ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ. Adil HUSEYNOV ANKARA 2010

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ Adil HUSEYNOV MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA 200 Her hkkı sklıdır

ÖZET Doktor Tezi YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALRI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ Adil HUSEYNOV Ankr Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mtemtik Anbilim Dlı Dnışmn: Prof. Dr. Elgiz BAYRAM Bu tez çlışmsı beş bölümden oluşmktdır. Birinci bölüm giriş kısmın yrılmıştır. Bu bölümde, önce tez çlışmsının kpsmı ve önemi ile ilgili bilgiler verilmiştir. Ardındn tez çlışmsınd kullnıln mteryl ve yöntem çıklnmıştır. Đkinci bölüm yrdımcı bölüm olmk üzere bu bölümde zmn sklsınd nlizin temelleri verilmiştir. Tnım kümesi zmn sklsı oln fonksiyonlr için türev ve integrl kvrmlrı örneklerle çıklnmış ve bzı önemli teoremler sunulmuştur. Üçüncü bölümde, sınırlı zmn sklsı rlığı üzerinde Sturm-Liouville özdeğer probleminin 2 spektrl nlizi ypılmış ve özfonksiyonlrı cinsinden seri biçiminde hem L metriğine göre ykınsk ve hemde düzgün ykınsk çılım formülleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, yrı-sonsuz zmn sklsı rlığı üzerinde Sturm-Liouville özdeğer problemi için spektrl fonksiyonun vrlığı gösterilmiş ve spectrl fonksiyon rcılığı ile özfonksiyonlr cinsinden integrl biçiminde çılım formülü ve Prsevl eşitliği isptlnmıştır. Beşinci bölüm, sonuç kısmındn oluşmktdır. Ksım 200, 72 syf Anhtr Kelimeler: Zmn sklsı, Delt ve nbl türevler, Sturm-Liouville opertörü, Spektrl fonksiyon, Prsevl eşitliği. i

ABSTRACT Ph.D. Thesis THE STURM-LIOUVILLE OPERATOR ON SEMI-INFINITE TIME SCALES Adil HUSEYNOV Ankr University Grdute School of Nturl nd Applied Sciences Deprtment of Mthemtics Supervisor: Prof. Dr. Elgiz BAYRAM This thesis consists of five chpters. In the first chpter being introduction, the contents of the thesis re described nd the methods used in the thesis re explined. The second chpter is n uxiliry chpter. In this chpter, bsics of the time scle nlysis re given. The concepts of the derivtive nd integrl re introduced for functions whose domin of definition is time scle. Vrious exmples nd importnt theorems re presented. In the third chpter, spectrl nlysis of the Sturm-Liouville opertor on the bounded time scle intervl is developed nd eigenfunction expnsions in the form of series re estblished which 2 re convergent in L metric nd lso expnsions which re convergent uniformly. In the fourth chpter, the existence of spectrl function for the Sturm-Liouville opertor on the semi-infinite time scle intervl is proved. A Prsevl equlity nd n expnsion in eigenfunctions formul re estblished in terms of the spectrl function. The fifth chpter consists of conclusion. November 200, 72 pges Key Words: Time scle, Delt nd nbl derivtives, Sturm-Liouville opertor, Spectrl function, Prsevl equlity. ii

TEŞEKKÜR Bu tez konusund çlışmlrımın her sfhsınd ykın ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dnışmn hocm, Syın Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Ankr Üniversitesi Fen Fkültesi), bn her konud destek oln eşime en içten sygı ve teşekkürlerimi sunrım. Ayrıc, doktor öğrenimim süresince, Bilim Đnsnı Destekleme Bşknlığı (BĐDEB) Ybncı Uyruklulr için Doktor Burs Progrmı çerçevesinde bn mddi destek sğlyn Türkiye Bilimsel ve Teknik Arştırm Kurumu n (TÜBĐTAK ) teşekkür ederim. Adil HUSEYNOV Ankr, Ksım 200 iii

ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR iii SĐMGELER DĐZĐNĐ... v. GĐRĐŞ..... Çlışmnın Kpsmı.....2 Çlışmnın Önemi. 7.3 Mteryl ve Yöntem....0 2. ZAMAN SKALASINDA ANALĐZDEN YARDIMCI BĐLGĐLER... 2. Sürekli Anliz ve Diskrit Anliz...... 2.2 Zmn Sklsı. 3 2.3 Zmn Sklsınd Türev...5 2.4 Zmn Sklsınd Đntegrl.....2 3. SINIRLI ZAMAN SKALASI ARALIĞI ÜZERĐNDE ÖZFONKSĐYONLAR CĐNSĐNDEN AÇILIMLAR. 26 3. Özfonksiyonlr Cinsinden 2 L Anlmınd Ykınsk Açılımlr.......26 3.2 Özfonksiyonlr Cinsinden Düzgün Ykınsk Açılımlr.....4 4. YARI-SONSUZ ZAMAN SKALASI ARALIĞI ÜZERĐNDE ÖZFONKSĐYONLAR CĐNSĐNDEN AÇILIMLAR.....48 4. Ess Sonuç.... 48 4.2 Özel Hller.... 5 4.3 Bzı Yrdımcı Bilgiler.....56 4.4 Teorem 4.. in Đsptı.....57 5. SONUÇ...67 KAYNAKLAR...68 ÖZGEÇMĐŞ...7 iv

SĐMGELER DĐZĐNĐ C R Z N N 0 hz { hk: k Z} Kompleks syılr kümesi Reel syılr kümesi Tm syılr kümesi Pozitif tm syılr kümesi Negtif olmyn tm syılr kümesi T Zmn sklsı σ Đleriye soçrm opertörü ρ Geriye sıçrm opertörü Delt türevleme opertörü Nbl türevleme opertörü H Hilbert uzyı.,. Đç çrpım λ Spektrl prmetre W t ( y, z) y ve z fonksiyonlrının Wronskin ı v

I. G IR IŞ Klsik Anliz de, tek de¼gişkene b¼gl bir fonksiyonun türevi ve Riemnn integrli tn mln rken bu fonksiyonun tn m kümesinin reel sy lr kümesi R nin bir rl ¼g (özel hlde R nin kendisi) oldu¼gu vrsy l r. 990 y l nd Almn mtemtikçiler Bernd Aulbch ve Stefn Hilger (Aulbch ve Hilger 990, Hilger 990) tn m kümesi zmn skls olrk isimlendirilen ve dh kr ş k yp y ship bir reel sy kümesi oln fonksiyonlr için türev (delt türev) kvrm n tn mlm ş ve klsik klkülüsden dh genel bir klkülüs geliştirmiştir. Zmn skls T, reel sy lr kümesi R nin boş olmyn kpl bir lt kümesi olrk tn mln r. Özel hlde T = R reel sy lr kümesi vey T = Z tm sy lr kümesi olbilir. f : T! R fonksiyonlr için geliştirilen yeni Anliz T = R hlinde klsik sürekli nlizi ve T = Z hlinde de klsik diskrit nlizi vermektedir. Genelde T kümesi R ve Z den frkl olbilece¼ginden dh genel oln melez bir nliz orty ç kr. Fonksiyonun b¼gl oldu¼gu serbest de¼gişken prtikte ço¼gu hllerde zmn gösterdi¼ginden T tn m kümesine zmn skls d verilmiştir. Bilinmeyen fonksiyonun yeni türevlerini içeren diferensiyel denklemler tn mlyrk ve yeni klkülüsü kullnrk l şt ¼g m z diferensiyel denklemler teorisini ve diskrit denklemler (frk denklemleri) teorisini birleştiren ve genelleştiren bir denklemler (dinmik denklemler) teorisi geliştirilebilir (Hilger 990, Lkshmiknthm vd. 996, Bohner ve Peterson 200, Bohner ve Peterson 2003).. Çl şmn n Kpsm T bir zmn skls olsun. Zmn skls T; reel sy lr kümesi R nin boş olmyn kpl bir lt kümesi olrk tn mln r. Bir f : T! R (vey C) fonksiyonu için f nin delt türevi f (t) ve nbl türevi f r (t) şu formüller ile tn mln r: f f((t)) (t) = lim s!t (t) f(s) ; f r f((t)) (t) = lim s s!t (t) f(s) : s Burd (t) = inffs 2 T : s > tg ve (t) = supfs 2 T : s < tg: : T! T opertörüne ileriye s çrm opertörü ve : T! T opertörüne de

geriye s çrm opertörü denir. (t) nokts n T içinde t den "bir sonrki nokt", (t) nokts n d T içinde t den "bir önceki nokt" denir. Tez çl şmm z n ess sonuçlr n burd k sc verelim. Ikinci bölüm yrd mc bölüm olmk üzere bu bölümde zmn skls nd nlizin temelleri verilmiştir. Tn m kümesi zmn skls oln fonksiyonlr için türev ve integrl kvrmlr örneklerle ç klnm ş ve bz önemli teoremler sunulmuştur. Üçüncü bölümde s n rl (; b] T zmn skls rl ¼g üzerinde p(t)y (t) r + q(t)y(t) = y(t); t 2 (; b]t ; (.) y() hy [] () = 0; y(b) + Hy [] (b) = 0 (.2) biçiminde Sturm-Liouville özde¼ger probleminin spektrl nlizi yp lm ş ve özfonksiyonlr cinsinden seri biçiminde hem L 2 metri¼gine göre yk nsk ve hemde düzgün yk nsk ç l m formülleri elde edilmiştir. Burd y [] (t) = p(t)y (t) dir ve y(t) nin kuzi -türevi olrk isimlendirilir. Şu koşullr n s¼glnms istenmiştir: (C) p(t) süreklidir (zmn skls metri¼gine göre) ve prçl sürekli p r (t) türevine shiptir, q(t) prçl süreklidir. (C2) p(t) > 0; q(t) 0; h 0; H 0: H ile ş¼g dki Hilbert uzy n gösterelim: H = y : (; b] T! R j hy; zi = kyk = p hy; yi = y 2 tn (t)rt < = L 2 r (; b] ; y(t)z(t)rt; y 2 2 (t)rt : Ayr c, e¼ger b sol-yy lm ş ve H = 0 ise H e it y fonksiyonlr için y(b) = 0 oldu¼gu isteniyor. Şu teorem isptlnm şt r. 2

