T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A"

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

2

3 Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39

4

5 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme işlemine kapalı olmadığı için, Polinomlar Kümesi ni genişleterek, içinde bölme işlemi yapılabilen Rasyonel Fonksiyonlar kümesini elde ediyoruz. Bu genişleme, Tamsayılar Kümesi nden Rasyonel Sayılar Kümesi ne geçişe benzer. Zaten, şimdiye kadar, rasyonel ifadelerle işlemler yapmayı iyice öğrendik. Bu bölümde, bildiklerimizi bir araya getirerek, Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi nin yapısını ortaya koyacağız., Q() gerçek katsayılı iki polinom olsun. Her a R için, P(a) ve Q(a) birer gerçek sayıdır. Dolayısıyla, Q(a) 0 ise, P(a) oranı bir Q(a) rasyonel sayıdır. Şimdi bunu, değişkenin mümkün bütün değerlerine yayabiliriz. Tanım:, Q() gerçek katsayılı iki polinom ise, f :, Q() 0 () Q() fonksiyonuna bir rasyonel fonksiyon, denir. Fonksiyonun tanım bölgesi, kümesidir. A { R, Q() 0} (2) Q() biçimindeki ifadelere, bazan, rasyonel ifadeler de denilir. Böyle bir ifadeyi gördüğümüzde, gereksiz tekrardan sakınmak için, ile Q() in gerçek katsayılı iki polinom olduğunu; R ve Q() 0 koşulunun sağlandığını kabul edeceğiz. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi üzerinde, eşitlik bağıntısı ile toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin tanımlarını, Rasyonel Sayılar Kümesinde yaptıklarımıza benzer olarak yapabiliriz. Rasyonel Fonksiyonların Eşitliği Rasyonel fonksiyonlarının eşitliği aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır: (3)

6 6 calculus Q() R() S() S() Q() R() (4) Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi Üzerinde İşlemler, Q(), S() ve R() polinomları verilsin. Her a sabit değeri için, Rasyonel Sayılar Kümesinde, P(a) Q(a) + S(a) R(a), P(a) Q(a) S(a) R(a), P(a) Q(a) S(a) R(a), P(a) Q(a) : S(a) R(a) tanımlıdır. Bu işlemlerin, ortak tanım bölgesindeki her için geçerli olduğunu düşünürsek, rasyonel fonksiyonlar kümesi üzerindeki toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz. Toplama Çıkarma Çarpma Bölme Q() + R() S() + Q() R() S() Q() S() Q() R() S() Q() R() S() Q() S() Q() R() R() S() Q() S() Q() : R() S() Q() S() R() Rasyonel Sayılar Kümesinde olan özeliklerin benzerleri Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde de vardır. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde,. Q() rasyonel fonksiyonunun, toplama işlemine göre tersi, aşağıdaki denk ifadelerden birisidir. Q() Q() Q() 2. Toplama işlemine göre birim öğe O() 0 (sıfır) polinomudur. 3. Çarpma işlemine göre birim öğe, u() sabit polinomudur. 4. e() özdeşlik polinomunun çarpma işlemine göre tersi dir.

7 rasyonel fonksiyonlar 7 5. Bir polinomunun çarpma işlemine göre tersi, [] dir. Bu fonksiyon, 0 koşulunu sağlayan değerleri için tanımlıdır. 6. Bir polinomunun çarpma işlemine göre tersi, Q() [ ] Q() Q() Q() dir. Bu fonksiyon, 0 koşulunu sağlayan değerleri için tanımlıdır. (5) (6) 7. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır. Önerme. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi + işlemine göre Yer Değişimli bir Gruptur. 2. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisimdir. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydası bir polinom ile çarpılırsa, ifadenin tanımlı olduğu yerde, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel fonksiyon elde edilir:. 2. Q().T(), Q().T() 0. Q().T() Q() ifadesi,.t() ifadesinin sadeleşmişi (kısaltılmışı) dır. Q().T().T() Q().T() ifadesi, ifadesinin genişletilmişi dir. Q() 3. 0 ile bölme tanımsız olduğundan, kısaltma ya da genişletme yapılırken, T() 0 kabulü ihmal edilemez. Örnekler. + 4 ( ) + 5 rasyonel fonksiyonu 5 koşulunu sağlayan her gerçek sayısı için tanımlıdır. Şimdi bunun pay ve paydasını T() ( 4) ile çarparsak, 2 6 ( ) ( 4)( + 5)

8 8 calculus Ortaya çıkan (**) rasyonel fonksiyonu 5 ve 4 için tanımsızdır. Tanım bölgeleri farklı olduğundan, verilen (*) ifadesine denk değildir. Tersine olarak, 5 ve 4 için tanımsız olan (**) ifadesinin pay ve paydası T() ( 4) ile bölünürse (*) bulunur. Gene, tanım bölgesi değiştiği için, verilene denk olmayan bir rasyonel fonksiyon ortaya çıkmış 2. Ancak, şunu söyleyebiliriz: 4 için (*) ve (**) rasyonel fonksiyonları birbirine eşittir. Bu nedenle, verilen bir rasyonel ifadenin sadeleştirilmesi ya da genişletilmesi işlemlerinin, pay ve payda ile çarpılan (bölünen) T() polinomunun sıfır olmadığı yerlerde geçerli olduğu kabul edilecektir. Örnekler Aşağıdaki sadeleştirmeleri inceleyiniz. Herbirinin geçerli olmadığı yerleri belirleyiniz ( + 2)( + 3) ( + 3) a 2 + 2a b 8b 2 a 2 b + 4a b 2 ( a + b ) 2 9b 2 a b (a + 4b ) ( (a 2b )(a + 4b ) ) a 2b a b a a b (a + 4b ) 2b a + b a b 2 + b a b 2a ( + 2)( + 3) ( 2)( + 2) ( + 2)( + 3) ( 2)( + 2) Uygulamalar Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz.

9 rasyonel fonksiyonlar 9 a) c) ( )( ) ( + )( ) 2 3( + )( + 2) e) 2a + 6a 3 4a 2 + 0a 5 b) 6ay + 4y + 3a + 2 8ay + 2y + 4a + d) 2 5y + 4y 2 2 3y 4y 2 f) (a3 b 3 )(a 3 ab 2 ) a 3 + a 2 b + ab 2 2 a 2 + a g) a 2 h) (22 98)( ) 2( + 7) 2 ( ) Uyarı: Rasyonel fonksiyonlarla işlem yaparken, rasyonel sayılardaki işlem yöntemlerinin benzerlerini kullanınız.. Verilen rasyonel ifadelerin her birisinin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırıp, mümkün olan sadeleştirmeleri yapınız. 2. Toplama ve çıkarma işlemleri için, rasyonel ifadelerin paydalarının ekok nı bulunuz. Terimleri genişleterek, ekok ortak paydasına alınız. Sonra toplama ya da çıkarma formülünü uygulayınız. 3. Çarpma ve bölme işlemi için, doğrudan formülleri uygulayınız. 4. İşlemlerden sonra ortaya çıkan sonucu en sade biçime getiriniz. Örnekler. Aşağıdaki işlemi inceleyiniz a + 2 a 4 4 a 2 2(2 a) (2 a)(2 + a) a (2 a)(2 + a) 4 (4 a 2 ) 4 2a (4 a 2 ) a (4 a 2 ) 4 (4 a 2 ) 4 2a a 4 (4 a 2 ) (2 + a)

10 0 calculus 2. Aşağıdaki çarpma işlemini inceleyiniz. ( 2 ) ( ) ( 4)( + 2) ( 3)( + ) ( ) ( ) ( ) ( ( 3)( + 5) ( 4) ( ) ( 4)( + 2)(( 3)( + 5)( + ) ( 3)( + )( 4)( + 2)( + 5) ( + ) ( + 2)( + 5) ) 3. Aşağıdaki bölme işlemini inceleyiniz. ( 2 2 ) : 2 ( ) ( 4)(2 + 7) : ( )(3 + 2) ( 4 2 ) ( ) (2 + )(2 + 7) ( + 3)(3 + 2) ( ) ( ) ( 4)(2 + 7) ( + 3)(3 + 2) ( )(3 + 2) (2 + )(2 + 7) ( 4)( + 3) ( ( )(2 + ) Basit Kesirlere Ayırma Verilen bir rasyonel fonksiyonu, paydası indirgenemez rasyonel ifadelerin toplamı olarak yazmak, işlemlerde çok kolaylık sağlar. Şimdi, bu işin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz. Tanım: a, b, c, A, B, C gerçek sayılar, m, n sayma sayıları ve a 2 + b + c indirgenemez bir polinom olmak üzere A (a + b) m ove B + C (a 2 + b + c) n biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir. Örnekler 7 (5 2) 3, , rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir; ama , , 8 ( 5)( + 6)

11 rasyonel fonksiyonlar rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir. Payının derecesi, paydasının derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonların, basit kesirlerin toplamı olarak yazılabileceğini örneklerle göstereceğiz. Örnekler. 5 ( + )( 2) A ( + ) + B ( 2) A( 2) + B( + ) ( + )( 2) A 2A + B + B ( + )( 2) (A + B) 2A + B ( + )( 2) bu iki rasyonel ifadenin denk olması için, olmalıdır. Buradan da, A + B 0 2A + B 5 } 5 (A + B) 2A + B A + B 0 2A + ( A) 5 bulunur. Bunlar, yukarıda yerlerine yazılırsa } A 5 3 B çıkar. 3 2 ( ) 5 ( + )( 2) ( ) 2 A + B 2 + C + D A( ) + B( ) + 2 (C + D) 2 ( ) (A + C)3 + (A + B + D) 2 + (2A + B) + 2B 2 ( ) Bu denkliğin sağlanabilmesi için, 3 (A + C) 3 + (A + B + D) 2 + (2A + B) + 2B olmalıdır. Buradan,

12 2 calculus A + C 0 A + B + D 0 2A + B 3 2B bulunur. Buradan, aşağıdaki eşitlik yazılır. A 7/4 B /2 C 7/4 D 5/4 3 2 ( ) ( Alıştırmlar. Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız. (a) (b) (c) (d) ( + y) 2 ( 2 + y 2 ) + 2 ( + y) 3 ( + y ) (e) (f) y y 2 y y + y Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) ( ) ( + ) y + 4y 2 y + 4y y 2 + 6y + 5y ( )

13 rasyonel fonksiyonlar 3 3. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. (a) a + 2ay b 2by 2 + y 2y 2 : (b) ( ) : ( ) 2 (c) a 2 + ab b 2 2 2y + y 2 : (d) ( 2 + y 2 y + y) : ( 2 y 2 + y + y) (e) ( 2 2 ) : ( ) 4. Aşağıdaki polinomların ebob ve ekok larını bulunuz. (a) 2 3y 4y 2, 3y 2 + 4y 2 (b) y 2 2 y 2, y + 9y 2 (c) 5 2 y 3 z 2, 68 4 y 2 z (d) , (e) , Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan A, B sayılarını bulunuz. ( 3)(+) 3 A + + B 5 A + +6 B a) 4 b) Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız a) b) c) d) e) f) g) y y2 2 y : (y y2 ) 2 ( 2 y) 2 h) rasonel ifadeler ve Denklemler Polinomlarda EKOK ve EBOB Tanım: ve Q() en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere,

14 4 calculus ve Q() polinomlarının her ikisiyle de tam bölünebilen en küçük dereceli (en az birinci dereceden)bir polinoma, bu iki polinomun en küçük ortak katı (EKOK) denir ve EKOK[, Q()] biçiminde gösterilir. Polinomlarda EKOK, sayılardakine benzer biçimde bulunur. Bunun için ilk önce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi en büyük olanlarla ortak olmayanların tümünün çarpımı EKOK u verir. Örnekler:. 2 4 y 2 z, Q() 24 5 y 2 z 3 polinomlarının EKOK nu bulalım y 2 z olduğundan, Q() y 2 z 3 EKOK[, Q()] y 2 z 3 2. ( )( 2 + 2), Q() ( 2 )( + 2), T() ( )( ) polinomlarının EKOK nu bulalım. Verilen polinomları, ( )( 2 + 2) ( )( )( + 2) ( ) 2 ( + 2) Q() ( 2 )( + 2) ( )( + )( + 2) T() ( )( ) ( + 2) 2 ( ) biçiminde asal çarpanlarına ayıralım. EKOK[, Q(), T()] ( ) 2 ( + )( + 2) 2.3 Alıştırmalar Aşağıdaki polinomların EKOK nu bulunuz.

15 rasyonel fonksiyonlar y 3, 4 3 y 2. 2, y, 6y 2, 8y 4.3 +, 2 9, , ( ) 2, 2 6.6y 2 5 y 2, y 3 8y y 4y 2, 3y 2 + 4y 2 Tanım: ve Q() en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere, ve Q() polinomlarının her ikisini de tam bölebilen en büyük dereceli bir polinoma (en az birinci dereceden) bu iki polinomun en büyük ortak böleni (EBOB) denir ve EBOB[, Q()] biçiminde gösterilir. Polinomlarda EBOB bulunurken ilkönce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır; ortak asal çarpanlardan derecesi en küçük olanların çarpımı EBOB u verir. Örnekler:. 6 4 y 2 z, Q() 8 3 y 3, T() 24 4 y 3 z 2 polinomlarının EBOB nu bulalım. Verilen polinomları, 6 4 y 2 z y 2 z Q() 8 3 y y 3 T() 24 4 y 3 z y 3 z 2 biçiminde asal çarpanlarına ayıralım. EBOB[, Q(), T()] y 2 2. P(, y) 4 3 y 20 2 y y 3, Q(, y) y 2 2 y 2 polinomlarının EBOB nu bulalım. P(, y) 4 3 y 20 2 y y 3 4y( 2 5y + 6y 2 ) 2 2 y( 2y)( 3y) Q(, y) y 2 2 y ( 2 y 6y 2 ) 2 2 ( + 2y)( 3y)

16 6 calculus ALIŞTIRMALAR EBOB[P(, y), Q(, y)] 2( 3y). Aşağıdaki polinomların EBOB nu bulunuz. a) 6 4 y 2, 6 3 y 4 b) 5 2 y 3 z 2, 68 4 y 2 z c) 22 2, 4 4, d) , e) , f) 3 + 2, 4 2 9, Aşağıdaki polinomların EKOK nu ve EBOB nu bulunuz. a) 42 2 y 2 z 4, 65 4 y 2 z 2 b) 5 + 4, 8 6 c) 3 + 2, d) , e) y 2 2 y 2, y + 9y 2 f) 2 y 2 y 4, 2 2 2y 2, 4 y 4 g) (2 3y) 2, 4 2 9y 2, 4 2 6y h) 6 2 6, , Rasyonel İfadeler Polinomlar kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığını söylemiştik. Dolayısıyla, bu kümeyi genişleterek içinde bölme işlemi yapılabilen bir matematiksel yapı kurmak gerekir. Bu işin sağlam matematiksel yöntemlerle yapılması mümkündür. Ancak, bu işler bu kitabın kapsamı dışındadır. Bu nedenle, burada konuyu sezgisel olarak ele alacak ve iki polinomun birbirine oranı (bölümü) biçimin de olan nesneleri tanımlayacağız. Daha sonra, bu nesnelerden oluşan küme üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini tanımlayacağız. Tanım:, Q() gerçek katsayılı iki polinom ve Q() 0 olmak üzere, Q() biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir. Rasyonel ifadeler kümesi, rasyonel sayılar kümesine benzer biçimde. (+) ve ( ) işlemlerine göre bir cisim oluşturur. Bu cisme rasyonel ifadeler cismi denir. Rasyonel ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri rasyonel sayılardakine benzer biçimde yapılır. R alınırsa Q() i sıfır yapan gerçek sayıların dışında Q() de bir gerçek sayı Bu nedenle,

17 rasyonel fonksiyonlar 7 R için F() ile tanımlı F bağıntısı, R nin bir alt Q() kümesinden R ye bir fonksiyon tanımlar. Rasyonel ifadeler cisminde, 2 2, 3 3, olacağı için in negatif kuvvetleri de vardır. in tamsayı kuvvetlerinin çarpımı ve toplamı, reel sayıların tamsayı kuvvetlerinde olduğu gibi yapılır. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi gibi rasyonel bir ifadenin pay ve paydası T() 0 polinomu Q() ile çarpılırsa, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel ifade elde edilir. Yani, Q() Q().T() Q().T() dir. Burada,.T() rasyonel ifadesine rasyonel ifadesinin sadeleşmiş Q().T().T() Q().T() (kısaltılmış) biçimi, rasyonel ifadesinede Q() rasyonel ifadesinin genişletilmişi denir. biçimindeki rasyonel ifadeleri sadeleştirirken elemanını Q() belirsiz (tanımsız) kabul ediyoruz. Eğer R alırsak bazı gerçek değerleri için bu sadeleştirme yapılamaz. Örneğin, 2 9 ( 3)(+3) 3 rasyonel ifadesi 3 biçiminde yazılabilir. Burada 3 için 3 0 olduğundan 3 ile sadeleştirme yapılamaz. 3 oiin ( 3)( + 3) 3 Örnekler: rasyonel ifadesini sadeleştirelim ( 2 6) ( 2 2 3).2 ( + 2)( 3) 2 ( + 2) ( + )( 3) + bulunur rasyonel ifadesini sadeleştirelim ( ) + (5 6) (5 2) + 3(5 2) 5 2 (5 2)(22 + 3)

18 8 calculus y 5y y 2 rasyonel ifadesini sadeleştirelim y 5y 2 (4 3y)( + 5y) 6 2 9y 2 (4 3y)(4 + 3y) + 5y 4 + 3y 4. 2 m+2 rasyonel ifadesi sadeleştirilebildiğine göre m Z nedir? Verilen polinom, 2 m m + 2 ( )( 3) biçiminde yazılabilir. Bu rasyonel ifadenin sadeleştirilebilmesi için 2 m + 2 polinomunun ( ) veya ( 3) ile tam bölünmesi gerekir. Yani polinomunun veya 3 ile bölünmesinden elde edilecek kalan sıfır olmalıdır. Buna göre, P() 0 m m 3 veya P(3) 0 9 3m m 3 Z dir..5 Alıştırmalar Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz. ) a 2 + 2a + a 3 2) 9 a + b + b + a 3) ) 2 5y + 4y 2 y + 2y + y 2 3y 4y 2 5) ) (3 y 3 )( 3 y 2 ) y + y 2

19 rasyonel fonksiyonlar 9 7) 2 + y 2 + 2y 2 2y + y 2 8) (22 98)( ) 2( + 7) 2 ( ) 9) ( )( ) ) ) 6 64 ( 2 4)( ) 2) ) m y m 2m y 2m 4) Rasyonel İfadelerin Toplamı Tanım: R() ve rasyonel ifadelerinin toplamı, Q() S() Q() + R().S() + Q().R() S() Q().S() biçiminde tanımlanır. Paydaları farklı rasyonel ifadelerin toplamında yapılması gerekli işlemleri aşağıdaki biçimde sıralayabiliriz.. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarındaki polinomlar çarpanlarına ayrılır. Varsa gerekli sadeleştirme yapılır. 2. Rasyonel ifadelerin paydalarındaki polinomların EKOK u bulunur. 3. Her rasyonel ifade, paydası EKOK olacak biçimde genişletilir. Böylece, verilen rasyonel ifadelerin paydaları eşitlenmiş 4. Payların toplamı paya, ortak paydada paydaya yazılır. 5. Bulunan sonuç en sade biçime getirilir. Örnekler: toplamını bulalım

20 20 calculus ( 3)(+2) ( 2) + 2 ( 3)( + 2) + ( 2)( 3) ( + 2) ( 2) ( 2)( 3)( + 2) + ( 3)( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( + 2) + ( 2)( 3)( + 2) ( 2) + ( 3)( + 2) + ( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( 2)( + 3) ( 2)( 3)( + 2) + 3 ( 3)( + 2) y 2 y 2 y y +y toplamını bulalım:

21 rasyonel fonksiyonlar y y y y + y 4 2 ( y)( + y) + + y y ( y) (+y) ( + y) ( y) 4 2 ( y)( + y) + ( + y) 2 ( y)( + y) ( y) 2 ( y)( + y) 42 + ( + y) 2 ( y) 2 ( y)( + y) y + y y y 2 ( y)( + y) y ( y)( + y) 4( + y) ( y)( + y) 4 y.7 Alıştırmalar Aşağıdaki işlemleri yapınız. ) + y 5) 6) 3) 2 2 y 2 2) ) y + y y + y y 2 Rasyonel İfadelerin Çarpımı Tanım: rasyonel ifadelerinin çarpımı, Q() ve R() S() Q(). R() S().R() Q().S() biçiminde tanımlanır. Rasyonel ifadelerin çarpımında, her rasyonel ifadenin pay ve paydası çarpanlarına ayrılarak sadeleştirmeler yapıldıktan sonra paylar çarpılarak paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır.

22 22 calculus Örnekler: y 2 y +2 çarpımını bulalım y y ( + 2)( + 3) yy + 3 y y ( + 2) bulunur. 2. (4 + + ).( ) işlemini yapalım. (4 + + ) (2 + 4( + ) + ) (2 + ) (2 + )2 + (2 + ) ( + ) 2 + 4(2 + ).8 Rasyonel İfadelerde Bölme R() R() Tanım: ile iki rasyonel ifade ve 0 olmak üzere, Q() S() S() Q() rasyonel ifadesinin R() rasyonel ifadesine bölümü S() Q() : R() S() Q() biçiminde tanımlanır. Rasyonel ifadelerin bölümünde,.[ R() S() ].S() Q().R(). Verilen rasyonel ifadelerin pay ve paydaları çarpanlarına ayrılır. 2. Birinci rasyonel ifade, ikinci rasyonel ifadenin çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. 3. Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra, paylar çarpılarak paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır. Örnekler:

23 rasyonel fonksiyonlar : işlemini yapalım: : ( 3)( + 3) 3( + 3) : ( 3)( 3) 7( 3) ( 3)( + 3) 7( 3) ( 3)( 3) 3( + 3) 7 3 çıkar : işlemini yapalım : ( + 3) ( + )( + 3) ( 3)( + 3) + ( 3).9 Alıştırmalar. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Sonucu en sade biçimde yazınız. ( + 3)2 a) 3 : b) : c) ( 5)2 2 : e) : d) f) : : g) : h) ( ) : ( ) 2.Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız. 3 a) b) ( + 3) 2 c) d) (2 + 5) Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız. a) b)

24 24 calculus c) d) Aşağıdaki işlemleri yapınız. + 4 a) b) c) y 3 + y d) 2 y 2 + e) y y 2 y y + y 2 f) y + y g) ( + ) h) 2 + 5y + 4y 2 y + 4y y 2 + 6y + 5y 2 a + 2ay b 2by a 2 + ab b 2 i) 2 + y 2y 2 : 2 2y + y j) : k) : l) m) y : y 4 2 y ( ) n) ( ) o) ( )( ) p) ( ) ( + ) r) ( 2 + y 2 y + y) : ( 2 y 2 + y + y) s) ( ) : ( + 2 ) t) ( + y) 2 ( 2 + y 2 ) + 2 ( + y) 3 ( + y ) u) ( ) : ( ) 2.0 Polinom Denklemler Tanım: Sıfır polinomundan farklı bir polinomunu sıfır yapan

25 rasyonel fonksiyonlar 25 (varsa) her gerçek sayısına, polinomunun kökü, o 0 koşuluna da bir polinom denklem denir. polinomunun köklerine aynı zamanda 0 denkleminin kökleri denir. Bir polinom denklemin bütün köklerini (varsa) bulmak için yapılan işleme denklemi çözme, bütün köklerden oluşan kümeye de denklemin çözüm (doğruluk) kümesi denir. Çözüm kümeleri eşit olan denklemlere de denk denklemler adı verilir.. Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü a, b R ve a 0 olmak üzere, a + b 0 biçimindeki polinom denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. a + b 0 (a 0) denkleminin çözüm kümesini bulalım: a + b 0 a + b + ( b) 0 + ( b) a + 0 b a b a.a a ( b) b a { b a } Örnekler:. 6 3( + ) + denkleminin çözüm kümesini bulalım: 6 3( + ) {2} denkleminin çözüm kümesini bulalım:

26 26 calculus ( ) 30 ( 0 2 ) 30( 4 2 ) 30( ) {6} 3. 3a + 5b 3b + 5a denkleminin çözüm kümesini bulalım: 3a + 5b 3b + 5a 3a 3b 5a 5b 3(a b) 5(a b) 5 3 (a b 0) { 5 3 } denkleminin çözüm kümesini bulalım: ( ) (8 6) ( 2) 8( 2) 0 ( 2)(2 2 8) 0 2( 2)( 2 4) 0 2( 2)( 2)( + 2) 0 2( 2) 2 ( + 2) { 2, 2} 5. 2 a+b 2 + ab 4 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım: 2 a + b 2 + ab (a + b) + ab 0 (2 a)(2 b) 0 2 a 0 2 b 0 a 2 b 2 { a 2, b 2 }

27 rasyonel fonksiyonlar 27.2 Alıştırmalar Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) ) ) ) ) 8 (7 ) 33 6) 4 (3 + 2) 7 7) 5( + 3) 4( + 2) 2 8) 60 2[(37 + 2) 3] 20 0) 2 + 5( 2) 3[2( 5) + 3] + 2 ) 2( + 5) 4( + 5) 2) (2 3)( 5) 2 9( 5) 3) 4( ) 2 8( ) 4) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4( ) ) 2 ( 3) 9 27) ) a b a 2 + b 2 2a 2b 29) a a a 3 + 3a 2 30) 6a 4 3a 2 5a + 2 3) (2 + 4)(2 4a) (2 + 8)(3 4a) 32) 5 [6(2 + a) (5 3)(2 a)] ( 2)(3 4a) 7a 33) 6[5 (6 2)(5 + 3a)] 3[5a 5(8 2a)] 53a 54 34) ab m + ab n m+n mn 35) m cd + a + ad m + c 0 36) 2+4a a 37) 2ab 2ab 38) 2a + 4(a+b) ab + 2b 4b+2 b 2b 2 a a + a a 2 2a a a+b + 39) a a b + b 2ab a 2 b a 40) +5 a+ 6 a 7a 9 a 2 0 Rasyonel Denklemler Tanım:, Q() iki polinom, Q() 0 ve R olmak üzere,

28 28 calculus biçimindeki her ifadeye rasyonel fonksiyon denir. Q() Q() 0 koşuluna bir rasyonel denklem, bu koşulu sağlayan gerçek sayılarına (varsa) rasyonel denklemin kökleri denir. Rasyonel denklemler çözülürken payın kökleri bulunur. Bunlar arasından paydayı sıfır yapanlar rasyonel denklemin çözüm kümesine dahil edilmezler. Yani, 0 0 Q() 0 Q() Örnekler: denkleminin çözüm kümesini bulalım ( + 2) 3 0 3( + 2) 5 5 3( + 2) ( + 2) 0 {} denklemini çözelim ( + )( 4) 0 ( 4) ( + )2 5 0 ( + )( 4) 6 6 ( + )( 4) ( + )( 4) 0 [ 4] { } 2a b + 2b + a denkleminin çözüm kümesini bulalım:

29 rasyonel fonksiyonlar 29 2a + + b 2b + + a 2a + 2(a b) + 2b + a b a b 2 (a b) {}.3 Alıştırmalar Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( + 3) ) ) ) ) ) ) ) )

30 30 calculus 8) a b a2 b 2 a + b 2 2 (a + b)2 9) + a + a + (2 + 2a)(a ) 20) (a + 3)(2 a) 2) a + a a a a 22) a + 2b 23) + b a 3 + b a + 2a 2 4 ( + b) + a 2 4a 2 a b b + 2a 2b( + )2 a a 2a ) 2a 2b 2a + 2b 4a2 b 2ab 2 a 2 b 2 (2 + 6a)( + 9b) 2b a 25) (3b + )( a) a 6b ) c + (a b) 27) 3c2 2b 2 a 2 b (a + b) + 2a a 2 b 2 + 2b2 c(5c2 + 3b 2 ) c + b2 (c + ) + 2b 2b 28) a a 29) a + b b a b + a b a 30) a + 2 2a 4a 2 2 3a + 2a 2 Rasyonel İfadelerin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması Tanım: a, b, c, A, B, C R, m, n N + ve a 2 + b + c asal bir polinom ise, A B + C (a + b) m ove (a 2 + b + c) n biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir. Buna göre, 4 (3 + 2) 5, , rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir , , 5 4 ( a)( b) rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir. Teorem: a) indirgenemez rasyonel bir fonksiyon, Q() b) der[] < der[q()], c) Q() polinomu aralarında asal M(), N() polinomlarının çarpımı, ise, Q() A() rasyonel fonksiyonu M(), B() indirgenemez rasyonel kesirlerinin toplamı olarak yazılabilir. N() Bu bölümde yukarıdaki teoremin bazı uygulamalarını göreceğiz.

31 rasyonel fonksiyonlar 3 Örnekler: 2. rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım. ( 2)(+2) 2 ( 2)( + 2) A ( 2) + B ( + 2) A( + 2) + B( 2) ( 2)( + 2) A + 2A + B 2B ( 2)( + 2) (A + B) + 2A 2B ( 2)( + 2) bu iki rasyonel ifadenin denk olması için, olmalıdır. Buradan da, A + B 0 2A 2B 2 bulunur. Buna göre, 2 (A + B) + 2A 2B } A + B 0 A B 6 } A 3 B 3 rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yaza lım ( 2)( + 2) (3 4)( 2) dir. 5 3 (3 4)( 2) A B 2 A( 2) + B(3 4) (3 4)( 2) 5 3 A( 2) + B(3 4) İki polinom özdeş ise, R için doğrulanır. 2 için; A(2 2) + B(3.2 4) B için; A( 4 3 2) + B( ) A 2

32 32 calculus bulunur. Buna göre, Not: Yukarıda ler belirlenirken verilen rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler tercih edilecektir rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım dir (4 + )(2 ) (4 + )(2 ) A B (2 ) biçiminde yazılabilir. A yı bulmak için, a) A nın paydasının kökü bulunur: () b) () eşitliğinin birinci yanından A nın paydası atılırsa, ifadesi elde edilir. Bu rasyonel ifadenin 4 için aldığı değer A yı verir: Aynı biçimde B yi bulalım. 4 A 2( 4 ) + 7 2( 4 ) Buna göre, 2 B 2.( 2 ) + 7 4( 2 ) (4 + )(2 ) Uyarı.. Paydanın gerçek kökleri yoksa yukarıdaki kural geçerli değildir. dir rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım ( 2 + 2)

33 rasyonel fonksiyonlar 33 veya ( 2 + 2) A + B + C A2 + 2A + B 2 + C ( 2 + 2) (A + B)2 + C + 2A ( 2 + 2) (A + B) 2 + C + 2A Buradan da, bulunur. Buna göre, A + B 0 C 5 2A 2 A B C ( 2 + 2) Alıştırmalar. Aşağıdaki eşitliklerde A, B nin alacağı değerleri bulunuz. 4 a) (+)(+4) 2+ b) A + + A + +4 B B Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız. 3 4 a) b) c) e) d) f)

34

35 Bibliography

36

37 bibliography 37

38

39 Inde çıkarma, 6 çarpma, 6 bölme, 6 basit kesirlere ayırma, 0 eşitlik, 5 ebob, 3 ekok, 3 grup, 7 işlemler, 6 rasyonel fonksiyon, 5 sadeleştirme, 7 toplama, 6

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

ARALARINDA ASAL SAYILAR

ARALARINDA ASAL SAYILAR ARALARINDA ASAL SAYILAR Bir ( 1 ) sayısı her sayının bölenidir. İki tamsayının birden başka ortak böleni yoksa böyle iki tamsayıya aralarında asal tam sayılar denir. İki tamsayı asal sayı olmak zorunda

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

CEVAP ANAHTARI 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B

CEVAP ANAHTARI 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B 1. BÖLÜM: TEMEL KAVRAMLAR - 3 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B 1-D 2-B 3-B 4-E 5-C 6-D 7-C 8-E 9-B 10-A 11-C 12-E 13-C 14-D 15-E 16-D 1-A 2-B 3-A 4-E 5-A

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Ders 0 Ondalık Gösterim Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Bir rasyonel sayıyı ondalık olarak yazmak için paydası, 0, 00,... gibi un kuvveti olacak şekilde sayı genişletilir veya sadeleştirilir. Elde

Detaylı

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07 Bölme, Bölünebilme,

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI POLİNOMLAR ÇARPANLARA AYIRMA İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER V ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1) 4y x xy 4 4y x xy 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4 x 4 x x A) B) C) 4 x 4 x 4 x x x 1 D) E) 4 x x 1 1) İkili ikili gruplayarak ortak paranteze

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI LİDER ŞİŞLİ İLKOKULU/ORTAOKULU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI LİDER ŞİŞLİ İLKOKULU/ORTAOKULU 4. SINIF MATEMATİK KAZANIMLARI 4, 5 ve 6 basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 10 000 e kadar (10 000 dahil) yüzer ve biner sayar. 10 000 e kadar (10 000 dahil) yüzer ve biner sayar. 4, 5 ve 6 basamaklı

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

a) x +3 = 8 b) x -4 = -2 c) x -7 = 4 d) x +5 = 6 e) x +8 = 2 f) x -1= -8 x +3 = 5 denkleminin çözümünü bulunuz.

a) x +3 = 8 b) x -4 = -2 c) x -7 = 4 d) x +5 = 6 e) x +8 = 2 f) x -1= -8 x +3 = 5 denkleminin çözümünü bulunuz. Denklemler bilinmeyen - cebirsel ifade - 7 denklem Bir cebirsel ifade bir sonuca eşit oluyorsa buna denklem denir. Bazı denklemlerin çözümü yoktur, bazı denklemlerin sonsuz, bazı denklemlerin bir, iki,

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 10 SINIF MATEMATİK Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Cebirsel ifadeler. a) 4x = b) y = c) 5a = 2x ile x x ile 4x a ile 5ab 2x y ile yx. 3a b ile a b 4 ile 7 5 ile x x ile -3x.

Cebirsel ifadeler. a) 4x = b) y = c) 5a = 2x ile x x ile 4x a ile 5ab 2x y ile yx. 3a b ile a b 4 ile 7 5 ile x x ile -3x. Cebirsel ifadeler Bir veya birden fazla bilinmeyen(harf) bulunduran matematiksel ifadelere cebirsel ifadeler denir. -( +.5) ifadesi cebirsel ifade değildir. x + y -5 ifadesi cebirsel ifadedir. Aşağıdaki

Detaylı

Çözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri

Çözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri Bölüm 5 Çözümlü Limit Süreklilik Problemleri. 2 fonksiyonunun tanım bölgesini = noktasındaki itini bulunuz. Paydanın 0 değerini aldığı = noktasında fonksiyon tanımlı değldir. Tanım bölgesini T (f ) ile

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

8.SINIF FİNAL MAÇI KONULARI 26 NİSAN 2019

8.SINIF FİNAL MAÇI KONULARI 26 NİSAN 2019 8.SINIF FİNAL MAÇI KONULARI 26 NİSAN 2019 1) ÇARPANLAR VE KATLAR M.8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı Çarpanlarını üslü ifadelerin

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR

8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR 0 8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR KAREKÖKLÜ SAYI KAVRAMI Karekök ile gösterilir. karekökünün içi negatif bir sayıya eşit olamaz. ÖR: Aşağıda verilen eşitliklere göre x lerin alabileceği değerleri

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

Oran ve Orantı Üzerine

Oran ve Orantı Üzerine Aşağıda, önce oran ve orantı nın açıklamalı tanımlarını, daha sonra / oranının işlevselliği ile ilgili örnekleri, en sonunda da / oranına yapılan eleştirilere cevaplarımı bulacaksınız. Oran ve Orantının

Detaylı

2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. g) ( ) 3) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 4) Aşağıda verilen işlemleri yazınız.

2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. g) ( ) 3) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 4) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 8.2. ÜSLÜ SAYILARDA İŞLEM 8.2..A ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ 2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 2 ( + 2) + ( ) 3 ( 2) + ( 2) Üslü sayılarda toplama veya çıkarma işleminde her üslü niceliğin

Detaylı

CK MTP21 AYRINTILAR. 5. Sınıf Matematik. Konu Tarama No

CK MTP21 AYRINTILAR. 5. Sınıf Matematik. Konu Tarama No 5. Sınıf 01 Milyonlar 02 Örüntüler Adı 03 Doğal Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri 04 Doğal Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 05 Zihinden İşlemler, Bölme İşleminde Kalanı Yorumlama, Çarpma ve Bölme

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

YÜZDE HESAPLARI. X sayısı, herhangi bir reel sayı olmak üzere, bu X sayısını 100

YÜZDE HESAPLARI. X sayısı, herhangi bir reel sayı olmak üzere, bu X sayısını 100 YÜZDE HESAPLARI Ticari hayatta yapılan ticari işlemler aynı türden bazı çoklukların birbiri ile bölme yoluyla karşılaştırılmasını ve böylece belli bir oranın bulunmasını gerektirir. Örneğin, maliyet fiyati

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ 20120907010 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF 1 ANLATIMI ÜSLÜ SAYILAR KONU Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR 00 00 005 006 007 008 009 00 0 Temmuz Dahil Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-975-879-06- Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Sayılar Kuramına Giriş Özet

Sayılar Kuramına Giriş Özet Eğer bir b noktası bir a noktasının sağındaysa, o zaman a, b den küçük ve b, a dan büyük olarak sayılır, ve Sayılar Kuramına Giriş Özet David Pierce a < b, b > a yazılır. Tanıma göre a a, a < b a b, a

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak 7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi

Detaylı

10. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı VERİ, SAYMA VE OLASILIK SAYMA VE OLASILIK Sıralama ve Seçme

10. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı VERİ, SAYMA VE OLASILIK SAYMA VE OLASILIK Sıralama ve Seçme 10. SINIF No Konular Kazanım Sayısı VERİ, SAYMA VE OLASILIK Ders Saati Ağırlık (%) 10.1. SAYMA VE OLASILIK 8 38 18 10.1.1. Sıralama ve Seçme 6 26 12 10.1.2. Basit Olayların Olasılıkları 2 12 6 SAYILAR

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı