JEODEZİK GPS AĞLARININ TASARIMINDA BİLGİSAYAR DESTEKLİ SİMÜLASYON YÖNTEMİNİN KULLANIMI

Transkript

1 JEODEİK GPS AĞLARININ TASARIMINDA BİLGİSAAR DESTEKLİ SİMÜLASON ÖNTEMİNİN KULLANIMI Mualla ALÇINKAA, Kamil TEKE Karadeniz Teknik Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü, 68, Trabzon Özet Jeodezik ağların kullanım amaçlarına uygun olarak tesis edilmesi için tasarım aşamasında optimizasyonunun yapılması gerekir. Bilgisayar teknoloisindeki gelişmelerle birlikte eodezik ağların tasarımında, çözüm algoritmalarından simülasyon yöntemleri ve analitik yöntemlerin kullanılması kolaylaşmıştır. Simülasyon yöntemleri, analitik yöntemlerin aksine güçlü bir matematiksel model gerektirmez ve etkileşimli graik ara yüz kullanımına olanak sağlar. Bu çalışmada, Karadeniz Teknik Üniversitesi kampus alanını ve Trabzon havalimanının bir bölümünü içine alan bir GPS ağı ölçü planı tasarımının yapılması amaçlanmıştır. üç alıcı kullanılması durumu dikkate alınarak oturumların planlanması yapılmıştır. Uygulamada, Matlab 6. derleyicisinde yazılan programla simülasyon yöntemlerinden tekrarlı en küçük kareler tekniği kullanılarak, duyarlık ve güven ölçütlerinden seçilen amaç onksiyon değerlerine ulaşmak için en uygun GPS ağ konigürasyonu ve ölçü planı oluşturulmuştur. Ağ tasarımında, simülasyon tekniğinin ve bu yöntemin gerçekleştirilmesinde Matlab derleyicisi kullanımının, sağladığı avantalar ortaya konularak, GPS ağları ölçü planı tasarımına ilişkin uygulanabilir çözüm önerileri sunulmuştur. Anahtar Sözcükler Duyarlık, güvenirlik, amaç onksiyonu, optimizasyon, ölçü planı, simulasyon yöntemi. Abstract Computer Based Simulation Method Usage When Designing Geodetic GPS Networks As to establish geodetic networks related to their usage aim, they should be optimized in designing stage. With the developments in computer technology simulation methods and analytical methods, which are optimization solution methods have been carried out easily. Simulation methods on the contrary o analytical methods are not required complicated mathematical models and give the opportunity o interactive graphic interace usage. In this study it was aimed to design a GPS network in the area o Karadeniz Technical University campus and a part o Trabzon airport. Sessions were planned as i three receivers would be used. In the application, optimal GPS network baseline coniguration and survey plan was designed depending on the selected accuracy and reliability obective unctions by using sequential least squares method written code in Matlab 6. compiler. When programming simulation method, the advantages o simulation method in network design and Matlab compiler usage, were put orth or consideration and applicable solutions were suggested about designing optimal GPS survey plan. Key Words Accuracy, reliability, obective unction, optimization, survey plan, simulation method. Giriş Jeodezik ağların, kuruluş amaçlarına uygun yapıda olmaları istenir. Bu nedenle ağların tasarımı, geliştirilmesi ve iyileştirilmesi aşamalarında kendilerinden beklenen işlevleri yerine getirebilmeleri için belirli duyarlık ve güven isteklerini sağlamaları gerekir. Bu nedenle eodezik ağların tasarım aşamasında optimizasyonları yapılmalıdır. Jeodezik ağların optimizasyonunda genel amaç, duyarlığı iyi, güvenirliği yüksek ve maliyeti düşük eodezik ağların tesisi için en uygun şeklin ve gözlem planının oluşturulmasıdır. Günümüzde teknoloinin gelişimiyle birlikte eodezide yersel ağların yerini GPS ağları almıştır. GPS ağlarının duyarlık ve güven yönünden optimizasyonu, ölçülecek bazların muhtemel tüm bazlar arasından seçimi şeklinde gerçekleştirilebilir (Graarend ve Sanso, 985; Kuang, 996; Scharin, 985; Konak, 994; Even-Tzur, ). Bu çalışmada, Karadeniz Teknik Üniversitesi kampus alanı ve Trabzon hava alanının bir kısmını kapsayacak biçiminde bir GPS ağının ölçü planı optimizasyonunun, oturumların planlanması esas alınarak yapılması amaçlanmıştır. Ağın duyarlık optimizasyonunda, tüm noktaların duyarlık yönünden homoen yapıda olmasını hedeleyen A-optimal ve izotrop yapıda olmasını hedeleyen E-optimal ağ amaç onksiyonları olarak seçilmiştir. Ağın güvenirliğinin iyileştirilmesinde, ortalama serbestlik derecesinin.5 değerini aşması ölçülere ilişkin kısmi redundanz paylarının ortalama serbestlik derecesine yakın değerler alması, iç güven ölçütü değerlerinin 6m ve dış güven ölçütü değerlerinin 6 sınır değerlerinin altında kalması amaçlanmıştır. Ağın optimizasyonunda, tasarım parametresi olarak ölçü planı

