BÖLÜM 6 KİNETİK. olarak tanımlanır. Bu tanımla ikinci hareket yasası

Transkript

1 BÖLÜM 6 KİNETİK 6. Kinetik ve Newtonun ikinci hareket kanunu Kinetik hareketi oluşturan kuvvet moment gibi nedenleri de gö önüne alarak hareketin incelenmesidir. Kinetikte temel asa Newtonun ikinci hareket kanunudur. Bir parçacığın lineer momentumunun amanla değişimi üerine etkien kuvvetlerin bileşkesi ile orantılıdır ve bu bileşkenin önündedir. Parçacığın lineer momentumu hıı ile orantılı olup hı önündedir ve bu orantı katsaısı kütle adını alır. Parçacığın hıı kütlesi m ile gösterilirse Lineer momentumu P m olarak tanımlanır. Bu tanımla ikinci hareket asası dp d F ( m dt dt şeklini alır. Newton mekaniği ani klasik mekanik çerçevesinde m kütlesinin alnı cismin iç öelliklerine bağlı olduğu aman ve erle değişmediği varsaılır. Dolaısıla ikinci asa F m a şeklinde aılabilir. 6. Maddesel noktanın kinetiği Newtonun ikinci hareket kanunu olan F m a denkleminin karteen koordinatlardaki bileşenleri F m a, F m a, F m a doğal koordinatlardaki bileşenleri F T m a T, F N m a N şeklinde aılabilir. 79

2 6. Kütle merkeinin hareketi teoremi şağıdaki şekilde gösterildiği gibi maddesel noktalardan oluştuğu düşünülen sistem vea rijid cismin hareketinde her bir maddesel nokta için aılan F m a denklemi alt alta aılıp toplanırsa a a m m a m F i m i a i F ( ξ, η, ζ m n n F a n F F F F o ma ma ma. F m a i. F n i n i m a n n F n i i i m a i i denklemi elde edilir. Burada maddesel noktalar sisteminin kütle merkeidir. Kütle merkeinin er vektörü n mo i i i O şeklinde aılabilir. Bu vektörün amana göre ikinci n m i i türevi alınırsa kütle merkeinin ivme vektörü bulunur. n miai i a n i m i 8

3 Bu ivme vektörü ifadesinden. n F m a n i i i F m a n i m a i i m a i i m n i m i aılabilir. ifadesindeki olmak üere n i m a i i erine m a aılırsa şeklindeki kütle merkeinin hareketi teoremi olarak bilinen denklem elde edilir. Bu denkleme göre maddesel noktalar sisteminin vea rijid cismin kütle merkei bütün kuvvetler ona ugulanmış ve toplam kütle orada oğunlaşmış bir maddesel nokta gibi hareket eder. 8

4 6.4 ijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi ve atalet momentleri B Δ r a T a N α M Δ df T df N Şekilde gösterilen hacim bölgesini kapsaan ve Δ Ekseni etrafında M Δ dış momenti etkisinde dönen cismin üerindeki bir diferansiel kütlesi ve bu kütle için kinetik denklemi aıp cismin tüm hacmi içinde integre edilirse rijid cismin sabit eksen etrafında dönme hareketine ait kinetik denklemi bulunur. Maddesel noktanın hareketi verilen F m a denkleminin doğal koordinatlardaki ifadesi F T m a T, N m a N F Bu denklemler rijid cismin bir diferansiel kütlesine ugulanırsa df T at, df a N N Şekilde gösterildiği gibi sabit bir eksen etrafında dönen cismin bütün noktaları çembersel hareket apar. Bundan dolaı cisim üerindeki bir diferansiel kütle için aılan denklemlerden ikincisinin dönme hareketine bir etkisi olma. Birinci denklemdeki a T ivmenin teğetsel bileşeni erine a T r α aılarak elde edilen df T r α denkleminin her iki tarafı diferansiel kütlenin örüngesinin arıçapı olan r ile çarpılıp integre edilirse sabit eksen etrafında dönme hareketine ait kinetik denklemi elde edilir. r df T r r α 8

5 Burada M Δ M r df α r Δ T olduğu bilindiğine göre ukarıdaki denklem şeklinde aılabilir.buradaki r büüklüne cismin Δ eksenine göre atalet momenti denir r Δ Bölece sabit bir eksen etrafında dönme hareketine ait moment ve açısal ivme arasındaki bağıntıı veren kinetik denklemi aşağıdaki gibi aılabilir. M α Δ Δ 6.5 talet momentleri Sabit bir eksen etrafında dönme vea genel dülemsel hareketin kinetiğinde rijid cismin sabit bir eksene göre atalet momentinin bilinmesi gerekir. Bu işlem noktaa ve düleme göre atalet momentleri tanımlaıp daha kola apılabilir. r r p p d r d d P r noktasına göre atalet momenti r d doğrusuna göre atalet momenti d r P dülemine göre atalet momenti P 6.5. talet arıçapı Bir noktaa vea eksene göre atalet momenti olan m kütleli bir cismin tüm kütlesi bu noktaa vea eksene eşit uaklıktaki bir bölgede toplanmış far edilirse bu uaklığa atalet arıçapı denir ve k ile gösterilir. m k 8

6 6.5. talet momenti ile ilgili teoremler Bir rijid cismin birbirine dik üç düleme göre atalet momentlerinin toplamı bunların ara kesiti olan noktaa göre atalet momentine eşittir. Bir rijid cismin birbirine dik iki düleme göre atalet momenlerinin toplamı bunların ara kesiti olan doğrua göre atalet momentine eşittir. İki boutlu bir rijid cismin şekil düleminde bulunan birbirine dik iki doğrua göre atalet momentlerinin toplamı bunların arakesiti olan noktaa göre atalet momentine eşittir. 4 Bir rijid cismin herhangi bir doğrua göre atalet momenti bu doğrua paralel olup kütle merkeinden geçen doğrua göre atalet momenti ile cismin kütlesini bu doğrular arasındaki uaklıkla çarpılarak elde edilen saının toplamına eşittir. Bu teoreme paralel eksenler teoremi denir. 5 İki boutlu cisimlerde Şekil dülemine dik eksenle bu eksenin şekil dülemindeki idüşümü olan noktaa göre atalet momenti birbirine eşittir.bu son teoreme göre iki boutlu cisimlerde şekil düleminde bulunan bir noktaa göre atalet momentinin kütle merkeine göre atalet momenti ile bu noktalar arasındaki uaklık karesinin kütle ile çarpımının toplamına eşitliği şeklinde paralel eksenler teoremine bener teorem aılabilir. Bu teoremlerin ispatı aşağıdaki şekilde apılabilir. d o O ( o, o, o Bu denklemlerden o o o o elde edilir. Bu eşitlik birinci teoremin ispatıdır. 84

7 rıca ( olduğundan o o aılabileceğinden ikinci teorem ispatlanmış olur. Paralel eksenler teoremini ispatlamak için ( Y ( / /, / / / / / / d ( / d / / kütle merkei formülünden olduğundan Y m d / aılarak paralel eksenler teoremi ispatlanmış olur. Üçüncü teorem ikinci teoremin iki bouta indirgenmiş halidir. Bu teoremin ispatı için aşağıdaki şekil gö önüne alınır. o r (, S, O ( S Bu atalet momenti ifadelerinden O aılarak üçüncü teorem ispatlanmış olur. S 85

8 Problem 6.5. Kütlesi m olan L uunluğundaki homojen, doğrusal ve sabit kesitli çubuğun ucuna ve merkeine göre atalet momentini bulunu. Çöüm: L d L ρ, O, ρ d, m ρ L L d ρ m talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu ρ L ile L m çarpmak gerekir. ρ ρ L L m paralel eksenler teoremine göre L L L L m(, m(, m m 4 L m Problem 6.5. Kütlesi m olan L uunluğundaki homojen, doğrusal ve sabit kesitli Primatik cismin taban dülemine göre atalet momentini bulunu. Çöüm: L d taban dülemi O 86

9 Çöüm:, ρ d eğer taban düleminin alanı S ise m ρ S L, ρ S dl dır. L L ρ SdL, ρ S O m talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu ρ SL L m ile çarpmak gerekir. ρ S ρ SL L m Problem 6.5. arıçaplı ve m kütleli homojen çember şeklindeki cismin atalet momentini a merkeine, b çapına, c teğet doğrusuna, d çember üerindeki bir noktaa göre bulunu. d doğrusu O noktası Çöüm: a Çember şeklindeki cismin üerindeki bütün noktaların O noktasına uaklığı olduğundan O m olur. b talet momenti ile ilgili teoremlerden üçüncüsünden O aılabilir. rıca tüm çap doğrularına göre kütle dağılımı çember şeklindeki cisimde anı olduğundan aılabilir. Bölece çember şeklindeki cismin çapına göre atalet momenti m 87

10 Paralel eksenler teoremine göre m olduğundan d m d c talet momenti ile ilgili beşinci teorem gö önüne alınırsa O ve noktası arasında paralel eksenler teoremi aılabilir. m O m Problem arıçaplı ve m kütleli homojen daire şeklindeki levhanın atalet momentini a merkeine, b çapına göre bulunu. Çöüm: ρ d O r dr a m ρπ, d π r dr, ρ π r dr O r, O 4 r ( ρ π rdr, O ρπ rdr O ρπ 4 talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 4 m m ile çarpmak gerekir. O ρ π ρπ 4 ρπ O m b talet momenti ile ilgili teoremlerden üçüncüsünden O aılabilir. rıca tüm çap doğrularına göre kütle dağılımı dairesel levha için anı olduğundan aılabilir. Bölece dairesel levhanın çapına göre atalet momenti m formunda elde edilir. 4 88

11 Problem Silindir şeklindeki homojen dolu cismin taban dülemindeki bir çapına göre atalet momentini bulunu. L O Çöüm: talet momentleri ile ilgili ikinci teoreme göre o o aılabilir. nı şekilde o o ve o o olduğundan o aılabilir. dairesel levhanın merkeine göre atalet momenti gibi m olduğundan o m olur. 4 o ml eşitliği primatik ve sabit kesitli cisimlerin taban dülemine göre atalet momenti olduğundan ml m, m( L eşitliği bulunur

12 Problem Yarıçaplı ve m kütleli homojen dolu kürenin kütle merkeinden geçen bir çapına göre atalet momentini bulunu. Çöüm: ρπ r d o r d m ρ m, m ρ π r d, m ρπ ( d, r m 4 ρπ (, m ρπ talet momenti ile ilgili teoremlerden ikincisine göre o o aılabilir. Kürenin bütün çapsal dülemleri kürei iki eşit parçaa böldüğünden o o ve o aılabilir. o o, o ρπ ρπ ( o 5 5 d, ρπ r d o ( d 4, ρπ r d 4 5 o ρπ(, o ρ π 5 5 talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu m ile çarpmak gerekir 4ρπ 4 5 m o ρπ 5, o m, m 4ρπ 5 5 9

13 6.6 ijid cismin sabit bir eksen etrafındaki dönme hareketi ile ilgili problemler B Δ r α M Δ M Δ Δ α Burada M Δ, Δ eksenine göre cisme ugulanan toplam dış momenti Δ, cismin Δ eksenine göre atalet momentini r α ise cismin açısal ivmesini göstermektedir. ijid cismin sabit eksen etrafında dönme hareketinde cisme etki eden dış aktif kuvvetler ile mafsal tepkileri arasındaki bağıntı kütle merkeinin hareketi teoreminden elde edilebilir. Burada a F ma cismin kütle merkeinin ivmesidir. Δ 9

14 Problem 6.6. Homojen L uunluğunda ve m kütlesindeki sabit kesitli doğrusal çubuk ucundan kendisine dik silindirik mafsalla bağlıdır. Çubuk ata konumdan ilk hısı harekete bırakılıor. Çubuğun a atala θ açısı aptığı andaki açısal ivmesini b eni harekete bırakıldığı andaki mafsal tepkisini bulunu. Çöüm: L mg L B α θ a MΔ M Δ Δ α α Δ L MΔ mg Cosθ, Δ ml L mg Cosθ g α, α Cos θ L ml b F ma Çubuk harekete eni bırakıldığı anda açısal hıı sıfır olduğundan kütle merkeinin ivmesinin ata bileşeni sıfırdır. L a α j g g θ da α, a j L 4 F ma denkleminden toplam kuvvetle ivme anı önde olması gerekir. Cisme ata doğrultuda başka aktif kuvvet etkimediğinden mafsal tepkisi de düşe doğrultuda olmalıdır. g mg j ma, mg j m( j mg j 4 4 9

15 6.7 ijid cismin genel dülemsel hareketinin kinetiği r r / r a df o Maddesel noktanın hareketi için geçerli olan F m a denklemi ijid cismin bir diferansiel kütlesine ugulanırsa df a aılabilir. Bu denklemin her iki tarafı diferansiel kütlenin er vektörü ile soldan vektörel çarpılır ve cismin tüm kütlesi bounca integre edilirse rijid cisme ugulanan moment ve cismin açısal hareketleri ile ilgili denklemler elde edilir. a a a / r/ df r/ a r df r ( a a S / / / S Mk r df S / Mk ( r a r a / / / S S S sağ taraftaki birinci integral kütle merkeinin formülünden dolaı sıfır olur. İkinci integral için a / αk ( i j k [ k ( i j ] a / α i α j k ( j i a / α i α j i j r / a / ( i j ( α i α j i j r / a / αk k αk k r a ( αk / / 9

16 M k ( α k S burada ( dır. S Bölece genel dülemsel harekette moment ve açısal ivme arasındaki M bağıntısı elde edilir. α Problem cm. Yarıçaplı m kg. kütleli homojen dairesel levha kamadan uvarlanma hareketi apmaktadır. Levhanın merkeinin ivmesinin 5 m/ s olması için merkeine ugulanan ata doğrultudaki F kuvvetini ve gerekli olan en düşük sürtünme katsaısını bulunu. Çöüm: mg a α F o N M α, F ma a a α α m, M f a M f m f ma f 5 Newton F f ma F ma F 75 Newton μ N f f μ N F N mg N mg 98, Newton 5 μ, 98, μ, 55 f 94

17 Problem cm. Yarıçaplı m kg. kütleli homojen dairesel levha kamadan uvarlanma hareketi apmaktadır. Levhanın merkeinin ivmesinin 5 m/ s olması için merkeine ugulanan Momentin şiddetini ve gerekli olan en düşük sürtünme katsaısını bulunu. Çöüm: α mg M a o f N M α, F ma a α α m, M M f a M M f m f ma f 5 Newton a M ma f M, , M 45 Nm. μ N f f μ N F N mg N mg 98, Newton 5 μ, μ,5 98, 95

18 Problem 6.7., m. Uunluğunda ve m5 kg kütleli bir çubuk ucu ata doğru üerinde B ucu 45 eğimli doğru üerinde olmak üere sürtünmesi olarak hareket edior. Eğer çubuk ilk hısı olarak harekete bırakılırsa ve bu anda θ ise bu an için a Çubuğun açısal ivmesini b ve B noktalarındaki tepki kuvvetlerini hesaplaını. B, m. 45 θ Çöüm: a B B B mg 5 45 a L L M α Cos BCos5 ml α F ma F ma, X F ma Y F ma X Cos B 45 ma X F ma Y BSin45 mg ma Y 96

19 Kinematik inceleme: a B a a B/, ab abi ab j a ai, ab/ α B B/ hareketi eni başladığı için dır. ab/ αk ( LCos i LSin j, ab/ Lα i Lα j ab abi ab j ai ( Lα i Lα j abi ab j ( a Lα i Lα j a Lα ab a Lα Lα ab ab Lα a a a /, a a i a X j Y a/ α / a Lα i L L L a/ αk ( Cos i Sin j a/ α i Lα j 4 4 L a a i a ( ( X j Lα i αi Lα j Y 4 4 a i a X j Lα i Lα j Y 4 4 a X Lα, a 4 Y Lα, a,9 4 X α, a Y,5α BCos 45 m a X B,894mα L L Cos BCos5 ml α,44mα,44mα,894mα mg,5mα 9,8 α, α, ad / s,44,894,5 a X, /,, / m s a Y m s 6,5 N,, N B 97

