BELİRSİZ TALEPLER İLE ENVANTER KONTROLU. Yrd.Doç.Dr.S.Kerem AYTULUN

Transkript

1 BELİRSİZ TALEPLER İLE ENVANTER KONTROLU Yrd.Doç.Dr.S.Kerem AYTULUN

2 Rasgelelik Örnek-1 2 Envanter Modelleri bağlamında rasgeleliği bir örnek üzerinde açıklamaya çalışacağız. Bir gazete bayii, her Pazar bilgisayar dergisi satın almaktadır. Her bir dergiyi 25 Krş a satın almakta ve 75 Krş a satmaktadır. Satılmayan dergiler ise tanesi 10 Krş tan ana bayiiye iade edilmektedir. Gazete bayii haftalık bazda söz konusu dergiye olan talepleri kayıt altına almıştır. Bu talepler, gerçekte satılan dergi sayıları ile müşterinin istemesine rağmen elde kalmamış olan yani karşılanmamış olan talepleri de içermektedir.

3 Örnek-1 3 Bilgisayar dergisinin 52 haftalık talep durumu Talep paterni diye adlandırabileceğimiz farkedilebilir bir patern yoktur, dolayısıyla herhangi bir haftanın satışlarının ne olacağını kestirmek mümkün değildir. Bu tip durumlarda yapılabilecek olan şey verilere ait histograma bakmak olacaktır.

4 Frequency Örnek-1 4 Histogram Talep Değeri Herhangi bir haftada talebin 10 adet olma olasılığı =? Herhangi bir haftada talebin 15 olma olasılığı =? Herhangi bir haftada talebin 9 veya daha az olma ihtimali =? Bütün Olasılıklar Seti Deneysel Olasılık Dağılımı

5 Örnek-1 5 Deneysel olasılıkların; Gerçek talep değerlerinin kayıt altına alınması ve takip edilmesini gerektirmesi, Talep dağılımının örneğimizde olduğu gibi (23) çok sayıda olasılıkla açıklanıyor olması ve Deneysel olasılık dağılımları ile optimal envanter kurallarının hesaplanmasının güçlüğü sebebiyle kullanımı uygun değildir. Bu sebeple sürekli dağılımlar kullanılarak talep geçmişi ifade edilmeye çalışılır. Envanter modellerinde en yaygın kullanılan sürekli dağılım ise normal dağılımdır.

6 Normal Dağılım Örnek-1 6 Ortalama Varyans 2 D (tarihsel verilerin ortalaması) ile tahmin edilir. s 2 (tarihsel verilerin varyansı) ile tahmin edilir. D 1, D 2,..., D n ; n tarihsel veriler olmak üzere; 1 D n i1 1 n D n 2 s Di D n 1 i1 i 2

7 Örnek-1 7 D ve s 2 nin bulunması için MS Excel den de faydalanılır. D = 11,73 s 2 = 22,47 s = 4,74 Ayrıca normal dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu 1 x 2 1 f ( x) e x 2 2 D s

8 Örnek-1 8 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 Histogram grafiğindeki y ekseni değerleri yani gözlenen satış frekasnları 52 ye bölünmüş, ayrıca normal dağılım olasılık yoğunluk fonklsiyonu da ortalaması 11,73, standart sapması da 4,74 alınarak hesaplanmış ve kırmızı çizgi ile gösterilmiştir. 0,04 0,

9 Rasgelelik 9 Pratikte tekrarlı bir şekilde talebin ortalama ve standart sapma tahminlerini elde etmek amacıyla üstel düzeltme kullanılır. Ayrıca standart sapma MAD yani ortalama mutlak hata (mean absolute deviation) kullanılarak tahmin edilir. D t ile D t talebinin tahmini ve MAD t ile de MAD ın tahmini gösterilirse; D D (1 ) D t t t1 MAD D D (1 ) MAD 0 1 t t t1 t1 düzeltme katsayısı olarak isimlendirilir. Ayrıca Normal dağılım kabulünden hareketle 1,25*MAD olarak hesaplanabilir.

10 Eniyileme Ölçütü 10 Üretim Problemleri Eniyileme Minimum Maliyet Envanter Kontrolunda Blinmeyen Talepler Stokastik Eniyileme Teknikleri Beklenen Maliyet Minimizasyonu

11 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 11 Örnek-1 e geri dönersek, bayii, Pazar günleri için kaç adet bilgisayar dergisi alması gerektiğini hesaplamak istemektedir. Daha önce hesaplandığı gibi, tarihsel veriler üzerinde yapılan çalışma sonucunda görülmüştür ki, herhangi bir haftadaki talepler, ortalaması 11,73 ve standart sapması 4,74 olan bir rasgele değişkendir. Ayrıca her bir dergi 25 Krş a satın alınmakta ve 75 Krş a satılmaktadır. Satılmayan her bir dergi için kendisine yayıncı kuruluş tarafından 10 Krş ödenmektedir.