Teorem.. (C) ve (C2) koşullr lt nd (.), (.2) özde¼ger problemi için f k g özde¼gerleri ve bunlr krş l k özfonksiyonlr n ortonorml f' k g sistemi vrd r. Her k özde¼geri pozitiftir ve bsittir (bir ktl d r). f' k g sistemi H Hilbert uzy için bir ortonorml bz oluşturur. Doly s yl özde¼gerlerin sy s N = dim H sy s n eşittir. Her f 2 H fonksiyonu ' k özfonksiyonlr cinsinden f(t) = NX c k ' k (t) (.3) k= (ç l m formülü) şeklinde yz lbilir, burd c k olup c k = sbitleri f nin Fourier ktsy lr ' k (t)f(t)rt (.4) formülü ile tn mln r. N = hlinde (.3) ün s¼g trf bir sonsuz seridir ve bu seri f fonksiyonun H uzy n n metri¼gine göre, yni ortlm kresel metri¼ge göre yk nskt r: lim n! " f(t) 2 nx c k ' k (t)# rt = 0: (.5) k= Belirtelim ki " f(t) 2 nx c k ' k (t)# rt = k= f 2 (t)rt nx k= c 2 k oldu¼gundn, (.5) den şu Prsevl eşitli¼gi bulunur: f 2 (t)rt = NX c 2 k: (.6) k= Ard ndn, ç l m yp ln fonksiyon üzerine bz pürüzsüzlük koşullr konulrk, şu düzgün yk nskl k teoremi isptlnm şt r (dim H < hlinde seri sonlu toplm dönüştü¼günden dim H = oldu¼gu vrsy l yor): Teorem.2. f : [; b] T! R fonksiyonu sürekli olsun ve (; b) T rl ¼g n n içinde bulunn sonlu tne t ; t 2 ; : : : ; t m noktlr n n d ş nd [; b] T rl ¼g nd her yerde f (t) 3

delt türevine ship olsun, f (t) bu noktlr n d ş nd her yerde sürekli olsun ve f bu noktlrd s¼gdn ve soldn sonlu limitlere ship olsun. Ayr c, f fonksiyonu f() hf [] () = 0; f(b) + Hf [] (b) = 0 s n r koşullr n s¼gls n, burd f [] (t) = p(t)f (t) dir. Bu durumd, c k = f(t)' k (t)rt olmk üzere X c k ' k (t) serisi [; b] T rl ¼g üzerinde f fonksiyonun düzgün yk nsr. Dördüncü bölümde yr -sonsuz (; ) T zmn skls rl ¼g üzerindeki k= [p(t)y (t)] r + q(t)y(t) = y(t); t 2 (; ) T ; (.7) y() hy [] () = 0 (.8) özde¼ger problemi için spektrl fonksiyonun vrl ¼g gösterilmiş ve spectrl fonksiyon rc l ¼g ile özfonksiyonlr cinsinden integrl biçiminde ç l m formülü isptlnm şt r. T zmn skls n n lttn s n rl ve üstten s n rs z oldu¼gu vrsy l yor: inf T = > ve sup T = : T nin R içinde kpl olms ndn 2 T oldu¼gu ç kr. T yn zmnd [; ) T olrk d gösteriliyor ve on yr -sonsuz zmn skls rl ¼g denir. Zmn skls rl klr n indiste T ve reel eksen rl klr n d indiste R yzrk belirtece¼giz. (.7), (.8) probleminde spektrl (kompleks) prmetredir. Reel de¼gerli p(t) fonksiyonunun [; ) T rl ¼g nd sürekli oldu¼gu, (; ) T rl ¼g nd prçl sürekli p r türevine 4

ship oldu¼gu ve bz c ve C sbitleri için 0 < c p(t) C; t 2 [; ) T (.9) eşitsizli¼gini s¼gld ¼g vrsy l yor, reel de¼gerli q(t) fonksiyonu [; ) T rl ¼g nd prçl süreklidir, h bir reel sy d r, y [] (t) ile y(t) nin p(t)y (t) kuzi -türevi gösterilmiştir. '(t; ) ile (.7) denkleminin '(; ) = h; ' [] (; ) = ; (.0) bşlng ç koşullr n s¼glyn çözümünü gösterelim. '(t; ) n n (.8) s n r koşulunu s¼gld ¼g n görüyoruz. Belirtelim ki n n reel degerleri için '(t; ) reeldir. H ile ş¼g dki koşullr s¼glyn f : (; ) T! R fonksiyonlr n n Hilbert uzy n gösterelim: (D) R f 2 (t)rt < : (D2) E¼ger (; ) T rl ¼g n n sol uç nokts s¼g-yy lm ş ve yn zmnd ise f(()) = 0 olsun. + hp() () = 0 H uzy n n iç çrp m hf ; f 2 i r = f (t)f 2 (t)rt formülü ile tn mln r. Belirtelim ki (D2) koşulu, y() hy [] () = 0 s n r koşulunu s¼glyn ve t nin büyük de¼gerlerinde s f r oln sürekli -türevlenebilir y : [; ) T! R fonksiyonlr n n H içinde yo¼gun olms n s¼glmk için istenmiştir. E¼ger bir bir fonksiyonu < < rl ¼g nd zlmyn herhngi fonksiyon ise L 2 ( ; ) ile fonksiyonunun belirledi¼gi Lebesgue-Stieltjes ölçümüne göre ölçülebilir 5

ve koşulunu s¼glyn h : ( h 2 ()d() < ; ) R! R fonksiyonlr n n hh ; h 2 i = iç çrp ml Hilbert uzy n gösterelim. h ()h 2 ()d() Dördüncü bölümün ess sonucu şu hükümdür. Teorem.3. (.7), (.8) problemi için, < < rl ¼g nd zlmyn ve ş¼g dki özelliklere ship bir! fonksiyonu vrd r: (i) E¼ger f 2 H ise öyle bir F 2 L 2!( lim F () 2T;! ; ) fonksiyonu vrd r ki Z f(t)'(t; )rt 2 d!() = 0 (.) d r ve Prsevl eşitli¼gi do¼grudur. f 2 (t)rt = F 2 ()d!() (.2) (ii) integrli H içinde f ye yk ns yor, yni F ()'(t; )d!() lim! f(t) Z F ()'(t; )d!() 2 rt = 0: (.3)! fonksiyonun (.7), (.8) probleminin spektrl fonksiyonu denir. f(t)'(t; )rt 6

ile (.) ile tn ml F fonksiyonunun nokts ndki de¼gerini gösterece¼giz: F () = f(t)'(t; )rt: (.4) F fonksiyonun f fonksiyonunun ' fonksiyonu rc l ¼g ile genelleşmiş Fourier dönüşümü gibi bk lbilir Böylece, f(t) = F ()'(t; )d!() (.5) yzbiliriz, burd eşitlik (.3) nlm nd düşünülür ve (.5) eşitli¼gine (bu eşitli¼ge F nin ters Fourier dönüşümü gibi bk lbilir) özfonksiyonlr cinsinden ç l m formülü denir. E¼ger f; örne¼gin, sürekli ve T içindeki büyük t ler için s f r ise (.4) deki integrl di nlmd mevcuttur..2 Çl şmn n Önemi Mtemtiksel zi¼gin bir çok problemleri diferensiyel opertörlerin özde¼gerlerinin ve özfonksiyonlr n n incelenmesini ve key verilen fonksiyonun d özfonksiyonlr cinsinden seriye (vey integrle) ç l m n gerektiriyor. Örne¼gin, s n r ve bşlng ç kosullr lt nd k smi diferensiyel denklemi Fourier metodu (de¼gişkenleri y rm metodu) ile çözerken bu tür problemler orty ç kr. Bu nedenle diferensiyel opertörlerin spektrl teorisi, yni diferensiyel opertörlerin spektrumunun incelenmesi ve verilen fonksiyonlr n bu opertörlerin özfonksiyonlr cinsinden ç l m her zmn dikkt çekmiştir. Özellikle de kuntum mekni¼ginin gelişmesi spektrl problemlerin incelenmesini teşvik etmiştir. Ayr c, kuntum mekni¼gi "singüler" diferensiyel opertörlerin, örne¼gin, sonsuz rl klr üzerinde verilen opertörlerin incelenmesini gerektiriyor. Böyle opertörler genelde diskrit spectrumun yn nd sürekli spektrum d ship olbiliyor ve buyüzden özfonksiyonlr cinsinden ç l m formülü Stieltjes integrli cinsinden ifde edilir (Nimrk 968). Di¼ger trftn, diskrit denklemler (frk denklemleri) hem ilginç ve hemde fydl zengin bir spektrl teoriye shiptir (Atkinson 964, Bereznskii 968). Son 20 y l zrf nd diferensiyel denklemleri ve frk denklemlerini birleştiren ve genelleştiren bir teori, zmn skls üzerinde dinmik 7

