T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY, H AY A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

2

3 Contents Analiz Öğretimi 3. İki Milenyum Süren Sorunlar Mantık ve Matematik Tümdengelim Tümevarım Matematik ili I Ön Bilgiler 3 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) 3. Ön KalKulus Önermeler Cebiri 3 3. İki-değerli Mantık Matematiksel Mantık Boole Cebiri Önermeler Yalın Önermeler Bileşik Önermeler enk Önermeler Önermeler Cebiri Operatörler Operatörü Operatörü eğilleme Bir Önermenin eğili İse Bağlacı Koşullu Önerme Sonuçları Operatörünün Özelikleri nin Eşgüçlülüğü nin Yer eğişim Özeliği nin Birleşimi ağılma Bileşik Önermelerin eğillenmesi e Morgan Kuralları : Ancak ve Ancak Operatörü

4 4 3. Hepdoğru ve Hepyanlış Karşıt Ters Alıştırmalar Alıştırmalar Kümeler Cebiri 4 4. Kümeler Cebiri Kapsama Evrensel Küme Venn Çizenekleri Tümleyen Küme Boş Küme Tek öğeli küme Eşit Kümeler Has Alt Küme Kuvvet Kümesi Simetrik Fark Bağıntılar Kartezyen Çarpım Grafik Kartezyen Çarpımın Özelikleri Analitik üzlem Bağıntılar Bağıntıların Gösterimi Grafik Bağıntı Türleri enklik Bağıntıları Eşitlik enklik Bağıntısı Nedir? enk Öğeler enklik Sınıfları Ters Bağıntı Simetrik Bağıntı Sayılar 4 5. Sayıların Kuruluşu Sayıların Sıralanması oğal Sayılar oğal Sayıların Kuruluşu Peano Belitleri Sonlu Tüme Varım İlkesi Nicelik Sayıları Eşgüçlülük Sayılabilirlik Sayılamayan Sonsuz Kümeler Gerçel Sayıların Tamlığı Alıştırmalar

5 5 6 Rasyonel Üslü İfadeler 4 6. Tamsayı Üsler Üslü İfadelerin Özelikleri: Negatif Üsler Benzer Üslü İfadeler Rasyonel Kuvvetler Üslü enklemler Alıuştırmalar Üslü enklemler Alıuştırmalar Köklü İfadeler Alıştırmalar e Sayısı Analitik Geometri n-sıralılar Kartezyen Çarpım İkili ve Çoklu sıralılar n-sıralılar Analitik Geometri Kartezyen Çarpımın Genelleşmesi ALIŞTIRMALAR enklemler 5 7. oğru deklemleri İki noktası bilinen doğru enklemi: Bir noktası ve eğimi bilinen doğru enklemi: oğrunun Genel enklemi İkinci ereceden enklemler ax Biçimindeki enklemlerin Çözümü ax + bx Biçimindeki enklemlerin Çözümü ax + c Biçimindeki enklemlerin Çözümü ax + bx + c Biçimindeki enklemlerin Çözümü eğişken değiştirme Köklü denklemler Mutlak eğer Alıştırmalar Köklerle Katsayılar Arasındaki Bağıntılar Köklerin Toplamı: Köklerin Çarpımı: Köklerin Farkının Mutlak eğeri: Alıştırmalar İkinci ereceden enklemlerin İncelenmesi enklem Sistemleri Eşitsizlikler Eşitsizlik Sistemleri Alıştırmalar İkinci ereceden Fonksiyonlar Parabol Çizimi

6 6 7.7 Alıştırmalar Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü Örnekler: oğrusal denklem sistemleri Parametrik denklemeler 6 8. Eğrinin yönü kapalı Eğri Çember in Parametrik enklemleri Elips in Parametrik enklemleri Cycloid Matrisler 6 9. Matrisler Satır ve Kolon Matrisin Bileşenleri Matris İşlemleri Matrislerin Toplamı Matrislerde Çıkarma Matrisin Sayı ile Çarpımı Matrislerin Çarpımı Çarpımın Sırası eğişemez İkiden çok matrisin Çarpımı Matrisin evriği (transpose) Matrislerin Çarpımının evriği Matrislerde Bölme Matris Türleri Kare Matris Sıfır Matris Kare Matrisin Köşegenleri Kare Matrisin Kuvveti Birim Matris Simetrik Matris Anti Simetrik Matris Ters Matris Üçgensel Matris Matrisin İzi (trace) Örnekler Matrisin Uzunluğu (size) eterminantlar eterminant Nedir? Matrislerin determinantı Matrislerinin determinantı Matrislerinin determinantı Sarrus Yöntemi Başka Yöntemler Yüksek Boyutlu Matrislerin eterminantları Laplace Yöntemi

7 7 9.. Minör Eşçarpan (cofactor) eterminant için Laplace Açılımı eterminantların Özelikleri Sarrus Yöntemiyle Hesap: Laplace Yöntemiyle Hesap: Gauss Eleme Yöntemi Ters Matris Matrisler Üzerinde İlkel Satır işlemleri Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma Ekli Matris Eşçarpan İle Matrisin tersini Bulma oğrual enklem Sistemleri Eşçarpan ve eterminant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu38 9. Ters Matris Kullanılarak enklem Sisteminin Çözümü oğrusal enklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü. 4 oğrual enklem Sistemleri 7.. Sonsuz Çözüm Tek çözüm Matrislerle Çözüm enk Sistmler İndirgenmiş Satır Eşolon Biçimi Eşçarpan ve eterminant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu48.4 Ters Matris Kullanılarak enklem Sisteminin Çözümü oğrusal enklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü İki Bilinmeyen için Cramer Formülü Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü Alıştırmalar Polinomlar 7. Bir Belirsizli Polinomlar Çok Belirsizli Polinomlar Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama İki Polinomun Eşitliği Uygulamalar Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler Toplama Uygulamalar Çıkarma Uygulamalar Çarpma Sayıl (skalerle) Çarpma Uygulamalar Başlıca Özdeşlikler İki Terim Toplamının Karesi İki Terimin Farkının Karesi İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı

8 8.4.4Üç Terim Toplamının Karesi İki Terim Toplamının Küpü İki Terim Farkının Küpü İki Küp Toplamı İki Terimlinin Kuvvetleri Alıştırmalar Polinomlarda Bölme Uygulamalar Bölme Algoritması Çarpan Teoremi Uygulamalar Uygulamalar Horner Yöntemi ile Bölme Bir Polinomun (x a)(x b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Uygulamalar Alıştırmalar Polinomların Çarpanlara Ayrılması Karmaşıkları Basite İndirgemek! ebob, ekok Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ortak Çarpan Parantezine Alma Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikler Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikleri Kullanma Uygulamalar Uygulamalar Uygulamalar Alıştırmalar Başlıca Özdeşlikler Fonksiyonlar 8. Foksiyonun Grafiği Tek eğerli Fonksiyonlar Alıştrmalar Fonksiyon Türleri Eşit Foksiyonalar İçine Fonksiyon Örten Fonksiyon Bire Bir Fonksiyon Bire Bir İçine Fonksiyon Bire Bir Örten Fonksiyon Sabit Fonksiyon Sıfır Fonksiyon Özdeşlik Fonksiyonu

9 9.5 Kapalı Fonksiyon Örnekler Alıştırmalar Fonksiyonların Bileşkesi Bileşke İşleminin Özelikleri Yer eğişim Özeliği Yoktur Birleşme Özeliği Ters Fonksiyon Ters Foksiyonun Grafiği Rasyonel İfadeler 9 3. Alıştırmalar Rasyonel İfadelerin Toplamı Rasyonel İfadelerin Çarpımı Rasyonel İfadelerde Bölme Polinom enklemler Birinci ereceden Polinom enklemlerin Çözümü Kombinason Ve Permütasyon Kombinasyon (Combination) Permütasyon (permutation) Combinatorics Kombinarik in temel formülü Sayma Pascal Üçgeni 9 6 Ön Trigonometri 9 6. Yönlü Açılar Yönlü yaylar Birim Çember Açı Ölçü Birimleri erece Grad Radyan Trigonometrik Fonksiyonlar Simetrik Açılar Simetriler Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri Özel Açılar Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri Cosinus Grafiği Sinus grafiği Tanjant Grafiği Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu

10 6.9.3 Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler Periyodik Fonksiyonlar Alıştırmalar Limit Fonksiyonun Limiti Soldan ve Sağdan Yaklaşım Soldan Limit Sağdan Limit Limit Uç Noktalarda Limit Karl Weierstrass ın Tanımı Örnekler: Limit Kuralları belirsiz Biçemler Sonsuzdaki Limit Çözümlü Örnekler Rasynel Fonksiyonlarda Limit Sonsuzda Limitin Olmadığı urum Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti Çözümlü Prolemler İntegral Alma Yöntemeleri 7 Belirsiz İntegral 7.. Belirsiz İntegral Formülleri eğişken eğiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Karma problemler Alıştırmalar İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Sürekli Fonksiyonların İntegrali eğişken eğiştirme tan θ Konumu Kısmi İntegrasyon Polinomların Çarpanlara Ayrılması Basit Kesirlere Ayırma Rasyonel Fonksiyonların İntegrallenmesi Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması Rasyonelleştirme Köklü İfadelerin İntegrali

