Tereyağının ½ sinden ve 1 saatin ¼ ünden bahsederiz. Bunlar kesirsel çoklukların

Transkript

1 KESİRLER Tereyağının ½ sinden ve 1 saatin ¼ ünden bahsederiz. Bunlar kesirsel çoklukların örnekleridir. Bir bütünün parçalarını ifade eden sayılara kesir denir. A ve b tamsayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere kesirler a / b veya şeklinde yazılır. Aşağıdaki b sayısı payda olarak adlandırılır ve bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü anlatır. 1 / 6 demek, bütünün 6 eşit parçaya bölündüğü anlamına gelir. Yukarıdaki a sayısı pay olarak adlandırılır ve bütünden kaç parçanın alındığını anlatır. 5 / 6 demek bütünden 5 eşit parça alındığı anlamına gelir. ALIŞTIRMA 1) Bir diskin kesir çizimleri aşağıdaki gibidir:

2 Bu disklerin üç tanesinin yukarıdan görünüşü aşağıda verilmiştir. Verilmeyen disk hangisidir? 2) Bir diskin ¼ ünü taralı halde gösteren yandan ve üstten çizimleri aşağıda verilmiştir. Benzer şekilde siz de diskin aşağıdaki parçalarını çizim halinde gösteriniz.

3 3) Aşağıda bir dairenin parçaları kesir halinde ifade edilmiştir. Siz de aşağıda verilen kesirleri bir daire çizerek yukarıda gösterildiği gibi taralı alanlarla gösteriniz. DENK KESİRLER Aşağıda bir dairenin ½ si ve 3 / 6 sı taranmıştır. Gördüğünüz gibi, her iki şekilde de taralı alanların büyüklüğü aynıdır. Bu nedenle İki kesrin denkliği sayı doğrusu üzerinde de yandaki gibi gösterilir.

4 ½ den 3 / 6 ya geçerken payı ve paydayı 3 ile çarptık. Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla çarpılırsa kesrin değeri değişmez. Örnekler: Aynı değeri temsil eden birbirinden farklı kesirlere denk kesirler denir. Örnekler: ½, 2 / 4, 3 / 6, 100 / 200, 521 / 1042 hepsi denk kesirlerdir. 3 / 7, 6 / 14, 24 / 56 hepsi denk kesirlerdir. İki kesrin denkliğini pay ve paydalarını çapraz çarparak anlayabiliriz. Çapraz çarpım sonucu iki sayı da eşitse, kesirler denktir. Örnek: 3 / 7 ile 18 / 42 denk kesirler midir? Çözüm: Çapraz çarpım yapalım: Birinci kesrin payı ile ikinci kesrin paydası çarpılır: 3 42 = 126. İkinci kesrin payı ile birinci kesrin paydası çarpılır = 126. Çapraz çarpımlar eşit olduğundan kesirler denktir.

5 ALIŞTIRMA Aşağıdaki kesirlerin denkliğini daire üzerinde gösteren şekiller çiziniz. 10) Aşağıdaki dairelerin kaçta kaçı taralı halde gösterilmiş?

6 ALIŞTIRMA Aşağıdaki kesirlerde boş bırakılan yerleri doldurunuz.

7

8 KESİRLERİN KARŞILAŞTIRILMASI 1. Eğer paydalar eşitse, paya bakılır. Payı büyük olan kesir daha büyüktür. 2. Farklı paydaları olan kesirleri karşılaştırmak için, çapraz çarpımlar alınır. Birinci çapraz çarpım, birinci kesrin payı ile ikinci kesrin paydasını çarpar. İkinci çapraz çarpım, ikinci kesrin payı ile birinci kesrin paydasını çarpar. a. Eğer çapraz çarpımlar eşitse, kesirler denktir. b. Birinci çapraz çarpım büyükse, birinci kesir daha büyüktür c. İkinci çapraz çarpım büyükse, ikinci kesir daha büyüktür. Örnek: 3 / 7 ile ½ kesirlerini karşılaştırınız. Birinci çapraz çarpım: 3 2 = 6 İkinci çapraz çarpım: 7 1 = 7 İkinci kesir daha büyüktür. Örnek: Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

9 ALIŞTIRMA Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız. BİR KESRİN EN BASİT HALİNE İNDİRİLMESİ Şekillere bakarak şunu söyleyebiliriz. Bir kesrin payı ile paydasını aynı sayıya bölersek kesrin değeri değişmez.

10 Örnekler: 20 / 42 = (20 2) / (42 2) = 10 / / 72 = (36 3) / (72 3) = 12 / 24 9 / 27 = (9 3) / (27 3) = 3 / 9 Eğer pay ile paydayı en büyük ortak çarpana bölersek, kesrin en basit halini elde ederiz. Bir kesrin payı ile paydasının en büyük ortak böleni 1 olduğu zaman en basit haline inmiş deriz. Örnek: 2 / 3 kesri en basit halindedir; çünkü payı ile paydasını bölecek başka bir sayı yoktur. 1 / 3 kesri de en basit halindedir. Kesri en basit haline indirmek için iki metod vardır: Metod 1: Payı ile paydayı en büyük ortak bölene bölünüz. 12 / 30 = (12 6) / (30 6) = 2 / 5 Metod 2: Payı ile paydayı herhangi bir ortak bölene bölünüz ve bu bölme işlemini pay ile paydanın ortak böleni kalmayana dek sürdürünüz. 12 / 30 = (12 2) / (30 2) = 6 / 15 = (6 3)/(15 3) = 2 / 5

11 Örnek : Kesirlerini en basit haline indiriniz. Cevap: (pay ve paydayı 2 ye böldük) (pay ve paydayı 3 e böldük) Örnek: Kesrini en basit haline indiriniz. Cevap: (pay ve paydayı 7 ye böldük) (pay ve paydayı 2 ye böldük) ALIŞTIRMA 1) Aşağıdaki kesirlerin denkliğini daire şekli çizerek şekil üzerinde gösteriniz.

12 Aşağıdaki kesirleri en basit hallerine indiriniz.

13 KESİR TÜRLERİ Birim Kesir Payı 1 olan kesre birim kesir denir. Örnek: 1 / 6, 1 / 8 ve 1 / 15 birim kesirlerdir. Basit Kesirler Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Örnek: 2 / 5, 3 / 7, 4 / 9 ve 5 / 22 basit kesirlerdir. Birleşik Kesirler Payı, paydasından büyük veya eşit olan kesre birleşik kesir denir. Örnek: 8 / 5, 11 / 4, 5 / 5 ve 13 / 2 birleşik kesirdir. Tamlı Kesirler Önünde tam sayı bulunan kesre tamlı kesir denir. Bir tamsayıdan ve bir kesirden oluşurlar. Birleşik kesirleri tamlı kesirlere çevirmenin bir kuralı vardır:

14 Pay paydaya bölünür. Bölüm tamsayı kısmına gider. Bölme işleminin kalanı, tamlı kesrin payı olarak yazılır. Payda aynı kalır, değişmez. Örnek : Birleşik kesrini tamlı kesir haline çeviriniz. 17 yi 5 e böldüğümüzde bölüm 3, kalan 2 dir. ALIŞTIRMA Aşağıdaki birleşik kesirleri tamlı kesir haline çeviriniz.

15 Tamlı kesirleri birleşik kesir yapmak için tamsayıyı payda ile çarpınız ve çarpım sonucunu paya ekleyerek pay yerine yazınız. Payda yine aynı kalır, değişmez. Örnek:

16 ALIŞTIRMA Aşağıdaki tamlı kesirleri birleşik kesir haline çeviriniz.

17 SAYI DOĞRUSU ÜZERİNDE KESİRLER 0-1 Arasındaki Kesirler

18 1-2 Arasındaki Kesirler ALIŞTIRMA Aşağıdaki kesir kümelerini sayı doğrusu üzerinde doğru yerlere oturtunuz.

