Marmara Üverstes İ.İ.B.F. Dergs YIL 00 CİLT XXVIII SAYI I S. 549-57 Özet KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK ÖLÇÜMÜ Ömer ÖNALAN * Bu çalışmada fasal kayıları kalı kuyruklu kararlı dağılım zledğ varsayımı altıda rske maruz değer(var) ve koşullu VaR(ES) gb farklı rsk ölçüm yötemler kullaarak fasal rsk sayısallaştırmaya çalışıyoruz. Ayrıca kararlı dağılım varsayımı altıda elde edlmş rsk değerler deeysel yötem ve ormal dağılım varsayımı altıda hesalamış rsk değerleryle karşılaştırıyoruz. Geelde fasal zama serler ormal dağılım varsayımıa uymaya yüksek basıklık ve çarıklık özellkler göstermektedr. Bu edele bu özellkler de modele dahl etmek ç fasal varlık getrler kararlı dağılımlar le modellemek makul br yaklaşım olacaktır. kararlı dağılım varsayımı daha güvelr rsk ölçümler elde etmemze mka vermektedr. Çükü kararlı dağılımlar fasal varlık getrlere y uyum gösterrler. Souç olarak Pfzer hsse seed verler kullaarak model geçerllğ araştırıyoruz. Aahtar Kelmeler: varlık getrlersmülasyo. Abstract kararlı dağılım VaR Koşullu VaR Fasal FINANCIAL RISK MEASURE WITH DISTRIBUTIONS STABLE I ths study uder the assumto whch facal loss follows stable dstrbuto usg the dfferet rsk measure methods lke Value-at Rsk (VaR) ad Exected Shortfall(ES) we study to quatfy of facal rsk.besdes we comare rsk values whch t was obtaed wth the stable dstrbuto assumto ad t was obtaed usg emrcal method ad ormal dstrbuto method. Geerally facal tme seres exhbt the features lke hgh kurtoss ad skewess that are comatle wth the ormalty assumto. For these reasothe modellg of facal asset retur seres wth stable dstrbutos wll be a reasoable aroach.ths assumto also creates more effcet rsk measures. Because * Doç.Dr. Marmara Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes İşletme Bölümü öğretm üyes emal: omeroala@marmara.edu.tr 549
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN stable dstrbutos rereset good ft to the facal asset retur data. Fally we vestgate valdate of the model usg the Pfzer stock retur data. Key Words: asset returs Smulato..Grş stable dstrbutovar Exected shortfallfacal kararlı (kararlı Pareta) dağılımlar fasal zama serler çarıklık ve kalı kuyruk özellğ modele dahl edeblme kablyete sah olduğuda Madelbrot(963) ve Fama(965) ormal dağılıma br alteratf olarak kararlı dağılımı br model olarak öermşlerdr.bu dağılım deeysel verlere y uyum sağlaması yaıda kararlılık özellğe de sahtr. Şöyle k; bağımsız ayı şekl arametres ya sah farklı kararlı rassal değşkeler tolamı ayı arametres le ye br kararlı rassal değşkedr.kararlı dağılımlar br sııf özellğe sahtrler.yabu sııfa at herhag br dağılım kararlı dağılımıke yakı özellklere sahtr.klask merkez lmt teoremde; solu varyaslı rassal değşkeler tolamı br Gaussa rassal değşkee yaklaşır.varyası solu olması varsayımı kaldırılarak uygu br ölçekledrme yaılması durumuda bağımsız ayı dağılıma sah rassal değşkeler tolamı ç yegae dağılım kararlı areta dağılımdır.normal dağılım kararlı dağılımları solu varyasa sah ola özel br durumudur.sosuz varyas br olasılık dağılımıı kuyruklarıyla karakterze edleblr.br f (x) dağılımı göz öüe alalım k ı büyük değerler ç P ( x > k) > k oluyorsa o zama varyas sosuzdur der.aslıda k ı büyük değerler düşüerek dağılımı kuyruklarıda e kadar lık br olasılık olduğu üzere yoğulaşmış oluyoruz.kuyruklardak tolam olasılık k de daha büyük olduğuda dağılıma kalı kuyruklu dur der.gerçek uygulamalarda varyas çok büyük olablr fakat hçbr zama sosuz olmaz.sosuz varyas asmtotk br souçtur.kararlı dağılımlar br çok farklı ttek fzksel ekoomk ve mühedslk sstem ç model olarak kullaılmaktadır.