ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALARI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALARI Demet TÜRECİ FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER ve UYGULAMALARI Demet TÜRECİ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Ç. GÜLEÇYÜZ Bu tezde, nötron transport denkleminin çözümünde kullanılan Case yöntemi, C N yöntemi, Singüler özfonksiyonlar yöntemi, P L yöntemi, F N yöntemi ile H N yöntemi (Modifiye F N ) incelenmiştir. Bu yöntemlerden Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile kuadratik anizotropik saçılma için yarı uzay albedo problemi, P L yöntemi ile kuadratik anizotropik saçılma için c = durumunda Milne problemi, H N yöntemi ile kuadratik anizotropik ve triplet anizotropik saçılmalar için sabit kaynak albedo problemi, izotropik, lineer anizotropik ve kuadratik anizotropik saçılmalar için slab albedo problemi, lineer anizotropik ve kuadratik anizotropik saçılmalar için milne problemi ve izotropik, lineer anizotropik ile kuadratik anizotropik saçılmalar için kritiklik problemleri incelenmiştir. Analitik çalışmalar sonrasında problemlere uygun bilgisayar programları geliştirilerek sayısal değerler hesaplanmıştır. Genel olarak bu yöntemler, yöntemlerin yakınsaklıkları ve anizotropik saçılmaların ilgili fiziksel problemlere olan etkisi incelenmiştir. Şubat, 7 sayfa Anahtar Kelimeler: Nötron Transport Denklemi, Case Yöntemi, Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi, H N Yöntemi, P L yöntemi, İzotropik Saçılma, Anizotropik Saçılma, Kritiklik Problemi, Albedo Problemi, Milne Problemi. i

3 ABSTRACT Ph. D. Thesis THE SEMI-ANALITYCAL METHODS FOR THE NEUTRON TRANSPORT EQUATION AND ITS APPLICATIONS Demet TÜRECİ Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Supervisor: Assist. Prof. Dr. Mustafa Ç. GÜLEÇYÜZ In this thesis, the methods of Case, C N, Singular eigenfunction, P L, F N and H N (Modified F N method) which are used in solving the neutron transport equation have been studied. Here the half space albedo problem for quadratic anisotropic scattering with singular eigenfunction method, the Milne s problem for quadratic anisotropic scattering in case c = with P L method, the constant source albedo problem for quadratic anisotropic and triplet scattering, the slab albedo problem for isotropic, linear anisotropic and quadratic anisotropic scattering, the Milne s problem for linear anisotropic and quadratic anisotropic scattering and the criticality problem for isotropic, linear anisotropic and quadratic anisotropic scattering with H N method have been solved. The numerical calculations corresponding to the analytical results were performed writing some computer programs. Generally the methods, their convergences and the effects of the anisotropic scatterings on the physical problems were examined. February, 7 pages Key Words: Neutron Transport Equation, Case s Method, the Singular Eigenfunctions method, H N method, P L method, the Isotropic Scattering, the Anisotropic Scattering, the Criticality Problem, the Albedo Problem, the Milne Problem. ii

4 TEŞEKKÜR Çalışmalarımda manevi ve teknik alanda desteğini esirgemeyen, bireysel gelişimime katkıda bulunan danışman hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Mustafa Çetin GÜLEÇYÜZ e (Ankara Üniversitesi Fizik ABD), tez izleme komiteleri sırasında bilgilerini cömertçe paylaşan sayın Prof. Dr. Ayşe KAŞKAŞ a (Ankara Üniversitesi Fizik ABD), tezin her aşamasında madden ve manen her zaman yanımda olan, öğreten, sabreden ve beni yüreklendiren sevgili eşim R. Gökhan TÜRECİ ye ve biricik aileme tüm kalbimle teşekkür ediyorum. Demet Türeci Ankara, Şubat iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR...iv SİMGELER DİZİNİ...v ŞEKİLLER DİZİNİ...vi ÇİZELGELER DİZİNİ...vii. GİRİŞ.... TRANSPORT DENKLEM...4. Tanımlar...4. Nötron Transport Denkleminin Türetilmesi Transport Denkleminin Çözümü ve Kullanılan Yaklaşımlar CASE YÖNTEMİ Özdeğer ve Özfonksiyonların Belirlenmesi Sonsuz Ortam Green Fonksiyonu Placzek Lemması TRANSPORT DENKLEMİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER C N Yöntemi Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi ile Yarı-Uzay Albedo Probleminin İncelenmesi P L Yöntemi P L Yöntemi ile Kuadratik Anizotropik Saçılma için Milne Problemi F N Yöntemi H N Yöntemi (Modifiye F N Yöntemi) Sabit Kaynak Abedo Probemi Slab Albedo Problemi Milne Problemi Kritiklik Problemi TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR EKLER.. 99 iv

6 EK Mathematica 5. paket programında, Modifiye F N yöntemi ile kuadratik saçılma için extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program... EK Mathematica 5. paket programında, P L yöntemi ile kuadratik saçılma için extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program. EK 3 Mathematica 5. paket programında, H N yöntemi ile lineer anizotropik saçılma için sabit kaynak albedo değerini hesaplayan program...3 EK 4 Mathematica 5. paket programında, Modifiye F N yöntemi ile lineer anizotropik saçılma için slab albedo probleminde yansıma ve geçiş katsayılarını hesaplayan program 5 ÖZGEÇMİŞ v

7 ( r, υ,t) Ψ rr r υ t SİMGELER DİZİNİ Nötron açısal yoğunluğu Nötron hız vektörü Zaman değişkeni r Ω ur Ω uur = r r Üç boyutlu uzayda konum değişkeni Nötronların ilerleme doğrultusu Nötronların saçılma doğrultusu µ = cosθ Düzlem geometride nötronların ilerleme doğrultusu µ = cosθ Düzlem geometride nötronların saçılma doğrultusu r ρ r, υ,t Nötron yoğunluğu rrr jr,,t ( υ ) r r J,, ( r υ t) r r J, ( rt) rr l r υ (, ) rr c r υ (, ) rr σ ( r, υ ) Açısal akım Toplam açısal akım Toplam akım Ortalama serbest yol İkincil nötron sayısı. Makroskobik tesir kesiti i N r r r r noktasında, i türündeki çekirdek sayısı ( υ ) i Σ r i türündeki çekirdeklerin toplam mikroskobik tesir kesiti ( r, υ, t) Ψ rr f uurur r ( ΩΩ., r, υ ) f ( µ, µ ) uurur P l ( ΩΩ. ) r r konumunda, v r hızına sahip nötronların t anındaki sayısı Ω ur doğrultusunda ilerleyen nötronların Ω uur saçılma olasılığını tanımlayan saçılma fonksiyonu doğrultusunda Düzlem geometride nötronların saçılma olasılığını tanımlayan saçılma fonksiyonu Legendre polinomu vi

8 ( x, µ ) Ψ Düzlem geometride x noktası ve µ doğrultusundaki nötron q( x, µ ) sayısı x konumunda bulunan kaynak terimi c v ( µ ), Tek hızlı yaklaşımda ikincil nötron sayısı Kesikli özdeğerler Sürekli özdeğerler Φ ± Kesikli özfonksiyonlar (, µ ) Φ Sürekli özfonksiyon P Cauchy prensip değer sembolü δ ( µ ) Dirac delta sembolü λ ( ) Sürekli özdeğerlerin dağılım fonksiyonu Λ ( ) Kesikli özdeğerlerin dağılım fonksiyonu A ( ) A( ) ± Genel çözümde yer alan keyfi katsayılar, A α ξ, ξ =, Sayısal analizde kullanılan ara fonksiyonlar B α ξ, ξ =, Sayısal analizde kullanılan ara fonksiyonlar N ( ) Kesikli özdeğerlerin diklik tanımına ait fonksiyon N ( ) f n ( ; ) Sürekli özdeğerlerin diklik tanımına ait fonksiyon Saçılma katsayısı G x x µ µ x noktasında bulunan kaynak tarafından, µ doğrultusunda yayınlanan nötronların, x noktasındaki ve µ doğrultusundaki H( x ) + ( µ ) ( µ ) akısı Basamak fonksiyonu C N yönteminde ortama giren akı C N yönteminde ortamdan çıkan akı κ Kuvvet serisi mertebesi a κ Kuvvet serisi açılımının katsayısı Q µ. tip Legendre polinomları L z Extrapolasyon uzaklığı vii