12 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 12 Bu problemin mümkün olan çözümlerinden biri bayiinin ortalama talep olan 12 adet dergi alması olabilir. Ancak bu durumda bir kısım talepleri karşıladığında elinde dergi artabilecektir. Bu durumda; Artan her bir dergi için = 15 Krş harcama olacaktır. Artan dergi durumuyla aynı frekansta gerçekleşebilecek olan kısa kalma durumu da olabilir. Bu durumda; Karşılayamadığı her bir dergi için = 50 Krş kâr kaybı olacaktır. Sezgilerimiz bize karşılayamama durumunun daha yüksek bir maliyeti olduğu düşüncesinden hareketle ortalama değer olan 12 adetten daha fazla temin etmesi gerektiğini söylemektedir. Ama ne kadar?

13 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 13 Bu problem bir gazateci çocuk örneği olup, tek bir ürün için periyodun başında sipariş edilen miktar sadece o periyot süresince talepleri karşılamak için kullanılabilir. İlgili bütün maliyetlerin dönem sonu envanterine uygun olarak belirleneceği kabul edilsin. c o : c u : D : Q : Dönem sonunda elde kalan envanterin birim maliyeti (Overage) Karşılanamayan talebin birim maliyeti (Underage) Talep. Yoğunluk fonksiyonu f(x) ve kümülatif dağılım fonksiyonu F(x) olan sürekli, negatif olmayan rasgele değişken. Karar değişkeni. Dönem başında satın alınan miktar. Analizin amacı dönem sonunda beklenen maliyetleri minimize eden Q miktarının belirlenmesidir.

14 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 14 Maliyet Fonksiyonunun Geliştirilmesi Stokastik envanter problemlerinin analizinde izlenen yol genel olarak aşağıdaki gibidir: 1. Rasgele değişken D ve karar değişkeni Q nun bir fonksiyonu olarak maliyeti gösteren bir formülün geliştirilmesi, 2. Talebin yoğunluk fonksiyonu veya olasılık fonksiyonu ile bu formülün beklenen değerinin belirlenmesi, 3. Beklenen maliyet fonksiyonunu minimize eden Q değerinin belirlenmesi. Öncelikle D kadar talep ve Q kadar sipariş verilmesi durumunda dönem sonunda oluşan toplam overage ve underage maliyetleri gösteren G(Q,D) fonksiyonunu belirlenmesi gerekir.

15 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 15 Maliyet Fonksiyonunun Geliştirilmesi Öncelikle D kadar talep ve Q kadar sipariş verilmesi durumunda; Q D ise dönem sonunda Q D kadar ürün oluşur. Eğer Q < D ise Q D negatif değer alır ve elde kalan miktar «0» olur. Bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir; max QD,0 Q D Eğer Q Dise 0 Eğer Q Dise

16 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 16 Maliyet Fonksiyonunun Geliştirilmesi Aynı şekilde max D Q, 0 tedarik edilen üründen fazla talep olması durumunu ifade eder. Yani dönem sonunda karşılanmayan talep miktarını vermektedir. Rasgele değişken olan D nin herhangi bir değeri için ya max Q D, 0 ya da max D Q, 0 dan biri «0» değerini alacaktır. G( Q, D) c max Q D,0 c max D Q,0 o u

17 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 17 Maliyet Fonksiyonunun Geliştirilmesi Beklenen maliyet fonksiyonu elde edilmeye çalışıldığından, bir rasgele değişkenin oluşturduğu fonksiyonun beklenen değerinin bulunması kuralına uygun olarak aşağıdaki ifade yazılabilir: G( Q) c max(0, Q x) f ( x) dx c max(0, x Q) f ( x) dx o u 0 0 Q c ( Q x) f ( x) dx c ( x Q) f ( x) dx o 0 u Q

18 Leibniz Kuralı G(Q) Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 18 Q o u 0 Q G( Q) c ( Q x) f ( x) dx c ( x Q) f ( x) dx Q dg( Q) c 1 f ( x ) dx c u ( 1) f ( x ) dx dq o 0 c F( Q) c (1 F( Q)) o u Q dg( Q) c o F ( Q ) c u(1 F ( Q )) dq ( c c ) F( Q) c 0 o u u Q* Q FQ ( ) cu ( c c ) o u

19 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 19 F Q = c u (c u :c o ) olarak adlandırılır. formülünün sağ tarafın kritik oran Burada F Q değeri, dönem başında Q kadar sipariş verilmesi durumunda talebin Q değerini geçmeme olasılığını vermektedir. Bu değer karşılanmış talep oranı değildir. Eğer overage ve underage maliyetler eşitse, kritik oran 0,5 tir. Bu durumda Q değeri talep dağılımının medyanına eşittir. Dağılım simetrik ise (normal dağılım gibi) bu durumda ortalama ve medyan eşittir.

20 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 20 Örneğimize geri dönersek; haftalık taleplerin ortalaması μ = 11,73 ve standart sapması σ = 4,74 olan bir normal dağılıma uyduğunu görmüştük. Verilen maliyet bilgilerinden yola çıkarak 25 Krş a satın alınan bir dergi satılamaması durumunda yani overage durumunda 10 Krş a iade ediliyordu. Bu durumda overage maliyeti = = 15 Krş olur. Ayrıca derginin 75 Krş a satıldığı düşünülürse; Geri çevrilen her bir dergi talebi için de =50 Krş luk bir underage maliyet oluşur. Bu durumda kritik oran = 50 / (15+50) = 0,77 olur.

21 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-1 21 Bu sonuç; bütün haftalık taleplerin %77 ihtimalle karşılanmasını sağlayacak yeterli sayıda dergi alması anlamına gelir. Bu durumda standart normal dağılım tablosundan z değeri okunur. z=0,74 bulunur. Sonuç olarak her hafta alması gerken miktar; Q* z (4, 74)(0, 74) 11, 73 15, 24 15adet Bu problem deneysel olasılıklar ile de çözülebilir. (KO=0,77) Kesikli Talep durumu...

22 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-2 22 Q f(q) F(Q) Q f(q) F(Q) 0 1/52 1/52 (0,0192) 12 4/52 30/52 (0,5769) 1 0 1/52 (0,0192) 13 1/52 31/52 (0,5962) 2 0 1/52 (0,0192) 14 5/52 36/52 (0,6923) 3 0 1/52 (0,0192) 15 5/52 41/52 (0,7885) 4 3/52 4/52 (0,0769) 16 1/52 42/52 (0,8077) 5 1/52 5/52 (0,0962) 17 3/52 45/52 (0,8654) 6 2/52 7/52 (0,1346) 18 3/52 48/52 (0,9231) 7 2/52 9/52 (0,1731) 19 3/52 51/52 (0,9808) 8 4/52 13/52 (0,2500) /52 (0,9808) 9 6/52 19/52 (0,3654) /52 (0,9808) 10 2/52 21/52 (0, /52 52/52 (1,0000) 11 5/52 26/52 (0,5000) Büyük olan seçilir.

23 G(Q) Gazeteci Çocuk Modeli 23 Örneğimizde başlangıç envanteri sıfır olarak alınmıştı. Bağlangıç envanterinin «u» gibi bir değer ve u>0 olduğunu varsayılım. Normalde böyle bir durum dergiler için söz konusu olmaz ancak başka ürün çeşitleri için mümkündür. Eğer u < Q* ise (Q* - u) kadar sipariş ver. Eğer u > Q* ise sipariş verme. Q* Q

24 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-2 24 Örnek-1 de verilen bilgilere ilave olarak, gazete bayiinin hfata başında başka bir tedarikçiden 6 dergi bulduğunu varsayalım. Bu durumda sipariş miktarının 15 dergi olması gerektiğinden; Q*=15 ve u=6 olduğundan 15-6=9 adet sipariş vermesi uygun olacaktır.

25 Gazeteci Çocuk Modeli 25 Çoklu Planlama Dönemi Durumu Önceki newsboy probleminde tek dönemlik olarak hesaplanan sipariş miktarı, bu dönem içinde tüketilmekte ve daha sonraki dönemlerde ortaya çıkabilecek talepler göz önüne alınmamakta idi. Gerçek hayatta belirli bir dönem sonunda elde bulunan ürünler bir sonraki dönemin talebini karşılamak için de destek olabilir.

26 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-3 26 Bayiinin aylık olarak sipariş ettiği bir sözlük için hesaplamaları nasıl yaptığını çoklu dönem durumu için inceleyelim. Bir önceki dönem satılmayan sözlüklerin, takip eden dönemde satılması için bekletildiğini düşünelim. Ayrıca stokusuz kalma sebebiyle sözlük bulamayan müşterilerin bir sonraki ayı beklediğini de varsayalım. Bayii sözlüğü 1,15TL ye almakta ve 2,75TL ye satmaktadır. Bir sonraki ayı bekleyen müşteriler için «iyi niyet kaybı» için de 50 Krş. luk bir maliyet hesaplanmıştır. Sözlüğe olan aylık talep, ortalaması 18 ve standart saplamsı 6 olan normal dağılıma uymaktadır. Bayii elde bulundurma maliyeti için %20 lik bir faiz hesaplaması durumunda ay başında ne kadar sipariş vermeksi gerektiğini hesaplayalım.

27 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-3 27 Elde bulundurma maliyeti (h): I.c=0,20*1,15=0,23 TL/ adet-yıl 0,23/12=0,0192 TL/adet-ay h=c o =0,0192 ve c u =50 Krş. olduğuna göre kritik oran; c u c u :c o = 0,5 0,5:0,0192 = 0,963 Normal dağılım tablosundan 0,963 olasılık değerine denk gelen z değeri 0,79 olduğundan; Q = σz + μ = 6 0, = 28,74~29 adet

28 Gazeteci Çocuk Modeli - Örnek-3 28 Aynı sözlüğün diğer bir kitapçıda da bulunduğunu, bizim bayii de bulunmadığı taktirde müşterilerin bu kitapçıdan söz konusu sözlüğü satınaldığını düşünelim. Bu durumda bizim bayii için siparişler ertelenmek yerine kaybedilmiş olacaktır. Bu durumda underage maliyet, hem iyi niyet kaybı hem de kâr kaybı olarak düşünülür. Birim kayıp kâr = 2,75-1,15=1,60 olacağından yeni c u değeri 0,5+1,6=2,1 olacaktır. Elde bulundurma maliyeti değişmeyeceğinden kritik oran c u 2,1 = c u :c o 2,1:0,0192 Q = σz + μ = 6 = 0,9909 olacaktır. 2, = 32,16~32 adet

29 Çalışma Sorusu-1 29 Bir unlu mamuller fırını her sabah simit üretmektedir. Simite olan talepler aşağıdaki tabloda verildiği şekilde rasgele bir değişkendir. Bir günde satılan simit sayısı Olasılık 0 0,05 5 0, , , , , , ,05

30 Çalışma Sorusu-1 30 Simitin tanesi 8 Krş a yapılmakta ve 35 Krş a satılmaktadır. Satılamayan yani elde kalan simitler ise tanesi 3 Krş a bir hayır kurumuna verilmektedir. Verilen kesikli dağılıma göre, fırının günde kaç adet simit üretmesi gerektiğini hesaplayınız. Verile kesikli dağılım yaklaşık olarak normal dağılıma uyuyor ise bu durumda üretilmesi gereken simit sayısı kaçtır? Daha önce verilen yanıt ile karşılaştırınız.

31 Çalışma Sorusu-2 31 Bir matbaa firması bir tebrik kartını yılda bir kez üretim ülkeye dağıtmaktadır. Kart 50 Krş. a basılmakta ve 65 Krş a satılmaktadır. Kart yılda bir kez o yıla özel basıldığından bir daha kullanılamamakta ve satılamayan kartlar atılmaktadır. Geçmiş deneyimler ve tahmin çalışması sonucunda ortaya çıkan miktarlar ve olasılıkları tabloda verilmiştir. Bu bilgilere göre firma kaç adet kart basmalıdır?

32 Çalışma Sorusu-2 32 Satılan Miktar Olasılık , , , , , , ,05

33 Parti Büyüklüğü-Yeniden Sipariş Noktası Sistemleri 33 Daha önce incelenen temel EOQ modelinde yeniden sipariş noktası (R), ve değerinden elde ediliyordu. Çoklu newsboy problemi ise problem iki açıdan gerçekçi değildir: Siparişi vermenin hazırlık maliyetini dahil etmez ve Pozitif temin süresine müsade etmez. Bu bölümde envanter işletme kuralı (Q,R) formu şeklinde gösterilecek olup rasgele talepler için hem Q hem de R değeri bağımsız karar değişkenleri olarak ele alınacaktır. Newsboy probleminde Q değeri... a kadar sipariş anlamına gelirken burada ise Q sipariş miktarını gösterecektir.

34 Parti Büyüklüğü-Yeniden Sipariş Noktası Sistemleri 34 Bu sistemde kullanılan ön kabuller aşağıda sıralanmıştır: Sistem sürekli gözden geçirme kuralını kullanır. Bunun anlamı, talepler olduğu gibi kayıt altına alınır ve elde bulunan envanter her daim bilinmektedir. Talep rasgele ve değişmezdir. Talebin değerini tahmin edemeyiz ancak herhangi bir sabit zaman aralığında beklenen talep sabittir. ( birim/yıl). Pozitif temin süresi bulunmaktadır. Maliyetler aşağıda sıralandığı gibidir: K TL lik bir hazırlık maliyeti h kadar yıllık bir birim elde bulundurma maliyeti c TL lik birim başına sipariş maliyeti p TL lik birim karşılanamayan talep veya kısa kalma maliyeti (ceza maliyeti oalrak da bilinir.)

35 Talebin Tanımlanması 35 Newsboy probleminde talep, periyot boyunca en uygun rasgele değişken özelliği göstermektedir. Şu an incelenen sistemlerde ise ile tanımlanan temin süresi boyunca oluşan talep ile ilgilenilmek zorunluluğu vardır. Temin süresi boyunca oluşan talep, pdf si f(x) ve cdf si F(x) olan sürekli bir rassal değişkendir. μ = E D ve σ = var(d)

36 Karar Değişkenleri 36 Bu tip problemlerde Q ve R olmak üzere iki adet karar değişkeni tanımlanır. Q; parti büyüklüğü veya sipariş büyüklüğü R; envanter birimi cinsinden yeniden sipariş seviyesi Temin süresinin çok uzun olduğu zamanlarda önceki sipariş ulaşmadan önce bir sipariş daha verilebilir. Bu tip durumlarda eldeki ve siparişteki envanter miktarı toplamı yani envanter pozisyonu yeniden sipariş noktası karar değişkeni olarak envanter seviyesi yerine kullanılır.

37 37 Beklenen Maliyet Fonksiyonun Eldesi Burada kullanılan analitik prosedür, newsboy probleminde olduğu gibi, karar değişkenleri olan Q, R cinsinden beklenen ortalama yıllık maliyet fonksiyonunun tanımlanması ve ardından Q, R nin en iyi değerlerinin maliyet minimizasyonunu sağlamak açısından tespiti şeklinde olacaktır. Bu amaçla; Elde bulundurma Hazırlık Ceza ve Sipariş maliyetlerinin nasıl ifade edilmesi gerektiğine bakılacaktır.

38 Elde Bulundurma Maliyeti 38 Daha önce de belirtildiği gibi λ ile yıllık ortalama (beklenen) talep hızı ifade edilmektedir. s ile emniyet stoğu gösterilirse beklenen envanter seviyesi s ile Q + s arasında bir yerlerde olacaktır. Emniyet stoğu, verilen bir siparişin gelmesinden hemen önce, beklenen elde bulundurulan envanter olarak tanımlanabilir ve s = R λτ ile hesaplanır.

39 Elde Bulundurma Maliyeti 39 Q Eğim λ s T = Q/λ Elde Bulundurma Maliyeti = s + Q 2 h = R λτ + Q 2 h

40 Hazırlık Maliyeti 40 Q Eğim λ s T = Q/λ Birim zamanda oluşan ortalama hazırlık maliyeti K T = Kλ Q

41 Ceza Maliyeti 41 Ceza maliyeti, temin süresi boyunca talebin yeniden sipariş seviyesini aşması durumunda ortaya çıkan bir maliyettir. E max D R, 0 = x R f x dx R Yukarıdaki ifade n(r) şeklinde gösterilir. n(r) bir çevrimde beklenen stoksuz kalma miktarını göstermektedir. Birim zamanda gösterilirse; n(r) T = λn(r) Q olur.

42 Oransal Sipariş Maliyeti Bileşeni 42 Uzun bir zaman süresinde gözlem yapıldığında envantere giren ürün miktarı ve envanterden çıkan ürün miktarı aynıdır. Bu durum, uzun zaman periyotları için her olurlu envanter kuralının talep hızı kadar envanter malı sipariş edeceği anlamına gelmektedir. Bu durumda sipariş maliyeti λc şeklinde ifade edilir. Dikkat edilecek olursa λc ifadesi Q ve R den bağımsız olduğundan göz ardı edilecektir. Ancak söz konusu sipariş maliyeti endirekt olarak h = I. c formülü ile hesaplamaya ilave edilmiş olmaktadır.

43 Maliyet Fonksiyonu 43 G(Q, R) ile beklenen ortalama yıllık elde bulundurma, hazırlık ve ceza maliyeti toplamı gösterilirse; G Q, R = h Q 2 + R λτ + Kλ Q + pλn(r)/q olur.

44 Maliyet Fonksiyonu 44 Çözüm prosedürü, Q ve R nin ardışık iki değeri aynı olana kadar aşağıdaki formüllerin kullanımını gerektirmektedir. Q = 2λ K:pn(R) h 1 F R = Qh pλ (1) (2) Prosedür Q 0 = EOQ ile başlar ve ikinci formülden R 0 hesabı ile devam eder. R nin bu değeri n(r) nin hesaplanması için kullanılır ve daha sonra da birinci formülden Q 1 in hesaplanması için kullanılır. Hesaplama Q 1 in kullanılarak R 1 hesabı ile devam eder. Genellikle iki veya üç iterasyon sonunda yakınsama olur.

45 45 Maliyet Fonksiyonu Talebin normal dağılıma uyduğunda, n R standardize kayıp fonksiyonu (standardized loss function) ile bulunabilir. Standardize Kayıp Fonksiyonu L(z) aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır: L z = z t z φ t dt Burada φ t standart normal yoğunluk fonksiyonudur. Temin süresi boyunca oluşan talep, ortalaması μ ve standart sapması σ olan bir normal dağılıma uyuyor ise; n R = σl R;μ σ Burada z = R;μ σ = σl(z) olduğuna dikkat ediniz.

46 Örnek-4 46 Bir şarküteri, ürünlerinden birini kavanozu 10TL den ve 6 aylık temin süresi ile satın almaktadır. Firma elde bulundurma maliyetinin hesaplanmasında %20 yıllık bileşen faiz oranı hesaplamış olup, ürüne talep varken ürünü elde bulundurmamasından dolayı iyi niyet kaybı olarak 25TL/kavanoz maliyet belirlemiştir. Hazırlık maliyeti olarak da 50TL lik bir masraf hesaplamıştır. Firma 6 aylık temin süresi boyunca ortalama 100 kavanozluk bir talep olacağını tahmin etmektedir. Temin süresi boyunca oluşan talep oldukça değişkenlik göstermekte olup standart sapması 25 olan normal dağılıma uyduğu tespit edilmiştir. Firmanın ürüne ilişkin envanter yenileme işleminine şekilde kontrol etmesi gerektiğini hesaplayınız.

47 Örnek-4 47 Öncelikle EOQ hesaplanacağından yıllık talep miktarının tespiti gerekir. Örnekte 6 aylık talebin ortalama 100 kavanoz olduğu bilindiğinden bir genelleme yapılarak yıllık 200 kavanozluk ortalama bir talebin varlığından bahsedebiliriz. Bu durumda; EOQ = 2Kλ/h = (2)(50)(200)/(0,2)(10) = 100 Q 0 = 100 olduğunda R 0 değerini bulmak için aşağıdaki işlemler yapılır: 1 F R 0 = Q 0h = = 0,04 pλ Tablodan 1 F R 0 değerini veren z değeri 1,75 olarak okunur. R 0 = σz + μ = 25 1, = 144 ve yine tablodan z = 1,75 için L z = 0,0162 değeri okunur. Bu değerler ile n R = σl z = 25 0,0162 = 0,405 hesaplanır. Buradan da Q 1 değeri hesaplanabilir: Q 1 = 2λ K:pn(R) h = (2)(200) (25)(0,405) = 110

48 Örnek-4 48 Hesaplamalara aynı şekilde devam edildiğinde R 1 = R 2 = 143 ve Q 2 = 111 olarak bulunur. Bu durumda envanter kontrol kuralı Q, R = (111,143) olarak tespit edilir. Bunun anlamı firmanın bu ürüne ait envanteri 143 kavanoz olduğunda, 111 kavanozluk sipariş vermesi gerektiğidir.

49 Örnek-4 49 Örneğimizde emniyet stok seviyesini bulmak istersek; s = R μ = = 43 kavanozdur. Ortalama yıllık elde bulundurma, hazırlık ve ceza maliyeti (111,143) kuralına göre; Elde bul.= h Q 2 197TL/yıl. Hazırlık= K λ Q Ceza = pλn R Q + R μ = = 50 = 90,09TL/yıl 111 = , = = 20,61TL/yıl Toplam maliyet ise 307,70TL/yıl olarak bulunur.

50 Örnek-4 50 İki sipariş verme arasında geçen ortalama zaman ise; T = Q λ = = 0,556 yıl = 6,7 ay dır. Bir sipariş verme çevriminin % kaçında stoksuz kalınmayacağı ise temin süresince stoksuz kalmama olasılığının bulunması ile tespit edilebilir; P D R = F R = 1 0,0444 = 0,9556 Sipariş çevriminin %95,56 sında stoksuz kalma olmayacaktır. Karşılanamayan talep oranı ise n R Q = 0, = 0,004 n(r) ile bir çevrimdeki beklenen stoksuz kalma miktarı belirlenmektedir.

51 Maliyet Fonksiyonu 51 Buraya kadarki açıklamalarda karşılanamayan talebin daha sonraki döenmde karşılandığı varsayılmıştır. Ancak gerçek hayatta özellikle parekende satış ortamında karşılanamayan bir talebin kaybedilmesi daha olasıdır. Stoksuz kalma durumu çok küçük bir ihtimalle gerçekleştiğinden birinci ve ikinci formüllerin kullanılmasında bir sakınca olmamakla beraber kayıp satış durumu söz konusu olduğunda ikinci formül aşağıdaki gibi değiştirilebilir: 1 F R = Qh/(Qh + pλ)

52 (Q, R) Sistemlerinde Hizmet Seviyeleri 52 Yöneticiler, stoksuz kalma birim maliyeti olan p nin tespitinde oldukça zorlanırlar. Bu sebeple ceza maliyetinin tespiti yerine hizmet seviyesinin belirlenmesi daha uygun bir yaklaşım olabilir. Buradaki hizmet seviyesinden kasıt talebin karşılanması olasılığıdır. Hizmet seviyesi periyodik ve sürekli sistemlere uygulanabilse de burada sadece sürekli sistemler ele alınacaktır. Sürekli sistemlerde Tip-1 ve Tip-2 hizmet olmak üzere iki hizmet seviyesi tanımlanmaktadır.

53 Tip-1 Hizmet 53 Bu durumda, temin süresi boyunca stoksuz kalmama olasılığının tespit edilmesi gerekir. Tip-1 hizmet kısıtı altında optimal (Q, R) değerinin tespiti şu şekilde yapılır: F R = α eşitliğini sağlayan R değerini belirle Q = EOQ yap. Burada α değeri stoksuz kalmama durumunun oluştuğu çevrimin bir oranı olarak algılanır. Tip-1 hizmet, kısa kalma oluşumunun miktar ve zamandan bağımsız olma durumları için idealdir. Örneğin bir üretim hattı, eksiklik 1 adet de olsa 100 adet de olsa duracaktır. Tip-1 örnek ifadesi; «Biz %95 hizmet sağlamak istiyoruz.» Bu ifade talebin oluştuğunda %95 inin karşılanacağı anlamına gelir. (Sipariş çevriminin %9% inde talep karşılanacak anlamına gelmez.)

54 Tip-2 Hizmet 54 Tip-2 hizmet, stoktan karşılanan talep oranını ölçer. Bu oran β ile gösterilir. Daha önce n(r)/q nun her bir çevrimdeki stoksuz kalmaya neden olan talep oranını gösterdiğini görmüştük. Bu durumda; n R Q = 1 β kısıtı yazılabilir. Q nun optimal değeri EOQ ile hesaplanamıyor olsa da EOQ optimale çok yakın bir sonuç vermektedir. Hesaplama kolaylığı avantajından faydalanmak için EOQ kullanılmasında bir sakınca bulunmamaktadır. Bu durumda; n(q) = EOQ(1 β) kullanılabilir.

55 Örnek-5 55 Örnek-4 de verilen durumu göz önüne alırsak, firmanın stoksuz kalma maliyeti olan 25TL den rahatsız olduğunu, bunu yerine hizmet seviyesi yaklaşımını kullanmak istediğini düşünelim. Bu amaça %98 lik bir hizmet amacı belirlediğini varsayalım. Tip-1 Hizmet için α = 0,98 varsayımından hareketle F R = 0,98 olur. Tablodan (Standart Normal Dağılım veya kayıp fonksiyon tablosundan) z = 2,05 olarak belirlenir. Buradan da; R = σz + μ = 25 2, = 151 kavanoz bulunur.

56 Örnek-5 56 Tip-2 Hizmet için β = 0,98 varsayımından hareketle aşağıdaki eşitliğin çözülmesi gerekir: n R = EOQ 1 β n R = σl z L z = EOQ 1;β σ = 100 1;0,98 25 = 0,08 Kayıp fonksiyon tablosundan z = 1,02 okunur ve daha sonra R = σz + μ = 25 1, = 126 kavanoz bulunur.

57 Örnek-5 57 Konunun daha iyi anlaşılması için aşağıdaki durumu göz önüne alalım. Sipariş Çevrimi Talep Stoksuz Kalma Tip-1 Hizmet? Tip-2 Hizmet?

58 Tip-2 Kısıtı Altında En İyi (Q, R) Kuralı 58 Tip-2 kısıtı altında EOQ ile hesaplanan değerin optimale yakın bir değer olduğu belirtilmişti. Daha iyi bir Q değeri bulmak için aşağıdaki formülleri bir kez daha ele alalım: Q = 2λ K:pn(R) h 1 F R = Qh pλ (1) (2)

59 Tip-2 Kısıtı Altında En İyi (Q, R) Kuralı formülde p yi yalnız bırakırsak; p = Qh/ 1 F R λ elde edilir. Bu ifadeyi 1.formülde yerine koyarsak; 2λ K:Qhn(R)/ 1;F(R))λ Q = İkinci dereceden h (quadratic) bir denklemdir. Pozitif kökü; Q = n(r) 1;F(R) + 2Kλ + n(r) h 1;F(R) Bu formül SOQ (Service Level Order Quantity) formülü olarak bilinir ve Tip-2 kısıtı altında optimal (Q, R) değerlerini verir. 3. formül ile beraber; n R = 1 β Q formülü de çözülür. (4. formül) Bu formülün hesaplanması için L z = 1 β Q/σ formülü ile standart z değerinin hesaplanması gerekir. 2 (3)

60 Tip-2 Kısıtı Altında En İyi (Q, R) Kuralı 60 Prosedür kısaca aşağıdaki gibi çalışır: Q 0 = EOQ Aşağıdaki formülü kullanarak R 0 ı bul. n R = 1 β Q R 0 ve aşağıdaki formülü kullanarak Q 0 i bul. Q = n(r) 1;F(R) + 2Kλ h + n(r) 1;F(R) Yukarıdaki işlemi Q ve R nin ardışık iki değeri yeterince yakın olana kadar tekrar et. (Genellikle 1 yaklaşık sonuç yeterlidir.) 2

61 Örnek-5 61 Örnek-5 in hesaplamalarında; Q 0 = EOQ = 100 R 0 = 126 n(r 0 ) = 0, = 2 bulunmuştu. z = 1,02 değeri için tablodan 1 F R 0 = 0,154 okunur. Bu durumda; Q 1 = n(r) 1;F(R) + 2Kλ h + n(r) 1;F(R) 2 Q 1 = 2 0, ,154 2 = 114

62 Örnek-5 62 n R = 1 β Q ve L z = 1 β Q/σ formülünden; n R 1 = 1 0,98 (114) 0, L z = = 0,0912z = 0,95 olur. 25 z = 0,95 değeri için; 1 F R 1 = 0,171 ve R 1 = σz + μ = 25 0, = 124 olur. Bir iterasyon daha gidildiğinde Q 2 = 114 ve R 2 = 124 bulunur ardışık değerler eşit olduğundan durulur. Sonuç olarak 0,98 karşılama oranı ile (Q, R) nin optimal değeri (114,124) olmuştur. Daha önce bulunan değerler (Tip-2 kısıtı altında) (100,126) idi.

63 Örnek-5 63 Bu değerlere göre elde bulundurma ve hazırlık maliyetleri hesaplanırsa; Elde Bulundurma= h Q 2 + R μ Hazırlık= K λ Q (100,126) için; Elde Bulundurma = Hazırlık = (114,124) için; = 100TL Elde Bulundurma = Hazırlık = = 88TL = 152TL = 162TL Toplam 252TL Toplam 250TL

64 64 Kısa Kalma (Ceza) Maliyetine Geçiş Hizmet seviyesi kullanıldığında p değerinin tespit edilmesine gerek kalmadan en iyi (Q, R) kuralının tespiti yapılmıştı. Bulunan çözüm ile birlikte ilişkili kısa kalma maliyeti kolaylıkla hesaplanabilir. Bunun için daha önce verilen ve aşağıda tekrarlanan 2. formül kullanılır: 1 F R = Qh pλ p = Qh/ 1 F(R) λ Tip-1 kısıtı ile bulunan (100,151) kuralı için; p = , = 50TL Tip-2 kısıtı ile bulunan (114,124) kuralı için; p = , = 6,67TL

65 65 Temin Süresi Talebinin Ölçeklendirilmesi Çözülen örneklerde temin süresi boyunca oluşan talep doğrudan verilmiştir. Bazen bu talep yerine belirli bir periyottaki talep de verilebilir. Buradan temin süresi talebine geçiş yapılması gerekir. Bunun için aşağıdaki tanımlar ile dönüşümler yapılır: λ =periyodik talebin ortalaması υ =periyodik talebin standart sapması τ =periyot cinsinden temin süresi μ =temin süresi ortalaması σ =temin süresi standart sapması ise μ = λτ ve σ 2 = υ 2 τ σ = υ τ olarak hesaplanır.

66 Örnek-6 66 Bir oto parçacısı, belirli bir parçaya olan haftalık talebin N(34; 12) (ortalaması 34, standart sapması 12 olan normal dağılım) olduğunu görmüştür. Tedarik süresi 6 haftadır. Temin süresi talep dağılımı belirleyiniz. μ = 34 6 = 204 ve σ = 12 6 = 29,39

67 Temin Süresinin Değişkenliği 67 Örneklerde temin süresinin τ gibi sabit bir değere eşit olduğu varsayılmıştır. Gerçek hayatta temin süresinde değişkenlikler olabilmektedir. Bu değişkenlik temin süresince oluşan talep üzerinde etkilidir. Bu sebeple temin süresindeki değişkenliğin temin süresi boyunca oluşan talep değeri ile ilişkilendirilmesi gerekmektedir.

68 Temin Süresinin Değişkenliği 68 Bunun için aşağıdaki tanımlar ile dönüşümler yapılır: τ : Ortalaması μ τ ve varyansı σ 2 τ olan rassal değişken Herhangi bir t süresince talep ortalaması λt ve varyansı υ 2 t dir. Temin süresi boyunca oluşan talebin ortalama ve varyansı ise; μ = λμ τ σ 2 = μ τ υ 2 + λ 2 σ 2 τ

69 Örnek-7 69 Örnek-4 deki şarküteri, talep ettiği bir zeytinyağı için temin süresinin zaman içerisinde değişkenlik gösterdiğini farketmiştir. Ortalama temin süresinin 4 ay ve standart sapmasının da 6 hafta olduğu anlaşılmıştır. Zeytinyağına duyulan aylık talebin ortalaması 15 şişe, standart sapması da 6 şişedir. Buna göre temin süresi boyunca talebin parametrelerini tespit ediniz.

70 Örnek-7 70 μ τ = 4 σ τ = 1,5 (6 hafta 1,5 ay) λ = 15 υ = 6 μ = μ τ λ = 4 15 = 60 σ 2 = μ τ υ 2 + λ 2 σ 2 τ = ,25 = 650,25

71 Negatif Emniyet Stoğu 71 Kısa kalma maliyeti veya hizmet seviyesi görece düşük ise bu durumda negatif emniyet stoğu durumu söz konusu olabilir. Bu durumu bir örnekle açıklayalım.

72 Örnek-8 72 Daha önce örnek-5 ve örnek-7 de incelenen şarküteriyi göz önüne alalım. Şarküteri bir et doğrama makinesi de satmaktadır. Makine çok pahalı ve hacimli olduğundan makine başına 50TL lik yüksek bir elde bulundurma maliyeti hesaplanmıştır. Firma yılda ortalama 20 adet satmakta ve yıllık talebin varyansını da 50 adet olarak hesaplamıştır. Yıllık talep normal dağılıma uymaktadır. Müşteriler bu makineyi satın almak için beklemeyi göze almaktadır ve kısa kalma maliyeti de düşük olup makine başına 25TL olarak hesaplanmıştır. Temin süresi 6 aydır. Sipariş hazırlık maliyeti 80TL dir. Sipariş verilecek miktar EOQ ile hesaplanmaktadır. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız: Optimal yeniden sipariş noktası? Emniyet stoğu? Tip-1 hizmet seviyesi (α=?) Tip-2 hizmet seviyesi (β=?)

73 Örnek-8 73 K = 80TL p = 25TL h = 50TL λ = 20 adet τ = 0,5 yıl Temin süresi talebi parametrelerinin bulunması gerekir. μ = λτ ve σ 2 = υ 2 τ σ = υ τ μ = (20)(0,5) = 10 ve σ = 50 0,5 = 5 EOQ = 2Kλ/h = (2)(80)(20)/(50) = 8

74 Örnek F R = Qh = 8 50 = 0,8 z = 0,84 pλ L z = 0,9520 R 0 = σz + μ = 5 0, = 5,8~6 EOQ kullanıldığından devam etmeye gerek yoktur ve optimal kural (8,6) dır. Emniyet Stoğu = s = R μ = 6 10 = 4 Tip-1 α = F R = 0,20 Tip-2 β = 1 n R Q σl z = 1 = 1 5 0,9520 Q 8 = 0,405