V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve"

Transkript

1 CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın sonlarında yazdığı makalelerinde, sonsuzluğu sonsuz kümeleri matematiksel ciddiyetle inceleyen ilk kişidir. Çeşitli sonsuzlukları birbirleriyle karşılaştırmış sonsuz büyüklüklerin de kendi aralarında bir aritmetiği olduğunu farketmiştir. Sonsuzluklarla ilgilenen okurlara bu derginin daha önceki bir sayısındaki (cilt:, sayı:5, sayfa: ) bir yazıyı öneriyoruz. Bu yazıda inceleyeceğimiz kümeleri Cantor, konuya oldukça ilgisiz gibi görünen trigonometrik serilerle ilgili bir problemi çözmek için bulmuştur. Bu kümelerin insanın sezgisine çok aykırı gelen özellikleri vardır. Bundan dolayı daha çok, ilk bakışta doğru gibi görünen bazı iddiaların yanlışlığını göstermede örnek olarak kullanılırlar. A. Cantor un Üçte Birlik Kümesi Önce en basit haliyle bir Cantor kümesinin nasıl inşa edildiğini göreceğiz. Reel sayılardaki [0, ] kapalı aralığını C 0 ile gösterelim. C 0 bizim evrensel kümemiz olacak bütün işlemleri onun içinde yapacağız. C 0 in tam ortasındaki üçte birlik kısım olan ( J, =, ) açık aralığını çıkartalım. Geriye uzunlukları olan iki kapalı aralık kalır: I, = [ 0, ] I, = [ ],. Bunların ikisine birden C diyelim; yani C = I, I,. Kümemizin inşasının ilk adımını böylece tamamladık. Şimdi, I, I, den, ortalarındaki üçte birlik açık aralıklardan meydana gelen [ V = J, J, =, ] [ 7, 8 ] kümesini atalım. Geriye kalan C kümesi uzunlukları olan dört kapalı aralıktan oluşur: C = I, I, I, I,4 [ = 0, ] [, ] [, 7 ] [ ] 8,. Yukarıda V = J, de diyebiliriz. Üçüncü aşamada ise atılanlar kalanlar V = J, J, J, J,4 ( = 7, ) ( 7 7 7, 8 ) 7 ( 7, 0 ) ( 5 7 7, 6 ) 7 C = I, I, I, I,4 I,5 I,6 I,7 I,8 [ = 0, ] [ 7 7, ] [, 7 ] 7 [ 8 7, ] [, ] [ 0 7 7, 7 ] [ 8, 5 ] [ ] 6 7 7, kümeleridir. Genel olarak n nci aşamada atılan açık aralıklar n tanedir V n = J n, J n, n = ile gösterilirler. tanedir n k= J n,k Kalan kapalı aralıklar ise n C n = I n, I n, n = n I n,k k= ODTÜ Matematik Bölümü öğretim üyesi 5

2 ile gösterilirler. V n C n yi meydana getiren her bir parçanın uzunluğu dir bu parçalar n birbirlerinden ayrıktır. İlk bir kaç aşamada elde edilenler Şekil de görülüyor. 0 C = C n = C C. n= V atılan kümelerin hepsidir; C de elimizde kalan kısımlardır. Tanım gereği, V C = [0, ] V C = () 0 olduğu açıktır. Tanım. C ye Cantor kümesi adı rilir Özellik K. Cantor kümesi, [0, ] kapalı aralığının bir alt kümesidir. Şekil İlk bakışta C de bir şey kalmamış gibi görünse de, C boş küme değildir; örneğin 0 noktaları C dedir; yani V [0, ]. Hatta, I n,k kapalı aralıklarının her birinin uçnoktaları, hep ortadan attığımız için, C dedir. Ama sonsuz sayıda I n,k aralığı vardır. Okuyucuya düşen görev, burada aşağıda sözü edilen bütün kümeleri şekilde bulmak rilen eşitlikleri kontrol etmektir. Bu kümeler arasındaki bazı bağıntıları yazalım: V n C n = C n (n =,,,...) bize bir önceki aşamadaki C n kümesinin atılan (V n ) kalan (C n ) kısımlardan meydana geldiğini söyler. [0, ] = C 0 C C C ise bize n nci aşamada kalan kısımların, bir önceki aşamada kalan kısımların bir parçası olduğunu belirtir. Dikkatli okurlar, n =,,,... k =,,..., n için I n,k J n,k I n,k = I n,k eşitliğinin de doğru olduğunu da görmüşlerdir. Bu eşitlik, atılan kalan parçaların daha ayrıntılı bir hesabını tutar. Bir diğer nokta da, n arttıkça V n kümelerinin [0, ] aralığının daha fazla kısmını kapladıkları, C n kümelerinin de daha fazla köşeye sıkıştığıdır. Artık atma işlemini elimize geçen her kapalı aralık için yapıp, bu süreci hiç bir sınır tanımadan devam ettirelim; yani n yi sonsuza gönderelim. O zaman iki yeni kümemiz daha olur: V = V n = V V n= Özellik K. Cantor kümesi sonsuz sayıda nokta içerir. Akla gelebilecek bir soru, C de uçnoktalardan başka noktalar da olup olmadığıdır. Bu sorunun cevabını B kısmında K7 özelliğinde receğiz. Açık küme diye açık aralıkların sonlu ya sonsuz bileşimlerine diyoruz. Açık kümelerin tümleyenlerine de kapalı kümeler denir. C n kümelerinin her biri kapalıdır, çünkü sonlu sayıda kapalı aralığın bileşimidir. V n kümelerinin her biri açıktır, çünkü açık kümelerin bileşimidir. V ise açık kümelerin bileşimi olduğundan açıktır. C kapalı kümelerin kesişimidir; dolayısıyla kapalıdır. Bunu görmenin bir başka yolu da, () denklemlerini kullanmaktır. Özellik K. Cantor kümesi kapalı bir kümedir. Biraz da elde ettiğimiz kümelerin uzunluklarını hesaplayalım. A kümesinin uzunluğunu m(a) ile gösterelim. Daha önce de söylediğimiz gibi, k n l n için, m(i n,k ) = m(j n,l ) = n doğrudur. Bu kümeler ayrık olduğundan, C n V n nin uzunlukları kendilerini meydana getiren eşit uzunluktaki aralıkların uzunluklarının toplamlarıdır. Hesaplarsak, m(c n ) = n n m(v n ) = n n 6

3 V n ler de birbirlerinden ayrık olduk- buluruz. larından, m(v ) = m(v ) + m(v ) + m(v ) + = = n n n= yazarız. Elde ettiğimiz bu toplam bir sonsuz geometrik seridir; ilk terimi a = ortak çarpanı r = tür. < olduğundan, bu toplamı aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz: m(v ) = a r = =. Sonra da m ( [0, ] ) = () i kullanarak m(c) = 0 olduğunu görürüz. Özellik K4. Cantor kümesinin uzunluğu sıfırdır. Şimdi α < β (α, β) [0, ] olmak üzere bir açık aralık alalım. < β α olacak şekilde n büyük bir n bulabiliriz. O zaman (α, β) aralığı, I n,k aralıklarından daha uzun olur onların hiç birinin içinde olmaz. Böyle bir aralığın C de olmasına imkân yoktur. Özellik K5. Cantor kümesi hiç bir açık aralık içermez. B. Üç Tabanına Göre Yazılım [0, ] aralığındaki her x sayısı 0 tabanında, yani her zaman kullandığımız sayı sisteminde, 0.x x x şeklinde yazılabilir. Burada lerin her biri 0,,..., 8, rakamlarından biridir. x onda birler, x yüzde birler, x binde birler,... basamağını gösterdiğinden, bu açılımı x = 0.x x x = n= 0 n şeklinde de yazabiliriz. ler bir noktadan sonra hep 0 da olabilir, 6 = = örneğinde olduğu gibi. için 0. açılımını kullanırız. Bu konuda çok daha fazla bilgi, bu dergide daha önce çıkan bir yazıdan (cilt:, sayı:, sayfa:-5) elde edilebilir. Aynı tip bir açılımı, ler için yalnız 0, rakamlarını kullanarak, tabanına göre de yapabiliriz. O zaman x = 0. x x x... = n= n olur. x üçte birler, x dokuzda birler, x yirmi yedide birler,... basamağıdır. Bazı sayılar için bu cinsten biri sonlu, diğeri sonsuz iki açılım vardır; örneğin = 0. = 0. 0 = 0. = 0.. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, x in sonlu açılımının son rakamı ise sonlu açılımı, değilse sonsuz açılımı tercih edeceğiz; yani = 0. 0 = 0. alacağiz. Ayrıca 0 = 0. 0 = 0. kullanacağız. Bu kısımdaki bütün açılımlar tabanında olacaktır. İddiamız, C n kümesini meydana getiren her kapalı aralığın sol uçnoktasının açılımının ilk n basamağının yalnız 0 lerden ibaret olduğu n+ inci sonraki basamakların hepsinin 0 olduğudur. Bu iddiamızı tümevarım ile ispatlayacağız. n = iken, C kümesindeki iki aralığın sol uçnoktaları 0 tür. Önceki paragrafta gösterildiği gibi, birinin ilk basamağı 0, diğerinin dir; sonraki basamakları 0 dır. Böylece tümevarımın ilk adımını bitirdik. İkinci olarak, C n kümesi hakkındaki iddiamızdan, C n+ kümesi hakkındaki iddiamızın doğruluğunu elde edelim. C n nin bileşimindeki aralıklardan biri [a, b] = [0. a a, 0. b b ] ise, a,..., a n nin 0 lerden meydana geldiğini 0 = a n+ = a n+ = olduğunu kabul ediyoruz. C n+ in aralıklarından biri [c, d] = [0. c c, 0. d d ] ise, yukarıdaki [a, b] gibi bir aralığın orta kısmının atılmasıyla ortaya çıkar. Eğer [c, d] sol tarafta kalan kısımsa, c = a dır. O zaman da yukarıdaki kabul gereği, c,..., c n+ in 0 lerden oluştuğu (özellikle c n+ = 0) 0 = c n+ = c n+ = olduğu görülür. Eğer [c, d] sağ tarafta kalan kısımsa, n+ inci adımda atılan kalan aralıkların uzunlukları olduğundan dolayı, c = a+ n+ dir. n+ Fakat = 0. n+ 0 0 dir rakamı n+ inci basamaktadır. Yani, hem a nın, hem de in n+ n + nci sonraki basamakları hep 0 dır (ayrıca a n+ = 0). Bu da c n+ = 0 = c n+ = c n+ = rir. Böylece tümevarım sona erdi iddiamızın doğruluğunu ispatladık. Bu sonucu şöyle kullanacağız: C n nin aralıklarından birine [a, b] = [0. a a n, 0. b b ] dersek, a hakkında iddiamız geçerlidir b = a + dir. Fakat n = 0. n 0 0 yazıldığında, lerden önce tam n tane 0 vardır. O zaman da b = 0. a... a n = 0. a a n olur. = b n+ = b n+ = olduğu da 7

4 buradan çıkan bir başka sonuçtur. Kelimelerle tekrarlarsak, [a, b] aralığında a dan b ye giderken değişiklik sadece n + inci sonraki basamaklarda olmaktadır. Başka bir deyişle, x = 0. x x [a, b] ise, x = a,..., = a n dir. Buradan çıkaracağımız sonuç, C n de alınan her hangi bir oktasının tabanına göre açılımında ilk n basamağın 0 lerden oluştuğudur. n nci adımda atılan her açık aralığı ( ) b, b + şeklinde yazabiliriz. b = n 0. a... a n açılımında son 0 rakamı k nci basamakta olsun; yani a k = 0 a k+ = = a n = olsun. Elimizdeki aralıktaki her hangi bir noktayı t = 0. t t ile gösterirsek, t k = olur, çünkü artık k nci basamak değişmek zorundadır ayrıca aralığın uzunluğu, yukarıda da gösterildiği gibi, sadece n + inci sonraki basamaklarda değişikliğe ( izin rmektedir. Örneğin, n = iken,, ) te alınan her t sayısının açılımı 0. ile başlamak zorundadır. 0. olduğunda bunu 0. diye yazar [, ] e girmiş oluruz. Cantor kümesinde alacağımız bir x = 0. x x noktası bütün C n lerin içinde olacaktır. Bu da bize n =,,... için = 0 ya = olduğunu söyler. Eğer t C ise, t bir aşamada atılan açık aralıkların birinde olacağından, t nin açılımında mutlaka vardır. Şimdi bu ifadeleri birleştirelim: Özellik K6. Cantor kümesi tamı tamına [0, ] aralığındaki, tabanına göre açılımlarında yalnız 0 rakamları bulunan sayılardan oluşur. Bu sonucu kullanarak, Cantor kümesinde I n,k aralıklarının uçnoktalarından başka eleman bulunup bulunmadığını görebiliriz. Bu uçnoktaların her biri k m negatif olmayan birer tamsayı olmak üzere, k şeklinde m yazılabilir. 4 ün ise böyle yazılamayacağı açıktır. Fakat, 4 = n = n= açılımından görüleceğı gibi, 4 Cantor kümesindendir. Geometrik seri toplamlarını kullanarak, C de bu cinsten diğer sayılar bulmayı okuyuculara bırakıyoruz. Özellik K7. Cantor kümesinde I n,k kapalı aralıklarının uçnoktalarından başka noktalar da vardır. Bu uçnoktalar gene de C nin önemli elemanlarıdır. Verilen bir n için, k l ise, I n,k I n,l birbirlerinden ayrık olduğundan, x C ise, x bu tip yalnız bir tek aralıktadır. Diyelim ki x [a n, b n ]. Cantor kümesinin elde edilişinden, n arttıkça, a n lerin arttığını b n lerin azaldığını anlarız. Üstelik, lim m( [a n, b n ] ) = lim (b n a n ) = lim n n n n = 0 olduğundan, x = lim n a n = lim n b n sonucunu elde ederiz. Bu yöntemi kullanarak, x = 4 e yakınsayan dizilerin {a, a, a, a 4,...} = {0., 0. 0, 0. 00, ,... } {b, b, b,... } = {0. 0, 0. 00, ,... } olduğunu görürüz. x uçnoktalardan biri değilse, a n lerin b n lerin hiç biri x e eşit değildir. Özellik K8. Cantor kümesinin her elemanı, I n,k kapalı aralıklarının uçnoktalarından oluşan, biri artan, diğeri azalan iki tekdüze dizinin limitidir. Kapalı her noktası, diğer noktalarının bir limiti olarak elde edilebilen kümelere yetkin (ya mükemmel) kümeler denir. Yetkin bir kümenin hiç bir noktası diğerlerinden yalıtık olamaz. Diğer bir deyişle, böyle bir kümenin her noktasının her komşuluğunda gene bu kümeden sonsuz çoklukta nokta vardır. Hatırlanacağı gibi C de kapalı bir kümedir. Özellik K. Cantor kümesi yetkin bir kümedir. Okuyucuyu ( de yazarı) tümevarım ispatlarıyla daha fazla sıkmamak için aşağıdaki özelliği ifade etmekle yetineceğiz. x Özellik K0. x C ise, C + x C y olur. Ayrıca, y V ise, V + y V y olur. Hatta, y J n,k ise, J n+,k + y J n+, n +k de doğrudur. Bu kısmı C nin çok şaşırtıcı bir özelliğiyle kapatalım. Önce bir tanım: C + C = { x + y : x C, y C }. 8

5 z = x + y C + C ise, z nin [0, ] aralığında olacağı açıktır. Ama z hangi noktalara erişebilir? z = n= x n n + n= y n n = n= + y n n yazdığımızda, y n yalnız 0 değerlerini alırlar; dolayısıyla, + y n ya 0 dır, ya dir, ya da 4 tür. + y n = z n dersek, z n, 0, ya olmalıdır. O halde n= z n n açılımında [0, ] aralığındaki her hangi bir sayı çıkabilir. Dolayısıyla z = n= z n n = z n n, n= [0, ] aralığındaki her hangi bir sayı olabilir. Başka bir deyişle, Cantor kümesi [0, ] aralığına son derece seyrek dağılmış bir küme olmasına hiç bir aralık içermemesine rağmen, iki tanesinin küme toplamı bir aralık edebilmektedir. Özellik K. C + C = [0, ]. C. Cantor Kümesinde Kaç Nokta Vardır? B kısmının başında 0 tabanı için yaptığımızı şimdi de tabanında yapalım. [0, ] aralığında aldığımız bir x sayısını, bilgisayarların yaptığı gibi, ler için yalnızca 0 değerlerini kullanarak, x = 0. x x x = n= n şeklinde yazabiliriz. Gene bazı sayıların iki açılımı vardır; = 0. = 0. 0 gibi. = 0. sayısının birinci cinsten açılımı yoktur. 0 ı da ilgi alanımızdan çıkartalım. Eğer ikinci cinsten açılımları kullanmamayı kabul edersek, (0, ) açık aralığındaki her sayının bir tek açılımı olur. Bunun faydası, tabanına göre açılımlarda aynı sayıyı iki kere saymamamızdır. Şimdi Cantor kümesinden 0 ı tabanındaki açılımlarında bir basamaktan sonra hep ler olan sonsuz çokluktaki noktaları çıkartalım kalan noktalara B kümesi diyelim. = 0. B, fakat = 0. B = 0. 0 B olur. B de alacağımız her oktasına karşılık, (0, ) de bir y sayısı bulabiliriz; bu işlemin tersini de yapabiliriz. Verilen bir x in tabanında açılımındaki leri lere çeviririz yeni sayıyı tabanında okuruz; bu y olur. Örneğın, x = 0 7 = 0. 0 in karşılığı y = 0. 0 = 5 8 dir. Daha açık olarak yazarsak, n noktası n= n= / n = n+ n= sayısına karşılık gelir. Diğer yöndeki gönderimde bu işlemi tersine çeviririz. Kabullenişlerimiz sayesinde, B deki her elemanın tabanında (0, ) deki her noktanın tabanında tek bir açılımı olduğu için, her iki yöndeki gönderim bire birdir. İlk bakışta (0, ) de 0. 0 gibi noktalar elde edilmez gibi görünse de, bunlar değişik şekilde de, 0. gibi, yazılabilirler B deki 0. gibi sayılardan elde edilirler. Böylece B ile (0, ) arasında bire bir eşleme kurmuş olduk. Reel sayılar kümesini R ile gösterelim f : (0, ) R olmak üzere f(x) = x ( ) x (0, ) x( x) fonksiyonunu tanımlayalım. Okurlara, f nin (0, ) üzerindeki grafiğini çizmeyi öneriyoruz. lim x x (0,) f(x) = + ile lim f(x) = x 0 x (0,) olduğundan f de (0, ) üzerinde sürekli olduğundan, f nin değerleri her gerçel sayıyı alır; yani f örtendir. Ayrıca, f (x) = x x + (x x ) ( x (0, ) ). Paydaki polinomun kökleri karmaşık sayılar olduğundan, polinom (0, ) üzerinde ya hep eksi, ya da hep artı işaretlidir. f ( ) = > 0 olduğundan dolayı, (0, ) aralığında pay hep pozitif olur. Payda zaten pozitiftir. Dolayısıyla, aralığımızda f(x) > 0 dir. Bu da f nin tekdüze artan bunun sonucu olarak da bire bir olduğunu rir. Özetlersek, f fonksiyonu (0, ) ile R arasında bire bir eşlemedir. Böylece B ile R arasında bire bir eşleme kurabileceğimizi gösterdik. Bu, her ikisinin aynı çoklukta elemanı olduğu anlamına gelir. Cantor kümesi B den büyüktür, fakat R nin içindedir. Sonuç olarak, C ile R nin aynı çoklukta eleman içerdiğini anlarız.

6 Özellik K. Cantor kümesinde, reel sayılarda olduğu kadar, yani sayılamayacak çoklukta nokta vardır. D. Lebesgue in Tekil Fonksiyonu Henri Lebesgue (875 4), modern integral teorisini başlatan Fransız matematikçisidir. 0 de yayımladığı doktora tezinde, o zamana dek bilinen integral anlayışını genişleterek integrali, sonsuzluklarla daha iyi iş gören limit alma işlemi altında daha iyi davranış gösteren hale getirmiştir. Bugün de matematikte en çok kullandığımız integral, Lebesgue integralidir. Bu kısımda tanımlayacağımız fonksiyon, Cantor kümesi üzerinde ilginç özellikleri olan türevinin sonsuz sayıda tekil noktası olan bir fonksiyondur. Cantor kümesini inşa ederken attığımız açık aralıklara değişik isimler rerek başlayalım. Her aşamanın sonunda, o ana kadar attığımız (daha önceki aşamalarda attıklarımız dahil) aralıklara L n,k diyeceğiz; burada k =,..., n değerlerini alır. Örneğin, L, = J,, L, = J,, L, = J, L, = J,, L, = J,, L, = J,, L, = J,, L,4 = J,, L,5 = J,, L,6 = J,, L,7 = J,4,.... Böylece her aralığın L n,k ler cinsinden birden fazla ismi olur. J n,k lerin olduğu gibi, L n,k lerin de hepsinin bileşimi V kümesidir: V = n= ( n k= L n,k ). Artık fonksiyonumuzu V üzerinde tanımlayabiliriz: F (x) = k n = c n,k (x L n,k ) () deriz; bu F yi her L n,k aralığı üzerinde sabit yapar. Aslında F her aşamada, daha önceki aşamalarda atılan aralıklar üzerinde tekrar tanımlanmaktadır; ama bu önceki tanımları değiştirmeyecek şekildedir, çünkü, k n için, L n+,k = L n,k c n+,k = c n,k dir. F nin tanımı gereği V üzerinde artan bir fonksiyon olduğu kolayca görülür; yani x < y ise F (x) F (y) dir. Ayrıca, F (0) = 0 F () = diyelim; şimdi her x V için, 0 F (x) sağlanır. Şekil, F nin grafiğinin bir kısmını gösteriyor. 0 Şekil x L n,k y L n,k ise, 7 8 F (y) F (x) = k n k n = n olur. L n,k L n,k aralıkları arasında uzunluğu olan I n n,k kapalı aralığı vardır. Bu yüzden, x, y V y x < ise, x y artık n+ inci n daha sonraki aşamalardaki açık aralıklardadır; F nin artan olma özelliğinden F (y) F (x) n elde ederiz. Bu son eşitsizlikten, x y nin birbirlerine yaklaştıklarında, F (x) F (y) nin de birbirlerine yaklaştıkları sonucu çıkar. Bu da F nin V üzerinde sürekli olduğunu söyler. Biz F fonksiyonunu, artan olma süreklilik özelliklerini bozmadan, bütün [0, ] aralığı üzerinde tanımlamak istiyoruz. Bunun için F yi C üzerinde uygun biçimde tanımlamak yeter. Önce I n,k aralıklarının uçnoktalarında, bitişik oldukları L n,k L n,k deki değerleri alacak şekilde tanımlayalım F yi. Eğer I n,k = [a, b] ise, F (a) = k n F (b) = k n () olsun. x C bir uçnokta değilse, K8 özelliğini kullanarak, x e yakınsayan tekdüze {a n } {b n } 0

7 dizilerini buluruz. F artan olduğundan, { F (a n ) } { F (b n ) } dizileri de tekdüzedir. Üstelik F nin değerleri alttan 0 üstten ile sınırlı olduğundan, bu son iki dizinin limitleri vardır. Limitlere sırasıyla c d diyelim. ( d c = lim F (bn ) F (a n ) ) n = lim n ( k n k n ) = lim n n = 0 bize c = d rir 0 c. x e yakınsayan her dizi, {a n } {b n } dizileri arasında kalmak zorundadır. Böyle bir dizinin F altındaki görüntüsü de c ye yakınsar. Artık F (x) = c diye tanımlayabiliriz. Böylece F bütün [0, ] aralığı üzerinde tanımlanmış olur. Böyle bir tanımın F nin artanlığını koruyacağı açıktır. Özellik F. F : [0, ] [0, ] artan bir fonksiyondur. Eğer elimizde bir g fonksiyonu varsa olan her { } dizisi için lim = x n lim g() = g(x) n eşitliği sağlanıyorsa, g fonksiyonu oktasında sürekli olur. Yukarıdaki F, V üzerinde sürekliydi. C üzerindeki tanımını da sürekli olacak şekilde yaptık. Özellik F. F : [0, ] [0, ] sürekli bir fonksiyondur. F (0) = 0 F () = olduğunu hatırlayalım. F nin sürekli olmasını Ara Değer Teoremi ile birleştirirsek, F nin 0 ile arasında her değeri aldığını görürüz. Özellik F. F : [0, ] [0, ] örten bir fonksiyondur. Şimdi bu fonksiyonun Cantor kümesi üzerinde aldığı değerlere biraz daha yakından göz atalım. x = 0. x x C alalım K6 özelliğini hatırlayalım. Göstermek istediğimiz ( ) x l F (x) = F l = l= l= x l l+ (4) eşitliğidir. x = 0 x = de yapacak bir şey yoktur. K8 özelliğinden F nin C üzerindeki tanımından dolayı, bu eşitliğin doğru olduğunu sadece I n,k lerin uçnoktalarında göstermek yeter. Bir kez daha tümevarım kullanacağız. n = halinde, () ten F ( ) = F ( ) = dir. Aynı zamanda, geometrik dizi toplamı formülü sayesinde, F ( ) ( ) = F l = l= F l+ = 4 = l= ( ) = = olur. (4) ün, n nci aşamadaki bütün kapalı aralıkların uçnoktaları için doğru olduğunu varsayalım. Bunlardan biri I n,k = [a, b] olsun. Uçnoktaların tabanındaki açılımlarının nasıl olduğunu B kısmından hatırlayalım. () den varsayımımızdan ( n ) a l F (a) = F l = l= n l= a l l+ = k n. n + inci aşamada [a, b] nin ortasından L n+,k = (c, d) aralığını atarız. d = a + n c = a + n = a + l=n+ l olduğundan, 0. d d n d n+ = 0. a a n 0. c c n c n+ c n+ = 0. a a n 0 olur. () ise F (c) = F (d) = k rir. Fakat n+ n+ l= l= d n l l+ = a l l+ + l= n+ n+ = F (a) + = k n + k = n+ n+ = F (d) c n l l+ = a l l+ + l= = F (a) + l=n+ l=n+ = k n+ = F (c), (4) ün doğruluğunu ispatlar. c l l+ l+ = k n + n+

8 Özellik F4. x = 0. x x Cantor kümesinde ise, F (x) = n+. n= F nin sağladığı bazı denklikleri görelim şimdi de. x C ise + x = + n= n = + n+ n= = + x + x 7 + = n+ n=0 olur; son ifadede x 0 = diye yazdık. Buradan da, K0 F4 özelliklerini kullanarak, F F ( ) ( x ) = F n+ = n= = = F (x) n+ n= n= n+ ( + x ) ( ) = F n+ n=0 = n+ = n=0 n=0 = + n+ n= = F (x) n+ özdeşliklerini elde ederiz. x J n,k V ise, K0 özelliğini () yi kullanarak, F ( ) x ( ) k = n+ ( F + x ) = olduğunu görürüz. = k = F (x) n+ ( n + k n+ = n + k n n n = k n = F (x) ) Özellik F5. Lebesgue fonksiyonu, x [0, ] için, aşağıdaki denklikleri sağlar: ( ) ( ) x F = F (x) F +x = F (x). Bunlar gibi, bir fonksiyonun bazı noktalardaki değerlerini başka noktalardaki değerleri cinsinden ren denklemlere fonksiyonel denklemler denir. Bu konuda bir yazı bu dergide daha önce (cilt:, sayı:4, sayfa: 5) çıkmıştı. Şimdi okuyuculara ( de o yazının yazarına) bir kaç sorumuz var: F5 özelliğindeki denklemleri sağlayan F nin bazı özelliklerine sahip F den başka fonksiyon bulunabilir mi? F nin başka hangi özellikleri (sürekli, artan, örten,... ) çözümün sadece F olmasını sağlar? Fonksiyonumuz V nin her bir parçasında sabit değerli m(v ) = olduğundan, [0, ] üzerinde hemen her yerde, yani uzunluğu 0 olan bir parça dışında, F nin türevi F (x) = 0 olur. Böyle fonksiyonlara tekil fonksiyon diyoruz. Bu bize F nin yalnız C üzerinde arttığını söyler. m(c) = 0 nedeniyle, 0 F (x) dx integralini, sadece V üzerinde integral alarak hesaplayabiliriz; tabii Lebesgue integrali kullanarak. 0 F (x) dx = F (x) dx = 0 dx V V = 0 m(v ) = 0 = 0 < Bu eşitsizlik, klâsik b a = 0 = F () F (0). g (x) dx = g(b) g(a) teoremine aykırı gibi görünür. Fakat bu teorem, g nin (a, b) aralığının her noktasında (hemen her yerde olması yetmez) türevli olmasını gerektirdiğinden, çelişki yoktur. E. Genel Cantor Kümeleri Yazımızın başlığında birden fazla Cantor kümesindan bahsetmişitk. Son olarak, Cantor kümelerinin genel olarak nasıl elde edilebileceğine kısaca değinelim. Gene [0, ] de kapalı aralıkların tam ortasından parçalar atarız; fakat kalan I n,k kapalı aralıklarının uzunluklarını yerine t n n gibi 0 < t n < t n eşitsizliklerini sağlayan sayılardan seçeriz; o zaman atılan J n,k açık aralıklarının uzunluları r n = t n t n olur.

9 Örneğin, I, = [0, t ], I, = [ t, ] J, = (t, t ); I, = [0, t ], I, = [t t, t ], I, = [ t, t + t ], I,4 = [ t, ] J, = (t, t t ), J, = ( t +t, t );.... C n, C, V n V nin de tanımları aynı kalır. Uzunlukları önceki gibi hesaplarız; (C n ) = n t n m(v n ) = n r n buluruz. O zaman m(c) = lim n n t n m(v ) = lim n n r n = m(c) olur; yukarıda t n ler üzerine koyduğumuz şarttan dolayı bu limitler vardır. Tabii artık m(c) = 0 olması gerekmez. Hatta, bir 0 s < alıp, t n = s n + s n seçerek m(c) = s olmasını sağlayabiliriz. Özellik K. Genel bir Cantor kümesi, basit Cantor kümesinin K, K, K, K7, K, K K özelliklerini paylaşır. Ayrıca uzunluğu 0 ile arasındaki her hangi bir değeri alabilir. F. Kaynakça Bu yazıda anlattıklarımız, genellikle ünirsitelerin matematik bölümlerinde 4. sınıfta ya yüksek lisansta okunan Lebesgue integrali kullanan Reel Analiz derslerinin konusudur. Bu konuda daha fazla bilgi edinmek isteyenler böyle bir ders kitabına başvurabilirler. Biz, İngilizce olmalarına rağmen, nispeten daha fazla bilgi ren tanesini önereceğiz. Aşağıdaki kitapların ilki, genel Cantor kümeleri için, üçüncüsü ise, Lebesgue tekil fonksiyonun değişik bir tanımı için faydalıdır. K. R. Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth, Belmont, 8. I. P. Natanson, Theory of Functions of a Real Variable, Frederick Ungar, New York, 55. W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 74.

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban Konular Hafta İşlenen Konular 1 Karmaşık sayılar 2 Vektör uzayı tanımı, vektör uzayı özellikleri 3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban 5 Boyut, lineer

Detaylı

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı