe kiala biçok şekilde adladıılıyola; ödeme zamaıa göe, eiyodu başlagıcıda ödeise döem başı kiala, eiyodu souda ödeise döem sou kiala diye adladıılıyola. Ödemelei zama süesie göe 79

82 geçici kiala (belli bi süe içi), ömü boyu kiala (kiayı ödeye kişii ömüü soua kada), ya da kia alacaklaı hiç bitmeye olduğu duumda daimi kiala söz kousudu. Kialaı ödediği eiyotua göe: yıllık, yaıyıllık, üç aylık, aylık vb. kiala fak ediyouz. Kiaı alıdığı müddetçe, aasal valıklaı faizledimesi devam ede ve kia eiyotlaı ve faiz döemlei çakışabili, yai eşit olabili (biz ilede sadece bu gibi kialaı iceleyeceğiz). Halbuki faiz hesalaması, kia eiyotuda daha sık ya da daha seyek de olabili. Kia almak içi, öce buu getiecek valık temi edilmelidi. Kia getimek amacıyla yatııla valık miktaıa kia semayesi dei. Buada bi defaya mahsus ola yatıım söz kousudu. Halbuki aasal valıkla eiyodik ödemelele de yaılabili. Kia alacaklaı, kia bedelii yatıılmasıyla başlasa heme kiala, kia alacaklaı belli bi zamada soa başlasa o halde etelemiş kiala söz kousu olu. Sabit miktalı, faizledime vadesi kiaı ödeme vadesiyle çakışa eiyodik ödemele üzeide daha fazla duacağız. Fomüllei belitilmeside faiz oaı döem sou olduğuu vasayacağız, halbuki döem başı duumla içi de youmla yaacağız. Şu işaetlemelei kullaacağız: M kia semayesi, R- kia (et), ödeme sayısı, döem sou faiz katsayısı, - döem başı faiz katsayısı Kia Semayesii Hesalaması Başlagıç içi, defa he eiyodu başıda ödee R miktalı döem başı kiayı iceleyelim. Geeke kia semayesii hesalamak içi bu mikta tüm kialaı sağlayacağıı bilmemiz geeki. Demek ki, yatıımlaı gelecekteki değeii hesalake, tüm faizlemiş bieysel mevduatlaı tolamıı belittiğimiz gibi, buada da kia semayesi aslıda tüm bieysel iskotolamış kialaı değeleii tolamıa eşit olacaktı. İskotolamış değe, aslıda faizledikte soa R değeie biike şimdiki değedi. Buu, zama ekseide şu şekilde gösteebiliiz (şek.8): 80

83 Şek. 8 O halde, döem başı duumuda, faiz katsayısıyla kia semayesi içi: M R R R... R elde edili. Göüldüğü gibi, biici kia iskoto edilmez, ou değei şimdiki ödee değee eşitti. İkici kia bi eiyot içi iskoto edilmiş ve bu şekilde defa iskoto edile so kiaya kada devam edili. Bu şekilde elde edilmiş ola ifadeyi M R..., biçimide yazalım. Paatez içide ola kısım, ilk teimi ve otak çaaı. ola bi geometik dizisii ilk teimii tolamıdı. Mevduatlada faklı olaak buada faiz katsayılaı yei- e k iskoto katsayısı vadı. Fomülü döüştümeye devam ediyouz: M R R R. elde edili. Bu fomülle döem başı kiaı kia semayesi hesalaı, diğe deyişle, iledeki tüm ödemelei şimdiki değeii hesalamak içi uygulaa fomüldü. Not. Üçücü i / i tablo, biici tablou değeleii tolamıda elde edildiği gibi, beze şekilde dödücü i / i tablo V,..., şeklide tolam gibi, V..., yai de - kada eiyotlaıda, ayı %.a.(d) faiz oaıyla hesalamış ikici tablou değeleii tolamıdı. Bua göe kia semayesi içi şu fomülü elde ediyouz: M R. V 8

84 . Öümüzdeki he 4 yılı başlagıcıda 0000 dea kia almak içi, bugü e kada aa yatımalıyız? Faiz oaı %6.a.(d) ve faizi hesalaması yılda bi defa olsu. Kia semayesii hesalaması geeki. Tolam 4 kia = 4, kia değei R = 0000, yıllık 6 faizledime m = ve döem sou faiz katsayısı, 06 olduğuu biliyouz. 00 O halde, 4,06 M R deadı. 3,06,06 00 Not. Faizledime döem başı olduğu duumda, faiz katsayısı di ve kia 00 semayesi içi şu fomül geçeli olacaktı: M R R.. Öümüzdeki he 4 yılı başlagıcıda 0000 dea döem başı kia almak içi, bugü e kada aa yatımalıyız? Faiz oaı %6.a.(a) ve faizi hesalaması yılda bi defa olsu. 00 Ödev de yaıldığı gibi, beze şekilde haeket edili,, elde edili. Buu yukaıdaki fomülde yeie koyasak M = 3654 dea elde edili Öümüzdeki 0 yıl boyuca yaım yılda bi dea kia almak istiyouz. İlk kia heme ödediği takdide, bugü e kada aa yatımalıyız? Faiz oaı %0.a.(d) ve faizi hesalaması yılda iki defa olsu. Biici ödeme heme olduğua göe, döem başı kia söz kousudu. Ödeme sayısı = 0. 0 = 0, R = ve,05 biliiyo. O halde 00 0,05 M dea olduğuu buluyouz. 9,05,05 Kia sayısı, döem sou faiz katsayısı, döem sou R değeide kia olduğu duumda (şek.9): 8

85 Şek. 9 biici kia, biici eiyodu souda ödei ve ayısı bi eiyot içi iskoto edili. İkici kia iki eyiot içi ve so kia eiot içi iskoto edili. O halde, M R R R R R R......, ve souda M R elde edili. Bu ise, vade sou kia semayesii hesalamasıda uygulaa fomüldü. Not 3. Yukaıda yaıla icelemeye göe, dödücü i / i tablosu içi kia semayesi fomülü M R V şeklide yazılı. Not 4. Döem başı faizledimede, döem sou kialaa ait fomül: M R di. 4. Beş yıl boyuca, üç aylık vadeli 5000 dea tutaıda döem sou kia almak içi e kada kia semayesi yatımalıyız? Faiz oaı %0.a.(d) üç aylık vadelidi. 0 Kia sayısı = 5. 4 = 0 di, R = ve. 05 veilmişti. O halde kia semayesi içi M R dea elde ,05 edili. 0,05,05 5. He üç ay souda yıl boyuca eiyodik mevduat yatıılmaya başlamıştı. Bu gü- de 7 yıl soa, üç ay vadeli, 6000 dea tutaıda,5 yıl boyuca kia almak istiyouz. Kia döem başı, faiz oaı %8.a.(d) ve üç aylık faizledime ile veilecekti. Yatııla eiyodik mevduat e kadadı? 83

86 Peiyodik yatıımlaı ve alacaklaı zama ekseide gösteelim (şek.0). %8 üç aylık yatıımla üç aylık kiala Şek. 0 8 Veilele, 4 8,, 0 yılı souda yatıımlaı tolam tutaı 400 8,0 S V V 8, 583V di. Yatıımı gelecekteki değei, yai kialaı ödemesi,0 başlaıcaya kada 5 yıl içi faizlei. Kia semayesi, aslıda S i faizlemiş değeidi. Bua göe, M ' S 54 8,583V.0, di. Sadeleştidikte soa М =,754V elde edili. Diğe taafta kialaı veile koşullaıa göe M =,0, R = 6000 dea. Bua göe, 0 ' ' R, ' 6, elde edili. Kia sema-,0,0 yesi içi elde edile iki değei eşitlesek, 34 8 =,754 V elde edili. Oada da V = 688 dea olduğuu buluyouz. fomülüde, kia sayısı =,5. 4 = 6, M ' 5. Peiyodik kia edi? Alıştımala. Ödemelei süesie göe kiala asıl adladıılı? 3. Ödeme zamaıa göe asıl kiala vadı? 4. Döem başı ödee yaım yıl vadeli 5000 dea kia tutaıı, 0 yıl boyuca almak içi e kada kia semayesi geeki? Faiz oaı %6.a.(d) ve faiz vadesi yaım yıllık olsu. 5. Altı yıl boyuca %4.a.(d) faiz üzeide dea yıllık vadeli a) döem sou; b) döem başı kia almak içi, bu gü yatımamız geeke semaye miktaı e kada olmalıdı? 84

87 6. Gelecek altı yılda, he üç ayı souda dea kia almak içi, kia semayesi e kada olmalıdı? Faiz oaı %.s.(d) ve faiz vadesi üç aylıktı. 7. Bugü dea bakaya yatııldı. İledeki 9 yıl zafıda he ay souda e kada aa yatımalıyız ki, ileideki 0 yılda so mevduatı ödediği güde itibae, aylık döem başı 7000 dea kia tutaı elde edilsi? Faiz oaı %.a.(d) aylık vadelidi. 8. Bu güde başlayaak iledeki üç yıl boyuca he ayı souda 5000 dea kia tutaı almak içi bugü yatııla 8000 dea ile beabe yıl öce e kada aa yatımamız geekidi? Faiz oaı %4.a.(d) aylık vadelidi Kia Tutaıı Hesalaması Kia semayesii değei M, faizledime ve kia alışıı koşullaı veilmiş, kia tutaı bilimeye olsu. Kia, döem başı olduğu duumda kia semayesi içi M R geçelidi. Bu ifadede bilimeye R kia tutaıı ifade edeceğiz. Oada u R M elde edili. Bu fomülü kullaaak döem başı kia tutaıı hesalayacağız. Kia, döem sou olduğu duumda ise, kia semayesi içi M R, fomülü geçelidi. Bu fomülde R M elde edili.. Bugü dea %6.a.(d) yaıyıllık faizledime ile bakaya yatıılmıştı. Bu kia semayesi tutaıyla öümüzdeki 0 yıl boyuca he altı ayda bi kia a) döem sou; b) döem başı olmak üzee alıısa, kia tutaı e kada olacaktı? M = dea kia semayesi, R tutalı = 0. = 40 kiaya eşit olmalıdı. Döem 6 sou faiz katsayısı, 03 tü

88 40,03,03 a) Döem sou kia duumuda R ,03 b) Kia, döem başı olduğu takdide 39,03, ,5 R deadı. 40,03 Not. Faizledime döem başı olduğu duumda kia R M 865,5 deadı. fomülüyle hesalaacaktı. döem başı faiz katsayısıdı. Not. Faiz oaı döem başı, kia döem sou olduğu duumda, kia R M fomülüyle hesalaacaktı.. Bugü, çeyek yıllık vadeli %.a.(d) faiz oaıyla bakaya dea aa yatıılıyo. Gelecek 0 yılda üç ay vadeli e kada kia alıabili? Kiala döem sou ve faizlemesi döem başı olacaktı. Ödevi veileie göe M = dea, etki faiz oaı %3.q.(d), alıacak kia sayısı = = 40 olduğuu göüyouz. O halde,030978, di ve kia tutaı içi ,030978, R M ,36 dea elde edili. 40, İki yıl öce bakaya 0000 dea %5.a.(d) yaı yıllık faizledimeyle yatııla aayla, bu güde başlayaak 4 yıl boyuca, he altı ay başıda e kada kia alabiliiz? K = 0 000, =,05, = 4. = 8 di. Bu veilele, kia he yaıyıl başıda alıdığıa göe, döem başı kia fomülüü uyguluyouz: 7,05,05 R M M 0, 36M 8.,05 86

89 faizledime yaıyıllık kiala Şek. Zama ekseide göüldüğü gibi, kia iki yıl etelemişti ve 0000 dealık kaital kia semayesi olaak kullaıldığı aa kada M = K = 0000,05 4 = 3457,5 ve R = 0, ,5 = 804 deadı. 4. Bu güde başlayaak öümüzdeki iki yıl boyuca, he üç ay souda 3000 e dea aa yatıılacaktı. Yatııla so taksitte bi yıl soa başlayaak bu yatıımda yıl boyuca, he üç ayı başıda kia ödeecekti. Baka hesabımızda bu güde yedi yıl soa 000 dea aa biiktiğii vasayaak, kia tutaı e kada olacaktı? Faiz oaı %8.a.(d) faizledime üç aylık vadelidi. Zama ekseii çizdikte soa işaet edelim (şek.). yatıım kia 4 yıl Şek. 8 8,0 V dq 3000, 4 8,,0 ve S V ,0 deadı. Bu mikta aa bi yıl faizde kalı ve kialaı tolam tutaıı ve kala 00 deaı bedelii sağla. Bua göe, S 000 M 4 4 deklemii yazabiliiz. 000 dea tutaıı, döt yıl içi üç ay vadeli iskotosu hesalaı. O halde S 0 6 M 000 elde edili. Kia semayesi M ile işaet edesek, kia semayesi tutaı döem başı üç aylık vadeli 8 kiaya dekti. O halde M R R R 7,47 elde edili. buu yu- 8,0 7,0,0 4 kaıdaki ifadede yeie değiştiisek 5749,0 0 = R 7,47, ve souda ,0 000 R 560 dea elde edili. 6 7,47,0 87

90 Alıştımala. Bugü bakaya dea kia semayesi ödedik. Öümüzdeki 8 yıl boyuca yatııla aa miktaıyla, %3.a.(d) yaıyıllık faizledime ile döem sou yaıyıllık kia tutaı e kada olacaktı? Faizledime döem başı, faiz oaı ayı %3.a.(a) olduğu duumda kia tutaı e kada olacaktı?. Bugü bakaya dea aa yatıdık. Öümüzdeki,5 yıl boyuca yatııla miktada, he üç ay souda %8.a.(d) faiz oaı üzeide ödeecek kia tutaı e kada olacaktı? 3. Bugü dea yatıdık. Bu yatıımda döem başı, üç aylık vadeli %8.a.(d) olmak üzee 3 yıl soa başlayaak iledeki 5 yıl boyuca kia alacağız. Faiz oaı %0, üç aylık vadeli faizledime olduğua göe, kia tutaı e kada olacaktı? 4. Bii 33. doğum güüde 38. doğum güüe kada, he yaıyıl başıda 4800 e dea baka hesabıa yatımıştı. Bu kişi 4. doğum güüde 48. doğum güüe kada he yaıyıl souda alacağı kia tutaı e kadadı? Yaıyıllık vadeli faizledime; faiz oaı %6.a.(d) di. 5. İki yıl öce 000 dea aa yatıdık ve,5 yıl soa, he yaıyıl souda kia alacağız. Faiz oaı % 5.a.(d) yaıyıllık faizledime uygulamakla alıacak kia tutaı e kada olacaktı? 3.8. Kia Sayısı ve Kia Kalaıı Hesalaması Kia semayesii hesalamasıda kullaıla fomüldeki büyüklükle aasıda, kia sayısı da bulumaktadı. Kia semayesi, kia tutaı ve faiz oaı bilidiğide, kia sayısıı ifade edebiliiz.. Altı aylık vadeli %4.a.(d) faiz oaıyla 944 dea kia semayesi yatıılmıştı. İlk kia heme alıdığıa göe bu semayeyle 000 dea tutaıda kaç yaım yıllık vadeli kia alıabili? Kia semayesi M R R fomülüe bikaç dek döüşüm uygulayaak: M, R R M M, R R R. R M 88

91 elde edili. Elde edile deklemi iki taafıı logaitmasıı alalım: ve logaitma işlemii bi özelliğii kullaaak R log log R M elde edili. Oada da log R log R M log R log R M, elde edili. Bu fomülü kullaaak kia sayısıı hesalayacağız. Kia sayısıı, doğuda doğuya kia semayesii hesalamak içi kullaıla fomülde de elde edebiliiz. Yukaıdaki ödeve yeide döelim. Biici kia heme alıdığıa göe, döem başı kia söz 4 kousu olduğuu öcede kaydedelim. Bilidiği üzee M 944,, 0, 00 R = 00 deadı. Bua göe kia sayısı 000,0 log 6,77 log,684 log,0 000,0 944,0. 5 M = 40000, R = 0000 ve,05 veilmişti ,05 log,57. log, , ,05 Not. Faiz oaı döem başı ise, döem başı yatıım içi kia sayısı: R log, log R M 00 fomülüyle hesalaacaktı. Buada, döem başı faiz katsayısıdı. 00. Bugü bakaya dea yatııyouz. Yatııla aaya baka yıllık %5.a.(d) faiz ödüyo. Yatııla bu aayla 0000 dea tutaıda döem başı yıllık kaç kia alabiliiz? Elde edile değe tam sayı değildi. Bu ise şuu gösteiyo: Ödee kia ile yatııla aaı tümü hacamamıştı, fakat 0000 dea tutaıda ola kialada 3. kiayı ödemek içi yeteli aa yoktu. O halde kia sayısı, elde edile sayıda büyük ola ilk doğal sayıdı, fakat ilk kia tutaı eşit, so ola 3. kia diğeleide küçüktü. 89

92 90 So kia içi ya da kia kalaı diye adladııla tutaı hesalamak içi fomül bulacağız. So kiayı R 0 ile işaet edelim. Bu duum zama eksei şek. 3 te gösteilmişti. Kia semayesii bieysel kialaıı iskoto edeek: R R R R R R R M elde edili. Paatez içideki ifade bi sosuz geometik dizisii ilk teim tolamıdı. Bua göe: 0 0 R R R R M elde edili. Buada da, kia kalaı içi şu fomülü elde ediyouz: 0 R M R. Not. Bu ifadeyi dödücü ve biici i / i tablolaıyla ifade edesek, fomül: 0 V R M R, şeklide yazılabili. Buada V di. Bizim öekte = 3 olduğua göe: 53,75,05,05,05,05, R dea elde edili. Kia kalaı daima kia tutaıda küçüktü. M kia semayesi, defa alımış ola döem sou kia R ve döem sou faiz katsayısı veilmiş olsu. Kia semayesi fomülüde R M, R M R R M, elde edili. Buada da Şek. 3

93 9 M R R. elde edili. Bu ifadei iki taafıı logaitmasıı alalım: log log M R R, oada da log log M R R. elde edili. Not 3. Veile faiz oaı döem başı olduğu duumda, kia sayısı içi log log M R R. fomülü geçeli olacaktı. tam sayı olduğu duumda, bu sayı alıacak kia sayısıdı, aksi halde tam sayı olmadığı duumda, kia sayısı bu sayıda büyük ola ilk doğal sayı alıı. Döem başı kiala içi yaıldığı gibi, buada da R 0 kia kalaı hesalaabili (şek.4). Şek. 4 Kialaı iskotolayaak kia semayesi içi: R R R R R R M elde edili. Paatez içideki tolam, ilk teimi ve otak çaaı ola bi geometik dizisii tolamı olduğua göe: R R R R M 0 0. a elde edili. Oada da, R M R 0 elde edili. Bu ifade, döem sou kia kalaıı hesalamak içi fomüldü.