2 optimizasyonu seçilmiş ve çözüm algoritması olarak bir simülasyon yöntemi olan tekrarlı en küçük kareler yöntemi kullanılmıştır. B = B + B y + B y L = L + B y + B y + B y () GPS Ağlarında Duyarlık ve Güven Optimizasyonu GPS ağı ölçüsünün optimum planlanması, yer noktalarının ve uyduların konigürasyonuna, ölçülecek bazların seçimine, kullanılacak alıcıların tipine, çevresel hata kaynaklarına ve ekonomik koşullara bağlıdır (Wells vd., 986; Even-Tzur ve Papo, 996). GPS ağlarında oturumların zamanının ve süresinin belirlenmesi, bazların ayrı ayrı duyarlıklarının artırılması için gereklidir. Ağın global duyarlığının ve güvenirliğinin artırılması ise büyük oranda ağ noktalarının konumlarına ve bazların konigürasyonuna bağlıdır.. GPS Baz Vektörleri Bileşenlerinin Hesabı Jeodezik ağların optimizasyonu, arazide herhangi bir ölçü yapmaksızın harita üzerinden elde edilen ölçüler kullanılarak gerçekleştirilir. GPS ağlarının ölçü planı optimizasyonu da nokta konumlarının ve ölçülecek bazların belirlenmesinin ardından ağın global duyarlık ve güven ölçütleri esas alınarak yapılabilir. Bunu gerçekleştirmek için bölgeye ait haritada, ulaşılabilirlik dikkate alınarak, gökyüzü görüşünün açık olduğu bölgelerde ağ noktaları belirlenir. Ağın ilk ölçü planı minimum veya maksimum sayıda bazlarla oluşturularak global duyarlık ölçütlerinden seçilen skaler amaç onksiyonlarının değerleri minimum yapılacak biçimde minimum ölçü planından maksimuma veya maksimumdan minimuma göre simülasyon yöntemiyle ağın duyarlık optimizasyonu yapılır. Minimum sayıda baz ile oluşturulacak bir ölçü planında r, alıcı sayısı; n, nokta sayısı; m, iki arklı oturumda birden azla ölçü yapılan nokta sayısı olmak üzere, oturum sayısı (s) ve ağda iki kez ölçülen baz sayısı (t), s = (n m)/(r m) t = (s )(m ) eşitlikleri ile hesaplanır. Tasarlanan GPS ağında belirlenen bazların hesabı için ağ noktalarının WGS-84 datumunda kartezyen koordinatlarına gereksinim vardır. Ağ noktalarının WGS- 84 kartezyen koordinatları aşağıdaki işlem adımlarıyla elde edilir. Harita üzerine işaretlenen noktaların proeksiyon koordinatları (UTM veya DUTM) okunur ve okunan sağa ve yukarı değerleri, Gauss-Krüger (x,y) koordinatlarına dönüştürülür. Noktaların Gauss-Krüger (x,y) koordinatları, Hayord elipsoidi coğrai koordinatlarına (B, L), () eşitliğinden dönüştürülür. Buradaki kısaltmalar, a, elipsoidin büyük yarı ekseni; b, elipsoidin küçük yarı ekseni; e, elipsoidin ikinci eksentrisitesi; B, ayak noktası enlemi ve L, dilim orta meridyeni boylamını göstermek üzere, a b a e' =, c =, b b A' = c( e' + e' e' + e' ), B' ' = e' e' + e' e', C' ' = e' e' + e', ' 8 D' ' = e' e, x σ = A' B = σ + B' ' sin σ + C' ' sin4 σ + D' ' sin6 σ +... t = tanb, η = e' cos B, V = + η, ρ = B =, ρ cosb t ( η ) B =, ρ t η B3 =, 3 6ρ cosb t (5 + 3t + 6η 6t η ) B4 =, 4 4ρ t + 4t + 6η + 8t η B5 =, 5 ρ cosb eşitliklerinden hesaplanır. Bu dönüşüm işleminde Hayord elipsoidinin iki temel geometrik parametresinin (a, b) bilinmesinin yeterli olduğu görülmektedir (Wol ve Ghilani, 997; Özbenli, ; Kaya, 999). Noktaların ortometrik yükseklikleri haritadan elde edilir. Ortometrik yüksekliklere (H), noktalara ilişkin Hayord elipsoidi ile o bölgedeki eoid yüzeyi arasındaki eoid ondülasyonları (N) eklenerek elipsoid yükseklikleri (h), h = H + N (4) eşitliği ile hesaplanır. Noktaların Avrupa datumu (ED-5) deki coğrai koordinatları (B, L, h) ED5, kartezyen koordinatlara (X,, ) ED5, a b e =, ρ = a a e sin B c V (3) (5)

3 X ED5 ED5 ED5 = (ρ + h)cosbcosl = (ρ + h)cosb cosl b = ( a ρ + h)sinb eşitlikleri ile dönüştürülür. Burada, e, elipsoidin birinci eksentrisitesi ve ρ, elipsoidin enine eğrilik yarıçapını göstermektedir (Özbenli, ; Kaya, 999). ED-5 datumundan WGS-84 datumuna dönüşüm için kartezyen koordinat sistemleri arasındaki 7 dönüşüm parametresi, 3 ortak noktanın koordinatları kullanılarak dengelemeli benzerlik dönüşümü ile hesaplanır. Böylece ED-5 datumundan WGS-84 datumuna, t X, t, t, iki sistem oriinleri arasındaki ötelemeler; ε X,ε, ε, iki sistemin koordinat eksenleri arasındaki dönüklükler ve k, ölçek aktörü olmak üzere X WGS84 t = t t X k + ε ε ε ε X ε ε X X ED5 eşitliği ile dönüşüm yapılır. Ağ noktalarının WGS84 datumundaki koordinatlarının arkları alınarak tasarlanan baz vektörleri (Δ X, Δ, elde edilir. Δ) WGS84. Duyarlık Optimizasyonu Jeodezik ağların kalitesini arttırabilmek için tasarımı aşamasında duyarlık ölçütlerinden türetilen amaç onksiyonlarına göre duyarlık optimizasyonunun yapılması gerekir. Jeodezik GPS ağlarının duyarlık optimizasyonunda, noktaların koordinat duyarlıkları, nokta konum duyarlıkları, nokta koordinatlarının onksiyonları olan dengeli kenarların duyarlıkları, herhangi bir noktaya ilişkin güven