öreğ çok sayıda küçük etk br soucu olarak ortaya çıka olaylar kalı kuyruk ve çarıklık vb. özellkler göstere kararlı dağılımlar kullaılarak modelleeblrler. Rsk lgledğmz fasal ozsyou ögörülemeye gelecek durumlarıı kazaçlar ve kayılar olarak fade ede rassal değşkedr. Bu kazaç ve kayılar rassal br şeklde gelşrler. Bu gelşmde etkl ola faktörler rsk faktörler olarak adladırıla rassal değşkeler br kümes le gösterlrler.rsk doğru br şeklde tahm edeblmek ç öce rsk faktörlere çok y uyum göstere br statstksel dağılım model belrlemeldr.bu çalışmada uygu br model olarak kararlı dağılımı kullaacağız. Çalışmamızda fasal mal getrler ç ormal dağılım varsayımıı çok geel br kararlı dağılım varsayımı le yer değştrerek rske maruz değer ve koşullu rske maruz değer gb rsk ölçümler hesalıyoruz. Çalışma aşağıdak şeklde orgaze edlmştr..kısımda kararlı dağılımları MadelbrotB. The varato of certa seculatve rces J.Busess36963394-49. FamaE. The behavor of stock market rces J.Busess3896534-05. 550
taımı ve temel özelkler verlmş 3.Kısımda Rske maruz değer ve Koşullu VaR kavramları kısaca açıklamış.4. kısımda se model hsse seed getr verlere br uygulaması ele alımış 5.kısımda se çalışmaı soucu yer almıştır.. Kararlı Dağılımlar Kararlı dağılımlar Paul Levy 90 lerde rassal değşkeler tolamı üzere yamış olduğu çalışmalarla ortaya çıkmıştır. Bu alaa Zolotarev de büyük katkıları olmuştur.bu çalışmada Zolotarev(986) ı taımıı kullaacağız 3. Kararlı dağılımlarla lgl br dğer zeg kayakta Samorodsky ve Taqqu(994) 4 dr. kararlı dağılımları olasılık foksyolarıı kaalı formda br gösterm mevcut değldr.fakat bu dağılımlar ou karakterstk foksyou le uygu br şeklde gösterleblrler.olasılık yoğuluk foksyou karakerstk foksyou ters Fourer döüşümüdür.kararlı dağılımlar farklı şekllerde karakterze edleblr. kararlı br X rassal değşke olasılık yoğuluk foksyou aşağıdak şeklde verlr. π ( x) φ( t) ex( xt)dt Geelde bu foksyo bast foksyolar csde fade edlemez. Burada φ( t) dağılımı karakterstk foksyouu göstermektedr.yoğuluk foksyou sosuz terml br olom foksyo olarak düzeleeblr. Fakat bu defada term sayısıı sosuz olması maksmum olablrlk yötem kullaılmasıda roblemler doğurur. Souç olarak olasılık yoğuluk foksyou Zolaterev aşağıdak tegral gösterm le fade edleblr. πσ x µ σ π ( x; β µ σ ) ex( t ) cost β t ta dt 0 Fourer tegraller olasılık yoğuluk foksyolarıı hesalamak ç her zama uygu yötem olmayablrler. Bu edeleyukarıdak soruu üstesde geleblmek ç aşağıdak formülü kullamak daha uygudur. Eğer x µ se () () x µ σ σ x µ σ θ ( ) ( ϕ x : β µ σ U θ ) ex U ( ϕ θ ) dϕ Eğer x µ se (3) 3 ZolotarevA. Oe- dmesoal stable dstrbutosamerca mathematcal socetyprovdeceri.996. 4 SamorodtskyG.TaqquM. Stable o-gaussa radom rocesses.chama&hallnewyork.994 55
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN π ( x : β µ σ ) Γ + cos arcta β ta πσ (4) U ( ϕ θ ) π s ( ϕ + ϑ) cos (( ) ϕ + ϑ) πϕ cos π θ arcta β ta sg x π ( µ ) π πϕ cos µ 0 ve σ se ( x β ) ( x β ) σ β olur. Çalışmada S µ otasyouu kararlı rassal değşke göstermek ç ( ) kullaacağız. φ tx ( t) E( e ) π ex σ t β sg( t) ta + µ t ( ) + ex σ t + β sg t log t µ t π Kararlı dağılımlar 4 arametreye sahtr. ( 0] arametres) β [ ] : çarıklık arametres > 0 (5) : kuyruk deks ( şekl σ : skala arametres µ R < se varyas sosuzdur. > E X olur. Br > :kouşlama(lokasyo) arametresdr. σ olması durumuda ormal dağılım elde edlr. olması durumuda ortalama mevcut olu ( ) µ kararlı rassal değşke. momet mevcut olablmes ç gerek ve yeter koşul olmasıdır.kararlı dağılımlar tek modlu dağılımlardır. arametres değer küçüldükçe dağılım merkez cvarıda svrleşr ve kuyruklar gttkçe kalılaşır. kuyruk deks çarıklık ölçümü olarak yorumlaablr. Eğer β 0 se dağılım µ cvarıda smetrktr. β > 0 se dağılım sağa çarık β < 0 se dağılım sola çarık dır. β ı değer büyüdükçe çarıklığı değer de büyür. ye yaklaşması durumuda β etks kaybeder ve β değer e olduğua bakılmaksızı dağılım ormal dağılıma yaklaşır.σ dağılımı geşlğ µ da dağılımı modudak kaymayı belrler. Ayı ortak şekl arametrese sah ~ S ( β σ µ ) ~ ( β σ µ ) S X ve X gb k bağımsız alfa kararlı rassal değşke kovülüsyo altıda kaalıdır; Ya 55
ax βσ + β σ ( ) ~ S σ + σ µ + µ σ + σ X (6) + X S + b ~ S sg ( sg( a) β aσ aµ + b) ( a) β aσ aµ + b βσ a log a π Bu souçlar tae kararlı rassal değşke durumua geşletleblr. Eğer X X... S σ β µ dağılımıa sah bağımsız rassal X hes ayı ( ) değşkeler se o zama X ~ S ( σ. β µ ). se X d X + µ ( ) se X d X + σβ l π Kovülüsyo altıda kaalılık kararlı dağılımı sosuz bölüeblr olmasıı gerektrr. Böylece her kararlı dağılım br Lévy sürece karşılık gelr.. Kuyruk Davraışı < olması durumuda kararlı dağılımları kuyrukları asmtotk olarak Pareto kauua uyar.ya < X ~ β0 se x yaklaşması durumuda; ( X > x) F( x) k ( + β ) x P S ve ( ) (9) ( X < x) F( x) k ( β ) x P (0) k 0 s x dx.. Kuyruk İdeks Tahm x Γ ( ) π s kararlı rassal değşkeler olasılık yoğuluk foksyolarıı brkaç özel durum dışıda kaalı formu mevcut olmadığıda kuyruk deks ç tam br formül bulmak mümkü değldr. Buula brlkte lteratürde kuyruk deks (7) (8) 553
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN tahm etmek ç farklı yaklaşımlar mevcuttur. Bularda bazıları; maksmum olablrlk metoduörek karakterstk foksyoua dayaa regresyo metodu McCulloch u kuatl metodu vb.dr.bu yaklaşımları tümü celee öreğ br kararlı dağılımda gelmş olduğu varsayımıa dayamaktadır.eğer gözlem verler farklı br dağılımda elde edlmşse bu yötemler kararlılık deks (kuyruk deks) eksk tahm etmş olacaklardır. yı tahm etmek ç yüksek frekaslı getrler kullaılması tavsye edlr.ayrıca tahm ç ortalamaı uzağıdak gözlem değerler seçlmeldr.aks takdrde deks eksk tahm edlr ve kararlı dağılım sebesz yere reddedlmş olur.bu edele deks tahmde gözlem verler üst %5 lk kısmıı veya daha azıı kullaılması uygu olacaktır. 5 Hll Tahmcs Hll(975) tam dağılım foksyou hakkıda herhag br arametrk varsayımda bulumaya sadece dağılımı kuyruk davraışı üzerde yoğulaşa br kuyruk 6 deks tahmcs öermştr. Dağılımı üst kuyruğu F( x) Cx formuda olduğu zama kuyruk deks tahm etmek ç Hll tahmcs kullaılır. x x... x N gözlem değerler verlmş olsu. Bu gözlem değerler aşağıdak gb büyükte küçüğe doğru sıralaır. x x... xn Hll tahmcs e büyük k tae sıra statstğe dayaır. ˆ k k x log x Hll () k + Tahm şlemde kullaılacak eşk değer k ı seçm keyfdr.ideal ola sadece kuyruk bölgesdek gözlem değerler kullamaktır.eğer k büyük seçlrse kuyrukta uzaklaşılır k küçük seçlrse bu defa da tahmc duyarlılığı azalır.uygulamada geellkle k ı farklı değerler ç hesalamış ola ˆ ( k) değerler ayı düzleme çzlmesyle elde edle grafğ durağa hale geldğ k değer eşk olarak seçlr. Hll 5 WeroR. Levy stable dstrbutos revsed:tal dex > does ot exclude the Levy-stable regme Iteratoal Joural of Moder PhyscsCvol.o..00. 6 HllB.M. A smle geeral aroach to ferece about the tal of a dstrbuto Aals of Statstcs397563-74. 554
. Smetrk Kararlı Dağılımı Parametreler Takdr Eğer br X rassal değşke kararlı dağılıma sahse Z ( X µ ) σ stadartlaştırılmış kararlı değşke olarak adladırılır.fama ve Roll (96897) 7 8 br smetrk kararlı < ve ( β 0 µ 0) dağılımıı σ skala arametres aşağıdak şeklde tahm etmştr. zˆ ˆ.654 0.7 z0. 8 ˆ σ () Burada ẑ 0. 7 ve ẑ 0. 8 sırasıyla çalışmada kullaıla getr sers küçükte büyüğe sıralamasıyla elde edle ser %7 ve %8 c termler göstermektedr. Deeysel dağılımı kouşlama (ortalama) arametres µ se gözlem değerler %50 budamış ortalaması yoluyla aşağıdak gb hesalaır. Burada tam ( ) u zˆ ( ) ˆµ (3) u + ẑ sıralamış getr değerler N de örek hacm göstermektedr. tam( 0.50 ) N tam( 0.50 N ) N : foksyou aratez çersdek fade tamsayı kısmıı göstermektedr. karakterstk üssüü tahm ç öce aşağıdak statstk hesalaır xˆ zˆ zˆ zˆ zˆ ( 0.87) 0.96 0.04 0.96 (4) 0.7 0.8 Geel olarak fade etmek gerekrse xˆ. f zˆ. f zˆ σˆ. f (5) şeklde taımlaır. Örek çaı N ç ˆ. (. f )( N + ) z f c sıra statstğdr. Souç olarak F stadartlaştırılmış kararlı değşke kümülatf dağılım foksyouu ters x ˆ. f de karşı gele yoğuluk foksyouu (. f ) yüzde brlk dlm tahmdr. Fama ve Roll(97)çalışmasıda bu foksyoa at tablolar verlmştr. Uygu ˆ tahm değer hesaladığımız ˆx 0. 96 değere tabloda 7 FamaE.F.RollR. Some roertes of symmetrc stable dstrbutos Joural of the Amerca statstcal assocato6396887-36 8 FamaE.F. RollR. Parameter estmates for symmetrc stable dstrbutos Joural of Amerca Statstcal Assocate669733-38. 555
