HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR"

Transkript

1 HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli metotlar geliştirilmiştir. Geliştirilen bu metotların etkin sayısal hesaplamalara uygun sonuçlar vermesi her zaman mümkün olmayabilir. Bununla birlikte bu temel teori çoğu doğrusal olmayan programlama algoritmalarının tasarlanmasının esasını oluşturur. Bu bölümde kısıtsız ve ekstremum problemlerinin çözümünde gerek ve yeter şartları ifade eden Hessien Matris ve Quadratik Formlar tanımlanarak, eşitlik kısıtlarına sahip problemler için Jacobi ve Lagrarge Metodları tanıtılacak ve eşitsizlik kısıtlarına sahip problemler için Kuhn Tucker şartlarını belirtecektir. HESSİEN MATRİS Tanım: Çok değişkenli bir f(x 1, x,, x n ) fonksiyonun ekstremumlarının incelenmesinde yeter şartların yerine getirilmesini sağlamak için Hessien Matris ten yararlanılacaktır. Bir f(x 1, x,, x n ) fonksiyonu ve bu fonksiyonun. mertebeden kısmi türevleri tanımlı ise bu fonksiyon herhangi bir (x 1, x,, x n ) noktasına karşılık gelen. mertebeden türevlerinin değerlerinden oluşan matrisine Hessien Matris adı verilir. x x n H = x x x x n [ x n x n x x n ² ] Bu matrisin asal minörleri olan determinantlar (sol üst köşeden başlayan determinantlar) ise şu şeklinde tanımlanır. f x x n 1 = f x, x f = 1,, n = f x x 1 x x x n [ x x ² ] [ x n x n x x n ² ]

2 KUADRATİK FORM Tanım: x 0 şartını sağlayan x 1 a 11 a 1 a 1n x 1 x a 1 a a n x x = ( ) ve A = [ ] [ ] x n a n1 a n a nn x n matrislerinden oluşan aşağıdaki ifadeye Kuadratik Form adı verilir. n i=1 n j=1 Q(x) = X T. A. X = a ij x i x j Böylece tanımlanan Q(x) fonksiyonu açık olarak şu şekilde yazılabilir. a 11 a 1 a 1n x 1 a Q(X) = (x 1 x x n ) 1 a a n x [ ] [ ] a n1 a n a nn x n Çarpım işlemleri yapıldığında Q(x) = a 11 x 1 ² + a 1 x 1 x + + a 1n x 1 x n +a 1 x x 1 + a x ² + + a n x x n + a n1 x n x 1 + a n x n x + + a nn x n ² ifadesi ortaya çıkar. Burada Schwartz Teoremi gereğince kısmi türevlerin sırası önemli değildir ve x i x j = x j x i olmalıdır. Bu takdirde A simetriktir. Böylece tanımlanan kuadratik form şu özelliklere sahiptir; 1. Tüm x 0 için Q(x) 0 ise kuadratik form pozitif definittir (tanımlıdır).. Tüm x ler için Q(x) 0 ise ve Q(x) = 0 yapan bir x 0 varsa kuadratik form pozitif yarı definittir. 3. -Q(x) pozitif definit ise kuadratik form negatif definittir. 4. -Q(x) pozitif yarı definit ise kuadratik form negatif yarı definittir. 5. Bu durumların hiçbirisi sağlanmıyorsa kuadratik form tanımsızdır.

