Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
|
|
- Erdem Karagöz
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 ( ) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 ( ) DOI: 05578/fmbd7766 Araştırma Makalesi / Research Article Uyumlu Kesir Mertebeden Chebyshev Diferensiyel Denklemleri ve Kesirsel Chebyshev Polinomları Emrah Ünal, Ahmet Gökdoğan Artvin Çoruh Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Temel Eğitim Bölümü, Artvin Gümüşhane Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Matematik Mühendisliği Bölümü, Gümüşhane e-posta: emrahunal@artvinedutr, gokdogan@gumushaneedutr Geliş Tarihi: ; Kabul Tarihi: 0706 Anahtar kelimeler Uyumlu Kesir Merteben Diferensiyel Denklemler; Uyumlu Kesir Merteben Chebyshev Diferensiyel Denklemleri; Kesirsel Chebyshev Polinomları Özet Bu çalışmada, x 0 - adi noktası civarında uyumlu kesir mertebeden birinci ve ikinci tip Chebyshev Diferensiyel denklemlerin kesirsel seri çözümlerini verdik Bu çözümlerden yararlanarak birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarını ifade ettik Son olarak, elde edilen bu kesirsel Chebysev polinomların bazı özelliklerini sunduk Conformable Fractional Chebyshev Equations and Fractional Chebyshev Polynomials Keywords Conformable Fractional Differential Equations; Conformable fractional Chebyshev Differential Equations; Fractional Chebyshev Polynomials Abstract In this work, we give the fractional power series solutions around x 0 -ordinary point of conformable fractional first and second kind Chebyshev differential equations We present first and second kind fractional Chebyshev polynomials using by these solutions Finally, we present certain property of fractional first and second kind Chebyshev polynomials Afyon Kocatepe Üniversitesi Giriş 695 yılında L Hospital tarafından Leibniz e gönderilen bir mektupta türev mertebesinin kesirli olmasının anlamının sorulmasıyla matematik literatürüne giren kesirli diferensiyel denklemler, günümüzde pek çok alanda kendini göstermektedir Tarihsel gelişim süreci içerisinde Liouville, Riemann, Weyl, Fourier, Laplace, Lagrange, Euler, Abel, Lacroix, Grünwald ve Letnikov gibi birçok ünlü matematikçi kesirli türevin tanımı ve kesirli diferensiyel denklemler üzerine çalışmalar yapmıştır O günden bu güne kesirli diferensiyel denklemler kendine birçok uygulama alanı bulmuştur Bunlardan bazıları iletim hatları teorisi, sıvıların kimyasal analizi, ısı transferi, difüzyon, Schrödinger denklemi, malzeme bilimi, akışkanlar, elektrokimya, fraktal süreçler gibi uygulama alanlarıdır (Bayın, 004) Kesirli türevin literatürde birçok farklı tanımı vardır Bu tanımların en popüler olanları Riemann-Liouville ve Caputo tanımlarıdır Bu tanımlar sırasıyla aşağıdaki gibidirler: Riemann-Liouville tanımı: D x f(x) ( d Γ(n ) dx )n (x t) n f(t)dt, 0 n < n Caputo tanımı: x D x f(x) Γ(n ) (x t)n f (n) (t)dt, 0 x n < n
2 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd Riemann-Liouville, Caputo ve diğer kesirli türev tanımları için Kilbas ve ark (006), Miller (993) ve Podlubny (999) referanslarına bakılabilir Son zamanlarda Khalil ve arkadaşları tarafından kesirli türev ve kesirli integralin yeni bir tanımı yapıldı Bu yeni tanım klasik türevin tanımındaki gibi bir limit formundan yararlanır Onlar çalışmalarında, bu yeni kesirli türev tanımı için lineerlik şartını, çarpım kuralını, bölüm kuralını, kesirsel Rolle teoremini ve kesirsel ortalama değer teoremlerini sundular (Khalil, 04) Abdeljawad bu yeni teoriyi geliştirdi Sol ve sağ uyumlu kesirli türev tanımlarını, > için yüksek mertebeden kesirli integral tanımını, kesirsel Gronwall eşitsizliğini, uyumlu kesirli türevler için zincir kuralını ve kısmi integrasyon formüllerini, kesirsel kuvvet seri açılımını ve laplace dönüşümünü verdi (Abdeljawad, 04) Kısa zamanda bu yeni kesirli türevle alakalı bir çok çalışma yapıldı Kesirsel fourier serileri (Khalil, 04), uyumlu kesirli Legendre diferensiyel denklemi ve kesirsel Legender polinomları (Abu Hammad and Khalil 04) uyumlu kesir mertebeden dizisel lineer diferensiyel denklemlerin varlık ve teklik teoremleri (Gökdoğan et al 06), uyumlu kesir merteben Bessel denklemi ve kesirsel Bessel polinomları (Gökdoğan et al 05) bu çalışmalardan bazılarıdır Bu çalışmada, uyumlu kesir merteben birinci ve ikinci tip Chebyshev Diferensiyel denklemlerini çözülüp birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarını elde edilecektir Buna ek olarak birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarının bazı özellikleri sunulacaktır Materyal ve Metot Uyumlu kesirli türev analizi Tanım f: [a, ) R fonksiyonu verilsin f fonksiyonunun bütün x > a ve (0,] için mertebeden sol uyumlu kesirli türevi (T a f(x + ε(x a) ) f(x) f)(x) lim ε 0 ε olarak tanımlanır Burada a 0 olduğu zaman, notasyon T olarak yazılır Eğer (T a f)(x) (a, b) aralığında oluşursa o zaman (T a f)(a) lim x a +(T a f)(x) dır Tanım f: (, b] R fonksiyonu verilsin f fonksiyonunun bütün x < b ve (0,] için mertebeden sağ uyumlu kesirli türevi ( b f(x + ε(b x) ) f(x) Tf)(x) lim ε 0 ε olarak tanımlanır Eğer ( b Tf)(x) (a, b) aralığında oluşursa o zaman ( b Tf)(b) lim x b ( b Tf)(x) dır Teorem (0,] and f, g bir x > 0 noktasında -diferensiyellenebilen iki fonksiyon olsun O zaman () d (af + bg) a d f + b d g dx dx dx, a, b R () d dx (xp ) px p, p R (3) Bütün sabit f(x) λ için d (λ) dx 0 dir (4) d d d (fg) dx f (g) dx + g (f) dx d d (f) f (5) d g dx dx (f/g) dx (g) g (6) Eğer f diferensiyellenebilen bir fonksiyon ise o zaman d df dx (f(x)) x dx (x) dır Teorem f fonksiyonu bazı 0 < için bir x 0 noktasının komşuluğunda sonsuz diferensiyellenebilen bir fonksiyon olsun O zaman f fonksiyonu aşağıdaki gibi bir kesirsel kuvvet seri açılımına sahiptir: f(x) ( (k) T x 0 (k) f)(x 0 )(x x 0 ) k k, x k! 0 < x < x 0 + R /, R > 0 x Burada, ( T 0 f) (x 0 ) k kez f fonksiyonunun uyumlu kesir türevinin alınması manasınadır Uyumlu kesirli diferansiyel denklemler ve adi nokta civarında çözümleri Bu bölümde, Ünal ve ark (05) tarafından yapılan bazı tanım ve teoremler verilecektir En genel dizisel lineer homojen uyumlu kesirli diferansiyel denklem AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
3 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd (n) T a (n ) y + a n (x) T a y+ +a (x)t a y + a 0 (x)y 0 () şeklinde yazılabilir Burada (n) T a y, y fonksiyonuna art arda n kez uyumlu kesir mertebeden türevin uygulanması manasınadır Tanım 3 (0,], f(x), [a, b] aralığında tanımlı reel değerli bir fonksiyon ve x 0 [a, b] olsun Bu durumda N(x 0 ), x 0 ın bir komşuluğu olmak üzere x N(x 0 ) için f(x) fonksiyonu, (x x 0 ) nın doğal kuvvetlerinin bir serisi olarak yazılabiliyorsa f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında - analitiktir denir Yani f(x), c k (x x 0 ) k (c k R) olarak yazılabilir ve x x 0 < δ (δ > 0) için bu seri mutlak yakınsaktır Burada δ, serinin yakınsaklık yarıçapıdır Tanım 4 (0,], x 0 [a, b] ve k 0,,,, n için a k (x) fonksiyonları x 0 [a, b] noktasında -analitik olsun Bu durumda, x 0 [a, b] noktasına () denkleminin bir -adi noktası denir Eğer x 0 [a, b] bir -adi noktası değilse, o zaman bu noktaya singüler nokta denir Örnek a) Aşağıdaki uyumlu kesir mertebeden diferansiyel denklemleri göz önüne alalım T y x y 0 T y x y 0 x T y x T y + x y 0 Herhangi bir x x 0 > 0 noktası yukarıdaki denklemlerin -adi noktasıdır b) (x ) T y y 0 (x ) T y (x ) T y + (x ) y 0 Bu denklemler için, herhangi bir x x 0 > noktası adi noktadır Teorem 3 (0,] ve x 0 [a, b] T x 0 T x 0 y + p(x)t x 0 y + q(x)y 0 () denkleminin bir -adi noktası olsun O zaman c 0 y(x 0 ), c T y(x 0 ) başlangıç şartları ile verilen () denkleminin x (x 0, x 0 + ρ) için aşağıdaki gibi bir çözümü vardır: y c k (x x 0 ) k burada ρ min {δ, δ } dir Burada x 0, () denkleminin bir -adi noktası olduğu için, Tanım 3 ve Tanım 3 den dolayı p(x) p k (x x 0 ) k ve q(x) q k (x x 0 ) k dir 3 Bulgular (x [x 0, x 0 + δ ]; δ > 0) (x [x 0, x 0 + δ ]; δ > 0) 3 Uyumlu kesir mertebeden birinci tip Chebyshev diferensiyel denklemi ve kesirsel Chebyshev polinomları Aşağıdaki uyumlu kesir mertebeden birinci tip Chebyshev diferensiyel denklemini göz önüne alalım: ( x () ) T y x T y + p y 0 (3) Burada (0,] ve p bir sabittir Eğer olursa, o zaman (3) denklemi klasik birinci tip Chebyshev diferensiyel denklemine dönüşür x 0 noktası (3) denkleminin bir -adi noktasıdır Şimdi Teorem 3 gereğince (3) denkleminin aşağıdaki gibi çözümlerini araştıralım: y n0 c n x n (4) (4) denklemi ve (4) denkleminin uyumlu mertebeden kesirli türevleri (3) denkleminde yerine yazılacak olursa c + 6 c 3 x c x + p c 0 + p c x + [(n + )(n + ) c n+ n + (p n ) c n ]x n 0 sonucu elde edilir Bu durumda c + p c 0 0 AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
4 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd c n 6 c 3 + (p )c 0 (n + )(n + ) c n+ + (p n ) c n 0 c p c! 0 c 4 p ( p ) c 4! 0 c 6 p ( p )(4 p ) p ( p )(4 p ) ((n ) p ) (n)! yazılır n tek ise c n+ 6! c 0 c 3 p c 3! c 5 ( p )(3 p ) c c 7 ( p )(3 p )(5 p ) ( p )(3 p )(5 p ) ((n ) p ) (n + )! elde edilir Böylece (3) denkleminin çözümü y(x) c 0 + c 0 p ( p )(4 p ) ((n ) p ) (n)! n + c x 7! c x n + c ( p )(3 p )(5 p ) ((n ) p ) (n + )! c 0 c x (n+) n olarak bulunur Burada c 0 ve c keyfi sayılardır c 0 ve c 0 için (3) denkleminin çözümüne F(x) denirse F(x) + p x + p ( p ) x 4! 4! + p ( p )(4 p ) x 6 6! + yazılabilir Benzer olarak c 0 0 ve c için (3) denkleminin çözümüne G(x) denirse yazılabilir Böylece c n katsayıları için n çift olmak üzere G(x) x + p x 3 + ( p )(3 p ) x 5 + 3! ( p )(3 p )(5 p ) 7! x 7 + şeklinde ifade edilir p bir tamsayı olduğu zaman, bu iki fonksiyondan birisi sınırlı sayıda terim içerir Örneğin, Eğer p çift bir tamsayı ise F(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terimden oluşur Tersine p tek bir tamsayı ise o zaman G(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terim içerir Bu durumda, elde edilen fonksiyon p dereceden kesirsel polinom olacaktır Elde edilen bu kesirsel polinomlar yardımıyla p dereceden kesirsel Chebyshev polinomu; p çift ise (Ђ ) p (x) ( ) p F(x) p tek ise (Ђ ) p (x) ( ) (p ) pg(x) olarak tanımlanır Birinci tip ilk birkaç kesirsel Chebyshev polinomu (Ђ ) 0 (x) (Ђ ) (x) x (Ђ ) (x) + x (Ђ ) 3 (x) 3x + 4x 3 (Ђ ) 4 (x) 8x + 8x 4 (Ђ ) 5 (x) 5x 0x 3 + 6x 5 (Ђ ) 6 (x) + 8x 48x 4 + 3x 6 şeklindedir Sonuç 3 Ђ p (x) klasik Chebyshev polinomu olsun O zaman (Ђ ) p (x) Ђ p (x ) dir Özellik 3 (Ђ ) p (x) x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x), p,3, p için (Ђ ) p (x) deki x p nın katsayısı p dir 3 0 x için (Ђ ) p (x) cos(p arccos(x )) dir AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
5 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd 4 p,3, için (Ђ ) p (x) ((Ђ ) (x)) (T T ((Ђ ) p (x)) ) p 5 (Ђ ) m (x)(ђ ) n (x) (Ђ ) m+n (x) + (Ђ ) m n (x) 6 Eğer p çift ise (Ђ ) p (x), 0 x aralığına p farklı köke sahiptir ve kökler k,, p için x k [cos ( (k )π )] p şeklindedir 7 Eğer p tek ise (Ђ ) p (x), 0 x aralığında k,, şeklindedir farklı köke sahiptir Kökler için x k [cos ( (k )π )] p 8 Eğer j, l N için 0 < l+ j+ ise (Ђ ) p (x) x aralığında p tane farklı köke sahiptir Kökler k,, p için x k [cos ( (k )π )] p şeklindedir İspat: ) Eğer p bir çift sayı ise p tek ve p çift sayı olur Buna göre x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x) x (p )( ) (p ) G(x) ( ) (p ) F(x) ( ) p ( + p! x + p ( p ) x 4 + ) 4! ( ) p F(x) (Ђ ) p (x) olduğu görülür Eğer p bir tek sayı ise p çift ve p tek sayı olur Buna göre x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x) x ( ) (p ) F(x) ( ) (p 3) (p )G(x) ( ) (p ) p( p )(3 p ) (Ђ ) p (x) (px + p( p ) x 3 + 3! x 5 + ) ( ) (p ) pg(x) olduğu görülür ) Bu özellik Özellikteki rekürsif bağıntı aracılığıyla görülür (Ђ ) p (x) nin x ile çarpıldığı düşünülecek olursa verilen özellik ispatlanabilir 3) Bu özelliğin ispatı için cos(pθ) cos(θ)cos((p )θ) sin((p )θ) trigonometrik açılımından faydalanmalıyız cos(θ) cos (θ) ve cos(θ) yukarıdaki denklemde yerine yazılacak olursa cos(pθ) cos(θ) (cos(θ)cos((p )θ)) sin((p )θ) cos((p )θ) elde edilir Bu ifade sadeleştirilecek olursa cos(pθ) cos(θ)cos((p )θ) cos((p )θ) elde edilir Son olarak, θ arccos(x ) yazılırsa 0 x için x cos((p )arccos(x )) cos((p )arccos(x )) cos(p arccos(x )) (5) elde edilir Eğer j N için 0 < j+ ise o zaman x için x cos((p )arccos(x )) cos((p )arccos(x )) cos(p arccos(x )) elde edilir İlk iki birinci tip Chebyshev polinomları için (Ђ ) 0 (x) cos(0 arccos(x )) ve (Ђ ) (x) cos( arccos(x )) x olup özellik sağlanır Şimdi k,3, p için (Ђ ) k (x) cos(k arccos(x )) olduğunu varsayalım (5) denklemi ile Özelliği beraber düşünürsek 0 x için (Ђ ) p (x) x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x) x cos((p )arccos(x )) cos((p )arccos(x )) cos(p arccos(x )) yazılır Eğer j N için 0 < j+ ise o zaman x (Ђ ) p (x) cos(p arccos(x )) yazılabilir 4) θ arccos(x ) olmak üzere T ((Ђ ) (x)) sin((p )θ) sinθ sin(()θ) sinθ ve T ((Ђ ) p (x)) p AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
6 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd dir ((Ђ ) (x)) (T (sin(()θ) sinθ T ((Ђ ) p (x)) ) p sin((p )θ) ) cospθ (Ђ sinθ ) p (x) elde edilir Bu da ispatı tamamlar 5) cosmθcosnθ cos((m + n)θ) + cos((m n)θ) yardımıyla sonuç görülür 6) (Ђ ) p (x) cos(p arccos(x )) 0 p arccos(x (k )π ) arccos(x (k )π ) p x (k )π cos ( ) p (k )π x (cos ( )) p elde edilir Eğer p çift ise, k,, p için (k )π cos ( ) 0 p olur Böylece, 0 x aralığında p tane farklı kök vardır 7) Eğer p tek ise, k,, için (k )π cos ( ) 0 p olur Böylece, 0 x aralığında tane farklı kök vardır 8) Eğer j, l N için 0 < l+ ise, j+ k,, p için (k )π cos ( ) p olup x aralığında p tane farklı kök oluşur 3 Uyumlu kesir mertebeden ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemi ve kesirsel Chebyshev polinomları Aşağıdaki uyumlu kesir mertebeden ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemini göz önüne alalım: ( x () ) T y 3x T y + p(p + )y 0 (6) Burada (0,] ve p bir sabittir Eğer olursa, o zaman (6) denklemi klasik ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemine dönüşür x 0 noktası (6) denkleminin bir -adi noktasıdır Şimdi Teorem 3 gereğince (6) denkleminin (4) deki gibi çözümlerini araştıralım (4) denklemi ve (4) denkleminin uyumlu mertebeden kesirli türevleri (6) denkleminde yerine yazılacak olursa c + 6 c 3 x 3 c x + p(p + )c 0 + p(p + )c x + [(n + )(n + ) c n+ n + (p(p + ) n(n + )) c n ]x n 0 sonucu elde edilir Bu durumda c + p(p + )c c 3 + (p + 3)(p )c 0 (n + )(n + ) c n+ + (p(p + ) n(n + )) c n 0 yazılabilir Böylece c n katsayıları için n çift olmak üzere p(p + ) c c! 0 p(p + )(4 p(p + )) c 4 c 4! 0 c 6 p(p + )(4 p(p + ))(46 p(p + )) 6! c n p(p + )(4 p(p + ))(46 p(p + )) ((n )n p(p + )) c (n)! 0 yazılır n tek ise c 7 (3 p(p + )) c 3 c 3! (3 p(p + ))(35 p(p + )) c 5 c (3 p(p + ))(35 p(p + ))(57 p(p + )) 7! c n+ (3 p(p + ))(35 p(p + ))(57 p(p + )) ((n )(n + ) p(p + )) c (n + )! c 0 c AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
7 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd elde edilir Böylece (5) denkleminin çözümü y(x) c 0 + c 0 c x + c p(p+)(4 p(p+))(46 p(p+)) ((n )n p(p+)) n x n + (n)! (3 p(p+))(35 p(p+))(57 p(p+)) ((n )(n+) p(p+)) n x (n+) (n+)! olarak bulunur Burada c 0 ve c keyfi sayılardır c 0 ve c 0 için (6) denkleminin çözümüne F(x) denirse F(x) p(p + ) + x! p(p + )(4 p(p + )) + x 4 4! p(p + )(4 p(p + ))(46 p(p + )) + x 6 6! + yazılabilir Benzer olarak c 0 0 ve c için (6) denkleminin çözümüne G(x) denirse G(x) (3 p(p + )) x + x 3 3! (3 p(p + ))(35 p(p + )) + x 5 (3 p(p + ))(35 p(p + ))(57 p(p + )) + 7! + şeklinde ifade edilir p bir tamsayı olduğu zaman, bu iki fonksiyondan birisi sınırlı sayıda terim içerir Örneğin, Eğer p çift bir tamsayı ise F(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terimden oluşur Tersine p tek bir tamsayı ise o zaman G(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terim içerir Bu durumda, elde edilen fonksiyon p dereceden kesirsel polinom olacaktır Elde edilen bu kesirsel polinomlar yardımıyla p dereceden kesirsel ikinci tip Chebyshev polinomu; p çift ise (U ) p (x) ( ) p F(x) p tek ise (U ) p (x) ( ) (p ) ( ) G(x) olarak tanımlanır İkinci tip ilk birkaç kesirsel Chebyshev polinomu (U ) 0 (x) (U ) (x) x (U ) (x) + 4x (U ) 3 (x) 4x + 8x 3 (U ) 4 (x) x + 6x 4 (U ) 5 (x) 6x 3x 3 + 3x 5 (U ) 6 (x) + 4x 80x x 6 x 7 şeklindedir Sonuç 3 U p (x) klasik ikinci tip Chebyshev polinomu olsun O zaman (U ) p (x) U p (x ) dir Özellik 3 p,3, için (U ) p (x) x (U ) p (x) (U ) p (x), 0 x için θ arccosx olmak üzere (U ) p (x) sin(()θ) dır 3 p,,3, için (Ђ ) (x) x (Ђ ) p (x) ( x )(U ) p (x) 4 p,,3, için T ((Ђ ) p (x)) p(u ) p (x) 5 p,,3, için (Ђ ) p (x) (U ) p (x) x (U ) p (x) 6 p,3, için (Ђ ) p (x) ((U ) p (x) (U ) p (x)) 7 Eğer p çift ise (U ) p (x), 0 x aralığına p farklı köke sahiptir ve kökler k,, p için x k [cos ( kπ )] şeklindedir 8 Eğer p tek ise (U ) p (x), 0 x aralığında k,, şeklindedir farklı köke sahiptir Kökler için x k [cos ( kπ )] 9 Eğer j, l N için 0 < l+ j+ ise (U ) p (x) x aralığında p tane farklı köke sahiptir Kökler k,, p için x k [cos ( kπ )] şeklindedir İspat: ) Özellik 4 in şıkkının ispatında yapılanlara benzer olarak ispatlanabilir ) Bu özelliğin ispatı için AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
8 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd sin((p + )θ) cos(θ)sin(pθ) sin((p )θ) trigonometrik açılımından faydalanılır Her iki tarafı ile bölünürse sin((p + )θ) cos(θ) sin(pθ) sin((p )θ) olur Son olarak θ arccos(x ) yerine yazılırsa 0 x için sin((p + )arccos(x )) x sin(parccos(x )) sin((p )arccos(x )) elde edilir Eğer j N için 0 < j+ ise o zaman x için sin((p + )arccos(x )) x sin(parccos(x )) sin((p )arccos(x )) yazılabilir İlk iki ikinci tip Chebyshev polinomları için (U ) 0 (x) ve (U ) (x) x olup özellik sağlanır Şimdi k,3, p için (U ) k (x) cos(k arccos(x )) olduğunu varsayılsın (9) denklemi ile Özelliği beraber düşünülürse 0 x için (U ) p (x) x (U ) k (x) (U ) k (x) sin(pθ) x sin((p )θ) cos(θ) sin(pθ) sin((p )θ) sin((p + )θ) yazılır Eğer j N için 0 < ise o j+ zaman x yazılabilir (U ) p (x) sin((p + )θ) 3) θ arccos(x ) için (Ђ ) p (x) cos(pθ), (U ) p (x) sin(pθ) ve x sin (θ) dir Bu sonuçlar için x (Ђ ) p (x) ( x )(U ) p (x) cos(θ)cos(pθ) sin(pθ) cos((p + )θ) (Ђ ) (x) olur Bu da ispatı tamamlar 4) θ arccos(x ) olmak üzere T (Ђ p (x)) p sin(pθ) p(u ) p (x) olur Böylece ispat tamamlanır 5) Trigonometric formüllere göre yazılabilir cos(pθ) sin((p + )θ) + cos((p + )θ)cos(θ) cos((p + )θ) cos(pθ) cos(θ) sin(pθ) açılımı yardımıyla cos(pθ) sin((p + )θ) sin(pθ)cos(θ) + cos(pθ)cos (θ) yazılır Buradan da cos(pθ) sin(()θ) sin(pθ) cos(θ) (7) olduğu görülür cos(θ) x olduğu da göz önüne alınırsa (Ђ ) p (x) (U ) p (x) x (U ) p (x) sonucuna ulaşılır 6) 5 Özellikteki (7) denkleminde sin(pθ)cos(θ) ifadesi için trigonometrik çarpım formülünden yararlanılarak ispat tamamlanır 7) (U ) p (x) sin((p + )arccos(x )) (p + )arccos(x ) kπ arccos(x ) kπ p + x cos ( kπ p + ) x (cos ( kπ p + )) elde edilir Eğer p çift ise, k,, p için 0 AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
9 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd cos ( kπ p + ) 0 olur Böylece, 0 x aralığında p tane farklı kök vardır 8) Eğer p tek ise, k,, için cos ( kπ p + ) 0 olur Böylece, 0 x aralığında tane farklı kök vardır 9) Eğer j, l N için 0 < l+ ise, j+ k 0,,, p için cos ( kπ p + ) olup x aralığında p tane farklı kök oluşur 4 Tartışma ve Sonuç Bu çalışmada, uyumlu kesir mertebeli birinci ve ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemleri çözülerek birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomları elde edilmiştir Buna ek olarak birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarının bazı özellikleri sunulmuştur Bu çalışmada uyumlu kesir mertebeden türev yardımıyla elde edilen sonuçların klasik türev yardımıyla elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüştür Abdeljawad, T, 05 On conformable fractional calculus, J Comput Appl Math, 79, Khalil, R, 04 Fractional Fourier Series with Applications, American Journal of Computational and Applied Mathematics, 46, 87-9 Khalil, R and Abu Hammad, M, 04 Legendre fractional differential equation and Legendre fractional polynomials, International Journal of Applied Mathematical Research, 33, 4-9 Gökdoğan, A, Ünal, E and Çelik, E, 06 Existence and Uniqueness Theorems for Sequential Linear Conformable Fractional Differential Equations, to appear, Miskolc Mathematical Notes Gökdoğan, A, Ünal, E and Çelik, E, 05 Conformable Fractional Bessel Equation and Bessel Functions, arxiv preprint arxiv: Ünal, E, Gökdoğan, A and Çelik, E, 05 Solutions of Sequential Conformable Fractional Differential Equations around an Ordinary Point and Conformable Fractional Hermite Differential Equation, British Journal of Applied Science & Technology, 0(), - Kaynaklar Bayın, Ş S, 004 Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik Yöntemler, Ders Kitapları AŞ Kilbas, A, Srivastava, H and Trujillo, J, 006 Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland, New York Miller, KS, 993 An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, J Wiley and Sons, New York Podlubny, I, 999 Fractional Differential Equations, Academic Press, USA Khalil, R, Al Horani, M, Yousef, A and Sababheh, M, 04 A new Definition of Fractional Derivative, J Comput Appl Math, 64, AKÜ FEMÜBİD 6 (06)
Kesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıHanta-virüs Modelinden Elde Edilen Lojistik Diferansiyel Denklem. Logistic Differential Equations Obtained from Hanta-virus Model
SDU Journal of Science (E-Journal), 2016, 11 (1): 82-91 Hanta-virüs Modelinden Elde Edilen Lojistik Diferansiyel Denklem Zarife Gökçen Karadem 1,*, Mevlüde Yakıt Ongun 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıEÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206
99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
DetaylıKESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı
KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Doç. Dr. Ercan ÇELİK
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
DetaylıKESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALARI
EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI Meral CANSIZ Tez Danışmanı : Doç. Dr. Emine MISIRLI Matematik Anabilim Dalı Bilim Dalı Kodu
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
DetaylıYazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17
Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.
DetaylıPOLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ
ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2012-YL-023 POLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ Maide ŞEN Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Ali IŞIK AYDIN
DetaylıDİSKRET DEĞİŞKENLİ KLASİK ORTOGONAL POLİNOMLAR. Beyza AYATA YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DİSKRET DEĞİŞKENLİ KLASİK ORTOGONAL POLİNOMLAR Beyza AYATA YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EKİM 01 ANKARA Beyza AYATA tarafından hazırlanan DİSKRET DEĞİŞKENLİ KLASİK
DetaylıHATA VE HATA KAYNAKLARI...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün
DetaylıTez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU)
HÜSEYİN IŞIK YARDIMCI DOÇENT E-Posta Adresi : h.isik@alparslan.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres : : : : 3122021084-5071865605 MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ Öğrenim Durumu
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıStandart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları
SDU Journal of Science (E-Journal), 2016, 11 (2): 109-120 Standart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları Fatih ER* 1 Mevlüde YAKIT ONGUN 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi,
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıMAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. -
MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz 2016-2017 Dönemi Ders Uygulama Planı 04 02 ve 03 01 Öğretim Üyesi Prof. Dr. Ömer AKIN (Ders Koordinatörü) Prof. Dr. Abdullah ALTIN Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN Ofis No 226
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıProf.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıİÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
DetaylıDeğişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylı3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıOcak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi
Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.
.7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıÇözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıSonsuz Diziler ve Seriler
Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler
DetaylıAnahtar Kelimeler: Palomba Ekonomi Modeli, Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklem, Matematiksel Model, Kararlılık
/ Cilt: 11 Sayı: 59 Ekim 2018 Volume: 11 Issue: 59 October 2018 www.sosyalarastirmalar.com Issn: 1307-9581 http://dx.doi.org/10.17719/jisr.2018.2700 ÇOKLU KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER İLE
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıKarmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları
Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları MATH274 Bahar 3 0 0
DetaylıKompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları
Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kompleks Analiz MATH 346 Güz 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Math 251 Dersin Dili
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DetaylıMB5002 NÜMERİK ANALİZ
MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıPOLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
Detaylı11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
Detaylı