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN karşılık gele değer seçlerek belrler. Dağılımı smetrk olduğu hotez altıda %5 alam sevyesde çarıklık ç güve aralığı aşağıdak gb belrler. 9 0.50 N ±.96 N 4 (6).3 McCulloch Metodu Fama ve Roll metodu bast olmasıa rağme ve σ ı tahmlerde küçük asmtotk yalılığa sahtr. McCulloch (986) Fama ve Roll u metoduu gelştrmştr. [ 0.6] le dört arametre tümü ç tutarlı tahmcler elde etmştr. 0 x x... x br S ( σ β µ ) dağılımıda elde edlmş ola br rassal örek olsu. x x 0.95 0.05 ϑ (7) x0.75 x0.5 olarak taımlamıştır. ϑˆ ϑ ı örekte karşılık gele değerdr. x0.95 + x0.05 x0.50 ϑ β (8) x0.95 x0.05 ϑ ve ϑ β ı her ks de µ ve σ da bağımsızdır. ϑˆ β statstg tutarlı br tahmcsdr. alıırsa β ϑ β ı ϑ ve ϑ ve β ı foksyolarıdır. Bu lşk ters ϕ ( ) β ϕ ( ) ϑ ϑ β (9) ϑ ϑ β elde edlr. ϑ ve ϑβ ı örekte hesalaa değerler tabloya yerleştrlerek ˆ ve ˆ β değerler elde edlr.aşağıdak tablo ϑ ve ϑβ foksyou olarak yı tablo ϑ ve ϑβ foksyou olarak β yı göstermektedr. Tablo 3 ϕ β se ( ) 3 ı br foksyou olarak x0.75 x0. 5 ϑ σ σ (0) 9 FeltzB.D. Futher results o asymmetrc stable dstrbutos of stock rces chages Joural of facal ad qattatve aalyssmarch97639-55. 0 McCullochJ.H. Smle cosstet estmators of stable dstrbuto arameters Commu.Statst.Smulato5(4)98609-36. 556
ı davraışıı gösterr. σ ı tahm aşağıdak gb verlr. ˆ σ xˆ ϕ 3 ˆ ( ˆ ˆ β ) () 0.75 x0.5 Tablo. ϕ ( ϑ ϑ ) ϕ ( ϑ ϑ ) ϑ β ϑ β 00 0 0 03 05 07 439 000 000 000 000 000 000 000 500 96 94 94 94 94 94 94 600 808 83 89 89 89 89 89 700 79 730 737 745 745 745 745 800 664 663 663 668 676 676 676 3000 563 560 553 548 547 547 547 300 484 480 47 460 448 438 438 3500 39 386 378 364 337 38 38 4000 79 73 66 50 0 84 50 5000 8 4 0 067 07 0973 6000 09 0 04 004 0974 0935 0874 8000 0896 089 0887 0883 0855 083 0769 0000 088 08 0806 080 0780 0756 069 5000 0698 0695 069 0689 0676 0656 0595 5000 0593 0590 0586 0586 0579 0563 053 Tablo. β ϕ ( ϑ ϑ ) ϕ ( ϑ ϑ ) ϑ β ϑ β 000 00 00 030 050 070 00 439 0000 60 000 000 000 000 000 5 0000 59 3390 000 000 000 000 6 0000 0759 800 00 000 000 000 7 0000 048 048 694 000 000 000 8 0000 0360 0760 3 9 000 000 30 0000 053 058 083 575 000 000 3 0000 003 040 063 44 906 000 35 0000 065 033 0499 0943 560 000 40 0000 036 07 0404 0689 30 95 β β WeroR. Performace of the estmators of stable law arameters Hugo Stehause CeterWraclaw Uversty of TechologyResearch Reort HSC/95/995. 557
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN 50 0000 009 06 033 0539 087 97 60 0000 0096 090 084 047 0693 759 80 0000 008 063 043 04 060 596 00 0000 0074 047 00 0377 0546 48 50 0000 0064 08 09 0330 0478 36 50 0000 0056 0 067 085 048 74 Tablo.3 ϑ σ ϕ3 ( β ) ϕ3( β ) ˆ 000 05 050 075 00 0 908 908 908 908 908 9 94 95 96 98 9 8 9 9 97 94 947 7 97 930 943 96 987 6 933 940 96 997 043 5 939 95 988 045 6 4 946 967 0 06 3 955 984 067 88 333 965 007 5 94 49 980 040 05 435 696 0 000 085 3 64 973 09 040 49 46 886 3356 08 098 44 676 365 39 07 89 39 3004 3844 4775 06 337 635 354 4808 647 05 59 308 453 664 94 βˆ.4 Kararlı Rassal Değşke Smülasyou kararlı dağılımları kümülatf dağılım foksyolarıı ters F ç aaltk br fade mevcut olmadığıda kararlı dağılımları smülasyou braz zordur. X ~ β0 ç aşağıdak algortmayı Buula brlkte Wero(996) S ( ) ( π π ) vermştr. aralığıda düzgü dağılmış br V rassal değşke türetlr.buda bağımsız olarak ortalaması ola br üstel dağılımda br başka W rassal değşke türetlr. ç WeroR. O the Chambers-Mallows-Stuck method for smulatg skewed stable radom varables Stochastc ad Probablty Letters899665-7. 558
