İŞ SIRALAMA VE ÇİZELGELEME KARINCA KOLONİLERİ ALGORİTMASI

Transkript

1 İŞ SIRALAMA VE ÇİZELGELEME KARINCA KOLONİLERİ ALGORİTMASI Suphi ÇAKIR

2 Endüstriyel problemlerin çözümünde kullanılan sezgisel yöntemlerin belirlenmesinde doğal süreçlerin kullanımı giderek yaygınlaşmaktadır. Çünkü çok sayıda basit bireyden oluşan bu sistemler, bir bütün olarak çok karmaşık bir yapı sergilemektedirler. Karınca kolonileri de bu tarz sistemlere bir örnektir. Doğada neredeyse kör olan bu hayvanlar, yuvaları ile besin kaynakları arasındaki en kısa yolu bulabilmektedirler. Karıncaların bu davranış kalıplarının, özellikle en kısa yol problemleri olmak üzere, pek çok kombinatoriyel optimizasyon probleminde kullanılabileceği ilk kez 1992 yılında Marco Dorigo tarafından ortaya atılmıştır. Karınca Kolonileri Meta sezgiselinden türetilmiş ve çeşitli problemlerin çözümünde kullanılan çok sayıda algoritma vardır

3 Karınca Kolonileri Algoritması Marco Dorigo, 1992 yılında doktora tezinde karınca algoritmasını ilk olarak çalışmıştır. Karıncaların belirli bir mantığa göre hareket ettiğini düşünen Dorigo, karınca kolonisi optimizasyonunu, gezgin satıcı problemi ve araç rotalama problemi gibi optimizasyon problemlerine uygulamıştır. 200 adet karınca kullanarak deneyler yapmıştır. Çeşitli yiyecek ve engeller koyarak her bir karıncanın hareketini incelemiştir. Bu gözlemlerin sonucunda karıncaların en kısa yolu bulduklarını görmüştür.

4 Şekil 1 de görüldüğü gibi karıncalar A noktasından E noktasına gitmektedirler. Bu iki nokta arasına bir engel koyulduğu zaman, karıncalar ilk önce hem C hem de H tarafını kullansa da, uzun vadede sadece C noktasını kullanmıştır. Şekil 1Karıncaların A-E Arasındaki Rotaları

5 GSP ve ARP çözmek için, karınca kolonisi algoritması kullanıldığında karıncalara doğal olmayan, mesafeyi hesaplama ve artırılmış hafıza davranışları eklenmektedir. Karınca kolonisi algoritmasının ARP ye uygulanışı aşağıdaki şekildedir: 1. m karınca rastgele seçilen şehirlerden serbest bırakılır. 2. Karınca daha önce tanımlanan parametreye göre gezgin veya takipçi olarak belirlenir. 3. Her bir karınca feromen miktarı ve şehirlerarası mesafeye göre gideceği şehri seçer. 4. Her bir kenardaki feromen miktarları güncellenir. 5. Her bir şehir ziyaret edilene kadar 2. ve 3. aşama tekrar edilir. 6. Bütün karıncalar turu tamamladığı zaman en çok feromen içeren kenarlar bu turdaki en iyi sonucu oluşturur. 7. Karıncaların hafızaları silinir. 8. Durma kriteri sağlanana kadar önceki adımlar tekrarlanır.

6 Karıncaların hareketlerinin sayısal bir örneği Şekil 2 de verilmiştir. Karıncaların bu önemli özellikleri Hewlett-Packard ve British Telecom daki araştırmacılar tarafından iletişim ağlarının dengelenmesi ve mesaj rotalaması problemlerinde kullanılmıştır. Burada ağ üzerinde yapay karıncaların feromen bırakma ve bu bilgiyi kullanma özellikleri simule edilmiş ve elde edilen sonuçlara göre rotalama yapılmıştır. Şekil 2 A) Karıncalar bir karar noktasına gelirler. B) Bir kısım karınca yukarıdaki yolu bir kısmı ise aşağıdakini seçer. Seçim tümüyle rassaldır. C) Karıncalar neredeyse sabit bir hızda yürüdükleri için aşağıdaki ve kısa olan yolu seçen karıncalar turlarını daha çabuk bitirirler ve bir sonraki karar noktasına daha çabuk ulaşırlar. D) Kısa olan yolda feromen birikmesi daha fazla olur.

7 Karınca Kolonisi Sisteminin Matematiksel Modeli Algoritmanın kullanıldığı problemlerde düğümler arasında uzaklık ölçüsü olarak Öklit (Euclidian) uzaklık ölçüsü de denilen mutlak uzaklık değeri kullanılmaktadır. Öklit uzaklık ölçüsüne göre i düğümü ile j düğümü arasındaki uzaklık; N tane düğümü olan ve E tane kenara sahip bir ağ yapısı G(N, E) olarak gösterilmektedir. t zamanında i düğümündeki karınca sayısını göstermektedir.

8 Toplam karınca sayısını göstermektedir. Ağ ortamında hareket eden her bir karınca aşağıdaki davranışları gerçekleştirir; Karınca, gideceği bir sonraki düğümü bağlı kenar üzerindeki iz miktarının ve düğüm uzaklığının bir fonksiyonu olan olasılık değerine göre seçer. Karıncanın bir düğümden birden fazla kere geçmesine izin verilmez. Bu amaçla karıncanın geçtiği düğümler tabu listesi adı verilen bir veri kaydında tutulur. Bir düğümden daha önce geçilip geçilmediği bu listeye bakılarak kontrol edilir. Karınca turu tamamladığı sırada üzerinden geçtiği her (i, j) kenarına feromen karşılığı olarak bir kayıt bırakır.

9 ij(t), İfadesi, t anında (i, j) kenarı üzerindeki feromen yoğunluğunu göstermektedir. Her karınca her t anında bir sonraki düğümü seçer ve (t +1) zamanında seçtiği düğümde olur. Bu durumda (t, t+1) aralığında m karınca tarafından m hareket gerçekleştirilir. Algoritmanın n iterasyonu sonucunda her karınca bir tur tamamlamış olur Denklem içerisinde yer alan ρ bir katsayı değeridir ve (1 ρ ) değeri, t ile t+n zaman aralığında feromen miktarının buharlaşmasını ifade etmektedir (0 < ρ < 1). gösterilen Δ k ij,k. karıncanın t ile t+n zaman aralığında (i, j) kenarı üzerinde bıraktığı iz miktarıdır

10 Karıncanın kullandığı herhangi bir (i,j) bağlacı üzerinde bıraktığı feromen miktarı ile hesaplanır. Dolayısıyla geçilmemiş bir bağlaçta feromen miktarı sıfır olur. Q parametresi sabit bir değerdir. L k Parametresi ise k. karıncanın tur uzunluğunu ifade etmektedir.

11 Algoritmada k. karıncanın i. düğümden j. düğüme geçiş olasılığını hesaplamak için Denklemde yer alan ifadelerin açıklamaları; ij(t): t anında (i,j) köşelerindeki feromen izi miktarı. n ij : (i,j) köşeleri arasındaki görünürlük (visibility) değeridir. α : feromen ize verilen bağıl önemi gösteren parametredir. β : görünürlük değerine verilen önemi gösteren parametredir. A k : Henüz seçilmemiş düğüm noktaları kümesidir.(izin verilen Tabu-listesi)

12 Algoritmanın İşleyişi Algoritmanın başlangıcında zaman sıfırdır ve karıncalar farklı düğümlere rasgele dağılmışlardır. Bu arada her yolun üzerindeki feromen yoğunluğunun birbirine eşit olduğu kabul edilir ve uygun bir değer verilir. Tabu listesi nin ilk elemanı algoritmanın başlangıç düğümüdür. Başlangıç anından sonra her karınca geçiş olasılık fonksiyonunu kullanarak i. düğümden seçilen j. düğüme doğru harekete başlar. Her t anında karıncalar hareket halindedirler ve (i,j) yolu üzerindeki bırakılan iz alınarak yeni değerlerin hesaplanması için kullanılır. Her karınca hareketi sırasında feromen güncellemesini ve geçiş olasılık değerlerini hesaplar. Algoritmanın n. iterasyonu sonunda, her karıncanın tabu-listesi dolmuş olur. Her karıncanın sahip olduğu L k değerleri karşılaştırılır ve bunlardan en küçüğü en kısa yol değeri olarak hesaplanır. Daha sonra tabulistelerin içi boşaltılır. Bu süreç sonsuza kadar sürer. Ancak uygulamada iterasyon sayısı kullanıcı tarafından tayin edilir.

13 Atölye Tipi Çizelgeleme Problemleri Atölye çizelgeleme problemi m adet makinede n adet işin; A. teknolojik kısıtlara uygun B. bazı performans ölçülerini en iyileyecek şekilde işlenmesi için gerekli olan sıranın bulunmasıdır. Üretim ortamlarının çoğunda, çizelgeleri maliyet ve performansları açısından değerlendirmek gerekir. Ancak literatürde değerlendirme ölçütü olarak performans ölçütleri ele alınmıştır. Performans ölçütleri, iş ile ilgili olanlar ve atölye ile ilgili olanlar olmak üzere iki grupta incelenmektedir.

