İçerik PARANIN ZAMAN DEĞERİ. Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ. Nominal ve Reel Faiz. Faiz Kavramı. Basit Faiz. Eşit Ödemeler. Bileşik Faiz

PARANIN ZAMAN DEĞERİ Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ 1 İçerik Faiz Kavramı Basit Faiz Bileşik Faiz Bugünkü Değer Nominal ve Reel Faiz Eşit Ödemeler Eşit Ödemelerde Bugünkü Değer ve Gelecek Değer 2 aittir. 1

İçerik Dönem Sonu Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası Dönem Başı Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası Taksitlerin Belli Bir Dönem Sonra Başladığı Borç İtfaları Balon Ödeme Eşit Anapara Taksitleriyle Bir Borcun İtfası 3 Faiz Faiz en yalın anlamıyla mali fonların (paranın) maliyetidir. Eğer bir kişi tüketimini ya da bir kurum faaliyetlerini veya yatırımlarını finanse etmek için yeterli fona sahip değilse, bunu fon fazlası olan kişi veya kurumlardan ileride geri ödemek koşuluyla sağlayacaktır. Başkalarından ödünç aldığı bu fonları kullanan kişi ve kurumlar bunun karşılığında faiz ödeyeceklerdir. Fon fazlası olanlar borç vererek fonlarının kullanımını başkalarına faiz geliri karşılığında devretmekte, fon eksiği olanlar da gerekli olan fonları faiz ödeyerek temin etmektedirler. 4 aittir. 2

Faiz Fon fazlası olanların elde ettikleri faiz miktarı ile fon kullananların ödedikleri faiz miktarı (F) üç unsura bağlıdır: A = Ödünç verilen veya alınan fon miktarı anapara n = Fonun ne kadar bir süre için ödünç alındığını belirten vade İ = Faiz oranıdır (i). Faiz oranı değişik bileşenlerden oluşur. Faiz oranı söz konusu bileşenler cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: i = Paranın zaman değeri + enflasyon riski primi + geriye ödeyememe riski primi + likidite riski primi + vade riski primi + kur riski primi 5 Faiz i = Paranın zaman değeri + enflasyon riski primi + geriye ödeyememe riski primi + likidite riski primi + vade riski primi + kur riski primi Paranın zaman değeri: Gerçek anlamda faizin karşılığı paranın zaman değeridir. Enflasyon riski primi: Enflasyon, fiyatların genel seviyesindeki artıştır. Enflasyonun en önemli etkisi paranın alım gücünü düşürmesidir. Geriye ödeyememe riski primi: Borç alan kişi ve kurumların aldıkları borcun anaparasını ve faizini zamanında ödeyebilme kabiliyetine göre belirlenen risk primidir. Likidite riski primi: İşletmeler bazen tahvil ve finansman bonosu gibi borçlanmayı temsil eden menkul kıymetler ihraç ederek piyasadan borçlanırlar. Eğer bu menkul kıymetler kolaylıkla piyasa değerinden nakde dönüştürülebiliyorsa likiditesi yüksektir, aksi halde likiditesi düşüktür. Söz konusu menkul kıymetlerin kolaylıkla nakde dönüştürülebilmesi için ikincil piyasada fazla bir zorlukla karşılaşmadan satılabilmeleri gerekir. Hazine bonosu ve devlet tahvili likiditesi oldukça yüksek borçlanma araçlarıdır. 6 aittir. 3

Faiz i = Paranın zaman değeri + enflasyon riski primi + geriye ödeyememe riski primi + likidite riski primi + vade riski primi + kur riski primi Vade riski primi: Uzun vadeli borçlanma araçları faiz riskine daha fazla maruz kalır. Çünkü, piyasa faiz oranları arttığında hazine bonosu, devlet tahvili, özel kesim tahvili gibi borçlanma araçlarının piyasa değeri düşer. Kur riski primi: Hesaplamalarını yabancı para birimi üzerinden yapan yatırımcının, ödünç verilen para biriminin yabancı para birimlerine karşı olası değer kaybı riskine karşı talep ettiği risk primidir. 7 Faiz Çeşitleri Faizi çeşitli şekillerde sınıflamak mümkündür. Basit Faiz: Vade sonunda sadece anapara üzerinden elde edilen faiz Bileşik Faiz: Vade sonunda faizin anaparaya eklenerek anapara + faiz toplamına yeniden belli bir süre için faiz yürütülmesi 8 aittir. 4

Faiz Çeşitleri Faiz ile ilgili olarak belirlenen sürenin de uygulamalarda farklılaştığı görülmektedir. Ticari Faiz: Faiz 360 gün üzerinden hesaplanır. Gerçek Faiz: Faiz 365 gün üzerinden hesaplanır. 9 Basit Faiz Belli bir anapara miktarı esas alınarak, belli bir süre için, belli bir faiz oranı üzerinden hesaplanan faize basit faiz ismi verilir. Basit faiz, ilgili dönem sonunda elde edilen faizdir. Daha önce de belirtildiği gibi, basit faiz hesaplanırken, dönem sonunda elde edilen faizin anaparaya eklenmesi ve bir dönem daha yatırılması söz konusu değildir. 10 aittir. 5

Basit Faiz Faizin aşağıdaki unsurlardan oluştuğu daha önce belirtilmişti: Anapara, A Faiz Oranı, i Süre (vade), n Faiz, F 11 Basit Faiz Nominal faiz bir yıllık basit faiz oranına verilen isimdir ve bankalar değişik vadelere ilişkin faiz oranlarını hep nominal faiz cinsinden ifade ederler. Diğer bir deyişle, nominal faiz bankacılıkta mevduat ve kredi faiz oranlarını verirken kullanılan standart oran olarak da ifade edilebilir. 12 aittir. 6

Basit Faiz Nominal faiz için kullanılan faiz oranları günlük, aylık ya da yıllık olarak ifade edilebilir. Örneğin, ülkemizde bankalar mevduat faiz oranlarını yıllık, ancak tüketici kredisi veya konut kredisi faiz oranlarını aylık olarak ilan etmektedirler. Bu farklılıkların hesaplamalarda doğru kullanılabilmesi için faiz oranının süre ile birlikte dikkate alınması ve ona göre oranın formüllerde kullanılması gerekmektedir. Dönemlik faiz oranını ifade eden i oranını yıllık faiz oranı r ile ilişkilendirerek hesaplamak gerekir. 13 Basit Faiz Faiz oranı yüzde olarak ifade edilir (%20 gibi). Süre yıl ise dönemlik faiz oranı; (i) = r/100 Süre ay ise dönemlik faiz oranı; i= r/1200 Süre gün ise dönemlik faiz oranı; i=r/36000 14 aittir. 7

Basit Faiz F = A x n x i 15 Basit Faiz (Örnek) Bay A, tasarrufu olan 10.000 TL yi bir bankaya yatırarak değerlendirmek istiyor. 60 gün süre ile değerlendireceği paraya banka yıllık %15 faiz uygulamaktadır. Buna göre Bay A bankaya yatıracağı bu paraya ilişkin ne kadar faiz alacaktır? 16 aittir. 8

Basit Faiz (Örnek) Süreyi 60 gün alırsak; i = r/36000 i = 15/36000 i = 0,000417 F = A x n x i F = 10.000 TL x 60 gün x 0,000417 F = 250 TL Süreyi 60 gün yerine 2 ay alırsak; i = r/1200 i = 15/1200 i = 0,0125 F ay = A x n x i F ay = 10.000 TL x 2 ay x 0,0125 F ay = 250 TL 17 Bileşik Faiz ve Gelecek Değer Dönem sonunda, anaparaya o dönemde elde edilen faizin eklenerek yeniden yatırılması durumda bir sonraki dönemde elde edilen faize bileşik faiz dendiği daha önce ifade edilmişti. Bir sonraki dönemde; anapara, önceki dönemde elde edilen faiz miktarı kadar arttığından elde edilen faiz de daha fazla olmaktadır. Çünkü, bir sonraki dönemin faizi artan anapara miktarı üzerinden hesaplanmaktadır. 18 aittir. 9

Bileşik Faiz ve Gelecek Değer Bileşik Faiz ile Gelecek Değer şu şekilde hesaplanır: Gelecek Değer (GD) = A x (1+i) n Gelecek değer (GD), İngilizce karşılığı olan FV (Future Value) kısaltması ile de gösterilmektedir. 19 Bileşik Faiz ve Gelecek Değer (Örnek) Bay B, 10.000 TL lik tasarrufunu bankaya yatırarak değerlendirmek istiyor ve %15 yıllık faiz üzerinden bir yıl vadeli hesap açtırıyor. Bay B, bankadaki parasına üç yıl hiç dokunmazsa, hesabında üçüncü yılın sonunda kaç TL olur? Gelecek Değer = A x (1+i) n Gelecek Değer = 10.000 x (1+0,15) 3 = 15.209 TL 20 aittir. 10

