Sistem Dinamiği. Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Sistem Dinamiği Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi Doç.

Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası Şekil No Tablo numarası Dikkat Doç. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 1 2

Bölüm 3 içeriği: Yerdeğiştirme (öteleme-translational) içeren hareketler Sabit bir eksen etrafında dönme Eşit kütle ve atalet Genel düzlemsel hareket Ek örnekler Bölüm gözden geçirme YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 3

Giriş: Bir cismin hareketinin modellenmesinde burulma(twisting) ve bükülme (bending) ihmal edilip rijit cisim gibi kabul edilerek çözüm yapılır. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 4

3.1. Yerdeğiştirme (öteleme) içeren hareket(translational motion) Doç. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 5

Newton yasaları: 1. Bir cisim, üzerine sıfır bileşke kuvvet etkidiğinde durgun halde kalır veya sabit hıza sahipse sabit hızla hareketine devam eder. 2. Bir cisme etki eden net kuvvetin meydana getirdiği ivmeye oranı sabittir. 3. Eğer bir A cismi B cismine bir kuvveti uygularsa, B cismi de A cismine nin büyüklüğüne eşit fakat zıt yönlü bir kuvvet uygular. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 6

Newton Kuralı: Newton un ikinci kuralı: (3.1.1) Eğer kütle tek bir doğrultuda hareket ediyorsa: (3.1.2) (3.1.3) Şekil 3.1.1 Eğer Newton Kuralı skalar formda yazılırsa: (3.1.4) YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 7

Yaklaşım: Cismin rijit olduğu ve kuvvetin nesnedeki dağılımının ihmal edildiği, cismin bir merkezde toplanarak bir nokta kütle olduğu kabul edilir ise daha kolay biçimde modelleme gerçekleştirilir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 8

3.1.1. Mekanik Enerji Her iki tarafı vdt ile çarpalım ve v=dx/dt yi kullanalım (3.1.4) Kinetik Enerji(KE) YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 9

3.1.1. Mekanik Enerji Eğer iş yalnızca kuvvet tarafından yapılıyor, yoldan bağımsız ve sadece son noktaya bağlı ise, kuvvet f(x), V(x) gibi bir fonksiyondan elde edilebilir. 3.1.5 İntegral Konservatif kuvvet Potansiyel Enerji(PE) fonksiyonu yada denklem 3.1.4 ten 3.1.6 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 10

3.1.1. Mekanik Enerji Denk. 3.1.6. nın yorumu? Konservatif kuvvetten başka kuvvet yok ise KE ve PE toplamı sabittir. (Konservatif kuvvetten başka kuvvet uygulanmadı ise) Eğer başlangıç hızı ve yerdeğiştirmesi var ise: Denklem 3.1.6 yı da kullanarak 3.1.7 3.1.8 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 11

3.1.1. Mekanik Enerji Bazı problemler için denk 3.1.9 kullanışlıdır. 3.1.9 Yerçekimi kuvveti örneği: Dikey yerdeğiştirme için 3.1.10 3.1.11 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 12

Örnek 3.1.1. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 13

Çözüm 3.1.1 + YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 14

3.1.2. Sabit kuvvet durumu: Nokta kütle modeli, ma=f denklemi, denk. 3.1.9, hızı yerdeğiştirmenin bir fonksiyonu olarak bulmak için kullanılabilir. Eğer f sabit ise 3.1.12 final enerji başlangıç enerjisi iş yapan kuvvet Mekanik enerjinin korunumu YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 15

3.1.3. Saf(dry) Sürtünme Kuvveti Her sabit kuvvet korunumlu değildir. Saf sürtünme kuvveti, korunumlu olmayan kuvvet örneğidir. Kuvvet tarafından yapılan iş, alınan yola bağlıdır. Saf sürtünme kuvveti yüzey sürtünmesinin bir fonksiyonudur. :sürtünme katsayısı N: sürtünme yüzey normaline etkiyen kuvvet YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 16

3.1.3. Saf(dry) Sürtünme Kuvveti: Statik sürtünme: Hareket başlamadan önceki sürtünme Coloumb sürtünmesi (dinamik sürt., sliding fric., kinetic fric.): Hareket başladıktan sonraki sürtünme Potansiyel enerji fonksiyonundan Columb sürtünmesi bulunamaz. Çünkü enerjinin korunumu yasası uygulanamaz. Coloumb sürtünmesi deneysel olarak bulunabilir çünkü sürtünme kuvveti sıcaklık olarak enerjiyi tüketir ve kinetik ve potansiyel enerji içeren mekanik enerji korunmaz. Toplam enerji tabiki korunur. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 17

Çözüm 3.1.2. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 19

3.2. Sabit bir eksen etrafında dönme Doç. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 21

Newton un ikinci kuralından 3.2.1 atalet açısal hız moment Şekil 3.2.1 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 22

3.2.1. Ataletin hesaplanması Belirli bir referans eksene göre atalet (I) Denk. 3.2.2 ile verilir: 3.2.2 r : dm kütlesinin referans eksenden uzaklığı Eğer homojen rijit cismin dönme ekseni cismin simetri ekseni ile denk gelmez ise ancak d kadar bir uzaklığa paralel ise atalet paralel eksen teoremi ile verilir. 3.2.3 Şekil 3.2.2 Is: Simetri eksenine göre atalet YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 23

Tablo 3.2.1 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 24

Çözüm 3.2.1: YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 26

Örnek 3.2.2 a)hareket eşitliğini bulunuz. b)tetayı küçük kabul ederek hareket eşitliğini tekrar bulunuz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 27

Çözüm 3.2.2. İş yapan kuvvet teta yönüne ters bu nedenle negatif alınması gerekir YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 28

3.2.2. Enerji ve Dönel hareket M momentinin teta dönmesi ile meydana getirdiği iş: 3.2.4 eşitliğinin her iki tarafını wdt ile çarpalım İntegral 3.2.5 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 30

3.3. Eşdeğer kütle ve atalet Doç. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 31

Eşdeğer kütle ve atalet kavramı: Yerdeğiştirme ve dönme elemanları içeren bazı sistemler saf ötelenen veya saf dönen sistem olarak modellenebilir. Bu amaçla eşdeğer kütle ve atalet yaklaşımı kullanılır. Bu model kinetik enerji eşdeğerliğinden elde edilir. Eşdeğer kütle ve eşdeğer atalet birbirini tamamlayan kavramlardır. Bir sisteme eğer harici kuvvet uygulanırsa eşdeğer kütle, harici moment uygulanır ise eşdeğer atalet ile gösterilmelidir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 32

3.3.1. Mekanik Sürücüler: Düz dişli çifti: N: Çevrim oranı N=Giriş dönme oranı(teta 1 )/çıkış(teta 2 ) dönme oranı N=w 1 /w 2 N>1 ise hız düşürücü olarak çalışır. N=n 2 /n 1, n:dişli oranı Sürtünme ve dişli ataletleri ihmal edilir ise: Şekil 3.3.1 Girişte yapılan iş=çıkışta yapılan iş T 1 x teta 1 = T 2 x teta 2 T 2= T 1 x (teta 1 /teta 2 )=NT 1 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 33

Örnek 3.3.1: Girişte meydana gelen ataleti bulunuz YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 34

Çözüm 3.3.1: Bu sonucun manası sistem dinamiklerinin modeli ile tanımlanabileceğidir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 35

Örnek 3.3.2.: Şekildeki dişli sisteminde, motor ataleti I1=0.1 kgm 2, yük şaftı için atalet I2=0.4 kgm 2 dir. Motor hızı w1 yük hızı w2 den 5 kat büyüktür. bu nedenle cihaz hız düşürücü olarak adlandırılır (speed reducer) a)w1 açısından hareket denklemini b)w2 açısından hareket denklemini T1 ve T2 nin bilindiğini kabul ederek bulunuz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 36

Örnek 3.3.3. I 1 =0.005 kgm 2, I 2 =0.001 kgm 2, I 3 =0.02, I 4 =0.2 dir. w1/w2=3/2, w2/w3=2 dir. w 3 açısından hareket denklemini T nin bilindiğini kabul ederek bulunuz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 39

Örnek 3.3.4. Giriş şaftında ortaya çıkan eşdeğer atalet denklemini yazınız. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 42

Örnek 3.3.5. Giriş şaftında ortaya çıkan eşdeğer atalet denklemini yazınız. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 44

Örnek 3.3.6. (İnceleyiniz) YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 46

YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 47

3.3.2. Dönme ve kayma Şekil 3.3.6. daki sistemde üç farklı hareket mümkündür: Saf dönme: v=r.w Saf kayma: w=0, v=r.w Şekil 3.3.6. Kayma ve dönme : w=0, v=r.w YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 48

Eğer tanjantial kuvvet (f t )statik sürtünme kuvvetinden ( ) küçük ise tekerlek kayma olmasızın dönecektir. Burada N yüzey normalinin tekerlek normaline uyguladığı kuvvettir. Bu şartlar altında, tanjantial kuvvet iş yapmaz. çünkü alınan yol boyunca aktif değildir. Eğer statik sürtünme kuvveti ft den küçük ise tekerlek kayacaktır. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 49

3.4. Genel düzlemsel hareket Doç. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 50

Giriş: Bölüm 3.1. sadece yerdeğiştirme, Bölüm 3.2. de sadece dönme ki bu eksende ivmelenmesi olmama durumunda, Bölüm 3.3 te ise enerji modeli üzerinden saf dönme veya saf yerdeğiştirme durumunu inceledik. Bu bölümde ise bir cismin belirli bir eksende hem dönmesi hem de yer değiştirmesi olması durumunda hareket denklemlerini inceleyeceğiz. Hareketin bir düzlemde yapıldığına odaklanacağız. Bunun manası hareket iki düzlemde yer değiştirmekte ve bunlara dik olan bir eksende dönme yapmaktadır. Bu konunun bir sonraki aşaması 3 eksende de dönme ve yer değiştirme olması durumudur ki bununla ilgili mekatronik mühendisliği açısından en bariz uygulamalar robotların hareketlerinin analizinde karşımıza çıkmaktadır. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 51

3.4.1. Kuvvet eşitlikleri: 3.4.1. 3.4.2. Şekil 3.4.1. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 52

3.4.2. Moment eşitlikleri: O noktasından geçen bir eksen etrafında dönme olduğunu kabul edelim. Bu şartlar altında moment eşitliği 3.4.3. O noktasından geçen eksen eksen etrafındaki atalet O noktasından geçen eksen eksen etrafındaki dönmenin açısal ivmesi O noktası etrafında cisme etkiyen toplam moment Aşağıdaki eşitlik dönme ekseni önemsenmeden moment denklemini vermektedir. 3.4.4. Kütle merkezi G den geçen ve yüzeye dik olan eksen etrafındaki toplam moment MG ye cisme etkiyen net kuvvetler (f1, f2, f3..) neden olur YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 53

Moment eşitlikleri: G noktası nesnenin kütle merkezi olmak zorundadır. Birçok problemin çözümünde bir P noktasının ivmesi bilinir ve bu nokta ile işlem sabit bir noktaya göre veya kütle merkezine göre problem çözümünde kullanılabilir. Aşağıdaki eşitlik ivmelenmiş bir P noktasının moment eşitliğini verir. 3.4.5 3.4.6 YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 54

3.5.1. Personel taşıyıcı dinamikleri YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 58

Bölüm 3 Özeti: Newton un birinci kanunu Öteleme ve dönme hareketi Cisimler rijit ve uygulanan kuvvetler sabit Kinetik ve potansiyel enerji Atalet kavramı YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 3 59

Referans: System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education; 3 edition (March 19, 2013)