diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3x^4+x^2-3x A = 3x^4+x^2-3x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12x^3+2x-3

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3"

Volkan Yasin
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 7.4.. diff Türev Alma Fonksiyonu >> syms x >> A=3*x^4+x^-3*x A = 3*x^4+x^-3*x >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. 1*x^3+*x-3 >> diff(a,) // A fonksiyonunun türevini kere alır. 36*x^+ ÖRNEK: >> syms x >> f1=cos(x)^; >> diff(f1) -*cos(x)*sin(x) ÖRNEK: >> syms x >> syms y >> F=x^3+x^-3*y; >> diff(f,x) // F fonksiyonunun x e göre türevini alır. 3*x^+*x >> diff(f,y) // F fonksiyonunun y ye göre türevini alır. -3 >> diff(f,x,) // F fonksiyonunun x e göre. türevini alır. 6*x+ >> diff(f,y,) // F fonksiyonunun y ye göre. türevini alır. 0 1

2 İntegral Alma Fonksiyonları function myfun(x) 1./(x.^3-*x-5) // bu iki satır m-file (File New M-File) de yazılır. // Aşağıdaki quad bu fonksiyonun altsınırı 0 üst sınırı olan // integral sonucunu hesaplar. >> Q = quad(@myfun,0,) //Quad simpson yöntemine göre integral alır. ÖRNEK: dblquad iki katlı integral alma fonksiyonu dblquad pi pi x.cos y integralini çözer. 0 pi function dy=fonk1(x,y) dy=*x*cos(y)^ >> dblquad('fonk1',0,pi,-pi,pi) dsolve Diferensiyel Denklem Çözüm Fonksiyonları d y y Matlab da gösterimi Dy şeklindedir. dx y dy Matlab da gösterimi Dy şeklindedir. dx (1+t^). dy +*t*y=cost diferansiyel denkleminin çözümü için; dt >> k=dsolve('(1+t^)*dy+*t*y=cost(t)') // ' ' lar arasındaki k diferensiyel denklemini çözer. k = (Int(cost(t),t)+C1)/(1+t^) // genel çözümü verir. >> pretty(k) // k diferansiyel denkleminin C ye bağlı çözümünü matematiksel olarak yazar. / cost(t) dt + C1 / t

3 Alıştırma Soruları: Aşağıdaki dif.denklemleri dsolve komutu ile çözünüz. MATLAB ta ; lnx log(x), x y -y +y= e.lnx y -y -3*y = 1 1 e y +3y +y= 1 x 1 e y +y = 1 sin x x x e exp(x) ve log10 x = log10(x) şeklinde ifade edilir Euler Sayısal Yöntemiyle Diferensiyel Denklem Çözümü y = y-x diferansiyel denklemini y(0)=1 başlangıç şartıyla 0 x 0.3 aralığında 10 adımda Euler yöntemiyle çözelim. Matlab ta file new M-file diyerek aşağıdaki kodları yazalım. %Euler Yöntemi %y'=y-x ve y(0)=1 başlangıç değeri %0<= x <= 0.3 aralığında Euler çözümü x0=0; xn=0.3; y0=1; m=10; h=(xn-x0)/m; x=x0:h:xn; y(1)=y0; for i=1:m y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-x(i)) end display(' Euler Çözümü') display(' x y') disp([x;y]') plot(x,y) daha sonra bu dosyayı euler1 adıyla kaydedip Matlab ana ekranına (Command Window) euler1 yazalım. Ekran çıktımız şu şekilde olacaktır. ( Columns 1 y nin çözüm değerlerini göstermektedir. Son satır son çözüm değerlerini verir.) >> euler1 Columns 1 through Columns 1 through

4 Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Euler Çözümü x y

5 Runge-Kutta Sayısal Yöntemiyle Diferensiyel Denklem Çözümü y = y-x diferansiyel denklemini y(0)=1 başlangıç şartıyla 0 x 0.3 aralığında 10 adımda Runge-Kutta yöntemiyle çözelim. Matlab ta file new M-file diyerek aşağıdaki kodları yazalım. %Euler örneğinin Runge-Kutta çözümü x0=0; xn=0.3; y0=1; m=10; h=(xn-x0)/m; x=x0:h:xn; y(1)=y0; for i=1:m k1=h*(y(i)-x(i)); k=h*(y(i)+k1/-(x(i)+h/)); k3=h*(y(i)+k/-(x(i)+h/)); k4=h*(y(i)+k3-(x(i)+h)); y(i+1)=y(i)+(k1+*k+*k3+k4)/6 end display(' x y') disp([x;y]') plot(x,y) daha sonra bu dosyayı rungekutta1 adı altında kaydedip matlab ana ekranına (Command Window) rungekutta1 yazalım. Ekran çıktımız şu şekilde olacaktır. >> rungekutta1 Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through

6 Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through Columns 1 through x y

7 ÖRNEK: ode3 komutu. ve 3. mertebeden Runge-Kutta yaklaşımını, ode45 komutu 4. ve 5. mertebeden Runge-Kutta yaklaşımını kullanır. Ode fonksiyonunun kullanımı şöyledir: [t x]=ode3( fonksiyon adı,[t0 tson],x0) M- file dosyasına. dereceden bir fonksiyon yazıp bunu ode3 komutuyla çözelim. dy Diferensiyel denklem fonksiyonumuz x olsun. dx Bunun analitik(gerçek) çözümünü y(1)=1 başlangıç koşulu(x0=1,y0=1) altında, x in 1 ve 3 sınır değerleri arasında ise sayısal çözümünü bulalım. Analitik(gerçek) çözüm: Diferensiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen olduğundan sol ve sağ tarafının doğrudan integrali alındığında genel çözümü y x C olup y(1)=1 için C=1/3 olup y= x olarak gerçek çözümü bulunur Şimdi ise ode3 Matlab komutuyla Sayısal çözümünü bulalım: Öncelikle diferensiyel denklem fonksiyonunu bir function alt programıyla tanıtmamız gerekmektedir: function dy=gcoz(x,y) d *x^; Bunu m-file( File New M-File) klasörüne gcoz olarak kaydedelim. Analitik çözümü ya=(/3)*x.^3+1/3 olarak tanımlayalım. Ode3 ile Matlab çözüm komutları şöyle olacaktır; >> [x ysay] = ode3('gcoz',[1 3],1); >> [x ysay]

8 Burada 1.sütun x e ait değerler,.sütun ise ysay a ait y nin(dif. Denklemin) Sayısal çözüm değerleridir. Şimdi Diferensiyel denklemin ysay Sayısal çözümünün ya Analitik(gerçek) çözümüne ne kadar yaklaştığını grafik üzerinde görelim.aşağıdaki komutlar bu grafiğin çizimini gerçekleştirecektir: >> ya=(/3)*x.^3+1/3; % Dif. Denklemin Analitik Çözümü >> plot(x,ysay,x,ya,'o');% ysay ı çizgi ile ve ya yı o ile aynı grafikte çizen komut >> xlabel('x'); >> ylabel('y=f(x)'); >> grid; Grafik incelendiğinde ode3 ile elde edilen sayısal çözüm değerlerinin( o ) sürekli çizgi şeklindeki analitik(gerçek) çözüm değerleri ile üst üste çakıştığı görülmektedir. Bu durum ode3 ile yapılan Matlab sayısal çözümünün hatasız olduğunu, çok başarılı bir çözüm olduğunu göstermektedir. 8

Benzer belgeler

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin