AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.
GİRİŞ Ayrık Matematik Nedir? Ayrık matematik, matematiğin ayrık nesneleri öğrenmeye adanmış olan kısmıdır. (Burada ayrık; farklı veya bağımsız elemanlardan oluşma anlamına gelmektedir.) Ayrık matematik kullanarak çözülen problem türleri aşağıdakileri kapsar: Bir bilgisayar sistemi üzerinde, geçerli bir şifre seçmek için kaç yol vardır? Piyangoda kazanma olasılığı nedir? Bir ağda iki bilgisayar arasında bağlantı var mıdır? İstenmeyen e-posta mesajlarını nasıl tespit edebilirim? Bir mesajı, istenmeyen hiçbir alıcının okuyamacağı şekilde nasıl şifreleyebilirim? Bir ulaşım sistemi üzerinde iki şehir arasındaki en kısa yol nedir?
GİRİŞ Ayrık Matematik Nedir? Bir tamsayılar listesi, sayılar artan sırayla olacak şekilde nasıl sıralanabilir? Böyle bir sıralama yapmak için kaç adım gerekir? Bir sıralama algoritmasının, listeyi düzegün sıraladığı nasıl ispatlanabilir? İki tamsayıyı toplayan bir devre nasıl tasarlanabilir? Kaç tane geçerli İnternet sitesi vardır?
1. BÖLÜM: Temeller: Mantık ve İspatlar Mantık, matematiksel muhakemenin ve bilgisayarın muhakeme yapabilmesinin temelidir. Bilgisayarların tasarımından sistem tanımlanmasına, yapay zekadan bilgisayar programlama, programlama dilleri ve bilgisayar bilimlerinin diğer alanlarına, hatta başka çalışma alanlarına kadar bir yelpazede pratik uygulamalar içermektedir. Matematiği anlayabilmek için, doğru matematiksel muhakemenin gerçekleşmesini sağlayan ispatı anlamamız gerekir. Bir matematiksel ifadenin doğruluğunu ispatladığımız anda, buna teorem deriz.
1.1. Önermeli Mantık Önermeler Bir önerme ya doğru ya da yanlış olan, fakat hem doğru hem de yanlış olmayan bir açıklayıcı cümledir (yani, bir bilineni açıklayan bir cümledir). Aşağıdaki tüm açıklayıcı cümleler birer önermedir. 1. Ankara Türkiye Cumhuriyeti nin başkentidir. (Doğru önerme) 2. Paris, İngiltere nin başkentidir. (Yanlış önerme) 3. 1+1=2. (Doğru önerme) 4. 2+2=3. (Yanlış önerme)
1.1. Önermeli Mantık Önermeler Önerme olmayan bazı cümleler aşağıda verilmiştir. 1. Saat kaç? (Açıklayıcı cümle değil.) 2. Bunu dikkatli okuyunuz. (Açıklayıcı cümle değil.) 3. x+1=2. (Ne doğru ne de yanlış.) 4. x+y=z. (Ne doğru ne de yanlış.)
1.1. Önermeli Mantık Önermeler Önerme değişkenlerini (veya ifade değişkenlerini), yani önermeleri temsil eden değişkenleri, sayısal değişkenlerin atanmasında kullanıldığı gibi harflerle atamaktayız. Önerme değişkenleri için normalde kullanılan harfler p, q, r, s,...dir. Bir önermenin doğruluk değeri önerme doğru olduğunda D, yanlış olduğunda Y ile gösterilir.
1.1. Önermeli Mantık Önermeler TANIM 1: p bir önerme olsun. p nin değil i, p (aynı zamanda p) olarak gösterilen cümle aşağıdaki şekildedir. «p nin doğru olmadığı durum» p önermesi «değil p» olarak okunur. p nin değil i p nin doğruluk değeri, p nin doğruluk değerinin tersidir.
1.1. Önermeli Mantık Önermeler ÖRNEK: Önerme: «Hasan ın bilgisayarında Linux bulunmaktadır.» Tersi: «Hasan ın bilgisayarında Linux bulunmaktadır durumu doğru değildir.» Daha basit bir dille ifade edilişi: «Hasan ın bilgisayarında Linux bulunmamaktadır.»
1.1. Önermeli Mantık Önermeler ÖRNEK: Önerme: «Aslı nın akıllı telefonunun en az 32 GB belleği vardır.» Tersi: «Aslı nın akıllı telefonunun en az 32 GB belleği vardır durumu doğru değildir.» Daha basit bir dille ifade edilişi: «Aslı nın akıllı telefonunun 32 GB den daha az belleği vardır.» Tablo 1. Bir önermenin Değilinin Doğruluk Tablosu p p D Y Y D
1.1. Önermeli Mantık Önermeler TANIM 2: p ve q iki önerme olsun. p ve q nun p^q şeklinde gösterilen birleştirme operatörü «p ve q» önermesi olarak tanımlanır. p^q birleştirme sonucu p ve q nun her ikisi de doğru olduğunda doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Dikkat edilmesi gereken bir nokta mantıkta «fakat» kelimesinin birleşmelerde bazen «ve» yerine kullanılmasıdır. Örneğin; «Güneş parıldıyor, fakat yağmur yağıyor» cümlesi «Güneş parıldıyor ve yağmur yağıyor» cümlesinin bir başka şekilde söyleniş biçimidir. (Doğal dil kullanımında «ve» ve «fakat» arasında küçük bir farklılık vardır; fakat biz burada bu ayrıntı ile ilgilenmeyeceğiz.)
1.1. Önermeli Mantık Önermeler p önermesi: «Hande nin bilgisayarındaki sabit diskte 16 GB dan daha fazla boş yer vardır.» q önermesi: «Hande nin bilgisayarındaki işlemci 1GHZ den daha hızlı çalışmaktadır.» p ve q birleşme önermesi (p^q): «Hande nin bilgisayarındaki sabit diskte 16 GB dan daha fazla boş yer vardır ve Hande nin bilgisayarındaki işlemci 1 GHz den daha hızlı çalışmaktadır.» Bu önerme her iki önerme de doğru olduğunda doğru olacaktır, iki durumdan herhangi biri veya her ikisi birden yanlış olduğunda yanlış olacaktır.
1.1. Önermeli Mantık Önermeler Tablo 2. Birleştirme Operatörünün Doğruluk Tablosu p q p^q D D D D Y Y Y D Y Y Y Y
1.1. Önermeli Mantık Önermeler TANIM 3: p ve q iki önerme olsun. p ve q nun p q şeklinde gösterilen ayırma operatörü «p veya q» önermesi olarak tanımlanır. p q ayırma sonucu p ve q nun her ikisi de yanlış olduğunda yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Tablo 3. Ayırma Operatörünün Doğruluk Tablosu p q p q D D D D Y D Y D D Y Y Y
1.1. Önermeli Mantık Önermeler p önermesi: «Hande nin bilgisayarındaki sabit diskte 16 GB dan daha fazla boş yer vardır.» q önermesi: «Hande nin bilgisayarındaki işlemci 1GHZ den daha hızlı çalışmaktadır.» p veya q ayırma önermesi (p q): «Hande nin bilgisayarındaki sabit diskte 16 GB dan daha fazla boş yer vardır veya Hande nin bilgisayarındaki işlemci 1 GHz den daha hızlı çalışmaktadır.»
1.1. Önermeli Mantık Önermeler TANIM 4: p ve q iki önerme olsun. p ve q nun p q şeklinde gösterilen dışlayıcı veya operatörünün sonucu p ve q nun yalnızca birinin doğru olduğu durumda doğru, diğer durumlarda yanlış olan bir önermedir. Tablo 4. Dışlayıcı Veya nın Doğruluk Tablosu p q p q D D Y D Y D Y D D Y Y Y
1.1. Önermeli Mantık Önermeler TANIM 5: p ve q iki önerme olsun. p q şartlı ifadesi «eğer p ise, bu durumda q» olarak tanımlanmıştır. p q şartlı ifadesi p doğru, q yanlış olduğunda yanlış, diğer durumların hepsinde doğrudur. p q şartlı ifadesinde p ye hipotez (veya öncül), q ya sonuç (veya hüküm) denir. Tablo 5. Şartlı İfade p q nun Doğruluk Tablosu p q p q D D D D Y Y Y D D Y Y D
1.1. Önermeli Mantık Önermeler p q ifadesi bir şartlı ifadedir, çünkü p q, q nun doğruluğunun p nin doğru olması durumuna bağlı olduğunu açıklamaktadır. Bir şartlı ifade aynı zamanda gerektirme olarak ta adlandırılır. ÖRNEK: «Eğer dönem sonu sınavından 100 alırsanız, harf notu olarak A alacaksınız.» p q p q D D D (Eğer dönem sonu sınavından 100 almayı başarırsanız, bu durumda harf notu olarak A almayı beklersiniz.) D Y Y (Fakat, dönem sonu sınavından 100 aldığınız takdirde, harf notu olarak A almazsanız, bu durumda kendini kandırılmış hissedersiniz.) Y D D (Eğer dönem sonu sınavından 100 alamazsanız, harf notu olarak başka kriterlere Y Y göre A alırsınız veya alamazsınız.)
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki cümlelerin hangileri önermedir? Önerme olanların doğruluk değerleri nelerdir? A) Sofya, Bulgaristan ın başkentidir. B) Milano, İtalya nın başkentidir. C) 2+3=5. D) 5+7=10. E) x+2=11. F) Bu soruyu cevaplayınız.
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki cümlelerin hangileri önermedir? Önerme olanların doğruluk değerleri nelerdir? A) Sofya, Bulgaristan ın başkentidir. EVET, D B) Milano, İtalya nın başkentidir. EVET, Y C) 2+3=5. EVET, D D) 5+7=10. EVET, Y E) x+2=11. HAYIR F) Bu soruyu cevaplayınız. HAYIR
ALIŞTIRMALAR 2. Şıklardaki ifadelerin her birinin değilini yazınız. A) Maya nın bir MP3 çaları vardır. B) İzmir de hiç hava kirliliği yoktur. C) 2+1=3. D) Kars ta yaz sıcak ve güneşlidir.
ALIŞTIRMALAR 2. Şıklardaki ifadelerin her birinin değilini yazınız. A) Maya nın bir MP3 çaları vardır. Maya bir MP3 çalara sahip değil. B) İzmir de hiç hava kirliliği yoktur. İzmir de çevre kirliliği var. C) 2+1=3. 2+1 3 D) Kars ta yaz sıcak ve güneşlidir. Kars ta yazları sıcak değil ya da güneşli değil.
ALIŞTIRMALAR 3. Aşağıdaki önermelerin değil leri nelerdir? A) Selim in dizüstü bilgisayarının sabit diskinde 100 GB den fazla yer kalmıştır. B) Zeki, Aynur dan gelen e-posta ve mesajları engellemektedir. C) 7.11.13=999. D) Deniz Pazar günü bisikletiyle 100 mil yol yapmıştır.
3. Aşağıdaki önermelerin değil leri nelerdir? ALIŞTIRMALAR A) Selim in dizüstü bilgisayarının sabit diskinde 100 GB den fazla yer kalmıştır. Selim taşınabilir bilgisayarında 100 GB den fazla boş disk alanına sahip değil. B) Zeki, Aynur dan gelen e-posta ve mesajları engellemektedir. Zeki Aynur dan gelen e-postaları bloke etmez ya da Aynur dan gelen mesajları engellemez. C) 7.11.13=999. 7.11.13 999. D) Deniz Pazar günü bisikletiyle 100 mil yol yapmıştır. Deniz Pazar günü bisikletini 100 mil sürmedi.