Bileşik Faiz ve Gelecek Değer (Excel) GD(oran;dönem_sayısı;devresel_ödeme;bd;tür) FV(rate;nper;pmt;pv;type) Oran (rate) = uygulanacak dönemsel faiz oranı dönem_sayısı (nper) = kaç dönem için hesaplama yapılacağı Bd (pv) = anapara miktarı devresel_ödeme (pmt) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. tür (type) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. Örneği Excel ile çözmek istersek; =GD(0,15;3;;-10000;0) 15.209 TL sonucuna ulaşırız. 21 Bileşik Faiz ve Bugünkü Değer Bugünkü değer, gelecekteki bir tutarın belli bir iskonto oranı ile bugünkü değerini bulmaya yarayan bir hesaplama biçimidir. Örneğin, Üç yıl sonra elde edilecek (üçüncü yılın sonunda) 10.000 TL nin bugünkü değeri kaç TL dir? sorusunun cevabı bugünkü değer formülü yardımıyla bulunur. 22 aittir. 11

Bileşik Faiz ve Bugünkü Değer Bileşik Faiz ile Bugünkü Değer şu şekilde hesaplanır: (Bugünkü değer) BD = GD (1+i) n i iskonto (faiz oranı veya sermaye maliyeti) oranıdır. Bugünkü değer, İngilizce karşılığı olan PV (present value) kısaltması ile de gösterilir. 23 Bileşik Faiz ve Bugünkü Değer (Excel) BD(oran;dönem_sayısı;devresel_ödeme;gd;tür) PV(rate;nper;pmt;fv;type) Oran (rate) = uygulanacak dönemsel faiz oranı dönem_sayısı (nper) = kaç dönem için hesaplama yapılacağı gd (fv) = gelecekte elde edilecek miktardır devresel_ödeme (pmt) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. tür (type) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. Örneği Excel ile çözmek istersek; =BD(0,15;3;;-10000;0) 22832,25 TL sonucuna ulaşırız. 24 aittir. 12

Bileşik Faiz ve Bugünkü Değer (Örnek) Bay C, 1 dönem sonra elde edeceği 1.150 TL nin %15 iskonto oranı ile bugünkü değerini hesaplamak isterse; Bugünkü Değer = GD / (1+i) n Bugünkü Değer = 1.150 / (1+0,15) 1 = 1.000 TL Burada dikkat edilirse; gelecek yıl ya da 1 yıl demek yerine 1 dönem ifadesi kullanılmıştır. Dönem her zaman yıla eşit olmayabilir. Önemli olan dönem ifadesi ile o döneme ait iskonto oranının kullanılmasıdır. Excel ile =BD(0,15;1;;-1150;0) 25 Bileşik Faiz ve Bugünkü Değer (Örnek) Bay C, 4 dönem sonra elde edeceği 4.500 TL nin %10 iskonto oranı ile bugünkü değerini hesaplamak isterse; Bugünkü Değer = GD / (1+i) n Bugünkü Değer = 4.500 / (1+0,15) 4 = 3.073,56 TL 26 aittir. 13

Bileşik Faiz ve Faiz Oranı (Örnek) Bay B, 10.000 TL lik tasarrufunu bir yıl vadeli mevduat hesabı açarak değerlendirmek istiyor. Bay B nin 3 üncü yılın sonunda 17.000 TL ye ihtiyacı vardır. Bay B, yıl sonlarında parasına dokunmayacak, kazanılan faiz anaparaya eklenerek bir yıl daha yatırılacaktır. Bay B, üçüncü yılın sonunda ihtiyacı olan parayı elde etmek için yıllık yüzde kaç faiz ile parasını bankaya yatırmalıdır? Gelecek Değer = A x (1+i) n 17.000 = 10.000 x (1+i) 3 17.000 i 3 1 10.000 i = 0,1935 = yıllık %19,35 faiz 27 Bileşik Faiz ve Faiz Oranı (Excel) FAİZ_ORANI(dönem_sayısı;devresel_ödeme;bd;gd;tür;tahmin) RATE(nper;pmt;pv;fv;type;guess) Dönem_sayısı (nper) = kaç dönem için faiz hesaplaması yapılacağı bd (pv) ve gd (fv) ile ifade edilen bugünkü değer ve gelecek değer devresel_ödeme (pmt) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. tür (type) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. Özellikle vurgulanması gereken önemli bir konu Excel de faiz oranı ve dönem sayısı parametreleri hesaplanırken nakit giriş ve çıkışlarının işaretine dikkat edilmesi gereğidir. Yani bd ve gd ters işaretli olarak girilmelidir. Örneği Excel ile çözmek istersek; =FAİZ_ORANI(3;;-10000;17000;0) 28 aittir. 14

17.000 i 3 10.000 1 Bileşik Faiz ve Taksit Sayısı (Örnek) Bay B, 10.000 TL lik tasarrufunu bankaya yatıracak ve bu paranın gelecek değeri 18.106 TL olacaktır. Bankanın uygulayacağı yıllık faizin %16 olduğu bilindiğine göre, Bay B parasını bankaya bu tutara ulaşabilmesi için ne kadar süre ile yatırmalıdır? Gelecek Değer = A x (1+i) n 18.106 = 10.000 x (1+0,16) n log 18.106 = log 10.000 +n x log 1,16 n log18.106 log10.000 log1,16 => n= 4 yıl olarak 29 Bileşik Faiz ve Taksit Sayısı (Excel) TAKSİT_SAYISI(oran;devresel_ödeme;bd;gd;tür) NPER(rate;pmt;pv;fv;type) Dönem_sayısı (nper) = kaç dönem için faiz hesaplaması yapılacağı bd (pv) ve gd (fv) ile ifade edilen bugünkü değer ve gelecek değer devresel_ödeme (pmt) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. tür (type) = Eşit ödeme (annüite) hesaplamak için kullanılır. BF hesaplanırken boş bırakılır. Eğer bd ve gd değerleri aynı işaretli olarak girilirse fonksiyon hesaplamayı yapamayacaktır. Örneği Excel ile çözmek istersek; = TAKSİT_SAYISI(0,16;;-10000;18106;0). 30 aittir. 15

Bileşik Faiz (Örnek) Bay C nin 20.000 TL lik tasarrufu vardır. Bay C bu tasarrufunu 6 aylık mevduat hesabına yatırarak değerlendirmek istemektedir. Banka yıllık %16 faiz uygulamaktadır. Bay C parasına hiç dokunmazsa, dördüncü yılın sonunda hesabında kaç parası olur? Bu problemi çözmek için öncelikle dönemlik (altı aylık) faiz oranını hesaplamamız gerekir. i (altı aylık faiz oranı) = 16 / 200 (bir yılda iki altı ay olduğundan 100 x 2 = 200) = 0,08 Gelecek Değer = 20.000 x (1+0,08) 8 = 37.019 TL =GD(0,08;8;;-20000;0) 31 Bileşik Faiz (Örnek) Bay C nin 15.000 TL lik tasarrufu vardır. Bay C bu tasarrufunu 3 aylık mevduat hesabına yatırarak değerlendirmek istemektedir. Banka yıllık %14 faiz uygulamaktadır. Bay C parasına hiç dokunmazsa, üçüncü yılın sonunda hesabında ne kadar parası olur? i (üç aylık faiz oranı) = 14 / 400 (bir yılda dört üç aylık dönem olduğundan 100 x 4 = 400) = 0,035. n = 3 x 4 = 12 dönem. Gelecek Değer = 15.000 x (1+0,035) 12 = 22.666TL 32 aittir. 16

Bileşik Faiz (Örnek) Bay C nin 25.000 TL lik tasarrufu vardır. Bay C bu tasarrufunu bir aylık mevduat hesabına yatırarak değerlendirmek istemektedir. Banka yıllık %17 faiz uygulamaktadır. Bay C parasına hiç dokunmazsa, ikinci yılın sonunda hesabında kaç parası olur? i (aylık faiz oranı) = 17 / 1200 = 0,0142 ve n = 2 x 12 = 24 dönem Gelecek Değer = 25.000 x (1+0,0142) 24 = 35.068 TL 33 Bileşik Faiz (Örnek) Bay E nin üç yıl sonra 40.000 TL ye ihtiyacı vardır. Bay E parasını bankaya altı ay vadeli yatıracak ve üç yıl hiç dokunmayacaktır. Yıllık faiz oranı %16 dır. Bay E üç yıl sonra istediği parayı elde etmek için şimdi bankaya kaç TL yatırmalıdır? i (altı aylık faiz oranı) = 16 / 200 = 0,08 n = 2 x 3 = 6 dönem 40.000 = A x (1 + 0,08) 6 40.000 = A x 1,5869 A = 25.206,38 TL. = BD(0,08;6;;40000;0) 34 aittir. 17

Bileşik Faiz (Örnek) Bayan A, 30.000 TL tutarındaki tasarrufu ile bankada altı aylık bir mevduat hesabı açtırmak ve parasına üç yıl boyunca dokunmamak istemektedir. Şu andaki cari faiz oranı yıllık %18 dir. İkinci yıl oranın %16 ya düşmesi, üçüncü yıl ise %17 ye yükselmesi beklenmektedir. Beklenen faiz oranları dikkate alındığında Bayan A nın üçüncü yılın sonunda kaç parası olur? İlk yıl için dönemlik faiz 18 / 200 = 0,09 dur. Bu faiz üzerinden para iki dönem yatırılacaktır. İkinci yıl için dönemlik faiz 16 / 200 = 0,08 dir. Bu faiz üzerinden para yine iki dönem yatırılacaktır. Üçüncü yıl için dönemlik faiz 17 / 200 = 0,085 dir. Bu faiz üzerinden de para iki dönem yatırılacaktır. GD = 30.000 x (1 + 0,09) 2 x (1 + 0,08) 2 x (1 + 0,085) 2 = 48.942 TL 35 Etkin Faiz Faiz, daha önce de belirtildiği gibi, genelde yıllık bazda ifade edilir (nominal faiz). Örneğin yıllık %15 faiz gibi. Eğer bir yıldan kısa bir süre ile bankaya para yatırılırsa, vade sonunda elde edilen faiz anaparaya eklenerek yıl sonuna kadar yeniden yatırılabilir ve bu miktar üzerinden yıl sonunda bir kere daha faiz kazanılır. Dolayısıyla bir yılda elde edilen faiz daha yüksek olur. Buna karşın bir yıldan kısa süreli hesaplarda vade sonunda elde edilen faizin anaparaya eklenmesi ile oluşan miktarın yıl sonuna kadar tekrar yatırılması durumunda elde edilen faiz ise etkin (efektif veya bileşik) faiz olarak adlandırılır. Yani, bir diğer deyişle, 1 yıllık bileşik faize efektif faiz denilmektedir. i yıllık, etkin = (1 + i dönemlik, basit ) n 1 36 aittir. 18

Etkin Faiz (Örnek) Bay D nin 50.000 TL si vardır ve bu para ile üç aylık mevduat hesabı açtırmıştır. Banka %18 basit faiz üzerinden hesabı açmıştır. Bir önceki kısımda hesaplandığı gibi bir yıl sonra Bay D nin parası kaç TL olacaktır? i = 18 / 400 = 0,045. Gelecek Değer = 50.000 x (1 + 0,045) 4 = 59.626 TL. Bay D nin orijinal anaparası 50.000 TL idi. Bay D, bir yılda 9.626 TL faiz kazanmıştır. Bay D nin kazandığı faiz, 9.626 / 50.000 = %19,25 dir. Dolayısıyla yıllık basit faiz oranı (nominal faiz) %18, yıllık etkin (bileşik) faiz oranı ise %19,25 dir. 37 Etkin Faiz (Örnek) Bay D nin 50.000 TL si vardır ve bu para ile üç aylık mevduat hesabı açtırmıştır. Banka %18 basit faiz üzerinden hesabı açmıştır. Bir önceki kısımda hesaplandığı gibi bir yıl sonra Bay D nin parası kaç TL olacaktır? Formülle hesaplarsak: i dönemlik, basit = 18 / 400 = 0,045, n = 4 i yıllık, etkin = (1 + 0,045) 4 1 = 0,1925 => %19,25 38 aittir. 19

Etkin Faiz (Excel) ETKİN(Nominal_oran;Dönem_sayısı) EFFECT(nominal_rate,npery) Nominal_oranı (nominal_rate) = dönemlik faiz oranı Dönem_sayısı (nper) = kaç dönem için faiz hesaplaması yapılacağı Örneği Excel ile çözmek istersek; = ETKİN(0,18;4). 39 Etkin Faiz (Örnek) 100 TL nominal değerli, üç ay vadeli bir hazine bonosu 94 TL den satılmıştır. Bu hazine bonosunun yıllık basit (nominal) ve etkin (bileşik) faizi nedir? Hazine bonosunu satın alan kişi, satın aldığı gün 94 TL ödemekte, vade bitiminde üç ay sonra, devletten 100 TL almaktadır. Bu durumda üç ayda 6 TL faiz geliri elde etmektedir. i dönemlik, basit = 6 / 94 = 0,0638 => %6,38 tyıllık, basit = 6,38 x 4 =25,22. Yıllık basit faiz % 25,22 dir. iyıllık, etkin = (1 + idönemlik, basit)n 1 = (1 + 0,0638)4 1 = 0,2806 Yıllık bileşik faiz % 28,06 dir. 40 aittir. 20

Etkin Faiz (Örnek) Hazine altı ayda bir faiz ödemeli, yıllık basit faizi %20 olan devlet tahvili ihraç etmiştir. Bu devlet tahvilinin yıllık etkin (bileşik) faizi nedir? i dönemlik, basit = 20 / 200 => 0,1 i yıllık, etkin = (1 + i dönemlik, basit ) n 1 = (1 + 0,1) 2 1 = %21 41 Sürekli Bileşik Faiz Yukarıdaki örneklerde yatırılan anapara belirli bir zaman diliminde faiz kazanmaktadır. Örneğin, bankaya üç ay vadeli parasını yatıran bir kişi üçüncü ayın sonunda faiz kazanmakta, kazandığı faizi anaparaya ekleyerek yeniden yatırmakta ve bu anapara üzerinden ikinci üç ayın sonunda bir daha faiz kazanmaktadır. Bu durum kesikli bileşik faiz olarak adlandırılır. Sürekli bileşik faizde ise yatırımcı belirli dönemlerde değil, fakat sürekli olarak faiz kazanmakta ve kazandığı faizi anaparaya ekleyerek faiz kazanmaya devam etmektedir. Sürekli bileşik faizde, gelecek değer ve etkin faiz oranını hesaplayabilmek için yukarıda incelenen formüllerde bazı düzenlemeler yapmak gerekir. 42 aittir. 21

Sürekli Bileşik Faiz Kesikli bileşik faizde gelecek değer, A x (1+i) n ifadesiyle hesaplanmaktaydı. Sürekli bileşik faiz uygulanmasında gelecek değer aşağıdaki şekilde hesaplanır: Gelecek değer = A x e i x n e = 2,718281828 43 Sürekli Bileşik Faiz Kesikli bileşik faizde yıllık etkin faiz; i yıllık, etkin = (1 + i dönemlik, basit ) n 1 ifadesiyle hesaplanmaktaydı. Sürekli bileşik faiz uygulamasında yıllık etkin faiz aşağıdaki şekilde hesaplanır: i yıllık, etkin = e i - 1 i = i yıllık, basit e = 2,718281828 44 aittir. 22

Sürekli Bileşik Faiz (Örnek) Bay B, 20.000 TL sini yıllık %18 sürekli bileşik faizle yatırıyor. Dördüncü yılın sonunda Bay B nin parası kaç TL olur? i = 18/100 => 0,18 n = 4 dönem Gelecek değer = A x e ixn ifadesinden, Gelecek değer = 20.000 x e 0,18 x 4 = 41.088,66 TL 45 Sürekli Bileşik Faiz (Örnek) Bay C nin 30.000 TL si vardır. Bay C parasını yıllık sürekli bileşik faiz üzerinden iki yıl yatırmak istiyor. Yıllık basit faiz oranı %16 ise Bay C nin iki yıl sonra kaç parası olur? i = 16 / 100 => 0,16 Gelecek değer = 30.000 x e 0,16 x 2 = 41.313,83 TL. 46 aittir. 23

Sürekli Bileşik Faiz (Örnek) Yıllık basit faiz %20 dir. Sürekli bileşik faiz uygulanması durumunda, yıllık etkin (bileşik) faiz oranı nedir? i yıllık, etkin = e i 1 i yıllık, etkin = e 0,2-1 = 0,2214 => %22,14 47 Reel Faiz Nominal faiz enflasyon primini de içeren faizdir. Reel faiz ise enflasyondan arındırılmış reel getiridir. (1 + i nominal ) = (1 + i reel ) (1 + Enflasyon) Nominal ve reel faiz arasında aşağıdaki gibi bir ilişki vardır. Burada bahsi geçen enflasyon değeri, geçmiş döneme ilişkin değer değil, gelecek dönem için beklenen enflasyonu ifade etmektedir. Bu ilişkiden yararlanarak reel faiz oranı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: i reel 1 in 1 Enflasyon 1 48 aittir. 24

