BĠR BOYUTLU ISI DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠNĠN ÇÖZÜMÜ ÜZERĠNE

Transkript

1 BĠR BOYUTLU ISI DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠNĠN ÇÖZÜMÜ ÜZERĠNE VOLKAN ALA MERSĠN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANA BĠLĠM DALI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ DanıĢman Prof. Dr. Hanlar REġĠDOĞLU MERSĠN HAZĠRAN 4

2 Ala, V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin BĠR BOYUTLU ISI DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠNĠN ÇÖZÜMÜ ÜZERĠNE Volkan ALA ÖZ Bu çalıģmada D x, t : x, t bölgesinde bir boyutlu ısı denklemine iliģkin sınır koģulunda zamana göre türev içeren aģağıdaki sınır-değer problemi incelenmiģtir: u u ( x) q( x) u t x u u u x t u( x,) ( x), u(,) Yukarıdaki ısı iletim denklemi için değiģkenlere ayırma metodu uygulanarak, yukarıda verilen sınır koģullarında özdeğer parametresi içeren Sturm- H L,, Hilbert uzayı tanımlanarak bu Liouville problemi ele alınmıģtır. uzayda sınır değer probleminin operatör teoritik formülasyonu verilmiģ, rezolvent operatör inģa edilmiģtir. Titchmarsh metodu kullanılarak özfonksiyonlara göre ayrıģım formülleri bulunmuģ ve ayrıģım formülleri yardımıyla sınır değer probleminin çözümü elde edilmiģtir. Anahtar Kelimeler: Isı Ġletimi, Rezolvent Operatör, AyrıĢım Formülü, Süreksiz Katsayı DanıĢman: Prof. Dr. Hanlar REġĠDOĞLU, Mersin, Matematik Ana Bilim Dalı x i

3 Ala V., 4. On a Solution of a Boundary Value Problem for One Dimensional Heat Equation, M. Sc.Thesis, Mersin University. ON A SOLUTION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE DIMENSIONAL HEAT EQUATION Volkan ALA ABSTRACT In this work, below the following boundary value problem which is related to one-dimensional heat equation that contains derivative according to the time in D x, t : x, t boundary condition is examined in the region u u ( x) q( x) u t x u u u x t u( x,) ( x), u(,) Applying the seperation of variables method, we get Sturm-Liouville equation spectral parameter dependent boundary condition. For this spectral problem, H L,,, constructed the form x the operator theoretic formula is given in of resolvent operator and using Titchmarsh method, expansion formula with respect to the eigenfunctions is obtained and with the help of expansion formula we expressed the solution of boundary value problem for one dimensional heat equation. Key Words: Heat Transmission, Resolvent Operator, Expansion Formula, Discontinuous Coefficient Advisor: Prof. Dr. Hanlar REġĠDOĞLU, Department of Mathematics, Mersin University. ii

4 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin TEġEKKÜR Bu çalıģmanın ortaya çıkmasında desteğini ve emeğini esirgemeyen; fikirlerini ve bilgilerini benimle paylaģan; bilimsel anlamda hiçbir özveriden kaçınmayan saygıdeğer danıģman hocam Prof. Dr. Hanlar ReĢidoğlu na Ģükranlarımı sunarım. Yüksek lisans öğrenimim boyunca desteğini hiçbir zaman esirgemeyen, baģta bölüm baģkanım Prof. Dr. Fahreddin Abdullayev olmak üzere, bölümdeki hocalarıma ve araģtırma görevlisi arkadaģlarıma teģekkürü bir borç bilirim. Yüksek lisans tez projesine destek olan Mersin BAP Koordinatörlüğüne; Son olarak, hayatım boyunca maddi ve manevi her zaman yanımda olduğu gibi çalıģmalarım süresince de beni destekleyen kıymetli anneme teģekkür ederim. iii

5 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ĠÇĠNDEKĠLER ÖZ... Ġ ABSTRACT... ĠĠ TEġEKKÜR... ĠĠĠ ĠÇĠNDEKĠLER... ĠV SĠMGE VE KISALTMAR DĠZĠNĠ... VĠ ġekġller DĠZĠNĠ... VĠĠ. GĠRĠġ.... KAYNAK ARAġTIRMALARI MATERYAL ve YÖNTEM ÖN BĠLGĠLER Temel Tanımlar ve Kavramlar Bir Boyutlu Isı Denklemi ve Matematiksel Modelleme SONLU BOYUTLU BĠR ÇUBUKTA ISI ĠLETĠMĠ PROBLEMĠ BĠR UÇ YÜZEYĠ SIVIYLA TEMAS HALĠNDEKĠ YALITILMIġ YARI SONSUZ BĠR ÇUBUKTA DĠFÜZYON OLAYI YAN (LATERAL) YÜZEYLERĠ ĠZOLE EDĠLMEMĠġ HOMOJEN OLMAYAN BĠR ÇUBUKTA DĠFÜZYON OLAYI STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ ĠÇĠN YARI EKSENDE AYRIġIM PROBLEMĠ Temel Tanımlar ve Teoremler BULGULAR VE TARTIġMA ISI ĠLETĠM DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠ Problemin Ġfadesi DeğiĢkenlerin Ayrılması ve Sturm-Liouville Problemi SINIR KOġULU SPEKTRAL PARAMETRE ĠÇEREN BĠR STURM- LIOUVILLE DENKLEMĠ ĠÇĠN AYRIġIM FORMÜLÜ Probleme GiriĢ qx ( ) iken (4..), (4..) Sınır Değer Probleminin Çözümü Özel Çözüm ve Saçılma Fonksiyonu ( ) Fonksiyonunun Özelliklerinin Ġncelenmesi... 8 Sayfa iv

6 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin Rezolvent Operatörün ĠnĢa Edilmesi Özfonksiyonlara Göre AyrıĢım Formülünün Elde Edilmesi Isı Ġletim Probleminin Çözümü Özel Durumda Isı Ġletim Probleminin Çözümü SONUÇ ve ÖNERĠLER SONUÇLAR ÖNERĠLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ ve ESERLER LĠSTESĠ v

7 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin SĠMGE ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ L DL ( ) W f( x, ) Reel sayılar kümesi Kompleks sayılar kümesi Spektral parametre Diferansiyel operatör L operatörünün tanım bölgesi Wronskian ya göre türev f ( x, ) x e göre türev R Rezolvent operatör S( ) AC a, b, l( y ) Gx (, ; ) u Saçılma fonksiyonu ab aralığında mutlak sürekli fonksiyonlar Lineer diferansiyel ifade Green fonksiyonu Sıcaklık u t Sıcaklık değiģim hızı C sn c Özısı kal grc k Isı iletimi kal cm. sn. C Yoğunluk kal grc Sıcaklık iletimi kal grc Ġspatın bittiğini gösterir vi

8 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ġekġller DĠZĠNĠ ġekil 3... Sonlu Boyutlu Bir Çubukta Difüzyon Olayı Difüzyon Olayı ġekil Bir Uç Yüzeyi Sıvıyla Temas Halinde Olan YalıtılmıĢ Çubukta ġekil 3.4..Yan (Lateral) Yüzeyleri Ġzole EdilmemiĢ Homojen Olmayan Bir Çubukta Difüzyon Olayı vii

9 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin. GĠRĠġ Doğada pek çok fiziksel olayın modellenmesi, kısmi diferansiyel denklemlerden oluģan problemler ile ifade edilir. Uygulamalı dallardaki problemlerin matematiksel modellemelerine örnek olarak, ısı iletimini ele alalım: Isının bir nesne üzerinde, belli bir konumda ve zamanda, nasıl dağılacağını tanımlayan kısmi diferansiyel denkleme ısı denklemi denir. Isı denklemi parabolik tipten bir denklemdir. Kartezyen koordinat sisteminde ( x, y, z ) konumu ve t zamanı göstermek üzere, ısı denkleminin genel ifadesi k t x y z u u u u biçimindedir. Burada k fiziksel bir sabittir. Isı iletiminin matematiksel modeli 8 lerde ortaya çıkmıģtır ve günümüzde de modern fizikçilerin dikkatini çekmeye devam etmektedir. Örneğin, yüksek hızda makinelerin kaynaklarının ısı transferi, dağılımının analizi hala önemli bir teknolojik problemdir. Matematiksel fiziğin birçok problemi, diferansiyel operatörün özdeğer ve özfonksiyonlarının bulunmasına ve özfonksiyonlara göre ayrıģım probleminin incelenmesine indirgenir. Bu problemler kısmi diferansiyel denklemin, baģlangıç ve sınır koģullarını sağlayan çözümü bulunurken Fourier yönteminin uygulanmasıyla karģılaģılır. Örneğin, denklemi baģlangıç koģulu ve n n u u u p ( x)... p ( ), n n n x u a x b t x x n v n jv v v x xa v (..) u f ( x), (..) t v u u jv, j,,..., n v x (..3) sınır koģulları ile verilen sınır değer probleminin çözümünü Fourier metodu ile bulalım. (..) denkleminin (..3) sınır koģulunu sağlayan çözümünü xb

10 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin, y xt t u x t (..4) biçiminde arayalım. (..4) ifadesi (..) denkleminde ve (..3) sınır koģullarında yazılırsa, yx ( ) fonksiyonunu denklemini ve n n d y d y l( y) p ( x)... p ( ) n n n x y y (..5) dx dx sınır koģullarını sağlar. n n ( v) ( v) j jv a jv b v v (..6) U ( y) y y Eğer yx ( ) ise, yx () (..5)-(..6) sınır değer probleminin özdeğerine uygun özfonksiyonudur. (..5)-(..6) sınır değer probleminin bütün özdeğerleri,,... 3 ve bu özdeğerlere uygun özfonksiyonları da y( x), y( x), y3( x ),... biçiminde olsun. O halde (..) yi sağlatmak için aģağıdaki seri oluģturulur: n u( x, t) A ( ) t nyn x e n Bu seri formal olarak (..) denklemini ve (..3) sınır koģullarını sağlar. (..) sağlatılırsa f ( x) A y ( x) (..7) n elde edilir. Bu eģitlik, verilen f() x fonksiyonunun (..5)-(..6) sınır değer probleminin özfonksiyonlara göre ayrıģımıdır. Dolayısıyla Fourier metodunun gerçekleģtirilmesiyle; verilen f() x fonksiyonunun sınır değer probleminin özfonksiyonlara göre ayrıģımı problemine indirgenir. n Özfonksiyonlara göre (..7) ayrıģımı yeterince düzgün (ve gereken koģulları sağlayan) fonksiyonlar için sağlansa da, sorusu ile karģılaģılır. Bu ise n n n A n katsayılarının bulunması y ( x) fonksiyonlarının ortogonallik ve tamlık özelliği ile ilgilidir. Bundan dolayı, ısı ve titreģim denklemlerinin baģlangıç ve sınır

11 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin koģullarını sağlayan çözümün bulunması problemi adi diferansiyel denklem için sınır değer probleminin özfonksiyonlara göre ayrıģım problemine indirgenir. Bu problem ise, klasik durumlarda birçok diferansiyel operatörler için çözülmüģ olsa da, bu yönde çalıģmalar devam etmektedir [V. A. Steklov, C. Birkhof, Y. D. Tamarkin, M. Stoun vb]. Operatörler teorisinde bu problem operatörlerin spektral teorisi olarak tanımlanmaktadır. Ġkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaģımı 946 yılında A. B. Titchmarsh vermiģtir. Ox ekseninde tanımlı qx () potansiyelli d L q( x) dx Sturm-Liouville operatörleri için özdeğerlere göre ayrıģım formülü A. B. Titchmarsh tarafından bulunmuģtur. Bu operatör fizikte geniģ uygulamalara sahip Schrödinger operatörü ile yakın iliģki içerisindedir. Singüler diferansiyel operatörlerin incelenmesine iliģkin ve diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde önemli bir yere sahip olan çalıģmalar 949 yılında B. M. Levitan tarafından yapılmıģtır. B. M. Levitan bu çalıģmalarında spektral teoriyi gerçekleģtirmek için kendine has bir yöntem vermiģtir. Tezde singüler durumda, Sturm-Liouville operatörü için farklı sınır koģulu altında ayrıģım problemi incelenmiģtir. Tezin Materyal ve Metot kısmında gerekli tanım ve teoremler verilmiģ, Kaynak AraĢtırması kısmında konuyla ilgili literatür taraması yapılmıģ ve Bulgular ve TartıĢma kısmında ise bir boyutlu ısı denklemine iliģkin sınır koģulunda zamana göre türev içeren sınır değer problemi ele alınmıģtır. D x, t : x, t, bölgesinde ısı iletim denklemi için u u ( x) q( x) u t x (..8) sınır koģulu ve u u u, x t x (..9) u( x,) ( x), (..) u(,) (..) 3

12 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin baģlangıç koģullarıyla üretilen sınır değer problemi ele alınır. Burada spektral parametre, qx () ise ölçülebilir hızla sıfıra giden reel değerli bir fonksiyondur. Denklemin çözümünün integral gösterimi kullanılarak, Wronskiyen tanımlanmıģ; çözümün özellikleri incelenmiģ, özdeğer ve özfonksiyonlar tanımlanmıģtır. Sınır değer probleminin uygun bir H Hilbert uzayındaki bir operatör denkleme denk olduğu gösterilmiģ ve bu operatörün rezolvent operatörü inģa edilmiģtir. Rezolvent operatöre iliģkin yardımcı lemmalar ispatlanmıģtır. Kontür üzeri integralleme kullanılarak ele alınan sınır değer probleminin özfonksiyonlarına göre ayrıģım formülü elde edilmiģtir ve elde edilen ayrıģım formüllerinden faydalanılarak ısı iletim probleminin çözümü ifade edilmiģtir. farklıdır: Tezde ele alınan sınır problemi, klasik durumlardan aģağıdaki özellikleri ile ) Sınır koģulu zamana göre türev içerir, bundan dolayı değiģkenlere ayrıldığında sınır koģulu spektral parametre içeren Sturm-Liouville problemi ile karģılaģılır. ) Ele alınan problem sonlu aralıkta değil, yarı sonsuz eksende incelenir. 3) Denklemin katsayısı parçalı-sürekli fonksiyon içerir. 4

13 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin. KAYNAK ARAġTIRMALARI Matematiksel fizik denklemlerinde sınır koģulu zamana (veya yöne) göre türev içeriyorsa, değiģkenlere ayırma yönteminin uygulanmasıyla sınır koģulunda spektral parametre içeren ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler için sınır değer problemi ile karģılaģılır. Literatürde, böyle spektral problemler klasik uzaylarda özdeğer-özfonksiyon problemi olarak yorumlanmadığı için özel Hilbert uzayları oluģturarak incelemeler yapılmıģtır ( Bknz [-8] ). Bu problemlerin ısı iletkenliği ve dalga denklemleri için sınır problemlerinde fiziksel uygulamaları [9], [],[] de verilmiģtir. Problemin çözümü sırasında elde edilen Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlara göre ayrıģım formülü kısmi diferansiyel denklemin çözümünün bulunmasında önem taģır. Problemin incelenmesi sırasında karģılaģılan diferansiyel denklemlerin çözümleri için kullanılan yöntem ve teknikler [], [3] ve [4] ten alınmıģtır. Regüler problemler için ayrıģım formülünü birkaç metotla elde etmek mümkündür. Bunlardan en önemlileri; integral denklemler metodu, sonlu farklar metodu, kontür üzerinde integralleme metodu vb. dir (Bknz. []). Daha önce klasik Sturm-Liouville problemi için kullanılan, kontür üzerinde integralleme ve rezidü teorisi yöntemi, [3] ve [5] te, singüler probleme uygulanmıģtır. dönüģümün ifadesi kullanılır. [6] da yarı eksende ikinci mertebeden denklemin çözümü için operatör (, ) i x it e x e K( x, t) e dt x Süreksiz durumda ise, yarı eksendeki problem iki kısıma ayrılarak [3] ve [5] çalıģmalarında incelenmiģtir. Bu durumda;, aralığı, a ve, a ( a süreksizlik noktası) aralıklarına indirgenerek incelemeler yapılmıģ ve e(, x) in [6] daki ifadesi kullanılmıģtır. [7] de ikinci mertebeden denklemin çözümü için yeni bir integral gösterimi elde edilmiģtir. 5