s V ξ cos V cos X ξ + U ( cosv ) π ξ β ta ç ( ) V ξ s( ) V ( ) ~ S ( 0) β W π cos( ) π W V X + + β V ta( V ) β l ~ S( β0) (3) π π β V + U ve ( ) üzere () 0 aralığıda düzgü dağılmış k bağımsız rassal değşke olmak V π U ve W lu (4) Değşkeler kolayca türetleblr.br stadart kararlı değşke değerler smülasyo yötem le türetldğde β σ ve µ arametreler herhag br değer ç kararlı değşkeler aşağıdak döüşümler kullaılarak kolayca türetleblr. Eğer ~ ( β0) X se S ç Y µ + σ X (5) ç Y µ + σ X + β log( σ ) (6) π Şeklde taımlaa Y rassal değşke ~ S ( σ β µ ) 3. Fasal Rsk Ölçümler Y dağılmıştır. Rsk modellemek ç geelde olasılık teorsde faydalaılır. Rskler ya br fasal ozsyou egatf getrler X rassal değşke le göstereceğz. Rskler lglele evre ögörülemeye gelecek durumlarıı kazaçları ve kayıları göstere değerlere tasvr ede rassal değşkelerdr.br rassal değşke ç deeysel dağılım foksyou şu şekşlde taımlaır. Br X rassal değşke X X... X gb dözlemş ola -tae getr değer ç deeysel kümülatf dağılım foksyouu F le gösterelm. Bu dağılım aşağıdak gb taımlaır. 559
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN F ( t) I{ X t} X ler blmeye ( x) Glveko-Catell teoremde (7) F dağılımıda çeklmş bağımsız rassal değşkelerdr. ( x) F( x) 0 lm su x R F eştlğ heme her yerde sağlaır. Bu durumda F dağılımıı kuatl F ( ) aşağıdak şeklde tahm edlr. ( ) X F Gözlem değerler X X... X 3. Rske Maruz Değer (VaR) şeklde sıralamıştır VaR(Value-at-Rsk) fasal kurumları tcar ortföyler maruz kaldığı yasa rsk değerlemek ç kulladıkları bast br rsk ölçümüdür.var ölçümü verle br güve sevyes le sıırlı br yatırım eryodudabeklee e kötü kaybı tek br sayı le özetler.br fasal ozsyou güve sevyesdek maruz kaldığı yasa rsk değer kayıları F kümülatf dağılım foksyouu kuatl olarak aşağıdak gb taımlaır 3 VaR ( X ) { x R; F( x) } (8) (9) f (30) değerler seçlr.şu halde VaR hesabıdak öeml br kou kazaç/kayı dağılımıı belrlemesdr.rskmetrk tarafıda öerle modelde bu kazaç/kayı dağılımıı Gaussa olduğu kabul edlmştr.bu hotez temel soucu şudur; VaR değer ortföyü stadart samasıverle güve sevyes br foksyou ola br sabtle çarılarak belrler. Güve sevyes ç tk olarak { 0.900.950.99} 3.. Normal Rske Maruz Değer (VaR) ~ N( 0 σ ) X olduğuu kabul edelm. Bu durumda VaR ( X ) σ z (3) σ X σ ç br asmtotk güve aralığı aşağıdak gb verlr. 3 JoroP.Value at Rsk : the New Bechmark for Measurg Facal rsk.mcgraw-hllnew York00. 560
S σ S X ~ N( µ σ ) 4 µ 4 σ z k E( X ) 4 µ 4 σ S + z 4 µ k 4 X X se ( X ) σ z + µ 3.. Deeysel VaR ve Koşullu VaR 4 ˆµ ˆ ( ) VaR (3) Bağımsız hes F dağılım foksyoua sah rassal değşkelerde elde edlmş kabul edelm. ( x) foksyou olsu. Eğer X X... X x x gözlem değerlere sah olduğumuzu x... F deeysel dağılım foksyou ve ( ) σ S q de kuatl F x x öreğ x x... x x... sıralarsak o zama deeysel kuatl aşağıdak gb olur. ˆ ( X ) qˆ ( F ) x[ ] + Va R şeklde (33) Koşullu VaR ı deeysel tahm se aşağıdak gbdr. [ ] ˆ ( ) + x k k ES F (34) + [ ] Dğer br deyşle e büyük [ ] + tae gözlem değer ortalamasıdır.yukarıdak tahmler güvelrlğ güve sevyese ve gözlem sayısıa bağlıdır.güve sevyes ç koşullu VaR (ES) aşağıdak gb taımlaır. ES 3. Kararlı VaR ( ) ( X ) E X X VaR ( X ) (35) > Mekul kıymet getrler kararlı br dağılım zledğ varsayımı altıda VaR hesabı ormal durumdake bezerdr. Tek değşklk burada z kuatl stadartlaştırılmış kararlı dağılımda türetlmştr. Ayrıca σ da kararlı dağılımda tahm edlmş olmalıdır. Kısa sürel yatırımlar ç beklee getr µ 0 olarak alıablr.bu durumda VaR ( X ) σ z (36) 56
