ALT OYUN TAM DENGESİ

Transkript

1 OYUN TEORİSİ 6.BÖLÜM ALT OYUN TAM DENGESİ İSMAİL TAŞ

2 İçindekiler İÇİNDEKİLER... Tablolar Listesi... Şekiller Listesi ALT OYUN MÜKEMMEL DENGESİ Giriş Bir örnek: Yazılım Oyunları I Oyun ağacı Stratejiler Bilgi Sonuçlar ve Kazançlar Nash Dengesi ve Geriye Doğru Tümevarım Tehditler ve Credible tehditler Alt Oyunlar Ve Alt Oyunlar Tam Dengesi Örnek : Yazılım Oyunları II Stackelberg Düopol Oyunu Örnek Sonuç... 4 KAYNAKÇA... 5 Tablolar Listesi Tablo. Macrosoft'un Karı... 3 Tablo. Macrosoft'un Microcop un piyasa girmesiyle elde ettiği kar... 3 Tablo 3. Microcop'un karı eğer piyasaya girerse... 4 Tablo 4. Stratejiler Seti... 6 Tablo 5. Macrosoftun Kazanç Tablosu... Tablo 6. Microcorpun Kazanç Tablosu... Tablo 7.Yazılım oyunları II için Strateji Seti ve Kazanç Matrisi... Şekiller Listesi Şekil. Yazılım oyunları I için karar ağacı... 4 Şekil. Geriye Doğru Tümevarım Yöntemi ile Çözüm... 7 Şekil 3. Microcorp'un Oyuna İlk Başladığı Oyunun Ağacı... 8 Şekil 4. Alt Oyunun Oyun Agacında Gösterimi... 9 Şekil 5. Yazılım Oyunu II Yayvan Form... 9

3 6. ALT OYUN MÜKEMMEL DENGESİ Giriş Bundan önceki bölümlerde statik oyunları inceledik. Bu bölümde dinamik oyun yapısını göreceğiz. Statik oyunlarda oyuncular eş anlı hareket etmekteydiler. Dinamik oyunlarda ise bir oyuncu diğerinden sonra ve diğerinin hamlesini bilerek hareket eder. Statik oyunlarda kullandığımız kazanç matrisi, tepki fonksiyonu gibi araçlar dinamik oyunlar için uygun değildir. Dinamik oyunlara en iyi ve en bilindik örnek satranç oyunudur. Bir piyasada yer edinmiş veya girmeyi düşünen bir firmanın kararlarını piyasa girmesi muhtemel firmaların girip girmeyeceği ihtimali göz önüne alarak karar vermesi olarak da örneklendirebiliriz. Bir örnek: Yazılım Oyunları I Macrosoft Corparation bir yazılım firması, yeni geliştirdiği bilgisayar oyunu için hangi pazarlama stratejisini uygulaması gerektiğine karar vermek istiyor. Araştırmalar sonunda iki kampanya arasında seçim yapması gerekiyor a) A Madison Avenue - ustaca bir pazarlama stratejisi diye adlandıracağız b) Word of Mouth - basit bir pazarlama stratejisi diye adlandıracağız Firma reklâmların toplam satışı etkilemediğini bilmekte fakat gelir zamanına etkisi olmakta. Uygulayacağı usta pazarlama stratejisi ile ilk yıl yüksek ikinci yıl düşük gelir elde edecek. Basit pazarlama stratejisi ile ilk yıl zayıf ikinci yıl yüksek bir gelir elde edecek. Her iki kampanyada da. yıldan sonra satış olmayacağı bilinmektedir. Tablo. Macrosoft'un Karı Ustaca Pazarlama Basit pazarlama. Yıldaki Kar. Yıldaki Kar $ $ $ $ Toplam Brüt Kar Pazarlama Maliyeti $ $ $ $ Toplam Net Kar $ $ Tablo e göre Macrosoft un en iyi seçeneği yıldaki satışların olacağına inanıp basit pazarlama seçeneğidir. Fakat bu seçenek oyunu yasal kopyalarının yaratacağı rekabet etkisini göz ardı etmektedir. Microcorp isimli bir firma Macrosoft un oyununu piyasa sürmesinden bir yıl içinde oyunu legal kopyasının $ maliyetle üretebilmektedir. Eğer Microcorp oyunu sürmeye karar verirse iki firmada. yılda piyasayı paylaşacaklar. Tablo. Macrosoft'un Microcop un piyasa girmesiyle elde ettiği kar Ustaca Pazarlama Basit pazarlama. Yıldaki Kar. Yıldaki Kar $ $ $ $ Toplam Brüt Kar Pazarlama Maliyeti $ $ $ $ Toplam Net Kar $ $

4 Tablo 3. Microcop'un karı eğer piyasaya girerse Ustaca Pazarlama Basit pazarlama. Yıldaki Kar. Yıldaki Kar $0 $ $0 $ Toplam Brüt Kar Pazarlama Maliyeti $ $ $ $ Toplam Net Kar -$ $ Aralarındaki bağımlılık yüzünden iki firma bir oyuna dahil olmuşlardır. Bu oyunu analiz edebilmek için oyucuların mevcut stratejileri ve kazançlarını bilmemiz gerekmektedir. Bu listeyi oluşturabilmek için yapılacak ilk adım oyuncularını muhtemel adımlarının listelemek olacaktır Macrosoft iki farklı hareket edebilir a) Ustaca pazarlama stratejisi uygulayabilir b) Basit pazarlama stratejisi uygulayabilir Microcop iki farklı hareket edebilir a) Oyunu kopyala ve piyasaya gir b) Oyunu kopyalama ve piyasa dışında kal Bu oyunda Macrosoft ilk oyuna başlayan Microcop sonrada başlayan 6... Oyun ağacı Her iki firmanın strateji setlerini ortaya çıkarmak için sadece hareketleri değil aynı zamanda sahip oldukları bilgilerinde dikkatlice verilmelidir. Bunu organize etmenin en güçlü yolu ise oyun ağacıdır. Oyun ağacı düğümlerden ve dallardan oluşmaktadır. Karar ağacıdaki her düğüm noktası o oyuncu için karar noktasıdır, oyuncu hareketine oradan devam eder. Karar noktaları kutuların içindeki oyuncuların isimleri ile gösterilir. Dallar oyuncunun muhtemel hareketlerini gösterir. Her dal iki karar noktasını belirli bir yönde birleştirir. Dallar oklarla gösterilir. Şekil. Yazılım oyunları I için karar ağacı Şekil den okunacağı gibi oyun Macrosoft un yeni ürünü için kampanyasını seçtiği en soldaki kutucuk da başlamaktadır. Kutucuktan sağ yöne doğru iki dal bulunmaktadır ve her biri seçilecek kampanyayı temsil etmektedirler. Dallara denk gelen düğüm noktaları Microcorp un piyasaya girmeye karar vermesi ve Macrosoft un uyguladığı kampanyayı

5 öğrendikten sonraki karar noktalarını temsil etmektedir. En sondaki siyah noktalar terminal noktaları veya son nokta olarak anılmaktadır. Bu noktalarla oyun sona ermektedir. Oyun ağacı terminal noktalarındaki kazançlarla birlikte açılması oyunun yayvan biçimidir. Bir oyunun yayvan biçimi şunları tanımlar: - Oyuncular kümesi - Hareketlerin sırası 3- Oyuncunun yer alabileceği her bir hareketteki olası davranışlarını ve bu olası davranışları ile olasılık dağılım fonksiyonunca tanımlanmış olan doğa karşısındaki hareketleri. 4- Her bir harekete oyuncunun sahip olacağı bilgiyi. 5- Her olası hareket birleşimlerine karşılık gelen oyuncunun kazançları. Oyun ağacı formundaki bir oyunun çözümü bilinen çözüm yöntemlerinden farklı olup, sondan başa doğru çözüm olarak adlandırılan (Geriye Doğru Tümevarım Yöntemi) yöntem kullanılmaktadır. Bu yöntemle son düğümden yer alan kayıp ya da kazanç değerleri üzerinden başlangıç düğümüne ulaşılmak hedeflenmiştir Stratejiler Strateji oyunu oynamak için detaylandırılmış planların bir setidir. Macrosoft un bir karar düğümü olması dolayısıyla Macrosoft basitçe iki hareketten birini seçebilmektedir. Buna karşılık Microcorp un adet karar düğümü bulunmaktaydı. Bu durumda Microcorp un Macrosoft yapacağı ilk kampanya seçiminde sonra piyasaya gir ve girme gibi iki hareket ve toplamada 4 hareket seçeneği bulunmaktadır. Eğer Macrosof basit reklâm uygulara Microcorp ya girecek ya girmeyecek aynı şekilde diğer reklam kampanyası içinde geçerli olacaktır. Strateji hareketten farklıdır. Strateji oyun anında oluşabilecek tüm olası durumlar karşısında bir oyuncunun hareketlerinin bütünsel bir tanımıdır Bilgi Bir oyunda eğer rakip oyuncunun oyun ağacı üzerinde nerede olduğunun biliyorsa ve oyun sırası onda ise diğer oyuncu tam bilgiye sahip demektir. Bir oyun ancak tüm oyuncular tam bilgiye sahip ise oyun için tam bilgiye sahiptir denilir. Daha önce verdiğimiz gibi satranç tam bilgiye sahip oyuna bir örnektir. Yazılım oyunları I, tam bilgiye sahip bir oyundur. Alternatif olarak oyuncunun diğer oyuncunun bir önceki oyun bilgisine sahip olmadan hareket etmesi gerekebilir. Bu oyuna eksik bilgili oyun denilir. Eğer yalnızca bir oyuncu eksik bilgiye sahip ise oyun eksik bilgili oyundur. Kart oyunları gibi statik oyunlar eksik bilgi ile oynanan oyunlardır Sonuçlar ve Kazançlar İki firmanın da toplamda kazançları gösterilmiştir.

6 6.3. Nash Dengesi ve Geriye Doğru Tümevarım Dinamik oyunlarda strateji bir hareket değil, oyun anında oluşabilecek tüm olası durumlara karşısında bir oyuncunun hareketlerinin bütünsel bir tanımıdır. Statik oyunlarda çözüm nash dengesi ile ifade edilebilmektedir fakat dinamik oyunlarda nash dengesinin güçlü biçimi alt oyunların tam Nash dengesi olarak ifade edilmektedir. Burada neden oyuncuların hamlelerinden çok stratejilerine odaklanmanın önemli olduğunu anlatacağız. Bir Nash dengesi ortaya çıkarmak için en son kullandığımız kazanç matrisine bakacak olursak. Eğer Macrosoft basit reklâm kampanyasını uygularsa Microcorp gir stratejisini seçecektir. Burada Macrosfot basit reklâm kampanyası ile Microcorp gir stratejisi Nash dengesidir. Alternatif olarak oyuncuların tüm stratejilerin bulunduğu yeni bir tabloya bakacak olursak. Tablo 4. Stratejiler Seti Eğer yukarıdaki tabloda Microcorp, Macrosoft ne seçeceği ile ilgilenmeden her şekilde gir stratejisini uygularsa Macrosoft basit reklâm kampanyasını uygulayacaktır. Böylece strateji profili (Basit(gir, gir) bir Nash dengesi olacaktır. Alternatif olarak eğer Macrosoft her şeklide usta reklâm kampanyasını seçerse Microcorp en iyi ihtimali girme gir stratejisi olacaktır aynı şekilde Microcorp bu stratejiyi seçerse Macrosoft usta reklam stratejisin seçecektir ve bu durum da bir Nash dengesidir. İlk Nash dengesinde Microcorp iyi ikincisinde Macrosoft daha iyi durumda peki bu durumlarda nasıl karar alacağız. Geriye doğru tümevarım yöntemini uygulayarak.

7 Geriye doğru tümevarım yöntemi şunları içerir a) Oyundaki son karar noktasından incelenmesi b) Oynanmamış davranışların elenmesi c) Bu elenmiş davranışların silinmesi d) Oyun ağacının yeniden çizilmesi e) Yukarıdaki sürecin yinelenmesi Teorem: Tam bilgiye dayalı oyunda geri doğru tümevarım süreci kullanarak seçilen strateji profili bir Nash dengesidir. Şekil. Geriye Doğru Tümevarım Yöntemi ile Çözüm Yazılım oyunları I de maliyetli usta reklam stratejisi en doğru kampanyadır çünkü Microcorp un piyasaya girmemesine neden olur Tehditler ve Credible tehditler Yazılım oyunları analizimizde her iki firmanın da birbirleriyle konuşmadıklarını varsayıyorduk. Şimdi her iki firmanın da bir birleriyle stratejileri hakkında konuştuklarını varsayarsak daha önce bulduğumuz sonuçlar hemen hemen değişmeyecektir. Farz edelim ki microcorp macrosft a onu reklâm ile ilgili vereceği karara bakmadan oyunu kopyalayacağını söylüyor diğer bir deyişle stratejisini gir gir olduğunu iddia ediyor bu durumda macrosoft basit reklâm uygulamasına yönelmesinin sağlayacaktır çünkü diğer şekilde 0000$ zararı olacaktır. Aynı zamanda microcorp tehdidinden vazgeçip girmemeyi seçebilir. Bu yüzden macrosoft bu tehditle ilgilenmemesi akılıca olacaktır. Tehdidi gerçekleştirip

