MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ 2017-2018 Bahar Dr. Nurdan Bilgin
Süper Pozisyon Prensibi Bu noktaya kadar, yönü ve büyüklüğü bilinen bir dış kuvvetin etkisi altındaki sistemde, bu dış kuvveti dengelemek üzere üretilen torku ve bu denge durumunda mafsallara gelecek yüklerle ilgilendik. Bir uzva çok sayıda kuvvet etkiyorsa bu kuvvetlerin bileşkesi alınarak çözüm yapılır. Farklı uzuvlara çok sayıda kuvvet etkiyorsa bu durumda bileşke almak mümkün değildir. Bu durum için iki yöntem üzerinde duracağız. 1. Yöntem: her bir uzuv için tek tek serbest cisim diyagramı çizilir ve denklemler yazılır. Bu durumda daha önceki örneklerde yaptığımız basitleştirmeler mümkün olmaz. 2. Yöntem: süper pozisyon prensibi, enerji girişi ve çıkışı aynı olan, sürtünme kaybı olmayan sistemlerde geçerlidir. Bu tip sistemlere konservatif sistemler denilir.
Süper Pozisyon Prensibi Süper pozisyon prensibi; bir sistemin üzerine etkiyen tüm kuvvetlere karşı tepkisi, bu sistemlerin ayrı ayrı etkisine verilen tepkinin bileşkesidir. Örneğin bir sisteme iki ayrı kuvvet etki ediyorsa ilk olarak bu kuvvetlerden birini ele alıp tüm mafsal kuvvetlerini ve giriş momentini (veya kuvvetini) belirleyebiliriz. Ardından, ikinci kuvveti tek kuvvet olarak ele alıp tekrar tüm mafsal kuvvetlerini ve giriş momentini (veya kuvvetini) belirleyebiliriz. Bu iki seferde bulduğumuz, mafsal ve giriş momentlerinin vektörel toplamı; sistemin iki kuvvetin etkisinde iken verdiği tepkiye eşittir. Şimdi, iki ayrı uzvuna kuvvet etkiyen bir dört çubuk mekanizması için önce 1. Yöntem ile ardından da süper pozisyon prensibini kullanarak çözüm yapalım.
Örnek: Süper Pozisyon Kullanmadan A 0 A (a 2 ) AB (a 3 ) B 0 B (a 4 ) A 0 B 0 (a 1 ) AC (b 3 ) BC B 0 D (b 4 ) θ 13 F 13 F 14 80 mm 100 mm 120 mm 140 mm 70 mm 80 mm 90 mm 60⁰ 50 N 50 100 N 20 Verilen uzuv boyutları ve giriş açısına göre konum analizi yapıldığında; C=a 12 +a 22 +a 42 -a 32-2*a 1 *a 2 *cos(q 12 ); A=-2*a 1 *a 4 +2*a 2 *a 4 *cos(q 12 ); B=2*a 2 *a 4 *sin(q 12 ); D=sqrt(A 2 +B 2 );f=atan2(b,a); q 14 =f-acos(c/d)=1.683 rad=96.40⁰; q 13 =atan2((a 4 *sin(q 14 )-a 2 *sin(q 12 ))/a 3,(a 1 +a 4 *cos(q 14 )-a 2 *cos(q 12 ))/a 3 ); q 13 = 0.523 rad=29.98 ⁰
Örnek: Süper Pozisyon Kullanmadan F 34x + G 14x - F 14 cos20 0 = 0 SF x =0 (1) F 34y + G 14y - F 14 sin20 0 = 0 SF y = 0 (2) -F 34x a 4 sinq 14 + F 34y a 4 cosq 14 + F 14 b 4 sin(q 14-20 * π/180) = 0 SM Bo =0 (3) Bilinmeyenler; G 14x, G 14y ve F 34x, F 34y ; Üç denklem fakat dört bilinmeyen var, şu anda çözüm yok; bir sonraki uzva hareket ediyoruz; F 23x - F 34x - F 13 cos(50 0 ) = 0 SF x =0 (4) F 23y - F 34y -F 13 sin(50 0 ) = 0 SF y =0 (5) F 34x a 3 sinq 13 - F 34y a 3 cosq 13 + F 13 b 3 sin(α +q 13-50*π/180) =0 SM A =0 (6) Yeni bilinmeyenler; F 23x, F 23y ; Toplam 6 denklem altı bilinmeyen var, çözüm yapılabilir;
6 denklemi bilinmeyenler bir tarafta; bilinenler diğer tarafta kalacak şekilde Matris formunda düzenlersek; Kx=G K=[1 0 1 0 0 0; 0 1 0 1 0 0; 0 0 a 4 *sin(q 14 ) -a 4 *cos(q 14 ) 0 0; 0 0-1 0 1 0; 0 0 0-1 0 1; 0 0 -a 3 *sin(q 13 ) a 3 *cos(q 13 ) 0 0] x=[g 14x ; G 14y ; F 34x ; F 34y ; F 23x ; F 23y ] G=[F 14 *cos(20*π/180); F 14 *sin(20* π /180); b 4 *F 14 *sin(q 14-20*pi/180); F 13 *cos(50* π /180); F 13 *sin(50* π /180); b 3 *F 13 *sin(q 13 +alfa-50* π /180)]; x=inv(k)*g; G14 kuvvetinin şiddeti 37.74 N ve yönü - 43.52 derecedir. F34 kuvvetinin şiddeti 89.77 N ve yönü 42.10 derecedir. F23 kuvvetinin şiddeti 139.46 N ve yönü 44.93 derecedir. T12 momentinin şiddeti 2901.33 N*mm ve yönü CW yönündedir.
