Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Transkript

1 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t (t,s n ) n t = t 1 (t 1,s) rastgele değişken t Ensemble Zaman (sürekli veya kesikli)

2 Rastgele Değişken Dizilerinin Gerçeklenmeleri (t ) = 0.5 cos (ωt ) + N (t ), m = 0; σ = 1; t t N t m ( i i) 0.5cos( i i) ( i i), N N 0; N N 1; Genlik, i Genlik, i Genlik, i Dizi #, i

3 3 Rastgele Süreçlerle İlgili Noktalar OYF r.d. ile ilişkilidir ensemble üzerinden. Beklenen değer ensemble üzerinden alınır. Fiziksel bir deneyde, genellikle sadece bir örnek fonksiyon vardır. Eğer ensemble ı zaman ekseniyle ilişkilendirebilirsek, rastgele süreçler teorisi rastgele sinyallerin zaman dalga şekillerinin analizine uygulanabilir.

4 4 Örnek: (1) S = {s: 1 s 1} gibi bir örnek uzayı olsun Bir rastgele süreç tanımlayalım ( t, s) scos( t), t () Başka bir rastgele süreç tanımlayalım ( t, s) cos( t s), t Kesikli-zaman formu: [n, s] = [n, s] = s cos [ n] cos [ n + s]

5 5 Bir Rastgele Sinyalin OYF si ve KDF si Her bir (t i ) örneği bir zaman noktası t i de bir r.d. dir, yani, oyf si vardır. t f x i = ( (t i) ) bir r.d. is a dir r.v. f ( x ) i i i i i i i İki nokta i, j nın ortak oyf si vardır: ( t ), ( t ) f ( x, x ) = (t ), = (t ) f ( x, x ) i i j j i j i j i i j j i j i j Bunu aşağıdaki şekilde karakterize edilen n noktaya genişletebiliriz 1 =, a rastgele random vektör vector # n n f f (x ( x), F ((x x) ) (t i ) t i t

6 6 Rastgele Süreçlerin Momentleri (Sürekli Zaman) Rastgele sürecin Ortalaması (birinci moment) m (t ) = E (t ) = x f ( ) ( ) () t ( )(t ) ( x ) dx m t E t x f x dx Rastgele sürecin Otokorelasyon fonksiyonu (ikinci moment) R R(t, t ) = E (t ) (t ) = f ( ( ), x ) dx dx ( t1, t0) E ( t1) ( t0) x1x 0 f ( t1) ( t0) ( x1x 0) dx1dx t Otokovaryans fonksiyonu (ikinci merkezi moment) C ( 1, (t0 1 ), t 0 ) = E (( 1) (t 1 ) ( 1m) (t( 1 )) 0) ( (t ( 0 0) ) m (t 0 )) C t t E t m t t m t R ( t, t ) m ( t ) m ( t ) = R (t 1, t 0 ) m (t 1 ) m t When 1 t0 t olduğunda 1 = t 0 R ( t, t ) E ( t ) x f t x dx 0 (t 0 ) R (t, t ) = E (t ) = x f ( ) ( x ) dx ( ) t ( 0, 0) ( 0) ( 0) ( 0) C t t E t m t t

7 7 Rastgele Süreçlerin Momentleri (devam) İlinti katsayısı ρ ((t t, t ) = C ( t, t ) C ( t, t ) = C (t 1, t 0 ) C (t 1, t 0 ) t 1 t0 0 C t1 t1 C t0 t0 σ (t ( )σ (t) ) C ((t, t ) C ((t, t ) Bir Kesikli Zaman Rastgele Sürecin Momenti Benzer ifadeler, sadece m [n], n, R [nn 1, n 0 ],, " etc. vb. 1 0

8 8 Örnek: (t) = cos (t + φ), φ birbiçim [, ] m (t) ve R (t 1,t 0 ) =? π d (t = (t = (ωt + φ dφ m ( t) E ( t) cos( t ) = 0, independent zamandan bağımsız of time π π π (t 1, t 0 ) = E (t 1 ) (t 0 ) = cos (ωt 1 + φ ) cos (ωt 0 + φ d R ) dφ ( t1, t0) ( t1) ( t0) cos( t π 1 ) cos( t0 ) π 1 π = cos (ω (t 1 t 0 )) 1 π 1 dφ + 1 cos cos (ω (t 1 + t 0 ) + φ ) dφ π ( t π 1 t0) d cos π ( t π 1 t0) d = cos (ω (t 1 t 0 )), function of t 1 t 0 cos ( t1 t0), t1 t0 ın fonksiyonu t t için 1 0 R( t1, t0) cos R, ' ya gecikme denir

9 9 1 n0 0. n Örnek: m n 3, R n1, n0 9 4e zaman rastgele süreçtir: olmak üzere [n] kesikli 1 = [8] ve 0 = [5] ın ortalama, varyans ve kovaryansını bulun. Ortalama: m 0 = m [5] = 3 m 1 = m [8] = 3 Varyans: E = R [5, 5,55] = 13, E E R= R 8,8[8, 8] 13= 13 Kovaryans: 0 1 σ 1 1 = σ 0 = 13 3 = 4 cov ( 1, 0 ) = C [8, 5] = R [8, 5] m [8]m [5] = =.195 İlinti katsayısı: ρ = cov ( 1, 0) = cov,.195 = σ 1 σ

10 10 Geniş nlamda Durağan (W.S.S.) Rastgele Süreç Sürekli Zaman şağıdaki şartları sağlayan rastgele süreçlere w.s.s. rastgele süreç denir (1) m (t ) = m = sabit, her t için () R (t 1, t 0 ) = R (t 1 t 0 ) = R ( ), t 1, t 0 ve = t 1 t 0 veya C (t 1, t 0 ) = C (t 1 t 0 ) = C ( ), t 1, t 0 ve = t 1 t 0 Kesikli zaman Benzer ifadeler geçerlidir.

11 11 Örnek: (t ) = cos (t + φ), φ birbiçim [, ] R t t C t t t t R ( (t, 1, t) 0 ) = C ( (t, 1, t) 0 ) = cos( (ω ( (t 1 t 0 )) )) Rastgele telegraf sinyali wss m ( t) ( p 1) e m (t ) = ( p 1) e αt R (t, t ) = e α t 1 t t 0 R ( t, t ) e 1 0 C (t, t ) = e α t 1 t t 0 ( p 1) e α t 1 +t 0 1t0 t1 t0 not wss 1 0 t 1 0 t C ( t, t ) e ( p 1) e wss değil

12 1 Ergodiklik (t), m (t) = m olan bir wss süreç olsun, Bu durumda (t); şağıdaki koşulu sağlarsa ortalama ergodik tir T lim t (t ) T = lim 1 t dt (t ) dt E E t (t m ) = m lim ( ) lim T T T T ( ) ( T ) T T T T (Ortalama kare anlamında yakınsama.) şağıdaki koşulu sağlarsa korelasyon ergodik tir 1 T lim ( t) ( t ) lim ( t) ( t ) dt T T T T T E ( t) ( t ) R ( ) lim (t ) (t τ ) = lim 1 T (t ) (t τ ) dt Zaman Ortalamaları Ensemble Ortalamaları

13 13 Örnek: (t ) =, burada = 1 eşit olasılıkla: m( )(t ) = E ( ) (t ) = E [ ] 0; = 0; m t E t E 1 1 T T dt = T T T T T T T ( t) (t ) = dt = T dt dt T T T T m ( t) ( t) olduğundan ortalama ergodik değildir. Therefore, not mean ergodic. m (t ) T (t ) T

14 14 Örnek: (t) = cos (t + φ) φ birbiçim [, ] m ( t) E ( t) E cos t 0 Ensemble ortalaması: m (t ) = E (t ) = E cos (ωt + φ ) = 0 Zaman ortalaması: 1 T (t = T (t = T T T (ωt + φ ) dt = sin sin( (ωt t+ φ ) ) ( t) x( t) dt cos( t ) dt T T T T T T T ω sin( T ) sin( T ) T sintcos ; lim sin Tcos 0 T T T Zaman ortalaması = Ensemble ortalaması olduğundan ortalama ergodik T T T T

15 15 Örnek (devam) average: R (τ ) = Ensemble ortalaması: R ( ) cosωτ t Time average: Zaman ortalaması: T T lim ( ) ( ) T cos( )cos( ( ) ) T T T T T = cos ωτ dt + T T T 4T T 4T 4TT 4T T T (t ) (t τ ) = T T cos (ωt + φ ) cos (ω(t τ ) + φ ) dt t t t t dt T cos (ω (t τ ) + φ ) dt cos( t) dt cos ( t ) dt = ωτ T cos( t) sin (ω ( (t t τ ) ) + φ ) 8ωT 8T T T lim ( t) ( t ) cost T T T Zaman ortalamaları = Ensemble ortalamaları olduğundan ortalama ve korelasyon ergodik

16 16 Beyaz Gürültü Süreci (Sürekli Zaman) t 0 ve t 1 gibi keyfi zamanlarda alınmış (t 0 ) ve (t 1 ) örnekleri olan sıfır ortalamalı rastgele süreci ele alalım Eğer bu örnekler her bir t 0 ve t 1 anlarında (bu anlar ne kadar yakın olursa olsun) ilintisiz kalıyorsa bu sürecin varyansı sonsuz olmalıdır. İlinti ve kovaryans fonksiyonları aşağıdaki formdadır. N (t, t ) = (t, t ) = N 0 R t, t C t, t δ (t t, t t ) or R (τ ) = C (τ ) = N 0 N δ (τ ) 0 veya R ( ) Böyle bir sürece beyaz gürültü denir.

17 17 Örnek: (t ) = cos (ωt + φ ) + W (t ), W(t): beyaz gürültü (ortalama 0), güç yoğunluğu N 0 / φ: birbiçim [ π, π]; φ, W bağımsız = E { cos (ωt 1 + φ ) + W (t 1 )}{ cos (ωt 0 + φ ) + W (t 0 )} R (t ( t 1, t 0 ) = E (t ( t 1 ) (t( t 0 ) E cos t1 W ( t1) cos t0 W ( t0) = E cos cos (ωt 1 + φ )cos (ωt 0 + φ ) + E w (t 1 )W (t 0 ) t1 cos t0 E W ( t1) W ( t0) + E cos (ωt 1 + φ )W (t 0 ) + E W (t 1 ) cos (ωt 0 + φ ) E cos t1 W ( t0) E W ( t1)cos t0 = E cos E W (ωt (t 10 + ) φ = ) 0 W ve bağımsız olduğundan; E cos t1 W ( t0) E cos t1 E W ( t0) 0

18 18 Örnek (devam) (t, t ) = R 1 0 cos (ωt 1 + φ )cos (ωt 0 + φ ) + E W (t 1 )W (t 0 ) ( t1, t0) E t1 t0 E W ( t1) W ( t0) veya or N 1 0 = N ω (t t ) + N 0 0 cos ( t 1 0 δ (t1 t 0) 1 t0) ( t1 t0) = cos ω (t t ) + E cos (ω (t + t ) + φ ) + N 0 0 cos ( t 1 t ) 0 E cos ( t t ) ( t δ t (t ) 1 t 0) R N R (τ ) = N cos 0 ωτ + 0 δ (τ ) ( ) cos ( )

19 19 Otokorelasyon Fonksiyonunun Özellikleri 1. ( ) ( ) 1. RR (τ ) = R ( τ ). g( t ) R ( t t ) g( t ) dt dt 0 herhangi bir g( t) için. g (t 1 ) R (t 1 t 0 ) g (t 0 ) dt 1 dt for any function g (t) (. özellik pozitif semi-definite özelliği adını alır.) R (τ) nin diğer özellikleri yukarıdakilerden çıkarılabilir: R E t R (0) ( ) 0 R (0) = E (t ) 0 ( ) R (0) R (τ ) R (0) Otokovaryans fonksiyonu için de geçerlidir.

20 0 Kros-Korelasyon Fonksiyonu R t t E t Y t R Y ((t, 1, t 0 )) = E ((t 1 ))Y( (t 0 )) Y Eğer (t) ve Y(t) nin her biri wss ise ve aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (t) ve Y(t) ortak olarak wss denir. R ( t, t ) R ( t t ) R ( ) RY Y (t1 1, t0 ) = R Y Y (t 1 t 0) = R Y Y(τ ) burada R Y (t 1, t 0 ) = E Y (t 0 ) (t 1 ) = R Y (t 0, t 1 ) eğer durağansa R Y Y(τ ) = RY Y( τ ) R ( t, t ) E Y( t ) ( t ) R ( t, t ) Y Y 0 1 ( ) ( )

21 1 Örnek: (kros-korelasyonun kullanımı) Durum (i): Let (t) = W(t), ( t) W ( t) ya da ( t) cos t W ( t) Y( t) cos t,,, aralığında düzgün dağılımlı (sinyal yok) ( ) cos 0 Durum (ii): Let RY(t) ( t1, t0= ) Ecos (ωt ( t1) + Y( φ) t0) + W(t), E (sinyal W ( t1)cos var) t0 E W t1 E t0 RY ( t1, t0) E ( t1) Y ( t0) E cos t0 W ( t1) cos t0 E cos t1 cos t0 E W ( t1)cos t0 cos 1 0 t t cos