8 gerçekleştirmemek oyuncu elinde olduğu durumlara credible tehdit denir. Eğer oyunca tehdidinden geri dönemiyorsa buna da kör tehdit denir. Şekil 3. Microcorp'un Oyuna İlk Başladığı Oyunun Ağacı Bu oyunun sonucu olarak da Microcorp ilk oyuncu olmanın avantajına da kullanarak 00000$ gir gir stratejisi ile bitirip basit reklâmla da macrasoft 30000$ kaybı olmaktadır. Her iki firmada ilk hareket eden oyuncu olmak ister Alt Oyunlar Ve Alt Oyunlar Tam Dengesi Selten tarafında ortaya atılan credible tehditler içeren her nash dengesi insan davranışlarının kötü bir belirleyicisi olarak oyun teorisyenleri tarafında kabul görmüştür. Selten bu iddiasını alt oyunlar ve alt oyunlar tam dengesini yaratarak formüle etti ve 994 Nobel ekonomi ödülünü aldı. Tam bilgiye dayalı oyunlarda alt oyun, düğüm noktalarının ve dalların bir alt kümesini oluşturur. Alt oyun, oyun olması durumunda alt kök denen aynı başlangıç noktasına sahiptirler. Alt Oyunların Özellikleri. Tek bir bilgi kümesine sahip karar noktasında baslar. Başlangıç karar noktasından sonra, asıl oyunun tüm karar noktalarını ve dallarını kapsar. 3. Asıl oyunun hiçbir bilgi kümesini kesmez Tam bilgili bir oyunda Oyun onun alt oyunu ise ile gösterilmektedir GT GS., ile aynı oyunculara sahip olmasına rağmen bazı oyuncuların içinde herhangi GS GT GS bir hareketi olmaz.. in ilk düğümü alt kökünden başlar, GS GT 3. nin her oyuncusu terminal noktasındaki kazançları nin aynı terminal noktalarında GS GT özdeştir

9 Şekil 4. Alt Oyunun Oyun Agacında Gösterimi Aslında bu üç şart alt oyununun orijinal oyundaki, oyuncuların seti, oyun sırası ve mevcut hareketlerin korunmuş bir kısmı olduğunu söylemektedir. Buna göre her oyun aslında bir alt oyundur. Yukarındaki şeklide alt oyun D noktasında başlamaktadır. T ve T olmak üzere iki terminal noktası vardır. Orijinal oyunda iki nash dengesi vardı fakat bu alt oyunda yalnızca bir nash dengesi bulunmaktadır oda (basit(gir,gir)) olarak Örnek : Yazılım Oyunları II Macrosoft ve Microcorp aşağıda çizilmiş olduğu gibi dinamik bir oyun oynamaktadırlar. Macrosoft çok popüler olacağı kesin akıllı bir bilgisayar oyunu geliştirdi. Şekil 5. Yazılım Oyunu II Yayvan Form Diğer yandan Microcorp mühendisleri ile oyunu kopyalayabilmektedir. Eğer Macrosoft un birkaç mühendisini işe alabilirse bunu daha kolay yapabilmektedir. Bunu önlemek için Macrosoft mühendisler ile özel sözleşme imzalamalı ki mühendisler onlardan ayrıldığında benzer bir şirkette belli bir süre çalışmasınlar. Buna engelleyici hareket de denir. Engelleyici hareketler genellikle maliyetlidir. Bu hareket Macrosft çalışmak için daha az çekici bir yer yapar ve o yüzden mühendislerine çok daha fazla ödemesi gerekir.

10 Macrosoft nasıl davranmalı ya yüksek reklam verip yüksek pazar payı elde etmek için savaşmalı yada reklam harcamalarından vazgeçip piyasayı yarı yarıya paylaşmalı. Microcorp her birinde iki hareketi olan iki karar düğümüne sahiptir ve dört stratejisi vardır. S Micro S Micro 3 : (Gir,Gir) S Micro : (Girme, Gir) 4 : (Gir, Girme) S Micro : (Girme, Girme) Macrosoft her birinde iki hareketi olan üç karar düğümü ve sekiz stratejiye sahiptir. 5 S Macro : (Bağlayıcı, savaş,savaş) S Macro 6 S Macro : (Bağlayıcı, paylaş, savaş) S Macro 3 7 S Macro : (Sebest, savaş, savaş) S Macro 4 8 S Macro : (Sebest, paylaş, savaş) S Macro : (Bağlayıcı, savaş, paylaş) : (Bağlayıcı, paylaş, paylaş) : (Sebest, paylaş, savaş) : (Sebest, paylaş, paylaş) Yaşam süresi boyunca bilgisayar oyunu 500,000$ net gelir getirmektedir. Macrosoft mühendislerini tutmak için ekstra 00,000$ ödemek zorundadır. Microcorp sistemi geliştirebilmek ve mühendisler işe almak için 300,000$ ödemek zorundadır. Yüksek reklam maliyeti Macrosoft için 80,000$. Hırçın reklam ve mühendisleri elde tutma ile %70 Pazar payı mühendisleri tutamazsa %6 eğer pasif reklam olur ve mühendisleri tutamazlarsa pazarı %50 paylaşmak zorundalar. Oyunda 5 alt oyum bulunmaktadır Oyuna sonradan başlayacak olursak Macrosoft un D4 optimal herekti savaşmak D5 teki optimal hareketi paylaş olacaktır. Microcorp da D ve D3 de optimal stratejisi girme olacaktır ve burada (400,0) alt oyunlar tam dengesi olacaktır. Toplam 4 Nash dengesi bulunmaktadır fakat yalnızca (400,0) alt oyunlar tam dengesidir.

11 Seneryolar Mac Bağlayıcı Mac yüksek reklam Mac Bağlayıcı Mac pasif reklam Mac Bağlayıcı Mic kopyalamıyor Mac serbest Mac yüksek reklam Mac Serbest Mac pasif reklam Mac serbest Mic kopyalamıyor Tablo 5. Macrosoftun Kazanç Tablosu Gelir- Üretim Reklam Müh Bağlama Macrosoft için Maliyeti Maliyeti Ek Maliyet kar Seneryolar Mac Baglayıcı Mac yüksek reklam Mac Baglayıcı Mac pasif reklam Mac Baglayıcı Mic kopyalamıyor Mac serbest Mac yüksek reklam Mac Serbest Mac pasif reklam Mac serbest Mic kopyalımıyor Tablo 6. Microcorpun Kazanç Tablosu Gelir- Üretim Geliştirm Microcorp Maliyeti Maliyeti için kar

12 Mac S S S3 S4 S5 S6 S7 S8 Tablo 7.Yazılım oyunları II için Strateji Seti ve Kazanç Matrisi Microcorp S S S3 S4 ( 70, -50) ( 70, -50) (400, 0) (400, 0) (50, 50) (50, 50) (400, 0) (400, 0) (30, 90) (500, 0 ) (30, 90) (500, 0 ) (50,50) (500, 0 ) (50,50) (500, 0 ) ( 70, -50) ( 70, -50) (400, 0) (400, 0) (50, 50) (50, 50) (400, 0) (400, 0) (30, 90) (500, 0 ) (30, 90) (500, 0 ) (50,50) (500, 0 ) (50,50) (500, 0 ) 6.7. Stackelberg Düopol Oyunu Alman iktisatçı Heinrich von Stackelberg, 934 yılında yazdığı Marktform und Gleichgewicht (Pazar formu ve denge) adlı makalesinde piyasa yapılarını farklı şekilde sınıflandırdıktan sonra düolopolist ve oligopolistik piyasa yapısının genel bir analizini yapmıştır. Bu model Cournot modelinin bir uzantısıdır. Stackelberg in modelinde firmalardan bir tanesinin rakiplerinin Cournot varsayımına göre hareket ettiğinin farkında olduğu varsayımı doğrultusunda gerçekleşmektedir. Bu modelde birinci firma ve ikinci firma olmak üzere iki oyuncu bulunmakta olup, piyasaya sürülecek olan arz miktarını önce birinci firma belirlemekte daha sonra ikinci firma gelmektedir (Naeve 004). Cournot ve Bertrant modellerinde firmalar stratejilerini eş zamanlı olarak belirlerken Stackelberg düopol modelinde oyun sıralı bir şekilde oynanmaktadır. Birinci firma gelişmiş (lider) oligopolist olarak kabul edersek ikinci firmanın (izleyen) kendi tepki eğrisine göre hareket edeceğini varsayacaktır. Birinci firmanın karını maksimize eden üretim miktarını ikinci firmanın tepki fonksiyonu verir. Bunun sonucunda birinci firma Cournot modeline göre daha iyi, ikinci firma daha kötü durumdadır. Piyasanın ulaştığı denge istikrarlıdır. Her iki firman gelişmiş(lider) olarak hareket etmesi durumunda piyasa istikrarsız hale dönüşür. Bu durum Stackelberg Dengesizliği olarak da bilinir Örnek Bir duopol piyasasına ilişkin piyasa talep fonksiyonu ve firma maliyet fonksiyonları aşağıda verilmiştir.

13 P ( TC TC Piyasa talep fonksiyonu ve firma maliyet fonksiyonlarını kullanarak, kar maksimizasyonunu ve tepki fonksiyonlarını belirleyelim. + ) P TC [ ( )] P TC [ ( )] Birinci Firmanın Tepki Fonksiyonu İkinci Firmanın Tepki Fonksiyonu Birinci firmayı lider varsayalım. Bu durumda birinci firma, ikinci firmanın tepki fonksiyonunu, kendi kar fonksiyonundaki yere yazarak çözecektir.

14 , ( ) * 93.3 * * 6.7 * Sonuç Sonuç olarak bu bölümde dinamik oyunları analiz ettik. Bu oyunlar oyuncuları kararlarını ardışık olarak verdiği ve sonraki oyuncunun önceki oyuncunun hareketini bildiği oyunlardır. Birçok oyunda ilk oyuna başlaya bir sonraki oyuncudan avantajlıdır yalnız bu her zaman geçerli olmayabilir. Genellik credible tehditler içeren Nash dengesi bulunmaktadır. Credible tehditler tehdit edenin şansı olduğu zaman tehdidinden vazgeçebilmektedir. Birçok oyun teorisyeni bu tarz tehditlerin rasyonel oyuncular tarafından genellikle göz ardı edildiğini söylemektedirler. Geriye doğru tümevarım yöntemi kötü Nash dengesi elemine edecektir. Selten in alt oyunlar ve alt oyunları tam dengesi konsepti geriye doğru tümevarım yöntemine vurgu yapmaktadır. Alt oyun büyük oyunun alt setidir ve iki özelliği takip eder - bir kere oyuncu alt oyunu oynamaya başlarsa oyun bitinceye kadar devam eder. - oyuncu alt oyunu oynamaya başlarsa bu ortak bir bilgi haline gelir. Bir alt oyun tam dengesi her alt oyunun nash dengesinden oluşan nash dengesi strateji profilidir. Bu dengeler asla credible tehditleri içermez. Oyuncuları sürekli hareket değiştirdiği birçok oyunu, oyun ağacı yardımı ile çözmek çok zor olacaktır. Buna bir örnek olarak Stackelberg in düopol modelini inceledik. Bu modelde bir oyuncu lider ve ilk hareket eden, ikinci oyuncu ise takipçi ve ikinci hareket eden oyuncudur. Takipçi oyuncu için strateji bir fonksiyondur. Alt oyunlar tam dengesi takipçi oyuncu için en iyi tepki fonksiyonun dönmektedir.

15 KAYNAKÇA Bierman, Scott H. ve Fernandez, L. (998). Game Theory with Economic Applications. Addison Wesley, ss.-44. Özer, O.O., (004), Oyun Teorisi ve Tarımda Uygulanması, Ankara Üniversitesi Doktora semineri, ss. 93 Keskin, H.İ., (009), Oyun Kuramının Ekonomide Uygulanması Yüksek Lisans Tezi Çukurova Üniversitesi. Mikro İktisat Ders Notları idari.cu.edu.tr/sanli/mikro-5.pdf (Erişim Tarihi: 05,04,0) Matematiksel İktisat Ders Notları,idari.cu.edu.tr/sanli/oyun.pdf (Erişim Tarihi: 0.04,0)