19 ALIŞTIRMA Eksik yerlere gelecek kesirleri yazınız.

20 KESİRLERDE TOPLAMA Bazı durumlarda kesirleri toplamamız gerekebilir. Örnek: torba karıştırılmış çimentom var. torba da komşumdan aldım. İkisi birden toplam ne kadar çimentom oldu? Cevap: Toplama işlemini yapmalıyız. Paydaları eşitlememiz gerekir. Birinci kesrin payını ve paydasını 2 ile ikinci kesrin payını ve paydasını 3 ile çarparak paydaları eşitleriz ve toplama işlemini bu denk kesirler üzerinden yaparız: Bu işlem şekilsel olarak da şöyle ifade edilebilir:

21 Toplama işlemine katılan kesirlerin paydası eşit ise, paylar toplanır, pay yerine yazılır. Paydalar aynı kalır, değişmez. Paydalar toplanmaz; gerekirse sonuç olan kesir sadeleştirilebilir. Kesirlerin paydası eşit değilse: 1) En küçük ortak payda bulunur. 2) Sonra bu paydayı kullanarak denk kesirler yazılır. 3) Toplama işlemi denk kesirler üzerinden yapılır, gerekirse sadeleştirilir. TAMLI KESİRLERİN TOPLAMASI Önce tamsayılar toplanır. Kalan kesirler normal toplama işlemine girer. Örnek: Tamsayıları topladık. Paydalar en küçük 4 te birleştiği için ikinci kesrin payını ve paydasını 2 ile çarptık (denk kesir). Paydalar eşitlendi. Payları toplayarak yazalım. Birleşik kesri sadeleştirelim. Tamlı kesrin tamsayısı 1 artacak. Sonuç elde edildi.

22 Örnek: Tamsayılar toplandı. Paydalar 3 ve 6, 6 da birleşir. Paydalar eşitlendi. Paylar toplanıp paya yazıldı. Kesir sadeleştirilebilir. Sonuç en basit haline indirildi. ALIŞTIRMA Aşağıdaki toplama işlemlerini yapınız.

23

24 KESİRLERDE ÇIKARMA işlemini yapmak için diyemeyiz. Bu çok yanlış olur! 3 ile 2 nin en küçük ortak katı 6 dır; bu nedenle paydaları 6 ta birleştiririz. ALIŞTIRMA

25 TAMLI KESİRLERDE ÇIKARMA Tamsayılar kendi aralarında, kesirler kendi aralarında çıkarılırlar. Bazen tamsayıdan ödünç almak gerekebilir. Örnek: 2 den ödünç alarak yeniden yazarız. Kesirleri birleşik hale çevirerek çıkarmayı yaparsak, ödünç almaktan kaçınabiliriz. Örnek:

26 ALIŞTIRMA KESİRLERDE KARIŞIK TOPLAMA VE ÇIKARMA Örnek: Bu örnekte, tamlı kesirleri birleşik hale çevirdik, paydaları eşitledik ve paylar üzerinde işlemi gerçekleştirdik. Sonuç birleşik kesir olduğu için tamlı kesire çevirdik.

27 ALIŞTIRMA

28 KESİRLERDE ÇARPMA Eğer çarpanlardan biri veya birkaçı tamsayı ise, onları birleşik kesir halinde yazınız. Sonra payları çarpınız pay olarak yazınız. Paydaları çarpınız payda olarak yazınız. Örnek: Bazen kesirleri sadeleştirmek işinizi kolaylaştırır. Her zaman için pay kısmındaki sayıları payda kısmındaki sayılarla sadeleştirirsiniz. Örnek: 3 ler birbirini götürmüştür. 2 ile 10 da 1 ve 5 olarak sadeleşmiştir. Bu işlemde tam sayılar çarpmaya katılsaydı, onları birleşik hale çevirmeden sadeleştirmeyi yapmazdık. ALIŞTIRMA

29 KESİRLERDE BÖLME bölme işlemi bize, şu soruyu sorar: Üçte ikinin içinde kaç tane yarım var? Aşağıdaki şekilden de göreceğiniz gibi, üçte ikinin içinde birden fazla yarım vardır. İkiden çok da değildir. Gerçek değeri 4/3 tane yarım vardır.

30 Kesirleri bölmek için kural şudur: Tamlı kesir varsa, önce onları birleşik kesir haline çeviriniz. Sonra, ikinci kesrin payı ile paydası yer değiştiriniz ve kesirleri çarpınız. Örnekler: Burada çarpma aşamasında sadeleştirme yapabiliriz. 2 ler birbirini götürür. Bölme aşamasında sadeleştirme yapılamayacağına dikkat ediniz. ALIŞTIRMA

31 Bir tamsayıyı birleşik kesir yapmak için paydayı 1 yapıp paya da sayıyı yazarsınız. Bu yaptığınız aslında değerini değiştirmeden tamsayıyı 1 e bölmektir. Örnek:

32 ALIŞTIRMA BİR TAMSAYININ KESİR DEĞERİNİ HESAPLAMAK Örnek: 360 ın ünü bulunuz. 1.Metod: 1.Metod: 2.Metod: 360 ı 4 e böleriz ve bölümü 3 ile çarparız = = 270

33 ALIŞTIRMA ALIŞTIRMA 1) Bir diskin kesir çizimleri aşağıda verilmiştir. Diskin kaçta kaçı taranmıştır? 2) Üç tane daire çizerek aşağıdaki kesirleri taralı alan halinde gösteriniz. 3) Aşağıdaki kesirlerin denkliğini bir şekil üzerinde gösteriniz.

34 4) Bu dairenin kaçta kaçı taranmıştır? 5) Boşluklara gelen sayıları doldurunuz. 6) Aşağıdaki kesirleri en basit haline indiriniz. 7) Aşağıdaki birleşik kesirleri tamlı kesir haline çeviriniz. 8) Aşağıdaki tamlı kesirleri birleşik kesir yapınız. 9) Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe sıralayınız.

35 10) Aşağıda verilen toplama işlemlerinin sonucunu bulunuz. 11) Aşağıda verilen çıkarma işlemlerinin sonucunu bulunuz. 12) Aşağıda verilen karışık işlemlerin sonucunu bulunuz.

36 13) Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonucunu bulunuz. 14) Aşağıda verilen bölme işlemlerinin sonucunu bulunuz. 15) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz. Önce parantezler, ardından çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma hesaplanacak. 16) Aşağıda verilen tamsayıların kesir değerlerini hesaplayınız.

37 TEST 1. Bir çocuk cebindeki paranın ¾ ünü harcıyor ve halen cebinde 45 TL sı kalıyor. Önceki parası ne kadardı?.a) 180 B) 160 C) 540 D) sayısının 7 / 8 i nedir? A) 1500.B) 1400 C) 1300 D) Bir kurdela cm. uzunluğundadır. uzunluğunda 3 parça kesilmiştir. Kalan kurdela kaç cm dir? A) 20 B) 18 C) 16.D) Bir çay markası kg ağırlığında paketlerde satılıyor. kg çeken bir kutunun içinde kaç tane çay paketi vardır? A) 206 B) 396.C) 412 D) Bir koli limonata 32 litre limonata taşıyor. Bu limonatanın hepsi litre alan bardaklara boşaltılacaksa kaç bardağa ihtiyaç vardır? A) 150.B) 160 C) 170 D) Bir odun kütüğü m. uzunluğundadır. 6 eşit parçaya bölündüğünde, her parça kaç m. uzunluğunda olur?.a) B) C) D)

38 7. Bir yılan dakikada 1 m. sürünebilmektedir. dakikada kaç metre sürünür? A).B) C) D) 8. Bir adam saatte makale yazabilmektedir. 38 saatte kaç makale yazar? A) 100.B) 95 C) 90 D) Bir havuz litre su kapasitesindedir. Bir tanker 250 lt su taşımaktadır. Tanker 9 defa havuzu doldurduysa, tankerde kalan su ne kadardır? A) B).C) D) 10. Bir okulda 800 öğrenci vardır. Bu öğrencilerden i üst sınıflarda i orta sınıflarda, kalanlar da alt sınıflarda okumaktadır. Alt sınıfta kaç öğrenci okumaktadır?.a) 340 B) 350 C) 360 D) Bir alaşımın ı bakır, si kalay, ve i çinkodan oluşmaktadır. 900 g. ağırlığındaki alaşımda bulunan kalay miktarı nedir? A) 630.B) 162 C) 108 D) kamyondan 20 si ton, kalanlar da ton kömür taşımaktadır. Bu kamyonların taşıdığı toplam kömür miktarı ne kadardır? A) B) C) D)

39 13. Bir motosikletçi metreyi saniyede almaktadır. 1 saniyede ne kadar uzağa gider?.a) 38 B) 40 C) 42 D) Bir fabrikada, haftada 660 adet motor üretilmekteyken üretim oranında artırılmıştır. Bundan böyle haftada kaç motor üretilecektir? A) 660 B) 990.C) 935 D) Bir işten sağlanan TL lık gelir iki ortak tarafından paylaşılacaktır. Ortaklardan biri oranında pay aldıysa, diğer ortağın aldığı para kaç liradır? A) 2900 B) 5800 C) 7500.D) 8700 Ayşe nin sosyal bilgiler ev ödevini yapması bir saatin beşte dördünü, matematik ödevini yapması bir saatin dörtte üçünü, İngilizce ödevini yapması bir saatin altıda beşini, ve Bilgisayar ev ödevi bir saatin yarısını almıştır. Ayşe nin ev ödevlerinin aldığı süreyi derslerine göre sıralayınız. Aşağıdaki iki soruyu cevaplandırınız. 16. Hangi dersin ev ödevi en az sürede tamamlanmıştır? A) Sosyal Bilgiler B) Matematik C) İngilizce.D) Bilgisayar 17. Hangi dersin ev ödevi en fazla sürede tamamlanmıştır?.a) Sosyal Bilgiler B) Matematik C) İngilizce D) Bilgisayar kişilik bir sınıfta 18 öğrencinin göz rengi kahverengidir. Kahverengi gözlü öğrencilerin tüm sınıfa oranı kaçtır? A).B) C) D)

40 19. Erol un babasının işe gidiş ve gelişi şer saat almaktadır. Günün kaçta kaçı yolda geçmektedir?.a) B) C) D) 19. Bir dükkan sahibi yerel gazetede yayınlatmak üzere dört tane ilan hazırlamıştır. 1. ilan sayfanın unu, 2. ilan sayfanın sını, 3. ilan sayfanın ini 4. ilan sayfanın sini kaplamaktadır. Hangi kesir daha geniş reklama işaret eder? A).B) C) D) 20. Aşağıdaki kesirlerden hangisi ten büyüktür? A).B) C) D) 21. Aşağıdaki kesirlerden hangisi dan küçüktür? A).B) C) D) 22. Aşağıdaki kesirlerden hangisi e eşittir? A) B) C).D) 23. Bir bilim adamı deney yapmak için lt. sıvıya ihtiyaç duymaktadır. Test tübü sadece lt. almaktadır. Bilim adamı deneyi tamamlamak için kaç defa test tübünü doldurup boşaltacaktır? A) 4 B) 5 C) 6.D) 7

41 24. kümesinin elemanlarından kaç tanesi birleşik kesirdir? A) 2.B) 3 C) 4 D) kesrini birleşik kesir yapan kaç tane a doğal sayısı vardır? A) 8.B) 7 C) 6 D)5 26. Pay ve paydaları toplamı 5 olan kaç tane kesir vardır? A) 6.B) 5 C) 4 D) eşitsizliğini doğrulayan en küçük n doğal sayısı nedir? A) 6 B) 7.C) 8 D) eşitsizliğini doğrulayan en büyük n doğal sayısı nedir? A) 13 B) 12 C) 11.D) 10 Aşağıda tabloda gösterilen kesirlerin kümesi E olsun soruları E ye göre cevaplandırınız.

42 29. Payı 5 olan kaç kesir vardır? A) 7 B) 6.C) 5 D) Paydası 4 olan kaç kesir vardır? A) 4.B) 5 C) 6 D) Pay ve paydasının toplamı 7 olan kaç kesir vardır?.a) 4 B) 5 C) 6 D) Payı, paydasından 1 fazla olan kaç kesir vardır? A) 7 B) 6 C) 5.D) Kaç tane birleşik kesir vardır? A)13 B) 14.C) 15 D) Kesri için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir? I. e eşittir. II. III. IV. e eşittir. Birleşik kesirdir. Payı paydasından küçüktür. V. Tamlı kesirdir. A) I-V B) I-III-IV C) II-IV.D) I-IV

43 35. Kesirler için aşağıdakilerin hangilerini söylemek mümkündür? I. Kesir çizgisinin yukarıdaki sayısına payda, aşağıdaki sayısına pay denir. II. Pay ve paydanın en büyük ortak böleni 1 ise kesir en basit halindedir. III. 9 / 10 bir birleşik kesirdir. IV. 7 / 11 bir basit kesirdir. V. Her kesir birim kesrin bir katı olarak yazılabilir. A) I-II B) III-IV.C) II-IV-V D) I-IV-V 36. Aşağıdaki dikdörtgenin taralı kısmıyla ifade edilen kesre denk olan ve payı 28 olan kesir hangisidir? A) 28 / 36 B) 28 / 42 C) 28 / 45.D) 28 / Aşağıdakilerden hangisi kesrinin tamlı kesir olarak yazılmış halidir? A).B) C) D) 38. Aşağıdaki kesirlerden hangisi eşitsizliğini sağlar? A) B).C) D) <= n <= 2 koşulunu sağlayan ve paydası 3 olan kaç kesir yazılabilir? A) 1.B) 2 C) 3 D) kesrinin en basit hali aşağıdakilerden hangisidir?.a) B) C) D)

44 41. Üstte modellenen işlem aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) B) C).D) 42. Üstte modellenen işlem aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) B).C) D)

45 43. Aşağıdaki modelde belirtilen birbirine denk kesirler hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir? A) 5 / 6 = 15 / 18 B) 5 / 6 = 10 / 12 C) 25 / 30 = 12 / 15.D) 25 / 30 = 5 / Erdal, bu yaz 39 gün yarım zamanlı çalışmak istemektedir. 39 / 2 günün tamlı kesir hali nedir? A) 39 1 / 2.B) 19 1 / 2 C) 29 1 / 2 D) Aşağıdaki tablo 6-17 yaş grubundaki öğrencilerin sevdikleri ve izledikleri spor karşılaşmalarını vermektedir? Öğrenciler en çok hangi spor olayını izlemişlerdir? Hangi Oyunu İzliyorsunuz? Oyunun adı İzleyen öğrencilerin oranı Dünya Kupası Kış Olimpiyatları Dünya Serisi Yaz Olimpiyatları A) Dünya Kupası B) Kış Olimpiyatları C) Dünya Serisi.D) Yaz Olimpiyatları

46 43. Aşağıdaki modelde belirtilen birbirine denk kesirler hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?.a) 6 / 15 = 2 / 5 B) 5 / 6 = 10 / 12 C) 9 / 15 = 3 / 5 D) 3 / 15 = 2 / 5