14 Atölye Çizelgeleme Probleminde Kullanılan Performans Ölçütleri Üretim ortamlarının çoğunda, çizelgeleri maliyet ve performansları açısından değerlendirmek gerekir. Ancak literatürde değerlendirme ölçütü olarak performans ölçütleri ele alınmıştır. Performans ölçütleri, iş ile ilgili olanlar ve atölye ile ilgili olanlar olmak üzere iki grupta incelenmektedir. İş İle İlgili Performans Ölçütleri; 1. Tamamlanma zamanı (completion time, Ci): Bir işin en son operasyonunun tamamlandığı zamana tamamlanma zamanı denir. 2. Akış zamanı (Flow time, Fi): İşin işlenmeye hazır olduğu andan tamamlanmasına kadar geçen zamandır. 3. Gecikme zamanı (lateness, Li): İşin tamamlanma zamanı ile teslim zamanı arasındaki farktır. İşin gecikme zamanı pozitif değer aldığında gecikme zamanına tehir (tardiness, Ti) adı verilir.

15 Atölye İle İlgili Performans Ölçütleri 1. N w (t): t zamanında makineler arasında bekleyen toplam iş sayısı 2. N p (t): t zamanında işlenmekte olan toplam iş sayısı 3. N c (t): t zamanında tamamlanmış toplam iş sayısı 4. N u (t): t zamanında tamamlanacak toplam iş sayısı Makineler arasında bekleyen iş sayısı ve tamamlanmamış toplam iş sayısının minimize edilmesi işlem sırasında oluşan stok maliyetleri ile ilgili performans ölçütleridir.

16 Atölye Çizelgeleme Probleminin Genel Gösterimi Çizelgeleme problemleri; n / m / A / B Burada; n: İş sayısı şeklinde ifade edilmektedir. m: Makine sayısı A: Problem tipini gösterir. A şunlardan biri olabilir: F: Seri iş akışlı çizelgeleme problemi P: Seri iş akışlı, permütasyon çizelgesi problemi G: Karışık iş akışlı çizelgeleme problemi B: Çizelgenin değerlendirildiği performans ölçütünü gösterir.

17 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması m makineli, n işli ve operasyon seti O, N=IOI olan atölye tipi çizelgeleme problemi karınca kolonileri ile algoritması ile Q=<U, E>, şu şekilde: U=0 {u 0 }; E={(u ij,u kl ): u ij,u kl O}, {(u 0,u i1 ): u i1 iş J 1 zincirinin ilk operasyonu} tanımlanır. Düğüm u 0 yeni bir iş başlanacağı zaman tüm işlerin aynı makineye atanmasının engellenmesi için ilk çizelgelenecek olan iştir. Bu nedenle N+1 adet düğümümüz (N(N-1)/2+n) bağlantımız bulunmaktadır. U 0 dışında tüm düğümler bir makine ile bir işin işlenmesini temsil eder. U 0 ın ilk işte birden fazlaya bağlanma noktası hariç u 0 haricindeki tüm düğümler çift tafralı bağlanabilirler. Her ok { ij, ij} olmak üzere çift iki sayı ile ağırlıklandırılırlar. İlki tij yol seviyesini belirtirken ij i->j den geçiş noktasını LRT ye göre belirlemektedir.

18 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması Tüm karıncalar ilk u0 başlangıç düğümünde varlardır ve daha sonra kalan düğüm permütasyonlarını tanımlamak için serbest bırakılırlar. Bu problemin üstesinden gelmek amacıyla verilere bağlı kalarak oluşturulan geçiş olasılıklarının hesaplanması aslında tabu listesi haricinde üzerinden herhangi bir adımda ulaşılabilecek düğüm kümesini sınırlamak için gerekli mümkün permütasyonlar gerekli şekilde tanımlanır. G ziyaret edilecek düğümleri ifade etsin, S de öncülleri ziyaret edilmiş düğüm kümesi olsun. Başlangıçta G=S-{u 0 } ve S j işinin ilk operasyonlarını kapsayan düğümlerden oluşuyor. Geçiş olasılıkları hesaplanıyor ve ulaşılabilir düğüm kümesi S ye eşittir. Bir düğüm seçildiğinde tabu listesine eklenir ve G ve S kümesinden çıkarılır. Eğer seçilen düğüm işteki son düğüm değil ise S kümesi zincirine eklenir. Süreç G=Ø oluncaya kadar yürütülür.

19 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması Sonunda tabu listesi verilen permütasyondaki düğümlerin sırası makineler arasındaki bağı kurar. Böylece elde edilen her bir karınca tarafından önerilen çözüm amaç fonksiyonu değerini ile bu noktada odaklı grafiğin kritik yolun uzunluğu hesaplanabilir. Yollar böylece her zamanki gibi hesaplanabilir ve karınca algoritması tarafından belirtildiği gibi onlar belirlenmiştir.

20 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması: Örnek Aşağıdaki örnek, bir karınca ve inşa ettiği çözümü doğrultusunda olası başarılı kararları görselleştirmek için yardımcı olacaktır. Mevcut örnekte sürecin daha basit olması için örnek 3X4 bileşenden oluşturularak Şekilde sunulmuştur ve u0 da başlayan tek bir karıncanın adımları izlenmiştir. Şu anda ulaşılabilir düğümler sadece her işin başlangıcı olan düğümlerdir. Çizimde S kümesinin üyesi düğümler S ile G kümesine ait düğümler de henüz gidilmemiş düğümler olarak işaretlenmiştir. Takip edilen yol kalınlaştırılmakta kullanılmayan ok ve yollar silinmektedir.

21 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması: Örnek Karıncanın düğüm u 11 e gittiğini varsayalım ve yeni durum ; şekildeki gibi olacaktır.

22 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması: Örnek Şimdi karıncanın u 31 e gittiğini varsayalım.

23 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması: Örnek Daha sonra karınca u 12 ye gitti ve bu nedenle u 31 S kümesine dahil oldu.

24 Karınca Kolonilerinin Atölye Tipi Üretim Çizelgelemeye Uygulanması: Örnek Final yolun şekildeki olduğunu varsayın Bu bir tamamlanmış yoldur ve bir sonraki iterasyon süreci tekrar başlatacak, tüm karıncalarda u 0 noktasında yerini alacak. Olasılık u 11 u 31 u 12 u 13 u 21 u 32 u 22 u 33 u 23 u 24 u 34 u 14 olarak geçekleşmiş ve bu permütasyon uygun kenar yönlendirmesine karşılık gelir.

25 Sonuç: denkleminde belirtilen,, 1 parametreleri doğrudan ya da dolaylı olarak olasılık hesaplamasına etki etmekte ve böylelikle karınca kolonileri algoritmasının atölye tipi çizelgeleme problemlerinde etkisinin belirlenmesi gerekmektedir. Bu doğrultuda bu katsayıların farklı varyasyonları üzerinden soru çözümü tekrarlanarak en iyi sonucu sağlayan yani karıncaların yön tayininde durağanlığa kapılmasının engellenerek her iterasyonda yeni bir yol bulmasını sağlayacak değerler belirlenmiştir. Bu doğrultuda aşağıdaki grafikler,, 1 için oluşturulmuş ve sonuçlardan da görüldüğü üzere optimal değerlerin ve için 1 1 için ise 0,7 çevresinde seyrettiği saptanmıştır.

26 Sonuç: En İyi Ortalama En İyi Ortalama Tablo 1 Alfa Değişim Tablo 2 Beta Değişim En İyi Ortalama Tablo 3 Fi Değişim

27 Sonuç: Karınca Kolonisi algoritmasının güçlü yönleri şu şekilde sıralanabilir: En iyi parametre değerleri ile algoritma her zaman iyi sonuçlara ulaşır. Algoritma hızlıca tatmin edici sonuçlara ulaşabilir, buna rağmen durgunluk sürecine girmez ve karıncalar yeni ve daha iyi çözüm aramaya devam ederler. Artan boyutlar üzerinden algoritma test edildi ve problem boyutları parametre duyarlılıkları düşük seviyededir.

28 Kaynakça: 1. Erdoğan Şenol Z., Kendini Klonlayan Karınca Kolonisi Yaklaşımıyla Optimal Yolun Bulunması, Doktora Tezi, Edirne, Demircioğlu M., Araç Rotalama Probleminin Sezgisel Bir Yaklaşım İle Çözümlenmesi Üzerine Bir Uygulama, Doktora Tezi, Adana, Ekim Colorni A., Dorigo M., Maniezzo V., Trubian M., Ant System for Joshop Schedule, Belgian Journal Of Operation Research, Statics and Computer Size, Belçika, Yağmahan B., Yenisey M. M., Akış Tipi Çizelgeleme Problemi İçin KKE Parametre Eniyileme, İTÜ Dergisi, Mühendislik, Cilt:5, Sayı:2, Kısım:2, , İstanbul, Nisan 2006.

29 TEŞEKKÜRLER