denklemler teorisi, geliştirilmiştir (Hilger 990, Lkshmiknthm vd. 996, Bohner ve Peterson 200, Bohner ve Peterson 2003). Zmn skls üzerinde opertörler için spektrl teori son zmnlrd gelişmeye bşlm şt r ve bu konud z sy d çl şmlr yp lm şt r. Zmn skllr üzerinde lineer -diferensiyel denklemler için özde¼ger problemleri üzerine ilk çl şmlr Agrwl vd. 999 ve Chyn vd. 998 trf ndn yp lm şt r. Agrwl vd. 999 mklesinde zmn skllr üzerinde yr k s n r koşullr lt nd Sturm-Liouville özde¼ger problemi için bir sl n ml l k teoremi verilmiş ve özde¼gerler için Ryleigh prensibi elde edilmiştir. Chyn vd. 998 mklesinde, Bnch uzy nd koniye göre pozitif opertörler teorisi uygulnrk zmn skllr üzerinde ikinci mertebeden -diferensiyel denklemler için özde¼ger problemlerinin en küçük pozitif özde¼gerinin vrl ¼g isptlnm ş ve rd ndn bu tür iki özde¼ger probleminin en küçük pozitif özde¼gerleri için bir krş lşt rm teoremi verilmiştir. Çok özel p(t) ; q(t) 0; h = H = 0 hlinde (.), (.2) ve (.7), (.8) problemleri için özfonksiyonlr cinsinden ç l mlr Guseinov 2007 ve Guseinov 2008 mklelerinde yp lm şt r. (.) denkleminde T = [0; ) R reel sy lr rl ¼g olsun. Bu durumd her t 2 T için (t) = t; (t) = t olup y (t) = y r (t) = y 0 (t) olrk bulunur. Bun göre (.7), (.8) problemi [p(t)y 0 (t)] 0 + q(t)y(t) = y(t); 0 < t < ; (.6) şeklini l r, burd y [] (t) = p(t)y 0 (t): y(0) hy [] (0) = 0 (.7) T = f ; 0; ; 2; : : :g negtif olmyn tm sy lr kümesi olsun. Bu durumd (t) = t + ; (t) = t olup y (t) = y(t + ) y(t); y r (t) = y(t) y(t ) 8

olrk bulunur. Bun göre p(t)y (t) r = p(t)y (t) p(t )y (t ) ve (.7), (.8) problemi, = p(t)[y(t + ) y(t)] p(t )[y(t) y(t )] = p(t )y(t ) [p(t ) + p(t)]y(t) + p(t)y(t + ) q (t) = q(t) + p(t ) + p(t) olmk üzere, p(t )y(t ) + q (t)y(t) p(t)y(t + ) = y(t); t 2 f0; ; 2; : : :g; (.8) y( ) hp( )[y(0) y( )] = 0 (.9) şeklini l r. (.8) de t = n 2 f0; ; 2; : : :g yzrsk p(n )y(n ) + q (n)y(n) p(n)y(n + ) = y(n); n 2 f0; ; 2; : : :g: Şimdi olrk işretlersek son denklem p(n) = n ; q (n) = b n ; y(n) = y n n y n + b n y n + n y n+ = y n ; n 2 f0; ; 2; : : :g (.20) şeklinde yz l r. Böylece, zmn skls ndki (.7) denkleminin özel hllerde klsik (.6) Sturm- Liouville denklemini ve klsik (.20) diskrit Sturm-Liouville denklemini verdi¼gini görüyoruz. Genel hlde, T zmn skls [0; ) R reel sy lr rl ¼g ndn ve f ; 0; ; 2; : : :g tm sy lr lt kümesinden frkl olbilece¼ginden, (.7) denklemi frkl özel hlleri 9

de içermektedir. Belirtelim ki (.6), (.7) singüler Sturm-Liouville probleminin spektrl teorisi 90 y l nd Germn Weyl trf ndn yp lm ş ve bu problem için spektrl fonksiyonun vrl ¼g gösterilmiştir (Weyl 90). (.20) diskrit denkleminin spektrl teorisi Atkinson 964, Akhiezer 965 ve Bereznskii 968 kynklr nd verilmiştir..3 Mteryl ve Yöntem Doktor tezinin hz rlnms nd, kynklr k sm nd belirtilmiş oln litertürden yrrln lm şt r. Zmn Skls nd Anliz in, Diferensiyel Opertörler Teorisi nin ve Fonksiyonel Anliz in yöntemleri kulln lm şt r. S n rl zmn skls rl ¼g üzerinde ele l nm ş oln (.), (.2) probleminin özde¼gerlerinin ve özfonksiyonlr n n vrl ¼g n göstermek ve özfonksiyonlr cinsinden L 2 metri¼gine göre yk nsk ç l m formülü elde etmek için Hilbert uzy içinde kendine-eşlenik tmmen sürekli opertörler için bilinen Hilbert-Schimidt teoremi uygulnm şt r. Yr -sonsuz zmn skls rl ¼g üzerinde ele l nm ş (.7), (.8) problemi için özfonksiyonlr cinsinden ç l m förmülü elde etmek için "limite geçme" yöntemi uygulnm şt r: sonsuz rl k üzerindeki probleme sonlu rl k üzerindeki problemin, rl ¼g n uzunlu¼gu sonsuz gitti¼ginde, limiti gibi bk lm şt r. Böyle metod klsik diferensiyel denklemler için 950 y l nd birbirinden b¼g ms z olrk Levinson, Levitn ve Yosid trf ndn uygulnm şt r (Coddington ve Levinson 955, Yosid 960, Levitn ve Srgsjn 975). 0

2. ZAMAN SKALASINDA ANAL IZDEN YARDIMCI B ILG ILER Bu bölümde, tn m kümesi zmn skls oln fonksiyonlr için türev ve integrl kvrmlr örneklerle ç klnm ş ve bz temel teoremler verilmiştir. 2. Sürekli Anliz ve Diskrit Anliz Sürekli nliz tn m kümesi reel sy lr kümesi R vey R nin bir rl ¼g oln fonksiyonlr n nlizini (türevini, integrlini vs.), diskrit nliz de tn m kümesi tm sy lr kümesi Z vey h > 0 bir reel sy olmk üzere "h-sy lr" kümesi hz = fhk : k 2 Zg oln fonksiyonlr n nlizini ypr. Di¼ger bir diskrit nliz de tn m kümesi q > bir reel sy olmk üzere "q-sy lr" kümesi q Z = fq k : k 2 Zg oln fonksiyonlr n nlizidir. Belirtelim ki hz nin elemnlr bir ritmetik dizi, q Z nin elemnlr d bir geometrik dizi oluşturmktd r. f : R! R fonksiyonunun t 2 R nokts ndki türevi Df(t) = f 0 f(t) (t) = lim s!t t f(s) ; s f : hz! R fonksiyonunun t 2 hz nokts ndki türevi h f(t) = f(t + h) f(t) h ; özel hlde (h = ), f : Z! R fonksiyonunun t 2 Z nokts ndki türevi f(t) = f(t + ) f(t);

f : q Z! R fonksiyonunun t 2 q Z nokts ndki türevi de D q f(t) = f(qt) qt f(t) t = f(qt) f(t) (q )t formülü ile tn mln r. Örnek 2... f(t) = t 2 fonksiyonunun türevi: tn m kümesi R iken D(t 2 ) = (t 2 ) 0 t 2 s 2 = lim s!t t s = lim s!t (t s)(t + s) t s = lim s!t (t + s) = 2t; tn m kümesi hz iken h (t 2 ) = (t + h)2 t 2 h = 2th + h2 h = 2t + h; özel hlde (h = ), tn m kümesi Z iken (t 2 ) = (t + ) 2 t 2 = 2t + ; tn m kümesi q Z iken de D q (t 2 ) = (qt)2 t 2 (q )t = (q2 )t 2 (q )t = (q + )t olrk bulunur. f : R! R bilinmeyen (rn ln) fonksiyonunun bir vey birkç tne Df(t); D 2 f(t); : : : türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklemler (di erentil equtions) denir; f : hz! R (özel hlde, f : Z! R) bilinmeyen fonksiyonunun bir vey birkç tne h f(t); 2 h f(t); : : : (özel hlde, f(t); 2 f(t); : : :) türevlerini içeren denklemlere frk denklemleri (di erence equtions); f : q Z! R bilinmeyen fonksiyonunun bir vey birkç tne D q f(t); Dqf(t); 2 : : : türevlerini içeren denklemlere de q-frk denklemleri 2

(q-di erence equtions) denir. Sürekli denklemler (diferensiyel denklemler) ve onlr n diskrit krş l klr (frk denklemleri) litertürde eski zmnlrdn beri birbirine prlel şekilde ve birbiriyle krş lşt r lrk gelişmişlerdir. Diferensiyel denklemler ve frk denklemleri teorileri rs nd çrp c benzerliklerin oldu¼gu orty ç km şt r. Bu benzerliklerin mevcutlu¼gu sürekli türev tn m yl diskrit türev tn m rs ndki yk nl ktn kynklnmktd r: lim hf(t) = f 0 (t) = Df(t) ve lim D q f(t) = f 0 (t) = Df(t) h!0 q! oldu¼gu görülebilir. Doly s yl h ve D q türevleme işlemleri D türevleme işleminin diskritleştirilmiş yklş k şekilleri olrk düşünülebilir. Sürekli ve diskrit teoriler rs ndki benzerlikler ve frkl l klr türev için şu çrp m ve orn (bölüm) kurllr nd d görülebilir: D[f(t)g(t)] = f 0 (t)g(t) + f(t)g 0 (t); D f(t) = f 0 (t)g(t) f(t)g 0 (t) ; g(t) [g(t)] 2 h [f(t)g(t)] = [ h f(t)]g(t) + f(t + h) h g(t); f(t) h = [ hf(t)]g(t) f(t) h g(t) ; g(t) g(t)g(t + h) D q [f(t)g(t)] = [D q f(t)]g(t) + f(qt)d q g(t); f(t) D q = [D qf(t)]g(t) f(t)d q g(t) : g(t) g(t)g(qt) 2.2 Zmn Skls Amc m z tn m kümesi dh genel (mümkün oldu¼gu kdr key ) bir T R kümesi oln f : T! R fonksiyonlr için nliz (türev, integrl vs.) ypmkt r. T nin boş küme olmd ¼g n ve R içinde bir kpl lt küme oldu¼gunu vrsyc¼g z. 3