Örnek: Süper Pozisyon Kullanarak Tekrar Çözüm
F 34_1 =-(b 4 *F 14 *sin(q 14-20*pi/180))/(a 4 *sin(q 13 -q 14 )); F 23_1 =F 34_1 ; T 12_1 =-a 2 *F 34_1 *sin(q 12 -q 13 );
F 34_2 =-(b 3 *F 13 *sin(q 13 +alfa-50*pi/180))/(a 3 *sin(q 13 -q 14 )); F 23_2x =F 13 *cos(50*pi/180)+f 34_2 *cos(q 14 ); F 23_2y =F 13 *sin(50*pi/180)+f3 4_2 *sin(q 14 ); T 12_2 =a 2 *F 23_2y *cos(q 12 )-a 2 *F 23_2x *sin(q 12 );
Örnek: Süper Pozisyon Kullanarak Tekrar Çözüm Bileşkelerin Alınması F 34x =F 34_1 *cos(q 13 )+F 34_2 *cos(q 14 ); F 34y =F 34_1 *sin(q 13 )+F 34_2 *sin(q 14 ); F 34 =sqrt(f 34x2 +F 34y2 ); T 12 =T 12_1 +T 12_2 ; F 23 =sqrt((f 23_1 *cos(q 13 )+F 23_2x ) 2 +(F 23_1 *sin(q 13 )+F 23_2y ) 2 ); Süperpozisyon Kullanılarak Çözüm. T12 momentinin şiddeti 2901.33 N*mm ve yönü CW yönündedir. F34 kuvvetinin şiddeti 89.77 N ve yönü 42.10 derecedir. F23 kuvvetinin şiddeti 139.46 N ve yönü 44.93 derecedir.
%Dört Çubuk Mekanizmasý %Girdiler %Uzuv Boyutlarý a1=140; a2=80; a3=100; a4=120; Q12=60*pi/180; %2. uzuv Giriþ Açýsý b3=70;b2=80;b4=90;%üçgen (3) Uzuv ölçüleri alfa=acos((-b2^2+a3^2+b3^2)/(2*b3*a3)); C=a1^2+a2^2+a4^2-a3^2-2*a1*a2*cos(Q12);A=-2*a1*a4+2*a2*a4*cos(Q12);B=2*a2*a4*sin(Q12); D=sqrt(A^2+B^2);f=atan2(B,A); Q14=f-acos(C/D); Q13=atan2((a4*sin(Q14)-a2*sin(Q12))/a3,(a1+a4*cos(Q14)-a2*cos(Q12))/a3); fprintf('q13=%5.2f\n',q13*180/pi); fprintf('q14=%5.2f\n',q14*180/pi); F14=100;A14=20;F13=50;A13=50; K=[1 0 1 0 0 0;0 1 0 1 0 0;0 0 a4*sin(q14) -a4*cos(q14) 0 0; 0 0-1 0 1 0;0 0 0-1 0 1;0 0 -a3*sin(q13) a3*cos(q13) 0 0]; G=[F14*cos(A14*pi/180);F14*sin(A14*pi/180);b4*F14*sin(Q14-A14*pi/180);F13*cos(A13*pi/180);F13*sin(A13*pi/180);b3*F13*sin(Q13+alfa-A13*pi/180)]; Sol=inv(K)*G; AciG14=atan2(Sol(2),Sol(1));AciF34=atan2(Sol(4),Sol(3));AciF23=atan2(Sol(6),Sol(5)); R=[a2*cos(Q12); a2*sin(q12); 0];F=-[Sol(5);Sol(6) ;0]; T12=cross(-R,F); T12=T12(3); if sign(t12)==1 Y='CCW'; else Y='CW'; end fprintf('g14 kuvvetinin þiddeti %5.2f N ve yönü %5.2f derecedir.\n',sqrt(sol(2)^2+sol(1)^2),acig14*180/pi); fprintf('f34 kuvvetinin þiddeti %5.2f N ve yönü %5.2f derecedir.\n',sqrt(sol(3)^2+sol(4)^2),acif34*180/pi); fprintf('f23 kuvvetinin þiddeti %5.2f N ve yönü %5.2f derecedir.\n',sqrt(sol(5)^2+sol(6)^2),acif23*180/pi); fprintf('t12 momentinin þiddeti %5.2f N*mm ve yönü %s yönündedir.