T.C. KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DERSİ MATLAB UYGULAMA NOTLARI-1

Transkript

1 T.C. KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DERSİ MATLAB UYGULAMA NOTLARI-1 Bu uygulama notunda öğrencilerin MATLAB kullanarak; TEMEL MATEMATİK İŞLEMLERİNİ TEMEL MATRİS İŞLEMLERİNİ GRAFİK İŞLEMLERİNİ POLİNOM İŞLEMLERİNİ TEMEL OTOMATİK KONTROL UYGULAMARINI yapmaları beklenmektedir.

2 1.0 TEMEL MATEMATİK İŞLEMLERİ MATLAB tanıtımı yapıldıktan sonra, basit hesaplamalarla başlayalım. MATLAB'da her türlü basit hesaplama kolayca yapılabilir. Command Window ekranına aşağıdaki işlemleri yapalım. Değişken değerlerinin Workspace de saklandığını göreceksiniz. 2+9 % toplama 5*7 % çarpma 2^6 % 2 üzeri 6 sqrt(9) % kare kök 3*4/2+3 % karışık bir işlem pi % pi sayısı MATLAB'da iç değişken olarak tanımlı sin(pi/2) % Not: Trigonometrik fonksiyonlara açılar hep RADYAN girilmeli! >> x = 5*cos(pi/6) %siz de yapın x= %Eğer açı hesabını yapmak istersek sind(60) %şeklinde girilmeli exp(1) % e sayısını ifade ederiz Exponential üs alalım exp(4) % e^4 Karmaşık sayılar oluşturmak için i veya j iç değişkenlerini kullanırız. 5 +4*i %yada 5+4i %yada 6+7j %yada 6+7*j %bu yazımların hepsi doğrudur sqrt(-1) i

3 MATLAB da ifade aşağıdaki şekilde gösterilirse e+03 = = %bu anlama gelmektedir Değişken Atama ve Bunlarla İlgili İşlemler x=8 % x değişkenine sekiz değerini ver x=8; % bir komutun sonuna noktalı virgül konursa komut çalışır ama sonucu ekranda görünmez 2*x %işlemin sonucunu yazdırır sqrt(x) % karekök log(x) % e tabanında logaritma exp(x) % e üzeri x y=x^2 % x'in karesi sin(x) % sinüs x x = 5*cos(pi/6), y = 5*sin(pi/6) x= y= acos(x/5), asin(y/5) pi/ z=(x^y)-4 % x üzeri y eksi 4

4 Değişken ismi seçerken dikkat edilmesi gereken bir nokta: Eğer MATLAB'ın iç değişkenlerinden birine (mesela i, j, pi gibi) atama yaparsak artık o değişkenin standart değerini yitiririz ve kullanamayız. Örneğin: pi=4; % pi değişkenine 4 verelim pi % artık pi 4 oldu, standart pi'yi ( ) yitirdik sin(pi/2) % pi artık 4 olduğu için bu komut sin(2)'yi veriyor! 2+sin(pi/8)*exp(3)+5.3*log(37) % karışık bir işlem Eğer işlemin sonucunu Command Windowda görmek istemiyorsak komutun sonuna ; ekleyiniz. Örnek: Komut ekranına aşağıdaki iki kodu yazınız ve farklarını gözlemleyiniz. X=5 ile X=5; arasındaki farka bakabilirsiniz.,

5 2.0 TEMEL MATRİS VE VEKTÖR İŞLEMLERİ Tek satır veya tek sütundan oluşan matristir. Dizi seklinde tanımlanabilirler. Terimler arasına (,) konularak satır vektörü, (;) konularak sütün vektörü elde edilebilir. MATLAB da SATIR VEKTÖR ü tanımlayalım. Örn: V=[ ] vektörünü MATLAB kullanarak yazınız >> V=[ ] %aralarına boşluk koyarak V = veya virgül koyarak yapabiliriz. İki yöntem de aynıdır. >> V=[1,2,7,9] V = Örn: V= vektörünü Matlab kullanarak yazınız >> V=[1;2;7;9] %noktalı virgün bir alta inmemizi sağlar. V = V sütün vektörüne aritmetik işlemler aşağıdaki gibi uygulanır. >> x=2*v x = Belli bir değerden başlayıp belirli aralıklarla belli bir değere ulaşmasını istediğimiz bir vektör yazmak istersek; T=0:2:20 şeklide yazılabilinir. Kullanım: [baslangic:adım:bitis]

6 Örn: 0 dan 20 ye kadar sayıları 2şer 2şer arttıran vektörü yazınız? >> t=0:2:20 t = Başka bir yol da mümkün: linspace(baslangic,bitis,kac_parca) v = linspace(1,3,5) v = VEKTÖR İNDİSLERİ Örnek olarak, tanımlamış olduğumuz A vektörünün A=[ ] 3. elemanını 27 ile değiştirelim. >> A(3)=27 A = Benzer şekilde A vektörünün 2. elemanını silelim.vektörün elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinir. >> A(2)=[] A = A vektörünün uzunluğunu ve boyutunu bulalım >> length(a) %ile uzunluğunu 3 >> size(a) %ile vektörün boyutunu buluruz. 1 3 satır sütün

7 2.2. VEKTÖR İŞLEMLERİ Vektörlerde işlem yapan önceden tanımlı bazı MATLAB fonksiyonlarına bakalım. a = [ ] a = Vektör elemanlarının toplamı: sum(a) 14 -Vektör elemanlarının aritmetik ortalaması: mean(a) Vektör elemanlarının değişintisi (varyans): var(a) Standart sapma: std(a) En yüksek ve en düşük değerler: max(a) 6 min(a) 1 -end komutu kullanılarak vektörün son elemanına ulaşılabilir. Örnek: a=[ ] olsun a(end) % a'nın son elemanını göster -2 a(end) = 77 % a'nın son elemanını 77 yap a= a(end) = [] % a'nın son elemanını sil a=

8 a(end+1:end+3)=[ ] % a'nın sonuna [ ] sayılarını ekle a= a(end+1)=100 % a'nın sonuna 100 sayısını ekle a= MATRİS İŞLEMLERİ Örn: A= matrisini Matlab ile yazınız >> A=[1 4 7;9 8 1;6 3 2] A = Matrisin Transpozu işareti ile yapılmaktadır. Örn: A matrisinin transpozunu alınız >> D=A' D = Matrisin tersi inv komutuyla bulunmaktadır. inv(a) şeklindedir. Sonucun sağlaması için tersi ile kendisinin çarpımı birim matrisi vermelidir. (Deneyin) a = [1 3 2; 6 5 4; 7 8 9]; inv(a)

9 a nın özdeğerlerinden oluşan vektör: -eig(a) Hesaplamışken özvektörleri de bulalım. D matrisi köşegende özvektörleri barındırır; V matrisi özvektörleri içerir. Bu, MATLAB ile birden çok değişken döndürülmesine de güzel bir örnek [V, D] = eig(a) V = D = Matlab de matris determinantı det fonksiyonuyla hesaplanmaktadır. Örnek olarak; -det(a) yapmalısınız. Matlab de matrisin normu -norm(a) ile hesaplanmaktadır. Matris Rankı : Bir matrisin rankı, dolayısıyla bağımsız satır veya sütun sayısı rank( ) fonksiyonu ile hesaplanabilir. Bir matrisin tüm karesel alt matrislerinden, determinantı sıfırdan farklı olan en yüksek boyutlusunun boyutuna A matrisinin rankı denir >> rank(a) >> A=[ ; ; ; ] ; >> rank(a) 3 Bir matrisin tekillik durumu cond( ) fonksiyonu ile ölçülebilir. Cond fonksiyonu birim matrise uygulandığında 1 değerini alır. Tekil bir matriste ise sonsuz değerini alır. cond(eye(5)) =1

10 S = [1 1; ^-6] cond(s) = Inf 2.4. Özel Matrisler Oluşturma İlk parametre satır sayısını, 2. parametre sütun sayısını belirtir. 2 3 lük sıfır ve bir matrisleri oluşturalım: m = zeros(2, 3) v = ones(2, 3) m = v = lük birim matris oluşturalım: m = eye(3) m = Rastgele sayılar içeren 3 1 lik bir matris (sütun vektörü) oluşturalım. v = rand(3, 1) v = Örneğin; a=-5 ile b=5 arasında yani -5 ile +5 arasında rasgele sayılı 2x4 (iki satır 4 sütunlu) bir matris üretmek istenirse >>a=-5+10*rand(2,4) a= Dikkat: Eğer iki değil de bir parametre verirsek, örnekteki 3 3 lük matris gibi sıfır matrisi oluşturur (vektör değil!) m = zeros(3) m =

11 2.5. Matrisleri İndisleme İndisler her zaman 1 ile başlar (0 ile değil)! Matrisin bir elemanına ulaşmak için matris(satırno, sutunno) Örnek: m = [ ; ; ; ] matrisinin 1 satır 3.sütündaki elemanına ulaşalım. m(1, 3) m = Şimdi de Matrisin bir satırının tümüne ulaşma (2. satır) ve bir sütununun tümüne ulaşma (1. sütun) örneklerini yapalım. m(2, :) m(:, 1) Şimdi de1. satırın 1 den 3 e kadar (dahil) elemanları bulalım: m(1, 1:3) Örn:2. sütunun 2 den 3 e kadar (dahil) elemanları m(2:3, 2) 7 10

12 Matrisin boyutunu gösterelim m = [1 2 3; 4 5 6] size(m) m = Satır sayısı için: size(m, 1) 2 Sütun sayısı için: size(m, 2) 3 -m ile aynı boyutta yeni bir matris oluşturmak istersek: m1 = zeros(size(m)) m1 = Bölüm 2.2 de gördüğümüz işlemleri MATRİSlerle yapmak istersek; Eğer matris üzerinde bu işlemler yapılırsa, bu fonksiyonlar matrisin her bir sütununda işlem yaparlar ve sonuç olarak bir satır vektörü döndürürler a = [1 2 3; 4 5 6] a = Her sütunun ortalaması: mean(a) Her sütunun en yüksek değeri: max(a) 4 5 6

13 Matristeki en yüksek değer: max(max(a)) 6 veya max(a(:)) 6 Her satırın ortalaması (ikinci argüman hangi boyutta işlem yapılacağını gösterir: mean(a, 2) 2 5 Matris işlemleri: İki tane rasgele matris oluşturup çarpalım. Alttaki örnekte çarpım sonucu 3 4 lük bir matris olacak: a = rand(3,2) b = rand(2,4) c = a * b a = b = c = Vektör ve matrislerle başka denemeler yapalım: a = [1 2; 3 4; 5 6]; b = [5 6 7]; b * a c = [8; 9];

14 a * c Dikkat: Matrisleri diğer dillerdeki (c, c++, vb.) gibi satır satır değil de sütun sütun düşünmek gerekir. a nın sütunlarını ekleyerek yeni bir sütun vektörü oluşturuyoruz: a = [1 2; 3 4; 5 6]; b = a(:) b = Tüm elemanların toplamını almak isteseydik: sum(a(:)) 21 b vektörünün elemanlarından 2 3 lük bir matris oluşturalım (yine sütun sütun): a = reshape(b, 2, 3) a = İki tane satır vektörünü yatay olarak birleştirelim. a = [1 2]; b = [3 4]; c = [a b] c = İki tane sütun vektörünü dikey olarak birleştirelim. a = [1; 2; 3]; b = [4; 5] c = [a; b] b = 4 5 c = 1 2

15 3 4 5 Benzer şekilde matrisleri de birleştirebiliriz: a = [eye(3) rand(3)] a = b = [eye(3); ones(1, 3)] b = repmat kullanarak bir değişkeni ızgara şeklinde kopyalayabiliriz. Örneğin tüm değerleri 5 olan 3 2 lik bir matris yapalım. b = repmat(5, 3, 2) b = İlla ki tek değer olması gerekmezdi. Bir matrisi de klonlayabilirdik. Kullanım: repmat(kopyalanacak_veri, satir_sayisi, sutun_sayisi) b = repmat([1 2; 3 4], 1, 2) b = Verilen vektörle 3 3 lük bir köşegen matrisi oluşturalım: b = diag([1 2 3]) b = MATLAB de nokta işlemler elemanter yani eleman eleman gerçekleştirilen işlemleri ifade ederler ve bu amaçla. operatöründen faydalanırlar. (Gerçekleştirilecek matematiksel işlemin operatörünün önünde. operatörü kullanılır.) Eleman Eleman Çarpma:.* Eleman Eleman Bölme:./

