İKİ UZUVLU MANİPÜLATÖRÜN YÖRÜNGE TASARIMI İLE TİTREŞİM KONTROLÜ. Levent MALGACA ve Hira KARAGÜLLE Makina Mühendisliği Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi

Transkript

1 1. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Selçuk Üniversitesi, Konya, Eylül 21 ÖZET İKİ UZUVLU MANİPÜLATÖRÜN YÖRÜNGE TASARIMI İLE TİTREŞİM KONTROLÜ Levent MALGACA ve Hira KARAGÜLLE Makina Mühendisliği Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi Bu çalışmada iki uzuvlu düzlemsel bir manipülatörün esnekliğinin dairesel bir iş yörüngesi üzerindeki etkisi Bilgisayar Destekli Tasarım (CAD) prosedürü kullanılarak incelenmiştir. Burada uç noktanın yörüngesi ve uç noktaya uygulanan işletme yükü girdi olarak tanımlanmıştır. Açısal konumlar, hızlar ve ivmeler ile gerekli dış motor momentleri katı cisim dinamiği teorisiyle hesaplanmıştır. Her bir uzuv üzerine etki eden kuvvetler, momentler ve tüm düğüm noktalarına dağıtılmış atalet kuvvetleri hesaplandıktan sonra esneklikten dolayı meydana gelen titreşimler Bilgisayar Destekli Tasarım programı olan I-DEAS ile elde edilmiştir. Bu titreşimlerin iş yörüngesi üzerindeki etkisi analiz edilmiştir. Manipülatör uç noktasının istenen iş yörüngesinden sapmaları, uç noktaya verilen farklı hareket eğrileriyle kontrol edilmiştir. İş yörüngesine uygulanan değişen hareket girdilerinin iş yörüngesindeki takip hassasiyetine etkisi incelenmiştir. Yörünge tasarımı ile titreşimin açık devre kontrolünün sağlanabileceği gözlenmiştir. ABSTRACT In this study, the effect of the flexibility on the circular path of a planar two-link flexible manipulator is studied using computer-aided design (CAD) procedures. The end point trajectory and the payload are defined as inputs. The angular positions, velocities, and accelerations, and the joint forces and the necessary external motor torques are calculated by using the rigid body dynamics. The forces and torques acting on the each link and the distributed inertial forces are used as the inputs to I-DEAS. The effect of the vibration of the links on the end point trajectory is analyzed. The deviations of the end point from the required trajectory are studied with different motion input curves. The effect of changing the motion inputs applied to the work path to follow the trajectory is analyzed. It is observed that the open-loop control of vibration can be achieved by the design of the motion input. 1. GİRİŞ Bir makinanın ağırlığı azaldığında, işletme yükü veya hızı arttırıldığında esnekliğin etkisi artar. Yüksek hızlarda çalışan, daha fazla yük taşıyan bununla birlikte daha hafif makinalar dizayn etmek istenir. Bilgisayar Destekli Tasarım ve Bilgisayar Destekli Mühendislik alanındaki gelişmeler, bu makinaların dizayn edilmesindeki ilerlemelere imkan tanır. Pratikte, CAD sistemlerinden farklı gruplar değişik amaçlara yönelik faydalanırlar [1]. Bazıları teknik resim çizimleri için yararlanırken, bazıları da örneğin sonlu elemanlar analizi gibi mühendislik analizlerini yapmak için faydalanabilir. Makine mühendisleri ürün geliştirme ve analiz aşamasında, bu sistemleri katı modelleme, montaj, hareket ve kuvvet analizi, sonlu eleman titreşim ve ömür analizlerini belirlemek için kullanırlar. Ticari CAD/CAE yazılımlarında, bu görevler ayrı modüllerde yapılmasına karşın bu modüller ortak bir veri tabanı kullanırlar. Bu yayında, iki uzuvlu düzlemsel bir manipülatörün esnekliğinin iş yörüngesi üzerindeki etkisi, bilgisayarla bütünleşmiş analiz yaklaşımı ile incelenir. Bu mekanizmalar üzerine 3 yılı aşkın bir süredir çalışılmaktadır [2]. Esnek manipülatörlerin dinamiği ve kontrolü üzerine yapılan çalışmalar Kaynak 3-4 de bulunabilir. Esnek mekanik sistemler geniş ve aktif bir araştırma alanına sahip olup, hala güncelliğini korumaktadır [5,6]. 794