\n',abs(t12),y); F34_1=-(b4*F14*sin(Q14-A14*pi/180))/(a4*sin(Q13-Q14)); F23_1=F34_1; T12_1=-a2*F34_1*sin(Q12-Q13); F34_2=-(b3*F13*sin(Q13+alfa-A13*pi/180))/(a3*sin(Q13-Q14)); F23_2x=F13*cos(A13*pi/180)+F34_2*cos(Q14); F23_2y=F13*sin(A13*pi/180)+F34_2*sin(Q14); F34x=F34_1*cos(Q13)+F34_2*cos(Q14); F34y=F34_1*sin(Q13)+F34_2*sin(Q14); F34=sqrt(F34x^2+F34y^2); T12_2=a2*F23_2y*cos(Q12)-a2*F23_2x*sin(Q12); T12=T12_1+T12_2; if sign(t12)==1 Y='CCW'; else Y='CW'; end F23=sqrt((F23_1*cos(Q13)+F23_2x)^2+(F23_1*sin(Q13)+F23_2y)^2); fprintf('süperpozisyon Kullanýlarak Çözüm.\n'); fprintf('t12 momentinin þiddeti %g N*mm ve yönü %s yönündedir.\n',abs(t12),y); fprintf('f34 kuvvetinin þiddeti %5.2f N ve yönü %5.2f derecedir.\n',f34,atan2(f34y,f34x)*180/pi); fprintf('f23 kuvvetinin þiddeti %5.2f N ve yönü %5.2f derecedir.\n',f23,atan2((f23_1*sin(q13)+f23_2y),(f23_1*cos(q13)+f23_2x))*180/pi);
Direnç Kuvvetleri Olduğunda Mekanik Sistemeler Önceki bölümlerde sadece fiziksel kuvvetler ve bu nedenle eklemlerde oluşan reaksiyon kuvvetleri üzerinde duruldu. Şimdi direnç kuvvetlerini (resisting forces) çalışacağız. Rijidite varsayımı hala geçerli olduğu için, mekanizmalardaki direnç kuvvetlerinin sadece eklemde var olduğu varsayılmaktadır. Bir mafsalda oluşan direnç kuvvetlerinin yönü, mafsalın bağıl hareket yönüne göre belirlenir (direnç kuvvetleri daima hareketle ters yöndedir). Bu nedenle direnç kuvvetleri ile kuvvet analizinde, mekanizma içindeki tüm mafsalların hareket yönü bilinmelidir. Makinelerde farklı direniş kuvvetleri vardır. Var olduğu kabul edilen aşağıdaki üç farklı direnme kuvvetini ele alacağız. Statik Sürtünme Kuvveti Kayma Sürtünme Kuvveti Vizkos Sürtünme Kuvveti
Statik Sürtünme Kuvveti Statik Sürtünme Kuvveti, bir cismi diğerine göre hareket ettirmeye çalışırken, ilk hareket anı için gereken kuvvettir. Bu kuvvet temas yüzeyi boyunca olup temas yüzeylerine aşağıdaki denklem ile etki eden normal kuvvet (F32) ile ilgilidir: R 32 = -mf 32 m statik sürtünme katsayısı olarak bilinir. Negatif işaret sadece R 32 'nin harekete karşı yönde olduğunu belirtmek için kullanılır. Hareket başlamadan önce statik sürtünme kuvvetinin bulunduğunu unutmayın. Yüzeye paralel hareket eden herhangi bir kuvvet unsuru yoksa sürtünme kuvveti mevcut olmayacaktır. S
Kayma Sürtünme Kuvveti Bir cismi diğerine göre ivmelendirmeden hareket ettirmek için gereken kuvvettir. Bu kuvvette statik sürtünme kuvveti gibi R 32 = -mf 32 formülüyle hesaplanır. Ancak burada m dinamik sürtünme katsayısı olarak bilinir.