9 S ( a, µ ) Sabit kaynak terimi Ψ x=a yüzeyinden çıkan akı ( a, µ ) Ψ x=a yüzeyinden giren akı ( a, µ ) Ψ x=-a yüzeyinden çıkan akı ( a, µ ) Ψ a=-a yüzeyinden giren akı Ψ (, µ ) x= yüzeyinden giren akı Ψ(, µ ) x= yüzeyinden çıkan akı * A * B β τ a Abedo katsayısı Geçiş katsayısı Albedo Slab ortamın yarı kalınlığı Kritik yarı kalınlık viii

10 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. dv hacim elemanı ve dω ur katı açı Şekil. Boyu r υdt ve taban alanı da ds olan silindir içinden geçen nötronlar.6 Şekil.3 Saçılmadan önce ve sonra nötronun hareket doğrultusu... 8 Şekil 3. c < için kökler...8 Şekil 3. c > için kökler..9 Şekil 3.3 Bir yarı-uzay ve bir slab ortam için sonlu ortamın, sonsuz hale dönüştürülmesi.35 Şekil 4. Albedonun hesaplanacağı yarı bölgeden oluşan ortam... 4 Şekil 4. Kuadratik saçılma için yarı-uzay albedo değerleri Şekil 4.3 Sonsuzdaki kaynağın ve yarı-uzay ortamın temsili gösterimi. 57 Şekil 4.4 Extrapolasyon uzaklığının gösterimi Şekil 4.5 x [ τ, τ ] aralığında tanımlı ortam....7 Şekil 4.6 Kuadratik anizotropik saçılma için albedo ve geçiş katsayısının c =.8 için saçılma açısına göre değişimi.79 Şekil 4.7 Çeşitli saçılmalar için extrapolasyon uzaklıklarının ikincil nötron sayısı göre değişimi..8 Şekil 4.8 Farklı ikincil nötron sayıları için extrapolasyon uzaklıklarının saçılma katsayısına göre değişimi 84 Şekil 4.9 Reaktör kalınlığı ix

11 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3. İzotropik saçılma için kesikli özdeğerler. 6 Çizelge 3. Lineer anizotropik saçılma için c < değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler Çizelge 3.3 Lineer anizotropik saçılma için c > değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler Çizelge 3.4 Kuadratik anizotropik saçılma için c < değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler..8 Çizelge 3.5 Kuadratik anizotropik saçılma için c > değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler..9 Çizelge 3.6 Triplet anizotropik saçılma için c değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler..3 Çizelge 4. Kuadratik anizotropik saçılma için γ = durumunda yarı-uzay albedo değerleri....5 Çizelge 4. P L yöntemiyle kuadratik anizotropik saçılma durumu için bulunan Milne değerleri 6 Çizelge 4.3 c =.8 ve S = için kuadratik anizotropik saçılmalı sabit kaynak albedo değerleri.7 Çizelge 4.4 c =.8 ve S = için triplet saçılmalı sabit kaynak albedo değerleri Çizelge 4.5 c=.8 için izotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayıları Çizelge 4.6 c=.8 için lineer anizotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayıları.77 Çizelge 4.7 c =.8 için kuadratik anizotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayısı değerleri...78 Çizelge 4.8 f =. için lineer anizotropik saçılma durumunda extrapolasyon uzaklıkları....8 Çizelge 4.9 f =. için kuadratik anizotropik saçılma durumunda extrapolasyon uzaklıkları....8 Çizelge 4. Kuadratik anizotropik saçılma için Milne değerleri.. 83 Çizelge 4. İzotropik saçılma için bilinen ikincil nötron sayılarına karşı gelen kritik kalınlık değerleri x

12 Çizelge 4. c =. ve f =.5 için C N yönteminden elde edilen sonuçlar..89 Çizelge 4.3 H N yöntemiyle çeşitli ikincil nötron sayıları ve saçılma katsayıları için hesaplanmış olan kritik kalınlık değerleri... 9 Çizelge 4.4 Kuadratik anizotropik saçılma için çeşitli ikincil nötron sayılarına karşı gelen Kritik kalınlık değerleri....9 Çizelge 4.5 Farklı yöntemler ile hesaplanmış kritik kalınlık değerleri.9 xi

13 . GİRİŞ Artan nüfus ve buna bağlı olarak enerji ihtiyacı ile birlikte, var olan enerji kaynaklarının zaman içerisinde tükenecek olması (fosil yakıtlar gibi), insanlığı çeşitli enerji kaynaklarını üretmeye zorlamıştır. Bu ihtiyaca yönelik, ticari olarak 95 li yıllarda çalıştırılmaya başlanan nükleer reaktörlerin ve günümüzde sıkça sözü edilen yenilenebilir enerji kaynaklarının kullanımı her gün daha fazla önem kazanmaktadır. Nükleer enerji, atom çekirdeğinden elde edilen bir enerji türü olup, hafif radyoaktif atomların birleşerek daha ağır atomları oluşturması yani füzyon ya da Uranyum, Plutonyum gibi ağır radyoaktif atomların nötronlarla çarpıştırılması ile daha küçük atomlara bölünmesi yani fisyon şeklinde olabilir. Güneşte görülen füzyon tepkimesinden açığa çıkan enerji çok daha büyük olmasına rağmen, henüz dünya üzerinde verimli bir şekilde füzyon enerjisinden faydalanabilme olanağı elde edilememiştir. Günümüzde, fisyon tepkimelerinin gerçekleştirildiği reaktörler çalıştırılmaktadır. Nükleer enerjiyi zorlanmış olarak açığa çıkarma ve bu enerjiyi elektrik gibi farklı bir enerjiye dönüştürme işi nükleer reaktörlerde gerçekleştirilmektedir. Fisyon reaktörlerinde kullanılan ağır atomlar ya da diğer deyişle yakıt, genellikle uranyum ve metan dioksittir. Atomların nötronlarla bombardıman edilmesi sonucunda bazı radyoaktif atomlar, nötronlar ve enerji açığa çıkar. Üretilen nötronların yeni radyoaktif elementlerle tekrar tekrar tepkimeye girmesi sonucunda zincirleme bir reaksiyon oluşur. Bu zincirleme reaksiyon santrallerde kontrollü olarak gerçekleştirilmekte, bunun için de nötron soğurma yeteneği yüksek olan bor ya da kadminyumdan yapılan kontrol çubukları kullanılmaktadır. Bununla birlikte zincirleme reaksiyonun kontrol altında tutulması için hızlı nötronların yavaşlatılmasına yönelik olarak ağır su ya da karbondan yapılmış moderatörler kullanılmaktadır. İyi moderatörler, amaca yönelik olarak, nötronları yavaşlatır ve fakat soğurmazlar. Bu olay tezde ilgilenilen albedo problemi ile ilişkilidir. Albedo problemi, bir yüzeyden çıkan ve bu yüzeyden giren net nötron akımlarının oranı olarak tanımlanır. İyi bir moderatörün

14 albedosunun olması amaçlanır. Bu, moderatörün nötronu yutmadığı ve enerjisini soğurarak nötronu yavaşlattığı ideal durumdur. Özetle, bir maddenin albedosuna bakılarak, o maddenin yutuculuğu hakkında bilgi edinilebilir. Öte yandan albedo problemine göre daha gerçekçi bir yaklaşım olan slab albedo probleminde ise bir yüzeyden yansıyan ve bu yüzeyden içeri giren nötron akısı hesaplanarak, yüzeyin yansıtıcılığı ve yine yutuculuğu belirlenir. Nükleer reaktörlerde meydana gelen fisyon tepkimelerinin kontrollü bir şekilde olabilmesi için, her fisyon sonunda bir nötronun açığa çıkması ve bu çıkan nötronun da diğer fisyonu başlatması hedeflenir. Burada çoğalma çarpanından (multiplication factor) bahsedilmelidir. Çoğalma çarpanı, herhangi bir nesilde meydana gelen fisyon sayısının, hemen önceki nesilde meydana gelen fisyon sayısına oranını ifade eder. Eğer bu değer bire eşit olursa, sistemin istenildiği üzere çalıştığı yani bir fisyonun sonrasında meydana gelecek yalnızca bir fisyonu tetiklediği anlamına gelir. Bu durum kritik durum olarak adlandırılır. Şayet çarpan birden büyükse, kritik üstü durum olur ve fisyon sayısının zaman içerisinde arttığı anlaşılır. Çarpanın birden küçük olması ise, kritik altı durum olup, reaksiyonun zaman içerisinde söndüğünü ifade eder. Reaktörlerin kritik durumda çalışabilmesi için ortaya çıkan nötronların ya reaktör yüzeyinden sızması ya da reaktör içerisinde yutulması gerekir. Bu da kritiklik problemi ile ilişkili olan durumdur. Kritiklik probleminde, ortamın sınırlarından dışarı nötronun çıkmaması için, gerekli olan ortam kalınlığı hesaplanmaktadır. Reaktör içerisine dışarıdan nötron girişinin olmadığı kabul edildiğinde, reaktörün dışının sonsuz büyüklükte bir vakumla sarmalandığı düşünülebilir. Bu durumda reaktörden dışarı çıkan nötronların, bu ortamdan yansıyarak, reaktöre geri dönmeleri beklenmez. İşte, reaktör yüzeyinden çıkan nötron akısının sıfır olduğu noktayı inceleyen probleme de Milne problemi adı verilir. Reaktör içerisindeki nötron akısının hesaplanmasında, ortam özellikleri ve sınır şartları göz önünde bulundurularak nötron transport denklemi kullanılır.. tip nötron transport denkleminin çözümünde kullanılan yöntemlerden Case, P L, F N, H N (Modifiye F N ) ve Singüler özfonksiyonlar yöntemi, bu tez çalışmasında incelenmiş ve bazı problemlere