94 Not 4. ifadesi V, ile değiştiildiğie göe, i / i tablolaıda yaalamakla kia kalaı içi şu fomülü kullaacağız: R M R 0 V, Not 5. Kia kalaıı hesalamak içi elde edile fomüllede, faiz katsayısı, döem başı faiz katsayısı ile değiştiilise, döem başı faizledime içi kaşılık gele kia kalaı fomüllei elde edilecekti. 3. Yıllık döem sou kia almak içi, bugü bakaya dea yatııyouz. Faiz oaı %5.a.(d) yıllık olduğua göe 0000 dea tutaıda kaç kia alabiliiz? So kia e kadadı? Şu veile biliiyo: M = , kia R= ve =,05. kia sayısıı belitmek istiyouz. Yukaıdaki fomüllede: 0000 log 4,6765. log, ,05 elde edili. Bua göe, alıacak kia sayısı = 5 ti. Halbuki buada kialada ilk 4 taesii tutaı eşit, so kia tutaı ise faklı ve 0000 deada az olacaktı. O halde kia kalaıı içi: 4,05 5 R , ,4 0 4,05,05 dea olduğuu buluyouz. Alıştımala. Bugü bakaya 90,7 dea yatıdık ve bu güde başlayaak he üç ay souda dea tutaıda kia alacağız. Faiz oaı üç aylık vadeli %7.a.(d) olduğua göe kaç kia alabiliiz?. Bugü bakaya 33938,67 dea yatıdık. Faiz oaı altı aylık vadeli %0.a.(d) olduğua göe, döem başı altı ay vadeli dea tutaıda kaç kia alabiliiz? 3. Bugü dea altı ay vadeli %5.a.(d) faiz oaıyla bakaya yatıdığımız takdide, bu güde başlayaak he altı ay souda dea tutaıda kaç kia alabiliiz? Kia kalaı e kadadı? 9

95 4. Bakaya yatııla dea aa ile, üç aylık vadeli, döem sou dea tutaıda kaç kia alabiliiz? Faiz oaı döem sou üç aylık vadeli %9.a.(d) di. Kia kalaı e kadadı? 5. Bugü bakaya 0000 dea yatıdık ve bu güde başlayaak he altı ay başıda 4800 dea tutaıda kia alacağız. Faiz oaı altı aylık vadeli %4.a.(d) olduğua göe kaç kia alabiliiz ve kia kalaı e kadadı? 3.9. Peiyodik Kialada Faiz Oaıı Hesalaması Faiz oaı bilimeye, diğe büyüklükle ise biliiyosa, ou kia semayesi fomülüde bilimeye büyüklük gibi hesalaacaktı: döem başı içi M R V ve döem sou içi M R V.. Hagi yıllık vadeli faiz oaıyla dea yatıılmalıdı ki, 5 yıl boyuca he yıl başı dea tutaıda kia alısı? Döem başı kialaa ait kia semayesii temel fomülüü açalım. Amaç, döem sou faiz katsayısıı değeii bulmaktı. M R, buada M M R R, M R M R 0. deklemi elde edili. Bu deklemde bilimeye di ve deecesi geellikle 4 te büyüktü. Böyle deklemlei çözmek içi sayısal yötemle kullaılı ve bu yötemlei uygulaması hayli zodu. Halbuki, M R V, fomülüü kullaaak, V, fiasal tablosuda değelei okuyaak, faiz oaıı kolay belitebiliiz. Halbuki V tablosuda aaıla değe yoksa, bileşik faiz hesabıda ve mevduatlada yaıldığı gibi liee eteolasyo deile yötem uygulaı. Koke olaak, ödev de M = , R = 50000, = 5 ti. Fomülü uygulamakla V olduğua göe 4 4 V elde edili. V tablosuda değei hiçbi faiz oaıa kaşılık gelmediğii göüyouz. Bu edele oa e yakı ola değelei 0, < <,4693 alıyouz. Bu duumda V 7,5 0, 9830 ve V 7, 4693 olduğuu buluyouz. Şu tabloyu oluştuuyouz: 93

96 4 4 V V 0,9830 7, 5 0, , 5, ,4863 0, 5 0, 07 7, 5 0,5 0,07 0,4863: (- 0,5) = 0,07: ( - 7,5) oatısıda 7,5 7,48% elde edili. Demek 0,4863 ki aaıla faiz oaı % 7,48 di.. Bi kişi, 5 yıl boyuca he yaıyıl souda dea kia alıyomuş. Kia semayesi, ilk alıa kiada altı ay öce yatııldığıa göe, altı ay vadeli faizledime hagi faiz oaıyla yaılmıştı? Buada döem sou kia tutaı R = 60000, kia semayesi tutaı M = , = 5. = 0 defa veilmişti. Döem sou kiaya ait kia semayesi fomülü M R di. Bu eşitliği faiz katsayısıa göe düzelesek M + - (M + R) + R = 0 deklemi elde edili. Bizim öeğimizde bu deklem. deecedi ve buu çözümüü belitmek kolay değildi. Bu edele fiasal tablolada M R V, kia semayesii fomülüde yaalaacağız. yaıyıllık vetki faiz oaıdı. Demek ki, V olduğua göe V 7, elde edi- li. Tabloda =0 içi 7,77 sayısıa %5 kaşılık geli. Bua göe yıllık omial faiz oaı %0.a.(d) olduğuu buluyouz. 3. yıl 6 ay boyuca yaıyıllık faiz vadesiyle, döem sou altı aylık 0000 dea tutaıda kia almak içi, 000 dea kia semayesii hagi faiz oaıyla yatımalıyız? Fomülde M = 0 000, R = 0000 ve kia sayısı =,5. = 5 değeleii değiştiisek V, deklemide V elde edili. Dödücü i / i tablosuda = 5 içi sayısıı değil, oa e yakı komşuluğuda bulua iki sayıyı seçiyouz. Bula,979 sayısı, ki bua %6,5 faiz oaı ve,6536 sayısı ki bua %7 faiz oaı kaşılık geli. Bu veilei tabloda yazaak eteolasyo yaacağız. 0,5 0,3464 0,5443: (- 0,5) = 0,3464: ( / - 7,5) oatısıda 7 %6,68 elde edili. Bua göe yıllık omial faiz oaı 3,364.a.(d) di. 0,

97 / 5 V / / 5 V /,6536 7, ,979 6, 5 / 0,5443 0, 5 0, 3464 / 7 4. Bugüde başlayaak iledeki iki yıl boyuca, he üç ayı souda 6000 dea aa bakaya yatıacağız. Bu güde üç yıl soa hesabımızda o kada aa çekmeliyiz ki beş yıl soa hesabımızda kia semayesi olaak dea aamız biikmiş olsu. Bu kia semayeside yaalaaak,5 yıl boyuca 4000 dea tutaıda döem sou üç ay vadeli kia alacağız. Bu güde üç yıl soa hesabımızda hagi mikta aayı çekmeliyiz? Faiz oaı bu zama süeside daima ayıdı. İki yıllık yatıım yaılıyo, fakat faiz oaıı bilmediğimizde mevduatı tutaıı hesalayamıyouz. Halbuki kia içi veileimiz vadı ve oada faiz oaıı hesalayacağız. Bu veilei zama eksei üzeide göstedikte soa deklemle kuacağız. yatıımla Şek. 5 V 4 S yatıımıı so değei bi yıl faizlei, X tutaıda aa çekili ve kala aa daha iki yıl faizlei. Bugüde 5 yıl soaki güde, bakada biike aa tutaı, kialaı tolam tutaıa kaşılık geli. Bua göe (S 4 - X) 8 = M deklemi elde edili. Öce faiz oaıı hesalayalım. Kia semayesi fomülüde M R, yazabiliiz, buada kia sayısıdı ve öe- ğimizde =,5 4 =0 kiadı. Bua göe V 7,7 elde edili. Bu değe %8 faiz oaıa kaşılık geli. Demek ki, = %3.a.(d) olduğuu buluyouz. Bua göe, değeii X i buluduğu deklemde yeie koyabiliiz. Yatıım döem sou olduğua göe 8,08 S dea elde edili. O halde, (7086, х),08 8 = deklemi elde edili. Buu çözelim, 3536 X = 666 oada da X = = 4874 de-,08 a olduğuu buluyouz. Çekilmesi geeke mikta 4874 deadı. 95

98 Alıştımala. O yıl boyuca he üç ayı başlagıcıda 0000 dea tutaıda kia alımıştı. İlk alıa kiaı ilk güüde dea aa yatıılmışsa, üç ay vadeli hagi faiz oaı kullaılmıştı?. yıl boyuca he üç ayda bi 000 dea döem başı kia almak içi, dea hagi faiz oaıyla yatıılmalıdı? Faizledime he üç ayda bi yaılacaktı. 3. Altı yıl boyuca he altı ayda 6000 dea tutaıda döem sou kia almak içi, 456 dea kia semayesi, hagi faiz oaıyla yatıılmalıdı? 4. Bi kişi dea yatıım yaaak iledeki 5 yıl boyuca, he dödücü ayda 4500 dea tutaıda kia almalıdı. Döt ay vadeli hagi faiz oaı kullaılmıştı? 5*. Bi yıl öce yatııla tutaı şimdiki değei deadı ve he ikici ay souda bu aada iki yıl boyuca 5000 dea tutaıda kia alıacaktı. Kia iki ay vadelidi. Bi yıl öce hagi mikta aa yatıılmıştı? 3.0. Kama Ödevle i / i tablolaıı uygulamış olduğu bazı çözülmüş ödevle üzeide duacağız.. Bugü e kada kaital yatımalıyız ki, bu güde başlayaak 5 yıl soaki altı yıl boyuca he üç ay başıda 9000 dea tutaıda kia almak içi yatıımımız olsu. Faizle: ilk iki yılda aylık vadeli %6.s.(d) faiz oaıyla, sıadaki üç yılda üç ay vadeli %0.a.(a) faiz oaıyla ve so altı yılda faiz oaı %4.q.(d) hesalaacaktı (şek.5). Şek. 6 Kia semayesi, aslıda aaaaı faizlemiş tutaıdı ve faklı eiyotlada faklı faiz oalaıa göe şu şekilde hesalaacaktı: 96

99 6 - İlk iki yıl = 4 defa,, 0, faiz katsayısıyla faizleecek, Sıadaki 3 yılda 3 4 = defa, 0564, faiz katsayısıyla ve Kialaı hesalamasıda, tolam 6 4 =4 kia, üç aylık vadeli %4 etki faiz oaıyla, ya da =,04 faiz katsayısıyla faizleecekti. 4 Bua göe, K 4 р = M ve M R di. Veile değelei değiştidikte 4 soa elde edile ifadelei eşitliyouz. Bu şekilde 4 4,04 K,0, ,04, 4,04,04 deklemi elde edili. İfadei sadeleştiilmesiyle,7 K = 4 7 elde edili. Bua göe bugü ödemesi geeke tuta K = 8 97 dea olduğuu buluyouz.. Baka hesabımıza dea tutaıda kia semayesi yatııyouz. Faiz oaı ilk 4 yıl boyuca %6.a.(d) ve gelecekteki altı yıl boyuca %8.a.(d) olmak üzee, o yıl boyuca ayda e kada kia alıabili? Faizledime işlemi aylık ve ilk kia, kia semayesii yatııldığıda bi ay soa başlayacaktı. Öce, ilk kia ödemesi ay souda yaıldığıa göe, döem sou kiada bahsedildiğii fak edelim. Faklı faiz oalaı uyguladığıda, ayı tutalı fakat faklı kia semayesi ile, ilk 4 yılda bi, ikici 6 yılda ikici kia ödediğii faz edebiliiz (şek.7) Şek. 7 İlk döt yıl içi geeke kia semayesi M ve iledeki 6 yıl içi M olsu. Ödee tolam kia semayesi tutaı M ve iskotolamış M tutalaıı tolamıdı. Biici kia 4. = 48 defa, 6 döem sou faiz katsayısı, 005 ile hesalaacaktı ve elde edile kia semayesi M 00 48,005 R 4, 580R 48 di. İkici kia 6. = 7 defa, döem sou,005,005 97

100 8 faiz katsayısı, olduğua göe, ikici kia semayesi 00 7,00667 M R 57, 08R 7 di. O halde M M M, 4 eşitliğide,00667, ,580R 57,08R,005, deklemi elde edili. Deklemi çözeek aylık kia R = 897 dea olduğuu elde ediyouz. 3. Dokuz yıl boyuca üç ay vadeli 8000 dea tutaıda kia almak istesek, he ay başıda 6 yıl boyuca e kada mevduat yatıılmalıdı? So yatııla mevduatta ilk kia alııcaya kada 6 yıl ay geçecekti. Faiz oaı %8.a.(d), faizledime ilk 6 yılda aylık vadeli, oda soa üç aylık vadeli olacaktı (şek.8). aylık mevduat üç aylık kia Şek. 8 Bilimeye, bieysel mevduat V di. Mevduat tolam 6. = 7 defa döem başıdı. Altıcı 8 yıl souda,00667 faiz katsayısıyla yatıımlaı so tutaı S hesalaı. Bua ,00667 göe, S V V, , 65V elde edili. S tutaıa, kia semayesi,00667 olduğu ada itibae faizledimeye başlaı. So mevduatta ilk kiaı ödemesie kada 6 yıl ay süe vadı, fakat S so mevduatta bi ay soa hesalamaya başlıyo. Demek ki, faizledime süesi 6 yıldı. O halde, S tutaıı belittikte soa faizledime üç aylık vadeli olduğua göe M S, di. Bu duumda faiz katsayısı içi 64 8,0 elde edili Bua göe kia semayesi içi M S,0 9,65,0 V 49V elde edili. Diğe taafta, kia semayesii kiaı koşullaıa göe hesalayacağız. Kia he üç ay vadeli 9 yıl boyuca alıı. Demek ki, ilk üç ayı başlagıcıda başlayaak, yai döem başı tolam = 9. 4 = 36 kia ödei. Faiz katsayısı =,0 di. Bua göe, M R, , ,0,

101 elde edili. Kia semayesii iki değeii eşitleyeek 49 V = elde edili. Bua göe, V = 3 4 deadı. 4. Bii 9 yıl öce baka hesabıa dea yatımıştı. İlk iki yılda başka yatıım ve aa çekme olmamıştı. Oda soa 3 yıl boyuca he 6 ayda 8000 dea tutaıda mevduatla yatıılmıştı. Bu güde başlayaak iledeki 4 yıl boyuca yıllık vadeli 5000 dea tutalı kia alıacaktı. Bu güe kada yaıyıllık vadeli faiz oaı %8.a.(d), bu güde itibae ise yıllık vadeli faiz oaı %0.a.(d) uyguladığıa göe, so kiada soa kişii baka hesabıda e kada aası olacaktı? (şek. 9). mevduatla Şek. 9 Ödee mevduatlaı faizlemiş değeleii, geeke kia semayesi ve iskoto kalaı K ile eşitleyeceğiz. Bu güe kada faiz katsayısı 8,04 tü. Yatııla ilk mevduat tutaı K 0 = deadı ve bugüe kada yaıyıllık vade ile tolam 9. =8 defa faizlei. 3. = 6 defa yatııla mevduatı tolam tutaı S V 8000, deadı ve bu tu- 6 6,04,04 ta bugüe kada faizlei ve bu şekilde bugüe kada yatııla aaı tolam tutaı K 0 S 38000, , deadı. Baka hesabıda ilede çekile aasal değelei hesalamak içi, kia ve kalaı iskotolamış değeii hesalamak geeki. So kiada soa, 4 yıl faizde kala döem başı yıllık vadeli mevduat söz kousu olduğuu belitmeliyiz. Bu demekti ki so kiada döt yıl soa, bugüde ise 8 yıl soa içi kala aa tutaıı hesalayacağız. O halde, döem başı faiz katsayısı 00, olduğua göe, K kalaıı iskotolamış değei K, di. O halde kia semayesi içi M R, geçelidi. Beş yıllık döem başı yıllık vadeli 5000 dea kia tutaı 5 içi 5, M 5000, 6537 dea elde edili. 5,, 99

102 8 8 Şimdiye kada yaıla yatıımlaı ve alımlaı eşitlemekle K 0 S M K, = K, -8 elde edili ve oada K = dea olduğuu buluyouz. Bu güde sekizici yılı souda baka hesabıda dea kalacaktı. Alıştımala. yıl öce baka hesabımıza, yaıyıllık vadeli 4 yıl boyuca 8000 dea tutaıda mevduatla yatımaya başladık. 3 yıl öce bi defaya mahsus daha dea yatıdık. Bugüde başlayaak yedi yıl boyuca aylık kiala alacağız ve 49 ayda soa hesabımızda daha dea kalacaktı. Faiz oaı, bugüe kada yaıyıllık vadeli %8.a.(d) ve bu güde soua kada aylık vadeli %.a.(d) olduğua göe kia tutaı e kadadı? Kiala ve mevduatla döem başıdı.. yıl öce bakaya bi mikta aa yatıdık. Oda üç yıl soa, 5 yıl boyuca he altı ayda 3000 dea tutaıda mevduatla yatıdık. Bu güde başlayaak 8 yıl boyuca altı ay vadeli 5000 dea tutaıda kia alacağız. So kiada yıl 6 ay soa baka hesabımızda daha 4000 dea aamız olacaktı. Bugüe kada faiz oaı %8.a.(d) ve bugüde soa = %6.a.(d) altı ay vadeli olduğua göe yıl öce e kada aa yatıılmıştı? Hem mevduatla, hem kiala döem başıdı. 3. Üç yıl öce başlayaak iki yıl boyuca baka hesabımıza he ay döem başı 000 dea tutaıda mevduat yatımaya başladık. Bi yıl öce daha dea yatııldı. Bu güde bi yıl soa 5 yıl boyuca R tutaıda döem başı aylık kia alacağız ve bu güde 6 yıl soa bi yıl boyuca 00 dea tutaıda döem başı aylık kia alacağız. Faiz oaı %3.a.(d) olduğua göe beş yıllık kia tutaı e kada olacaktı? Faizledime bi aylık vadelidi. 4. Bi kişi 30 yıl öce başlayaak oucu yıl öceye kada he ay başıda %4.a.(d) faiz oaıyla aylık vadeli 00 dea tutaıda mevduat yatımıştı. O güde soa faiz oaı %4.a.(d) altı ay vadeli faizledime uygulamıştı. Bu güde başlayaak iledeki 5 yıl boyuca, kişi he altı ayda kia alı so kiayı aldıkta soa hesabıda dea kalıyosa yaıyıl vadeli kia tutaı e kadadı? 5. Bii yedi yaşıda 5 yaşıa kada he üç ayı başıda baka hesabıa 7000 dea yatımıştı. 0. yaşıda bi defaya mahsus daha dea aa yatımıştı. 30 ve 40 yaş aasıdaki döemde he üç ay başıda 5000 dea tutaıda kia almıştı. Faiz oaı %8.a.(d) üç ay vadeli olduğua göe, ellici yılıda şahsı baka hesabıda e kada aasal valığı olacaktı? 00

103 3.. Alıştımala. Bu güde başlayaak yıl ve 8 ay boyuca he ay başıda 00 dea tutaıda mevduat yatıacağız. Faiz oaı %6.a.(d) aylık vadeli faizledime ile bu güde üç yıl soa hesabımızda e kada aa biikecekti?. İki yıl öce baka hesabımıza dea aa yatıdık. Şimdide 4 yıl soa hesabımızda dea biikmesi içi, iledeki üç yıl boyuca he ay souda e kada mevduat yatımalıyız? Faiz oaı %8.a.(d) aylık vadelidi dea tutaıda üç ay vadeli kaç mevduat yatımalıyız ki, so mevduatta 3 ay soa hesabımızda 0000 dea aa biikmiş olsu? Faiz oaı %0 ve faiz vadesi üç aylıktı. 4. Bi kişi 35 yaşıda başlayaak 4 yaşıa kada he altı ay souda 6000 dea tutaıda aa baka hesabıa yatııyo ve so yatıım güüde hesabıda dea olduğuu tesit ediyo. Faizledime altı aylık olduğua göe, yatıım hagi faiz oaıyla yatıılmıştı? 5. Bii, baka hesabıa he üç ay başıda 6000 dea tutaıda mevduat yatımış ve bugüde 4 yıl soa hesabıda 344 dea aa biikmişti. Bugü dahil, kişi kaç yıl hesabıa üç ay vadeli 6000 dea tutaıda aa yatımıştı? Faiz oaı %6.a.(d) ve faizledime üç ay vadelidi yıl boyuca çeyek yıl vadeli döem sou 700 dea tutaıda kia almak içi bugü hagi mikta aayı yatımalıyız? Faiz oaı %8.a.(d) ve faizledime üç ay vadelidi. 7. Bu güde başlayaak iledeki iki yıl boyuca, he ay souda 500 dea tutaıda mevduat yatıılıyo. Bu güde 4 yıl soa başlayaak iledeki iki yıl boyuca he ay başıda e kada kia alabiliiz? Faiz oaı %.a.(d) aylık vadelidi. 8. Bugü hesabımıza dea aa yatıdık. Altı aylık vadeli döem başı 0000 dea tutaıda kiayı bugüde başlayaak kaç defa alabiliiz? Faiz oaı %5.a.(d) altı aylık vadelidi. Kia kalaı e kadadı? 9. Bugü 560 dea yatıdık ve bi ay soa başlayaak, iledeki iki yıl boyuca he ay souda 9000 dea tutaıda kia almaya başlayacağız. Faizledime aylık vadeli olduğua göe faiz oaı e kadadı? 0. Bugü hagi mikta aayı yatımalıyız ki, 5 yıl soa hesabımızda dea aamız kia semayesi olaak biikmiş olsu. Bu aada 3 yıl boyuca he üç ay souda 00 dea tutaıda kia ödeecekti. 0