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN Brbrleryle lşkl malları düşüülmes durumuda Rsk Metrk yaklaşımı uygu olmamaktadır. Bu edele Rachev et.al(000) 4 kararlı rassal değşkeler ç aşağıdak algortmayı öermştr. a) Portföydek her br mal ç β γ µ arametreler tahm edlr. b) Varyas-Kovaryas matrs Z tahm edlr. N Z 0 çok değşkel ormal dağılımıda c ) ( ) ( Z Z Z ) Z... rassal değşkeler türetlr. d ) X S ( B 0) ( X X... ) X d... kararlı rassal değşkelerde gb tae rassal değşke türetlr. Burada ( k ) + µ π B cos... Z 4 σ e ) f ) R d ( ) X Z değerler oluştur R... ( ) ( ) ( ) ( ) R R R vektörü oluşturulur. Burada d...... ( ) S k( k + ) µ ( + k ) β 0 g ) Portföy getrler hesalaır. R w R ( ) ( ) + w R h ) c-g adımları tekrar edlerek smüle edlmş değerler türetlr. ı ) Smülasyoda elde edlmş değerler küçükte büyüğe doğru sıralaır. VaR değer sıralamış ser ( N ). c termdr.n smülasyoda elde edlmş değer sayısıı göstermektedr. 4 RachevS.SchwatzKhdaovaI. Stable modelg of credt rsk.techcal reort.aderso school of maagemet.deartmet of face000. 56
3.. Kararlı Koşullu VaR X kararlı dağılıma sah olduğu varsayımı altıda koşullu VaR aşağıdak tegral göstermde elde edlr. Eğer X br stadart kararlı dağılıma sahse ES ( X ) VaR π ( X ) π c φ ( x) ex VaR ( X ) ϑ( x) dx ( ( c + x) x) cos x ( ( c + x) ) s ( ( c + x) ) s φ( x) s (37) ϑ ( x) cos ( c) cosx s ( ( c + x) ) cos (( c) + ( ) x) cos x π ( VaR ( X )) β ta arcta sg c Geelde ~ S ( σ β µ ) Y ç Y ~ σ X + µ olacağıda ES 3.3 Ortalama VAR ( Y ) σ ES ( X ) + µ (38) Kuyruk olasılığı ola ortalama VaR ( OVaR ) ( X ) VaR ları ortalaması olarak taımlaır. VaR de daha büyük ola OVaR ( X ) VaRt ( X ) dt (39) VaR OVaR ( X ) F ( ) F ( ) X X [( ) ] + ( X ) VaR ( X ) + E X VaR ( X ) 3.3. Deeysel Ortalama VAR x x... x t t... t (40) zamalarıda gözlemş kayı değerler olsu. x < x <... < x Kayı değerler ( ) ( ) ( ) gb arta şeklde sıralaır. kuyruk olasılı le kayıları ortalama VaR ı aşağıdak gb hesalaır; 563
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN OVaR k ( X ) x( k ) [ ] + + [ ] ([ ]) x (4) VaR ve OVaR değerler {% 90%9...%99} güve sevyeler ç hesalaır. 3.4 Hurst Aalz Hurst üstel kaos fraktalar ve fas vb. gb br çok farklı alada karşımıza çıkmaktadır. Hurst üstel br zama sersdek uzu vadel bağımlılığı karakterze etmek ç kullaıla özet br ölçümdür. H Hurst üstel değşk yötemlerle tahm edleblr. Aşağıda R / S aalze dayaa br yötem verlmektedr 5.Yötem olarak aşağıdak gb özetleeblr: x x... x N gb N tae gözlem değer verlmş olsu. N N x x ˆ σ N N ( x x) Her br gözlem değerde gözlem ortalaması çıkartılarak ser ormalleştrlr. rk xk x k... N Aşağıdak kısm tolamlar sers oluşturulur. X r k k Kısm tolamlar sers maksmumu ve mmumu hesalaır mak. ( X : N ) Y m( X : N ) Y H Hurst üstel aşağıdak gb hesalaır. Burada ( 0) ˆ Y Y log log N σ H (4) H dr. H 0. 5 ç sürec rassal yürüyüş > 0 5 < 0. H ç kalıcı(uzu vadel bağımlı) ve H 5 se ortalamaya döme davraışı gösterdğ söyler. Fraktal boyut br yüzey rüzlülüğüü veya br serdek dalgalamayı fade eder.h Hurst üstel le fraktal boyut arasıda aşağıdak şeklde br lşk mevcuttur. d H Eğer d se hsse seed rassal olarak hareket ettğ.5 < d < se çok oyak olduğu < d <. 5 se de hsses seed doğrusal tarzda hareket ettğ söyler. 5 HurstH.E. Log term storage caacty of reservors Tras.Amer.Soc.Cvl Eg.695770-799. 564
4. Uygulama Çalışmaı bu bölümüde öcek bölümlerde açıklaa modeller test etmek amacıyla deeysel souçları araştırıyoruz. Bu deeysel çalışmalar ç Pfzer hsse seed.0.005.0.00 tarhler arasıdak gülük kaaış fyatlarıı kullaıyoruz. Verler Yahoo fas web stesde derlemştr. Burada fyatlarda çok getrler le çalışacağız. Çükü getrler yatırım erformasıı kullaıla skalada bağımsız olarak ölçme mkaı vermektedr.gülük verler kullamamızı k temel ede vardır.bularda brcs uygulamada geellkle VaR ve lşkl rsk ölçümler gülük bazda hesalamaktadır.ikcs de asmtotk souçlara ulaşmak ç daha çok ver kullama gereksmdr. Gülük logartmk getrler ele alıyoruz. Logartma sayesde çok eryotluk br getry br eryotluk getrler tolamıa döüştürme mkaıa kavuşuruz. P t : Edeks(veya hsse seed) gülük kaaış fyatıı S de br fasal malı veya br ortföyü t zamaıdak logartmk değer göstermektedr. t S t log P olarak taımlamıştır.[ t t +] zama eryoduu göz öüe alalım. Peryodu soudak S t+ değer şmdde blemeyz. Acak kazaç ve kayı dağılımı olarak St+ St dağılımıı bleblrz. Çalışmada aşağıdak şeklde gösterle kayılar la lgleeceğz. Böylece X ( S S ) ( P l P ) t+ t+ t l t+ t (43) oztf getrler kayıları egatf getrler se kazaçları gösterecektr. kümülatf dağılım Uygulamada gözlem değerler ola getrler { } t t t X foksyou F ola br dağılımda alımış bağımsız rassal değşkeler br öreğ olduğuu kabul edeceğz. Tablo 4. Pfzer hsse seed kaaış fyatları 35 30 5 Kaaış 0 5 0 5 0.0.005.05.005.08.005..005.0.006.05.006.08.006..006.0.007.05.007.08.007..007.0.008.05.008.08.008..008.0.009.05.009.08.009..009 Tablo 4. Pfzer hsse seed ormalleştrlmş kayıları 565
