Şeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Şeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır."

Adem Ecevit
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 5. Diferansiyel Denklem Sistemleri ve Çözüm Yöntemleri X=bağımsız, Y, Z, W = bağımlı değişkenler olmak üzere; Y= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) Z= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) W= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) Şeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır. - Analitik çözümler yapılabilir. - Sayısal çözümler yapılabilir. Çözümleri Tek Diferansiyel Denklemlerin çözüm yöntemlerine dayanır. 5..Analitik Çözümler Matrisel yollardan veya Tek Diferansiyel Denkleme dönüştürülerek çözümler yapılabilmektedir. Matrisel yolları kullanabilmek için denklem sisteminin düzenli ve lineer verilmiş olması gerekir. Diğer taraftan ise eğer mümkünse denklemler arasında çeşitli işlemler yapılarak herhangi bir bağımlı değişkene göre tek diferansiyel denklem elde edilerek çözümler elde edilmeye çalışılır. dy. 4x + y = e t (I) t bağımsız değişken / x,y bağımlı değişken x ( t, x, x', y, y ') +x+y = 0 (II) bağımlı denklem y ( t, x, x', y, y ') Çözüm için; (II) den y = x (I) de yerine koyalım ve y bağımlı değişkenini x y f ( t, C ) f ( t, C ) dy d x =. şeklinde çözümler elde edelim. ortadan kaldıralım ve d x. 4x + (. ) ( x) = e t d x x = e t x + x = e t Sabit Katsayılı ve özel çözüm x = A.e t x h = homojen çözüm Karakteristik denklem; f(r)= r + = 0 r = ve r, = x h =C.cost + C.sint homojen çözüm Özel çözüm; x = A.e t x = A.e t x = A.e t i

2 A.e t + A.e t = e t A= / x = /. e t özel çözümü genel çözüm = x = x h + x x = C.cost + C.sint /. e t x in genel çözümü y nin genel çözümü; (II) den y = x te x i yerine koyalım; = ( C.cost + C.sint /(e t ) x =. C.cost.C.sint + /(e t ) y = C (.cost + sint) + C ( cost.sint) +.e t y nin genel çözümü Diferansiyel Denklem Sisteminin Genel Çözümü x = C.cost + C.sint /. e t y = C (.cost + sint) + C ( cost.sint) +.e t y = ( C + C ).sint+( C C ).cost+.e t Neden C ve C her iki denklemde de var? Çünkü mertebe kadar sabit katsayı gelir. y z = 0 (I) x bağımsız değişken olsun; z y = 0 (II) (II) den y = z y =z (IV) z (IV) z = 0 sabit katsayılı f(r)= r 4 = 0 (r ) (r + ) => r, = i, r = ve r 4 = z h = z = C.cosx + C.sinx + C.e x + C 4.e -x z nin genel çözümü y nin genel çözümü için; (II) den y= z de z çözümünü yerine koyarsak; y= C.cosx C.sinx + C.e x + C 4.e -x = z y nin genel çözümü Diferansiyel Denklem Sisteminin Genel Çözümü z =C.cosx + C.sinx + C.e x + C 4.e -x y= C.cosx C.sinx + C.e x + C 4.e -x

3 (uyg) y +xy 5y = x lnx yüksek mertebeden dif. Denklem sistemini ele alalım. y 5x = 0 Sayısal Diferansiyel Denklem çözüm yöntemleri için diferansiyel denklem. mertebeden olmalıdır. Diferansiyel denklem yüksek mertebeden ise; Sayısal yöntemlerle çözmek için. mertebeden diferansiyel denklem sistemine dönüştürülmelidir. 5..Yüksek mertebeden diferansiyel denklemi. mertebeden diferansiyel denkleme indirgeme F(y (n), y (n-),, y, y, y, t) = 0, burada t bağımsız değişken. x n x, x, x bu dönüşümler ile x = y = y = x = x //. mertebeden diferansiyel denklem sistemi = x 4 // n = mertebe sayısı kadar denklem n = x n = Q(x n, x n-, x n-,, x, x, t) y=(t, C, C, C ) n y +ty 5y = t lnt x x x y = ty + 5y + t lnt x x = x = tx + 5 x + t lnt. mertebeden Diferansiyel Denklem Sistemi y 5x = 0 y + 0.y +0.y +0.y 5t = 0 x x x = y = 5t = x = x = 5t Not: Sayısal çözümlerde diferansiyel denklem sayısı veya mertebe sayısı kadar başlangıç (sınır) şartı verilmelidir.

4 5..Sayısal Çözümler Tek Diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerine dayanır. y = f ( x, y, y,, y n ) y = f ( x, y, y,, y n ) y n = f n ( x, y, y,, y n ) Başlangıç (sınır) şartları (n tane) y (x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0, y n (x 0 ) = y n0 5...Euler Yöntemiyle Diferansiyel Denklem Sistem Çözümü. Adım x = x 0 + h için; y = y 0 +h.f(x 0, y 0, y 0,, y n0 ) y = y 0 +h.f(x 0, y 0, y 0,, y n0 ) y n = y n0 +h.f(x 0, y 0, y 0,, y n0 ) // sonraki adımlar benzer şekilde uygulanır. y = x + y y = f (x, y, y ) diferensiyel denklem sistemini y = x y + y = f (x, y, y ) y (0) = = y 0 y (0) = = y 0 başlangıç şartlarını kullanarak h=0. adım değerine göre Euler Yöntemi ile çözelim. (x 0 = 0. için. adım). Adım: x = x 0 + h = 0+0. x = 0. için; y = y 0 +h.f (x 0, y 0, y 0 ) y = y 0 +h.f (x 0, y 0, y 0 ) y =+ 0.(. x 0 + y 0 y 0 ) = + 0.(.0 + ( ) ) =. y = + 0.(x 0 y 0 + y 0 ) = + 0.(0. ( ) ) =.5

5 5...Runge-Kutta Yöntemiyle Diferansiyel Denklem Sistem Çözümü (. mertebe şekline getirilmiş olmalı) y = f(x, y, z) // başlangıç şartları y(x 0 )=y 0 şeklinde verilen diferensiyel denklem sistemini z = g(x, y, z) // h adım değeri, z(x 0 )=z 0 Runge-Kutta yöntemiyle çözmek için şu formülleri uygulayabiliriz:. Adım: y için z için k = h.f(x 0, y 0, z 0 ) = h.g(x 0, y 0, z 0 ) k = h.f(x 0 +, z0 + ) = h.g(x 0 +, z0 + ) k = h.f(x 0 +, z0 + ) = h.g(x 0 +, z0 + ) k 4 = h.f(x 0 +h, y 0 + k, z 0 + ) 4 = h.g(x 0 +h, y 0 + k, z 0 + ) ( k + k + k + k 4 ) = 6 ( ) y = y 0 + k z = z 0 + y = z = f(x, y, z) // başlangıç şartı y(0)=, z(0)= z = z y + e -x = g(x, y, z) Diferensiyel denklem sistemini h= 0. adım değeri için Runge-Kutta yöntemi ile çözelim; O halde n=. Adım uygulanacaktır. x = x 0 + h = = 0. e karşılık gelen y, z =? bulunacaktır. y için z için k = 0.(z 0 ) = 0. = 0.[.( ) ()+. e -.0 ] = k = 0..( + ) = 0.7 = 0.(.( + ) ( )+. e -(0+ ) = k = 0..( + ) = 0.74 = 0.(.( + ) ( )+. e -(0+ )=0.5 k 4 = 0.( +0.5) = = 0.(.( +0.5) ( 0.74)+. e -(0+0. ) = 0.49 ( k + k + k + k 4 ) ( 0. + ( 0.7) + ( 0.74) )= 0.77 => k= 0.77 y = y 0 + k= 0.77= 0.86 = 6 ( ) = 6 ( (0.50) + (0.5) )= 0.50 => =0.50 z = +0.50=.4899 sayısal çözümleri elde edilir. 4

Benzer belgeler

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.