TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması /

Transkript

1 ANKAA ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ DOKTOA TEZİ -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE Erhan GÜLE MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKAA 00 er hakkı saklıdır

2 TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması /0/00 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü MATEMATİK Anabilim Dalı nda DOKTOA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. Yusuf YAYLI Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Jüri Üyeleri Başkan : Prof. Dr. Yusuf YAYLI Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Baki KALIĞA Gazi Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. urşit ÖNSİPE Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Sait ALICIOĞLU Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Nejat EKMEKÇİ Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Orhan ATAKOL Enstitü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tezi -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE Erhan GÜLE Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Bu doktora tezi sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, minimal yüzeyler teorisinde yapılan çalışmalara tarihsel olarak kısaca değinilmiştir. İkinci bölümde, temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölüm, -boyutlu Öklid uzayına ayrılmıştır. Bu uzayda, harmonik-minimal olan helisoidal ve dönel yüzeyler incelenmiştir. Gauss dönüşümü üzerinde Bour teoremi verilmiş ve Gauss dönüşümünün helisoidal yüzeyi üzerinde ortalama ve Gauss eğrilikleri arasındaki bağıntılar gösterilmiştir. Dördüncü bölümde -boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş Bour teoremi verilmiştir. Minkowski -uzayında dönme ekseni türüne göre dönel ve helisoidal yüzeyler beşinci bölümde tanıtılmıştır. Altıncı bölümde, Bour teoremine göre birbirine izometrik, lightlike üreteç eğrisine sahip olan time-like helisoidal ve time-like dönel yüzeyler verilmiştir. Light-like üreteç eğrisine sahip olan time-like dönel yüzeyler üzerinde Laplace-Beltrami operatörü, Gauss dönüşümü, ortalama eğriliği ve Gauss eğriliği arasındaki bağıntılar yedinci bölümde elde edilmiştir. Son bölümde ise tezin genel bir değerlendirmesi yapılmıştır. Mart 00, 4 sayfa Anahtar Kelimeler: elisoidal yüzey, dönel yüzey, üreteç eğrisi, ortalama eğrilik, Gauss eğriliği, Laplace-Beltrami operatörü i

4 ABSTACT Ph.D. Thesis TIME-LIKE ELICOIDAL AND OTATIONAL SUFACES WIT LIGT-LIKE POFILE CUVE IN TEE DIMENSIONAL MINKOWSKI SPACE Erhan GÜLE Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis contain eight chapter. In first chapter, some historical notes about minimal surfaces theory are given. In second chapter, basic definitions and concepts are given. The third chapter is prepared for -dimensional Euclidean space. armonic-minimal helicoidal and rotational surfaces are studied in this space. Bour s theorem on Gauss map are given and the relation between the mean and the Gaussian curvature on the helicoidal surfaces of the Gauss map are shown. In the fourth chapter, generalised Bour theorem in Euclidean -space is given. In Minkowski -space, rotational and helicoidal surfaces are explained as rotate axis-type in fifth chapter. Time-like helicoidal and timelike rotational surfaces that they are isometric by Bour s theorem, have light-like profile curve are given in sixth chapter. elations between Laplace-Beltrami operator, Gauss map, the mean curvature and the Gaussian curvature of the time-like rotational surfaces with light-like profile curve are obtained in seventh chapter. The thesis is evaluated in the last chapter. March 00, 4 pages Key Words: elicoidal surface, rotational surface, profile curve, mean curvature, Gaussian curvature, Laplace-Beltrami operator ii

5 TEŞEKKÜ Çalışmamın her aşamasında bilgi ve önerilerini esirgemeyen, tezimi titizlikle inceleyen, değerli bilim adamı Prof. Dr.. ilmi ACISALİOĞLU na (Bilecik Üniversitesi), çalışmalarıma verdikleri katkı ve desteklerinden dolayı danışmanım, değerli bilim adamı Prof. Dr. Yusuf YAYLI ya (Ankara Üniversitesi), değerli bilim adamı Prof. Dr. Baki KALIĞA ya (Gazi Üniversitesi), değerli bilim adamı, pozitif insan Prof. Dr. A. Bülent EKİN e (Ankara Üniversitesi), çalışmalarıma Japonya dan destek veren değerli bilim adamı Prof. Dr. Toshihiko IKAWA ya (Meikai Üniversitesi), eserleri ile ilham kaynağım Fransız Matematikçi, değerli bilim adamı Prof. Dr. Jacques Edmond Emile BOU (8 866) a, çalışmalarım süresince fedakarlıklar göstererek beni tüm içtenliği ile destekleyen ailemin tüm fertlerine ve bütün tanıdıklarıma en derin duygularımla teşekkür ederim. Değerli Eşime ve biricik Kızıma Cennette en güzel mekânlardan birini paylaşacaklarına inandığım, manevi desteklerini her an hissettiğim, ahmetli Anneme ve ahmetli Babama Matematik aşkını insanlara vermeyi bilenlere Erhan GÜLE Ankara, Mart 00 iii

6 İÇİNDEKİLE ÖZET... i ABSTACT... ii TEŞEKKÜ... iii SİMGELE DİZİNİ... vi ŞEKİLLE DİZİNİ... vii ÇİZELGELE DİZİNİ... ix. GİİŞ.... TEMEL TANIM VE KAVAMLA BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GAUSS DÖNÜŞÜMÜ ÜZEİNDE BOU TEOEMİ armonik-minimal Olan elisoidal ve Dönel Yüzeyler Gauss Dönüşümü İçin Bour Teoremi Gauss Dönüşümünün elisoidal Yüzeyinin Eğrilikleri BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GENELLEŞTİİLMİŞ BOU TEOEMİ Genelleştirilmiş Bour Teoremi BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA DÖNEL VE ELİSOİDAL YÜZEYLE Dönel Yüzeyler Ekseni space-like olan dönel yüzeyler Ekseni time-like olan dönel yüzeyler Ekseni light-like olan dönel yüzeyler elisoidal Yüzeyler Ekseni space-like olan helisoidal yüzeyler Ekseni time-like olan helisoidal yüzeyler Ekseni light-like olan helisoidal yüzeyler ÜETEÇ EĞİLEİ LIGT-LIKE OLAN TIMELIKE DÖNEL YÜZEYLE VE BOU TEOEMİ Üreteç Eğrisi Light-like Olan Time-like Dönel Yüzeyler Light-like Üreteç Eğrisi ve Bour Teoremi iv

7 6.. (S,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi (T,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi (L,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi ÜETEÇ EĞİSİ LIGT-LIKE OLAN TIME-LIKE DÖNEL YÜZEYLEDE LAPLACE-BELTAMI OPEATÖÜ, GAUSS DÖNÜŞÜMÜ VE EĞİLİKLE Laplace-Beltrami Operatörü Üreteç Eğrisi Light-like Olan Time-like Dönel Yüzeylerde Gauss Dönüşümü Üreteç Eğrisi Light-Like Olan Time-like Dönel Yüzeylerde Laplace-Beltrami Operatörü, Gauss Dönüşümü ve Eğrilikler Arasındaki Bağıntılar (S,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar (T,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar (L,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar SONUÇ... 5 KAYNAKLA... 8 ÖZGEÇMİŞ... 4 v

8 SİMGELE DİZİNİ E, F, G Birinci Temel Formun Bileşenleri ( u, Dönel Yüzey e Gauss Dönüşümü K Gauss Eğriliği ( u, elisoidal Yüzey a elisoidal Yüzeyin Adımı L, M, N İkinci Temel Formun Bileşenleri ε E E γ (u) ϕ (u) ds İşaret Matrisi Laplace-Beltrami Operatörü Ortalama Eğrilik Üç Boyutlu Minkowski Uzayı Üç Boyutlu Öklid Uzayı Üreteç Eğrisi Üreteç Eğrisindeki Fonksiyon Yay Elementi vi

9 ŞEKİLLE DİZİNİ Şekil. Şekil. Şekil. Şekil.4 Şekil. Şekil. Şekil. Şekil.4 Şekil.5 Şekil.6 Şekil. Şekil. Şekil. Şekil.4 Şekil.5 Şekil.6 E de helis eğrisinin çembere izometrik dönüşümü... E de adım adım helisoid-katenoid izometrisi... E de bir helisoidal yüzey... 5 E de bir dönel yüzey... 5 E de z ϕ( x) = eğrisinin z ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen dönel yüzey... 9 E de katenari eğrileri... 9 E de katenoid (dönel yüzey)... 0 E de z dönme eksenli helisoidal yüzey... E de regle yüzey... E de ( cos, sin, ) u v u v bv regle helisoidal yüzey... E de bir dönel yüzey, ( cos, sin, ) E de bir helisoidal yüzey, ( u cos v, u sin v, u a E de bir helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, e u v u v u asin v u cos v a cos v u sin v u =,,... a + u + u a + u + u a + u + u E de bir diğer dönel yüzey, ( cos, sin, ) u v u v u... 4 E de bir diğer helisoidal yüzey, ( u cos v, u sin v, u a E de bir diğer helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, e asin v u cos v a cos v u sin v u =,,... 4 a + u + 4u a + u + 4u a + u + 4u vii

10 Şekil.7 Şekil 5. Şekil 5. Şekil 5. Şekil 5.4 Şekil 5.5 Şekil 5.6 E de helisoidal yüzey, Gauss dönüşümü, dönel yüzey ve Bour arasındaki geçişler... 4 E de space-like dönme eksenli bir dönel yüzey... 5 E de time-like dönme eksenli bir dönel yüzey E de light-like dönme eksenli bir dönel yüzey E de space-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey E de time-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey E de light-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey... 6 Şekil 6. Bir light-like üreteç eğrisi Şekil 6. (S,L)-türünde bir time-like dönel yüzey Şekil 6. (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzey Şekil 6.4 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzey Şekil 6.5 (S,L)-türünde bir time-like helisoidal yüzey... 7 Şekil 6.6 (T,L)-türünde bir time-like helisoidal yüzey... 8 Şekil 6.7 (L,L)-türünde bir time-like helisoidal yüzey... 9 Şekil 7. (S,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e... 0 Şekil 7. (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e... 0 Şekil 7. (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e Şekil 7.4 (S,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde... Şekil 7.5 (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e... 9 Şekil 7.6 (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde... Şekil 7.7 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e... 9 Şekil 7.8 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde... viii

11 ÇİZELGELE DİZİNİ Çizelge 8. Time-like helisoidal ve dönel yüzeylerdeki bağıntılar... 6 ix

12 . GİİŞ Yüzeyler teorisinde önemli özeliklere sahip olan dönel ve helisoidal yüzeyler, iemann geometrisindeki -boyutlu Öklid uzayında uzun yıllardır çalışılmakta olup bu alanda halen yeni çalışmalar yapılmaktadır (Bour 86, Eisenhart 909, Kühnel 950, ado 95, Kreyszig 957, Fomenko ve Tuzhilin 96, O'Neill 966, 98, Boothby 975, Millman ve Parker 977, Do Carmo ve Dajczer 98, Nomizu ve Sasaki 994, Verstraelen vd. 994, Duggal ve Bejancu 996, Chen 996, Chern vd. 999, Ikawa 000, Pressley 00, Xin 00, Kenmotsu 00, Weisstein 00, Lin 005, Sodsiri 005, Lin 008). Minimal yüzeyler teorisi, 740 yılında İsveçli Matematikçi Leonhard Euler (707 78) in çalışmaları ile başladı ve 760 da Fransız Matematikçi Joseph Louis Lagrange (76 8) ın çalışmaları ile hız kazandı. Euler, 740 da katenoidin minimal bir yüzey olduğunu gösterdi. Orijinal adı allyside olan katenoidi, Belçikalı Fizikçi Joseph Antoine Ferdinand Plateau (80 88), katenari (catenary) eğrisinden esinlenerek katenoid (catenoid) olarak yeniden adlandırdı. 776 da Fransız Matematikçi Jean Babtiste Meusnier (754 79) helisoidin bir minimal yüzey olduğunu gösterdi. 84 de Belçikalı Matematikçi Eugene Charles Catalan (84 894) minimal olan tek regle yüzeyin helisoid olduğunu gösterdi (Gray 998). Do Carmo ve Dajczer (98) sabit ortalama eğrilikli helisoidal yüzeyleri çalıştılar. -boyutlu Öklid uzayındaki klasik yüzey geometrisinde minimal olan tek regle yüzeyin helisoid, dönel yüzeyin de katenoid olduğu bilinmektedir. 860 yılında, Paris Bilimler Akademisi Yüzeylerin Deformasyon Problemi adlı bir yarışma düzenler. Yarışmaya Fransız Matematikçiler Jacques Edmond Emile Bour (8 866), Pierre Ossian Bonnet (89-89) ve İtalyan Matematikçi Delfino Codazzi (84-87) katılır. Ödülü Théorie de la déformation des surfaces (J. Ec. Polyt., 86) adlı çalışmasıyla Bour alır. Diğerleri de yaptıkları önemli çalışmalar ile onur ödüllerine layık görülür (Kolmogorov ve Yushkleich 996).

13 İlginç özeliklere sahip, minimal yüzeylerden olan helisoid ve katenoid çiftinin birbirine izometrik olması (Şekil. ve Şekil.), (Gray 998), Bour tarafından klasik yüzeyler teorisine kazandırılmıştır. (a) (b) Şekil. E de helis eğrisinin çembere izometrik dönüşümü Bour Teoremi. Bir helisoidal yüzey için bu yüzeye izometrik olan bir dönel yüzey vardır. Burada, helisoidal yüzey üzerindeki meridyen (helis) eğrilerine, dönel yüzey üzerindeki paralel (çember) eğrileri karşılık gelmektedir (Bour, p.8 theorem II, 86). Bu teoremde minimal ve aynı Gauss dönüşümüne sahip olma özelikleri genelde sağlanmaz. Japon Matematikçi Toshihiko Ikawa (000), makalesinde -boyutlu Öklid uzayında Bour teoreminin sağlandığını ve helisoidal yüzey ile dönel yüzey çiftinin Gauss dönüşümleri eşit iken minimal yüzeyler olduklarını gösterdi. Öte yandan, yarı-iemann geometrisindeki -boyutlu Minkowski uzayı, -boyutlu Öklid uzayına göre daha karmaşık bir yapıya sahiptir. Örneğin bu uzaydaki dönme eksenleri space-like, time-like ve light-like olarak adlandırılır. Yarı-iemann geometrisinde de çok fazla sayıda ve güzel çalışmalar yapılmaktadır (Ikawa 985, 00, Sasahara 000, acısalihoğlu ve Ekmekçi 00).

14 Şekil. E de adım adım helisoid-katenoid izometrisi

15 Ikawa (00), E Minkowski -uzayında, eksen ve üreteç eğrisi türüne göre yüzeylerin space-like ve time-like olma koşullarını makalesinde belirledi. Ikawa burada, yalnızca space-like ve time-like dönme eksenleri; kısaca, (S,S), (S,T), (T,S) ve (T,T)-türlerini çalıştı. Bu anlamda, space-like (time-like) helisoidal yüzey üzerindeki helislere, spacelike (time-like) dönel yüzey üzerindeki çemberler karşılık geldiğinde, bu yüzeylerin birbirine izometrik olduğunu, yani Minkowski -uzayında Bour teoreminin sağlandığını gösterdi. Yunanlı matematikçiler Beneki, Kaimakamis ve Papantoniou (00), Minkowski -uzayında helisoidal yüzeyleri I, II, III ve IV. tür olarak sınıflandırdılar. Güler (005), Yüksek Lisans tezinde, dönme eksenini null eksenler alarak, üç boyutlu Minkowski uzayında space-like (time-like) helisoidal yüzeyler ile space-like (time-like) dönel yüzeyler (Şekil. ve Şekil.4) için Bour teoreminin geçerli olduğunu gösterdi. Aynı Gauss dönüşümüne sahip iken yüzeylerin minimal olma durumlarını inceledi. Böylece, (L,S) ve (L,T)-türündeki light-like eksenli, space-like (time-like) helisoidal ve space-like (time-like) dönel yüzeyleri belirledi. Bu tezdeki, 4, 6 ve 7. bölümler orijinal çalışmalardan oluşmaktadır.. bölümde, -boyutlu Öklid uzayında Gauss dönüşümü üzerinde Bour teoremi; 4. bölümde, aynı uzayda genelleştirilmiş Bour teoremi incelenmiştir. -boyutlu Minkowski uzayında, üreteç eğrileri light-like olan timelike dönel yüzeyler ve Bour teoremi 6. bölümde; yine bu uzayda üreteç eğrisi light-like olan time-like dönel yüzeyler için Laplace-Beltrami operatörü, Gauss dönüşümü ve eğrilikler 7. bölümde ele alınmıştır. 4

16 (a) (b) Şekil. E de bir helisoidal yüzey (a) (b) Şekil.4 E de bir dönel yüzey 5

17 . TEMEL TANIM VE KAVAMLA Tanım.. (Skalar çarpım uzayı) V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde tanımlı g : V V V dönüşümü bilineer, simetrik ve nondejenere ise g ye V üzerinde bir skalar çarpım, bu durumda V vektör uzayına da bir skalar çarpım uzayı denir (O Neill 98). Tanım.. (Simetrik bilineer formun indeksi) V bir skalar çarpım uzayı, W da üzerindeki skalar çarpım negatif tanımlı olacak şekilde V nin en büyük boyutlu altuzayı olsun. Bu durumda W nın boyutuna g skalar çarpımının indeksi denir. g skalar çarpımının indeksi v ise 0 v boyv dir. Ayrıca V skalar çarpım uzayının indeksi, üzerinde tanımlı g skalar çarpımının indeksi olarak tanımlanır (O Neill 98). Tanım.. (Lorentz uzayı) V bir skalar çarpım uzayı olsun. V nin indeksi v olmak üzere v = ve boyv ise V skalar çarpım uzayına bir Lorentz uzayı denir (O Neill 98). Tanım.4. (Space-like, time-like, light-like (null) vektör) V bir Lorentz uzayı olsun. v V için g ( v, > 0 veya v= 0 ise v 'ye space-like vektör, g( v, < 0 ise v 'ye time-like vektör, v 0 iken g( v, = 0 ise v 'ye light-like (null) vektör denir (O Neill 98). 6

