aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu durumda bir mümkün başlangıç çözümü bulunamaz. u durumda düzeltme işlemi yapay (artificial) değişkenler yardımıyla yapılır. Yapay değişkenlerin hiçbir fiziki yorumu yoktur. unlar, sadece bir başlangıç mümkün temel çözümü elde etmek amacıyla kullanılırlar. Yapay değişkenlerin eklenmesiyle gövdenin yanında ulaşmak istediğimiz birim matrise ulaşırız. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n b i (1 denklemi) a l1 x 1 + a l2 x 2 + + a ln x n = b l (2 denklemi) Kısıtlarının genel halde verildiğini varsayalım. u kısıtların simpleks yöntemde kullanılabilecek forma sokulması için (1) den x n+i değişkeni çıkarılarak eşitsizlik, eşitlik haline dönüştürülür. (2) de ise zaten eşitlik halindedir. Her iki kısıt için de eşitlik durumu gerçekleşmiş olsa da bu ifadelerden bir başlangıç mümkün temel çözümü ve gövdede oluşturmak istediğimiz birim matris oluşmaz. İşte bu noktada yapay değişkenler gerekli olup (1) ve (2) ifadeleri: a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n x n+i + x n+m+k = b i (3 denklemi) a l1 x 1 + a l2 x 2 + + a ln x n + x n+m+k = b l (4 denklemi) Şekline girecek ve böylece hem bir başlangıç mümkün çözümü, hem de bir birim matris oluşacaktır. u tür problemleri çözmek için iki metot kullanılır. 1. İki Safha Metodu 2. M Metodu (ig M Metodu) 1. İki Safha Metodu İki safhalı simpleks çözüm yöntemini uygulayabilmek için: 1. Orijinal kısıtlayıcı şartlar, gevşek değişkenler eklenip çıkartılarak standart şekle dönüştürülür. 2. Gereken eşitliklere yapay değişkenler eklenerek A matrisi, birim matris olan I(m) i içeren bir A* matrisi haline dönüştürülür. 3. öylece ilk program şu şekle dönüştürülür. Yapay değişkenleri x y ile göstermek üzere A* A ( x y ) =P 0 x x 0. x y 0 Maks(Min)Z = C. X programı başlangıç programı kabul edilerek simpleks yöntem uygulanır. 1.safha İlk amaç fonksiyonu yerine uygunsuzluk formu adı verilen W = x y alınmak suretiyle A ( x y ) =P 0 x x 0. x y 0
yardımcı programı oluşturulur. W uygunsuzluk formu, problemin bir minimiazsyon veya maksimizasyon problemine bağlı olmaksızın her zaman minimum yapılır. Simpleks problem yardımcı probleme uygulanır. Çoğunlukla bu safhada yardımcı probleme Maks(Min)Z = C. X ilk amaç fonksiyonu da eklenerek işlem yapılır. İşlemler aşağıdaki üç durumdan biri ortaya çıkıncaya kadar devam eder. Durum a. W = 0 dır. Temel çözümde yapay değişken yoktur. Elde edilen program ilk temel programıdır. 2. Safhanın a durumuna geçilir. Durum b. W = 0 dır. Fakat temel programda sıfır değerinde en az bir yapay değişken vardır. Elde edilen program ilk problemin programıdır. 2. Safhanın b durumuna geçilir. Durum c. (W j ) 0 olmasına rağmen W > 0 dır. u durumda problemin çözümü yoktur. 2.safha İlk amaç fonksiyonu göz önüne alınır. Yani; Maks(Min)Z = C. X Durum a. Optimum elde edilinceye kadar simpleks çözüm yöntemi 1.safhanın sonunda elde edilen bütün tabloya uygulanır. Durum b. Simpleks algoritması, kısıtlanmış probleme uygulanır. Yani 1.safhanın sonunda uygunsuzluk formu olan W ye karşılık gelen sıfırdan küçük W j C j lere ait y j vektörlerinden hiçbiri bir sonraki iterasyon için göz önüne alınmaz. Optimum elde edilinceye kadar iterasyonlara devam edilir. Örnek: Aşağıda verilen DP modelini iki safhalı metot ile çözünüz. Z = Max f(x) = 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 4x 4 5 2x 1 + 6x 2 + x 3 + 5x 4 6 x 1 + x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4 0 * W j W j
* W j W j * W j W j
2. M Metodu aşlangıç temel programının bilinmemesi durumunda iki safhalı simpleks çözüm yönteminin dışında uygulanan diğer bir yöntem de M yöntemidir. Simpleks yöntemin uygulanışında elde edilecek mümkün temel çözümlerde yapay değişkenler bulunabilecektir. Ancak son simpleks tabloda hiçbir yapay değişkenin bulunmaması gerekir. unun için M çok büyük bir sayıyı temsil etmek üzere minimizasyon problemlerinde yapay değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayıları M, maksimizasyon problemlerinde ise -M olarak alınır. öylece minimizasyon için toplam maliyet çok artacağı ve maksimimazsyon için toplam kar çok azalacağı için bu yöntem son tabloda hiçbir yapay değişken kalmayacağını garanti eder. Örnek: Aşağıda verilen DP modelini M metodu ile çözünüz. Z = Max f(x) = 2x 1 + 2x 2 2x 1 + 3x 2 6 4x 1 + 3x 2 8 x 1, x 2 0
Soru: Aşağıda verilen DP modelini iki safhalı metot ile çözünüz. Z = Min f(x) = 2x 1 + x 2 3x 1 + x 2 3 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Soru: Aşağıda verilen DP modelini M metodu ile çözünüz. Z = Min f(x) = 4x 1 + x 2 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 4 x 1, x 2 0