Taylor Serisi ve Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Yükbağımlı Memindüktör Histeresiz Eğrisinin Açıklanması

Transkript

1 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK3, 6-8 Eylül 3, Malatya Taylor Serisi Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Yükbağımlı Memindüktör Histeresiz Eğrisinin Açıklanması Süleyman Abdullah Aytekin, Reşat Mutlu Biyomedikal Mühendisliği Bölümü Namik Kemal Ünirsitesi, Tekirdağ Elektronik Haberleşme Mühendisliği Bölümü Namik Kemal Ünirsitesi, Tekirdağ Özetçe Memindüktör (Hafızalı-indüktör) belleğe sahip iki uçlu doğrusal olmayan bir devre elemanıdır. AC akım ya gerilim etkisi altında bir sıfırdan geçen akım-akı histerezis eğrisi vardır. Memindüktör histerezis eğrisi, bu alanda çalışmak isteyen mühendislik öğrencileri ya da mühendisler için kolay anlaşılır bir şekilde öğretilmelidir. Bu çalışmada, Taylor seileri parametrik fonksiyonlar kullanarak yük-bağımlı memindüktör histerezis eğrisinin açıklaması kapsamlı bir şekilde rilmiştir.. Giriş 97 de Dr. Chua memristör adlı bir temel devre elemanı bulunması gerektiğini iddia etmiştir, 976 da Chua Kang memristörlerin oluşuna benzer özellikte memristif sistemler olduğunu bu sistemlerin sıfırgeçiş akım-gerilim histerezis eğrisine sahip olduğunu iddia etmiştir [-]. 8 de HP araştırmacıları kayıp devre elemanını bulduklarını açıklamışlardır [3]. [4] te memristör uygulamaları üzerine bir inceleme makalesi bulunabilir. 9 yılında, Ventra, Pershin Chua Bellekli Devre Elemanları adlı bir makale kaleme almış memristörlere memristif sistemlere benzer olarak memindüktör memkapasitör olarak adlandırılan hafızaya sahip kapasitör indüktörlerin olması gerektiğini ortaya attılar [5]. Memindüktör terminal denklemi akım-akı histerezis eğrisi onlar tarafından rilmiştir [5]. Memristörün devre elemanı olarak gerçekleştirilmesi 37 yıl almıştır. Memindüktör henüz gerçekleştirilmedi bunu gerçekleştirmek biraz daha zaman alabilir [,3]. Ancak memindüktör henüz mevcut olmasa da, memindüktörün simülasyonu, modellenmesi kaotik devre uygulamaları üzerinde bazı araştırmalar yapılmıştır [6- ]. [3] te, Taylor serisi parametrik fonksiyonları kullanılarak bir memristörün histeriz eğrisinin çizimi açıklaması yapılmıştır. [4] te de memkapasitör histerezis eğrisinin çizimi izahı için aynı metod kullanılmıştır. AC uyarı altında, memindüktör akıakım eğrisi sıfır-geçiş histerezis eğrisine sahiptir [5]. Bildiğimiz kadarıyla, literatürde memindüktör histerezis eğrisinin çizimi izahı için hiçbir metod yoktur. Böyle bir metod, bu devre elemanı öğretimi için yararlı olacaktır. [3-4] te kullanılan metod memindüktör için de kolayca uygulanabilir bu metod bu çalışmada memindüktörün küçük sinyal histerezis eğrisinin izahında kullanılacaktır.bu yazı takip eden şekilde düzenlenmiştir. İkinci bölümde, bir meminduktif sistemin genel tanımı rilmiş yükbağımlı memindüktör tanıtılmıştır [5]. Üçüncü bölümde, Taylor serisi açılımı kullanılarak memindüktör histerezis eğrisi incelenmiş, açıklanmış çizilmiştir. Dördüncü bölümde, memindüktörün frekans davranışı açıklanmaktadır. Gerilim-akım ilişkisi ayrıca çizilerek gösterilmiştir. Sonuç bölümüyle çalışma tamamlanmıştır.. Memindüktif Sistemler Akı-bağımlı Memindüktör Sistemler ya Memindüktörler Ventra arkadaşları n. dereceden akım bağımlı memindüktif sistemi şu şekilde tanımladı; () t () t zamanındaki indüktör akısını, I(t) indüktör akımını, x n inci dereceden dahili durum değişkenleri ktörünü L de sistem durum değişkenlerine akımına bağlı memindüktansı temsil etmektedir. Bir memindüktif sistem için bilinen yaygın bir örnek olarak, mekanik rölelerde bulunan konum bağımlı indüktörler rilebilir. Ayrıca, memindüktif sistemlerin bir alt sınıfı olarak, akım-kontrollü, sırf memindüktör yükünün (devreden geçen yükün) bir fonksiyonu olan memindüktansa sahip sistemler memindüktörler olarak tanımlanmış adlandırılmışlardır. Denk. () () memindüktör için yazılırsa, (3) ya 75

2 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK3, 6-8 Eylül 3, Malatya (4) Elde edilir. Burada q(t) memindüktörün yükü yani zamana bağlı memindüktör akımının integralidir, I(t) memindüktör akımıdır L(q) yük-bağımlı memindüktör memindüktansıdır. Memindüktör sembolü Şekil de gösterilmiştir Şekil de Ventra arkadaşları tarafından rilen simülasyon ile elde edilen onun sıkışmış akı-akım histerezis eğrisi gösterilmiştir[5]. Şekil : Memindüktor Sembol. L( qo) ( q - qo ) L( q) L( qo) (6) q! şeklinde yazılabilir. Denk. (6) da L K q, (7) L =L(q )-K q olarak adlandırırılırsa memindüktör memindüktansı HP memristör memristansına benzer olarak lineer fonksiyon olarak yazılabilir. Böylece memindüktans (8) olarak ifade edilebilir. Histerezis eğrisi elde etmek için (9) sinusoidal akımı memindüktöre uygulanırsa, memindüktör yükü Olur. q, memindüktör ortalama yükü () () olarak hesaplanabilir. q(t) I(t) Denk. (4) te yerine konarak, memindüktör akısı Şekil : Memindüktörün Sıkışmış Akım-akı Histerezis Eğrisi. 3. Taylor Serisi Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Memindüktörün Sıkışmış Histerezis Eğrisinin İzahı Yük-bağımlı Memindüktör Histerezis Eğrisinin Çizimi Önceden belirtildiği gibi memindüktörün çimdiklenmiş histerezis eğrisinin çizimi için bir metod gereknektedir. Memindüktans fonksiyonu kapalı bir fonksiyondur anlaşılması zordur. Memindüktör yükünün (devreden geçen yükün) bir fonksiyonu olduğundan, memindüktör memindüktansı yüke bağlı olarak Taylor serisine açılabilir: k k L ( qo) ( q - qo ) L( q ) L( qo ) (5) q k! k olarak bulunur. Elektrik açısı memindüktör akım akısı olarak yazılabilir. Burada t () (3) belirlenerek, (4) (5) olarak rilmiştir. Memindüktöre küçük sinyal uygulandığı varsayılırsa, ikinci ya daha yüksek mertebeden terimler ihmal edilebilir memindüktans yaklaşık olarak Denk. (4) (5) parametresine bağlı parametrik denklemlerdir. Denk. (4) (5) e dikkatli bakıldığında da her iki parametrede sıfırdır. Bu orijinden 76

3 meminductor flux Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK3, 6-8 Eylül 3, Malatya geçen akım-akı histerezis eğrisi olarak kolayca yorumlanabilir. Memindüktör akısı akımının elektrik açısına göre periyodu radyandır. Ayrıca bu fonksiyonlar tek fonksiyonlardır eğri orijine göre simetriktir. Bu nedenle eğri [, ] aralığında çizilebilir bu fonksiyonların tanımladığı eğri (histerezis eğrisi) orijine göre simetrisi alınıp eğrinin tamamı elde edilmiş olur. Çizimler için Matlab paket programı kullanılmıştır. Eğer elektrik açısına, ya göre memindüktör akı akımının parametrik fonksiyonlarının türevleri alınırsa, Tablo : Parametrik Fonksiyonların [, ] Aralığındaki Spesifik Değerleri. (6) (7) elde edilir. Histerezis eğrisinin eğimi (8) olarak bulunur. Eğrinin eğiminin sıfır olduğu noktalar ekstremum noktalardır. Ekstremum noktaları denk.(8) in sıfıra eşit ya tanımsız olduğu noktalarda bulunmaktadır. (9) cos cos yarım açı formülünü kullanılırsa Denk. (8) sıfır yapılırsa Denk. (9), Denk. (8) de yerine konursa; () denklemi elde edilir. Bu denklemin iki kökü mevcuttur bu kökler C C 8, () 8D 4 D C C 8, 8D 4 D () değerlerine eşittir. Bu değerler ayrıca eğimin tanımsız olduğu + / - / asimptot değerleri kullanılarak histerezis eğrisi çizdirilebilir. Histerezis eğrisinin çizimi için gerekli parametrik fonksiyonlarının [, ] aralığındaki spesifik değerleri Tablo de rilmiştir. Bu değerler kullanılarak (4) (5) parametrik eşitiliğinin histerezis eğrisi tek bir alternans için çizdirilir orijine göre simetriği alınır, Şekil 3 de gösterildiği gibi tam bir periyot için histerezis eğrisi elde edilir. I m =.5 A, C=.8 D=.4 değerleri için memindüktör histerezis eğrisi çizilmiş Şekil 4 de gösterilmiştir. Şekil 3: Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Memindüktör Histerezis Eğrisi Şekil 4: Memindüktör Histerezis Eğrisi (I m =.5 A, C=.8 D=.4). 4. Memindüktör Frekans Cevabı Kullanılan metod ile frekans etkisini araştırmak mümkündür. Denk.(3) kullanılırsa, memindüktör akısı (3) olarak yazılabilir. Eğer elektrik açısal hız( ) ya elektrik frekansı çok fazla artırılırsa Denk. (3) şu şekle dönüşür; 77

4 meminductor flux Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK3, 6-8 Eylül 3, Malatya. (4) Bu doğrusal zamanla değişmeyen indüktör şebeke denklemidir. Denk. (4) frekans çok arttığında memindüktörün doğrusal zamanla değişmeyen indüktör gibi davranmaya başladığını gösterir. Şekil 5 de gösterildiği gibi frekansın artması ile memindüktör histerezis eğrisi daralmaktadır.yüksek frekanslardaki memindüktör histerezis eğrisi ile doğrusal zamanla değişmeyen (DZD) L(q ) indüktans değerine sahip eğri aynı besleme için birbirinin aynıdır Şekil 6: Memindüktör Akımı ile Memindüktör Gerilimi (C=.75, D=-., I m =.3 A ω= rad/s) Şekil 5: Farklı Frekanslarda Memindüktör Akı-akım Eğrileri. Memindüktör akım-gerilim eğrisini görmek için, memindüktör gerilimi denk. (4) de rilen memindüktör akısının zamana göre türevi alınarak hesaplanır; Şekil 7: Memindüktör Akımı ile Memindüktör Gerilimi (C=.75, D=-., I m =.3 A ω=5 rad/s)., (5).3 L Kq cos( t) KI cos( t) v. O O m (6) v C cos( ) D cos( ). (7).. -. Denk. (9) (7) kullanılarak, AC uyarı altında Şekil 6 da gösterildiği gibi simüle edilmiştir. Doğrusal zamanla değişmeyen indüktör geriliminden farklı olduğu görülmüştür. DZD indüktörlerde eğri elips şeklindedir. Ancak, memindüktör gerilim kaynağının frekansı arttırıldığında akım-gerilim eğrisi Şekil 7 8 de gösterildiği gibi elips şeklini almıştır. Bunun sebebi frekans arttırılırken fundamental gerilimin artması ikinci harmonik geriliminin ise aynı kalmasıdır Şekil 8: Memindüktör Akımı ile Memindüktör Gerilimi (C=6, D=-.5, I m =.3 A ω=5 rad/s). 78

5 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK3, 6-8 Eylül 3, Malatya 5. Sonuç Taylor serisi parametric fonksiyonlar kullanarak küçük sinyal için memindüktör histerezis eğrisi kolayca izah edildi. Akı-akım histerezis eğrisinin sıfırgeçiş özelliği görüldü. Ayrıca bu metod ile yükbağımlı memindüktör frekans davranışı da açıklanabilir. Yüksek frekanslarda, daralan histerezis eğrisi memindüktörün doğrusal indüktörden bir farkı olmadığını gösterir. Parametrik memindüktör histerezis eğrisi [5] te rilenle tamamen benzerdir. Ayrıca, memindüktörün akım-gerilim eğrisi çizilmiş DZD indüktörden farklı olduğu görülmüştür. Ayrıca frekans arttırıldığında akım-gerilim eğrisi DZD indüktörde olduğu gibi elipse dönüşmüştür. Memristör, memkapasitif memindüktör gibi hafızaya sahip devre elemanları bugünün öğrencilerine yarının mühendislerine diğer devre elemanlarının öğretildiği kadar öğretilmelidir. Bunların etkili kolay bir şekilde öğretilmesi için yeni metodlar gereklidir. Bu çalışmada memindüktör histerezis eğrisi öğretilmesi amacıyla bu metod rilmiştir. Kaynakça [] L. O. Chua, Memristor - The Missing Circuit Element, IEEE Trans. Circuit Theory, vol. 8, pp , 97. [] L. O. Chua S. M. Kang, Memristi devices and systems, Proc.IEEE, vol. 64, pp. 9-3, 976. [3] D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart, R. S. Williams, The missing memristor found, Nature (London), vol. 453, pp. 8-83, 8. [4] Kahei, Omid, et al., "The fourth element: characteristics, modelling and electromagnetic theory of the memristor." Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science 466. (): 75-. [5] M. Di Ventra,Yu. V. Pershin L. O. Chua, Circuit Elements With Memory: Memristors, memcapacitors and meminductors, Proc. IEEE, vol. 97, pp , 9. [6] Dalibor Biolek, Zdenek Biolek, and Viera Biolkova. "SPICE modeling of memristi, memcapacitati and meminducti systems." European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD 9), IEEE, 9. [7] Yu. V. Pershin, M. Di Ventra, Memristi circuits simulate memcapacitors and meminductors, Electronicsletters, vol. 46, pp ,. [8] Biolek, Dalibor, Viera Biolková, and Zdeněk Kolka, "Mutators simulating memcapacitors and meminductors." Asia Pacific Conference on Circuits and Systems (APCCAS), IEEE,. [9] Z. Hu, Y. Li, L. Jia, J. Yu, Chaos in a charge-controlled memcapacitor circuit, International Conference on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), Chengdu, pp , IEEE,. [] Z. Biolek, D. Biolek V. Biolková, "PSPICE modeling of meminductor," Analog Integrated Circuits and Signal Processing, 66., pp. 9-37,. [] D. Biolek, V. Biolková Z. Kolka, "SPICE modeling of meminductor based on its constituti relation," Proceedings of the th international conference on instrumentation, measurement, circuits and systems (IMCAS ),. [] Z. Hu, Y. Li, L. Jia, J. Yu, "Chaotic oscillator based on current-controlled meminductor," International Conference on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), IEEE,. [3] R. Mutlu, Taylor Serisi Kutupsal Fonksiyonlar Kullanarak Memristorün (Hafızalı Direncin) Histeresis Eğrisinin Açıklanması, 3. Ileri Muhendislik Teknolojileri Sempozyumu, 9-3 Mayis, Cankaya Unirsitesi, Ankara. [4] E. Karakulak R. Mutlu, Explanation of Hysteresis Cur of a Fluxdependent Memcapacitor (Memory-capacitor) Using Taylor Series and Parametric Functions", 6th International Advanced Technologies Symposium (IATS ), 6-8 May, Elazığ, Turkey. 79