Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi"

Transkript

1 1

2 2

3 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük. Genişlemiş ortalama değer teoremi diye anılan aşağıdaki teorem önemli sonuçlar vermektedir. f fonksiyonu [a,b] aralığında türetilebiliyorsa, t [a,b] olmak üzere, ortalama değer teoremimini f (x) = f (a) + f (t)(x a) (9.1) biçiminde ifade edebiliriz. t değişkeni a ya yaklaşırken, f (x) f (a) + f (a)(x a) (x a) (9.2) çıkar. Bu formül f (x) değerine teğet boyunca yaklaşımı verir. Bu yaklaşımda yapılan hatanın x a dan küçük kaldığını biliyoruz. f fonksiyonunun ikinci basamaktan türevi varsa, söz konusu yaklaşımı iyileştirebiliriz: Teorem 9.1 I aralığının her noktasında f ikinci basamaktan türevi varsa, her a, x I için f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (t) 2 (x a)2 (9.3) eşitliğini sağlayan bir t [a, x] noktası vardır.

4 188 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI İspat: h(x) = f (x) f (a) f (a)(x a), g (x) = (x a) 2 dersek, x = a için, h(a) = g (a) = 0, h (x) = f (x) f (a) çıkar. f ve g fonksiyonlarına x > a için [a, x] aralığında, x < a için [x, a] aralığında, Cauchy Ortalama değer Teoremini uygularsak, h(x) g (x) h(x) h(a) = g (x) g (a) = h (t 1 ) g (t 1 ) = f (t 1 ) f (a) 2(t 1 a) koşulunu sağlayan bir t 1 [a, x] sayısının varlığı ortaya çıkar. Bu duumda, a, t 1 ] ya da t 1, a aralıklarında ortalama değer teoremi uygulanırsa, f (t 1) f (a) = f (t)(t 1 a) eşitliğini sağlayan bir t [a, t 1 ] [a, x] sayısının varlığı söylenebilir. Öyleyse, h(x) g (x) = f (t)(t 1 a) = f (t) 2(t 1 a) 2 eşitliğini sağlayan bir t [a, x] öğesinin varlığı çıkar. Buradan, çıkar. h(x) = f (t) 2 g (x) = f (t) 2 (x a)2 9.2 Teğet Boyunca Yaklaşımdaki Hata Çoğu zanan aradığımız gerçek değri bulmaz, onun yerine yaklaşık bir değer alırız. (9.3) formülü ile verilen Genişlemiş Ortalama Değer Teoremi de f (x) değerine yaklaşık bir değerdir. f (x değerine teğet boyunca yaklaşımıla elde edilen değeri alırsak, (9.3) formülünden ilk iki terimi alıp üçüncü terimi atmış oluruz. Dolayısıyla ayapacağımız hata atılan H 1 = f (t) 2 (x a)2 (9.4) terimi kadardır. Buradan mutlak değere geçersek yapacağımız hatanın ne kadar olduğu ortaya çıkar: H 2 = 1 2 (x a)2 f (t) (9.5)

5 9.2. TEĞET BOYUNCA YAKLAŞIMDAKİ HATA 189 Örnek 9.1 x = 0 noktasının komşuluğunda f (x) = e x fonksiyonuna genişlemiş ortalama değer teoremini uygulayarak, doğrusal yaklaşımda yapılan hatayı belirleyiniz. Çözüm: f (x) = e x fonksiyonunun ikinci basamaktan türevi olduğu için, genişlemiş ortalama değer teoremi yazılırsa, f (x) = f (0) + f (0)(x 0) + f (0) (x 0)2 2 e x = e 0 + e 0 (x 0) + e0 (x 0)2 2 = 1 + x x2 çıkar. Yapılan hata H x2 dir. Komşuluğu ( 1 100, ) olarak alırsak, H ( ) olur. Bu hata bir çok uygulamada kabul edilebilir bir hatadır. Ama, seçilen aralık küçüldükçe yapılan hata azalacaktır. Örneğin, aralık ( , ) olarak seçilirse, yapılan hata iki milyarda 1 den küçük olacaktır. olur. Örnek 9.2 sin32 o nin yaklaşık değrini bulunuz. Çözüm: Genişlemiş ortalama değer teoremine göre, f (x) = sin x fonksiyonu için f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 si nx = sin( π 6 )(x π 6 ) ( si n(π 6 )(x π 6 )2 olduğuna göre, bu eşitlikten son terimi atarsak, yapılan hata, x π 6 < seçersek H ( si n(π 6 )(x π 6 ) ( ) pi 2 2. < 1 ( ) 1 2 < olur.

6 190 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI 9.3 Doğrual Yaklaşım Çoğu kez fonksiyonun belirli bir noktadaki gerçek değerini bulamayız. O zaman fonksiyonun o naktadaki teğeti boyunca gerçek değer yaklaşmaya çalışırız. Teğet bir doğru denklemi ile verildiği için onun üzerindeki her değri hesaplayabiliriz. O nedenle hesaplanamayan f (a) değeri yerine, şekiden görüldüğü gibi teğet üzerinde şekilden görüldüğü gibi, teğet boyunca yaklaşarak, teğet üzerindeki bir noktanın değerini gerçek f (a) değerinin yaklaşık bir değeri olarak alırız. Bu eyleme doğrusal yaklaşım denilir. Fonksiyonun gerçek değerinin hesaplanamaığı ama birinci türevinin var olduğu her noktada bunu yapabiliriz. Üstelik, teğet boyunca yalaşımı sınırsız olarak yaparsak, yapılan hata çok azalır. Eğrinin grafiği (a, f (a)) noktasının bir komşuluğunda aşağıya doğru iç bükey ise, teğet aşağıda kalacağından alınan yaklaşık değer gerçek değerden daha küçük olur. Tersine olarak, eğrinin grafiği (a, f (a)) noktasının bir komşuluğunda yukarıya doğru iç bükey ise, teğetyukarıda kalacağından alınan yaklaşık değer gerçek değerden daha büyük olur. Her iki durumda f (x) f (a) + f (a)(x a) + H 2 (9.6) olur. Yani yapılna hata H 2 dir. Bunun ne kadar olduğu hesaplanabilir. Örnek 9.3 Her gerçel x sayısı için x2 cos x olduğunu gösteriniz. Çözüm: f (x) = cos x fonksiyonuna genişlemiş ortalama değer teoremini uygularsak, cos x = x2 + sinc 6 x3 olacak şekilde bir c [0, x] sayısı vardır. olur. x π sinc 6 x3 0, x π x2 < 3 cos x

7 9.4. YAKLAŞIM EYLEMİ Yaklaşım Eylemi Bilimin bir çok dalında istenen gerçek değer elde edilemez. O zaman mümkün olduğu kadar gerçek değere yakın bir değer elde edilmeye çalışılır. Genel olarak matematikte yaklaşım eylemi diye adlandırılan konu oldukça geniştir ve iyi incelenmiştir. Farklı matematiksel uzaylarda yaklaşım eyleminin nasıl yapıldığı ve gerçek değer yerine yaklaşık değer alındığında yapılacak hatanın sınırları belirlenir. Taylor teoremini ifade etmeden önce yaklaşım eyleminin geometrik yorumunu açıklamakta yarar olabilir. Bir fonksiyonun bir a noktasındaki değerine o noktadaki teğet ile yaklaşırsak, adına doğrusal yaklaşım dediğimiz yöntem ortaya çıkıyordu. Teğet denklemi birinci basamaktan türev cinsinden ifade edilebildiği için, doğrusal yaklaşım yöntemini birinci basamaktan türevi olan her fonksiyona uygulayabiliriz. En kolay yaklaşım eylemlerinden birisi doğrual yaklaşımdır. Fonksiyonun f (a) değeri hesaplanamıyorsa, o değere A(a, f (a)) noktasından çizilen teğet boyunca yaklaşılır. Bu yaklaşım teğetin varlığını gerektirir. Dolayısıyla birinci basamaktan türevi olan her fonksiyona uygulanabilir. Bu uygulamayı geçerli kılan formül ortalama değer teoremi dir. A(a, f (a)) noktasına teğet boyunca yaklaşmak yerine başka eğriler de düşünülebilir. Örneğin, o noktada eğriye en yakın olan parabol üzerinden yaklaşmak da düşünülebilecek yöntemlerden birisidir. Tabii, A(a, f (a)) noktasından geçen bir parabolü bulmak için fonksiyonun ikinci basamaktan türevine gerekseme doğar. Eğer, f fonksiyonunun a noktasında ikinci basamaktan türevi varsa, Genişlemiş Ortalama Değer Teoremi bize istenen değere parabol üzerinden yaklaşma olanağı verir. Tabii, bu düşünceyi genelleşirebiliriz. Hesaplanamayan değer teğet doğrusu ya da parabol üzerinden yaklaşmak yerine üçüncü, dördüncü,... n-inci dereceden polinomlarla yaklaşımı deneyebiliriz. Polinun derecesi arttıkça eğriye daha iyi yakın olan polinomlar ortaya çıkar. Ama polinomun derecesi ile birlikte asıl fonksiyonun gereken türev basamağı da artar. Taylor teoremi k-kez türetilebilen bir fonksiyonun yaklaşık değerini verir. Yaklaşım için alınan terimlerin tamamı bir polinom olur. Dolayısıyla, fonsiyona bir polinom ile yaklaşım söz konusu olur. Fonksiyona polinomlarla yaklaşılabilmesi, işimizi çok kolaylaştırır. Çünkü polinomlar, sayılardan sonra en kolay kullanılabilen nesnelerdir. Taylor teoremi İngiiz matematikçi Brook Taylor tarafında 1712 yılında ifade edilmiştir. O zamandan beri, teoremin farklı biçemlerde ifadesi ortaya çık-

8 192 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI mıştır. Ondan önce de teoremin ifade edildiği bilinmektedir yılında James Greory benzer bir ifade kullanmıştır. Doğrusal yaklaşımda p 1 (x) = f (a) + f (a)(x a) polinomu kullanılıyor. Burda yapılan hata H 1 = f (x) P 1 (x) dir. Genişlemiş Ortalama Değer teoremi ise şöyle diyor: f ve f fonksiyonları [a,b] aralığında sürekli iseler ve f türetilebilir bir fonksiyonsa f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (c) (b a)2 2 olacak biçimde bir c (a, b) sayısı vardır. Burada b = x ve a = b alınırsa, f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 elde edilir. Burada son terim atılırsa, M = sup{f (t) : t [a, x]} olmak üzere, yapılan hata H 1 = f (x) P 1 (x) M (x a)2 2 dir. Yaklaşımım en iyi olması için lim H 1(x) = 0 a x olmalıdır. Taylor teoremi ortalama değer teoremlerinin genel halidir. Esas olarak f (x) değerine bir P n (x) polinomu ile yaklaşımdır. Bu yaklaşımda H n (x) = f (x) P n (x) hatasının mümkün olan en küçük değere erişmesi istenir. Teorem 9.2 [a, b] aralığında tanımlı f fonksiyonunun n-inci basamağa kadar sonlu türevleri var ve kapalı [a,b] aralığında sürekli olsunlar. f (n+1) türevi ise açık (a,b) aralığında sürekli olsun. Bu durumda, x (a,b) olmak üzere, f (x) = n k=0 f (k) (a) k! (x a) k + f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)! = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + 2! + f (n) (a) (n)! (x a) n + f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)!

9 9.4. YAKLAŞIM EYLEMİ 193 eşitliğini sağlayacak şekilde a ile x arasında bir t sayısı vardır. İspat: (isteğe bağlı) f = f (0) olmak üzere, h(x) = f (x) n k=0 f (k) (a), g (x) = (x a) (n+1) k! h (x) = f (x) f (a) f (a)(x a) f (n) (a) (n 1)! (x a)(n 1), h (x) = f (x) f (a) f (n) (a) (n 2)! (x a)(n 2),. h (n 1) (x) = f (n 1) (x) f (n 1) (a) f (n) (a)(x a), h (n) (x) = f (n) (x) f (n) (a) Burada sağ taraftaki terimlerin her türev alıştaki değişimleri g (x) = (n + 1)(x a) (n) g (x) = (n + 1)n(x a) (n 1). g (n 1) (x) = (n + 1)n(n 1)...4.3(x a) 2 g (n) (x) = (n + 1)!(x a) eşitlikleri belirler. Ayrıca, h(a) = g (a) = 0 h (a) = g (a) = 0. h (n) (a) = g (n) (a) = 0 olduğu görülebilir. Şimdi f ve g fonksiyonlarına x > a iken [a, x] aralıında, x < a iken [x, a] aralığında Cauchy Ortalama Değer Teoremi art arda uygulanırsa,

10 194 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI t i (i = 1,2,3,...,n) sayıları a ile x arasında olmak üzere, h(x) g (x). = h(x) h(a) g (x) g (a) = h (t 1 ) g (t 1 ), = h (t 1 ) g (t 1 ) = h (t 1 ) h (a) g (t 1 ) g (a) = h (t 2 ) g (t 2 ), = h(n) (t n ) g (n) (t n ) = f (n) (t n ) f (n) (a) (n + 1)!(t n a), Burada daima t i [a, t n 1) ] olduğunu ve dolayıyıyla t i sayısının a ile x arasında olduğunu tekrar vurgulayalım. Son olarak f (n) fonksiyonuna [a, t n ] aralığında ya da [t n, a] aralığında Ortalama değer teoremi uygulanırsa, t sayısı a ile t n arasında, dolayısıyla a ile x arasında iken, f (n) (t (n) f (n) (a) = f (n+1) (t)(t (n) a), çıkar ki buradan, h(x) g (x) = f (n+1) (t)(t n a) (n + 1)!(t n a) = f (n+1) (t) (n + 1)! yaxılabilir. Bu son ifadeden, çıkar. h(x) = f (n+1) (t) (n + 1)! g (x) = f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)! Uyarı 9.1 Teorem (9.2) nin ilk satırının sağındaki iki terimi, sırasıyla, ve P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k k! R n (x) = f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)!

11 9.5. TAYLOR SERİSİ 195 ile gösterirsek, yazabiliriz. f (x) = P n (x) + R n (x) (9.7) P n (x) toplamı n inci dereceden bir polinomdur. Buna n inci dereceden Taylor polinomu denilir. R ( x) ise (n + 1) inci kuvvetten tek terimdir. Buna n inci kalan terim diyeceğiz. n ne olursa olsun x = a için eşitliğin sağındaki terimler 0 değerini alır. Dolayısıyla f, f, f,..., f (n+1) fonksiyonlarının hepsi x = a noktasında 0 değerini alıyor ve f (x ile çakışıyor. Öyleyse, f fonksiyonu ile onun ilk n türevi olan fonksiyonların x = a noktasındaki teğetleri yatay eksene paraleldir. Gerçekten, Taylor polinomunun ardışık türevlerini alırsak, n P n (r ) = f (k) (a) k=r (k r )! (x a)(k r ) (r = 0,1,2,...n) = f (r ) (a) + f (r +1) (a)(x a) + + f (n) (a) ) (x a)(n r (n 1)! olur. x = a koyulursa P (r ) n (a) = f (r ) (a) (r = 0,1,2,...n) çıkar. Böylece P n (x) Taylor polinomunun x = a noktasında f (x) fonksiyonuna iyi yaklaştığı sonucuna varılabilir. 9.5 Taylor Serisi (9.7) eşitliği akla hemen şu soruyu getirir. f fonksiyonu sonsuz kez türeve sahip olursa ne olur? Tabii, bu durumda, f (x) = f (a) + F (a)(x a) + + f (n) (a) (x a) n + R n (x) (9.8) (n)! eşitliği her n için geçerli olacağına göre, lim R n(x) = 0 (9.9) n olması umulur. Bu olursa (9.8) eşitliği, f (x) = f (a) + F (a)(x a) + + f (n) (a) (x a) n + (9.10) (n)!

12 196 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI biçimini almalıdır. Buna Taylor serisi denilir. Bunun olabilmesi için (9.9) ün doğruluğunu göstermeliyiz: Teorem 9.3 (9.10) Taylor serisinin yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul (9.9) nin sağlanmasıdır. İspat: formülünde f (x) = P n (x) + R n (x) P n (x) = f (k) (a) (x a) k (n = 0,1,2,...) k! polinomları Taylor serisinin n inci kısmi toplamıdır. Serinin yakınsak olması için, f (x) = limn P n (x) (x I [a,b]) olmsı gerekir. Bu ise. limn ( f (x) P n (x) ) = 0 = lim n R n (x) (x I ) olması demektir ki, teoremin gerkirliği ortaya çıkar. Yeterliğini göstermek için, (9.10) sağlandığını varsayalım. Bu dururumda (9.10) serisi gerçekten f (x) fonksiyonuna yakınsıyor olacaktır. 9.6 Maclaurin Serisi Taylor serisinde a = 0 koyarsak, f (x) = f (0) + f (0)x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + (9.11) n! çıkar. Taylor serisinin bir özel hali olan bu seriye Colin Maclaurin ( ) anısına Maclaurin serisi denilir. Taylor ve Maclaurin serileri birer kuvvet serisidir. Kuvvet serilerinin terim terime tütetilebileceklerini biliyoruz. (9.10) serisinden, f (x) = f (n) (a) (x a) n = c n (x a) n n! n=0 n=0

13 9.7. MACLAURİN SERİSİ UYGULAMALARI 197 yazarsak, en sağdaki seri f (x) fonksiyonunun x = a noktasındaki Taylor serisine açılımı olur. Tabii, burada c n katsayıları c n = f (n) (a) n! eşitliğini sağlar. (9.12) 9.7 Maclaurin Serisi Uygulamaları Matemtikte bazı fonksiyonları Maclaurin serisiçok kullanılır. Bu keimde onlarda bazıllarını ele alacağız. Örnek 9.4 f (x) = sin x fonksiyonunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm: sin x fonksiyonunun ardışık türevlerini alıp x = 0 noktasındaki değerlerini bulursak,. f (0) = si n0 = 0 f (0) = cos0 = 1 f (n) (0) = { ( 1) n sin0 = 0 n çift ise ( 1) n cos0 = 1 n tek ise olduğundan, aşağıdaki seri elde edilir: sin x = x 1 3! x ! x5 1 7! x7 Örnek 9.5 f (x) = cos x fonksiyonunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm: cos x fonksiyonunun ardışık türevlerinin x = 0 noktasındaki değerleri f (0) = cos0 = 1 f (0) = sin0 = 0 f (0) = cos == 1... { f (n) = d n ( 1) n sin0 = 0 n tek ise (cos x) = d xn ( 1) n cos0 = 0 n çift ise

14 198 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI olduğundan, aşağıdaki seri elde edilir: cos x = 1 1 2! x ! x4 1 6! x6 + ( 1) n 1 (2n)! x2n + (9.13) Örnek 9.6 f (x) = e x fonksiyonunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm: f (x) = e x fonksiyonunun ardışık türevleri kendisine eşit olduğundan, e x = x 1 3! x ! x5 1 7! x7 çıkar. Örnek 9.7 f (x) = arctan x fonksiyonunu Mclaurin serisine açınız. Çözüm:17.yüzyılda Leibniz pi sayısının yaklaşık bir değerini bulmak için bu açılımı kullanmıştır. f (0) = arctan0 = 0 f (0) = d d x arctan x = 1 (1 + x 2 ) = 1 f (0) = d 2 f (0) = d 3 d x 2 arctan x = 2x (1 + x 2 ) 2 = 0 d x 3 arctan x = 2 3x2 1 (1 + x 2 ) 3 = 2 f (4) = d 4 d x 4 arctan x = 24x x2 1 (1 + x 2 ) 4 = 0 f (5) = d 5 d x 5 arctan x = 24 5x4 10x (1 + x 2 ) 5 = Bulunan değerler yerlerine konulursa, arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 + (9.14) 7 çıkar. Burada [arctan1 = π 4 ] eşitliği kullanılırsa, π = 4 (1 + + ) (9.15)

15 9.7. MACLAURİN SERİSİ UYGULAMALARI 199 bulunur. Daha iyi bir yaklaşık değer için ilk 1000 terim toplanırsa 1000 π 4 n=0 ( 1) n (9.16) (2n + 1) elde edilir. pi sayısı için günümüzde hesaplanan en yaklaşık değer π (9.17) dir. Bu da gösteriyor ki 300 yıl önce Leibniz çok iyi sayılacak bir yaklaşım yöntemi bulmuştur. (9.14) açılımında x = 1 3 ve π 6 = 1 3 değerini kullanırsak, π 6 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) 5 ( 1 ) (9.18) Bu ifadede 18 terim alınırsa pi sayısının yaklaşık bir değeri olarak çıkar. π 6 18 n=0 ( 1) n ( 1 3 ) 2n+1 2n + 1 = = (9.19)

16 194 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI

17 Dizin doğrusal yaklaşım, 189 kalan, 195 Maclaurin, 196 ortalama değer teoremi, 187 türev uygulamaları, 187 Taylor serisi, 195 yaklaşık değer, 189

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

Limit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti

Limit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti Bölüm Limit. Soldan ve Sağdan Yaklaşım değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve a biçiminde gösterilir. değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa,

Detaylı

Sonsuz Diziler ve Seriler

Sonsuz Diziler ve Seriler Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

9 B ol um Türevin Uygulamaları

9 B ol um Türevin Uygulamaları 2 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

01/U UYGULAMA. MATEMATİK 2 - FÖY İZLEME TESTLERİ ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I. 1. p: "Ω 3 R" 4. (p' q)' r p. 5. I. p p' 6. I.

01/U UYGULAMA. MATEMATİK 2 - FÖY İZLEME TESTLERİ ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I. 1. p: Ω 3 R 4. (p' q)' r p. 5. I. p p' 6. I. MATEMATİK - FÖY İZLEME TESTLERİ ÜNİTE : MANTIK Önermeler - I /U UYGULAMA. p: "Ω R" q: "iki basamaklı en küçük tam sayı dur." r: " " + = + 9 önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? A) Yalnız I

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar

Detaylı

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ

ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin. 2. Baskı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin. 2. Baskı Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin 2 2. Baskı Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 2 ISBN 978-605-318-451-5 DOI 10.14527/9786053184515 Kitap içeriğinin tüm

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

LİMİT. lim f(x) = L yazılır. lim. lim x a dır. lim g( clim

LİMİT. lim f(x) = L yazılır. lim. lim x a dır. lim g( clim LİMİT I. TANIM:, a yakınındaki değerleri için tanımlı bir onksiyon olsun. Alınan ε> sayısına karşılık -L < ε olacak şekilde -a < δ koşulunu sağlayan δ > sayısı bulunabiliyorsa ;, a ya yaklaşırken, L ye

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

; k = 1; 2; ::: a (k)

; k = 1; 2; ::: a (k) Analiz III Ara S nav 2 Kas m 2 x k = ; 2 ; :::; ; k = ; 2; ::: olmak üzere (x k ) R dizisi veriliyor. ; dizi ise (x k ) dizisi de yak nsak olur. Ispatlay n z. 2 ; :::; 2 A; B R olsun. A B ise A B olur

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar: 100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min

Detaylı

sonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.

sonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz. Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin

Detaylı

) dizisinin kaçıncı terimi 4 tür?

) dizisinin kaçıncı terimi 4 tür? Soru : Genel terimi Diziler, değer kümelerine göre isimlendirilir. f: N + R ye tanımlı f fonksiyonuna reel sayı dizisi denir. 4n + 1, n 0 (mod ) (a n ) = { n, n 1 (mod ) n 1, n (mod ) olan dizi için a

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

hafta 10: SÜREKLİ ZAMAN FOURIER DÖNÜŞÜMÜ CONTINIOUS TIME FOURIER TRANSFORM İçindekiler

hafta 10: SÜREKLİ ZAMAN FOURIER DÖNÜŞÜMÜ CONTINIOUS TIME FOURIER TRANSFORM İçindekiler hafta 10: SÜREKLİ ZAMAN FOURIER DÖNÜŞÜMÜ CONTINIOUS TIME FOURIER TRANSFORM İçindekiler 5.1 Sürekli zaman periyodik olmayan (aperiyodik) sinyallerin Fourier dönüşümü... 2 5.2 Sürekli zaman periyodik sinyallerin

Detaylı

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı