ORTAÖ RET M MATEMAT K 11 DERS K TABI

Transkript

1 ORTAÖ RET M MATEMAT K DERS K TABI M.E.B. Tlim ve Terbie Kuruluu 5.8. gü ve 4 sılı krrıl - öğretim ılıd itibre 5 (beş) ıl sürele ders kitbı olrk kbul edilmiştir. Emrullh KAPLAN I

2 C Her hkkı sklıdır ve Pş Yıcılık Limited Şirketie ittir. Bu kitbı tümü d bir bölümü, Pş Yıcılık Limited Şirketide öcede izi lımksızı hiçbir biçimde çoğltılmz, bsılıp ımlmz. ISBN: Bskı: Hzir ANKARA Eskişehir Yolu, 7. km., Erler Mh. Çmlık Prk Sitesi, 65. Sok., Nu.: Etimesgut/ANKARA tel.: () 4 belgeç: () e-mil: [email protected] DÜZELTİ VE YAYINA HAZIRLAMA KURULU Nerim KAPLAN : Editör Bilgi YÜCEL : Dil Uzmı Ahmet TAYYAR: Görsel Tsrımcı K. Fige ŞIRAMAN : Rehberlik Uzmı Ever ÇETİN : Ölçme ve Değerledirme Uzmı Slih ŞATIR : Progrm Geliştirme Uzmı II

3 Korkm, sömez bu şfklrd üze l sck; Sömede urdumu üstüde tüte e so ock. O beim milletimi ıldızıdır, prlck; O beimdir, o beim milletimidir ck. İSTİKLÂL MARŞI Bstığı erleri toprk! dierek geçme, tı: Düşü ltıdki bilerce kefesiz tı. Se şehit oğlusu, icitme, zıktır, tı: Verme, dülrı ls d, bu ceet vtı. Çtm, kurb olım, çehrei e zlı hilâl! Khrm ırkım bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? S olmz döküle klrımız sor helâl... Hkkıdır, Hkk tp, milletimi istiklâl! Be ezelde beridir hür şdım, hür şrım. Hgi çılgı b zicir vurckmış? Şşrım! Kükremiş sel gibiim, bedimi çiğer, şrım. Yırtrım dğlrı, egilere sığmm, tşrım. Grbı âfâkıı srmışs çelik zırhlı duvr, Beim im dolu göğsüm gibi serhddim vr. Ulusu, korkm! Nsıl böle bir imı boğr, Medeiet! dediği tek dişi klmış cvr? Arkdş! Yurdum lçklrı uğrtm, skı. Siper et gövdei, dursu bu hâsızc kı. Doğcktır s v dettiği güler Hkk ı... Kim bilir, belki rı, belki rıd d kı. Kim bu ceet vtı uğru olmz ki fedâ? Şühedâ fışkırck toprğı sıks, şühedâ! Câı, cââı, bütü vrımı lsı d Hud, Etmesi tek vtımd bei düd cüdâ. Ruhumu sede, İlâhi, şudur ck emeli: Değmesi mbedimi göğsüe âmhrem eli. Bu ezlr -ki şhdetleri dii temeli- Ebedî urdumu üstüde beim ilemeli. O zm vecd ile bi secde eder - vrs- tşım, Her cerîhmd, İlâhi, boşıp klı şım, Fışkırır ruh-ı mücerred gibi erde şım; O zm ükselerek rş değer belki bşım. Dlgl se de şfklr gibi e şlı hilâl! Olsu rtık döküle klrımı hepsi helâl. Ebedie s ok, ırkım ok izmihlâl: Hkkıdır, hür şmış, brğımı hürriet; Hkkıdır, Hkk tp, milletimi istiklâl! Mehmet Âkif ERSOY III

4 ATATÜRK ÜN GENÇLİĞE HİTABESİ E Türk geçliği! Birici vzife, Türk istiklâlii, Türk cumhurietii, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudietii ve istikblii egâe temeli budur. Bu temel, sei, e kımetli hziedir. İstikblde dhi, sei, bu hziede, mhrum etmek isteecek, dhilî ve hricî, bedhhlrı olcktır. Bir gü, istiklâl ve cumhurieti müdf mecburietie düşerse, vzifee tılmk içi, içide bulucğı vzieti imkâ ve şeritii düşümeeceksi! Bu imkâ ve şerit, çok âmüsit bir mhiette tezhür edebilir. İstiklâl ve cumhurietie kstedecek düşmlr, bütü düd emsli görülmemiş bir glibieti mümessili olbilirler. Cebre ve hile ile ziz vtı, bütü kleleri zpt edilmiş, bütü terselerie girilmiş, bütü ordulrı dğıtılmış ve memleketi her köşesi bilfiil işgl edilmiş olbilir. Bütü bu şeritte dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketi dhilide, iktidr ship ollr gflet ve dlâlet ve httâ hıet içide bulubilirler. Httâ bu iktidr shipleri şhsî meftlerii, müstevlileri sisî emellerile tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içide hrp ve bîtp düşmüş olbilir. E Türk istikblii evlâdı! İşte, bu hvl ve şerit içide dhi, vzife; Türk istiklâl ve cumhurietii kurtrmktır! Muhtç olduğu kudret, dmrlrıdki sîl kd, mevcuttur! IV

5 MUSTAFA KEMAL ATATÜRK (88-98) V

6 SEVGİLİ ÖĞRENCİLER Bilidiği gibi klsik öğreme lışıd öğrecii belirli sıdki kvrm ve kurllrı ezberleerek bu kurl ve kvrmlr dlı semboller üzeride lmıı bilmede işlem pmsı olu seçilir. Tım Teorem İspt Alıştırm ve Testler biçimide bir ol izleir. Gerçek lmlrıı bilmede kvrm ve kurllrı ezberlemei boş ve zor bir süreç olduğu çıktır. Eliizdeki bu eser ise Her geç mtemtiği öğreebilir. ilkeside ol çıkılrk pıldırıcı klşım göre titiz bir çlışml hzırlmıştır. Ypıldırıcı ei progrm lışı göre düzelee Mtemtik dlı bu kitbımızd; Problem Keşfetme Hipotez kurm Doğrulm Geelleme İlişkiledirme şeklide bir ol izlemiştir. Bu mçl;. Öğretime somut deeimlerle bşlmış,. Almlı öğreme mçlmış,. Öğrecileri mtemtik bilgilerile iletişim kurmsı öem verilmiş, 4. İlişkiledirme öemsemiş, 5. Sizleri motivsou dikkte lımış, 6. Tekoloji etki kulldırılmış, 7. Bilgii sııft pıldırılmsı sürecie öem verilmiştir. Hepiize bşrılr dilioruz. VI

7 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM : KARMAŞIK SAYILAR..... KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ... A. Gerçek Sılr Kümesii Geişletilmesi... B. Sl Birim (i Sısı) ve Bu Sılrı Kuvvetleri..... Alıştırmlr...5 C. Krmşık Sılr Kümesi Alıştırmlr...7 Ç. Krmşık Düzlem Alıştırmlr...9 D. Bir Krmşık Sıı Eşleiği ve Modülü..... Alıştırmlr 4... E. Krmşık Sılrd Toplm ve Çıkrm İşlemleri..... Alıştırmlr F. Krmşık Sılrd Çrpm ve Bölme İşlemleri Alıştırmlr 6... G. Krmşık Sılrd Eşleik ve Modül ile İlgili Özellikler..... Alıştırmlr Ğ. Krmşık Sılrd İkici Derecede Bir Bilimeeli Deklemler Alıştırmlr H. Krmşık Düzlemde İki Nokt Arsıdki Uzklık Alıştırmlr KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ... A. Kutupsl Koorditlr ve Bir Noktı Krteze Koorditlrı ile Kutupsl Koorditlrı Arsıdki Bğıtılr..... Alıştırmlr...7 B. Kutupsl Şekilde Yzılmış Krmşık Sılrl İşlemler Alıştırmlr...4 C. Bir Krmşık Sıı Kuvvetleri ve De Moivre Formülü Alıştırmlr...44 Ç. Bir Krmşık Sıı Kökleri Alıştırmlr Bölüm Değerledirme Sorulrı...5. BÖLÜM : LOGARİTMA ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONU...54 A. Üstel Foksio ve Grfiği Alıştırmlr...58 B. Logritm Foksiou ve Grfiği Alıştırmlr...66 C. O Tblı Logritm ve Doğl Logritm Foksiolrı Alıştırmlr...69 Ç. Logritmı Temel Özellikleri Alıştırmlr D. Bir Sıı O Tblı Logritmsıı Tm Kısmıı Bulmk Alıştırmlr E. Üstel Foksiou ve Logritm Foksiouu Grfiklerii Çizimi ile İlgili Ugulmlr Alıştırmlr VII

8 İÇİNDEKİLER.. ÜSLÜ VE LOGARİTMALI DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER...8 A. Üslü ve Logritmlı Deklemler Alıştırmlr...87 B. Logritmlı ve Üslü Eşitsizlikler Alıştırmlr...9 Bölüm Değerledirme Sorulrı...9. BÖLÜM : PERMÜTASYON; KOMBİNASYON, BİNOM VE OLASILIK PERMÜTASYON...94 A. Smd Eşleme, Toplm ve Çrpm Yötemleri Alıştırmlr...97 B. Permütso...97 C. Döel (Diresel) Permütsolr... Ç. Tekrrlı Premütsolr..... Alıştırmlr KOMBİNASYON Alıştırmlr..... BİNOM AÇILIMI..... Alıştırmlr OLASILIK...6 A. Temel Kvrmlr...6 B. Olsılık Foksiou ve Temel Özelikleri...8 C. Eş Olsılık (Olumlu) Öreklem Uzı... Ç. Koşullu Olsılık...5 D. Bğımlı ve Bğımsız Ollr Alıştırmlr İSTATİSTİK... A. Yşmd Seçilmiş Verileri Grfiklerle Gösterilmesi... B. Bir Öreklemi Ysıtck Ugu Grfik Türü ve Grfikleri Yorumlmsı...5 C. Merkezî Eğilim ve Yılım Ölçüleri...7 Ç. Stdrt Pu Alıştırmlr...4 Bölüm Değerledirme Sorulrı BÖLÜM : TÜMEVARIM VE DİZİLER TÜMEVARIM...48 A. Tümevrım Yötemi Alıştırmlr...54 B. Toplm ( ) ve Çrpım (π) Simgeleri ve Özellikleri Alıştırmlr DİZİLER...69 A. Dizi Tımı, Dizii Grfiği, Solu Dizi, Sbit Dizi ve Eşit Diziler Alıştırmlr...74 B. Dizilerle İşlemler Alıştırmlr...77 C. Mooto Diziler Alıştırmlr ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER...8 VIII

9 İÇİNDEKİLER A. Aritmetik Diziler...8 B. Geometrik Diziler Alıştırmlr...88 Bölüm Değerledirme Sorulrı BÖLÜM : MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ MATRİSLER...94 A. Mtris ve Türleri Alıştırmlr...95 B. Kre Mtris, Sıfır Mtrisi, Birim Mtris, Köşege Mtris, Üçge Mtris ve Eşit Mtrisler Alıştırmlr...98 C. Mtrisleri Toplmı ve Frkı Alıştırmlr... Ç. Mtrisi Bir Gerçek Sı ile Çrpımı Alıştırmlr 4... D. Mtrislerde Çrpm İşlemi Alıştırmlr E. Mtrisi Çrpm İşlemie Göre Tersi Alıştırmlr F. Bir Mtrisi Devriği (Trspozu) Alıştırmlr DOĞRUSAL (LİNEER) DENKLEM SİSTEMLERİ...9 A. Doğrusl Deklem Sistemleri ve Temel Stır İşlemleri Alıştırmlr... B. Doğrusl Deklem Sistemlerii Mtrislerle Çözümü Alıştırmlr...5 C. Bir Mtrisi Tersii Temel Stır (Sütu) İşlemleri ile Bulmk Alıştırmlr DETERMİNANTLAR...8 A. Determit Tımı; Miör, Kofktör ve Determitı Özellikleri Alıştırmlr... B. Srrus Yötemi Alıştırmlr...6 C. Ek (Adjoit) Mtris Alıştırmlr DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN DETERMİNANTLARLA ÇÖZÜMÜ...4 A. Doğrusl Deklem Sistemii Ters Mtris Yrdımıl Çözmek Alıştırmlr...44 B. Doğrusl Deklem Sistemii Krmer Kurlıl Çözmek Alıştırmlr...49 Bölüm Değerledirme Sorulrı...5 SÖZLÜK...5 SİMGELER VE ANLAMLARI...54 KAYNAKÇA...54 IX