3 Buna göre, diğer bir deyişle, kuadratik formu oluşturan A matirisinin asal minörleri 1,,, n ise; i. 1 > 0, > 0,, n > 0 yani bütün asal minörler pozitif ise Q(x) pozitif definittir. ii. 1 0, 0,, n 0 iseler Q(x) pozitif yarı definittir. iii. 1 < 0, > 0, 3 < 0, 4 > 0 iseler Q(x) negatif definittir. [(-1) k işaretine sahip. Tekler negatif, çiftler pozitif] iv. 1 0, 0, 3 0, 4 0 iseler negatif yarı definittir. Ve Q(x) i oluşturan A matrisi Q(x) ile aynı özelliktedir. Bu durumda A matrisi bir Hessien Matrisi H oluşturuyor ise; Hessien Matrisi pozitif definit (tanımlı) ise bu matrisi oluşturan f(x 1, x,, x n ) fonksiyonu tam konveks tir. Hessien matrisi pozitif yarı definit ise f(x 1, x,, x n ) fonksiyonu konveksdir. Hessien matrisi negatif definit ise f(x 1, x,, x n ) fonksiyonu tam konkav dır. Hessien matrisi negatif yarı definit ise f(x 1, x,, x n ) fonksiyonu konkavdır. KONVEKS VE KONKAV FONKSİYONLAR Doğrusal fonksiyonlarda değişkenin değeri ile foksiyonun değeri oransal olarak artmaktadır. Örneğin x 1 ile ifade edilen faaliyetin miktarı x 1 den x 1 e çıktığında kâr örneğin 0 den 40 a çıkıyorsa doğrusallıktan bahsedilir. Ancak bazı durumlarda, ekonomik şartlardan dolayı kar oransal olarak artmayabilir veya azalmayabilir. Örneğin faaliyet miktarı kat arttığında kar 45 e çıkıyorsa konveks bir fonksiyon, 35 e iniyorsa konkav bir fonksiyon söz konusudur. Fonksiyonun iki değerinden doğrusal enterpolasyon yapıldığında ilgili noktadaki fonksiyonun gerçek değerini aşıyorsa bu konveks fonksiyondur. Buna göre y ve z olmak üzere iki nokta ele aldığımızda f(y) ve f(z) i birleştiren doğru parçası fonksiyonun üzerinde kalıyorsa bu fonksiyon konvekstir. Tanım: Her y ve z değeri ve 0 λ 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu konvekstir. f[λy + (1 λ)z] λf(y) + (1 λ)f(z) Her y ve z değeri ve 0 < λ < 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu tam konvekstir. f[λy + (1 λ)z] < λf(y) + (1 λ)f(z)

4 Konkav fonksiyon konveks fonksiyonun negatif halidir. Fonksiyonun iki değerinden doğrusal enterpolasyon yapıldığında ilgili noktadaki fonksiyonun gerçek değerinin altında kalıyorsa bu konkav fonksiyondur. Şekil. a) Konveks fonksiyon, b) Konkav fonksiyon, c) Konveks veya konkav olmayan fonksiyon Tanım: Her y ve z değeri ve 0 λ 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu konkavdır. f[λy + (1 λ)z] λf(y) + (1 λ)f(z) Her y ve z değeri ve 0 < λ < 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu tam konkavdır. f[λy + (1 λ)z] > λf(y) + (1 λ)f(z) Diğer bir açıdan konveks ve konkavlık özellikleri set kavramı ile ve şekiller yardımıyla açıklanabilir. İncelendiğinde yukardaki ilk üç şekilde belirtilen setlerin içersindeki herhangi iki nokta birleştirildiğinde ortaya çıkan doğru setin sınırları içersinde kaldığından bu üç set birer konveks set tanımlarlar. Dördüncü şekilde belirtilen setin içersindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru setin sınıları içersinde kalmadığından bu set bir konveks set tanımlanamaz.

5 Konveks ve konkav fonksiyonun belirlediği konveks set Konkav fonksiyonun belirlediği konveks set Konveks fonksiyonun belirlediği konveks set Konveks olmayan set KISITSIZ EKSTREMUM PROBLEMLERİNİN TEMELLERİ Bir f(x) fonksiyonunun ekstremum noktası bu fonksiyonun ya maksimum ya da bir minimumunu tanımlar. Matematik olarak bir x 0 (x 1,, x j,, x n ) noktası ele alındığında eğer, f(x 0 + h) f(x 0 ) şartı tüm j ler için yeteri kadar küçüklüğe sahip bütün h j ler için sağlanıyorsa x 0 noktası maksimum noktadır. Diğer bir ifadeyle eğer x 0 ın komşuluğunda bulunan her bir noktadaki f in f(x 0 ) dan büyük kalmıyorsa x 0 bir maksimum noktadır.

6 Benzer şekilde, yukarda tanımlanan h için x 0 noktası eğer, f(x 0 + h) f(x 0 ) şartını sağlıyorsa x 0 minimumdur. Aşağıdaki şekil tek değişkenli bir y = f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki maksimum ve minimumunu gösterir. Burada a x b aralığı f(x) in sınırını belirleme anlamına gelmez. Burada x 1, x,, x 3, x 4 ve x 6 noktaları f(x) in tüm ekstremumlarını ifade ederler. Bunlardan x 1, x 3 ve x 6 maksimum x ve x 4 ise minimum özelliği gösterirler. Maksimumlar içerisinde en maksimum özelliğe sahip olan f(x 6 ) = maks { f(x 1 ), f(x 3 ), f(x 6 )}

7 f(x 6 ) değerine global veya mutlak maksimum, (x 6 ) ya mutlak maksimum nokta, f(x 1 ) ve f(x 3 ) değerlerine ise bölgesel (yerel, lokal veya rölatif) maksimum, (x 1 )(x 3 ) e bölgesel maksimum nokta adı verilir. Benzer şekilde en minimum değer olan f(x ) = min{f(x ), f(x 4 )} f(x ) değerine global veya mutlak minimum, f(x 4 ) değerine ise bölgesel minimum adı verilir. Şekildeki x 1 maksimum bir nokta olmasına karşılık diğer x 3 ve x 6 maksimum noktalarından farklıdır. x 1 in komşuluğundaki en az bir noktadaki f değeri f(x 1 ) e eşittir. Bu durumda x 1 zayıf maksimum nokta x 3 ve x 6 ise kuvvetli maksimum nokta olarak adlandırılır. Benzer şekilde x 4 zayıf minimum noktadır. Genel olarak eğer f(x 0 + h) f(x 0 ) ise x 0 zayıf maksimum, f(x 0 + h) < f(x 0 ) ise x 0 kuvvetli maksimumdur. Diğer taraftan eğer f(x 0 + h) f(x 0 ) ise x 0 zayıf minimum, f(x 0 + h) > f(x 0 ) ise x 0 kuvvetli minimumdur. Buradaki ekstremumlar hakkındaki diğer bir özellik, f in 1. Mertebeden türevi (eğimi)nin sıfır olmasıdır. Fakat bu özellik ekstremum için yegane bir özellik de değildir, eyer (semer) noktası olan x 5 için de geçerlidir. 1. Mertebeden türevi (eğimi, gradyanı) sıfır olan bir nokta şayet bir maksimum veya minimum nokta değilse bu nokta eyer (semer) noktasıdır. TEOREM 1: f (x) fonksiyonunun extramum noktası olması gereken x 0 için gerek şart şudur: f (x 0 ) = 0 Bu şart aynı zamanda eyer (semer) noktaları için de geçerli olduğundan f (x 0 ) = 0 çözümünden elde edilen noktaları stasyoner noktalar olarak ifade etmek daha uygun olacaktır. x 0 noktasının ekstremum olması için yeter şarta da bakılmalıdır. TEOREM : Bir x 0 stasyoner noktasının ekstremum olması için yeter şart, H Hessien Matrisinin x 0 daki değerine göre matris aşağıdaki şartları sağlamalıdır: i. x 0 minimum nokta ise H pozitif definit, ii. x 0 maksimum nokta ise H negatif definittir. İSPAT: Taylor teoremine göre 0 < Ø < 1 için f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 ) + h ( 1 ) ht Hh x 0 + Øh idi. x 0 bir stasyoner nokta olduğundan, TEOREM 1 den f(x 0 ) = 0 dır. Buradan f(x 0 + h) f(x 0 ) = ( 1 ) ht Hh x 0 + Øh olur. x 0 minimum nokta kabul edilirse, bu taktirde tanımdan, bütün h 0 farkları için f(x 0 + h) f(x 0 ) yazılabilir. Buradan ( 1 ) ht Hh x 0 + Øh 0 olmalıdır. Bunun yanında. Kısmı türevler sürekli olmalı ve

8 ( 1 ) ht Hh x 0 + Øh in x 0 ve x 0 + h daki değerleri aynı işarete sahip olmalıdır. h T Hh x 0 bir quadratik form tanımlandığından eğer H x 0 pozitiftir. Bu demektirki x 0 stasyoner noktasının minimum olması için yeter şart Hessien Matrisin bu noktada pozitif definit olmasıdır. Benzer ispat maksimizasyon durumu içinde yapılabilir ve bu durum için de yeter şart Hessien matrisin bu noktada negatif definit olması gerektiği gösterilebilir. Örnek 1: f(x 1, x, x 3, ) = x 1 + x 3 + x x 3 x 1 x x 3 ² fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun ekstremum noktaları için gerek şart f(x 0 ) = 0 dan aşağıdaki ifadeler yazılabilecektir. f = 1 x 1 = 0 f x = x 3 x = 0 f x 3 = + x x 3 = 0 Birinci ifadeden x 1 = 1 elde edilir. İkinci ifadeden x 3 = x yazılabilir ve bu üçüncü ifadede kullanılırsa; + x 4x = 0 => x = elde edilir. Bu durumda x 3 3 = 4 olacaktır. 3 O halde bu denklem sisteminin ortak çözümü aşağıdaki gibidir. X 0 = ( 1, 3, 4 3 ) Bulunan bu stasyoner noktasının ekstremum olmasında yeter şart için hessien matris ele alınırsa; H X0 = x ( x 3 1 = f = x x x 3 x x 3 x x 3 x 3 )X0 0 0 = ( 0 1 ) 0 1