elipsoidinin hacmi gibi ağın tek noktası veya komşu noktaları için tanımlanan lokal duyarlık ölçütleri birer amaç onksiyonu olarak seçilebileceği gibi konum duyarlıklarından varyans ölçütü, varyans-kovaryans matrisinin determinantı ve varyans-kovaryans matrisinin özdeğerlerinden türetilen ağın tümünü temsil eden global duyarlık ölçütlerinden seçilen amaç onksiyonları kullanılabilir (Baarda, 968; Graarend, 974; Wol, 997; Öztürk, 98). K xx m X,m, m, koordinat bilinmeyenlerinin karesel ortalama hataları; Q, koordinat bilinmeyenlerinin ters xx ağırlık matrisi;, koordinat bilinmeyenlerinin varyanskovaryans matrisi; λ, koordinat bilinmeyenlerinin ters ağırlık matrisinin özdeğerleri olmak üzere ağın duyarlık optimizasyonunda minimum yapılması öngörülen skaler amaç onksiyonlarından (), bazıları Tablo de verilmiştir. (6) Tablo : Ağın duyarlık optimizasyonunda seçilebilinecek amaç onksiyonları Lokal Global Duyarlık amaç onksiyonları Helmert nokta konum hatası P İ X + m İ + m İ Werkmeister nokta = w p Xm m konum hatası İ A H λ Helmert nokta hata = elipsoidleri B H λ C H λ Ortalama koordinat duyarlığı A-optimal ağ amaç onksiyonu D-optimal ağ amaç onksiyonu E-optimal ağ amaç onksiyonu S-optimal ağ amaç onksiyonu I-optimal ağ amaç onksiyonu x, m y, m z = iz(k ) xx = det(k = λ max. xx ) = = λ max. λ = λ min. /λ λ i m λi min. min. İ 3 iz(q xx ) Minimum veya maksimum ölçü planıyla tasarlanan ağda lokal veya global duyarlık ölçütlerinden seçilen skaler amaç onksiyonları hesaplanır. Amaç onksiyonuna en azla ve en az etki yapan bazlar lokal duyarlık ölçütlerine bakılarak belirlenir. Amaç onksiyonuna en az etki yapan baz ölçü kümesinden atılarak maksimumdan minimum ölçü planına doğru veya amaç onksiyonuna en azla etki yapan baz ölçü kümesine ilave edilerek minimumdan maksimum ölçü planına simülasyon yöntemiyle gidilir. Duyarlığın ölçülere bağlı olarak yeterince iyileştirilemediği noktaların bulunduğu bölgelerde yeni noktalar ve ölçüler planlanır. Duyarlık amaç onksiyonunun değerlerindeki değişimler azaldığında ağın maliyeti de göz önüne alınarak duyarlık optimizasyonu sonlandırılarak, tesis ve ölçü işlerine başlanır (Graarend, 974; Dare, 995; Dare ve Saleh, ; Even-Tzur, ; alçınkaya vd., 3)..3 Güven Optimizasyonu GPS ağ geometrisinin model ve ölçü hatalarını ortaya çıkarabilme kabiliyetini arttırmak amacıyla ağın güven optimizasyonu yapılır. GPS ağlarının güven optimizasyonunda, ölçülerin redundanz payları, ağın iç ve dış güven ölçütleri amaç onksiyonu olarak seçilir (Gazdzicki, 976; Biacs vd., 99). Q, düzeltmelerin ters ağırlık matrisi; vv P, ölçülerin ağırlık matrisi; α,. tip hata; β,. tip hata; w = F dış merkezlik parametresinin sınır değeri; (α,β,, ) m, soncul standart sapma olmak üzere ağın güven

4 optimizasyonunda esas alınacak bazı skaler amaç onksiyonları ve sınır değerleri Tablo. de verilmiştir. Tablo : Ağın güvenirlik optimizasyonunda seçilebilinecek amaç onksiyonları Güvenirlik amaç onksiyonları Sınır değerler Redundanz payı = r = (Q vv ) P = r >.5 veya r >.3 w = Δ 6 m İç güven ölçütü = Δ P r veya 8 m - r Dış güven ölçütü = δ = w r = δ veya 6 Bir eodezik ağın Tablo den seçilen amaç onksiyonları ile güven optimizasyonu şu adımlar izlenerek yapılabilir. Ağda oluşabilecek model hatalarının denetlenmesi amacıyla ağın ortalama serbestlik derecesi (r ) ve ölçülerin azla ölçü sayısındaki payları (r ) hesaplanır. Ölçülerin azla ölçü sayısındaki payları r, ortalama azla ölçü sayısı r dan çok küçük olursa ilgili ölçülerin diğer ölçüler yardımıyla yeterince denetlenemediklerine karar verilir. Söz konusu ölçülere dik yönde yeni ölçüler planlanır. İç güven ölçütleri Δ ve ölçü hatalarının koordinatlara etkime katsayıları olan dış güven ölçütleri δ hesaplanır. İç ve dış güven ölçütleri Tablo de verilen sınır değerlerden küçük olan ölçülerin diğer ölçüler yardımıyla iyi denetlenemediklerine karar verilir ve bu ölçülere dik yönde yeni ölçüler planlanır. Gereğinde ağın masra, zaman ve emek yönünden en uygun durumda bulunmasını sağlamak amacıyla r >> r ve δ 6 olan ölçülerin diğer ölçüler taraından çok iyi denetlendiklerine karar verilir. Bu türden ölçüler ölçü planından çıkarılabilir. Geliştirilmiş ölçü planı, son bir kez daha gözden geçirilir. Tasarımı yapılan ağın kullanım amaçları için yeterli olup olmadığı denetlenerek tesis ve ölçüm işlerine başlanır (Baarda, 977; Gazdzicki, 976; Konak, 994). 