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN 5% 0% Kayılar 5% 0% -5% -0% -5%.0.005.05.005.08.005..005.0.006.05.006.08.006..006.0.007.05.007.08.007..007.0.008.05.008.08.008..008.0.009.05.009.08.009..009 Tablo4.Normalleştrlmş kayı değerler ç özet statstkler. basıklıklar (basıklık-3) şeklde hesalamıştır Ortalama Std.Sama Çarıklık Basıklık PFIZER 0.00033 0.07 0.930 7.076 Şekl 4. Pfzer ormalleştrlmş kayılar 0.00% 8.00% 6.00% 4.00%.00% 0.00% Normal Frequecy 8.00% 6.00% 4.00%.00% 0.00% -7% -6% -5% -4% -3% -% -% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% Aalzler soucuda çarıklık ve basıklığı ormal dağılımda farklı olduğu görülmektedr Tablo 4.4 Stadartlaştırılmış getrler ç smetrk kararlı dağılımı arametre tahm 566 Parametre ˆ σˆ µˆ βˆ (%95 Güve aralığı) Pfzer.4.006 0 (0.305-0.39043) Tablo 4.5 McCulloch yötem kullaılarak kararlı dağılım dağılımı arametre tahm Parametre ˆ σˆ µˆ βˆ Pfzer.534 0.846-0.0383 0.9
4. Varyası Yakısaklığıı Test Sosuz varyaslı br X rassal değşke deeysel varyaslar kümes ıraksak x x... x olmalıdır. N X rassal değşkede alıa bağımsız ayı dağılıma sah rassal değşkeler olsu. N < ve x lk tae rassal gözlem değer ortalaması olsu.bu durumda deeysel varyaslar aşağıdak gb taımlaır: S ( x x) N zama yaklaştığıda ( x x) C sabt mevcut olmalıdır. olması durumuda dağılım 0 Gaussadır ve varyas ( ) ( σ ) S Eğer br dağılım solu varyasa sahse o olacak şeklde solu br C µ ortalaması le σ σ le soludur. Bu durumda ( ) S E ve 8 Var olur. Aks takdrde getr sers sosuz varyaslı olur. < le Gaussa olmaya kararlı dağılımlar ç S ıraksak olmalıdır. Şekl 4. Getrler ç varyası zamaa göre değşm Varyası Değşm 3.5 3 Varyas değerler.5.5 0.5 0 7 33 349 465 58 697 83 99 045 6 değerler Varya Açıklama: Belrl br X... X X ver kümes belrl br F dağılım foksyouda çekl çeklmedğ test etmek ç verlerle F olasılığıı ayı grafkte düşüürüz. X ( ) X ( )... X ( ) sıralı öreğ ç aşağıdak eştlk sağlaır. ( F( X ) E ( )... +. Souç olarak grafğ çzerz. Çok daha geel olarak ( ) + X ye karşı ( ) e karşı F X ( ) F grafğ + çzlr. Eğer elde edle grafk leer değlse bu örek verler F dağılımıda 567
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN çeklmemş olduğuu gösterr. Buu alamı şudur; verler muhtemele sosuz varyaslı br dağılıma attr. 6 Şekl 4.3 Tablo Pfzer hsse seed getrler (Q-Q) grafğ 5 4 Beklee Normal Değerler 3 0 - - -3-4 -5-0 -8-6 -4-0 4 6 8 Gözlee Değerler Tablo 4.6 Pfzer getrler ç VaR hesabı VaR Tarhsel Normal Kararlı Gü 0 Gü Gü 0 Gü Gü 0 Gü 0.90.75 5.706.98 7.66.73 5.445 0.95.536 7.379.83 8.954.55 7.95 0.99 4.675 4.858 4.005.664 6.5 0.593 Tablo 4.7 koşullu VaR hesabı Koşullu VaR (ES) Deeysel ( gü) Kararlı ( gü) %90.9994.93574 %95 4.03937 4.0406 %99 6.989656 8.5559 6 Dael.C.Alcato of statstcs dustral exermetato Wley&Sos NewYork 976. 568
