STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI

Transkript

1 XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 6-0 Ağustos 0 Celal Baar Üniversitesi Manisa STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI Erdoğan ŞEN Okta MUKHTAROV Kamil ORUÇOĞLU Namık Kemal Üniversitesi Fen Edebiat Fakültesi Matematik Bölümü 5900 Tekirdağ Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü 6050 Tokat İTÜ Fen-Edebiat Fakültesi Matematik Mühendisliği Bölümü 4469 Maslak İstanbul ABSTRACT In this work we investigate the resolvent operator and completeness of eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem with discontinuities at two points. The problem contains an eigenparameter in the one of boundar conditions. For operator-theoretic formulation of the considered problem we define an equivalent inner product in the Hilbert space L [ ] and suitable self-adjoint lineer operator in it. Kewords: Sturm-Liouville problem eigenvalue eigenfunction rezolvent operator transmission conditions. ÖZET Bu calışmada iki noktada süreksiz olan ve sınır koşullarının birinde özdeğer parametresi içeren Sturm-Liouville probleminin rezolvent operatörünü ve özfonksionlarının tamlığını inceledik. İncelenen problemin operatör-kuramsal azılımı için L[-] Hilbert uzaında eni eşdeğer iç çarpım ve ugun kendine eşlenik lineer operatör tanımlandı. Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville problemi özdeğer özfonksion rezolvent operatör geçiş koşulları. GİRİŞ Muhtarov ve diğerleri [7] de sınır şartlarının birinde özdeğer parametresi bulunan ve tek noktada süreksiz olan Sturm-Liouville probleminin özdeğerlerini incelemiştir. Biz de bu çalışmada [-] aralığının ve h gibi iki iç noktasında süreksiz olan katsaıları sonlu h u : p u q u u h h h h () r diferansiel denkleminden 560

2 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu u 0 () u u ' 0 () sınır koşullarından ve = h = h süreksizlik noktalarındaki u( h 0) u( h 0) (4) u( h 0) u( h 0) (5) u( h 0) u( h 0) (6) u( h 0) u( h 0) (7) 4 4 geçiş koşullarından oluşan sınır-değer problemini inceledik. Burada parametredir; ( + 0 ( ( i i (i =) j j =4) doğal koşullarını sağlıorlar; h j j =4) reel saılardır ve j r ] aralıklarının her birinde sürekli olan = h p = h p q ise [- h kompleks ) ( h j h ) ve noktalarında sonlu sol ve sağ limit [- değerleri mevcut olan reel değerli fonksionlardır. Arıca her ) ( ) ( ] için r( ) 0 p( ) 0 olduğunu kabul edeceğiz. Bu problemin [6] anlamında kendine eşlenik olması için := - >0 şartının da sağlandığını kabul edeceğiz. Walter in [6] makalesinde olduğu gibi eğer ()-(7) sınır-değer problemi herhangi bir Hilbert uzaında kendine eşlenik bir operatör için özdeğer problemine indirgenebilirse o halde bu probleme kendine eşlenik problem dieceğiz. () (7) probleminin bazı özel halleri [ ] incelenmiştir. Matematiksel fiziğin bazı problemlerinde zaman değişkenine göre kısmi türev sadece diferansiel denklemde değil anı zamanda sınır koşularında da ortaa çıkmaktadır. Böle problemlere ugun olan spektral problemlerde özdeğer parametresi sadece diferansiel denklemde değil anı zamanda sınır koşullarında da bulunmaktadır [4 ]. (4)-(7) biçimindeki geçiş koşulları ise farklı fiziksel ve mekanik özellikleri bulunan cisimler arasındaki ısı ve madde iletimi vea başka geçiş süreçlerinde ortaa çıkmaktadır [ ]. Eğer SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN UYGUN HILBERT UZAYINDA ÖZDEĞER PROBLEMİ OLARAK İFADESİ u : u u ' ( u) ': u() u '() gösterimlerinden ararlanırsak kola bir şekilde u v C [ ] için [ u() v'() u'() v()] ( u) ( v)' ( u)' v() (9) olduğunu gösterebiliriz. Şimdi iki bileşenli T ( ) T : T T ( ) L [ ] T ; G ( ) G : G h G ( ) L [ ] G ; h h h (8) 56

3 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu elemanlarının çarpımını L [ ] h h lineer uzaında iki T G [ ] L elemanlarının iç p() T G : T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d T G pr h h formülü ile tanımlaalım. O halde H : ( L [ ] ) iç çarpım uzaının bir Hilbert uzaı olacağı kolaca p r p r gösterilir. Bu uzada tanım bölgesi D(K)={ T T ' T Hpr birinde mutlak süreklidir; fonksionlarının her biri [- T( h 0) T '( h 0) h ) ( T( h 0) h h ) ve ( T '( h 0) mevcuttur. T T h T h T h T h ( ) 0 ( 0) ( 0) '( 0) '( 0) T ( h 0) T ( h 0) 4T '( h 0) 4T '( h 0) ; olan K : K H p r p H p r p T( ) T : ( T) ( T) operatörünü T ( T) eşitliği ile tanımlaalım. O halde ()-(7) sınır-değer problemi KU =λu u ( ) U : D( K) ( u)' h ] aralıklarının her sonlu limit değerleri } (0) operatör-denklem biçiminde azılabilir. Bölece ()-(7) sınır-değer problemini bir Hilbert uzaında tanımlı olan bir lineer operatör için özdeğer problemine indirgemiş olduk.. Lemma. Eğer p( h 0) p( h 0) ve 4 p( h 0) 4 p( h 0) şartları sağlanıorsa K operatörü simetriktir. İspat. T G DK ugularsak () () herhangi iki eleman olmak üzere ii-bilinen Lagrange formülünü [8] p() KT G : ( T )( ) G ( ) r( ) d (( T ) )( G )' T ( ) G ( ) r( ) d h pr T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d p( h 0) W ( T G ; h 0) p( ) W ( T G ; ) h h h p( h 0) W( T G ; h 0) p( h 0) W( T G ; h 0) p() W( T G;) p() p( h 0) W ( T G; h 0) ( T ) ( G ) p() = T G pr ( G ) ( T ) W ( T G ; h 0) p( h 0) p h W T G h p h ( 0) ( ; 0) ( 0) 56

4 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu W ( T G ; h 0) p( h 0) W( T G; h 0) T G T G h h p() [( ) ( ) ( ) ( ) ] = T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d + ( ) ( ) p() ( T ) ( G ) p( ) W( T G ; ) p( h 0) W( T G ; h 0) h T G r d )+ p( h 0) W( T G ; h 0) p( h 0) W( T G ; h 0) p( h 0) W ( T G; h 0) p() W ( T G;) T G T G eşitliğini buluruz. Burada; h W( T G ; ) : T ( ) G '( ) T ( )' G ( ) (4) ile koşulunu sağladıkları için T G fonksionlarının Wronkskieni gösterilmiştir. T () ve G ( ) () fonksionları () sınır W( T G; ) =0 (5) T G eşitliği sağlanır. fonksionlarının (4)-(7) geçiş koşularını sağladığını ve lemmanın koşulunu dikkate alırsak p( h 0) W ( T G; h 0) p( h 0) T ( h 0) G ( h 0) T ( h 0) G ( h 0) p( h 0) T ( h 0) G ( h 0) T ( h 0) G ( h 0) T ( h 0) G ( h 0) p( h 0) W ( T G; h 0) (6) 4 eşitliğini ve benzer şekilde p( h 0) W( T G ; h 0) p( h 0) W( T G ; h 0) (7) elde ederiz. O halde (5) (6) ve (7) eşitsizliklerini () de erine azarak ve (9) eşitliğini de göz önüne alarak arzu edilen KT G p r T KG p r eşitliğini ani K operatörünün simetrik olduğunu elde ederiz.. Sonuç. ()-(7) sınır-değer probleminin bütün özdeğerleri reeldir. Not: p( ) q( ) ve r ( ) reel değerli fonksionlar ()-(7) koşullarının katsaıları reel saılar ve bütün özdeğerler reel olduğu için ()-(7) probleminin bütün özfonksionlarını reel değerli fonksionlar olarak kabul edebiliriz.. Sonuç. ve ()-(7) probleminin herhangi iki farklı özdeğeri u ( ) ve u ( ) bunlara karşılık gelen özfonksionlar ise 56

