DOĞRUSAL OLMAYAN PAR SİSTEMLER KULLANILARAK KAOTİK ZAMAN SERİSİ KESTİRİMİ

Transkript

1 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Journal of the Facult of Engineering and Architecture of Gazi Universit Cilt 27, o 2, , 2012 Vol 27, o 2, , 2012 DOĞRUSAL OLMAYA PAR SİSTEMLER KULLAILARAK KAOTİK ZAMA SERİSİ KESTİRİMİ Şaban ÖZER, Hasan ZORLU Ercies Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, 38030, Melikgazi, KAYSERİ sozer@ercies.edu.tr, hzorlu@ercies.edu.tr (Geliş/Received: ; Kabul/Accepted: ) ÖZET Bu çalışmada kaotik zaman serilerinin kestirimi için doğrusal olmaan polinomsal özbağlanım (polnomial autoregressive PAR) sistemler kullanılmıştır. Bu amaçla literatürde er alan Macke-Glass ve Lorenz kaotik sistemlerine ait zaman serilerinin kestirimi için doğrusal olmaan PAR zaman serilerine daalı çeşitli matematiksel model apıları sunulmuştur. Sunulan modellerdeki parametre değerlerinin belirlenmesi amacıla sezgisel algoritmalardan genetik algoritma (GA), diferansiel gelişim algoritması (DGA) ve klonal seçme algoritması (KSA), klasik algoritmalardan ise içsel en küçük kareler (recursive least square-rls) algoritması uarlanır algoritmalar olarak kullanılmış ve başarımları karşılaştırılmıştır. Benzetim sonuçlarına göre hem kaotik sistemler için sunulan matematiksel model apıları hem de bu model apılarına ait parametrelerin belirlenmesi için farklı algoritmalarla apılan optimizason işlemleri oldukça başarılı olmuştur. Anahtar Kelimeler: Kaotik zaman serisi kestirimi, Kaotik sistemler, PAR sistem, Esnek Hesaplama Algoritmaları. CHAOTIC TIME SERIES PREDICTIO USIG THE OLIEAR PAR SYSTEMS ABSTRACT In this work, the nonlinear polnomial autoregressive (PAR) sstem has been applied to predict chaotic time series. For this purpose, different mathematical model structures based on nonlinear PAR time series have been presented to prediction of Macke-Glass and Lorenz chaotic time series. As adaptive algorithms, Genetic algorithm (GA), differential evolution algorithm (DEA) and clonal selection algorithm (CSA) in heuristic algorithms, recursive least square algorithm (RLS) in classic algorithms have been used to determine the parameter values in the presented models and compared its performances. The simulation results have shown that both the presented mathematical models for chaotic sstems and optimization works using the different algorithms to determine the parameters of these model structures have been highl successful. Ke Words: Chaotic time series prediction, Chaotic sstems, PAR sstem, Soft Computing Algorithms. 1. GİRİŞ (ITRODUCTIO) Herhangi bir sistemin modellenmesi işleminde, denesel vea matematiksel olla elde edilmiş verilerden fadalanarak sistemlerin içapısının belirlenmesi amaçlanmaktadır. Sistemin etkin bir şekilde kontrol edilebilmesi, çıkış değeri hakkında her zaman bilgi sahibi olunabilmesi ve geliştirilebilmesi açısından sistem modelinin ve tahmin edilen modele ait parametre değerlerinin mümkün olan en az hata ile belirlenmesi gerekir [1]. Sistemlerin matematiksel modellerinin önemi bugün mühendislikteki tüm tasarımlarda hızla artmaktadır. Modelleme işlemi, kağıt, demir, cam vea kimasal birleşim üretimi gibi, endüstriel ve kontrol alanlarında, tahmin, veri haberleşmesi, ses işaretleri işleme, radar, sonar, elektrokardiogram analizi, kanal denkleştirme, ankı bastırımı ve adaptif gürültü bastırımı gibi, işaret işleme ve haberleşme alanlarında kullanılmakta olup bioloji, ekoloji ve ekonomi gibi alanlarda da kullanılmaktadır [1]. Sistem modelleme işlemi için doğrusal ve doğrusal olmaan modelleme öntemleri kullanılmaktadır [1-26]. Sistemin giriş-çıkış ilişkisinin doğrusal eşitliklerle ifade edildiği doğrusal modelleme, teorik