Şekl 4.4 Pfzer hsse seed getrler ç Hll tahmcs Hll tahmcs 0 8 Alfa 6 4 0 0 0 0 30 40 50 60 r Şekl 4.5 Stadartlaştırılmış gerçek getrler ve smüle edlmş stadartlaştırılmış kararlı getrler karşılaştırılması Gerçek ve Tahm 4 3 frekas 0-90 79 68 357 446 535 64 73 80 89 980 069 58 47 - Tahm Gerçek -3 getr 4. Kararlı Getrler Rsk Ölçümler Üzerdek Etks Buradak amacımız getrler br kararlı dağılım zledğ varsayımı altıda rsk ölçümler doğruluğuu araştırmaktır. Kıyaslama yaablmek ç kararlı rsk ölçümler ve uygulamada stadart olarak kullaıla Gaussa varsayıma göre hesalamış rsk ölçümler kullaılmıştır. İlk olarak tarhsel getrler kullaarak deeysel rsk ölçümler hesalıyoruz. Sorada model kullaarak rsk ölçümler hesalıyoruz. Kararlı ve Gaussa rsk ölçümler her ks de doğruluğuu aşağıdak yalılık ölçümüe göre karşılaştırıyoruz. Yalılık (Model değer-deeysel değer)/deeysel değer Yukarıdak formülde model değer kararlı ve Gaussa rsk ölçümlerdeeysel değer se gerçekleşmş getrlerde hesalaa rsk ölçümüdür. Yalılığı küçük ola ölçüm daha doğru br ölçüm olacaktır.hesalaa yalık ölçümler mutlak değerler alıır ve hags daha küçük olduğua bakılır.rskte kaça yatırımcılar oztf yalılığı terch ederler.yalılık souçları aşağıdak tabloda özetlemştr. 569
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN Tablo4.8 VaR ölçümüdek yalılık souçları Yalılık Pfzer Deeysel Gaussa gü 0 gü gü 0 gü %90-0.0655-0.04574 0.3644 0.73396 %95-0.0088 0.077653 0.679-0.9 %99 0.3994 0.385987-0.433 0.6605 Kararlı yalılığı mutlak değer geelde Gaussa yalılıkta daha küçük olmaktadır. Burada da -kararlı model Gaussa modele göre daha doğru VaR souçları verdğ söyleyeblrz. -kararlı model dağılımı çarıklığıı ve kalı kuyruklarıı kotrol edeblme kablyete sah olduğuda bu model VAR ve dğer VaR tabalı rsk ölçümler tahm etmek ç uygu br modeldr. yaklaştığıda dağılım ormale yaklaşmakta ve rsk hesalaa değer küçülmektedr. Tablo 4.9 Hurst üstel ve fraktal boyut tahm H Hurst üstel d Fraktal boyut Pfzer 0.53058.47694 Pfzer hsse seed getrler ç <. 5 doğrusal tarzda hareket ettğ söyleeblr. < d koşulu sağladığı da getrler Tablo 4.0 Deeysel ortalama VaR tahmler Pfzer %90 %95 %99 D.Ort.VaR 5.4465.7705 68.3564 5. Souç Çalışmada kalı kuyruklu ve çarık br karaktere sah fasal mal getrler br Kararlı dağılım zledğ varsayımı altıda VaR Koşullu VaR ve ortalama VaR gb rsk ölçümler tahm ettk. Model Pfzer hsse seed getrler deeysel verlere uygulaması soucuda Kararlı dağılım model getrler y br şeklde temsl ettğ gördük. Rsk doğru br şeklde tahm edeblmek ç rsk faktörler gelşm dare ede model doğru br şeklde belrlemes so derece öemldr. Rsk kazaç/kayı dağılımıı kuyruk kısmıda yer alır.şu halde rsk ölçümü ç uygu br model kuyrukları y br şeklde kotrol edeble model olacaktır.kararlı yoğuluk foksyoları kayı/ kazaç dağılımlarıı y br şeklde temsl edeble e geel dağılımlardır. 570
KAYNAKÇA DANIELC.Alcato of statstcs dustral exermetato Wley&Sos NewYork 976. FAMAE. The behavor of stock market rces J.Busess3896534-05. FAMAE.F.ROLLR. Some roertes of symmetrc stable dstrbutos Joural of the Amerca Statstcal Assocato6396887 FAMAE.F.ROLLR. Parameter estmates for symmetrc stable dstrbutos Joural of Amerca Statstcal Assocato 669733-38 FIELITZB.D. Futher results o asymmetrc stable dstrbutos of stock rces chages Joural of Facal ad Qattatve Aalyss March 976 39-55. HILLB.M. A smle geeral aroach to ferece about the tal of a dstrbuto Aals of Statstcs 3975 63-74. HURSTH.E. Log term storage caacty of reservors. Tras.Amer.Soc.Cvl Eg.695770-799. JORIONP.Value at Rsk : the New Bechmark for Measurg Facal rsk. McGraw-Hll New York 00. MANDELBROTB. The varato of certa seculatve rces.j.busess36963 394-49. McCULLOCHJ.H. Smle cosstet estmators of stable dstrbuto arameters Commu.Statst.Smulato5(4)98609-36. RACHEVS.SchwatzeEKHINDANOVAI. Stable modelg of credt rsk.techcal reort.aderso school of maagemet.deartmet of face000. SAMARODNITSKYG.TAQQUM.Stable o-gaussa radom rocesses Chama&Hall NewYork 994. WERONR. Levy stable dstrbutos revsed:tal dex > does ot exclude the Levy-stable regme Iteratoal Joural of Moder PhyscsC vol.o..00. WERONR. Performace of the estmators of stable law arameters Hugo Stehause Ceter Wraclaw Uversty of Techology Research Reort HSC/95/ 995 WERONR. O the Chambers-Mallows-Stuck method for smulatg skewed stable radom varables Stochastc ad Probablty Letters 8 996 65-7. ZOLATAREVA.Oe- dmesoal stable dstrbutosamerca mathematcal socetyprovdeceri.996. 57