15 uygulamaları yapılmıştır. Yukarıda bahsi geçen yöntemlerden Case yöntemi, tamamen analitik bir yöntem olup diğer yöntemlerin de temelini teşkil etmektedir. Diğer yöntemler yarı-analitik yöntemlerdir ve çeşitli problemlere uygulanmaları daha kolaydır. Öte yandan yarı-analitik yöntemler ile ortamın herhangi bir noktasında çözüm aranabilir. Fredholm denklemleri olarak da bilinen 3. tip nötron transport denklemi, C N yöntemi ile çözülür ve tezde bu yöntem hakkında da kısaca bilgi verilmektedir. Yöntem ortam sınırında çözüm arar ve yarı-analitik diğer yöntemlere göre yöntemin uygulaması daha zordur.. tip nötron transport denklemi ise varyasyon yöntemi ile çözülür. Tez çalışmasında, sırasıyla, nötron transport denklemi incelenmiş ve denklemin çözümünde kullanılan Case, C N, Singüler özfonksiyonlar yöntemi, P L, F N, H N yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemlerden Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile yarıuzay albedo problemi, P L yöntemi ile Milne problemi, H N yöntemi ile de sabit kaynak ve slab albedo problemleri ile Milne ve kritiklik problemleri çözülmüştür. Analitik işlemleri yapılan problemlerin nümerik çözümleri de farklı saçılmalar için hesaplanarak, çizelgeler halinde sunulmuştur. Tartışma ve sonuç bölümünde, çeşitli problemlerden elde edilen sonuçlar ile bu sonuçların elde edildiği yöntemlerin yakınsaklıkları incelenmiştir. 3

16 . TRANSPORT DENKLEMİ. Tanımlar Nötron sayısı, nötron açısal yoğunluğu olarak adlandırılır ve ( υ ) Açısal yoğunluk Ψ rr r,,t (.) ile gösterilir (Davison 958, Case ve Zweifel 967, Bell ve Glasstone 97, Lewis ve Miller 984). Burada r r r ur ur uzaysal konum değişkeni, υ = υω hız vektörü, Ω ise birim 3 3 vektördür. Bu durumda Ψ ( r r, r υ,t) d rd υ, t anında, r r 3 noktası civarında cm birimiyle belirlenen nötron sayısını verir. 3 dr hacim elemanı içinde, r υ hızı civarındaki 3 d υ hız uzayında beklenen Şekil. dv hacim elemanı ve dω ur katı açı Küresel koordinatlarda dω ur katı açısı dω= sinθdθdϕ (.a) şeklindedir. Burada µ = cosθ doğrultu elemanı tanımlanırsa, katı açı 4

17 dω= dµ dϕ (.b) olur. Tüm doğrultular üzerinden nötron açısal yoğunluğunun integrali, nötron yoğunluğunu verir: r r r Nötron yoğunluğu Ψ r,, Ω r,, 4π ( υ td ) ρ( υ t) (.3) Nötronlar hızları ile birlikte düşünüldüğünde açısal akım niceliği rrr r rr Açısal akım j r,, r,, ( υ t) = υψ( υ t) (.4) ile verilir. Açısal akımı tanımladıktan sonra υ r hızı civarındaki 3 d υ hız uzayı içinde, yüzey normali $ n olan ds yüzey alanından dt zamanında geçen nötron sayısı rrr jr,,t ndsd υdt $ 3 υ (.5) şeklinde verilir. Şekil. den daha detaylı görüleceği üzere, boyu r υdt olan bir silindirin taban alanı ds olmak üzere, tabanı dik olarak υ r hızıyla dt zamanında geçen nötronların sayısı r r r r r r υ $ Ψ ( υ ) υ = ( υ ) $ υ 3 3 n r,, t d dtds j r,, t nd dtds (.6) r olur. Ya da yukarıdaki ifade υdt nds $ elemanı içindeki birim hacimdeki nötronların sayısı 3 ifade edilebilir. silindir hacmi ile hızları r 3 υ civarında d υ Ψ r r, r υ,t d υ nin çarpımı olarak da 5

18 Şekil. Boyu r υdt ve taban alanı da ds olan silindir içinden geçen nötronlar Açısal akımın tüm yönler üzerinden toplamı toplam açısal akımı verir: r r r r r ur Akım J r,, t = j r,, t dω ( υ ) ( υ ) 4π (.7) Tüm hızlar üzerinden toplamı da toplam akımı verir: r r r r r Akım J, j r,, 3 ( rt) ( υ t) d = υ (.8) t ile t+ dt zaman aralığında r 3 υ hızındaki d υ ve r r 3 noktasındaki dr içine giren rr q r, υ, t d rd υdt ile verilir. Bu terim kaynak terimine karşılık gelir. Bu nötron sayısı 3 3 kaynak terimi, nötron çarpışmaları yani ( n, ) n gibi fisyon tepkimelerinden ya da basit nötron tepkimelerinden kaynaklanan nötronlar değildir. Kozmik ışın etkisi, kendiliğinden olan fisyon tepkimeleri ya da ( α, n) ile gösterilen alfa parçacığı ile nötron üretimi sağlayan tepkimelerden oluşan nötronları tanımlar (Lamarsh 97). υ r hızındaki nötronun bir başka nötron ile çarpışması arasındaki ortalama serbest yol l ( r υ ) ile gösterilir. Bu durumda birim zamanda yani saniyedeki çarpışma sayısı υ l olur. r r noktasındaki ve υ r hızındaki nötronlar göz önüne alındığında çarpışma oranı υ rr υ Ψ rr l ( r, ) 3 3 ( r, υ, t) d rd υ (.9) 6

19 olur. Ortalama serbest yolun tersi, makroskopik tesir kesiti olarak tanımlanır: i i σ ( r, υ) N ( r) ( υ) υ = r r = r Σ r rr l i ( r, ) (.) rr σ ( r, υ ) büyüklüğü, oluşan tüm çekirdeklerin tesir kesitlerinin toplamı olmak üzere; N i ( r r ), r r noktasında birim hacimde i türündeki çekirdeklerin sayısını, i ( υ ) türündeki çekirdeklerin toplam mikroskobik tesir kesitini ifade etmektedir. Σ r ise i r r noktasında r υ hızındaki bir nötron tarafından çarpışma başına üretilen nötron sayısı, ikincil nötron sayısı olup rr c r (, υ ) r r r r r r σ s υ σin υ σ f υ = rr (.) ( r, ) + ( r, ) + ( r, ) σ ( r, υ) r r olarak tanımlanır. Burada σ s ( r, υ ) saçılma tesir kesiti, σ in ( r, υ ) r r kesiti ve fisyon oranı olmak üzere σ f ( r, υ ) r r inelastik çarpışma tesir fisyon tesir kesitidir. Eğer çarpışmalar sonunda nötron üretimi yoksa σ = σ = σ =, dolayısıyla c = olur. f s in ur r r r ur υ σ υ t υ t r r υ t d υ d rd υdt (,, ; ) Ψ(,, ) terimi, υ hızı civarındaki 3 d υ içindeki nötronlar tarafından t anındaki çarpışmalar nedeniyle, t civarındaki dt anında υ r hızı civarındaki 3 d υ ve r r noktasındaki olası sayısını tanımlar (Şekil.3). 3 dr hacim elemanı içine yayınlanan nötronların 7

20 Şekil.3 Saçılmadan önce ve sonra nötronun hareket doğrultusu Daha önce yapılan tanımlar eşliğinde ur r r r ur r ur σ υ υ υ υ σ υ (, rd ) 3 = c( r, ) ( r, ) (.) ur r r ifadesi yazılabilir. σ ( υ υ,r) terimi normalize edilmiş f ( υ υ ) ur da düşünülebilir ki f ( υ υ ) fonksiyonu olarak adlandırılır. ur r fonksiyonu olarak r, nötronların saçılma olasılığını tanımlayan saçılma. Nötron Transport Denkleminin Türetilmesi r r noktası civarında, S yüzeyine sahip küçük bir V hacmi içerisinde bulunan, υ r hızına sahip 3 d υ elemanındaki nötron sayısının dt zamanındaki değişimi dn ile gösterilir ve = υ ( r, υ, t) 3 3 dn d dt d r V Ψ rr t (.3) ile verilir. Nötron sayısındaki dn değişimi 8

21 dn = a dt zamanında S yüzeyinden çıkan net nötron sayısı b dt zamanında V hacminde çarpışmalarla kaybedilen nötron sayısı + c çarpışmalar sonucu dt zamanında V hacminde üretilen r υ hızına sahip ikincil nötron sayısı + d kaynak tarafından dt zamanında V hacminde üretilen nötron sayısı (.4) şeklinde de ifade edilebilir. Buradaki ( a), ( b), ( c) ve ( d ) terimleri sırasıyla şu şekilde açıklanabilir. İlk terim hızında değişim olmaksızın giren ve çıkan nötronları, ikinci terim konumunda değişim olmaksızın sayısını, üçüncü terim konumunda değişim olmaksızın 3 d υ hız uzayını terk eden nötronların 3 d υ hız uzayına giren nötronların sayısını ve son terim de kaynaklar tarafından ortama gönderilen nötron sayısını tanımlar. Matematiksel olarak r rr urr = υ υ υ (,, ) $ a d dt j r t n ds d dt j d r S V (.5a) şeklindedir. Burada $ n, ds yüzeyinin normalidir. Bu terim Gauss teoreminden faydalanılarak hacim integraline dönüştürülmüştür. Benzer şekilde ikinci terim υ = υ rr Ψ l ( r, υ ) (, υ, ) 3 3 b d dt r t d r V rr (.5b) olur. Üçüncü terim rur ur rr υ υ υ σ υ υ υ = Ψ(,, ) (, ) c d dt r t r d d r V (.5c) ve son terim de 9

22 υ (, υ, ) = 3 3 d d dt q r t d r V rr (.5d) ile verilir. Denklem (.5a-.5d), Denklem (.4) te kullanılır ve Denklem (.3) e eşitlenirse; rr Ψ ( r, υ, t) ur r r r υ = υ υ Ψ υ t υ rr (,, ) l( r, υ ) rur ur rr rr (,, ) (, ) (,, ) d dt d r d dt jd r d dt r t d r V V V + υ υ Ψ υ σ υ υ υ + υ υ d dt r t r d d r d dt q r t d r V V ifadesi elde edilir. Bu son ifadedeki tüm integraller hacim üzerinden yazılarak eşitlendiğinden, integral terimi olmadan da birbirlerine eşit olmalıdır. Bu durumda Ψ rr ( r, υ, t) t ur r = Ψ r r υ j rr ( r, υ, t) l( r, υ ) ur r r r ur r r (, r) ( r,, t) d 3 q( r,, t) + υ σ υ υ Ψ υ υ + υ olur. Eşitliğin sağ tarafındaki ilk terimde nötron açısal akımını tanımlayan Denklem (.4), ikinci terim içinde Denklem (.) ve integral ifadesi için de Denklem (.) kullanılır ve denklem düzenlenirse Ψ rr ( r, υ, t) t r ur r r r r r r + υ Ψ υ + υσ υ Ψ υ = ( r,, t) ( r, ) ( r,, t) ur r r r ur r r + υ σ ( υ υ, r) Ψ ( r, υ, t) d 3 υ + q( r, υ, t) (.6) r ur ile verilen nötron transport denklemi elde edilir. Bu denklemde hız vektörü için υ = υω tanımı kullanılır ve küresel koordinatlarda = = Ω 3 d υ υ dυ sinθdθdϕ υ dυ d

23 alınarak düzenlenirse, bu denklem son şekli ile r ur Ψ ( r, υω, t) urur r ur r ur r ur +Ω Ψ. ( r, υ Ω, t) + σ ( r, υ Ω ) Ψ ( r, υ Ω, t) υ t r ur uur ur r r uur = q( r, υω, t) + υσ ( υ Ω υω, r) Ψ( r, υ Ω, t) υ dυ dω υ υ olacaktır. (.7).3 Transport Denkleminin Çözümü ve Kullanılan Yaklaşımlar Transport denklemi, genel şekli ile Denklem (.6) ile verilir. Bu denklemde üç tane konum, üç tane hız ve zaman değişkeni olmak üzere toplam yedi değişken mevcuttur. Bunun yanında denklem nötron çekirdek etkileşmelerini tanımlayan tesir kesitlerini de içermektedir. Bu nedenle Denklem (.6) nın çözümü oldukça zordur. Son zamanlarda tamamen nümerik yöntemler kullanılarak Denklem (.6) nın çözümü üzerine çalışılmaktadır. Bu tez kapsamında ise yarı-analitik yöntemler üzerine durulmuştur. Yarı-analitik yöntemlerde, denklemin çözümü için bazı analitik hesaplamalar yapılır ve ardından elde edilen bu analitik ifadelerin çözülmesi için sayısal yöntemlere başvurulur. Ancak analitik hesaplamaların yapılabilmesi için Denklem (.6) ya bazı yaklaşımlarda bulunulur. Bu yaklaşımlardan ilki, nötron dağılımının dengede olduğunun düşünülmesidir. Söz konusu bu denge nötron dağılımının, zaman içerisinde önemsenmeyecek küçük dalgalanmaları dışında, değişmediği düşüncesidir. Böylece transport denklemindeki zaman değişkeni doğal olarak da zaman türevi düşer. Bu olayın daha iyi açıklanması için şu örnek üzerine durulabilir: Hacmi V olan bir kutunun tam ortasından bir bölme ile kapatıldığı, bölmenin sağ tarafının bir gaz ile dolu ve sol tarafının da boş olduğu düşünülsün. Sürgü kaldırıldıktan sonra sağ taraftaki gaz, sol tarafa yayılmaya başlayacaktır. Eğer yeterince uzun süre beklenirse gaz molekülleri kutunun her yerine eşit miktarda dağılacaktır. Böylece eskiden sürgünün bulunduğu bölgeden sola ya da

24 sağa doğru geçen gaz moleküllerinin sayısı eşit olacaktır. Yani gaz, zaman değişkeninden bağımsız hale gelmiş ve dengeye ulaşmıştır. İkinci yaklaşım, tüm nötronların eşit hız değerine sahip oldukları tek hızlı nötron yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda ortamdaki çekirdeklerle etkileşen ve fisyon tepkimeleri sonucunda ortaya çıkan nötronların hızlarının aynı olduğu kabul edilir. Bu yaklaşım gerçekteki durumdan çok da uzak olmayan geçerli bir yaklaşımdır. Böylece transport denkleminden hızın değişkeni daha doğru bir ifade ile hızın büyüklüğü terimi çıkarılmış olur. Daha ileri bir düşünce ile transport denklemi enerjiden bağımsız hale gelmiş olur. Çünkü tüm nötronlar aynı enerjiye sahiptir. Bir hızlı yaklaşımda tesir kesiti ( υ ) ur r (, r r uur urr δ υ σ υ υ ) = σ ( Ω Ω, r, υ) υ (.8) şeklinde yazılır. Burada Denklem (.) nin de kullanılmasıyla r r uur ur r uur ur r σ υ υ σ υ σ υ ( r, ) c ( r, ) = d Ω ( Ω Ω, r, ) = d Ω ( Ω Ω, r, ) (.9) olur. Bir önceki kesimde bahsedilen saçılma fonksiyonu için f uur ur r uur ur r σ Ω Ω = c r (, r, υ ) ( Ω Ω, r, υ ) r r (, υ ) σ ( r, υ) ifadesi yazılabilir. Sonuç olarak transport denklemi, zaman değişkeninin düşürülmesi ile ur ur r ur r r ur υω Ψ υω + υσ υ Ψ υω r ur r r uur ur r r uur (.) = q r Ω + r c r f Ω Ω r Ψ r Ω dω ( r, ) ( r, ) ( r, ) (, υ ) υσ (, υ) (, υ) (,, υ) (, υ ) şeklinde de yazılabilir.

25 Diğer yaklaşım, homojen uzay yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda nötronların etkileştikleri ortamın (ya da ortamı oluşturan çekirdeklerin) eş dağılım gösterdiği düşünülür. Bu yaklaşım ikincil nötron sayısının sabit bir değer olmasını gerekli kılar ki r c r υ = c (, ) olarak alınır. Nötron transport denklemi, reaktörün özelliğine göre düzlem, silindirik ve küresel geometrilerde çözülebilir. Bu tez çalışmasında düzlem geometri için yazılan nötron transport denkleminin çözümleri üzerinde durulmuştur. Bu geometride birbirine paralel düzlemlerde çözümlerin aynı olduğu kabul edilir. Düzlem geometri için ur zˆ, z r r zzˆ, r ur ur v vω= v Ω z (.) tanımları kullanılırsa ur ur Ψ ur ur Ω. zˆ + zzˆ, Ω Ψ zzˆ, Ω ( zzˆ, υω) σ ( υ ) ( υ ) z ( ˆ, ur ) ( ˆ, ur uurur υ σ υ ) (., ˆ, υ ) ( ˆ, uur υ ) = q zz Ω + zz Ω c f Ω Ω zz Ψ zz Ω dω ve ayrıca ur zˆ. Ω= cos θ = µ, µ, [ ] olduğu göz önüne alınırsa, bir hızlı yaklaşımın kullanılmasıyla 3

26 ( z, µ ) Ψ µ + σ ( z, µ ) Ψ( z, µ ) z uur ur π = q z µ + σ z µ c f Ω Ω Ψ z µ dµ dϕ (, ) (, ) (, ) denklemi elde edilir. Burada z, cm biriminde konum değişkenidir. Transport denkleminin birimsiz olması için optik yol tanımı z z x = σ z dz kullanılır, optik yol uzunluğu ortalama serbest yol birimindedir. Sonuç olarak transport denklemi ( x, µ ) Ψ µ +Ψ( x, µ ) x π uur ur = q x µ + c dϕ f Ω Ω Ψ x µ dµ (, ) (, ) (.) biçimine dönüşür. Burada saçılma fonksiyonu f uur ur uurur l + ( Ω Ω ) = flpl( ΩΩ. ) l= 4π (.3) şeklinde tanımlıdır (Mika 96). P l ( Ω. Ω) göre uurur, Legendre polinomlarının toplama kuralına ( l m) ( l+ m) uurur! P ΩΩ. = P µ P µ + P µ P µ cos m( ϕ ϕ ) l m l l l l l m=! m biçiminde yazılabilir. Denklem (.) nin sağ tarafındaki integral terimi içerisinde bu tanımın kullanılmasıyla 4

27 ( l m) ( l+ m)! m dϕ f P µ P µ + P ( µ ) P ( µ ) cos m( ϕϕ ) Ψ( z, µ ) dµ π l l + m l l l l l l= 4 π m=! ifadesine ulaşılır. Burada ϕ üzerindeki integralin π dϕcos m ϕ ϕ = olması göz önünde bulundurulursa, l + integral terimi π flpl( µ ) Pl( µ ) Ψ( z, µ ) dµ (.4) 4π l= şekline dönüşür. Sonuç olarak f ( µ, µ ) = ( l+ ) f l P l ( µ ) P l ( µ ) (.5) l= olmak üzere Denklem (.) ( x, µ ) Ψ µ +Ψ µ x ( x, ) c = q( x, µ ) + f ( µµ, ) Ψ( x, µ ) dµ (.6) biçiminde elde edilir. 5

28 3. CASE YÖNTEMİ 3. Özdeğer ve Özfonksiyonların Belirlenmesi Case yöntemi düzlem geometride, homojen bir uzay için yazılan, tek hızlı nötron transport denkleminin çözümü için kullanılan bir yöntemdir. Yöntemin özelliği, transport denklemi için bir genel çözüm ifadesinin elde edilmesidir (Case ve Zweifel 963, 967). Homojen, kaynağın olmadığı durumda, zamandan bağımsız, tek hızlı nötronlar için düzlem geometride nötron transport denklemi Denklem (.6) daki gibi yazılır. Case yöntemi, basit olması açısından öncelikle izotropik saçılma durumu için incelenebilir. Söz konusu izotropik saçılma Denklem (.5) deki toplam ifadesinin ilk terimine karşı gelir., f = i, i l= ( µµ ) ( µ ) ( µ ) f, = l+ f l P l P l = f İzotropik saçılma durumunda her yöne saçılma olasılığı eşit kabul edildiğinden f = olur. Denklem izotropik saçılma için ( x, µ ) Ψ c µ +Ψ ( x, µ ) = Ψ( x, µ ) dµ x (3.) olur. Bu denklem, lineer ve homojen bir integro-diferansiyel denklem olduğu için değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülebilir. Çözüm ( x, µ ) A( x) B( µ ) Ψ = (3.) şeklinde önerilip Denklem (3.) de kullanılırsa 6

29 A x c = B( µ ) dµ A x x µ B µ (3.3) µ elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı da bir sabite eşitlenerek çözülebilir. B µ dµ = (3.4) keyfi normalizasyon şartının kullanılması ve bir sabit olmak üzere A x c = = A x x µ B µ µ (3.5) işlemi yapılırsa A x x e = (3.6a) B ( µ ) c = µ (3.6b) olarak elde edilir. Buna göre önerilen çözüm c Ψ ( x, µ ) = µ x e (3.7) şeklinde olur. Denklem (3.6b), Denklem (3.4) ile verilen normalizasyon şartını sağlamalıdır. Λ ( ) dağınım fonksiyonu c dµ Λ ( ) = = (3.8) µ 7

30 olarak verilir. Dağınım bağıntısı, sabitinin alacağı değerlere göre iki şekilde incelenir: Durum : [,] olduğu durumda çözümler kesiklidir. µ ve nün değer aralıkları farklı olduğu için integral alınabilir: c c + Λ ( ) = dµ = ln = Arctanh = µ c (3.9) Burada y c = olarak alınırsa cy = tanh y (3.) elde edilir. Denklem (3.) un grafiği çizildiğinde eğrilerin kesiştiği noktalar kökleri verecektir. Şekil 3. c < için kökler 8

31 Şekil 3. c > için kökler c < durumunda =± şeklinde iki reel kökü vardır. Bu köklere, kesikli özdeğerler adı verilir ve bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar c Φ ( ±, µ ) =± ± µ (3.) şeklindedir. Denklem (3.), c < için iki reel ve c > için ise =± i şeklinde kompleks iki köke sahiptir. Durum : [,] durumunda çözümler süreklidir. c Φ = + µ (, µ ) P λ( ) δ ( µ ) (3.) µ ve değer aralıkları çakışık olduğu için singüler nokta oluşur, prensip değer kullanılmalıdır. Buradaki λ ( ) terimi de sürekli özdeğerler için dağınım fonksiyonudur. Denklem (3.) de normalizasyon şartını sağlamalıdır: 9

32 c Φ (, µ ) dµ = P dµ + λ( ) δ ( µ ) = µ (3.3) Denklem (3.3) ten λ ( ) çekilerek integral alınırsa λ ( ) dağınımı için c tanh λ = (3.4) ifadesi elde edilir. Böylece artık Denklem (3.) in genel çözümü, yukarıda elde edilen kesikli ve sürekli özfonksiyonların bir lineer birleşimi olarak x x x + Ψ x, µ = a Φ, µ e + a Φ, µ e + A Φ, µ e d. (3.5) şeklinde elde edilmiş olur. Burada a +, a ve A( ) keyfi açılım katsayıları, Φ ( ± µ ) kesikli ve (, µ ), olarak bilinir. Φ sürekli özfonksiyonlar olup Case in özfonksiyonları Case özfonksiyonları kendi aralarında dik olan fonksiyonlardır. Kesikli ve sürekli özfonksiyonlar için diklik bağıntıları d N N N µ Φ ±, µ Φ ±, µ µ = ±, =, µ Φ, µ Φ ±, µ dµ = (3.6) (, ) (, ) d N, N N µ Φ µ Φ µ µ = = ile verilir.

33 Şimdi Denklem (.5) içerisinde verilen saçılma fonksiyonunun toplam ifadesindeki ileri terimler kullanılarak, yüksek mertebeden saçılma terimleri için Case özfonksiyonları üzerinde durulabilir. N f, l f P P n n n (3.7) n= ( µ µ ) = ( + ) ( µ ) ( µ ) ifadesinde N saçılmanın mertebesini belirler. n n f saçılma katsayısı ve P n µ ile P µ, n. mertebeden Legendre polinomlarıdır. Bu açılımın Denklem (.5) te kullanılması ve N M, n f P n n n n (3.8) n= ( µ ) = ( + ) ( µ ) φ ( ) = Φ(, ) P n d (3.9) φ µ µ µ tanımlarının yapılması ile Case özfonksiyonları (, ) c M µ Φ (, µ ) = µ şeklinde yazılabilir. Burada φ n ile tanımlanan ifade (3.) φ n+ n n n n n n φ n φ = ( cf ) (3.) şeklinde verilen bir tekrarlama bağıntısını sağlar. Böylece daha ileri mertebeden saçılmalar için gereken ifadeler, ilk iki terimin bilinmesiyle kolaylıkla elde edilebilir. İlk iki terim φ ( ) = = ( ) φ c

34 şeklindedir. Saçılma fonksiyonun ilk terimi, izotropik saçılma durumudur. Sabit bir sayıya eşittir ve herhangi bir açısal bağımlılığı yoktur. Saçılma fonksiyonun ikinci terimi lineer anizotropik saçılma durumu olarak adlandırılır. Bu saçılma için nötronların çarpışmadan sonraki saçılmaları, saçılma açısı ile orantılı olarak değişir. Saçılma fonksiyonun üçüncü terimi kuadratik anizotropik saçılma durumu olarak adlandırılır. Bu saçılma durumunda da nötronların etkileşmeden sonraki davranışları, saçılma açısının ikinci mertebesi ile orantılı olarak değişir. Sonuç olarak saçılmanın niteliği Case özfonksiyonlarının ve bunun sonucunda da diklik bağıntılarında yer alan N ( ) ve N ( ) terimlerinin farklı olmasına neden olur. Ancak genel çözüm, yapısını korumaya devam edecektir. Sadece Case özfonksiyonlarının yapısı, doğal olarak da kesikli ve sürekli özdeğerler için yazılan dağınım bağıntılarının yapısı değişecektir. Bu nedenle ileri mertebeden saçılmalar için kesikli özdeğerlerin belirlenmesi için dağılım bağıntılarının durumu ayrı ayrı incelenmelidir. Genel şekliyle kesikli özdeğerler Λ = Φ, µ dµ = dağınım ifadesinden elde edilen denklemin çözümü ile belirlenir. İlk birkaç saçılma durumu için Case özfonksiyonları ve bu özfonksiyonlar arasındaki ilişkiler aşağıda sıralanmıştır. Yukarıda izotropik saçılma için yapılan işlemlere bir özet verilirse izotropik saçılma durumu için saçılma fonksiyonu f ( µµ, ) = (3.) olmak üzere Case özfonksiyonları ve bu özfonksiyonların sağladığı diklik ve normalizasyon ifadeleri; c Φ ( ±, µ ) = m µ (3.3a)

35 c Φ = + µ N N (, µ ) λ( ) δ ( µ ) 3 = ( ) ( ) c c 3 c + c π = ln + 4 (3.3b) (3.3c) (3.3d) c tanh λ = (3.3e) + Λ ( ) = ln = c (3.3f) ile verilir. Sırasıyla lineer anizotropik (McCormick ve Kuščer 965, Kavenoky 978, Atalay 996, Yıldız 998, 999,,, Türeci vd. 5, Güleçyüz vd. 6 ), kuadratik anizotropik (Türeci ve Güleçyüz 8) ve triplet anizotropik (Türeci 8) saçılmalar için gerekli bağıntılar, saçılma fonksiyonlar ile birlikte; ( µµ ) ( µ ) ( µ ) [ ] lineer anizotropi f, = + 3 f P P, f.3,.3 (3.4) ( c) c ± 3f µ Φ ( ±, µ ) = m µ ( c) c + 3f µ Φ (, ) = + µ N µ λ δ µ ( ) ( ω ) ( ω ) ( c)( ω ) c = + c ω ( ) = ( + ω )( tanh ) ω( ) + ( + ω ) N c c c ( ) tanh ( c ) c π 4 3 (3.5a) (3.5b) (3.5c) (3.5d) λ = + ω + ω (3.5e) ( c) ω = 3f (3.5f) ( cω ) ( ω ) + + Λ ( ) = ln = c + (3.5g) 3

36 5 f kuadratik anizotropik f ( µµ, ) = + P( µ ) P( µ ), f [.,.4] (3.6) 4 (, µ ) Φ ± = c α µ + 3 m µ c + α 3µ Φ (, µ ) = + λ( ) δ ( µ ) µ ( ) ( ( ) ) c N( ) = α + c + α 6 c+ 5 c + 4cα ( ) = ( + 3α ) ( α+ 3α ) tanh ( ) N c c c 3 c π ( α 3αc ) ( ) ( 3 c c 3 c ) tanh (3.7a) (3.7b) (3.7c) (3.7d) λ = + α α + α (3.7e) 5 f α = ( 3 ( c) ) (3.7f) 4 α 5 f 4 ( 3 ( c) ) = (3.7g) + 3c α + Λ ( ) = ln = c α + 3α (3.7h) ( µµ ) ( µ ) ( µ ) [ ] triplet anizotropik f, = + 7 f P P, f 7, 7 (3.8) (, µ ) Φ ± = 3 ( ) c m γ 5µ 3µ m µ c + γ 5µ 3µ Φ (, µ ) = P + λ( ) δ ( µ ) µ (3.9a) (3.9b) N 3 c = + γ γ + γ γ + γ γ + γ 6 3 c ( 9γ + 35γ ) + 5γc γc 3 (3.9c) 4

37 4 N c c c ( ) = + 5γ γ ( + 5γ 3γ) tanh ( ) 3 c π 3 + ( + 5γ 3 γ ). 4 4 λ γ γ γ γ 3 3 ( 3 = + 5c c c ) tanh γ = f3 ( c) ( c) 6 3 (3.9d) (3.9e) (3.9f) γ = 6 3 ( ) ( ) ( ) 3 f3 c c 3 + ln 3 3 c + 5 γ 3 γ Λ = 4 + 5cγ c γ (3.9g) (3.9h) şeklindedir. Sonuç olarak izotropik, lineer anizotropik, kuadratik anizotropik ve triplet anizotropik saçılmalar için Case özfonksiyonları ve bunlar arasındaki bağıntılar bilindiğine göre, sınır şartları belirli olan fiziksel problemler için nötron transport denkleminin genel çözümü, Case özfonksiyonlarının kullanılmasını içeren F N yöntemi (Siewert ve Benoist 979, Grandjean ve Siewert 979, Güleçyüz ve Tezcan 996, Kaşkaş ve Tezcan 996) Singüler özfonksiyonlar yöntemi (Tezcan 996, Erdoğan vd. 996, Tezcan vd. 996, Güleçyüz vd. 999, Kaşkaş vd., Güleçyüz vd. ), H N (Modifiye F N ) yöntemi (Tezcan vd. 3, Türeci vd. 4, Tezcan vd. 7, Türeci vd. 7, Bulut ve Güleçyüz 8) gibi yöntemlerde kolaylıkla kullanılabilir. Yukarıda sözü edilen izotropik ve anizotropik saçılmalar için kesikli özdeğerler aşağıdaki çizelgelerde verilmiştir. Sırasıyla Çizelge 3. izotropik, Çizelge 3. ve Çizelge 3.3 lineer anizotropik saçılma için, Çizelge 3.4 ve Çizelge 3.5 kuadratik anizotropik ve Çizelge 3.6 da triplet anizotropik saçılmalar için verilmiştir. 5

38 Çizelge 3. İzotropik saçılma için kesikli özdeğerler c ± c ± i Çizelge 3. Lineer anizotropik saçılma için c < değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler c f =.3 f =. f = f =. f =. f =

39 Çizelge 3.3 Lineer anizotropik saçılma için c > değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler c f =.3 f =. f =. ± i c f =. f =. f =.3 ± i