11 7.9İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri Bağlantılı Oranlar Belirsiz İntegral 8.. Belirsiz İntegral Formülleri eğişken eğiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Belirli İntegral Belirsiz İntegral Kuralları Calculus un Birinci Temel Teoremleri Calculus un.teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle üzlemsel Alan Hesabı İntegral 9. İntegral Kavramı ve Tanımı Belirli İntegral Belirli İntegral Kuralları Calculus un Temel Teoremleri Calculus un.temel Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri eğişken eğiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Alıştırmalar Belirli İntegral Kuralları Sayısal İntegraller üzlemsel Eğrilerin Uzunluğu

12 3 İntegral Alma teknikleri 3. İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri eğişken eğiştirme tan θ Konumu Kısmi İntegrasyon Logaritmik integraller Köklü İfadelerin İntegrali İntegral Alma teknikleri 3. İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller Logaritmik integraller önel Cisimleri Hacimleri Silindirik Kabuklar Yöntemi ilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma Örnek Hacim Hesapları oğal Logaritma Fonksiyonu 3. oğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı Tanım bölgesini Genişletme oğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri oğal Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Logaritmik Türev Logaritmik Türevin İntrgrali Üstel Fonksiyon a tabanlı Üstel Fonksiyon a Tabanlı Üstel Fonksiyonun avranışı a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi a Tabanlı Üstel Fonksiyonun İntegrali a Tabanına Göre Logaritma l og a x fonksiyonunun özelikleri l og a x fonksiyonunun Türevi Çözümlü Problemler

13 3 33 Kutupsal Koordinatlar 33. Kutupsal Koordinatlarda Grafik Alıştırmalar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri Merkeze Göre Simetri Ox Eksenine Göre Simetri O y Eksenine Göre Simetri Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: Alıştırmalar Kutupsal Sistemde Teğetin Eğimi Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı İki kutupsal eğri arasında kalan alan Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluğu Kutupsal Koordinatlarda önel Yüzeyler Alıştırmalar Parametrik Fonksiyonların Türevi İkinci Basamaktan Türev Alıştırmalar Sayısal İntegraller ikdörten Yöntemi Yamuk Kuralı Pappus teoremleri Alıştırmalar airesel Simit in Yüzeyi airesel Simit in Hacmi Simpson Yöntemi Alıştırmalar iziler Örnekler Yakınsak izi Aritmetik izi Geometrik izi Monoton izi Alt dizi Sınırlı dizi izilerde Limit Özelikleri Alıştırmalar Seriler Kısmi Toplam Yakınsak Seriler Rasyonel Terimli Seriler Özel Seriler Aritmetik Seri Geometrik Seri Binom Serisi

14 Genelleşmiş Binom Teoremi Serilerin Özelikleri Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Alterne Seriler Alıştırmalar Caucy izi ve Serileri Seriler İçin Yakınsaklık Testleri p-serisi Oran Testi Kök Testi İntegral Testi: p-serisi p-serisi Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi Oran Testi Newton Metodu eğişken Terimli Seriler Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Maclaurin Serisi Uygulamaları üzgün Yakınsama Fonksiyon izileri Fonksiyon Serileri Fonksiyon izileri İçin Cauchy Kriteri Fonksiyon Serileri İçin Cauchy Kriteri Alıştırmalar Fonksiyon izi ve Serilerinin İntegrali irichlet ve Abel Testleri irichlet Testi Fonksiyon izi ve Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin İntegrali Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri Alıştırmalar

15 5 37.Serilerin Yaklaşık Toplamı Alıştırmalar Vektörler Vektör Uzayı Simgeler enk Vektörler Vektörlerin Gösterimi Vektör Uzayında İşlemler Sıfır Vektörü Vektörlerin Toplamı Toplamanın Özelikleri Vektörlerde Çıkarma İşlemi Vektörün Sayı ile Çarpımı Birim Vektör oğrultu Açıları Analitik Geometriye Giriş Alıştırmalar Bileşenlerle İşlemler Nokta Çarpım İzdüşüm İzdüşümün Genellenmesi İki Vektör Arasındaki Açı İki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü İki Vektörün Birbirine ikliği Üçgen Eşitsizliği Uzayda oğru ve üzlem İki noktası Verilen oğru enklemi Noktanın oğruya Uzaklığı üzlem enklemi Üç Noktadan geçn üzlem enklemi Noktanın üzleme Uzaklığı Alıştrmalar Vektörel Çarpım Vektörel Çarpımın Özelikleri VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları iklik Alan Üçlü Çarpım Alıştırmalar Uzayda oğru ve üzlem İki noktası Verilen oğru enklemi Noktanın oğruya Uzaklığı üzlem enklemi Üç Noktadan Geçen üzlem enklemi Noktanın üzleme Uzaklığı Alıştırmalar

16 6 39 Katlı İntegral İki Katlı İntegralin Özelikleri Ardışık İntegral Katlı İntegral Uygulamaları Alıştırmalar Katlı integralde değişken değiştirme Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle üzlemsel Alan Hesabı Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Hacim hesapları Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Alıştırmalar Üç Katlı İntegraller 6 4. Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde eğişken eğiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Silindir Nedir? Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Eğrisel İntegraller üzlemde Eğrisel İntegral Uzayda Eğrisel İntgral Alıştırmalar Vektör Alanlarının Eğrisel İnteralleri ivergence Vector Alanını Eğrisel İntegrali Eğrisel İntegralle iş Alıştrmalar İntegralin Yoldan Bağımsızlığı Alıştırmalar Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı Green Teoremi Green teoemi İle Alan Hesabı Aıştrmalar Yüzey İntegralleri Paramertrik Yüzeyin Alanı Yüzey İntegrali Yönlendirilmiş Yüzey Üzerinde İntegral Vektör Alanlarının İntegrali Stokes Teoremi ivergence Teoremi Alıştırmalar

17 7 35 Vektör eğerli Fonksiyonlar Vektör eğerli Fonksiyonlar ve Uzay Eğrileri Vektör eğerli Fonksiyonların Limiti Limit Vektör değerli Fonksiyonların Sürekliliği Süreklilik Türev Türev Kuralları Vektör değerli Fonksiyonların Teğeti üzgün Eğri üzgün Eğriler Vektör eğerli Fonksiyonların integrali Belirsiz İntegral Belirli İntegral Alıştırmalar Eğri Uzunluğu Eğrilik Eğrilik Çemberi Normal ve İkinci Normal Vektörler Alıştırmalar Uzayda Hareket Kepler Yasaları Alıştırmalar Konikler Koniklerin Adlandırılması Koniklerin Kutupsal Sistemdeki enklemleri Koniklerin Kartezyen enklemi Alıştırmalar İkinci ereceden Yüzeyler Elipsoid Elipsoid Hiperboloid Eliptik Paraboloid Eliptik Koni Alıştırmalar Fiziksel uygulamalar üzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Moment Noktaya Göre Moment oğru üzerinde Moment

18 Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti üzleme Göre Moment Bir üzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Üç Katlı İntegral İle Moment üzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Work (İş) iferensiyel denklemler Birinci basamaktan birinci dereceden iferensiyel denklemler Özel ve Genel Çözüm Tek eğişkenli iferensiyel enklemler enklemin oğrusala önüşmesi iferensiyel enklemler Tek eğişkenli iferensiyel enklemler Tam iferensiyel eğişkenlerine Ayrılabilir enklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan oğrusal iferensiyel enklemler Alıştırmalar Tam iferensiyel Alıştırmalar eğişkenlerine Ayrılabilir enklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan oğrusal iferensiyel enklemler Alıştırmalar Bernoulli iferensiyel enklemi Bernoulli iferensiyel enkleminin Çözümü Çözümlü Örnekler Alıştırmalar Riccati iferensiyel enklemi Clairaut iferensiyel denklemleri

19 9 39.7Lagrange iferensiyel enklemi Alıştrmalar Üç Katlı İntegraller 9 4. Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde eğişken eğiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar üzensiz İntegraller Aralığın Sonsuz Olması urumu [a, ) aralığında integral (, a] aralığında integral (, ) aralığında integral Aralığın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: Sol Uç Sağ Uç Aralığın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: üzensiz intgralleri karşılaştırma: Alıştırmalar üzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Sıvı Basıncı Work (İş) Pappus teoremleri Alıştırmalar Simpson Yöntemi Yamuk Kuralı Moment Noktaya Göre Moment oğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti üzleme Göre Moment Bir üzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Belirli İntegral Uygulamaları 9 4. üzlemsel Eğrilerin Uzunluğu Alan hesapları Foksiyonun Orta eğeri

20 Index 9

21 T I M U R K A R A Ç AY, H AY A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

22

23 39 Katlı İntegral Bu bölümde iki ve üç katlı integral uygulamalarına yer verilecektir. İKI KATLI İNTEGRAL f : [a,b] R R, y f (x) fonksiyonunun tek katlı integralini, olmak üzere b a x b a n t [x i, x i ] f (x)d x lim n i n f (t) x i (39.) Riemann toplamının limiti olarak tanımlamıştık. f (x) ise b a f (x)d x integrali [a,b] aralığı üzerinde ve f fonksiyonunun grafiği altında kalan düzlemsel bölgenin alanına eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi, tek değişkenli fonkiyonlar için bildiğimiz bu integral kavramını f : R R, z f (x, y) (39.) Şekil 39.: Hacim Şekil 39.: Alan iki değişkenli fonksiyonuna genelleştireceğiz. Tek katlı integraldeki küçük z uzunluğu yerine küçük x y dikdörtgen alanı gelecektir. S yüzeyi S {(x, y, z) R 3 z f (x, y), (x, y) } (39.3) olsun. f : R R, z f (x, y) (39.4) fonksiyonu bölgesinde tanımlı ve her (x, y) için f (x, y) M olacak biçimde bir M sayısı var olsun. Eğer Şekil 39.3: Riemann toplamı {(x, y) a x b, c y d} (39.5) ise, koordinat eksenleine paraleller çizerek, bölgesini Şekil (39.) deki gibi sonlu sayıda küçük dikdörtgenlere ayıralım. Oluşan küçük dikdörtgenler ailesine bölgesinin bir bölüntüsü (partition) denilir. Bu bölüntüyü P ile gösterirsek; Şekil 39.4: Bölüntü i j [x i, x i ] [y j, y j ] {(x, y) x i x x i, y j y y j } (i,,3,...,m; j,,3,...,n) olur. Bölüntü aralıklarını eşit alarak, x b a m, y d c n diyelim. i j dikdörtgenlerinin herbirisin alanı (39.6) A i j x i. y j (39.7)

24 64 Katlı İntegral dir. Bu dikdötgen alanının köşegen uzunluğuna d i j diyelim. Pisagor teoreminden, d i j ( x i ) + ( y j ) olur. P max{d i j : (i,,3,...,m; j,,3,...,n)} (39.8) olacaktır. lim P m,n f (x, y) fonksiyonu bölgesinde sürekli ise, yukarıdaki limitler vardır. olayısıyla, bir bölgede sürekli olan iki değişkenli fonksiyonun o bölge üzerinde iki katlı integrali vardır. f (x, y) ise z f (x, y) yüzeyinin altında ve bölgesinin üzerinde oluşan katı cismin hacmi V f (x, y)d A (39.9) dır. 3 f (x, y) ise z f (x, y) yüzeyinin altında ve bölgesinin üzerinde oluşan katı cismin hacmi V A A olacağından, bölgesinin alanı A d A (39.) olur. Tanım 39.. f (x, y) fonlsiyonu düzlemde bölgesinde tanımlı ve (s i j, t i j ) i j olmak üzere f (x, y)d A lim m m,n i j lim m P i j n f (s i j, t i j ) A i j n f (s, t) A i j limiti varsa, bu limite f (x, y) fonksiyonunun bölgesinde iki katlı integrali denilir. 3 Süreksizlik noktalarını atarak fonksiyonun sürekli olduğu bir bölgesinde integralini tanımlayabiliriz. R dörtgensel bir bölge olmk üzere, R ve f fonksiyonu üzerinde sürekli olmak üzere f (x, y), (x, y) F (x, y), (x, y) tanımını yapalım. Buradan f (x, y)d A F (x, y)d A (39.) çıkar. 39. İki Katlı İntegralin Özelikleri R KATLI INTEGRAL KURALL ARI f (x, y) ve g (x, y) foksiyonları bölgesinde integrallenebilir ise,. αf (x, y)d A α f (x, y)d A (α R) (39.). ( f (x, y) ± g (x, y ) d A f (x, y)d A ± f (x, y)d A (39.3) 3. I f (x, y)d A f (x, y)d A + f (x, y)d A, (, ) 4. Her (x, y) için f (x, y) g (x, y) ise f (x, y)d A g (x, y)d A (39.4)

25 39. Ardışık İntegral f (x, y)d A f (x, y) d A (39.5) olur. Bunların ispatları iki katlı integral tanımından çıkarılabilir. 39. Ardışık İntegral KATLI İNTEGRALI ART ARA ALINAN TEK KATLI İTEGRALLERE Ö N Ü Ş T Ü R M E Çok katlı integral hesabı yaparken, tanımı kullanmak pratik değildir. Onun yerine katlı integrali tek katlı integrallerin art arda uygulanması haline dönüştürebiliriz. Bu yöntem işi çok kolaylaştırır. bölgesi (39.5) gibi verilsin. Bu durumda f (x, y)d A eşitliği vardır. b a ( d c ) f (x, y)d y d x (39.6) Bu eşitlikte x le y değişkenlerinin sırası değişirilebilir: d ( b ) f (x, y)d A f (x, y)d x d y (39.7) Örnek 39.. c a x yd A (39.8) integralini { x 3; y } bölgesi üzerinde bulunuz. Çözüm : I x yd A ( x yd yd x (x y 3 x d x ) x yd y d x y d x 7 Çözüm : I 3 x yd A ( 3 (y x3 3 x yd xd y ) x yd x d y 3 9yd y x d y 7

26 644 Katlı İntegral olu. Teorem (FUBINI) f (x, y) fonksiyonu {(x, y) : a x b;c y d} bölgesi üzerinde sürekli ise eşitliği vardır. f (x, y)d A b d a c f (x, y)d yd x d b c a f (x, y)d xd y 4 87 yılında Venedik te bir matematikçinin oğlu olarak dünyaya geldi. Matematiğe olan yeteneği onun öğrenimini ve çalışma hayatını belirledi. Matematiğin analiz, geometri, matematiksel fizik gibi değişik alanlarında çalıştı. Özellikle ini ve Bianchi den aldığı dersler onu kariyerin üst noktalarına getirdi. İtalya nın önemli üniversitelerinde çalıştı. Faşizmin ve anti-semitizmin İtalya da öne çıkmasıyla Fubini de istifaya zorlandı. Son yıllarını AB de Advanced Study Institute de geçirdi. 943 yılında yaşamını yitirdi. 4 Örnek { x ; y } bölgesi üzerinde x y 5 d A (39.9) integralini bulunuz. Çözüm : I x y 5 d A ( ) x y 5 d y d x 7 8 Çözüm : ( ) x y 5 d x d y 7 8 Örnek f (x, y) (39.) Şekil 39.5: Guido Fubini(87-943) fonksiyonunun {(x, y) : x 4;3 y 4} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm: Örnek d A 3 d x d y 3 4d y 8 f (x, y) 6x y (39.) fonksiyonunun {[, 4] [, ]} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm : {(x, y) : (x, y) [,4] [,]} ise, 6x y d A 7x 4 84 (6x y )d y d x ( x y 3 ) d x 4x d x

27 39. Ardışık İntegral 645 integrallerin sırasını değiştirirsek, Çözüm : 6x y d A 3 (6x y )d x d y ( 3x y ) 4 d y 6y d y y 3 84 çıkar. Örnek f (x, y) x 4y 3 (39.) fonksiyonunun {[ 5, 4] [, 3]} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm : x 4y 3 d A (x 4y 3 )d y d x (x y y 4 ) 3 d x (6x 8)d x (3x 8x) Örnek f (x, y 6x y, (39.3) fonksiyonunun A {(x, y) : x ; y x } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm : A f (x, y)d A x x6 6x yd yd x (3x y x y d x 3x 5 d x (64) () 3

28 646 Katlı İntegral Çözüm : A f (x, y)d A y 6x yd xd y ( 3x y x y d y 3xy y d x 3x yd y y (y 3y )d y (6y y 3 ) 4 (6(4 ) 4 3 ) 6( ) 3 Örnek f (x, y) 6x y (39.4) fonksiyonunun {(x, y) : x 3; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm: 3 6x yd yd x 3 3 x x y y d x 3x d x Örnek 39.. f (x, y) 6x y (39.5) fonksiyonunun {(x, y) : x ; y 3} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm: 3 6x yd yd x 4 3 x3 8x 3 8 3x y 3 (7x 3x )d x 4x d x

29 39. Ardışık İntegral 647 Örnek 39.. f (x, y) y x + y (39.6) fonksiyonunun {(x, y) : x 4; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm : y 4 d yd x x + y ( x + 4 x ) d x ( x + 4 x) 4 ( ) 8 4) ( 5 ) ( ( ) 5 + ) ( ) 5 Çözüm : y d xd y x + y ( ) y 4 + y + y d y ( ) 5 ) Örnek 39.. f (x, y) x y (39.7) fonksiyonunun {(x, y) : x, y 3)}, bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm: x yd A x y x y d yd x 3 d x x( 9 ) d x x Örnek f (x, y) x y (39.8) fonksiyonunun {(x, y) : x 4, 4 y 9} bölgesi üzerinden integralini bulunuz.

30 648 Katlı İntegral Çözüm: I x y d yd x x y d y d x 9 x y d yd x 4 x y d x ( 3 )( 3 )9 x 3 4 ( 4 )9(8 ) Örnek f (x, y) ye x (39.9) fonksiyonunun {(x, y) : x, y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm: ye x d yd x e x y d x ( ) e x d x ye x d x d y ye x x d x y(e )d y (e ) y y ( (e ) ) Aşağıdaki integrallerde integral sırası önem kazanmaktadır. Hesabı kolaylaştıran integral sırasını belirleyerek integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : x, y )}, xe x y d A

31 39. Ardışık İntegral 649 xe x y d A ( x xe x y d y d x ) e x y d y d x ( e x e x) d x ex e x ( e ) ( ) e e e + b) {(x, y) : x, y } bölgesi üzerinde x + x y d A } u + x y,du xd y konumuyla; x + x y d A ln( + x y) d x [ln( + x) ln]d x ln( + x)d x Şekil 39.6: Bölüntü (x + )(ln(x + ) ) (ln ) ().( ) ln + ln (ln ) Verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan bölgeyi grafikle gösteriniz ve küme gösterimiyle, düzgün x-bölgesi (Tip I) ve/veya düzgün y-bölgesi (Tip II) olarak ifade ediniz. a) y 5 x, y Şekil 39.7: Bölüntü b) y x, y 4 {(x, y) x, y 5 x } {(x, y) y 5, 5 y x 5 y} {(x, y) x, x y 4} {(x, y) y 4, y x y} Şekil 39.8: Yüzey Altında Hacim c) y x 6x + 8, x + y 8 {(x, y) y x 6x + 8, x + y 8} {(x, y) : x 5, x 6x + 8 y 8 x} {(x, y) : y 3,3 + y x y {(x, y) : 3 y 8,3 + y x 8 y} Şekil 39.9: Sütünların Oluşumu