18 Tanım.5. (Bir vektörün normu) V skalar çarpımlı bir uzay ve v V olsun. v = g( v, eşitliği ile tanımlı v reel sayısına v vektörünün normu denir. Normu olan vektöre de birim vektör denir (O Neill 98). Tanım.6. (Space-like, time-like, light-like altuzay ) V bir Lorentz uzayı ve W, V nin bir altuzayı olsun. Bu durumda g pozitif tanımlı ise W ya space-like altuzay, W g nondejenere ve indeksi ise W ya time-like altuzay, W g dejenere ise W ya light-like altuzay W denir (O Neill 98). Teorem.. V bir Lorentz uzayı, V nin bir altuzayı W ve boyw olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler birbirine denktirler (O Neill 98) i. W time-like altuzay ise W bir Lorentz vektör uzayıdır. ii. W uzayı iki tane lineer bağımsız null vektör içerir. iii. W uzayı bir tane time-like vektör içerir. Tanım.7. (Metrik tensör) M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerinde simetrik, nondejenere ve sabit indeksli (0,)-tipinden g tensör alanına bir metrik tensör denir. Başka bir deyişle g, M manifoldunun her p noktasına T p M tanjant uzayı üzerinde bir g p skalar çarpımı karşılık getirir ve g skalar çarpımının indeksi her p M için aynıdır (O Neill 98). 7

19 Tanım.8. (Yarı-Öklidyen uzay) n, n-boyutlu standart reel vektör uzayı üzerinde n n p ve v p, wp Tp için < v p, w p >= n v i= v w i i n v w i i= n v+ i eşitliğiyle verilen v indeksli metrik tensörle birlikte elde edilen uzaya yarı-öklidyen uzay denir ve ve n E v ile gösterilir. Burada w p tanjant vektörlerinin bileşenleridir (O Neill 98). i n olmak üzere, sırasıyla, v i ve w i ler v p Tanım.9. (Minkowski uzayı) n n E v, yarı-öklidyen uzayında v = ve n ise E yarı-öklidyen uzayına Minkowski n-uzayı denir (O Neill 98). Tanım.0. (iemann manifoldu) M bir diferensiyellenebilir (C ) manifold olsun. M üzerindeki C vektör alanlarının uzayı χ ( M ) ve M den ye C fonksiyonların uzayı C ( M, ) olmak üzere, M üzerinde <, > : χ( M ) χ( M ) C ( M, ) şeklinde tanımlanan pozitif, simetrik, -lineer <, > fonksiyona M üzerinde bir iç çarpım, metrik tensör, diferensiyellenebilir metrik veya iemann metriği denir. ( M, <, > ) ikilisine de bir iemann manifoldu denir (Kobayashi ve Nomizu 96). Tanım.. (Yarı-iemann manifoldu) M bir diferensiyellenebilir (C ) manifold olsun. M üzerindeki C vektör alanlarının uzayı χ ( M ) ve M den ye C fonksiyonların uzayı C ( M, ) olmak üzere, M üzerinde 8

20 g : χ( M ) χ( M ) C ( M, ) olmak üzere i.) simetrik X, Y χ( M ) için g( X, Y ) = g( Y, X ) ), ii.) -lineer X, Y, Z χ( M ), a, b için g( ax + by, Z) = ag( X, Z) + bg( Y, Z), g( X, ay + bz) = ag( X, Y ) + bg( X, Z), iii.) non-degenere X χ( M ) için g( X, Y ) = 0 Y = 0 özeliklerini sağlayan g tensörüne bir yarı-iemann metriği ve ( M, g) ikilisine de yarı- iemann manifoldu denir (O Neill 98). Bundan sonraki gösterimlerde ( M, g) yarı-iemann manifoldunu sadece M ile göstereceğiz Tanım.. (Lorentz manifoldu) M bir yarı-iemann manifoldu olsun. boym ve M nin indeksi ise M ye bir Lorentz manifoldu denir. Bu tanıma göre bir M Lorentz manifoldu için g p p p n = i= ( v, w ) v w v w, p M ve v, w T M i p i p n p n p p p p dir (O Neill 98). 9

21 Tanım.. (Space-like, time-like ve null eğri) M bir Lorentz manifoldu ve α : I M bir eğri olsun. α eğrisinin teğet vektör alanı T olmak üzere g ( T, T ) > 0 ise α eğrisine space-like eğri, g( T, T ) < 0 ise α eğrisine time-like eğri, g ( T, T ) = 0 ve T 0 ise α eğrisine null eğri denir. Eğrinin bir özel hali olan doğru gözönüne alınsın. Doğrunun doğrultman vektörü space-like ise doğru space-like doğru, doğrultman vektörü time-like ise doğru time-like doğru, doğrultman vektörü null ise doğru null doğrudur (O Neill 98). Tanım.4. (İmmersiyon (daldırma)) M ve M, sırasıyla, n ve (n+d)-boyutlu birer C manifoldlar olmak üzere x : M M diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. p M için dx : T M T M, p p x( p) türev dönüşümü bire bir ise x fonksiyonuna bir immersiyon (daldırma) denir (Chen 97). Tanım.5. (İzometrik immeriyon) M ve M, sırasıyla, n ve (n+d)-boyutlu birer C manifoldlar ve x : M M dönüşümü bir immersiyon olsun. M manifoldu bir iemann yapıya sahip ise x yardımıyla M den indirgenen metrik için, p M olmak üzere < X, Y > =< dx ( X ), dx ( Y) >, X, Y TpM p p p x( p) eşitliği sağlandığında x e bir izometrik immersiyon denir (Chen 97). 0

22 Tanım.6. (Yarı-iemann altmanifoldu) m M ν, m -boyutlu ve ν indeksli bir yarı-iemann manifoldu ve indeksli bir diğer yarı-iemann manifoldu olsun. n M q, n -boyutlu ve q m j : M ν M q n dönüşümü bir izomerik immersiyon ise (rank j yarı-iemann altmanifoldu denir (O Neill 98). = m ) m M ν manifolduna n M q nun bir Bundan sonraki gösterimlerde M üzerindeki metrik tensör ile M üzerindeki metrik tensör g ile gösterilecektir Tanım.7. (İndirgenmiş konneksiyon) M, M nin bir yarı-iemann altmanifoldu ve M üzerindeki Levi-Civita konneksiyonu D olsun. D : χ( M ) χ( M ) χ( M ) in M ye indirgenmiş olan D : χ( M ) χ( M ) χ( M ) fonksiyonuna M den M yarı-iemann altmanifoldu üzerine indirgenmiş konneksiyon denir. Buradaki χ (M ), M nin herbir p noktasına Tp M de bir tanjant vektör karşılık getiren vektör alanlarının I(M ) -modülünü göstermektedir (O Neill 98).

23 Lemma... M, M nin bir yarı-iemann altmanifoldu olsun. II : χ ( M ) χ( M ) χ( M ) ( V, W ) II( V, W ) = nord W V dönüşümü I(M ) -bilineer ve simetriktir. Burada II ye M nin ikinci temel form tensörü denir (O Neill 98). Tanım.8. (Yarı-iemann hiperyüzeyi) n -boyutlu bir yarı-iemann manifoldunun ( n ) -boyutlu bir M yarı-iemann altmanifolduna M nin bir yarı-iemann hiperyüzeyi denir (O Neill 98). Tanım.9. (Şekil operatörü) M nin bir yarı-iemann hiperyüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N olsun. er V, W χ( M ) için g ( S( V ), W ) = g( II( V, W ), N) şeklindeki (,)-tipinden tensör alanı S ye, M nin N den elde edilen şekil operatörü denir. Diğer bir deyişle, S şekil operatörü, N birim normal vektör alanı olmak üzere, M nin her p noktasında S : T ( M ) T ( M ) p p ( ) P X S X = D N P P X bir lineer operatördür (O Neill 98).

24 Teorem.. M nin bir yarı-iemann hiperyüzeyi M ve S, M nin birim normali olan N den elde edilen şekil operatörü olsun. Bu durumda V χ(m ) için S( V ) = D V N dir ve ayrıca S şekil operatörü self-adjointdir. M nin bir yarı-iemann hiperyüzeyi M olsun. M nin N birim normalinden elde edilen şekil operatörü S olmak üzere, V, W χ( M ) için II ( V, W ) = εg( S( V ), W ) N dir, burada ε = g( N, N) dir. Yarı-iemann hiperyüzeyleri için Gauss denklemi, V, W χ( M ) olmak üzere DV W = DVW +εg( S( V ), W ) N biçiminde verilir (O Neill 98). Tanım.0. (Skalar çarpım) E, Minkowski -uzayında iki vektör v = v v v iki vektörün skalar çarpımı r (,, ) r ve w= w w w (,, ) olmak üzere bu <, > L : E E r r r r ( v, w) < v, w> L= vw + vw vw biçiminde tanımlanır. Eğer v = w ise r v L r r = < v v >, L

25 eşitliği ile tanımlı v r reel sayısına, v vektörünün Lorentz anlamında normu denir. L Normu olan vektöre de Lorentz anlamında birim vektör denir (O Neill 98). Tanım.. (Vektörel çarpım) E, Minkowski -uzayında iki vektör v = v v v r (,, ) r ve w= w w w (,, ) olmak üzere e e e det v v v = v w v w, v w v w, v w v w w w w ( ) vektörüne v r ve w r nin vektörel çarpımı (dış çarpımı) denir. v r w r r r veya v w şeklinde gösterilir (Akutagawa ve Nishikawa 990). Tanım.. (Semi(yarı)-ortogonal matris) E, Minkowski -uzayında t Aε A= ε eşitliğini sağlayan A matrisine semi-ortogonal matris denir. Burada, det A= olup 0 0 ε = matrisine işaret matrisi denir (O Neill 98). Tanım.. (I. Temel form) M yarı-iemann manifoldu olarak -boyutlu Minkowski uzayı ve M yarı-iemann hiperyüzeyi olarak da ( U, ϕ) parametrizasyonu ile verilen, u, v için ϕ :U ( ϕ ( u,, ϕ ( u,, ϕ ( u, )) ( u, ϕ ( u, = v 4

26 ile belirli olan (U ) ϕ yüzeyi gözönüne alınsın. Lineer bağımsız {, } yüzeyin vektör alanlarının bir bazıdır. Yüzeyin birim normali φ φ cümlesi, u v N = φu φv φ φ u v ile belirlidir. Yüzeyin I. temel formunu, yani metriğini hesaplamadan önce bazı eşitlikler verilecektir. E = ϕ u, ϕu, F ϕ u, ϕv =, G= ϕ v, ϕv olup φu φv φu φv < N, N > L = <, > φ φ φ φ u v u v L, E, F, G ve u v = < u v, u v> L L ( ) = < u, u> < v, v> + < u, v> L L L Lagrange özdeşliği nden ( ) < N, N > = < φ, φ > < φ, φ > < φ, φ > < > = L u v L u u L v v L N, N L F EG elde edilir. Yüzeyin I. temel formunu hesaplamak için, ϕ nin tam diferensiyeli ϕ ϕ dϕ = du+ dv u v 5

27 ile belirlidir. Buradan I = ( ds) =< dϕ, dϕ> ϕ ϕ =< u u ϕ ϕ u v ϕ ϕ v v, > ( du) + <, > dudv+<, > ( dv = E + ( du) + Fdudv G( dv ) ) bulunur. Böylece ( ds) ( d du du = E + F + G dv dv du ( ds) ve λ =, I = olmak üzere dv ( d I = Eλ + Fλ+ G elde edilir. M yüzeyi üzerindeki I = (ds) indirgenmiş metriğinin pozitif tanımlı veya indefinit olup olmadığını incelemek ile, I = ( d I olduğundan, I yü incelemek aynıdır (O Neill 98). Tanım.4. (Non-dejenere yüzey) E, -boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. p M ve v, w T M p p p için < v, w > = 0 v = 0 önermesi sağlanıyorsa M ye p p p E uzayında bir non-dejenere yüzey denir (Beem ve Ehrlich 98). M yüzeyi üzerindeki metriğin matris formu E F F G 6

28 ile belirlidir. M yüzeyi üzerindeki metriğin non-dejenere olması için gerek ve yeter şart E F det 0 F G veya EG F 0 olmasıdır (O Neill 98). Tanım.5. (Space-like yüzey) E, -boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrik pozitif tanımlı ise M ye 98). E de bir space-like yüzey denir (Beem ve Ehrlich Tanım.6. (Time-like yüzey) E, -boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrik Lorentz metriği ise M ye 98). E de bir time-like yüzey denir (Beem ve Ehrlich Tanım.7. (Gauss eğriliği) E, -boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M ve M nin şekil operatörüne karşılık gelen matris S olsun. p M için K( p) = ε det S p ifadesine, M yüzeyinin p noktasındaki Gauss eğriliği ve K : M I fonksiyonuna M yüzeyinin Gauss eğrilik fonksiyonu denir. Burada, ε =< N, N >= ± ile belirlidir. N, M yüzeyinin birim normal vektör alanıdır. M yüzeyi space-like ise ε =< N, N >= dir. Bu durumda, K = det S dir. M yüzeyi time-like ise ε =< N, N >= dir. Bu durumda, K = det S dir (O Neill 98). 7

29 Tanım.8. (Ortalama eğrilik) E, -boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M ve M nin şekil operatörüne karşılık gelen matris S olsun. p M için p ( ) = ε izs p ifadesine, M yüzeyinin p noktasındaki ortalama eğriliği ve : M fonksiyonuna M yüzeyinin ortalama eğrilik fonksiyonu denir. Burada, ε =< N, N >= ± dir. N, M yüzeyinin birim normal vektör alanıdır. M yüzeyi spacelike ise ε =< N, N >= dir. Bu durumda, = izs dir. M yüzeyi time-like ise ε =< N, N >= dir. Bu durumda, = izs dir. = 0 yani EN + GL FM = 0 ise bu yüzeye minimal yüzey denir (O Neill 98). Tanım.9. ( E de dönel yüzey) I açık aralık olmak üzere, E deki bir Π düzleminin içindeki bir eğri γ : I Π ve bu düzlemde bir doğru l olsun. l doğrusu sabit kalmak üzere γ eğrisinin l doğrusu etrafında dönmesi ile oluşan yüzeye dönel yüzey denir (Weatherburn 984), (Şekil.). l doğrusuna dönel yüzeyin dönme ekseni, γ eğrisine de üreteç eğrisi denir. Yani, bir düzlem eğrisinin sabit bir doğru (dönme ekseni) etrafında kaymadan dönmesi ile oluşan yüzeye dönel yüzey denir (Uras 99). Dönme ekseni z olarak alınırsa, yüzeyin bir noktasının koordinatları x= u cosv, y= usin v, z= ϕ(u) olur. v= sabit parametre eğrisi meridyen çizgisi veya eksenden geçen düzlemle yüzeyin arakesitidir. u= sabit eğrisi, paralel çizgisi veya eksene dik olan düzlemlerle yüzeyin arakesitidir (Weatherburn 984). İlerideki dönel yüzeyler için de aynı bu düşünceyi uygulayalım. 8

30 z= ϕ ( x) z z= ϕ ( u) meridyen eğrisi ( ) P P u cos v, usin v, ϕ( u) paralel eğrisi ( paralel dairesi) x A O v B y P ( u cos v, usin v,0) u Şekil. z= ϕ x eğrisinin z ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen dönel yüzey E de ( ) Örnek.. Katenari eğrisinin denklemi, hiperbolik kosinüs fonksiyonu ile verilmektedir. y b cosh( z b) = katenari eğrisinin (Şekil.) z ekseni etrafında dönmesi ile oluşan dönel yüzeye katenoid yüzeyi (Şekil. ve Şekil.) denir. Buradaki b sabiti, katenari eğrisinin herhangi bir noktada z eksenine uzaklığıdır. Şekil. E de katenari eğrileri 9

31 Katenoid yüzeyinin parametrik denklemi, 0 v π, b, u \ {0} için cosv sin v 0 b cosh ( u b) ( u, = sin v cos v u bcosh ( u b)cosv = bcosh( u b)sin v u ile belirlidir (Struik 894). Şekil. E de katenoid (dönel yüzey) Tanım.0. ( E de genelleştirilmiş helisoid (helisoidal yüzey)) I açık aralık olmak üzere, E deki bir Π düzleminin içindeki bir eğri γ : I Π ve bu düzlemde γ eğrisini kesmeyen bir doğru l dönme ekseni olsun. l dönme eksenini dik olarak kesen bir doğru, γ eğrisine dayanarak hareket etsin. Bu durumda l doğrusu etrafında dönerken oluşan yüzeye genelleştirilmiş helisoid (helisoidal yüzey) denir (Struik 894), (Şekil.4). İlerideki helisoidal yüzeyler için de aynı bu düşünceyi uygulayalım. 0

32 Şekil.4 E de z dönme eksenli helisoidal yüzey Yani, sabit bir eksen etrafında dönen ve eksen doğrultusu boyunca, dönmenin açısal hızıyla orantılı bir hızla kayan bir eğrinin meydana getirdiği yüzeye genelleştirilmiş helisoid denir (Uras 99). Genelleştirilmiş helisoidin adımı a ile gösterilecektir. elisoidal yüzeyde a = 0 ise dönel yüzey halini alır. Eksenden geçen düzlemdeki üreteçlere meridyenler denir. Meridyenlere dik olan doğrulara paraleller denir. Eğriyi düzlemsel kabul etmekle genellikten hiçbirşey kaybedilmez ve yüzey bir meridyenin helisoidal hareketi ile meydana getirilebilir. z dönme ekseni, u bir noktanın eksenden uzaklığı ve v de bu noktadan geçen meridyen düzlemi ile xoz düzlemi arasındaki açı olsun. O zaman v = 0 meridyeni z= ϕ(u) formülüyle verilirse, yüzey üzerinde herhangi bir noktanın koordinatları x= u cosv, y= usin v, z = ϕ ( u) + av olur. Burada a sabittir. olduğunda (dönel yüzey hali) ya da parametrik eğriler birbirine diktirler (Şekil.4). (Weatherburn 984). πb= a ya helisoidal hareketin adım ı denir. Yalnızca, a = 0 ϕ ( u ) = sabit olduğunda (dik helisoid hali) u= sabit parametre eğrileri helislerdir.

33 v α x( u ) ( ) ( ) ϕ( u, = α u + v. x u α( u) Şekil.5 O E de regle yüzey Tanım.. ( E de regle yüzey) E, -boyutlu Minkowski uzayında, öyle bir yüzey düşünelim ki, bu yüzeyin her noktasından geçen bir doğrunun bütün noktaları bu yüzeyin üzerinde kalsın. Bu yüzeye bir regle yüzey denir (acısalihoğlu 97), (Şekil.5). Örnek.. Bir L doğrusu OA eksenini dik olarak kessin ve ekseni OA olan bir α ( = (cos v,sin v, dairesel helis eğrisine dayanarak hareket etsin. Oluşan bu yüzeyin bir X noktasının koordinatları uuur uuur uuur OX ( x, y, z) = OA+ vax olup, 0 v π, b, u \ {0} için, u ve v parametreleri göstermek üzere ( u, = (0,0, b + u(cos v,sin v, = ( u cos v, usin v, uv+ b helisoid yüzeyi bir regle yüzeydir (O Neill 966), (Şekil.6).

34 L z A( 0, 0, b v ) α ( X ( u cos v, u sin v, bv ) O v y x Şekil.6 B( u cos v, u sin v, 0) E de ( cos, sin, ) u v u v bv regle helisoidal yüzey Bu yüzeyde genel olarak, 0 v π, a, u \ {0} için cos v sin v 0 u 0 ( u, = sin v cosv av ϕ( u) olmak üzere ( u, = ( u cos v, usin v, ϕ( u) + a (.) ile ifade edilir. elisoidal yüzeyde a= 0 ise yüzey ( u, = ( u cos v, usin v, ϕ( u)) (.) dönel yüzey halini alır.

35 Tanım.. (Yerel izometri) M ve N, de iki yüzey ve f : M N fonksiyonu verilsin. er p M için, p U, U M, V N olacak şekilde, U, V açık alt cümleleri ve bir f : U V izometrisi varsa M ile N yüzeyleri yerel izometriktir denir. Böyle bir f fonksiyonuna da yerel izometri denir (acısalihoğlu 994). Sonuç.. f : M N fonksiyonunun yerel izometri olması için, M yüzeyinin her bir p noktasında f : Tp ( M ) T f ( p) ( * p N ) dönüşümünün bir izometri, yani v f ( v ) = p * p p v p olması gerekir ve yeterdir (acısalihoğlu 994). Lemma.. x : U y : U dönüşümleri veriliyor. ds x = Exdu + Fxdudv+ G dv x ve ds dv y = E ydu + Fydudv+ Gy, sırasıyla, x ve y üzerindeki iemann metriklerini göstersin. Bu durumda ϕ = yox : x( U ) y( U ) fonksiyonunun yerel izometri olması için gerek ve yeter şart 4

36 ds = x ds y olmasıdır (acısalihoğlu 994). Tanım.. (Gradient operatörü) M bir n-boyutlu iemann manifoldu ve f : M bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. = grad : C ( M, ) χ( M ) f f = grad( f ) olarak tanımlanan grad operatörüne M üzerindeki lokal koordinatlar cinsinden gradf operatörü M üzerinde gradient operatörü denir. ( ) i ij gradf = g f x j dir. Eğer n M = E ise ij j g δ i f = ve ( gradf) i = xi olur (acısalihoğlu 98). Tanım.4. (Divergens operatörü) M bir n-boyutlu iemann manifoldu ve f : M bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. X = n fi olmak üzere i= xi div : χ( M ) C ( M, ) X div( X ) = <, X > 5 = n i= fi x i

37 olarak tanımlanan div operatörüne M üzerinde divergens operatörü denir ve divx e de X vektör alanının divergensi denir (acısalihoğlu 98). Tanım.5. (Laplace operatörü) M bir n-boyutlu iemann manifoldu ve f : M bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. : C ( M, ) C ( M, ) f ( f ) = div( gradf ) olarak tanımlanan operatörüne M üzerinde Laplace operatörü denir. M üzerindeki lokal koordinatlar cinsinden f nin Laplace operatörü için n-boyutlu iemann manifoldunun koordinat fonksiyonları ( ) x, x,..., x n olduğuna göre bir f : M (,,..., ) ( ) (,,..., ) x= x x x f x = f x x x n n diferensiyellenebilir fonksiyonu için = grad : C ( M, ) χ( M ) f f = grad( f ) g g g x j x j x j j j nj = g, g,..., g dir. Eğer n M = E olması özel halinde g = δ g = δ olduğundan bu özel halde ij ij ij ij f f f f = grad( f ) =,,..., x x xn olur. 6

38 Buna göre X ( f f f ) χ( M) =,,..., n vektör alanı yerine g g g x j x j x j j j nj f = grad( f ) = g, g,..., g vektör alanı alınırsa X deki f i yerine f i = g ij f x j alınmalıdır. n n fi ij f f = div( X ) = = div( f) = g i= xi i= x i x j ij g olduğundan = 0 x ij ij veya (,,..., ) g g x x x n i olacağından f = n g ij f x x i= i j olup tensörel notasyon ile f = g ij f x x i j veya g ile çarparak ve bölerek ij f f = g g g x i x j olur (acısalihoğlu ve Ekmekçi 00). 7

39 Tanım.5. (Laplace-Beltrami operatörü) E, -boyutlu Öklid uzayında basit bağlantılı ve sınırlı bir k C ( ) D bölgesinde tanımlı, k sınıfından bir yüzeyin parametrik gösterimi φ = φ( u, olsun. φ = φ( u, D yüzeyinin birinci temel forma bağlı olarak ile gösterilen Laplace-Beltrami operatörü altındaki φ görüntüsü φ = Gφu Fφ v Fφu Eφ v EG F EG F u EG F v (.) dır (Beneki vd. 00). D bölgesinde tanımlı olan bir F ( u, = ( f ( u,, f ( u,, f ( u, ) vektörel fonksiyonunun Laplace-Beltrami operatörü altındaki görüntüsü F ( u, ( f ( u,, f ( u,, f ( u, ) = (.4) dir (Beneki vd. 00). 8

40 . -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GAUSS DÖNÜŞÜMÜ ÜZEİNDE BOU TEOEMİ. armonik-minimal Olan elisoidal ve Dönel Yüzeyler r Bu çalışmada, X = ( x, x, x ) vektörüne t X transpoze matrisi karşılık tutulmuştur. Toshihiko Ikawa tarafından 000 yılında ispatlanan ve aşağıda ifadeleri verilen iki teorem, yalnızca Oz dönme eksenli dönel ve helisoidal yüzeyler için yapılmıştır. - boyutlu Öklid uzayında iemann metriği ( +, +, + ) işaretli olduğundan, diğer eksenler için de aynı sonuçlar sağlanmaktadır. Teorem... Üreteç eğrisi γ( u) ( u,0, ϕ( u) ) =, dönme ekseni (0,0,) ve adımı a olan ( u, = ( u cosv, usin v, ϕ ( u) + a helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre ( u, v ) = u u + a + a aϕ cosv+ u + a aϕ sinv+ u + a a + u ϕ du u + a du du (.) dönel yüzeyine izometriktir, burada, 0 v π u, a _ \ 0 dır (Ikawa 000)., { } 9

41 0 Teorem... (.) ve (.) ile belirli olan iki yüzey Bour teoremine göre birbirine izometrik olsun. Bu durumda, bu yüzey çifti aynı Gauss dönüşümüne sahip ise, 0 a b, 0 v π, { },, \ 0 u a b _ ve d _için + + = arctan ) ( b a u a u a a b a u ϕ d b a u a u b a u a u a b log olmak üzere bu yüzeyler, sırasıyla, ( ) cos, sin, ( ) u v u v u av ϕ + ve b a u ch b du a u a v a u du a u a v a u arg sin cos ϕ ϕ (.) ile belirli olan minimal yüzeylerdir (Ikawa 000). armonik minimal yüzeyler konusunda pek çok çalışma yapılmış ve çok sayıda kitap yazılmıştır (Bombieri 98, Osserman 986). Sonraki teorem, helisoidal ve dönel yüzey çifti için Gauss dönüşümleri özdeş olarak eşit iken, yüzeylerin minimal olması ile harmonik olması arasındaki ilişkiyi vurgulamaktadır.

42 Teorem... (.) ve (.) ile belirli olan iki yüzey Bour teoremine göre birbirine izometrik olsun. Bu durumda, bu yüzey çifti aynı Gauss dönüşümüne sahip ise harmoniktirler (Güler vd. 00). İspat. (.) ile belirli olan helisoidal yüzeyin birinci ve ikinci temel formunun katsayıları hesaplanırsa, sırasıyla, E ϕ = +, F aϕ =, G= u + a ve L= uϕ u + a + u ϕ, M = a u + a + u ϕ, N = u ϕ u + a + u ϕ bulunur. (.) ile belirli olan helisoidal yüzey ve (.) ile belirli olan dönel yüzeyin Gauss dönüşümleri e ve e olmak üzere, sırasıyla, e = a + u + u ϕ asin v uϕ cosv acosv uϕ sin v u (.) ve aϕ a + u ϕ cosv+ du u + a aϕ = + ϕ + (.4) a + u + u ϕ u + a u e a u sin v du ile belirlidir, burada 0 v π u a _ dır (Ikawa 000). Eğer, e = e olursa,, \{ 0}

43 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Φ ( u) : = a u + u + u + u + a = 0 (.5) diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklem, (.) ile belirli olan helisoidal yüzey ve (.) ile belirli olan dönel yüzey için ortalama eğrilikleri, sırasıyla, (+ ϕ ) u ϕ + uϕ ( u + a = + ( u (+ ϕ ) a ) ) + a ϕ (.6) ve ( a ϕ + u ϕ + u ϕ + a uϕ + u ϕ ) u ϕ = (.7) u + a a + u ϕ ( u + a + u ϕ ) olup bu yüzeyler minimaldir (Ikawa 000). Bu sonuçlarla, (.) ile belirli olan helisoidal yüzey üzerinde, (.) ile verilen Laplace-Beltrami operatörü kullanılarak yapılan uzun hesaplamalar sonucunda, helisoidal yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü ile bu yüzeyin Gauss dönüşümü arasında ( ) u, v k( u) e (.8) bağıntısı elde edilir. Burada,, \{ 0} u a _ için, Φ ( u) fonksiyonu (.5) ile verilmiş olup k( u) = Φ ( u) ( u + a + u ϕ ) ile belirlidir. (.8) ile verilen denkliğin anlamı ise helisoidal yüzeyin harmonik- minimal yüzey olmasıdır. (.) dönel yüzeyi de harmonik minimaldir (Güler vd. 00). Şekil., Şekil., Şekil., Şekil.4, Şekil.5 ve Şekil.6 daki yüzeyler harmonik minimaldir.

44 (a) Şekil. (b) E de bir dönel yüzey, ( u cos v, u sin v, u ) (a) (b) Şekil. E de bir helisoidal yüzey, ( u cos v, u sin v, u+ a (a) (b) Şekil. E de bir helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, asin v u cos v a cos v u sin v u e =,, a + u + u a + u + u a + u + u

45 Şekil.4 (a) (b) E de bir diğer dönel yüzey, ( u cos v, u sin v, u ) Şekil.5 (a) (b) E de bir diğer helisoidal yüzey, ( u cos v, u sin v, u + a (a) (b) Şekil.6 E de bir diğer helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, e asin v u cos v a cos v u sin v u =,, a + u + 4u a + u + 4u a + u + 4u 4

46 . Gauss Dönüşümü İçin Bour Teoremi ( u, = ( u cosv, usin v, ϕ ( u) + a ile belirli olan genelleştirilmiş helisoidin e Gauss dönüşümü e = a + u + u ϕ asin v uϕ cosv acosv uϕ sin v u düzenlendiğinde uϕ u + a + u ϕ cosv sin v 0 a e = sin v cosv 0 u a u ϕ u u + a + u ϕ (.9) ile belirli olan bir yüzey olarak görülür. Burada özel olarak a= 0 alınır ve bu yüzeye h _ \{ 0} adımı verilirse ϕ cosv sin v 0 + ϕ 0 I ( u, = sin v cos v hv ϕ (.0) helisoidal yüzeyi elde edilir. Bu yüzeye, (.) ile belirli olan helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümünden elde edilen helisoidal yüzey (Gauss dönüşümünün helisoidal yüzeyi) denir (Güler vd. 00). 5

47 Teorem... (.) ile belirli olan helisoidal yüzeyin, (.) ile belirli olan Gauss dönüşümünden elde edilen ( u, ϕ ϕ I = cos v, sin v, + hv + ϕ + ϕ + ϕ (.) helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre h ϕ hϕ hϕϕ + + cosv du + ϕ ( h + ϕ + hϕ ) + ϕ h + ϕ + hϕ hϕϕ ( u, = sinv du + ϕ (.) ( h + ϕ + hϕ ) + ϕ ϕ dönel yüzeyine izometriktir, burada 0 v π 00).,, \{ 0} u h _ ile belirlidir (Güler vd. İspat. Dönme ekseni (0,0,) ve üreteç eğrisi ϕ γ ( u),0, + ϕ + ϕ = olan h adımlı helisoidal yüzeyin parametrik ifadesi ( u, v ) ϕ I ϕ I I = cos v, sin v, + hv + ϕ I + ϕ I + ϕ I I I I I I (.) olup I. temel form katsayıları ve yay elementi, sırasıyla, 6

48 E I = ϕ I ( + ϕ ) I, F I = hϕ ϕ I I ( + ϕ ) I, G I ϕ = + h, + I ϕ I ds ϕ du hϕ ϕ du dv ϕ h dv + + I I I I I = I I I+ + I + ϕ I ( ϕ I) ( ϕ I) (.4) dır. (.) helisoidal yüzeyi içindeki helisler u eğrilere ortogonal olan eğriler için ortogonallik şartı I = sabit olarak tanımlı eğriler olup, bu hϕ ϕ ϕ I I I du h dv 0 I+ + I = + + ϕ I ( ϕ I) olur. Düzenlemeler ile c olmak üzere hϕ ϕ v = du + c I I I ( h + ϕ hϕ )( ϕ ) I+ I + I I ve buradan hϕ ϕ v = v du I I ( h + ϕ hϕ )( ϕ ) I+ I + I I I I bulunur. Bu ise helislere orthogonal olan v son ifadeden diferensiyel alarak I = sabit ile belirli olan eğrilerdir. Böylece, hϕ ϕ I I dv = dv + du ( h + ϕ hϕ )( ϕ ) I+ I + I I I I elde edilir. Son eşitliğin sağ tarafı (.4) deki yay elementinde yerine yazılırsa, düzenlemeler sonunda 7

49 ( ) ( + ϕ I) ( h + ϕ I+ hϕ I) h + ϕ ϕ h ϕ hϕ ds du dv I I + I+ I I = I+ I + ϕ I (.5) bulunur. Burada u I ( h + ϕ ) ϕ I I ( + ϕ ) ( h ϕ h ϕ I + I+ I) = dui, f ( u ) = I I h + ϕ + hϕ I I + ϕ I alınırsa, (.5) ile belirli olan yay elementi ds = du + f ( u ) dv (.6) I I I I I haline dönüşür. Diğer taraftan, dönel yüzeyin, aynı dönme eksenli ve aynı üreteç eğrili parametrik ifadesi ( ) ( u, v ) u cos v, u sin v, ϕ ( u ) = (.7) olup dönel yüzeyin yay elementi ϕ ϕ ds du dv = + + ϕ ( + ϕ ) (.8) ile belirlidir. Burada u = ϕ du, ( + ϕ ) f ( u ) = ϕ + ϕ, v = v alınırsa, (.8) ile belirli olan yay elementi ds = du + f ( u ) dv (.9) 8

50 haline dönüşür. Eğer u I = u, v = v, f ( u ) = f ( u ) I I I alınıp, (.6) ve (.9) ile belirli olan yay elementleri karşılaştırılırsa, I ( u, v ) helisoidal yüzeyi ile ( u, v ) Buradan I I dönel yüzeyinin birbirine izometrik olduğu görülür. ( h + ϕ ) ϕ I I ϕ dui = ( + ϕ I) ( h + ϕ I+ hϕ I) ( + ϕ ) du eşitliği kullanılarak arctan ( ϕ ) = ( h + ϕ ) ϕ ( + ϕ ) ( h + ϕ + h ϕ ) du bulunur. Böylece, ( u, v ) dönel yüzeyi içindeki ϕ fonksiyonu elde edilir. Sonuç... ( u, = ( u cosv, usin v, ϕ ( u) + a helisoidal yüzeyinin e Gauss dönüşümü uϕ u + a + u ϕ cosv sin v 0 I a ( u, = sin v cosv 0 u a u ϕ u u + a + u ϕ 9

51 ile belirli olan bir dönel yüzeydir. Sonuç... ( u, = ( u cosv, usin v, ϕ ( u) + a ile belirli olan helisoidal yüzeyde adım sıfıra eşit iken oluşan ( ) (, ) = cos, sin, ϕ( ) II u v u v u v u dönel yüzeyinin e II Gauss dönüşümü III ϕ ϕ ( u, = cos v, sin v, + ϕ + ϕ + ϕ ile belirli bir dönel yüzeydir. Bu yüzeye h adımı verildiğinde oluşan helisoidal yüzey ( u, ϕ ϕ I = cos v, sin v, + hv + ϕ + ϕ + ϕ ile belirlidir. (, ) u v ile ( u, olan dönel yüzeyler, sırasıyla, I helisoidal yüzeylerine Bour teoremine göre izometrik aϕ u + a u + a cos v+ du aϕ u + a ( u, = u + a sin v+ du a + u ϕ du u + a ve 40

52 h ϕ hϕ hϕϕ + + cosv du + ϕ ( h + ϕ + hϕ ) + ϕ h + ϕ + hϕ hϕϕ ( u, = sinv du + ϕ ( h + ϕ + hϕ ) + ϕ ϕ ile belirlidir. Bu dönel yüzey çifti için özel olarak (, ) = ( u, u v olması u h + ϕ + hϕ + a + = 0 + ϕ aϕ hϕϕ du+ du= 0 u + a h + ϕ + hϕ + ϕ ( ) ( ϕ ) ϕ ( + ϕ ) ( h + ϕ + hϕ ) h + a u tan du + ϕ = u + a a= h (.0) denklem sistemi ile belirlidir. 4

53 Sonuç.. ve Sonuç.. nin özeti Şekil.7 de verilmiştir. e I a= 0 II ( u, v ) (, ) ( u, v ) e h u v II III ( u, v ) I ( u, Bour Bour ( u, v ) ( u, =( u, (.0) vardır ( u, Şekil.7 E de helisoidal yüzey, Gauss dönüşümü, dönel yüzey ve Bour arasındaki geçişler. Gauss Dönüşümünün elisoidal Yüzeyinin Eğrilikleri Teorem... ( u, = ( u cos v, usin v, ϕ( u) + a ile verilmiş olan helisoidal yüzeyin, e b bb Gauss dönüşümüne ait olan ve = a + u + u ϕ asin v uϕ cosv acosv uϕ sin v u ( u, ϕ ϕ I = cos v, sin v, + hv + ϕ + ϕ + ϕ ile belirli olan helisoidal yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasında 4

54 I = g K (.) I bağıntısı vardır, burada, u, h _ \{ 0} için g = g u = ( ) ( + )( h + h ) + 4 4( h + ϕ I)( ϕ I h )( + ϕ I) 4 6 ϕ ϕ I I ϕ I ϕ I ϕ I olup ϕ I ( u I ), üreteç eğrisi üzerinde verilen bir fonksiyondur (Güler vd. 00). İspat. (.) ile belirli olan helisoidal yüzeyin birinci ve ikinci temel formlarını kullanarak E G I I F = I ( h + I) ( + ϕ I) ϕ ϕ I ve L N I I M = I ( + h h ) 4 ( h + ϕ I)( + ϕ I) ϕ ϕ ϕ ϕ 6 4 I I I I bulunur. Buradan, helisoidal yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği hesaplandığında, sırasıyla, I = ( )( h h ) ( h + ϕ ) ( ϕ I + I) + ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ 4 6 I I I I I ve 4

55 K I = ϕ h 4 I ( ϕ I+ h ) bulunur. Böylece, aranan sonuç kolayca elde edilir. Sonuç... Özel olarak g( u ) = ise ( h ϕ ϕ h ϕ 4 ) ϕ 6 ( h ϕ )( ϕ 4 h I I I I I I ) = 0 diferensiyel denklemi ve buradan da helisoidal yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasında I = K I bağıntısı elde edilir. Bunun anlamı ise helisoidal yüzeyin asli eğriliklerinin eşit olması, yani yüzeyin umbilik noktaya sahip olmasıdır. Sonuç... Özel olarak g( u ) = 0 ise ( )( h h ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ I I I + I + I = 0 diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklem, helisoidal yüzeyin minimal olduğunu gösterir. 44

56 4. -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GENELLEŞTİİLMİŞ BOU TEOEMİ Bu kısımda, -boyutlu Öklid uzayında verilen en genel bir helisoidal yüzeye Bour teoremine göre izometrik olan en genel dönel yüzey belirlenecektir. 4. Genelleştirilmiş Bour Teoremi ( ) Teorem 4... Üreteç eğrisi γ( u) f ( u),0, ϕ( u) olan =, dönme ekseni (0,0,) ve adımı a ( ϕ ) ( ) ( ) ( ) Η u, v = f u cos v, f u sin v, ( u) + av (4.) helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre aϕ f + a cos v+ du f + a aϕ ( u, = f + a sinv+ du f a (4.) + ( af ) ( fϕ + ) du f + a dönel yüzeyine izometriktir, burada, f ve ϕ diferensiyellenebilir fonksiyonlar ve 0 v π u a _ dır.,, \{ 0} İspat. Dönme ekseni (0,0,), üreteç eğrisi γ ( ) ( u ) = f ( u ),0, ϕ ( u ) ve adımı a olan 45

57 ( ϕ ) ( ) ( ) ( ) Η u, v = f u cos v, f u sin v, ( u ) + av helisoidal yüzeyin yay elementi ( ϕ ) ϕ ( ) ds f du a du dv f a dv = (4.) ile belirlidir. elisoidal yüzey üzerindeki helisler u = sabit parametre eğrileri olup, helislere ortogonal olan eğrilerin ortogonallik şartı ( ) aϕ du + f + a dv = 0 ile belirlidir. Buradan c olmak üzere aϕ v = du + c f + a olup aϕ v = v + du f + a bulunur. Bu ise helislere orthogonal olan v = sabit parametre eğrileridir, burada diferensiyel alarak aϕ dv = dv du I f + a elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı (4.) deki yay elementinde yerine yazılırsa ds f f ϕ du f a dv = + + ( + ) f + a 46 (4.4)

58 bulunur. Böylece u f f ϕ du = + f + a, k ( u ) = I f + a alınırsa, (4.4) ile belirli olan yay elementi ds du k u dv = + ( ) (4.5) haline dönüşür. Diğer taraftan, aynı dönme eksenli ve aynı üreteç eğrili dönel yüzeyin parametrik ifadesi ( ) ( u, v ) = f ( u ) cos v, f ( u ) sin v, ϕ ( u ) (4.6) olup bu yüzeyin yay elementi ( ϕ ) ds f du f dv = + + (4.7) ile belirlidir. Burada, k ( u ) = f, v = v u = f + ϕ du alınırsa, (4.7) ile belirli olan yay elementi ds du k u dv = + ( ) (4.8) haline dönüşür. Eğer u = u, v = v, k ( u ) = k ( u ) 47

59 alınıp, (4.5) ve (4.8) ile belirli olan yay elementleri karşılaştırılırsa, ( u, v ) helisoidal yüzeyi ile ( u, v ) dönel yüzeyi birbirine izometrik olur. Buradan f ϕ f du f du f + a + = + ϕ eşitliğini kullanarak ϕ du = ( af ) + ( fϕ ) f + a du bulunur. Böylece, -boyutlu Öklid uzayında (4.) ile belirli en genel Η ( u, helisoidal yüzeyine Bour teoremine göre izometrik ve (4.6) ile belirli olan en genel ( u, dönel yüzeyi bu teorem ile belirlenmiş oldu. Sonuç 4... Genelleştirilmiş Bour teoremindeki üreteç eğrisinde f ( u) = u olarak alındığında, Ikawa nın çalıştığı ve Teorem.. ile belirli olan helisoidal yüzeye izometrik olan dönel yüzey kolayca elde edilmekte ve Bour teoreminin sağlandığı görülmektedir. Teoremin geçerliliği için aşağıda bir örnek verilmiştir. Örnek 4... Üreteç eğrisi ( u) ( u,0, u ) γ =, dönme ekseni (0,0,) ve adımı a olan (, ) = ( cos, sin, + ) u v u v u v u av helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre 48

60 4 au u + a cosv+ du 4 u + a 4 au ( u, = u + a sinv+ du 4 u + a 8 4a u + 9u 4 du u + a,, \{ 0} dönel yüzeyine izometriktir, burada, 0 v π u a _ ile belirlidir. Ayrıca a= 0 olduğunda her iki yüzey de ( u cos v, u sin v, u ) dönel yüzey halini alır. Teorem 4... M ve N yüzeyleri verilsin. I : M varsa, bu yüzeylerin Gauss eğrilikleri eşittir. Yani p M için N olacak şekilde bir I izometrisi M ( ) ( ) = ( ) K p K I p N dir (Oprea 997). Bu teorem, genelleştirilmiş Bour teoreminin doğruluğunun kontrolü olarak düşünülebilir. Böylece, teorem 4.. in doğruluğu aşağıdaki örnek ile görülmektedir. Örnek 4... Teorem 4.. de özel olarak f ( u) = u ve ϕ ( u) = 0 alınırsa (, ) ( cos, sin, ) u v = u v u v av (4.9) dik helisoid yüzeyi, Bour teoremine göre 49

61 ( u, = u + a cos v, u + a sin v, du a (4.0) u + a dönel yüzeyine (katenoid) izometriktir. er iki yüzeyin birinci temel form bileşenleri E = = E, (, ) ( u, u v F = 0= F (, ) ( u, u v ve G = u + a = G u v (, ) ( u, ile belirlidir. Dik helisoid ve katenoid yüzeylerinin ikinci temel form bileşenleri hesaplanırsa, sırasıyla, L = 0,, ( ) u v M (, ) u v = u a + a, N =, ( ) 0 u, v L =, u, v ( ) u a + a M = ( ) 0 u, v ve 50

62 N( u, = a bulunur. Buradan, her iki yüzey için LN M = a u + a olur. Böylece, dik helisoid yüzeyi ile katenoid yüzeyinin Gauss eğrilikleri birbirine eşit olup K ( ) a = = K ( u + a ) ( ) u, v u, v ile belirlidir. 5

63 5. -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA DÖNEL VE ELİSOİDAL YÜZEYLE Bu bölümde, Minkowski -uzayındaki dönel yüzeyler ve helisoidal yüzeyler, dönme ekseni türlerine göre verilecektir. 5. Dönel Yüzeyler Minkowski -uzayındaki dönel yüzeyler; space-like, time-like ve light-like dönme eksenli olmak üzere üçe ayrılmaktadır. 5.. Ekseni space-like olan dönel yüzeyler E, Minkowski -uzayı nda (,0,0) ve (0,,0) doğrultman vektörleri ile verilen spacelike doğruları invaryant bırakan semi-ortogonal dönme matrisleri, sırasıyla, 0 v π için 0 0 S = 0 cosh v sinh v 0 sinh v cosh v S, cosh v 0 sinh v = 0 0 sinh v 0 cosh v ile belirlidir. Burada i.) S l= l, i ii.) S ε S t i i = ε, ε = diag (,, ), iii.) det S i =+ ( i=, ) özelikleri vardır. -boyutlu Minkowski uzayında, l dönme ekseni space-like olan yani doğrultmanı (,0,0) vektörü olan, dönme düzlemi x 0 ve yüzey non-degenere olarak alındığında, I üzerinde = C sınıfından iki fonksiyon f ve g olmak üzere, üreteç 5

64 eğrisi space-like olup, parametrik ifadesi γ ( u ) = ( g( u), f ( u),0) olur. Böylece elde edilen dönel yüzeyin denklemi, 0 v π _ için, u \{ 0} 0 0 g( u) g( u) ( u, = 0 cosh v sinh v f ( u) = f ( u) cosh v 0 sinh v cosh v 0 f ( u) sinh v (5.) ile belirlidir (Şekil 5.). (a) (b) Şekil 5. E de space-like dönme eksenli bir dönel yüzey Benzer olarak, dönme düzlemi x = 0 alınırsa, üreteç eğrisi space-like veya time-like ve eğrinin parametrik ifadesi γ ( u ) = ( g( u),0, f ( u)) olur. Elde edilen dönel yüzey, 0 v π _ için, u \{ 0} ( u, = ( g( u), f ( u)sinh v, f ( u)cosh (5.) olur. Son olarak, l dönme ekseni space-like yani doğrultmanı (0,,0) vektörü ve dönme düzlemleri, sırasıyla, x = 0 ve x = 0 olarak alınması halinde, üreteç eğrileri, sırasıyla, 5

65 γ ( u ) = ( f ( u), g( u),0) space-like eğri ile γ ( u ) = (0, g( u), f ( u)) space-like veya time-like eğri olur. Buradan elde edilen dönel yüzeyler, sırasıyla, u \{ 0} _, 0 v π için ( u, = ( f ( u)cosh v, g( u), f ( u)sinh (5.) ve ( u, = ( f ( u)sinh v, g( u), f ( u)cosh (5.4) ile belirlidir (Ikawa 00). 5.. Ekseni time-like olan dönel yüzeyler -boyutlu Minkowski uzayında doğrultman vektörü (0,0,) olan time-like doğruları invaryant bırakan semi-ortogonal dönme matrisi ile ters hareketi oluşturan semiortogonal dönme matrisi, sırasıyla, 0 v π için cos v sin v 0 T = sin v cos v cos v sin v 0 T = sin v cos v 0 0 0, olup Ti l= l, T εt = ε, ε = diag(,, ) ve det T =+ ( i=, ) ile belirlidir. t i i -boyutlu Minkowski uzayında, l dönme ekseni time-like yani doğrultmanı (0,0,) vektörü ve dönme düzlemi x = 0, yüzey non-degenere olarak alındığında, I i üzerinde C sınıfından iki fonksiyon f ve g olmak üzere, üreteç eğrisi space-like veya time-like olur. Bu eğrinin parametrik ifadesi de γ ( u ) = ( g( u),0, f ( u)) olur. Böylece time-like dönme ekseni (0,0,) doğrultman vektörü ile verilen dönel yüzeyin parametrik gösterimi 0 v π u _ \ 0 için, { } 54

66 cos v sin v 0 f ( u) f ( u)cos v ( u, = sin v cos v 0 0 = f ( u)sin v 0 0 g( u) g( u) (5.5) ile belirlidir (Şekil 5.). (a) (b) Şekil 5. E de time-like dönme eksenli bir dönel yüzey Ayrıca, dönme düzlemi x = 0 ve yüzey non-degenere olarak alındığında, üreteç eğrisi space-like veya time-like olur. Eğrinin parametrik ifadesi de γ ( u ) = (0, f ( u), g( u)) dır. Böylece, ters hareket ile oluşan dönel yüzeyin parametrik gösterimi ise 0 v π, { } u _ \ 0 için ( u, = ( f ( u)sin v, f ( u)cosv, g( u)) (5.6) olur (Ikawa 00). 55

67 5.. Ekseni light-like olan dönel yüzeyler Bu bölümde, ekseni light-like olan dönel yüzeyler elde edilecektir. -boyutlu Minkowski uzayında, ekseni (0,,), (,0,), (0,, ) ve (,0, ) doğrultman vektörleri ile belirli olan light-like doğruları invaryant bırakan semi-ortogonal dönme matrisleri, sırasıyla, v için v v v v L = v, v v v + v v v L = v v, v v v + L v v v v = v, v v v + v v v L4 = v v, v v v + ile belirlidir (Ikawa 00). Burada, Li l= l, Lε L t i i = ε, ε = diag(,, ) ve det L =+ i ( i=,,, 4) dir. -boyutlu Minkowski uzayında, l dönme ekseni light-like yani doğrultmanı (0,,) vektörü, dönme düzlemi x = 0 ve yüzey non-degenere olarak alındığında f ( u) g( u), f ve g fonksiyonları I üzerinde C sınıfından iki fonksiyon u I, f ( u) = ϕ ( u) + u, g( u) = ϕ ( u) u, v ve üreteç eğrisi space-like veya time-like olur ve ayrıca eğrinin parametrik ifadesi de γ ( u) = (0, ϕ( u) + u, ϕ( u) u) olur (Ikawa 00). Böylece elde edilen dönel yüzeyin parametrik gösterimi u, v için 56

68 ( u, = v v v v v v v v + 0 uv ϕ + u= ϕ+ u uv (5.7) ϕ u ϕ u uv ile belirlidir (Ikawa 00), (Şekil 5.). (a) (b) Şekil 5. E de light-like dönme eksenli bir dönel yüzey Dönme ekseni light-like yani doğrultmanı (0,, ) vektörü, dönme düzlemi de x = 0 olarak alındığında elde edilen dönel yüzey u, v için (, ) ( ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ) u v = v + u v u+ v (5.8) olur. Benzer olarak, dönme ekseni light-like yani doğrultmanları, sırasıyla, (,0,) ve (,0, ) vektörleri, dönme düzlemi x = 0 olarak alındığında, üreteç eğrisi space-like veya time-like, eğrinin parametrik ifadesi de γ ( u) = ( ϕ( u) + u,0, ϕ( u) u) olur. Buradan elde edilen dönel yüzeylerin parametrik gösterimleri, sırasıyla, u, v için 57

69 ( u, = ( ϕ + u uv, uv, ϕ u uv ) (5.9) ve ( u, = ( ϕ+ u v ϕ, vϕ, ϕ u+ v ϕ) (5.0) ile belirlidir (Ikawa 00). 5. elisoidal Yüzeyler E, -boyutlu Minkowski uzayındaki helisoidal yüzeyler space-like, time-like ve lightlike dönme eksenli olmak üzere üçe ayrılmaktadır. 5.. Ekseni space-like olan helisoidal yüzeyler -boyutlu Minkowski uzayında ekseni, doğrultman vektörü (,0,0) space-like vektörü olan a adımlı ve γ ( u ) = ( g( u), f ( u),0) üreteç eğrili helisoidal yüzey, 0 v π, { } a, u _ \ 0 için 0 0 g( u) g( u) + av ( u, = 0 cosh v sinh v f ( u) + av0= f ( u)cosh v (5.) 0 sinh v cosh v 0 0 f ( u)sinh v ile belirlidir (Ikawa 00), (Şekil 5.4). (,0,0) space-like dönme eksenli, a adımlı ve γ ( u ) = ( g( u),0, f ( u)) üreteç eğrili helisoidal yüzeyin parametrik denklemi, 0 v π, { } a, u _ \ 0 için ( u, = ( g( u) + av, f ( u)sinh v, f ( u)cosh (5.) olur (Ikawa 00). 58

70 (a) (b) Şekil 5.4 E de space-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey Benzer şekilde, doğrultman vektörü (0,,0) space-like vektörü ile belli olan dönme eksenli, a adımlı, sırasıyla, γ ( u ) = ( f ( u),0, g( u)) ve γ ( u ) = (0, g( u), f ( u)) üreteç eğrili helisoidal yüzeylerin parametrik gösterimleri, sırasıyla, 0 v π _ için, a, u \{ 0} ( u, = ( f ( u)cosh v, g( u) + av, f ( u)sinh (5.) ve ( u, = ( f ( u)sinh v, g( u) + av, f ( u)cosh (5.4) ile belirlidir (Ikawa 00). 59

71 5.. Ekseni time-like olan helisoidal yüzeyler -boyutlu Minkowski uzayında ekseni, doğrultmanı (0,0,) time-like vektörü, adımı a ve üreteç eğrisi γ ( u ) = ( f ( u),0, g( u)) olan helisoidal yüzey, 0 v π, a, u _ \{ 0} için cos v sin v 0 f ( u) 0 f ( u) cos v ( u, = sin v cos v av0= f ( u)sin v (5.5) 0 0 g( u) g( u) + av ile belirlidir (Ikawa 00), (Şekil 5.5). (a) (b) Şekil 5.5 E de time-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey Ortogonal matrisin ters hareketi ile oluşan, (0,0,) time-like dönme eksenli, a adımlı ve γ ( u ) = (0, f ( u), g( u)) üreteç eğrili helisoidal yüzey, a, u _ \{ 0}, 0 v π için ( u, = ( f ( u)sin v, f ( u)cosv, g( u) + a (5.6) olur (Ikawa 00). 60

72 5.. Ekseni light-like olan helisoidal yüzeyler Minkowski -uzayında ekseni, doğrultmanı (0,,) light-like vektörü olan, a adımlı ve γ ( u) = (0, ϕ+ u, ϕ u) üreteç eğrili, L semi-ortogonal dönme matrisiyle oluşan helisoidal yüzey, u, v _ için, a \{ 0} v v 0 0 uv v v ( u, = v ϕ+ u + av = ϕ+ u uv + av ϕ u ϕ u uv av v v + v + (5.7) ile belirlidir (Ikawa 00), (Şekil 5.6). (a) (b) Şekil 5.6 E de light-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey Doğrultmanları, sırasıyla, (,0,), (0,, ) ve (,0, ) light-like vektörleri olan, a adımlı, sırasıyla, L, L, L 4 semi-ortogonal dönme matrisleri ile oluşan helisoidal yüzeylerin parametrik denklemleri, sırasıyla, 6