16 Eleman Eleman Üs Alma:.^ Örneğin b adındaki bir matrisin her bir elemanının karesini almak için b^2 yerine b.^2 kullanılmalıdır. Benzer şekilde bir a satır vektörü ile bir b satır vektörünün aynı indis değerlerindeki elemanlarının çarpımını içeren bir c satır vektörü elde etmek c=a.*b deyiminden faydalanılmalıdır. Örneklere devam edelim: >> A=[ ; ; ] A= >> A(3,2) satirin 2. ve 4. sütun değerleri >> A(3,[2 4]) kolonun tüm değerleri >> A(3,:) >> A(:,3) A matrisinin 1, 2 ve 4. kolon değerleri >> A(:,[1 2 4]) Aynı satır sayısına sahip iki matris aşağıdaki örnekte olduğu gibi birleştirilebilir. >> A=[1 2 3; 4 5 6] A= 123

17 456 >> B=[7 8; 9 10] B= >> [A B] >> C=[7 8 9] C= 789 Eğer satırlar birleştirilmek istenirse; >> [A;C] Bir A matrisinden herhangi bir satirin kaldırılması istenirse >> A=[ ; ; A= >> A(2,:)=[] seklinde yazilir. A= ] >> A(:,[1 3])=[] 1. ve 3. sütunlar kaldırıldıktan sonraki durum A= magic(j) fonksiyonu jxj uzunlugunda 1 den j ye kadar sayilardan olusan (j=2 hariç) eşit satir, sütün ve köşegen toplamına sahip bir kare matris oluşturur. >> magic(3)

18 2.6. Lineer Denklem Sistemi Çözme Örnek olarak aşağıdaki denklem takımını Matlab ile çözelim. A -1 Ax = A -1 B Ix=A -1 B x = A -1 B şeklinde düşünüp ifadeyi çözebiliriz. >> A=[2 3-1;-1 2 3;0 1 2] A= >> b=[-1 9 5]' b= >> x=inv(a)*b x= Alternatif olarak Matlab in içerisinde bulunan \ operatörünü de kullanabiliriz. x = A\b x= Örnek= 9*I1-3*I2+3*I3=15-3*I1+9*I2+3*I3=0 3*I1+3*I2+9*I3=9 I1,I2 ve I3 çevre akımlarını bulunuz?

19

20 3.0 GRAFİK İŞLEMLERİ MATLAB programı ile grafik işlemlerinin nasıl yapıldığını inceleyelim. Matlab yüksek seviyede grafik oluşturulabilir. Matlab ile çizilebilecek grafikler; Dikdörtgen (x-y) ve 3 boyutlu çizgi grafikleri Ağ (mesh) ve yüzey grafikleri Çubuk ve alan grafikleri Pasta şemaları Histogram grafikleri Kesikli veri grafikleri Yön ve hız vektör grafikleri Dış hat (contour) grafikleri Etkileşimli eğri çizimi Canlandırma (animation) >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> plot(x,y) Çıkan grafik ekranında File kısmından grafiğinizi kaydedebilir. Insert Kısmıyla grafiğinize isim verebilir. Tools Edit Plot ile grafik ayarlarınızı yapabilirsiniz. Yada aynı işlemleri kod yazarak da yapabiliriz.

21 Örnek >> x=-1:.1:1; y=x.^3; z=x.^4; plot(x,y,x,z)%şeklide iki grafik üst üste çizdirilir. DiKKAT: Burada matrissel çarpım yapılmazsa; yani, y=x^3 yazıldığında x kare matris olmadığında hata verecektir. Grafiklerle ilgili daha detaylı bilgiler için Command Windowa help plot diyerek Matlabden bakabilirsiniz. Figure, hold on hold off ve grid komutlarını inceleyiniz. Üst üste iki grafik çizdirme işlemini hold komutunu kullanarak yapınız. Grafiklerden biri kesik çizgili diğeri ise sürekli çizgili olsun. 3.boyutlu grafik çizdirmek için mesh,surf komutlarını inceleyiniz. Bir pencerede birden çok grafik göstermek için subplot komutu kullanılır. ØSubplot(M,N,P); ØM: Grafik penceresindeki satır sayısı, ØN: Grafik penceresindeki sütun sayısı, ØP: Grafik penceresinde hangi grafik olduğunu ifade eder. Örnek: x=0:pi/100:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); y3=exp(-x); subplot(2,2,1); plot(x,y1);

