3. Aşağıdaki şekli elinizi kaldırmadan, her kenardan sadece bir kez geçmek koşuluyla çizmek mümkün müdür? Açıklayınız.

Transkript

1 Numarası : Adı Soyadı : MAT223 AYRIK MATEMATİK DÖNEM SONU SINAVI Sınav süresi 150 dakikadır. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış-verişi yasaktır. Hesap makinası, vb. kullanmak yasaktır. Sonucun hesaplanmasının çok da mümkün olmadığı durumlarda (çok fazla işlem gerektirmesi, çok büyük sayılar ile işlemler, vb) sonucu hesaplamadan bırakabilirsiniz. Cevaplarınızı her sorunun altında ayrılan bölüme yazınız. Başka yerlere yazılan cevaplar değerlendirilmeyecektir. Soru/Cevap kağıdını başkalarının göremeyeceği şekilde saklayınız. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR 1. Bir çizgenin ağaç olması için gerek ve yeter koşul döngü içermemesi, yeni bir kenar eklendiğinde ise döngü içermesidir. Kanıtlayınız. 2. Kök (root) 0 ile gösterilmek üzere, Prüfer dizisi (8,4,2,4,7,7,0,9,2) ile verilen ağacı çiziniz. 3. Aşağıdaki şekli elinizi kaldırmadan, her kenardan sadece bir kez geçmek koşuluyla çizmek mümkün müdür? Açıklayınız.

2 4. Aşağıdaki şekilde verilen ağacın Prüfer dizisini yazınız TBMM de Başkan seçimi gizli oyla yapılır ve ilk iki oylamada üye tamsayısının (550 milletvekili) üçte iki (367) ve üçüncü oylamada üye tamsayısının salt çoğunluğu aranır. Üçüncü oylamada salt çoğunluk sağlanamazsa, bu oylamada en çok oy alan iki aday için dördüncü oylama yapılır; dördüncü oylamada en fazla oy alan üye, Başkan seçilmiş olur. Buna göre, 3 adayın olduğu bir seçimde ilk oylamada hiçbir adayın seçilmediği kaç farklı sonuç olabilir? 6. X = {1, 2, 3,..., 9} kümesinin 6 elemanlı her alt kümesinde toplamları 10 olan iki elemanın var olduğunu kanıtlayınız.

3 7. Asal bir sayının üç ya da daha fazla ardışık sayının toplamı şeklinde yazılamayacağını kanıtlayınız. 8. Aşağıdaki ifadelerin doğru olanlarının önüne D yanlış olanlarının önüne ise Y harfi koyunuz. [ ] n çift bir doğal sayı olsun. n elemanlı bir kümenin, eleman sayısı çift olan alt kümelerinin sayısı, eleman sayısı tek olan alt kümelerinden fazladır. [ ] Pozitif tamsayıların bir özelliği 1 için sağlansın, özelliğin n 1 için sağlanması, n için de sağlanmasını gerektirsin. Bu durumda özellik tüm pozitif tamsayılar için sağlanır. [ ] Her n doğal sayısı için 2 n 1 n! n n 1 olur. [ ] {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin alt kümelerinin sayısı 1000 den fazladır. [ ] Eğer bir (a n ) dizisi a n+1 = a n + a n 1 koşulunu sağlıyorsa, a n n. Fibonacci sayısı F n olur. [ ] n kez yazı-tura atıldığında k kere tura gelme olasılığı 2 n ( n k ) olur. [ ] p bir asal sayı ve a herhangi bir tamsayı olsun. Bu durumda p (a p a). [ ] π(x), x den küçük olan asal sayıların sayısını göstermek üzere, π(x) x log(x) olur. [ ] Eratosthenes kalburu, verilen bir tamsayıya kadar olan tüm asalları bulmak için kullanılabilir. [ ] Her çizgede derecesi çift olan çift sayıda düğüm noktası vardır. [ ] Her çizgede derecesi tek olan düğüm noktalarının sayısı tektir. [ ] n noktalı her ağaç tam olarak n + 1 kenar bulundurur. [ ] n k=0 (n k ) = 2n olur. [ ] Bir N doğal sayısını ikilik sistemde yazmak için [ log 2 N ] + 1 bit gerekir. [ ] n pozitif bir tamsayı olmak üzere, ( 2n n ) > 22n 2n+1 olur. [ ] Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinin oranı sabit bir sayıya yakınsar. [ ] Her k pozitif tamsayısı için hiç birisi asal olmayan k tane ardışık tamsayı bulunabilir. [ ] Noktaları adlandırılmış n noktalı 2 n 2 farklı ağaç vardır. [ ] Her tek parça çizge en az bir ağaç üretir (doğurur). [ ] n noktalı ve noktaları adlandırılmamış olan ağaçların sayısı noktaları adlandırılmış olanların sayısından daha fazladır.