20 6.8 ijid cismin üç boutlu hareketinin kinetiği r r / r a df o Maddesel noktanın hareketi için geçerli olan F m a denklemi ijid cismin bir diferansiel kütlesine ugulanırsa df a aılabilir. Bu denklemin her iki tarafı diferansiel kütlenin er vektörü ile soldan vektörel çarpılır ve cismin tüm hacmi bounca integre edilirse rijid cisme ugulanan moment ve cismin açısal hareketleri ile ilgili denklemler elde edilir. r df r a r df r a r r r / Buradaki r vektörü erine aılırsa ( r r / df ( r r / a denklemi elde edilir. Bu denklem r ( ( df a olduğu gö önüne alınarak r/ df r/ a şeklinde kısaltılabilir. Burada M r / df cisme ugulanan toplam moment olduğundan denklem M r / a denklem şekline gelir. Burada diferansiel kütlenin ivmesi a a a / şeklinde aılabileceğinden M r ( a a olur. / / / a ( r / Burada r a M r a aılabilir. / / olduğundan 98

21 Burada a / α r / ( r /, r / i j k α α i α j α k, i j k Bölece rijid cismin kütle merkeine etki eden moment ve cismin açısal hareketi ile ilgili genel bağıntı aşağıdaki şekilde aılabilir. M { r / [ α r / ( r / ]} Bu denklemin sağ tarafı iki integralin toplamına dönüştürülürse işlemler kısalabilir. M [ r / ( α r / { r / [ ( r / ]} Her iki integrale ait işlemler arı arı aşağıdaki gibi apılabilir. i j k α r / α α α ( α α i ( α α j ( α α k r / a r / ( α r / r / [ ( r / ] i j k r / ( α r / α α α α α α ( α α α α i ( α α α a j ( α α α α k Burada (, (, ( denklemleri sırasıla, ve eksenlerine göre atalet momentlerini göstermektedir. rıca,, denklemleri sırasıla -, -, - dülemlerine göre çarpım atalet momentleridir. Bunlarla birlikte ukarıdaki M [ r / ( α r / { r / [ ( r / ]} denklemine gidildiğinde denkleminin sağ tarafının birinci integral işlemi aşağıdaki gibi tamamlanmış olur. r ( α r ] [ α α α ] i [ / / [ α α α ] j [ α α α ] k 99

22 nı denklemin sağ tarafının ikinci integral işlemi için aşağıdaki işlemler apılabilir. k j i k j i r ( ( ( / k j i r ( / j i ( ( k ( ] ( [ / / r r k j i i ( j ( k ( r r ]} ( [ { / / i ] ( [( j ] ( [( k ] ( [( Burada ( ( ( dır. Çünkü ( ve ( ve ( ] ( [( dır. α r r ] ( [ / / α α α i ] [ α α α j ] [ [ ] k α α α

23 Bu bulunan değerlerle moment denklemine gidildiğinde ijid cismin genel hareketinde Kütle merkeine göre toplam moment vektörü ile cismin atalet momentleri açısal hı ve açısal ivme bileşenleri arasındaki bağıntıı veren denklem bulunmuş olur. M { r / [( α r / ( r / ]} [ α ( ( α ( α ( ] i [ α ( ( α ( α ( ] j [ α ( ( α ( α ( ] k Burada cismin kütle merkeinden alınan eksenler cismin asal eksenleri ise ani bu eksen sisteminin koordinat dülemlerine göre çarpım atalet momentleri sıfır ise ukarıdaki denklem M [ α ( ] i [ α ( ] j [ α ( ] k şeklinde basitleşir. Bu denklemler ilk defa 758 de Euler tarafından elde edildiği için Euler denklemleri adıla anılır. Sabit bir nokta etrafında dönen bir cisimde de bener bağıntılar elde edilir. Yalnı burada eksen takımı ve moment vektörü bu sabit noktadan geçecek şekilde seçilirse anı formda bağıntılar elde edilir. M [ α ( ] i [ α ( ] j [ α ( O Bu denklemler sabit eksen etrafında dönme hareketinde Eğer ekseni dönme ekseni olarak alınırsa M ( α i ( α j α k O α α M M M α şekline dönüşür. Eğer sabit eksen etrafında dönme hareketinde koordinat eksenleri asal eksenler ise ukarıdaki denklemler M α şeklinde tek bir skaler denkleme indirgenir. Bener şekilde genel dülemsel harekette denklem M α şekline indirgenir. Burada M cismin kütle merkeinden geçen hareket dülemine dik eksene göre toplam momenti ise anı eksene göre atalet momentini göstermektedir. ] k

24 Problem 6.8. C ve D de silindirik mafsallı CD çubuğuna mm. Uunluğunda ve g. kütleli ve B çubukları rijid olarak bağlıdır. Eğer 6 N.m. şiddetinde bir moment CD çubuğuna ugulanırsa CD çubuğunun açısal hıı dev/dak. değerini aldığında C ve D mafsallarındaki tepkileri bulunu. ( CD çubuğunun kendi eksenine göre atalet momentini ihmal edini. L/4 C L/ o B c c M D Çöüm: L/4 L/4 C C D o L/ B c c D C M D D D M i j k O ( α ( α α α M α M M α

25 M L D i L D j Mk O mc m( L( c mlc 4 m( L( c mlc 4 8 L D α α L D M α M α, α M mc M, α mc M M L D mlc mlc, D mc 4 mc 8 8c 8 M L D mlcα mlc, D mc 8 4 6c 4 6,, ( / 6 D π, D 6, 7 N. 8, 8 6,, ( / 6 D π, D 9, 69 N. 6, 4 M ( α i ( α j α k D D D D D D Dα D α M M D D D M L C i L C j Mk D Dα D α L C L C D D ( ( D m L c mlc 4 ( ( D m L c mlc 4 8 M M L C mlc mlc C mc 4 mc 8 8c 8 6,, ( / 6 π C 55,5 N. 8, 8 M 9M L C mlc mlc C mc 8 mc 4 6c 4 9 6,,*( / 6 π, C 5,9 N. 6, 4 C C

26 Problem 6.8. Yarıçapı kütlesi m olan homojen bir disk kütlesi ihmal edilebilen bir O çubuğuna monte edilmiştir.o çubuğu O noktasında mafsallıdır. Disk ata dülemde kamadan uvarlanma hareketi apabilmektedir. Çubuk düşe eksen etrafında dönebilmektedir. Disk çubuk ekseni etrafında saat ibreleri tersi önünde sabit açısal hıı ile döndüğüne göre a Döşemeden diske gelen tepki kuvvetini ( doğrultusu düşe faredilior b O mafsalındaki tepki kuvvetini bulunu. L o Çöüm: L mg o O i j, O Li j N 4

27 ( i j ( Li j α M O L, α j ( L k, i L, α k L [ α ( ] i [ α ( ] j [ α ( ] k m m ml m( L 4 4 L MO [ α ( ] k MO { m( L α [ m( L m ] } k 4 4 MO m[( L ( L ] k 4 L 4 L m MO k L m MO ( NLmgL k MO ( NL mgl k k L m ( NL mgl L N m( g L F ma F i ( N mg j k F i [ m( ] j k L a Li, a i L [ ( F i m ] j k m i L L m, L m(, L 5

28 BÖLÜM 7 İŞ E ENEJİ İLKESİ 7. Maddesel noktanın hareketinde iş ve enerji ilkesi Bir maddesel noktaa etki eden kuvvetin maddesel noktanın er değiştirmesinde aptığı işi bulabilmek için aşağıdaki şekil çiilebilir. F N F ( m F T dr r ds r dr ( o Burada m kütlesi dr kadar er değiştirme aptığında etki eden F kuvvetinin aptığı iş d τ F dr dır. M kütlesi ( konumundan ( konumuna geldiğinde etki eden F kuvvetinin ( aptığı iş ise τ ( ( F dr ( şeklinde integral ile hesaplanır. Burada F F T F N dr dst şeklinde aılabileceğinden bir F kuvvetin işi τ ( ( F T ds şeklinde de hesaplanabilir. Bir maddesel noktanın hareketinin teğet doğrultusundaki denklemi F T m a T d Burada a T erine aarak ds d F T m, F T ds d ds elde edilen denklemin her iki tarafı ( konumundan ( konumuna integre edilirse ( F ds T ( ( ( md T ( ( N 6

29 Burada τ ( ( ( F T ds ( Olduğundan τ ( ( m m denklemi elde edilir. Elde edilen m ifadesine hıındaki m kütleli maddesel noktanın kinetik enerjisi denir ve T ile gösterilir. T m Bu şekilde bulunan τ ( ( T T denklemine iş ve enerji ilkesi denir. Bir maddesel noktanın ( konumundan ( konumuna hareketinde maddesel noktaa etki eden kuvvetlerin aptığı işler toplamı maddesel noktanın bu konumlar arasındaki kinetik enerji farkına eşittir. Kinetik enerji maddesel noktanın hareket ettiği ola bağlı değildir. Sadece son ve ilk konumdaki hılara bağlıdır. Etki eden kuvvetlerin aptığı işler ise mekanik enerjinin korunmadığı durumlarda ola bağlıdır. Problem 7.. θ eğim açılı eğik dülem üerinde bırakılan bloğun s kadar ol aldıktan sonraki hıını bulunu. Çöüm : mg s ( θ ( f N h θ τ ( ( T T, τ ( ( ( m g Sinθ s f s, T T m, ( mgsin s f s m f θ, ( g Sinθ s m 7

30 7.. Mekanik enerjinin korunumu ve potansiel enerji: Bir kuvvet alanı F U şeklinde aılabiliorsa buradaki kuvvete korunumlu kuvvet U a ise potansiel enerji denir. Karteen koordinat sisteminde U U U U i j k dr d i d j d k ( ile τ ( ( F dr denklemine gidilirse ( ( ( U U U τ ( ( d d d ( ( τ ( τ( ( U U ( ( du korunumlu kuvvetlerde bir kuvvetin işinin Potansiel enerji farkının negatifi ile apılabileceği görülür. Bu elde edilen denklem iş ve enerji denkleminde bir kuvvetin işi erine aılırsa U U T T vea U T U T mekanik enerjinin korunum denklemi elde edilir. 8

31 Problem 7... θ eğim açılı eğik dülem üerinde bırakılan bloğun durana kadar aldığı s olunu bulunu. Cisim ilk harekete bırakıldığında a katsaısı k olan a doğal uunluğundadır. Çöüm : mg k s ( θ ( N h θ U U T T, U U mgh ks, h ssinθ, T T m, m g ssinθ ks m mg durduğu anda hıı sıfırdır. mgssinθ ks s k Sinθ 9

32 7. ijid cismin sabit bir eksen etrafında dönmesinde kinetik enerji hesabı B Δ r ijid cisme ait bir diferansiel kütlenin kinetik enerjisi dt Sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde r olduğundan dt r aılabilir. Bu diferansiel kinetik enerjinin cismin tüm hacmi üerinde integrali alınarak toplam kinetik enerji bulunur. T r integral içindeki sabitler dışarı alınarak elde edilen T r denkleminde r Δ ifadesi Δ eksenine göre cismin atalet momenti olduğundan sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde rijid cismin kinetik enerjisi T Δ şeklinde hesaplanır.

33 Problem 7.. Uunluğu L ve kütlesi m olan B çubuğu ucundan silindirik mafsallı olarak düşe dülemde hareket edebilmektedir. B çubuğu ata konumda ilk hısı harekete bırakılıor. Yatala θ açısı aptığı andaki açısal hıını bulunu. Çöüm: mg L/ L/ B θ mg U U T T L U U mg Sinθ T, T L mg Sinθ ml L mg Sinθ ml g Sin θ L

34 7. ijid cismin genel dülemsel hareketinde kinetik enerji hesabı r / r r o S dt / ( / ( / T ( / / S Burada / S ve r olduğundan toplam kinetik enerji / / T m S r / şeklinde aılabilir. Burada r / cismin kütle merkeinden geçen S ve hareket dülemine dik eksene göre atalet momentini gösterdiğinden genel dülemsel harekette kinetik enerji T m formülü ile hesaplanır.

35 Problem 7.. arıçapılı ve m kütleli bir disk θ eğim açılı eğik dülem üerinde kamadan uvarlanma hareketi apmaktadır. Disk eğik dülem üerinde ilk hısı harekete bırakıldığında diskin n saıda tam devir aptığı andaki açısal hıı ne olur? Çöüm: h mg N f s mg θ U U T T Kamadan uvarlanmada sürtünme kuvveti iş apma. Çünkü kama olaındaki gibi sürekli anı bölgede temas oktur. Normal kuvvet harakete dik olduğu için iş apma. U U mgh, h ssinθ, s n π, s nπ U U mgnπ Sinθ, T T m Kamadan uvarlanma hareketinde dır. m T m( m, T m 4 mgnπ Sinθ m 4 8gnπ Sin θ

36 4 7.4 ijid cismin genel hareketinde kinetik enerji hesabı r / r r S o dt, / ( ( / / T S ( / / Burada / olduğundan toplam kinetik enerji m T / / / /, r / / Burada k j i, k j i r / şeklinde karteen koordinatlardaki bileşenleri ile aılırsa diferansiel kütlenin kütle merkeine göre hı vektörü aşağıdaki gibi hesaplanır. k j i / k j i ( ( ( / ( ( ( /

37 / ( ( ( / [( ( ( olur. Burada (, (, ( ] integralleri kütle merkeinden geçen ve,, eksenlerine paralel olan eksenlere göre atalet momentlerini,, integralleri ise kütle merkeinden geçen ve,, dülemlerine paralel olan sırasıla,, dülemlerine göre çarpım atalet momentlerini gösterdiğinden rijid cismin üç boutlu hareketinde toplam kinetik enerjii veren formül T m formunda çıkarılmış olur. Eğer kütle merkeinden geçen eksenler asal eksenler ani çarpım atalet momentlerinin sıfır olduğu eksenler ise kinetik enerji ifadesi T m şeklinde kısalır. ijid cismin sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde de bener işlemler apılırsa toplam kinetik enerji T ifadesi elde edilir anı şekilde,, eksenleri asal eksenler ise kinetik enerji T formülüne indirgenir. 5

38 BÖLÜM 8 İMPULS E MOMENTUM İLKESİ 8. Maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi F kuvveti etkisindeki m kütleli bir maddesel nokta için Newton un ikinci hareket kanunu d F ( m dt şeklinde aılabilir. Buradaki m vektörüne Lineer momentum vea hareket miktarı denir ve L ile gösterilir. Lineer Momentum : L m d F ( m denklemi Fdt d( m şeklinde aılıp maddesel noktanın dt hareketi esnasında. konumdan. konuma kadar integre edilirse t t Fdt d( m Fdt m m t vea t t t m Fdt m impuls momentum ilkesi elde edilir. t buradaki Fdt ifadesine Lineer impuls denir. t m t Fdt m t t m ( Fdt m ( t t m ( Fdt m ( t t m ( Fdt m ( t 6

39 Problem 8.. Newton ağırlığındaki bir paket döşemenin üerinde hareketsi durmaktadır. niden P5 Newton şiddetindeki bir kuvvet şekilde gösterildiği gibi ugulanmaktadır.paketin kuvvet ugulandıktan sanie sonraki hıını bulunu. ( Döşeme ile paket arasındaki sürtünme katsaısı.5 dır. W P f N Çöüm m WΔ t NΔ t f Δ t PΔ t m t m ( Fdt m ( PΔtcos fδ t m( t 5,9848 f ( 9,8 t m ( Fdt m ( NΔt WΔ t PΔ tsin t N 5,765 N 86,588 Newton. f μ N f,5 86,588, f,6newton 5,9848 f ( 5,9848,6 ( 9,8 9,8 ( 48,9 m/ s 7

40 Problem 8.. km/h hıla giden kg kütleli bir dene otomobili bir bari ere çarptırılıor. çarpışma süresi. s. olduğuna göre bari erden otomobile gelen ortalama tepki kuvvetini bulunu. km/h kg Çöüm m WΔ t m Δ t NΔ t * km / h m / s, km / h 7, 778 m / s 6*6 t m ( Fdt m ( t, 7778 ort. dt N,, ort. 9,6 kn,, 7, 778 dt, dt 7778 Ns 8

41 Problem 8.. kg kütleli bir otomobil 5 derece eğimli bir olda 9 km/h hıla hareket ederken frene basılıor. eminin lastiklere uguladığı toplam sürtünme kuvveti 7,5 kn olduğuna göre otomobil durana kadar geçen amanı bulunu. 5 Çöüm: W 5 f f N N m mp m m W sin 5 t ( f f f f4 t m (son hı sıfır olacağından 9 /(6*6 m/ s, 9 /(6*6 m/ s 5 m/ s, f f f f4 7,5kN, W g 5 5 9,8 sin 5 t 75 t t 75 9,8 sin 5 t 8,64 s 9

42 Problem N ağırlığındaki bir bloğun başlangıç hıı 5i 5 j ( m/ s olarak verilmektedir. F 5i 5 t j ( N şeklinde ifade edilen bir kuvvet bu cisme t dan t, s e kadar etki etmektedir. Bu cismin t s deki hıını sürtünmei ihmal ederek bulunu. m m t Fdt t t Fdt t m Çöüm 5 m kg 9,8 t m Fdt m t, 5 5 (5 i 5 j (5i 5 t j dt 9,8 9,8, 9,8 (5 i 5 j (5i 5 t j dt 5 (, 9,8 9,8 (5 5, i [5 5 ] j 5 5, 64,5i 7,64 j ( m/ s t.s den sonra cisme kuvvet ugulanmadığı için hıı değişme.

43 8. Maddesel noktalar sistemi için impuls ve momentum ilkesi Bir maddesel noktalar sisteminde her bir maddesel nokta için aılan t m Fdt m denklemleri alt alta aılıp toplanırsa t t m Fdt m t maddesel noktalar sistemi için impuls momentum denklemi elde edilir. Burada kütle merkeinin eri dikkate alındığında alınabileceğinden ukarıdaki denklem t ( m Fdt ( m ( ( şeklinde aılabilir. t m erine ( m Eğer sisteme etki eden kuvvetlerin impulsları toplamı sıfır ise m m maddesel noktalar sistemi için momentumun korunumu denklemi elde edilir. Eğer sistemin kütle merkei gö önüne alınırsa m ( m eşitliği dikkate alındığında sistemin kütle merkeinin hıının momentumun korunumu durumunda değişmediği görülür.

44 8. Maddesel noktalar için Çarpışma İki cismin çok kısa bir süre içinde birbirine temas edip birbirlerine büük kuvvetler ugulamalarına çarpışma denir.çarpışma süresindeki dokunma üelerinin ortak normaline çarpışma doğrusu denir. çarpışan cisimlerin kütle merkeleri bu normal üerinde ise çarpışmaa merkesel çarpışma denir. Maddesel noktaların çarpışması merkesel çarpışmadır. İki cismin hıı çarpışma doğrusu üerinde ise bu çarpışmaa doğru çarpışma en a birisinin hıı çarpışma doğrultusundan farklı doğrultuda ise eğik çarpışma denir. Çarpışma Çarpışma B doğrusu doğrusu B B B Doğru merkesel çarpışma Eğik merkesel çarpışma 8.. Doğru merkesel çarpışma ( ( B u ( ( B B B B Çarpışmadan önce Maksimum şekil değiştirme Çarpıştıkdan sonra konumunda İki cisimden oluşan bu sistem bir bütün olarak ele alınırsa çarpışma sırasındaki impulsif kuvvetlerin sadece iç kuvvetler olduğu ve bunların toplamı sıfır olacağından sistemin momentumu korunur. m( m ( ( ( B B m m B B çarpışmadan sonraki hılar olan ( ve ( B i bulmak için gerekli olan ikinci bağıntı, her iki cisim için arı arı çarpışma esnasındaki şekil değişimi gö önünde bulundurularak ugulanan impuls momentum ilkesi ardımı ile elde edilir. ( m Pdt mu Şekil değiştirme süresi mu dt m( eri dönüş süresi

45 ( m Pdt mu şekil değiştirme süresinde impuls ve momentum ilkesi mu dt m( geri dönüş süresinde impuls ve momentum ilkesi eri dönüş ve şekil değiştirme impulsları arasındaki orana çarpışma katsaısı denir ve e ile gösterilir. e sıfır ile bir arasındadır ve çarpışan cisimlerin apıldığı malemee, cisimlerin boutlarına, şekillerine ve hılarına bağlıdır. dt m( Pdt mu dt mu m( dt u ( e e Pdt mu dt m( Pdt m ( m u Pdt ( u anı şekilde B cismi için impuls momentum ilkesi ugulanırsa dt ( B u e eşitliği elde edilir. Pdt u ( B Bu birbirine eşit iki oranın pa ve padalarını toplaarak elde edilen oran da bunlara eşit olur. [ u ( ] [( ] B u ( B ( e, e ( B ( ( ( e[ B ] [ u] [ u ] ( ( B ( ( B e tam plastik çarpışma : Bu durumda ( B ( ani iki cisim çarpışmadan sonra birbirine apışır ve tek bir hıa sahip olur. m( m ( ( B B m mb momentumun korunumu denkleminden hıı hesaplanır. e tam elastik çarpışma : e aarak elde edilen ( B ( ( ( B denkleminden çarpışmadan önceki ve sonraki bağıl hıların birbirine eşit olduğu görülür. Tam elastik çarpışmada sistemin momentumula birlikte kinetik enerjisinin de korunduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir. m m m m ( ( ( ( B B B B ( B ( ( ( B denklemleri m[ ( ( ] [( ( ] m B B B ( ( ( ( B B şeklinde aılıp taraf tarafa çarpılırsa m( m ( ( ( mb B mb B elde edilen bu denklem ½ ile çarpılıp düenlenirse m ( m ( m ( m ( B B B B kinetik enerjinin korunduğunu gösteren denklem bulunur.

46 Problem 8... m/s hıla sağa doğru hareket etmekte olan kg kütleli bir vagon, 5 kg kütleli bir duran vagona çarpıor. Çarpmadan sonra 5 kg kütleli vagonun sağa doğru.6 m/s hıla hareket ettiği gölendiğine göre, iki vagon arasındaki çarpışma katsaısını bulunu. Çöüm: ( m/ s ( B ( ( B,6 m/ s kg 5 kg kg 5 kg Momentumun korunumu denkleminden m( m ( ( ( B B m m B B 5 ( 5,6 (,5 m/ s Çarpışma katsaısı: ( B (,6 (,5 e, e, e,65 ( ( B Problem 8... Katsaısı k 4 9,8 N / cm lik aa oturan 5 kg kütleli B silindirinin üstüne m üksekten kg kütleli bir silindiri düşürülüor. Çarpışmanın tam plastik olduğunu kabul ederek a B silindirinin maksimum çökmesini, b çarpışma sırasındaki enerji kabını hesaplaını. m B Çöüm : a Problem aşamada çöülebilir.. aşama: Çarpma anına kadar iş ve enerji ilkesi. aşama: Çarpışma anı Momentumun korunumu ilkesi. aşama: Çarpışma anından sonra aın en fala kısalmış anına kadar 4