104 . 0 yıl öce baka hesabımıza dea aa yatıdık. Döt yıl soa he ay başıda 800 dea tutaıda 6 yıl boyuca eiyodik yatıımlaa başladık. Bugüde başlayaak yıl boyuca he ay başıda 3000 dea tutaıda aylık kia alacağız. So kiada yaım yıl soa hesabımızda daha dea alıyouz. Bu güde 3 yıl soa baka hesabımızda e kada aamız kalacaktı? Faiz oaı %0.a.(d) aylık vadelidi.. Bi baba çocuğuu tasauf kaesie, 8 yaşıda 5 yaşıa kada he ay souda 500 dea yatııyo; 8 yaşıda 4 yaşıa kada he ay başıda 600 dea yatııyo. Oda soa 6 yaşıda,5 yıl boyuca he ay başıda 50 dea yatııyo. Faiz oaı %0.a.(d) aylık vadeli olduğua göe, so yatıımda altı ay soa çocuğu kaeside e kada aası olacaktı? 3. O iki yıl öce bi mikta aa yatıılmış ve bugü dea çekilmişti. Bugüde başlayaak iledeki 6 yıl zafıda, he döt ay souda 500 dea tutaıda aa yatıılmıştı. Faiz oaı %6.a.(d) döt ay vadelidi. Bu güde yıl soa hesabımızda dea olduğua göe, yıl öce e kada aa yatıılmıştı? 4. Bikaç yılda bugüe kada he üç ay başıda 000 dea aa yatıılmıştı ve bugüde döt yıl soa baka hesabıda dea biikmişti. Faiz oaı %.a.(d) üç ay vadelidi. Paaı yatıılması kaç yıl öce başlamıştı? 5. Bii dea aa yatımıştı.,5 yıl soa he üç ay başıda kia almaya başlayacaktı.,5 yıl boyuca e kada kia alabili? Faiz oaı %.a.(d) üç ay vadelidi. 6. Bu güde bi yıl üç ay soa, hagi mikta aayı yatımalıyız ki, yatıım güüde bu güde 3 yıl soaya kada, he ay souda 4500 dea tutaıda kia alısı ve so kia alıdığı güde hesata 50 dea aa kalsı? Faiz oaı %.a.(d) aylık vadelidi. 7. Bii 5 yıl öce 4000 dea yatımış ve bugüde iledeki iki yıl boyuca he altı ay başıda dea aa yatıacaktı. Faiz oaı daima ayı altı aylık vadeli olmak üzee, so yatıımda hesata dea biiktiğii vasayasak, bu güde 5 yıl soa kişii hesabıda e kada aası olacaktı? 8. Bugü baka hesabıa dea yatıılmış, iki yıl soa dea hesata çekilmişti. Bu güde oucu yıla kada, döem sou yıllık kia alacağız ve so kiada 3 yıl soa hesabımızda dea kalacaktı. Faiz oaı %5.a.(d) yıllık vadeli olduğua göe kia tutaı e kadadı? 9. Bi kişi 0 yaşıda başlayaak 30 yaşıa kada he üç ayda baka hesabıa 3000 e dea yatıaak tasauf yamıştı. 40 yaşıa geldiğide hesabıda dea aa çekmişti. Bu kişi 45 yaşıda 50 yaşıa kada 3 aylık vadeli kia alacaktı. So kiayı aldığıda 0

105 baka hesabıda dea aa kalacaksa, kia tutaı e kada olacaktı? Faiz oaı %8.a.(d) üç aylık vadelidi. 0. Bugüde 3 yıl soa, he yaım yıl souda,5 yıl boyuca 8000 dea tutaıda kia almak içi kişi, bugüde başlayaak iledeki üç yıl boyuca, he yaım yıl başıda e kada aa yatımalıdı? Faiz oaı %0.a.(d) altı aylık vadelidi. 03

106 Kou Özetlei Basit ve bileşik faiz hesalaıı uygulake, sadece bi defaya mahsus olmak üzee yatııla aasal valıkla ve bazı öeklede faklı eiyotlada yatııla ya da çekile tutala söz kousuydu. Bu duumda, bieysel yatıımla eşit ya da faklı olabilidi, belli bi kuala göe değişebili, öek aitmetik ya da geometik dizisi kauua göe ata ya da azalabili veya tasaufta olduğu gibi belli bi kaua uymada gelişigüzel değişebili. Halbuki, çoğu kez yatıımla belli bi kaua göe, ayı zama aalıklaıda tekalaabili yatıımlaa astlıyouz. Böyle duumlada söz kousu mevduattı. Mevduat belli bi süe souda veya isteildiğide çekilmek üzee bakalaa faizle yatııla aadı. Mevduatla belli süelede ayı miktalada yatııldığı duumda sabit mevduatla diye de adladıılıyola. Yatıımla, ödemele seisii başlama oktasıa göe döem başı ve döem sou mevduatla olaak ikiye ayılıyola. Yatıım esasıda he mevduatı faizi, yatııldığı güde tüm mevduatlaı tolam değeii hesaladığı aa kada hesalaı. Döem başı ya da döem sou faizledime uygulaabili. Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı duumlada ayı, bazı duumlada ise faklı, yai mevduat vadeleide daha sık ya da daha seyek olabilile. Pek sık tüm mevduatlaı tolam değei e kadadı sousu soulmaktadı. Yatıım esasıda faizi hesalamış tüm mevzuatlaı tolamıa yatıımı gelecekteki değei dei. Değişmeye mevduatlala ola ve kialaı yatıımlala dek gele eiyodik yatıımlaı iceleyeceğiz. Yıl esasıda sadece bi mevduat ödediği duumda, söz kousu yıllık mevduat olu, yatıım yılda iki defa yaıldığıda, altı aylık (yaım yıllık) mevduat, yılda döt defa yatıım yaıldığıda üç aylık (çeyek yıllık) mevduat biçimide adladıılı. Yatıım ayda bi yaılısa aylık mevduat olu. Buada da faizledime vadesi yıllık, altı aylık, üç aylık vb. olabili. Döem başı faizlemiş yatıımlaı tolamı şu fomülle hesalaı: S V döem sou faizledime içi, S V döem başı faizledime. S V döem sou faizledime içi, 04

107 S V döem başı faizledime. Döem başı faizlemiş yatıımlaı değei şu fomülle hesalaı: V S döem sou faizledime içi, V S döem başı faizledime. Döem sou faizlemiş yatıımlaı değei şu fomülle hesalaı: V S döem başı faizledime. V S döem sou faizledime içi, Döem başı yatıımlaı sayısı şu fomülle hesalaı: V S log. log V Döem sou yatıımlaı sayısı şu fomülle hesalaı: V S log. log V So mevduat diğeleide faklıdı ve oa yatıımı kalaı dei. Döem başı mevduatlaı so mevduatı (kalaı) şu fomülle hesalaı: V 0 S V döem başı mevduatla içi, V 0 S V döem sou mevduatla içi. Döem sou mevduatlaı so mevduatı şu fomülle hesalaı: S V0 V S V döem başı mevduatla içi, 05

108 V0 S V S V döem sou mevduatla içi. Döem başı yatıımlaı, döem sou faizledimesiyle biike gelecekteki değei hesalamak içi kulladığımız S V, fomülüde, S ve V bilidiğide, bilimeye faiz katsayısıı, yai %.a.(d) değeii hesalamak içi S V S V 0 deklemi elde edili. Bu ise katsayısıa göe bi oliom deklemidi ve geel olaak deecesi 3 te büyüktü. Bu gibi deklemlei çözmek içi (bazı özel duumla haiç), belli bi kual yoktu. Bu edele, bu gibi deklemlei bilie bazı ümeik yötemlele çözeceğiz. Halbuki, amacımız şimdi ümeik yötemlei deklemlei asıl çözüldüğüü öğemek değildi. Buada sadece atik ödevlei yaaıa faiz oaıı e kolay biçimde belitmekti. Bu edele faiz oaıı hesalamasıı i / i tablolaıdaki değelei kullaa S V fomülüe göe yaacağız. Ayı işlemlei döem sou yatıımla içi de yaacağız. Yatıımlaı gelecekteki değei S V, fomülüde, faiz katsayısı içi: S S 0, V V deklemi elde edili. Bu deklem de değişkeli oliomdu. j Yatıımlaı gelecekteki değeii hesalamak içi i / i tablolaıdaki değelei kullaa S V, fomülüde yaalaaak S S V. elde edili. i bilie değei içi S V değei tabloda V V V vasa, faiz oaı doğuda doğuya okuu. Aksi halde, faiz oaıı doğusal eteolasyo ile belitiyouz. Eşit zama aalıklaıda alıa alacakla söz kousu oluca ilk aklımıza gele kiadı. Eşit miktada alacaklaı sabit kiala (etle) diye adladıacağız. Kia aüitelei öcede belilemiş kaua göe değişebili, öeği geometik ya da aitmetik dizisi kauua göe değişebili. Böyle kialaa değişke kiala dei. Özellikleie göe kiala biçok şekilde adladıılıyola; ödeme zamaıa göe, eiyodu başlagıcıda ödeise döem başı kiala, eiyodu souda ödeise döem sou kiala diye adladıılıyola. Ödemelei zama süesie göe geçici kiala (belli bi süe içi), ömü boyu kiala (kiayı ödeye kişii ömüü soua kada), ya da kia alacaklaı hiç bitmeye olduğu duumda daimi kiala söz kousudu. Kialaı ödediği eiyotua göe: yıllık, yaıyıllık, üç aylık, aylık vb. kiala fak ediyouz. 06

109 07 Kia almak içi, öce buu getiecek valık temi edilmelidi. Kia getimek amacıyla yatııla valık miktaıa kia semayesi dei. Buada bi defaya mahsus ola yatıım söz kousudu. Halbuki aasal valıkla eiyodik ödemelele de yaılabili. Kia alacaklaı, kia bedelii yatıılmasıyla başlasa heme kiala, kia alacaklaı belli bi zamada soa başlasa o halde etelemiş kiala söz kousu olu. Sabit miktalı, faizledime vadesi kiaı ödeme vadesiyle çakışa eiyodik ödemele üzeide daha fazla duacağız. Fomüllei belitilmeside faiz oaı döem sou olduğuu vasayacağız. Şu işaetlemelei kullaacağız: M kia semayesi, R- kia (et), ödeme sayısı, döem sou faiz katsayısı, - döem başı faiz katsayısı. Döem başı kialaı yatıımı şu fomülle hesalaı: M R döem sou faizledime içi, M R döem başı faizledime içi. Döem sou kialaı yatıımı şu fomülle hesalaı: M R döem sou faizledime içi, R M döem başı faizledime içi. Faiz yatıımıı değei M, faizledime koşullaı ve kia sayısı bilidiği duumda, kia tutaıı değei şu fomülle hesalaı: M R döem sou faizlee döem başı alıa kia içi, M R döem sou faizlee döem sou alıa kia içi. M R döem başı faizlee döem başı alıa kia içi,

110 R M döem başı faizlee döem sou alıa kia içi. Kia semayesi, kia tutaı ve faiz oaı bilidiğide, döem başı kia sayısı şu fomülle hesalaı: log R log R M döem sou faiz oaı içi, R log döem başı faiz oaı içi. log R M Kia semayesi, kia tutaı ve faiz oaı bilidiğide, döem sou kia sayısı da şu fomülle hesalaı: R log log R M döem sou faiz oaı içi, R log döem başı faiz oaı içi. log R M So kia, yai kia kalaı döem sou kiala içi şu fomülle hesalaı: R M R. 0 Diğe büyüklükle bilidiğide, faiz katsayısı döem başı kia içi R M fomülüde ve döem sou kiala içi bili. M V V R fomülüde bilimeye gibi hesalaa- 08

111 4. BORÇLAR 4.. Boç Kavamı ve Çeşitlei Fiasal valıklaı yetmediği duumlada, isala gülük geeksemeleii gidemek içi boç valıklada yaalaıyola. Bazı duumlada bieysel ya da tüzel kişilei uzu vadeli gelilei de laladığı işlei yamak içi geeke fiasal kayaklaı yetmeyebili. Böyle duumda boçla kullaılı, yai belli koşulla altıda boç alıa fiasal valıklada yaalaılı. Boç vee ve ala, boç miktaı, gei veilme şekli, gei ödeme zamaı, faiz oaı vb. hususlada aalaıda alaşıyola. Boç, aa, mal veya aa ciside bi değei belili bi vade ve koşulla gei alımak üzee veilmesidi, yai boç vee, fiasal valıklaıı boç alaa geçici bi süe içi hizmetie devetmesidi. Bu bölümde, boçluu bocuu ödeme koşullaı, boç veee ola yükümlülüğü, yai fiasal valıklaı devedilme koşullaı, bocu süeside faizledimeyi içee, alaşmala söz kousu olacaktı. Boç tutaı geellikle bide veili ve gei alıması bide değil, çok kez belli eiyotlada geçekleştiili. He eiyotta bocu ödediği tutaa ödeme dei. Belli eiyotta ödemei faiziyle beabe tutaıa aüite dei; diğe sözlele aüite, belili bi zama süeci içeiside, eşit aalıklala veile veya alıa eşit ödemele seisidi. Bocu he bieysel ödemesie geeke zama süesie amotisma vadesi dei. Kullaılışlaıa göe, geçelilikte ola kaulaa göe, süesie göe biçok boç çeşitlei vadı. Gei ödeme süesie göe kısa vadeli (gei ödeme süesi e çok bi yıl), ota vadeli ve uzu vadeli diye adladıılıyola; Ödeme şeklie göe boçla, amotismalı ve kialı olabilile. Boç belli bi süede faiz ve bocu bi kısmıı ödemekle gei ödeme yaıldığı duumda, amotismalı boç söz kousu olu. Kialı boçla ise, kia şeklide ödee sabit tutalı taksitle halide ödee boçladı. Güveceye göe, kişisel ve eel boçla olabili. Kişisel boçla, boç veei boç alaa ola şahsi güvecesie göe veili. Reel boçla ise, bocu ödemesii gaatileyecek, öeği iotek gibi valıkla güvecesiyle veili. Boç veee göe yeli ya da yabacı boçla, alei ya da özel, baka ya da baka dışı vb. boçla olabili. Boç üzeie faizi ödei ödemediğie göe faizli ve faizsiz boçla şeklide adladıılabili. 09

112 Boçlamaya ait veile belgelee göe, boçla sözleşmeli (boç tutaıı tümü içi bi belge) ve tahvillee (seetlee) bölümüş boçla (bide fazla alacaklıya, ayı ya da faklı tutalı kısımlaa ayılmış fakat olaı tolam tutaı tüm boç ile eşit olacaktı). Aüitelei ödeme süesie göe, döem sou aüiteli boçla (ödemele seisi devei souda yaıla) ve döem başı aüiteli boçla (ödemele devei başıda yaıla aüitele) Faizi hesalamasıa göe boçla, döem sou faizlee ve döem başı faizlee biçimide adladıılabili. Mevduatlada ve kialada olduğu gibi boçla da, döem sou aüiteli ve döem başı faizledime, döem sou aüiteli döem sou faizledime biçimide olabili. Ayı şekilde döem başı aüitele içi de döem sou ve döem başı faizledime biçimide olabilile. Boçlaı amotismaı biçok faklı şekilde yaılabili. Uzu vadeli boçlada vade süesice sadece faizlei, vadei souda da bocu tamamıı bi defada ödemek ya da he bi taksit hem aaaaı bi bölümüü hem de ilgili develei faizii içei. Şuu da belitelim, bocu amotismaı deile kademeli ödemede, öcede belilemiş tutalala, belli zama aalıklaıda, öcede belilemiş bi la üzeide, ödemesie amotisma laı dei. Halbuki amotisma laıı yamak içi, bazı veilei kesi bilimesi geeki. Mesela Hagi zamada e kada ödemesi geektiğii, bocu e kadaı kaldığıı, e kada faiz hesaladığıı bu veilei he bii asıl hesalaacağıı da belitmek geeki. Ödemele ve aüitele sabit ya da belli bi kuala göe, öeği aitmetik ya da geometik dizisi kualıa göe değişe olabili. Biz şimdilik, sabit aüiteli boçlaı iceleyeceğiz. Çükü bula atikte daha sık astlaa ve bocu ödeme süeside belli aalıklada taksitlee ayıaak ödemesi boçlu içi daha elveişlidi. Boç eşit ödemelele tahsil edildiği duum boçluya ek elveişli değildi, çükü bocu aldığı ada, büyük aüite ile ödemeye başlaması geeki. Faizledime vadesi de aüitei ödeme vadesiyle çakışabili ya da çakışmayabili de. İlede sadece eşit aüiteli boçlaı ve yuvalamış aüiteli boçlaı ve he iki duumda döem sou aüitelei ve döem sou faizledimesi yaıla ve faizledime vadesi ve amotisma vadesiyle çakışa boçlaı iceleyeceğiz. Diğe duumla beze şekilde hesalaacaktı. Souda, tüm bieysel aüitelei iskotolamış değeleii tolamı, bocu alıdığı güdeki değeie eşit olduğuu diyebiliiz. Bu ise kialada kia semayesii hesaladığıı hatılatıyo. Bu souçta yaalaaak, amotisma laıdaki büyüklüklei asıl hesalaacağıı atık biliyouz. 0

113 Alıştımala. Ödeme edi, aüite edi, amotisma vadesi edi?. Boçlaı asıl ayıldığıa dai döt kite sayıız? 3. Bocu süesie göe boçla asıl ayılı, ödeme şeklie göe ise asıl ayılıla? 4. Amotisma laı edi? 5. Bieysel ve eel boçla aasıdaki fak edi? 6. Amotisma ve kia boçlaı aasıdaki fak edi? 4.. Eşit Aüiteli Boçlada, Bocu ve Aüitei Hesalaması Tutaı Z ola bi boç alımış ve gei ödemesi, he bii a tutaıda eşit aüite ile yaılacaktı. Faiz oaı döem sou faizledime ve faiz döemi aüitelei ödeme döemiyle çakışık olsu. Döem sou faiz katsayısı, he faiz döemi içi ayı hesalamış, yai etki faiz (efektif faiz) yaılmıştı. Bocu alıdığı güde, bocu tutaı, he döemi souda ödee, bieysel aüitelei iskotolamış değeleii tolamıa eşitti. Sayı ekseide, kia semayesii hesaladığıda, kialada yaıldığı gibi, he aüitei ödeme döemi (eiyodu) işaet edili (şek.). Şek. İskotolama kuallaıyla, aüitelei değelei bilidiğie göe bocu tutaıı hesalayalım. Biici aüite ilk devei (eiyodu) souda ödediğie göe bi deve içi faizlei, ikicisi iki deve içi ve bu şekilde soua kada devam edileek so aüite defa faizlei. Bu şekilde:

114 Z elde edili. a a a 3 a a Paatez içideki ifade, ilk teimi ve otak çaaı ola bi geometik dizisii ilk teimii tolamıdı. O halde, a a Z, ve Z a elde edili. Not. Kiala bölümüde gödüğümüz gibi, ifadesi i / i, IV dödücü tablou değeiyle değiştiilebili. O halde, aüitelei bilie bocu Z a, fomülüyle hesalayabiliiz. Bu fomül kialaı semayesii hesaladığımız fomülü ayısı olduğuu göüyouz. Ayı fomülde, aüiteye göe deklem biçimide çözesek, Boç tutaı bilidiğide aüitei hesalaması içi fomül elde edebiliiz: a Z. Z Not. i / i tablolaıı değeleide yaalaaak aüite içi a fomülü elde V edili. Beşici i / i tablo dödücüsüü çaımsal tesi olaak taımlaı, V, yai V V di. Bua göe aüite içi a Z V fomülü geçelidi dea tutaıda aylık eş aüitelele beş yılda, bi ay vadeli döem sou %4.a.(d) faiz oaıyla e kada boç ödeebili? Ödevde veile veilee göe, = 5 ve yılda m = faizledime ve yılda ayı sayıda boç ödeme 4 taksitlei vadı. O halde tolam taksit sayısı m = 60, döem sou faiz katsayısı, ,0 di. Bocu hesalaya fomül geeğice a ,43 dea elde edili ,0,0 V Z

115 Buda soa, m ile yıllık faizledime sayısıı işaet ettiğimiz gibi, ayısı aüite sayısı içi de geçeli olacaktı. Çükü amotisma develei, başlagıç koşullaıa göe aüite sayısıyla çakıştığıı demiştik ve ile amotisma süesii işaet edeceğiz dea tutaıda boç, altı aylık vadeli aüitelele %4.a.(d) faiz oaıyla 0 yılda ödeiyo. Faizledime altı aylık vadeli olduğua göe, altı aylık vadeli aüite tutaı e kadadı? Hesalaa faiz tutaı e kadadı? Veilele: = 0, m =, aüite develei altı aylık olduğua göe tolam aüite sayısı 4 m = 0 di. Faiz katsayısı, 0 di. Boç tutaı Z = dea biliiyo. Amotisma süeside eşit ola aüitele içi ,0,0 a Z ,7 dea elde edili. 0 0,0 Hesalaa faiz miktaı, ödee aüitelei tolamı ve boç tutaıı fakıa eşitti. O halde I = m a - Z = 0 447, = 8945,4 deadı. Amotisma süeside hesalaa faiz miktaıı fomülü, I = m a - Z aüitelei tolam tutaı ve boç tutaıı fakı biçimide gösteildiğii fak edebilisiiz tutaıda bi boç, 0 yılda % 6.a.(d) faiz oaıyla eşit aüiteli seisiyle ödei. Ödeme vadesi a) yıllık; b) yaıyıllık; c) üç aylık olduğua göe, aüite tutaıı hesalayıız. Faizledime döemi, amotisma döemiyle çakışıktı. He üç duumda Z = dea, = 0 du. 6 a) m =, m,, 06, aüite sayısı 0 biliiyo. O halde ,06,06 a Z ,9 0 0,06 0 Beşici i / i tablosuda ( V 6 0,35867, 96 ) yaalaaak çözümü yoklamasıı yaıız. b) Ödevi sadece i/i tablosuda yaalaaak çözeceğiz. Fomülde, 0 a = Z V 3 = ,06757 = 3443,4 elde edili. Yoklamasıı doğuda doğuya hesalamakla ve dödücü i/i tablosuda yaalaaak yaıız. 6 c) m = 4 içi,05, ve aüite sayısı 40 biliiyo. O halde 400 a Z 40 40,05, , deadı. 3

116 Alıştımala. Sekiz yıl boyuca %5.a.(d) faiz oaıyla 5000 dea tutalı eşit aüiteli ödemelele e kada boç ödeebili? Faizledime vadesi amotisma devesiyle çakışı. Aüitelei ödeme devesi: a) yıllık; b) yaıyıllık; c) üç aylık olsu. Hesalamayı fomül kullaaak doğuda ve i / i tablosuu kullaaak yaıız.. Döt yıl boyuca %6.a.(d) faiz oaıyla 0000 dea tutalı eşit aüiteli ödemelele e kada boç ödeebili? Faizledime vadesi yıllık, amotisma vade soudu dea boç 5 yıl boyuca, he altı ayda eşit aüitelele gei ödemelidi. Faiz oaı %3.a.(d) ve faizledime altı aylık döem sou olduğua göe aüite tutaı e kada olmalıdı? 4. Yıllık vadeli 0000 dea tutaıda aüitelele 5 yılda %4.a.(d) yıllık vadeli faiz oaıyla e kada boç ödeecekti? dea boç, 5 yılda üç aylık %8.a.(d) faiz oalı aüitelele ödeecekti. Aüite tutaı e kadadı? Faizledime üç aylık vadelidi Eşit Aüiteli Boçlaı Ödemeleii Hesalaması He aüite iki kısımda olduğuu atık biliyouz; biici kısım, alaşma geeği bocu ödeme miktaı, yai bi çeşit taksit, diğe kısmı ise bocu kala kısmıa geçe süe içi uygulaa faizdi. Z tutaıda boç alımış ve buu eşit aüite ile gei çevimek geeki. He aüitei tutaı a, faiz oaı ve döem sou faizledime, faizledime vadesi aüitei ödeme vadesiyle çakışıktı. He k-cı ödemeyi b k ve k-cı faizi i k ile işaet edesek biici aüite a = b + i Z olu. Buada faiz, biici döem içi Z tüm boç tutaıa hesalaı, yai i di. 00 Başlagıçta, faiz oaı bi faiz döemi içi olaak alacağız, oda soa ise etki faiz oaıı kullamaya dikkat edeceğiz. 4

117 İkici aüite, biicisie eşit, fakat eklee faiz miktaı faklıdı a = b + i. Şimdi faiz mik- Z b taı bocu kala kısmıa aitti, o ise Z b olduğua göe i di. 00 Z b b Üçücü aüite a = b 3 + i 3, ve i3, olu, çükü şimdiye dek atık iki ödeme 00 yaılmıştı ve kala boç Z b b di. Kala aüitelei he biii bu şekilde iceleyeek so aüiteye a = b + i vaıyouz. Buada faiz bocu kala kısmıa Z b b - - b uygulaı, yai i di. Z b b... b 00 Ödemele aasıdaki bağıtıyı belitmek içi, bibiie eşit ola aüitelei eşitleyeceğiz. Z Z b Böylece bibiie eşit ola ilk iki aüiteyi eşitlesek b + i = b + i yai b b elde edili. b Oada b b ya da diğe şekilde yazılışı: 00 b b b di. 00 Beze şekilde, hehagi iki adışık aüiteyi mesela, k ci ve k + ci aüitelei eşitlesek: Z b... bk Z b... bk bk bk bk, elde edili. Bu eşitliği sadeleştieek, he k {,,..., -} içi: bk bk bk, elde edili. 00 So ifadede göüldüğü gibi, ödemele ilk teimi b ve otak çaaı faiz katsayısı ola k bi geometik dizisii oluştuuyola. Daha da, he ödeme b k b fomülüyle hesalaabili. k Not. Biici i / i tabloyu kullaısak hehagi ödeme içi b k b. fomülü geçelidi.. Boç, eşit üç aylık vadeli aüite ile ve üç aylık vadeli faizledime ile ödeecekti (amotisma olacaktı). Dokuzucu ödeme 343,3 dea olduğua göe beşici ödemeyi belitiiz. Faiz oaı %8.a.(d) di. b 9 = 343, 3 biliiyo, b 5 ödemesii tutaıı belitmek geeki. Geometik dizisii özelliğie göe b 5 = b 4 ve b 9 = b 8 di. Faiz katsayısı, 0 di. İcelee ödemelei b9 b 4 bölümlei, olduğuda beşici ödeme: 4 b5 b 5

118 b9 343,3 b 5 64,87 dea olduğuu buluyouz. 4 4,0 Biici ödeme tutaı bilimiyo, fakat boç yada aüite tutaı biliiyosa; zate gülük yaşatımızda çok sık astlaa olayladı, ödemele asıl belileebili sousu souluyo. Z bocu- u ödemeleii belitmek içi, Z tüm ödemelei tolamıa eşit olduğuu gömemiz yetelidi. Bua göe, Z = b + b b = b + b + b = ( ), elde edili. Paatez içideki ifade ilk teimi ve otak çaaı ola bi geometik dizisidi. Bua göe, Z b elde edili. Not. Z b ifadesii Z, ile değiştiisek, ödeme tutaıı, boç tutaıyla, aüite sayısıyla ve faiz oa- elde edili. Bu eşitlikte b ıyla ifade edebiliiz: Buu geel şekilde, k- cı ödeme içi de yazabiliiz: k b k Z. Boç tutaıı Z a, aüite ile ifade edesek, biici ödemeyi aüite ile ifade ede fomülü elde edeceğiz: b Z a ya da souç olaak a b elde edili. Not 3. So eşitlikte heme a b yazılabili. b a, ya da 6

119 a k a Souda aüite ile ifade edilmiş k- cı ödeme b k. k k Not 4. So eşitlik fiasal tablolaıyla ifade edilise, k cı ödeme içi k b k a. biçimide yazılabili. a Aüite ve so ödeme aasıdaki bağıtı b a, ya da a b. fomülleiyle ifade edildiğii de göebilisiiz.. Bi boç, yaıyıllık vadeli eşit tutalı aüitelele ve yaıyıllık vadeli faizledimesiyle 5 yılda ödeiyo. Aüite, %6.a.(d) faiz oaıyla 40 dea olduğua göe altıcı ödemeyi belitelim. Öce biici, oda soa da altıcı ödemeyi beliteceğiz. a = 40 dea, = 5, m =, bocu amotismaı 0 yıl ve faiz katsayısı, 03 olduğuu biliyouz. O halde ilk öde a 40 me: b 3065, 67 dea olduğuu buluyouz. Ödemele bi geometik dizisi oluş- 0,03 tuduğua göe, geometik dizilei özelliği geeğice altıcı ödeme b 6 = 5 = 3065,67,03 5 = = 3553,95 dea olduğuu buluyouz. 3. Amotismaı 6 yılda geçekleşe %4.a.(d) faiz oaıyla veilmiş bi bocu aüitesi e kadadı? Aüitele ve faizledime develei yıllıktı ve sadece dödücü ödeme 8479,34 dea olduğu biliiyo. Biliele: dödücü ödeme b 4 =8479,34, faiz katsayısı =,04 ve aüite sayısı 6 dı. Aüite ve ödeme aasıdaki bağıtıyı doğuda doğuya göstee fomülde b4 b 3 a 3 a 6 3 a elde edili. Öeğimizde 8479,34, 3 deklemi elde edili. Oada da, aüite a = 9538,9 dea olduğuu,04 buluyouz. Boç tutaı ise, 6 6,04 Z a 9538, ,04,04 deadı. Alıştımala. Bi bocu amotismaı eşit üç aylık aüitelele ve üç aylık döemli faizledimeyle yaılmaktadı. Faiz oaı %.a.(d) ve altıcı ödeme 5000 dea olduğua göe, oucu ödemeyi belitiiz. 7

120 . Bi bocu amotismaı eşit döt aylık aüitelele ve döt aylık döemli faizledimeyle yaılmaktadı. Faiz oaı %9.a.(d) ve oucu ödeme 6000 dea olduğua göe, aüite tutaı e kadadı? 3. Bi bocu amotismaı 6 yılda eşit üç aylık aüitelele ve üç aylık döemli faizledimeyle yaılıyo. Faiz oaı %8.a.(d), üçücü ve altıcı ödemei tolamı deadı. Boç e kadadı? Aüite tutaı e kadadı? 4. Amotismaı 6 yıl süe bi boç, %4.a.(d) faiz oaıyla veilmişti. Aüitele ve faizledimele vadesi yıllık ve altıcı ve dödücü ödeme aasıdaki fak 69,9 dea olduğu bilidiğie göe aüite tutaı e kadadı? dea tutaıda bi bocu amotismaı eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizledimeyle 0 yılda geçekleşiyo. Faiz oaı %5.a.(d) olduğua göe, altıcı yıldaki faiz miktaıı buluuz. (Tavsiye: beşici ödeme dahil tüm ödemelei tolamıı hesalayıız) Eşit Aüiteli Boçlada Bocu Ödemiş Kısmıı ve Kala Kısmıı Hesalaması Ödemelei hesalake, tüm ödemelei tolamı boç tutaıa eşit olduğuu vasayıyoduk. Bua göe O k ile işaet edeceğimiz, k devede (eiyotta) bocu ödemiş kısmı k- cı aüite dahil, ilk k ödemei tolamıa eşitti, yai: О k = bi + b b k, di. He ödemei değeii değiştimekle, О k = b +b b l k- = b ( k- ), elde edili. Geometik dizisii ilk teimii tolamı fomülüde, bocu k devede ödediği bocu kısmı içi şu fomül elde edili: O k k Ok b. Not. Üçücü i / i tablosudaki değelei almakla, bocu ödemiş kısmı içi b k fomülü elde edili. Alaşılacağı üzee bu fomül, bocu ödemesiyle ilgili öcede bulduğumuz fomülü k = içi kaşılığıdı. Buda soa, bocu kala kısmı e kadadı, sousu soulabili. Souu cevabı açıktı. Bocu kala kısmı aslıda, boç tutaı ve ödee kısmı fakıdı. Ödee k- cı aüitede soa bocu kala kısmıı R -k ile işaet edelim. O halde, 8

121 9 b Z O Z R k k k olduğuu yazabiliiz. Biici ödemeye göe bocu fomülüü değiştiisek b b R k k, ya da b R k k elde edili. Bocu ve bocu kala kısmıı aüite ile ifade edesek a a R k k, yai a R k k elde edili. Not. k, ifadesii i / i tablosuda kaşılık gele değeii değiştimekle, ödee k aüitede soa bocu kalaıı hesalamak içi şu fomül geçeli olacaktı: k k V a R dea tutaıda bocu amotismaı, %4.a.(d) faiz oaıyla eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizledimeyle 4 yılda yaılmalıdı. Üç ödeme yaıldıkta soa bocu kalaı e kadadı? Boç Z = dea, = 4 ve aüite sayısı da 4 tü, faiz katsayısı =,04 biliiyo. Üçücü aüite ödedikte soa 3 3 b O di. Bua göe, öce biici ödemeyi belitmemiz geeki. 4 a b, di ve ödee kısım 37745,0,04,04, Z a dea elde edili. Ödemiş kısım hesaladıkta soa, bocu kala kısmı da hesalaabili, yai dödücü ödeme ,,04, ,0 3 3 O deala. Ödemiş bölümü hesalamasıda soa bocu kala kısmıı, yai dödücü kısmıı kolayca hesalayabiliiz, 3447, , O Z R b dea olduğuu buluyouz dea boç 8 yılda amotisma olacaktı. Faiz oaı %5.a.(d), eşit aüiteli ve faizledime yaıyıllıktı. 0 aüite ödedikte soa bocu kalaı e kadadı?

122 Boç, tolam 6 aüite ile ödeiyo. Faiz katsayısı =,05 ti. Öce aüiteyi ve ilk ödemeyi hesalayalım. Aüite içi: 6,05,05 a ,97 6,05 dea elde edili. Biici ödeme içi ise: a 97,97 b 547,97 6 6,05 dea elde edili. Şimdi bocu kalaıı hesalayabiliiz: 6 R b dea elde edili. 6,05,05 547,97, ,5 Hesalaa kalada, bocu ödemiş kısmıı da hesalayabiliiz. Bua göe, O 0 = Z R 6 = ,5 = 734,5 dea atık ödemişti dea tutaıda bocu amotismaı 50 yılda yaılmalıdı. Faiz oaı %4.a.(d) yıllık vadelidi. Yıllık 0 aüite ödedikte soa kala boç e kadadı? Öeği, i / i tablolaıda yaalaaak çözelim. Bocu kalaıı ve ödemiş kısmıı hesalayacağız. Bocu kalaı içi R 30 = a IV 4 geçelidi. Öce aüiteyi hesalayalım Aüite, a = Z 4 = ,04655 = 4655, di. İlk ödeme ise, 50 b = a II 4 = 4655, 0,40707 = 655,0 di. Bocu kala kısmı 30 R 30 = a IV 4 = 4655, 7,9033 = 80494,75 deadı ve souda 0 O 0 = b ( + III 4 ) = 655,0 9, olduğuu buluyouz. Alıştımala. Bi bocu amotismaı 40 yılda, yaıyıllık aüitelele ve %6.a.(d) faiz oaıyla yaıyıllık vadeli faizledimeyle yaılacaktı. Yimici ödeme 000 dea olduğua göe, 30 aüite ödedikte soa bocu kala kısmıı belitiiz dea tutaıda bocu amotismaı 5 yılda, yaıyıllık aüitelele ve %8.a.(d) faiz oaıyla yaıyıllık vadeli faizledimeyle yaılacaktı.. aüitede 30. aüiteye kada (30. aüite dahil) e kada boç ödemişti? (O 30 O 0 fakıı buluuz). 3. Bi bocu amotismaı 40 yılda, yıllık aüitelele ve %4.a.(d) faiz oaıyla yıllık vadeli faizledimeyle yaılacaktı. İlk 5 ödemeyle boç dea azalmıştı. Boç tutaı e kadadı? 0

123 4. Bi bocu amotismaı 50 yılda, yaıyıllık aüitelele ve %5.a.(d) faiz oaıyla yaıyıllık vadeli faizledimeyle yaılacaktı.. aüitede 30. aüiteye kada (30. aüite dahil) 0000 dea boç ödediğie göe, boç tutaı e kadadı? dea tutaıda bocu amotismaı 0 yılda, eşit yaıyıllık vadeli aüitelele yaılacaktı. Faiz oaı %4.a.(d) yaıyıllık vadeli faizledime olduğua göe 0 yıl soa bocu e kada kısmı ödeecekti? 4.5. Eşit Aüiteli Boçlaı Amotismaıda Faiz Oaı ve Deve Sayısıı Hesalaması Boç ve aüitei hesalamasıa uygulaa fomülde, faiz oaı ya da deve sayısı bilimeye olaak diğe bilie büyüklüklele ifade edilebilile. Kialada yaıldığı gibi, fomülle doğuda doğuya hesalamakla ya da i / i tablolaıda yaalamakla yaabiliiz. Buu bikaç öekle gösteeceğiz. Başlagıç fomülü olaak, boç fomülüü alalım. Z a fomülüe geeke döüşümlei yamakla: Z, a elde edili, oada da a Z a, ya da a a Z elde edili. Bu eşitliği he iki taafıı logaitmasıı alısak, amotisma süesi içi a log log a Z fomülü elde edili. Faiz oaıı hesalaması söz kousu oluca, yötemlede bii, dödücü i / i tablosuda Z a V bocu temel fomülüde yaalamaktı. Halbuki, fomüllede yaalaı- ke, uygu deklem elde edildiğide, doğuda doğuya da hesalayabiliiz. Doğusal aa değeleme (eteolasyo) yötemii şimdiye dek biçok defa kulladık, şimdi de geektiği duumda kullaabiliiz. Ödevlede veile veilee bağlı olaak, yukaıdaki fomüllei kulladığımız gibi, amotisma süesii ve faiz oaıı hesalamada, geektiğide diğe fomülle de kullaılabili.

124 tutaıda bi boç, 4000 dea tutaıda eşit yıllık aüitelele, yıllık vadeli %4.a.(d) faiz oaıyla ödemelele e kada zamada amotisma olacaktı (ödeecekti)? Bocu hesalaması içi kullaıla Z a fomülüde veile değelei değiştieek ve logaitma işlemii uygulayaak doğuda doğuya hesalamayı yaabiliiz. Yai, ,,04 değiştimekle 0, 6, buada da 0,4,04,04,04 = ya da,04 log,5,04 =,5 deklemi elde edili. Deklemi iki taafıı logaitmasıı almakla 3, 36 log,04 yıl elde edili. Amotisma süesi tam sayı değildi, yai 3 aüite eşit, 4. aüite ise faklıdı. Aüite kalaı içi daha soa söz kousu olacaktı.. Bi boç altı aylık döemli ve altı aylık vadeli faizleme ile itfa (amotisma) edili. Faiz oaı %4.a.(d) di. Biici eiyottaki faiz miktaı 89,94 dea olmakla, sekizici aüite ödedikte soa bocu ödee kısmı 8589,69 deadı. Bua göe, boç e kada zamada itfa edilecekti? 8 aüite ödemişti ve bocu ödemiş kısmı O 8 = 8589,69 deadı. Faiz katsayısı da 8 8 4,0,0 olduğua göe, O8 b b 8, 58969b, elde edili, oada 00,0 8589,69 da b 0000 olduğuu buluyouz. 8,58969 İlk faiz miktaı bilidiğie göe, aüite tutaıı da bulabiliiz. a = b + i = 89,94. Aüiteyi ve biici ödemeyi bağlaya eşitlik, amotisma eiyotlaıı tolam sayısı olduğua göe masıı almakla 0 edilecekti. a b, a di. Oada,0,8994 elde edili. Bu eşitliği iki taafıı logait- b log,8994 elde edili. Demek ki, boç 0 aüite ile, yai 5 yılda itfa log,0 3. Bi boç üç aylık döemli ve üç aylık vadeli faizleme ile itfa (amotisma) edili. Beşici ve üçücü ödemei fakı 840,64 dea, üçücü ve altıcı ödemei tolamı ise 4889,6 olduğua göe faiz oaıı hesalayıız. Döem sou faiz katsayısıı hesalayacağız. Veile koşullaa göe şu deklemle sistemii oluştuacağız: b b 5 6 b 3 b 3 840, ,6

125 Deklemlei ilk ödeme ve faiz katsayısıa göe düzelemekle veilee dek ola şu sistem elde edili: 4 b b 840,64, Buada deklemlei taaf taafa bölmekle 5 b b 4889,6 b 840,64 0,096 bağıtısı elde edili. So deklemi sadeleştieek 3 b 4889,6 0,096, oada da 0, 096 deklemi elde edili. Bu deklem faiz katsayısıa göe 0,096 -,096 +,096 = 0, ikici deece deklemdi ve çözümü =,0 ve = 5 di. İkici çözümü, faiz katsayısı içi alamı yoktu, biici çözümde ise 0 li. elde edili ve oada = % 8.a.(d) elde edi-,, Hagi faiz oaıyla dea tutaıda bi boç 0 yılda 4550 dea tutaıda eşit yıllık aüitelele itfa edilecekti? Hem boç hem de aüite bilidiğie göe, bocu Z a, temel fomülüde ya da Z = a IV 0 fomülüde haeket edeceğiz. Dödücü i / i tablosuda = 0 içi IV 0 = 8, değeii aıyouz. Bu sayı = 0 içi tabloda değei olmadığıa göe, sayıla aasıda aa değeleme yaacağız. Veile aşağıdaki tabloda yazılıdı. 0 0 V 8, %,5 % 8, %,5 % 7, %,5 % 8, ,454 %-0,5 % 0, ,5 Elde edile faklada oatı kuuyouz: 0,454:0,5 = 0, : ( -,5), oada da,5 = 0,6 ve souda = %,4.a.(d) elde edili. 0 Ayı souca beşici i / i tablosuda yaalaaak da gelebiliiz. Oada V = 0,0375 olduğua göe a = Z V 0 fomülüde yaalaıyouz. V 3