Vizkos Sürtünme Kuvveti Vizkos Sürtünme Kuvveti: Direnç kuvvetinin temas eden yüzeyler arasında oluşan bağıl hıza orantılı olduğu durumdur. Bu kuvvet R 32 = -c 2/3 Burada c viskoz sürtünme katsayısı ve 2/3 cisimler arasındaki bağıl hızdır. Not1:Statik sürtünme ile dinamik sürtünme katsayıları arasındaki küçük olduğundan hesaplamalarda basitleştirme açısından tek bir sürtünme katsayısını baz alıp tek bir kuvveti hesaplayacağız. Not2: Kayar mafsallarda, direnç kuvveti hesaba katılırsa, temas halindeki iki bağlantı arasındaki reaksiyon kuvveti kayma eksenine dik olmayacaktır. Ortaya çıkan reaksiyon kuvveti gösterildiği gibi eğimlidir. f açısı sürtünme açısı olarak bilinmektedir. φ
Döner Mafsallarda Sürtünme Döner mafsallarda, sürtünme olmadığında mafsal kuvveti mafsalın dönme ekseninden geçen bir kuvvettir (F32). Şekilde gösterildiği gibi değeri R 32 = -mf 32 ile bulunan bir sürtünme kuvveti etkisi oluştuğunda bileşke kuvvetin etki doğrultusu değişir. Bu bileşke kuvvet F 23R =F 23 +R 23 olur. Dikkat edilirse artık etki doğrultusu mafsal merkezinden geçmez. Yeni etki doğrultusu yarıçapı r f =rsinf olan sanal bir daireye teğet olur. Not: Burada r mafsal yarıçapıdır. Küçük açılar için sinf tanf olduğundan, r f =rsinf rtanf=mr olur. Böylece toplam tepki kuvveti, mafsal merkezinden geçen bir kuvvet ve bir momente indirgenebilir. Oluşan bu moment Sürtünme momenti olarak adlandırılır.
Örnek Şekilde gösterilen santrik krank biyel mekanizmasında F 14 = 100 180 dir. Tüm mafsallardaki sürtünme katsayıları m=0.1 olarak belirlenmiştir. Tüm mafsal kuvvetlerini ve gerekli olan giriş mili momenti T 12 yi sistemin statik dengede olduğu kabulüyle q 12 =55 0 için bulunuz. Vektör kapalılık denklemi yazılarak, yapılan düzenlemelerle; S 142-2a 2 cos(q 12 )s 14 +(a 22 -a 32 )=0 denklemi elde edilir, bu denklemden s 14 çözüldükten sonra q 13 =atan2(a 2 sinq 12 /a 3,(a 2 sinq 12 -s 14 )/a 3 ) şeklinde bulunur. S 14 = 897.7604 ve q13= 2.9220 rad=167.4165 0 bulunur.
4. Uzuv İçin Denge Denklemleri -F 34 cos(f)-mg 14 -F 14 =0 ( SF x =0) -F 34 sin(f)+g 14 = 0 ( SF y =0) mr 34 F 34 - sg 14 -mag 14 =0 ( SM B =0) -F 34 cos(f)-0.1g 14 =100 (1) -F 34 sin(f)+g 14 = 0 (2) 5F 34 - (s+5)g 14 =0 (3) Bilinmeyenler: F 34, f, G 14 ve s; 4 bilinmeyen 3 denklem var. Bu durumda bir sonraki uzva hareket ediyoruz.
3. Uzuv İçin Denge Denklemleri F 43 = -F 34 = -F 23 Moment eşitliğinden ( SM A =0): - AB F 43 sin(f-q 13 )-mr 23 F 23 -mr 34 F 43 =0 Büyüklükleri açısından F 23 =F 43 olduğundan. -800F 43 sin(f-q 13 )-30F 43 =0 (4) (4) Denkleminin çözümünden f bulunur. Ardından 1-3 denklemleri çözülebilir.
2. Uzuv İçin Denge Denklemleri F 32 = -F 23 = -F 34 =F 43 G 12 = - F 32 Moment eşitliğinden (SM A0 =0): A 0 A F 23 sin(f-q 12 )+mr 23 F 23 + mr 12 G 12 +T 12 = 0 (F 43 = F 23 olduğunu hatırlarsak) 200 F 43 sin(f-q 12 )+30 F 43 +T 12 = 0 (5) f=165.27 derece F34=106.19 N G14=27.01 N s=14.66 mm T12=-23.11 Nm
Matlab Kodu a2=200;a3=800;q12=55*pi/180; a=1;b=-2*a2*cos(q12);c=a2^2-a3^2; sol=roots([a b c]); s14=max(sol); q13=atan2(a2*sin(q12)/a3,(a2*sin(q12)-s14)/a3); m=0.1;a=50;r34=50; f=q13+asin(-30/800); K=[-cos(f) -0.1;-sin(f) 1]; G=[100;0]; sol=k\g; F34=sol(1);G14=sol(2); s=5*f34/g14-5; T12=-200*F34*sin(f-q12)-30*F34; fprintf('f=%5.2f derece F34=%5.2f N G14=%5.2f N ve s=%5.2f mm \n',f*180/pi, F34, G14,s); fprintf('t12=%5.2f Nm \n',t12/1000);