14 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin Bu gösterim biçimindedir. Burada f ( x, ) f ( x, ) K( x, t) e it dt ( x) f( x, ) e e ( x) ( x) i ( x) i ( x) denklemin qx ( ) halindeki çözümüdür ve ( x ) x ( x ) a ( ( x )) biçimindedir. Tezde sonuçlar, çözüm için bu integral gösterim kullanılarak elde edilmiģtir. Sınır koģulunda spektral parametre içeren yarı eksendeki problemler için ayrıģım formülleri [] ve [] çalıģmalarında incelenmiģtir. Klasik Sturm- Liouville problemi için ayrıģım formülü [], [4], [6] ve [] çalıģmalarında verilmiģtir. Tezde ele alınan problem bir matematiksel fizik problemidir ve problemin konusuna iliģkin kısmi diferansiyel denklemlere ait [3] ve [4] kitaplarından yararlanılır. Tezde ele alınan problemin çözümü sırasında [5], [6], [7] kaynaklarından da yararlanılır. 6

15 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu bölümde ileri kısımda kullanılacak temel tanımlar, kavramlar ve teoremler verilecektir. 3.. ÖN BĠLGĠLER 3.. Temel Tanımlar ve Kavramlar Tanım 3... Bir veya daha çok bağımlı değiģken, birden fazla bağımsız değiģken ve bunların türevlerinden oluģan denkleme kısmi türevli denklem denir. Tanım 3... Ġki bağımsız değiģkenli ikinci basamaktan lineer kısmi diferansiyel denklem: A( x, y) u B( x, y) u C( x, y) u D( x, y) u E( x, y) u F( x, y) u G( x, y) xx xy yy x y biçimindedir. A( x, y) u B( x, y) u C( x, y) u terimlerinin toplamına esas kısım xx xy yy denir. Denklemin u çözümünün özelliklerini bu kısım belirler. Belirli bir x y noktası için x, y B x, y 4 Ax, y C x, y, diskriminant olmak üzere; x, y denklem, x y da hiperbolik, x, y denklem, x y da parabolik, x, y denklem, x y da eliptiktir. Parabolik tipten denklemlerin klasik bir örneği difüzyon denklemidir. 7

16 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 3.. Bir Boyutlu Isı Denklemi ve Matematiksel Modelleme ġimdi, uygulamalı dallardaki problemlerin matematiksel modellemelerine örnek olarak, sonlu bir çubuktaki bir difüzyon problemini ele alalım ve bu problemin matematiksel modellemesini yapalım: ġekil 3.. ġekil 3.. deki uç noktaları sabit sıcaklıkta, örneğin C de tutulan ve baģlangıç sıcaklık dağılımı bilinen L uzunluğundaki sonlu bir metal bir çubuktaki ısı yayılımı problemini ele alalım. Çubuğun sol ucu x ve sağ ucu x L noktasında olacak Ģekilde x ekseni boyunca uzatıldığını varsayalım. Eğer çubuğun farklı kısımları farklı sıcaklıklarda ise, sıcak kısımlardan soğuk kısımlara doğru bir ısı akımı olur. t anında x noktasındaki sıcaklığı u veya u( x, t ) ile gösterelim. Denklemi basitleģtirmek için, aģağıdaki kabulleri yapalım: üzerinde sabittir. Çubuk, x eksenine dik düzgün kesitlere sahiptir. u( x, t ), her bir dik kesit Çubuğun yanal yüzeyi, ısıyı geçirmeyecek Ģekilde yalıtılmıģtır. Bu son kabul, çubukta x eksenine dik yönde içeri ve dıģarı yönde bir ısı akımı olmadığını, baģka bir deyiģle, çubukta sadece x ekseni yönünde bir ısı akımı olduğunu ifade eder. Isı iletimi için bir matematiksel formül elde etmek için, çubuğun x eksenine dik A ve B kesitlerini göz önüne alalım (ġekil 3..). A nın x ve B nin de x x noktasında olduğunu varsayalım. t anında A kesiti üzerinde sıcaklık u( x, t ) ve B kesiti üzerinde sıcaklık u( x x, t) olsun. Ayrıca, aģağıdaki fiziksel prensipleri hatırlayalım: 8

17 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin (i). Isı akımının hızı, baģka bir deyiģle; bir dik kesitin birim alanından birim zamanda geçen ısı akımı u x (yani sıcaklığın gradyenti) ile orantılı ve u qk dir. x Burada k orantı sabitine materyalin termal geçirgenliği denir. Temel geçirgenlik, genellikle noktaya göre değiģir, yani k k( x) dir. (ii). Isı akımının yönü, yüksek sıcaklıktaki noktalardan daha düģük sıcaklıktaki noktalara doğrudur. ısı miktarı cm u (iii). Kütlesi m olan bir nesnenin sıcaklığını u kadar arttırmak için gerekli dır. Burada c ye materyalin öz ısısı veya özgül ısısı denir. Bu, genellikle noktaya göre değiģir, yani c c() x dir. Eğer t zaman aralığında A kesitinden sağa doğru akan ısı miktarı Hx ( ) ile gösterilirse, bu taktirde (i) prensibi gereğince u( x, t) H ( x) k( x) St x yazılabilir. Burada S çubuğun dik kesit alanıdır. Negatif iģaret ( ii ) prensibinden u dolayı yazılmıģtır. Çünkü eğer ise, ısı sağdan sola akar. Benzer Ģekilde, bir x t zaman aralığında B kesitinden sağa doğru akan ısı miktarı u x x H x x k x x St x dir. Buna göre, dik kesitler arasındaki hacimde net ısı değiģimi = A kesitinden giren ısı miktarı - B kesitinden çıkan ısı miktarı + Çubuğun içinde ısı kaynakları tarafından oluģturulan ısı miktarıdır. Çubuğun içinde ısı kaynakları tarafından oluģturulan ısı miktarı, Q( x, t ) ısı enerjisi yoğunluğu olmak üzere Q( x, t) S x t ile modellenir. Böylece net ısı miktarı, formül olarak, E H x H x x Q x t Sxt u x x u x, t St k x x k x Qx, tsxt x x (3..) Ģeklinde yazılabilir. Öte yandan, (iii) prensibi gereğince net değiģiklik E cm u olmalıdır. Burada c öz ısı kapasitesi, u sıcaklıktaki değiģiklik ve m, dik kesitler arasındaki hacmin kütlesidir. () x çubuğun yoğunluğu olmak üzere, dik kesitler 9

18 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin arasındaki hacmin kütlesi m S x olur. Eğer dik kesitler arasında kalan hacimdeki sıcaklık değiģiminin x noktasındaki sıcaklık değiģimine eģit, yani u u( x, t t) u( x, t),, E c x x Sx u x t t u x t (3..) olur. Böylece (3..) ve (3..) eģitlenerek,, u x x u x t St k x x k( x) Q( x, t) Sxt x x c( x) ( x) Sx u( x, t t) u( x, t) elde edilir. Her iki taraf S x t ile bölünür ve x, t için limit alınırsa u x, t u x, t k x Qx, t cx x x x t (3..3) kısmi diferansiyel denklemi elde edilir. Bu metal bir çubukta, ısı yayılımının diferansiyel denklemidir. Eğer k, c ve fiziksel parametreleri çubuk boyunca düzgün, yani sabit iseler, (3..3) denklemi, ux, t u x t x x F x, t denklemine indirgenir. Burada c materyalin geçirgenliği ve dır. denklem k (3..4) Q( x, t) F( x, t) c Özel olarak çubukta ısı oluģturan bir kaynak yok ise Q( x, t) olur ve, u x, t u x t x halini alır. Buna bir boyutlu ısı denklemi denir. x (3..5) Isı yayılımı probleminde tek bir çözüm elde edebilmek için, (3..3) denklemi ile birlikte, çubuğun baģlangıç ısısı ve çubuğun uç noktalarındaki sıcaklıklarının verilmesi gerekir. Yani, u x f x u t T u L t u (,) ( ), (, ), (, ) L koģulları verilmelidir. Bunlardan ilki baģlangıç, diğer ikisi sınır koģullarıdır.

19 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 3. SONLU BOYUTLU BĠR ÇUBUKTA ISI ĠLETĠM PROBLEMĠ Sıfır derecede, sonlu miktarda sıvıyla temas içinde bulunan sonlu ince katı bir çubuğun soğuması durumu göz önüne alınsın. Isı akıģının sadece sıvıya doğru olduğu ve sıvıdan çevreye ısı iletiminin olmadığı kabul edilsin. O zaman çubuk için baģlangıç-sınır değer problemi Ģu Ģekildedir: x u t u (3..) xx t için u, t (3..) x, / kau t qm d dt k B t (3..3) u x, u x, x (3..4) Burada,, k katının öz iletkenliği, c k yoğunluğu, c ise özgül ısısıdır. M sıvının kütlesi, q ise özgül ısısıdır. k, k öz iletkenliğine ve h ısı h değiģimi katsayısına bağlı bir sabittir k. k Katı-sıvı arasında yüzeydeki ısı transferinin oranı, çubuğun ucuyla sıvı arasındaki sıcaklık farkıyla orantılıdır ve x ' de Fourier in ısı iletimi yasası uygulanarak, elde edilir. t u, t kc u, t, t (3..5) x

20 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin Çözümü bulmak için değiģkenlere ayırma yöntemi uygulanırsa problemin sıfır olmayan çözümü,, X xt t u x t Ģeklindedir. Bu ifadeyi (3..) de yerine yazarak, elde edilir. Burada dır. Bu durumda, bulunur. (3..6) ifadesi, (3..6) T '( t) X ''( x) T( t) X ( x) T () t, u x t olur. (3..7) yi (3..3) de yerine yazarak, e t t X x e (3..7),,,,, kaux t qm ut t kc uxt t kb u t kc ux t ka kk Bc ux, t kbu, t qmut, t qmkc uxt, t (3..8) elde edilir. i, i ( i,) katsayılar olmak üzere, ka kk Bc, k B, qm, qmkc dönüģümleri yapılır, (3..7) ve (3..8) de yerine yazılırsa X () X () X () X () elde edilir.,,, katsayılarını qm ' ye bölersek, kb qm k kb / ca c ka elde edilir. Burada, : qm Ģeklindedir. (3..9) x ve x ' de sınır koģullarının uygulanmasıyla, ikinci mertebeden sınır değer problemi elde edilir.

21 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin [] de sınır koģulunda parametresi içeren u : u qu u (3..) cosu a sinu a (3..) u b ub u b ub (3..) sınır-değer problemi ele alınır. Burada, q x,, fonksiyon,, Ģeklindedir. ve ab de sürekli bir,, (3..3) Özel olarak k durumunda (3..)-(3..) için öz fonksiyon açılımını kullanarak, (3..)-(3..4) probleminin çözümünü sunan bir seri elde edilebilir., H L a b Hilbert uzayı olarak iki bileģenli vektörler için iç çarpımı biçiminde tanımlanır. Burada, b (3..4) a F, G : F x G x dx F G F ( x) G ( x),, F G H F G ve (3..3) de tanımlanmıģ bir sabittir. Gereklilik için, Ģeklinde yazılır []. : R u u u (3..5) : R u u u (3..6) (3..)-(3..4) de verilmiģ sınır problem [] den operatör biçiminde aģağıdaki gibi yazılır: AF R F : x q x b F (3..7) F H F ( x) AC a, b, F L a, b,cos F ( a) sin F ( a), DA ( ) F ( ) R b F 3

22 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 3.3. BĠR UÇ YÜZEYĠ SIVIYLA TEMAS HALĠNDEKĠ YALITILMIġ YARI SONSUZ BĠR ÇUBUKTA DĠFÜZYON OLAYI Yarı sonsuz silindirik katı cisim, keyfi Ģekil ve boyutta çapraz kesite ve x da düz uç yüzeye sahiptir. Yan yüzeyler, ısı alıģ-veriģi olmaması için izole edilmiģtir ve pozitif x eksenine bağlı baģlangıç sıcaklık dağılımına sahiptir. Ģekildedir. Sıvı, keyfi baģlangıç sıcaklığını muhafaza etmek için iyi karıģmıģ (homojen) ġekil

23 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin t Sıvıdan çevreye ve çevreden de sıvıya ısı iletiminin olmadığını varsayalım. anında katının tabanı sıvıyla temas halindedir. Amaç, herhangi bir t dağılımına uygun bir kural belirlemektir. anında, sıvının sıcaklığına ve katının sıcaklık t anındaki ve x pozisyonundaki katının sıcaklığı u( x, t ) ile gösterilsin. Bu durumda zamana bağlı olarak, bir boyutlu ısı denklemi biçiminde ifade edilir. u u (3.3.) x x k olup fiziksel bir sabittir.. c k katının öz iletkenliği, yoğunluk ve c özgül ısıdır. A katı cismin çapraz kesitin alanı olsun. Bu ucun yüzeyi sıvıyla temastadır. vt () her t anında sıvının sıcaklığını göstersin. O halde katı cisimle sıvı arasındaki termik(sıcaklık) bağıntı; u(, t) v( t), t (3.3.) ile ifade edilir. Katı cisimden sıvıya ısı akıģının oranı x uç yüzeyinde kaux dir. Sıvıdaki ısı birikiminin oranı qmv () t dir ( M sıvının kütlesi, q özgül ısı). Burada ısı transferi söz konusu olup alınan ısı, verilen ısıya eģit olacağından eģitliği sağlanır. gösterirse,, qmv t kau t (3.3.3) Sonuç olarak, eğer ( x) ve v katıdaki ve sıvıdaki baģlangıç sıcaklıklarını x 5

24 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin lim u( x, t) ( x), x, t lim v( t) v t (3.3.4) sağlanır. Problem sadece u( x, t ) için Ģu Ģekilde formüle edilebilir: qmv () t = kau (, t) qmv( t) kau (, t) x x bölersek, Bu denklemin bütün terimlerini ile çarpıp ux(, ) t nin katsayısına qmv() t ka u t x (, ) qmv() t elde edilir. Burada diyelim. Genelliği bozmadan ka alınırsa olur. v t u, t (3.3.5) x (3.3.) denklemini t ye göre türevlendirerek u(, t) v( t) t u (, t) v( t) ( ) t yazılabilir. () ifadesini (3.3.5) te kullanarak u t u t Ģeklinde t(, ) x(, ) yazılabilir. O halde u( x, t ) için problem, u u, x, x x (3.3.6) u, t u, t, t, (3.3.7) t x u x, t x, x, (3.3.8) u, v (3.3.9) 6