47 . aşama τ ( ( T T, T, T ( m, τ ( ( mgh, τ ( ( m 9,8 τ ( ( T T m 9,8 ( m ( 7,67 m/ s. aşama m( m ( ( ( B B m m B B 7,6 5 ( 5( B ( 5( 7,67 / B m s çarpışma tam plastik olduğundan ( B ( [( ( ] e B ( ( B ( ( B ( (, 787 / B m s. aşama τ ( ( 4 T T 4, T ( ( m mb, T (,787, T 4,95 Nm T 4 ( ( ( τ ( m [ 4 ( ] mb gδ k Δ Δ k Δ 4 9,8 ( Fa k Δ min 5 9,8 Δ, Δ,8cm 5 9,8 ( Fa k ( Δ Δ, ( Fa 4 9,8 (,8 Δ m. m aks. aks ( ( ( τ 6 9,8 Δ[ 4 9,8,8Δ 4 9,8(,8 ] 4 ( ( ( τ 6 9,8Δ 4 9,8 [,8,8 ] 4 9,8(,8 4 Δ Δ τ 7,468Δ 9,6 Δ ( Ncm, T 4 49,5 Ncm ( ( ( τ ( ( 4 4 7, 468Δ9, 6 Δ 49,5 Δ 5,749cm T T ( b Çarpışmadan önceki kinetik enerji T m ( T ( 7,67, T 9,4Nm ( Çarpışmadan sonraki kinetik enerji T m m ( B T ( 5(,787, T 4,9Nm Enerji kabı T T 9,4 4,9, T T 4,5 Nm 5

48 8.. Eğik merkesel çarpışma Cisimlerin hılarının doğrultuları çarpışma doğrultusundan farklı ise bu çarpışmaa eğik çarpışma denir. ( B (çarpışma doğrusu ( B ( B ( Cisimlerin temas üelerinin sürtünmesi ihmal edilirse çarpışma doğrusuna dik doğrultuda kuvvet olmadığından her birinin momentumlarının çarpışma doğrusuna dik (burada eksenindeki bileşenleri korunur. Sistemin toplam momentumunun çarpışma doğrultusundaki (burada eksenindeki bileşeni korunur. İki cisim çarpıştıktan sonraki bağıl hılarının çarpışma doğrultusundaki bileşenleri, çarpışmadan önceki bağıl hılarının anı doğrultudaki bileşenlerinin e çarpışma katsaısı ile çarpımından bulunur. Problem 8... Pürüsü düşe bir duvara bir top atılıor. Top duvara varmadan hemen önce hıının şiddeti dir ve atala lik bir açı apmaktadır. e,9 olduğu bilindiğine göre, top geri fırladığı anda hıının şiddetini ve doğrultusunu bulunu. Çöüm : (,5,7,779 ( ( Duvara çarpmadan önce Topun momentumunun düşe bileşeni korunur. ( m ( ( ( ( sin, (,5, (,5 m Duvara çarptıktan sonra 6

49 Yata doğrultudaki toplam momentumun korunumu denklemi erine bu doğrultudaki çarpışma katsaısı denklemi aılabilir. ( B ( [( ( ] e B ( [( ] e (,9 cos, (,779 ( (, (, 779 (,5 ( (,,96,5 θ arctan[ ], θ arctan(, θ,68, 7794 Problem 8... Birbirinin anı iki pürüsü topun çarpışmadan önceki hılarının şiddet doğrultu ve önleri şekilde verilmiştir. e.9 kabul ederek topların çarpışmadan sonraki hı vektörlerini bulunu. m m 6 ( 9 m/ s ( B m/ s Topların her birisi için çarpışma doğrusuna dik doğrultudaki momentum korunur. ( ( ( ( 9 sin ( ( ( B ( B sin 6 m m m m B B B B İki toptan oluşan sistemin tümü için momentumun çarpışma doğrultusundaki bileşeni korunur. m ( m ( m ( m ( B B B B m m m B ( ( ( ( B B 9cos cos 6 ( ( B Çarpışma katsaısı ile bağıl hılar arasındaki bağıntı ( B ( [( ( ] e B ( ( B Bu iki denklemi taraf tarafa çıkarırsak ( ( B 9cos cos 6 ( B 7,45 m/ s ( (,9[9cos cos 6 ] ( 5, / B ( B 9cos cos 6,9[9cos cos 6 ] i j i j m s ( ( ( i j ( B ( B ( B ( 5, 4,5 ( / ( 7,45i,9 j ( m/ s B,9[9cos ( cos 6 ] m s 7

50 8.4 Maddesel noktanın açısal momentumu H O m O r P P maddesel noktasına ait m Momentumunun O noktasına göre momentine P maddesel noktasının O noktasına göre açısal momentumu denir ve H O ile gösterilir. HO r m ( F ma denklemini F şeklinde aıp her iki tarafın soldan r dt vektörü ile vektörel çarpımı apılırsa ( r F r denklemi elde edilir. dt d dr d( m dr ( r m m r eşitliğinde m olduğundan dt dt dt dt ( d r ( r m eşitliği kullanılırsa dt dt d r F ( r m denklemi elde edilir. dt r F M O olduğu bilindiğine göre bu son iki denklemden d M O ( r m denklemi bulunur. HO r m olduğundan dt M O dh dt O elde edilir. Maddesel noktaa etki eden kuvvetlerin bir noktaa göre momentleri toplamı anı noktaa göre hesaplanan açısal momentumun amana göre türevine eşittir çısal İmpuls M O dh dt O t den denkleminden elde edilen M dt dh denkleminin her iki tarafı t e integre edilirse O O 8

51 t t M dt H H vea ( ( O O O t H M dt H maddesel nokta için çısal impuls-çısal ( O O ( O t momentum denklemi bulunur. t Eğer M Odt ise ( HO ( H O olur.diğer bir deişle açısal momentum t korunur. Problem kg kütleli İki adet küre, kütleleri ihmal edilen ve uunlukları L 5m olan iki rijid çubuğa monte edilmiştir. Çubuklar düşe şaft etrafında serbestçe dönmektedir. Düşe şaft θ 6 iken n dev / dak ile döndüğüne göre θ 45 iken açısal hıı ne olur? L 5m L 5m θ θ 5 kg 5 kg Çöüm : Düşe eksene göre açısal momentumun korunumu H H Z Z H Z m H Z (5sin θ 5(5sin θ, H Z 5 sin θ πn 5πn, H Z sin θ 6 6 5π 5πn H Z sin 6, H sin 45 Z 6 6 5π 5πn sin 6 H Z H Z sin 6 sin 45 n 6 6 sin 45 n 8 dev / dak 9

52 8.5 Maddesel noktalar sisteminin açısal momentumu Bir maddesel noktalar sisteminin bir noktaa göre açısal momentumu her bir maddesel nokta için hesaplanan açısal momentum toplanarak elde edilir. Maddesel noktaların birbirine anı doğru üerinde eşit şiddette ters önde kuvvet uguladıkları bilindiğinden bunların toplam momentleri sıfır olur. Bundan dolaı denklemlerde sadece dış kuvvetlerin momentleri gö önüne alınır. HO r m dho ( MO dış dt ( 8.6 Maddesel noktalar sistemi için açısal impuls ve açısal momentum ilkesi Bir maddesel noktalar sistemi için açısal impuls-açısal momentum denklemi her bir maddesel nokta için aılan denklemler taraf tarafa toplanarak elde edilir. t ( HO MOdt ( HO t Eğer açısal impuls sıfır ise çısal momentumun korunur. t M dt H H t O ( O ( O

53 8.7 Değişken maddesel nokta sistemleri Bu amana kadar incelediğimi sistemlerde sistemi oluşturan bütün maddesel noktalar daima anı sistemin parçacıklarıdır. Yani herhangi bir başka parçacık sisteme katılma ve sistemden çıkma. Bu sistemlere kapalı sistemler denir. Sistemlerin bu şekilde incelenmesine Lagrange metodu denir. Bir çok mühendislik probleminde öellikle akışkanların dinamiğinde belli bir hacim seçip bu hacim içindeki akışkanların durumu ile ilgilenilir. Bu hacme kontrol hacmi denir. Bu tür incelemee Euler metodu denir. Kontrol hacmini sınırlaan üee kontrol üei denir enolds nakil teoremi Öellikler : Yoğun (intensif Yığın ( ekstensif Yoğun öellik : r B : Öellik b : bir noktadaki oğun öellik N N : eometrik nokta δ r : er vektörü δ : küresel hacim elemanının arıçapı δ : sürekli kabul edilecek küresel hacim elemanının en küçük arıçapı δ : hacim elemanının hacmi δ m : hacim elemanının kütlesi δ B b lim Α B, bv lim δ δ δ m δ δ δ δ Α t anında sistem sınırı t δt anında n t δt anında t anında kontrol üei : çık sistem kontrol üei sınırının hıı : Maddenin hıı : maddenin kontrol üeine göre hıı

54 t de kontrol üeinin içindeki kütlei sistem olarak ele alalım. Sistemin herhangi bir B öelliği gö önünde bulundurulsun. B : Sistemin t anındaki öelliği B : Sistemin t t δt anındaki öelliği B : çık sistemin t anındaki öelliği Bt δ t : çık sistemin t δt anındaki öelliği δ B g : δ t aman aralığında açık sisteme giren B öelliği δ B ç : δ t aman aralığında açık sistemden çıkan B öelliği B B t B B δ δ B δ B t t ç g n ( n : Kontrol üeine göre normal doğrultudaki bağıl hı δb b ( nδtd Ç ç δb δb δt b( nd Ç g B B t δ t t lim lim ( δt δt δt δt, δb b ( nδtd g g B B b nd δb δb b ( nd δt S δt d d bd bd b( nd dt dt S vea db d bd b ( nd dt dt S burada S sistemin kapladığı hacim (bölge açık sistemin kapladığı hacim (bölge denklemi elde edilir. kontrol hacmi v sabit ise dır. d dt t

55 db b d b ( n d dt t S Leibnit kuralı d b bd d b( n d dt t bu denklem d d bd bd b( nd dt dt denkleminde erine aılırsa S d b bd d b( n d dt t denklemi elde edilir. S db b d b ( n d dt t S enolds nakil teoremi Yığın öellik (ekstensif B Hacme göre Yoğun öellik Kütlee göre Yoğun öellik bv ρb b Kütle m ρ Hacim v Momentum m ρ çısal Momentum r m r ρ r Enerji E E ( / v kj m ρe e 8.7. Süreklilik denklemi enolds nakil teoreminde erine erleştirilirse B m, b ρ db d bd b ( nd dt S dt d ρd ρ( nd dt S dt d ρ ρd d ρ( n d dt t Leibnit kuralı ile birlikte aşağıdaki denkleme varılır. ρ d ρ( n d t ρd ρ( n d t Süreklilik denklemi elde edilir. Eğer ρ amandan bağımsı ise süreklilik denklemi ρ ( n d şekline indirgenir.

56 Problem Şekildeki T dirseğinde dirseğe cm arıçaplı borudan giren sıvının hıı m/ s olduğuna göre cm ve cm arıçaplı borulardan çıkış hıları olan ve ü hesaplaını. n n n ρ ( n d π,,9π m, π,,π m, π,,9π,π,4π 4 8,4π 4,π 4 9 m/ s,, 5 m/ s,4π m 8.7. Zamana göre değişmien (sabit rejim kütle akımı ( F dt db b d b ( n d dt S t denkleminde B m, b ρ alınırsa ( ( ρ F d ρ( n d dt t ( ρ F d ρ( n d t denklemi elde edilir. Zamana göre değişim olmadığına göre sağ taraftaki birinci terim sıfır olur. F ρ( n d Eğer ile giriş çıkış bölgelerinin alanları gösterilir ve bu bölgelerde ρ ve hıları sabit alınırsa debi Q ρ şeklinde aılır. F Q F Q F Q,, 4

57 Problem Bir angın hortumu ilk hıı ile su fışkırtıor. kımın enkesit alanı olduğuna göre Plağı hareketsi tutmak için gerekli P kuvvetinin şiddeti için bir ifade çıkarını. cm, m/ s için saısal değeri hesaplaını. P Çöüm: F ρ( n d ( ρ F Q P ( ρ 4 P, ρ kg / m, m 4 ( P, P 8 N. Problem Bir lüle, kesit alanı olan bir su akımını hıı ile fışkırtmaktadır. Su akımı sağa doğru sabit hıı ile hareket eden bir tek palet tarafından olundan saptırılmaktadır. Suun palet bounca sabit hıla hareket ettiğini kabul ederek a Paletin su akımına uguladığı F kuvvetinin bileşenlerini b Maksimum güç sağlaan hıını hesaplaını. θ 5

58 Çöüm : θ F F a F ρ( n d F Q, F Q F Q F ρ ( ( cos θ F Q ρ F ρ ( sin F ρ ( ( ρ ( ( cosθ F ( ( sinθ θ b üç F üç ρ( (cos θ d( üç dan maksimum güç için gerekli palet hıı bulunur. d (, ( üç ρ ( ( cos θ d( üç ρ ( 4 ( cos θ 4 d 4 ve maksimum güç için olmalıdır. 6

59 Problem km / saat hıla uçan bir jet uçağında hava sürtünmesinden doğan toplam direnç 6kN dır. Egost gaının uçağa göre bağıl hıının 6 m/ s olduğu bilindiğine göre, km / saat ata hıı korumak için motordan bir saniede geçmesi gereken havanın ağırlığını bulunu. bağ km / saat 6 m/ s km / saat Çöüm : F ρ( n d F Q km / saat, 77,78 m/ s 6 6 F Q 6 Qçıkış bağ Qgiriş, Qçıkış Qgiriş 6 Q ( Q 6 /(, Q 6 /(6 77, 78 Qgiriş giriş 49, 66 kg/ s bağ giriş bağ giriş Zamana göre değişen (değişken rejim kütle akımı ( ρ F d ρ( bağ n d t F ρ d ρ( bağ n d t Zamana göre değişen kütle akımının roket hareketlerine ugulanışı bağ bağ F ρ d ρ( bağ n d t denkleminde kontrol hacmi bounca hıın eşit ve cismin homojen olduğu kabul edilirse aşağıdaki eşitlik geçerli olur. 7

60 d ρd ( m t dt d F ( m ρ ( bağ n d dt d ( d m m dt dt dt Sistemden çıkış üei bounca hılar anı formda ise integral işlemi aşağıdaki gibi apılabilir. ρ ( bağ ( bağ n d ( bağ dt çıkış ( F d m ( bağ d m bağ dt dt dt dt dt Bu son denklemdeki bağ terimi dış kuvveti gibi farklı bir dt ivmelendirici kuvvet rolünü onamaktadır. Bundan dolaı bu terime roket için itici kuvvet denir. oketin itici kuvveti : F( i bağ dt oketin statik denenmesi bağ F ( i oket motorunun karakteristiği roket bir tabloa bağlanarak denenir. Bu denede roketin ivmesi sıfır olduğundan roketin tabloa uguladığı kuvvet F( i bağ dt olur. 8

61 Düşe ükselen roket mg bağ Bir roketin t anında erüünden ateşlendiğini ve düşe doğrultuda harekete başladığını kabul edelim. er çekimi ivmesi g nin değişimi ve hava direnci ihmal edildiğinde d d m bağ m mg bağ dt dt dt dt son denklemin her iki tarafı m ile bölünürse bağ d g d gdt bağ gt bağ ln m( t C dt m dt m C integral sabiti başlangıç koşullarında bulunur. t da m( m, Buradaki başlangıçtaki m kütlesi roketin boş kütlesi ile akıt kütlesinin toplamını göstermektedir. t da g bağ lnm C C bağ ln m bu değer erine konursa m gt bağ ln m( t bağ ln m gt bağ ln mt ( bağıntısı elde edilir. oketin kütlesi m, akıtın kütlesi en büük hı m m m gt ma gt bağ ln( m ma ln bağ m m ise anma sonunda elde edilen şeklinde bulunur. Burada t anma amanını gösterir ve genellikle oldukça küçüktür. oketin büük hılara ulaşabilmesi için gaların rokete göre hıı olan bağ çok büük değerler almasa m m olmalıdır. 9

