Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Prof.Dr.Ünal Ufuktepe"

Ekin Çakmak
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012

2 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda bilimsel anlamda ilk çalışmaları yapmış kişilerdir. Onların çalışmasıya Kalkülusün de temeli atılmıştır. Türev, diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Fizikte ise hareketteki anlık değişimdir.

Onların çalışmasıya Kalkülusün de temeli atılmıştır.

3 TÜREVİN TANIMI Aşağıdaki limit mevcut ise bu değere x R, olmak üzere f fonksiyonunun x e göre türevi denir df(x) dx = f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Bu tanım kullanılarak aşağıdaki özellikler ispatlanabilir Örnek:f(x) = x 2, f (x) = 2x (f.g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( f g )(x)) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x)

h Bu tanım kullanılarak aşağıdaki özellikler ispatlanabilir Örnek:f(x) = x 2,

4 Türev: Ayrık tanım kümesi üzerinde Bir önceki tanım kümesini (D = N), doğal sayılar kümesi olarak aldığımızda, limit ortadan kalkacağından, İLERİ FARK, f(n) = f(n + 1) f(n) ve GERİ FARK DENKLEMLERİ ile bu değişim ifade edilir f(n) = f(n) f(n 1) Bu tanımlar kullanılarak aşağıdaki özellikler ispatlanabilir; Örnek: f(n) = n 2, f(n) = 2n + 1 (f.g)(n) = f(n)g(n)+f(n + 1) g(n) ( f f(n)g(n) f(n) g(n) )(n) = g g(n)g(n + 1)

bu değişim ifade edilir f(n) = f(n) f(n 1) Bu tanımlar kullanılarak aşağıdaki özellikler ispatlanabilir;

5 Tanım kümesi hz = {t = nh : n Z, h > 0}, seçildiğinde hz yine temel tanıma sadık kalınarak aşağıdaki tanım verilir: h f(t) = f(t + h) f(t) h Türev özellikleri de bu tanıma göre şu şekilde ifade edilir Örnek:f(t) = t 2, h f(t) = 2t + h h (f.g)(t) = h f(t) g(t)+f(t + h) h g(t) h ( f g )(t) = hf(t) g(t) f(t) h g(t) g(t)g(t + h)

bu tanıma göre şu şekilde ifade edilir Örnek:f(t) = t 2, h f(t) = 2t + h h (f.

6 Bu sefer tanım kümesini yine ayrık ama biraz daha bir birine yakın olacak şekilde q Z = {t = q n : n Z, q > 1} {0}, seçildiğinde q Z deki türevi: biçiminde tanımlayabiliriz. Türev özellikleri: Örnek:f(t) = t 2, D qf(t) = (q + 1)t Önemli Bir Sonuç: lim q 1 D qf(t) = f (t) D qf(t) = f(qt) f(t) qt t D q(f.g)(t) = D qf(t) g(t)+f(qt) D qg(t) D f Dqf(t) g(t) f(t) Dqg(t) q( )(t) = g g(t)g(qt)

Türev özellikleri: Örnek:f(t) = t 2, D qf(t) = (q + 1)t Önemli Bir Sonuç: lim q 1 D qf(t) = f

7 ZAMAN SKALALARI (I) Bu kuram alman matematikçisi S.Hilger(1989) in doktora tezi çalışmasında ilk ortaya atılmıştır. Temel amaç yukarıdaki sürekli ve ayrık tanım kümeler üzerinde inşa edilen Kalkülüsleri bir çatı altında toplamaktır.

8 ZAMAN SKALALARI (II) Tanım:Reel sayılar kümesinin her hangi boş olmayan,t, kapalı bir alt kümesine Zaman skalası denir. Buna göre, Reel sayıların R kendisi, Z, N, kapalı iki aralığın bileşimi [0, 1] [2, 3], ya da kapalı aralıkla ayrık noktaların bileşimi [0, 1] {4, 6, 8} birer zaman skalasıdır fakat Q, C, reel sayıların kapalı olmayan herhangibir alt kümesi veya tek başına ayrık bir nokta zaman skalası değildir.

Buna göre, Reel sayıların R kendisi, Z, N, kapalı iki aralığın bileşimi [0, 1] [2, 3], ya da kapalı

9 NDA KALKÜLUS(I) Tanım: T bir zaman skalası olsun. İleri fark ve geri fark işlemcilerini (operatör) sırasıyla σ : T T ρ : T T by olarak tanımlayalım. σ(t) := inf{s T : s > t} (1) ρ(t) := sup{s T : s < t}. (2)

10 Eğer σ(t) > t, ise t ye sağa saçılmış,eğer ρ(t) < t, t ye sola saçılmış denir. Hem sağa hem sola saçılmış noktalara izole noktalar. Ayrıca eğer σ(t) = t, ise t ye sağ-yoğun,ρ(t) = t, ise t ye sol-yoğun. Hem sol hem de sağ yoğun olan noktalara ise yoğun noktalar denir. Özel durumlarda eğer t = maxt ise, σ(t) = t ve t = mint ise, ρ(t) = t.

Ayrıca eğer σ(t) = t, ise t ye sağ-yoğun,ρ(t) = t, ise t ye sol-yoğun.

