T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L I D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L I D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

2

3 Contents 1 Olasılık Olasılığın Kısa Tarihçesi Olasılık Nedir? Olasılık Fonksiyonu Eş Olumlu Örnek Uzay Bağımsız Olay Koşullu Olasılık Polinomlar Bir Belirsizli Polinomlar Çok Belirsizli Polinomlar Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama İki Polinomun Eşitliği Uygulamalar Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler Toplama Uygulamalar Çıkarma Uygulamalar Çarpma Sayıl (skalerle) Çarpma Uygulamalar Başlıca Özdeşlikler İki Terim Toplamının Karesi İki Terimin Farkının Karesi İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı Üç Terim Toplamının Karesi İki Terim Toplamının Küpü İki Terim Farkının Küpü İki Küp Toplamı İki Terimlinin Kuvvetleri Alıştırmalar Polinomlarda Bölme Uygulamalar Bölme Algoritması Çarpan Teoremi Uygulamalar

4 Uygulamalar Horner Yöntemi ile Bölme Bir Polinomun (x a)(x b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Uygulamalar Alıştırmalar Polinomların Çarpanlara Ayrılması Karmaşıkları Basite İndirgemek! ebob, ekok Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ortak Çarpan Parantezine Alma Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikler Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikleri Kullanma Uygulamalar Uygulamalar Uygulamalar Alıştırmalar Başlıca Özdeşlikler Fonksiyonlar Foksiyonun Grafiği Tek Değerli Fonksiyonlar Alıştrmalar Fonksiyon Türleri Eşit Foksiyonalar İçine Fonksiyon Örten Fonksiyon Bire Bir Fonksiyon Bire Bir İçine Fonksiyon Bire Bir Örten Fonksiyon Sabit Fonksiyon Sıfır Fonksiyon Özdeşlik Fonksiyonu Kapalı Fonksiyon Örnekler Alıştırmalar Fonksiyonların Bileşkesi Bileşke İşleminin Özelikleri Yer Değişim Özeliği Yoktur Birleşme Özeliği Ters Fonksiyon Ters Foksiyonun Grafiği

5 5 12 Rasyonel İfadeler Alıştırmalar Rasyonel İfadelerin Toplamı Rasyonel İfadelerin Çarpımı Rasyonel İfadelerde Bölme Polinom Denklemler Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü Kombinason Ve Permütasyon Kombinasyon (Combination) Permütasyon (permutation) Permütasyon Türleri Kombinason Ve Permütasyon Kombinasyon (Combination) Permütasyon (permutation) Permütasyon Türleri İstatistik Transandant Fonksiyonlar 5 14 Ön Trigonometri Yönlü Açılar Yönlü yaylar Birim Çember Açı Ölçü Birimleri Derece Grad Radyan Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler Trigonometrik Fonksiyonlar Simetrik Açılar Simetriler Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri Özel Açılar Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri Cosinus Grafiği Sinus grafiği Tanjant Grafiği Periyodik Fonksiyonlar Alıştırmalar Trigonometrik Fonksiyonların Limiti Limitler Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

6 Alıştırmalar Trigonometrik İntegraller Trigonometrik Değişken Değiştirimi sin,cos çarpımlarının integrali sin ve cos Fonksiyonlarının Kuvvetleri t an p x.sec q x d x Türlerinin İntegrali cot x ve csc Fonksiyonlarının Kuvvetleri Alıştırmalar R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller Ters Trigonometrik Fonksiyonlan Türevleri Logaritma Fonksiyonu Logaritma Fonksiyonu Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Doğal Logaritma Fonksiyonu Taban Değiştirme Kuralı Logaritma Fonksiyonunun Değişimi Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Logaritma Fonksiyonunun Türevi y = ln x y = a x y = log a x Alıştırmalar Logaritmik integraller a>0 Tabanına Göre exp ve log Alıştırmalar Rasyonel Üslü İfadeler Tamsayı Üsler Üslü İfadelerin Özelikleri: Negatif Üsler Benzer Üslü İfadeler Rasyonel Kuvvetler Üslü Denklemler Alıuştırmalar e Sayısı Üstel Fonksiyonun Türevi Hyperbolik Fonksiyonlar Öteki Hyperbolic Fonksiyonlar Karmaşık Sayılar İçin Hiperbolik Fonksiyonlar Hiperbolik Özdeşlikler AçılarınToplamı ve Farkı Ters Hiperbolik Fonksiyonlar Ters Hiperbolik Fonksyonların Logaritmik İfadesi Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri

7 Hiperboplik İntegraller Türev Uygulamaları Teğet Doğru deklemleri Doğrunun Genel Denklemi Teğetin Denklemi Problemler Normal Teğet Boyunca Yaklaşımdaki Hata Doğrusal Yaklaşım Maksimum be Minimum değerler Mutlak Minimum ve Mutlak maksimum Yerel Ekstremum Değerleri Kritik noktalar Özet Alıştrmalar Rolle teoremi Ortalama Değer Teoremi Geometrik Yorum Alıştırmalar Türev Testleri ve Bükeylik Bükeylik Alıştırmalar Eğri Çizimleri Asimptotlar Dikey Asimptotlar Yatay Asimptotlar Eğik Asimptotlar Eğrisel Asimptotlar GrafikÇizimleri Alıştırmalar Optimizasyon Problemleri İş ve Ekonomide Marjinal Analiz Alıştırmalar Bağlantılı Oranlar Minimum ve Maksimum Alıştırmalar Çözülmüş Örnekler Alıştırmalar L Hospital Kuralı Limit Problemlerini Kolaylaştırma , 0, ( ) 0 Belirsizlikleri Çözülmüş Örnekler Alıştırmalar

8 8 20 Belirli İntegral Bölüntü Belirli İntegral Kuralları Calculus un Temel Teoremleri Calculus un 1.Temel Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirli İntegral Kuralları Düzensiz İntegraller Aralığın sonsuz olması durumu: Aralığın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Alıştırmalar Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Karma problemler Alıştırmalar Riemann İntegrali Belirli İntegral İntegral İçin Ortalama Değer Alıştırmalar Trigonometrik İntegraller Trigonometrik Değişken Değiştirimi sin,cos çarpımlarının integrali sin ve cos Fonksiyonlarının Kuvvetleri t an p x.sec q x d x Türlerinin İntegrali cot x ve csc Fonksiyonlarının Kuvvetleri Alıştırmalar R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller Logaritmik integraller Alan hesapları

9 Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu Belirli İntegral Kuralları Dönel Cisimleri Hacimleri Silindirik Kabuklar Yöntemi Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma Örnek Hacim Hesapları Doğal Logaritma Fonksiyonu Doğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı Tanım bölgesini Genişletme Doğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Doğal Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Logaritmik Türev Logaritmik Türevin İntrgrali Üstel Fonksiyon a tabanlı Üstel Fonksiyon a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranışı a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi a Tabanlı Üstel Fonksiyonun İntegrali a Tabanına Göre Logaritma log a x fonksiyonunun özelikleri log a x fonksiyonunun Türevi Çözümlü Problemler İntegral Alma Yöntemleri Belirsiz İntegral İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Sürekli Fonksiyonların İntegrali Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrassyon Polinomların Çarpanlara Ayrılması Basit Kesirlere Ayırma Rasyonel Fonksiyonların İntegrallenmesi Rasyonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması Rasyonelleştirme Köklü İfadelerin İntegrali Alıştırmalar İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri Bağlantılı Oranlar Kutupsal Koordinatlar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Alıştırmalar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri Merkeze Göre Simetri

10 Ox Eksenine Göre Simetri O y Eksenine Göre Simetri Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: Alıştırmalar Kutupsal Sistemde Teğetin Eğimi Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı İki kutupsal eğri arasında kalan alan Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluğu Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler Alıştırmalar Parametrik Fonksiyonların Türevi İkinci Basamaktan Türev Alıştırmalar Sayısal İntegraller Dikdörten Yöntemi Yamuk Kuralı Pappus teoremleri Alıştırmalar Dairesel Simit in Yüzeyi Dairesel Simit in Hacmi Simpson Yöntemi Alıştırmalar Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı Diziler Örnekler Yakınsak Dizi Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Monoton Dizi Alt dizi Sınırlı dizi Dizilerde Limit Özelikleri Alıştırmalar Seriler Kısmi Toplam Yakınsak Seriler Rasyonel Terimli Seriler Özel Seriler Aritmetik Seri Geometrik Seri Binom Serisi Genelleşmiş Binom Teoremi Serilerin Özelikleri Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı

11 Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Alterne Seriler Alıştırmalar Caucy Dizi ve Serileri Seriler İçin Yakınsaklık Testleri p-serisi Oran Testi Kök Testi İntegral Testi: p-serisi p-serisi Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi Oran Testi Newton Metodu Değişken Terimli Seriler Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Maclaurin Serisi Uygulamaları Düzgün Yakınsama Fonksiyon Dizileri Fonksiyon Serileri Fonksiyon Dizileri İçin Cauchy Kriteri Fonksiyon Serileri İçin Cauchy Kriteri Alıştırmalar Fonksiyon Dizi ve Serilerinin İntegrali Dirichlet ve Abel Testleri Dirichlet Testi Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin İntegrali Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri Alıştırmalar Serilerin Yaklaşık Toplamı Alıştırmalar

12 12 29 Vektörler Vektör Uzayı Simgeler Denk Vektörler Vektörlerin Gösterimi Vektör Uzayında İşlemler Sıfır Vektörü Vektörlerin Toplamı Toplamanın Özelikleri Vektörlerde Çıkarma İşlemi Vektörün Sayı ile Çarpımı Birim Vektör Doğrultu Açıları Analitik Geometriye Giriş Alıştırmalar Bileşenlerle İşlemler Nokta Çarpım İzdüşüm İzdüşümün Genellenmesi İki Vektör Arasındaki Açı İki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü İki Vektörün Birbirine Dikliği Üçgen Eşitsizliği Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştrmalar Vektörel Çarpım Vektörel Çarpımın Özelikleri VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları Diklik Alan Üçlü Çarpım Alıştırmalar Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştırmalar Katlı İntegral İki Katlı İntegralin Özelikleri Ardışık İntegral

13 Katlı İntegral Uygulamaları Alıştırmalar Katlı integralde değişken değiştirme Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Hacim hesapları Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Alıştırmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Silindir Nedir? Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Eğrisel İntegraller Düzlemde Eğrisel İntegral Uzayda Eğrisel İntgral Alıştırmalar Vektör Alanlarının Eğrisel İnteralleri Divergence Vector Alanını Eğrisel İntegrali Eğrisel İntegralle iş Alıştrmalar İntegralin Yoldan Bağımsızlığı Alıştırmalar Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı Green Teoremi Green teoemi İle Alan Hesabı Aıştrmalar Yüzey İntegralleri Paramertrik Yüzeyin Alanı Yüzey İntegrali Yönlendirilmiş Yüzey Üzerinde İntegral Vektör Alanlarının İntegrali Stokes Teoremi Divergence Teoremi Alıştırmalar Vektör Değerli Fonksiyonlar Vektör Değerli Fonksiyonlar ve Uzay Eğrileri

14 Vektör Değerli Fonksiyonların Limiti Limit Vektör değerli Fonksiyonların Sürekliliği Süreklilik Türev Türev Kuralları Vektör değerli Fonksiyonların Teğeti Düzgün Eğri Düzgün Eğriler Vektör Değerli Fonksiyonların integrali Belirsiz İntegral Belirli İntegral Alıştırmalar Eğri Uzunluğu Eğrilik Eğrilik Çemberi Normal ve İkinci Normal Vektörler Alıştırmalar Uzayda Hareket Kepler Yasaları Alıştırmalar Konikler Koniklerin Adlandırılması Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri Koniklerin Kartezyen Denklemi Alıştırmalar İkinci Dereceden Yüzeyler Elipsoid Elipsoid Hiperboloid Eliptik Paraboloid Eliptik Koni Alıştırmalar Fiziksel uygulamalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment

15 Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Üç Katlı İntegral İle Moment Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Work (İş) Diferensiyel denklemler Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler Özel ve Genel Çözüm Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Denklemin Doğrusala Dönüşmesi Diferensiyel Denklemler Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Tam Diferensiyel Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Tam Diferensiyel Alıştırmalar Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Bernoulli Diferensiyel Denklemi Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü Çözümlü Örnekler Alıştırmalar Riccati Diferensiyel Denklemi Clairaut Diferensiyel denklemleri Lagrange Diferensiyel Denklemi Alıştrmalar

16 16 38 Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Düzensiz İntegraller Aralığın Sonsuz Olması Durumu [a, ) aralığında integral (, a] aralığında integral (, ) aralığında integral Aralığın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: Sol Uç Sağ Uç Aralığın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: Düzensiz intgralleri karşılaştırma: Alıştırmalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Sıvı Basıncı Work (İş) Pappus teoremleri Alıştırmalar Simpson Yöntemi Yamuk Kuralı Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Belirli İntegral Uygulamaları Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu Alan hesapları Foksiyonun Orta Değeri Hacim hesapları Dönel Cisimleri Hacimlerin Silindirik Kabuklar Yöntemi

17 39.7 Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma

18

19 1 Olasılık 1.1 Olasılığın Kısa Tarihçesi Kumar oyunlrının çok eski zamanlara kadar uzandığı bilinir. Probable terimi Latince deki probilis terimineden gelir. Latincadeki anlamı approvable dır. Örneğin bir mal alındığında beğenilmediğinde iade edilmek üzere (muhayyer) alınmasıdır. Zamanla batı dillerine anlam değiştirmiş ve bu güğnkü anlamını kazanmıltır. Bu günkü anlamı bir olaydan çıkbilecek bütün sonuçlar olarak belirlenir. Örneğin bir zar atıldığında gleme olasışlığı olasn altı sonuç vardır. Olasılık buj sonuçları listeler. Zar atıldığında hengisinin geleceğini söylemez. Olasılığın Tarihçesi 1. Olasılık teorisinin ilk kayıtlarına 17. Yy da rastlanılmıştır. 2. Kumar ile ilgili durumlara ilgi duyan Pascal ilk çalışmaları yapmıştır. 3. Fermat ve Pascal arasındaki mektuplaşmalar olasılık teorisi hakkındaki diğer izlerdir yılında konuyla ilgili ilk bilimsel eseri Huygens yayınladı 5. Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 te bulundu 6. Normal dağılım ile ilgili çalışmaları Gauss yürütmüştür 7. Matematiksel olarak temeli atıldıktan sonra daha çok istatik bilimiyle uğraşanlar çalışmaları devam ettirmiştir. Bu gün olasılık kuramı matematikte, istatistikte, bilimsel alanlarda, sosyal b ilk kişiler Girolamo Cardano ( ), Pierre de Fermat ( ), Blaise Pascal ( ), Antoine Gombaud ( ), Chevalier de Méré ( ), Christiaan Huygens ( ) olarak sıralanır. Daha sonra listeye ünlü matematikçiler de eklenmiştir: Bayes Edgeworth Graunt Markov Rao Jacob Bernoulli Fechner Huygens von Mises Savage Daniel Bernoulli Feller Jeffreys de Moivre Student Boltzmann de Finetti Khinchin Neyman Tukey Chebyshev Fisher Kolmogorov Pascal Wald Cramér Galton Laplace Pearson Wiener Doob Gauss Lévy Quetelet Yule Table 1.1: Olasılığı yaratanlar

20 20 Olasılık 1.2 Olasılık Nedir? Bir deneyde olanaklı sonuçların kümesine örnek uzay, örnek uzayın her alt kümesine olay denir. E örnek uzayı için boş kümeye olanaksız olay(imkansız olay), E kümesine kesin olay denir. E örnek uzayının A ve B gibi iki olayı için, A B = ise, A ve B olaylarına ayrık olaylar denir Olasılık Fonksiyonu Bir E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi T ve değer kümesi R = {x R : 0 x 1} olan P fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları gerçekliyorsa buna olasılık fonksiyonu denir. A T ise p(a) reel sayısına da A olayının olasılığı denir. 1) A T için 0 p(a) 1 dir. 2) p(e) = 1 dir. 3) A,B T ve A B = 0 ise p(a B) = p(a) + p(b) dir Eş Olumlu Örnek Uzay Olayların gerçekleşme olasılığı eşit olan örnek uzaya denir. E eş olumlu örnek uzay ve A E bir olay ise, A nın olasılığı; (Anın eleman sayısı) P(A) = (E nin eleman sayısı) Bağımsız Olay E örnek uzayı A E, B E ve p(a B) = p(a).p(b) ise, A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. [p(a) 0, p(b) 0] Koşullu Olasılık Bir E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. A olayının olasılığı B olayına bağlı ise, A olayının olasılığına, A olayının B koşullu olasılığı denir ve bu olasılık;