62 Bir saısal örnek olarak bir roketi geegenler arası bir olculuğa ollamak için m,8 km/ s kaçış hıına ulaşmak istersek anmanın uun olmadığı m kabulü ile bağ m/ s çıkış hıı için 67 bulunur. Buna göre kg m kütleli malemei uaa çıkarmak için 67 kg akıta ihtiaç vardır. Problem Bir dene roketi kg kütleli bir gövde ve 8 kg miktarında akıttan medana gelmiştir. Yakıt 4 kg / s hıı ile tüketilior ve 5 m/ s bağıl hıı ile dışarı atılıor. Düşe olarak ateşlenen roketin kaanacağı maksimum hıı hesaplaını. Hava sürtünmesinin etkisini ihmal edini. ( 8g Çöüm: bağ 5 m/ s m ma gt bağ ln( m 8 t, t 45s 4 8 ma 9, ln( ma,4 m/ s ma 845 km / saat 4

63 8.8 ijid cismin hareketinde impuls ve momentum ilkesi r / o r Cismin toplam momentumu L Kütle merkeinin formülü O O şeklinde olduğundan bu denklemin her iki tarafının amana göre türevi alınırsa m elde edilir. L lineer momentum denkleminin sağ tarafındaki integral erine m aılırsa rijid cismin hareketindeki L m lineer momentum denklemi elde edilir. Bir diferansiel kütlenin lineer momentum vektörü sağdan r vektörü ile vektörel olarak çarpılırsa anı diferansiel kütlenin açısal momentum vektörü elde edilir. Tüm kütlenin açısal momentumu diferansiel kütlelerin açısal momentumlarının integrali ile elde edilir. 4

64 H r O Burada r r r / / H ( r r ( O / / H [ r ( ] [( r ] [( r ] O / / / / H ( r ( r [( r ] ( r O / / / / kütle merkeinin er vektöründen dolaı r / ve / dır. Bu durumda açısal momentum H ( r ( r O / / denklemine indirgenir. Burada sağ taraftaki birinci integral aşağıdaki gibi vea r ( r m i j k r m m m m Z r m m( i m( j m ( k şeklinde aılabilir. İkinci integral için hesaplanacak olan / r / denkleminde diferansiel kütlenin tüm cismin kütle merkeine göre er vektörünü ve cismin açısal hı vektörünü karteen koordinatlarda aarak aşağıdaki işlemler apılabilir. r / i j k i j k i j k r / / 4

65 / ( i ( j ( k i j k r / / r/ / i j k ( ( (, (, ( ( eşitlikleri kütle merkeinden geçen, ve eksenlerine paralel olan eksenlere göre atalet momentlerini,, eşitlikleri ise çarpım atalet momentlerini gösterdiğine göre r integrali / / r / / ( i ( j ( k formunda aılır. Bu denklemle birlikte açısal momentum denklemi aşağıdaki formda aılabilir. HO [ m( ( ] [ ( ( ] i m j [ m ( ( ] k Eğer kütle merkeinden geçen eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi O şekline gelir. H [ m( ] i [ m( ] j [ m ( ] k Sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde de bener işlemler apılırsa bu sabit noktaa göre açısal momentum HO ( i ( j ( k denklemi elde edilir. Burada,,,,, sabit noktadan geçen eksen takımına göre atalet momentleridir.eğer eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi HO i j k denklemine indirgenir. 4

66 enel dülemsel harekette açısal momentum H [ m( ] i [ m( ] j [ m ( ] k O şekline indirgenir. enel dülemsel harekette kütle merkeinden geçen eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi H m( i m ( j [ m ( ] k O şeklinde aılabilir. Sabit bir Δ ekseni etrafında dönme hareketinde bu eksene göre açısal momentum ifadesi H Δ Δ Δ skaler denklemine indirgenir. Burada momentidir. Δ rijid cismin Δ eksenine göre atalet Problem 8.8. Şekildeki sistemde kg kütleli dişli çarkının atalet arıçapı 8 mm dir. kg kütleli B dişli çarkının atalet arıçapı ise mm dir. dişli çarkına M 6 Nm şiddetinde bir moment ugulandığında sistem hareketsidir. Sürtünmeleri ihmal ederek. a dişli çarkının açısal hıının 6 dev/dak ulaşması için geçen amanı b dişli çarkının B dişli çarkına uguladığı teğetsel kuvveti bulunu. B 5mm M 6 Nm B mm 44

67 Çöüm: B 5mm M 6 Nm B mm dişli çarkı için impuls momentum ilkesi ( impuls ve momentumun e göre momenti: M 6 Nm mm F T ( H mp ( H ( H (, ( H ( (.8,,9 kg. m (, ( 6 π/ 6, ( 6,8 / rad s H mp M t FT H mp H M t F t,64 Nm. s ( H, ( H,9( kg. m 6,8 ( rad / s, (,64. ( ( 6 t F t,, 64 Nm. s T T Nm s 45

68 B dişli çarkı için impuls momentum ilkesi (impuls ve momentumun B e göre momenti: F T B 5mm B ( HB mp ( H B ( HB B ( B, ( HB B ( B B (., B, 4. kg m, ( B 6 π / 6, ( 5, / 5 H, 4 kg. m 5, rad/ s ( H B, ( HB B ( B, ( B ( H B,5 Nm. s mp FT t B, mp FT t, 5 H mp H F ( N t( s,5( m,5 Nm. s ( B ( B F t 4, N. s T T 6 t F t,, 64 Nm. s 6 t 4,,,64 t,87 s T F t 4, N. s F,87 4, F 46,7 N T T T B rad s 46

69 BÖLÜM 9 D LMBET İLKESİ 9. D lambert ilkesi Bir maddesel sistemin hareketinden dolaı bir t anında medana gelen atalet kuvvetleri aktif dış kuvvetlerle birlikte gö önüne alınırsa sistem bütün bu kuvvetlerin etkisi altında t anındaki konumunda dengede ( dinamik denge bulunur. Newton un ikinci hareket asası F ma denklemi D lambert ilkesinde F ma şeklinde aılır. D alambert ilkesi ile Kinetik problemleri statik problemlerine dönüştürülmüş olur. 9. Lagrange tarında D lambert ilkesi Bir maddesel sistemin herhangi bir virtüel er değiştirmesinde sisteme etki eden aktif kuvvetlerin ve sistemin atalet kuvvetlerinin virtüel işlerinin toplamı sıfır vea sıfırdan küçüktür. (Bağlar çift taraflı ise sıfırdır. m m a i m i F i o n ( δτ Fi miai δ ri i Bağlar çift taraflı ise (Holonom sistemler: n ( δτ Fi miai δ ri i 47

70 Problem 9.. Şekildeki sistemde cisminin ivmesini verilen konum için bulunu. α C m C g B δθ B α D δθ C a C C α C B α B B D m C a C C C δθ D D f N D α D m g m a α B δ E m E g m E a E δ a E a Bu sisteme bağlara ugun bir δ virtüel erdeğiştirmesi verilirse ve E cisminin ağırlığı ile atalet kuvvetleri iş apar. δτ m g δ m g δ m a δ α δθ m a δ α δθ α δθ m a δ E E B B B C C C C C C D D D E E E δ δθ B, B δ δ C, δ δθ C, C δ δθ D, D δ δ E a a a a a α B, a C, α C, α D, a E B C D B mb B, C mcc, D mdd δ a δ a δ a δ δτ mg δ meg maδ mbb mc mcc a δ a δ m D D me D D B B C C mg megma mba mca mca mda mea a (m mb mc md m E mg meg mg meg 8mg 4mEg a, a 8m 4m m m m m mb mc md me B C D E 48

71 EFENSL -ector Mechanics for Engineers Dnamics Second S Metric Edition Ferdinant P. Beer, E. ussell Johnston Türkçesi Mühendisler için mekanik Cilt, Dinamik Çevirenler: Proff. S. S. Tameroğlu, Doç T. Öbek -Engineering Mechanics Dnamics.C. Hibbeler Türkçesi Metrik Baskı Mühendislik Mekaniği Dinamik Çevirenler: şe Souçok- Ögün Souçok -Mühendislik Mekaniği ijid Cisimler Dinamiği Erdoğan S. Şuhubi İstanbul Teknik Üniversitesi Fen-Edebiat Fakültesi,