9 , x = 1 x, f =, 0 = ( ) ( ) 0 0 = 4 0, x x Birinci satıra göre açarak aşağıdaki determinantı bulabiliriz; = 0 1 = = [( ) ( ) (1 1)] = 6 H x 0 ın asal minör determinant değerleri sırasıyla 1 =, = 4, 3 = 6 dır. Böylece H x 0 negatif definit olacak, bu durumda da x 0 = ( 1,, 4 ) noktasının maksimum nokta 3 3 olduğu belirlenecektir. Bu örnekte f(x 1, x ) yerine f(x 1, x ) alınırsa x 0 = ( 1,, 4 ) noktası minimum nokta 3 3 olacaktır. Çünkü bu durumda hessien matris pozitif definittir. Genellikle eğer H x 0 definit değilse x 0 semer noktası olmalıdır. Bu durumun kesin belirlenememesi halinde x 0 ekstremum nokta olabilir veya olmayabilir ve Taylor açılımındaki yüksek mertebeden terimlerin belirlenmesi gerekeceğinden ancak böylece yeter şart oluşturulmuş olur. Böylesi durumda H- Hessien Matrisinin diyagonalleştirilmesi ile daha kesin bilgilere ulaşılabilir. Örnek: f(x 1, x ) = 8 x 1 x + 3x ² fonksiyonunu ele alalım. Burada gerek şart için; f (x 1, x ) = ( f, f x ) = (8x, 8x 1 + 6x ) = (0,0) dır. f = 8x = 0 f x = 8x 1 + 6x = 0 x 0 = (0, 0) dır. Bu bize problemin bir stasyoner noktasını verir. Yeter şart için x 0 daki Hessien matris H = ( ) 1 = 0 = 0 8 = 0 6 (8 8) = Bu matrisin özelliği kesin belirli değildir. Çünkü tüm asal minör determinantlar pozitif değil dolayısıyla pozitif-definit değil; 1. asal minör determinantı 0 olmakla birlikte. Asal minör determinantı 0 değil dolayısıyla negatif-definit değildir. Bir diyagonalleştirme (köşegenleştirme) metodu yardımıyla Hessien Matrisin diyagonali

10 H t = 5, ,55 şeklindedir. H t nin asal minörleri incelendiğinde 1 = , = 64 den H t veya H definit değildir. Böylece x 0 ın bir eyer (semer) noktası olduğu kesinleşir. Teorem ile oluşturulan yeter şart aynı zamanda tek değişkenli fonksiyona da uygulanır. Verilen x 0 stasyoner noktası için; 1. x 0 maksimum ise f"(x 0 ) < 0 yeter şarttır.. x 0 minimum ise f"(x 0 ) > 0 yeter şarttır. Eğer tek değişkenli durumda f"(x 0 ) = 0 ise yüksek mertebeden türevler aşağıdaki teoremde görüldüğü gibi incelenmelidir. Teorem 3: Eğer f(x) in bir x 0 stasyoner noktasında ilk (n-1) türevi = 0 ve f (n) (x) 0 ise bu takdirde (n > için ) x = x 0 da f(x) 1. N tek ise bir büküm noktasına sahiptir.. N çift ise bir ekstremum noktasına sahiptir. Eğer f (n) (x 0 ) < 0 ise ekstremum nokta maksimum, f (n) (x 0 ) > 0 ise minimum noktadır. İspat için aşağıdaki örneği ele alabiliriz. Örnek: f(x) = x 4 ve g(x) = x 3 fonksiyonlarını ele alalım. f(x) = x 4 için, f (x) = 4x 3 = 0 x 0 = 0 stasyoner noktası elde edilir. Şimdi f (0) = f (0) = f (3) (0) = 0 dır. Fakat f (4) (0) = 4 > 0 dan x 0 = 0 minimum noktadır. g(x) = x 3 için, g (x) = 3x = 0 stasyoner bir nokta olarak x 0 = 0 ı verir. N=3 te g (3) (0) = 6 0 olduğundan x 0 = 0 noktası bir büküm noktasıdır. Minimum nokta Büküm (eyer) noktası

11 Açıklama: H = ( 0, 8 ) Hessien Matrisinin Köşegen-Diyagonal Matrisi köşegen elemanları 8, 6 özdeğerlerinden oluşan matris olarak elde edilir. Özdeğerler şağıdaki gibi bulunur: H L I = ( L L ) = L 6 L 64 = 0 ==> Özdeğerler: L1= -5.55, L= Buradan H Hessien Matrisinin Köşegen (diyagonal) i H t = 33.3/ /6 5.55, 0 0, şeklindedir. Çalışma Soruları 1. f(x 1, x, x 3, ) = 3x 1 + x 1 + 4x + x x 1 x fonksiyonunun Hessien matrisini oluşturarak, definit durumları ve maksimumminimum noktaların varlığını araştırınız.. f(x 1, x ) = 16 x 1 x + 6x ² fonksiyonunun Hessien matrisini oluşturarak, definit durumları ve maksimumminimum noktaların varlığını araştırınız. Kaynaklar 1. Wayne Winston, Operations Research Applications and Algorithms 4th. Edition, 003. Yöneylem Araştırması, Hamdy Taha, 6.Basımdan çeviri. 3. MATLAB: Yapay Zeka ve Mühendislik Uygulamaları, Prof. Dr. C.Kubat, Beşiz Yayınları-1.Basım, Aralık 01.

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik İkiye Bölme / Yarılama Yöntemi Genel olarak f x = 0 gerek şartını sağlamak oldukça doğrusal olmayan ve bu sebeple çözümü

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Kısıtsız Optimizasyon

Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Bu bölümde çok değişkenli kısıtsız optimizasyon problemlerinin çözüm yöntemleri incelenecektir. Bu bölümde anlatılacak yöntemler, kısıtlı optimizasyon problemlerini de çözebilmektedir. Bunun

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Altın Oran (Golden Section Search) Arama Metodu Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Çok değişkenli DOP ların çözümü. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Çok değişkenli DOP ların çözümü. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Çok değişkenli DOP ların çözümü Dr. Özgür Kabak Doğrusal olmayan programlama Tek değişkenli DOP ların çözümü Uç noktaların analizi Altın kesit Araması Çok değişkenli DOP ların

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -II- Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -II- Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -II- Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Dersi

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

METASEZGİSEL YÖNTEMLER

METASEZGİSEL YÖNTEMLER METASEZGİSEL YÖNTEMLER Ara sınav - 30% Ödev (Haftalık) - 20% Final (Proje Sunumu) - 50% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn: Zaman çizelgeleme, en kısa yol bulunması,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x)

Detaylı

NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ

NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ Genel olarak ff(xx) 0 gerek şartını sağlamak doğrusal olmayan ifadelerde oldukça zordur ve bu sebeple çözümler zor olabilir. Newton-Raphson yöntemi, doğrusal olmayan denklemlerin

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir.

Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir. MODELLEME MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

28 C j -Z j /2 0

28 C j -Z j /2 0 3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

Altın Oran Arama Metodu(Golden Search)

Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Bir f(x) (tek değişkenli) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x) a x b

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen

Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen ÖNSÖZ Optimizasyon Teorisinin mühendislik, üretim, işletme, ekonomi, haberleşme, ulaştırma, sanayi gibi pek çok alanda uygulanması, YA nı vazgeçilmez kılmıştır. Özellikle bilgisayarların yaygın bir kullanım

Detaylı

KISITLI OPTİMİZASYON

KISITLI OPTİMİZASYON KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem)

0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Ankara Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi Prof. Dr. Hasan Şahin 0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Bu kısımda zarf teoremini ve iktisatta nasıl kullanıldığını ele alacağız. bu bölüm Chiang 13.5 üzerine

Detaylı

Yöneylem Araştırması II

Yöneylem Araştırması II Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks

Detaylı

TİPİK MODELLEME UYGULAMALARI

TİPİK MODELLEME UYGULAMALARI MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi tanımlamalara

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Optimal Kontrol. Optimizasyonun Temelleri

Optimal Kontrol. Optimizasyonun Temelleri Optimal Kontrol Bölüm 4 Optimizasyonun Temelleri Ibrahim Beklan Küçükdemiral Hakan Yazıcı Yıldız Teknik Üniversitesi, Istanbul, Türkiye 13 Aralık 2014 Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık 2014

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Eğri-Çizme Teknikleri Bu konuda ele alacağımız 3 alt başlık yer alır. Alt Başlıklar

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP) Yrd.Doç.Dr. Sabahattin Kerem AYTULUN

Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP) Yrd.Doç.Dr. Sabahattin Kerem AYTULUN Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP) Yrd.Doç.Dr. Sabahattin Kerem AYTULUN Giriş AHP Thomas L.Saaty tarafından 1970'lerde ortaya atılmıştır. Amaç alternatifler arasından en iyisinin seçilmesidir. Subjektif

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması İNŞAAT PROJELERİNİN PROGRAMLAMA, TASARIM VE YAPIM SÜRECİNDE OPTİMİZASYON Doğrusal Optimizasyon Optimizasyon Kuramı (Eniyileme Süreci) Doğrusal Olmayan Optimizasyon Optimizasyon en iyi çözümü bulma sürecidir.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.

Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı