Polinom Tabanlı Diferansiyel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boyutlu Elektromanyetik Probleme Uygulanması

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Polinom Tabanlı Diferansiyel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boyutlu Elektromanyetik Probleme Uygulanması"

Aysu Sancak
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 S Ü E M A N D E M İ R E Ü N İ V E R S İ T E S İ T E K N İ K B İ İ M E R M E S E K Ü K S E K O K U U S U E M A N D E M I R E U N I V E R S I T T E C H N I C A S C I E N C E S V O C A T I O N A S C H O O S D U T E K N İ K B İ İ M E R D E R G İ S İ S D U J O U R N A O F T E C H N I C A S C I E N C E S I CİT SAI SAFA : 0 : : : 8- Polinom Tabanlı Diferansiel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boutlu Elektromanetik Probleme Ugulanması Ahmet Rıfat GÖRGÜN, Onur ARI, Şükrü ÖZEN, Süleman Demirel Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü, Isparta Akdeniz Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği, 008 Antala Akdeniz Üniversitesi, Endüstriel ve Tıbbi Ugulama Tabanlı Mikrodalga Araştırma Merkezi (EMUMAM), 008 Antala Özet- Bu çalışmada polinom tabanlı diferansiel alan hesabı metodu iki boutlu elektromanetik problemi çözmek için ugulanmıştır. Çözüm bölgesi, dalga saısı, kanak ve sınır şartları belirlendikten sonra potansiel hem PDQM ile hem de analitik olarak çözülmüş, karşılaştırılmış ve hata hesaplanmıştır. Çözüm bölgesi, dalga saısı, kanak ve sınır şartları sabitken grid saısı arttırılmış ve grid saısının doğruluğa etkisi incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Helmholtz denklemi, DQM, PDQM, nümerik öntemler Application of Polnomial-based Differential Quadrature Method (PDQM) to D Electromagnetic Problem Abstract- In this work, polnomial-based differential quadrature method is applied to solve D electromagnetic problem. After the solution domain, wave number, source and boundar conditions have been determined, the potantial has been solved and compared using both PDQM and analticall and error has been calculated. The number of grid points have been increased while the solution domain, wave number, source and boundar conditions are stead-state, the effect of the number of the grid points to the accurac has been eamined. Ke words: Helmholtz equation, DQM, PDQM, numerical methods.giriş Birçok mühendislik problemi, ugun sınır şartlarıla birlikte (PDE) kısmi diferansiel eşitliklerin bir seti olula önetilir. Örneğin ses dalgaları ve mikrodalgalar Helmholtz eşitliği olula simüle edilebilir. Genellikle bu eşitliklerin kapalı-form çözümlerini elde etmek çok zordur. Arıca verilen bir diferansiel eşitliğe bazı aklaşık çözümler geliştirmek çözüm için önemlidir. Birçok durumda aklaşık çözüm arık noktalarda fonksionel değerler olula ifade edilir (Shu, 999). Günümüzde birçok kullanılabilir nümerik analiz metodu bulunmaktadır. Düşük dereceli metotlar kategorisinde bulunan FE metodu, değişken prensipleri vea ağırlık rezidüleri prensiplerine daanır. FD metodu ise Talor Serisi açılımı vea polinomsal aklaşımlara daanır (Shu, 999). FDM (Sonlu Farklar Metodu), FEM (Sonlu Element Metodu) ve BEM (Sınır Element Metodu) olula elde edilen çözümler çevreleen çok saıdaki noktalar üzerinde hesap edilmek zorundadır. Bunun nedeni, bahsedilen metotların doğruluk ve kararlılığının, arılmış bölgenin inceliğine ve doğallığına güçlü bir şekilde bağlı olmasıdır. Sonuç olarak bu standart metotlar için hesapsal zorluklar sık sık göz önünde bulundurulur (Shu, 999). Düşük dereceli metotlarla (FEM, FDM) bu özel noktalarda doğru çözümlerin elde edilmesi için hala çok fazla düğüm noktası kullanılması gerekir. Kabul edilebilir derecede küçük saıda düğüm noktaları kullanılarak doğru nümerik çözümleri elde etmek için etkili bir aırma tekniği araştırması sonucunda Bellmann, 9 de DQ metodunu tanımlamıştır (Bellmann ve Casti, 9). Mingle diferansiel alan hesabı metodu lineer olmaan difüzon eşitliğine ugulamıştır (Mingle, 9; Mingle, 9). Civan ve Sliepcevich diferansiel alan hesabı metodunu genişletmiş ve genelleştirmişlerdir. Arıca bu metodu poission eşitliğine ve çok boutlu problemlere ugulamışlardır (Civan ve Sliepcevich, 98; Civan ve Sliepcevich, 98). 99 da Bert ve Malik Diferansiel Alan hesabı Metot un tarihsel gelişimini kavram olarak ortaa komuşlardır. Shu ve Chew 99 ılında fourier açılımı tabanlı diferansiel alan hesabı metodunun Helmholtz öz vektör problemlerine ugulanışını göstermiştir (Shu ve ue Shu ve ue 999 ılında diferansiel alan hesabı metot olula Helmholtz denklemini çözmüştür (Shu ve ue, 999). Shu ve Chew 999 ılında çoklu bölge genelleştirilmiş diferansiel alan hesabı (GDQ) metotla dikdörtgen sınırlı dalga 8

2 Polinom Tabanlı Diferansiel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boutlu Elektromanetik Probleme Ugulanması, A. R. Görgün, O. Arı, kılavuzlarının analizini gerçekleştirmişlerdir (Shu ve ue, 999). Günümüzde, DQ metodu; Helmholtz eşitlikleri, Helmholtz öz vektör problemleri, Burgers eşitlikleri, iki boutlu Poisson eşitlikleri ve bastırılamaan Navier-Stokes eşitliklerinin çözümü ile apısal ve titreşim analizi ugulamaları, ısı transferi ugulamaları, kimasal reaktör ugulamaları ve dalga kılavuzu ugulamaları gibi mühendislik ve fizik bilimlerindeki değişik problem ve ugulamalarda etkili bir şekilde kullanılmaktadır.. Örnek Problem ve Çözümü Bu örnekte iki boutlu Helmholtz problemini ele alındı. Çözüm bölgesi olarak alınarak kare bir çözüm bölgesi belirlendi. Dalga saısı olarak k 0, ve kanak olarak da f (, ) ( 0,) sin. sin kanağı alındı. Sınır şartı, tüm sınırlarda 0 dır. Burada amaç potansieli hem PDQM hem de analitik olarak bulup karşılaştırarak bazı sonuçlara ulaşmaktır. Problemin gerçek çözümü aşağıdaki eşitlikle verilmiştir. analitik sin. sin 0 i [ cos(. )]. N i i,,., N [ cos(. )]. M,,., M (.a) (.b) Bu örnek NM ve NM için gerçekleştirildi. İki boutlu Helmholtz denkleminin genel formu, k f (, ) Helmholtz denkleminin PDQ karşılığı N M () Wik k k k W k. k N ve M sırasıla ve önlerinde düğüm noktaları saısı, W ve () ik () W önlerindeki ağırlık katsaılarıdır. ik k () f sırasıla ve Ağırlık katsaılarının hesabında Quan ve Chang in aklaşımı kullanılmıştır. Quan ve Chang aklaşımlarında agrange Interpolason Polinom u kullanmaktadırlar. 0 0 b N N i k i k, ki k l, li i l i (.c) 0 Şekil. İki boutlu Helmholtz problemi b ii N k, ki i k lk, li i N i l (.d) Hesap bölgesi uzunluğunda ve genişliğinde bir dikdörtgensel bölgedir. Örneğimizde iki boutlu Helmholtz denklemini çözmek için PDQM ugulanacaktır. Öncelikle.a ve.b deki Chebchev-Gauss-obatto düğüm dağıtımı kullanılarak düğüm noktalarının ve koordinatları belirlendi. 0, 0 PDQ aklaşımının performansı.e eşitliği ile ölçülmüştür., ) (.e) Burada,, ) ( i ağ noktasındaki nümerik çözüm,, ) ise ağ noktasındaki gerçek çözümdür. Teknik Bilimler Dergisi 0 () 8-9 Journal of Technical Sciences 0 () 8-

3 Polinom Tabanlı Diferansiel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boutlu Elektromanetik Probleme Ugulanması, A. R. Görgün, O. Arı,. Analitik, Nümerik Sonuçlar ve Hata Tablo. Örnek problemin NM, ve çözülerek elde edilen k 0. değerleri için PDQ metodu ile Tablo. Örnek problemin NM, ve k 0. değerleri için PDQ metodu ile çözülerek elde edilen, ) Tablo. Örnek problemin NM, ve edilen hata k 0. değerleri için PDQ metodu ile çözülerek elde Teknik Bilimler Dergisi 0 () 8-0 Journal of Technical Sciences 0 () 8-

4 Polinom Tabanlı Diferansiel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boutlu Elektromanetik Probleme Ugulanması, A. R. Görgün, O. Arı, Tablo. Örnek problemin NM, ve k 0. değerleri için PDQ metodu ile çözülerek elde edilen , Tablo. Örnek problemin NM, ve k 0. değerleri için PDQ metodu ile çözülerek elde edilen, ) , Teknik Bilimler Dergisi 0 () 8- Journal of Technical Sciences 0 () 8-

5 Polinom Tabanlı Diferansiel Alan Hesabı Metodu (PDQM) nun İki Boutlu Elektromanetik Probleme Ugulanması, A. R. Görgün, O. Arı, Tablo. Örnek problemin NM, ve k 0. değerleri için PDQ metodu ile çözülerek elde edilen.0e-00 * , Sonuçlar Örnek problem NM, ve k 0. değerleri için analitik olarak ve PDQM ile nümerik olarak çözülmüştür. Tablo den de görüldüğü gibi hata ( ) nın maksimum değeri.0 olarak elde edilmiştir. C..Chang konvansionel düşük dereceli FEM (Sonlu Elemanlar Metodu) kullanarak anı problemi anı parametre değerleri için NM iken çözmüş ve ( ) nın maksimum değerini.800 bulmuştur (Chang, 990). ani İki boutlu Helmholtz eşitliği Polinom Tabanlı Diferansiel Alan Hesabı Metodu (PDQM) ile FEM (Sonlu Elemanlar Metodu) kıasla daha az saıda düğüm noktası kullanılarak çözülebilir ve doğruluğu daha üksek nümerik sonuçlar elde edilebilir. Tüm parametreler anı iken sadece grid saısını artırıp NM aptığımızda ise Tablo dan görüldüğü gibi hata ( ) nın maksimum değeri.0 olarak elde edilmiştir. Görüldüğü gibi grid saısının artması doğruluğu arttırmıştır.. Kanaklar [] Bellman, R. E., and Casti, J. 9. Differential Quadrature and ong-term Integration. J. Math. Anal. Appl., vol., pp. -8. [] Chang, C A east Squares Finite Element Method for the Helmholtz Equation, Comput. Methods Appl. Mech.Engrg. 8, -. [] Civan, F. and Sliepcevich, C. M., 98. Application of Differential Quadrature to Transport Processes. J. Math. Anal. Appl., vol. 9, pp. 0-. [] Civan, F and Sliepcevich, C. M. 98. Solution of the Poission Equation b Differential Quadrature. Int. J. Numer. Methods. Engrg., vol. 9, pp. -. [] Civan, F and Sliepcevich, C. M. 98. Differential Quadrature for Multi- dimensional Problems. J. Math. Anal. Appl., vol. 0, pp. -. [] Civan, F and Sliepcevich, C. M. 98. On the Solution of the Thomas-fermi Equation b Differential Quadrature. J. Math. Anal. Appl., vol. 0, pp. -. [] Mingle, J. O., 9. Compitational c Considerations in Nonlinear Diffusion. Int. J. Numer. Methods. Engrg., vol., pp. 0-. [8] Mingle, J. O. 9. The Method of Differential Quadrature for Transient Nonlinear Diffusion. J. Math. Anal. Appl., vol. 0, pp [9] Shu, C. and Chev,.T. 99. Fourier Epansion-based Differential Quadrature and Its Application to Helmholtz Eigenvalue Problem. Commun numer methods eng. Vol., ıss 8, pp. -. [0] Shu, C. and ue, H Solution of Helmholtz Equation b Differential Quadrature Method. Comput method appl. M., vol., ıss -, pp. 0-. [] Shu, C. and Chev,. T Application of Multi-domain gdq Method to Analsis of Waveguides with Rectangular Boundaries. In: Kong a Electromagnetic Waves: pier. Emw publishing, pp. -, USA. [] Shu, C., 999. Differential Quadrature and Its Application in Engineering, Springer Singapure. Teknik Bilimler Dergisi 0 () 8- Journal of Technical Sciences 0 () 8-

Benzer belgeler

ANLIK BASINÇ YÜKÜ ALTINDAKİ BASİT MESNETLİ PLAKLARIN DİNAMİK DAVRANIŞININ DİFERANSİYEL KARELEME YÖNTEMİ İLE İNCELENMESİ

XV. Ulusal Mekanik Kongresi,3-7 Eylül 27,ISPARTA ANLIK BASINÇ YÜKÜ ALTINDAKİ BASİT MESNETLİ PLAKLARIN DİNAMİK DAVRANIŞININ DİFERANSİYEL KARELEME YÖNTEMİ İLE İNCELENMESİ Murat Tuna ve Halit S. Türkmen İstanbul