2 Ş. Özer ve H. Zorlu Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi altapısının gelişmiş olmasından dolaı agın bir şekilde kullanılmaktadır [1 5]. Hâlbuki gerçek haatta karşılaşılan birçok sistem doğrusal olmaan davranışlara sahiptir. Bu tür sistemlerin kimliklendirilmesinde doğrusal modelleme öntemleri etersiz kalmakta ve doğrusal olmaan modelleme öntemlerinin kullanılması gerekmektedir [-21]. Doğrusal olmaan modellemede, sistemin giriş-çıkış ilişkisi, diferansiel denklemler, üstel ve logaritmik fonksionlar gibi doğrusal olmaan matematiksel ifadelerlerle sağlanır. Doğrusal sistem modelleme öntemlerinin doğrusal olmaan sistemlerin modellenmesinde genel bir çözüm oluşturmadığı anlaşılmış ve doğrusal olmaan zaman serileri olarak volterra, bilineer ve polinomsal özbağlanım (polnomial autoregressive -PAR) modeller geliştirilmiştir [22-26]. PAR modeller, robot hata algılama [25], görüntü iileştirme, biomedikal işaretlerin işlenmesinde [26], kaotik sistemlerin modellenmesinde gibi bilimsel alanlarda agın bir şekilde kullanılmaktadır. Kalp hızı dinamiklerinin analizinde doğrusal polinomsal modeller kullanılmaktadır. Ancak akın zamanlarda kalp hızı dinamiklerinin doğrusal olmadığı ve kaotik olabileceği kabul edilmiştir [26]. Volterra ve bilineer modeller limit sakıllar ve kaos gibi zengin dinamikler sergileemediklerinden dolaı üksek dinamik apıa sahip olan sistemlerin modellenmesinde hem volterra hem de bilineer model etersiz kalır. Polinomsal ardışıl apısından dolaı PAR modelin kararsız apısı kaotik davranışa sebep olur. Bu nedenle üksek apılı dinamik sistemlere örnek olarak kaotik davranış gösteren sistemler verilebilir. Böle sistemlerin modellenmesinde doğrusal olmaan zaman serisi olarak PAR modeli önerilmiştir [19]. PAR modelinde çıkış işareti n a i i1 ni b i, j ni n j i1 j1 i1 j1 k1 c i, j, k ni n j nk denklemile elde edilir. Bu denklemde a, b ve c model parametreleridir. Döngüsel apısından dolaı, modelin kararsız olma eğilimi vardır [20]. Bu durum modelin kaotik davranış göstermesine sebep olur [21]. PAR modelleri, işaretlerin çeşitli doğrusal olmama üretme mekanizmalarını modellemek için eterlidir. Özellikle sınırlı gürültü destekli PAR modeller stasoner verileri modellemede kullanışlıdır. Zaman serisi tahmini işlemi sistem modellemenin ugulama alanları arasında er almakta ve birçok alanda başarıla ugulanmaktadır [1]. Uarlanır zaman serisi tahmini işlemine ait blok diagram Şekil 1 de verilmektedir. Burada görüldüğü gibi çıkış dizisinin n. elemanı olan (n) nin değerini, daha önceden elde edilen dizi değerlerini ((n-1), (n-2),...) kullanarak belirlenmektedir. x(n) Bilinmeen Sistem (n) z -1 Model Adaptason Algoritması Şekil 1. Zaman Serisi Tahmini için Blok Diagram (Block Diagram for Time Series Prediction) Şekil 1 deki blok diagram ele alındığında bilinmeen bir sistemin zaman serilerinin tahmini için ortaa atılan modellerdeki parametre tahmini, adaptason algoritmaları ardımıla apılmaktadır. Uarlanır modelleme olarak isimlendirilen bu işlem, model parametrelerini, hataı sıfır apacak şekilde aarlamak için kullanılır [22-24]. Bu işlemdeki temel aklaşım, modellenecek sistem parametrelerinin elde edilmesi aşamasında, her bir iterason sonucunda oluşan hata değerinin minimize edilmesi için model parametrelerini belirli bir şekilde değiştirmektir. Hata değerinin minimuma indirilmesi için klasik ve apa zeka tekniklerine daalı farklı apılarda algoritmalar kullanılmaktadır [27 37]. Literatürde klasik teknikler olarak adlandırılan algoritmalar, model apısının ve bazı istatistiki değerlerin (model derecesi, giriş ve gürültünün dağılımı v.b.) bilinmesi durumunda ii çözümler sunarlar [27]. Bu bilgilerin elde edilemediği durumlarda performansta düşme aşanmaktadır. Klasik teknikler, düşük donanım malieti, akınsak olması, hata analizinin apılabilmesi gibi özelliklerinden dolaı en fazla kullanılan öntemlerdir. Son ıllarda ise doğrusal ve doğrusal olmaan sistemlerin modellenmesinde apa zekâa daalı öntemlerin kullanılmaa başlaması modelleme ugulamalarına farklı bir bakış açısı getirmiştir [28 37]. Yapa zeka tekniklerinde model apısının bilinmesi zorunluluğu ortadan kalkmakta, fakat bu öntemlerde de bazı iç parametrelerin sisteme bağımlı olarak doğru şekilde seçilmesi ve çeşitli deneme-anılma işlemlerinin apılması gerekmektedir. Yapa zeka teknikleri arasında er alan, sezgisel nitelik taşıan ve evrim (evolution) prensibine daalı algoritmalara ilgi oldukça artmış ve sistemlerin modellenmesinde sıklıkla kullanılmaa başlamıştır [31 37]. Bu algoritmalar, özellikle parametre optimizason problemlerini çözmek için geliştirilmiştir. Bu sezgisel algoritmalara örnek olarak genetik algoritma, evrimsel programlama, genetik programlama, klonal seçme algoritması, apa bağışıklık algoritması, tabu araştırma algoritması, diferansiel gelişim algoritması, parçacık sürü optimizasonu ve evrimsel gelişime daalı çeşitli araştırma algoritmaları saılabilir [38 47]. Arıca + m (n) _ e(n) 324 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2, 2012