10 ORGANiZASYON ŞEMASI! Ders kitbıız ve 4 stlik progrmlrı kpsmktdır. Bu edele srı zemile işretli bölümler stlik progrm devm ede öğreciler trfıd tkip edilmeecektir. Etkilik Bu bölümde kou ile ilgili pcğıız etkilik çlışmlrı verilmiştir. + 5z = z = sistemii Crmer ötemile çözelim. 5 z = 7. 5 ETKİNLİK. Kresi ol ei bir sı tımldığıızı vrslım. Bu sıı istediğiiz bir simgele gösteriiz. Bu simgei kullrk kresi 4 ve ol sılrı zıız.. egtif gerçek sı ise kresi ol sılrı deki simgei kullrk zm çlışıız = deklemii çözüm kümesii kresi ol simgei kullrk zıız. Tım Kou ile ilgili tımlr bu logo ile verilmiştir. TANIM Kresi ol sı, sl birim deir. Sl birim i d ile gösterilir. ÖZELLİK Özellik Bu bölümde icelediğiiz kou ile ilgili özellik verilmiştir. z = Souç Bu bölümde kou ile ilgili ei çıkrımlr er verilmiştir.verile özellik bu logo ltıd kıtlmıştır. + bi, z = c + di krmşık sılr ve bd olsu. z + z ve z. z gerçek sılr ise z = z tir. P(A B) = s(a B ) = s(a B ) / s(e) = P(A B ) dir. s(b ) s(b ) / s(e) P(B ) Bu özelliği doğruluğuu şu şekilde kıtlbiliriz: z + z = ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i R b + d = Verile özellik bu logo ltıd kıtlmıştır. Kresi egtif ol bir gerçek sı bulumdığıı bilioruz. Bu kısımd gerçek sılr kümesie, Bu logo ile verile ifdede eski bilgileriiz ei bilgilerle birleştirilmektedir. kresi egtif olbile ei sılr ktcğız. Buu d şğıdki tımd rrlrk pbiliriz. + b + c = deklemide, b, c bilie krmşık sılr, ve deklemde bilimee olsu. Bu logo ltıd kou ile ilgili ol urılr verilmiştir. Yukrıd çözdüğümüz birici örekteki 4 + = deklemide kt sılr gerçek Bu logo ile kou it çıklmlr verilmektedir. sılrdır. Bu deklemi kökleri eşleik sılrdır. Bu durumu, b, c kt sılrıı gerçek sı olduğu her + b + c = deklemide geçerli olduğuu birz ileride göreceğiz. Bu logo ltıd verile ifde ile tım pekiştirilmekte d örekledirilmektedir. Bu logo ltıdki ifdelerde size ıtlmız içi bzı sorulr sorulmuştur. O sorulrı ıtlıız. 4 = 4 i = i, 5 = 5 i, = i, + = + i, 5 + = 5 + i dir. Düflüelim Y tll m Bu tblod bulduğuuz souçlr ile. sfdki listede verile souçlr dikkt ederek şu sorulrı ıtlıız. g Bğıtı ve Formül Bu bölümde pıl işlemlerde elde edile bğıtı ve formüller verilmiştir. ; i = ve i = ( ) = dir. ÖRNEKLER Örek-Çözüm Koul ilgili örek ve çözümü verilmiştir. = i olur. Öreği; Bu tım göre > ise. 4 + = deklemii köklerii bullım. Verile deklemde = 4, b =, c = tür. = ( + bi). ( + bi) + ( + bi). ( + bi) = z. z + z. z Bu sembol isptı soldığıı ifde eder. z = z. z = r cis θ. cis α = r cis (θ + α) dır. Vurgu Ders kitbıızd er l öemli vurgulr eşil rekli zı ile verilmiştir. Okum meti Bu bölümde üite ile ilgili okum meti er lmktdır. Demek ki bir krmşık sı cis α ile çrpılıc bu sıı eşlediği oktı oriji etrfıd α kdr dödürülmesile vrıl okt eşlee krmşık sı elde edilmektedir. OKUMA METNİ sıırlrıı ve eteeğii büük ölçüde geişletmesi." Vrdh'ı uzmlık lı, kbc rstltısl ollrı lizile ilgilee olsılık kurmı öemli etkiler ve ei soru işretleri ort komuş durumd. "Fizik slrıı her şei belirleebilecek olduğuu düşüürüz m öcede thmi.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki sılrı i, i,, sılrıd hgisie eşit olduğuu eşitliği sğı zıız. Alıştırmlr Bu bölümde çözmeiz isteile sorulr verilmiştir.. i4 = b. i5 = c. i5 = ç. i = d. i7 =. Aşğıdki sılrı, + bi şeklide zıız (, b R). Bölüm Değerledirme Sorulrı Bu bölümde kediizi değerledirebileceğiiz sorulr er lmktdır. Bu sorulrı ıtlıız. X BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Aşğıdki öermelerde boş bırkıl erleri bu öermeler doğru olck şekilde dolduruuz.. + bi sısı bir gerçek sı ise R ve dır. b. + bi = + i,, b,, R ise = ve = dir.

11 BİRİNCİ BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR Krmşık sılr özellikle ses, ışık d elektrometik siller gibi dlglr hâlide ıl eerjilerle ilgili problemlerde vzgeçilmez bir rçtır. Güümüzde çok geiş ugulm lı bul Fourier (Furier) döüşümüde (Bu döüşümü dh sorki dersleriizde göreceksiiz.) krmşık sılr dlı bir formül bulumktdır. Elektroik mühedisliğide bu döüşüm, voltj ve kım değerlerii liz etmede kullılmktdır. Bu kullım lı rıc, sısl sil işleme ve sısl görütü işleme şeklide de krşımız çıkmktdır. Bu Bölümde Göreceğimiz Koulr.. Krmşık sılr kümesi Gerçek sılr kümesii geişletilmesi; sl birim (i sısı) ve bu sıı kuvvetleri; krmşık sılr kümesi; krmşık düzlem; bir krmşık sıı eşleiği ve modülü, krmşık sılrd toplm ve çıkrm işlemleri; krmşık sılrd çrpm ve bölme işlemleri; krmşık sılrd eşleik ve modül ile ilgili özellikleri; krmşık sılrd ikici derecede bir bilimeeli deklemle; krmşık düzlemde iki okt rsıdki uzklık.. Kutupsl koorditlr ve krmşık sılrı kutupsl biçimi Kutupsl koorditlr ve bir oktı krteze koorditlrı ile kutupsl koorditlrı rsıdki bğıtılr; kutupsl şekilde zılmış krmşık sılrl işlemler; bir krmşık sıı kuvvetleri ve De Moivre (Dömu) formülü; bir krmşık sıı kökleri. Üite: Krmşık Sılr

12 .. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ Cep telefolrı, gerek elektroik tsrımlrıı gerekse iletişim ltpılrıı krmşık sılrı sğldığı kollığ borçludur. A. GERÇEK SAYILAR KÜMESİNİN GENİŞLETİLMESİ ETKİNLİK + b + c = ikici derece bir bilimeeli deklemii, köklerii gerçek sı olmsı içi hgi koşulu sğlmsı gerektiğii söleiiz. + = deklemii gerçek sılr kümeside çözebilir miiz? Bu deklemi çözebileceğimiz bir kümei oluşturmk istediğimizde gerçek sılr kümesie hgi sıı ktılmsı gerektiğii rkdşlrıızl trtışıız. Düşüdüğüüz sıı gerçek sılr kümesie ktıız ve deklemi ei kümedeki köklerii buluuz. Bu çlışmızd sezilediğiiz edir? = deklemii doğl sılr kümeside çözebiliriz. Bu kümede, bildiğiiz işlemler rdımıl = soucuu buluruz. N dir. Bu kez + = deklemii N kümeside çözmek istersek buu bşrmız. Çükü i + işlemie göre tersi bu kümede oktur. Ölese bu deklemi çözebilmemiz içi N kümesii sısıı d içerecek şekilde geişletmeliiz. Her N içi sısıı Z kümeside buluduğuu bilioruz. Bu edele her N içi + = şeklideki deklemleri Z de çözebiliriz. Bir de, b Z, içi. = b deklemii düşüelim. olduğu içi bu deklemi Z de değil, buu geişletilmişi ol Q kümeside çözebiliriz. Q kümeside çözemediğiiz = `, ` Z 5 deklemii de R kümeside çözebilmekteiz. N Z Q R olduğuu bilioruz. Yukrıdki öreklerde lşıldığı gibi sı kümelerii bu şekilde geişletilmesi ile çözemediğimiz kimi deklemleri çözebilme olğı kvuşmktız. Dh öceki mtemtik dersleriizde, bu kümeleri e geişi ol gerçek sılr kümesii kulldıız. Yptığıız işlemler gerçek sılı işlemlerdi. Tımldığıız poliom foksiolr ile trigoometrik foksiolr; gerçek sılr d buu bir lt kümeside tımlmış foksiolrdı. Bu foksiolrl işlemler prke bulrı özeliklerii icelerke R kümesii dışı çıkmdık. Öreği, + = deklemii köklerii, = ve = olduğuu kolc bulduk. Ortöğretim Mtemtik

