Modal Testte Ölçülemeyen FTF lerin Hesabı İçin Bir Yöntem

Transkript

1 Modal estte Ölçülemeyen FF lerin Hesabı İçin Bir Yöntem O. Çakar Fırat Üniversitesi Elazığ K.Y. Şanlıtürk İstanbul eknik Üniversitesi İstanbul Özet Modal test, yapıların dinamik davranışlarının belirlenmesinde kullanılan oldukça etkili bir yöntemdir. Yöntem, ilgilenilen yapının frekans tepki fonksiyonlarının (FF) ölçümüne ve bunların analizine dayanmaktadır. est yapısına bağlı olarak bazı durumlarda yapı üzerindeki bazı FF leri ölçmek oldukça zor veya mümkün olmayabilmektedir. Bu çalışmada pratik olarak ölçülemeyen ancak analiz için gerekli olan sürüş noktası FF sinin yardımcı bir kütle kullanılarak yapılacak ilave bir ölçümle hesaplanmasını sağlayacak bir yöntem sunulmuştur. Yöntemin geçerliliği sayısal bir uygulama ile gösterilmeye çalışılmış ve oldukça başarılı sonuçlar elde edilmiştir. yrıca FF ler üzerinde parazit olması durumunda yöntemin etkinliği incelenmiş ve tersrezonans bölgelerinde olumsuz olarak etkilendiği görülmüştür. nahtar kelimeler: modal test, frekans tepki fonksiyonu, titreşim bstract Modal testing is a very effective tool for the determination of the dynamic behaviours of the structures. he method is based on measurement of frequency response functions (FRFs) of the structure under test and their analysis. In some cases, the measurement of some FRFs may be very difficult or impossible in connection with the test structure. In this work, a method based on measurement of an additional FRF using a dummy mass is proposed for the calculation of un-measured point FRFs. he method is verified by a numerical example and very good results are obtained. However the efficiency of the method is investigated in the case of FRFs contaminated by noise and it is seen that it is adversely affected in the anti-resonance regions. Keywords: modal testing, frequency response function, vibration I Giriş Yapısal titreşimin deneysel çalışmaları, pratikte karşılaşılan titreşim olaylarının nedenlerini anlamada ve bunların kontrol edilmesinde önemli kolaylıklar sağlamaktadır. Bu amaçla, ya normal işletme şartlarında çalışan makina üzerindeki kuvvet ve cevaplar ölçülür ya da incelenen yapı veya eleman laboratuvar ortamında bilinen bir kuvvet veya kuvvetler ile tahrik edilerek yapının cevapları ölçülür. İkinci tip ölçümde daha yakın ve esnek bir ölçüm söz konusu olduğundan yapı hakkında daha doğru ve detaylı bilgiler elde etmek mümkündür. cakaro@firat.edu.tr sanliturk@itu.edu.tr sıl amacı deneysel veriler kullanılarak incelenen yapının matematiksel bir modelinin kurulması olan modal test işlemi; ölçümlerin alınması, ölçülen verilerin analiz edilmesi ve matematiksel modelin oluşturulması olmak üzere başlıca üç ana safhadan oluşmaktadır. Bu yaklaşım ile elde edilen FF verileri ve sonuçlar yapısal dinamiğin çok çeşitli alanlarında kullanılmaktadır. Modal testin en yaygın kullanım alanlarından biri sonlu elemanlar veya diğer teorik modeller kullanılarak elde edilen sonuçlar ile testlerden elde edilen sonuçların karşılaştırılmasıdır. Bazen de yapının teorik modelden elde edilen modal özelliklerinin ölçümle bulunan sonuçlara yaklaştırılması amacıyla teorik modelin düzeltilmesi yoluna gidilebilir. Bu işlem analitik modelin düzeltilmesi (updating) olarak adlandırılmaktadır. Modal testin bir başka uygulama alanı yapısal dinamik değişikliktir. Bu işlemde yapıya kütle ve yaylar eklenerek veya çıkarılarak yapılan değişikliklerin yapının dinamik özelliklerini nasıl etkilediği incelenir. Diğer bir uygulama alanı ise yapısal değişiklik kapsamında olan ve karmaşık yapıların teorik analizinde de sıkça kullanılan yapısal ayırma-birleştirmedir (substructuring-assembly, coupling-uncoupling). Bu işlemde; incelenen yapı alt sistemlere bölünür ve her bir sistem için matematiksel model oluşturulur, daha sonra bunlar belli usullere göre birleştirilerek ana yapının dinamik özellikleri belirlenmeye çalışılır. Bunların dışında modal test, makinalarda titreşime sebep olan kuvvetlerin belirlenmesi ve arıza tespiti gibi amaçlar için de kullanılmaktadır. Modal test ile ilgili basılı popüler kitaplar Ewins [1], McConnel [2] ve Maia ve Silva [3] nın kitaplarıdır. yrıca dinamik testler için hazırlanan D (Dynamic esting gency Handbook) el kitabı [4] başarılı bir test için stratejileri vermektedir. Deneysel çalışmalarda FF leri ölçülecek yapının sonlu elemanlarda olduğu gibi bir ağ yapısı oluşturulur ve düğüm noktalarına ait FF ler ölçülerek (1) de verilen FF matrisi oluşturulur. FF matrisi düğüm sayısı boyutunda simetrik bir kare matristir. ek eksende N ölçüm noktası için bu matrisin boyutu NxN dir. Frekansa bağlı olan bu matrisin her bir elemanının gösteriminde (H ij ) birinci indis tepki ölçüm koordinatını gösterirken ikinci indis kuvvet uygulama koordinatını göstermektedir. 1

2 H H H H H H H HN1 H N N Uygulamalarda ilgilenilen yapının dinamik özelliklerinin (doğal frekans, mod biçimi ve modal sönüm oranları) belirlenmesinde çoğunlukla FF matrisinin bir satırı veya sütunu oluşturulur. Örneğin modal çekiç kullanılarak yapılan ölçümlerde (ivmeölçer sabit tutulup çekiç gezdirilerek yapılır) FF matrisinin bir satırı; sarsıcı kullanılarak yapılan ölçümlerde (sarsıcı konumu sabit iken ivmeölçer gezdirilerek yapılır) ise FF matrisinin bir kolonu oluşturulur. Bununla birlikte modal testin yapısal ayırma-birleştirme gibi bazı uygulamalarında bu matrisin köşegen elemanlarının da oluşturulması gerekebilir. ncak pratikte test edilen yapıya bağlı olarak bazı FF leri ölçmek oldukça güç veya mümkün olmayabilir. Yapının geometrisi, çekiç kullanılarak yapılan testlerde bazı kritik noktalarda kaçınılamayan çift vuruş etkisi, sarsıcı kullanılarak yapılan testlerde sarsıcının başka bir konuma taşınmasının pratik olmayışı bu durumlara örnek olarak verilebilir. Silva vd.[5] modal testte karşılaşılan sistematik hatalardan transdüser kütle etkisini kaldırmaya çalışırlarken ölçülmeyen bazı FF lerin de hesapla türetilebileceğini gördüler ve sonraki çalışmalarında bu yöntemlerini sundular. Silva vd. [6] FF matrisini oluşturmak üzere her bir ölçüm noktasına sırayla yardımcı kütle ekleyip tahrik noktasındaki FF ile ilgili transfer FF yi tekrar ölçtükten sonra her bir kütlenin sırasıyla etkisini çıkararak tüm FF leri türetebildiler. Bu çalışmalarında kütle etkisini kaldırmak için yapısal bağlama/ayırma olarak bilinen yöntemi kullanmışlardır. Her bir yardımcı kütle ile ölçüm yapılırken bir önceki yardımcı kütle de sistem üzerinde bırakıldığından N inci ölçüm noktasına gidildiğinde N tane yardımcı kütle kullanılmasını gerektirmektedir. Silva vd. [7] bir sonraki çalışmalarında aynı yöntemi genelleştirerek sunmuşlardır. shory [8] yine transdüser kütle etkisini kaldırmak üzere yapısal bağlama/ayırma tekniğinden faydalanmıştır. shory iki farklı kütle kullanarak transfer FF ölçümünü tekrarlamış ve bu ikisini kullanarak transdüser kütle etkisi kaldırılmış FF lerin yanında ölçülmeyen bir FF yi de türetmiştir. ncak bu yöntemde matris tersi alma işlemi yapıldığından yardımcı kütle seçiminde dikkat edilmesi gerekmektedir. Çakar ve Şanlıtürk [9,10], sarsıcı kullanılarak yapılan FF ölçümlerinde ivmeölçerin etkisini kaldırmak üzere Sherman-Morrison (SM) [11] formülüne dayalı yapısal değişiklik tekniğini kullanan bir yöntem önermişlerdir. Bu yöntemde ihtiyaç duyulan bir FF yi elde etmek için ilgili noktaya yardımcı bir kütle eklendikten sonra sürüş noktası FF si ile transfer FF tekrar ölçülmektedir. NN (1) 2 Yapılan bir dizi işlemden sonra kütle etkisi kaldırılmış FF lerden başka yardımcı kütlenin koyulduğu noktaya ait ölçülmemiş FF de hesapla bulunabilmiştir. Bu problem son olarak Hosaya vd.[12] tarafından ele alınmıştır. Çalışmada ölçülmeyen sürüş noktası FF si için ivmeölçerin kütlesine nispeten daha küçük yardımcı kütle kullanımına dayalı bir yöntem sunulmuştur. FF ler üzerindeki parazitlerin (noise) yöntem üzerindeki olumsuz etkisi detaylı olarak incelenmiş ve deneysel bir uygulama da yapılmıştır. Yukarıdaki çalışmalarda [50], ölçülen FF lerden transdüser kütle etkisini çıkarırken aynı zamanda ölçülmeyen bazı FF lerin elde edilebileceği görülmüştür. Bu çalışmada ise transdüser kütle etkisini dikkate almaksızın herhangi bir nedenle ölçülemeyen ancak analiz için gerekli sürüş noktası FF sinin elde edilmesi ile ilgilenilmiştir. Bu amaçla ihtiyaç duyulan FF ölçüm noktasına yerleştirilen yardımcı bir kütle kullanılarak yapılacak ilave bir ölçümden faydalanılmıştır. II. eori Bu çalışmada sunulan yöntem matris teorisinden bilinen SM eşitliğine dayalı yapısal değişiklik tekniği kullanılarak geliştirilmiştir. şağıdaki bölümlerde önce bu tekniğin teorisi verilecek ve sonra çalışmada bahsedilen problem için önerilen çözüm tekniği verilecektir.. SM Formülüne dayalı yapısal değişiklik SM formülü, mevcut bir matriste yapılan bir değişiklik ile elde edilen yeni matrisin tersini ilk matrisin tersini ve değişim verilerini kullanarak doğrudan hesaplamaya yarayan bir formüldür. SM eşitliği ile değişiklik yapılmış bir matrisin tersini hesaplayabilmek için değişiklikten önceki matrisin tersi ve değişim vektörleri kullanılmaktadır. Bu eşitlik yardımıyla yeni matrisin tersi, herhangi bir matris tersi işlemine gerek kalmaksızın hesaplanabilmektedir. Bu durumu açıklayabilmek için tekil olmayan bir [] kare matrisi dikkate alınacak olursa, bu matriste [Δ]= u v gibi iki vektörün çarpımı şeklinde ifade edilebilen bir değişiklik yapılması sonucu elde edilen değiştirilmiş yeni matrisin tersi, SM formülü kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanabilmektedir [11]. u v 1+ v u (1) Burada [ ]=[ ]+ u v dir. Dinamik direngenliği [Z] ile ifade edilen lineer mekanik bir sistem üzerinde [Z] değişimi uygulanır ve dinamik direngenlik ile dinamik esneklik (receptance) arasındaki Z

3 bağıntısı dikkate alınırsa değiştirilmiş sistemin dinamik esnekliği, u v Z (2) 1 v u biçiminde ifade edilebilir. Burada [α ] matrisi, değişime uğramış sistemin dinamik esnekliği, {u} ve {v} ise değişim koordinatları haricindeki tüm elemanları sıfır olan kolon matrislerdir. Dinamik esneklik matrisi [] incelenen sistemin bütün FF lerinden oluşmaktadır. eorik uygulamalarda bu matrisin tümünü oluşturmak mümkün olmakla beraber deneysel uygulamalarda tüm FF leri ölçmek pratik bir yaklaşım değildir ve genellikle FF matrisinin sadece bir kolonunun veya bir satırının elemanları oluşturulur. FF matrisinin bir satırını veya bir sütununu kullanarak yapılacak bir modal analizden sonra tüm FF leri elde etmek mümkün olmakla birlikte ölçülmüş verilerdeki mevcut uyuşmazlıklar ve sistematik hatalar böyle bir hesaptan sonra elde edilecek FF lerin doğruluğuna olan güveni azaltır. yrıca bu şekilde oluşturulan FF ler için artık (residual) etkilerini dahil etmek zordur. Bu bakımdan (2) ifadesinin deneysel sistemler için kullanılmasının bazı zorlukları vardır. Bununla birlikte bu ifade sadece aktif koordinatları yani değişim, tahrik ve tepki koordinatlarını içerecek biçimde yazılabilir [13]: u v aa a aa aa aa aa (3) 1 va aaua Denklem (3) sadece aktif koordinatları kullanarak hesaplama yapmayı mümkün kılmaktadır. Bu durumda dikkate alınacak FF lerin sayısı aktif koordinatlarla sınırlı olduğundan birçok uygulamada incelenen sistemin serbestlik derecesi sayısından oldukça düşüktür. yrıca Çakar [9], bir yapı üzerinde r değişim koordinatını; p ve q ise sırasıyla tepki ve tahrik koordinatlarını, yani ölçüm koordinatlarını göstermek üzere değişime uğramış sistemin FF sinin doğrudan hesabı için genelleştirilmiş bir formül geliştirmiştir: uv r r ( rr prrq ) 1 uv r r rr Örneğin yapı üzerinde r koordinatına bir m kütlesi eklenirse u r =1, v r = 2 m olarak alınır. Bu formül Çakar ve Şanlıtürk [9,10,147] tarafından ölçülmüş FF lerdeki transdüser kütle etkisi ve mesnet etkileri gibi sistematik hataların düzeltilmesi için geliştirilmiştir. Bu çalışmada da modal testte ölçülemeyen FF lerin hesaplanmasında kullanılmak üzere geliştirilecektir. (4) B. Ölçülemeyen FF lerin hesabı için yöntem Yöntemi açıklamadan önce, pratik uygulamalarda daha çok ivme tipindeki FF lerin (inertance-accelerance) ölçüldüğü dikkate alınarak çalışmanın bundan sonraki bölümlerinde FF denildiğinde ivme tipindeki FF nin kastedileceğini ve bunun sembolü ile gösterileceğini belirtelim. Şekil 1 de görülen yapı üzerinde p ve q gibi iki ölçüm noktası göz önüne alınsın. Yapı üzerinde q noktasına ait sürüş noktası FF si qq ve p ile q noktaları arasındaki transfer FF nun ölçülebildiği ancak p noktasına ait sürüş noktası FF si pp nin gerekli olduğu halde herhangi bir kısıtlama nedeniyle ölçülemediği varsayılsın. Ölçülemeyen bu pp nin elde edilmesi için bu çalışmada şöyle bir yöntem önerilmektedir: p noktasına kütlesi m olan bir yardımcı kütle yerleştirip p ve q noktalarına ait transfer FF yi tekrar ölçelim. Bu durumda ölçülen bu FF üzerinde yardımcı kütlenin de etkisi bulunmaktadır. Bu etkiyi ifade edebilmek için bu ( ) FF yi p ile gösterelim. Burada (p) koordinatında bir kütle değişikliği söz konusudur. İncelenen sistemde p koordinatına bir m kütlesi eklendiğinde değiştirilmiş sistemin FF si; ( p) (5) 1 m biçiminde yazılabilir. Denklem (5), (4) denkleminde u r =1, v r = 2 m,r yerine p yazılarak ve ivme tipindeki FF ile dinamik esneklik arasında = 2 bağıntısının olduğu dikkate alınarak elde edilmiştir. Burada değişimin p koordinatında olduğunu göstermek için değiştirilmiş sistemin FF sinde () işareti yerine (p) üssü kullanılmıştır. Cevap p est yapısı Şekil 1. est edilen yapı üzerinde FF ölçümleri. pp a) qq ve nun ölçümü yardımcı kütle m p est yapısı q q ahrik ahrik b) Yardımcı kütle ile ( p) nun ölçümü 3

4 Dikkat edilirse bu denklemin paydasındaki pp p noktasına ait ölçülemeyen FF dir. ve ( p ) ise yardımcı kütle olmadan ve yardımcı kütle kullanılarak ölçülen transfer FF lerdir. Denklem (5) den pp çekilerek aşağıdaki gibi bulunur; pp 1 m ( p ) 1 Not olarak, burada ölçümlerde ivmeölçerlerin kütle etkisinin dikkate alınmadığını belirtmek gerekir. Bu etkilerin dikkate alınması gerektiği durumlarda yazarların [9,10,136] çalışmalarında sunulan yöntemler yardımıyla ivmeölçerlerin etkisi kaldırılabilir. III. Sayısal Uygulama Uygulama olarak Şekil 2 de verilen 80 cm uzunluğunda ve 2.5x1 (cm 2 ) kesit ölçülerindeki konsol bir kiriş dikkate alınmıştır. Kirişin elastisite modülü E=207x10 9 N/m 2, yoğunluğu = 7800 kg/m 3 ve poisson oranı =0.28 olarak alınmıştır. Konsol-kiriş FINES [18] sonlu elemanlar (SE) yazılımı ile modellenmiş olup modelde üç düğüm noktalı 3BEM03 elemanı kullanılmıştır. 24 elemana bölünen kiriş 49 düğüm noktasına sahiptir. Kirişin eğilmesine ait serbest titreşim analizi yapılarak 20 mod için öz değerleri ve öz vektörleri elde edilmiştir. Sistemin p tahrik ve q cevap koordinatını göstermek üzere değişiklik koordinatları ile ilgili FF leri; N 2 pr qr r 1 r irr (6) (7) bağıntısı yardımıyla 0.1 Hz adımlarla 0200 Hz frekans aralığında elde edilmiştir a) 6,6 ve nın ölçümü. yardımcı kütle b) Yardımcı kütle kullanarak nın ölçümü. Şekil 2. Sayısal uygulama için konsol kiriş ve yapılan ölçümler. m Burada N mod sayısı, pr ve qr sırasıyla r modu için cevap ve tahrik koordinatlarına ait öz-vektörler, r r modunun frekansı, zorlayıcı kuvvetin frekansı ve r modal sönüm oranıdır. Yöntemi açıklamak üzere basitlik için bu FF lerden p=42 ve q=6 alarak, 6,6 ve nın transdüser kütle etkisi olmadan deneysel olarak ölçülebildiğini, ancak ihtiyaç olduğu halde 42,42 nin herhangi bir nedenle ölçülemediğini varsayalım. Bu durumda mevcut FF matrisi aşağıdaki gibidir: 6,6 6,42? (8) Ölçülen iki FF Şekil 3 de verilmiştir. Burada matrisin (?) elemanı ihtiyaç duyulan ancak ölçülemeyen 42,42 dir. Karşılaştırma amacıyla 42,42 SE çözümünden elde edilmiş olup bundan sonra hedef FF olarak ifade edilecektir. Bu FF daha önce açıklandığı gibi 42 koordinatına yardımcı bir kütle yerleştirerek yapılacak ilave ölçüm yardımıyla hesaplanacaktır. Bu ilave ölçüm (veya 6,42 ) dir. Bu amaçla 42 koordinatına m=300 g lık bir kütle eklensin. İncelenen kirişin toplam kütlesi 1.56 kg olup yardımcı kütlenin etkisini açıkça görebilmek 42 için yeterince büyük seçilmiştir. ölçüldükten sonra (6) denklemi yardımıyla 42,42 elde edilecektir. Sayısal 42 benzetimde gerekli yi elde etmek için yine FINES SE yazılımından faydalanılmıştır. Bunun için kiriş üzerinde 42 koordinatına m=300 g lık bir kütle yerleştirilerek özdeğer ve özvektörler elde edilmiş ve sonrasında (7) denklemi yardımıyla da değiştirilmiş sisteme ait FF ler hesaplanmıştır. Buradan elde edilen FF yardımcı kütleli olarak ölçülen FF ler olarak isimlendirilmiştir. Yardımcı kütle kullanmadan ölçülen ve yardımcı kütle kullanarak ölçülen transfer FF ler 42 ve Şekil 4 de verilmiştir. Beklendiği gibi ilave kütle kullanılarak ölçülen FF de sistemin doğal frekanslarında düşüş olmaktadır. (6) denkleminden, ihtiyaç duyulan ancak deneysel kısıtlar nedeniyle ölçülemeyen FF aşağıdaki gibi hesaplanır: 1 42, 6 42,42 42 m 1 Burada bu FF nin hesapla bulunduğunu göstermek üzere () sembolü kullanılmıştır. Hesapla bulunan bu FF daha önce FINES yardımıyla elde edilen ilk (hedeflenen) FF ile Şekil 5 de karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi her iki FF tam olarak üst üste oturmaktadır. Bu uyuşma yöntemin başarısını ortaya koymaktadır. (9)

5 10 3 Log. Genlik [ms -2 / N] , Frekans [Hz] Şekil 7 deki grafikte görüldüğü gibi Hz frekans aralığı hariç diğer frekanslarda FF lerde oldukça iyi bir uyum söz konusudur. Özellikle 187 Hz frekansta gerçekte olmamakla birlikte sanki bir doğal frekans varmış gibi gözükmektedir. Bunun nedeni şöyle açıklanabilir: (9) denkleminde hedeflenen FF yi hesaplamak için kullanılan ve Şekil 4 ve 6 da verilen FF ler 187 Hz frekansta ters-rezonansa sahiptir. Genlik değerlerinin oldukça düşük olduğu bu frekansta ve yakın civarında FF ler parazitten önemli ölçüde etkilenmektedir. yrıca (9) denkleminde bu iki FF nin birbirine oranı söz konusudur. Bu da yöntemin bu frekans bölgesinde iyi sonuç vermemesine neden olmaktadır. Şekil 3. Ölçülen FF ler : 42,42 ve Log. Genlik [ms -2 / N] Şekil 4. Yardımcı kütlesiz ve kütleli ölçülen FF ler: ve (42) Frekans [Hz] Şekil 6. Yardımcı kütlesiz ve kütleli ölçülen FF ler: ve 42, %0.1 parazitli durum Log. Genlik [ms -2 / N] ,42 Şekil 5. FINES ve sunulan yöntem ile hesaplanan FF lerin karşılaştırılması. 42, Frekans [Hz] Şekil 7. FINES ve sunulan yöntem ile hesaplanan FF lerin karşılaştırılması, %0.1 parazitli durum. 5

6 IV. Sonuçlar Modal testte yapının geometrisi gibi kısıtlar nedeniyle bazı FF leri ölçmek zor veya mümkün olmayabilmektedir. Bu çalışmada pratik olarak ölçülmesi zor veya mümkün olmayan ancak analizler için gerekli olan sürüş noktası FF sinin elde edilmesi için bir teknik sunulmuştur. Bu teknikte ölçüm yapılamayan noktaya yardımcı bir kütle konularak ilgili transfer FF tekrar ölçülmektedir. İlave kütleli ve kütle olmadan ölçülen bu FF leri kullanarak ölçülemeyen sürüş noktası FF sini hesaplayan bir formül geliştirilmiştir. Bu formül SM eşitliğini dayalı yapısal değişiklik tekniği kullanılarak geliştirilmiştir. Sayısal benzetim için konsol bir kiriş dikkate alınmış ve sonlu elemanlar yöntemi ile serbest titreşim analizi yapılarak FF leri elde edilmiştir. Daha sonra aynı kiriş üzerinde ölçülemediği varsayılan noktaya ilave bir kütle konularak FF ler tekrar hesaplanmıştır ve bu çalışmada geliştirilen (9) denklemi ile gerekli olan FF hesapla elde edilmiştir. Sunulan yöntem ile elde edilen FF nin ilave kütle yok iken elde edilen (hedef) FF ile yapılan karşılaştırmasında her ikisinin birbiriyle tam bir uyum içerisinde olduğu ve yöntemin mükemmel bir sonuç verdiği görülmüştür. Deneysel verilerde her zaman var olan parazit etkileri göz önüne alınarak FF lere % 0.1 oranında parazit eklenmiş ve bu durumlar için yöntemin başarısı incelenmiştir. Hesaplamada kullanılan FF nin sahip olduğu ters-rezonans frekansı civarı hariç yöntemin başarılı olduğu görülmüştür. ers rezonans civarında genlik oldukça düşük olduğundan parazitten oldukça etkilenmekte ve yöntem bu bölgede duyarlı olmaktadır. [10] Cakar, O., and Sanliturk, K.Y. Elimination of ransducer Mass Loading Effects From Frequency Response Functions. Mechanical Systems and Signal Processing, 19(1), 8704, [11] Sherman, J., and Morrison, W.J. djustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in one Element of a Given Matrix. nnals of Mathematical Statistics, 21(1), [12] Hosoya, N., Yaginuma, S., Onodera, H., and Yoshimura,. Estimation of the auto frequency response function at unexcited points using dummy masses. Journal of Sound and Vibration. 337, 14-27, [13] Şanlıtürk, K. Y. n Efficient Method for Linear and Nonlinear Structural Modifications. Proceedings of ESD 2002: 6th Biennial Conference on Engineering Systems Design and nalysis, ESD 2002/PM-028, İstanbul, ürkiye, [14] Cakar, O., and Sanlitürk, K.Y. Elimination of Noise and ransducer Effects from Measured Response Data. Proceedings of ESD2002:6th Biennial Conference on Engineering Systems Design and nalysis, PM-055, on CD. Istanbul, urkey, July 8-11, [15] Çakar, O. ve Sanliturk, K.Y. Modal estte Karşılaşılan Sistematik Hataların Düzeltilmesi. 11. Ulusal Makina eorisi Sempozyumu Bil. Kit., C.1, 10714, nkara, 4-6 Eylül [16] Çakar, O. ve Sanliturk, K.Y. Ölçülen itreşim Verilerinden ransdüser Kütle Etkilerinin Kaldırılması: Lazer Ölçümü İle Yöntemin Doğrulanması. 12. Ulusal Makina eorisi Sempozyumu (1), , Kayseri, ürkiye, 91 Haziran, [17] Çakar, O. and Sanliturk, K.Y. Elimination of Suspension Effects from Measured Frequency Response Functions. 9th International Research/Expert Conference, rends in the Development of Machinery and ssociated echnology, M , 26-30, ntalya, urkey, September, [18] Sanliturk, K.Y. FINES Yazılımı, Finite Elements for Structures, İstanbul eknik Üniversitesi, Makina Fakültesi. Kaynakça [1] Ewins, D.J. Modal esting: heory, Practice and pplications, RSP. Second Ed., [2] McConnell, K.G. Vibration esting: heory and Practice, John Willey & Sons, Inc., [3] Nuno Manuel Mendes Maia and Julio Martins Montalvao e Silva. heoretical and Experimental Modal nalysis. RSP, [4] D Handbook, Support rrangements for est Structures. Modal test Preparation, [5] Silva, J.M.M, Maia, N.M.M, and Riberio,.M.R. Some pplication of Coupling/Uncoupling echniques In Structural Dynamics-Part 1: Solving the Mass Cancellation Problem. Proc. of the 15th Int. Modal nalysis Conference, , [6] Silva, J.M.M, Maia, N.M.M, and Riberio,.M.R. Some pplication of Coupling/Uncoupling echniques In Structural Dynamics-Part 2: Generation of he Whole FRF Matrix from Measurements on Single Column he Mass Uncoupling Method (MUM). Proceedings of the 15th Int. Modal nalysis Conference, , [7] Silva, J.M.M, Maia, N.M.M, and Riberio,.M.R. Cancellation of Mass-Loading Effects of ransducers and Evaluation of Unmeasured Frequency Response Functions. Journal of Sound and Vibration. 236(5), , [8] shroy, M.R. Correction of Mass Loading Effects of ransducers and Suspension Effects in Modal esting. Proc. of the 16th Int. Modal nalysis Conference, , [9] Çakar, O. itreşim estlerinden Elde Edilen Verilerin Kalitesinin İyileştirilmesi. Doktora ezi, İstanbul eknik Üniversitesi,