2 Bu çalışmada, manipülatörü oluşturan uzuvlar, sabit bir kalınlığa sahip üç boyutlu ve değişken kesitli parçalar olarak bir CAD yazılımı olan I-DEAS ın katı modelleme modülünde oluşturulur [7]. Aynı zamanda uzuvların sonlu elemanlar modülü için de I-DEAS kullanılır. Manipülatörün hareket ve kuvvet analizi ise katı cisim dinamiği yaklaşımı ile Visual Basic de geliştirilen bir program tarafından yapılır [13]. Bu programda, her bir uzuv üzerine etki eden zamana bağlı değişen yayılı atalet kuvvetleri için veri dosyası hazırlanır. Hazırlanan bu veri dosyası sonlu elemanlar analizinde I-DEAS tarafından kullanılır. Hareket boyunca uç noktaya verilen hareket girdisine bağlı olarak, dairesel iş yörüngesi üzerinde manipülatörün titreşimlerinin etkisi ve kontrolü incelenir. Böylece, meydana gelen istenmeyen titreşimlerin azaltılması için açık devre kontrolü bu sisteme başarıyla uygulanmıştır. 2. BİLGİSAYAR DESTEKLİ DİNAMİK ANALİZ Bu çalışmada ele alınan sistemin şematik çizimi Şekil 1 de gösterilmiştir. İlk uzuv için eleman numarası 2, ikinci uzuv için eleman numarası 3 olarak gösterilir. Buna göre 2 ve 3 nolu elemanlar için sırasıyla açısal konumlar θ 2, θ 3, her bir eleman üzerine etki eden dış momentler, T 2 ve T 3 tür. R B = OB uç noktanın konum vektörü, F B ise işletme yüküdür ve bu yükün her an için dairesel yörünge üzerinde ve yarı çapa dik aynı zamanda sabit genlikte olduğu kabul edilmiştir. L 2 = OA ve L 3 = AB her bir uzvun uzunluğunu, m 2 ve m 3 kütlelerini, I G2 ve I G3 ise bu uzuvların atalet momentlerini temsil eder. Burada x ve y global (sabit), x' ve y' ise lokal (hareketli) koordinatlardır.yukarıda gösterilen manipülatörde her bir uzvun katı ve sonlu elemanlar modeli I-DEAS da oluşturulmuştur. Bu uzuvların boyutsal parametreleri Şekil 2 üzerinde gösterilmiştir. Bu modellerde lineer dikdörtgen kabuk elemanlar (linear quadrilateral shell elements) kullanılmıştır. I-DEAS da her bir uzuv için kalınlık ve malzeme tipi girilerek oluşturulan katı modelden, bu uzuvların kütleleri (m 2 ve m 3 ), ağırlık merkezleri (x G2 ', y G2 ' ve x G3 ', y G3 ') ve z yönündeki ağırlık merkezlerine göre atalet momentleri (I G2 ve I G3 ) elde edilir. Dinamik analiz Şekil 1 de gösterilen eşdeğer sistem için katı cisim dinamiği yaklaşımı ile yapılmıştır [11]. Göz önünde bulundurulan sistem için bu analizler Visual Basic de geliştirilen bir program ile tamamlanmıştır. Bununla birlikte daha kompleks sistemlerde analizler için I-DEAS ın Master Assembly ve Mechanism Design modülleri veya diğer bilgisayar destekli mühendislik yazılımları olan ADAMS dan faydalanılabilir [9,12]. y' y T2 2 A T3 θ3 RB 3 B Ro FB θ x' x O θ2 Şekil 1. İki uzuvlu düzlemsel manipülatör 1 795

3 ra b1 Da b2 L Şekil 2. Uzuvların geometrik modeli ve boyutsal parametrelerin gösterimi 3. HAREKET GİRDİLERİ Şekil 1 de gösterilen manipülatörün özel kullanım alanları ve şartları göz önünde bulundurulursa bu sistem için açık devre kontrol benimsenebilir. Üstelik açık devre kontrolünde sitemin hareketi ve kontrolünde minimum enerji ihtiyacına gereksinim duyulur. Buna karşılık, kapalı devre kontrolü daha karmaşık olup daha fazla enerji gereksinimine ve düzeltmelere ihtiyaç duyulur. Esnek sitemlerin açık devre kontrol problemi daha önce bir çok yazar tarafında da ele alınmıştır [8, 1]. Bu çalışmalarda yerleşme zamanı ayarlanarak değişik hareket girdileri ve optimal kontrol teorisiyle birlikte, hareket esnasındaki ve hareket sonrasındaki (artık) titreşimler incelenmiştir. Bu çalışmada, değişik hareket girdileri sistemimize uygulanmış olup çalışma esnasında ve sonrasında meydana gelen titreşimlerin bu hareket girdileri ile azaltılması tartışılmıştır. Burada üç tip hareket girdisi ele alınmıştır. Bunlardan ilki sabit hızlı hareket girdisidir. Sabit hızlı hareket en basit girdi olmakla birlikte, hareketin başlangıcı ve sonu, ivmede sonsuz değişimler göstermekte, bu da büyük genliklerde istenmeyen titreşimlere neden olmaktadır. Hareket girdilerinden ikincisi sabit ivmeli harekettir. Sabit ivmeli harekette ise impulsif etkiler olmamasına rağmen ani değişimler söz konusudur. Harmonik hareket üçüncü ve son hareket girdisidir. Burada ise hız ve ivmedeki ani değişimlerin olmaması dolayısıyla yumuşak geçişlerin olması çalışma süresince meydana gelen titreşim genliklerine olumlu etkide bulunmaktadır. Manipülatörün hareket girdilerinin dinamik karakteristiklerinde kullanılan bilimsel adlandırmalar şöyledir. H = Uç noktanın yükselme anı için maksimum yer değiştirmesi. T = Yükselme anı için geçen zaman, periyot. θ = Manipülatörün uç noktasının herhangi bir an için açısal konumu dθ ω = Manipülatörün uç noktasının herhangi bir an için açısal hızı = dt dω α = Manipülatörün uç noktasının herhangi bir an için açısal ivmesi = dt 3.1. Sabit Hızlı Hareket Girdisi En basit hareket girdisidir. Sabit hızlı hareket girdisinde hızın uniform olmasından dolayı doğrusal artan bir deplasman diyagramını karakterize eder. Sabit hızlı hareketin yükselme anı için dinamik karakteristikleri Şekil 3.a da gösterilmiştir Sabit İvmeli Hareket Girdisi Sabit ivmeli hareket bir yükselme anı boyunca verilen zaman aralığı için mümkün olan en küçük ivme değerini üretir. Deplasman diyagramı biri artan sabit ivmeli, diğeri azalan sabit ivmeli olmak üzere iki parçaya bölünür. Deplasman diyagramının her bir yarısı parabolün 796

4 aynadaki görüntüsüdür. Bu hareket aynı zamanda sabit pozitif ve negatif ivmelere sahip olan parabolik veya yerçekimi hareketi olarak da adlandırılır. Sabit ivmeli hareketin dinamik karakteristikleri yükselme anı için Şekil 3.b de gösterilir. Ancak, hareketin sonlarında ve geçiş noktalarındaki ani değişimler atalet kuvvetlerinde ani değişimlere neden olacağından istenmeyen titreşimlere neden olur Harmonik Hareket Girdisi Harmonik hareket trigonometrik fonksiyonlardan türetilir ve oldukça yumuşak bir hareket eğrileri sergiler. Bu hareket eğrileri yukarıdaki diğer eğrilere göre kesin bir ilerleme gösterir. Hız ve ivme eğrileri daha yumuşak ve süreklidir. Ancak, ivmede hareketin her iki ucu ani değişimlere sahiptir ve bu değişimlerden dolayı yüksek hızlardaki uygulamalarda iyi sonuç alınamaz. Harmonik hareketin yükselme anı için dinamik karakteristikleri Şekil 3.c de gösterilir. Hareket girdilerinin denklemleri Kaynak [14] de verilmiştir. Tüm hareket girdileri için H=2π (rad) olarak alınmıştır a) b) Şekil 3. Hareket girdileri, a) Sabit hızlı c) hareket girdisi, b) Sabit ivmeli hareket girdisi, c) Harmonik hareket girdisi 797

5 4. YAYILI ATALET KUVVETLERİ Manipülatörün herhangi bir uzvu için sonlu elemanlardan birinin alanı ΔA ve bu alanın merkezi P olsun (Şekil 4). Bu eleman için atalet kuvveti yaklaşık olarak -ρ d ΔA a P olarak hesaplanır. Burada a P, P noktasının ivmesidir. Negatif işaret D Alembert prensibine dayanmaktadır [11]. Her bir uzvun açısal hareketini bilerek, örneğin lokal orijin veya ağırlık merkezi gibi özel bir noktanın hareketi, a P katı cisim dinamiğinde verilen formülü kullanarak hesaplanabilir. a P = a + Ω X (Ω X R) + X R, burada Ω açısal hız vektörü, açısal ivme vektörü, a özel bir nokta için hesaplanmış ivme vektörü, R alınan özel noktanın P noktasına göre konum vektörüdür [11]. Şekil 1 de gösterilen ve üzerinde çalışılan sistem için 2 nolu uzuv için bu özel nokta O, 3 nolu uzuv için bu özel nokta A noktasıdır. a, ivme değeri O noktası için sıfır iken A noktasında her an için değişen değerlere sahiptir. Ele alınan sonlu eleman için atalet kuvveti -ρ d ΔA a P, kabuk elemanın 4 düğüm noktasına eşit olarak bölünerek dağıtılır. Böylece atalet kuvvetleri tüm düğüm noktalarına yayılır. Benzer yaklaşımla yerçekimi kuvvetleri de her bir uzuv üzerinde tüm düğüm noktalarına dağıtılabilir. P, Elemanın merkezi Şekil 4. Uzuvların sonlu elemanlar modeli 5. SONLU ELEMANLAR İLE TİTREŞİM ANALİZİ Titreşim analizi her bir uzuv için ayrı yapılır. 2 nolu uzuv için A noktasındaki bağ kuvveti F 23, O noktasındaki bağ kuvveti F 12, tahrik momenti T 2, ve yayılı yerçekimi ile atalet kuvvetlerinin toplamı hareket boyunca herhangi bir anda sıfıra eşittir. 3 nolu uzuv için A noktasındaki bağ kuvveti F 23, B noktasındaki dış kuvveti F B, tahrik momenti T 3, ve yayılı yerçekimi ile atalet kuvvetlerinin toplamı hareket boyunca herhangi bir anda sıfıra eşittir. Analizde tüm kuvvetlerin x' ve y' bileşenleri göz önünde bulundurulur. Bu bileşenler zamana göre değişmektedir. Titreşim analizi için Şekil 4 de gösterilen eşdeğer sistem göz önünde bulundurulur. Bu sistemde 2 nolu uzuv için O noktasındaki, 3 nolu uzuv için B noktasındaki dairesel bağ noktası üzerindeki tüm düğüm noktalarının ankastre olduğu kabul edilmiştir. Bağ kuvvetlerinden daha çok düğüm noktalarındaki kuvvetler ve momentler sistemin titreşimine sebebiyet vermektedir. Visual Basic 3. da geliştirilen bir bilgisayar programı (Analysis.Frm) ile I-DEAS da sonlu elemanlar titreşim analizini yapmak için veri dosyası (program file) hazırlanır. Bu veri dosyası her bir uzuv için ayrı isimle, analiz için oluşturulur (Link2.Prg,Link3.Prg). Bu program ρ, d, t m, N değerlerini her bir uzuv için okur. Her bir an için lokal orijinin ivmesinin x' ve y' bileşenlerini bununla birlikte her bir uzvun açısal konumunu, hızını ve ivmesini okur. 2 nolu uzva etki eden kuvvet F 23 ve değerleri katı cisim dinamiği ile bulunur. 3 nolu uzva etki eden kuvvet F B ve bu dış kuvvetin değerleri uç noktanın girdilerinin hazırlanması sırasında bulunur. Her iki kuvvet içinde x' ve y' bileşenleri kullanılır. Burada t m hareket süresi yani periyot, N zaman aralık sayısını, N+1 ise adım sayısını vermektedir. Aynı zamanda 798

6 (Analysis.Frm), I-DEAS da katı modelleme sırasında veri dosyası (program file) olarak alınan, her bir uzuv için düğüm noktalarının lokal koordinat değerlerini ve kabuk elemanların düğüm noktalarının numaralarını da okur. Daha sonra bu program Link2.Prg ve Link3.Prg şeklinde iki farklı dosyaya, her bir düğüm noktasındaki yayılı kuvvetleri ve uzuvlara etki eden kuvvetleri (F 23, F B ) her an için tanımlar. Son aşamada ise, bu dosyalar titreşim analizi için kullanılır ve her bir uzuv için titreşimler ayrı olarak I-DEAS da hesaplatılır. 6. SONUÇ Elde edilen sonuçlar için Tablo 1 de verilen değerler kabul edilmiştir. Manipülatör uzuvlarının malzemesi Alüminyum seçilmiştir. Tablo 1. Alüminyum uzuvların mekanik/fiziksel özellikleri ve boyutları Özellikler Sembol Uzuv 1 Uzuv 2 Elastisite modülü (mmn/mm 2 ) E 71x1 6 71x1 6 Poisson oranı ν.3.3 Yoğunluk (kg/mm 3 ) ρ 2.77 x x1-6 Kalınlık d 5 5 Uzunluk L 4 6 Yükseklik (sol) b Yükseklik (sağ) b Köşe yuvarlatmaları r a Bağlantı delikleri D a 3 3 Ağırlık merkezi L G Kütle (kg) m Atalet momenti (kgmm 2 ) I G Zamana bağlı değişen düğüm noktalarındaki kuvvetlerin x' ve y' bileşenleri 2 nolu uzuv için 643. düğüm noktasında (A noktası), üç nolu uzuv için 741. düğüm noktasında (B noktası) Şekil 5a ve 5b de gösterilmiştir. Dış yük F B = N alınmıştır. Her bir düğüm noktasındaki kuvvetler yere göre değişmekte, dolayısıyla birbirinden farklı olup, her an için değişmektedir. 2 ve 3 nolu uzuvlar için sırasıyla, A ve B noktalarında hareket boyunca ve hareket sonrasında elde edilen titreşim eğrileri Şekil 6 da verilmiştir. Soldaki grafikler hareket boyunca, sağdaki grafikler ise hareket sonrası zaman cevaplarıdır. Değerlendirilen zaman cevapları sadece y' doğrultusundadır. x' doğrultusundaki titreşimler düşük olması nedeniyle ihmal edilmiştir. Elde edilen sonuçlarda, uç noktanın devir sayısı 1 d/d, buna karşılık hesaplanan periyot.6 s için tüm analizler yapılmıştır. Son adımda, her iki uzvun uç noktalarının dairesel delikler üzerindeki düğüm noktalarındaki zaman cevaplarının ortalamaları hesaplanır. Bulunan zaman cevapları toplandıktan sonra dairesel yörünge üzerine dönüştürülür. Elde edilen zaman cevabı sistemin titreşimini verir. İlk hareket girdisinde impulsif etkilerden dolayı tireşim genlikleri çok büyüktür. İlk hareket girdisi için hareketin başlangıcı ve sonundaki -, + değerleri çok küçük bir Δt anı için nümerik bir değer olarak modellenmiştir. Dairesel yörünge üzerindeki titreşimler harmonik hareket girdisi ile başarıyla azaltılmıştır. Her bir hareket girdisi sonucu elde edilen zaman cevaplarının hareket boyunca ve hareket sonrasındaki maksimum ve minimum genlikleri Tablo 2 de verilmiştir. 799

7 Aşağıda analiz numaralarının hangi hareket girdilerine karşılık geldiği belirtilmiştir. Analiz No: 1. Sabit Hızlı Hareket Girdisi 2. Sabit İvmeli Hareket Girdisi 3. Harmonik Hareket Girdisi Tablo 2. F B = ve N d =1 d/d için titreşim genlikleri Hareket boyunca Hareket sonrası Analiz No Maksimum Deplasman Minimum Deplasman Maksimum Deplasman Minimum Deplasman x Şekil Şekil 5. Düğüm noktasındaki kuvvetlerin x-y bileşenleri, a) A noktasındaki kuvvetin dağılımı, b) B noktasındaki kuvvetin dağılımı Şekil 7 de yüksüz durumda, aynı devir sayılarında dairesel yörünge üzerinde bulunan titreşim eğrileri gösterilmiştir. Rijit yörünge üzerindeki sapmalar 25 ile çarpılmıştır. Harmonik hareket girdisi ile sistemin en iyi cevabı verdiği ve istenilen yörüngeyi diğer girdilere göre daha iyi takip ettiği görülür. Eğer manipülatör uzuvları rijit olsaydı, sistemin uç noktasında herhangi bir sapma dolayısıyla titreşimler meydana gelmeyecekti. Böylelikle, sistem verilen yörüngeyi takip edecekti.yüksek titreşim genlikleri, yörünge üzerinde yüksek sapmalar ve a) b)

8 daha az hassas sistemler anlamına gelmektedir. Esneklikten dolayı yörünge üzerinde titreşimler meydana gelir. Aynı zamanda, titreşimin seviyesini belirlemede uzuvların malzeme özellikleri ve geometrisi ile birlikte yayılı dinamik kuvvetlerin yeri ve zamanı da oldukça öneme sahiptir. Uç noktanın titreşimlerini, bu çalışmada tanımlandığı gibi bilgisayar destekli tasarım ve bilgisayar destekli mühendislik prosedürleri ile hesaplamak mümkündür. Bu yaklaşım dizayn esnasında, tasarımcıya istenen hassasiyet değerine ulaşıncaya kadar mümkün olan değişiklikleri yapmasına imkan tanır. Daha hassas sistemler ve titreşim seviyelerini düşürmek için farklı kontrol algoritmaları geliştirilebilir a) b) c) Şekil 6. a) Sabit hızlı hareket girdisinin zaman cevabı, çalışma esnasında (soldaki), çalışma sonrası (sağdaki), b) Sabit ivmeli hareket girdisinin zaman cevabı, çalışma esnasında (soldaki), çalışma sonrası (sağdaki), c) Harmonik hareket girdisinin zaman cevabı, çalışma esnasında (soldaki), çalışma sonrası (sağdaki) 81

9 1 Rijit Yörünge Sabit Hiz Girdisi 5 R a) Rijit Yörünge Sabit Ivme Girdisi 5 R b) Rijit Yörünge Harmonik Girdi 5 R c) Şekil 7. Dairesel yörünge üzerindeki sapmalar, a) Sabit hızlı hareket, b) Sabit ivmeli hareket, c) Harmonik hareket. 82

10 KAYNAKLAR 1. I Zeid, CAD/CAM Theory and Practice, McGraw-Hill, New York, Erdman, A. G., 1993, Modern Kinematics, Developments in the Last Forty Years, Wiley Interscience, Wiley & Sons, Inc., Chapter Liang- Wey Chang and J. F. Hamilton, Dynamics of Robotic Manipulators With Flexible Links, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 113, pp , W. Gawronski, C.-H.C.Ih, S. J. Wang, On Dynamics and Control of Multi-link Flexible Manipulators, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 117, pp , M. W. D. White and G. R. Heppler, Vibration of a Rotating Timoshenko Beam, ASME Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 118, pp , October E. H. K. Fung and Z. X. Shi, Vibration Frequencies of a Constrained Flexible Arm Carrying an End Mass, Journal of Sound and Vibration (1997), 24, M H Lawry, I-DEAS Master Series, Mechanical CAE\CAD\CAM Software Student Guide, Structural Dynamics Research Corporation, Milford, OH, A. Ankarali, H. Diken, Vibration Control of an Elastic Manipulator Link, Journal of Sound and Vibration, Vol. 23(1), pp , December Mark H. Lawry 1998, I-DEAS Master Series TM, Structural Dynamics Research Corporation 2, Eastman Dr., Milford, OH Giovanni Mimmi, Paolo Pennachi, Pre-shaping Motion Input For a Rotating Flexible Link, International Journal of Solids and Structures, 38, , J. E. Shigley, J. J. Uicker, JR., 1995, Theory of Machines and Mechanisms, Singapore: McGraw-Hill 12. Mechanical Dynamics Inc., ADAMS User Manuals, Memik Yanik, 1996, Visual Basic 3. For Windows. Istanbul: Beta Basim A.S. 14. Myzska, D.H., Machines and Mechanisms, Applied Kinematics Analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,