25 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin biçimindedir. Problemin fiziksel durumunu korumak için, x da u( x, t ) çözümü için koģulu sağlanır. lim u x, t x (3.3.) 3.4 YAN (LATERAL) YÜZEYLERĠ ĠZOLE EDĠLMEMĠġ HOMOJEN OLMAYAN BĠR ÇUBUKTA DĠFÜZYON OLAYI t anında tabanı keyfi baģlangıç sıcaklığına sahip iyi karıģmıģ bir sıvıyla temas halinde olan, yan yüzeyleri (lateral kısımları) izole edilmemiģ, ısı alıģveriģi sırasında q( x) u miktarda ısı kaybeden, x a uzunluğunda yoğunluğu 3 br / cm, x uzunluğunda ise yoğunluğu 3 br / cm olan homojen olmayan yarı sonsuz silindirik bir katı cisim düģünelim. Bu taktirde sıvı ile katı arasında sıcaklık bağıntısını bulmaya yarayan ısı denklemi biçimindedir [7]. u u ( x) q( x) u t x 7

26 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ġekil STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ ĠÇĠN YARI EKSENDE AYRIġIM PROBLEMĠ 3.5. Temel Tanımlar ve Teoremler y( x) y( x) Tanım Wx ( ) W y( x), y( x) biçiminde y ( x) y ( x) tanımlanan Wx ( ) determinantına, y ( x ) ve y ( ) x fonksiyonlarının Wronskiyeni denir. 8

27 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin Tanım Sturm-Liouville problemi olarak bilinen Ly x y q x y y (3.5.) y a cos y a sin (3.5.) y b cos y b sin (3.5.3) probleminin tanımlı olduğu [ ab, ] aralığı sonlu ve problemdeki qx () fonksiyonu bu aralıkta toplanabilir ise, bu sınır değer problemine regülerdir denir. Diğer durumlarda, yani [ ab, ] aralığının sonlu olmadığı veya qx () in ab, aralığında toplanabilir olmadığı veya bu iki durumun her ikisinin geçerli olması halinde ise probleme singülerdir denir. Tanım Eğer (3.5.)-(3.5.3) sınır değer problemi belli bir değeri için aģikar olmayan bir yx (, ) çözümüne sahipse, e (3.5.)-(3.5.3) sınır değer probleminin bir özdeğeri, yx (, ) e ise bu özdeğere karģılık gelen özfonksiyon denir. Tanım H bir Hilbert uzayı ve A bu uzayda tanımlı bir operatör olsun. R ( A I) varsa ve bütün H uzayında tanımlı operatörü ifade ediyorsa değerine A operatörünün regüler noktası denir. R operatörü ise A nın rezolventi olarak adlandırılır. Regüler olmayan bütün sayılarına A operatörünün spektrumu denir. Bir operatörün özdeğerleri spektrum kümesine dahildir. O halde için R ( A I) yoktur. Bütün özdeğerlerin kümesine operatörün discrete spektrumu denir. Spektrumun diğer noktalarına sürekli spektrum noktaları denir. Bu noktaların oluģturduğu kümeye operatörün sürekli spektrumu denir []. fonksiyonları için Tanım Bir [ ab, ] aralığında tanımlı ve sürekli tüm f() x 9

28 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin b, Af x k x f d a biçiminde tanımlanan A operatörüne kx (, ) çekirdeğine sahip integral operatör denir. Burada ab, dir. Tanım L operatörü diferansiyel ifadesi ve d y dy l( y) p ( x) p ( x) p ( x) y dx dx U ( ), v y sınır koģullarından oluģan diferansiyel operatör olsun, burada, p( x), p( x) p ( x) katsayıları süreklidir. Ayrıca U ( ) y sınır koģulları aģağıdaki biçimde bir lineer form oluģturur: U ( y) y y y y. v a a b b denklemi ve Tanım sınır koģulları verilsin. p ( x) y p ( x) y p ( x) y f ( x) (3.5.4) y( a) y( a) y( b) y( b) y( a) y( a) y( b) y( b) (3.5.5) D ( x, t) a x b, a t b dikdörtgeninde aģağıdaki koģulları sağlayan G( x, t ) fonksiyonuna (3.5.4)-(3.5.5) sınır probleminin Green Fonksiyonu denir. G x t fonksiyonu sabitleģtirilmiģ t a, b için;, ) (, ) aralıklarında x e göre homojen (3.5.4) denklemini sağlar. ) G( x, t ), göre. mertebeden türevi x ab, aralığında süreklidir. x a, b ve t a, b t noktasında sıçramalı süreksizliğe sahiptir; at ve tb, için x e

29 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin Gx( t, t) Gx( t, t), p () t 3) G( x, t ) fonksiyonu (3.5.5) sınır koģullarını sağlar. Teorem f() x in ikinci mertebeden türeve sahip bir fonksiyon olduğunu ve (3.5.)-(3.5.3) sınır koģullarını sağladığını kabul edelim. Bu durumda f() x, (3.5.)-(3.5.3) sınır değer probleminin özfonksiyonlarıyla, mutlak ve düzgün yakınsak bir Fourier serisine açılabilir. O halde sağlanır., f x a v x a f x v x dx n n n n n

30 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 4. BULGULAR ve TARTIġMA 4. ISI ĠLETĠM DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠ 4.. Problemin Ġfadesi Bu bölümde bir boyutlu ısı denklemine iliģkin sınır koģulunda zamana göre türev içeren bir sınır değer problemini ele alacağız. D x, t : x, t bölgesinde aģağıdaki ısı iletim denklemi için u u ( x) q( x) u t x (4..) sınır koģulu ve u u u, x t x (4..) u( x,) ( x), (4..3) baģlangıç koģullarını göz önüne alalım. u(,) (4..4) u( x, t ), ( x) ve D bölgesinde tanımlı, sürekli türevlenebilir fonksiyonlardır ve, reel sayılardır. Problemin fiziksel durumunu korumak için, x da lim u( x, t). x Amacımız (4..) denkleminin D x, t : x, t bölgesinde sürekli ve (4..)-(4..4) koģullarını sağlayan çözümünü bulmaktır.

31 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 4.. DeğiĢkenlerin Ayrılması ve Sturm-Liouville Problemi (4..)-(4..4) problemini çözmek için değiģkenlere ayırma yöntemini kullanalım. (4..) in (4..) sınır değer probleminin sıfır olmayan çözümünü biçiminde arayalım. (4..5) i (4..) denkleminde yazarak u( x, t) y( x) g( t) (4..5) g( t) y( x) q( x) g( t) y( x) ( x) ( x) eģitliği elde edilir. Bu eģitliğin sol tarafı sadece t ye, sağ tarafı ise sadece x e bağlı ve t ile x birbirine bağlı olmayan bağımsız değiģkenler olduğundan eģitliğin her iki tarafı ayrılma sabiti denilen aynı bir sabite eģittir. olsun. O halde g( t) y( x) q( x) g( t) y( x) ( x) ( x) y x q x y x x y x (4..6) g t g t (4..7) denklemleri elde edilir. (4..7) denkleminin bir özel çözümü g() t t e biçimindedir. Öte yandan (4..5) i (4..) de yazarak y (4..8) () ( ) y() sınır koģulu elde edilir. Dolayısıyla, yx () fonksiyonu (4..6) denklemini ve (4..8) sınır koģulunu sağlar. u( x, t ) fonksiyonu (4..)-(4..4) probleminin sıfır olmayan çözümü olduğundan yx () fonksiyonu, (4..6), (4..8) sınır değer probleminin özfonksiyonu olmalıdır. Bundan dolayı (4..6), (4..8) Sturm-Liouville problemi için özfonksiyonlara göre ayrıģım probleminin incelenmesine gerek duyulur. 3

32 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin 4. SINIR KOġULU SPEKTRAL PARAMETRE ĠÇEREN BĠR STURM- LIOUVILLE DENKLEMĠ ĠÇĠN AYRIġIM FORMÜLÜ 4.. Probleme GiriĢ Pozitif yarı eksende (4..6), (4..8) sınır değer problemini ele alalım: y x q x y x x y x (4..) y (4..) () ( ) y() Burada qx () reel değerli bir fonksiyon olup x q x dx (4..3) eģitsizliğini sağlar, bir spektral parametre ve ( x) katsayısı olmak üzere biçiminde olup a,, xa ( x), x a noktasında süreksizliğe sahiptir. 4.. qx ( ) iken (4..), (4..) Sınır Değer Probleminin Çözümü f( x, ) e e ( x) ( x) (4..6) denkleminin qx ( ) durumundaki çözümüdür. i ( x) i ( x) Burada ( x) x ( x) a( ( x)) biçimindedir. [] dan bilindiği gibi, kapalı üst yarı düzlemden olan her için K( x,.) L ( ( x), ) olmak üzere (4..6) denkleminin aģağıdaki Ģekilde tek bir f( x, ) çözümü vardır: Burada K( x, t ) çekirdek fonksiyonu ( x) it f ( x, ) f ( x, ) K( x, t) e dt. 4

33 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ( x) K( x, t) dt c t q( t) dt, c sabit eģitsizliğini sağlar. (4..6) denkleminin katsayıları reel olduğundan f( x, ) fonksiyonu da çözümdür. f( x, ) ve f( x, ) fonksiyonlarının Wronskiyenleri x e bağlı değildir ve her reel için W f ( x, ), f ( x, ) i dır. Bu nedenle f( x, ) ve f( x, ) fonksiyonları (4..6) denkleminin temel çözümler sistemini oluģturur [6]. x 4..3 Özel Çözüm ve Saçılma Fonksiyonu ( x, ) ile (4..6) denkleminin (, ), baģlangıç koģullarını sağlayan çözümü gösterilsin. (, ) Lemma Reel için i( x, ) f ( x, ) S( ) f ( x, ) f (, ) f(, ) özdeģliği her reel için sağlanır. Burada biçimindedir, ve bağıntısını sağlar. (, ) f(, ) (4..4) f(, ) f(, ) S( ) (4..5) f S( ) Ġspat: (4..6) diferansiyel denkleminin çözümleri olan f( x, ) ve f( x, ) temel çözüm sistemini oluģturduğundan her için ( x, ) ( x, ) c ( ) f ( x, ) c ( ) f ( x, ) yazılabilir ve burada c( ), c( ) ya bağlı bulunması gereken fonksiyonlardır. ( x, ) c ( ) f ( x, ) c ( ) f ( x, ) 5

34 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin olduğu açıktır. Bu çözüm (4..6) diferansiyel denklemini ve (4..) sınır koģulunu sağladığından (, ) c ( ) f (, ) c ( ) f (, ), (, ) c ( ) f (, ) c ( ) f (, ) yazılabilir. Birinci denklemin her iki tarafı f (, ) ile, ikinci denklemin her iki tarafı f (, ) ile çarpılır ve taraf tarafa çıkartılırsa: f c( ) i (, ) f(, ) elde edilir. Benzer Ģekilde birinci denklem f (, ) ile ikincisi f (, ) ile çarpılıp taraf tarafa çıkartıldığında bulunur. O halde f c( ) i (, ) f(, ) ( x, ) c ( ) f ( x, ) c ( ) f ( x, ) ifadesinde bulduğumuz c ( ) ve c ( ) değerleri yerine yazılırsa olarak elde edilir. fonksiyonu tanımlansın. f(, ) f(, ) ( x, ) f ( x, ) i f(, ) f(, ) f( x, ) i ( ) f (, ) f(, ) (4..6) ġimdi, tüm reel için ( ) olduğunu gösterelim. Bunun için aksini varsayalım. Yani sıfırdan farklı, olsun öyle ki; Buradan ifadesi çekilir, ( ) f(, ) f(, ). f(, ) f(, ) (4..7) 6

35 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin W f (, ), f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) i Wronskiyenin ifadesinde (4..6) eģitliği yerine yazılırsa olur ve f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) i f (, ) f (, ) i (4..8) elde edilir., ve ifadelerinin reel olduğu göz önünde bulundurulduğunda (4..8) eģitliğinin sol tarafı sıfıra eģittir ve dır. O halde bir çeliģki elde edilir ve dolayısıyla tüm reel için ( ) olduğu görülür. (4..6) eģitliğinin her iki tarafı i ile çarpılıp, ( ) a bölünürse: veya elde edilir. O halde olmak üzere eģitliği bulunur. olduğu dikkate alınarak olduğundan i( x, ) f(, ) f(, ) f ( ) f (, ) (, ) f(, ) f(, ) f (, ) f(, ) f( x, ) f( x, ) i( x, ) f(, ) f(, ) f ( x, ) f ( x, ) S ( ) f (, ) f(, ) f S( ) f (, ) f(, ) (, ) f(, ) i( x, ) f ( x, ) S( ) f ( x, ) ( ) ( ) f (, ) f(, ) f(, ) f(, ) ( ) f ( ) (, ) f(, ) S( ) 7

36 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ve S( ) S( ) ( ) ( ) S( ). S( ) S( ). ( ) ( ) bulunur. Böylece lemma ispatlanır. Tanım (4..5) ile tanımlı S( ) fonksiyonuna (4..), (4..) sınır değer probleminin saçılma fonksiyonu denir ( ) Fonksiyonunun Özelliklerinin Ġncelenmesi Lemma ( ) fonksiyonunun sıfırları sanal eksende yerleģir. Ġspat: Kabul edelim ki ve (Im j, j,) ( ) fonksiyonunun iki sıfırı olsun. O halde (4..) denklemini sağlarlar. f ( x, ) q( x) f ( x, ) ( x) f ( x, ), f ( x, ) q( x) f ( x, ) ( x) f ( x, ). Birinci denklem f ( x, ) ile ikinci denklemi f( x, ) ile çarpılıp taraf tarafa çıkartılırsa, elde edilir. f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ), f ( x, ) f ( x, ) ( x) Her iki tarafın dan a integrali alınırsa f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ), f ( x, ) f ( x, ) ( x) f ( x, ) f ( x, ) dx f ( x, ) f ( x, ) dx ( ) f ( x, ) f ( x, ) ( x) dx olur. Kısmi integrasyon yardımıyla f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) ( ) f ( x, ) f ( x, ) ( x) dx 8

37 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin bulunur. Buradan, f x f x x dx f f f f ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) (, ) (, ), f x f x xdx W f f,,,,, (4..9) olduğu görülür. Diğer yandan j ler ( ) fonksiyonunun sıfırları olduğundan sağlanır. O halde bu bağıntılardan ( j) f (, j) j f(, j) f(, ) f(, ) f(, ) f(, ) bulunur. Bu ifadeler Wronskiyenin ifadesinde yerine yazılırsa W f ( x, ), f ( x, ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) x f(, ) f(, ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) elde edilir. için bu eģitlik yeniden yazılırsa (, ), (, ) (, ) W f x f x f olduğu görülür. Bu bulunan Wronskiyenin ifadesi (4..9) denkleminde yerine yazılırsa x f x x dx f ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) f ( x, ) ( x) dx f (, ) elde edilir., Im olduğundan köģeli parantezin içindeki ifadenin pozitif olduğu görülür. Buradan olduğu elde edilir. Dolayısıyla Re 9

38 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin veya Re. Yani ( ) fonksiyonunun sıfırları sadece sanal eksende yerleģir. Lemma ( ) fonksiyonunun sıfırları basittir. ile gösterilsin. Ġspat: f( x, ) fonksiyonunun ya göre diferansiyeli f ( x, ) f ( x, ),,, f x q x f x x f x (4..) denkleminin ya göre diferansiyeli alınırsa,,,,, f x q x f x x f x x f x (4..) elde edilir. (4..) denklemi f( x, ) ile (4..) denklemi ise f( x, ) ile çarpılıp taraf tarafa çıkartılırsa elde edilir. Her iki tarafın 'dan x f x f x f x f x f x,,,,, ' a integrali alınırsa ( x) f ( x, ) dx f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) dx f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) dx f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) f ( x, ) dx veya elde edilir. x f x dx f f f f,,,,, (4..) Diğer taraftan ( ) nın tanımını dikkate alarak ya göre türevi; olur. Bu ifadelerden ve ( ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) ( ) f (, ) f (, ) f (, ) ( ) f(, ) 3

39 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ifadeleri çekilip (4..) denkleminde yerine yazılırsa; ( x) f ( x, ) dx f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) (, ) ( ) f(, ) f (, ) ( ) f (, ) f (, ) f ( x) f ( x, ) dx f (, ) ( ) f (, ) f, elde edilir. Burada i alınırsa, k k k k k k k i ( x) f ( x, i ) dx f (, i ) ( i ) i f, i (4..3) elde edilir. EĢitliğin sol tarafı sıfırdan farklı olduğundan sağ taraf da sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla ( i ) ki, bu da ( ) fonksiyonunun sıfırlarının basit olması demektir. k Lemma ( ) fonksiyonu üst düzlemde (Im ) sonlu sayıda k ( k,,..., n) sıfırlarına sahiptir. Ġspat:, ( ) fonksiyonunun, birbirine komģu olan, iki sıfırı arasındaki uzaklığın infumumu olsun. olduğunu gösterelim. Aksini kabul edelim. O halde k k lim, k k ve max k M k sağlanacak biçimde, ( ) fonksiyonunun sıfırlarından oluģan, k k i ve i dizileri vardır. (4..) denkleminin f( x, ) çözümünün özelliğinden (Bknz. []) yeterince büyük A sayıları için, f ( x, ) exp( x) eģitsizliğinin x A, ve, gerçeklediğini söyleyebiliriz. Buradan ise k a göre Akk MA e e f x, ik f x, ikdx (4..4) 4 8M A k k 3

40 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin sağlanır. Diğer taraftan (4..3) den, olur. k iken x, A f ( x, ik ) f ( x, ik ) dx f ( x, ik ) f ( x, ik ) f ( x, ik ) dx A A f ( x, i ) f ( x, i ) dx f ( x, i ) f ( x, i ) dx k k k k için lim f ( x, ik) f ( x, ik) olduğundan, k A k k lim f x, i f x, i dx (4..5) k A sağlanır. (4..4) ve (4..5) ifadeleri bir çeliģki oluģturur. O halde kabulümüzün yanlıģ olduğunu ve dolayısıyla ( ) fonksiyonunun sıfırlarının sayısının sonlu olduğu söylenebilir. i ( ), j,,..., n ler ( ) fonksiyonunun sıfırları olsunlar. j j Ayrıca edelim. m j nin (, j ) f x i fonksiyonunun, (, ) daki normu olduğunu kabul O halde, (4..3) den (4..), (4..) probleminin normlaştırıcı sayıları L j ( ) (, j) (, j) ( j) (, j) (4..6) i j m x f x i dx f i i f i Ģeklinde yazılabilir Rezolvent Operatörün ĠnĢa Edilmesi Bu bölümde (4..), (4..) sınır değer probleminin rezolvent operatörünü inģa edeceğiz. H L, (, ) Hilbert uzayında vektörleri için ile iç çarpım tanımlayalım ve F ( x) F H F F, G : F ( x) G ( x) ( x) dx F G (), G ( x) G H G 3

41 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin l ( F ) ( ) ( ) F x q x F olsun. (4..), (4..) sınır değer problemine karģılık gelen L operatörü [] kullanılarak aģağıdaki formda tanımlansın: R F F () F(), R F F (). l( F ) F q( x) F ( x) olup, burada L operatörünün tanım kümesi L F :, F D( L) F () D( L) : F H F ( x), F( x) AC, b,, l( F ) L (, ), F F (), biçimindedir. (4..), (4..) sınır değer problemi Ly () x y eģitliğine denktir. Ayrıca L operatörü H uzayında öz eģleniktir. Eğer, L operatörünün spektrum noktası değilse R ( L) ( L I) rezolvent operatörü vardır. ġimdi rezolvent operatörünün biçimi bulunacaktır. Teorem Tüm, (Im, ( ) ) sayıları L operatörünün rezolvent kümesine aittir. R ( L) rezolventi ( ) (, ; ) ( ) ( ) R L G x F d çekirdeğine sahip bir integral operatördür. Burada ( x, ) f (, ), x Gx (, ; ) ( ) f ( x, ) (, ), x biçimindedir. Ġspat: F( ) D( L) nin sonsuzlukta sonlu değere sahip bir fonksiyon olduğunu kabul edelim. Rezolventin açık biçimini bulmak için y q x y x F x (4..7), 33

42 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin y y F (4..8) sınır değer problemi çözülmelidir. (4..7), (4..8) probleminin çözümünü y x, c x, x, c x, f x,, (4..9) biçiminde arayalım. Burada ( x, ) ve f( x, ) fonksiyonları Im için homojen problemin çözümleridir. elde ederiz: Sabitlerin değiģimi yöntemini uygulayarak, aģağıdaki denklemler sistemini,,,,,,,, c x x c x f x c x x c x f x x F x (4..) (4..) denklem sistemindeki birinci denklemi f ( x, ) ile ikinci denklemi f( x, ) ile çarpıp taraf tarafa çıkartılırsa,,,,,,, c x x f x x f x x F x f x (4..) elde edilir. Burada yx (, ) çözümün L, (, ) dan olması için c (, ) olması gerekir. (4..) ifadesi x, aralığında integrallendiğinde c( x, ) değeri, biçiminde bulunur. f (, ) c ( x, ) F ( ) ( ) d ( ) x Benzer Ģekilde (4..) denklem sistemindeki birinci denklemi ( x, ) ile ikinci denklemi ( x, ) ile çarpıp taraf tarafa çıkartırsak c ( x, ) ( x, ) f ( x, ) ( x, ) f ( x, ) ( x) F ( x) ( x, ) (4..) elde edilir ve bu ifadeyi, x aralığında integrallersek c ( x, ) değeri biçiminde bulunur. (4..9) kullanılarak x,,, c x c F d (4..3) f (, ) y( x, ) ( x, ) F ( ) ( ) d ( ) x x (, ) f ( x, ) c(, ) F( ) ( ) d ( ) ( ) 34

43 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ( ) ( ) x ( x, ) f (, ) F ( ) ( ) d x f ( x, ) (, ) F ( ) ( ) d c (, ) f ( x, ). (4..4),, ;,, y x G x F d c f x bulunur. c (, ) nın ifadesini bulmak için (4..8) koģulunu kullanmak gerekir. yx (, ) fonksiyonu (4..8) koģulunu sağlar. y( x, ) c ( x, ) ( x, ) c ( x, ) ( x, ) c ( x, ) f ( x, ) c ( x, ) f ( x, ) olmak üzere (4..8) koģulunu sağlatırsak, c (, ) c (, ) f (, ) c (, ) f (, ) ( ) c (, ) f (, ) F elde edilir. Bu ifadeyi düzenlendiğinde c (, ) ( ) c (, ) c (, ) f (, ) F (4..5) eģitliği elde edilir. (4..5) ifadesindeki c (, ), c (, ) değerleri (4..) ve (4..) eģitlikleri yardımıyla (, ) F c ( ) (4..6) elde edilir. (4..4) ifadesinde (4..6) değeri yazılırsa rezolvent operatörünün biçimi Ģeklinde bulunur ve teoremin ispatı biter. F (, ) (, ; ) ( ) (, ) ( ) y x G x F d f x Lemma F ( x) D( L) iki kez türevlenebilen, sonsuzlukta sonlu değer alan bir fonksiyon olsun. O halde, Im iken dir. F F( x) G, F G( x, ; ) F ( ) ( ) d f ( x, ) O ( ) (4..7) Ġspat: Teorem, (4..7) kullanılarak ve kısmi integrasyon yapılarak 35

44 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin ( x, ) f(, ) G( x, ; ) F ( ) ( ) d F ( ) ( ) d ( ) x x (, ) f( x, ) F ( ) ( ) d ( ) ( x, ) ( ) x f (, ) q( ) f (, ) F ( ) ( ) d f( x, ) (, ) q( ) (, ) F ( ) ( ) d ( ) W ( x, ), f ( x, ) ( ) F( x) ( ) f( x, ) F F ( ) G( x, ; ) F ( ) ( ) d bulunur. Burada (, ) () (, ) () ve F ( ) F ( ) q( ) F ( ) F F( x) G, F G( x, ; ) F ( ) ( ) d f ( x, ) ( ) f( x, ) f( x, ) F () F () G( x, ; ) F ( ) ( ) d ( ) ( ) biçiminde olduğu ve böylece (4..7) ifadesinin sağlandığı görülür Özfonksiyonlara Göre AyrıĢım Formülünün Elde Edilmesi Bu bölümde (4..), (4..) sınır değer probleminin özfonksiyonlarına göre ayrıģım formülünü bulacağız. alalım ve F( x, ) G(, t; ) F ( ) ( ) d R nin sıfır merkezli R yarıçaplı pozitif yönlendirilmiģ bir çember olduğunu kabul edelim. D z : z R, Im z 36

45 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin bölgesinin pozitif yönlendirilmiģ sınırını R, ile gösterelim ve bu eğri üzerinden integral alalım. D z z R, Im z ile gösterelim ve R, integrasyon özelliğini kullanalım. bölgesinin negatif yönlendirilmiģ sınırını (4..7) eģitliğinin her tarafını üzerinden integral alırsak, elde ederiz. yazabiliriz: (4..8) R, R R, i ile çarpıp, ya göre R, çemberi F x i i i F x, d d O d R, R, (4..9) R, (4..8) eģitliğini kullanarak (4..9) ifadesini aģağıdaki biçimde F x, d F x, d F x, d i i i (4..3) R, R R, ġimdi (4..9) yi kullanarak (4..3) integralinin sağ tarafını hesaplayalım. ( x, ) ve f( x, ) fonksiyonlarının özelliklerinden, R ve iken, T, x için O d i R, sağlanır. F( x) i i i F( x, ) d d O d F ( x) R R R R Bu son eģitlikten, R ve iken (4..3) integralini R F x d F x F x i F x i d i (4..3) R, lim,,, i biçiminde yazılabilir. Diğer taraftan, rezidü teorisinden n, Re, Re, F x d s F x s F x (4..3) i i j i j j j R, olur. (4..3) ve (4..3) eģitliklerini kullanarak n 37

46 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin elde edilir. n Re, Re, F x s F x s F x i j i j j j F x, i F x, id i n (4..33) ġimdi, ( x, ) nın (4..) denkleminin (, ), (, ) baģlangıç koģullarını sağlayan çözümü olduğunu kabul edelim. W ( x, ), ( x, ) olduğu açıktır. O halde f ( x, ) c ( x, ) c ( x, ) yazabiliriz. Burada olup, olduğu kolayca görülür. Dolayısıyla, c f(, ), c ( ) ( ) f ( x, ) f (, ) ( x, ) ( x, ) f (, ) ( x, ) (, ), x G( x,, ) ( x, ) (, ) ( ) ( x, ) (, ), x olur. (4..34) O halde, F( x, ) f (, ) ( x, ) (, ) F ( ) ( ) d ( ) x ( x, ) ( x, ) (, ) F ( ) ( ) d (, ) F ( ) ( ) d x F F f (, ) ( x, ) ( x, ) ( ) i j Re sf( x, ) f (, i j ) ( x, i j ) (, i j ) F ( ) d ij ( i ) j i j F f (, i j) ( x, i j), j,,..., n ( ij ) yazılabilir. f( x, ) ve ( x, ) nın özelliklerini kullanarak j j j f x, f, x,, j,,..., n (4..35) 38

47 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin yazılabilir. (4..6) ve (4..35) bağıntıları kullanılarak Re s F( x, ) Re s F( x, ). i j i j m m f ( x, i ) f (, i ) F ( ) d F f (, i ) f ( x, i ) j j j j j j formunda yazılabilir Bu ifadeyi f ( x, i j) F ( x) U j( x) m j, F( x), j,,..., n f(, ij ) F olmak üzere Re s F( x, ) Re s F( x, ) m F, U ( x) f ( x, i ) (4..36) i j i j biçiminde yazabilmemiz mümkündür. ġimdi i ifadesini hesaplayalım. (4..34) den ve F x, i F x, i j j j H,, F x i F x i d eģitliğinden F( x, i) F( x, i) f (, ) f (, ) ( x, ) (, ) F ( ) ( ) d ( ) ( ) Buradan elde edilir ki i F( x, i) F( x, i) d f (, ) f (, ) ( x, ) F ( ) ( ) i if ( ) ( ) ( x, ) (, ) F ( ) ( ) d ( x, ) F x (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) x t F dd d (4..37) biçimindedir. Böylece (4..36) ve (4..37) ifadeleri (4..33) da yerlerine yazılırsa özfonksiyonlara göre ayrıģım formülü aģağıdaki gibi bulunur: 39

48 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin F ( x) m F, U ( x) f ( x, i ) n j j j j H d (, ) (, ) x F ( ) ( ) d d ( ) F ( x, ) d. ( ) F F () m F, U () f (, i ) j j j H j n d (, ) F ( ) ( ) d d ( ) F ( ) d. (4..38) (4..39) biçiminde bulunur Isı Ġletim Probleminin Çözümü (4..38) ve (4..39) formülleri kullanılarak, (4..)-(4..4) probleminin çözümü biçimindedir. Buradan u( x, t) F ( x) e u(, t) F t n t t j j j H j d u( x, t) m e F, U ( x) f ( x, i ) e ( x, ) ( ) t e F ( x, ) (, ) ( ) ( ) ( ) F d d n d u( x,) ( x) m F, U ( x) f ( x, i ) ( x, ) j j j H j ( ) F x ( ) (, ) (, ) F ( ) ( ) dd d. (4..4) (4..4) ifadelerinde sınır koģulları yazılacak olursa sınır değer probleminin çözümü 4

49 Ala V., 4. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Bir Sınır Değer Probleminin Çözümü Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Mersin n d j j j j ( ) u(,) m F, U () f (, i ) (, ) F ( ) ( ) dd F biçiminde elde edilir. ( ) d Özel Durumda Isı Ġletim Probleminin Çözümü qx ( ), ( x), durumu için (4..6), (4..8) problemi y ( x) y( x), (4..4) y() y() (4..43) biçimini alır. Açıktır ki, (4..4) denkleminin lim i e x f( x, ) koģulunu sağlayan çözümü (, ) i x f x e biçimindedir. x (4..4) denkleminin (, ), (, ) baģlangıç koģullarını sağlayan çözümü ( x, ) sin x cos x biçimindedir. Reel için özdeģliği sağlanır. Burada sin x cos x ix i i e e i i ix (4..44) i S( ), i ( ) i olduğu açıktır. ( ) fonksiyonunun Im üst yarı düzlemde tek bir i sıfırı vardır. (4..6) yı kullanarak m normlaģtırıcı sayısı olarak hesaplanır. (4..4), (4..43) sınır değer probleminin rezolvent operatörü R ( L) G ( x, ; ) F( ) d çekirdeğine sahip bir integral operatördür. Burada 4