Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır. F ( ) = Pr[ ] Tipik bir KDF şu şekilde görünür:.0 F () 0
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (kdf), F () F ( ) = Pr[ ].0 F () Özellikler. 0 F ( ). 0 F ( ) 0. lim F ( ) ) = ; ; lim F ( ) = 0 3. Monotonically increasing function: For any F ( > 0, ) F (+ ( ) ) F () 3. Herhangi bir 0 için monotonik artan fonksiyon 4. Pr[ [a a < bb] ] = FF ( b (b) ) F F ( a) (a) 5. h 0 için F ( ) sağdan süreklidir 5. F () is continuous from the right F ( a) lim F ( a h) F ( a ) for h > 0, F (a h ) 0= lim F (a + h) = F (a + ) 0 h 0 6. lim Pr[ a a ] lim[ F( a ) F( a)] 0 0 0 6. lim Pr [a < a + ] = lim F (a + ) F (a) = 0 0
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (oyf), f () Özellikler: f ( ) 0 f ( ) 0 df f = ( ) ( ) f ( ) d F ( ) = Pr[ ] = Pr[a < b b] = a a f ( z) dz f ( ) d f ( ) ) d = d a+ Pr[a < a + ] = a Dikkat lim 0 F ( ) Pr[ ] f ( z) dz Pr[ a b] f ( ) d b f () f ( ) d f (a) Pr[a < a + ] = 0
3 Sürekli ve Kesikli Rastgele Değişkenler Sürekli rastgele değişken gibi bir girişe sahip olan bir analog sayısal çeviriciyi düşünün: ADC K Bu durumda çıkış, K, girişe karşılık gelen ve sonlu değerlerde örneklenmiş kesikli rastgele değişken olur. L - LL - - A L -4 L 0-3 - L 0 L L B - -3-4 k 3
4 OYF ve OKF: OKF yaklaşık olarak şu şekilde yazılabilir: L k + f [k = Pr[K = k ] = Pr[L k < L k + ] = f K[ k] K k] Pr[ Lk Lk ] f ( ) d ( ) d Küçük pozitif için f K [k ] f ( ) Sonuç olarak, f K [k] için, f () den büyük değerler alabilir; ancak, her ikisi için de hala aşağıdaki eşitlikler sağlanmalıdır: f () f ( f )( ) d = d k k = f f K [k] = K[ k] f K [k] L k L k L k A L k B 3- -3 - - 0 3 M. Tummala & C. W. Therrien 004
6 Bazı Sürekli Rastgele Değişkenler Birbiçim Rastgele Değişken: parametreler a, b Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: f (), a b /(b a) ) =, a b f ( ) b b a a 0, diğer 0, otherwise. b f ( ) ) d d = a b a Kümülatif Dağılım Foksiyonu: = ] = f ( z) dz F( ) Pr[ ] f( z) dz= dz a b a 0, a a F ( ), a b, b a, b F () a b
7 Örnek: a = 0, b = 0 ise Pr[ < 6] nedir? f () /0 0 6 0 66 [ < 6] = 6 4 Pr[ 6] f ( ) = = d d 0 0 Alternatif olarak, Pr [ < 6] = F (6) F () = 0.6 0. = 0.4
8 Üstel Rastgele Değişken: parametre Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: 0, < 0 λ λe e, 0 f ( ) = 0 0 0 f 0 ( ) d = λ e λ d d = 0 f () λe λ Kümülatif Dağılım Fonksiyonu: z z 0 0 F ( ) = Pr[ [ ] ] = f ( z ) dz = λ e λ z dz = e λ z = e λ F f z dz e dz e e 0 F 0, 0 ( ) < 0 λ, 0 e e 0 F ( ) = 0 F () Dikkat : Pr[ > ] = Pr[ e λ ] = e λ
9 Örnek: Yazıcı kuyruğunda bekleme süresi üstel bir rastgele değişkendir. =ˆ bekleme zamanı f ( ) = e λ 0 (a) Pr [T < T ] T = λe λu du T (b) Pr[T < T ] = = e λt λt e F (T ) F (T ) f () λe λ λt λt = e + e F () = e λt e λt e λ λ =. ise T Pr [T < T ] = e e 0.33
0 Hafızasızlık Özelliği t saniyesinde çalışır durumda olan bir sistem için bu zamandan sonra h saniye daha çalışır durumda olması olasılığı toplam h saniye çalışır durumda olması olasılığı ile aynıdır. Sıralama (queuing) teorisinin uygulamaları; habelerşme ve bilgisayar ağları Pr t h { > t + h} t { > Pr t} Pr t h { > t + h} Pr Pr t { > Pr t} Pr t { > t} Pr Pr Pr t h t > t + h > t = = e = Pr ( th) λ (t +h) t = = e h e λh h = Pr [ e > h] e λt
Gausyen Rastgele Değişken: parametreler m, Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: ( m ) e ( m) f ( ) = σ f < < ( ) e, π σ f () 0.607 m σ m m+σ
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu: F ( ) = Pr [ ] = f ( z ) dz = π σ ( z m) e σ dz F () 0.84 0.68 0.500 0.59 m σ m m+σ
3 Gausyen Rastgele Değişkenler İçin Olasılıkların Bulunması İlişki: m m F ( ) Pr[ ] m Q z z y dz dz z z y y m F ( ) = Pr [ ] = Φ = Q σ Gausyen yoğunluk simetrik olduğundan: Φ ( y ) = Q ( y ) Bu fonksiyonlar tablolar halinde sunulmuştur. σ Q ( z ) = Q ( z ). e dz Yaklaştırma: y olduğunda Q fonksiyonu söyle yazılabilir Q( y) = e z ( y) e Φ ( y ) = π Q( y) ( y) ( y) e e dz Q y = Φ ( y ) = π y ( y) Q( y) Q( z) Q( z). / z Q( y) dz e dz e y e y / y y y
Tablolar 4
5 Örnek:, ortalama değeri m, standart sapması olan Gausyen bir rastgele değişkendir. a) Pr [m < m + ]=? Pr[ m m ] Pr[ m ] Pr[ m ] Pr [m σ < m + σ ] = Pr [ m σ ] Pr [ > m + σ ] = Pr[ m ] Q Pr [ > + σ = Q m + σ m σ Q = 0 = Q() 4.56 0.9544 = 0.9544. b) m = 5 and variance = 64 ise Pr[m < m + ]=? m = 5 and = 8 için Pr [ 3 < 3] = Pr [ 3] Pr [ > 3] = Pr [ > 3] = Q 3 3 5 5 Q = Q Q() = 0.59= 0.68. 8 8 m m
6 Örnek: V Hab. Sistemi Y = αv + N α = 0 N Gaussian r.d. m N = 0 Ν = (a) V = 500 ise Pr[Y 0]=? Pr [Y 0] = Pr [αv + N 0] = Pr [ N 5] Pr[ Y 0] Pr[ V N 0] Pr[ N 5] 5 5 = (.5) Q(.5) = Φ (.5) = Q (.5) N = Φ σ N Q-fonksiyon tablosundan: Q (.5) = 6. 0 3.
7 (b) Pr[Y 0] = 0 6 yapacak V nedir? Pr [Y 0] = Pr [αv + N 0] = Pr [N αv ] = 0 6 V αv V αv 6 Q Q 0 N N = Φ = = σ N σ N Ters Q-fonksiyonu tablosundan: 0 6 αv = 6 αv 0 V 6 V = 0 V Q = 4.7535 0 4.7535 N N Vσ N 950.70 σ N V = 950.70
8 Gausyen r.d. ler İçin Hata Fonksiyonu nu Kullanarak Olasılıkların Belirlenmesi İlişkiler: ( z m ) = e ( zm) σ dz = m + erf πσ m ( ) erf F e dz σ burada y z erf ( y) e dz ve erf ( y) erf ( y) erf ( y ) = y e z 0 dz and erf ( y ) = erf ( y ) π 0 Zaman zaman kullanılan başka bir hata fonksiyonu tanımı: erfc ( y ) = e z π y dz = Bu tanım Q fonksiyonu ile ilgilidir: Q( y) = y erfc y Qy ( ) erfc erf ( y ) Both erf and erfc are available in MATLAB. Hem erf hem de erfc MATLAB da komut olarak mevcuttur
9 Örnek:, ortalama değeri m=, varyansı =6.5 olan Gausyen bir rastgele değişkendir. (a) Pr [.7] (b) Pr [ 0.] (c) Pr [ > 3.5].7.7.7.7 = (a) Pr[.7] f 0.603 ( ) d erf 0.603.5.5 0. 0. (b) Pr[ 0.] 0. f ( ) d 0. + erf erf.5.5 0. erf 0. = erf.5 = 0.3745 0.3745.5 3.5 (c) Pr[ 3.5] Pr[ 3.5] erf.5 3.5.5 erf 0.587 3.5 = erf.5.5 = 0.587 (a) Pr [.7] = f ( )d = + erf (b) Pr [ 0.] = f ( )d = (c) Pr [ > 3.5] = Pr [ 3.5] = + erf 3.5
0 Kesikli Rastgele Değişken Gösterimi δ() impalsları sıfır kalınlık sonlu olasılıkl sağlar f () p p 0 F () p 0
Karışık Rastgele Değişken oyf de impalslar vardır ve oyf bir ya da birden fazla zaman aralığında süreklidir.