ALIŞTIRMALAR 4. Son mali yılda, Arkın Bilgisayar ın senelik satışları 138 milyon lira ve net kârı da 8 milyon lira olmuştur. Nadir Yazılım ın senelik satışları 87 milyon lira ve net kârı da 5 milyon lira olmuştur ve Hızlı Yayıncılık ın senelik satışları 111 milyon lira ve net kârı da 13 milyon lira olmuştur. Buna göre son mali yıl için aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini yazın. A) Hızlı Yayıncılık en fazla satış rakamını elde etmiştir. B) Nadir Yazılım en düşük net kârı elde etmiştir ve Arkın Bilgisayar en fazla satış rakamını elde etmiştir. C) Arkın Bilgisayar en fazla satış rakamını elde etmiştir. D) Eğer Hızlı Yayıncılık en düşük net kârı elde ettiyse, bu durumda Arkın Bilgisayar en fazla satış rakamını elde etmiştir. E) Ancak ve ancak Arkın Bilgisayar ın en fazla satış rakamını elde ettiği durumda Nadir Yazılım en düşük net kârı elde etmiştir.
ALIŞTIRMALAR 4. Son mali yılda, Arkın Bilgisayar ın senelik satışları 138 milyon lira ve net kârı da 8 milyon lira olmuştur. Nadir Yazılım ın senelik satışları 87 milyon lira ve net kârı da 5 milyon lira olmuştur ve Hızlı Yayıncılık ın senelik satışları 111 milyon lira ve net kârı da 13 milyon lira olmuştur. Buna göre son mali yıl için aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini yazın. A) Hızlı Yayıncılık en fazla satış rakamını elde etmiştir. Y B) Nadir Yazılım en düşük net kârı elde etmiştir ve Arkın Bilgisayar en fazla satış rakamını elde etmiştir. D C) Arkın Bilgisayar en fazla satış rakamını elde etmiştir. D D) Eğer Hızlı Yayıncılık en düşük net kârı elde ettiyse, bu durumda Arkın Bilgisayar en fazla satış rakamını elde etmiştir. D E) Ancak ve ancak Arkın Bilgisayar ın en fazla satış rakamını elde ettiği durumda Nadir Yazılım en düşük net kârı elde etmiştir. D
ALIŞTIRMALAR 5. p ve q sırasıyla «Mersin sahilinde yüzmeye izin verilmektedir.» ve «Sahil yakınlarında köpekbalıklarına rastlanmıştır.» önermeleri olsun. Aşağıdaki önermeleri birer Türkçe cümle olarak yazınız. A) p B) p^q C) p q D) p q E) q p F) p q
ALIŞTIRMALAR 5. p ve q sırasıyla «Mersin sahilinde yüzmeye izin verilmektedir.» ve «Sahil yakınlarında köpekbalıklarına rastlanmıştır.» önermeleri olsun. Aşağıdaki önermeleri birer Türkçe cümle olarak yazınız. A) p Köpekbalıkları kıyıya yakın tespit edilmemiştir. B) p^q Mersin sahilinde yüzmeye izin verilir ve köpekbalıkları kıyıya yakın tespit edilmiştir. C) p q Mersin sahilinde yüzmeye izin verilmez, ya da köpekbalıkları kıyıya yakın tespit edilmiştir. D) p q Mersin sahilinde yüzmeye izin verilirse, o zaman köpekbalıkları kıyıya yakın tespit edilmemiştir. E) q p Köpekbalıkları kıyıya yakın tespit edilmemişse, o zaman Mersin sahilinde yüzmeye izin verilir. F) p q Mersin sahilinde yüzmeye izin verilmemişse, o zaman köpekbalıkları kıyıya yakın tespit edilmemiştir.
ALIŞTIRMALAR 6. p ve q aşağıdaki önermeler olsun: p: Şu anda sıcaklık donma derecesinin altındadır. q: Kar yağmaktadır. Aşağıdaki önermeleri p ve q ve mantıksal bağlayıcılar kullanarak yazınız. A) Şu anda sıcaklık donma derecesinin altındadır fakat kar yağmamaktadır. B) Şu anda sıcaklık donma derecesinin altında değildir ve kar yağmamaktadır. C) Şu anda ya sıcaklık donma derecesinin altındadır ya da kar yağmaktadır (ya da her ikisi de) D)Eğer şu anda sıcaklık donma derecesinin altında ise aynı zamanda kar yağmaktadır.
ALIŞTIRMALAR 6. p ve q aşağıdaki önermeler olsun: p: Şu anda sıcaklık donma derecesinin altındadır. q: Kar yağmaktadır. Aşağıdaki önermeleri p ve q ve mantıksal bağlayıcılar kullanarak yazınız. A) Şu anda sıcaklık donma derecesinin altındadır fakat kar yağmamaktadır. p^ q B) Şu anda sıcaklık donma derecesinin altında değildir ve kar yağmamaktadır. p^ q C) Şu anda ya sıcaklık donma derecesinin altındadır ya da kar yağmaktadır (ya da her ikisi de) p q D)Eğer şu anda sıcaklık donma derecesinin altında ise aynı zamanda kar yağmaktadır. p q
ALIŞTIRMALAR 7. p ve q aşağıdaki önermeler olsun: p: Saatte 100 km nin üzerinde hız yaptınız. q: Aşırı hızdan ötürü trafik cezası aldınız. Aşağıdaki önermeleri p ve q ve mantıksal bağlayıcılar kullanarak yazınız. A) Saatte 100 km nin üzerinde hız yapmadınız. B) Saatte 100 km nin üzerinde hız yaptınız, fakat aşırı hızdan ötürü trafik cezası almadınız. C) Saatte 100 km nin üzerinde hız yaparsanız aşırı hızdan ötürü trafik cezası alırsınız. D) Saatte 100 km nin üzerinde hız yapmazsanız aşırı hızdan ötürü trafik cezası almazsınız. E) Saatte 100 km nin üzerinde hız yapmanız aşırı hızdan ötürü trafik cezası almanız için yeterlidir. F) Aşırı hızdan ötürü trafik cezası aldınız, fakat saatte 100 km nin üzerinde hız yapmadınız. G) Aşırı hızdan ötürü trafik cezası aldığınız her zaman saatte 100 km nin üzerinde hız yapmıştınız.
ALIŞTIRMALAR 7. p ve q aşağıdaki önermeler olsun: p: Saatte 100 km nin üzerinde hız yaptınız. q: Aşırı hızdan ötürü trafik cezası aldınız. Aşağıdaki önermeleri p ve q ve mantıksal bağlayıcılar kullanarak yazınız. A) Saatte 100 km nin üzerinde hız yapmadınız. p B) Saatte 100 km nin üzerinde hız yaptınız, fakat aşırı hızdan ötürü trafik cezası almadınız. p^ q C) Saatte 100 km nin üzerinde hız yaparsanız aşırı hızdan ötürü trafik cezası alırsınız. p q D) Saatte 100 km nin üzerinde hız yapmazsanız aşırı hızdan ötürü trafik cezası almazsınız. p q E) Saatte 100 km nin üzerinde hız yapmanız aşırı hızdan ötürü trafik cezası almanız için yeterlidir. p q F) Aşırı hızdan ötürü trafik cezası aldınız, fakat saatte 100 km nin üzerinde hız yapmadınız. q ^ p G) Aşırı hızdan ötürü trafik cezası aldığınız her zaman saatte 100 km nin üzerinde hız yapmıştınız. q p
ALIŞTIRMALAR 8. Aşağıdaki şartlı önermelerin doğru mu yanlış mı olduklarını belirleyiniz. A) Eğer 1+1=2 ise, 2+2=5. B) Eğer 1+1=3 ise, 2+2=4. C) Eğer 1+1=3 ise, 2+2=5. D) Eğer maymunlar uçabilir ise, 1+1=3.
ALIŞTIRMALAR 8. Aşağıdaki şartlı önermelerin doğru mu yanlış mı olduklarını belirleyiniz. A) Eğer 1+1=2 ise, 2+2=5. Y B) Eğer 1+1=3 ise, 2+2=4. D C) Eğer 1+1=3 ise, 2+2=5. D D) Eğer maymunlar uçabilir ise, 1+1=3. D