BMÜ-421 BENZETIM VE MODELLEME STOKASTİK ÜRETEÇLER. İlhan AYDIN
|
|
|
- Süleyman Koç
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 BMÜ-421 BENZETIM VE MODELLEME STOKASTİK ÜRETEÇLER İlhan AYDIN
2 RASGELE SAYI ÜRETEÇLERİ BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 2 Deterministik terimler ile doğayı tanımlamak geleneksel bir yoldur. Doğa ve mühendislik sistemleri kesin olarak tahmin edilebilir bir tarzda değildirler. Sistemler genelde gürültü içerir bu yüzden bir sistemi gerçekçi modellemek için rastgeleliğin bir derecesi modele eklenmelidir. Olay tahmin edilmese bile sonraki olayların nasıl dağıtılacağı tahmin edilebilir. Verilen veriden ortalama, standart sapma ve benzeri hesaplamaların yapıldığı geleneksel istatistik analizinden farklı olarak bu bölümde ön tanımlı istatisiklere sahip veri kümesi üretme işleminden bahsedilecektir.
3 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 3 RASGELE SAYI ve DEĞİŞKEN ÜRETİMİ Gerçek sistemlerin olasılıklı stokastik davranışı her zaman düzgün (uniform) dağılımla açıklanamaz. Bir sistem içinde karşılaşılan stokastik işlemler uniform dağılımdan daha çok diğer teorik dağılımlarla (üstel, normal, gamma v.b.) açıklanabilmektedir. Bu nedenle uniform dağılımdan [0,1] aralığında elde edilen rassal sayıların teorik veya deneysel dağılımlara dönüştürülmesi gerekir. Bunun için bir dönüşüm tekniği kullanılarak 0-1 aralığında düzgün dağılımdan üretilen rassal sayı istenilen dağılım türünden bir rassal değişkene dönüştürülür.
4 RASTGELE SAYI: BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 4 Herhangi bir dağılımdan rassal değişken üretmek veya bir rassal süreç üretmek için U(0,1) rassal değikenleri gereklidir. Bu nedenle kullanılan bilgisayarda istatistiksel olarak güvenilir bir rassal sayı üreteci olmalıdır. Eğer yoksa bir alt program olarak hazırlanıp yüklenebilir. Stokastik faaliyetleri konu alan benzetim modellerinde, olasılık dağılımlarından rassal değişken üretmek için rassal sayılar gereklidir. Bu nedenle bazı yazarlar MONTE-CARLO yöntemini, rassal sayılara dayalı deneylerle uğraşan deneysel matematiğin bir dalı olarak tanımlarlar.
5 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 5 RASSAL SAYI ÜRETEÇLERİNDEN İSTENİLEN ÖZELLİKLER: Rassallık Büyük Period Yeniden Üretilebilirlik (Reproducibility ) Hesaplama Etkinliği
6 TEKDÜZE DAĞITIMLI RASTGELE SAYILAR Dil derleyicileri [0,1] aralığında tekdüze dağılımlı rastgele sayılar için olanak sağlar. Böyle yordamlar U [0,1] üreteçleri olarak bilinir. Örneğin; BASIC dilinde RND çağrısı 0<=x<=1 aralığında bir x kesiri döndürecektir. Kesin konuşmak gerekirse, bu ayrık bir rastgele değişkendir. Fakat pratikte sürekli olduğu varsayılır BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme defa RND fonksiyonunu çağırırsanız kabaca %10 u 0 ile 0.1 arasında, %10 u 0.1 ile 0.2 arasında vb. dağılımlar oluşacaktır.
7 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 7 RASSAL SAYI ÜRETİMİ İÇİN TEKNİKLER 1) ORTA KARE YÖNTEMİ 1916 da Von Neumann ve Metropolis tarafından önerilen ORTAKARE yöntemidir Bu yöntemde, (m) basamaklı ve genellikle tek olan bir sayı başlangıç değeri olarak alınır İkinci aşamada, bu sayının karesi alınarak bulunan sayının ortasındaki m kadar basamaklı sayı alınır Bu bir rassal sayı olarak kayıt edilir Tekrar bu rassal sayının karesi alınır ve yine ortadaki m basamaklı sayı bir rassal sayı olarak kaydedilir Bu işlem, istenilen sayıda rassal sayı elde edilinceye kadar devam eder.
8 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 8 Örnek: X 0 = 5497 olarak seçilsin. X 2 0 = (5497) 2 = ,09 X 1 =2170 U 1 = X 2 1 = (2170) 2 = X 2 = 7089 U 2 = 0,7089 X 2 2 = (7089) 2 = X 3 =2539 U 3 = 0,2539
9 Bu tekniğin dezavantajları ; BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 9 İlk sayı ve dizinin tekrar uzunluğu arasındaki ilişkiyi (peryod) önceden bilmek mümkün değildir. Çoğu kez tekrar uzunluğu kısadır Elde edilen sayılar rassal olmayabilir Yani dizide dejenerasyon söz konusu olabilir. Bu yöntemle belirli bir sayı aritmetik işleme başlangıç değeri (seed) olarak verilmekte ve buna bağlı olarak bir sayı hesaplanmaktadır Hesaplanan sayı, bu kez başlangıç değeri olarak alınmakta ve yeni bir sayı üretilmektedir Böylece her üretilen sayıdan yeni bir sayı üretilerek bir sayı dizisi elde edilmektedir
10 TEKDÜZE DAĞITIMLI RASTGELE SAYILAR Tek düze rastgele sayı üreteçlerinin çoğu LCG (Linear Congruential Generators) Lineer Eşleşiksel Üreteçler şeklindedir. Bunlar genelde deterministik olup bir algoritmaya dayalıdır. LCG, tahmin edilemez gibi görünen bir dizi sayılar oluşturur. Başlamak için bir ilk değer çekirdeğe Z 0 ihtiyaç duyar. Bu çekirdek ve Z k dizisinin ardışıl terimleri bir LCG formülüne uygulanır. Ardından, Z k, 0 U k 1 aralığında bir U k çıkışına normalize edilir. Yani, BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 10 Z 0 = "çekirdek", Z k+1 = az k + c mod m U k = Z k m a : çarpan, c: artım ve m: genlik
11 TEKDÜZE DAĞITIMLI RASTGELE SAYILAR Örnek: a=5, c=3, m=16 ve Z 0 = 7 değerleri ile LCG kullanarak oluşturulan sayı dizisini belirleyelim. U 0 = Z 0 m = Z k+1 = 5Z k + 3 mod(16) Z0=7 Z1=(5*7+3) mod 16=6 U1=6/16=0.375 olur. Benzer şekilde k=1 için Z2=1 ve U2=0.062 elde edilir. BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 11 Burada Zk m ile bölünme sonucu elde edildiğinden, sadece m adet kalan vardır. Dolayısıyla bu örnekte maksimum 16 rastgele sayı mümkündür. Büyük m değerleri iyi bir seri elde etmek için gereklidir. m adet tekrar için m farklı sayının oluştuğu durumda seçilen LCG nin tam periyoda sahip olduğu söylenir. Bu her bir Zk bir kez tekrar ettiği için tam periyot oluşmaktadır. Yukarıda verilen örnek tam periyoda sahip olup elde edilen rastgele sayılar aşağıdaki tabloda verilmiştir.
12 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 12 LCG ile oluşturulmuş sözde rastgele dizi k Z k U k Dizinin ilk 16 elemanı tablodaki gibidir. m tekrarlı bir durum için, m farklı rastgele sayı oluştuğunda LCG seçimi tam periyoda sahiptir Z k nın bir tekrarında tam bir döngü izler. Buradaki, LCG, tam periyoda sahiptir
13 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 13 Hull-Dobell Teoremi Parametrelerin seçiminde Hull-Dobell teoremi oldukça kullanışlıdır. Bu teorem tam periyodu elde etmek için gerekli ve yeterli şartları sağlar. LCG ancak ve ancak aşağıdaki üç şartı sağlarsa tam periyoda sahiptir. I. a ve c asal olmalı II. m sayısının bölünebildiği bütün asal sayılara a-1 de bölünebilmelidir. III. Eğer m dörde bölünüyorsa a-1 de 4 e bölünebilir. Önceki örnekte 5 ve 3 asal olduğu için şart (I), m=16 olduğundan 16 sadece 2 asal sayısına bölünür ve a-1=5-1=4 de 2 ye bölünür(şart II). 16 dörde bölünmekte ve a-1 de dörde bölünmektedir (şart III). Bütün şartlar sağlandığı için tam periyoda sahiptir. Bir bilgisayar uygulaması, bu algoritmayı donanım aşamasında ele alır. Çünkü, işlemler hesaplama ve hız odaklıdır. İşlem makineye shift register kullanılarak yaptırılır. m, 2 nin kuvveti şeklinde alınır.
14 TEKDÜZE DAĞITIMLI RASTGELE SAYILAR Örnek: Önceki örnekteki problemi düşünelim. Değişkenler a=5, c=3, ve m = 16 = 2 4. Dolayısıyla LCG 4-bit shift register ile tam sayıları gösterebilir. R=[r 1 r 2 r 3 r 4]. Register içeriği 4 bit olacaktır. Z 6 = 5 olduğundan R:[0101] dir Z 7 yi elde etmek için 5Z = R: = 28 Burada baştaki 1 shift-register 4 bit olduğundan kaybedilir. 28 mod 16 = 12 = R: [1100] R 5R+3: [ ] elde edilir Z8=15 olur. İkili nokta uygulandığında (0.1100) 2 = 0.75 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 14 Gerçek bilgisayarlarda farklı ölçüde üreteçler vardır. IBM in RANDU üreteçleri, a = , c = 0 ve m = 2 31 sahiptir.
15 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 15 U[0,1] ÜRETEÇLERİN İSTATİSTİKSEL ÖZELLİKLERİ
16 Üreteçlerin İstatistiksel Özellikleri Donanım hesaplanabilirliği için seçilen mod işlemi ve geniş bir periyoda sahip olmanın yanı sıra bir U[0,1] üreteci istatistiksel anlamda iyi davranmalıdır. Şu iki özelliğin sağlanması önemlidir: BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 16 Üreteç tekdüze olmalı: Herhangi bir L uzunluk aralığında oluşan sayıların miktarı, diğer bir L uzunluk aralığında oluşan miktara yakın olmalı. Dizi bağımsız olmalı: Özellikle, herhangi bir sayı bir sonrakine etkisini göstermemelidir. Aksi halde dizi boşluk veya gruplama eğilimi gösterir. Üreteçleri test etmek için teorik ve deneysel araçlar vardır. Birinci özelliği test etmek için chi-square (Ki-Kare) testi uygulanır. Ki-Kare testi; beklenen frekans değerler ile gözlenen frekans değerlerinin karşılaştırılıp, aradaki uyuma bakılmasıdır.
17 Aralık sayısı k Aralık Frekans Dağıtım Tablosu Deneysel frekans f k Beklenilen frekans e k 1 0, 1/m f 1 e 1 2 1/m, 2/m f 2 e 2 3 2/m, 3/m f 3 e BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 17 - Bu test için, FDT (Frequency Distribution Table) Frekans Dağıtım Tablosufaydalanılır. - m rastgele sayı oluşturularak ve her birini bir m sınıfına atayarak f 1, f 2, f m frekansları çizelgeye geçirilir. - Her bir sınıf için beklenen e k = n m frekansı ile karşılaştırılır. χ 2 = m k=1 (f k e k ) 2 e k = m (f n k n m )2 k=1 v=m-1 bağımsızlık derecesidir. m m (m 1)/m, 1 f m e m
18 Üreteçlerin İstatistiksel Özellikleri Örnek: SNAFU olarak isimlendirilen U[0,1] üreteci 100 sayı üretilerek test edilmiş ve frekansları sayılmıştır. Frekans değerleri aşağıda verilmiştir x < x < x < x < 1.00 uniform olup olmadığını bulunuz? BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 18 Sonuçlar f1=21, f2=31, f3026, f4=22 şeklindedir. Üretecin n=100 m=4 sınıf var. n/m=25 sayı her sınıfta olmalıdır. Ki-kare testi ile aşağıdaki gibi bir sonuç elde edilir. Bağımsızlık derecesi v=4-1=3 χ 2 değeri α = 95% χ c 2 =7.81(Appendix F) olduğu ki-kare tablosundan bulunabilir. χ 2 <χ c 2 olduğundan uniform olduğu söylenebilir.
19 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 19
20 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 20 TEKDÜZE OLMAYAN RASGELE DEĞİŞKENLERİN ÜRETİMİ
21 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 21 TEKDÜZE OLMAYAN RASGELE DEĞİŞKENLERİN ÜRETİMİ İstatistiksel dağıtımda, isteğe bağlı sayıları oluşturabilmek önemlidir. Bunu yapabilmek için bazı bilinen algoritmalar vardır. Ters Dönüşüm Metodu Ret Metodu Konvolüsyon Metodu
22 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 22 Ters Dönüşüm Tekniği f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun verildiğini kabul edelim. Amaç f(x) ten bir rassal değişken üretmektir.