126 Alıştımala. Hagi yıllık faiz oaıyla dea tutaıda bi boç, 5 yılda 3669,4 dea tutaıda eşit üç aylık aüitelele itfa edilecekti (ödeecekti)? dea boç, 930,04 tutaıda yaıyıllık aüitelele ve %8.a.(d) yaıyıl vadeli faiz oaıyla e kada zamada itfa edilecekti? dea boç, hagi faiz oaıyla, 6776,6 dea tutaıda yıllık aüitelele 5 yılda itfa edili? 4. Hagi yıllık faiz oaıyla 900 dea tutaıda bi boç, 3700 dea tutaıda yıllık aüitelele yılda itfa edilecekti? dea tutaıda boç, 446,68 dea tutaıda eşit yaıyıllık aüitelele ödemektedi. Faiz oaı yaıyıllık vadeli %4.a.(d) olduğua göe, amotisma süesii hesalayıız Eşit Aüiteli Bocu Amotisma Plaı Z tutaıda bi boç eşit aüitelele ödediği duumda, boçlu he deve souda ayı tutalı taksitle ödeyecekti. Bu ödemele iki kısımda meydaa gelmektedi. Bu kısımlada bii bocu bi kısmıı ödeme tutaı ve kala bocu faizidi. Peiod Deve Bocu Ostatok kalaı od Faiz Kamata Ödeme Otlata Aüite Auitet zaemot Z i Z b a i a 00 R Z b R i b a i a R R3 b R i b a i a 00 R R b i R b a i a 00 Bu şekilde bocu ödemeside, he gele devede bocu ödeme tutaı ata, fakat kala bocu faizi azalmaktadı. Bocu ödemesi öcede yaıla ve amotisma laı deile bi la üzeide yaılmaktadı. Daha düzeli göüüm sağlamak içi bu la, geellikle tablo biçimide gösteili. 4

127 Sütulaı dağılımı yukaıda gösteile tabloda faklı olabili, fakat he tabloda bu sütula olmalıdı. Öeği, bi amotisma laıı asıl yaıldığıı adım adım gösteeceğiz ve souda tabloyu dolduacağız dea tutaıda bi boç eşit yıllık aüiteli 5 yılda %4.a.(d) yıllık vadeli faiz oaıyla itfa edilecekti. Bocu ödemesi içi amotisma laı yaılsı. Faizleme yıllıktı, faiz katsayısı =,04. Tolam 5 aüite vadı. 5,04,04 Aüitei değei a ,8 deadı. 5,04 - biici kala bocu tümüdü R 5 = Z = deadı; 4 - biici faiz i Z deadı tüm bocu faizi; biici ödeme b = a i = 46, = 846,8 deadı; - ikici kala, ödee bi aüite soası biici yıl souda: R = Z b = ,8 = 8 537, deadı; R4 4 - ikici faiz i 8537, 36, 5 deadı- ikici kalaı faizidi; ikici ödeme b = a - i = 46,8-36,5 = 90,3 deadı; - üçücü kala R 3 = R 4 - b = 8537, -90,3 = 6335,9 deadı ikici yılı souda; R3 4 - üçücü faiz i ,9 493, 44 deadı ikici kalaı faizidi; üçücü ödeme b 3 = a -i 3 = 46,8-493,44 = 9969,36 deadı; - ödee üç aüitede soa, üçücü yıl souda dödücü kala: R 4 = R 3 - b 3 = 6 335, ,36 = 4 366,5 deadı; R 4 - dödücü faiz i ,5 694, 66 deadı üçücü kalaı faizi; dödücü ödeme b 4 = a - i 4 = 46,8-694,66 = 0768,4 deadı; - ödee döt aüitede soa, dödücü yıl souda beşici kala: R 5 = R 4 b 4 = 4 366,5 0768,4 = 598,4 deadı; R 4 - beşici faiz i 5 598,4 863, 9 deadı- dödücü kalaı faizi

128 - beşici ödeme b 5 = a - i 5 = 46,8-863,9 = 598,4 deadı; - beş aüite ödedikte soa altıcı kala: R 0 = R - b 5 = 598,4-598,4 = 0 deadı. Demek ki boç ödemişti. Bu şekilde hesalaa değelei tabloda gösteelim. Deve Bocu kalaı Faiz Ödeme Aüite ,8 46,8 8537, 36,5 90,3 46, ,9 493, ,36 46, ,5 694, ,4 46, ,4 863,9 598,4 46,8 Tolam , Amotisma laı yaıldıkta soa, bu laı doğu olu olmadığıı yoklamak geeki: Koşul. Tüm ödemelei tolamı boç tutaıa eşit olmalıdı b j Z ; Koşul. So ödeme tutaı, so kalaa eşit olmalıdı, b = R ; Koşul 3. Faizle sütuudaki değelei tolamı ve ödemele sütuudaki değelei tolamı deve sayısı ile aüitei çaımıa eşit olmalıdı i j b j a ; Koşul 4. Aüite, he faiz ve oa kaşılık gele ödemei tolamıdı, a = b j + i j ; Koşul 5. Faizle sütuuu tolamı i j R j di. 00 Yukaıda çözüle öekte, tüm bu koşullaı sağladığıı kolay göebiliiz. Öeği, ödemele sütuuda tüm ödemelei tolamı deadı; bu ise boç tutaıdı. So ödeme ve so kala bibiie eşitti. Oda soa i j b j 33, ,5 5 46,8 34. Aüite, ödeme ve kaşılık gele faizi tolamı olduğuu göüyouz, öeği, 694, ,4 = 46,8 4 33, ,, 00 Souda 5 göüyouz. olduğua göe beşici koşul da geçeli olduğuu. Boç, üç aylık develi aüitelele ve üç aylık vadeli %8.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. İkici devede faiz miktaı 496,48 dea ve beşici devedeki faiz miktaı 37,6 dea olduğua göe, so üç deve içi amotisma laıı oluştuuuz. Bu ödevde, amotisma laı sadece so üç aüite içi yaılacaktı. Başlagıç içi kaç aüitei ödeeceğii de bilmiyouz. Veile koşullaı yazalım: 6

129 8 i 496,48,0 ve 400. i5 37,6 Sistemi biici ödeme ve aüiteye göe çözeceğiz. i 496,48,0 496,48 496,48 a b 496,48 a b a b. 4 4 i5 37,6 a b5 37,6 a b 37,6 a,0 b 37,6 Deklemlei taaf taafa çıkaısak (,0 4 -,0) = 4,8, elde edili. Oada da b = 000 dea ve a = 536, 48 dea elde edili. Şimdi, amotismaı deve sayısıı belitmek içi, biici ödemeye ait fomülde yaalaacağız; b. a a 4 4,0 536,48 O halde,,0 4, 684, deklemi elde edili. Buu logaitmasıı almakla 000 log,684 4 elde edili. Bua göe, boç üç yıl boyuca aüite ile itfa edili. log,0 So üç ödemeyi fomülle hesalayabiliiz: b 0 = b 9 = 000,0 9 = 390,9, b = b 0 = 000,0 0 = 437,99 ve b = b = 000,0 = 486,74 Bulaa kaşılık gele kalalaı da hesalayalım: 9 9,0,0 R 9 R3 a 536,48 734,9 dea, oucu kala,0,0 R R R b 494,7 dea elde edili ve o biici kala içi R R R b 486, 74 b olduğuu buluyouz. Faizle ya kalalada ya da daha kolay i j = a b j özelliğide belitili. Bua göe i 0 = a b 0 = 46,9, i = a b = 98,49 ve i = a b = 49,73 olduğuu buluyouz. Şimdi amotisma tablosuu oluştuabiliiz: Deve Kala Faiz Ödeme 0 734,9 46,9 390,9 494,7 98,49 437,99 486,74 49,73 486,74 Plaı tümü olmadığıa göe yoklamasıı yaamıyouz. 7

130 Alıştımala dea tutaıda bi boç 6 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizlemeyle itfa edili. Yıllık faiz oaı %4.a.(d) di. Aüite tutaıı hesalayıız ve amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç 6 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizlemeyle itfa edili. Yıllık faiz oaı %5.a.(d) di. Amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç 6 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizlemeyle itfa edili. Yıllık faiz oaı %8.a.(d) di. Aüite tutaıı hesalayıız ve amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç 4 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizlemeyle itfa edili. Yıllık faiz oaı %0.a.(d) di. Aüite tutaıı hesalayıız ve amotisma laıı oluştuuuz. 5. Bi boç eşit yaı yıllık aüitelele ve yaıyıllık vadeli faizlemeyle itfa edili. Biici ödeme 0000 dea, so devei faizi 3,0 dea ve soda bi evvelki devei faizi 649, dea olduğua göe amotisma laıı oluştuuuz Yuvalak Tutalı Aüiteli Boçla Belli bi bocu ödeke, a aüitesi koke tutalı ya da bocu bi yüzdesi olaak veilebili. Bu aüitele geellikle tam sayıya yuvalaıyola (oluk, yüzlük vb.). Bu yüzde bulaa yuvalak aüitele ve boçlaa yuvalak aüiteli boçla deili. Aüite, yukaıda sayıla şekillede biiyle veilmediğide ve bocu itfalı yuvalak aüitelele yaılma koşullaı vasa, aüitei hesalama yüzdesii hesalamak geeki. Buada da döem sou boçlada, amotisma devesii souda ödemele ve vade sou faizlemede söz edeceğiz. Ödevlede geel olaak, boç tutaı, amotisma devesi ve faiz oaı veiliyo, belitilmesi geeke ise, yuvalak değeli aüite tutaı ve souda diğeleide faklı ola so aüite tutaıı. Bocu Z tutaı ve faiz oaı %.a.(d) veilmiş olsu. Amotisma develeii sayısı bilidiği duumda, aüitei değei eşit ve so ola - ci aüitei değei diğeleide küçük olduğua göe, 00V ve 00V - aasıda bulua yüzdesi aaılı. Yuvalaa aüite- 8

131 le, eşit ola aüitelede büyüktü ve bu yüzde so aüite olada faklı ve değei diğeleide küçüktü ve oa aüite kalaı dei. Demek ki, yuvalak aüiteyi bilmiyosak, bocu yüzdesi gibi ifade edilecekti, geel olaak tam sayı ile ya da a, fomülü ile ifade edilecekti ve bu duumda: Z geçeli olacaktı dea tutaıda bi boç 6 yılda yuvalak yaıyıllık aüitelele ve %5.a.(d) yaıyıllık faizleme ile itfa edili. Yuvalak aüiteyi hesalayıız. 5 Faiz katsayısı, 05, aüite sayısı 6. = di. yüzdesii 00,05,05,05, ,05,05, eşitsizliğide beliteceğiz. Oada: 9,74% 0,5% geeki. içi bu aalıkta bulua ve hesalamala içi daha kolay tam sayı ola = %0 değeii seçeceğiz. Bua kaşılık gele yuvalak aüite Z 0 a deadı Elde edile aüite tam sayı değilse ou oluklaa ya da yüzlüklee yuvalayacağız dea tutaıda boç 8 yılda üç aylık aüitelele ve faiz oaı %8,4.a.(d) olmak üzee üç aylık faizleme ile itfa edili. Yuvalak aüite tutaıı hesalayıız. 8,4 Bocu itfa edilmesi içi aüite sayısı 4 tü. Faiz katsayısı, 0 di. Yuvalak 00 aüiteyi bocu bi yüzdesi olaak sayacağız ve ou belitmek içi 3,0,0,0 4, , 4 3,0,0 eşitsizliğide yaalaacağız. Bu ifadei sadeleştiilmesiyle 3,7 < < 5,5 elde edili. Buada = %5 olduğuu alabiliiz. O halde yuvalak aüite a Z de a olduğuu buluyouz. 9

132 Bazı duumlada, yuvalak aüite tutaı bilidiğie göe, amotisma deve sayısıı belitmemiz geekebili. Buu eşit aüiteli boçlada yatığımız gibi log, fomü- a log a Z lüde yaalaaak aüitei bilie değeii değiştimekle hesalayabiliiz. Amotisma deve sayısı doğal sayı olmadığı duumda, elde edile sayıda büyük olacak ilk doğal sayı alıı. Buada da ci aüite a diğeleide faklıdı dea tutaıda bi boç dea tutaıda yuvalak yaıyıllık aüitelele ve %0.a.(d) yaıyıllık faizleme ile itfa edili. Boç kaç devede itfa edilecekti? Yuvalak aüite sabit değele veilmiş ve bocu %0 di. Deve sou faiz katsayısı =, di. Bu duumda amotisma develeii sayısı içi log 5,896 geçelidi. Bua göe faizi itfalı 6 devede geçekleşecek, öyle ki 5 aüitei tutaı dea, altıcısı ise faklı ve veilede küçük log, ,05 olacaktı. Diğeleide faklı ola so aüite ya da aüite kalaı deile bu taksiti değei e kadadı sousu souluyo. Kia kalalaıda olduğu gibi, buada da ayı şekilde haeket edili. Aüitelei değelei iskotolaı ve iskotolamış aüitelei tolamı Z bocua eşitti. Şek. Zama ekseide gösteilee göe (şek.) boç içi a a a a a a Z yazabiliiz. Paatezle içideki ifade ilk teimi ve otak çaaı ola, - teimli bi geometik dizisii adışık teimleii tolamıdı. Oada şuu elde ediyouz: 30

133 3 a a a a a a Z. So aüite içi: a Z a. elde edili. Not. ifadesii IV р - fiasal tablosudaki kaşılığıyla değiştiisek so aüite içi V a Z V a Z a. fomülü geçelidi. Not. Yuvalak aüitelei ve ödemelei özelliklei, ayı aüiteli boçlada va ola özelliklele ayıdı. Ödemele, ilk teimi b ve otak çaaı faiz katsayısı ola bi geometik dizisi oluştuuyola. Aüite, ödeme ve oa kaşılık gele faizi tolamıdı dea tutaıda bi boç 500 dea tutaıda yıllık aüitelele ve %4.a.(d) yıllık faizleme ile itfa edili. Boç kaç yılda itfa edilecekti? Aüite kalaı e kada olduğuu hesalayıız. Döem sou faiz katsayısı =,04, aüitelei yuvalak olaak alacağız. Amotisma develeii sayısı içi 4, , log log,04 elde edili. Bua göe 5 aüitede dödü eşit 500 dea tutaıda, beşicisi ise faklıdı: 5,7,04,04,04, a Z a deadı. Alıştımala. Bi boç üç aylık yuvalak aüitelele ve %40.a.(d) faiz oaıyla üç aylık vadeli faizlemeyle 5 yılda itfa edili. İkici devedeki faiz miktaı 4000 dea ve beşici ödeme 464 olduğua göe, boç tutaı e kadadı? (Tavsiye: Bocu, yuvalak aüite ile hesalayıız)

134 dea tutaıda boç yuvalak yıllık aüitelele ve yıllık vadeli %7.a.(d) faizlemeyle itfa edili. Yuvalak aüite 000 dea olduğua göe, boç e kada zamada ödeecekti? 3. Döt aylık yuvalak aüitelele, %.a.(d) faiz oaıyla ve ayı vadeli faizlemeyle kaç devede itfa edilecekti? Yuvalak aüite tutaı dea, ilk ödeme ise 000 deadı. 4. Bi boç yaıyıllık yuvalak aüitelele ve yaıyıllık faizlemeyle iki yılda itfa edili. Aüite kalaı 437,9 dea ve so ödeme 3767, dea olduğua göe, boç e kadadı, yuvalak aüite e kadadı? 5. Bi boç yaıyıllık yuvalak aüitelele ve faiz oaı %8.a.(d) olmak üzee yaıyıllık faizlemeyle 7 yılda itfa edili. Aüite kalaı 49,36 olduğua göe, boç tutaıı ve yuvalak aüiteyi belitiiz Yuvalak Aüiteli Boçlaı Amotisma Plaı Yuvalak aüiteli boçlaı amotisma laıı yaılması, eşit aüiteli boçlada olduğu gibi yaılı, sadece so satıda, so aüitei yazıldığı yede faklılık vadı. Buada so ödeme diğelede küçüktü. Öce lazım ola büyüklükle hesalaı ve oda soa amotisma tablosu dolduulu dea tutaıda boç yıllık aüitelele ve yıllık vadeli %0.a.(d) faizlemeyle 5 yılda itfa edili. Aüitele yuvalak olacak şekilde bocu ödemesi içi amotisma laıı oluştuuuz. Boç 5 aüite ile itfa edili. Faiz katsayısı =,. Yuvalak aüiteyi hesalamak içi, aüitei bocu hagi kısmı olduğuu beliteceğiz. yüzdesii sağlaya ,,, 5, ,,, eşitsizlikte veilei değiştiilmesiyle:, ya da 33,44 38,63 elde edili. Bu aalıkta bulua hehagi bi değe alıabildiğie göe, = % 35 değeii seçeceğiz. Bu 35 değee göe yuvalak aüite a deadı. Beş aüitede dödüü tuta- 00 3

135 4, 5 ı dea, yai ayıdı, so aüite ise a , ,, deadı. Bieysel hesalamalaı ayı ayı yaalım: - biici kala bocu tümüdü Z = R 5 = deadı; 0 - biici faiz i R deadı tüm bocu faizi; 00 - biici ödeme b = a - i = = deadı; - ikici kala, R 4 = R 5 b = deadı; 0 - ikici faiz i R deadı- ikici kalaı faizidi; 00 - ikici ödeme b = a - i = = deadı; - üçücü kala R 3 = R 4 - b = deadı; 0 - üçücü faiz i 3 R deadı ikici kalaı faizidi; 00 - üçücü ödeme b 3 = a - i 3 = = 6000 deadı; - dödücü kala: R = R 3 - b 3 = deadı; 0 - dödücü faiz i 4 R deadı; 00 -dödücü ödeme b 4 = a - i 4 = = 5900 deadı; - beşici kala: R = R b 4 = deadı; 0 - beşici faiz i 5 R deadı beşici ödeme b 5 = a - i 5 = = deadı; Bu ödeme diğeleide faklı olduğuda doğuda doğuya b 5 = Z - (b + b + b 3 + b 4 ) = biçimide de hesalaabili. Bocu ödemesie kaşılık gele amotisma tablosu dolduulu: Deve Bocu kalaı Faiz Ödeme Aüite Tolam

136 Buada da, amotisma laıı yoklaması yaılmalıdı: Koşul. Tüm ödemelei tolamı boç tutaıa eşit olmalıdı b j Z ; Koşul. So ödeme tutaı, so kalaa eşit olmalıdı, b = R ; Koşul 3. Yuvalaa aüite, he faiz ve oa kaşılık gele ödemei tolamıdı, a = b j + i j ; so ödeme haiç. So aüite, aüite kalaı ve oa kaşılık gele faizi tolamıdı.. Boç, üç aylık develi yuvalamış aüitelele ve üç aylık vadeli %8.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. Yuvalamış aüite tutaı 0000 dea olduğua göe, so döt deve içi amotisma laıı oluştuuuz. Biici kalaı bulmak içi boç tutaıı belitmemiz geeki. Yuvalak aüitelede a Z, olduğua göe 00 yüzdesie ihtiyaç vadı. Buada eşitsizliği geçelidi. 8 Bu ödevde tolam m = deve vadı. Faiz katsayısı,0 di. Oada, 400,0,0,0, , ya da 9,46 < < 0, elde edili. = % 0,0,0 00 alaak, boç tutaı Z a dea olduğuu buluyouz. Aüite kalaı,0 a ,0 703,8,0,0 deadı. So döt ödemeyi belitmek içi, öce ilk ödemeyi belitelim. 8 b a i Ödemele bi geometik dizisii adışık teimlei olduğua 400 göe: b b 8000,0 9373,7, b b 8000,0 9560, 74, 9 0 b = b 0 = 8000,0 0 = 975,96 elde edili. So ödeme dizii teimi değildi, bu yüzde ou başka şekilde hesalamalıyız. Buu belitmek içi, yötemlede bii a = b fomülüde yaalaaak belitili. Bua göe b a 650,7 deadı. So ödemeye kademe kademe de gelebiliiz. Ödee sekiz aüitede soa, kalaı doğuda doğuya, ilk sekiz ödeme- i tolamıı boçta çıkaaak belitelim: 8 7 R 4 Z b b b... b Z b 34

137 8, ,4 dea.,0 So döt devei amotisma laıı oluştualım. Deve Boç kalaı Faiz Ödeme Aüite ,4 67,7 9373, ,7 493, , ,7 48,04 975, , ,7 703,8 Alıştımala dea tutaıda boç yuvalak yıllık aüitelele ve yıllık vadeli olmak üzee %4.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. Yuvalak aüite 4000 dea tutaıda olduğua göe, boç e kada zamada ödeecekti? So aüiteyi ve so ödemeyi hesalayıız ve oda soa amotisma laıı oluştuuuz dea boç, faiz oaı %4.a.(d) olmak üzee, yıllık vadeli faizleme ile döt yılda 3000 deaa yuvalamış yaıyıllık aüitelele itfa edili. Bocu amotisma laıı oluştuuuz dea boç, faiz oaı yıllık %5.a.(d) olmak üzee, yıllık vadeli faizleme, yıllık aüitelele itfa edili. Yıllık aüitele bocu %35 i olduğua göe, amotisma laıı oluştuuuz ve so aüiteyi hesalayıız dea boç, faiz oaı %4.a.(d) olmak üzee, yıllık vadeli faizleme ile döt yılda yuvalamış yıllık aüitelele itfa edili. Bocu amotisma laıı oluştuuuz. 5. Bi boç, yuvalamış yaıyıllık aüitelele ve yaıyıllık vadeli faizlemeyle 3 yılda itfa edili. Faiz oaı %4.a.(d) yaıyıllıktı. So ödeme 65,5 dea olduğua göe, bocu amotisma laıı oluştuuuz. 35

138 4.9. Boçlai Döüştüülmesi Boçlaı amotismaıda (itfa edilişide), amotismaı koşullaıı değişmesie ihtiyaç duyulabili. Bazı duumlada boçlu, belli yükseklikteki bocuu ödeyemez duumda olabili ya da bocuu süesi dolmada ödemek isteyebili, bazı duumlada boç vee, bocu ödeme süesii kısaltmak ya da uzatmak isteyebili vb. Bocu ödediği bi süede soa, amotisma koşullaıı değişmesie bocu döüştüülmesi dei. Değişmesi istee koşullada e çok, faiz oaı, amotisma vadesi ve diğe koşulla olabili. Belli sayıda aüitei ödemeside soa, bocu döüştüülmesi aslıda, bocu kalaı temel değe sayaak yei boç gibi algılaabili. Şimdi, aüite sayısı, ödeme süesi, hatta faiz oaı bile faklı olabili. Boçlaı bu şekilde amotismaıda bulua büyüklüklei değişmesiyle ilgili, öekle vasıtasıyla şu üç duumu iceleyeceğiz: - faiz oaı değişmede, amotisma süesii değiştiilmesi; - amotisma süesi değişmede, faiz oaıı değiştiilmesi ve - faiz oaı ve amotisma süesii değiştiilmesi. Bu duumlada he biide, öce döüşüm süesi başlayıcaya kada, amotisma koşullaıa göe geçe süedeki aüitele hesalaı. Oda soa, yei amotisma koşullaıa uyacak bocu kala kısmı hesalaı ve bu mikta atık yei boç olaak sayılı. Bu kala içi, yai yei boç içi, amotisma süesi değiştiildiği duumda, kala süe uzatılı ya da kısaltılı. Faiz oaı değiştiilise, kala süe içi yei aüite tutaı hesalaı. Hem zama süesi hem de faiz oaı değiştiilise, he iki değişim de göz öüde buluduulu dea tutaıda boç 0 yılda %5.a.(d) faiz oaıyla, eşit yaıyıllık aüitelele ve yaıyıllık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. 5 aüite ödedikte soa amotisma süesi daha 0 yıl uzatılıyo. Faiz oaı ayı kalacak şekilde, amotisma süesii değişimide öce ve soaki aüite tutaıı hesalayıız. Öce bocu ilk 5 aüitesii tutaıı hesalayacağız. 5 Buada, Z = dea, aüite sayısı 40 ve faiz katsayısı, 05 biliiyo. 00 Boç eşit aüiteli olduğua göe 40 40,05,05 a Z , deadı.,05 36

139 5 aüite ödedikte soa bocu kalaıı hesalayalım ,05,05 R405 Z ,5 deadı. Şimdi bu mikta aayı, 40 40,05 faiz oaı ayı fakat amotisma süesi uzatılmış yei boç olaak sayacağız. Süe 0 yıl, yai 0 deve içi uzatılmış ve kala 5 deve ile beabe, yei boç Z*, 98645,5 dea tutaıda 35 döemde ve =,05 faiz katsayısıyla ödeecekti. O halde yei aüite *,05,05 a Z * 98645,5 46,04 35 dea olacaktı., dea tutaıda boç 5 yılda yıllık vadeli %6.a.(d) faiz oaıyla, yaıyıllık vadeli eşit aüitelele ve yaıyıllık vadeli faiz hesalamasıyla ödeecekti. 0 aüite ödedikte soa, faiz oaı %5 olaak değiştiilmiş, ödeme süesi ise ayı kalmıştı. Faiz oaıı değiştiilmeside öce ve soa aüite tutaıı hesalayıız. Öce ilk 0 aüitei tutaıı hesalayacağız. Aüitele eşit tutalıdı, Z = dea, ödeme süesi 5 yıl, yai 50 aüite, faiz katsayısı =,03 biliiyo. O halde aüite tutaı: 50,03,03 50 a Z , ,03 dea olduğuu buluyouz. 0 aüite ödedikte soa bocu kalaı: ,03,03 R 500 Z , ,03 dea olduğuu buluyouz. Bu miktaı şimdi yei boç olaak sayacağız ve buu amotismaı yei koşullaa göe yaılacaktı. Demek ki, Z* = ,04 dea, kala 30 devede ve yei faiz 5 oaıyla ve oa kaşılık gele *,05 faiz katsayısıyla ödeecekti. 00 Bua göe yei aüite tutaı: * * *,05,05 a Z * ,04 898,05 30 *,05 30 olduğuu buluyouz dea tutaıda boç 0 yılda yıllık vadeli %6.a.(d) faiz oaıyla, yaıyıllık vadeli eşit aüitelele ve yaıyıllık vadeli faiz hesalamasıyla ödeecekti. aüite ödedikte soa, faiz oaı %5.a.(d) olaak değiştiilmiş, ödeme süesi de ögöüle 0 yılda 5 yıla uzatılmıştı. Amotisma koşullaıı değiştiilmeside öce ve soası aüite tutaıı hesalayıız. 37

140 Öce eski aüiteyi hesalayalım. Ödevi koşullaıa göe Z = , amotismaı döem sayısı 0, faiz katsayısı da =,03 tü. Bua göe aüite tutaı 0 0,03,03 a Z ,7 deadı. 0 0,03 İkici aşamada, bocu kala kısmıı hesalayaak elde edile değe yei boç olaak sayılı. aüite ödedikte soa bocu kalaıı hesalayalım. 0 0 *,03,03 Z R0 Z ,08 0,03 0 dea elde edili. Şimdi yei bocu amotismaı %5.a.(d) faiz oaıyla ve * =,05 faiz katsayısıyla, tolam 8 devede, yai 8 deve amotismaı kala süeside ve daha 0 deve uzatıla süede yaılacaktı. Yei aüite: 8 30 * * *,05,05 a Z * 34550,08 986,8 dea olduğuu buluyouz. 8 *, Bi boç 5 yılda altı ay vadeli %6.a.(d) faiz oaıyla, altı ay vadeli eşit aüitelele ödeecekti. Ödee aüitede soa, faiz oaı %0.a.(d) olaak değiştiilmiş, ödeme süesi de üç yıl kısaltılmıştı. İkici devede, yai bocu değişimide soa faiz miktaı 900 dea olduğua göe boç tutaıı belitiiz. Biici bocu amotismaı 30 aüite ile yaıldığıı ve faiz katsayısı =,03 olduğuu biliyouz. Boç ve aüite aasıdaki bağıtı 30,03,03 30 a Z Z 0, 05Z 30 30,03 fomülüyle veilmişti. 8 aüitede soa bocu kala kısmı içi: Z *,03,03 R30 8 Z Z 0, Z elde edili. 30,03 30 Bu yei boç, * =,05 yei faiz katsayısıyla ve azaltılmış amotisma deve sayısıyla, yai kala devede 6 deveye idiilmiş olaak itfa edilecekti. Yei aüite 6 6 a * * *,05,05 Z * 0, Z 0, Z olu. Bu bocu ikici faizii 6 *,05 6 biliyouz: i * = a * -b * = b * * 6 -b * * = b * ( * 6 - *); buada b * yei bocu ilk ödemesidi. O halde 900 = i * = b *(,05 6 -,05) = 0,9b *, ve oada b * = dea olduğuu buluyouz. İkici ödeme b * = b * * = 0000,05 = 0500 dea olduğua göe, yei aüite a* = b * +i * = 38

141 = = 3400 dea olduğuu buluyouz. Yei aüite içi elde edile fomüle döesek 0, Z = 3400, oada da Z = dea ve ilk aüite a = 0,05Z = 6834 dea olduğuu buluyouz. Alıştımala dea tutaıda boç eşit yaıyıllık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizledimeyle %0.a.(d) faiz oaıyla 8 yılda itfa ediliyo. Ödee altı aüitede soa faiz oaı %.a.(d) olaak yükseltiliyo. Amotisma koşullaıı değiştiilmeside öce ve soası aüite tutaıı hesalayıız dea tutaıda boç eşit yaıyıllık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizledimeyle %8.a.(d) faiz oaıyla yılda itfa ediliyo. Ödee 5 aüitede soa, amotisma süesi iki yıl uzatılıyo. Eski ve yei aüite tutaıı hesalayıız. 3. Bi boç eşit üç aylık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizledimeyle %0.a.(d) faiz oaıyla 8 yılda itfa ediliyo. Ödee 0 aüitede soa faiz oaı %8.a.(d) olaak azaltılıyo ve amotisma süesi yıl uzatılıyo. Ödee 0 aüitede soa bocu kalaı 3438,86 dea olduğua göe boç miktaıı belitiiz dea tutaıda boç eşit üç aylık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizledimeyle %8.a.(d) faiz oaıyla 8 yılda itfa ediliyo. Ödee 0 aüitede soa faiz oaı %.a.(d) olaak yükseltiliyo, amotisma süesi ise yıl azaltılıyo. Bocu döüştüülmeside soa aüite tutaıı hesalayıız. 5. Bi boç eşit altı aylık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizledimeyle %8.a.(d) faiz oaıyla 0 yılda itfa ediliyo. Ödee 6 aüitede soa faiz oaı %5.a.(d) olaak azaltılıyo ve amotisma süesi 3 yıl uzatılıyo. Amotisma koşullaıı değiştiilmeside öce beşici ödeme 698,59 dea olduğua göe, yei aüiteyi hesalayıız Tahvillee Ayılmış Boçlaı Amotismaı Bazı duumlada, boç miktaı büyük olduğu zama, kedi kaşılığı içi geeke aasal valıkla sağlaamazsa, tahvillee ayılmış boçlaa başvuulu. Tahvil aslıda, aoim şiketlei boç aa bulabilmek amacıyla itibai kıymetlei eşit ve ibaelei ayı olmak üzee çıkadıklaı boç seetleie tahvil deilmektedi, yai tahvil, belli bi mikta aaya kaşılık gele ve belli 39

142 zamada ödee değeli kağıttı. Bu gibi boçlada, biçok kedi veede (tahvillei satı alalada) kedi almak duumu vadı. Bocu bi kısmı ola he tahvili kedi omial değei vadı ve eşit değeli ya da gulaa ayılmış faklı değeli olabilile. He tahvili kedi sei umaası vadı. Tahville içi kouşulacak çok şeyle vadı, fakat buada tahvillei icelemesi üzeide daha fazla dumayacağız, acak tahville yadımıyla boçlaı amotismaı asıl yaıldığıa dai daha fazla iceleme yaacağız. Bocu amotismaı, tahvillei omial değeleiyle ödediği gibi, omial değeleide düşük ya da büyük değelele de ödeebili. Biz buada amotismaı sadece eşit omial değeli tahvillele ödeecek eşit aüiteli boçlaı iceleyeceğiz. Kısım kısım ödee boçlaı iceleyeceğiz, itekim ödeme bide de yaılabildiğii kaydedelim. Diğe boçlada olduğu gibi, buada da amotisma laıı yaake öce aüite tutaı belitili. Tahvillei omial değei öcede bilii, veile devede amotismaı yaıla tahvil sayısı tam sayıdı ve ödeme tutaı tahvil sayısı ve olaı omial değeii çaımıa eşitti. Tam sayılı tahvillei amotismaı söz kousu olduğuda,teoik aüite tutaı ve atik aüite tutaı oblemie astlıyouz. Bu oblemi asıl çözüldüğüü öekle gösteeceğiz. Buada, eşit omial değeli tahvillele ve faklı omial değeli tahvillele yaıla amotisma lalaı esi olaak ayı olduğuu hatılatalım. Biici öekte tahville eşit omial değelidi dea tutaıda boç eşit yıllık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizledimeyle %5.a.(d) faiz oaıyla 6 yılda itfa ediliyo. Boç tahvile ayılmıştı ve he biii omial değei 000 deadı. Tüm faiz miktaı kuolala ödeiyo ve tahville omial değeleiyle ödeiyo. Biici adım, teoik aüiteyi belitiyouz. Buu eşit aüiteli boçla fomülüyle beliteceğiz. 6 aüite ile ödee Z= bocuu faiz katsayısı =,05 ti. Aüite değei: 6,05,05 a ,04 dea olduğuu buluyouz. 6,05 Amotisma laıı tekik yaılışıı yıl yıl iceleyeceğiz. İlk yıl: Teoik aüite 59054,04 deadı. 40

143 5 Biici deve içi faiz miktaı Z deadı. 00 Biici ödeme, aüite ve faizi fakı olduğua göe 44054,04 deadı. Bocu, biici ödeme kada azaltmalıyız, fakat tahvillele ödeme yaıldığıda, tüm boç tutaı ödeemiyo. Şimdi de, e çok kaç tahville ödemeyi yaabiliiz sousuyla kaşılaşıyouz. Tahvillei omial değei 000 dea olduğua göe e çok, 44054,04: 000 = 440 tahvil alabiliiz ve bulala dea ödeme yaılacaktı ve 54,04 dea ödememiş kalacaktı. Bu kala bi yıl içi faizleeek ve sıada ola ödemede aüiteye katılacaktı. Bua göe atikteki aüite = olu ve teoik aüitede faklıdı. İkici yıl: Teoik aüite 59054,04 dea; kala 54,04 dea kada attıılmış ve 5 bi yıl içi kalaı faizi 54,04 6, dea kada attıılmış. 00 İkici yıl souda aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 59074,8 deadı; bocu ödememiş kısmıı faizi: deadı; 00 ikici yıl soudaki ödeme 59074, = ,8 deadı. Bu tuta ,8: 000 = 463 tahville, yai tolam değei dea ola tahvillele ödeecekti ve kala 574,8 dea fak bi yıl faizlediilecek ve aüiteye katılacaktı. Üçücü yıl: Teoik aüite 59054,04 deadı; kala 574,8 dea kada attıılmış ve 5 bi yıl içi kalaı faizi 574,8 8, 7 dea kada attıılmış. 00 Üçücü aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 597,03 deadı; bocu ödememiş kısmıı faizi: = deadı ve deadı; 00 Üçücü ödeme 597, = 48637,03 deadı. 4

144 Bu tuta tolam 48637,03: 000 = 4863 tahville amotisma olacaktı, 7,03 dea kalaı ise bi yıl içi faizlediilecek ve sıadaki aüiteye katılacaktı. Dödücü yıl: Teoik aüite 59054,04 deadı; kala 7,03 dea kada attıılmış ve 5 bi yıl içi kalaı faizi 7,03 8, 85 dea kada attıılmış. 00 Dödücü aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve ,9 deadı; bocu ödememiş kısmıı faizi: = deadı ve deadı. 00 Dödücü ödeme , = ,9 deadı ve ,9: 000 = 505 tahville ödeecek ve kala 909,9 dea bi yıl içi faizlediilecek ve gelecekteki aüiteye katılacaktı. Beşici yıl: Teoik aüite 59054,04 deadı; kala 909,9 dea kada attıılmış ve 5 bi yıl içi kalaı faizi 909,9 45, 49 dea kada attıılmış. 00 Beşici aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 59479,45 deadı; bocu ödememiş kısmıı faizi: = deadı ve dea olduğuu buluyouz. Beşici ödeme 59479, = 53699,45 deadı ve 53699,45: 000 = 536 tahville geçekleştiilecekti ve kala 99,45 dea bi yıl içi faizlediilecek ve gelecekteki aüiteye katılacaktı. Altıcı yıl: Teoik aüite 59054,04 deadı; kala 99,45 dea kada attıılmış ve 5 bi yıl içi kalaı faizi 99,45 46, 47 dea kada attıılmış. 00 Altıcı aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 59499,99 deadı; bocu ödememiş kısmıı faizi: 4

145 = deadı ve dea olduğuu buluyouz. Altıcı ödeme 59499, = ,96 deadı. Yuvalamaya kada daha 0,04 dea olduğua göe, ödeme içi dea kalmıştı ve bu tuta : 000 = 5363 tahvil ile ödeecekti. Patik aüitelele, amotismalı tahvillei kullaaak amotisma laıı oluştualım. Amot. - lamamış tahville Amotismalı tahville Faiz Reel ödeme Reel aüite Amotisma laıı yoklaması yaılmalıdı. - Amotismalı tahvillei tolamı işlemdeki tahvillee eşit olmalıdı; - So yılda işlemde bulua tahville, ayı yılda amotismalı tahvillee eşit olmalıdı; 3 - Reel ödeme sütuudaki tolam tuta, tüm boç tutaıa eşit olmalıdı; 4 - Bi yıl içi tahvillei tolamıda hesalaa faiz miktaı, olaı omial değeleiyle çaımı, faiz sütuudaki tolama eşit olmalıdı. 5 - Reel aüite sütuudaki tolam, faiz ve eel ödeme sütulaıı tolamıa eşitti; 6 - Reel aüitele tolamı, teoik aüitei kalaı faiziyle attııldığı miktaı altı katıdı. Sıadaki öekte, faklı omial değeli tahvillele bi bocu asıl amotisma edildiğii göeceğiz dea tutaıda boç 4 yılda %6.a.(d) faiz oaıyla, eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizledimeyle itfa edilecekti. Boç, üç gu tahvillee ayılmıştı: omial değei 000 dea ola 00 tahvil; omial değei 500 dea ola 500 tahvil; omial değei 00 dea ola 000 tahvil. Faizi tamamı ödeecek, tahville ise omial değeleiyle ödeecekti. 43

146 İlk olaak, teoik aüitei belilemesi geeki, bu ise eşit aüiteli boçla fomülüde hesalaacaktı. Faiz katsayısı =,06 olmak üzee 4 aüite ile ödeecek Z = dea boç içi aüite tutaı: 4,06,06 a ,7 di. 4,06 Amotisma laıı tekik yaılışıı yıl yıl iceleyeceğiz. Nomial değelei ayı ola tahvillede fakı sadece, faklı omial değeli tahvillei alımasıdı. Bu duumda so döem istisa olmak üzee, öce he tahvil gubuda kaça taesii amotismaı yaılacağıı belitmemiz geeki. Bu öekte ödemele sayısı döttü. O halde biici guta otalama yılda 00: 4 = 5 tahvili amotismaı yaılmalıdı. İkici guta otalama 500: 4 = 5 tahvili amotismaı yaılmalıdı. Üçücü guta ise tutaı tamamlamasıa kada geeke tahvillei amotismaı yaılacaktı. Yıllaa göe la şudu: İlk yıl: Teoik aüite 9866,7 deadı. 6 Biici deve içi faiz miktaı Z 7000 deadı. 00 Biici ödeme, aüite ve faizi fakı olduğua göe 0866,7 deadı. Şimdi de, e çok kaç tahville ödemeyi yaabiliiz sousuyla kaşılaşıyouz. Tahvillei omial değelei faklıdı fakat he guta he devede otalama kaç taesii alıacağıı biliyouz. Nomial değei 000 dea ola tahvillede 5 taesii, omial değei 500 dea ola tahvillede 5 taesii amotismaı yaılısa = dea olduğua göe, kala fakı omial değei 00 dea ola tahvillele tamamlaacaktı. Tamamlaması geeke fak 0866, = 5366,7 dea olduğua göe 00 dealık 35 tahvil alıacaktı. Kala 66,7 deaı ise bi yıl içi faizledieek teoik aüiteye katıyouz. Patik aüite tutaı = 9800 deadı ve teoik aüite tutaıda faklaşmaktadı. İkici yıl: Teoik aüite 9866,7 dea; kala 66,7 dea kada attıılmış ve 6 bi yıl içi kalaı faizi 66,7 3, 97 dea kada attıılmış. 00 İkici yıl souda aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 9936,3 deadı; bocu ödememiş kısmıı faizi: deadı; 00 44