5 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu p() u( ) u( ) r( ) d ( u) ( u) (8) eşitliği sağlanır OPERATÖRÜNÜN REZOLVENTİ Bu kesimde özdeğer olmaan her saısının K operatörünün regüler değeri olduğunu göstereceğiz ve arıca R K : K I rezolvent operatörünü inceleeceğiz. Burada birim operatördür. T K H pr kefi elemanı için K I U T (9) operatör denklemini onunla eşdeğer homojen olmaan r ( ) ( p( ) U ')' q( ) U U T ( ) [ h ) ( h h ) ( h ] (0) U ( ) 0 () () '() () '() U U U U T () U ( h 0) U ( h 0) 0 () U ( h 0) U ( h 0) 0 (4) U ( h 0) U ( h 0) 0 (5) U ( h 0) U ( h 0) 0 (6) 4 4 sınır-değer problemi seklinde azalım. Öncelikle aşağıdaki lemmaı verelim.. Lemma. Herhangi d d aralığında tanımlı ve reel değerli r( ) 0 p( ) 0 ve fonksionları verilsin. Eğer r ( ) ve q ( ) fonksionları bu aralıkta sürekli diferansiellenebilir ise o halde her tam f ( ) ve g( ) fonksionları için r ( ) ( p( ) u ')' q( ) u u d d p ( ) I q ( ) ise sürekli (7) diferansiel denkleminin u( d ) f ( ) u'( d ) g( ) ( i vea ) (8) i i başlangıç koşullarını sağlaan u ( ) çözümü mevcuttur ve bu çözüm fonksionu her d d değeri için değişkeninin tam fonksionudur. Bu lemma Titchmarsh ın [4] kitabındaki Teorem.5 in ispatındaki öntemle benzer şekilde ispat edilir. Şimdi bu lemmadan fadalanarak () diferansiel denkleminin ( ) ve ( ) gibi iki tane çözümünü tanımlaacağız. [ h ] aralığında () diferansiel denkleminin u( ) 0 u '( ) başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü ( ) ile gösterelim. ( ) fonksionu tanımlandıktan sonra [ h h ] aralığında () diferansiel denkleminin u( h ) ( h 0 ) u '( h ) '( h 0 ) (9) 564

6 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü tanımlaabiliriz. Bu çözümü Benzer şekilde [ h ] aralığında () diferansiel denkleminin 4 4 ( ) ile gösterelim. u( h ) ( h 0 ) u '( h ) '( h 0 ) (0) başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü aralığında () diferansiel denkleminin ( ) ile gösterelim. Yine benzer şekilde [ h ] u() u'() () başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü sonra [ h h] ( ) aralığında () diferansiel denkleminin 4 4 ile göstererek bu çözümü tanımladıktan u( h ) ( h 0 ) u '( h ) '( h 0 ) () başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü ile göstererek bu çözümü tanımladıktan sonra denkleminin ( ) [ h ] aralığında () diferansiel u( h ) ( h 0 ) u '( h ) '( h 0 ) () başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü ( ) ile gösterelim.. Lemma gereği i( ) i( ) ( i = ) fonksionları tanımları gereği ( ) [ h ] ( ) [ h ] ( ) ( ) [ h h ] ( ) ( ) [ h h ] ( ) [ h ] ( ) [ h ] nın tam fonksionlarıdır. Bu fonksionların eşitlikleri ile tanımlı ve fonksionları [ h ) ( h h ) ( h ] de () denklemini ve (4)-(7) geçiş koşullarını sağlaacaklardır. Arıca ( ) çözümü () sınır koşulunu ( ) ise () sınır koşulunu sağlaacaktır. Aşağıdaki; : W ( ; ) (i=) i i i ( ) [ h) ( ) : W ( i i; ) ( ) ( h h ) ( ) ( h] gösterimlerinden fadalanacağız.. Lemma. Özdeğer olmaan her ve her [ h ) ( h h ) ( h ] için ( ) 0 dir.. Sonuç. Özdeğer olmaan her için fonksionları h aralığında fonksionları h h aralığında fonksionları ise h aralığında lineer bağımsızdırlar. 565

7 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu. Sonuç gereği özdeğer olmaan her için () diferansiel denkleminin genel çözümünü C ( ) D ( ) [ h ) u( ) C ( ) D ( ) ( h h ) C ( ) D ( ) ( h ] biçiminde ifade edebiliriz. Burada ( i =) kefi sabitlerdir. O halde sabitin varasonu öntemini (bkz. [8]) ugulaarak (0) homojen olmaan denkleminin genel çözümünü [ h ) için C i h ( ) ( ) ( ) ( ) U ( ) ( ) T ( ) d ( ) T ( ) d C ( ) D ( ) biçiminde ( h h ) D i (4) için h ( ) ( ) ( ) ( ) h (5) U ( ) ( ) T ( ) d ( ) T ( ) d C ( ) D ( ) biçiminde ( h ] için ise ( ) ( ) U ( ) ( ) T ( ) d ( ) T ( ) d C ( ) D ( ) ( ) ( ) h (6) biçiminde ifade edebiliriz. (0) diferansiel denkleminin (4)-(6) eşitlikleri ile verilmiş genel çözümünü ()-(6) koşularında erine azarsak sabitlerini bulabiliriz. (4) ifadesini () sınır koşulunda erine azarsak D ( ) 0 eşitliğini elde ederiz. özdeğer olmadığı için ( ) 0 dır. Dolaısıla D 0 olur. (6) ifadesini () sınır koşulunda erine T azarsak C ( ) buluruz. ve için bulduğumuz değerleri de göz önüne alarak (4)-(6) ifadelerini ()-(6) geçiş koşularında azarsak; C C D D değerlerini bulmak için bir lineer denklem sistemi elde ederiz. Bu sistemin determinantı 4 ( h ) ( h ) 0 olduğu için bir tek çözümü bulunur. i( ) i( ) fonksionlarının tanımlarından ararlanarak sonuncu denklem sisteminden h ( ) ( ) T h h C T ( ) d T ( ) d ( ) ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) ( ) T T d h D D C C i h ( ) ( ) D i T ( ) d D h ( ) ( ) h T ( ) d elde edilir. C i D i sabitleri için bulduğumuz değerleri (4)-(6) ifadelerinde erine azarsak ve gerekli düzenlemeleri aparsak (0)-(6) probleminin çözümü için tüm h ) ( h h ) ( h ] aralığında [ ( ) ( ) T( ) U ( ) T ( ) d ( ) T ( ) d ( ) ( ) ( ) 566

8 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu formülünü elde ederiz... Teorem. Özdeğer olmaan her saısı (0) () eşitlikleri ile tanımlı olan operatörünün regüler değeridir. Arıca R( K) : H p r H p r rezolvent operatörü kompakt operatördür. İspat. K ( ) ( ) ; ( ) hi ( i ) G ( ; ) ( ) ( ) ; ( ) hi ( i ) formülü gösteriminden ararlanarak sonuncu T ( ; ) T( ) d ( ) ( ) biçiminde ifade edebiliriz. Buradan rezolvent operatörü için T G( ; ) T( ) d ( ) ( ) R( K) T formülü elde edilir. T G( ; ) T( ) d ( ) ( ) B : L [ ] L [ ] B : H p r H p r ve S : H p r H p r operatörlerini U ( ) G R( K) T BT: G( ; BT ( ) ( ) ) T( ) d BT : ST : ( BT ) T ( ) ( ) eşitlikleri ile tanımlarsak R( K) rezolvent operatörünü R( K) = B + S biçiminde ifade edebiliriz. B operatörü L [ ] Hilbert uzaında kompakt olduğu için B operatörü H pr Hilbert uzaında kompakttır [8]. operatörünün H pr Hilbert uzaında kompakt olduğu açıktır. Dolaısıla özdeğer olmaan her için R( K) operatörü de H pr uzaında kompakttır. S ÖZFONKSİYONLAR SİSTEMİNİN SERİSİNE AÇILIM 4. Teorem. (0) () eşitlikleri ile tanımlı K operatörü H pr Hilbert uzaında kendine eşleniktir. Sonuç olarak. Teorem 4. Teorem ve ii bilinen Hilbert-Schmidt Teoremi [] gereği aşağıdaki teorem elde edilir []. 4. Teorem. H pr Hilbert uzaında (0) () eşitlikleri ile tanımlı K operatörünün saılabilir saıda reel özdeğeri mevcuttur her özdeğerin cebirsel katı sonludur özdeğerler dizisi alttan sınırlıdır ve sonlu ığılma noktası oktur. Her özdeğer cebirsel katı saıda 567

9 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu azılmak kadı ile özdeğerler dizisini... biçiminde sıralaarak ugun normlandırılmış özelementler n ( ) n : n H n... pr ( n ) biçiminde gösterilmek üzere her serisi H pr H T pr elemanı için Hilbert uzaında T elemanına akınsak olacaktır; cnn cn T n H pr Fourier n T n H pr n. (7) n T 4. Sonuç. Her f L [ ] fonksionu L ([ ] r ) Hilbert uzaında ()-(7) sınır-değer probleminin n n... özfonksionlar sisteminin f ( ) f ( ) n( ) r( ) d n( ) n serisine açılır. İspat. İspat için (7) formülünde eterlidir. (Burada L ([ ] r ) ve olduğuna dikkat etmek gerekir.) H T L [ ] 4. Sonuç. Her f L [ ] fonksionu için ( ) pr f( ) elemanını özel olarak T almak 0 Hilbert uzalarının lineer uzalar olarak anı n (8) n p() ( ) n n( ) 0 (9) n eşitlikleri sağlanır. İspat. (7) formülünü T( ) T ( ) n H pr n n0 T T nh ( ) pr n n0 biçiminde azalım. Bu formülde özel olarak 0 T ederiz. alırsak p() ( ) ( ) 0 n n n 0 p() [( ) n ] n0 (40) eşitliğini ani (8) ve (9) eşitliklerini elde 568

10 Şen Mukhtarov ve Oruçoğlu 4. Sonuç. Her f L [ ] için f ( ) n( ) d ( n) 0 eşitliği sağlanır. n0 f( ) İspat. İspat için (40) formülünü T elemanı için azmak eterlidir. 0 KAYNAKLAR [] Fulton C.T. Two-point Boundar Value Problems With Eigenvalue Parameter Contained in the Boundar Conditions Proc. Ro. Soc. Edinburgh 77A pp [] Glazman J. M. Direct Methods of Qualitative Spectral Analsis Jerusalem Israel Program for Scientific Translations 965. [] Lang S. Real Anlasis Addison-Wesle Reading Mass 98. [4] Langer R.E. A problem in Diffusion or in the Flow of Heat For A Solid in Contact With A Fluid Japan. Tohoku Math. J. 5 pp [5] Likov A.V. Mikhailov Y.A. The Theor of Heat and Mass Transfer Qosenergaizdat 96. [6] Kadakal M. and Mukhtarov O. Sh. Sturm-Liouville Problems with Discontinuities in Two Points Computers and Mathematics with applications Volume 54 Issues pp [7] Muhtarov O. Kadakal M. ve Muhtarov F. Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville Probleminin Özfonksionları Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi 8() pp [8] Naimark M. N. Linear Differential Operators Ungar New York USA 967. [9] Rasulov M.L. Methods of Contour Integration North-Holland Pub.Comp. Amsterdam 967. [0] O. Sh. Mukhtarov M. Kadakal and F. S. Muhtarov On Discontinuous Sturm- LiouvilleProblems With transmission conditions J. Math. Koto Univ. 44(4) pp [] M. Kandemir O. Sh. Mukhtarov Y. Y. Yakubov Irregular Boundar Value Problems With Discontinuous Coefficients and the Eigenvalue Parameter Mediterr J. Math. 6 pp [] Talor A. E. Introduction to Functional Analsis John-Wile 958. [] Tikhonov A. N. and Samerskii A. A. Equations of Mathematical Phsics Oford and New YorkPergamon USA 96. [4] Titchmarsh E. C. Eigenfunctions Epansion Associated With Second Order Differential Equations I Oford Univ. Press London 96. [5] Titeu I. and Yakubov Y. Completeness of Root Functions For Thermal Condition in a Strip with Piecewise Continuous Coefficients Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 7(7) pp [6] Walter J. Regular Eigenvalue Problems With Eigenvalue Parameter in the Boundar Conditions Verlag. Math. Z. pp