3 Uygulama Çalışmada, Karadeniz Teknik Üniversitesi kampus alanı ve Trabzon hava alanının bir kısmını kapsayacak biçimde yaklaşık x.5 km boyutlarında oluşturulan bir GPS ağının ölçü planı optimizasyonunun, oturumların planlanması esas alınarak yapılması amaçlanmıştır. Önce çalışmanın gerçekleştirileceği bölgenin haritası üzerinde ağ noktaları, karela ağ geometrisini yansıtacak biçimde, ulaşılabilirlik dikkate alınarak, gökyüzü görüşünün açık olduğu bölgelerde işaretlenmiştir (Şekil ). Şekil : Uygulama GPS ağı Ağ noktalarının haritadan DUTM proeksiyon koordinat (sağa ve yukarı) değerleri okunmuştur. Bu koordinatlar, önce Gauss-Krüger (x,y) koordinatlarına, sonra ( ve 3) eşitlikleri kullanılarak Hayord elipsoidi coğrai koordinatlarına (B,L) dönüştürülmüştür. Bu dönüşüm işleminde Hayord elipsoidinin büyük ve küçük yarı eksenlerini oluşturan iki temel geometrik parametresi (a = m. ; b = ,9463 m.) kullanılmıştır. Noktaların haritadan elde edilen ortometrik yükseklik değerlerine (H), bölgede daha önce yapılmış çalışmalar sonucu belirlenmiş olan eoid ondülasyon değerlerinden elde edilen ortalama bir ondülasyon değeri (N) eklenerek ağ noktalarının elipsoid yükseklikleri (h) (4) eşitliği ile hesaplanmıştır. Elipsoid yükseklikleri belirlendikten sonra noktaların coğrai koordinatları (B, L, h) ED5, (5) eşitliği ile kartezyen koordinatlara dönüştürülerek ağ noktalarının (X,, ) ED5 koordinatları hesaplanmıştır. ED-5 kartezyen koordinatlarından WGS-84 kartezyen koordinatlarına dönüşüm yapabilmek için gerekli olan iki sistem arasındaki 7 dönüşüm parametresi, 3 ortak nokta (N, N6, N9) kullanılarak dengelemeli benzerlik dönüşümü ile hesaplanmıştır (Tablo 3). Bu dönüşüm parametreleri kullanılarak tüm noktaların ED-5 datumundaki koordinatları WGS-84 datumundaki koordinatlarına, (6) eşitliğiyle dönüştürülmüştür.

5 Tablo 3: GPS Ağının ED-5 datumundan WGS-84 datumuna lokal dönüşüm parametreleri X ekseni etraındaki dönüklük (ε X ) m. ekseni etraındaki dönüklük (ε ) m. ekseni etraındaki dönüklük (ε ) m. X ekseni yönündeki öteleme (t X ) ekseni yönündeki öteleme (t ) ekseni yönündeki öteleme (t ) Ölçek Faktörü (k).3 Uygulama GPS ağında, oturum sayısı esas alınarak minimum ölçü planı oluşturulmuştur. Alıcı sayısı (r=3); nokta sayısı (n=); iki arklı oturumda birden azla ölçü yapılan nokta sayısı (m=) olmak üzere () eşitliğinden oturum sayısı (s=9) ve ağda iki kez ölçülen baz sayısı (t=8) olarak hesaplanmıştır. Bu durumda, noktalı uygulama ağı, her oturumda ortak bir baz olması koşuluyla, 3 alıcı ile minimum 9 oturumda ölçülecek biçimde oluşturulmuştur (Şekil ). Şekil : Duyarlık optimizasyonunda minimum oturum sayısı esas alınarak oluşturulan ilk ölçü planı Şekil de belirlenmiş olan ilk ölçü planındaki baz vektörleri bileşenleri, noktaların WGS84 koordinatlarının arkları alınarak oluşturulmuştur. Bu bazlar ölçü olarak alınarak ağ optimizasyonu yapılmıştır. Tablo 4: İlk ölçü planından hesaplanan amaç onksiyonlarının değerleri A-Optimal ağ amaç onk. E-Optimal ağ amaç onk. 33 λi = iz(qxx ).54 λ max.63 Tablo 4 incelendiğinde ilk ölçü planı ile oluşturulan ağın koordinat bilinmeyenlerinin ters ağırlık matrisinin en büyük özdeğerinin, özdeğerler toplamının yaklaşık yarısı büyüklüğünde olduğu görülmektedir. Bu da ağda duyarlık dağılımının homoen olmadığını gösterir. Bu nedenle ağa yeni oturumlar planlanmıştır. eni oturumları oluşturacak bazların ağa ilave edilmesinde, Tablo deki eşitliklerden hesaplanan Helmert nokta konum hataları ve nokta hata elipsoidleri dikkate alınmıştır (Tablo 5). Tablo 5: İlk ölçü planında Helmert nokta konum hataları ve nokta hata elipsoidleri yarı eksenleri Nokta no Helmert nokta kon. hat. (cm) Hata elipsoidi yarı eksenleri A H (cm) B H (cm) C H (cm) Tablo 5 incelendiğinde,, 3 ve 7 numaralı noktaların duyarlıklarının kötü olduğu görülmektedir. Bu nedenle ilk ölçü planına konum duyarlığı düşük olan bu noktaları birleştiren -3 ve 7-3 bazlarından oluşan bir oturum ilave edilerek ikinci ölçü planı oluşturulmuştur (Şekil 3). 3. Duyarlık Amaç Fonksiyonları İle Ölçü Planı Optimizasyonu Global duyarlık ölçütlerinden seçilen A- ve E- optimal ağ amaç onksiyonları ile ağın duyarlık optimizasyonu üç alıcı kullanılması durumu esas alınarak yapılmıştır. A- ve E-optimal ağları oluşturmak amacıyla, amaç onksiyonu değerine en azla etki edecek bazları oluşturan oturumlar ağa eklenerek minimum ölçü planından maksimum ölçü planına gidilmiştir. Minimum oturum sayısı esas alınarak tasarlanan ilk ölçü planındaki bazların ağırlıkları bir alınıp aralarındaki korelasyonlar da gözardı edilerek ağ serbest dengelenmiş ve amaç onksiyonlarının değerleri hesaplanmıştır (Tablo 4). Şekil 3: İkinci ölçü planı ile oluşturulan ağ Şekil 3 de verilen ikinci ölçü planından oluşturulan ağdaki bazlar ölçü olarak alınıp ağ tekrar serbest dengelenmiş ve amaç onksiyonlarının değerleri hesaplanmıştır (Tablo 6).

6 Tablo 6: İkinci ölçü planından hesaplanan amaç onksiyonlarının değerleri A-Optimal ağ amaç onk. E-Optimal ağ amaç onk. 33 λi = iz(qxx ). λ max.37 Tablo 6 da görüldüğü gibi ilave edilen bazlar, skaler amaç onksiyonu değerlerini küçültmüş ve en büyük özdeğerin, özdeğerler toplamına oranını da / den yaklaşık /4 e düşürmüştür. İkinci ölçü planından Helmert nokta konum hataları ve nokta hata elipsoidi yarı eksenleri tekrar hesaplanmıştır (Tablo 7). Tablo 7: İkinci ölçü planında Helmert nokta konum hataları ve nokta hata elipsoidleri yarı eksenleri Nokta no Helmert nokta kon. hat. (cm) Hata elipsoidi yarı eksenleri A H (cm) B H (cm) C H (cm) Tablo 7 incelendiğinde, 8 ve numaralı noktaların duyarlıklarının kötü olduğu görülmektedir. Bu nedenle bu noktaları birleştiren -8 ve 8- bazları planlanarak üçüncü ölçü planı oluşturulmuştur (Şekil 4). Amaç Fonksiyonu (lamda[max]) 4 Değerleri,7,6,5,4,3,,, Ö.P. Ö.P. Ö.P. 3 Ö.P. 4 Ö.P. 5 Ölçü Planları Şekil 5: E-optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonu değerlerine etkileri Uygulamada, E-optimal ağa, A Hmax(),. ölçü planındaki en büyük Helmert nokta hata elipsoidi yarı eksenini; σ, birim ölçünün kuramsal standart sapmasını göstermek üzere, A σ λ.5 cm Hmax() = max() koşulu sağlandığında ulaşıldığına karar verilmesi öngörülmüştür. Bu durumda σ = cm alınarak, λ.5 max() E-Optimal Ağ şeklinde sınır değer sağlanmalıdır. Uygulama ağında her ölçü planı için amaç onksiyonu değerleri hesaplandığında Ö.P. 6 Ö.P. 7 Ö.P. 8 λ max() =.3 ; λ max(3) =. olduğundan, ağa eklenen her bazın maliyeti arttıracağı da göz önüne alınarak E-optimal ağa üçüncü ölçü planı ile ulaşıldığına karar verilmiştir (Şekil 4). A-optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonlarına etkileri de Şekil 6 da verilmiştir. Şekil 4: Üçüncü ölçü planı ile oluşturulan E-optimal ağ Her yeni ölçü planıyla yinelemeli olarak aynı işlemler yapılmış ve 8. ölçü planına kadar devam edilmiştir. E- optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonlarına etkileri Şekil 5 de verilmiştir.

7 Amaç Fonksiyonu (iz[qxx]) 4 Değerleri,7,5,3,,9,7,5 Ö.P. Ö.P. Ö.P. 3 Ö.P. 4 Ölçü Planları Şekil 6: A-optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonu değerlerine etkileri Uygulamada A-optimal ağa, (iz(q Ö.P. 5 Ö.P. 6 Ö.P. 7 xx )) = ( λ i ) Ö.P. 8,. ölçü planına ilişkin koordinat bilinmeyenlerinin ters ağırlık matrisinin izi olmak üzere, ( λ i ).8 koşulu sağlandığında ulaşıldığına karar verilmesi öngörülmüştür. Bu durumda her yinelemede hesaplanan amaç onksiyonları ( λ ) =.93 ; i 3 A-Optimal Ağ ( λ ) =.79 i 4 değerlerinden de görüldüğü gibi ağa eklenen her bazın maliyeti arttıracağı da göz önüne alınarak A-optimal ağa dördüncü ölçü planı ile ulaşıldığına karar verilmiştir (Şekil 7). A- ve E-optimal GPS ağı tasarlandıktan sonra alıcıların taşınmasında en kısa yol ve zaman gibi maliyeti etkileyici koşullar dikkate alınarak ölçü öncesi ölçü düzeni planlanmıştır (Tablo 8). Tablo 8: A- ve E-optimal ağların ölçü düzeni şeması A-Optimal Ağ Ölçü Düzeni E-Optimal Ağ Ölçü Düzeni Oturum İstasyonlar Oturum İstasyonlar Güven Amaç Fonksiyonları ile Ölçü Planı Optimizasyonu Uygulama ağının güven optimizasyonunda, ortalama serbestlik derecesinin.5 değerinden büyük olması, ölçülere ilişkin kısmi redundanz paylarının ortalama serbestlik derecesine yakın olması, iç güven ölçütleri değerlerinin 6m sınır değerlerinden küçük olması ve dış güven ölçütleri değerlerinin de 6 sınır değerinden küçük olması amaçlanmış ve üç alıcı kullanılması durumu esas alınmıştır. İlk ölçü planından başlayarak amaç onksiyonları sınır değerlerini sağlamayan bazlara dik yönde yeni bazlar eklenerek güvenilir ağ geometrisine ulaşılmıştır. İlk ölçü planı (Şekil ) ile oluşturulan ağ, bazların redundanz değerlerine göre sınır değer (.5) dikkate alınarak Şekil 8 de verilmiştir. Şekil 8: Bazların redundanz değerlerine göre ilk ölçü planı Şekil 7: Minimum ölçü planından maksimuma giderken karar verilen A-optimal ağ Şekil 8 den görüleceği gibi ağı çevreleyen bazların güvenirlikleri yetersizdir. İlk ölçü planındaki baz vektörleri bileşenlerinin güven ölçütleri değerleri Tablo