147 İkici yıl soudaki ödeme 9936,3-083 = 0904,3 deadı. Bu tuta, ilk iki guta = dea ve 0904, = 604,3 fakıı 00 dealık 6 tahville tamamlayacak ve kala 4,3 dea bi yıl içi faizlediileek gelecek aüiteye katılacaktı. Üçücü yıl: Teoik aüite 9866,7 deadı; kala 4,3 dea kada attıılmış ve 6 bi yıl içi kalaı faizi 4,3 0, 6 dea kada attıılmış. Üçücü aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 9870,74 deadı; 00 bocu ödememiş kısmıı faizi: = 3800 deadı ve deadı; 00 Üçücü ödeme 9870, = 5584,74 deadı. Bu tuta tolam ilk iki guta = tahvillele ve 5584, = 8084,74 fakıı üçücü guta00 dealık 80 tahville tamamlayacak ve kala 84,74 dea bi yıl içi faizlediileek gelecek aüiteye katılacaktı. Dödücü yıl: Teoik aüite 9866,7 deadı; kala 84,74 dea kada attıılmış ve 6 bi yıl içi kalaı faizi 84,74 5, 08 dea kada attıılmış. 00 Dödücü aüite tutaı yukaıdaki üç miktaı tolamıdı ve 9955,99 deadı; Bocu ödememiş kısmıı faizi: = 600 deadı ve deadı. 00 Dödücü ödeme 9955, = 599,99 deadı ve biici ve ikici guta = tahvillele ödeecek ve kala 599, = 35099,99 dea fakı omial değei 00 dea ola tahvillele tamamlaacaktı. 0,0 dea katmakla 35 tahvil amotisma olacaktı. Patik aüitelele, amotismaı yaılmış tahvillei koyaak amotisma laıı oluştualım. 45

148 000 de. 500 de. 00 de. Faiz Reel faiz Reel aüite tahvil tahvil tahvil Alıştımala. Nomial değei 000 dea ola tahville ödeecek dea tutaıda bocu amotisma laıı oluştuuuz. Boç döem sou kısımlala % 9.a.(d) yıllık faiz oaıyla 5 yılda ödeecekti dea tutaıda bi boç 5 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık vadeli faizleme ile, faiz oaı %.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç, he biii omial değei 5000 dea ola 000 tae tahville ödeeceğie göe, amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç 5 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık vadeli faizleme ile, faiz oaı %4.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç iki gu tahvillee ayılmıştı: - omial değei 0000 dea ola 600 tae tahvil; - omial değei 5000 dea ola 800 tae tahvil. Amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç iki yılda eşit altı aylık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile, faiz oaı %0.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç üç gu tahvillee ayılmıştı: - omial değei 000 dea ola 600 tae tahvil; - omial değei 800 dea ola 500 tae tahvil; - omial değei 00 dea ola 000 tae tahvil. Amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç döt yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık vadeli faizleme ile, faiz oaı %3.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç, he biii omial değei 0000 dea ola 000 tae tahville ödeeceğie göe, amotisma laıı oluştuuuz. 46

149 dea tutaıda bi boç 5 yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık vadeli faizleme ile, faiz oaı %6.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç, iki gu tahvillee ayılmıştı: Nomial değei 6000 dea ola 5000 tae tahvil ve omial değei 5000 dea ola 000 tae tahvil. Amotisma laıı oluştuuuz. 4.. Kou Pekiştime Ödevlei dea tutaıda boç 4 yılda, eşit yaıyıllık develi aüitelele ve yaıyıllık vadeli faizlemeyle itfa edilecekti. Faiz oaı % 9.a.(d) olduğua göe, aüite tutaı e kadadı? Hesalaa tolam faiz miktaı e kadadı?. He bii eşit aüiteli ola iki boç alımıştı dea tutaıda ola biici boç 4 yılda, ikicisi ise 6 yılda itfa edilecekti. He iki boç, yaıyıllık aüitelele ve ayı %4.a.(d) faiz oaıyla ödediğie göe, ikici bocu tutaı e kadadı? 3. Bi boç diğe bi boçta dea büyüktü. Biicisi 0000 dea tutalı eşit yıllık aüitelele yılda, ikicisi ise eşit yıllık üitelele 0 yılda itfa edili. He iki boca %5.a.(d) faiz oaı uyguladığıa göe, ikici bocu aüite tutaı e kadadı? Not: Z = Z di. 4. Bi boç 9 yılda döt aylık vadeli faizleme ile ve döt aylık develi eşit tutalı aüitelele itfa edili. Faiz oaı %.a.(d), beşici ve ikici ödemei fakı 000 deadı. Aüite tutaıı hesalayıız. 5. Bi boç yılda aylık vadeli faizleme ile ve aylık develi eşit tutalı aüitelele itfa edili. Faiz oaı %4.a.(d) ve so faiz miktaı 300 deadı. Aüite ve boç tutaıı hesalayıız. 6. Altı yılda yaıyıllık vadeli faizleme ile ve yaıyıllık develi eşit tutalı aüitelele, %0.a.(d) faiz oaıyla itfa edile bocu, dödücü ödeme tutaı 34038, deadı. Boç tutaıı, ödeme vadesii tam yaısıda bocu kalaıı ve hesalaa tolam faiz tutaıı hesalayıız dea tutaıda boç, he iki yılda bi ödee aüitelele ve faiz oaı %8.a.(d) olmak üzee iki yıl vadeli faizlemeyle 6 yılda itfa ediliyo. Altıcı aüitede o biici aüiteye kada bocu hagi kısmı ödemişti? 8. Bi boç, üç aylık döemli eşit tutalı aüitelele ve faiz oaı %6.a.(d) olmak üzee üç aylık vadeli faizlemeyle 0 yılda itfa ediliyo. Ödee 5 aüitede soa boç 4000 dea azalmıştı. Bocu tutaı e kadadı? 9. Bi boç, yaı yıllık döemli eşit tutalı aüitelele ve faiz oaı %0.a.(d) olmak üzee yaıyıllık vadeli faizlemeyle 0 yılda itfa ediliyo. O biici aüitede başlayaak o beşici 47

150 aüiteye kada 0000 dea tutaıda boç ödemişti. Boç tutaı e kadadı? o beşici aüitede soa bocu kala kısmı e kadadı? 0. Yaıyıllık aüitelele ve %6.a.(d) faiz oaı olmak üzee yaıyıllık vadeli faizlemeyle ödee bi bocu hesalaa yedici faizi 3077 deadı. Boç tutaıı ve ödee yedi aüitede soa bocu kala kısmıı belitiiz.. Bi boç, üç aylık döemli aüitelele ve faiz oaı %3.a.(d) olmak üzee üç aylık vadeli faizlemeyle,5 yılda itfa ediliyo. Ödee 40 aüitede soa bocu kalaı 0000 dea olu. Boç tutaı e kadadı? Aüite tutaı e kadadı?. Faiz oaı % 6.a.(d) olmak üzee dea tutalı aüitelele, tutaıda boç e kada zamada itfa edili? Aüitele ve faizleme yaıyıllık vadelidi. 3. Bi boç, eşit tutalı yıllık aüitelele ve yıllık döemli faizleme ile itfa edili. Biici ödeme dea, so yıldaki faiz miktaı 576,5 dea ve soda bi öceki eiyotta faiz miktaı 60,5 dea olduğua göe, boç tutaıı belitiiz tutaıda bi boç üç aylık develi aüitelele ve ayı develi faizlemeyle itfa edili. Biici ödeme dea ve faiz oaı %8.a.(d) olduğua göe, boç kaç devede ödeecekti? dea tutaıda boç, 3 yılda eşit aylık aüitelele ve faizleme ile itfa edili. Aüite tutaı 0000 dea olduğua göe, faiz oaı e kadadı? 6. Bi boç, eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizleme ile itfa edili. Üçücü ve ikici ödemei tolamı 0604 dea ve dödücü ve ikici ödemei fakı 4 dea olduğua göe, faiz oaı e kadadı? 7. Bi boç, eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizleme olmak üzee %6.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. Ödee üç aüitede soa kala boç tutaı 470,7 dea ve ödee altı aüitede soa kala boç tutaı 64,76 dea olduğua göe, boç tutaıı hesalayıız dea tutaıda boç, eşit yaıyıllık aüitelele ve yaıyıllık faizleme ile 0 yılda itfa edili. Yıllık faiz oaı %6.a.(d) di. Aüite tutaıı ve altıcı yıl souda bocu kala kısmıı hesalayıız. 9. Bi boç, eşit yaıyıllık aüitelele ve yaıyıllık faizleme olmak üzee %6.a.(d) faiz oaıyla 3 yılda itfa edili. Biici ödeme 7798,75 dea olduğua göe, bocu amotisma laıı oluştuuuz. 0. Bi boç, eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizleme olmak üzee %.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. İkici ay faiz tutaı 87497,33 dea ve biici ödeme 0000 dea olduğua göe, ilk döt ödemei amotisma laıı oluştuuuz. 48

151 . Bi boç, eşit üç aylık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile itfa edili. Faiz oaı %8.a.(d) di. Üçücü döemde faiz tutaı 4556,84 dea olduğua göe so üç döeme ait amotisma laıı oluştuuuz.. Bi boç, eşit yıllık aüitelele ve yıllık faizleme olmak üzee %4.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. Ödee ilk aüitede soa bocu kala kısmı 7665,9 dea ve ödee iki aüitede soa bocu kala kısmı 3505,9 dea olduğua göe, bocu amotisma laıı oluştuuuz. 3. Bi boç, yuvalak üç aylık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile itfa edili. Faiz oaı %8.a.(d) di. Yuvalak aüite 8000 dea ve ilk ödeme 000 dea olduğua göe, boç kaç devede itfa edilecekti? 4. Bi boç, yuvalak yıllık aüitelele ve yıllık faizleme olmak üzee %3.a.(d) faiz oaıyla itfa edili. Üçücü ödeme 0609 dea ve so aüitei bi öceside bocu ödemiş kısmı dea olduğua göe, aüite kalaıı belitiiz. 5. Bi boç, yuvalak üç aylık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile döt yılda itfa edili. Faiz oaı %.a.(d) di. Soda bi öceki devede faiz tutaı 9,7 dea olduğua göe, aüite kalaıı belitiiz dea tutaıda boç, yuvalak yıllık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile beş yılda itfa edili. Faiz oaı %4.a.(d) di. Bocu amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda boç, yuvalak yaı yıllık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile 8 yılda itfa edili. Faiz oaı %4.a.(d) di. Bocu so üç yılıı amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda boç, yuvalak üç aylık 3000 dea tutaıda aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile iki yılda itfa edili. Bocu amotisma laıı oluştuuuz. 9. Bi boç, yuvalak yıllık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile döt yılda itfa edili. Üç yıl soa bocu ödee kısmı 86,6 dea ve biici ödeme 6000 dea olduğua göe, bocu amotisma laıı oluştuuuz. 30. Bi boç, yuvalak yaı yıllık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile 8 yılda itfa edili. Faiz oaı %4.a.(d) ve so ödeme 4984,7 dea olduğua göe bocu so üç yılıı amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda boç yılda % 9.a.(d) faiz oaıyla, eşit döt aylık aüitelele ve ayı döt aylık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. 6 aüite ödedikte soa amotisma süesi daha 3 yıl uzatılmış ve faiz oaı %6.a.(d) ye idiilmişti. Yaıla değişimde soa bocu ilk ödemesii belitiiz. 49

152 3. Bi boç 4 yılda %5,.a.(d) faiz oaıyla, eşit yaıyıllık aüitelele ve yaıyıllık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. 0 aüite ödedikte soa amotisma süesi 4 yıl kısaltılıyo, faiz oaı ise %3,.a.(d) ye düşüülüyo. Koşulla değişmede öce biici ödeme tutaı 000 dea olduğua göe, değişimde öce ve soaki aüite tutaıı hesalayıız. 33. Bi boç 8 yılda %.a.(d) faiz oaıyla, eşit üç aylık aüitelele ve üç aylık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. 0 aüite ödedikte soa amotisma süesi yıl uzatılıyo, faiz oaı ise %0.a.(d) ye düşüülüyo. Koşulla değiştikte soa biici ödeme tutaı 400 dea olduğua göe, boç tutaıı belitiiz. 34. Bi boç 0 yılda %6.a.(d) faiz oaıyla, eşit üç ayılık aüitelele ve üç aylık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. Ödeme üç yıl yaıldıkta soa amotisma süesi daha yıl uzatılıyo, faiz oaı ise %0.a.(d) ye düşüülüyo. Yaıla iç yıllık ödemeyle 0000 dea boç ödediğie göe, koşulaı değişimide soa beşici ödemeyi belitiiz. 35. Bi boç yıl ve altı ayda %8.a.(d) faiz oaıyla, eşit aylık aüitelele ve aylık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. Altı ay ödeme yaıldıkta soa amotisma süesi daha bi yıl uzatılıyo ve faiz oaı %.a.(d) ye düşüülüyo. Koşullaı değişimide soa ikici ödeme 800 dea olduğua göe, boç tutaıı belitiiz dea tutaıda boç, altı aylık eşit aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile 30 yılda itfa edilmelidi. Faiz oaı %,8.a.(d) olduğua göe aüite tutaı e kadadı? 37. Altı aylık eşit aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile 30 yılda itfa edilmelidi. Faiz oaı %,8.a.(d) ve biici ödeme 537, dea olduğua göe boç tutaı e kadadı? 38. Bi boç 30 yılda %5.a.(d) faiz oaıyla, eşit altı aylık aüitelele ve altı aylık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. 0 yıl geçtikte soa amotisma süesi daha 5 yıl uzatılıyo, faiz oaı ise %4,33.a.(d) ye düşüülüyo. Biici aüite tutaı 943,58 dea olduğua göe, koşulla değiştikte soa, bocu ve aüite tutaıı hesalayıız. 39. Bi boç, eşit yıllık aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile 50 yılda itfa edili. Faiz oaı %4.a.(d) di. Ödee 0 aüitede soa bocu ödemiş kısmıı tutaı 5855,66 dea olduğua göe, aüite tutaıı ve boç tutaıı hesalayıız. 40. Bi boç 30 yılda %5.a.(d) faiz oaıyla, eşit altı aylık aüitelele ve altı aylık faiz vadesiyle itfa edilmelidi. 0 aüite ödedikte soa amotisma süesi 5 yıl uzatılıyo, faiz oaı ise %6.a.(d) ye yükseltiliyo. Koşulla değiştikte soa yei aüite tutaı 3564,8 dea olduğua göe boç tutaı e kadadı? dea tutaıda boç, altı aylık develi yuvalak 0000 dea aüitelele ve ayı döemli faiz oaıyla itfa edili. Faiz oaı %.a.(d) olduğua göe boç e kada zamada itfa edilecekti? So aüite e kadadı? 50

153 dea tutaıda bi boç döt yılda eşit yıllık aüitelele ve yıllık vadeli faizleme ile, faiz oaı %3.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç, he biii omial değei 0000 dea ola 000 tae tahville ödeeceğie göe, amotisma laıı oluştuuuz dea tutaıda bi boç iki yılda eşit yıllık vadeli aüitelele ve ayı vadeli faizleme ile, faiz oaı %4.a.(d) olmak üzee itfa edilecekti. Boç, üç gu tahvillee ayılmıştı: - omial değei 000 dea ola 5000 tae tahvil; - omial değei 5000 dea ola 000 tae tahvil; - omial değei 00 dea ola 0000 tae tahvil. Amotisma laıı oluştuuuz. 5

154 Kou Özetlei Boç, aa, mal veya aa ciside bi değei belili bi vade ve koşulla gei alımak üzee veilmesidi, yai boç vee, fiasal valıklaıı boç alaa geçici bi süe içi hizmetie devetmesidi. Bu bölümde, boçluu bocuu ödeme koşullaı, boç veee ola yükümlülüğü, yai fiasal valıklaı devedilme koşullaı, bocu süeside faizledimeyi içee, alaşmala söz kousu olacaktı. Boç tutaı geellikle bide veili ve gei alıması bide değil, çok kez belli eiyotlada geçekleştiili. He eiyotta bocu ödediği tutaa ödeme dei. Belli eiyotta ödemei faiziyle beabe tutaıa aüite dei; diğe sözlele aüite, belili bi zama süeci içeiside, eşit aalıklala veile veya alıa eşit ödemele seisidi. Bocu he bieysel ödemesie geeke zama süesie amotisma vadesi dei. Aüitelei ödeme süesie göe, döem sou aüiteli boçla (ödemele seisi devei souda yaıla) ve döem başı aüiteli boçla (ödemele devei başıda yaıla aüitele) Faizi hesalamasıa göe boçla, döem sou faizlee ve döem başı faizlee biçimide adladıılabili. Şuu da belitelim, bocu amotismaı deile kademeli ödemede, öcede belilemiş tutalala, belli zama aalıklaıda, öcede belilemiş bi la üzeide, ödemesie amotisma laı dei. Tutaı Z ola bi boç alımış ve gei ödemesi, he bii a tutaıda eşit aüite ile yaılacaktı. Faiz oaı döem sou faizledime ve faiz döemi aüitelei ödeme döemiyle ayı olsu. Böyle duumda boç şu fomülle hesalaı: Z a, döem sou faiz katsayısıdı. Boç bilidiğide, aüiteyi hesalamak içi şu fomülü kullaacağız: a Z k- cı ödemeyi b k ve k- cı faizi i k ile işaet edesek biici aüite a = b + i, olu. Buada faiz, biici döem içi Z tüm boç tutaıa hesalaı, yai i di. Z 00 Kala aüitelei he biii bu şekilde iceleyeek so aüiteye a = b + i vaıyouz. Bua- Z b b... b da faiz bocu kala kısmıa Z - b - b - - b - uygulaı, yai i di. 00 Ödemele, ilk teimi b ve otak çaaı faiz katsayısı ola bi geometik dizisii oluştuuyola. Daha da, he ödeme b b fomülüyle k hesalaabili. k 5

155 Geel olaak, k-cı ödeme boç ile ifade edildiği duumda şu fomülü kullaacağız: k b k Z, a aüite ile ifade edildiğide b k k fomülüü kullaabiliiz. O k ile işaet edeceğimiz, k devede (eiyotta) bocu ödemiş kısmı k-cı aüite dahil, ilk k ödemei tolamıa eşitti, yai: O k = b + b b k yai k Ok b di. Ödee k aüitede soa bocu kala kısmıı R -k ile işaet edesek, biici ödemeye göe veya aüite ile ifade edilişi: k k R k b, ya da R k a di. Amotisma süesii, boç ve aüite ile ifade edilişi: a log di. log a Z Z tutaıda bi boç eşit aüitelele ödediği duumda, boçlu he deve souda ayı tutalı taksitle ödeyecekti. Bu ödemele iki kısımda meydaa gelmektedi. Bu kısımlada bii bocu bi kısmıı ödeme tutaı ve kala bocu faizidi. Peiod Deve Bocu Ostatok kalaı od Kamata Faiz Otlata Ödeme Auitet Aüite zaemot Z i Z b a i a 00 R Z b R i b a i a R R3 b i R b a i a 00 R R b i R b a i a 00 Buu aşağıdaki tablo biçimide gösteeceğiz: 53

156 Amotisma laı yaıldıkta soa, bu laı doğu olu olmadığıı yoklamak geeki: Koşul. Tüm ödemelei tolamı boç tutaıa eşit olmalıdı b j Z ; Koşul. So ödeme tutaı, so kalaa eşit olmalıdı, b = R 6 ; Koşul 3. Faizle sütuudaki değelei tolamı ve ödemele sütuudaki değelei tolamı deve sayısı ile aüitei çaımıa eşit olmalıdı i b a ; Koşul 4. Aüite, he faiz ve oa kaşılık gele ödemei tolamıdı, a = b j + i j ; Koşul 5. Faizle sütuuu tolamı i j R j di. 00 Belli bi bocu ödeke, a aüitesi koke tutalı ya da bocu bi yüzdesi olaak veilebili. Bu aüitele geellikle tam sayıya yuvalaıyola (oluk, yüzlük vb.). Bu yüzde bulaa yuvalak aüitele ve boçlaa yuvalak aüiteli boçla deili. Aüite, yukaıda sayıla şekillede biiyle veilmediğide ve bocu itfalı yuvalak aüitelele yaılma koşullaı vasa, aüitei hesalama yüzdesii hesalamak geeki. Buada da döem sou boçlada, amotisma devesii souda ödemele ve vade sou faizlemede söz edeceğiz. Bocu Z tutaı ve faiz oaı %.a.(d) veilmiş olsu. Amotisma develeii sayısı bilidiği duumda, aüitei değei eşit ve so ola - ci aüitei değei diğeleide küçük olduğua göe, 00V - ve 00V aasıda bulua yüzdesi aaılı. Yuvalaa aüitele, eşit ola aüitelede büyüktü ve bu yüzde so aüite olada faklı ve değei diğeleide küçüktü ve oa aüite kalaı dei. Demek ki, yuvalak aüiteyi bilmiyosak, bocu yüzdesi gibi ifade edilecekti, geel olaak tam sayı ile ya da Z a, fomülü ile ifade edilecekti ve bu duumda: geçeli olacaktı. Diğeleide faklı ola so aüite ya da aüite kalaı deile bu taksiti değei şu fomülle hesalaı: a Z a. Yuvalak aüiteli boçlaı amotisma laıı yaılması, eşit aüiteli boçlada olduğu gibi yaılı, sadece so satıda, so aüitei yazıldığı yede faklılık vadı. Buada so ödeme diğelede küçüktü. Öce lazım ola büyüklükle hesalaı ve oda soa amotisma tablosu dolduulu. j j 54

157 Buada da, amotisma laıı yoklaması yaılmalıdı: Koşul. Tüm ödemelei tolamı boç tutaıa eşit olmalıdı b j Z ; Koşul. So ödeme tutaı, so kalaa eşit olmalıdı, b = R ; Koşul 3. Yuvalaa aüite, he faiz ve oa kaşılık gele ödemei tolamıdı, a = b j + i j ; so ödeme haiç. So aüite, aüite kalaı ve oa kaşılık gele faizi tolamıdı. Boçlaı amotismaıda (itfa edilişide), amotismaı koşullaıı değişmesie ihtiyaç duyulabili. Bazı duumlada boçlu, belli yükseklikteki bocuu ödeyemez duumda olabili ya da bocuu süesi dolmada ödemek isteyebili, bazı duumlada boç vee, bocu ödeme süesii kısaltmak ya da uzatmak isteyebili vb. Bocu ödediği bi süede soa, amotisma koşullaıı değişmesie bocu döüştüülmesi dei. Değişmesi istee koşullada e çok, faiz oaı, amotisma vadesi ve diğe koşulla olabili. Belli sayıda aüitei ödemeside soa, bocu döüştüülmesi aslıda, bocu kalaı temel değe sayaak yei boç gibi algılaabili. Şimdi, aüite sayısı, ödeme sütesi, hatta faiz oaı bile faklı olabili. Boçlaı bu şekilde amotismaıda bulua büyüklüklei değişmesiyle ilgili, öekle vasıtasıyla şu üç duumu iceleyeceğiz: - faiz oaı değişmede, amotisma süesii değiştiilmesi; - amotisma süesi değişmede, faiz oaıı değiştiilmesi ve - faiz oaı ve amotisma süesii değiştiilmesi. Bu duumlada he biide, öce döüşüm süesi başlayıcaya kada, amotisma koşullaıa göe geçe süedeki aüitele hesalaı. Oda soa, yei amotisma koşullaıa uyacak bocu kala kısmı hesalaı ve bu mikta atık yei boç olaak sayılı. Bu kala içi, yai yei boç içi, amotisma süesi değiştiildiği duumda, kala süe uzatılı ya da kısaltılı. Faiz oaı değiştiilise, kala süe içi yei aüite tutaı hesalaı. Hem zama süesi hem de faiz oaı değiştiilise, he iki değişim de göz öüde buluduulu. Bazı duumlada, boç miktaı büyük olduğu zama, kedi kaşılığı içi geeke aasal valıkla sağlaamazsa, tahvillee ayılmış boçlaa başvuulu. Tahvil aslıda, aoim şiketlei boç aa bulabilmek amacıyla itibai kıymetlei eşit ve ibaelei ayı olmak üzee çıkadıklaı boç seetleie tahvil deilmektedi, yai tahvil, belli bi mikta aaya kaşılık gele ve belli zamada ödee değeli kağıttı. Bu gibi boçlada, biçok kedi veede (tahvillei satı alalada) kedi almak duumu vadı. Bocu bi kısmı ola he tahvili kedi omial değei vadı ve eşit değeli ya da gulaa ayılmış faklı değeli olabilile. He tahvili kedi sei umaası vadı. Tahville içi kouşulacak çok şeyle vadı, fakat buada tahvillei icelemesi üzeide daha fazla dumayacağız, acak tahville yadımıyla boçlaı amotismaı asıl yaıldığıa dai daha fazla iceleme yaacağız. 55

158 Bocu amotismaı, tahvillei omial değeleiyle ödediği gibi, omial değeleide düşük ya da büyük değelele de ödeebili. Biz buada amotismaı sadece eşit omial değeli tahvillele ödeecek eşit aüiteli boçlaı iceleyeceğiz. Kısım kısım ödee boçlaı iceleyeceğiz, itekim ödeme bide de yaılabildiğii kaydedelim. Diğe boçlada olduğu gibi, buada da amotisma laıı yaake öce aüite tutaı belitili. Tahvillei omial değei öcede bilii, veile devede amotismaı yaıla tahvil sayısı tam sayıdı ve ödeme tutaı tahvil sayısı ve olaı omial değeii çaımıa eşitti. Tam sayılı tahvillei amotismaı söz kousu olduğuda,teoik aüite tutaı ve atik aüite tutaı oblemie astlıyouz. Bu oblemi asıl çözüldüğüü öekle gösteeceğiz. Buada, eşit omial değeli tahvillele ve faklı omial değeli tahvillele yaıla amotisma lalaı esi olaak ayı olduğuu hatılatalım. Biici öekte tahville eşit omial değelidi. Bu duumda da amotisma laı şu sıaya göe yoklaması yaılmalıdı. - Amotismalı tahvillei tolamı işlemdeki tahvillee eşit olmalıdı; - So yılda işlemde bulua tahville, ayı yılda amotismalı tahvillee eşit olmalıdı; 3 - Reel ödeme sütuudaki tolam tuta, tüm boç tutaıa eşit olmalıdı; 4 - Bi yıl içi tahvillei tolamıda hesalaa faiz miktaı, olaı omial değeleiyle çaımı, faiz sütuudaki tolama eşit olmalıdı. 5 - Reel aüite sütuudaki tolam, faiz ve eel ödeme sütulaıı tolamıa eşitti; 6 - Reel aüitele tolamı, teoik aüitei kalaı faiziyle attııldığı miktaı altı katıdı. 56

159 Çözümle ve Ödevlei Cevalaı... а) 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, b), 4, 9, 6, 5, c),4,8,6,3, d) -,,-3,4, а) 4 7, b) 7, c) = = a) a = +, b) (-) +, c) a = + (-) d) a, e) 8. a.. 3. Dizi atadı. 4. а) b) ve c) 6. a) a >,b) 0 < a <, c) a =, d) 0 < a, e) a > 0, f) 0 < a ,6. 4. а) ve c) deki dizile aitmetik diziledi. а) şıkkıdaki dizii ilk teimi ve otak fakı 6 dı, c) deki dizide ise, ilk teim 9, otak fak -5 ti yıl soa ocak 008 yılı. 6. Aitmetik dizisi. 7. d = 3, a = Tasauf yamada öce 4000 deaı vamış ve he yıl 500 dea tasauf yamıştı а) 9, b) x.. Aaıla teim a + di. 5. a 7 + a = a 5 + a 0 ve a 7 + a = a 5 + a 3 oada a 3 = a 0 elde edili, bu ise acak d = 0 olduğu duumda mümküdü ( +) а) 9399, ) а) ve d) geometik diziledi. а) daki dizii ilk teimi otak çaaı ise -4 tü, d) şıkkıdaki dizii ilk teimi, otak çaaı di. 3. а) 0,5, b) defa, 5. Аli. 6. а) %50,363, b) yıl..7.. a) 60, b) x. 3. Aaıla teim a b = 5 ya da b = q = а) 640, b) 40, c), d) а) 3, b) а = 9, S ,5 dea. 9 a a 5. Tavsiye: öek ye bakıız ve q yeie q değiştiiiz. b b. 9.. Hayı. 3. a = 5, b = 8, c =. 8. Tavsiye: a k ve a teimleii değeleii, aitmetik dizisii ilk teim tolamı fomülüde değiştieek deklemi geçeli olduğuu gösteiiz. 57

160 dea. 7. Tavsiye: a k ve a teimleii değeleii, geometik dizisii ilk teim tolamı fomülüde değiştieek deklemi geçeli olduğuu gösteiiz dea deki özellikte yaalaaak (a a...a ) = (a a...a ) (a a -... ) = (a a )(a a - )...(a a ) = (a a ) elde edili, oada da a a... = (a ) / elde edili... а) 8750 dea; b) 937,5 dea c) 60,4 dea (30,360) zama ölçüsüe göe ve 56,85 dea (k,365) göe.. 0 yıl. 3. %5. 4. а) 4750 dea b) dea. 5. K = K + K = dea. 6. а) %6.s.; b) %3.q.; c) %.m. 7. а) %4.s.; b) %8.a.; c) % m.. 8. %9,09.a.(a). 9. %,.a.(d). 0. %6.a.(a) = %6.38.a.(d), bua 3 göe ikici faiz oaı daha kalıdı %6,5.a.(d)... а) Kama yötem ile dea, sadece bileşik faiz hesabıyla 84483,43 dea, b) kama yötemi 884,3 dea, sadece bileşik faiz hesabıyla 887,9 dea ,55 dea ,0 dea ,58 dea. 5. Döem sou vadeli 56059,84 dea döem sou faizledime dea döem başı faizledime dea dea dea dea. 3. а) 4378,5 dea; b) 4460 dea. c) 4333,4 dea. а) ve c) şıklaıdaki tuta faklaı veilei yuvalamasıda kayaklaı. 4. %6. 5. % 3,93 ve %, dea..4.. а) K = 7597,54 dea; b) K = 7467, dea.. а) 439 dea; b) 498,57 dea ,95 dea ,75 dea ,5 dea..5.. а) 4 yıl, 6 ay ve 8 gü; b) 3 yıl, 7 ay ve gü.. а) 39,9 üç aylık; b) 39,36 üç aylık 3. а) %,696.a.(a); b) %,97.a.(d); 4. %3,95.a.(d). 5. %5.q.(d), 4,7.a.(a). 6. 0,077 yıl. 7. %5.s.(d). 8. % 8,5.a.(d) yıl, ay ve 8 gü..6.. a) He üç tasaufçu tolam 3,6 dea eşit faiz tutaı elde etmişti; b) He üç tasaufçu tolam 3,73 dea eşit faiz tutaı elde etmişti;. Kama yötemle 440 dea, sadece bileşik faizle 0897,5 dea ,5 dea dea dea dea dea boç. 58

161 8. а) 45,7dea, faiz 7747,3 dea; b) 454,6 dea, faiz 7745,4 dea yıl. 0. 7,75 yıl.. 79,79 dea ,67 dea. 3.. So teklif 64893,3. 4.,65 üç aylık. 5. %, dea ,4 dea. 8. Biici teklif daha uygudu, ikici teklif daha küçüktü ve 5304,8 deadı yıl 4 ay ve 9 gü ,48 dea.. %6,6.a. (d).. %7,57.a.(d). 3. 4,6 yıl ve tutaı 0000 deadı а) S = 5558 dea; b) S = 707 dea.. S = 006 dea. 3. а) S = dea; b) S = dea. 4. а) dea; b) 4843dea. 5. а) dea; b) dea. 4. ve 5. ödevlei değeleii kaşılaştıılmasıyla, döem sou yatıımlaı getidiklei faiz miktaı, döem başı yatıımlaı getidiklei faizde daha büyük olduğu soucua vaılı. E büyük so değe döem başı yatıımlaı döem başı faizlemesiyle elde edili а) V = 878 dea; b) V = 879 dea.. V = 0000 dea. 3. V = 866 dea. 4. V = 4603 dea. 5. V = 686 dea а) = 6; b) = 5.. = 8,57. O halde = 9, V 0 = dea. 3. = 3,95. O halde = 3, V 0 =-79 dea (demek ki, 79 dea gei veilecekti). 4. V 0 = 8 dea. 5. = = %4.. = %3, а) %,436; b) %, = %8. 5. = %7, M = 904 dea. 5. а) M = 576 dea; b) M = 6355 dea. 6. M = dea. 7. V = 5695 dea dea Döem sou faizleme ile 7076,5 dea, döem başı faizleme ile 7089,5 dea elde edili.. R = 6700 dea. 3. R = 7575 dea. 4. R = 599 dea. 5. R = 670,5 dea kia.. = 8, 4 yıl. 3. =, R 0 = 3667 dea. 4. = 60, R 0 = 60 dea. 5. = 35, R 0 = 8 dea. 59

162 3.9.. = %6,8. a (d).. = %5,756. a (d). 3. = %8. a (d). 4. %9,3. a (d) dea R = 3400 dea.. 50 dea dea dea dea dea dea yatıım. 4. %6, yıl. 6. M = 8659, dea. 7. R = 475,5 dea. 8. =, R 0 = 353, dea. 9. %5,75.a(d) ,3 dea dea dea dea yıl öce dea dea dea dea dea dea а) 96948,0 dea; b) 9585,05 dea; c) 39369, dea ,4 dea dea ,64 dea ,85 dea ,63 dea.. Аüite 7483,63 deadı. 3. boç 738,3 deadı ,09 dea ,87 dea Kala 5637,4 dea.. Ödeme 3446,95 dea. 3. Boç 969,9 dea ,08 dea ,8 dea % 8.a.(d).. = 5 yılda 50 aüite. 3. %3,67.a.(d). 4. %4,3. 5. = 0 yıl 4.6. a = 9076,9 dea, Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,4 576,4 6838,6 34,93 349,47 576, ,3 794,46 966,94 576,4 4 49,9 46, 365,9 576, ,9 465,35 496,05 576, ,85 750,54 500,86 576,4 Tolam 9367, , ,0 60

163 . a = 576,4 dea, 3. a = 63,54 dea, 4. a = 354,7 dea, Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,4 576,4 6838,6 34,93 349,47 576, ,3 794,46 966,94 576,4 4 49,9 46, 365,9 576, ,9 465,35 496,05 576, ,85 750,54 500,86 576,4 Tolam 9367, , ,0 Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,54 63, , ,47 47,07 63, ,39 573,7 5899,83 63, , ,7 77,8 63, , , ,56 63, ,8 60,36 009,8 63,54 Tolam 37365, , Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,7 354,7 7846,9 784,6 370,8 354, , 547,5 067,9 354, ,9 86,83 867,9 354,7 Tolam 688,33 68,

164 5. So iki faizi veileide sistem oluştuuuz. =,, = 6, a = 3543,, Z = 543,. elde edili. Bu veilele amotisma laıı oluştuabilisiiz Z = 4857,4 dea.. 3 yıl deve. 4. Z = ve a = a = 0000 dea a = 467,83 dea, Deve Boç kalaı Faiz Ödeme ,44 730, ,44 00, 799, ,66 8,3 87, ,89 053,36 946, ,5 975,49 04, ,74 894,5 05, ,5 80,9 89, ,54 7,70 77, ,4 63,6 368,39 384,85 536,87 463, ,7 438,35 56, ,07 335,88 664, ,95 9,3 770, ,7 8,49 88, ,76 003,3 996, ,99 883,36 36, ,35 758,69 34, ,04 69, ,96 355,08 494,0 3370, ,8 353, , ,5 08,3 379,87 4 4,38 56,56 4,38 6

165 . Aüite 3000 dea. Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,84 546, ,84 377,46 6, ,30 98,78 70, ,08 7,74 78, ,8 34,7 865, ,09 48,30 60,09 658,39 3. a = 800, a = 455,7 Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı , ,7 Tolam , a = dea, Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,8 5643, ,8 507, ,8 3983,87 Tolam ,8 983, a = 000 dea, a = 90,8 Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı , , ,56 79,65 380, ,6 03,5 3896, ,5 5,3 65,5 90,8 63

166 4.9.. a = 3688, a* = 3869,4 dea.. a = 375, a*= 438,33 dea 3. Z = 4995,9 dea. 4. a *=7,8 dea. 5. a *=405,55 dea Amotismasız tahville Amotismalı tahville Faiz Reel ödeme Reel aüite Amotismasız tahville Amotismalı tahville Faiz Reel ödeme Reel aüite Tolam Faiz 0000 dealık tahville 5000 dealık tahville Reel ödeme Reel aüite Tolam dealık tahville 800 dealık tahville 00 dealık tahville Faiz Reel ödeme Reel aüite Tolam a = dea. 6. a = dea. 64

167 4... Аüite 36386,3 dea, tolam faiz tutaı 5090,56 dea ,04 dea ,8 dea dea dea. 6. Boç dea, dea ödemiş, bocu kalaı 6805 dea, faiz deadı ,6 dea dea. 9. Boç 36739,58 dea, kala boç 763,67 dea dea dea.. 46 aüite eşit ve 47. faklı dea %. 6. % ,37 dea. 8. a = 064,7 dea, O = 58449,7 dea ve R 8 = 4550,9 dea. 9. a = 998,75 dea, 0. a = 5545,3 dea,. a = 5364,84 dea, Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,75 998,75 470,5 68, ,7 998, ,54 09,5 8006,4 998, ,3 783, ,43 998, ,87 598, ,4 998, ,45 68,3 8964,45 998,75 Tolam ,4 5379, Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,3 5545, , , ,6 5545, ,3 9087,5 4638,6 5545, ,07 863, , ,3 Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,3 46,99 390, , ,38 984, , , ,49 497, , ,84 65

168 . R, ve R - kalalaıyla sistem oluştuuuz. Oada = 5, a = 48666, dea ve boç Z = 6653 dea deve, yai 3,5 yıl. 4. a = 6000 dea ve boç Z= dea. 5. a =6000 dea, boç Z = dea, so aüite a = 443 dea. 6. a = dea, Deve Bocu Faiz Ödeme Aüite (eiyot) kalaı ,68 756, ,68 653, , , 55,96 899, 345,07 7. = 4%, a = 4000, i = 3000, b = 3750, a = 5987,7. 8. = 5%, = 4%, a = 78,79, b = 00, i = = 4%, = 30%,a = 30000, Z = = 7,5%, a = 7500, i = 000, b = b* = 709,. 3. a* = 3975, Z = 5085, b 5 * = 307, Z = 5339, a = 37,. 37. Z = Z = , a* = Z = , a = 3965, Z = = 3, a = 535,0. 66

169 Yaalaıla kayakla. A. Damodaa, Ivestmet Valuatio d Editio Uivesity with Ivestmet Set. A. Gle, Essetials of Cooate Fiacial Maagemet, Halow, UK, D. C. M. Dickso, M. R. Hady, H. R. Wates, Actuaial Mathematics fo Life Cotiget Risks (Iteatioal Seies o Actuaial Sciece), Cambidge Uivesity Pess, D.Watso, A. Head, Cooate Fiace Piciles ad Pactice, Halow, UK, Gitma, Piciles of Maageial Fiace, Addiso - Wesley, G. Atill, Fiacial Maagemet fo Decisio Makes, Halow, UK, J. Bek, P. De Mazo, Cooate Fiace, Halow, UK, J. F. Fabozzi, F. Moodigliai, M. G. Fei, Foudatio of fiacial makets ad istitutios, d ed., Mishki, Eakis, Fiacial Makets ad Istitutios, Peaso, S. G. Kelliso, The theoy of iteest, Geogia State Uivesity, Iwi, 99. T.Badley, P. Patto, Essetial Mathematics fo Ecoomics ad Busiess, Joh Wiley & Sos, d Editio, 00. Б. Попов, Математика за IV клас за стручните училишта, Просветно дело, Скопје, В. Враниќ, Основи финансијске и актуарске математике, Загреб Г. Тренчевски, Елементарна алгебра, Просветно дело, Скопје, Д. Јанев, З. Коловски, Г. Билбиловска, М. Стојановски, Математика за економисти, збирка задачи, Савремена администрација, Београд, Е. Стипаниќ, Математика за III и IV разред гимназије друштвено - језичног смера, Завод за издавање уџбеника Народне Републике Србије, Београд, З. Ивановски, А. Станковска, Девизна политика, Европски универзи-тет, К. Тренчевски, Б. Крстеска, Г. Тренчевски, С. Здравеска, Математичка анализа за четврта година на реформираното гимназиско образование, Просветно дело, К. Сориќ, Збирка задатака из математике с примјеном у економији, Елемент, Загреб, М. Ивовиќ, Финансијска математика, Економски факултет, Београд, 003. Н. Давидовиќ, Основи на математиката за економисти, Култура, Скопје, 975. Р. Раљевиќ, Финансијска и актуарска математика, Савремена администрација, Београд,

170 Yazala KostadiТeçevski Аeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileska Redaksiyo: D. Akta Ago Düzelti: Bedi Nuedi Tükçeye Çevie Abdülgai Ali Bilgisaya İşlemlei Yazala