13 Gerçek sılr kümesii etersiz kldığı durumlrd d işlemlerimizi ürütemedik. Söz gelimi, + = d = deklemlerii kökleri sorulduğud: "Bulrd Δ < olduğud gerçek sı kökleri oktur." dedik. Bir de şğıdki öreği iceleelim: ÖRNEK Otomobil lstiği ürete bir firm, ıllık kâr foksiouu 9 = şeklide belirlemiştir. Burd teki birim det lstiği; deki birim TL kârı göstermektedir. Bu firmı, ıllık kârıı 5 TL olmsı içi kç lstik üreterek stmsı gerektiğii bullım. Kârı 5 TL olmsı istemektedir., elde edile kârı TL olrk gösterdiğie göre erie (5 : = 5 olduğud) 5 zmlıız. 9 = 9. (5) = ( TL) 5 = + 5 = = ; = 4, b = 4, c = 45 9 = Δ = b 4c = ( 4) 4(4) (45) = 44 tür. Δ < olduğud = 5 içi 9 = deklemii gerçek sı ol kökleri oktur. Demek ki bu firm ıld 5 TL kâr elde edemez. 6 ( det) (Firm,. = det lstik üreterek sttığıd e üksek kârı elde eder. Bu kâr, 9 = () ( ) = 8 : 9 = olduğud. = TL dir.) Bu bölümde diskrimitı (ırcı) egtif ol + b + c = şeklideki bir bilimeeli ikici derece deklemii, gerçek sı olm kökleride söz edecek ve bu kökleri bulcğız. Bu şekildeki e sde deklem + = deklemidir. + = = olduğu çıktır. Demek ki + = deklemii çözebilmemiz içi kresi egtif sı olbile ei sılr ihtiç vrdır. R kümesie, bu tür sılrı d ktrk dh geiş bir küme ( krmşık sılr kümesi ) oluşturmk mcıdız. B. SANAL BİRİM (i Sısı) VE BU SAYININ KUVVETLERİ ETKİNLİK. Kresi ol ei bir sı tımldığıızı vrslım. Bu sıı istediğiiz bir simgele gösteriiz. Bu simgei kullrk kresi 4 ve ol sılrı zıız.. egtif gerçek sı ise kresi ol sılrı deki simgei kullrk zm çlışıız = deklemii çözüm kümesii kresi ol simgei kullrk zıız. Kresi egtif ol bir gerçek sı bulumdığıı bilioruz. Bu kısımd gerçek sılr kümesie, kresi egtif olbile ei sılr ktcğız. Buu d şğıdki tımd rrlrk pbiliriz. Crl Friedrich Guss (Krl Fredrik Guz): ıllrı rsıd şmıştır. Mtemtikçileri presi olrk biliir. Sl sılrı ilk kez Guss doktor tezide kullmıştır. Mtemtiğe sılr kurmı, liz, difermsiel geometri llrıd d ktkılrı olmuştur.. Üite: Krmşık Sılr

14 TANIM Kresi ol sı, sl birim deir. Sl birim i d ile gösterilir. Bu tım göre; ( ) i = ve i = = dir. Şimdi i sısıı pozitif tm sı ol kuvvetlerii rştırlım. Buu içi i = eşitliğide iki ı d devmlı i ile çrptığımızı düşüelim. i = i i i = = i 4 = i = i i i i 5 = i 6 7 = i = = i 8 = i = Bu eşitliklere bkrk her N içi i sısıı i,, i, sılrıd birie eşit olcğıı söleebilir misiiz? Bu göre şğıdki tblod boş bırkıl kutucuklr bu sılrd ugu olıı zıız. i i i i i i i 4 i 5 i 4 i 4 i 4 i 4 i i i i 9 = i = = i = i i i i = i = = i = Düflüelim Y tll m Bu tblod bulduğuuz souçlr ile. sfdki listede verile souçlr dikkt ederek şu sorulrı ıtlıız.. Hgi doğl sılrı içi i = dir? O hâlde k doğl sı olmk üzere her N içi. Hgi doğl sılrı içi i = i dir?, = 4 k ise. Hgi doğl sılrı içi i = dir? i, = 4 k + ise i = 4. Hgi doğl sılrı içi i = i dir?, = 4 k + ise i, = 4 k + ise olur. Bu göre; i 75 = i 7. i = (i 4 ) 8. i = 8. ( i) = i, i 65 = i 64. i = (i 4 ) 6. i = 6. i = i, i 6 = i 4. i = (i 4 ) 6. i = 6. ( ) =, ÖRNEKLER 6 7 i 9 = (i 4 ) = = olur.. i i + i 5 9 i + i i işlemii soucuu bullım. i 6 = (i 4 ) 6. i =. ( ) =, i = (i 4 ) 7. i =. ( ) =, i 7 = (i 4 ) 6. i =. ( i) = i i 5 = (i 4 ). i =. ( i) = i, i = (i 4 ) 5. i =. i = i, i 9 = (i 4 ) 4. i =. ( i) = i 6 7 i i + i 5 9 i + i i ( ) + ( ) i i = = = olur. i+ i ( ) i i 4+ 8 i + i + i. N olduğu göre işlemii soucuu bullım i + i + i 4 Ortöğretim Mtemtik

15 i 4 + = (i 4 ). i =. ( ) =, i 8 = i. (i 4 ) = ( i). = i. = i, i 5 = i 4. i. (i 4 ) =. i. = i, i 4 = i. (i 4 ) = i. = i, i 6 = i 4. İ =. ( ) = 4+ 8 i + i + i i + i + i i+ i + i + i = = = i+ i i ( + i) = dir. TANIM Her R + içi =. dır. Bu tım göre > ise = i olur. Öreği; 4 = 4 i= i, 5 = 5 i, = i, + = + i, 5+ = 5+ i dir... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki sılrı i, i,, sılrıd hgisie eşit olduğuu eşitliği sğı zıız.. i 4 = b. i 5 = c. i 5 = ç. i = d. i 7 =. Aşğıdki sılrı, + bi şeklide zıız (, b R) b c. ( ) ( ) ç d. 5i e.. ( 4).( 9) ile ( 4). ( 9) sılrı eşit değildir. Nede? Eğer b. =. b ise ile b hgi tür sılrdır? C. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ ETKİNLİK i sısıd 5 ve 6i i rı rı düşüelim. Bulrd hgisi gerçek sıdır, hgisi gerçek sı değildir? b. Her krmşık sıı 5 + 6i öreğide olduğu gibi, biri gerçek sı ol iki kısımd oluşup oluşmdığıı rkdşlrıızl trtışıız i sısıd 5 ile 6i i dldırm çlışıız i ve + 6i sılrıd biri 5 + 6i sısı eşit olbilir mi? 5 + 6i sısı eşit ol bir krmşık sı zmk istee biri sizce hgi sıı zmlıdır? 4. + i ve + bi krmşık sılrıı eşitliğii tımlm çlışıız. 5. i ile ı çrpımıı olrk tımlrsk, 5 + i sısı hgi sıı gösterir? b gerçek sı ve 5 + bi bir gerçek sı ise b sizce hgi sı olmlıdır? 6. ile b gerçek sılr ve + bi krmşık sısı d bir gerçek sı ise b içi e söleebilir? Yukrıdki etkilik çlışmızd + i, 5i, 7i, gibi sılrı gerçek sılr olmdığıı gözlemlediiz. Bu tür sılrl birlikte gerçek sılrı d içie l ei bir küme tımllım.. Üite: Krmşık Sılr 5