11 NDA KALKÜLUS(II) Tanım: µ : T [0, ) olmak üzere µ(t) := σ(t) t. (3) fonksiyonuna sıçrama(tanecik- graininess) fonksiyonu denir. Zaman skalası analizinde bu fonksiyon çok önemli role sahiptir, bir çok formülde µ(t) fonksiyonu görülebilir.

12 Örnek: T = [ 1, 2] {3, 6} [8, 11] Zaman skalası için aşağıdakileri hesap ediniz: σ(0) =?,σ(2) =?, σ(3) =?,σ(8) =?, ρ(0) =?,ρ(2) =?, ρ(3) =?,ρ(8) =?, µ(0) =?,µ(3) =?

13 Zaman skalasında tanımlanan fonsiyonların grafiği Verilen bir foksiyonun grafiğini çizelim: f : T R, Şekil: f(x) = x 2 fonksiyonunun T = [ 1, 0] {0.5} [1, 2] zaman skalasındaki grafiği

14 σ(t) foksiyonunun grafiği Şekil: Graph of σ(x) on time scale T

15 Tanım: f : T R fonksiyonuna rd-sürekli denir eğer bu fonksiyon bütün sağ yoğun noktalarında sürekli ve bütün sol-yoğun noktalarında sol limiti var. Tanım: Benzer şekilde f : T R fonksiyonuna ld-sürekli denir eğer bu fonksiyon bütün sol-yoğun noktalarında sürekli ve bütün sağ-yoğun noktalarında sağ limiti var.

Tanım: Benzer şekilde f : T R fonksiyonuna ld-sürekli denir eğer bu fonksiyon

16 TÜREVİN GENELLEŞTİRİLMESİ f : T R fonksiyonunu gözönüne alalım. f in t T k noktasındaki Delta veya Hilger türevi: T k kümesi T kümesinden aşağıdaki şekilde türetilmiştir; Eğer T sola saçılmış bir m değeri içeriyorsa, bu durumda T k = T {m} dır. Diğer durumda, T k = T. Tanım: f : T R olacak şekilde tanımlansın ve t T k olsun. Bu durumda f in delta türevi şu şekilde tanımlanır; f (t) aşağıdaki özelliği sağlayan bir sayı; Verilen her hangi bir ǫ > 0 için t nin öyle bir U gibi bir komşuluğu varki (burada U = (t δ, t +δ) T bazı δ > 0 in ) öyleki (f(σ(t)) f(s)) f (t)(σ(t) s) ǫ σ(t) s for all s U. eşitsizliği sağlanır. Bu durumda f (t) ya f nin t deki delta-türevi denir. Ayrıca f fonsiyonuna T k da -türevlenebilir denir eğer f (t) bütün t T k için mevcutsa. f : T k R fonksiyonuna f in T k daki delta türevi denir.

Diğer durumda, T k = T. Tanım: f : T R olacak şekilde tanımlansın ve t T k olsun.

17 TÜREVİN GENELLEŞTİRİLMESİ türevi: f f(σ(t)) f(s) (t) = lim. s t σ(t) s eğer s σ(t). T = R alındığında f (t) = f (t) T = Z alındığında ise f (t) = f(t)

18 Theorem f : T R ve t T k olsun. Bu durumda aşağıdakiler geçerlidir (i) Eğer f, t de, türevlenebilir ise f, t de, süreklidir. (ii) Eğer f, t de (t sağa-saçılmış), f, t de, türevlenebilir öyleki f (t) = f(σ(t)) f(t). µ(t) (iii) Eğer t sol-yoğun ise, f, t de, türevlenebilir ancak ve ancak f(t) f(s) lim s t t s limiti sonlu bir değer olarak mevcut ise, bu durumda. f (t) = lim s t f(t) f(s) t s (iv) Eğer f, t de, türevlenebilir ise, o zaman f(σ(t)) = f(t) +µ(t)f (t).

(ii) Eğer f, t de (t sağa-saçılmış), f, t de, türevlenebilir öyleki f (t) = f(σ(t)) f(t).

19 Verilen bir noktada fonksiyona teğet doğru: Şekil: y = x 2 foksiyonuna T 1 deki 0 da çizilen teğet doğru

20 F : T R foksiyonuna f : T R fonksiyonunun -anti türevi denir eğer F (t) = f(t) eşitliği bütün t T κ için sağlanıyorsa. Bu durumda f in a dan t ye Cauchy -integrali şu şekilde tanımlanır: T = R olduğunda, ve T = Z olduğunda, t f(s) s = F(t) F(a) bütün t T. a b b f (t) = f (t), f(t) t = f(t)dt, a a f (t) = f(t + 1) f(t), burada a, b T, a b. b a b 1 f(t) t = f(k), k=a

Bu durumda f in a dan t ye Cauchy -integrali şu şekilde tanımlanır: T = R olduğunda, ve T =

21 R.Agarwal,M.Bohner, D.O Regan, A.Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: A survey, J.Comput.Appl.Math. 141 (2002) 1-26 Bohner, M. and Peterson, A., Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, (Birkhäuser, Boston), Chapter 1. Hilger, S., Differential and difference calculus unified., Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, Vol. 30, pp A.Yantir, Ü.Ufuktepe, Mathematica Applications on Time Scales for Calculus, Lecture Notes in Computer Science,(2005) p , 3482.

22 TEŞEKÜRLER

Benzer belgeler

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