8 de verilen eşitliklerle hesaplanmış ve sınır değerleri ile Tablo 9 da verilmiştir. Tablo 9: İlk ölçü planına ilişkin ağın güven ölçütleri değerleri Bazlar r Redundanz payı (Δ X, Δ, Δ) (Sınır değer=.5) İç güven ölçütü Δ (Δ X,Δ,Δ) Sınır Değer (6m ) Dış güven ölçütü δ (Δ X,Δ,Δ) (Sınır değer=6) N N,55,,34 3,6 N-N4,53,6,37 3,78 N-N3,38,7,57 5,9 N-N6,55,,34 3,6 N-N,55,,34 3,6 N-N,45,49,49 4,46 N-N4,44,5,5 4,53 N3-N4,38,7,57 5,9 N5-N6,45,48,49 4,45 N6-N,45,48,49 4,45 N7-N9,53,6,37 3,78 N7-N8,44,5,5 4,53 N8-N9,55,,34 3,6 N8-N5,45,49,49 4,46 N9-N5,55,,34 3,6 N9-N6,55,,34 3,6 N9-N,45,48,49 4,45 N-N7,38,7,57 5,9 N-N9,38,7,57 5,9 Ağdaki bazlar içerisinde güvenirlikleri en düşük olan N- N3, N3-N4, N-N7 ve N-N9 bazlarına dik yönde N- N3, N-N ve N3-N bazlarından oluşan bir oturum eklenmiştir. İkinci ölçü planı ile oluşturulan ağdaki redundanz değerleri, sınır değer (.5) altında kalan bazlar, redundanz değeri sınır değer üzerine çekilen bazlar ve eklenen bazlar Şekil 9 da verilmiştir. Tablo : İkinci ölçü planına ilişkin ağın güven ölçütü değerleri Bazlar Redundanz payı r (Δ X, Δ, Δ) İç güven ölçütü Δ (Δ X,Δ,Δ) Sınır Değer (6m ) Dış güven ölçütü δ (Δ X,Δ,Δ) (Sınır değer=6) (Sınır değer=.5) N N,67,94,5,83 N-N4,55,,34 3,63 N-N3,6,7,5 3, N-N6,58,,9 3,37 N-N,56,7,3 3,5 N-N3,6,4,3 3,3 N-N,5,3,4 3,9 N-N,55,,34 3,6 N-N4,55,,34 3,6 N3-N4,53,5,37 3,75 N3-N,5,7,38 3,8 N5-N6,47,4,46 4,6 N6-N,48,38,44 4,4 N7-N9,55,,34 3,6 N7-N8,45,46,48 4,39 N8-N9,55,,34 3,6 N8-N5,45,46,48 4,39 N9-N5,56,9,33 3,58 N9-N6,59,,7 3,3 N9-N,59,,8 3,35 N-N7,46,44,47 4,3 N-N9,58,4,3 3,43 Tablo incelendiğinde ağdaki bazlar içerisinde güvenirliklerinin N5-N6, N6-N, N7-N8, N8-N5 ve N-N7 yetersiz olduğu görülür. Bu bazlara dik yönde N6-N8, N6-N ve N8-N bazlarından oluşan bir oturum eklenerek üçüncü ölçü planı oluşturulmuştur. Üçüncü ölçü planındaki baz vektörleri bileşenlerinin güven ölçütleri değerleri ve sınır değerleri hesaplanmıştır (Tablo ). Tablo : Üçüncü ölçü planına ilişkin ağın güven ölçütü değerleri Şekil 9: Bazların redundanz değerlerine göre ikinci ölçü planı İkinci ölçü planındaki baz vektörleri bileşenlerinin güven ölçütleri değerleri ve sınır değerleri Tablo da verilmiştir. Redundanz payı İç güven ölçütü Dış güven ölçütü Sınır Değer Bazlar r (Δ X, Δ, Δ) Δ (6m ) δ (Δ X,Δ,Δ) (Δ X,Δ,Δ) (Sınır değer=.5) (Sınır değer=6) N N,68,9,4,77 N-N4,55,,34 3,6 N-N3,6,3,3 3, N-N6,65,99,9,96 N-N,57,6,3 3,49 N-N3,6,4,3 3, N-N,53,6,37 3,77 N-N,6,9,7 3,8 N-N4,55,,34 3,6 N3-N4,54,4,36 3,73 N3-N,56,8,33 3,54 N5-N6,56,9,33 3,56 N6-N8,66,96,7,89 N6-N,5,8,39 3,84 N6-N,68,9,4,76 N7-N9,57,7,3 3,5 N7-N8,55,,34 3,59 N8-N9,68,9,3,7 N8-N5,55,,34 3,59 N8-N,65,97,8,9 N9-N5,57,6,3 3,49 N9-N6,7,88,,64 N9-N,6,8,6 3,3 N-N7,56,9,33 3,58 N-N9,69,9,,69

9 Üçüncü ölçü planı ile ağdaki tüm bazların kısmi serbestlik derecelerinin, ağın iç ve dış güven ölçütü değerlerinin sınır değer şartlarını sağladığı Tablo den görülmektedir. Böylece üçüncü ölçü planı ile güvenilir ağa ulaşıldığına karar verilmiştir. Üçüncü ölçü planı ile oluşturulan ağda, redundanz değeri sınır değer üzerine çekilen bazlar ve eklenen bazlar Şekil da verilmiştir. noktalar (N3 ve N) dikkate alınarak N-N ve N3- N bazlarından oluşan bir oturum ölçü planına dahil edilmiştir. İkinci ve diğer ölçü planları da duyarlıkları zayı noktalar ve güvenirlikleri zayı bazlar dikkate alınarak oluşturulmuştur. Aynı işlemlere yinelemeli olarak devam edilmiş ve tasarlanan 4. ölçü planı ile oluşturulan ağdaki tüm bazların güven ölçütlerinden seçilen amaç onksiyonları değerlerinin sınır değer şartlarını sağladığı görülerek güvenilir ağ geometrisine ulaşıldığına karar verilmiştir (Şekil ve Tablo ). Şekil : Üçüncü ölçü planı ile karar verilen güvenilir ağ 3.3 Duyarlık ve Güven Amaç Fonksiyonlarının Birlikte Ele Alındığı Ölçü Planı Optimizasyonu Duyarlık ve güven amaç onksiyonları birlikte ele alınarak ağın ölçü planı optimizasyonunun yapılması da amaçlanmıştır. Bu amaçla Şekil de verilen ilk ölçü planıyla oluşan ağın duyarlık ve güven amaç onksiyonları hesaplanmıştır (Tablo 4, Tablo 9). Ağın duyarlı ve güvenilir olmadığı görülmüştür. Ağ noktalarının hata elipsoidleri elemanları hesaplanarak ağda konum duyarlığı düşük noktalar ve güvenirliği yetersiz bazlar belirlenmiştir (Şekil ). Şekil : Birinci ölçü planı ile oluşturulan ağda konum duyarlığı düşük noktalar ve güvenirliği yetersiz bazlar İlk ölçü planında güvenirlikleri yetersiz bazlar (N-N3, N3-N4, N-N7 ve N-N9) ve konum duyarlıkları düşük Şekil : Duyarlık ve güven optimizasyonunun birlikte yapıldığı durumda dördüncü ölçü planı ile karar verilen güvenilir ağ. Tablo : Dördüncü ölçü planına ilişkin ağın güven ölçütü değerleri Redundanz İç güven Dış güven ölçütü Sınır Değer payı ölçütü Sınır Değer δ Bazlar (Δ X,Δ,Δ) r (Δ X, Δ, Δ) Δ (6m ) (Δ X,Δ,Δ) (Sınır değer=6) (Sınır değer=.5) N N,63,, 3,5 N-N4,64,, 3, N-N3,65,97,8,9 N-N6,64,, 3, N-N,56,7,3 3,5 N-N,6,7,5 3, N-N,5,3,4 3,94 N-N4,57,5,3 3,45 N3-N4,57,7,3 3,5 N3-N7,6,7,5 3, N3-N8,6,,7 3,3 N3-N,6,6,5 3,9 N5-N,58,3,9 3,38 N5-N4,59,,7 3,3 N5-N6,59,,8 3,35 N6-N,5,3,4 3,93 N7-N9,6,5,4 3,5 N7-N8,58,4,3 3,4 N8-N9,63,3, 3,9 N8-N5,57,6,3 3,48 N9-N5,65,98,8,94 N9-N6,6,9,6 3,6 N9-N,69,9,,7 N-N7,58,3,9 3,4 N-N9,6,4,3 3, 4. ölçü planında duyarlık amaç onksiyonları değerlerinde bir azalma görülmediğinden duyarlık optimizasyonu için yinelemeye 8. ölçü planına kadar devam edilmiştir. E-

10 optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonlarına etkileri Şekil 3 de verilmiştir. Amaç Fonksiyonu (lamda[max]) Değerleri,7,6,5,4,3,,, Ö.P. Ö.P. Ö.P. 3 Ö.P. 4 Ölçü Planları Şekil 3: E-Optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonu değerlerine etkileri Uygulamada E-optimal ağa, A Hmax() = σ λ max().5cm koşulu sağlandığında ulaşıldığına karar verilmesi öngörülmüştür. Bu durumda σ = cm alınarak, max() λ.5 E-Optimal Ağ şeklinde sınır değer sağlanmalıdır. Her ölçü planı için amaç onksiyonu değerleri hesaplandığında Ö.P. 5 Ö.P. 6 Ö.P. 7 λ max(3) =.9 ; λ max(4) =. olduğundan, ağa eklenen her bazın maliyeti arttıracağı da göz önüne alınarak E-optimal ağa dördüncü ölçü planı ile ulaşıldığına karar verilmiştir (Şekil 4). Ö.P. 8 A-optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonlarına etkileri Şekil 5 de verilmiştir.,6 Amaç Fonksiyonu (iz[qxx]) Değerler 7,4,,,8,6,4 Ö.P. Ö.P. Ö.P. 3 Ö.P. 4 Ölçü Planları Şekil 5: A-Optimal ağın planlanmasında eklenen bazların amaç onksiyonu değerlerine etkileri Uygulamada A-optimal ağa, ( λ i ).8 koşulu sağlandığında ulaşıldığına karar verilmesi öngörülmüştür. Bu durumda hesaplanan amaç onksiyonları Ö.P. 5 ( λ ) =.89 ; i 4 A-Optimal Ağ Ö.P. 6 Ö.P. 7 ( λ i ) 5 =.76 değerlerinden de görüldüğü gibi ağa eklenen her bazın maliyeti arttıracağı da göz önüne alınarak A-optimal ağa beşinci ölçü planı ile ulaşıldığına karar verilmiştir (Şekil 6). Ö.P. 8 Şekil 4: Ölçü planı optimizasyonunda karar verilen güvenilir E-optimal ağ Şekil 6: Ölçü planı optimizasyonunda karar verilen güvenilir A-optimal ağ

11 3.4 Optimizasyonda Kullanılan Simülasyon önteminin Matlab Derleyicisi ile Uygulanması doğrudan erişime olanak verdiğinden ara değerlerin ayrıca dosyaya yazdırılması gerekmemiştir. Uygulamada, nokta koordinatlarının dönüşümü, baz vektörlerinin hesabı, ağın dengelenmesi, duyarlık ve güven ölçütlerinden seçilen amaç onksiyonu değerlerinin hesabı, matlab (MATrix LABoratuary) derleyicisi ile yapılmıştır (Şekil 7). Şekil 7: Matlab derleyicisi arayüzü Üç boyutlu ağın çizdirilmesinde, Matlab derleyicisi graik arayüzü (Şekil 8) ve graik onksiyonları kullanılmıştır. Her yinelemede sonuç değerleri ayrı dosyalara yazdırılmıştır. Şekil 9: Matlab derleyici workspace arayüzü Matlab derleyicisi ile simülasyon ve graiksel görüntüleme işlemleri hazır onksiyon dosyalarını çağıran kodlarla kolaylıkla gerçekleştirilebilmiştir. 4 Sonuçlar ve Öneriler Çalışma sonucunda, simülasyon yönteminin ölçü planında değişiklik yapılması sürecinde hangi bazların eklenmesi gerektiğine bilgisayarla karar verebilecek algoritmaların geliştirilmesine olanak sağladığı, bu üstünlüklerine karşın yinelemeli çözüm yapıldığından işlenmesi gereken veri yükünün çok olduğu görülmüştür. Şekil 8: Matlab derleyicisi graik arayüzü Matlab derleyicisinin hazır onksiyon dosyaları (mdosyaları) kod yazımında büyük kolaylık sağlamıştır. Programın workspace ortamı (Şekil 9) ara değerlere Minimum ölçü planından maksimum ölçü planına gidilerek yapılan optimizasyon işleminde, seçilen duyarlık amaç onksiyonlarına en azla etki eden bazların, büyük olan nokta hata elipsoidleri eksenleri yönünde ilave edilen yeni bazlar olduğu belirlenmiştir. Bu bazlar ölçü planına eklenmiş ve amaç onksiyonu değeri sınır değer altında kaldığında optimal ölçü planına ulaşıldığına karar verilmiştir. Tasarım aşamasında seçilen duyarlık amaç onksiyonları değerlerinin ağdaki baz sayısıyla ters orantılı olduğu akat doğrusal olmadığı görülmüştür.

12 Ağın global duyarlık ölçütleri değerlerinin iyi olması veya ağın ortalama serbestlik derecesinin yüksek olması duyarlı ve güvenilir bir ağ olduğu anlamına gelmediğinden, ağa ilişkin lokal duyarlık ve güven ölçütlerinin de ayrı ayrı denetlenmesi ve iyileştirilmesi gerektiği görülmüştür. Duyarlık ve güven amaç onksiyonlarının birlikte ele alındığı ölçü planı tasarımında sadece duyarlık veya sadece güven amaç onksiyonlarına bağlı kalınarak gerçekleştirilen optimizasyon işleminden arklı olarak yineleme sayısının azla olduğu akat ağa hem duyarlık hem de güven isteklerini sağlayacak güçlü bir geometri kazandırıldığı görülmüştür. Sonuç olarak, bir GPS ağının tasarımında, ağın duyarlık optimizasyonunda, tasarım aşamasında bazların kapalı luplardan oluşturulması ve oturumların her sonraki oturumun en az daha önceden ölçü yapılan bir bazı içermesi, baz hatalarının nokta konum hatalarına etkisini azaltmak ve güvenirliği artırmak için bazların birbirine dik planlanması diğer bir deyişle küçük açılarla kestirilmemeleri, ağın simülasyon yöntemiyle optimizasyonunda minimum ölçü planından maksimum ölçü planına gidilirken duyarlığı düşük olan noktaları birleştiren bazların ağa ilave edilmesi, ağın güven optimizasyonunda, ağın ölçüleri homoen dağılmadığında ağın ortalama serbestlik derecesinin yüksek olması güvenilir bir ağ olduğu anlamına gelmediğinden ölçülerin geometrisine bağlı olarak ağda ölçülerin redundanz değerlerinin, ağın iç ve dış güven ölçütleri değerlerinin sınır değer şartlarını ayrı ayrı gerçekleştirmeleri ve tüm ağda homoen yapıda olmalarının sağlanması, ağın, duyarlık ve güven optimizasyonunun birlikte yapılması, önerilir. Kaynaklar Baarda (968), A Testing Procedure or Use in Geodetic Networks, Publication on Geodesy, New Series, Vol., No. 5, Netherlands Geodetic Commission, 5-59, The Netherlands. Baarda (977), Measures or the Accuracy o Geodetic Networks IAG-Symp., Sopron. Biacs, Krakiwsky ve Lapucha (99), Reliability Analysis o Phase Observations in GPS Baseline Estimation, Journal o Surveying Engineering, ASCE, 6(4), 4 4. Dare (995), Optimal Design o GPS Networks: Operational Procedures, Phd. Thesis, School o Surveying, University o East London. Dare ve Saleh (), GPS Network Design: Logistics Solution Using Optimal and Near-Optimal Methods, Journal o Geodesy, Vol. 74, Even-Tzur ve Papo (996), Optimisation o GPS Networks by lineer programming, Survey Review, Vol. 33, Even-Tzur (), GPS Vector Coniguration Design For Monitoring Deormation Network in the North o Israel, The th FIG International Symposium on Deormation Measurements, Orange, Caliornia, USA. Gazdzicki (976), Strength Analysis o Geodetic Control Network, Bull. Geodesique, 5(4), Graarend (974), Optimization o Geodetic Networks, Bolletino di Geodesia a Science Aini, 33(4), Graarend ve Sanso (985), Optimization And Design o Geodetic Networks, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, Newyork, Tokyo. Scharin (985), Aspects o Network Design, Optimization and Design o Geodetic Networks, Graarend and Sanso, eds. Springer Verlag, Berlin, Kaya (999), Jeodezi-II, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon Kuang (996), Geodetic Network Analysis and Optimal Design, Ann Arbor Press, Inc., ISBN Konak (994), üzey Ağlarının Optimizasyonu, Doktora Tezi, K.T.Ü., Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon. Özbenli (), Jeodezi I, II. Baskı, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon. Öztürk (98), Jeodezik Ağlarda Güven Ölçütleri ve Ölçme Planının En Uygunlaştırılması, K.T.Ü. ayınları, Trabzon. Wells, Beck, Delikaraoglu, Kleusberg, Krakiwsky, Lachapelle, Langley, Nakiboglu, Schwarz, Tranquilla, ve Vanicek (986), Guide to GPS Positioning, Canadian GPS Associates, Fredericton, Canada. Wol ve Ghilani (997), Adustment Computation: Statistics and Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley and Sons, Inc., ISBN alçınkaya, Teke ve Bayrak (3), GPS İle Ölçülen Jeodezik Ağlarda Duyarlık ve Güven Optimizasyonu, Türkiye Ulusal Jeodezi Komisyonu 3 ılı Bilimsel Toplantısı, Coğrai Bilgi Sistemleri ve Jeodezik Ağlar Çalıştayı, Konya.