Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması

Transkript

1 İNŞAAT PROJELERİNİN PROGRAMLAMA, TASARIM VE YAPIM SÜRECİNDE OPTİMİZASYON Doğrusal Optimizasyon Optimizasyon Kuramı (Eniyileme Süreci) Doğrusal Olmayan Optimizasyon Optimizasyon en iyi çözümü bulma sürecidir. Doğrusal Programlama Yöntemi Problemin matematiksel olarak formüle edilmesi Karar değişkenlerinin belirlenmesi En iyi çözüm: Karı maksimize etmek Maliyeti minimize etmek Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması Amaç fonksiyonunun fonksiyonun tanımlanması Problemin grafiksel olarak çizilmesi (lineer bir ilişki ve iki karar değişkeni olacak, eğer ikiden fazla karar değişkeni varsa üç boyutlu grafik ile açıklamak gerekir uygulamada kolay olmadığı için simplex metodu (matris yöntemi) kullanılır. Problemin grafik yardımıyla incelenmesi ile optimum çözümün bulunması Örnek Bir buldozeri ve bir ekskavatörü olan bir alt yüklenici bu iş makinalrını birbirine komşu olan iki şantiyede kullanmayı düşünmektedir. Bu şantiyelerden birinde kilin tabakasının harfiyatı ve diğerinde ise zemindeki bazaltın hafriyatı yapılacaktır. Alt yüklenici daha önceki deneyimleri ışığında kil harfiyatının her 1000m 3 den TL ve bazalt hafriyatının her 1000m 3 den TL kar sağlayacağını düşünmektedir. Yapılan verimlilik analizleri sonucu 1000m 3 kil ve bazaltın harfiyatı için gereken kaynaklar aşağıdaki tablo belirtilmiştir. Alt yüklenicinin personel kadrosu 7 personel bulunmaktadır. Bu personelin 5 tanesi kazı ve temizleme işlemlerine yardımcı olmakta diğer zamanlarda ise farklı işler yapmaktadırlar. Alt yüklencinin iki iş makinası ve 5 personeli haftada 40 saat çalışmaktadır. En yüksek haftalık kazanç sağlamak için bu alt yüklenici kaynaklarını nasıl kullanmalıdır? 1000m 3 Kil Hafriyatı 1000m 3 Bazalt Hafriyatı Ekskavatör 8 saat 4 saat Buldozer 4 saat 5 saat İşcilik 50 saat 13 saat 1.0 Problemin formüle edilmesi 1.1 Karar değişkenlerinin belirlenmesi Alt yüklenici her hafta ne kadar kil ve bazalt hafriyatı yapacağına karar vermesi gerekmektedir. X 1 = 1000m3 kil hafriyatı X 2 = 1000m3 bazalt hafriyatı 1

2 1.2 Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması Ekskavatöre ilişkin sınırlama; 8x + 4x 40 (0.1) 1 2 Buldozere ilişkin sınırlama; 4x + 5x 40 (0.2) 1 2 İşçiliğe ilişkin sınırlama; 50x + 13x 200 (0.3) 1 2 Negatif olmama sınırlaması; x 0, ve x 0 (0.4) Amaç fonksiyonunun fonksiyonun tanımlanması En yüksek haftalık kazançın sağlanması, P; P= 50000x x (0.5) 1 2 P nin herhangi bir değeri için bu fonksiyonun eğimi; 1 5 x2 = ( P x1) m= = 1 6 (0.6) 2.0 Problemi grafiksel olarak ifade edilmesi 9 x x 1 +13x 2 =200 4x 1 +5x 2 = x 1 +4x 2 = x 1 2

3 3.0 Problemin grafik yardımıyla incelenmesi ile optimum çözümün bulunması Eğimi (m) 5/6 olan herhangi bir doğru çizilir ve bu çözüm alanına doğru paralel olarak hareket ettirilirse çözüm alanın çevresine ilk temas ettiği nokta en yüksek kazançı getirecek çözümü sağlar. 9 A 8 7 X 2 = B En yüksek kazanç= TL P fonksiyonun eğimi,m = -5/6 x2 5 4 C D 0 X 1 = x 1 B noktasının koordinatları (x 1 =1.67, x 2 =6.67)alt yüklenicinin haftalık kil ve bazalt harfiyat miktarlarını verir. Bu miktarlar alt yüklenicinin kazancını maksimum yapan üretim miktarlarıdır. Çözüm bölgesinin farklı noktalarındaki üretim miktarları ve kazançlar aşağıdaki tablo belirtilmektedir. Kil Hafriyatı (X 1 ) Bazalt Hafriyatı (X 2 ) P=50x 1 +60x 2 A TL B TL C TL D TL Alternatif olarak B noktasındaki üretim miktarları 0.1 ve 0.2 nolu denklemlerin birlikte çözülmesi ile hesaplanabilir. 4x1+ 5x2 = 40 ve 8x1+ 4x2 = 40 Alternatif olarak C noktasındaki üretim miktarları 0.1 ve 0.3 nolu denklemlerin birlikte çözülmesi ile hesaplanabilir. 8x1+ 4x2 = 40 ve 50x1+ 13x2 = 200 3

4 Klasik Optimizasyon Yöntemi Bir foksiyonun eğimi y= (fx), bağımlı değişkendeki (y) değişimin, bağımsız değişkendeki (x) değişime bölünmesidir. Bağımsız değişkendeki (x) pozitif bir değişim bağımlı değişkende (y) pozitif bir değişime neden olur ise, eğim pozitifdir. Tersi olarak, bağımsız değişkendeki (x) negatif bir değişim bağımlı değişkende (y) negatif bir değişime neden olur ise, eğim negatifdir. y= (fx) fonksiyonu bir doğru ise, herhangi iki nokta x 1 ve x 2 arasındaki fark bağımsız değişkendeki değişimi (x) temsil eder ve herhangi iki nokta y 1 ve y 2 arasındaki fark bağımlı değişkendeki değişimi (y). Bağımsız değişkene göre bağımlı değişkendeki değişim, (y 1 ve y 2 ) / (x 1 ve x 2 ); bir doğrunun eğimi. Bu eğim doğru boyunca sabit bir değere sahiptir, Δy/Δx= sabit. Doğrusal olmayan bir fonksiyon için x deki değişime göre y deki değişim sabit bir değer değildir. x deki değişikliğe göre eğim değişecektir. Eğim eğri üzerindeki her bir noktada ayrı ayrı değerlendirilmelidir. Bu değerlendirme için öncelikle eğri (Bakınız Grafik 1) üzerindeki bir p noktası ve p noktasına ait x 0 ve f(x 0 ) noktaları belirlenir. P noktasında x değerine göre y değerindeki değişiklik eğriye p noktasında çizilecek olan teğet doğrusuna eşittir. x değerine göre y değerindeki bu değişim, eğri üzerindeki diğer noktalarda farklı değerlere sahip olacaktır. y=f (x) f (x) f (X 0 +ΔX) q f (X 0 ) P x 0 x 0 + Δx x 4

5 Differansiyel, Limit ve Türev Kavramları Differansiyel Kalkülüs, doğrusal olmayan bir fonksiyona ait teğet doğrusunun eğiminin bulunması yönelik olarak kullanılan matematiksel yöntemdir. Doğrsal olamayan f (x) fonksiyonu (Bakınız Grafik 1) üzerinde p noktasından Δx ve Δy uzaklığında bir q noktasını belirlenirse, bu eğri parçasının eğimi, Δy/Δx. Bu eğim fonksiyonun seçilen p ve q noktaları arasındaki ortalama eğimidir. Klasik optimizasyonda asıl amaç herhangi bir nokta değişimin belirlenmesidir. Fonksiyonun, f(x), bir noktasındaki değişimi, (x), Δx 0 yaklaştırarak bulmak olasıdır. Limit = Δx 0 f(x 0 + Δx) f (x 0 ) Δx (1.0) Yukarıda yer alan denklem, bir fonksiyona ait eğimin bulunması için kullanılabinir. Bir fonksiyonun eğimine türev ve bulunması sürecine differensiyel adı verilir. y= f(x) fonksiyonunun türevi dy/ veya f (x) sembolleri ile gösterilir. Yukarıda yer alan 1.0 nolu denklemin uygulaması için f(x) = x 2 fonksiyonun göz önüne alalım. Limit = Δx 0 [(x + Δx) 2 ] [x 2 ] Δx = x2 +2x Δx+ Δx 2 + x 2 Δx = 2x Δx+ Δx2 Δx = 2x +Δx Minimum ve Maksimum Değer Kavramları Bir fonksiyonun, y = f(x), birinci dereceden türevi alınır, dy/, ve bu eşitlik sıfıra eşitlenirse o fonksiyon için x değişkenine göre y değişkenindeki değişimin sıfır olduğu nokta belirlenir. Belirlenen bu nokta fonksiyonun minimum veya maksimum noktası olabilir. Bu noktanın minimum veya maksimum bir nokta olduğunu o fonksiyonun ikinci derece türevi alınarak d 2 y/d 2 x belirlenir. Fonksiyonun ikinci derece türevi sıfırdan büyük ise bulunan nokta minimum noktasıdır; d 2 y/d 2 x > 0 (1.1) Fonksiyonun ikinci derece türevi sıfırdan küçük ise bulunan nokta maksimum noktasıdır; d 2 y/d 2 x < 0 (1.2) 5

6 Minimum Değer Noktası f(x) Fonksiyonun minimum değeri P* noktasında bulunmaktadır Minimum Koşulu, d 2 y/d 2 x > 0 Tanjant doğrusunun P* noktasındaki eğimi 0 dır. P* x Maksimum Değer Noktası f(x) Fonksiyonun maksimum değeri P* noktasında bulunmaktadır Maksimum koşulu, d 2 y/d 2 x < 0 Tanjant doğrusunun P* noktasındaki eğimi 0 dır. P* x 6

7 Yerel ve Küresel Optimum f(x) Tanjant Doğrusu (Eğim = 0) 0 Yerel Minimum Değer x Yerel Maksimum Değer Yerel Maksimum Değer Çeşitli Fonksiyonların Türevleri u d du dv dc v u 1. 0 ve (c sabit) = 7. v = 2 v n d( x ) d( cu) n 1 = 8. nx du = c 9. du + v) du dv = d( Inx) 1 = x x de ( ) = e x d( Inu) 1 du = u 5. d( uv) dv du = u + v 11. u de = e u du 6. n d( u ) = nv n 1 du 7

8 Tek Karar Degişkenli Optimizasyon Modeli Tek karar değişkenli optimizasyon modelinde, bir değişkenin değerine bağımlı olarak amaç fonksiyonun maksimize veya minimize edilmesi süreçini kapsamaktadır. Örnek Yerel bir yönetim su baskını kontrolü, su ihtiyacını gidermek, enerji üretimi ve rekreasyon alanı saglamak için bir baraj yaptırmayı düşünüyor. Fayda maliyet analizleri sonucunda yetkililer en uygun (optimum) baraj büyüklüğünü belirlemek istiyorlar. Topografik sınırlamalar nedeniyle baraj 5 milyon dönümden daha büyük tasarlanamamaktadır. Yerel yönetim bu konuda karar verebilmek için dört farklı büyüklükteki barajın maliyeti ve faydası incelenmiş ve fayda maliyete ilişkin iki fonksiyon tanımlamıştır(denklem 2.1 ve 2.2). Projeden beklenen fayda, (PF) = B (2.1) Toplam maliyet (TM) = 5 + 2B 2 (2.2) 60 Projeden Beklenen Fayda, PF Baraj Büyüklügü,B 250 Toplam Maliyet, TM Baraj Büyüklüğü,B 8

9 Bu optimizasyon problemi tek karar değişkeninden oluşuyor; barajın büyüklüğü. Yerel yönetimin amacı maksimum net faydayı sağlamak. Problemin çözümü için barajın büyüklüğü (B), projeden beklenen fayda (PF) ve projeden beklenen net fayda (NF) ile gösterilirse, optimizasyon modeli aşağıdaki gibi formüle edilir. Net Fayda (NF) = PF TM (2.3) = (10+5B) - (5 + 2B 2 ) Optimizasyon modeli: Maksimum NF = 5 + 5B - 2B 2 ve Baraj büyüklüğüne ait sınırlama, 0 B 5 dnf/db = 5-4B 5 4B = 0, B= 1.25 Milyon Dönüm NF = 5 + 5(1.25) - 2(1.25) 2 = Milyon Dolar İkinci derece türev alınarak çözümün 1.2 nolu denklemde yazan maksimum nokta olma koşulu sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmesi gerekir; d 2 NF/dB 2 = - 4 (negatif), Maksimum noktası, B = 0 ve B = 5 değerlerinin belirlenmesi gerekir, B = 0 ise NF = 5 Milyon Dolar ve B = 5 ise NF = -20 Milyon Dolar olduğundan, NF = Milyon Dolar bir global maksimum noktasıdır Dönüm Noktası 5 Net Fayda, NF Çok Karar Degişkenli Optimizasyon -25 Modeli Baraj Büyüklüğü, B 9

10 Çok karar değişkenli optimizasyon modelinde, iki veya daha fazla değişkenin değerine bağımlı olarak amaç fonksiyonun maksimize veya minimize edilmesi sürecini kapsamaktadır. Tek karar değişkenli optimizasyon modelinde olduğu gibi çözümün maksimum veya minimum bir nokta olup olmadığı kontrol edilmesi gerekir. Bu nedenle karar değişkenlerine ait fonksiyonların ikinci derece türevleri alınarak çözümün minimum veya maksimum nokta olma koşulunu sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Çok değişkenli optimizasyon modelinde bu koşulun sağlanması gerek koşul olmasına rağmen yeter koşul değildir. Bu çeşit optimizasyon modellerin çözümü için aşağıdaki yeterlilik koşulununda sağlaması gerekir. Minimum noktası için gereklilik koşulu d 2 y/dx 1 2 > 0, ve d 2 y/dx 1 2 > 0 (3.1) Minimum noktası için yeterlilik koşulu (d 2 y/ dx 1 2 ) (d 2 y/ dx 2 2 ) - (d 2 y / dx 1 dx 2 ) 2 > 0 (3.2) Maksimum noktası için gereklilik koşulu d 2 y/dx 1 2 < 0 ve d 2 y/dx 2 2 < 0 (3.3) Maksimum noktası için yeterlilik koşulu (d 2 y/ dx 1 2 ) (d 2 y/ dx 2 2 ) - (d 2 y / dx 1 dx 2 ) 2 > 0 (3.2) Çok karar değişkenli optimizasyon modelleri için yeterlik koşulunda yer alan ifade (3.2 nolu denklem) sıfırdan küçük olması durumunda bulunan nokta ne bir minimum ne de bir maksimum noktasıdır. Çözümde bulunan nokta eger noktasıdır. Örnek 2 Yerel yönetim bu yatrırım projesinin kapsamını genişletmeye karar veriyor. Bu genişletme kararı doğrultusunda baraj ile birlikte bir rekreasyon alanı yaptırmayı planlıyor. Yapılan ön çalışma sonucunda bu projede baraj büyüklüğü en fazla 5 milyon dönüm ve rekreasyon alanının büyüklüğü ise en fazla 4 bin dönüm olabileceği belirleniyor. Yerel yönetim bu ön çalışma kapsımda dört farklı büyüklükteki barajın maliyeti ve faydası incelenmiş ve fayda maliyete ilişkin iki fonksiyon tanımlamıştır (Denklem 3.4 ve 3.5). Yerel yönetim projeden maksimum net faydayı ulaşmak için optimum baraj ve rekreasyon alanlarını büyüklüğü konusunda karar vermek istiyor. Projeden beklenen fayda F, barajın büyüklüğü B, rekreasyon alanının büyüklüğü R, projeden beklenen net fayda NF ve projenin toplam maliyeti TM sembolleri ile gösterilirse F = 10+ 5B + BR (3.4) TM = 5+2B 2 +R 2 (3.5) 10

11 Optimizasyon modeli: NF = F TM (3.6) = (10+5B+BR) - (5+2B 2 +R 2 ) = 5 + 5B + BR 2B 2 - R 2 Projeye ilişkin sınırlamalar 0 B 5 ve 0 R 4 B ve R değişkelerinin maksimum değerleri kısmi türev yöntemi ile bulunabilir: dnf/db = 5 + R 4B = 0 (3.7) dnf/dr = B 2R = 0 B = 2R (3.8) 3.6 ve 3.7 nolu denklemler kullanarak B ve R değerleri bulunabilir 5 + R 8R = 0 R=5/7= 0.71 Bin Dönüm ve B = 2R = 1.42 Milyon Dönüm Projeden beklenen net fayda, NF = 8.57 *10 6 Milyon Dolar Çözümün doğrulana bilmesi için minimum veya maksimum olmak için gerek ve yeter koşullarını sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir. İkinci türevler alınarak çözümün 3.3 nolu denklemde belirtilen maksimum nokta olma koşulunu sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmesi gerekir. d 2 NF/dB 2 = -4 ve d 2 NF/dR 2 = -2 Her iki değerin sıfırdan küçük olması maksimum çözümün bulunmuş olabileceğini ifade eder ancak bu sonucu doğrulamak için gerekli olmakla birlikte yeterli degildir. Maksimum için yeterlilik koşulununda (Denklem No. 3.2) sağlanması gerekir; (d 2 NF/dBdR) 2 = 1 ve (d 2 NF/dB 2 ) (d 2 NF/dR 2 ) - (d 2 NF/dBdR) 2 = (-4)(-2) (1) = 7 Sonuç pozitif olduğundan, B = 1.42 ve R= 0.71 noktaları net fayda fonksiyonun maksimum noktalarıdır. 11

12 Eşitlik Sınırlı Optimizasyom Model Langraj Çarpanı Yöntemi Bu optimizasyon modelinde birden fazla sayıdaki karar değişkeni arasında bir eşitlik bağıntısı tanımlanır. Tanımlanan bu bağıntı optimizasyon modeli için sınır değerler tanımlar. Karar değişkenlerinin optimum değerleri tanımlanan sınırlamalar içerisinde aranır. Çoklu eşitlikli modelin optimizasyonu çözümünde kullanılan en yaygın yaklaşım Langraj Çarpanı yöntemidir. Langraj çarpanı yöntemi optimizasyon modeline yapay bir veya birden fazla degişkenin ( λ 1, λ 2, λ n ) eklenmesi ve optimizasyon modelinin çözülmesi sürecini kapsar. Örnek Yerel yönetimim planlamış olduğu yatırım projesi kapsamında rekreasyon alanının kişiye hizmet vermesini istiyor. Bu yatırım projesinde baraj gölünün yüzey alanın her 1 dönümü kişiye yüzme, kürek ve balık avlamak imkanı verirken, parkın her bin dönümü ise 1000 kişiye kamp ve piknik yapma fırsatı vermesi öngörülüyor. Bu yeni sınırlamalar doğrultusunda yerel yönetim baraj ve rekreasyon alanı için optimum ölçüleri belirlemek istiyor. Yatırım projesine insan sayısının bir degişken olarak alınması ile optimizasyon modeline getirilen yeni sınırlama aşağıdaki gibi formule edilebilinir: Optimizasyon modeli: Sınırlamalar 15000B R= (4.1) NF= 5 + 5B + BR 2B 2 - R 2 (4.2) 15B + R= 20, 0 < B < 5, ve 0< R < nolu denklemin her iki tarafı Langraj değişkeni (λ) ile çarpılır, 15B+ R - 20 = 0, λ (15B + R - 20) = λ 0 (4.3) ve optimizasyon modeli (Denklem no. 4.2) yeniden yazılırsa: NF= 5+ 5B + BR 2B 2 - R 2 - λ (15B + R - 20) (4.4) B, R ve λ değişkenlerine göre kısmi türevler alınırsa; dp/db = 5 + R 4B - 15λ = 0 (4.5) dp/dr = B 2R - λ = 0 (4.6) dp/dλ = - (15B + R - 20) = 0 (4.7) 12

13 Denklem 4.6 dan, λ = B 2R (4.8) Denklem 4.8 den elde edilen λ değeri Denklem 4.5 yerine konursa ve terimler toplanırsa, = 5 + R 4R - 15 (B 2R) = 0 (4.9) = 5 19B + 31R = 0 Fakat Deklem 4.7 den R = -15B + 20 (4.10) Bu nedenle ve 0 = 5 19B + 31(-15B + 20) = 0 veya λ -484B = 0 B = 625 / 484 = 1.29 Milyon Dönüm, R= 0.65 Bin Dönüm λ = -0.01, ve NF = 8.54 Milyon Dolar. Çözümün maksimum (veya minimum) bir nokta olup olmadığı için gereklilik ve yeterlilik koşullarını sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir. Langraj Çarpanın Yorumlanması Langraj çarpanı, optimizasyon modelinde yer alan net faydaki değişimin eşitlik sınırlamasındaki sabit değere olan duyarlılığını gösterir. Bu optimizasyon probleminde b duyarlığı aşağıdaki gibi hesaplı yorumlaya biliriz. NF = 5 + 5B + BR 2B 2 - R 2 - λ (15B + R - c) Net fayda (NF) fonksiyonun (Denklem No. 4.2) c değişkenine göre kısmi türev alınırsa: dp/dx = λ λ = c değişkenindeki birim artış (optimizasyon modelinde 1000 kişi) net faydanın 0.01 milyon dolar kadar azalmasına neden olacaktır. Optimizasyon modelinde sınır değerlerini kişi değilde kisi olarak tanımlamış olsak projeden beklenen net fayda 8.54 milyon dolar değil 8.53 milyon dolar olacaktı. λ değeri optimum çözümün belirlenen sınırlamalara karşı duyarlılığını ifade etmektedir. 13

14 Klasik optimizasyon yöntemlerinin bazı kullanım sınırlamaları Optimizasyon modelindeki fonksiyonun kısmi türevlerin olmaması Dogrusal olmayan denklemlerin çözümü Global ve yerel maksimum ve minimumların belirlenmesi Global veya yerel değerler için maksimum ve minimumların için gerek ve yeter koşulların kontrol edilmesi 14