32 65 Katlı İntegral d) y 5 + 4x x, x + y 5 y 5 + 4x x, x + y 5 x 5x x(x 5) x, x 5 Şekil 39.: Bölüntü {(x, y) x 5, x + 5 y 5 + 4x x } Köşeleri (,),(3,3),(4,3) ve (5,) noktalarında olan dörtgensel bölge olsun. yi sadece sınır noktalarında ortak noktaları bulunan düzgün bölgelerin birleşimi olarak ifade ediniz. olur. olur a) 4xd A 3 alınırsa, 4xd A 4xd A + 4xd A + 4xd A x x xd yd x 4 5 alınırsa, I 4yd A 4yd A y 3 y 3 7 y 3 y 4y d xd y 4y d xd y 5 4yd A 5 İntegrasyon bölgesi verilmiş olan çift katlı integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : y x, x }, (x + x y)d A Şekil 39.: Riemann toplamı x b) {(x, y) : x y, y }, (x + x y)d yd x 6 (4x y 3 )d A y 4x y 3 d xd y y 6 x y 3 y d y y 3 (y )d y y 5 d y c) {(x, y) : y x y, y }, x yd A

33 39. Ardışık İntegral 65 y y x yd xd y 7 ç) {(x, y) : x y, y }, yex d A I y e y y (e ) ye x d xd y e x y y x d y d) {(x, y) : y x, x }, e x+y d A I I x x e x+y d yd x e x.e y d yd x e x.e y x d x (e x e x ) d x ex e x (e ) İNTEGRAL SIRASINI EĞIŞTIRME Aşağıdaki inegrallerde integrasyon bölgesinin grafiğini çizerek integral sırasını değiştiriniz. a) x 3 f (x, y)d yd x x 4 I x 3 x 4 y 3 y f (x, y)d yd x f (x, y)d xd y Aşağıdaki integralleri integrali sırasını değiştirerek hesaplayınız (integral sırasını değiştirmeden hesaplamayı denemeyiniz!)

34 65 Katlı İntegral a) x e y d yd x y e y d xd y e y x y d y ye y d y e y y e (e ) b) ye x d xd y y x 6 3e x ye x d yd x e y x e x xd x x 3(e ) x y d x c) I y 4y + x d xd y x + x y d x y x + x d x x + x d x ln( + x ) 4 ln(7) l n() ln(7)

35 39. Ardışık İntegral 653 ç) x + y d yd x y + y d xd y + y x y + y 4yd y ( + y ) 3 d y 3 3 ( ) (6) 5 3 b) y f (x, y)d xd y y c) x x 3 f (x, y)d yd x f (x, y)d xd y x f (x, y)d yd x x x 3 f (x, y)d xd y 8 3 y y/4 f (x, y)d yd x ç) 8 y y f (x, y)d xd y 4 8 y y/4 f (x, y)d xd y x x f (x, y)d yd x İntegrasyon bölgesi verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan çift katlı integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : y x 3, y x } ile sınırlı, y d A y d A x x 3 y d yd x y 3 x 3 d x x 3 (x 6 x 9 )d x 3 3 [ x7 7 x ] 7 b) {(x, y) : y x, y 8 x ile sınırlı }, (4 y )d A

36 654 Katlı İntegral c) (4 y )d A + x 8 x 5 5 {(x, y) : y, y x ( (4 y )d yd x (4 y )d yd x ) e x d A x/ e x y e x d yd x x/ e x x d x 4 (e4 ) xe x d x d x ç) {(x, y) : x, x y, y } ile sınırlı bölge, e y d A e y d A x/ e y d yd x e y/ x/ d x ( e / e )d x/4 x ( ) xe / + 4e x/ d x [( e + 4e ] ) ( + 4) 8 4 e 8 e 8e 4 e 8 e 39.3 Katlı İntegral Uygulamaları NEEN İNTEGRAL SIRASINI EĞIŞTIRIYORUZ? Katlı integrali ardışık integral (iterated) haline getirebidiğimiz durumlarda, birisini öne ya da sona almak çoğu kez önem taşımaz. Ama bazı durumlarda birisini öne almanın kolaylık sağladığı görülebilir. Bununla ilgili bazı örnekler vereceğiz. Teorem {a x b; g (x) y g (x)} bölgesi üzerinde f (x, y)

37 39.3 Katlı İntegral Uygulamaları 655 fonksiyonu sürekli ise f (x, y)d A b g (x) a g (x) f (x, y)d yd x olur. eğişkenlerin yerleri değiştirilirse, benzer sonuç elde edilebilir: {c y d;h (y) y h (y)} bölgesi üzerinde f (x, y) fonksiyonu sürekli ise d h (x) f (x, y)d A f (x, y)d xd y c h (x) olur. İspat: Ardışık integral tanımından çıkarılır. Örnek {y, y x, x } doğruları ile sınırlı bölge ise (x + y)d A (39.3) integralini bulunuz. Çözüm : I (x + y)d A (x ( ) (x + y)d y ) (x + y)d x y d x 4 3 d y 4 3 Örnek I e x f (x, y)d yd x integralinin ardışık integral sırasını değiştiriniz. Çözüm : I Örnek e l ny f (x, y)d xd y x I f (x, y)d yd x x Şekil 39.: { x, y e x integralinin ardışık integral sırasını değiştiriniz. Çözüm : I Örnek y+ y+ y+ f (x, y)d yd x + y f (x, y)d yd x. I x e y d yd x Şekil 39.3: x, y x

38 656 Katlı İntegral Çözüm : Örnek 39.. I y e e y d xd y ye y d y I x (x + y)d yd x integralinin ardışık integral sırasını değiştirerek hesaplayınız. Çözüm : Şekil 39.4: x y x I 7 y (x + y)d xd y Örnek 39.. bölgesi x + y çemberi ile x + y elipsi ile sınırlı bölge ise I x d A Şekil 39.5: x + y x + y Çözüm : şekilden görüldüğü gibi olarak iki parçaya ayırmalıyız. I x d A x x x x d A + x d A x d yd x + x x x x d x ( ) x x d x 4 ( ) x d yd x x x d x, (x si nt,d x costd t) 4 ( ) π/ si n tcos td t ( 4 ) 4 ( 4 ) 8 ( 4 ) 8 ( 4 ) π 6 π/ π/ ( t si n td t ( cos4t)d t si n4t 4 π/ ( )π 4

39 39.3 Katlı İntegral Uygulamaları 657 Örnek 39.. bölgesi birinci dörtte birlik alanda x y 6, y x, y, x 8 eğrileri ile sınırlı bölge ise I x d A Çözüm : I x d A 6/y 3 y 448 ( 6 3 y 3 x d A + x d A x d xd y + ) d y y x d xd y (8 3 y 3 )d y Şekil 39.6: x y 6, y x, y, x 8 Çözüm : I x 448 x d A x d yd x + x d A + x d A 8 6/x 4 x d yd x Örnek bölgesi y x, y 8 x eğrileri ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. Al an A d A Çözüm : I x d A 8 x x d yd x ( (8 x ) x ) d x x d A + x d A Şekil 39.7: y x, y 8 x 64 3 Örnek f (x, y) e x y (39.3) fonksiyonunun {(x, y) : x y; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Şekil 39.8: {(X, y) : x y; y }

40 658 Katlı İntegral Çözüm: e x y d A y (e ) e x y d x d y (ye x y y )d y (ye y)d y yd y (e )y t yd y (e ) Burada intgralin sırasını değiştirirsek x y d y integralini hesaplayamayız. Örnek f (x, y) e x (39.3) fonksiyonunun {(x, y) : y x; x } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm: Şekil 39.9: { y x; x } e x d A x e x d y d x (ye x x )d x ( xe x) d x, (u x,du xd x) e u du (e ) Burada intgralin sırasını değiştirirsek e x d x integralini hesaplayamayız.

41 39.4 Alıştırmalar Alıştırmalar Aşağıdaki katlı hesaplayınız x ( x y)d yd x x cos y 3 d yd x y x x y y x + x / y x x/ y sin x d xd y (x + y )d yd x (x + e y )d xd y (x y)d yd x x d xd y x yd yd x y x y (x y)d xd y e y d xd y xd yd x x y xd xd y 39.5 Katlı integralde değişken değiştirme Tek değişkenlilerde olduğu gibi, bazı durumlarda değişken değiştirerek katlı integral daha kolay hesaplanabilir hale dönüştürülebilir. Aslında katlı integrali ardışık integraller olarak hesaplanabildiğine göre, değişken değiştirimi tek değişkenli integrallerde yaptığımızın tekrarı olacaktır. Yine de bu dönüşümün yapılabilmesini mümkün kılan teoremi ifade etmekte yarar vardır. Teorem sürekli olsun. f (x, y) fonksiyonu xy-düzlemindeki bir bölgesinde. üzlemde tanımlı bir T dönüşümü x g (u, v) T : y h(u, v) parametrik biçiminde verilsin. 3. g ve h fonksiyonları üzerinde sürekli olsunlar. 4. T dönüşümü bire-bir örten olacak biçimde bölgesini bölgesine dönüştürsün.

42 66 Katlı İntegral 5. J(u, v) (x, y) (u, v) [ x u y u x v y v ] (39.33) 6. J(u, v) dir. varsayıları sağlanıyorsa f (x, y)d yd x f ( g (u, v),h(u, v) ) J(u, v) dud v (39.34) İspat: T dönüşümü uv-düzlemindeki bir (u, v) noktasını xy-düzlemindeki (x, y) noktasına götüren dönüşümdür. g,h fonksiyonları bölgesinde tanımlı ve sürekli türevlere sahip fonksiyonlardır. T dönüşümünü vektör değerli bir fonksiyon imiş gibi düşünebiliriz. (,) baş noktasını (x, y) noktasına birleştiren vektörü r x i + y j ya da r g (u, v) i + h(u, v) j biçiminde yazabilirz. g,h fonksiyonları süreli türevlere sahip olduğuna göre g u, g v, h u, h v kısmi türevleri var ve süreklidirler. u u ve v v eğrileinin teğet vektörleri r r v u olacaktır. T dönüşümü altında boyutları u v olan dikdörtgen xy-düzleminde biçemi bozulmuş dikdörtgenimsi bir bölgeye dönüşür. Bunun alanı yaklaşık olarak, olur. Ayrıca, r u r v u v r u r i j k v x y u u k x y v v x u x v y u y v k (x, y) (u, v) olur. Buradan, r u r v u v (x, y) (u, v) u v elde edilir. Şimdi integral tanımına dönersek, f ( g (u, v),h(u, v) ) J(u, v) dud v toplamının limiti varsa, bu limit f (x, y)d yd x integraline eşit olacaktır. O halde, f (x, y)d yd x f ( g (u, v),h(u, v) ) J(u, v) dud v (39.35) çıkar. Simgelerde birliği sağlamak için, olduğunu vurgulamak yeterlidir. d A d xd y (x, y) (u, v) dud v

43 39.5 Katlı integralde değişken değiştirme 66 Örnek x + y a b değiştirme yöntemi ile bulunuz. ile sınırlı bölgesinin alanını değişken Çözüm:x au, y bv değişken değiştirimini yaparsak, bölgesi u + v açık diskine dönüşür. Bunu yapan parametrik dönüşümler sürekli türevlenebilir. olayısıyla Teorem (39.33) uygulanabilir. ( a >, b > olmak üzere [ ] d xd y (x, y) (u, v) dud v a ab dud v b olur. olayısıyla, d xd y ab dud v ab(π ) πabbr çıkar. Örnek Köşeleri (, ),(, ),(, ) olan üçgeninin üzerinde, (x + y) 3 d xd y integralini değişken drğiştirimi yaparak bulunuz. Çözüm:u y x, v y + x değişken değiştirimini yaparsak, bölgesi köşeleri (,),(,),(,) olan üçgenine dönüşür. Bunu yapan parametrik dönüşümler sürekli türevlenebilir. olayısıyla Teorem (39.33) uygulanabilir. dir. Buradan, [ ] (u, v) (x, y) (x,y) (u,v) d xd y (x, y) (u, v) dud v dud v (x + y) 3 d xd y 6 5 v v 3 dud v v 4 d v v 3 dud v Örnek Köşeleri (, ),(, ),(, ) olan üçgeninin üzerinde, e y x y+x d xd y integralini değişken drğiştirimi yaparak bulunuz. Çözüm: u y x, v y + x x (u + v), y (v u) u v,u v, v ) bölgesi köşeleri (,),(,),(,) olan üçgenine dönüşür. Bunu yapan parametrik dönüşümler sürekli türevlenebilir. olayısıyla Teorem (39.33) uygulanabilir.

44 66 Katlı İntegral olur. Buradan, [ (x, y) (u, v) e y x y+x d xd y e e ] e u v dud v v e u v v v d v dud v e e 39.6 Alıştırmalar. Köşeleri (, ),(, ),(, ),(, ) olan yamuğu üzerinde, e x+y x y d xd y integralini bulunuz.. x y, x y 4,3x y,3x y 8 doğrularının sınırladığı bölgesi üzerinde, x y 3x y d A 3. Köşeleri (, ),(, ),(, ),(, ) olan yamuğu üzerinde, ( ) y x cos d A y + x 4. {(x, y) : π < x + y < π, π < x y < π} bölgesi üzerinden, (x y )sin (x + y) d xd y 5. 9x + 4y elipsi üzerinden, sin(9x + 4y )d A 6. x + y eitsizliği ile belirlenen bölgesi üzerinden, e x+y d A 7. Köşeleri (, ),(π, ),(, π) olan üçgeni üzerinden, sin(x + y).cos(x y)d A

45 39.7 İki Katlı İntegral İle üzlemsel Alan Hesabı y x, y 4x, x y, x y 5 eğrilerinin sınırladığı bölgesi üzerinden, x yd A 39.7 İki Katlı İntegral İle üzlemsel Alan Hesabı. Pappus teoremini kullanarak dik dairesel koninin yanal yüzeyinin alanını ve hacmini bulunuz. Çözüm: Genel olması için koninin yüksekliği olarak herhangi bir r sayısı alalım. Koninin simetri doğrusu O y ekseni olacak şekilde tepe noktasını (O,O) başlangıç noktasına koyalım. Koni şekilde görüldüğü gibi baş aşağı konumlanmış olsun. Koninin yanal yüzeyindeki OB doğru parçasını kütle merkezi, OB bin orta noktasıdır: (x, y) ( r, h) dir (bkz. ). Alan A OB.πR r + h.π r πr r + h O AB üçgeninin kütle merkezi ( r 3, h ) dır. Hacim V (πr) r h i r 3. r h 3 πr h olur.. Pappus un ikinci teoremini kullanarak y r x, r x r yayının kütle merkezini bulunuz. Çözüm: Pappus un ikinci teoremini kullanacağız. Kürenin alanının 4πr olduğunu biliyoruz. Buna göre; x, (39.36) ỹdm y ydm r x. t + y d x d s r x. r r x d x r d x r x r r r d x r r r πr r π r r x d x

46 664 Katlı İntegral Yüzey Alanı S: S (r π)π( r π ) çıkar. Buunu daha kısa yolla yapabiliriz. 4πr (r π)πy 4πr (39.37) y π r Verilen iki denklemin grafikleri arasında kalan bölgenin alanını çift katlı integralle hesaplayınız. a) y x 4, y x + Şekil 39.: Soru7-a Al an +x/ x /4 d yd x ( x + x 4 ) d x ( ) ( ) b) x y 5, x + y 6 Şekil 39.: x y 5, x + y 6 Al an 5 6 x 5/x 5 (6 x d yd x ( (6 x) 5 x ) d x 5 5l n(x)) ) (3 5 5ln5) (6 5ln) 3 8 5ln5 5ln5 9 c) y x, y x 3 Şekil 39.: y x, y x 3 Al an x ( x x4 4 ( 4 ) d yd x x 3 ( (x x 3 ) ) d x )

47 39.8 Alıştırmalar 665 Örnek r yarıçaplı bir çember, çember düzleminde ve çember merkezine b,(b > r ) uzaklıkta sabit duran bir eksen etrafında döndürülüyor. Meydana gelen cismin (simit, torus, daughnut) yüzey alanını ve hacmini bulunuz. Çözüm: Çemberin ağırlık merkezi kendi merkezidir. Çemberin merkezi eksen etrafında bir dönüş yapınca πb kadar yol alır. Çemberin alanı πr dir. Pappus teoremine göre hacim V (πb)(πr ) π br olur, yüzey alanı ise S (πb)(πr ) 4π br olur Alıştırmalar. x a, y a karesinden a yarıçaplı çember çıkarılıyor. Geri kalan düzlemsel bölgenin alanını bulınız.. y x 3, x, x, y x eğrileri ile sınırlanan düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 3., x e y d yd x y y cos x d xd y 3 y y (6 + x 7 ) y y cos x d xd y 7. y x3 3, y x + 4, y 4x + 9 eğrilerinin sınırladığı düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 8. x +z 9 silindirini y x düzlemi kesiyor. Birinci bölgede silindirden ayrılan parçanın hacmini bulunuz. 9. x y, y x eğrileri ile sınırlanan düzlemsel bölgenin alanını bulunuz.

48 666 Katlı İntegral 39.9 İki Katlı İntegral İle Hacim hesapları Bu kesimde iki ya da daha çok yüzey ile sınırlanan hacimleri hesaplayacağız. Uygulamada çoğunlukla yüzeylerden birisi x y-düzleminde düzgün eğrilerle sınırlanmış düzlemsel bir bölge olur ve yanal yüzeyler sözkonusu bölgenin sınırlarını doğrultman olarak kabul eden ve ayrıtları düzlemsel bölgeye dik olan bir silindirdir. Silindirin bir kapağı düzlemsel bölgedir, öteki kapak silindir ile başka bir yüzeyin arakesiti tarafından belirlenir. Örnek Köşeleri (,), (,), (,) olan üçgeni ile z x + y yüzeyi arasındaki hacmi bulunuz. Şekil 39.3: Yüzeyler arasındaki hacim Şekil 39.4: z (x y) yüzeyi V x (x + y)d A (x + y)d yd x (x y + y x d x y ( x) [x( x) + [ x + ] d x x3 6 + x ] d x y x ve y ile sınırlanan bölgesi ile z 4 düzlemi arasında kalan hacim. Şekil 39.5: Üçgen köşeleri:(,),(,),(,) Şekil 39.6: Köşeleri: y x V 4d A x 4d yd x 4y x y d x 4( x )d x (4 4x )d x (4x 4x

49 39. Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Kutupsal koordinatlara dönüşümü incelerken x r cosθ T : y r sinθ dönüşümü ile xoy- dikey kartezyen koordinat sisteminden (r,θ) kutupsal koordinat sitemine nasıl dönüşüm yapıldığını incelemiştik. Bu kesimde, bu dönüşümün katlı integrallerde kullanılışını ele alacağız. Şekil 39.7: Kutupsal koorinatlar r x + y, x r cosθ, y r sinθ ve (x, y) (u, v) [ x r x θ y r y θ ] cosθ r sinθ çıkar. Öyleyse aşağıdaki teoremi söyleyebiliriz: sinθ r cosθ r Şekil 39.8: önüşüm Teorem {(r,θ) a r b,α θ β, β α π bölgesinde f fonksiyonu sürekli ise f (x, y) d A β b α a f (r cosθ,r sinθ)r dr dθ (39.38) eşitliği sağlanır. Kanıt: Önceki kesimde ifade edilen dnüşüm Teorem inin varsayımları sağlandığından, sözkonusu teoremin burada geçerli olacağı açıktır. Örnek x + y 4 kapalı diski üzerindeki (x + y + )d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. Çözüm: (x + y + )d A π π π (r + )r dr dθ ( r r Örnek x + y 4, x + y e çemberleri arasında kalan halka bölgesi üzerindeki l n(x + y )d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. Şekil 39.9: Halka bölge Çözüm: ln(x + y )d A π e 4π l n(r )r dr dθ ( r lnr ) 4 r e π(e + 4 8ln) Şekil 39.3: ln(x + y yüzeyi

50 668 Katlı İntegral Teorem R {(r,θ) α θ β, r (θ) r r (θ),r (θ),r (θ) } bölgesinde f fonksiyonu sürekli ise r f (r,θ) d A α β (θ) f (r,θ)r dr dθ (39.39) R r (θ) eşitliği sağlanır. Örnek a yarıçaplı kürenin hacmini kutupsal koordinatları kullanarak hesplayınız. Şekil 39.3: Kürenin hacmi Çözüm: x + y +z a küresinin xy-düzleminin üstünde kalan yarısını hacmini bulup çıkanı ile çarpabiliriz. z, z a x y dir. Yarı kürenin x y düzlemi üzerindeki izdüşümü ir. Buradan, V 3 3 Örnek π π π 3 (a3 θ π 4 3 πa3 {(x, y) x + y a (a x y ) d yd x ( ) a 3 (a r ) 3 dθ ( (a a ) 3 (a ) 3 a 3 θ dθ π a ) dθ a r r dr dθ bölgesi birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgede r 3cosθ diskinden, r + cosθ kalp eğrisi (cardioid) atılınca geri kalan bölge olsun. x d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. Çözüm: 3cosθ + cosθ cosθ,cosθ θ π 3 olduğundan, Şekil 39.3: Alan Şekil 39.33: z x yüzeyi x d A π/3 3cosθ +cosθ π/3 3cosθ +cosθ π/3 π/3 π/3 r dr dθ r cosθ secθ dr dθ r secθ 3cosθ +cosθ dθ (3cosθ secθ ( + cosθ)secθ)dθ ( secθ)dθ θ ln secθ + tanθ π/3 π 3 ln( + 3)

51 39. Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller 669 Örnek bölgesi birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgesi olsun. Bu sınırsız bölgede, e (x +y ) d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. Çözüm: Bu has olmayan bir integraldir. Öyleyse, Kutupsal koorinat sistemine geçerek, e (x +y ) π/ d A lim n π/ lim n π/ lim n ( lim n π lim n 4 π 4 n e r r dr dθ ( e r n ) dθ ( e n + e n).θ ( e n) π/ ) dθ Örnek olduğunu gösteriniz. I π e x d x Çözüm: I I a a e x d x e x d x dersek, değişken adını serbestçe seçebildiğimizi de düşünerek, ( a )( a ) (I a ) e x d x e y d y e (x +y ) d xd y R π (önceki problemden) çıkar. Önceki problemin sonucunun bilinmediğini, varsayarak çözümü bulabiliriz. Şimdi, birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgede R bölgesi a yarıçaplı disk, R bölgesi kenar uzunluğu a olan kare, R bölgesi a yarıçaplı disk olmak üzere, e (x +y ) d xd y e (x +y ) d xd y R R e (x +y ) d xd y R yazabiliriz. Kutupsal koordinatları kullanırsak, π/ a e r r dr dθ (I a ) π/ a buradan, π ( e r ) (I a ) π ( e a) 4 4 lim a için istene sonuç elde edilr: π I e x d x e r r dr dθ

52 67 Katlı İntegral 39. Alıştırmalar. {(x, y) π x + y 4π } ise ) cos ( x + y d xd y. z x + y parabolünün altında, x y düzleminin üstünde ve x + y x silindirinin içinde kalan katı cismin hacmini bulunuz. 3. x + y + z küresi ile üstten ve z x + y konisi ile alttan sınırlı bölgenin hacmini bulunuz. 4. bölgesi x 4 y yarı çemberi ve y ekseni ile sınırlı bölge ise, e x y d A 5. bölgesi x + y 4, x + y x, çemberleri ile sınırlı bölge ise, x d A a x a e x +y d xd y a y (x + y ) 3 d xd y 6 y 6 y (x.y ) d xd y x x x + y d yd x. Aşağıdaki ntegralleri tek bir integral işareti atında yazınız. / x x x y d yd x + x x y d yd x +. r sinθ kalp eğrisinin alanını bulunuz. 4 x x yd yd x. z 8 x y ve z x + y praboloidleri arasında kalan bölgenin hacmini bulunuz.

53 39. Alıştırmalar {(x, y) : x + y 9} ise 4. {(x, y) : x + y 4} ise 5. {(x, y) : x + y } ise 6. r sinθ eğrisini çiziniz. 7. r cosθ eğrisini çiziniz. 8. r θ eğrisini çiziniz. 9. r θ eğrisini çiziniz. cos x + y d A e x +y d A e x +y d A. r cos4θ eğrisinin birinci bölgede sınırladığı düzlemsel alanı. bulunuz. a a x a e x y d yd x. z 4(x + y paraboloidi, x + (y 3 ) 9 4 si,lindiri ve x y düzlemi tarafından sınırlanan hacmi bulunuz. 3. x + y + z 5 küresi içinde ve x + y 9 silindiri dışında kalan bölgenin hacmini bulunuz. 4. Kutupsal koordinatları kullanarak 5. olduğunu gösteriniz. olduğunu gösteriniz. π (cosθ + sinθ) dθ 4 x x y x + y d yd x 6. e x y d xd y

54 67 Katlı İntegral 7. r ( sinθ) eğrisinin birinci bölgede sınırladığı düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 8. r + cosθ kalp eğrisi içinde ve r çemberi dışında kalan düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 9. r 4θ 3, θ π spirali ile x ekseninin sınırladığı düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 3. r + cosθ ile r cosθ kalp eğrileri arasındaki alanı bulunuz f (x, y) x y fonksiyonunun x + y 3 4 bölgesi üzerindeki integralini bulunuz. f (x, y) ln(x + y ) x + y fonksiyonunun x + y çemberi ile x + y e çemberinin sınırladığı bölge üzerindeki integralini bulunuz. 33. r 9sinθ eğrisinin sınırladığı düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 34. y x, y, y x eğrilerinin sınırladığı düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. 35. (x + y ) a x y eğrisine Nernoulli lemniskatı denilir. Bu eğrnin P(,) noktasındaki teğpetinin denklemini yazınız. 36. (y a) (x + y ) b y eğrisine Nicomede konkoidi denilir. Bu eğrinin P( 5,) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. 37. Kapalı türev formülünü kullanarak, çemberin her teğetinin, çember merkezini değme noktasına birleştiren yarıçapa dik olduğunu gösteriniz. 38. Kutupsal koordintları kullanarak, olduğunu gösteriniz. π dθ (cosθ + sinθ) 39. e (x +y ) d xd y 4. Pozitif Ox-ekseni ve r 4θ 3, θ π spirali tarafından sınırlananan bölgenin alanını bulunuz.

55 4 Üç Katlı İntegraller Üç katlı ya da n-katlı integral tanımı iki katlı integralin genellemesidir. Bu bölümde üç katlı integralleri ele alacağız. İki katlı intgralde integral bölgesi olarak düzlemde bir blgesini alıyorduk. Üç katlı integralde, integral bölgesi düzlemsel olmak yerine üç boyutlu uzayda bir T hacmi olacaktır. w f (x, y, z) fonksiyonunun tanım bölgesi Şekil 4.: Üç katlı integral T {(x, y, z) a x b, c y d, e z f, x, y, z R} kümesidir. Bazı yerlerde yerine < bağıntısı gelebilir. Tabii bu küme bir dikdörtgenler prizmasıdır. Ama bu özel bir durumdur; T her zaman uzayda bilinen bir geometrik şekle benzemeyebilir. T kümesi üç boyutlu uzayda bir yer (hacim) doldurur. Bu hacme katı cisim (solid) denilir. Üç katlı integrali tanımlamak için, ilk işimiz T tanım kümesinin bir bölüntüsünü oluşturmak olacaktır. Tek katlı integralde bir doğru parçasının, iki katlı integralde bir dikdörtgenin bölüntüsünü oluşturmuştuk. Üç katlı integralde ise bir dikdörtenler prizmasının bölüntüsünü oluşturacağız. Bu iş, önceki yaptıklarımızın benzeri olacaktır: [a,b] aralığının bir bölüntüsü n tane alt aralıktan oluşan P : a x < x < x < x 3 <... < x n < x n b, n N + [c,d] aralığının bir bölüntüsü m tane alt aralıktan oluşan Q : c y < y < y < y 3 <... < y m < y m d m N + [e, f ] aralığının bir bölüntüsü s tane alt aralıktan oluşan R : e z < z < z < z 3 <... < z s < z s f s N + olsun. T hacminin ayrışımını T i j k P Q R Şekil 4.: Katı cismin bölüntüsü [x i, x i ] [y j, y j ] [z k, z k ] i I, j J, k K, I, J,K N + biçiminde ifade edebiliriz. İntegral tanımında bölüntü aralıklarının en uzununun uzunluğu sıfıra giderken limit alındığı için, her üç boyuttaki bölüntü aralıklarını kendi aralarında eşit almak bir kısıtlama getirmez. Simgeleri basitleştirmek için, P bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve x, Q bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve y, R Şekil 4.3: Bir bölüntünün hacmi

56 674 Üç Katlı İntegraller bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve z olduğunu varsayalım. Buna göre T prizmasının T i j k küçük prizmalarından oluştuğunu ve onların her birisinin hacminin V x y z (4.) olduğunu söyleyebiliriz. Artık integral tanımı için Riemann toplamını oluşturabiliriz: (x i j k, y i j k, z i j k ) T i j k olmak üzere S nms n m s i j k f (x i j k, y i j k, z i j k ) V (4.) diyelim. Tanım 4.. T bölgesi üç boyutlu R 3 uzayında bir bölge ve f (x, y, z) fonksiyonu bu bölge üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. T f (x, y, z)dv lim n m s n,m,s i j k f (x i j k, y i j k, z i j k ) V (4.3) diyelim. Sağdaki limit varsa, bu limit değerine f fonksiyonunun T bölgesi üzerindeki üç katlı integrali denilir ve soldaki simge ile gösterilir. Anımsanacağı gibi, iki katlı integralin tanımında hesaplamanın zorluğunu aşmak için, katlı integrali integral tanımından hesaplamak yerine ardışık integrallerle hesaplama yoluna gitmiştik. Benzer düşünceyi üç katlı integrallere de uygulayacağız. Üç katlı integrali art arda uygulanan üç tane tek katlı integralin hesplanmasına indirgeyebiliriz. O durumda, tek katlı integral için bildiğimiz bütün integral alma yöntemlerini uygulayabileceğiz. Bu olgu Katlı integrallerin hepsi için geçerlidir ve integral hesabını çok kolaylaştırır. Yine anımsayacağınız gibi, düzlemsel bir bölgesi üzerinden iki katlı integrali ardışık integrallere dönüştürüken bölgesinin Ox ve O y eksenleri üzerine izdüşümlerini alıyor ve izdüşümün uç noktalarını en dıştaki integralin sınırları olarak kullanıyorduk. Benzer işi üç boyut için de düşünebiliriz.ancak, bu kez izdüşümler koordinat eksenlei yerine x y, xz, y z koordinat düzlemleri üzerine yapılacaktır. Bu üçünü ayrı ayrı bir teorem halinde yazalım: Teorem 4... T bölgesinin x y koordinat düzlemine izdüşümü T x y olmak üzere f (x, y, z) fonksiyonu Şekil 4.4: xy düzlemine izdüşüm T {(x, y, z) (x, y) T x y, g (x, y) z g (x, y)} bölgesi üzerinde sürekli ise, T eşitliği sağanır. ( g (x,y) ) f (x, y, z)dv f (x, y, z) d z d A (4.4) T x y g (x,y)

57 4. Hacim 675. T bölgesinin xz koordinat düzlemine izdüşümü, T xz olmak üzere, f (x, y, z) fonksiyonu şüm T {(x, y, z) (x, z) T xz, h (x, z) y h (x, z)} bölgesi üzerinde sürekli ise, T eşitliği sağanır. ( h (x,z) ) f (x, y, z)dv f (x, y, z) d y d A (4.5) T xz h (x,z) 3. T bölgesinin y z koordinat düzlemine izdüşümü T y z olmak üzere f (x, y, z) fonksiyonu Şekil 4.6: yz düzlemine izdüşüm T {(x, y, z) (y, z) T y z, k (y, z) x k (y, z)} bölgesi üzerinde sürekli ise, T eşitliği sağanır. ( k (y,z) ) f (x, y, z)dv f (x, y, z) d x d A (4.6) T y z k (y,z) 4. Hacim T tanım bölgesinde f (x, y, z) ise, f nin T bölgesi üzerinden üç katlı interali T katı cisminin hacmine eşitir. Bunu bir teorem olarak ifade edbiliriz: Teorem 4.3. T ( g (x,y) ) f (x, y, z)dv d z d A (4.7) T x y g (x,y) (g /x, y) g (x, y) ) d A (4.8) Şekil 4.7: üzgün dörtyüzlü ifadesi iki yüzey arasında kalan katı cismin hacmini verir. Örnek 4.4. T katı cismi x, y, z, x + y + z düzlemlerinin sınırladığı düzgün dörtyüzlüdür. zdv (4.9) T Çözüm: T bölgesinin x y düzlemi üzerine izdüşümü T x y olsun. T bölgesi üstten z x y düzlemi ile ve alttan z düzlemi ile sınırlıdır: T {(x, y, z) : x, y x, z x y} (4.) Şekil 4.8: üzgün dörtyüzlünün x y düzlemi üzerine izdüşümü

58 676 Üç Katlı İntegraller dir. O halde, T zdv x x y x z x y x zd zd yd x d yd x ( x y) d yd x ( x y)3 3 ( x) 3 d x 6 ( x)4 ( Aynı integrali T nin xz ve y z düzlemleri üzerine izdüşümleri için hesaplayınız. x d x Şekil 4.9: paraboloid Şekil 4.: paraboloid Örnek 4.5. T katı cismi z 8 x y, z x + y paraboloidleri arasında kalan bölgedir. T dv (4.) integralini T nin x y düzlemi üzerine izdüşümünü alarak hesaplayınız ve xz düzlemi üzerine izdüşümü (.Tip) ve xz düzlemi üzerine izdüşümü (3.Tip) üzerinde integral sınırlarını yazınız. Çözüm: xy-düzlemi üzerindeki izdüşümü T x y : x + y 4 diskidir. Çünkü z 8 x y denkleminde z konulursa T x y izdüşümü x + y 4 olur. Buradan 4 x I dv T 4 x 4 4 x 6π 8 x y x +y ( 8 (x + y ) ) d yd x d zd yd x olur. Ayrıca, Şekil 4.: paraboloid ya da I y z y z y d xd zd y + 8 y 4 8 z y 8 z y d xd zd y Şekil 4.: paraboloidler arasındaki hacim ve ya da olur. I z I I z z y z y d xd zd y + z x x z z x z z x d yd zd x + z x d yd xd z z 4 8 z 8 z y 8 x 8 z x 4 8 z y d xd yd z 8 z x d yd zd x 8 8 z 8 z x 4 8 z 8 z x d yd xd z

59 4. Alıştırmalar Alıştırmalar. {z + x 4, y + z 4, y, z yüzeyleri ile sınırlı bölgenin hacmini bulunuz.. {y + z, x, x + y + z yüzeyleri ile sınırlı bölgenin hacmini bulunuz. 3. S {z x + y, z, x + y 4 yüzeyleri ile sınırlı bölgenin hacmini bulunuz. 4. {x + z 4, x + z 4 yüzeyleri ile sınırlı bölgenin hacmini bulunuz. 4.3 Üç Katlı İntegrallerde eğişken eğiştirme Tek ve iki katlı inegrallerde yaptığımız gibi, üç katlı integral alırken de hesaplamayı kolaylaştıracak değişken değiştirimi yapabiliriz. Bunu sağlayan teorem şudur: Teorem φ f (x, y, z) fonksiyonu üç boyutlu uzaydaki bir S bölgesinde sürekli, bire bir ve örten τ dönüşümü, x g (u, v, w) τ : y h(u, v, w) z k(u, v, w) S bölgesini S bölgesine dönüştürsün.. g,h,k fonksiyonları S üzerinde sürekli türevlenebilir olsunlar. 3. τ dönüşümünün jacobian ı (x, y, z) x u x v x w J(u, v, w) (u, v, w) y u y v y w z u z v z w olmak üzere J(u, v, w) ise f (x, y, z)dv f ( g (u, v, w),h(u, v, w),k(u, v, w) ) J(u, v, w) dud vd w S S olur. Kanıt: İki katlı integrallerde yaptığımıza benzer olarak yapılabilir. Örnek 4.7. S {(x, y, z) x, y, z } olmak üzere, u x τ : v x y w 3z

60 678 Üç Katlı İntegraller dönüşümü altında (x y + 3x y z) d xd yd z S Çözüm: u x, v x y, w 3z x u, y v u, z w 3 v J(u, v, w) u u olduğundan, 3 yazılabilir. Buradan, S (x y + 3x y z) d xd yd z bulunur (u ( v u ) + 3u( v u )( w 3 ) ) J(u, v, w) dud vd w S ( v + v w u ) dud vd w (v + v w ln) d vd w ( + w ln) v d w ( + w ln) d w 3 ((w + w 3 3 ln ((3 + 9 ) 3 ln + ln8 4.4 Alıştırmalar. x uv, y v w, z uv dönüşümünün Jacobiyanını bulunuz.. x e u v, y e u+v, z e u+v+w dünüşümünün Jacobiyanını bulunuz. 3. S : x 4 + x 9 + x 5 elipsoidinin sınırladığı bölgenin hacmini x u, y 3v, z 5w dönüşümünü kullanarak hesaplayınız. 4.5 Silindirsel Koordinatlar 4.5. Silindir Nedir? Tanım 4.8. üzlemsel bir C eğrisi ile uzayda bir d doğrusu verilsin. C eğrisini kesen ve d doğrusuna paralel olan bütün doğruların oluşturduğu kümeye silindir denilir. C eğrisine silindirin üreteci (generating curve) ve d eğrisine de silindirin doğrultmanı (directrix) denilir. Buna göre silindir uzayda özel bir yüzey türüdür. Eğer üreteç bnir çember ise boru şeklinde bir silindir oluşur. Eğer doğrutman çember düzlemine dik ise, dik dairesel silindir oluşur.

61 4.5 Silindirsel Koordinatlar 679 Şekil 4.3: Silindirler Üç boyutlu koordinat sistemlerinin hepsi üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminin işlevini bazı özel durumlar için daha kolay ifade etmeye yararlar. olayısıyla, hepsi kartezyen sistemin (x, y, z) kordinatlarını kendi işlevlerine uygun biçimde ifade ederler. Bunlardan birisi silindirik koordinat sitemidir. airesel silindir yüzeyi üzerindeki noktaları kolay belirlemeye yarar. Silindirin yarıçapı değiştirilerek uzaydaki her noktanın konumunu belirlenebilir. Üç boyutlu uzayda bir (x,y,z) noktasının dikey kartezyen koordinat sisteminden silindirik koordinatlara dönüşümü, x r cosθ τ : R 3 R 3 y r sinθ z z denklemleri ile verilir. Silindirsel koordinatlar kullanılarak üç katlı integraller kolayca hesaplanabilir. Örnek 4.9. x +y a denklemini silindirsel koordinatlra dönüştürünüz. Çözüm: ikey kartezyen koordinat sisteminde silindirsel koordinat sistemine dönüşüm formülleri kullanılırsa, r x + y r a çıkar. Şekil 4.4: Siindirsel koordinatlar Şekil 4.5: Kartezyenden silindirsele dönüşüm Örnek 4.. x + y a.z paraboloidini silindirsel koordinatlara dönüştürünüz. Çözüm: ikey kartezyen koordinat sisteminde silindirsel koordinat sistemine dönüşüm formülleri kullanılırsa, r az çıkar. Silindirsel koordinatlardaki üç katlı integrali ardışık integrallere dönüştürmek için şu teoremi kullanırız: Teorem 4.. T cismi üstten z v(r, θ) ve alttan z u(r, θ) yüzeyleri ile sınırlı olsun.. T nin x y düzlemi üzerine izdşümü kutupsal koordinatlarda verilsin.

62 68 Üç Katlı İntegraller. f (r, θ, z) fonksiyonu S üzerinde sürekli olsun. 3. ise, (x, y, z) x r x θ x z cosθ r sinθ (r,θ, z) y r y θ y z sinθ r cosθ r z r z θ z z S f (r,θ, z)dv v(r,θ) u(r,θ) f (r,θ, z)r d zdr dθ (4.) eşitliği sağlanır. Kanıt: Öncekiler gibi yapılabilir. Özel olarak, Şekil 4.6: x y düzlemine izdüşüm {(r,θ) : α θ β, h (θ) r h (θ)} ise, S f (r,θ, z)dv β h (θ) v(r,θ) α h (θ) u(r,θ) f (r,θ, z)r d zdr dθ (4.3) olur. Örnek 4.. S bölgesi birinci sekizde birlik (first octant) bölgede x + y ve x + y 4 silindirleri ile z, z, x, x y düzlemleri tarafından sınırlı bölge ise, (x + y )dv (4.4) S bölgesi silindirik koordinatlarda {(r,θ, z) : r, π 4 θ π, z } S Şekil 4.7: İzdüşüm olduğundan, S (x + y ) dv 5 6 π π π 4 r.r dr dθd z olur. Örnek x 4 x x +y (x + y )d zd yd x integralini silimdirik koordinatları kullanarak hesaplayınız. Çözüm: İntegral bölgesi S {(x, y, z) : x, 4 x y 4 x, x + y } olduğundan Şekil 4.8: İzdüşüm

63 4.5 Silindirsel Koordinatlar 68 S (x + y )dv π r π π r r d zdr dθ r 3 z r dr dθ r 3 ( r )dr dθ ( π r 4 5 r π Örnek 4.4. S {(x, y, z) : x + y, z } ise ze x y dv (4.5) S Çözüm: Silindirik koordinatlar kullanılır ve ardışık integraller uygulanırsa, S ze x y dv π π ( ) e ze r r dr dθd z çıkar. Örnek 4.5. S cismi 8 r ve z r paraboloidleri ile sınırlı bölge ise S cisminin hacmini bulunuz. Çözüm: Hacim formülüuygulanırsa, V π 8 r r π 6π r d zdr dθ (8 r r )r dr dθ Şekil 4.9: Paraboloidler arsında kalan hacim bulunur. Örnek 4.6. Kartezyen koordinat sistemindeki I 4 y 4 x y x +y +z d zd xd y ardışık integrali küresel koordinat sistemine dönüştürerek çözünüz. Çözüm: Küresel koordin atlara dönüşüğm yapılırsa, Şekil 4.: Paraboloidler arsında kalan hacim

64 68 Üç Katlı İntegraller π 4 I π π π π sinϕ dϕ ρ.ρ sinϕdρdϕdθ çıkar. Görüldüğü gibi, küresel koordinatlara dönüşüm işllemleri çok basitleştirmektedir. Örnek 4.7. a yarıçaplı kürenin içinden z x + y konisinin ayırdığı parçanın hacmini bulunuz. Çözüm: Çözüm: Küresel koordinat sistemi kullanılırsa, Şekil 4.: Paraboloidler arsında kalan hacim çıkar. V π π 4 cosϕ ρ sinϕ dρdϕdθ 8π 4.6 Alıştırmalar. ikey kartezyen koordinatlarda verilen aşağıdaki noktaları silindirik koordinatlara dönüştürünüz: a) (,,4) (b) ( 3,,7) (c) ( 3,, d) ( 4, 4,) (e) (3, 3,3) (f ) (3, 7, 7). ikey kartezyen koordinatlarda verilen aşağıdaki denklemleri silindirik koordinatlara dönüştürünüz: a) x + y + z 4 (b) x + y z (c) x + y z d) x + z 6 (e) x + y + z 4z (f ) x y + z 4.7 Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Şekil 4.: Küresel koordinatlar Üç boyutlu koordinat sistemlerinin hepsinin üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminin işlevini bazı özel durumlar için daha kolay ifade etmeye yaradığını söylemiştik. Bu kitapta inceleyeceğimiz ikinci koordinat sistemi küresel kordinat sistemidir. Küresel koordinat sistemi adından da anlaşoldığı gibi, bir küre yüzeyi üzerindeki noktaların konumunu belli etmek için kullanılan koordinat sistemidir. Tabii, kürenin yarıçapını değiştirerek üç boyutlu uzaydaki her noktanın konumunu küresel koordinat sistemi ile belirlemek mümkündür. Küresel koordinat sisteminde üç nicelik vardır (yandaki şekle bakınız):. Uzaydaki P noktasının başlangıç noktasına OP uzaklığı. Çoğunlukla, ρ OP ya da r OP ile gösterilir.

65 4.7 Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar 683. OP nin x y-düzlemi üxerine OQ izdüşümü ile Ox-ekseni arasındaki θ açısı. Bu açı silindirik koordinatlardaki işleve sahiptir ve üzerinde bir kısıt yoktur. 3. OP ile Oz-ekseninin pozitif kısmı arasınadki ϕ açısı. Üç boyutlu uzayda bir P(x, y, z) noktasının dikey kartezyen koordinat sisteminden küresel koordinatlardaki (ρ,φ,θ) noktasına dönüştüren η dönüşümü, x ρ cosθ sinφ η : R 3 R 3 y ρ sinθ sinφ z ρ cosφ Şekil 4.3: Küresel koordinatlar denklemleri ile verilir. Burada P noktasının başlangıç noktasına uzaklığı ρ, P noktasının x y düzlemine izdüşümü olan Q noktasının başlangıç noktasına uzaklığı r ρ sinφ, OQ nun Ox ekseniyle pozitif yöne yaptığı açı θ ( θ π), OP nin Oz ekseni ile pozizitif yönde yaptığı açı φ, ( ϕ π) dır. θ için kısıt olmadığını söylemiştik. Ama ϕ için ( ϕ π) kısıtlamasının olduğunu unutmayınız. Örnek 4.8. ikey kartezyen koordinat sistemindeki denklemi x + y + (z ) olan küreyi küresel koordinat sisteminde gösteriniz. Çözüm: Yukrıdaki η dönüşümünü uygularsak, ρ sin φcos θ + ρ sin φsin θ + (ρ cosφ ) ρ sin φ ( cos θ + sin φ ) ρ cos φρ cosφ + ρ ( sin φ + cos φ ) Şekil 4.4: kuresel koordinatlara donusum ρ cosφ ρ ρ cosφ ρ cosφ çıkar. Örnek 4.9. ikey kartezyen koordinat sistemindeki denklemi z x + y Şekil 4.5: ik dairesel konini olan koniyi küresel koordinat sisteminde gösteriniz. Çözüm: Yukrıdaki η dönüşümünü uygularsak, ρ cosφ ρ sin φ (ρ,sinφ ) ρ cosφ ρ sinφ cosφsinφ φ π 4 ( φ π) Şekil 4.6: ik dairesel koninin boyutları