Reel Faiz (Örnek) Nominal faiz oranı %22 dir. Enflasyon %10 ise reel faiz oranı nedir? (1 + 0,22) = (1 + i reel ) (1 + 0,10) 1,22 = (1 + i reel ) x 1,1 1,109 = 1 + i reel i reel = 0,109 => %10,9 49 Reel Faiz (Örnek) Bir yatırımcı %8 reel faiz elde etmek istemektedir. Mevcut nominal faiz oranı %18 dir. Yatırımcının istediği reel faizi elde edebilmesi için enflasyon ne olmalıdır? (1 + 0,18) = (1 + 0,08) (1 + Enflasyon) 1,18 = 1,08 (1+Enflasyon) 1,0926 = 1 + Enflasyon Enflasyon = 0,0926 => %9,26 50 aittir. 25

Reel Faiz (Örnek) Bir yatırımcı %12 reel faiz elde etmek istemektedir. Beklenen enflasyon %10 olduğuna göre, yatırımcı istediği reel faizi elde etmek için hangi nominal faiz üzerinden yatırım yapmalıdır? (1 + i nominal ) = (1 + 0,12) (1 + 0,1) (1 + i nominal ) = 1,232 i nominal = 0,232 => %23,2 51 Eşit Ödemeler (Annüiteler) Eşit ödemeler (annüiteler) belirli bir süre boyunca, belirli dönemlerde yapılan sabit ödemeleri ifade eder. Örneğin bir kişi, 5 yıl süreyle her yıl bankaya 3.000 TL yatırırsa, bu 3.000 TL lik seri eşit ödemeler olarak adlandırılır. Bunun, bir önceki bölümde ele alınan konulardan önemli bir farkı vardır. Bir önceki bölümde yatırımcı başlangıçta belirli miktarda parayı yatırıyor ve süre boyunca (örneğin üç yıl) bu para ile ilgili hiçbir işlem yapmıyordu (para yatırmak ya da para çekmek gibi). Eşit ödemelerde ise yatırımcı sadece birinci dönemde değil, süre boyunca her dönem belirli miktarda para yatırmaktadır. Eşit (devresel) ödemeler ilgili literatürde DT, A veya İngilizce karşılığı olan PMT kısaltması ile gösterilmektedir. 52 aittir. 26

Eşit Ödemeler (Annüiteler) İki türlü eşit ödeme vardır. dönem sonu eşit ödemeler (ordinary annuite) dönem başı eşit ödemelerdir (annuite due) Dönem sonu eşit ödemelerde, ödemeler dönem sonlarında, dönem başı eşit ödemelerde ise ödemeler dönem başında yapılmaktadır. Finans alanında en çok kullanılan eşit ödeme türü, dönem sonu eşit ödemelerdir. Bileşik faiz hesaplamalarında dört parametre değeri (gd, bd, n, i) söz konusu iken; eşit ödemelere ilişkin hesaplamalarda bu dört parametreye ilaveten eşit (devresel) ödeme parametresi de hesaplamalarda yer almaktadır. 53 Eşit Ödemeler (Annüiteler) Eşit ödemelere ilişkin hesaplamalarda Gelecek Değer için eşit (devresel) ödeme, i, n; Bugünkü Değer için eşit (devresel) ödeme, i ve n; Eşit (devresel) ödeme için Gelecek Değer ya da Bugünkü Değer i ve n; i için Gelecek Değer ya da Bugünkü Değer Eşit (devresel) ödeme n; n için de Gelecek Değer ya da Bugünkü Değer Eşit (devresel) ödeme i değerlerinin bilinmesine gereksinim duyulmaktadır. 54 aittir. 27

Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Dönem sonu eşit ödemelerin gelecekteki değerini hesaplarken aslında n adet bileşik faiz hesaplaması yapılmakta ve daha sonra yapılan bu hesaplamaların toplamı alınmaktadır. Uygulamada oldukça zaman alan bu yaklaşım yerine eşit ödemeler için daha kolay bir hesaplama yöntemi bulunmaktadır. 55 Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Her yılın sonunda, yıllık %16 faiz oranı ile 1.000 TL yatırılırsa üçüncü yılın sonunda para kaç TL olur? Bu hususu zaman doğrusu üzerinde gösterelim. 0 1 2 3 1.000 1.000 1.000 1.000 x 1,16 = 1.160 1.000 x (1,16) 2 = 1.345,6 Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri (GDA) = 1.345,6 + 1.160 + 1.000 = 3.505,6 56 aittir. 28

Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Görüldüğü gibi eşit ödemelerin gelecekteki değerini hesaplarken n adet bileşik faiz hesaplaması yapılmakta ve daha sonra bunların toplamı alınmaktadır. Örneğimizde buna göre üçüncü yılın sonunda elde edilecek para toplamı 3.505,6 TL dir. 57 Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Zaman doğrusundan da görüleceği gibi ilk ödeme birinci yılın sonunda, ikinci ödeme ikinci yılın sonunda, üçüncü ödeme ise üçüncü yılın sonunda yapılmıştır. 0 1 2 3 1.000 1.000 1.000 1.000 x 1,16 = 1.160 1.000 x (1,16) 2 = 1.345,6 DİKKAT: Yapılan ödemeler eşit ve faiz oranı süre boyunca sabittir. Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri (GDA) = 1.345,6 + 1.160 + 1.000 = 3.505,6 58 aittir. 29

Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Yukarıdaki örnekte, eşit ödeme (DT) 1.000 TL olup gelecek değer (GDA) aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: GDA = 1.000 x (1 + i) 2 + 1.000 x (1 + i) 1 + 1.000 x (1 + i) 0 (1 + i) 0 ifadesi bire eşittir. GDA eşit ödemelerin üçüncü yıl sonundaki değeridir. Ödemeler yıl sonunda yapıldığından, birinci yılın sonunda yapılan ödeme ikinci ve üçüncü yıllarda bileşik faiz kazanmakta, ikinci yılın sonunda yapılan ödeme sadece üçüncü yıl faiz kazanmakta, üçüncü yılın sonunda yapılan ödeme ise faiz kazanamamaktadır. 59 Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Örneği genelleştirirsek; GDA=DT (1 + i) n-1 + DT (1 + i) n-2 + DT (1 + i) n-3 +.+DT(1 + i) 0 GDA(1+i)=DT (1 + i) n + DT (1 + i) n-1 + DT (1 + i) n-2 +.+DT(1 + i) 1 (2) (1) den (GDA) i = DT (1 + i) n - DT(1 + i) 0 (GDA) i = DT [(1 + i) n - (1 + i) 0 ] (1 i) n 1 Dönem Sonu Eşit Ödemeler GDA DT Gelecek Değer Annüite i Faktörü 60 aittir. 30

Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Dönem Sonu Eşit Ödemeler Gelecek Değer Annüite Faktörü GDA ise; (1 i) GDAF( i, n) i n 1 GDA DTxGDAF( i, n) şeklinde hesaplanabilir. 61 Dönem Sonu Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri İlk olarak n adet bileşik faiz hesaplamasıyla bulduğumuz GDA değeri yukarıda çıkarılan formülde de görüldüğü gibi sadece bir tek hesaplama yapılarak elde edilebilmektedir. GDAF(0,16;3) (1 0,16) 0,16 3 1 = 3,5056 GDA = DT x GDAF (i, n) GDA = 1.000 x GDAF (0,16; 3) GDA = 1.000 * 3,5056 = 3.505,6 TL 62 aittir. 31

Dönem Başı Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Her yılın sonunda, yıllık %16 faiz oranı ile 1.000 TL yatırılırsa üçüncü yılın sonunda para kaç TL olur? Bu hususu zaman doğrusu üzerinde gösterelim. 0 1 2 3 1.000 1.000 1.000 1.000 x 1,16 = 1.160 GDA= 1.160 + 1.345,6 + 1.560,9 = 4.066,5 1.000 x (1,16) 2 = 1.345,6 1.000 x (1,16) 3 = 1.560,9 Burada, ilk ödeme birinci yılın başında, ikinci ödeme ikinci yılın başında, üçüncü ödeme ise üçüncü yılın başında yapılmakta ve üçüncü yılın sonunda toplam 4.066,5 TL para elde edilmektedir. 63 Dönem Başı Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Dönem başı eşit ödemeler için gelecek değer faktörü aşağıdaki şekilde bulunur: GDAF dönem başı = GDAF dönem sonu (1 + i) Dönem başı eşit ödemelerde, her ödeme ilave bir dönem daha fazla faiz kazandığından, GDAF dönem sonu (1 + i) ifadesiyle çarpılmıştır. 64 aittir. 32

Dönem Başı Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Örneğimizde bu formülleri kullanırsak; GDAF dönem başı = 3,5056 x 1,16 = 4,0665 GDA dönem başı = 1.000 x 4,0665 = 4.066,5 65 Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Excel GD(oran;dönem_sayısı;devresel_ödeme;bd;tür) Excel de Daha önce gelecek değer ile ilgili kullandığımız parametreler aynı şekilde kullanılacaktır. devresel_ödeme burada bu parametreye mutlaka değer girilmelidir. (dönem sayısı) tür parametresi için; Eşit ödemeler dönem sonu yapılmışsa bu parametre için 0 (sıfır) değerinin girilmesi veya boş bırakılması gerekir. Eşit ödemeler dönem başı yapılmışsa bu parametre için 1 (bir) değerinin girilmesi gerekir. 66 aittir. 33

Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Örnekleri Bayan B her ayın sonunda gelirinden 100 TL yi bankaya yatırarak 10 ay sonra tatile gidebileceği parayı biriktirmeyi planlamaktadır. Banka, Bayan B nin mevduatına yıllık %17 faiz uygulamaktadır. Buna göre 10 uncu ayın sonunda Bayan B nin bankadaki parası ne olur? i = 17 / 1200 = 0,0142 (1 0,0142) GDAF (0,0142;10) 0,0142 10 GDA = 100 * 10,664 => 1.066,4 TL =GD(0,0142;10;-100;;0) 1 => 10,664 67 Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Örnekleri Bay C, 15 yıl boyunca her üç aylık dönemin başında %20 yıllık faiz üzerinden 500 TL yatırmayı planlamaktadır. Bay C nin 15 inci yılın sonunda kaç parası olur? i = 20 / 400 = 0,05 n = 15 x 4 = 60 dönem (1 0,05) GDAF(0,05;60) 0,05 60 1 => 353,58 GDAF dönem başı = 353,58 x (1 + 0,05) GDAF dönem başı = 371,26 GDA = 500 x 371,26 = 185.630 TL 68 aittir. 34

Eşit Ödemelerin Gelecekteki Değeri Örnekleri Bay B, ilk ödeme bugün başlamak üzere üç yıl her altı aylık dönemin başında 1.000 TL yatırmayı düşünmektedir. Bugünkü faiz oranı %20 dir. İkinci yıl faiz oranının %18, üçüncü yıl ise %16 olacağı tahmin edilmektedir. Bay B nin üçüncü yılın sonunda kaç parası olur? Dönemlik faiz oranı birinci yıl için 20 / 200 = 0,1; ikinci yıl için 18 / 200 = 0,09; üçüncü yıl için 16 / 200 = 0,08 dir. n=6 dır. GDA = 1.000 (1+0,1) 2 (1+0,09) 2 (1+0,08) 2 + 1.000 (1+0,1) (1+0,09) 2 (1+0,08) 2 + 1.000 (1+0,09) 2 (1+0,08) 2 + 1.000 (1+0,09) (1+0,08) 2 + 1.000 (1+0,08) 2 + 1.000 (1+0,08) = 8.104,78 TL 69 Eşit Ödeme Tutarı (Annüite) Eşit ödemeler tutarı hesaplanırken gd ya da bd değerlerinden sadece birisi kullanılırken, i ve n değerlerinin her ikisine birden ihtiyaç duyulmaktadır. Örnek: Bayan D, 10 yıl sonra emekli olmayı düşünmektedir. Bayan D, 10 yılın sonunda 80.000 TL toplu parasının olmasını istemektedir. Bayan D bu toplu parayı elde edebilmek için her altı ayda bir dönem sonlarında yıllık %14 faiz üzerinden kaç para yatırmalıdır? i = 14 / 200 => 0,07 n = 10 x 2 = 20 dönem GDAF (0,07;20) 80.000 = DT x 41 DT = 1.951 TL (1 0,07) 0,07 20 1 => 41 70 aittir. 35

Eşit Ödeme Tutarı (Annüite) DEVRESEL_ÖDEME(oran;dönem_sayısı;bd;gd;tür) PMT(rate;nper;pv;fv;type) bd eşit ödemelerin bugünkü değerini ifade ederken gd eşit ödemelerin gelecekteki karşılığını göstermektedir. Bu iki parametreden sadece bir tanesinin kullanılması hesaplama için yeterlidir. tür parametresi için; Eşit ödemeler dönem sonu yapılmışsa bu parametre için 0 (sıfır) değerinin girilmesi veya boş bırakılması gerekir. Eşit ödemeler dönem başı yapılmışsa bu parametre için 1 (bir) değerinin girilmesi gerekir. 71 Eşit Ödeme Tutarı (Annüite) Örneği Excel ile çözersek; =DEVRESEL_ÖDEME(0,07;20;;80000;0) sonuç 1.951 TL dir. Bu örnekte ödemeler dönem sonunda değil de dönem başında yapılsaydı; =DEVRESEL_ÖDEME(0,07;20;;80000;1) sonuç 1.824 TL olarak çıkardı. İki değerin farklı çıkmasının sebebi ödemelerin dönem sonu veya dönem başında yapılmış olmasıdır. 72 aittir. 36

Eşit Ödeme Tutarı (Annüite) 1.824 TL değerini daha önce hesaplanan 1.951 TL değerinden yararlanarak da bulabilirdik. 1.951 TL değeri (1+i) değeri olan (1+ 0,07) değerine bölündüğünde daha küçük bir rakam olan 1.824 TL değerine ulaşılmış olunur. Neden? 73 Eşit Ödeme Tutarı (Örnek) X Finans kuruluşu Bay A ya şöyle bir teklifle gelmektedir: a) Her ayın sonunda 100 TL olmak üzere 200 dönem (ay) bize ödeme yaparsan sana 8.633,14 TL yi bugün öderiz. b) Her ayın sonunda 100 TL olmak üzere 200 dönem (ay) bize ödeme yaparsan sana son ödemeyi yaptıktan sonra 63.160,18 TL yi ödeyebiliriz. X finans kuruluşu her iki seçenekte de dönemsel faiz oranını %1 olarak uyguladığını belirtmektedir. Siz olsanız hangi seçeneği tercih ederdiniz? 74 aittir. 37

Eşit Ödeme Eşit Ödeme tutarı (Örnek) Tutarı (Örnek) Burada (a) seçeneğinde X Finans Kuruluşu Bay A yı finanse ederken (kredi vermek durumu), (b) seçeneğinde ise Bay A X Finans Kuruluşunu finanse etmektedir (tasarrufunu yatırarak). Bu soruyu çözmek için iki ayrı devresel ödeme hesaplamasının yapılması gerekmektedir. =DEVRESEL_ÖDEME(0,01;200;8633,14;;0) hesaplaması ile (a) seçeneği için geçerli olan eşit ödeme tutarı 100 TL olarak bulunur. Burada bd parametresi girilmiş, gd boş bırakılmıştır. Benzer şekilde =DEVRESEL_ÖDEME(0,01;200;;63160,18;0) hesaplaması ile (b) seçeneği için geçerli olan eşit ödeme tutarı 100 TL olarak karşımıza çıkar. Burada gd parametresi girilmiş, bd boş bırakılmıştır. 75 Eşit Ödeme Tutarı (Örnek) Dolayısıyla her iki seçenek de Bay A için aynı şeyi ifade etmektedir. Bir diğer deyişle gelecekte elde edilecek olan 63.160,18 TL nin bugünkü değeri (bugünkü parayla yaklaşık satın alma gücü) 8.633,14 TL olmaktadır. Bu örnekte vurgulandığı gibi özellikle yüksek enflasyonun geçerli olduğu dönemlerde eşit ödemelere ilişkin gelecekteki değer hesaplaması yatırımcıyı yanıltabilir. Bu yüzden eşit ödemelerin gelecekteki değeri yerine bugünkü değerine bakıp karar vermek daha anlamlı sonuç vermektedir. 76 aittir. 38

Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Gelecekte elde edilecek tutarın bugünkü para cinsinden satın alma gücünü kestirmek önemlidir. Çünkü gelecekte elde edilecek 1 TL nin satın alma gücünü bugünkü 1 TL nin satın alma gücüne eşit olarak kabul etmek yatırımcıyı büyük bir hatanın içerisine düşürebilir. Bugün elde edilen 1 TL ile ne alınabilineceğini kestirebiliriz ama 1 TL nin daha sonraki dönemler için satın alma gücünü tahmin etmek oldukça zordur. Bunun için bilinen bir değer ile yani bugünkü değer ile parasal tutarı hesaplamak daha gerçekçidir. 77 Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Bay C, bir yardım sandığından dört yıl boyunca, her yılın sonunda 3.000 TL alacaktır. Bu eşit ödemelerin %15 yıllık faiz üzerinden bugünkü değeri nedir? Bunu yine zaman doğrusu üzerinde gösterelim. (Dönem Sonu Eşit Ödemeler) 0 1 2 3 4 3.000 / (1+0,15) = 2.609 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 / (1+0,15) 2 = 2.268 3.000 / (1+0,15) 3 = 1.973 3.000 / (1+0,15) 4 = 1.715 BDA = 2.609 + 2.268 + 1.973 + 1.715 = 8.565 78 aittir. 39

Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Zaman doğrusu üzerinde yaptığımız hesabı aşağıdaki şekilde gösterebiliriz: 3.000 3.000 BDA (1 0,15) (1 0,15) 3.000 (1 0,15) 3.000 (1 0,15) 2 3 4 8.565 Dönem sonu eşit ödemelerin Bugünkü Değer Annuite Faktörü, yukarıdaki ifadelerden de görüleceği gibi aşağıdaki şekilde hesaplanır: 1 1 n (1 i) BDAF ( i, n) i 79 Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Elde edilecek ya da yapılacak eşit ödemeler ile bu faktör çarpıldığında, eşit ödemelerin bugünkü değeri bulunmuş olur. 1 1 (1 0,15) BDAF(0,15;4) 0,15 BDA = 3.000 x 2,855 = 8.565 4 = 2,855 80 aittir. 40

Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Bu örnek dönem sonu eşit ödemelerin bugünkü değeri ile ilgiliydi. Dönem başı eşit ödemelerde, ödemeler dönem başlarında alınmakta veya yapılmaktadır. Yukarıdaki örneği dönem başı eşit ödemeler olarak çözersek zaman doğrusu aşağıdaki şekilde oluşur: 0 1 2 3 4 3.000 3.000 / (1+0,15) = 2.609 3.000 3.000 3.000 3.000 / (1+0,15) 2 = 2.268 3.000 / (1+0,15) 3 = 1.973 BDA = 3.000 + 2.609 + 2.268 + 1.973 = 9.850 81 Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Yukarıdan da görüleceği gibi, dönem başı eşit ödemelerde her ödeme dönem sonu eşit ödemelere göre bir dönem erken alınmakta veya yapılmakta, başka bir ifade ile dönem sonu eşit ödemelere göre bir dönem daha az iskonto edilmektedir. Dönem başı eşit ödeme faktörü aşağıdaki şekilde bulunur. BDAF dönem başı = BDAF dönem sonu (1 + i) 82 aittir. 41

Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri Yukarıdaki örneği dönem başı eşit ödemeler olarak çözersek; Bay C, bir yardım sandığından dört yıl boyunca, her yılın başında 3.000 TL alacaktır. Bu eşit ödemelerin %15 yıllık faiz üzerinden bugünkü değeri nedir? Bunu yine zaman doğrusu üzerinde gösterelim. (Dönem Başı Eşit Ödemeler) BDAF dönem başı = 2,855 * (1 + 0,15) = 3,283 BDA = 3.000 * 3,283 = 9.850 Bugünkü değer hesaplamalarında da kullanılan iskonto oranı dönemlere göre farklılık gösterebilir. 83 Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri (Örnek) Kiracı K ile ev sahibi B arasında kira ödemelerinin 1 yıllık peşin mi olacağı yoksa ay sonlarında eşit taksitler halinde mi olacağı konuşulmaktadır. Teklifi sunan kiracı K dır. Aylık 500 TL olan kirası için, ay sonlarında ödeme yapmak yerine peşin ödeme yapmak isteyen kiracı aşağıdaki bilgilere sahiptir: Aylık Eşit Ödeme : 500 TL Dönem (n) : 12 Ay İskonto Oranı : %18 (yıllık) Burada kiracının, aylık kira ödemesi ile toptan peşin ödeme arasında kararsız kalacağı tutar aşağıdaki gibi hesaplanabilir: 84 aittir. 42

Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri (Örnek) i = 18 / 1200 = 0,015 1 1 n (1 i) BDAF( i, n) i 1 1 (1 0,015) BDAF(0,015;12) 0,015 bulunur. 12 = 10,90751 olarak DA = 500 x 10,90751 => BDA = 5.453,76 TL olarak bulunur. 85 Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri (Örnek) Aynı hesaplamayı Excel fonksiyonundan yararlanarak da aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz; BD(oran;dönem_sayısı;devresel_ödeme;gd;tür) =BD(0,015;12;-500;;0) Sonuçta 5.454 TL değerine ulaşabiliriz. Kiracının yıllık %18 iskonto oranı dikkate alındığında 12 ay boyunca ay sonlarında 500 TL ödemesi ile (ilk ödeme birinci ayın sonunda olmak üzere), baştan peşin 5.453,76 TL ödemesi arasında paranın zaman değeri dikkate alındığında fark yoktur. Ancak kiracı ev sahibini hesaplanan bu tutarın altında peşin ödeme yapmaya ikna ederse kiracı ödediği tutarın kıymeti açısından daha avantajlı olacaktır. 86 aittir. 43

Eşit Ödemelerin Bugünkü Değeri (Örnek) Yukarıdaki örnekte kiracı kira ödemelerini ay başlarında yaparsa bugünkü değer ne olur? Bu durumda dönem başı eşit ödemeler söz konusu olur. BDAF dönem başı = BDAF dönem sonu (1 + i) BDAF dönem başı = 10,90751 * (1 + 0,015) => 11,0711 BDA = 500 x 11,0711 => 5.535,55 TL olarak bulunur. Bu hesaplama fonksiyon yardımıyla yapılırsa; =BD(0,015;12;-500;;0) 87 Devamlı Eşit Ödemeler (Perpetuity) Eşit ödemelerin bir çeşidi daha vardır ki buna da devamlı eşit ödemeler (perpetuity) ismi verilir. Yukarıda incelenen eşit ödemelerde belirli bir süre boyunca (örneğin üç yıl) belirli dönemlerde (örneğin üç ayda bir) ödeme yapılmaktadır. Devamlı eşit ödemelerde ise süre sınırı yoktur. 88 aittir. 44

Eşit Ödemelerde Dönemsel Faiz Oranı Tüketici ve ipotekli konut kredilerinde yatırımcıyı en fazla ilgilendiren eşit ödeme parametresi dönemsel faiz oranıdır. Finansal kurumlar krediyi verirken eşit ödemelere ilişkin diğer parametreler olan bd, gd, n ve devresel ödeme değerlerini açıklıkla ifade ederken, bu parametrenin net gerçek değerini çoğunlukla yatırımcıya ifade etmemektedir. Uygulamada finansal kurumlar eşit ödeme için uyguladığı faizi, BSMV ve diğer komisyonları eklemeden bildirmektedir. Halbuki yatırımcı açısından net kredi maliyeti önemlidir. Bu bakımdan da eşit ödemelerde dönemsel faiz oranının hesaplanması yatırımcının aldanmaması açısından büyük önem arz etmektedir. 89 Eşit Ödemelerde Dönemsel Faiz Oranı Eşit ödemelerde daha önce açıklanan üç parametre (bd, gd ve devresel ödeme) için genel bir formülden doğrudan doğruya yararlanmak mümkün iken bu parametre için böyle bir imkân söz konusu değildir. Bu yüzden ya GDAF ya da BDAF tablolarından; ya da Excel deki Faiz Oranı fonksiyonundan yararlanılması gerekmektedir. Bu hususu aşağıdaki örnekler yardımıyla açıklamaya çalışalım: 90 aittir. 45

Eşit Ödemelerde Dönemsel Faiz Oranı Bay B, X Finans kurumundan 20.000 TL tutarında kredi almıştır. 36 ay vade ile ay sonlarında 800 TL ödemek kaydıyla kredinin kapatılması talep edilmektedir. Bu koşullar altında kullanılan kredinin tüketiciye olan aylık maliyeti nedir? BDA = DT * BDAF olduğundan, önce 20.000 TL / 800 TL = 25 BDAF(i =?, n=36) 25 => i %2 FAİZ_ORANI(dönem_sayısı;devresel_ödeme;bd;gd;tür;tahmin) =FAİZ_ORANI(36;-800;20000;;0;) fonksiyonundan %2,12 91 Eşit Ödemelerde Dönemsel Faiz Oranı X Finans Kurumu Bay B ye 12.000 TL tüketici kredisi vermektedir. X Finans Kurumunun beyan ettiği faiz oranı yıllık %20 dir. X Finans Kurumu Bay B ye yardımcı olmak (!) amacıyla, Bay B nin isterse kredi borcu ödemesini birinci yılın sonunda toptan yapması yerine her ayın sonunda da yapabileceğini ifade etmiştir. Bay B, X Finans Kurumuna inanarak ödemelerini yıl sonunda toptan yapmak yerine, her ayın sonunda ödemede bulunma seçeneğini tercih ederse kullanılan kredinin efektif faizi aşağıdaki gibi olur: GD= 12.000 (1+0,20)= 14.400 TL Daha sonra, devresel eşit ödeme tutarı olan 1.200 TL, 14.400 / 12 eşitliğinden elde edilir. =FAİZ_ORANI(12;-1200;12000;;0;) fonksiyonundan aylık %2,92 92 aittir. 46

Eşit Ödemelerde Dönemsel Faiz Oranı Son olarak da yıllık maliyeti bulmak için birinci bölümde anlatılan efektif faiz hesaplaması yapılarak %41,299 sonucuna ulaşılır. Efektif Faiz = (1 + 0,0292) 12-1= %41,299 olmaktadır. Görüldüğü gibi, bu rakam banka tarafından bildirilen %20 den farklıdır. Burada faizin yükselmesine neden olan paranın zaman değeridir. Banka ödemeyi yıl sonunda yaptırmak yerine daha önceye çekerek, tüketicinin daha kıymetli paralar ödemesini sağlamakta ve böylece tüketiciyi aldatmaktadır. Uygulamada faiz aldatmacası denilen bu durum çoğunlukla krediyi kullananın farkında olmadığı bir durumdur. 93 Eşit Ödemelerde Taksit Sayısı Eşit ödemelerde faiz oranı hesaplamasında olduğu gibi taksit sayısı için de genel bir formülden doğrudan doğruya yararlanmak mümkün değildir. Bu yüzden ya GDAF ya da BDAF tablolarından; ya da Excel deki Taksit Sayısı fonksiyonundan yararlanılması gerekmektedir. Bu hususu aşağıdaki örnek yardımıyla açıklamaya çalışalım: Bayan B, X Finans kurumundan 20.000 TL tutarında kredi almıştır. Aylık %2,12 faiz oranı ile dönem sonlarında 800 TL ödemek kaydıyla kredinin kapatılması talep edilmektedir. Bu koşullar altında kullanılan kredinin kapatılması için kaç eşit ödeme yapılmalıdır? Soruyu çözmek için EK-D de yer alan BDAF tablosundan yararlanmak gerekmektedir. Bunun için önce 20.000 TL / 800 TL işlemi yapılarak BDAF değeri olan 25 değeri bulunur. Daha sonra BDAF tablosundan i=0,0212 sütunundan gidilerek 25 rakamını sağlayan taksit sayısı görülmeye çalışılır. Örneğimizde bu değerin yaklaşık 36 olduğu Tablomuzdan görülmektedir. 94 aittir. 47

Eşit Ödemelerde Taksit Sayısı Daha hassas çözüm için taksit sayısı fonksiyonundan yararlanılması gerekmektedir. TAKSİT_SAYISI(oran;devresel_ödeme;bd;gd;tür) Fonksiyonda bize yabancı olan tek parametre tahmin parametresidir ki çoğunlukla buraya bir değer girilmesine gerek yoktur. =TAKSİT_SAYISI(0,0212;-800;20000;;0) = 36 95 Borç İtfası Bankadan alınan pek çok kredi (uzun vadeli yatırım kredisi, konut kredisi ve tüketici kredileri gibi), aylık, üç aylık ya da yıllık taksitler halinde geri ödenir. Bu dönemsel ödemelerin her biri borç bakiyesi (ödenmemiş anapara miktarı) üzerinden hesaplanan faiz ile anapara ödemesinden oluşmaktadır. Bu ifadeyi biraz daha sadeleştirirsek, her taksit ödemesi iki unsurun toplamından oluşmaktadır. Bunlardan birincisi faiz ödemesi, diğer ise anapara ödemesidir. Dönemlik ödemeler değişik şekillerde yapılabilmektedir: 96 aittir. 48

Eşit Ödemelerle (Eşit Taksitlerle) Bir Borcun İtfası Bu tür borç itfası daha önceki bölümlerde incelenen eşit ödemeler (annuite) kavramı ile ilgilidir. Krediyi kullanan kişi veya kurum kredi vadesi boyunca bankaya eşit taksit ödemeleri yapmaktadır. Taksit ödemelerinin dönem başında veya dönem sonunda yapılması durumuna göre taksit tutarı dönem sonu eşit ödemeler veya dönem başı eşit ödemeler fonksiyonlarından yararlanılarak hesaplanabilir. Uygulamada daha çok taksitler dönem sonlarında ödendiğinden dönem sonu eşit ödemeler kavramı kullanılmaktadır. 97 Dönem Sonu Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası Bir tüketici bankadan iki yıl vadeli yıllık % 20 faiz oranından 50.000 TL kredi almıştır. Taksit ödemeleri aylık olarak yapılacak ve tüketici borcunu 24 eşit taksitte ödeyecektir. İlk taksit ödemesi bir ay sonra, son taksit ödemesi ise vade bitiminde yapılacaktır. Bu durumda aylık taksit ödemelerinin tutarı nedir? Dönemlik (aylık) faiz oranı 20 / 1200 = 0,0167 dir. 1 1 (1 0,0167) BDAF(0,0167;24) 0,0167 olarak bulunur 24 19,648 98 aittir. 49

Dönem Sonu Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) Bugünkü Değer = Dönemlik Taksit (DT) * BDFA(0,0167;24) ifadesinden, 50.000TL DT 2. 545TL 19,648 Krediyi alan tüketici bankaya her ay 2.545 TL ödeyecektir. Aylık taksit ödeme tutarı olan 2.545 TL vade boyunca sabit kalmakla beraber, her dönem için ödenen anapara ile faiz miktarı değişmektedir. Bu husus ise aşağıdaki itfa tablosunda daha net olarak görülmektedir: 99 Dönem Sonu Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) Dönem (Ay) Taksit Faiz Ödemesi Anapara Ödemesi Anapara Bakiyesi (Kalan) 1 2.545 835 1.710 48.290 2 2.545 806 1.739 46.551 3 2.545 777 1.768 44.784 4 2.545 748 1.797 42.987 5 2.545 718 1.827 41.160 6 2.545 687 1.858 39.302 7 2.545 656 1.889 37.413 8 2.545 625 1.920 35.493 9 2.545 593 1.952 33.541 10 2.545 560 1.985 31.556 11 2.545 527 2.018 29.538 12 2.545 493 2.052 27.486 100 aittir. 50

Dönem Sonu Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) 13 2.545 459 2.086 25.400 14 2.545 424 2.121 23.279 15 2.545 389 2.156 21.123 16 2.545 353 2.192 18.931 17 2.545 316 2.229 16.702 18 2.545 279 2.266 14.436 19 2.545 241 2.304 12.132 20 2.545 203 2.342 9.790 21 2.545 163 2.382 7.408 22 2.545 124 2.421 4.987 23 2.545 83 2.462 2.525 24 2.545 42 2.503 22 101 Dönem Sonu Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) 3.000 Aylık Ödeme İçindeki Anapara ve Faiz Tutarları 2.500 2.000 TL 1.500 1.000 Anapara Ödemesi Faiz Ödemesi 500 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Dönem 102 aittir. 51

Dönem Başı Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası Yukarıdaki örnekte taksit ödemeleri kredinin alınmasından bir ay sonra (bir dönem sonra) başlamakta ve her dönemin sonunda yapılmaktaydı. Dönem başı eşit ödemelerde ise, ilk taksit ödemesi hemen kredi alındığında yapılır. Bu tür kredilerde, krediyi veren finansal kurum ilk taksit ödemesini düşerek kalan kısmı kredi kullanana öder. Bu tür ödemeler yaygın olmayıp çok nadir olarak uygulanmaktadır. Uygulamada verilen kredilerin hemen hemen tamamı dönem sonlarında ödemeyi öngörmektedir. 103 Dönem Başı Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) Yukarıdaki örnekte, 50.000 TL kredi alan tüketici, taksitleri dönem başlarında ödeyecek olursa, aylık taksit tutarı ve itfa tablosu aşağıdaki şekilde olur: Önce aylık taksit tutarını dönem başı eşit ödemeler bugünkü değer faktörünü kullanarak hesaplayalım. BDAF dönem başı = BDAF dönem sonu (1 + i) BDAF dönem başı = 19,648(1+0,0167) = 19,976 104 aittir. 52

Dönem Başı Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) 50.000TL DT 2. 503TL 19,976 olarak bulunur. Bu kredide, ilk taksit ödemesi (2.503 TL) kredi alındığında hemen ödenmekte, kredi kullananın eline 47.497 TL geçmektedir. 105 Dönem Başı Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) Dönem (Ay) Taksit Faiz Ödemesi Anapara Ödemesi Anapara Bakiyesi (Kalan) 1 2.503 0 2.503 47.497 2 2.503 793 1.710 45.787 3 2.503 765 1.738 44.049 4 2.503 736 1.767 42.281 5 2.503 706 1.797 40.485 6 2.503 676 1.827 38.658 7 2.503 646 1.857 36.800 8 2.503 615 1.888 34.912 9 2.503 583 1.920 32.992 10 2.503 551 1.952 31.040 11 2.503 518 1.985 29.055 12 2.503 485 2.018 27.037 106 aittir. 53

Dönem Başı Eşit Ödemelerle Bir Borcun İtfası (Devam) 13 2.503 452 2.051 24.986 14 2.503 417 2.086 22.900 15 2.503 382 2.121 20.780 16 2.503 347 2.156 18.624 17 2.503 311 2.192 16.432 18 2.503 274 2.229 14.203 19 2.503 237 2.266 11.937 20 2.503 199 2.304 9.634 21 2.503 161 2.342 7.291 22 2.503 122 2.381 4.910 23 2.503 82 2.421 2.489 24 2.503 42 2.461 28 (Son dönemdeki 28 TL bakiye küsuratların yuvarlanmasından kaynaklanmıştır.) 107 Eşit Anapara Taksitleriyle Bir Borcun İtfası Bu tür kredi geri ödemelerinde anapara eşit taksitlere bölünmektedir. Faiz ise, anapara bakiyesi üzerinden hesaplanmakta ve ayrıca ödenmektedir. Dolayısıyla, bu ödeme planında anapara geri ödemeleri dönemler itibariyle sabit kalmaktadır. Anapara ödemesi daha hızlı olduğundan faiz yükü de az olmaktadır. Bu ödeme türünde anapara geri ödemesi borç tutarı dönem sayısına bölünerek bulunur. Faiz de dönem başındaki kredi kalanına yürütülerek hesaplanır. 50.000 / 24 = 2.083 TL sabit anapara ödemesidir (Küsurat dikkate alınmamıştır.). Bu krediyi kullanan tüketici her ay sabit 2.083 TL anapara ödemesi yapacaktır. 108 aittir. 54

Eşit Anapara Taksitleriyle Bir Borcun İtfası (Devam) Dönem (Ay) Ödenecek Tutar Faiz Ödemesi Anapara Ödemesi Anapara Bakiyesi (Kalan) 1 2.918 835 2.083 47.917 2 2.883 800 2.083 45.834 3 2.848 765 2.083 43.751 4 2.814 731 2.083 41.668 5 2.779 696 2.083 39.585 6 2.744 661 2.083 37.502 7 2.709 626 2.083 35.419 8 2.674 591 2.083 33.336 9 2.640 557 2.083 31.253 10 2.605 522 2.083 29.170 11 2.570 487 2.083 27.087 12 2.535 452 2.083 25.004 109 Eşit Anapara Taksitleriyle Bir Borcun İtfası (Devam) 13 2.501 418 2.083 22.921 14 2.466 383 2.083 20.838 15 2.431 348 2.083 18.755 16 2.396 313 2.083 16.672 17 2.361 278 2.083 14.589 18 2.327 244 2.083 12.506 19 2.292 209 2.083 10.423 20 2.257 174 2.083 8.340 21 2.222 139 2.083 6.257 22 2.187 104 2.083 4.174 23 2.153 70 2.083 2.091 24 2.118 35 2.083 8 (Son dönemdeki 8 TL bakiye küsuratların yuvarlanmasından kaynaklanmıştır.) 110 aittir. 55

Eşit Anapara Taksitleriyle Bir Borcun İtfası (Devam) Sabit Anapara Geri Ödemeli Borcun İtfası TL 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Dönem Faiz Ödemesi Anapara Ödemesi 111 Taksitlerin Belli Bir Dönem Sonra Başladığı Borç İtfaları Bir işletme bankadan iki yılı geri ödemesiz yedi yıl vadeli, yıllık % 20 faiz ile 20 Milyon TL yatırım kredisi almıştır. Ödemeler altı ayda bir eşit taksitlerle yapılacaktır. Bu kredinin itfa tablosunu hazırlayalım. Öncelikle her altı ayda bir ödenecek taksit tutarı hesaplanacaktır. Dönemlik faiz oranı 20 /200 = 0,10 dur. Ödemeler dönem sonlarında yapılmaktadır. Dönem sonu eşit ödemelerin bugünkü değer faktörü aşağıdaki şekilde bulunur: 112 aittir. 56

Taksitlerin Belli Bir Dönem Sonra Başladığı Borç İtfaları (Devam) BDAF 1 1 (1 0,10) (0,10;10) 0,10 10 6,144567 Dikkat edilirse burada, kredinin vadesi 7 yıl olmasına rağmen dönem sayısı 10 olarak alınmıştır. Bunun nedeni ilk iki yılın ödemesiz olmasıdır. 20.000.000 = DT*6,144567 DT = 20.000.000 / 6,144567 = 3.254.908 TL 113 Taksitlerin Belli Bir Dönem Sonra Başladığı Borç İtfaları (Devam) Dönem (Ay) Ödenecek Tutar Faiz Ödemesi Anapara Ödemesi Anapara Bakiyesi (Kalan) 1 2.000.000 2.000.000 0 20.000.000 2 2.000.000 2.000.000 0 20.000.000 3 2.000.000 2.000.000 0 20.000.000 4 2.000.000 2.000.000 0 20.000.000 5 3.254.908 2.000.000 1.254.908 18.745.092 6 3.254.908 1.874.509 1.380.399 17.364.693 7 3.254.908 1.736.469 1.518.439 15.846.255 8 3.254.908 1.584.625 1.670.283 14.175.972 9 3.254.908 1.417.597 1.837.311 12.338.661 10 3.254.908 1.233.866 2.021.042 10.317.619 11 3.254.908 1.031.762 2.223.146 8.094.473 12 3.254.908 809.447 2.445.461 5.649.013 13 3.254.908 564.901 2.690.007 2.959.006 14 3.254.908 295.901 2.959.007-2 114 aittir. 57

Taksitlerin Belli Bir Dönem Sonra Başladığı Borç İtfaları (Devam) Belli Bir Süre Sonra Başlayan Sabit Taksitli Borcun İtfası TL 4.000.000 3.000.000 2.000.000 1.000.000 0 1 3 5 7 9 11 13 Dönem Anapara Ödemesi Faiz Ödemesi 115 Balon Ödeme Faiz oranlarının istikrarlı olmadığı dönemlerde bankalar ve finans kurumları uzun vadeli kredi verme konusunda isteksiz davranırlar. Bu durumda uygulanan yöntemlerden birisi balon ödemedir. Balon ödeme özellikle ABD de ipotekli konut kredilerinde (mortgage) oldukça yaygındır. ABD de ipotekli konut kredilerinin geleneksel vadesi 30 yıldır. Ancak balon ödemeli kredi kullanan bir kişi borcunu 5 veya 7 yılda kapatabilir. Örneğin krediyi kullanan kişi yedi yıl boyunca 30 yıl üzerinden hesaplanan taksitleri ödemekte 7 nci yılın sonunda ise kalan borcunu tek bir balon ödeme ile kapatmaktadır. Burada finansal kurum vadesinden önce krediyi tahsil etmektedir. 116 aittir. 58

Balon Ödeme (Devam) Bir şahıs bankadan % 15 yıllık faizle, ayda bir taksit ödemeli, 10 yıl vadeli, 250.000 TL tutarında konut kredisi almıştır. 10 yıl vadeli kredi 4 ncü yılın sonunda balon ödeme ile itfa edilecektir. Buna göre balon ödeme tutarını bulalım. 117 Balon Ödeme (Devam) Borcun gelecek değeri Paranın Zaman Değeri bölümünde de ifade edilen GD = BD(1+i) n eşitliği kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır: GD = 250.000(1+0,0125) 48 = 453.838,71 TL. 118 aittir. 59