4 9. (x + 3y + z + 2) 13 ifadesinin açılımında (a) x 2 y 3 z 4 ifadesinin katsayısını bulunuz. (b) Kaç terim vardır? 10. İki farklı tamsayı bir k tamsayısına bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa, bu sayıların farkının k ile bölünüğünü gösteriniz. Aynı sonuç sayıların toplamı için de geçerli midir? arkadaşınıza kartpostal göndermek istiyorsunuz. Satıcıda sadece 3 farklı çeşit kartpostal var. Buna göre aşağıdakileri kaç farklı şekilde gerçekleştirebilirsiniz? (a) Her bir çeşitten yeterince kartpostal var ve siz her arkadaşınıza sadece bir kartpostal göndermek istiyorsunuz. (b) Her kartpostaldan yeterince var ve her arkaşınıza aynı kartpostalı göndermemek koşuluyla bir ya da daha fazla kartpostal göndermek istiyorsunuz. (c) Her çeşitten sadece 4 er kartpostal var ve her arkadaşınıza bir kartpostal göndermek istiyorsunuz.

5 ÇÖZÜMLER 1. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma 8.1.1: Çizgeyi G ile gösterelim. ( ) G bir ağaç olsun. Bu durumda ağaç tanımından G tek parçadır (bağlantılı) ve döngü içermez. u ile v gibi iki noktayı birleştiren yeni bir kenar eklendiğinde, G tek parça olduğundan alınan her iki noktayı birleştiren bir yol bulunduğundan yeni eklenen kenar ile birlikte bu yol bir döngü oluşturur. O halde yeni bir kenar eklendiğinde G bir döngü içerir. ( ) G bir döngü içermesin ancak yeni bir kenar eklediğimizde ise bir döngü içersin. Bu durumda G nin bir ağaç olduğunu gösterelim. Bu koşullar altında G tek parçadır. Gerçekten de, eğer u ve v gibi iki noktayı birleştiren bir yol olmasaydı, u ile v yi birleştiren bir kenar eklendiğinde G döngü içermemiş olurdu. O halde G tek parça ve döngü içermediğinden bir ağaçtır. 2. Dizide 9 eleman olduğuna göre, ağaçdaki nokta sayısı 9 = n 2 formülünden 11 olur. Yani ağacın noktaları kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olur. Verilen dizide olmayan en küçük nokta 1 olduğundan ilk sütün 1 8 olur. 1 i noktalar kümesinden çıkarırsak dizinin geriye kalan terimleri içinde olmayan kümenin en küçük elemanı 3 olduğundan ikinci sütün 3 4 olur. Bu şekilde devam edersek, çocuk: baba: elde ederiz. Bu bilgiler yardımıyla ağaç yandaki şekildeki gibi olur Şekli bir çizge gibi düşünüp düğüm noktalarının derecelerine bakacak olursak derecesi tek olan düğüm sayısı 2 dir. O halde şekli elimizi kaldırmadan her kenardan sadece bir kez geçmek koşuluyla (Euler turu) çizmek mümkündür. 4. Ağacın derecesi 1 olan en küçük elemanı 6 olduğundan ilk sütün 6 1 olacaktır. Ağaçdan 6 yı silersek derecesi 1 olan en küçük kenar, 7 olur. Bu durumda ikinci sütün 7 2 elde edilir. Bu şekilde devam edecek olursak, elde ederiz. O halde Prüfer dizisi, olur. 5. Halit Aydoğan ın 3. Sorusundan uyarlanmıştır: çocuk: baba: (1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1) Eğer hiç bir koşul olmasaydı ( ) = farklı sonuç ortaya çıkardı. Adaylardan birinin 367 oy aldığı durumu çıkarırsak sorunun cevabını elde ederiz. Bu aday 3 aday arasından ( 3 1 ) = 3 şekilde seçilebilir. Bu adaya 367 oy verip, geri kalan = 183 oyu ise 3 adaya ( ) = farklı şekilde dağıtabiliriz. O halde cevap ( ) ( )( ) = olur. (Sayının hesaplanmasına gerek yoktur) 6. Okan Kılıç ın 1. Sorusundan uyarlanmıştır: X in 6 elemanlı bir alt kümesini oluşturmak için, {1, 9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6}, {5} kümelerinden birer eleman aldıktan sonra geriye kalan 1 eleman yine bu kümelerin birinden seçilmek durumundadır. Yani, yukarıda verilen ve elemanları toplamları 10 olan iki elemanlı kümelerin en az birinden iki eleman seçilmesi zorunludur. O halde X kümesinin 6 elemanlı her alt kümesinin toplamları 10 olacak şekilde en az iki elemanı vardır. Burada X in 6 elemanlı alt kümeleri güvercin, yukarıda sıralanan alt kümeler ise güvercin deliği olarak düşünülüp güvercin deliği ilkesinin uygulandığına dikkat ediniz. 7. Alper Tuna nın 3. Sorusunu değiştirmeye çalışılırken elde edildi: p bir asal sayı olsun ve kabul edelim ki p asal sayısı, a > 0 ve k 2 olmak üzere aşağıdaki şekilde ardışık sayıların toplamı şeklinde yazılabilsin. Bu durumda, elde edilir. Buradan bulunur. p = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + k) = (k + 1)a + ( k) = (k + 1)a + k(k+1) 2 2p = (k + 1)(2a + k) (1)

6 8. k + 1 tek ise, (1) den (k + 1) p olur. p asal sayı olduğundan k + 1 = p olmalıdır. Buradan 2a + k = 2 elde edilir. Bu ise a > 0 ve k 2 olmasıyla çelişir. O halde k + 1 tek olamaz. k + 1 çift ise, k tek olur. O zaman 2a + k da tek sayıdır. Yine benzer şekilde buradan (2a + k) = p ve k + 1 = 2 olur. Bu ise k 2 olmasıyla çelişir. O halde p asal sayısı üç ya da daha fazla sayıda ardışık sayının toplamı şeklinde yazılamaz. [Y] n çift bir doğal sayı olsun. n elemanlı bir kümenin, eleman sayısı çift olan alt kümelerinin sayısı, eleman sayısı tek olan alt kümelerinden fazladır. [D] Pozitif tamsayıların bir özelliği 1 için sağlansın, özelliğin n 1 için sağlanması n için de sağlanmasını gerektirsin. Bu durumda özellik tüm pozitif tamsayılar için sağlanır. [D] Her n doğal sayısı için 2 n 1 n! n n 1 olur. [Y] {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin alt kümelerinin sayısı 1000 den fazladır. [Y] Eğer bir (a n ) dizisi a n+1 = a n + a n 1 koşulunu sağlıyorsa, a n n. Fibonacci sayısı F n olur. [D] n kez yazı-tura atıldığında k kere tura gelme olasılığı 2 n ( n k ) olur. [D] p bir asal sayı ve a herhangi bir tamsayı olsun. Bu durumda p (a p a). [Y] π(x), x den küçük olan asal sayıların sayısını göstermek üzere, π(x) x log(x) olur. [D] Eratosthenes kalburu, verilen bir tamsayıya kadar olan tüm asalları bulmak için kullanılabilir. [Y] Her çizgede derecesi çift olan çift sayıda düğüm noktası vardır. [Y] Her çizgede derecesi tek olan düğüm noktalarının sayısı tektir. [Y] n noktalı her ağaç tam olarak n + 1 kenar bulundurur. [D] n k=0 (n k ) = 2n olur. [D] Bir N doğal sayısını ikilik sistemde yazmak için [ log 2 N ] + 1 bit gerekir. [D] n pozitif bir tamsayı olmak üzere, ( 2n n ) > 22n 2n+1 olur. [D] Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinin oranı sabit bir sayıya yakınsar. [D] Her k pozitif tamsayısı için hiç birisi asal olmayan k tane ardışık tamsayı bulunabilir. [Y] Noktaları adlandırılmış n noktalı 2 n 2 farklı ağaç vardır. [D] Her tek parça çizge en az bir ağaç üretir (doğurur). [Y] n noktalı ve noktaları adlandırılmamış olan ağaçların sayısı noktaları adlandırılmış olanların sayısından daha fazladır. 9. Yasin Hesapçıoğlu nun 1. Sorusundan uyarlanmıştır: (a) Genelleştirilmiş binom teoremini kullanırsak, (x + 3y + z + 2) 13 ifadesinin açılımında x 2 y 3 z 4 ifadesinin katsayısını ( ) = ! 2, 3, 4, 4 2! 3! 4! 4! = elde ederiz. (Sayının hesaplanmasına gerek yok) (b) Terim sayısını bulmak için soruyu 13 özdeş objenin 4 farklı kutuya yerleştirilmesi gibi düşünürsek, cevap ( ) = olur. 10. Cansu Cengiz in 1.Sorusudur: Sayıları x ve y ile gösterirsek, k ile bölündüklerinde aynı kalanı verdiklerine göre, a, b ve r tamsayıları için 0 r < k olmak üzere, x = ak + r ve y = bk + r yazabiliriz. Buradan x y = ak bk + r r = (a b)k olur. O halde k (x y) dir. 11. Ders Kitabı Alıştırma, 2. Arasınav 3. Soru: (a) Her bir arkadaşımıza da 3 karttan birisini ( 3 1 ) farklı şekilde seçerek yollayabiliriz. Bu durumda cevap (3 1 )12 = olur. (Sayının hesaplanmasına gerek yok) (b) Kartpostalları a,b,c diye adlandıracak olursak, her bir arkadaşımızı {a, b, c} kümesinin boş kümeden farklı bir alt kümesi ile eşleyeceğiz demektir. {a, b, c} kümesinin boş kümeden farklı alt kümelerinin sayısı = 7 olduğundan istenen cevap 7 12 = olur. (Sayının hesaplanmasına gerek yok) (c) Kartpostaları a, b, c diye adlandıracak olursak, istenen a, a, a, a, b, b, b, b, c, c, c, c dizisinin farklı dizilimlerinin sayısıdır. Bu sayının da 12! 4! 4! 4! = olduğu kolayca bulunur. (Sayının hesaplanmasına gerek yok)

7 1 10 Puan 2 5 Puan 3 5 Puan 4 5 Puan 5 10 Puan 6 8 Puan 7 10 Puan 8 20 Puan Puan 10 5 Puan Puan Puanlama