40 Çizelge 3.4 Kuadratik anizotropik saçılma için c < değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler c f =. f =. f = c f =. f =.3 f =

41 Çizelge 3.5 Kuadratik anizotropik saçılma için c > değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler c f =. f =. f =. ± i c f =. f =.3 f =.4 ± i

42 Çizelge 3.6 Triplet anizotropik saçılma için c değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler c f 3 =.4 f 3 =. f 3 =. f 3 = c f 3 =.4 f 3 =. f 3 =. f 3 =

43 3. Sonsuz Ortam Green Fonksiyonu Green fonksiyonları, diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak, diferansiyel denklemleri integral denklemlere dönüştürmek gibi pek çok uygulama alanı olan matematiksel yapılardır. Nötron transport denklemi bir integro-diferansiyel denklem olduğu için Green fonksiyonları, nötron transport denklemin çözümünde kullanılabilir. İlerideki bölümlerde kısaca değinilecek olan C N yönteminde de transport denkleminin çözümleri, Green fonksiyonunu içeren Fredholm tipi integral denklemlere dönüştürülmektedir. Sonsuz ortam Green fonksiyonu birim zamanda, birim alana, bir tek nötron yayınlayan bir düzlem kaynağın varlığında transport denklemin çözümünü verir. Bir kaynak teriminin varlığı durumunda nötron transport denklemi ( x, µ ) Ψ c µ +Ψ ( x, µ ) = f ( µ, µ ) Ψ ( x, µ ) dµ + S( x, µ ) x (3.3) ile verilir. Bu kaynak terimi, birim zamanda birim alana bir tek nötron yayınlayan bir düzlem kaynak olduğundan Dirac Delta fonksiyonları kullanılarak (, µ ) δ δ ( µ µ ) S x = xx (3.3) olarak tanımlanır. Artık nötron transport denkleminin çözümü Green fonksiyonu olduğundan Denklem (3.3) da Green fonksiyonunun kullanılmasıyla ( x; µ µ ) G x + x ( x; ) µ G x µ µ c = G x x d + xx ( ; µ µ ) µ δ δ ( µ µ ) (3.3) 3

44 denklemi yazılabilir. Burada G( x x ; µ µ ) : x noktasında bulunan kaynak tarafından, µ doğrultusunda yayınlanan nötronların, x noktasındaki ve µ doğrultusundaki akısını ifade etmektedir. Yazılan son denklem x = x noktasında homojen değil, ancak x x noktalarında ise homojendir. Denklem (3.3) nin homojen kısmı ( x; µ µ ) G x + G x x ( x; ) µ µ µ c = G( x x; µ µ ) dµ (3.33) ile verilir. Transport denkleminin genel çözümü gibi Green fonksiyonu da lim G x x ; µ µ = (3.34) x şartını sağlamalıdır. Homojen denklemin çözümleri için Case yönteminden elde edilen sonuçlara göre x > ve x < durumları için G x x; µ µ = A Ψ x, µ + A Ψ x, µ d, x>, G x x; µ µ =A Ψ x, µ A Ψ x, µ d, x< (3.35) eşitlikleri yazılabilir. Burada (, ) (, ) x Ψ x = e ξ ile verilir. Şimdi homojen ξ µ φ ξ µ olmayan denklemin incelenmesine geçilebilir. x = x noktasında süreksizlik olduğu için Denklem (3.3) nin x ε dan x + ε a kadar integrali alınırsa 3

45 ( x; µ µ ) ε G x µ dx + G ( x x; µ µ ) dx x x+ ε x+ xε x ε x + ε x + c = dµ G ( x x; µ µ ) dx + δ ( µ µ ) δ ( x x ) dx x ε x ε ε (3.36) ifadesi elde edilir. Bunun amacı, ε limiti göz önüne alındığında yani x noktası civarına yaklaşıldığında, x = x noktasındaki süreksizliği oluşturan kaynak teriminden dolayı bir sıçrama şartı (jump condition) elde etmektir. Eşitliğin sol tarafındaki ikinci terim ve sağ tarafındaki ilk terim sıfır olacaktır. Böylece ( ; µ µ ) ( ; µ µ ) + δ µ µ = (3.37) G x x G x x µ elde edilir. Bu bağıntı x noktasında bulunan kaynaktan dolayı sıçrama şartı (jump condition) ifadesidir. Denklem (3.35) te, x x ± alındığında + ( x; µ µ ) G x + + ( x; µ µ ) G x = A Ψ x, µ + A Ψ x, µ d, x> =A Ψ x, µ A Ψ x, µ d, x< (3.38) ifadelerine ulaşılır. Burada x +, x noktasına sağdan yaklaşıldığı ve x, x noktasına soldan yaklaşıldığı anlamına gelir. Bu iki Green fonksiyonunun farkı alındığında elde edilecek ifade denklem (3.37) yi sağlamalıdır. Bu durumda + + Ψ, + Ψ, A x µ A x µ d ( ) δ µ µ + A( ) Ψ ( x ), µ + A Ψ x, µ d = µ (3.39) 33

46 ifadesi elde edilir. Denklem (3.39) da açılım katsayıları bilinmemektedir. Eğer bu katsayılar belirlenirse Case in özfonksiyonları cinsinden Green fonksiyonu belirlenmiş olur. Denklem (3.39), Case özfonksiyonlarını içerdiğinden sırasıyla Ψ ( x, ), Ψ ( x, ), µ Ψ ( x, µ ) ile çarpılıp µ üzerinden [,] µ µ µ µ integre edilerek bilinmeyen katsayılar belirlenebilir: µ aralığında A A A ( ) ( ) ( ) Ψ = ( x, µ ) N ( ) ( x, µ ) N ( ) ( x, µ ) ( ) Ψ = Ψ = N (3.4) Bu katsayılar, Denklem (3.38) de kullanılırsa, sonsuz ortam Green fonksiyonu, ( x ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( ) Ψ, µ Ψ, µ G x x ; x, x, d, x x, + + υ + µ µ = Ψ µ + µ N Ψ > N ( x ) ( ) Ψ, µ Ψ, µ G x x x x d x x ; µ µ = Ψ, µ, µ, N Ψ < N (3.4) olarak elde edilir. Açık şekliyle sonsuz ortam Green fonksiyonu + ( x; µ µ ) G x N( ) ( x; µ µ ) G x N( ) N( ) xx,, xx,, Φ µ Φ µ Φ µ Φ µ = e + e d, x> x, N( ) xx,, xx,, Φ µ Φ µ Φ µ Φ µ = e + e d, x< x (3.4) biçiminde elde edilmiş olur. 34

47 Burada Legendre polinomları cinsinden seriye açılan saçılma fonksiyonu için Case in özfonksiyonları anizotropik saçılma durumu göz önüne alınarak denklem (3.4) de kullanılır. 3.3 Placzek Lemması Placzek lemması, sonlu bir ortamın sonsuz bir ortama dönüştürülmesini sağlayan bir öngörüdür. Lemmanın mantığını anlayabilmek için Şekil 3.3 te verilen bir yarı-uzay ve bir slab ile çevrelenmiş ortam üzerinden düşünülebilir. Bu ortamların dışı boşluktur. Şekil 3.3 Bir yarı-uzay ve bir slab ortam için sonlu ortamın, sonsuz hale dönüştürülmesi Bir önceki başlıkta incelenen sonsuz ortam Green fonksiyonu, yukarıda verilen yarı uzay ve slab için kullanılamaz. Kullanılabilmesi için sonlu ortamı sonsuz ortama çeviren bu lemma geliştirilmiştir. Ortamın dışı boşluk olduğu için boşluktan ortam olarak adlandırılan bölgeye nötron girişi yoktur. 35

48 Placzek lemmasına göre sınırlara yerleştirilecek olan bir kaynak, ortama dışarıdan girecek nötron akısını sıfırlayacak şekilde seçilmelidir. Bu seçimle, sonlu ortam sonsuz ortammış gibi düşünülebilir. Bu durumda bu kaynak terimi Denklem (3.3) ile verilen transport denklemine eklenmelidir. Eklenen bu terim sınıra yerleştirilen kaynağı tanımladığı için Dirac delta fonksiyonu biçiminde yazılabilir. Yanı sıra problemin özelliğine bağlı olarak sonlu ortamın içindeki kaynak teriminin durumu da düşünülmelidir. Kaynağın sadece sonlu ortam içinde tanımlı olma durumunda basamak fonksiyonu kullanılmalıdır. Denklem (3.3) Ψ ( x, µ ) ( x, ) µ µ x c = Ψ + + Ψ +Ψ ( x, µ ') dµ ' S( x, µ ) H( x) µ (, µ ) δ ( x x ) (3.43) şeklini alır ve artık bu denklemin çözümü Ψ ( x µ ) dür. Burada µ Ψ( µ ) δ ( ), terimi, ortama girecek nötronları yok edecek olan kaynağı ve H( x ) ise, x x H x, =, ortamın içinde ortamın dışında (3.44) ile tanımlı olan Basamak (Heaviside) fonksiyonudur. ( x µ ) Ψ,, ( x µ ) H( x) ( x µ ) Ψ, = Ψ, (3.45) ile verilen özelliği sağlar. Denklem (3.45) göz önünde alınır ve basamak fonksiyonunun özelliği düşünülürse, birinci durumda ortamın içindeki çözüm Ψ ( x µ ) =Ψ ( x µ ),, olacaktır. Ortamın dışındaki bölge için basamak fonksiyonu sıfır olduğundan çözüm de sıfır olacaktır. Artık Denklem (3.43) ün çözümü 36

49 Ψ x, µ = dµ dx G( x x; µ µ ) H x S( x, µ ) + dµ G( x x; µ µ ) µ Ψ x, µ (3.46) olarak yazılabilir. Denklem (3.44) ün kullanılmasıyla ortam içerisindeki çözüm x için Ψ x, µ = dµ dx G( x x; µ µ ) S( x, µ ) + dµ G( x x; µ µ ) µ Ψ x, µ (3.47) olarak tanımlanır. 37

50 4. TRANSPORT DENKLEMİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI ANALİTİK YÖNTEMLER 4. C N Yöntemi Bu yöntem, III. tip nötron transport denklemine Fourier dönüşüm tekniğinin uygulanmasıyla elde edilen Green fonksiyonunun kullanılmasına dayanır. III. tip nötron transport denklemi, I. tip nötron transport denklemine özdeş olan bir integral denklemdir. Yöntem Kavenoky (973) ve Kavenoky (978) tarafından geliştirilmiştir ve Placzek lemmasının kullanılması ile sonlu ortamın sonsuz ortama dönüştürülmesinden faydalanılır. Placzek lemmasının kullanılmasıyla sınıra yerleştirilen kaynak terimi son terim olmak üzere r noktasındaki ve Ω r doğrultusundaki çözüm r r r r r, Ω = dr' s r', Ω' G r, Ω, r', Ω' dω' r r % r r M 4π r r r + + ds r ', Ω' G r, Ω, r ', Ω' Ω'. nd ˆ Ω' S + π π r % r r s r r r + ds r ', Ω' G r, Ω, r ', Ω' Ω'. nd ˆ Ω' S r % r r s (4.) r ile verilir. Burada π + ve π sırasıyla, Ω. nˆ ve r Ω. nˆ < durumlarına karşı gelir. Yüzey sınırına dış ve iç bölgeden yaklaşırken çözümler sırasıyla + r r r r r, Ω = dr' s r', Ω' G r, Ω, r', Ω' dω' r r ( s ) % r r M + π π 4π r r r + + ds r ', Ω' G r, Ω, r ', Ω' Ω'. nd ˆ Ω' S r % r r s r r r r + + ds r ', Ω' G r, Ω, r ', Ω' Ω'. nd ˆ Ω', Ω π S r % r r s r r r r r, Ω = dr' s r', Ω' G r, Ω, r', Ω' dω' r r ( s ) % r r M + π π 4π r r r + + ds r ', Ω' G r, Ω, r ', Ω' Ω'. nd ˆ Ω' S r % r r s r r r r + ds r ', Ω' G r, Ω, r ', Ω' Ω'. nd ˆ Ω', Ω π S r % r r s (4.) (4.3) 38

51 şeklindedir. Bu denklemler, C N denklemleri olarak adlandırılır. İzotropik saçılma durumu için nötron transport denklemine Fourier dönüşüm tekniğinin uygulanmasıyla elde edilen Green fonksiyonu ( µµ ) G x,, ikx c e = dk 4π (4.4) carctan k ( ikµ )( ikµ ) k ile verilmiştir ve bu Green fonksiyonu C N denklemlerinde kullanılarak çözüm aranır. Düzlem geometride, C N denklemleri sırasıyla = ' ( ', ) (, ; ', ) µ dx S x µ G µ x µ dµ + G d G d + µ µµ, µ µ + µ µµ, µ µ, µ < (4.5) = dx ' S x ', µ G, µ ; x ', µ dµ + G d G d + µ µµ, µ µ + µ µµ, µ µ, µ > (4.6) ile verilir. Kaynağın bulunmadığı durumda bu denklemler sırasıyla + G d G d (4.7) µ = µ µ, µ µ µ + µ µ, µ µ µ, µ < + G d G d (4.8) = µ µµ, µ µ + µ µµ, µ µ, µ > olur. Burada ( µ ) ortamın yüzeyinden çıkan akıya ve + ( µ ) de ortamın yüzeyinden giren akıya karşı gelmektedir. Yüzeyden giren ve çıkan akılar için önerilen çözümlerin 39

52 ışığı altında, yukarıda verilen C N denklemleri kullanılarak ilgilenilen fiziksel problem için çözümler aranır. 4. Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi Singüler özfonksiyonlar yöntemi C N ve Case yöntemlerinin birleşimi şeklinde olup Tezcan (996) tarafından geliştirilmiştir. Yöntem, Denklem (4.7) ve Denklem (4.8) ile verilen C N denklemlerinde, Case tarafından tanımlanmış olan ve Denklem (3.4) ile daha önce verilen sonsuz ortam Green fonksiyonunun kullanılmasına dayanır. Bu yöntemde yine, ortamın sınırındaki çözüm aranır. Yüzeyden giren ve çıkan akılar için önerilen çözümler ve probleme ait sınır şartlarının kullanılmasıyla elde edilen denklem sistemi sayısal olarak çözülür. Bu yöntemde C N yönteminden farklı olarak Case in özfonksiyonlarını içeren sonsuz ortam Green fonksiyonu kullanıldığından matematiksel işlemler C N yöntemine göre oldukça basitleşir. Yöntemin daha iyi anlaşılması için bir uygulama olarak yarı-uzay albedo problemi incelenmiştir. 4.. Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile yarı-uzay Albedo probleminin incelenmesi Albedo, bir yüzeyden içeri giren parçacıklar için, bu yüzeyden yansıyan ve bu yüzeyden içeri giren net nötron akımlarının oranı olarak tanımlanır. Albedonun belirlenmesi ile yüzeyin geçirgenliği ya da yansıtıcılığı hakkında bilgi edinilir. Bu uygulamada düzlem geometride yarı uzaydan oluşan ortam yüzeyi üzerindeki albedonun hesaplanması üzerine durulacaktır. İlgilenilen problemde x = da yarı uzayın sınırının olduğu ve bu sınırın sağ tarafının ortam, sol tarafının ise boşluk olduğu varsayılmaktadır (Şekil 4.). 4

53 Şekil 4. Albedonun hesaplanacağı yarı bölgeden oluşan ortam Nükleer reaktör mühendisliğinde albedo, fisyon tepkimesi sonucunda ortaya çıkan ve büyük enerjilere sahip nötronların enerjilerinin soğurulması aşamasında önem kazanır. Öyle ki nötronların sadece enerjilerini aktarmaları ve fakat ortamı oluşturan madde ile etkileşmeye girmemeleri istenir. Böylece ideal durumda albedo (bir) olmalıdır yani yüzeye çarpan nötronlar soğrulmaksızın yüzeyden yansımalıdır. Şimdi Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile çeşitli ikincil nötron sayıları için albedonun hesaplanması üzerine durulabilir. Şekil 4. de verilen geometri için ortamın sınırından + içeri giren nötron akısı ( µ ) gösterilsin. İçeri giren nötron akısı; ve ortamın sınırından yansıyan nötron akısı da ( µ ) ile γ, Z + + µ = µ γ (4.9) ve ortam duvarından yansıyan nötron akısı da N κ ( µ ) = aκ µ, µ >, (4.) κ = şeklinde seçilir. Verilen bu son çözüm önerisi bir kuvvet serisi tanımıdır ve yakınsaktır. Albedo tanımında, yüzey üzerindeki nötron akılarının yukarıdaki tanımları kullanılırsa 4