23 Ters Dönüşüm Tekniği ifadesi; verilen U değerine karşılık gelen X değerini belirler. dir. F(x) artan bir fonksiyondur. BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 23
24 TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ: Algoritma: BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 24
25 Ters Dönüşüm Tekniği Örnek: BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 25
26 Ters Dönüşüm Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 26
27 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 27 Ters Dönüşüm Tekniği
28 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 28 Ters Dönüşüm Tekniği
29 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 29 Ters Dönüşüm Tekniği Örnek 2: Üstel dağılımdan rassal değişken üreten algoritmayı yazın.
30 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 30 Ters Dönüşüm Tekniği
31 Ters Dönüşüm Tekniği Algoritma: BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 31
32 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 32 Ters Dönüşüm Tekniği Örnek 2: Aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna uygun rassal değişken üreten algoritmayı ters dönüşüm tekniğiyle çıkarınız Orijinden geçen doğru hx
33 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 33 Ters Dönüşüm Tekniği Üçgen ve kare alanının hesabından h bulunur
34 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 34 Ters Dönüşüm Tekniği
35 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 35 Ters Dönüşüm Tekniği
36 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 36 Ters Dönüşüm Tekniği Örnek: Şekilde görülen f(x) fonksiyonundan ters dönüşüm tekniği ile rassal değişken üreten algoritmayı yazınız
37 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 37 Ters Dönüşüm Tekniği
38 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 38 Ters Dönüşüm Tekniği
39 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 39 Ters Dönüşüm Tekniği
40 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 40 Reddetme Tekniği Reddetme tekniği, sürekli ve sınırlı olan herhangi bir f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonundan rassal değişken üretmek için kullanılan genel bir metottur. Sürekli bir x rassal değişkeni için; dir. Reddetme tekniği direk teknikler başarısız veya etkin olmadığında kullanılır.
41 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 41 Reddetme Tekniği Reddetme Tekniğinin Adımları: Bu teknikte öncelikle bir t fonksiyonunun tanımlanması gerekir. Her x i için t(x) f(x) olmalıdır. t(x) fonksiyonu bir olasıllık yoğunluk fonksiyonu değildir. Çünkü c > 1
42 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 42
43 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 43 Reddetme Tekniği r(x) olasılık yoğunluk fonksiyonundan y rassal değişkeni aşağıdaki algoritma ile üretilebilir.
44 Reddetme Tekniği Örnek: BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 44
45 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 45
46 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 46 Reddetme Tekniği Ters dönüşüm metodu kullanılarak r(x) yoğunluk fonksiyonundan [a, b] aralığında bir değişken üretilebilir.
47 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 47
48 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 48 Reddetme Tekniği Örnek: Beta (4,3) dağılımından rassal değişken üreten algoritmayı reddetme yöntemine göre düzenleyin.
49 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 49 Reddetme Tekniği Bilgi: For x>2; Γ x = x 1 Γ x 1 Γ 1 = 1
50 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 50
51 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 51
52 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 52
53 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 53
54 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 54 Reddetme Tekniği Örnek:
55 Reddetme Tekniği BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 55
56 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 56 Convolution (Konvolüsyon) Metodu Bağımsız ve özdeş dağıtılan (X 1, X 2, X n rasgele değişkenlerinin toplamı olan X değişkenidir. Eğer X i, i = 1, 2,, n için aynı yoğunluk fonksiyonu f i (x) e sahip ise X in yoğunluk fonksiyonu f(x), n tabanlı yoğunluk fonksiyonlarının her biri için konvolüsyondur.
57 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 57 Konvolüsyon Metodu Yani; n X = X k ise, f x = f 1 (x) f 2 (x) f n (x) k=1 f i x, X in yoğunluk fonksiyonu, konvolüsyon ifadesidir.
58 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 58 Konvolüsyon Metodu f 1 x f 2 x = f 1 λ f 2 x λ dλ Rasgele değişken kendini, X = değişkenine ekleyerek bulur. n k=1 X k n tane IID Konvolüsyon metodu için özel bir durum, m Erlang dağıtımıdır.
59 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 59 m Erlang Dağıtımı m adet IID exponansiyel rasgele değişkenin toplamı olarak tanımlanır. Bu dağıtımın ortalaması; μ = E m m k=1 X k = E[X k ] k=1 = m λ. λ, exponansiyel dağıtımın ortalamasının matematiksel karşıtıdır.
60 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 60 m Erlang Dağıtımı Rasgele bir m Erlang değişkeni oluşturma algoritması; x = 0 for k = 1 to m x = x μln (RND)/m next k print x
61 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 61 Örnek Ortalaması 5 olan 1000 elemanlı 2 Erlang dizisi oluşturalım ve Ki-Kare testi ile kıyaslama yapalım. Çözüm: 2 Erlang dağıtımı α = 2 ile Gamma dağıtımının özel bir durumudur.
62 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 62 Örnek: Ortalama 5 ise, 2 λ = 5, λ = 0.4 olur. 2 Erlang dağıtımı için yoğunluk fonksiyonu; f x = 4 25 xe 2x/5, x 0 olur.
63 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 63
64 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 64 Konvolüsyon Metodu Konvolüsyon metoduna göre, bir Erlang rasgele değişkeni 2.5ln (RND) ve 2.5ln (RND) nin toplamıdır. Cebirsel karşılığı 2.5ln (RND RND) Sonuçların doğrulanması için gerekli n = 1000 rasgele değişken frekans dağıtım tablosunda özetlemiştir.
65 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 65 Konvolüsyon Metodu Her bir aralıktaki beklenilen frekans; b a E [a,b] = n f x dx = 4n 25 b a = n[e 2x/5 (1 2x 5 )] a b xe 2x/5 dx = n e 2b/5 e 2a/ (ae 2a/5 be 2b/5 ).
66 BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 66 Frekans Dağıtım Tablosu Frekans Dağıtım Tablosu Aralık Deneysel frekans Beklenilen frekans [0.0, 0.5] [0.5, 1.0] [1.0, 1.5] [1.5, 2.0] [2.0, 2.5] [2.5, 3.0] [3.0, 3.5] [3.5, 4.0] [4.0, 4.5] [4.5, 5.0] [5.0, 5.5] [5.5, 6.0] [6.0, 6.5] [6.5, 7.0] [7.0, 7.5] [7.5, 8.0] [8.0, 8.5] [8.5, 9.0] [9.0, 9.5] [9.5, 10.0] [10.0, 10.5] [10.5, 11.0] [11.0, 11.5] [11.5, 12.0] [12.0, 12.5] [12.5, 13.0] [13.0, 13.5] [13.5, 14.0] [14.0, 14.5] [14.5, 15.0]
67 Grafiksel Gösterim BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 67
BMÜ-421 BENZETIM VE MODELLEME STOKASTİK ÜRETEÇLER. İlhan AYDIN
BMÜ-421 BENZETIM VE MODELLEME STOKASTİK ÜRETEÇLER İlhan AYDIN RASGELE SAYI ÜRETEÇLERİ BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme 2 Deterministik terimler ile doğayı tanımlamak geleneksel bir yoldur. Doğa ve mühendislik
EME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Rassal Sayı ve Rassal Değer. Üretimi. Rassal Sayı Üretimi
..4 EME 7 Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi SİSTEM SİMÜLASYONU Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi Ders Girdi Analizi bölümünde gözlemlerden elde edilen verilere en uygun dağılımı uydurmuştuk. Bu günkü
Rasgele Sayıların Özellikleri
Rasgele Sayı Üretme Rasgele Sayıların Özellikleri İki önemli istaiksel özelliği var : Düzgünlük (Uniformity) Bağımsızlık R i, rasgele sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan uniform bir
RASTGELE SAYI ÜRETİMİ VE UYGULANAN TESTLER HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN
RASTGELE SAYI ÜRETİMİ VE UYGULANAN TESTLER HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN RASTGELE SAYILARIN ÜRETİLMESİ Rastgele değişimler yapay tablolardan veya parametreleri verilen teorik dağılım fonksiyonlarından elde edilir.
Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var :
Rasgele Sayı Üretme Rasgele Sayıların Özellikleri İki önemli istaiksel özelliği var : Düzgünlük (Uniformity) Bağımsızlık R i, rasgele sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan uniform bir
Rassal Değişken Üretimi
Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.