Tn m 2.2.. R nin boş olmyn kpl herhngi lt kümesi T ye zmn skls (time scle) denir. f : T! R fonksiyonunun b¼gl oldu¼gu t 2 T serbest de¼gişkeni prtikte ço¼gu hllerde zmn gösterdi¼ginden T tn m kümesine zmn skls d verilmiştir. Genelde f : T! R fonksiyonunun b¼gl oldu¼gu t 2 T de¼gişkeni zmn göstermek zorund de¼gildir. R; Z; hz; q N 0 ; K q = q Z [ f0g; N; N 0 ; [0; ] [ [2; 3]; [0; ] [ N kümeleri birer zmn skls d r. Burd [0; ] ve [2; 3]; R içinde rl klrd r, N = f; 2; 3 : : :g do¼gl sy lr kümesi, N 0 = f0; ; 2; : : :g de negtif olmyn tm sy lr kümesidir. T R zmn skls n d(t; s) = jt sj ; t; s 2 T (2.2.) metri¼gi ile bir metrik uzy olrk bkc¼g z. T nin R içinde d(x; y) = jx yj ; x; y 2 R; metri¼gine göre kpl bir lt küme olms ndn T nin (2.2.) metri¼gi ile bir tm (complete) metrik uzy oldu¼gu ç kr. Böylece, metrik uzylr n genel teorisi suretiyle T için dizinin limiti, noktn n komşulu¼gu, ç k küme, kpl küme, kompkt küme vs. gibi kvrmlr ship bulunuyoruz. Örne¼gin, > 0 verilen bir reel sy olmk üzere t 0 2 T nokts n n - komşulu¼gu U (t 0 ) = ft 2 T : jt t 0 j < g kümesi olrk tn mln r. Ayn zmnd, f : T! R fonksiyonlr için süreklilik kvrm n ve sürekli fonksiyonlr n genel özelliklerine shibiz. Bir sonrki kesimde f : T! R fonksiyonlr için türev kvrm n verece¼giz. Bu, T metrik uzy n n özel yp s ndn doly mümkün olckt r. T nin genel metrik uzylrdn önemli bir frk T de s rlm ("büyük", "küçük") b¼g nt s n n mevcut olms d r. Bunu kullnrk T de "rl klr" tn mlnbilir: e¼ger ; b 2 T ve b ise [; b] T = ft 2 T : t bg; (; b) T = ft 2 T : < t < bg; [; b) T = ft 2 T : t < bg; (; b] T = ft 2 T : < t bg 4

gibi kpl, ç k, yr kpl (yt ç k) zmn skls rl klr tn mln r. = b hlinde (; b) T ; [; b) T ve (; b] T rl klr boş küme olrk düşünülür. 2.3 Zmn Skls nd Türev T R bir zmn skls ve f : T! R de bir fonksiyon olsun. f nin t 2 T nokts nd öyle f (t) ile gösterece¼gimiz türevini (delt türevini vey -türevini) tn mlmk istiyoruz ki. T= R hlinde f (t) = f 0 (t); 2. T=hZ hlinde f (t) = h f(t) = f(t+h) f(t) h ; 3. T=K q hlinde de f (t) = D q f(t) = f(qt) f(t) (q )t olsun. Bu mçl ileri s çrm opertörü (the forwrd jump opertor) dlnn : T! T opertörü önemli rol oynyckt r. Tn m 2.3.. Ileri s çrm opertörü : T! T nin t 2 T ve t < sup T nokts ndki de¼geri (t) = inffs 2 T : s > tg olrk tn mln r. E¼ger sup T sonlu ise (sup T) = sup T olrk kbul edilir. T nin kpl olms ndn her t 2 T için (t) 2 T oldu¼gu ç kr. E¼ger t 2 T için t < sup T durumund (t) = t ise t ye s¼g yo¼gun (right dense), (t) > t ise t ye s¼g yy lm ş (right scttered) nokt denir. Örnek 2.3... T= R hlinde her t 2 R için (t) = inffs 2 R : s > tg = inf(t; ) = t 5

bulunur. 2. T=hZ hlinde her t 2 hz için (t) = inffs 2 hz : s > tg = infft + h; t + 2h; t + 3h; : : :g = t + h bulunur. Özel hlde, T= Z hlinde her t 2 Z için (t) = t + dir. 3. T=K q = q Z [ f0g; q > ; hlinde her t 2 K q ve t > 0 için (t) = inffs 2 K q : s > tg = inffqt; q 2 t; q 3 t; : : :g = qt ve t = 0 için de (0) = inffs 2 K q : s > 0g = inf q Z = 0; yni her t 2 K q için (t) = qt bulunur. Tn m 2.3.2. f : T! R fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun t 2 T nokts ndki delt türevi (-türevi) T içindeki metri¼ge göre, f (t) = lim s6=(t);s!t f((t)) (t) f(s) s (2.3.) limiti (e¼ger bu limit vrs ve sonlu ise) olrk tn mln r. Aş¼g dki teoremde -türevle ilgili fydl özellikler verilmiştir. Teorem 2.3.. f : T! R fonksiyonu verilsin ve t 2 T olsun. O hlde:. E¼ger f fonksiyonu t nokts nd -türevlenebilir ise t de süreklidir. 2. E¼ger f; t de sürekli ve t de s¼g yy lm ş nokt ise f; t de -türevlenebilirdir ve f (t) = f((t)) f(t) : (t) t 6

3. E¼ger t s¼g yo¼gun nokt ise f nin t de -türevlenebilir olms için gerek ve yeter koşul sonlu f(t) f(s) lim s!t t s limitinin vr olms d r. Bu durumd f f(t) (t) = lim s!t t f(s) : s Aş¼g dki teoremden yrrlnrk -türevlenebilir fonksiyonlr n toplm n n, çrp m n n ve orn n n (bölümünün) -türevini bulbiliriz. Teorem 2.3.2. f; g : T! R fonksiyonlr n n t 2 T nokts nd -türevlenebilir oldu¼gunu vrsyl m. Bu durumd:. f + g : T! R toplm d t de -türevlenebilirdir ve (f + g) (t) = f (t) + g (t): 2. Her sbiti için f : T! R fonksiyonu t de -türevlenebilirdir ve (f) (t) = f (t): 3. fg : T! R çrp m t de -türevlenebilirdir ve (fg) (t) = f (t)g(t) + f((t))g (t) = f(t)g (t) + f (t)g((t)): 4. E¼ger g(t)g((t)) 6= 0 ise f g orn d t de -türevlenebilirdir ve f (t) = f (t)g(t) f(t)g (t) : g g(t)g((t)) Örnek 2.3.2. T herhngi zmn skls olsun. O hlde: 7

. (c) = 0 (yni sbitin -türevi özdeş olrk s f rd r). 2. (t) = : 3. (t 2 ) = t + (t): 4. ( p t) = p t+ p (t) (t > 0 için). 5. t = t(t) (t(t) 6= 0 için). Ispt.. (c) c c = lim s!t = lim 0 (t) s s!t = 0: (t) s 2. (t) = lim s!t (t) s (t) s = lim s!t = : 3. (t 2 ) = lim s!t [(t)] 2 s 2 (t) s = lim s!t [(t) s][(t)+s] (t) s = lim s!t [(t) + s] = (t) + t: 4. ( p p p t) (t) s = lim s!t (t) s p = lim (t) s!t p p p [ (t) s][ (t)+ s] = lim s!t p p (t)+ s = p p : (t)+ t p s 5. t = lims!t (t) (t) s s = lim s!t s (t) (t)s = lim (t) s s!t = : (t)s (t)t Örnek 2.3.3.. T= R hlinde (t 2 ) = 2t: 2. T=hZ hlinde (t 2 ) = 2t + h: 3. T =K q hlinde (t 2 ) = (q + )t: 4. T= N 2 0 = fk 2 : k 2 N 0 g hlinde (t 2 ) = + 2t + 2 p t: 8

5. T= N 2 0 = f p k : k 2 N 0 g hlinde (t 2 ) = t + p t 2 + : 6. T=f2 (2k) : k 2 N 0 g hlinde (t 2 ) = t + t 2 = t(t + ): 7. T=[0; ] [ [2; 3] hlinde 8 < 2t e¼ger t 2 [0; ) [ [2; 3]; (t 2 ) = : 3 e¼ger t = : Ispt. Herhngi zmn skls T için (t 2 ) = t + (t) oldu¼gundn (Örnek 2.3.2(3)), T nin belirtilen her somut hlinde (t) yi hesplmm z yetecektir.. T= R hlinde (t) = t oldu¼gunu Örnek 2.3.() den biliyoruz. O hlde (t 2 ) = t + (t) = t + t = 2t: 2. T=hZ hlinde Örnek 2.3.(2) den (t) = t + h oldu¼gunu biliyoruz. O hlde (t 2 ) = t + (t) = t + t + h = 2t + h: 3. T=K q hlinde Örnek 2.3.(3) den (t) = qt dir. O hlde (t 2 ) = t + (t) = t + qt = (q + )t: 4. T= N 2 0 için (t) yi bull m. Herhngi t 2 N 2 0 ll m. O hlde bir k 2 N 0 için 9

t = k 2 olckt r. Bun göre (t) = (k + ) 2 = k 2 + 2k + = t + 2 p t + bulunur. Doly s yl (t 2 ) = t + (t) = t + t + 2 p t + = 2t + 2 p t + : 5. Herhngi t 2 N 2 0 ll m. Bir k 2 N 0 için t = p k olckt r. O hlde (t) = p k + = p t 2 + olup (t 2 ) = t + (t) = t + p t 2 + bulunur. 6. Herhngi t 2 f2 (2k) : k 2 N 0 g ll m. O hlde bir k 2 N 0 için t = 2 (2k) olckt r. Bun göre (t) = 2 (2k+) = t 2 ve (t 2 ) = t + (t) = t + t 2 = t(t + ) bulunur. 7. Herhngi t 2 [0; ] [ [2; 3] için bulunur. Doly s yl 8 < t e¼ger t 2 [0; ) [ [2; 3]; (t) = : 2 e¼ger t = ; 8 < 2t e¼ger t 2 [0; ) [ [2; 3]; (t 2 ) = t + (t) = : 3 e¼ger t = : 20

Teorem 2.3.3. (Ortlm De¼ger Teoremi). T bir zmn skls ve ; b 2 T; < b olsun. E¼ger f : T! R fonksiyonu [; b] T de sürekli (zmn skls ndki metri¼ge göre) ve [; b) T de -türevlenebilir ise f () f(b) b f() f () olck şekilde ; 2 [; b) T noktlr vrd r. Not 2.3.. T = R hlinden frkl olrk, genelde, zmn skls nd f(b) b f() = f (); 2 [; b) T ; (2.3.2) eşitli¼gi şeklinde ortlm de¼ger teoremi do¼gru de¼gildir. Geçekten, T = Z ve f : Z! R; f(t) = t 2 ll m. ; b 2 T; < b olsun. (t 2 ) = 2t + oldu¼gundn (2.3.2) eşitli¼gi b 2 2 b = 2 + yni b + = 2 + şeklini l r. Bu eşitli¼gin s¼g trf tek sy d r. Bun gore < b sy lr n + b toplm çift olck şekilde seçersek çelişki elde edilir. Teorem 2.3.3 den şu önemli sonuç ç kr. Sonuç 2.3.. T bir zmn skls ve ; b 2 T; < b olsun. Ayr c, f : T! R fonksiyonu [; b] T de sürekli ve [; b) T de -türevlenebilir olsun. E¼ger her t 2 [; b) T için f (t) = 0 ise f fonksiyonu [; b] T üzerinde sbittir. 2.4 Zmn Skls nd Integrl E¼ger t = sup T nokts sonlu ve T içinde sol yy lm ş (t n sol trf nd "boşluk" vr) ise (t ) = t tn m n d dikkte ld ¼g m zd -türevin (2.3.) tn m nd f (t ) için 0 gibi belirsiz ifde orty ç kr. Doly s yl hiçbir f : T! R fonksiyonu için f (t ) tn ml olm yor. Bun göre f : T! R fonksiyonlr n n -türevi 0 sdece T = Tft g ( hr Almnc "kppen = kesilmiş" sözündendir) üzerinde nlml d r. Böylece, T kümesi T den sdece bir nokts (t nokts ) ile frklnbilir: 2

T = Tft g e¼ger t = sup T sonlu ve t sol yy lm ş ise; T = T e¼ger t = sup T= vey t sonlu fkt sol yo¼gun ise. Tn m 2.4.. f : T! R fonksiyonu verilsin. E¼ger bir F : T! R fonksiyonu T üzerinde -türevlenebilir ve F (t) = f(t); 8t 2 T ; ise F ye f nin T üzerinde bir -ilkeli (vey -ntitürevi) denir. Belirli koşullr lt nd f : T! R fonksiyonunun -ilkelinin vrl ¼g isptlnbilir. Tn m 2.4.2. f : T! R fonksiyonu verilsin ve F : T! R de f nin bir -ilkeli olsun. O hlde her ; b 2 T ve < b için f nin dn b ye delt integrli (-integrli) f(t)t = F (b) F () olrk tn mln r. Ayr c, = b ise f(t)t = 0 ve > b ise f(t)t = Z b f(t)t kbul edilir. Sonuç 2.3. den doly bir fonksiyonun herhngi iki -ilkeli birbirinden sdece sbitle frklnbilir. Bu yüzden -integrl "iyi tn ml d r". Örnek 2.4... T = R hlinde f : T! R fonksiyonunun ilkeli (f her sonlu rl kt Riemnn nlm nd integrllenebilir ise) t 0 ; R içinde herhngi bir sbit nokt ve C de herhngi sbit olmk üzere F (t) = Z t t 0 f(s)ds + C 22

fonksiyonu olckt r. Bun göre f(t)t = F (b) F () = f(t)dt bulunur, burd s¼g trfdki integrl R deki Riemnn integrlidir. Böylece, T = R hlinde -integrl R deki Riemnn integrli ile çk ş r. 2. T = Z hlinde f : Z! R fonksiyonunun -ilkelinin t 0 ; Z içinde herhngibir sbit nokt ve C de herhngi sbit olmk üzere oldu¼gu görülebilir: F (t) = Xt t=t 0 f(k) + C (t 2 Z; t > t 0 ) F (t) = F (t) = F (t + ) F (t) = tx t=t 0 f(k) Xt t=t 0 f(k) = f(t): Bun göre her ; b 2 Z; b > için (t 0 < l rsk) Xb f(t)t = F (b) F () = f(k) k= olrk bulunur. Teorem 2.4.. (-integrlin özellikleri). ; b; c 2 T; ; 2 R ve f; g : T! R de -integrllenebilir fonksiyonlr olsun ( -ilkelleri mevcut olsun). Bu durumd:. R b [f(t) + g(t)]t = R b f(t)t + R b g(t)t: 2. R b f(t)t = R c f(t)t + R b c f(t)t: 3. (K smi integrlleme formülü) f (t)g(t)t = f(b)g(b) f()g() f((t))g (t)t: 23

Bu özellikte, f ve g nin -türevlenebilir ve f ; g n n d -integrllenebilir oldu¼gu vrsy l r. 4. E¼ger f(t) 0; t 2 [; b) T ise R b f(t)t 0: 5. E¼ger f; -integrllenebilir ise jf(t)j de -integrllenebilirdir ve f(t)t jf(t)j t: Teorem 2.4.2. f : T! R herhngi fonksiyon olsun. E¼ger t 2 T ve (t) > t ise Z (t) t f(s)s = f(t)[(t) t] eşitli¼gi do¼grudur. Örnek 2.4.2. t < t 2 < t 3 < : : :! reel sy lr n bir dizisi ve T=ft k : k 2 Ng olsun. Her = t m ve b = t n (m < n) için, f : T! R herhngi fonksiyon olmk üzere, eşitli¼gi do¼grudur. f(t)t = Xn k=m f(t k )(t k+ t k ) = X t2[;b) T f(t)[(t) t] Ispt. Teorem 2.4.(2) ve Teorem 2.4.2 yi kullnrk, f(t)t = Z tn t n t m f(t)t = Z tm+ t m f(t)t + Z tm+2 t m+ f(t)t + : : : + Z tn f(t)t = f(t m )(t m+ t m ) + f(t m+ )(t m+2 t m+ ) + : : : + f(t n )(t n t n ) = Xn k=m f(t k )(t k+ t k ) = X t k 2[t m;t n) T f(t)[(t) t] = buluruz, burd t k+ = (t k ) oldu¼gunu dikkte ld k. Örnek 2.4.3. T = q N 0 X t2[;b) T f(t)[(t) t] (q > ) ve = q m ; b = q n (m < n) olsun. Bu durumd Örnek 2.4.2 n n sonucunu uygulrsk ve (t) = qt oldu¼gunu dikkte l rsk, her 24

f : q N 0! R fonksiyonu için, f(t)t = (q ) Xn k=m q k f(q k ) = (q ) X t2[;b) T tf(t): Örnek 2.4.4. T herhngi zmn skls ve ; b 2 T; < b olsun. Bu durumd t(t) t = b b : Ispt. Teorem 2.3.2(4) deki kesir kurl n uygulrsk = t t(t) yni t(t) = t buluruz. O hlde t(t) t = t jb = b = b b : Örnek 2.4.5. T herhngi zmn skls ve ; b 2 T; < b olsun. = (t) oldugundn bulunur. t = t j b = b Örnek 2.4.6. T= Z, ; b 2 Z; < b olsun. Bu durumd tt = (b )(b + ): 2 Ispt. T= Z hlinde oldu¼gundn t 2 t = 2 t tt = t2 2 t j b = b2 2 b 2 2 = (b )(b + ): 2 25

3. SINIRLI ZAMAN SKALASI ARALI ¼GI ÜZER INDE ÖZFONKS I - YONLAR C INS INDEN AÇILIMLAR Bu bölümde, s n rl (; b] T zmn skls rl ¼g üzerinde p(t)y (t) r + q(t)y(t) = y(t); t 2 (; b]t ; y() hy [] () = 0; y(b) + Hy [] (b) = 0; şeklindeki kendine-eşlenik (self-djoint) özde¼ger probleminin özde¼gerleri ve özfonksiyonlr incelenmiş ve özfonksiyonlr cinsinden L 2 metri¼gine göre yk nsk ç l m formülü elde edilmiştir. Ard ndn, ç l m yp ln fonksiyon üzerine bz pürüzsüzlük koşullr konulrk, özfonksiyonlr cinsinden düzgün yk nsk ç l m isptlnm şt r. 3. Özfonksiyonlr Cinsinden L 2 Anlm nd Yk nsk Aç l mlr T bir zmn skls ve ; b 2 T de < b olck şekilde iki sbit nokt olsun öyle ki (; b) = ft 2 T : < t < bg zmn skls rl ¼g boş olms n. Ileride heryerde tüm rl klr zmn skls rl klr olckt r. Zmn skls üzerinde klkülüs ile ilgili kvrmlr ve işretlemeler (notsyon) için bir önceki bölüme, Bohner ve Peterson 200, Bohner ve Peterson 2003 kynklr n bk lbilir. Aş¼g d kullnc¼g m z şu, zmn skls nd, k smi integrlleme formüllerini verelim (Guseinov 2007): f (t)g(t)t = f(t)g(t) j b f(t)g r (t)rt; (3..) f r (t)g(t)rt = f(t)g(t) j b Bu bölümde inceledi¼gimiz özde¼ger problemi, f(t)g (t)t: (3..2) p(t)y (t) r + q(t)y(t) = y(t); t 2 (; b]t ; (3..3) y() hy [] () = 0; y(b) + Hy [] (b) = 0; (3..4) 26