22 legend('sinus grafigi'); subplot(2,2,2); plot(x,y2); legend('cosinus grafigi'); subplot(2,2,3); plot(x,y3); legend('ussel grafik'); %title komutuyla grafiğe isim %ylabel, xlabel komutlarıyla da X ve Y eğrilerine isim verebiliriz. Grafik ekranında grafiğin çizgi rengi, işareti ve şekli istendiğinde değiştirilebilir. Bunun için aşağıda verilen harf, şekil ve işaretler plot( ) fonksiyonuna yazılır.

23 4.0 Polinomlar Matlab ta polinomlar bir vektörle temsil edilirler. Polinom olusturmak için yüksekten düsük dereceliye doğru azalan sırada polinom katsayıları yazılır. Örnek x=s 4 +3s 3-15s 2-2s+9 polinomu programa aşağıdaki şekilde yazılır; x=[ ] x= Benzer şekilde; Örnek: y=s 4 +1 in gösterimi (s^4 ün katsayısı 1, s^3,s^2ve s^1=0, s^0 ın ise katsayısı 1) y=[ ] şeklindedir. -Polinomun herhangi bir kök için değeri, örneğin s 4 +1 in s=2 için değeri; z=polyval([ ],2) veya doğrudan z=polyval(y,2) z= 17 Polinomun köklerinin bulunması, Örneğin s^4+3s^3-15s^2-2s+9 kökleri için; roots([ ]) yada p=[ ]; roots(p); ans=

24 İki polinomun çarpılması, Örnek (x+8) (x^2+4x+8) polinomlarını çarpalım x=[1 2] y=[1 4 8] z=conv(x,y) z= (cevap z=x^3+12x^2+40x+64) İki polinomu bölelim.z/y yapalım ve kalan var mı diye de bakalım. >> x=[1 8]; >> y=[1 4 8]; >> z=conv(x,y); >> [xx R]=deconv(z,y) %xx diye değişken tanımladık R kalanı verecek. xx = 1 8 R = Örnek: P(x)=x 4 +3x 3-15x 2-2x+9 polinomunun x=2 için alacağı değerin bulunması >> P=polyval([ ],2) P= -24 Örnek: P(x)=x 4-5x x=2 ve x= 8 için fonksiyonun alacağı değerin bulunması >> x=[2 8]; >> p=[ ]; >> pp=polyval(p,x) pp =

25 5.0 MATLAB İLE OTOMATİK KONTROL UYGULAMALARI Matematiksel modeller lineer sistemlere veya başka sistemlere MATLAB komutları vasıtasıyla kolaylıkla dönüştürülebilir. Aşağıda kontrol sistemleri için gerekli bazı dönüşümler açıklanmıştır : -- Transfer fonksiyonundan durum uzayına çevirme : -- Durum uzayından transfer fonksiyonuna çevirme : [num,den] = ss2tf(a,b,c,d) Eğer sistemin birden fazla girişi varsa aşağıdaki komut kullanılır : [num,den] = ss2tf(a,b,c,d,iu) 5.1. Transfer fonksiyonu gösterimi Hatırlanacağı üzere transfer fonksiyonu tek-giriş tek-çıkış bir sistemin Laplace alanındaki giriş çıkış ilişkisini verir: Burada ve giriş ve çıkış Laplace dönüşümüdür. MATLAB'da transfer fonksiyonu oluşturmak için tf komutu kullanılır. Örneğin transfer fonksiyonunu oluşturalım: 1.YOL num = [2 6]; % Pay polinomunun katsayıları den = [ ]; % Payda polinomunun katsayıları G = tf(num,den) % Transfer fonksiyonunu oluştur

26 G = 2 s s^3 + 5 s^2 + 9 s + 5 Continuous-time transfer function. Yüksek dereceli sistemlerde transfer fonksiyonunu yukarıdaki gibi oluşturmak kafa karıştırıcı olabilir çünkü num ve den oluşturmak için kullanılan komutlarda hangi katsayının s'nin hangi kuvvetine karşılık geldiği hemen görülmüyor. Bunun yerine aşağıdaki yöntemi kullanarak daha doğal ve anlaşılır biçimde transfer fonksiyonu oluşturabiliriz: 2.YOL >> s = tf('s');% Laplace değişkenini oluştur >> G = (2*s+6)/(s^3+5*s^2+9*s+5) % Transfer fonksiyonunu oluştur G = 2 s s^3 + 5 s^2 + 9 s + 5 Continuous-time transfer function. 5.2.Transfer fonksiyonu ile ilgili bazı faydalı komutlar tfdata komutu ile transfer fonksiyonun içinden payı ve paydası alınabilir [num, den] = tfdata(g) örnek [num, den] = tfdata(g) num = [1x4 double] den = [1x4 double] Transfer fonksiyonunun sıfırlarını (payın kökleri) ve kutuplarını (paydanın kökleri) bulmak için pole ve zero komutları kullanılır:

27 1. yol z = zero(g) %sıfırları bulur p = pole(g) %kutupları bulur ya da 2. Yol >> p=[ ]; z=[2 6]; %sistemin kökleri için bu işlemi yapabiliriz. >> r = roots(p) d=roots(z); %roots komutuylada aynı işlemi yapabiliriz Durum Uzayı Gösterimi Doğrusal sistemler için bir alternatif gösterim de aşağıdaki gibi durum uzayı gösterimidir: Sistemi bu gösterimde tanımlamak için ss komutu kullanılır: A=[0 1;-5-2];%SisteminAmatrisi B = [ 0 ; 3 ]; % Sistemin B matrisi C=[1 0];%SisteminCmatrisi D = 0; % Sistemin D matrisi P = ss(a,b,c,d) %% Sistemin durum uzayı gösterimini oluştur Durum uzayı gösteriminin matrislerine ulaşmak için: P.A % A matrisine ulaş P.B % B matrisine ulaş P.C % C matrisine ulaş P.D % D matrisine ulaş

28 Alternatif olarak ssdata komutu ile sistemin tüm matrisleri istenilen değişkenlere atanabilir [A,B,C,D] = ssdata(p) % P'nin matrislerini A, B, C ve D değişkenlerine al ÖRNEK Transfer fonksiyonu G = s^2 + 2 s s^ s şeklinde verilen sistemi durum uzayında gösteriniz? >> num = [1 2 3]; % transfer function numerator >> den = [1 1/2 1/3]; % denominator coefficients >> [A,B,C,D] = tf2ss(num,den) A = B = 1 0 C = D = 1 Durum Uzayında elde ettiğimiz sistemi tekrar transfer fonksiyonu şeklinde gösterelim. >> [N,D] = ss2tf(a,b,c,d) N = D =

29 -Tam kesir durumundan parçalı kesir durumuna geçme ( Basit kesirlerine ayırma): B(s) ve A(s) iki polinom ifadesi olmak üzere, [r,p,k] = residue(num,den) r,p,k degerleri sirasiyla rezidü (n.inci basit kesrin payı), kutup (n.inci basit kesrin paydası) ve sabit terimleri temsil etmektedir. Örnek) Aşağıdaki kesir ifadesini basit kesirlerine ayıralım. Böylece kesir ifadesi su şekilde basit kesirlerine ayrılmıştır :

30 Örnekler: Transfer fonksiyonu tanımlanması ve analizini yapınız? Dikkat pay polinomunda çarpma işlemleri var. >> pay=2*conv([1 1],[1 2 10]) pay = >> payda=[ ] payda = >> G=tf(pay,payda) Transfer function: 2 s^3 + 6 s^ s s^4 + 3 s^3 + 5 s^2 + s - 10 şeklinde tanımlanabilir veya doğrudan >> G=tf(conv([2 2],[1 2 10]),[ ]) Transfer function: 2 s^3 + 6 s^ s s^4 + 3 s^3 + 5 s^2 + s - 10 şeklinde de tanımlanabilir. İlk uygulama notumuz yayınlanmıştır. Bundan sonraki uygulama notları Otomatik Kontrol dersinde yaptığımız uygulamaları kapsayacak şekilde gidecektir.

31