IE 303T Sistem Benzetimi L E C T U R E 6 : R A S S A L R A K A M Ü R E T I M I
IE 303T Sistem Benzetimi L E C T U R E 6 : R A S S A L R A K A M Ü R E T I M I Geçen Ders Sürekli Dağılımlar Uniform dağılımlar Üssel dağılım ve hafızasızlık özelliği (memoryless property) Gamma Dağılımı
RASSAL SAYI ve RASSAL DEĞİŞ ĞİŞKEN. dd Her Ui nin beklenen değeri; Benzetimde rassallık k varsa, bir veya birden fazla dağı
RASSAL SAYI ve RASSAL DEĞİŞ ĞİŞKEN ÜRETİMİ Benzetimde rassallık k varsa, bir veya birden fazla ğılımdan rassal değişken üretimi yapılacakt lacaktır. Bu ğılımlar, gözlemden g elde edilen veriye giydirilmiş
RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ
Dr. Mehmet AKSARAYLI Ekonometri Böl. Simülasyon Ders Notları Rassal Sayı Üretilmesi RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Simülasyon analizinde kullanılacak az sayıda rassal sayı üretimi için ilkel yöntemler kullanılabilir.
SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN
SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.
1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi
1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri
EME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
9.0.06 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar EME 7 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller (Sürekli Dağılımlar) Ders 5 Sürekli Düzgün Dağılım Sürekli Düzgün (Uniform)
EME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
Programlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları
Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları Ders 3 Genel Bakış Giriş Rastgele Sayı Rastgele Sayı Üreteci rand Fonksiyonunun İşlevi srand Fonksiyonunun İşlevi Monte Carlo Yöntemi Uygulama 1: Yazı-Tura
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye
1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER
Parametrik Olmayan İstatistik Prof. Dr. Cenk ÖZLER Not: Beklenen Frekansı 5 in altında olan gruplar varsa, bu gruplar bir önceki veya bir sonraki grupla birleştirilir. Hipotezler χ 2 Dağılışa Uyum Testi
19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.
9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9
EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi
İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar
İçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI Normal Olasılık Dağılımı Akülerin dayanma süresi, araçların belli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süresi gibi sayılamayacak kadar çok değer alabilen sürekli
BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim
8. Uygulama. Bazı Sürekli Dağılımlar
8. Uygulama Bazı Sürekli Dağılımlar : Bir tür böcek 6 gün yaşadıktan sonra iki gün içinde aynı miktarlarda azalıp ölmektedir. X rasgele değişkeni bu türden bir böceğin ömrü olmak üzere, X U (6,8) dır.
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018
2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla
EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
IE 303T Sistem Benzetimi
IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı
rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME
EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME GİRİŞ Bu bölümde benzetim için excel örnekleri önerilmektedir. Örnekler excel ile yapılabileceği gibi el ile de yapılabilir. Benzetim örnekleri
Son yıllarda bilgisayar teknolojisinin ilerlemesiyle ön plana çıktı.
MONTE CARLO YÖNTEMİ Birçok problemde analitik çözüm zor! Son yıllarda bilgisayar teknolojisinin ilerlemesiyle ön plana çıktı. Yüksek enerji fizigi Katıhal fiziği Biyofizikte atmosfer çalışmaları nükleer
Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Hipotez Testleri Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Parametrik Testler ( z ve t testleri) Parametrik Olmayan Testler (χ 2 Testi) Hipotez Testleri Ana Kütle β( µ, σ ) Örnek Kütle b ( µ
BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ
1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel
AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak
AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU
EME Sistem Simülasyonu. Girdi Analizi Prosedürü. Olasılık Çizgesi. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Dağılıma İyi Uyum Testleri Ders 10
EME 35 Girdi Analizi Prosedürü Sistem Simülasyonu Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Dağılıma
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN
BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi İlhan AYDIN KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu; şeklinde ise x e düzgün dağılmış rassal değişken, f(x) e sürekli düzgün dağılım denir. a 0 olduğuna göre, f(x) >0 olur.
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
Sürekli Rastsal Değişkenler
Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım
RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007
RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 007 1 Tekdüze Dağılım Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk
Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri
Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki
MONTE CARLO BENZETİMİ
MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,1) rassal değişkenler kullanılarak (zamanın önemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da deterministik problemlerin çözümünde kullanılan bir tekniktir. Monte Carlo simülasyonu, genellikle
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN
Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma
2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME. Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir.
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir. 1 ŞEKİL: Evren uzay-örneklem uzay İstatistiksel tahmin
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen
Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı. Aktüeryal Uygulamaları
Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı ve Aktüeryal Uygulamaları ŞİRZAT ÇETİNKAYA Aktüer Sistem Araştırma Geliştirme Bölümü AKTÜERLER DERNEĞİ 2.0.20080 2008 - İSTANBUL Sunum Planı. Giriş 2. Bayesci Metodun
BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ
1 BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ Bilimsel yöntem aşamalarıyla tanımlanmış sistematik bir bilgi üretme biçimidir. Bilimsel yöntemin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir (Karasar, 2012): 1. Bir problemin
MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık
TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ
TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin
ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ
ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ Çıktı analizi benzetimden üretilen verilerin analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki veya daha fazla alternatif sistemlerin performansını
İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI
İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının
2 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI
İÇİNDEKİLER IX İÇİNDEKİLER 1 GİRİŞ 1 Kitabın Amacı 1 Algoritmanın Önemi 2 Bilgisayarın Doğuşu ve Kullanım Amaçları 3 Programlama Dili Nedir? 3 Entegre Geliştirme Ortamı (IDE) Nedir? 4 2 ALGORİTMA VE AKIŞ
Stokastik Süreçler. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir.
Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Zamanla değişen bir rastgele değişkendir. Rastgele değişkenin alacağı değer zamanla değişmektedir. Deney çıktılarına atanan rastgele bir zaman
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Hipotez Testlerine Giriş. Hipotez Testlerine Giriş
Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL İYİ UYUM TESTİ Rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve parametresinin bilinmediği, ancak belirli
TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER
TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste
Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri
1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu
İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
Tesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:
RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma
Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin
Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Kitle ve Örneklem Örneklem Dağılımı Nokta Tahmini Tahmin Edicilerin Özellikleri Kitle ortalaması için Aralık Tahmini Kitle Standart Sapması için Aralık
EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri
EME 3117 1 2 Girdi Analizi SİSTEM SIMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et. Veri toplamak için bir plan geliştir. Veri topla. Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap. Girdi Analizi-I
2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK
Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki
Ayrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü
İSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat
SİSTEM SİMÜLASYONU BENZETIM 1 SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ 1. STATİK VEYA DİNAMİK. Simülasyon Modelleri
SİSTEM SİMÜLASYONU SİMÜLASYON MODELİ TÜRLERİ BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASINDA İZLENECEK ADIMLAR ve SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ Simülasyon Modelleri Üç ana grupta toplanabilir; 1. Statik (Static) veya Dinamik (Dynamic),
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında
Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
Arama metodlarında temel işlem anahtarları karşılaştırmaktır.
(Kırpma) Hash Fonksiyonları Selecting Digits Folding (shift folding, boundary folding) Division MidSquare Extraction Radix Transformation Çakışma (Collision) ve çözümler Linear Probing Double Quadratic
MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:
İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.
Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın
Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,
DAĞILMA YADA DEĞİ KENLİK ÖLÇÜLERİ (MEASURE OF DISPERSION) Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
DAĞILMA YADA DEĞİ KENLİK ÖLÇÜLERİ (MEASURE OF DISPERSION) 1 AMAÇ... Mevcut veri seti için bulunan merkezi eğilim ölçüsünün yorumlamak Birden fazla veri seti için dağılımlar arası kıyaslama yapabilmek amaçlarıyla
Örneklemden elde edilen parametreler üzerinden kitle parametreleri tahmin edilmek istenmektedir.
ÇIKARSAMALI İSTATİSTİKLER Çıkarsamalı istatistikler, örneklemden elde edilen değerler üzerinde kitleyi tanımlamak için uygulanan istatistiksel yöntemlerdir. Çıkarsamalı istatistikler; Tahmin Hipotez Testleri
Tek Değişkenli Sürekli Dağılımlar-III
Tek Değişkenli Sürekli Dağılımlar-III 1 Ki-Kare Dağılımı X Gammapα,βq olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu fpxq xα 1 e x{b β α, x>0, şeklinde tanımlanır. Burda α p 2 ve β 2 için olasılık yoğunluk fonkstionu
6.046J/18.401J DERS 7 Kıyım Fonksiyonu (Hashing I) Prof. Charles E. Leiserson
Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 7 Kıyım Fonksiyonu (Hashing I) Doğrudan erişim tabloları Çarpışmaları ilmekleme ile çözmek Kıyım fonksiyonu seçimi Açık adresleme Prof. Charles E. Leiserson October
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ
YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.