K UZUVLU MANPÜLATÖRÜN YÖRÜNGE TASARIMI LE TTREM KONTROLÜ. Levent MALGACA ve Hira KARAGÜLLE Makina Mühendislii Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi

Transkript

1 1. ULUSAL MAK3NA TEOR3S3 SEMPOZYUMU Selçuk Üniversitesi, Konya, Eylül 1 ÖZET K UZUVLU MANPÜLATÖRÜN YÖRÜNGE TASARIMI LE TTREM KONTROLÜ Levent MALGACA ve Hira KARAGÜLLE Makina Mühendislii Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi Bu çal%&mada iki uzuvlu düzlemsel bir manipülatörün esnekliinin dairesel bir i& yörüngesi üzerindeki etkisi Bilgisayar Destekli Tasar%m (CAD) prosedürü kullan%larak incelenmi&tir. Burada uç noktan%n yörüngesi ve uç noktaya uygulanan i&letme yükü girdi olarak tan%mlanm%&t%r. Aç%sal konumlar, h%zlar ve ivmeler ile gerekli d%& motor momentleri kat% cisim dinamii teorisiyle hesaplanm%&t%r. Her bir uzuv üzerine etki eden kuvvetler, momentler ve tüm düüm noktalar%na da%t%lm%& atalet kuvvetleri hesapland%ktan sonra esneklikten dolay% meydana gelen titre&imler Bilgisayar Destekli Tasar%m program% olan I-DEAS ile elde edilmi&tir. Bu titre&imlerin i& yörüngesi üzerindeki etkisi analiz edilmi&tir. Manipülatör uç noktas%n%n istenen i& yörüngesinden sapmalar%, uç noktaya verilen farkl% hareket erileriyle kontrol edilmi&tir. 3& yörüngesine uygulanan dei&en hareket girdilerinin i& yörüngesindeki takip hassasiyetine etkisi incelenmi&tir. Yörünge tasar%m% ile titre&imin aç%k devre kontrolünün salanabilecei gözlenmi&tir. ABSTRACT In this study, the effect of the flexibility on the circular path of a planar two-link flexible manipulator is studied using computer-aided design (CAD) procedures. The end point trajectory and the payload are defined as inputs. The angular positions, velocities, and accelerations, and the joint forces and the necessary external motor torques are calculated by using the rigid body dynamics. The forces and torques acting on the each link and the distributed inertial forces are used as the inputs to I-DEAS. The effect of the vibration of the links on the end point trajectory is analyzed. The deviations of the end point from the required trajectory are studied with different motion input curves. The effect of changing the motion inputs applied to the work path to follow the trajectory is analyzed. It is observed that the open-loop control of vibration can be achieved by the design of the motion input. 1. GR Bir makinan%n a%rl%% azald%%nda, i&letme yükü veya h%z% artt%r%ld%%nda esnekliin etkisi artar. Yüksek h%zlarda çal%&an, daha fazla yük ta&%yan bununla birlikte daha hafif makinalar dizayn etmek istenir. Bilgisayar Destekli Tasar%m ve Bilgisayar Destekli Mühendislik alan%ndaki geli&meler, bu makinalar%n dizayn edilmesindeki ilerlemelere imkan tan%r. Pratikte, CAD sistemlerinden farkl% gruplar dei&ik amaçlara yönelik faydalan%rlar [1]. Baz%lar% teknik resim çizimleri için yararlan%rken, baz%lar% da örnein sonlu elemanlar analizi gibi mühendislik analizlerini yapmak için faydalanabilir. Makine mühendisleri ürün geli&tirme ve analiz a&amas%nda, bu sistemleri kat% modelleme, montaj, hareket ve kuvvet analizi, sonlu eleman titre&im ve ömür analizlerini belirlemek için kullan%rlar. Ticari CAD/CAE yaz%l%mlar%nda, bu görevler ayr% modüllerde yap%lmas%na kar&%n bu modüller ortak bir veri taban% kullan%rlar. Bu yay%nda, iki uzuvlu düzlemsel bir manipülatörün esnekliinin i& yörüngesi üzerindeki etkisi, bilgisayarla bütünle&mi& analiz yakla&%m% ile incelenir. Bu mekanizmalar üzerine 3 y%l% a&k%n bir süredir çal%&%lmaktad%r []. Esnek manipülatörlerin dinamii ve kontrolü üzerine yap%lan çal%&malar Kaynak 3-4 de bulunabilir. Esnek mekanik sistemler geni& ve aktif bir ara&t%rma alan%na sahip olup, hala güncelliini korumaktad%r [5,6]. 1

2 Bu çal%&mada, manipülatörü olu&turan uzuvlar, sabit bir kal%nl%a sahip üç boyutlu ve dei&ken kesitli parçalar olarak bir CAD yaz%l%m% olan I-DEAS %n kat% modelleme modülünde olu&turulur [7]. Ayn% zamanda uzuvlar%n sonlu elemanlar modülü için de I-DEAS kullan%l%r. Manipülatörün hareket ve kuvvet analizi ise kat% cisim dinamii yakla&%m% ile Visual Basic de geli&tirilen bir program taraf%ndan yap%l%r [13]. Bu programda, her bir uzuv üzerine etki eden zamana bal% dei&en yay%l% atalet kuvvetleri için veri dosyas% haz%rlan%r. Haz%rlanan bu veri dosyas% sonlu elemanlar analizinde I-DEAS taraf%ndan kullan%l%r. Hareket boyunca uç noktaya verilen hareket girdisine bal% olarak, dairesel i& yörüngesi üzerinde manipülatörün titre&imlerinin etkisi ve kontrolü incelenir. Böylece, meydana gelen istenmeyen titre&imlerin azalt%lmas% için aç%k devre kontrolü bu sisteme ba&ar%yla uygulanm%&t%r.. BLGSAYAR DESTEKL DNAMK ANALZ Bu çal%&mada ele al%nan sistemin &ematik çizimi Jekil 1 de gösterilmi&tir. 3lk uzuv için eleman numaras%, ikinci uzuv için eleman numaras% 3 olarak gösterilir. Buna göre ve 3 nolu elemanlar için s%ras%yla aç%sal konumlar, 3, her bir eleman üzerine etki eden d%& momentler, T ve T 3 tür. R B = OB uç noktan%n konum vektörü, F B ise i&letme yüküdür ve bu yükün her an için dairesel yörünge üzerinde ve yar% çapa dik ayn% zamanda sabit genlikte olduu kabul edilmi&tir. L = OA ve L 3 = AB her bir uzvun uzunluunu, m ve m 3 kütlelerini, I G ve I G3 ise bu uzuvlar%n atalet momentlerini temsil eder. Burada x ve y global (sabit), x' ve y' ise lokal (hareketli) koordinatlard%r.yukar%da gösterilen manipülatörde her bir uzvun kat% ve sonlu elemanlar modeli I-DEAS da olu&turulmu&tur. Bu uzuvlar%n boyutsal parametreleri Jekil üzerinde gösterilmi&tir. Bu modellerde lineer dikdörtgen kabuk elemanlar (linear quadrilateral shell elements) kullan%lm%&t%r. I-DEAS da her bir uzuv için kal%nl%k ve malzeme tipi girilerek olu&turulan kat% modelden, bu uzuvlar%n kütleleri (m ve m 3 ), a%rl%k merkezleri (x G ', y G ' ve x G3 ', y G3 ') ve z yönündeki a%rl%k merkezlerine göre atalet momentleri (I G ve I G3 ) elde edilir. Dinamik analiz Jekil 1 de gösterilen e&deer sistem için kat% cisim dinamii yakla&%m% ile yap%lm%&t%r [11]. Göz önünde bulundurulan sistem için bu analizler Visual Basic de geli&tirilen bir program ile tamamlanm%&t%r. Bununla birlikte daha kompleks sistemlerde analizler için I-DEAS %n Master Assembly ve Mechanism Design modülleri veya dier bilgisayar destekli mühendislik yaz%l%mlar% olan ADAMS dan faydalan%labilir [9,1]. y' y T A T3 3 RB 3 B Ro FB x' x O Jekil 1. 3ki uzuvlu düzlemsel manipülatör 1

3 ra b1 Da b L Jekil. Uzuvlar%n geometrik modeli ve boyutsal parametrelerin gösterimi 3. HAREKET GRDLER Jekil 1 de gösterilen manipülatörün özel kullan%m alanlar% ve &artlar% göz önünde bulundurulursa bu sistem için aç%k devre kontrol benimsenebilir. Üstelik aç%k devre kontrolünde sitemin hareketi ve kontrolünde minimum enerji ihtiyac%na gereksinim duyulur. Buna kar&%l%k, kapal% devre kontrolü daha karma&%k olup daha fazla enerji gereksinimine ve düzeltmelere ihtiyaç duyulur. Esnek sitemlerin aç%k devre kontrol problemi daha önce bir çok yazar taraf%nda da ele al%nm%&t%r [8, 1]. Bu çal%&malarda yerle&me zaman% ayarlanarak dei&ik hareket girdileri ve optimal kontrol teorisiyle birlikte, hareket esnas%ndaki ve hareket sonras%ndaki (art%k) titre&imler incelenmi&tir. Bu çal%&mada, dei&ik hareket girdileri sistemimize uygulanm%& olup çal%&ma esnas%nda ve sonras%nda meydana gelen titre&imlerin bu hareket girdileri ile azalt%lmas% tart%&%lm%&t%r. Burada üç tip hareket girdisi ele al%nm%&t%r. Bunlardan ilki sabit h%zl% hareket girdisidir. Sabit h%zl% hareket en basit girdi olmakla birlikte, hareketin ba&lang%c% ve sonu, ivmede sonsuz dei&imler göstermekte, bu da büyük genliklerde istenmeyen titre&imlere neden olmaktad%r. Hareket girdilerinden ikincisi sabit ivmeli harekettir. Sabit ivmeli harekette ise impulsif etkiler olmamas%na ramen ani dei&imler söz konusudur. Harmonik hareket üçüncü ve son hareket girdisidir. Burada ise h%z ve ivmedeki ani dei&imlerin olmamas% dolay%s%yla yumu&ak geçi&lerin olmas% çal%&ma süresince meydana gelen titre&im genliklerine olumlu etkide bulunmaktad%r. Manipülatörün hareket girdilerinin dinamik karakteristiklerinde kullan%lan bilimsel adland%rmalar &öyledir. H = Uç noktan%n yükselme an% için maksimum yer dei&tirmesi. T = Yükselme an% için geçen zaman, periyot. = Manipülatörün uç noktas%n%n herhangi bir an için aç%sal konumu d = Manipülatörün uç noktas%n%n herhangi bir an için aç%sal h%z% = dt d = Manipülatörün uç noktas%n%n herhangi bir an için aç%sal ivmesi = dt 3.1. Sabit H4zl4 Hareket Girdisi En basit hareket girdisidir. Sabit h%zl% hareket girdisinde h%z%n uniform olmas%ndan dolay% dorusal artan bir deplasman diyagram%n% karakterize eder. Sabit h%zl% hareketin yükselme an% için dinamik karakteristikleri Jekil 3.a da gösterilmi&tir. 3.. Sabit vmeli Hareket Girdisi Sabit ivmeli hareket bir yükselme an% boyunca verilen zaman aral%% için mümkün olan en küçük ivme deerini üretir. Deplasman diyagram% biri artan sabit ivmeli, dieri azalan sabit ivmeli olmak üzere iki parçaya bölünür. Deplasman diyagram%n%n her bir yar%s% parabolün 3

4 aynadaki görüntüsüdür. Bu hareket ayn% zamanda sabit pozitif ve negatif ivmelere sahip olan parabolik veya yerçekimi hareketi olarak da adland%r%l%r. Sabit ivmeli hareketin dinamik karakteristikleri yükselme an% için Jekil 3.b de gösterilir. Ancak, hareketin sonlar%nda ve geçi& noktalar%ndaki ani dei&imler atalet kuvvetlerinde ani dei&imlere neden olaca%ndan istenmeyen titre&imlere neden olur Harmonik Hareket Girdisi Harmonik hareket trigonometrik fonksiyonlardan türetilir ve oldukça yumu&ak bir hareket erileri sergiler. Bu hareket erileri yukar%daki dier erilere göre kesin bir ilerleme gösterir. H%z ve ivme erileri daha yumu&ak ve süreklidir. Ancak, ivmede hareketin her iki ucu ani dei&imlere sahiptir ve bu dei&imlerden dolay% yüksek h%zlardaki uygulamalarda iyi sonuç al%namaz. Harmonik hareketin yükselme an% için dinamik karakteristikleri Jekil 3.c de gösterilir. Hareket girdilerinin denklemleri Kaynak [14] de verilmi&tir. Tüm hareket girdileri için H= (rad) olarak al%nm%&t%r a) b) Jekil 3. Hareket girdileri, a) Sabit h%zl% c) hareket girdisi, b) Sabit ivmeli hareket girdisi, c) Harmonik hareket girdisi 4

5 4. YAYILI ATALET KUVVETLER Manipülatörün herhangi bir uzvu için sonlu elemanlardan birinin alan% A ve bu alan%n merkezi P olsun (Jekil 4). Bu eleman için atalet kuvveti yakla&%k olarak - d A a P olarak hesaplan%r. Burada a P, P noktas%n%n ivmesidir. Negatif i&aret D Alembert prensibine dayanmaktad%r [11]. Her bir uzvun aç%sal hareketini bilerek, örnein lokal orijin veya a%rl%k merkezi gibi özel bir noktan%n hareketi, a P kat% cisim dinamiinde verilen formülü kullanarak hesaplanabilir. a P = a + X ( X R) + X R, burada aç%sal h%z vektörü, aç%sal ivme vektörü, a özel bir nokta için hesaplanm%& ivme vektörü, R al%nan özel noktan%n P noktas%na göre konum vektörüdür [11]. Jekil 1 de gösterilen ve üzerinde çal%&%lan sistem için nolu uzuv için bu özel nokta O, 3 nolu uzuv için bu özel nokta A noktas%d%r. a, ivme deeri O noktas% için s%f%r iken A noktas%nda her an için dei&en deerlere sahiptir. Ele al%nan sonlu eleman için atalet kuvveti - d A a P, kabuk eleman%n 4 düüm noktas%na e&it olarak bölünerek da%t%l%r. Böylece atalet kuvvetleri tüm düüm noktalar%na yay%l%r. Benzer yakla&%mla yerçekimi kuvvetleri de her bir uzuv üzerinde tüm düüm noktalar%na da%t%labilir. P, Eleman4n merkezi Jekil 4. Uzuvlar%n sonlu elemanlar modeli 5. SONLU ELEMANLAR LE TTREM ANALZ Titre&im analizi her bir uzuv için ayr% yap%l%r. nolu uzuv için A noktas%ndaki ba kuvveti F 3, O noktas%ndaki ba kuvveti F 1, tahrik momenti T, ve yay%l% yerçekimi ile atalet kuvvetlerinin toplam% hareket boyunca herhangi bir anda s%f%ra e&ittir. 3 nolu uzuv için A noktas%ndaki ba kuvveti F 3, B noktas%ndaki d%& kuvveti F B, tahrik momenti T 3, ve yay%l% yerçekimi ile atalet kuvvetlerinin toplam% hareket boyunca herhangi bir anda s%f%ra e&ittir. Analizde tüm kuvvetlerin x' ve y' bile&enleri göz önünde bulundurulur. Bu bile&enler zamana göre dei&mektedir. Titre&im analizi için Jekil 4 de gösterilen e&deer sistem göz önünde bulundurulur. Bu sistemde nolu uzuv için O noktas%ndaki, 3 nolu uzuv için B noktas%ndaki dairesel ba noktas% üzerindeki tüm düüm noktalar%n%n ankastre olduu kabul edilmi&tir. Ba kuvvetlerinden daha çok düüm noktalar%ndaki kuvvetler ve momentler sistemin titre&imine sebebiyet vermektedir. Visual Basic 3. da geli&tirilen bir bilgisayar program% (Analysis.Frm) ile I-DEAS da sonlu elemanlar titre&im analizini yapmak için veri dosyas% (program file) haz%rlan%r. Bu veri dosyas% her bir uzuv için ayr% isimle, analiz için olu&turulur (Link.Prg,Link3.Prg). Bu program, d, t m, N deerlerini her bir uzuv için okur. Her bir an için lokal orijinin ivmesinin x' ve y' bile&enlerini bununla birlikte her bir uzvun aç%sal konumunu, h%z%n% ve ivmesini okur. nolu uzva etki eden kuvvet F 3 ve deerleri kat% cisim dinamii ile bulunur. 3 nolu uzva etki eden kuvvet F B ve bu d%& kuvvetin deerleri uç noktan%n girdilerinin haz%rlanmas% s%ras%nda bulunur. Her iki kuvvet içinde x' ve y' bile&enleri kullan%l%r. Burada t m hareket süresi yani periyot, N zaman aral%k say%s%n%, N+1 ise ad%m say%s%n% vermektedir. Ayn% zamanda 5

6 (Analysis.Frm), I-DEAS da kat% modelleme s%ras%nda veri dosyas% (program file) olarak al%nan, her bir uzuv için düüm noktalar%n%n lokal koordinat deerlerini ve kabuk elemanlar%n düüm noktalar%n%n numaralar%n% da okur. Daha sonra bu program Link.Prg ve Link3.Prg &eklinde iki farkl% dosyaya, her bir düüm noktas%ndaki yay%l% kuvvetleri ve uzuvlara etki eden kuvvetleri (F 3, F B ) her an için tan%mlar. Son a&amada ise, bu dosyalar titre&im analizi için kullan%l%r ve her bir uzuv için titre&imler ayr% olarak I-DEAS da hesaplat%l%r. 6. SONUÇ Elde edilen sonuçlar için Tablo 1 de verilen deerler kabul edilmi&tir. Manipülatör uzuvlar%n%n malzemesi Alüminyum seçilmi&tir. Tablo 1. Alüminyum uzuvlar%n mekanik/fiziksel özellikleri ve boyutlar% Özellikler Sembol Uzuv 1 Uzuv Elastisite modülü (mmn/mm ) E 71x1 6 71x1 6 Poisson oran%.3.3 Younluk (kg/mm 3 ).77 x x1-6 Kal%nl%k d 5 5 Uzunluk L 4 6 Yükseklik (sol) b Yükseklik (sa) b 6 5 Kö&e yuvarlatmalar% r a Balant% delikleri D a 3 3 A%rl%k merkezi L G Kütle (kg) m Atalet momenti (kgmm ) I G 1 99 Zamana bal% dei&en düüm noktalar%ndaki kuvvetlerin x' ve y' bile&enleri nolu uzuv için 643. düüm noktas%nda (A noktas%), üç nolu uzuv için 741. düüm noktas%nda (B noktas%) Jekil 5a ve 5b de gösterilmi&tir. D%& yük F B = N al%nm%&t%r. Her bir düüm noktas%ndaki kuvvetler yere göre dei&mekte, dolay%s%yla birbirinden farkl% olup, her an için dei&mektedir. ve 3 nolu uzuvlar için s%ras%yla, A ve B noktalar%nda hareket boyunca ve hareket sonras%nda elde edilen titre&im erileri Jekil 6 da verilmi&tir. Soldaki grafikler hareket boyunca, sadaki grafikler ise hareket sonras% zaman cevaplar%d%r. Deerlendirilen zaman cevaplar% sadece y' dorultusundad%r. x' dorultusundaki titre&imler dü&ük olmas% nedeniyle ihmal edilmi&tir. Elde edilen sonuçlarda, uç noktan%n devir say%s% 1 d/d, buna kar&%l%k hesaplanan periyot.6 s için tüm analizler yap%lm%&t%r. Son ad%mda, her iki uzvun uç noktalar%n%n dairesel delikler üzerindeki düüm noktalar%ndaki zaman cevaplar%n%n ortalamalar% hesaplan%r. Bulunan zaman cevaplar% topland%ktan sonra dairesel yörünge üzerine dönü&türülür. Elde edilen zaman cevab% sistemin titre&imini verir. 3lk hareket girdisinde impulsif etkilerden dolay% tire&im genlikleri çok büyüktür. 3lk hareket girdisi için hareketin ba&lang%c% ve sonundaki -, + deerleri çok küçük bir t an% için nümerik bir deer olarak modellenmi&tir. Dairesel yörünge üzerindeki titre&imler harmonik hareket girdisi ile ba&ar%yla azalt%lm%&t%r. Her bir hareket girdisi sonucu elde edilen zaman cevaplar%n%n hareket boyunca ve hareket sonras%ndaki maksimum ve minimum genlikleri Tablo de verilmi&tir. 6

7 A&a%da analiz numaralar%n%n hangi hareket girdilerine kar&%l%k geldii belirtilmi&tir. Analiz No: 1. Sabit H%zl% Hareket Girdisi. Sabit 3vmeli Hareket Girdisi 3. Harmonik Hareket Girdisi Tablo. F B = ve N d =1 d/d için titre&im genlikleri Hareket boyunca Hareket sonras4 Analiz No Maksimum Deplasman Minimum Deplasman Maksimum Deplasman Minimum Deplasman x ekil Jekil 5. Düüm noktas%ndaki kuvvetlerin x-y bile&enleri, a) A noktas%ndaki kuvvetin da%l%m%, b) B noktas%ndaki kuvvetin da%l%m% a) Jekil 7 de yüksüz durumda, ayn% devir say%lar%nda dairesel yörünge üzerinde bulunan titre&im erileri gösterilmi&tir. Rijit yörünge üzerindeki sapmalar 5 ile çarp%lm%&t%r. Harmonik hareket girdisi ile sistemin en iyi cevab% verdii ve istenilen yörüngeyi dier girdilere göre daha iyi takip ettii görülür. Eer manipülatör uzuvlar% rijit olsayd%, sistemin uç noktas%nda herhangi bir sapma dolay%s%yla titre&imler meydana gelmeyecekti. Böylelikle, sistem verilen yörüngeyi takip edecekti.yüksek titre&im genlikleri, yörünge üzerinde yüksek sapmalar ve b)

8 daha az hassas sistemler anlam%na gelmektedir. Esneklikten dolay% yörünge üzerinde titre&imler meydana gelir. Ayn% zamanda, titre&imin seviyesini belirlemede uzuvlar%n malzeme özellikleri ve geometrisi ile birlikte yay%l% dinamik kuvvetlerin yeri ve zaman% da oldukça öneme sahiptir. Uç noktan%n titre&imlerini, bu çal%&mada tan%mland%% gibi bilgisayar destekli tasar%m ve bilgisayar destekli mühendislik prosedürleri ile hesaplamak mümkündür. Bu yakla&%m dizayn esnas%nda, tasar%mc%ya istenen hassasiyet deerine ula&%ncaya kadar mümkün olan dei&iklikleri yapmas%na imkan tan%r. Daha hassas sistemler ve titre&im seviyelerini dü&ürmek için farkl% kontrol algoritmalar% geli&tirilebilir a) b) c) Jekil 6. a) Sabit h%zl% hareket girdisinin zaman cevab%, çal%&ma esnas%nda (soldaki), çal%&ma sonras% (sadaki), b) Sabit ivmeli hareket girdisinin zaman cevab%, çal%&ma esnas%nda (soldaki), çal%&ma sonras% (sadaki), c) Harmonik hareket girdisinin zaman cevab%, çal%&ma esnas%nda (soldaki), çal%&ma sonras% (sadaki) 8

9 1 Rijit Yörünge Sabit Hiz Girdisi 5 R a) Rijit Yörünge Sabit Ivme Girdisi 5 R b) Rijit Yörünge Harmonik Girdi 5 R c) Jekil 7. Dairesel yörünge üzerindeki sapmalar, a) Sabit h%zl% hareket, b) Sabit ivmeli hareket, c) Harmonik hareket. 9

10 KAYNAKLAR 1. I Zeid, CAD/CAM Theory and Practice, McGraw-Hill, New York, Erdman, A. G., 1993, Modern Kinematics, Developments in the Last Forty Years, Wiley Interscience, Wiley & Sons, Inc., Chapter Liang- Wey Chang and J. F. Hamilton, Dynamics of Robotic Manipulators With Flexible Links, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 113, pp , W. Gawronski, C.-H.C.Ih, S. J. Wang, On Dynamics and Control of Multi-link Flexible Manipulators, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 117, pp , M. W. D. White and G. R. Heppler, Vibration of a Rotating Timoshenko Beam, ASME Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 118, pp , October E. H. K. Fung and Z. X. Shi, Vibration Frequencies of a Constrained Flexible Arm Carrying an End Mass, Journal of Sound and Vibration (1997), 4, M H Lawry, I-DEAS Master Series, Mechanical CAE\CAD\CAM Software Student Guide, Structural Dynamics Research Corporation, Milford, OH, A. Ankarali, H. Diken, Vibration Control of an Elastic Manipulator Link, Journal of Sound and Vibration, Vol. 3(1), pp , December Mark H. Lawry 1998, I-DEAS Master Series TM, Structural Dynamics Research Corporation, Eastman Dr., Milford, OH Giovanni Mimmi, Paolo Pennachi, Pre-shaping Motion Input For a Rotating Flexible Link, International Journal of Solids and Structures, 38, 9-3, J. E. Shigley, J. J. Uicker, JR., 1995, Theory of Machines and Mechanisms, Singapore: McGraw-Hill 1. Mechanical Dynamics Inc., ADAMS User Manuals, Memik Yanik, 1996, Visual Basic 3. For Windows. Istanbul: Beta Basim A.S. 14. Myzska, D.H., Machines and Mechanisms, Applied Kinematics Analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,