3 Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi Ş. Özer ve H. Zorlu literatürde bu öntemlerin çeşitli özelliklerini birlikte kullanan melez öntemlerde bulunmaktadır [48, 49]. Bu çalışmada doğrusal olmaan davranış sergileen polinomsal özbağlanım (polnomial autoregressive PAR) sistemler ardımıla kaotik zaman serilerinin kestirimi işlemi gerçekleştirilmiştir. Bu amaçla literatürde er alan kaotik sistemlerden Macke-Glass ve Lorenz kaotik sistemleri için PAR sistem tabanlı çeşitli matematiksel model apıları sunulmuş ve bu apıların parametre değerleri farklı algoritmalarla elde edilmee çalışılmıştır. Sunulan modellerdeki parametre değerlerinin belirlenmesi amacıla sezgisel algoritmalardan genetik algoritma (GA), diferansiel gelişim algoritması (DGA) ve klonal seçme algoritması (KSA), klasik algoritmalardan ise içsel en küçük kareler (recursive least square-rls) algoritması kullanılmış olup bu algoritmaların modelleme ve tahmin işlemindeki başarımları karşılaştırılmıştır. 2. ALGORİTMALAR (ALGORITHMS) Bu çalışma kapsamında kaotik zaman serilerinin tahmini için sunulan modellerdeki parametre değerlerinin belirlenmesini sağlaan uarlanır algoritmalardan birisi olan RLS algoritması model parametrelerini her iterasonda hataı en aza indirecek şekilde değiştirmektedir [2]. Model parametreleri, arzu edilen çıkış ile sistem çıkışı arasındaki farkı minimize edecek şekilde her iterasonda bir önceki hata ve çıkış değerlerinden fadalanarak hesaplanır [2]. Bu çalışmada kullanılan diğer uarlanır algoritmalar ise evrim (evolution) prensibine daalı olarak çalışmaktadır. [50]. Son zamanlarda bu prensibe daanan tekniklerin hepsini temsilen ortak bir terim olarak evrimsel hesaplama terimi agın olarak kullanılmaa başlanmıştır. Bu sınıfa giren algoritmalara örnek olarak genetik algoritma, evrimsel programlama, genetik programlama, klonal seçme algoritması, apa bağışıklık algoritması ve diferansiel gelişim algoritması saılabilir. Arıca literatürde bu öntemlerin çeşitli özelliklerini birlikte kullanan melez öntemlerde bulunmaktadır. Bir evrimsel algoritmanın temel adımları aşağıda verilmiştir. Başlangıç popülasonunu oluştur Değerlendir Aşağıdaki adımları durma kriteri sağlanıncaa kadar tekrarla Adım 1: Önceki popülasonda bulunan birelere seçme işlemi ugulaarak eni popülason oluştur. Adım 2: Yeni popülasonu değiştir Adım 3: Değiştirilmiş eni popülasonu değerlendir Evrimsel heseplama teknikleri arasında oldukça benzerlikler olmasına rağmen bir çok farklılıklar mevcuttur. Evrimsel stratejiler, özellikle parametre optimizason problemlerini çözmek için geliştirilmiştir. Evrimsel stratejilerden olan genetik algoritma (GA) [51] fikri J. Holland a aittir. GA, önlendirilmiş rasgele araştırma algoritmalarının bir türüdür. Tabii seçme (seleksion) ile canlılarda bulunan genetik gelişimin benzetişimini gerçekleştirmektedir. Temel bir GA seleksion operatörü, çaprazlama operatörü ve mutason operatörünü ihtiva etmektedir. Paralel apısından dolaı GA, geniş araştırma uzaını etkin bir şekilde araştırabilir ve operatörleri içerisinde geçiş kurallarını ugular. Bununla birlikte standart bir GA erel araştırma eteneklerinin eterli olmaması ve erken akınsama gibi dezavantajlara sahiptir. Bu dezavantajların giderilmesi için Storn ve Price tarafından diferansiel gelişim algoritması (DGA) önerilmiştir. DGA basit ama güçlü popülason tabanlı bir algoritmadır. DGA, özellikle nümerik optimizason problemlerin çözümü için geliştirilmiş ve eni çözümlerin üretilmesinde çözümler arasındaki farklardan fadalanan oldukça eni bir algoritmadır [43, 50]. DGA popülason tabanlı bir algoritma olup erel akınsama hızlarının çok üksek olması, az saıda kontrol parametresi kullanması ve çok modlu bir araştırma uzaındaki evrensel minimumu bulabilme kabilietleri gibi avantajlara sahiptir. DGA ve GA nın sistem modelleme problemine ugulanması ile ilgili literatürde çalışmalar bulunmaktadır [32-37]. Diğer bir gelişime daalı evrimsel optimizason algoritması insanın bağışıklık sisteminden esinlenerek modellenen klonal seçme algoritmasıdır (KSA). Basit apısı, her türlü probleme kolalıkla ugu1anbilirligi, parametrelere çok fazla bağımlı olmaması ve üksek akınsama hızı saesinde pek çok mühendislik probleminin çözümünde kullanılmaktadır [52-54]. Klonal seçme algoritması [55], temel olarak antijen uarılarına karşı bağışıklık cevabının temel özelliklerini açıklamak için kullanılır. Bu prensibe göre sadece antijenleri tanıan hücreler çoğalmak üzere seçilir. Seçilen bu hücreler, seçici antijenlere olan benzerliklerini artırmak için benzerlik olgunlaşması işlemine (affinit maturation process) tabi tutulur. Vücutta bir antijen tespit edildiği zaman bu antijenler kemik iliğinden üretilen antikorlarla karşılanırlar. Antijen, antikorlara bağlanır ve T ardımcı hücrelerinden aldığı sinalle B hücrelerini, bölünmeleri ve plazma hücreleri denilen antikor salgılaan hücrelere dönüşmesi için uarır. Hücre bölünmesi süreci bir klon o1uşturur, tek bir hücreden bir hücre vea hücreler kümesi oluşturulabilir. Klonal seçim mekanizması, negatif seçimin rolünü tamamlaıcı olarak, bir nonself hücre, bir "B" hücresi tarafından tanındığı zaman nasıl bir bağışıklık tepkisi verileceğini açıklamak için kullanılmaktadır. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2,

4 Ş. Özer ve H. Zorlu Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi 3. BEZETİM ÇALIŞMALARI (SIMULATIOS) Bu çalışmada üksek dinamik apıa sahip kaotik davranış gösteren sistemlerden Macke-Glass ve Lorenz kaotik sistemlerine ait zaman serilerinin tahmini doğrusal olmaan PAR sistemler kullanılarak apılmıştır. Bu amaçla kaotik sistemler için PAR sistem tabanlı matematiksel model apıları sunulmuş ve bu apıların parametre değerleri farklı uarlanır algoritmalarla elde edilmiştir Örnek Problem 1: Lorenz Sistemi (Example Problem 1: Lorenz Sstem) Yapılan bu örnek çalışmada zaman serisi tahmini işlemine ait blok diagram (Şekil 1) göz önüne alındığında bilinmeen sistem olarak doğrusal olmaan kaotik salınımlar üreten matematiksel ifadesi Denklem 1 de verilen Lorenz sistemi [56] seçilmiştir. Bu sistemin tahminini apmak üzere ise matematiksel ifadesi Denklem 2 de verilen PAR model seçilmiştir. Lorenz kaotik sistemi, 40 ıl kadar önce Lorenz tarafından, iki boutlu akışkan konveksionu için bir model olarak sunulmuştur [56, 57]. Lorenz sistemi; dx1( x2( x1 ( dt dx2( x1( r x3( x2( dt dx3( x1 ( x2( bx3( dt (1) denklemi ile ifade edilir [56]. Burada; σ, b ve r durum değişkenleridir. Sistemin karakteristik özelliği, spektrumu geniş bir frekans bölgesine aılmış periodik olmaan salınımlar üretmesidir. Sistemin kaotik davranış sergilediği parametre değerleri σ=, b=8/3 ve r=28 şeklindedir. m (n)= a 1 (n-1) + a 2 (n-2) + a 3 (n-3) + b 1,1 2 (n-1)+ b 2,2 2 (n-2) (2) Bu çalışmada Denklem 2 de sunulan PAR model ile Lorenz sisteminin bir adım sonraki durumu tahmin edilmee çalışılmıştır. Önerilen PAR modele ait parametreler GA, DGA, KSA ve RLS algoritmaları tarafından bulunmuştur. Benzetim çalışmalarında tahmin edilecek zaman serisi olarak Lorenz sistemindeki 1. dinamik {x 1 (} kullanılmıştır ve Şekil 2 de verilmiştir. Bu çalışmalarda kullanılan PAR modelin eğitimi esnasında bu zaman serisinin ilk 200 verisi kullanılmış olup sonraki 800 veri ise test işleminde kullanılmıştır. Önerilen PAR modele ait parametreler, model çıkışı { m (n)} ile Lorenz sisteminde 1.dinamikteki kaotik zaman serisine ait {x 1 (} çıkış arasındaki hata minimize edilincee kadar uarlanır algoritmalar tarafından optimize edilmiştir. Optimizasonlar sonucunda oluşan parametre değerleri Tablo 1 de verilmiştir. Bununla birlikte Lorenz sisteminde 1.dinamikteki kaotik zaman serisine ait {x 1 (} çıkış ile model çıkışı arasındaki farkın MSE değerleri ise ine anı tabloda verilmiştir. Arıca uarlanır algoritmaların başarımlarının karşılaştırılması için farklı algoritmalarla optimize edilen önerilen model çıkışında elde edilen zaman serileri ile gerçek kaotik zaman serisi grafiksel olarak Şekil 3, 4, 5 ve 6 da verilmiştir. Tablo 1. Lorenz Sisteminin Tahminine Yönelik Önerilen Modele ait Parametre ve MSE Değerleri (The Parameter and MSE Values the Proposed Model for Lorenz Sstem Prediction) Parametreler Algoritmalar MSE İterason Süre (s) a 1 a 2 a 3 b 1,1 b 2,2 KSA 1,9990-1,28 0,2461 0,0000-0,0002 0, ,7 DGA 2,4115-2,0760 0,6478 0,0002-0,0003 0, ,2 GA 2,4254-2,50 0,6635 0,0001-0,0002 0, ,2 RLS 2,3340-1,6120 0,3080 0,0090-0,0040 1, , Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2, 2012

5 Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi Ş. Özer ve H. Zorlu Lorenz sisteminde 1.dinamige ait zaman serisi Lorenz zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi Model cikisi (GA) Şekil 2. Lorenz Sisteminde 1. Dinamiğe {x 1 (} ait Zaman Serisi (The First Dnamic Time Series {x 1 (} of Lorenz Sstem) Lorenz zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi Model cikisi (CSA) -20 Şekil 3. Lorenz Zaman Serisi ve KSA Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Lorenz Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using KSA) Lorenz zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi Model cikisi (DE Alg.) -20 Şekil 5. Lorenz Zaman Serisi ve GA Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Lorenz Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using GA) Lorenz zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi Model cikisi (RLS) -20 Şekil 6. Lorenz Zaman Serisi ve RLS Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Lorenz Time Series and thetime Series Predicted b PAR Model Optimized using RLS Algorithm) 3.2. Örnek Problem 2: Macke-Glass Sistemi (Example Problem 1: Macke-Glass Sstem) PAR model ardımıla apılan tahmin işlemine önelik olarak apılan bu örnek çalışmada literatürde sıklıkla kullanılan doğrusal olmaan Macke-Glass kaotik zaman serisi ele alınmıştır [58-60]. Macke- Glass zaman serisine ait matematiksel ifade Denklem 3 deki gibidir. Burada τ>17 seçildiğinde kaotik zaman serisi oluşmaktadır. -20 Şekil 4. Lorenz Zaman Serisi ve DGA Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Lorenz Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using DGA) d( 0.2( t ) 0.2( dt 1 ( t ) (3) Literatürde apılan çalışmalar baz alındığında (t+6) zaman serisinin, (, (t-6), (t-12) ve (t-18) zaman serilerinden, tahmini apılmaa çalışılmıştır. Bu durum göz önüne alınarak Macke-Glass zaman serilerinin tahmini için önerilen PAR modele ait Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2,

6 Ş. Özer ve H. Zorlu Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi matematiksel ifade Denklem 4 de verilmiştir. Sunulan PAR model ile Macke-Glass zaman serisinin altı adım sonraki durumu tahmin edilmee çalışılmıştır. m (n+6) = a 1 (n) + a 6 (n-6) + a 12 (n-12) + a 18 (n-18) + b 1,1 2 (n) + b 6,6 2 (n-6) + b 12,12 2 (n-12) + b 18,18 2 (n-18) + b 1,6 (n)(n-6) + b 1,12 (n)(n-12) + b 1,18 (n)(n-18) + b 6,12 (n-6) (n-12) + b 6,18 (n-6)(n-18) + b 12,18 (n-12)(n-18) (4) Yapılan benzetim çalışmalarında kullanılan Macke- Glass sistemine ait zaman serisi grafiksel olarak Şekil 7 de verilmiştir. Bu çalışmalar esnasında kullanılan PAR modelin eğitimi esnasında bu zaman serisinin ilk 200 verisi kullanılmış olup sonraki 800 veri ise test işleminde kullanılmıştır. Önerilen PAR model parametreleri, model çıkışı ile Macke-Glass zaman serisi arasındaki hata minimize edilincee kadar KSA, DGA, GA, ve RLS tarafından optimize edilmiştir. Optimizasonlar sonucunda oluşan parametre değerleri Tablo 2 de verilmiştir. Bununla birlikte Macke-Glass sistem çıkışı ile model çıkışı arasındaki farkın MSE değerleri ine anı tabloda verilmiştir. Uarlanır algoritmaların başarımlarının karşılaştırılması için önerilen model çıkışında elde edilen zaman serileri ile gerçek zaman serileri grafiksel olarak Şekil 8, 9, ve 11 de verilmiştir. Arıca literatürdeki çalışmalarla kıas edilebilmesi için Macke-Glass sistem çıkışı ile model çıkışı arasındaki farkın ortalama karekök hata (Root Mean Square Error-RMS) değerleri Tablo 3 de verilmiştir. Macke-Glass zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi 1,4 1,3 Model cikisi (CSA) 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Şekil 8. Macke-Glass Zaman Serisi ve KSA Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Macke-Glass Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using KSA) Tablo 2. Macke-Glass sisteminin tahminine önelik önerilen modele ait parametre ve MSE değerleri (The Parameter and MSE Values the Proposed Model for Macke- Glass Prediction) Algoritmalar Parametreler KSA DGA GA RLS a 1 1,9958 4,4524 1,4493 3,5027 a 6 1,9375-1,590 0,8829-0,2018 a 12-0,5000-1,006-0,6076-0,1386 a 18-1,1250 1,1934 0,3998-0,4033 b 1,1-1,0312-4,5365-0,6574-2,8479 1,4 1,3 1,2 1,1 1 Macke-Glass sistemine ait zaman serisi b 6,6 1,2500-8,1855-0,9526-2,4578 b 12,12 2,000-6,8551 1,0582-0,81 b 18,18 1,2812-2,3658 0,6458 0,0476 b 1,6-0,9062 9,6268 0,8604 3,8650 b 1,12-0,25-7,3777-0,8053-3,0098 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, Şekil 7. Macke-Glass sistemine ait zaman serisi (Time Series of Macke-Glass Sstem) b 1,18 1,5156 2,0368 0,4183 1,27 b 6,12-1, ,1749 0,8115 3,8640 b 6,18-2,0000 4,4524-1,243-2,879 b 12,18-1,3750-1,590-1,349 1,1351 MSE 0,0085 0,0038 0,0081 0,0056 İterason Süre (s) 253,8 255,3 90,15 0, Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2, 2012

7 Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi Ş. Özer ve H. Zorlu Macke-Glass zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi 1,4 1,3 Model cikisi (DE Alg.) 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Şekil 9. Macke-Glass Zaman Serisi ve DGA Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Macke-Glass Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using DGA) Macke-Glass zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi 1,4 1,3 Model cikisi (GA) 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Şekil. Macke-Glass Zaman Serisi ve GA Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Macke-Glass Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using GA) Macke-Glass zaman serisi ve PAR model ile tahmin edilen zaman serisi 1,4 1,3 Model cikisi (RLS) 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Şekil 11. Macke-Glass Zaman Serisi ve RLS Algoritması Yardımıla Optimize Edilen PAR Model ile Tahmin Edilen Zaman Serisi (Macke-Glass Time Series and the Time Series Predicted b PAR Model Optimized using RLS) Tablo 3. Macke-Glass sistemi için literatürde er alan çalışmalarla önerilen modelin RMS değerleri açısından karşılaştırılması (The Comparison of the Proposed Model with Other Models presented in Literature in terms of RMS for Macke-Glass Sstem) Referans çalışma RMS Autoregressive model [58] 0,1900 Linear Prediction Method [58] 0,5500 Wang model [59 ] 0,0907 Classical RBF [60] 0,0114 KSA (Önerilen) 0,0922 DGA (Önerilen) 0,0616 GA (Önerilen) 0,0900 RLS (Önerilen) 0,0748 PAR model ardımıla literatürde kıaslama problemlerinde sıklıkla kullanılan Macke-Glass ve Lorenz kaotik sistem davranışlarının tahmin edilmesine önelik apılan çalışmalar incelendiğinde sunulan PAR modellerin tahmin işleminde [60] nolu kanak hariç başarılı oldukları tespit edilmiştir. Sunulan modellerin parametreleri uarlanır algoritmalar ardımıla tahmin edilmee çalışılmıştır. Tablo 1, 2 ve 3 incelendiğinde uarlanır algoritmaların farklı parametreler elde ettiği gözlenmiş ve hata değerleri açısından akın sonuçlar vermişlerdir. Sezgisel algoritmalar hesaplama süresi ve karmaşıklık açısından değerlendirildiğinde GA algoritması diğer sezgisel algoritmalardan daha kısa sürede sonuca ulaşmıştır. Ancak hesaplama doğruluğu açısından DGA en başarılı algoritma olarak dikkat çekmektedir. 4. SOUÇLAR (RESULTS) Bu çalışmada Lorenz ve Macke-Glass kaotik sistemlerine ait zaman serilerinin tahmini için doğrusal olmaan PAR sistemlere daalı çeşitli matematiksel model apıları sunulmuştur. Sunulan modellerdeki parametre değerleri genetik algoritma (GA), diferansiel gelişim algoritması (DGA), klonal seçme algoritması (KSA) ve içsel en küçük kareler (recursive least square-rls) algoritması ile tespit edilmiştir ve birbirlerine göre başarımları karşılaştırılmıştır. Benzetim sonuçlarına göre hem kaotik sistemler için sunulan matematiksel model apıları hem de bu model apılarına ait parametrelerin belirlenmesi için farklı algoritmalarla apılan optimizason işlemleri oldukça başarılı olmuştur. Yapılan parametre optimizasonu işlemlerinde, optimizason algoritmaları hata değerleri açısından akın sonuçlar vermiş olmakla beraber DGA en başarılı algoritma olarak tespit edilmiştir. Kaotik sistemlere ait zaman serilerinin tahmini işleminde doğrusal olmaan PAR sistemlere daalı matematiksel model apılarının başarıla kullanılabileceği görülmüştür. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2,

8 Ş. Özer ve H. Zorlu Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi 4. KAYAKLAR (REFERECES) 1. Ljung, L., Sstem Identification: Theor For The User, Englewood Cliffs, J, Prentice Hall, Gauss, K. F., Theor of the Motion of Heavenl Bodies, Dover, Zadeh, L.A., From Circuit Theor to Sstem Theor, Proc IRE, 50, , Töderstrom S., Sstem Identification, Prentice- Hall, Ljung L., Söderström T., Theor and Practice Of Recursive Identification, Cambridge, MA, MIT Press, Makhoul, J., Linear Prediction: A Tutorial Review, Proc. IEEE, Cilt 63, , Lim, Y.C., Parker, S.R., On The Identification Of Sstems From Data Measurements Using ARMA Lattice Models, IEEE TRAS. ASSP, Cilt 4, , Özer, Ş., Taşpınar,., Güne, K., ARMA modeli ile Arık Zamanlı Lineer Sistemlerin Modellenmesi, Bilkent Üni. Elektrik- Elektronik ve Bilgisaar Mühendisliği Konferansı Bildiri kitabı, , Özer, Ş., Sağıroğlu, Ş., Kaplan, A., Performance Analsis of Algorithms on Linear ARMA Models, Proc. Of the Int. Smposium Computer and Information Science XVI, , Widrow, B, Stearns, D., Adaptive Signal Processing, Prentice Hall, Honig, H.L., Messerschmitt, D.G., Adaptive Filters Structures, Algorithms and applications, Kluwer Academic Publishers, Isidori A., onlinear Control Sstems: An Introduction, Lecture otes in Control An Information Science, Cilt 72, Springer-Verlag, Berlin, Prochazka, A., eumann, R., High Frequenc Distortion Analsis Of A Semiconductor Diode For CATV Applications, IEEE Trans. on Consumer Electronics, Cilt CE-21, , am, S.W., Powers, E.J., Application Of Higher Order Spectral Analsis To Cubicall onlinear Sstem Identification, IEEE Trans. on Signal Processing, Cilt 42, , Özgunel, S., Karan, A. H., Panairci, E., onlinear Channel Equalization and Identification, Proc. Of Int. Conf. on Digital Signal Proc., , Florence, Özden, M. T., Karan, A. H., Panairci, E., Adaptive Volterra Filtering with Complete Lattice Orthogonalization, IEEE Trans. On Signal Proc., Cilt 44, , Griffith, D.W., Arce, G.R., Partiall Decoupled Volterra Filters: Formulation and LMS Adaptation, IEEE Trans. on Signal Processing, Cilt 45, , Lee, J., Mathews, V.J., A Stabilit Condition For Certain Bilinear Sstems, IEEE Trans. on Signal Processing, Cilt 42, , Cowan, C.F, Grant, P.M., onlinear Sstem Modelling - Concept and Application, Proceedings Of IEEE Int. Conference On Acoustic Speech and Signal Processing, 1-4, San Diego, California, Priestle, M. B., onlinear and on-stationar Time Series Analsis, Academic Press, Rauf, F., onlinear Adaptive Filtering : A Unified Approach, Ph.D. Thesis, Boston Universit, Boston, Giannakis, G.B., Serpedin, E., A Bibliograph on onlinear Sstem Identification, Signal Processing, Cilt 81, , Khurram, M. U., Fast Learning onlinear Adaptive Filtering Structures, Ph.D. Thesis, Universit Of Boston, Koh, T., Powers, E. J., Scond Order Volterra Filtering and Its Application to nonlinear sstem identification, IEEE Trans. on ASSP, Cilt 33, , Leuschen, M.L., Walker, I.D.; Cavallaro, J.R.; Fault residual generation via nonlinear analtical redundanc, IEEE Transactions on Control Sstems Technolog, Cilt:13, , Goldberger, AL., Applications of chaos to phsiolog and medicine, In: Kim JH, Stringer J, eds. Applied Chaos. ew York: John Wile & Sons, , Sağıroğlu, Ş., Özer, Ş., A eural Identifier for Linear Dnamic Sstems, Journal of Poltechnic, Cilt 4, 55-61, Özer, Ş., Sağıroğlu Ş.,Zorlu H., Arma Sistem Modellemede Klasik ve Yapa Sinir Ağları Algoritmalarının Karşılaştırılması, Elektrik- Elektronik-Bilgisaar Mühendisliği.Ulusal Kongresi Bildiriler Kitabı, , arendra, K.S., Mukhopadha, S., Adaptive Control Using eural etworks and Approximate Models, IEEE Trans. on eural etworks, Cilt 8, , Kaplan, A., ümerik Tabu Arama Algoritması, Doktora Tezi, Ercies Üniversitesi, Kaseri, Wang, Z., Gu, H., Parameter Identification of Bilinear Sstem Based on Genetic Algorithm, LCS 4688, 83 91, Karaboga,., Digital IIR Filter Design Using Differential Evolution Algorithm, EURASIP Journal on Applied Signal Processing, Cilt 8, , Cheng, S. L., Hwang, C., Optimal approximation of linear sstems b a differential algorithm, IEEE Trans Sst Man and Cbernet Part A Sst Humans, Cilt 31, , Chang, W.D., Parameter identification of Rossler s chaotic sstem b an evolutionar algorithm, Chaos, Solitons and Fractals, Cilt 29, 47 53, Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2, 2012

9 Doğrusal Olmaan Par Sistemler Kullanılarak Kaotik Zaman Serisi Kestirimi Ş. Özer ve H. Zorlu 35. Chang, W.D., Parameter identification of Chen and Lü sstems: A differential evolution approach, Chaos, Solitons and Fractals, Cilt 32, , Price, K. V., An introduction to differential evolution, in D. Corne, M. Dorigo, and F. Glover, (Ed), ew Ideas in Optimization, chapter 6, McGraw Hill, London, UK, Bağış, S., Yapa Zeka Algoritmaları Kullanılarak Sistem Modelleme, Yüksek Lisans Tezi, Ercies Üniversitesi, Kaseri, Kristinsson, K., Dumont, G.A., Sstem Identification and Control using Genetic Algorithms, IEEE Trans. on Sstems, Man, and Cbernetics, Cilt 22-5, 33-46, Pham, D.T., Karaboga, D., Intelligent Optimisation Techniques: Genetic Algorithms, Tabu Search, Simulated Annealing and eural etworks, Springer- Verlag, Madar, J., Aboni, J., Szeifert, F., Genetic Programming for the Identification of onlinear Input Output Models, Ind. Eng. Chem. Res., Cilt 44-9, , Bağış, A., Özçelik, Y., Gerçek Kodlu Genetik Algoritma Kullanılarak Sistem Kimliklendirme, 12. Elektrik, Elektronik, Bilgisaar, Biomedikal Mühendisliği Ulusal Kongresi, Eskişehir, Bagis, A., Performance Comparison of Genetic and Tabu Search Algorithms for Sstem Identification, Lecture otes in Computer Science (including subseries Lecture otes in Artificial Intelligence and Lecture otes in Bioinformatics), Cilt 4251 LAI-I, 94-1, Price, K., Storn, R., Differential Evolution: umerical Optimization Made Eas, Dr. Dobb s J., Cilt 78, 18 24, Bağış, A., Özçelik, Y., Farksal Evrim Algoritması Kullanılarak Sistem Kimliklendirme, Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı (TOK 07), , İstanbul, Hou, Z., Wiener Model Identification based on Adaptive Particle Swarm Optimization, Proceedings of the Seventh International Conference on Machine Learning and Cbernetics, 41-45, Kunming,12-15 Jul Liu, L., Liu, W., Cartes, D.A., Particle Swarm Optimization based Parameter Identification Applied to Permanent Magnet Snchronous Motors, Engineering Applications of Artificial Intelligence, Cilt 21, 92 10, Zorlu, H., Özer Ş., Doğrusal Olmaan Sistemlerin Klonal Seçme Algoritması Kullanılarak Kimliklendirilmesi, Sinal İşleme ve Ugulamaları Kurultaı (SİU), Subudhi, B., Debashisha, J., A Combined Differential Evolution and eural etwork Approach to onlinear Sstem Identification, IEEE Region Conference, TECO 2008, 1-6, ov Subudhi, B., Jena, D., Gupta, M.M., Memetic Differential Evolution Trained eural etworks for onlinear Sstem Identification, Third International Conference on Industrial and Information Sstems (ICIIS 2008), 1-6, Karaboğa, D., Yapa Zeka Optimizason Algoritmaları, Atlas aın dağıtım, İstanbul, Holland, J.H., Adaption in atural and Artificial Sstems, MAMIT Press, Cambridge, De Castro, L.., Von Zuben, F.J., The clonal selection algorithm with engineering applications, In Workshop Proceedings of GECCO 00, Workshop on Artificial Immune Sstems and their Applications, 36 37, Las Vegas, De Castro, L.., Von Zuben, F.J.: Learning and optimization using clonal selection principle, IEEE Transactions on Evolutionar Computation, Special Issue on Artificial Immune Sstems, Cilt 6-3, , Aslantas, V., Ozer, S., and Ozturk, S., A ovel Clonal Selection Algorithm Based Fragile Watermarking Method, LCS, Cilt 4628, , Ada, G. L. and ossal, G., The clonal selection theor, Scientific American, Cilt 257, 50 57, Lorenz, E.., Deterministic onperiodic Flow, Journal of the Athmosferic Sciences, Cilt 20, , González, O.A., Han, G., de Gvez, J.P., and Edgar, CMOS Crptosstem Using a Lorenz Chaotic Oscillator, Proceedings of the IEEE International Smposium on Circuits and Sstems, ISCAS '99, Cilt 5, , Chen Y. A., Yang B. A., Dong J. A., Abraham A., Time-Series Forecasting Using Flexible eural Tree Model, Information Sciences, Cilt 174, , Wang, L.X., Mendel, J.M., Generating fuzz rules b learning from examples, IEEE Transactions on Sstems, Man and Cbernetics, Cilt 22, , Cho, K.B., Wang, B.H., Radial basis function based adaptive fuzz sstems their application to sstem identification and prediction, Fuzz Sets and Sstems, Cilt 83, , Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 27, o 2,

10