KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI

Transkript

1 KON 34 KONTROL SİSTEM TASARIMI PROJE 2 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ HAZIRLAYANLAR TAKIM Burak BEŞER Elif KÖKSAL 464 Muharrem ULU 4645 Birol ÇAPA Teslim Tarihi:

2 GİRİŞ İki ayrı sistemin davranışları, ileri yol üzerine uygulanacak kontrolörler ile kontrol edilmek istenmektedir. Bu raporda, verilen sistemler için uygun geçici ve sürekli hal yanıtlarını veren kontrolörlerin teorik temellere dayandırılarak kutup atama yöntemiyle tasarımları ele alınmıştır. Bu amaçla pek çok farklı tipte kontrolör ve bu kontrolörlerin tasarım yöntemleri incelenmiştir.

3 2s 43. Transfer fonksiyonu G( s) olarak verilen bir sistem 2 ( s 3)( s s 2)( s 2) kapalı çevrimde ileri yol üzerine konulan bir kontrolör ile kontrol edilmek isteniyor. Şekil.a. de sistem blok şema ile gösterilmiştir. Şekil.a. - Sistem blok şeması a) Kapalı çevrim sistem kutuplarını 2 2 j, 3, 4, 5, 6.5, 8. noktalarına atayan 3. dereceden kontrolörü bulmak için cebrik yöntemden yola çıkarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydası, ( s 2 2 j)( s 2 2 j)( s 3)( s 4)( s 5)( s 6.5)( s 8.) = olarak bulunur. Önerilen kontrolör yukarıdaki 7. dereceden paydayı sağlamalıdır. Bu yüzden nedensellik esasına uygun bir biçimde kontrolör ifadesi aşağıdaki gibi verilebilir: F ( s ) = Kontrolör bu yapı ile ele alındığında paydası, F( s) G( s) T ( s) formu için kapalı çevrim F( s) G( s) olarak bulunur. Yukarıda, istenilen kutuplar için bulunan payda ile eşitlendiğinde, 2

4 değerleri bulunur. Bulunan değerler için kontrolör ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu, F ( s ) = T ( s ) = olarak bulunur. Elde edilen bu kapalı çevrim transfer fonksiyonunun s-düzlemindeki kutup-sıfır dağılımı Şekil.a.2 de verilmiştir. Şekil.a.2 - S düzleminde kutup ve sıfırların konumları Şekil.a.3 te kapalı çevrim sistemin birim basamak cevabı, Şekil.a.4 te ise kontrol işareti görülmektedir. Şekil.a.3 - Birim basamak yanıtı 3

5 Birim basamak yanıtının negatifi için zaman karakteristikleri biçiminde elde edilir. Şekil.a.4 - Kontrol işareti Kutuplar istenilen yerlere yerleştirilmiştir. Bu durumda sistemin birim basamak cevabına bakılıdığında sistemin kabaca negatif kazanca sebep olduğu görülür. Yanıtın negatife gitmesinin sebebi başlıca sebebi noktalarındaki sıfırlardır. Bu yanıta bakarak sistemin aşağıdaki faz çeviren kuvvetlendirici opamp yapısını (Şekil.a.5) andırdığını söyleyebiliriz. Yukarıda zaman tanım bölgesi karakteristiklerinin verilmesi bu sebeptendir. Çünkü bu tipte bir sistem olabileceği düşüncesi bu karakteristikleri anlamlı kılacaktır. V Rf Vi R Şekil.a.5 - Faz çeviren kuvvetlendirici yapısı 4

6 b) Soruda G s 43 2s 3 s 2 s 2 s s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör İlk olarak sisteme F s K z s s p tipinde. derece kontrolör uygulanması amaçlanmıştır. İstenen özelliklerden biri kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatası yapmamasıdır. Bu amaçla kontrolörün integratöre sahip olması için paydasının yalnızca s terimine sahip olması gereklidir. Bu amaçla p= seçilir. Geriye kazanç ve sıfır bilinmeyenlerini bulmak kalır. Kontrolörün sıfırının olmadığı yani sisteme yalnızca integratör eklendiği varsayılırsa bu haliyle sistemin kök eğrisi Şekil.b. de verilmiştir. Root Locus Plot 5 I m s Re s Şekil.b. Kontrolör olarak yalnızca integratörü olan sistemin kök eğrisi Görüleceği üzere sistem küçük kazanç değerleri için kararsız olabilmektedir. Sistemi kararlı yapan K değerlerinin aralığı Routh tablosundan bulunursa, <K<.828 ifadesine ulaşılır. Sisteme eklenecek sıfır kök eğrisinde çıkış açısını arttıracağından sistemi kararlı yapan K aralığını da genişletecektir. Sanal eksenlere yaklaştıkça sıfırın bu etkisi daha fazla olur. Buna karşılık sıfırın sanal eksenlere yakın olması sistemi yavaşlatacaktır. Ayrıca 5

7 sanal eksenlere yakın sıfır, çıkış açısını arttıracağından aynı kazanç değerlerinde kapalı çevrim sistemin eşlenik kutuplarının sanal eksenle yaptıkları açının artmasına dolayısıyla aşımın artmasına sebep olur. Tüm bunlar göz önüne alındığında eklenecek kontrolör sıfırının gerçeklenebilecek kontrolör kazanç değerlerini sağlayacak biçimde sanal eksenden uzak tarafa konması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani asıl kriter kontrolörün kazancının hassasiyetidir. Her koşulda kontrolörün kazancı küçük değerler alacağından ( den küçük) ve kontrolör sıfırının mümkün olduğu kadar uzağa koyulması gerektiği sonucuna ulaşıldığından ötürü bir kazanç değeri belirleyip buna uygun sıfırın yerini bulmak izlenecek yol olarak seçilebilir. Kontrolör kazancını. olarak seçersek kontrolör denklemi F s. s p s halini alır. Kapalı çevrim sistemi kararlı bölgede tutacak p değerleri Routh tablosu yardımıyla <p< olarak bulunur. Bu aralıktan p değerini seçerken dikkat edilmesi gereken husus p üst sınırına yaklaştığında sistemin kararlılık sınırına yaklaşacağı yani osilasyona gireceğidir. p nin alt sınır olan a yaklaşması ise sistemin yavaşlamasına neden olacaktır. Bu iki kıstası göz önünde bulundurursak p nin değer aralığının ortasında seçilmesi uygun görülür. p=4.33 seçilirse kontrolör denkleminin son hali F s. s 4.33 s şeklinde ortaya çıkar. Bu kontrolör sisteme uygulanıp kapalı çevrim sistemin basamak cevabı Şekil.b.2 de verilmiştir. Y t Response Şekil.b.2 -. derece kontrolör uygulanmış sistemin basamak yanıtı 6

8 Sistemde sürekli hal hatası yoktur. Geçici hal kriterlerinden aşım %.5, yerleşme zamanı sn dir. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.3 te görüldüğü gibidir..8 Response Y t Şekil.b.3 -. derece kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinde uygun olmayan herhangi bir etken görülmemektedir. 7

9 ii. 2. Derece Kontrolör Sorunun ikinci adımında sisteme F s K s2 as b s 2 cs d biçiminde bir 2. derece kontrolör eklenmesi istenmiştir. Yine kapalı çevrim sistemden beklenen sürekli hal hatası yapmamasıdır. Sistemin (yani G(s)) kutup-sıfır dağılımı çizdirilirse I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b.4 - Sisteme ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.4 deki grafiğe ulaşılır. Kontrolörden gelecek sıfırların sistemin eşlenik kutuplarının etkisini götürmesi sistemin aşım yapmasını önleyecektir. Fakat sistemin eşlenik kutupları sanal eksene oldukça yakın olduğundan o bölgede kutup-sıfır götürmesi yapmak riskli olacaktır. Bu nedenle Notch filtresi kullanılmalıdır. Notch filtresini sağlayacak kontrolör sıfırlarını eklerken dikkat edilecek 2 husus vardır. Eklenecek eşlenik sıfırların sanal bileşenleri sistemin eşlenik kutuplarının sanal bileşenlerinden daha küçük değerde olmalıdır. Tersi durumda belli kazanç değerleri için sistemin kararsız bölgeye sürüklenme tehlikesi ile karşılaşılır. Eşlenik sıfırların yerinin belirlenmesindeki diğer önemli husus modelleme hatasıdır. Modelleme hatasının büyüklüğüne göre sıfırların kutuplara olan yakınlığı belirlenmelidir. Bu bilgiler ışığında sıfırların yerlerinin belirlenmesi için öncelikle sisteme ait eşlenik kutupların yerleri bulunur ( j). Modelleme hatasının yüksek olmadığı varsayılarak kontrolör sıfırlarının yerleri j olarak belirlenebilir. Bunun yanında sistemin sürekli hal hatası yapmaması için bir kutbunun orijinde olması gerektiği göz önüne alınırsa kontrolör F s K s i s i s s a 8

10 halini alır. Kontrolörün diğer kutbunun yerini belirlemek amacıyla kontrolörün yalnızca orijinde kutbu varmış gibi düşünülürse Şekil.b.5 teki kök eğrisine ulaşılır. Şekil.b.5 - Kontrolör olarak yalnızca integratör eklenmiş sistemin kök eğrisi Kontrolörün serbest kutbunun yeri bu kök eğrisi üzerinden yorumlanarak bulunabilir. Baskın bölgede nereye koyulursa koyulsun iki kutup arasında kopma meydana getirip kontrolörün sıfırlarına etkiyeceğinden baskın bölgeye koymak Notch filtresini etkisiz hale getirecektir. Bu duruma bir örnek Şekil.b.6 teki kök eğrisinden görülebilir. 9

11 Şekil.b.6 - Baskın bölgede kontrolör kutbunun etkisi Görüldüğü gibi Notch filtresinin etkisi yok olmuş, sistem belli kazanç değerleri için kararsız hale gelmiştir. Sistemi kararlı yapacak K değer aralığının geniş olması isteniyorsa kontrolör kutbu baskın olmayan bölgeye atanmalıdır. Baskın olmayan bölgede kutup sola çekildiğinde sistem hızlanmaktadır fakat buna karşılık kontrol işareti ani bir şekilde yüksek değerlere çıkar. Tersi yapılıp baskın olmayan bölgede kutup sağa doğru yaklaştırılırsa sistem yavaşlar fakat kontrol işareti nispeten küçük değerler alır. Kontrolör kutbu kontrol işaretinin değerini yüksek tutmayacak ve sistemin hızına çok etki etmeyecek bir yere atanmak istenirse - uygun bir yer olarak seçilebilir. Bu durumda kontrolör denklemi F s K s s s s halini alır. Routh tablosunu kullanarak sistemin <K<5.535 kazanç aralığında kararlı olduğu görülür. Bu halde sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.7 de görüldüğü gibidir.

12 Şekil.b.7-2. derece kontrolör uygulanmış sistemin kök eğrisi Kazancı 5 e yakın tutmak kontrolör işaretinin değerini yükseltmenin yanında sanal eksene yakın bölgede eşlenik kutupların olmasına yol açacaktır. Bununla beraber sanal eksene yakın kutuplar sistemin hızını da düşüreceğinden kazancın sistem kararlı bölgede olacak biçimde yüksek alınmaması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bununla beraber düşük kazanç değerlerinde orijindeki kutup fazla hareket etmeyeceğinden yine sistemin yavaşlaması söz konusu olur. Sistemin küçük aşımları tolere edemediği varsayılıp kazancın kutupları kopma noktasına getirmesi istenirse kazancın.7 olması gerektiği hesaplanabilir. Bu son durumda kontrolör denklemi s s F s.7 s s şeklindedir. Bu kontrolör sisteme eklenip kapalı çevrim sistemin basamak cevabına bakılırsa Şekil 5 teki eğri elde edilir.

13 Y t Response Şekil.b.8 - Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Sistemin geçici hal yanıtları % aşım ve 3.8 sn yerleşme zamanı halindedir. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.9 dan görüldüğü gibidir. Y t Response Şekil.b.9 - Kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinin ani bir şekilde.4 e çıktığı ve yine ani bir biçimde.2 dolaylarına indiği görülmektedir. Söz konusu sistemin karakterine göre bu işaret zarar verici olabileceği gibi sistemde herhangi bir yıpratıcı etki göstermeyebilir. Kazanç değeri yükseltilerek bir miktar aşım yapan hızlı sistemlere ulaşılabilir. Bu tip sistemlerde kontrolör işaretinin değeri daha yüksek olacaktır. Bunun yanında kazanç değeri düşürülerek aşımsız ancak nispeten yavaş sistemler elde edilir. Bu kazanç değerlerinde kontrolör işaretinin değeri de düşük olacağından sisteme daha az zarar verecektir. 2

14 iii. 3. Derece Kontrolör Sisteme bir üçüncü dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Yine köklerin yer eğrisi üzerinde tasarım yapılacaktır. Beklenen uygun geçici hal kriterlerinin sağlanması ve sürekli hal hatasının ortadan kaldırılmasıdır. F s K n 3 s 3 n 2 s 2 n s n d 3 s 3 d 2 s 2 d s d G(s) sisteminin kök eğrisi çizildiğinde görülür ki sanal eşlenik kutup çiftine sahiptir. Bu baskın kutup çiftinden gelen kopmaların sağ yarı düzleme geçmesini engelleyecek bir yapı esastır. Notch filtresi yaklaşımı kullanılırsa bu kutupları çok yakın sanal sıfır çifti eklemek uygun olur. Böylece <K< aralığında kök eğrisi, sağ yazı düzleme geçmeden yörüngesini bu kutup-sıfır çifti üzerinden tamamlayabilir. G(s) sistemine ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b. da verilmiştir. I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b. - G(s) kutup sıfır dağılımı Sürekli hal hatasını engellemek için orijine bir kutup eklenebilir. Şu halde görülür ki kapalı çevrim kutuplarının 4 tanesi baskın bölgededir. Bunlardan ikisi sanal eşlenik kutular olmak ile birlikte diğer ikisi reel eksen üzerinde yer almaktadır. Kalan kutuplar baskın olmayan bölgede uygun şekilde konumlandırılmalıdır. Faz gerilemeli kontrolör prensibi ile kutup ve sıfır çifti eklenecektir. Açık çevrim sistemin reel eksen üzerinde bulunan -2.5 sıfırı ve -3 kutbu arasına bir kutup yerleştirilir. Bu durumda eklenen kutup ile -3 te bulunan kutup arasında bir kopma meydana gelecektir. Fakat bu kopma Notch yapısını olumsuz etkiler; öyle ki sistemin kutuplarından çıkan kollar küçük bir K alığının ardından sağ yarı düzleme girerler. Bunu önlemek, yani Notch yapısını bozmamak için, kopma noktasındaki çıkış açısını 3

15 ayarlamak üzere faz gerilemeli kontrolörün sıfırı, -3 kutbunun sol tarafına eklenir. Böylelikle giriş- çıkış açıları uygun bir şekilde ayarlanmış olur ve baskın kutupların daha büyük bir K kazancında sol yarı düzlemde kalmaları sağlanır. Sistemi bir miktar hızlandırmak için baskın olmayan bölgeye bir kutup eklemek uygundur. Uzaklığı ayarlanırken -2 deki kutup ile arasında gerçekleşecek olan kopmadaki çıkış açısına dikkat edilmelidir. Neticede bu açı, kazanç aralığı üzerinde etkili olur. Aynı zamanda kontrol işaretinin durumu da göz önüne alınmalıdır. Şekil.b. de kutup ve sıfırları bu şekilde belirlenmiş olan kontrolörün eklendiği sistemin kök eğrisi verilmiştir. 25 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil.b. - Kontrolör orjin ve -3.5 teki kutupları ile kök eğrisi Kazanç değeri geçici hal yanıtı üzerinde etkilidir. Sistemin %2lik bant içinde kalmasını ve hızlı yanıt alınmasını sağlayacak bir K değeri belirlenmelidir. Sistemin <K<25.4 değerleri arasında kararlı olduğu görülür. Uygun K değeri 2 olarak belirlenebilir. Sonuç olarak elde edilen kontrolör şu şekildedir: F s 2 s 3.7 s s s s 8 s

16 Nihayetinde, G(s)*F(s) ileri yol transfer fonksiyonunun kök eğrisi çizilirse Şekil.b.2 de verilen kök eğrisine ulaşılır. 4 Root Locus Editor (C) 3 2 Imag Axis Real Axis Şekil.b.2 - F(s)G(s) transfer fonksiyonu kök eğrisi Şekil.b.3 te verilen sistemin birim basamak girişine verdiği yanıt incelenirse görülür ki aşım olmamakta ve sistem.74s de oturmaktadır. Sürekli hal hatası ortadan kaldırılmıştır. 5

17 .4 Step Response Amplitude System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Final Value: (sec) Şekil.b.3- Kapalı çevrim birim basamak yanıtı Şekil.b.4 te birim basamak girişine karşılık alınan kontrol işareti gösterilmiştir. Bu işaret incelendiği takdirde yerleşme zamanının.93 sn olduğu görülür. Kontrol işareti asimptotik olarak kararlıdır. 3 Step Response System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec): Amplitude.5.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Final Value: (sec) Şekil.b.4 - Kontrol işareti 6

18 iv. PID Kontrolör Kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatasını giderecek uygun aşım yerleşme zamanı değerlerini veren PID kontrolör tasarlanacaktır. Başlangıç noktası olması amacıyla aşım ve yerleşme zamanı kriterleri için sonuçlar bulunmuştur. Ancak bunlar arasında sisteme göre tercih edilebilecek ikisi anlatılacaktır. Tasarımda aşımın mümkünse sıfır olması, kabul edilebilir mertebede kalması şartıyla yerleşme zamanı üzerine baskın kriter olarak kabul edilmiştir. Kontrolörün yapısı, F ( s ) = elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu, T ( s ) = Bu verilerden bulunan baskın kutup polinomu, baskın olmayan kutupları gösterecek rezidü polinomu kapalı çevrim paydasının derecesi göz önünde bulundurularak, olarak belirlenebilir. Bu iki polinomun çarpımı kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına eşitlenir ve 6 bilinmeyen 5 denklem olması sebebi ile değişkenlerden cinsinden çözülür ise, 7

19 Çözümü kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına uygulayarak Routh kriteri ile kararlılık analizi yapılırsa, koşulu bulunur. Değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d. de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d. - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri 2.88 değeri için aşımsız bir sonuç elde edildiği ve bu değer için yerleşme zamanının.6687 saniye olduğu görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak elde edilir. Bu kontrolürün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.5 te verilmiştir. Şekil. Birim basamak yanıtı Şekil.b.5 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı 8

20 Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri olarak bulunur. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.6 de verildiği gibidir. Şekil.b.6 - Kontrol işareti Görüldüğü üzere aşım ve yerleşme zamanı bakımından tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir. Ancak basamak yanıtındaki yaklaşık %2 ye varan hareketlilik bazı sistemler için istenmeyen bir durum olabilir. Bu nedenle bahsedilen hareketliliği olabildiğince azaltacak ve yerleşme zamanını yüksek değerlere çıkarmayacak bir diğer kontrolör önerilebilir. 9

21 için bulunan baskın kutup polinomu, ve rezidü polinomu, için yukarıdaki gibi karakteristik polinoma eşitleme ile bulunan değerler cinsinden, olarak bulunur. Routh tablosundan aynı kısıtı elde edilmektedir. Yeni durumda değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d.2 de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d.2 - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri nin.95 değeri için çok az bir aşımın olduğu ve yerleşme zamanının ise.96 saniye gibi kabul edilebilir mertebede kaldığı görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak bulunur. Bu kontrolörün uygulandığı kapalı çevrim sistemin basamak girişe olan yanıtı Şekil.b.7 de verildiği gibidir. 2

22 Şekil.b.7 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri şeklindedir. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.8 de verilmiştir. 2

23 Şekil.b.8 - Kontrol işareti Açık çevrimde sistemin kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.9 da verildiği gibidir. Şekil.b.9 - Açık çevrim kutup ve sıfırların yerleri Sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.2 de verilmiştir. Şekil.b.2 - Değişen kazanç değerleri için kutupların hareketleri 2. yanıt üzerinde hareket ederek MATLAB SISOTool yardımı ile optimal bir sonuç aransın. Önceki sayfada bulunan kök eğrisine bakıldığında şöyle bir yorum yapılabilir. Eklenecek iki adet kontrolör sıfırının eşlenik olması ve eşlenik kutuplara yakın olması bu iki 22

24 kutbun baskın tutulmasını sağlayacak ve olumlu sonuç getirecektir. Çünkü kutuplar artan kazanç değeri ile hareketleri boyunca kısa bir yol alacak; fakat reel eksen üzerindeki kutup, artan kazanç değerleri ile daha hızlı hareket ederek, baskın kutup bölgesi olarak tanımlanabilecek eşlenik kutup reel kısımları civarından hızlı bir şekilde uzaklaşacaktır. Buna katkıda bulunacak bir başka durum ise eklenecek eşlenik sıfırları, kutupların sağ tarafında seçmek olacaktır. Böylece kutupların ilk konumlarından çıkış açıları arttırılmış olacak ve böylelikle artan kazanç değerleri için eşlenik kutupların reel eksen üzerindeki kutuptan uzaklaşmasını kolaylaştıracaktır. Ancak bu esnada aşım artacaktır. Bu durum Şekil.b.2 ve Şekil.b.22 den izlenebilmektedir. Şekil.b.2 - Herhangi bir kazanç değeri için sıfırın kutbun solunda olması Şekil.b.22 - Aynı kazanç değeri için sıfırın kutbun sağında bulunması 23

25 Buradan hareketle SISO Tool üzerinden yapılan tasarım aşağıda görülmektedir. Sürekli hal hatasını engellemek için sıfıra bir kutup yerleştirilmiştir. Eşlenik sıfırın eşlenik kutbun neresine yerleştirildiğinin daha net görülebilmesi için kutup civarına yakınlaşılmıştır. Tasarım yapılırken birim basamak yanıtında hareketlilik en az yapılmaya çalışılmıştır, ayrıca eklenen sıfırın sanal eksene yaklaşması sebebi ile meydana gelecek aşımın da olabildiğince az olması istenmiştir. Burada bulunan kontrolör, F ( s ) = biçimindedir. Bu kontrolörün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.23 teki gibidir. Şekil.b.23 - Kutup atama ile PID tasarım sonucu Bu durumda kontrol işareti Şekil.b.24 te verilmiştir. 24

26 Şekil.b.24 - Kutup atama PID tasarım kontrol işareti 25

27 c) Soruda istenilen geçici hal kriterleri %3 aşım ve 2 sn yerleşme zamanını ve sürekli hal kriteri olan sıfır sürekli hal hatasını sağlayacak 2. derece transfer fonksiyonu hesaplanırsa ln Aşım 2 ln Aşım 2 w n 4 2 w n w 2 n T s s 2 2 w n s w n 2 T s s s 2 ifadesi elde edilir. Kapalı çevrim sistemin basamak cevabını incelenirse Şekil.c. deki eğriye ulaşılır. Response.8 Y t Şekil.c. - %3 aşım, 2 sn yerleşme kriterlerini sağlayan sistemin basamak yanıtı Burada yerleşme zamanı 2.5 sn, aşım %3 ve sürekli hal hatası sıfırdır. Yerleşme zamanı istenilene oldukça yakındır. ve w n değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerin tam değerler vermemesinden ötürü bu ufak fark meydana çıkmıştır. Pek çok sistem için bu fark tolere edilebilecek seviyededir. Bu kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ulaşmayı sağlayacak F(s) kontrolörü eşitliğinden elde edilebilir. Buradan T s F s G s G s T s 26

28 F s s s2.537s s 4 72s 23 s 2 2s 3 şeklindeki kontrolör denklemine ulaşılır. Görüldüğü üzere elde edilen kontrolör nedensel değildir yani gerçeklenemez. İstenen kriterlere bağlı kalmak kaydıyla kontrolörü nedensel yapmak için kontrolörün pay ve paydasının derecelerinin nelere bağlı olduğu araştırılırsa. T s sa s b, F s sa c d s b s a G s sc s d sonucuna ulaşılır. Burada sistemin payının derecesinin c=, paydasının derecesinin d=4 olduğu ve kontrolörün nedensel olması için payının derecesinin paydasının derecesinden küçük ya da eşit olması gerektiği göz önüne alınırsa 3 b-a eşitsizliğine ulaşılır. Yani gerçeklenebilir bir kontrolör tasarlayabilmek için kapalı çevrim fonksiyonunun paydasının derecesi ile payının derecesi arasında en az 3 fark olmalıdır. Bunu sağlamak ve istenilen cevabı edebilmek için kapalı çevrim transfer fonksiyonunun ifadesinde baskın olmayan tarafa (-2) bir kutup eklenir ve sürekli hal hatasını sıfırda tutacak şekilde kazanç değiştirilirse T s s 24s 2 s 3 F s s s s s s s 2 523s 3 2s 4 kontrolörü elde edilir. Bu nedensel bir ifadedir ve fiziksel bir karşılığı vardır. Sistemin basamak cevabı Şekil.c.2 deki gibidir. Response.8 Y t Şekil.c.2 - Nedensel hale getirilmiş kontrolörün uygulandığı sistemin basamak yanıtı 27

29 Burada sürekli hal hatası yoktur ve aşım %3, yerleşme zamanı 2.2 sn dir. Görüleceği üzere sisteme eklenen baskın olmayan kutup yalnızca yerleşme zamanında ufak bir artışa sebep olmuştur. Bu artışı azaltmak eklenen kutbu daha uzaklara koymakla ya da yine baskın olmayan tarafa yeni bir kutup eklemekle mümkündür. Burada dikkat edilecek husus kapalı çevrim transfer fonksiyonuna eklenen her kutbun kontrolörün derecesini arttırdığı yani gerçeklenebilirliği zorlaştırdığı ve maliyeti yükselttiği gerçeğidir. Elde edilen kontrolörün çıkış işareti incelenirse Şekil.c.3 teki eğri elde edilir. Response.4.2 Y t Şekil.c.3 - Kontrolörün basamak yanıtı Burada çok hızlı (yaklaşık.5 sn) bir ters aşım söz konusudur ve sistemin karakterine göre bu olumsuz bir sonuç doğurabilir. Bu sorun, atanan baskın olmayan kutbu sanal eksene doğru çekerek bir nebze giderilebilir. 28

30 d) PI-PD Kontrolör Bulunan PID kontrolörlerden yola çıkarak PI-PD tasarlanacaktır. Kontrolörlerden ilk bulunan PID kontrolör katsayıları en iyi PI-PD sonucunu vermiştir. Hatırlanacağı üzere PID kontrolör şu şekilde bulunmuştu: F ( s ) = Ki: Kd: Kp: G ( ) PD s = GPI ( s ) = Buradan bulunan kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: T ( s ) = Yukarıdaki Ki ve Kd katsayıları yerine yazıldığında, T ( s ) = Kpi ve Kpd katsayıları, toplamları sabit ve PID kontrolörün Kp katsayısı olacak ve PI kontrolörün sıfırını uygun noktaya çekecek şekilde seçilir. Artan Kpi değerleri için bu sıfır baskın kutup bölgesine yaklaşacaktır. Bu da aşımı arttıracaktır. Tasarımda genel olarak aşımın yerleşme zamanının uygun mertebelerde tutularak minimum tutulması amaçlandığı için bu sıfırın 29

31 baskın kutuplardan uzakta olduğu herhangi bir Kpi-Kpd kombinasyonu yeterli olacaktır. Mathematica da çeşitli Kpi değerleri için yapılan tablodan aşağıdaki sonuç uygun bulunmuştur. Kpi=. Kpd= GPD( s ) = , GPI ( s ) = /s Bu değerler için kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı ve kontrol işareti sırasıyla Şekil.d. ve Şekil.d.2 de verilmiştir. Şekil.d. - PI-PD kontrolör için sistemin birim basamak yanıtı 3

32 Şekil.d.2 - Kontrol işareti Görüleceği üzere kontrol işareti uygundur. Çünkü hem yüksek değerlere ulaşılmamaktadır hem de çok hızlı değişimler görülmemektedir. Bu durumda elde edilen kapalı çevrim sisteme ait geçici hal kriterleri olarak bulunur. 3

33 karşılaştıralım. A seçeneği: e) Sistem için en uygun kontrolörü seçmek için elde edilen tüm kontrolörleri Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği. dereceden kontrolör: Response Response.8.8 Y t Y t Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 32

34 B seçeneği 2. dereceden kontrolör: Response.4 Response.8.2 Y t Y t Şekil.e.5 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.6 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği 3. dereceden kontrolör:.4 Step Response 3 Step Response.2 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec):.8 Final Value: Amplitude.6 Amplitude.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93.4 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u.2.5 Final Value: (sec) (sec) Şekil.e.7 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.8 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği PID kontrolör: Şekil.e.9 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e. - Sisteme uygulanan kontrol işareti 33

35 C seçeneği model eşleme ile bulunun kontrolör:.8 Response.4 Response Y t.6.4 Y t Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti D seçeneği PI-PD kontrolör: Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti Sırasıyla tüm bu eğriler ve zaman tanım bölgesi incelemeleri karşılaştırıldığında PI- PD kontrolörün hem kontrol işareti açısından hem de birim basamak işareti açısından en olumlu sonucu verdiği görülebilir. 34

36 2. a) Soruda G s s.5 s 2 s 2 s s 2 şeklinde verilen sistem için, kapalı çevrim sistem kutuplarını, n 6 olmak üzere, 2±2j, -3, -4, -5, *n, *n noktalarına atayan 3. dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Böyle bir kontrolör yapısı aşağıdaki gibi verilebilir: Bu kontrolör yapısından hareketle sırasıyla ileri yol transfer fonksiyonu ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu bulunabilir. Kapalı çevrim transfer fonksiyonundan hareketle bulunan karakteristik polinom, verilen köklerle oluşturulan tasarım karakteristik polinomuna eşitlenerek kontrolör bilinmeyenleri bulunabilir. Bu bilinmeyenler yerine konduğunda 3. Dereceden kontrolör aşağıdaki gibi çıkar: çevrim sistem Bu kontrolör ödevde verilen sistem blok diyagramında yerine konduğunda kapalı şeklinde bulunur. Kontrolörün integratörü olmadığından sürekli hal hatası yapacaktır. Kapalı çevrim sistemin kutup sıfır dağılımı Şekil 2.a. de verilmiştir. 35

37 Şekil 2.a. - Kapalı çevrim sistem kutuplarının ve sıfırlarının dağılımı Sisteme göre sağ tarafta 3 tane sıfır var bu yüzden sistemin ölü zamanı olan sistemler gibi uzun süre referansı takip edemez. Yine sistemin baskın kutup bölgesinde eşlenik kutupları ile reel eksende kutupları vardır. Eşlenik kutuplar bir miktar osilasyona neden olabilir gibi görünse de onlardan çok daha fazla sayıda ve baskın kutup bölgesinde bulunan reel eksendeki kutuplar sistemin bu osilasyonunun fazla olmasını engelleyecektir ve çok az bir aşım ile sistem referanstan daha büyük bir değerde oturacaktır. Nitekim kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı ise Şekil 2.a.2 de verildiği gibidir. Şekil 2.a.2 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Bu cevap ise yukarıda bahsi geçen öngörüler ile uyuşmaktadır. Kapalı çevrim sistemin geçici hal kriterleri aşağıda verilmiştir. SteadyStateError DomainCharacteristics Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.6558 Delay (Td) :.797 sec Rise (Tr) : sec 36

38 Kontrol işareti ise Şekil 2.a.3 te verilmiştir. 4 Response 2 Y t Şekil 2.a.3 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 37

39 b) Soruda G s 2 s 3.6 s.5 s^2 s 2 s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör Sorunun ilk adımında beklenen, sürekli hal hatasını giderecek ve uygun geçici hal yanıtlarını verecek bir. dereceden bir kontrolör tasarlanmasıdır. F s K n s n d s d G(s) transfer fonksiyonunun kutup ve sıfırlarının yeri Şekil 2.b. de verilmiştir. Bu dağılım incelendiğinde sistemin sağ yarı düzlemde kutup ve sıfırının olduğu görülür. 3 2 Pole Zero Map I m s Re s Şekil 2.b.- G(s) kutup- sıfır dağılımı <K< yani pozitif kazanç değerleri için kök eğrisi incelendiğinde görülür ki sağ yarı düzlemdeki kutup- sıfır arasındaki bölge nedeniyle, orijine yakın kapalı çevrim kökleri gelecektir. Nitekim G(s) sistemi için Routh tablosu oluşturulur ve hangi K değerleri için kararlı olduğu bulunursa <K< aralığında kalmak gerektiği görülür. Şekil 2.b.2 ve Şekil 2.b.3 te sırasıyla pozitif kazanç ve negatif kazanç değerleri için çizilen kök eğrileri görülmektedir. Routh tablosu ile çıkarılan sonuçla uyumlu olarak, kimi negatif kazanç değerlerinde kapalı çevrimin kutuplarının sol yarı düzlemde kaldığı kök eğrisinden de görülmektedir. 38

40 3 Root Locus Editor (C) 2 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.2- G(s) transfer fonksiyonunun pozitif kök eğrisi 2 Root Locus Editor (C) 5 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.3 - G(s) transfer fonkiyonunun negatif kök eğrisi 39

41 Sistemin şu haliyle oldukça kısıtlı bir kazanç aralığı için kararlılığa ulaşılmaktadır. Basamak yanıtı incelendiğinde geçici hal yanıtının oldukça yavaş olduğu görülür.. dereceden bir kontrolör ile bu yanıt iyileştirilmelidir. Öncelikle eklenecek sol yarı düzleme eklenecek olan bir sıfır ve kutup ile karmaşık eşlenik kutupların çıkış açıları değiştirilebilir. Diğer bir deyişle yapılacak olan bir faz gerilemeli kontrolör tasarlamaktır. Çıkış açısının ve 9 arasında azalacağı aşikârdır. Böylelikle açı koşulunu sağlayan daha çok eşlenik çift sol yarı düzleme katılmış olacaktır. Aynı zamanda sağ yarıdaki kutup ile eklenecek kutup arasındaki yok kapatılacak ve baskın kutupların burada kalması sağlanacaktır. Bu sıfır ve kutup çifti baskın bölgede yani ile -3 arasında seçilmelidir. Sisteme orijinde bir kutup eklemek uygun değildir. Faz gerilemeli kontrolörün kutup ve sıfırı şu şekilde bulunur. 2 s F s K.37 s Elde edilen bu kontrolörün uygulandığı sistemin kök eğrisi Şekil 2.b.4 te verilmiştir. 2 Root Locus Editor (C) 5 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.4- F(s)G(s) transfer fonksiyonunun negatif kök eğrisi Bu kontrolör için kararlılık aralığı Routh tablosu ile incelenirse <K<-.467 değerlerine ulaşılır. Buradan uygun K değeri olarak belirlenir. Sonuç olarak bulunun kontrolör ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu şöyledir: 4

42 T s 2 s F s s ` 64.32s 4.2`s `s s `s s 4 s 5 Şekil 2.b.5 te verilen kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı incelenirse yerleşme zamanı 8.3 sn, aşım %3 ve tepe değeri 2.26 dır. Sürekli halde ulaşılan değer.99 olarak görülür. Sistem %99 sürekli hal hatası olmasına rağmen kararlıdır. 2.5 Step Response 2.5 Amplitude (sec) Şekil 2.b.5 - Kapalı çevrim birim basamak yanıtı Şekil 2.b.6 da kontrol işaretinin davranışı verilmiştir. Görüleceği üzere kontrol işareti 7.89 sn de yerleşmektedir ve son değeri 3.32 dir. Kararlı bir işarettir. 4

43 5 Step Response Amplitude (sec) Şekil 2.b.6- Sistemin kontrol işareti Birinci dereceden kontrolör yapısı için farklı olarak şeklinde bir yapı önerilebilir. Bu yapı ile sürekli hal hatasının integratör aracılığı ile engelleneceği açıktır. Şekil de görülen pozitif kök eğrisi dikkate alınırsa, yukarıdaki gibi bir kontrolör yapısı ile kararı bölgede kutupları olan bir şekle getirmek için bir sıfır atanmalıdır. Bu sıfırın yeri belirli bir tasarım kriteri verilerek veya SISOTOOL gibi bir araç yardımı ile belirlenebilir. Yine kök yer eğrisine bakıldığında s= da eklenen bir kutup ile onun soluna eklenmiş yine baskın bölgede kontrolör sıfırı kök yer eğrisini pozitif kazanç değerleri için olmasa bile negatif kazanç derleri için sol tarafa çekecektir (açı koşulundan hareketler bu fark edilebilir). Söz konusu kontrolör sıfır kutup dağılımı Şekil 2.b.7 de görülmektedir: 42

44 Pole Zero Map.5 I m s Re s Şekil 2.b.7- Kontrolörün kutup- sıfır dağılımı Mathematica kullanılarak yapılan kontrolör tasarımında negatif bir K kazanç değeri ile yukarıdaki düşünceye bağlı bir sıfır atanması sonucu aşağıdaki kontrolör elde edilebilir: Bu kontrolör ile açık çevrim transfer fonksiyonu kök yer eğrisi kazanç yine negatif olmak üzere sıfırdan sonsuza kadar değişirken Şekil 2.b.8 deki gibi karşımıza çıkar. 2 Root Locus Plot I m s Re s Şekil 2.b.8 - F(s)G(s) açık çevrim transfer fonksiyonu kök yer eğrisi Bu, tasarımın çok küçük bir kazanç aralığı ile de olsa, kararlı sonuç vereceğini göstermektedir. Yukarıda verilen kontrolör kullanılarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu ve sıfır kutupları aşağıdaki gibi bulunur: 43

45 Yine kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sıfır kutup dağılımına bakılacak olursa Şekil 2.b.9 daki dağılım elde edilir. Şekil 2.b.9 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sıfır kutup haritası Böylesine kararsız bir sistemin geri besleme ile kararlı hale getirilebildiği yukarıdaki sıfır kutup dağılımından da anlaşılabilir. Sistem sürekli hal hatası yapmayacaktır. Ancak sağda kalan sıfır bir ters aşıma neden olacaktır. Yine sanal eksene çok yakın ip gibi dizilmiş kutuplar baskın kutup bölgesindedir ve bu cevabın çok fazla osilasyonlu olacağına işaret etmektedir. Bu da haliyle büyük yerleşme zamanı ile yüksek aşıma neden olacaktır. Tasarım için tek avantaj sürekli hal hatasının yok edilebilmesi olarak söylenebilir. Bu öngörülerin doğru olduğu kapalı çevrim sistem cevabından ve zaman tanım bölgesi karakteristiğinden anlaşılabilir. Şekil 2.b. da kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı verilmiştir. 44

46 Response 2.5 Y t Şekil 2.b. - Sistemin birim basamak yanıtı SteadyStateError. DomainCharacteristics Reducing tmax to Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.4295 Delay (Td) :.898 sec Rise (Tr) : sec Böyle bir çıkışın oluşması için verilmesi gereken kontrol işareti ise Şekil 2.b. de verildiği biçimdedir. Response 4 2 Y t Şekil 2.b.- Sistemin kontrol işareti 45

47 ii. 2. Derece Kontrolör Burada G(s) sistemine ikinci dereceden bir kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Sürekli hal hatasının ortadan kaldırılması ve uygun geçici hal yanıtlarının alınması beklenmektedir. Tasarlanacak olan kontrolör: F s K n 2 s 2 n s n d 2 s 2 d s d K*G(s) sistemi kapalı çevrime alınıp kararlılık analizi yapılırsa pozitif kazanç değerleri için sistemin kararsız olduğu görülür. Analiz sonunda <K< aralığı bulunur. Bu durumda negatif kazanç değerleri için tasarım yapmak makul olabilir. a. Negatif kök eğrisi ile tasarım: İlk aşamada akla gelen, sanal kutup çiftlerini etkisiz hale getirecek bir Notch filtresinden yola çıkmak olur. Bu baskın kutup çiftinden gelen kopmaların sağ yarı düzleme geçmesini engelleyecek bir yapı olan Notch filtresinin sanal sıfırları bu kutupları çok yakın sanal sıfır çifti eklemek uygun olur. Böylece sistemi kararlı hale getirebilecek bir K değeri bulmak mümkün olur. Şu haliyle sistem tüm pozitif kazanç değerleri için kararsızdır. Fakat negatif kök eğrisi incelendiğinde önceden yapılan kararlılık analizi ile de uyumlu olarak olumlu K değeri olduğu görülür. Şekil 2.b.2 de Notch filtresinin kullanıldığı sistemde pozitif kök eğrisi, Şekil 2.b.3 te ise negatif kök eğrisi görülmektedir. 4 Root Locus Editor (C) 3 2 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.2 - Sanal sıfırlar ile pozitif kök eğrisi 46

48 8 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.3 - Sanal sıfırlar ile negatif kök eğrisi Kontrolörü nedensel hale getirmek ve Notch ile gelen sanal sıfırların etkisini yok etmemek için sistemin baskın olmayan bölgesine 2 adet kutup eklenmelidir. Baskın olmayan bölgede yapılmasının sebebi sistemi hızlandırmak ile birlikte hali hazırda olan kazanç aralığını olumsuz yönde fazla etkilemektir. -3 noktasının daha sol tarafına eklenecek olan kutuplar ile kontrolör aşağıdaki gibi bulunur: s s F s K.6 s. s Açık çevrim transfer fonksiyonunun negatif kök eğrisi incelendiğinde görülmektir ki kapalı çevrim sistemi kararlı yapacak kazanç değerlerine ulaşmak mümkündür. Uygun cevap arandığından kazanç değeri olarak belirlenebilir. Neticede F(s) kontrolörü şu şekildedir: F s 4.57 s s s. s Bu kontrolün uygulandığı sistemin kök eğrisi Şekil 2.b.4 te verilmiştir. 47

49 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.4 - F(s)G(s) transfer fonksiyonunun kök eğrisi Sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu: s 37.. s s s s s s 4.576s 5.76s 6 Notch filtresi uygulanan sisteme birim basamak girişi verildiğinde alınan cevap incelenirse yerleşme zamanı 6.72 sn, aşım %27.2 olarak görülür. Bu yapı ile sürekli hal hatası giderilemez, çünkü orijine eklenecek olan kutup sistemi kararsızlığa sürükler. Elde edilen yanıt kararlıdır, sürekli hal hatası %57 civarında olup.57 son değerdir. Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil 2.b.5 te görüldüğü gibidir. 48

50 2.5 Step Response 2.5 Amplitude (sec) Şekil 2.b.5 - Kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı Kontrol işareti incelenirse yine kararlı bir işaret gözlemlenir. Yerleşme zamanı 3.44s ve sürekli halde 2.62 değerindedir. Fakat ilk anda büyük bir çıkış gözlenir ki bu da istenen bir hal değildir. Kontrol işaretinin davranışı Şekil 2.b.6 da verilmiştir. 49

51 5 Step Response -5 Amplitude (sec) Şekil 2.b.6 - Kapalı çevrim sistemin birim basamak girişine karşılık kontrol işareti Notch filtresinde görülmüştür ki sürekli hal hatası giderilememektedir. Nedeniyse orijine bir kutup eklenememesidir. Bunun yerine integratör etkisi olan, reel eksende kutup ve sıfırları olan şu tip bir kontrolör kullanılabilir: F s K n 2 s 2 n s n s d s d Daha önce de incelendiği gibi kimi negatif kazanç değerleri için sistem kararlı davranış sergiler. Negatif kök eğrisi incelendiğinde uygun kontrolör ile baskın kutupları sol yarı düzlemde tutmanın mümkün olduğu görülür. Bu durumu gösteren kök eğrisi Şekil 2.b.7 de verilmiştir. 5

52 2 Root Locus Editor (C) 5 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.7 - G(s) transfer fonksiyonunun negatif kök eğrisi Orijine eklenen kutup ile.5 noktasındaki G(s) kutbu arasında meydana gelen kopmanın çıkış açısı uygun bir şekilde ayarlanmalıdır; çünkü baskın kutupların sağ yarı düzlemde olması tehlikedir. Bu nedenle ektisi uygun olan bir noktaya sıfır koymak ve çıkış açısını 9 arttırmak gereklidir. Böylelikle kopma sol yarı düzleme kayacaktır. Şu haliyle kararlı sonuçlar alınabilecek sistemin yanıtını hızlandırmak mümkündür. Bu baskın olamayan bölgeye bir kutup eklenerek sağlanabilir ve aynı zamanda ikinci dereceden bir kontrolör elde edilmiş olur. Elde edilen kontrolör genel haliyle şu biçimdedir: F s 4.8 s s.2 s Bu durumda sistemin kök eğrisi Şekil 2.b.8 de verildiği gibidir. 5

53 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.8 - İntegratör ve sıfır ile G(s) ileri yok transfer fonksiyonunun negatif kök eğrisi Şekil 2.b.9 da son halde F(s)G(s) ileri yok transfer fonksiyonunun negatif kök eğrisi görülebilir. Sistemin kararlı kazanç aralığı Routh tablosu kullanılarak aranırsa <K< olarak bulunur. Uygun kazanç değeri.67 olarak belirlenebilir. 4.8 s F s.67 s.2 s Sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu: T s 44.72` `s 92.96`s `s 659.4`s `s 3 98.`s 4 8.5`s 5 s 6 52

54 Root Locus Editor (C) 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.9 - F(s)G(s) ileri yol transfer fonksiyonu kök eğrisi Şekil 2.b.2 de verilen sistemin birim basamak girişine karşılık verdiği yanıt incelenecek olursa, integratör sayesinde sürekli hal hatası giderilmiştir. Öte yandan %92 gibi 2.92 değerine vuran büyük bir aşım vardır. Yerleşme zamanı da 9.33 sn dir. Kontrol işareti Şekil 2.b.2 de görülebilir. Tepe değeri 6.36, yerleşme zamanı 9.75 sn dir. Son değeri.67 olmakla birlikte işaret kararlıdır. 53

55 3 Step Response Amplitude (sec) Şekil 2.b.2 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak yanıtı 8 Step Response 6 4 Amplitude (sec) Şekil 2.b.2 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kontrol işareti 54

56 b. Pozitif kök eğrisi ile tasarım Böyle bir kontrolör doğrudan Notch filtresi yapısı ile tasarlanabilir. Ancak sürekli hal hatasının öyle bir kontrolör yapısı ile giderilmesi mümkün değildir. Bu yüzden bir diğer çözüm aşağıdaki yapı ile verilebilir: Bu kontrolörün sıfır ve kutup yerlerinin belirlenmesi için Şekil 2.b.22 de verilen kök yer eğrisinin kararlı bölgeye çekilmesi gerekir. Root Locus Plot 5 I m s Re s Şekil 2.b.22 - G(s) transfer fonksiyonunun pozitif kök eğrisi Şeklinde olan kök yer eğrisinin kollarını sol tarafa çekecek sıfır ve kutup çiftleri için bir tasarım kriteri belirlenebilir. Böylece belirli bir sigma doğrusunun sol tarafı baskın olmayan kutup bölgesi olarak düşünülerek eklenen kutup ve sıfırların yerleri bu doğru aracılığı ile rahatlıkla belirlenebilir. Böyle bir işlem yapılıp bir tasarım kriterinden hareketle çözüm yapıldığında bir K kontrolör kazancına bağlı çözüm bulunur. Bu çözüm Routh tablosuna konularak kazanç tablosuna bakıldığında şeklinde kararlılık sınırları görülebilir. K= için kontrolör şu şekilde çıkar: Şekil 2.b.24 te kontrolöre ait kutup-sıfır dağılımı verilmiştir. 55

57 Şekil 2.b.24 - Reel eksende kutup- sıfır dağılımı Sağ taraftaki sıfır bir ters aşım nedeni olacaktır. Diğer sıfır ise en fazla s= ın soluna çekilebilmiştir. Bu yapı itibari ile kutuplardan biri sürekli hal hatasını giderirken diğeri ise baskın kutup bölgesinden uzakta bir yere atanmıştır. Böyle bir kontrolör ile kapalı çevrim transfer fonksiyonu olacaktır. Bu transfer fonksiyonunun kutup sıfır dağılımı ise şu şekildedir: Pole Zero Map 2 I m s Re s Şekil 2.b.25 - F(s)G(s) kutup- sıfır dağılımı Kutup ve Sıfır Dağılımı:{{ , , , , ,-.6987},{-.3249,3.6,5.786}} Kutuplar sol tarafa çekilebilmiştir. Ancak sağda sıfırlar kalmıştır. Bu ise iki kez ters aşıma neden olacaktır. Kapalı çevrim sistem cevabına bakıldığında Şekil 2.b.26 daki eğriye ulaşılır. 56

58 Response Y t Şekil 2.b.26 - Kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı Cevap tahmin edildiği gibi iki kez ters aşım yapmıştır. Sanal eksene çok yakın olan kutuplar ise sistemin aşırı aşım yapmasına neden olmuştur. Ancak kutupların birbirlerine göre dağılımı sistemin aşırı osilasyonlu bir yanıt vermesini engellemiştir. Sıfırın etkisini gideren ona çok yakın olan kutup ise sistemin hızlanmasını engellemiştir ama yine aynı kutup ile sıfırın bu yakınlığı sayesinde sistem kararlı kalmıştır. Çünkü farklı denemelerde sistem sıfırı ile kutbunun uzaklaşması kimi zaman sağ tarafa kaymalarına ve böylece sistemin kararsız kalmasına; kimi zaman ise aşırı osilasyonlu yanıta neden olmaktadır. Bu durumlardan en iyisi kutup sıfır yakınlığını en iyi ayarlayan Kontrolör kutbunun -5 e atanması sonucu elde edilmiştir. Nitekim zaman yanıtları aşağıdaki gibi olmuştur: DomainCharacteristics Settling (Ts) : 9.7 sec Overshoot (Tp): sec Overshoot : Delay (Td) : sec Rise (Tr) : sec {.86954,2.8752,9.7,.33573, } SteadyStateError. Kontrol işareti ise Şekil 2.b.27 de verildiği gibidir. 57

59 6 Response 4 Y t Şekil 2.b.27 - Sisitemin kontrol işareti Bu tasarımın sürekli hal hatasını giderebilmesi onun önemli bir özelliğidir. Ancak çok fazla aşım yapan ve geç oturan bu sistem için sürekli hal hatasından fedakârlık etmek yerleşme zamanı ve aşımın iyileşmesini sağlayacaktır. Bu da bir Notch filtresi ile geçekleştirilebilir. 58

60 iii. 3. dereceden Kontrolör 2. dereceden elde edilen kontrolör yapısı üzerinden sıfır ve kutup atanarak 3. dereceden bir kontrolör elde edilebilir. Fs s s2 s f s 4.9` s s 25 Şeklinde bir önceki seçenekte elde edilmiş kontrolöre baskın olmayan kutup eklenebilir. Bu durumda sisteme bir de sıfır eklenmiş olsun. Routh tablosundan hareketle kontrolör kutbu 4.995<f<35.96 olacaktır. f=23 gibi bir değer için kontrolör ve kapalı çevrim sistem 23 s s s 2 s 4.9 s 25 s s s s 3 2. s s s s s s s 6 s 7 olur. Sisteme eklenen sıfır kutup çifti baskın olmayan bölgede olduklarından sistem cevabı 2. dereceden kontrolördeki gibi çıkar. Şekil 2.b.28 de bu cevap görülebilir. Response Y t Şekil 2.b.28 - Kapalı çevrim sistem yanıtı Kapalı çevrim sistemin geçici hal yanıtları DomainCharacteristics Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.73 59

61 Delay (Td) : sec Rise (Tr) :.5529 sec {.73,3.2978,4.424,.38422,.5529} SteadyStateError. olarak bulunur. Bunun yanında kontrol işareti Şekil 2.b.29 da görüldüğü gibidir. Response 4 2 Y t Şekil 2.b.9 - Kontrol işareti Sistemin ikinci dereceden kontrolöre göre aşımı azalmıştır. Ancak buna karşın yerleşme zamanı biraz artmıştır. Bunun nedeni ise kök yer eğrisinin eklenen kutup sıfır dolaysısı ile biraz sola ötelenmesi sonucu sistemde görülen yavaşlamadandır. Dolayısı ile bu sistemin 3. dereceden bir kontrolör ile kontrolünün pek de olumlu sonuçlar vermeyeceği açıktır. 6

62 iv. PID Kontrolör Şeklinde verilen sistem için kapalı çevrim sistem kutuplarını sürekli hal hatasını giderecek ve uygun yerleşme ve aşım değerleri sağlayacak bir PID tasarımı için şu yapı kullanılabilir: Şekil 2.b.3 - Sistem Blok Diyagramı Şekil 2.b.3 da verilen sistemin blok diyagramı dizimine uygun olarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi çıkar: Bu tasarıma bir başlangıç noktası oluşturmak ve baskın kutup bölgesini öngörebilmek amacı ile aşağıdaki tasarım kriterleri kullanıldı: Bu tasarım kriterinden faydalanılarak öncelikle rezidü polinomu ile tasarlanan ikinci dereceden polinom bulundu. Bulunan polinomlar kapalı çevrim karakteristik polinomuna eşitlenerek sırasıyla aşağıdaki yanıtlar bulundu: 6

63 Bu noktadan hareketle kararlılık analizi yapıldığında Kd karalılık sınırları: şeklinde bulunur. Farklı Kd değerleri için bulunan değerlerden bir kısmı Tablo 2.b. de verilmiştir. Tablo 2.b. - Kd Değişim Analizi Tablodan görüleceği üzere en iyi tasarım noktası Kd= olduğu noktadadır. Nitekim bu noktaya göre sırasıyla kontrolör: olarak bulunur. gibidir. Bu noktada sistemin yani G(s) in açık çevrim kök yer eğrisi Şekil 2.b.3 de görüldüğü 62

64 Şekil.b.3 - Açık çevrim kök yer eğrisi Tasarlanan kontrolör sisteme uygulandığı vakit tüm sistemin kök eğrisi Şekil 2.b.32 de görülen hali alır. Şekil2.b.32 - Açık çevrime PID kontrolörü eklendikten sonra kök yer eğrisi Kontrolör kutbu sürekli hal hatasını engelleyecektir. Kontrolörün sağ taraftaki sıfırı, sistemin sıfırı ile birleşecek ve kopma noktası kutupları sanal eksenin sol tarafına getirecektir. Köklerin durumu Şekil 2.b.33 te daha net görülebilir. 63

65 Şekil 2.b.33 - Şekil 3'teki kök yer eğrisine yakından bakış Kontrolörün sağ taraftaki sıfırı, kutupların daha fazla sola ötelenmesini sağlamıştır. Ancak asıl önemlisi Şekil 2.b.33 ten de görüldüğü üzere kontrolörün solda sıfırı olmasa idi. Bu sıfırın olmaması durumunda kök eğrisi Şekil 2.b.34 te verildiği gibi olacaktı. Şekil 2.b.35 de bu duruma ayrıntılı bir bakış yapılmıştır. Şekil 2.b.34 - Kontrolörün soldaki sıfırının olmaması durumunda kök yer eğrisi 64

66 Şekil 2.b.35 - Şekil 3'teki kök yer eğrisine yakından bakış Eklenen sıfır sayesinde kutuplar yukarıdaki gibi dizilmiş ve sol tarafta kalmışlardır. Sistemin cevabını en çok etkileyecek olan da kontrolörün bu soldaki sıfırıdır. Çünkü kendisinin biraz sağa çekilmesi, reel eksene yakın olan eşlenik kutupların sanal eksenden uzaklaşmasına ve reel eksen üzerine gitmesine neden olur. Yine bu sebepten, reel eksene uzak olan eşlenik kutuplar da sanal eksene doğru hareket edecekler ve asıl baskın kutuplar haline geleceklerdir. Bu durumda osilasyonlu ve geç yerleşim zamanına sahip olan bir çıkışa neden olacaktır. Yine aynı sıfırın biraz sola çekilmesi durumunda kök eğrisi Şekil 2.b.36 daki hali alır. 65

67 Şekil 2.b.36 - Kontrolör sıfırının biraz sola çekilmesi halinde kök yer eğrisinin durumu Şekil 2.b.36 dan da görüldüğü üzere eşlenik iki kutbun hemen sağ tarafa atlamasına neden olacaktır. Bu durumda cebrik olarak bakıldığında kutupları ve sıfırları en iyi yere atayan Kd= eşitliğinin sonucudur. Bu durumda kontrolör sıfırları en iyi noktaya atanmış ve kapalı çevrimde tüm kutupları sol tarafa çekebilmiş olacaklardır. Nitekim Şekil 2.b.37 de kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sıfır kutup dağılımı görülmektedir ve bu dağılım yukarıda anılan tezi doğrulamaktadır. 66

68 Pole Zero Map 2 I m s Re s Şekil 2.b.37 - Kapalı çevrim sistemin kutup sıfır dağılımı Bu şekilden anlaşılacağı üzere tüm sağdaki kutuplar sola çekilebilmiştir. Ancak sağda sadece iki sıfır kalmıştır. Sistemin sürekli hal hatası yapmayacağı ancak iki kez ters aşım yapacağı görülmektedir. Baskın kutup bölgesinde bulunan eşlenik kutuplar ise osilasyonlu bir cevaba neden olacaktır. - un ötesindeki sıfırın ise bir etkisi olmayacaktır. Şekil 2.b.28 den sistemin birim basamak yanıtına bakıldığında yukarıda söz edilenlerin aynen gerçekleştiği fark edilmektedir. Response Y t Şekil 2.b.38 - Sistemin birim basamak yanıtı 67

69 DomainCharacteristics[ATs3,ShowMessagesTrue] Settling (Ts) :.56 sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.7355 Delay (Td) :.339 sec Rise (Tr) :.4762 sec {.7355,2.5894,.56,.339,.4762} SteadyStateError[ATs3]. Kontrol işareti ise Şekil 2.b.39 da verilmiştir. Response 4 2 Y t olacaktır. Şekil 2.b.39 - Kontrol işareti Bu sistemi PID kontrolör ile kontrol etmek haliyle fazla enerji harcanmasına neden 68

70 . soruda olduğu gibi bu soruda da geçici hal kriterleri %2 aşım ve 3 sn yerleşme zamanı şeklinde istenmiştir. Bu kriterleri sağlayan 2. dereceden kapalı çevrim transfer fonksiyonu T s s s 2 olarak bulunmuştu. Sistem G s s.5 s 2 s 2 s s 2 şeklinde verilmiştir. Hemen görüleceği üzere sistemin sağ tarafta bir kutbu ve sıfırı vardır. Model eşleme yönteminin kullanımı bu durumda sağ tarafta 2 kere kutup-sıfır götürmesine neden olacaktır. Özetle, model eşleme sonucunda elde edilen kapalı çevrim transfer sistemin kararsız olması öngörülebilir. Model eşleme ile kontrolörü bulmak için F s T s G s G s T s ifadesinden yararlanılır. Buradan hareketle F s s.5558s2 7.53s 3.689s 4 4.4s.4s 2 s 3 kontrolör denklemine ulaşılır. Görüleceği üzere kontrolör nedensel değildir. Yine de sistem cevabı çizdirilirse Şekil 2.c. deki cevaba ulaşılır..8 Response Y t Şekil 2.c. - Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Kapalı çevrim sistem bir süre kararlı olmakta fakat daha sonra kararsızlığa sürüklenmektedir. Yani sistem daha önce öngörüldüğü gibi kararsız çıkmıştır. 69

71 İlk soruda yapıldığı gibi bu soruda da kontrolörü nedensel yapmak için hedef transfer fonksiyonuna -2 de bir kutup ekleyip sürekli hal hatası yapmayacak biçimde kazancı düzenlersek hedef transfer fonksiyonunu T s s 24s 2 s 3 şeklinde buluruz. Bunu sağlayacak kontrolörü model eşleme yöntemi ile F s s 2.365s s s s.869s 2 2.4s 3 s 4 olarak buluruz. Bu haliyle kontrolör nedenseldir. Kapalı çevrim sistemin basamak girişe olan yanıtı Şekil 2.c.2 deki hali alır. Y t Response Şekil 2.c.2 - Nedensel kontrolörün uygulandığı sistemin basamak yanıtı Öngörüldüğü gibi sistem yine kararsız çıkmıştır. Kontrol edilecek sistemde sağ tarafta adet kutup ve adet sıfır bulunduğundan model eşleme yöntemiyle kontrolör tasarlanamaz. Bu şekilde tasarlanan sistemler kararsız olacaktır. 7

72 d) PI-PD Kontrolör kullanılır: PID kontrolörden yola çıkarak PI-PD tasarımı için Şekil 2.d. deki blok diyagramı Şekil 2.d. - PI-PD tasarımı için kullanılacak blok diyagramı Öncelikle PID tasarımından bulunan Ki ve Kd katsayıları kullanılır. Önceki kontrolör s s 2 s şeklinde idi. Bu katsayılar kullanılarak, Pd kontrolör ifadesi: Pi kontrolör ifadesi ise şeklinde bulunur. Fspi.3249 Kpis s PD kontrolörünün olduğu iç kapalı çevrim transfer fonksiyonu şeklinde bulunur. Toplam kapalı çevrim ise olarak bulunur. Kpi ve Kpd katsayıları, toplamları sabit ve PID kontrolörün Kp katsayısı olacak ve PI kontrolörün sıfırını uygun noktaya çekecek şekilde seçilir. Tasarımda genel olarak aşımın yerleşme zamanının uygun mertebelerde minimum tutulması amaçlandığı için bu sıfırın 7

73 baskın kutuplardan uzakta olduğu herhangi bir Kpi-Kpd kombinasyonu yeterli olacaktır. Mathematica da çeşitli Kpi değerleri için Tablo 2.d. deki sonuçlar bulunmuştur. Tablo 2.d. - Kpi Analizi Bu tabloya göre en iyi yerleşme ve aşım değerini sağlayan Kpi= çıkmıştır. Bu değer yerine konduğunda, Pd kontrolör: Pi kontrolör şeklinde bulunur. Toplam kapalı çevrim sistem transfer fonksiyonu 72

74 olmuştur. Kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı Şekil 2.d.2 de verilmiştir. Response.8 Y t Şekil 2.d.2 - Kapalı çevrim Sistemin birim basamak yanıtı DomainCharacteristics[Tsy,ShowMessagesTrue] Reducing tmax to Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot : Delay (Td) : sec Rise (Tr) : sec { ,7.4876,6.8624,2.9653, } SteadyStateError[Tsy]. 73

75 karşılaştıralım. e) Sistem için en uygun kontrolörü seçmek için elde edilen tüm kontrolörleri A seçeneği: 4 Response 2 Y t Şekil 2.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil 2.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği. dereceden kontrolör: Response Response 2 4 Y t.5 Y t Şekil 2.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil 2.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 74

76 B seçeneği 2. dereceden. kontrolör: 2.5 Step Response 5 Step Response Amplitude Amplitude (sec) (sec) Şekil 2.e.5 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil 2.e.6 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği 2. dereceden 2. kontrolör: 3 Step Response 8 Step Response Amplitude.5 Amplitude (sec) (sec) Şekil 2.e.7 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil 2.e.8 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 75

77 B seçeneği 3. dereceden kontrolör: Response Response Y t Y t Şekil 2.e.9 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil 2.e. - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği PID kontrolör: Response Response Y t Y t Şekil 2.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil 2.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 76

78 C seçeneği model eşleme ile elde edilen kontrolör: Y t Response Şekil 2.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı D seçeneği PI-PD kontrolör: Y t Response Şekil 2.e.4 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Y t Response Şekil 2.e.5 - Sisteme uygulanan kontrol işareti Sırasıyla tüm bu eğriler ve zaman tanım bölgesi incelemeleri karşılaştırıldığında PI-PD kontrolörün hem kontrol işareti açısından hem de birim basamak işareti açısından en olumsu sonucu verdiği görülebilir. 77

79 SONUÇ Yapılan çalışmalar boyunca, verilen iki farklı sistem ileri yol üzerindeki çeşitli tipteki kontrolörler ile kontrol edilmeye çalışılmıştır. Uygun geçici hal yanıtları ve sürekli hal hatasının olmaması hedeflenmiştir. Verilen ilk sistemin ile görülmüştür ki sağ yarı düzlemde kutup ya da sıfır olmaması problemi kolaylaştırmaktadır. Yani sistem bir nebze daha rahat kontrol edilebilmektedir, kazanç aralığı daha geniş tutulabilmektedir. Öte yandan ikinci sistemde görülür ki sağ yarı düzlemdeki kutup ve sıfır sistemin kontrol problemini oldukça zor bir hale getirmektedir. Bu halde çözüm negatif kazanç değerlerinde aranmıştır. Sonuç olarak tasarlanan kontrolörler incelendiğinde, en iyi sonucun PI-PD tip kontrolörler ile alındığı açıktır. Kontrolörlerde serbestlik derecesinin artması böyle bir avantaj getirmiştir.