şeklindedir. Burd y [] (t) = p(t)y (t) dir ve y(t) nin kuzi -türevi dln r. Şu koşullr n s¼glnms n isteyece¼giz: (C) p(t) süreklidir (zmn skls metri¼gine göre) ve prçl sürekli p r (t) türevi vrd r, q(t) prçl süreklidir. (C2) p(t) > 0; q(t) 0; h 0; H 0: H ile ş¼g dki Hilbert uzy n gösterelim: H = y : (; b] T! R j hy; zi = kyk = p hy; yi = y 2 def (t)rt < = L 2 r (; b] ; y(t)z(t)rt; y 2 2 (t)rt : Ayr c, e¼ger b sol-yy lm ş ve H = 0 ise H e it y fonksiyonlr için y(b) = 0 oldu¼gunu vrsyc¼g z. Bu koşul ş¼g d tn mlnm ş oln D kümesinin H içinde yo¼gun olms n s¼glmk için isteniyor. Şimdi A : D H! H opertörünü şöyle tn mlyl m. A n n tn m bölgesi 8 < D = : y 2 H (i) 9y r (t) ve y r 2 H (ii) y() hy [] () = 0; y(b) + Hy [] (b) = 0 9 = ; (3..5) olrk l n r. (i) koşulundn p(t)y (t) r + q(t)y(t) 2 H oldu¼gu ç k yor. Her y 2 D için Ay = p(t)y (t) r + q(t)y(t) (3..6) olrk kbul edelim. Böylece (3..3), (3..4) özde¼ger problemi Ay = y; y 2 D (3..7) 27

şeklinde yz lbilir. Önerme 3... yni A opertörü simetriktir (kendine-eşleniktir vey self-djoint tir), hay; zi = hy; Azi ; 8y; z 2 D: (3..8) Ispt. 8y; z 2 D için, hay; zi = = (Ay)zrt = n p(t)y (t) r + q(t)y(t) o z(t)rt p(t)y (t) r z(t)rt + q(t)y(t)z(t)rt; (3..9) yr c p(t)y (t) r z(t)rt (3::2) = p(t)y (t)z(t) j b + p(t)y (t)z (t)t ve (3::) = p(t)y (t)z(t) j b +y(t)p(t)z (t) j b p(t)y (t)z(t) j b +y(t)p(t)z (t) j b = y(t) p(t)z (t) r rt y [] (t)z(t) j b +y(t)z [] (t) j b = y [] (b)z(b) + y [] ()z() + y(b)z [] (b) y()z [] () (3::5) = y [] (b)hz [] (b) + y [] ()hz [] () Hy [] (b)z [] (b) hy [] ()z [] () = 0: Doly s yl p(t)y (t) r z(t)rt = y(t) p(t)z (t) r rt: Bunu (3..9) d yerine yzrsk hay; zi = n y(t) p(t)z (t) r + q(t)z(t) o rt = hy; Azi : Önerme 3..2. Her y 2 D için hay; yi = h[y [] ()] 2 + H[y [] (b)] 2 + p(t)[y (t)] 2 t + 28 q(t)y 2 (t)rt: (3..0)

Ispt. 8y 2 D için, hay; yi = = (Ay)yrt = n p(t)y (t) r + q(t)y(t) o y(t)rt p(t)y (t) r y(t)rt + q(t)y 2 (t)rt; (3..) yr c p(t)y (t) r y(t)rt (3::2) = p(t)y (t)y(t) j b + p(t)y (t)y (t)t = y [] (b)y(b) + y [] ()y() + = y [] (b)hy [] (b) + y [] ()hy [] () + = h[y [] ()] 2 + H[y [] (b)] 2 + p(t) y (t) 2 t p(t) y (t) 2 t p(t) y (t) 2 t: Bunu (3..) de yerine koyrsk (3..0) elde edilir. Sonuç 3... Her y 2 D; y 6= 0 (yni özdeş olrk s f r olmyn y(t)) için hay; yi > 0 d r, yni A pozitif opertördür. Ispt. (3..0) dn (C2) koşulu gere¼gi her y 2 D için hay; yi 0 oldu¼gu ç k yor. Şimdi y 6= 0 ise hay; yi > 0 olc¼g n gösterelim. Tersini vrsyl m: hay; yi = 0 olsun. Bu durumd (3..0) eşitli¼gine göre h[y [] ()] 2 + H[y [] (b)] 2 + =) (C2) koşulu gere¼gi, p(t) y (t) 2 t + q(t)y 2 (t)rt = 0 h[y [] ()] 2 = 0; H[y [] (b)] 2 = 0; q(t)y 2 (t)rt = 0; 29

p(t) y (t) 2 t = 0 =) y (t) 2 0; t 2 [; b) =) y (t) 0; t 2 [; b) =) y(t) = c (sbit); t 2 [; b]: Böylece, y(t) = c (sbit); t 2 [; b] bulundu. y(t) nin bu ifdesini y() hy [] () = 0 koşulund ((3..5)) yerine koyrsk c = 0 bulunur, yni y(t) 0; t 2 [; b]: Bu ise çelişkidir, çünkü y 6= 0 l nm şt. Tn m 3... A : D H! H bir lineer opertör olsun. E¼ger bir 0 2 C kompleks sy s için Ay 0 = y 0 ; y 0 2 D, y 0 6= 0 (s f r elemn) olck şekilde bir y 0 elemn (vektörü vey fonksiyonu) vrs 0 A opertörünün bir özde¼geri ve y 0 d A n n 0 özde¼gerine krş l k gelen özvektörü (vey özfonksiyonu) denir. Önerme 3..3. A : D H! H opertörü simetrik ise, yni hay; zi = hy; Azi ; 8y; z 2 D ise A n n özde¼gerleri reeldir ve A n n frkl özde¼gerlerine krş l k gelen özvektörleri de birbirine ortogonldir. Ispt. (i) 0 2 C sy s A n n bir özde¼geri olsun. O hlde öyle y 0 2 D, y 0 6= 0 elemn vrki Ay 0 = y 0 : Bu eşitli¼gin her iki trf n s¼gdn y 0 ile iç çrpl m: hay 0 ; y 0 i = h 0 y 0 ; y 0 i =) hay 0 ; y 0 i = 0 hy 0 ; y 0 i : y 0 6= 0 oldu¼gundn hy 0 ; y 0 i > 0 d r (iç çrp m n özelli¼gine göre). O hlde son eşitlikten 0 = hay 0; y 0 i hy 0 ; y 0 i : Bu eşitli¼gin s¼g trf nd pyd reel sy d r çünkü hy 0 ; y 0 i > 0 d r. S¼g trfdki py n d reel oldu¼gunu gösterirsek 0 n reel oldu¼gu orty ç kr. hay 0 ; y 0 i kompleks sy s n n reel oldu¼gunu göstermek için bu sy n n kompleks eşleni¼ginin kendisine eşit 30

oldu¼gunu göstermek yeter; iç çrp m n özelli¼gini ve A n n simetrikli¼gini dikkte l rsk, hay 0 ; y 0 i = hy 0 ; Ay 0 i = hay 0 ; y 0 i : (ii) Ay = y ; y 2 D; y 6= 0; Ay 2 = 2 y 2 ; y 2 2 D; y 2 6= 0 ve 6= 2 olsun. Bu durumd hy ; y 2 i = 0 oldu¼gunu gösterelim. Önerme nin birinci k sm n göre ve 2 özde¼gerlerinin reel oldu¼gunu biliyoruz. Birinci eşitli¼gi s¼gdn y 2 ile ve ikinciyi soldn y ile iç çrpl m: hay ; y 2 i = h y ; y 2 i = hy ; y 2 i ; hy ; Ay 2 i = hy ; 2 y 2 i = 2 hy ; y 2 i = 2 hy ; y 2 i : A simetrik oldu¼gundn sol tr r birbirine eşittir: hay ; y 2 i = hy ; Ay 2 i : O hlde s¼g tr r d birbirine eşit olml d r: hy ; y 2 i = 2 hy ; y 2 i =) ( 2 ) hy ; y 2 i = 0 =) ( 6= 2 koşulundn doly ) hy ; y 2 i = 0: Önerme 3..4. Pozitif A : D H! H opertörünün her özde¼geri pozitiftir. Ispt. A opertörünün pozitif olms hay; yi > 0; 8y 2 D; y 6= 0 demektir. Şimdi 0 sy s A n n bir özde¼geri ve y 0 2 D; y 0 6= 0 d A n n bu özde¼gere krş l k gelen bir özvektörü olsun: Ay 0 = 0 y 0 : Bu eşitli¼gin her iki trf n s¼gdn y 0 ile iç çrpl m: hay 0 ; y 0 i = h 0 y 0 ; y 0 i = 0 hy 0 ; y 0 i =) 0 = hay 0; y 0 i hy 0 ; y 0 i > 0; çünkü hay 0; y 0 i > 0 ve hy 0 ; y 0 i > 0: A : D H! H opertörünün bir özde¼geri 0 olsun. Genelde, 0 özde¼gerine krş l k gelen lineer b¼g ms z özvektörlerin sy s den fzl olbilir. Belirtelim ki, e¼ger y 0 3

