6. Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması

Transkript

1 6 Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 Sistemin noktalarında süreklilik koşulu : Her elemanın düğüm noktası aynı zamanda sistemin de düğüm noktası olduğundan, sistemin noktaları dış yükler altında yer değiştirince, aynı noktaya bağlı eleman noktası da aynı yer değiştirmeyi yapmak zorundadır Bu eşitliğin matematik ifadesini aşağıdaki örnek ile kurmaya çalışalım Şekil 6 de düzlem kafes sistemin genel yer değiştirmeleri, şekil 6a da ise aynı sistemin elemanlarının genel yer değiştirmeleri görülmektedir Bunlar arasında x U 4 xˆ U Sistem düğümü Eleman düğümü U 6 U 5 m U U Şekil 6: Sistem yer değiştirmeleri x xˆ ˆx ˆx nolu elemanda: nolu elemanda: eşitlikleri olmak zorundadır Matris notasyonunda aşağıdaki gibi düzenleyebiliriz: elemanın genel yer değiştirmeleri elemanın genel yer değiştirmeleri Eleman düğüm no Tüm elemanların genel yer değiştirmelerinin vektörü Bağlantı matrisi Sistem düğüm no Sistemin yer değiştirme vektörü Görüldüğü gibi a matrisi ve sayıları içerir Düğümlerde elemanların genel yer değiştirmelerini sistem yer değiştirmelerine eşit olmaya zorlamaktadır Bunun anlamı, elemanları sistem düğümlerine bağladığı, elemanları birleştirerek tekrar sistemi oluşturduğudur Bu nedenle bağlantı matrisi de denir Bağlantı matrisi sistemin düğüm serbestlik derecesi boyutlu kare alt matrislere bölünebilir Alt matrisler sıfır veya birim matristir bağlantı matrisi tüm elemanların genel yer değiştirmelerini sistemin yer değiştirmelerine eşitler (6) Genel olarak a çok büyük bir matristir Teorik açıdan, sistemin toplam potansiyelinin hesabında, önemli olmakla birlikte ne el hesaplarında ne de yazılımlarda oluşturulur Sadece sıfır ve birim alt matrislerden oluştuğu için hesapları, a yı kullanmadan, aynı anlama gelen, basit bir yolla yürütmek mümkündür Bu durum ilerleyen konularda açıklık kazanacaktır Compatibility condition at system nodes Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 56

2 Sistem yükleri ile eleman genel kuvvetleri arasındaki bağıntı: Şekil 45 de görülen sistem kuvvetleri 46 da görülen sistem yer değiştirmeleri ile iş yaparlar: " Şekil 47 de görülen eleman genel yer değiştirmeleri 48 de görülen eleman genel kuvvetleri ile iş yaparlar: ( ) % +( ) % Bu bağıntıyı şöyle yazabiliriz: ( ) ( ) 5 Tüm elemanların genel yer değiştirmeleri vektörünün transpozu % % B % Bu iki iş birbirine eşittir: " % 6 bağıntısından yerine yazılarak bulunan " % % bağıntısında her iki tarafın aynı sayı(iş) olduğu düşünülürse " % (6) olması gerektiği anlaşılır Bu bağıntı sistemin toplam potansiyelinin hesabında gerekli olacaktır + Tüm elemanların genel kuvvetleri vektörü bağlantı matrisinin transpozu tüm elemanların genel uç kuvvetlerini sistemin düğüm kuvvetlerine bağlar Sistem düğümlerinde kuvvet dengesi olmalı anlamındadır 6 Sistemin toplam potansiyeli ve rijitlik matrisi Sistemin toplam potansiyeli elemanların toplam potansiyellerinin toplamıdır Sistemin s eleman ile modellendiğini varsayalım 55 den ( + *,( * + - ( * ) * * ( * ) % * *, ( ( ) ( ) % + ( ) ( ) % + ( ) ( ) % + ( + ) + + ( + ) % + ( % ( ) ( ) ( ) ( + ) 5 ( ) ( ) ( ) ( + ) 5 % % + 8 : ( % olduğu yukarıdaki bağıntıların incelenmesinden anlaşılır 6 ve 6 yerine yazılarak ( % ; < < ( > " Sistemin toplam potansiyeli " (6) sistemin toplam potansiyeli bulunur Tüm elemanların genel rijitlik matrislerini içeren köşegen matris > " (64) matrisine sistemin rijitlik matrisi denir Boyutu sistemin serbestlik derecesi kadar ve simetriktir Terimleri sabit sayılardan oluşur Tüm elemanların genel yer değiştirmelerini içeren vektör % Tüm elemanların genel uç kuvvetlerini içeren vektör System stiffness matrix Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 57

3 6 Sistemin denge koşulu 6 Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 toplam potansiyelinde düğüm yer değiştirme vektörü parametredir(terimlerinin sayısal değerleri henüz bilinmeyen vektör) Sistemin denge konumunda 6 toplam potansiyeli minimum olur: CD C CE CE F > " " G > " " > " " Sistemin denge koşulu (65) sistemin denge koşulu olarak bulunur > ", 64 den görüldüğü gibi, elemanların rijitlik matrislerinden ve 6 de tanımlanan bağlantı matrisinden hesaplanan sabit terimlidir " sistem düğüm yüklerinin vektörüdür, bilinmektedir 65 denklem sisteminde sadece sistem düğümlerinin yer değiştirme vektörü bilinmemektedir Ancak, bu denklem sisteminden hesaplanamaz, çünkü > " tekildir(det > " ve > " I tanımsız) Bunun nedeni sistemin sınır(mesnet) koşullarının henüz dikkate alınmamış olmasıdır Mesnetsiz sistem şekil değiştirmez fakat yer değiştirir(rijit yer değiştirme) Sistemin mesnet koşullarından ne anlıyoruz: mesnetlerde bazı yer değiştirmelerin sınırlandırılması, yani sistemin uzayda bir yere sabitlenmesi gereğini anlıyoruz Bu da vektörünün bazı terimlerinin verilmiş olması gerektiği anlamındadır Mesnet koşulu sayısı, sistem rijit yer değiştirmeyecek kadar olmalıdır 64 Sistemin sınır(mesnet) koşullarının 4 işlenmesi: Sistemin sınır koşullarının 65 denklem sistemine nasıl işleneceğini şekil 6 deki basit sistem ile açıklamaya çalışalım Sistemin koordinat sistemi, numaralanması, yük ve yer değiştirme modeli 6a ve 6b deki gibi olsun x x m P 4 P " m U 4 U P 6 P 5 m P P x U 6 U 5 m U U x Şekil 6a: Sistem düğüm yükleri Şekil 6b: Sistem düğüm yer değiştirmeleri Şekil 6a ya göre " 5 ve Şekil 6b ye göre yer değiştirme vektörü " 5 ve sistemin serbestlik derecesi 6 dır 65 denklem sistemindeki > " rijitlik matrisi 6x6 boyutlu ve sabit sayılardan oluşan bir matris olacaktır > " ın sabit sayılarını k ij ile gösterelim: Equilibrium condition of the system Örnek: düzlem bir çerçevenin bir ankastre mesnetinde yatay, düşey hareket ve dönme sıfır olmalıdır, yani mesnetteki yer değiştirmelerin değeri bilinmektedir Örnek: Basit kirişte en az bir sabit ve bir hareketli mesnet olmalı Konsol kirişte bir uç ankastre olmalı Aksi halde kiriş veya konsol rijit yer değiştirir Rijit yer değiştiren sistemlere "Labil" (Labile kararsız, stabil olmayan) sistem denir, çözümü yoktur 4 System boundry conditions, restrains Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 58

4 > " Sistemin düğüm numaraları Sistem rijitlik matrisi ; < ın özellikleri: Boyutu sistemin serbestlik derecesi kadardır(örneğimizdeki düzlem kafes sistemde serbestlik derecesi6, dolayısıyla > " 6x6 boyutundadır) Simetriktir(örneğin, dir) *P terimleri sabit sayılardır Tekildir(LMN > ", > " I tanımsız) Alt matrislerden oluşur Her alt matrisin boyutu sistem düğüm serbestlik derecesi kadardır(örneğimizde: x) Band matristir 65 denklem sisteminin açık yazılmış şekli: ; < < düğümde x ve x yönü denge denklemleri düğümde x ve x yönü denge denklemleri düğümde x ve x yönü denge denklemleri (66) Bu bağıntıda > " ın tüm terimleri 64 ten bilinmektedir Ayrıca " ve vektörlerinin de bazı terimleri bilinmektedir Hesaplarda kuvvet birimi olarak kn kullanıldığını varsayalım 6 ye göre noktasında, dür, ve noktasındaki,,, bilinmemektedir(reaksiyonlar) Yük vektörü " 5 olur 66 denklem sisteminde yerine yazarsak: ; < < düğümde x ve x yönü denge denklemleri düğümde x ve x yönü denge denklemleri düğümde x ve x yönü denge denklemleri Reaksiyonlar (67) Sistemin sınır şartlarına gelince: ve noktaları mesnettir, buradaki yer değiştirmelerin değerleri sıfır olarak bilinmektedir, şekil 6b den Buradaki sayıları, 69 un köşegeninde görülen sayılarının nereden geldiğini açıklamak için yazılmıştır,,, (68) olması gerektiği anlaşılır > " ın, 4, 5, ve 6 kolonları sıfır ile çarpılınca > " ın bu kolonlarındaki sayılar sıfır olur Simetriden dolayı aynı nolu satırların da sıfır olması gerekir Sıfırlanan satırlara 68 denklemlerini yazarız Buna göre sınır koşullarını 67 ye aşağıdaki gibi işleyelim: ; GENEL: * koşulunu işlemek için: i satır ve (simetri nedeniyle) i kolondaki sayılar sıfırlanır i satır-kolona, karşı tarafa yazılır Böylece * denklemi denklem sistemine eklenmiş olur (69) > (6) 69 denklemleri 68 mesnet koşullarını aynen içermektedir > matrisi artık tekil değildir, çünkü sistem ve noktalarında tutuludur, uzayda gezemez, yani rijit yer değiştiremez LMN >, > I tanımlıdır Denklem sistemi çözülerek yer değiştirme vektörü bulunur Çözüm sonucunda,,, olarak bulunacaktır, bu da 68 koşullarının aynısıdır Aslında çözüm ile sadece, çözüm öncesi değerleri bilinmeyen,, yer değiştirmeleri belirlenmektedir Diğerlerinin değerleri zaten bilinmektedir Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 59

5 Bu küçük örnekte 6 denklemin 4 ü mesnet koşuludur Büyük sistemlerde durum bunun tam tersidir: Denklem sayısı çok, mesnet koşulu sayısı azdır Örneğin düğümlü bir kafes sistemin bir sabit bir de basit kayıcı mesneti olsun Her düğümde serbestlik derecesi olduğundan sistemin serbestlik derecesi x, yani denklemli bir sistem olacaktır Sınır koşulu sayısı ise sadece tür 69 denklem sistemi genel olarak çok büyüktür, çok küçük sistemler dışında elle çözümü mümkün değildir GAUSS indirgeme metodu veya CHOLESKY metodu kullanılabilir > matrisi simetrik olduğu için yazılımlarda genellikle CHOLESKY tercih edilir 65 Reaksiyonların hesabı Şekil 6a nın ve noktalarındaki,,, düğüm kuvvetleri mesnet reaksiyonlarıdır Sınır koşulları işlenmeden önceki 67 denklem sisteminin son 4 denklemi bu noktalardaki denge denklemleridir Sınır koşulları işlenince bu denklemler, 69 da görüldüğü gibi, kaybolmaktadır Reaksiyonların hesaplanabilmesi için, sınır koşulları işlenmeden önce, bu denklemlerin kopyalanarak saklanması(bir kâğıda yazılması, hard diske depolanması) gerekir: Q R Q R Mesnet noktalarında denge denklemleri (6) E 69 ün çözümünden bulunan vektörü 6 de yerine yazılır,,,, reaksiyon kuvvetleri bulunur Sınır koşulunun mesnet çökmesi içermesi durumu: Mesnet çökmesi problemi yapı statiği derslerinden bilinir Örneğin, bir sürekli kirişin bir mesnedinin S kadar çökmesi durumunda iç kuvvetleri hesaplayınız diye sorulur Aslında mesnedin çökmemesi, yer değiştirmemesi gerekir Ama, öngörülemeyen bir nedenle, çökerse sistemde büyük iç kuvvetler oluşur "Çökme" kelimesi SEMde çok daha genel yorumlanmalıdır Bir mesnetin herhangi bir serbestlik yönünde bir nedenle yer değiştirmesi olarak anlaşılmalıdır, yani sadece düşey yer değiştirme değildir Mesnet çökmesi olan bir sistemde ilgili yer değiştirme sıfır değil çökme kadardır, çökme doğrultusundaki yer değiştirmenin değeri biliniyor anlamındadır Bu değer ile sistem rijitlik matrisinin ilgili kolonu çarpılarak denklem sisteminin karşı tarafına atılır Diğer tüm işlemler yukarıda açıklandığı gibidir Bir örnekle açıklayalım: Şekil 6 deki sistemin mesnetleri verilen yük altında şekildeki kadar yer değiştirirse sınır koşulları ne olur? m mm Mesnet yer değiştirmesi Sistemin numaralandırılması ve koordinat eksenleri 6a ve 6b deki gibi olduğu, hesaplarda kn ve mm birimlerinin kullanıldığı varsayımıyla sınır koşulları,,, (6) olacaktır Sınır koşulları işlenmiş denklem sistemi mm m Mesnet yer değiştirmesi Şekil 6: Çözülmesi istenen düzlem kafes sistem kn ; U V WX:YXZ çö8[x:\y]xy ^_şy ]üğü[ 8``XZ_Xa\ (6) olacaktır Dikkat edilirse, sıfırdan farklı olan U 4- ve U 5- mesnet çökmeleri rijitlik matrisinin 4 ve 5 kolonları ile çarpılarak denklem sisteminin karşı tarafına atıldıktan sonra 6 sınır koşulları işlenmiştir 6 denklem sisteminden hesaplandığında 6 koşulları sağlanır vektörü 6 de yerine yazılarak mesnet reaksiyonları bulunur Denklem sistemi çözüm yöntemleri için bak: bölüm,4,5,6 ve 7 Reactions, support forces, boundry forces Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 6

6 66 Sistem rijitlik matrisinin direkt kurulması 64 bağıntısına göre sistem rijitlik matrisi > " dır Ancak hem hem de çok büyük olduğundan bu çarpım hem el hesaplarında hem de programlarda yapılmaz ve matrisleri, boyutu düğüm serbestlik derecesi olan alt matrislerden oluşur 6 de verilen matrisinin alt matrisleri sıfır veya birim matristir Bu nedenle 64 çarpımı daki eleman rijitlik matrislerinin alt matrislerinin > " ın ilgili bloklarına eklenmesinden başka bir işlevi yoktur Çarpımı yapmak yerine > " aşağıda açıklanan yolla tek bir çarpma dahi yapmadan kurulur İşlemler şekil 64 deki düzlem kafes sistem örneği üzerinde açıklanacaktır x xˆ ˆx xˆ ˆx m x Şekil 64: Düzlem kafes sistem ) Sistem genel ve yerel koordinat sistemi seçilir, Düğüm ve elemanlar numaralanır, Şekil 64 ) Düğüm serbestlik derecesi belirlenir, örnekte dir ) Sistemin serbestlik derecesi belirlenir, örnekte 6 dır 4) Sistemin serbestlik derecesi boyutlu boş bir > " matrisi hazırlanır, örnekte 6x6 boyutlu 6x6 boyutlu boş > " matrisi 5) > " matrisi boyutu sistemin düğüm serbestlik derecesi olan alt matrislere bölünür, örnekte x Alt matrislerin üstüne sistemin düğüm numaraları sırayla yazılır Örnekte -- Aynı numaralar alt matrislerin soluna (veya sağına) da yazılır Alt matrisler düğüm numaraları ile adlandırılır - alt matrisi düğüm ile düğümdeki alt matris anlamındadır x boyutlu alt matrislere bölünmüş > " matrisi x boyutlu - alt matrisi Sistemin düğüm numaraları x boyutlu - alt matrisi Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 6

7 6) Birinci elemanın genel rijitlik matrisi kurulur, aynı boyutlu alt matrislere bölünür, elemanın düğüm numaraları alt matrislerin üstüne ve soluna yazılır Elemanın düğüm numaraları, yerel orijinin bulunduğu düğümden başlanarak, sırayla yazılır Örneğimizde elemanın orijini noktasında olduğundan bloklar üstüne ve soluna - yazılmalı(- değil) Elemanın düğüm numaraları düğüm, ikinci düğüm elemanın genel rijitlik matrisi x boyutlu alt matrislere bölünmüştür Bloklar - olarak numaralanmış, çünkü yerel orijin noktasındadır *P terimi elemanın i satır ve j kolonundaki sayı anlamındadır Elemanın düğüm numaraları düğüm, ikinci düğüm k k k k 4 k k k k 4 x boyutlu - alt matrisi k k k k 4 k 4 k 4 k 4 k 44 x boyutlu - alt matrisi Elemanın i-j düğümündeki alt matrisi sistem rijitlik matrisinin aynı i-j alt matrisideki sayılarla toplanır: Elemanın - alt matrisi sistemin - alt matrisine, - alt matrisi sistemin - alt matrisine, - alt matrisi sistemin - alt matrisine, - alt matrisi sistemin - alt matrisine eklenir elemanın genel rijitlik matrisi Sistem rijitlik matrisi > " k k k k 4 k k k k 4 k k 4 k 4 k 44 k k k 4 k 4 k k k k 4 k 4 k 4 k 4 k 44 k k 4 k k 4 k k k k 7) İkinci elemanın genel rijitlik matrisi kurulur, alt matrislere bölünür, elemanın düğüm numaraları alt matrislerin üstüne ve soluna yazılır Elemanın düğüm numaraları, yerel orijinin bulunduğu düğümden başlanarak, sırayla yazılır Örneğimizde elemanın orijini noktasında olduğundan bloklar üstüne ve soluna - yazılmalı(- değil) Elemanın i-j alt matrisleri sistem rijitlik matrisinin i-j bloklarına eklenir elemanın genel rijitlik matrisi Sistem rijitlik matrisi > " k k k k 4 k k k k 4 k +k k 4+k 4 k 4+k 4 k 44+k 44 k k k 4 k 4 k k k 4 k 4 k k k k 4 k 4 k 4 k 4 k 44 k k 4 k k 4 k k k k k k 4 k k 4 k k k k 8) Üçüncü elemanın genel rijitlik matrisi kurulur, alt matrisleri sistem rijitlik matrisine taşınır Örneğimizde eleman yoktur 9) Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, Sayfa 6