vektörü 0 krş l k gelen bir özvektör ise, yni Ay 0 = 0 y 0 ise, her 6= 0 sy s için y 0 6= 0 vektörü de 0 krş l k gelen özvektör olckt r: A(y 0 ) = Ay 0 = 0 y 0 = 0 (y 0 ): E¼ger y ve y 2 vektörleri 0 krş l k gelen iki özvektör (Ay = 0 y ; Ay 2 = 0 y 2 ) ise, bunlr n key y + 2 y 2 6= 0 lineer birleşimi ( ; 2 key sy lr) de 0 krş l k gelen özvektör olckt r: A( y + 2 y 2 ) = Ay + 2 Ay 2 = 0 y + 2 0 y 2 = 0 ( y + 2 y 2 ): Tn m 3..2. A opertörünün 0 özde¼gerine krş l k gelen lineer b¼g ms z özvektörlerin sy s n 0 özde¼gerinin kt denir. E¼ger 0 özde¼geri bir ktl ise on bsit özde¼ger denir. Şimdi bizim A opertörünün her özde¼gerinin bsit (bir ktl ) oldu¼gunu göstermek istiyoruz. Bu mçl p(t)y (t) r + q(t)y(t) = y(t); t 2 T (3..2) denkleminin çözümlerinin bz genel özelliklerini ht rltl m. Her t 0 2 T ve c ; c 2 sy lr için (3..2) denkleminin y(t 0 ) = c 0 ; y [] (t 0 ) = c 2 bşlng ç koşullr n s¼glyn y(t) çözümü vrd r ve tektir. Bun çözümün vrl k ve teklik teoremi denir. Iki -türevlenebilir y; z : T! R fonksiyonunun Wronskin W t (y; z) = y(t)z [] (t) y [] (t)z(t) = p(t) y(t)z (t) y (t)z(t) olrk tn mln r. 32

(3..2) denkleminin, yn de¼geri için, herhngi iki çözümünün Wronskin sbittir (t ye b¼gl de¼gildir). Iki çözümün lineer b¼g ms z olms için gerek ve yeter koşul onlr n Wronskin n n s f rdn frkl olms d r. (3..2) denklemi tm iki tne lineer b¼g ms z çözüme shiptir ve (3..2) nin her çözümü bu iki çözümün lineer birleşimi şeklinde yz lbilir. Önerme 3..5. (3..3), (3..4) probleminin özde¼gerleri bsittir (bir ktl d r). Ispt. Belirtelim ki (3..3), (3..4) probleminin her özde¼geri en fzl iki ktl olbilir, çünkü (3..3) denkleminin her için tm iki tne lineer b¼g ms z çözümü vrd r. E¼ger (3..3) (3..4) denkleminin hiçbir özde¼gerinin iki ktl olm yc¼g n gösterirsek, o hlde her özde¼gerin bir ktl oldu¼gu isptlnm ş olckt r. Şimdi (3..3), (3..4) probleminin bir 0 özde¼gerinin iki ktl oldu¼gunu vrsyl m ve çelişki orty ç krl m. Iki ktl = 0 özde¼geri için (3..3) denkleminin (3..4) s n r koşullr n s¼glyn iki tne lineer b¼g ms z y (x); y 2 (x) çözümü vrd r. O hlde = 0 için (3..3) denkleminin her y(x) çözümü y(x) = y (x) + 2 y 2 (x) şeklinde olc¼g ndn, y(x) de (3..4) s n r koşullr n s¼glyckt r. Şimdi ise bunun olmyc¼g n, yni (3..3) denkleminin = 0 için (3..4) s n r koşullr n s¼glmyn bir çözümünün vrl ¼g n gösterelim. Gerçekten, = 0 için (3..3) denkleminin y() = ; y [] () = 0 bşlng ç koşullr n s¼glyn y(x) çözümü vrd r (çözümün vrl k ve teklik teoremine göre), nck bu çözüm (3..4) s n r koşullr n s¼glmz: y() hy [] () = h 0 = 6= 0: Böylece, (3..3), (3..4) probleminin hiçbir 0 özde¼geri iki ktl olmz. O hlde her 0 özde¼geri bir ktl d r. Şimdi (3..3), (3..4) probleminin özde¼gerlerinin ve özfonksiyonlr n n vrl ¼g n göstermek istiyoruz. (3..3), (3..4) probleminin, A opertörü vs ts yl (3..7) şeklinde, yni Ay = y; y 2 D; y 6= 0 (3..3) şeklinde yz ld ¼g n biliyoruz. Şimdi A opertörünün A tersinin vrl ¼g n kbul 33

ederek (3..3) özde¼ger problemini y = A y; y 2 H ; y 6= 0 vey A y = y; y 2 H ; y 6= 0 şeklinde yzl m. E¼ger B = A ve = (3..4) işretlersek, son eşitli¼gi By = y; y 2 H ; y 6= 0 (3..5) şeklinde yzbiliriz. Böylece bir 6= 0 sy s A opertörünün özde¼geri ve y 2 D(A); y 6= 0 fonksiyonu d A n n özde¼gerine krş l k gelen özfonksiyonu ise, (3..4), (3..5) den doly, = sy s B = A opertörünün özde¼geri ve yn y fonksiyonud B nin bu özde¼gerine krş l k gelen özfonksiyonu olckt r. Bunun tersi de do¼grudur: e¼ger bir 6= 0 sy s B = A opertörünün özde¼geri ve y 2 H; y 6= 0 fonksiyonu d B nin bu özde¼gerine krş l k gelen özfonksiyonu ise (yni (3..5) s¼gln yor ise) = sy s A opertörünün bir özde¼geri ve yn y fonksiyonu d A n n bu özde¼gerine krş l k gelen özfonksiyonu olckt r. Böylece, A opertörünün özde¼gerlerinin ve özfonksiyonlr n n vrl ¼g n göstermek yerine B = A opertörünün özde¼gerlerinin ve özfonksiyonlr n n vrl ¼g n göstermek yeterli olckt r. B = A opertörünün özde¼gerlerinin ve özfonksiyonlr n n vrl ¼g n göstermek mc yl önce A ters opertörünün vrl ¼g n (yni = 0 n A n n özde¼geri olmd ¼g n ) gösterece¼giz, bu opertörün bir integrl opertör oldu¼gunu, simetrik ve tmmen sürekli opertör oldu¼gunu görece¼giz. Ard ndn Hilbert-Schimdt teoremini B opertörüne uygulyrk özde¼gerlerin ve özfonksiyonlr n vrl ¼g n ve özfonksiyonlr cinsinden ç l m formülü elde edece¼giz. H bir Hilbert uzy olmk üzere bir A : D(A) H! H opertörünün tersinin vrl ¼g için ne gerekti¼gini ve A ters opertörünün ns l tn mlnd ¼g n verelim. 34

Tn m 3..3. Bir A : D(A) H! H lineer opertörünün çekirde¼gi ("kernel") ker A = fy 2 D(A) j Ay = 0g kümesi olrk tn mln r. ker A n n H içinde bir lt küme oldu¼gunu görüyoruz ve A0 = 0 oldu¼gundn her zmn 0 2 ker A d r. Bz durumlrd ker A sdece 0 elemn ndn oluşbilir, bz durumlrd d ker A içinde s f rdn frkl elemnlr bulunbilir. Önerme 3..6. Herhngi A : D(A) H H içinde bir lineer lt kümedir:! H lineer opertörünün ker A çekirde¼gi (i) y ; y 2 2 ker A =) y + y 2 2 ker A; (ii) y 2 ker A =) y 2 ker A; 8 sy s için: Ispt. (i) y ; y 2 2 ker A ise y + y 2 2 ker A oldu¼gunu göstermeliyiz. y ; y 2 2 ker A =) Ay = 0; Ay 2 = 0: O hlde A(y + y 2 ) = Ay + Ay 2 = 0 + 0 = 0 =) y + y 2 2 ker A: (ii) y 2 ker A ve key sy ise y 2 ker A oldu¼gunu göstermeliyiz. y 2 ker A =) Ay = 0: O hlde 8 sy s için A(y) = Ay = 0 = 0 =) y 2 ker A: Tn m 3..4. Bir A : D(A) H! H lineer opertörünün de¼ger kümesi ("rnge") rn A = fay j y 2 D(A)g = A(D) = ff 2 H j 9y 2 D(A); Ay = fg 35

olrk tn mln r. Önerme 3..7. Herhngi A : D(A) H kümesi H içinde bir lineer lt kümedir:! H lineer opertörünün rn A de¼ger (i) f ; f 2 2 rn A =) f + f 2 2 rn A; (ii) f 2 rn A =) f 2 rn A; 8 sy s için. Ispt. (i) f ; f 2 2 rn A =) 9y ; y 2 2 D(A); f = Ay ; f 2 = Ay 2 =) f + f 2 = Ay + Ay 2 = A(y + y 2 ) ve y + y 2 2 D(A) =) f + f 2 2 rn A: (ii) f 2 A =) 9y 2 D(A); f = Ay =) f = Ay = A(y) ve y 2 D(A) =) f 2 rn A: Şimdi A : D(A) H! rn A H opertörü için ters opertör A ; A : rn A H! D(A) H şeklinde tn mlnckt r. Herhngi f 2 rn A ll m. O hlde 9y 2 D(A) vrd r ki Ay = f dir. E¼ger böyle y tek ise A f = y kbul edilir. E¼ger verilen f için Ay = f eşitli¼ginin s¼glyn y 2 D(A) elemn den fzl ise A ters opertörü mevcut de¼gildir denir. Verilen f 2 rn A için Ay = f eşitli¼gini s¼glyn y 2 D(A) elemn n n tek olms için ker A = f0g (3..6) koşulunun s¼glnms yeterlidir. Gerçekten, e¼ger iki y ; y 2 2 D(A) için f = Ay ; f = Ay 2 ise A(y y 2 ) = Ay Ay 2 = f f = 0; yni y y 2 2 ker A: (3..6) koşulu vrs burdn y y 2 = 0 =) y = y 2 elde edilir, yni Ay = f eşitli¼gini s¼glyn y 2 D(A) elemn tektir ve doly s yl A ters opertörü tn mlnbilir. 36

Böylece, (3..6) koşulu lt nd A : D(A)! rn A opertörünün A : rn A! D(A) tersi vrd r ve A f = y () Ay = f: Önerme 3..8. A : D(A) H! H lineer opertörünün A : rn A H! H tersi de lineerdir. Ispt. (i) f ; f 2 2 rn A için A (f + f 2 ) = A f + A f 2 oldu¼gunu göstermeliyiz. f ; f 2 2 rn A =) 9y ; y 2 2 D(A); f = Ay ; f 2 = Ay 2 =) y = A f ; y 2 = A f 2 ve f + f 2 = Ay + Ay 2 = A(y + y 2 ) =) (ii) f 2 rn A ve 8 sy s için A (f + f 2 ) = y + y 2 = A f + A f 2: A (f) = A f oldu¼gunu göstermeliyiz. f 2 rn A =) 9y 2 D(A); f = Ay =) y = A f ve f = Ay = A(y) =) A (f) = y = A f: Şimdi bizim (3..3),(3..4) problemine krş l k gelen (3..5),(3..6) ile tn ml A oper- 37

törünün tersinin vrl ¼g n (yni bu A opertörü için (3..6) koşulunun s¼glnd ¼g n ) görelim ve A opertörünün yp s n (formülünü) belirleyelim. Önerme 3..9. (3..5), (3..6) ile tn ml A opertörü için ker A = f0g d r. Ispt. y 2 ker A ll m ve y = 0 oldu¼gunu gösterelim. y 2 ker A =) y 2 D(A); Ay = 0 =) hay; yi = 0 (3::0) =) y (t) 0; t 2 [; b) =) y(t) = const; t 2 [; b] y(t) nin y(t) = c ifdesini y() hy [] () = 0 s n r koşulund yerine koyrsk c = 0 bulunur. Böylece, y(t) 0; t 2 [; b] : Önerme 3..9 dn doly A ters opertörü vrd r. Bu ters opertörün ç k şeklini vermek için 8 G(t; s) = < u(t)v(s); t s;! : u(s)v(t); t s: Green fonksiyonunu oluşturl m. Burd u(t) ve v(t) ile (3..7) p(t)y (t) r + q(t)y(t) = 0; t 2 (; b] (3..8) denkleminin u() = h; u [] () = ; v(b) = H; v [] (b) = bşlng ç koşullr n s¼glyn çözümleri gösterilmiştir (belirtelim ki u(t) fonksiyonu (3..5) deki y() hy [] () = 0 koşulunu ve v(t) fonksiyonu d (3..5) deki y(b) + Hy [] (b) = 0 koşulunu s¼gl yor) ve! = W t (u; v) = u(t)v [] (t) u [] (t)v(t) de u ve v çözümlerinin Wronskin olup sbittir:! = W t (u; v) = v() + hv [] () = u(b) Hu [] (b) (3..9) Belirtelim ki! 6= 0 d r. Aksi hlde u 2 D (çünkü! = 0 hlinde (3..9) dn doly (3..5) deki (ii) s n r koşullr u için s¼glnckt r) ve Au = 0 (çünkü u fonksiyonu (3..8) in çözümüdür). O hlde u 2 ker A; bu ise olmz, çünkü Önerme 3..9 38

gere¼gi ker A = f0g d r, fkt u s f r elemn de¼gildir (u [] () = dir). Bu durumd A opertörünün (A f)(t) = G(t; s)f(s)rs; 8f 2 H (3..20) formülü ile belirlendi¼gi bilinmektedir (Atici ve Guseinov 2002, Anderson vd. 2006). Şimdi (3..20) formülü ile tn ml A opertörünün tmmen sürekli oldu¼gunu belirtmek istiyoruz. Önce tmmen sürekli opertörün tn m n ht rltl m. H Hilbert uzy n n bir lt kümesi S olsun. E¼ger her fx n g S dizisinden yk nsk bir lt dizi (lt dizinin limiti H uzy içinde olckt r ve bu limitin S içinde olms istenmiyor) seçmek mümkün ise S ye H içinde pre-kompkt küme denir. (E¼ger söz konusu lt dizinin limiti S içinde ise, S ye kompkt küme denir.) E¼ger bir B : H! H lineer opertörü H içindeki her s n rl kümeyi H içindeki bir pre-kompkt kümeye dönüştürüyor ise B ye kompkt opertör vey tmmen sürekli opertör denir. Örnek 3... [; b] reel sy lr kümesinin bir s n rl rl ¼g olmk üzere L 2 (; b) Hilbert uzy nd Bf(t) = K(t; s)f(s)ds; f 2 L 2 (; b) formülü ile tn ml B lineer opertörünü gözönüne ll m. Burd K(t; s) fonksiyonu [; b] [; b] kresinde tn ml reel de¼gerli bir fonksiyondur. E¼ger K 2 (t; s)dtds < ise B opertörü tmmen süreklidir (Kolmogorov ve Fomin 970). K(t; s) = K(s; t) ise B opertörü kendine-eşlenik (self-djoint) olckt r. hüküm zmn skls hlinde de do¼grudur. Ayr c, e¼ger Benzer Önerme 3..0. (3..20) formülü tn ml A def = B opertörü tmmen süreklidir ve kendine-eşleniktir (self-djoint tir). Şimdi biz şu iyi bilinen Hilbert-Schmidt teoremini (Kolmogorov ve Fomin 970, Sec- 39

tion 24.3) kullnc¼g z: Bir H Hilbert uzy içindeki her tmmen sürekli kendineeşlenik lineer B opertörünün f k g ( k 6= 0) özde¼gerleri ve bu özde¼gerlere krş l k gelen ortonorml f' k g özvektörleri sistemi vrd r, öyle ki her f 2 H elemn tektürlü olrk f = X c k ' k + k şeklinde yz lbilir, burd c k sbitler olup 2 ker B, yni B = 0 d r. Ayr c, Bf = X k k c k ' k eşitli¼gi do¼grudur ve f' k g sisteminin sonsuz oldu¼gu durumd lim k = 0 (k! ) d r. Hilbert-Schmidt teoreminin bir sonucu olrk şunu söyleyebiliriz: E¼ger B bir H Hilbert uzy içinde tmmen sürekli kendine-eşlenik bir lineer opertör ve ker B = f0g ise, B nin özvektörleri H için bir ortonorml bz oluşturur. Hilbert-Schmidt teoreminin sonucunu B = A opertörüne uygulrsk ve A n n özde¼gerleri ve özvektörleri ile B nin özde¼gerleri ve özvektörleri rs ndki yukr d belirtilmiş oln ilişkiyi dikkte l rsk şu sonucu verebiliriz. Teorem 3... (C) ve (C2) koşullr lt nd (3..3), (3..4) özde¼ger problemi için f k g özde¼gerleri ve bunlr krş l k özfonksiyonlr n ortonorml f' k g sistemi vrd r. Her k özde¼geri pozitiftir ve bsittir (bir ktl d r). f' k g sistemi H Hilbert uzy için bir ortonorml bz oluşturur. Doly s yl özde¼gerlerin sy s N = dim H sy s n eşittir. Her f 2 H fonksiyonu ' k özfonksiyonlr cinsinden f(t) = NX c k ' k (t) (3..2) k= (ç l m formülü) şeklinde yz lbilir, burd c k sbitleri f nin Fourier ktsy lr olrk isimlendirilir ve c k = ' k (t)f(t)rt (3..22) formülü ile tn mln r. N = hlinde (3..2) in s¼g trf bir sonsuz seridir ve 40

bu seri f fonksiyonun H uzy n n metri¼gine göre, yni ortlm kresel metri¼ge göre yk nskt r: Belirtelim ki lim n! [f(t) [f(t) nx c k ' k (t)] 2 rt = 0: (3..23) k= nx c k ' k (t)] 2 rt = k= oldu¼gundn, (3..23) den şu Prsevl eşitli¼gi bulunur: f 2 (t)rt nx k= c 2 k f 2 (t)rt = NX c 2 k: (3..24) k= 3.2 Özfonksiyonlr Cinsinden Düzgün Yk nsk Aç l mlr Bu kesimde şu sonuç isptlnckt r ( dim H < hlinde seri sonlu toplm dönüştü¼günden dim H = oldu¼gunu vrsyc¼g z): Teorem 3.2.. f : [; b] T! R fonksiyonu sürekli olsun ve (; b) T rl ¼g n n içinde bulunn sonlu tne t ; t 2 ; : : : ; t m noktlr n n d ş nd [; b] T rl ¼g nd heryerde f (t) delt türevine ship olsun, f (t) bu noktlr n d ş nd her yerde sürekli olsun ve f bu noktlrd s¼gdn ve soldn sonlu limitlere ship olsun. Ayr c, f fonksiyonu f() hf [] () = 0; f(b) + Hf [] (b) = 0 (3.2.) s n r koşullr n s¼gls n, burd f [] (t) = p(t)f (t) dir. Bu durumd, c k = f(t)' k (t)rt (3.2.2) olmk üzere X c k ' k (t); (3.2.3) serisi [; b] T rl ¼g üzerinde f fonksiyonun düzgün yk nsr. k= Ispt. Ispt için, l şt ¼g m z T= R hlinde Sturm-Liouville problemi için Steklov trf ndn uygulnm ş oln bir yöntemi (Smirnov 964) kullnc¼g z. Ilkönce, sde- 4