16 TANIM ile b gerçek sılr ise + bi şeklideki sılr, krmşık sılr deir. Krmşık sılr kümesi C ile gösterilir. Bu tım göre; C = { + bi i =,, b R } olur. 5 + i, 7 i, 5 i sılrı krmşık sılrdır. Buu gibi; + 5i, + i, i, 8 + i, 6 + i ve + i sılrı d krmşık sılrdır. Bulrı sırsıl 5i, i, i, 8, 6 ve ile gösteririz. 8 + i, 6 + i ve + i örekleride de görüldüğü gibi; her gerçek sısı, + i şeklide krmşık sıdır. Ölese gerçek sılr kümesi, krmşık sılr kümesii lt kümesidir. TANIM z C ve z = + bi ise gerçek sısı, z i gerçek ( d reel) kısmı; b gerçek sısı d z i sl ( d imjier) kısmı deir ve Re(z) = ve İm(z) = b zılır. Bu tım göre; z = 5 + i ise Re(z) = 5, İm(z) =, z = i ise Re(z) =, İm(z) =, z = 8i ise Re(z) =, İm(z) = 8, z = 7 ise Re(z) = 7, İm(z) = olur. ÖRNEK P() = poliomu verilmiş olsu. P(i) ifdesii hespllım. P(i) = i + i 4 5 i 7 i 9 + 6i = i + 5 (i 4 ). i (i 4 ). i + 6. (i 4 ). i = i ( i).. i ( i) = 4 i + 5i i 6i = 4 5i dir. Bu örekte görüldüğü gibi P() = şeklideki gerçek kt sılı her P() poliomu içi P(i) ifdesi, b R olmk üzere + b i şeklide zılbilir. P() herhgi bir poliom ise P(i) ifdesii +bi şeklide bir krmşık sı olduğuu gördük. O hâlde +bi krmşık sısıı birici derece poliom olrk düşüebilirsiiz. Poliomlrı eşitliğii sıl tımldığıı biliorsuuz. +bi ile +i sılrıı eşitliğii de iki poliomu eşitliği gibi tımlrız (Arıc krmşık sılr rsıdki toplm ve çrpm işlemlerii poliomlr rsıdki toplm ve çrpm işlemleri gibi düşüebilirsiiz.). TANIM İki krmşık sıı eşit olmsı içi gerek ve eter koşul, birii reel kısmıı diğerii reel kısmı, birii sl kısmıı diğerii sl kısmı eşit olmsıdır. Bu tım göre z = + b i ve z = + b i krmşık sılrı içi z = z + b i = + b i = b = b dir. 6 Ortöğretim Mtemtik

17 Öreği; + i = + i ise = ve =, 5i = 7 + i ise = 7 ve 5 =, + i = i ise = ve =, + i = 4 ise = 4 ve = dır. ÖRNEKLER ifdesii ile b gerçek sılr olmk üzere, + bi şeklide zlım. i=, 4 = i 4 = i, 5 = 5i = i i+ 5i = + 4i.. ( ) + ( ) i = 4i b. (+) + ( +)i = i ise ve gerçek sılrıı bullım.. ( ) + ( )i = 4i = = 4 = = olur. b. (+) + ( +)i = i + = + = = =4 olur = + i + ise ve gerçek sılrıı bullım. 4 = 4 i = i, 6 = 6 i, 9 =, = = + i + i + 6 i = i + i + + ( + 6 ) i = ( ) + ( + )i = ve + 6 = + i = 4 = + 6 = dir... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki poliomlrı, ile b gerçek sılr olmk üzere, + bi şeklide zıız.. P(i) = 5 i + 7i + 8i 5 4i 5 b. P(i) = i + 7i 8i 6 + i c. P(i) = 7 + i 4 i 5 + 6i 45 ç. P(i) = + 4i i 4 + i 5 + 5i. Aşğıdki eşitliklere u ile gerçek sılrıı buluuz.. i = 4 + 5i b. i = ( + ) ( ) i c. ç. i + = i=+ i 5 i. z = + bi ise şğıdkilerde hgisi lıştır? A) z = ise = b = dır. B) z ise ve b dır. C) z ise. b = olbilir. D) z = ise + b = dır. E) z ise + b dır.. Üite: Krmşık Sılr 7

18 Ç. KARMAŞIK DÜZLEM ETKİNLİK Alitik düzlemi bir oktsı P(, b) olsu.. Ydki şekilde P oktsıı ekseie, ekseie ve b P(,b) bşlgıç oktsı göre simetrilerii çizerek gösteriiz ve bu oktlrı koorditlrıı zıız.. P oktsıı bşlgıç oktsı uzklığıı hesplıız.. ekseideki oktlrı koorditlrıı ortk özelliği edir? 4. ekseideki oktlrı koorditlrıı ortk özelliği edir? 5. Koordit ekseleride olm bir okt P(, b) ise ile b hgi sıd frklı olur? 6. + bi şeklideki krmşık sıı (, b) gerçek sı ikilisi ile ltırsk litik düzlemi oktlrı ile krmşık sılrı eşlediğii düşüebilir miiz? ekseideki ve ekseideki oktlrı hgi tür krmşık sılrl eşleeceğii çıklıız. Sizce oriji hgi krmşık sı ile eşleir? Bu eşlemei bire bir ve örte olup olmdığıı rkdşlrıızl trtışıız. Bir krmşık sıı + bi şeklide zılmsı bu sıı stdrt biçimi deir. Krmşık sılrı bşk biçimde de ifde edilebileceğii ileride göreceğiz. (, ) şeklideki gerçek sı ikililerii düzlemi oktlrı ile sıl eşlediğii litik geometri dersleriizde biliorsuuz. Bezer bir eşlemei bu kez krmşık sılrl bir düzlemi oktlrı rsıd pcğız ve bu düzleme de krmşık düzlem dieceğiz. Buu içi öce z = + bi krmşık sısıı (, b) ikilisi ile ltlım: Bu ikili bir gerçek sı ikilisidir. Alitik düzle- b P(,b) mi P oktsı, (, b) ikilisi ile eşlemiş olsu. Diğer bir deişle P oktsıı koorditlrı (, b) olsu. Şimdi, P oktsı ile z = + bi krmşık sısıı eşleelim. Bu hâlde - litik düzlem, rtık krmşık düzlemdir. ekseii bir oktsı A(, ) ise bu okt ile z = + i gerçek sısı eşleir. Bu edele ekseie, ger- b P(z) çek ekse deir. ekseii bir oktsı B(, b) ise bu okt ile z = + bi krmşık sısı eşleir. Bu eksee sl ekse dı verilir. + i sısı oriji ile eşleir. gerçek ekse sl ekse Düflüelim Y tll m Şekilde z = + i sısıı eşlediği oktı koordi- t ekselerie ve bşlgıç oktsı göre simetrileri çizilmiştir. Elde edile ei oktlr eşlee krmşık sılr z, z ve z ile gösterilmiştir. Bu sılrı + bi gibi stdrt şekilde zıız. Bu sılr rsıdki bezerlik ve frklılıklrı söleiiz. z z z = + i z 8 Ortöğretim Mtemtik

19 ÖRNEKLER. z = 4, z = i, z = 5, z 4 = 6i, z 5 = + 5i, z 6 = + 4i, z 6 5 z 5 4 z = i z 7 = 5i ve z 8 = 5 i sılrıı krmşık düzlemde gösterelim. Verile sılrı krmşık düzlemdeki gösterimi sğdki gibidir. z 5 z 4 5 z 8 z z 4 = 6i. Sğdki krmşık düzlemde görüle z, z, z, z 4, z 5, z 6, z 7, z 8 sılrıı stdrt biçimde zlım. Şekilde verile oktlrı koorditlrı göre; z = 4, z = 5 + 4i, z = i, z 4 = 4 + 5i, z 5 =, z 6 = 5 i, z 7 = i, z 8 = 5i olur. 5 z 6 z 4 4 z z z z z 5 z 8.. ALIŞTIRMALAR. 5,,, 7 sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu sılrı eşlediği oktlr hgi eksei oktlrıdır?. 6i, i, i, 5i sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu sılrı eşlediği oktlr hgi eksei oktlrıdır?. z = 4 + i, z = 6 + i, z = 4i, z 4 = i sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu oktlrı buluduklrı bölgeleri söleiiz. 4. z = 5 + i, z = 5 + i, z = 5 i, z 4 = 5 i sılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. Bu sılrl eşlee oktlr rsıd e ilişki vrdır? 5. Krmşık düzlemi, koorditlrı şğıd verile oktlrı ile eşlee sılrı, z = + bi şeklide zıız.. (,5) b. (, ) c. ( 4, 7) ç. ( 6, ) d. ( 4, ) e. (, 5) f. (, ) g. (, ) 6. Aşğıd verile krmşık sılrd hgisi, krmşık düzlemi ikici bölgesidedir? A) + 7i B) 4 + i C) 6 5i D) 7i E) 5 i. Üite: Krmşık Sılr 9

20 D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ ETKİNLİK. Gerçek sılrı işlerke ve + irrsoel sılrı "eşleik sılr" deildiğii gördüüz. Bu sılrı toplmı ve çrpımı hgi tür sılrdır?. Şimdi de z = i ve z = + i sılrı içi z + z ve z. z işlemlerii pıız; bulduğuuz souçlrı orumlıız. i ile + i sılrıı sıl dldırmk istersiiz?. Sı doğrusud bir sısıı eşlediği okt ile ı eşlediği okt rsıdki uzklığı ile ifde edildiğii ımsıız. Bezer şekilde 6 + 8i sısıı krmşık düzlemde eşlediği oktı bşlgıç oktsı uzklığıı hesplmk isteelim. Defteriize dik koordit sistemii çiziiz. Verile sıı bu sistemde gösteriiz ve bu sıı eşlediği oktı orijie uzklığıı hesplıız. Bu uzklığı 6 + 8i sısıı mutlk değeri olrk tımlıp tmılmcğıı rkdşlrıızl trtışıız. ÖRNEK z = 5 4i, z = 5 + 4i ise z + z ve z. z işlemlerii plım. Souçlrı gerçek sı olup olmdığıı çıkllım. z + z = (5 4i) + (5 + 4i) =, z. z = (5 4i). (5 + 4i) = 5 (4i) = 5 ( 6) = 4 İki işlemde de souçlr gerçek sıdır. z = + bi ve z = bi ise z + z = ve z. z = (bi) = + b souçlrı gerçek sılrdır. TANIM z = + bi krmşık sısı verilmiş olsu. Bu sıd sl kısmı işreti değiştirilerek zıl ei sı z ile gösterilir ve bu sı, z i eşleiği deir. z = + bi sısıı eşleiği z = bi sısıdır. Söz gelimi; z = 5 + i ise z = 5 i; z = + i ise z = i; z = i ise z = + i; z = 4 ise z = 4; z = 7i ise z = 7i; z = + i ise z = ; z = ise z = dir. z = + bi sısı krmşık düzlemi bir P oktsı ile eşlemiş olsu. b P i gerçek eksee göre simetriği P' ise z sısı d P' oktsı ile eşleir (Ydki şekil). z P(z) TANIM z = + bi ise gösterilir. + b değerie, z i modülü deir ve z ile b P'(z) Bu tım göre z sısı, z i eşlediği oktı bşlgıç oktsı uzklığıdır. z = + bi ise z = + b = + ( b) = z olcğı çıktır. Ortöğretim Mtemtik

21 Eğer z R i z = + i ise z = + = dır. Yi gerçek sıı mutlk değeri sı doğrusudki görütüsüü bu doğruu ile eşlee oktsı uzklığıdır. Düflüelim Y tll m Aşğıd soldki şekilde z ile z sılrı krmşık düzlemde gösterilmiş, Re(z), İm(z), z ve z ifdelerii eşitleri zılmıştır. Aı işlemleri diğer iki şekil içi siz pıız. z = + bi b z z = + 4i z = 6i b z = bi Re(z) =, İm(z) = b Re(z) =, İm(z) = Re(z) =, İm(z) = z = + b, z = bi z =, z = z =, z = ÖRNEK z = i, z = 5 + i sılrı içi z = z z ise ı lbileceği değerleri bullım. z = z ve z = z dir. Bu göre, z = z z = z z z = z 4( + 4) = 5 + ` + ( ) = 5 + = 9 = = çıkr... ALIŞTIRMALAR 4. Aşğıdki z krmşık sılrıı eşleiklerii zıız.. z = i b. z = 5 c. z = 4i ç. z = 7 + 6i. z = + i krmşık sısı verilior. Aşğıdki sılrı krmşık düzlemde gösteriiz.. z b. z c. z ç. z. Aşğıdki işlemleri souçlrıı eşitliği sğı zıız.. i = b. 4 = c. i = ç. = d. i = e. 4 i = f. i = g. 5 i = 4. z = + i ve z = 6 ise ı lbileceği gerçek değerleri buluuz. 5. z = + bi ve z = ise b hgi gerçek sılr olbilir? 6. z = 6, z = z ise Re(z) + İm(z) kçtır? A) B) 6 C) D) E) 4. Üite: Krmşık Sılr

22 E. KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ ETKİNLİK., b, c, d gerçek sılr ve P() = + b, Q() = c + d poliomlr olsu.. P() + Q() b. P() Q() işlemlerii pıız.. P(i) ve Q(i) ifdelerii zıız.. P(i) + Q(i) toplmıı b. P(i) Q(i) frkıı buluuz.. Yukrıd ptığıız işlemlerde rrlrk iki krmşık sıı sıl toplbileceğiizi ve biride diğerii sıl çıkrbileceğiizi çıklm çlışıız. 4. z, z, z dierek dldırcğıız üç krmşık sı zıız. Bu sılrı kullrk toplm ve çıkrm işlemlerii değişme ve birleşme özelliklerii kotrol ediiz. Sizce hgi sı toplm işlemide birim elemdır? Çıkrm işlemide birim elem vr mıdır? ÖRNEK z = 4 + 5i, z = 7i ise z + z ve z z işlemlerii souçlrıı bullım. z + z toplmıı bulurke (poliomlrd ptığımız gibi) 4 ile ve 5i ile 7i sılrıı toplrız. z + z = (4 + 5i) + ( 7i) = (4+) + [5i + ( 7i)] = (4 + ) + (5 7)i = 7 i dir. z z işlemii prke de 4 te ü ve 5i de 7i sısıı çıkrırız. Yi, z z = (4 + 5i) ( 7i) = (4 ) + (5 ( 7))i = + i dir. TANIM z, z C ve z = + b i, z = + b i ise. z + z = ( + b i) + ( + b i) = ( + ) + (b + b )i,. z z = ( + b i) ( + b i) = ( ) + (b b )i dir. Bu tımd, z ve z krmşık sılrı içi z + z ile z z sılrıı d krmşık sı olduğuu görüoruz. Demek ki krmşık sılr kümesi toplm ve çıkrm işlemlerie göre kplıdır. Yd verile şekle dikkt ediiz. Bu şekilde z = z + z dir. Bu edele şekildeki trlı iki dik üçge eş midir? O hâlde köşelerideki oktlrl, z, z + z ve z sılrı eşlemiş ol dörtge, prlelkerdır. Demek ki iki krmşık sıı toplmıı, düzlemde ölü doğru prçlrıı (vektörleri) toplmı bezetebiliriz. b +b z = z +z z b z = +b i b z = +b i z b b + z b Sğ trft verile şekilde z, z, z ve z z sılrıı eşlediği oktlr gösterilmiştir. Köşelerideki oktlrl,, z, z z ve z sılrı eşlemiş ol dörtge, bir prlelkerdır. Demek ki iki krmşık sıı frkıı bulurke de ie bir vektörel toplm pmktız. Bu toplm işlemi z + ( z ) işlemidir. b z b b b z z z b Ortöğretim Mtemtik

23 ÖRNEKLER. z = 6 + i ve z = + 5i ise z + z ve z z sılrıı hespllım. Bu sılrı krmşık düzlemde gösterelim. z = 6 + i 8 z +z + z = + 5i z + z = (6 + ) + ( + 5)i 5 z = 9 + 8i z z = (6 ) + ( 5)i = i z, z, z + z, z ve z z sılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri dki şekilde verildiği gibidir. z 6 9 z z. z = + 4i, z = i, z = 5 + i ise z 5. z + z, z + z b. z + (z + z ), (z + z ) + z c. z + ( + i), ( + i) + z işlemlerii plım. ç. z + z = + i ise z krmşık sısıı bullım.. z + z = ( + 4i) + ( i) = ( + ) + (4 )i = + i z + z = ( i) + ( + 4i) = ( + ) + ( + 4)i = + i b. z + (z + z ) = + 4i + [ i i] = + 4i + 6 i = 8 + i (z + z ) + z = ( + 4i + i) i = + i i = 8 + i c. z + ( + i) = + 4i + + i = ( + ) + (4 + )i = + 4i = z ( + i) + z = + i + + 4i = ( + ) + ( + 4)i = + 4i = z ç. z = + bi olsu. z + z = + i ( + 4i) + ( + bi) = ( + ) + (4 + b)i = +i + = ve 4 + b = =, b = 4, z = 4i = z dir. So örekte z + z = z + z, z + (z + z ) = (z + z ) + z, z + = + z = z ve z + ( z ) = olduğuu görüoruz. ÖZELLİK. Krmşık sılr kümesi, toplm işlemie göre kplıdır.. Krmşık sılr rsıdki toplm işlemii;. Değişme özelliği vrdır. b. Birleşme özelliği vrdır. c. Birim elemı + i sısıdır.. Her krmşık sıı toplm işlemie göre tersi vrdır. z = + bi, z = + b i ve z = + b i olsu. Bu özellikleri 4. sfdki gibi kıtlrız.. Üite: Krmşık Sılr

24 : z + z = ( + b i) + ( + b i) = ( + ) + (b + b )i C dir. (): z + z =( + b i) + ( + b i) =( + ) + (b + b )i (Tım) =( + ) + (b + b )i (Gerçek sılrı toplmsıd değişme özelliği) =( + b i) + ( + b i) (Tım) =z + z (b): z + (z + z ) = ( + bi) + [( + ) + (b + b )i] = [ + ( + )] + [b + (b + b )] i (Tım) = [( + ) + ] + [(b + b ) + b ] i (R de toplm işlemii birleşme özelliği) = [( + ) + (b + b )i] + ( + b i) (Tım) = (z + z ) + z (c): ( + i) + z = z + ( + i) = ( + bi) + ( +i) (Değişme özelliği ve tım) = ( + ) + (b + )i = + bi = z. z krmşık sısıı toplm işlemie göre tersi + i sısı olsu. ve i bullım. z + ( + i) = ( + bi) + ( + i) = + i (Ters elem tımı) = ( + ) + (b + )i = + i += = = b + i = b+= bi Demek ki z = + bi sısıı toplm işlemie göre tersi bi sısıdır (Bu sıı z ile gösteririz.). Her z C içi z C olduğu çıktır (, b R içi, b R olduğuu bilioruz.). W.. ALIŞTIRMALAR 5. Aşğıdki işlemleri souçlrıı eşitliği sğı zıız.. ( + i) + ( i) = b. ( 4i) + (5 i) = c. ( + i) ( 4 + 7i) =. Aşğıdki eşitlikleri sğl z krmşık sılrıı buluuz.. z z = + 9i b. z + z = + i c. i z = + z. z = + i ve z = + i dir. Ydki şekilde; z sısı ile eşlee P oktsıı bşlgıç oktsı göre simetriği C, z sısı ile eşlee Q oktsıı bşlgıç oktsı göre simetriği E oktsıdır. Bu şekildeki tüm dörtgeler prlelker olduğu göre A, B, C, D, E, F oktlrı ile eşlee krmşık sılrı, bu oktlrı lrı zıız. Q(z = +i) B C i i E A P(z =+i) F D 4 Ortöğretim Mtemtik

25 4. Yd verile şekildeki ABCD, simetri ekseleri eksei ile eksei ol dikdörtgedir. PQRS dörtgei de kerlrıı ort oktlrı A, B, C ve D ol eşker dörtgedir. C oktsı ile z krmşık sısı eşlemiştir. S D P i C(z=+i) Q z = + i ise A, B, D, P, Q, R, S oktlrı eşlee A B krmşık sılrı, bu oktlrı lrı zıız. R F. KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ ETKİNLİK., b, c, d gerçek sılr olsu. + b ve c + d ifdelerii (poliomlrıı) çrpımıı sıl hespldığıızı ımsıız. Bu poliomlrdki belirsizii sl birim (i) olrk tımlıız. Bu göre ı çrpm işlemii + bi ve c + di ifdelerile pıız ve bulduğuuz soucu e sde şekilde zıız.. + i sısıı 5 + 4i sısı bölelim. Bu işlemi +i 5+4i şeklide zlım. Bu ifdede p ve pdı, pdı eşleiği ol (5 4i) ile çrpıız. Bulcğıız soucu stdrt biçimde zıız. Bulduğuuz souç + i sısıı 5 + 4i sısı bölümüdür.. z, z, z dierek dldırcğıız üç krmşık sı zıız. Bu sılrl çrpm ve bölme işlemlerii değişme ve birleşme özelliklerii kotrol ediiz. 4. Yukrıd zdığıız z sısı içi ( + i).z ve z.( + i) işlemlerii pıız ve bulduğuuz soucu orumlıız. Çrpm işlemi erie bölme işlemi pılırs ıtıız e olur? ÖRNEK (5 + i). (4 i) işlemii plım. İşlemi ukrıdki etkiliği. mddeside ptığıız çlışm bezer şekilde plım. (5 + i). (4 i) = 5. (4 i) + i. (4 i) = i + i. 4 i. i = i + i 6. ( ) = 6 + i TANIM z ile z krmşık sılr ve z = + b i, z = + b i ise z.z = ( + b i) ( + b i) = (. b. b ) + (. b +. b )i dir. Bu tımd z ile z krmşık sılrıı çrpımıı ie bir krmşık sı olduğuu görüoruz. Demek ki krmşık sılr kümesi çrpm işlemie göre kplıdır. ÖRNEKLER. z = + i, z = + bi ve z = b + 7i olsu. z.z = z ise ve b gerçek sılrıı bullım.. Üite: Krmşık Sılr 5

26 z.z = ( + i).( + bi) = ( b) + (b + 6)i = b + 7i b= b = b 7 6= b + 6= 7 + = b ( 6) ( ) = = b ( = 6 = ) = b= 6 = b= dir.. z = 4i, z = + i, z = 6i ise. z. z ve z. z b. z. (z. z ) ve (z. z ). z c. z. ( + i) ve ( + i). z ç. z. (z + z ) ve z. z + z. z işlemlerii souçlrıı buluuz.. z. z = 4i. ( + i) = 4i. + 4i. i = + 4i, z. z = ( + i). 4i =. 4i + i. 4i = + 4i b. z. (z. z ) = 4i. [( + i). ( 6i)] = 4i ( 6i + 6i + 8) = 8i (z. z ). z = [4i ( + i)]. ( 6i) = ( + 4i). ( 6i) = 4 + 7i + 8i + 4 = 8i c. z. ( + i) = 4i. ( + i) = 4i = z ; ( + i). z = ( + i). 4i = 4i = z ç. z. (z + z ) = 4i. ( + i + - 6i) = i i = + i z. z + z. z = 4i. ( + i) + 4i( 6i) = 4i + i + 8i 4i = + i So örekte z. z = z. z, z. (z. z ) = (z. z ). z, z. =. z = z z. (z + z ) = z. z + z. z olduğuu görüoruz. ve ÖZELLİK. Krmşık sılr kümesi çrpm işlemie göre kplıdır.. Krmşık sılr rsıdki çrpm işlemide;. Değişme özelliği vrdır. b. Birleşme özelliği vrdır. c. + i sısı birim elemdır.. z + i ise z i çrpm işlemie göre tersi vrdır. Bu sı z ve ile gösterilir. z 4. Krmşık sılr rsıdki çrpm işlemii toplm üzerie dğılm özelliği vrdır. z = + bi, z = + b i ve z = + b i krmşık sılr olsu. Bu sılrı kullrk ukrıdki özellikleri kıtllım. : z. z = ( + b i). ( + b i) = ( b b ) + ( b + b )i C dir. (): z.z = ( + b i). ( + b i) = ( b b ) + ( b + b )i (Tım) = ( b b ) + (b + b )i (R de çrpm işlemii değişme özelliği) = ( +b i). ( +b i) (Tım) = z. z 6 Ortöğretim Mtemtik

27 (b): z.(z.z ) = ( + bi). [( + b i). ( + b i)] = ( + bi) [ b b ) + ( b + b )i] = [ ( b b ) b( b + b )] + [ ( b + b ) + b( b b )]i = [( bb ) (b + b)b ] + [( bb )b + (b + b) ]i = [( bb ) + (b + b)i] ( + b i) = [( + bi). ( + b i)]. ( + b i) = (z. z ). z (c): z. ( + i) = ( + i). z (Değişme özelliği) = ( + i). ( + bi) = (.. b) + (. b +. )i = + bi = z. z = + bi +. i (, b) (, ), (i + b ) z sısıı çrpm işlemie göre tersi z = + i olsu. ve gerçek sılrıı ( ile b türüde) bulmlıız. z. z =z. z = + i = ( + i). ( + bi) = + i = (. b) + ( + b)i = + i.. b =. +. b =.. b =. b +. b = ( + b ) = = + b.. b = =. = b b. + b b = b + b + b olduğu içi ve gerçek sılrdır. Bu göre; z b = + i = + b + b 4. z. (z + z ) = ( + bi) [( + ) + (b + b )i] = [( + ) b(b + b )] + [(b + b ) + b( + )]i = [( bb ) + (b + b )i] + [( bb ) + (b + b )i] = ( + bi). ( + b i) + ( + bi). ( + b i) = z. z + z. z W ÖZELLİK i olur. z = z = + bi, z = c + di krmşık sılr ve bd olsu. z + z ve z. z gerçek sılr ise z = z tir. Bu özelliği doğruluğuu şu şekilde kıtlbiliriz: z + z = ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i R b + d = d = b z.z = ( + bi) (c + di) = ( + bi) (c bi) = (c + b ) + ( b + bc)i R b + bc = = c, (b ) Bu souçlr göre z = + bi ise z = c + di = bi olur. Yi z = z dir. W Kökleri z ve z ol ikici derece deklemii (z + z ) + z. z = şeklide zdığımızı biliorsuuz. Eğer z + z ve z. z sılrı gerçek sılr ise z = z olur.. Üite: Krmşık Sılr 7

28 Burd şu özelliği elde ederiz. z = ÖZELLİK, b, c, m, gerçek sılr ve + b + c = deklemii bir kökü m + i, ise bu deklemi diğer kökü m i sısıdır. Demek ki kt sılrı gerçek sılr ol ikici derece bir bilimeeli deklemlerde köklerde biri gerçek sı olm bir krmşık sı ise diğer kök bu sıı eşleiğidir. ÖRNEKLER b. (4 i). ( + i) c. ( + i). ( i). ( + i) işlemlerii souçlrıı bullım = 5. i. 5.. i. = 5.. i = 5 b. (4 i). ( + i) = 4. i + 8i i = 4 + 5i c. ( + i) ( i) ( + i) = ( i + i i ) ( + i) =(4 + i) ( + i) = 8 + i + 4i 4i = 8 + i + 4i 4i = dur. tir.. ( + i) z + 4 = i z + z + i ise z krmşık sısıı bullım. z = + bi ise z = bi dir. ( + i). z + 4 = i z + z + i ( + i ) z + 4 = i z + i ( + i). z + 4 = i z + i ( + i). ( + bi) + 4 = i. ( bi) + i bi + i b + 4 =. i + b + i b+ 4= b b 4 ( b + 4) + ( b)i = b + ( + )i b + + = = b = Bu souçlr göre z = + bi = i olur. =, b = dir.. Bir krmşık sıı eşleiği ile toplmıı ve çrpımıı gerçek sı olduğuu gösterelim. z = + bi ise z = bi dir. z + z = ( + bi) + ( bi) = z. z = ( + bi). ( bi) = b i + bi bi = +b ve b gerçek sılr olduğu içi ve + b gerçek sılrdır. 4. z = i ve z = 5 + bi olsu. z + z ve z. z gerçek sılr ise ile b sılrıı bullım. z + z R ve z. z R z = z i = (5 + bi) = 5 bi = 5, b = dir. 5. Bir kökü = 5 + i ve kt sılrı gerçek sı ol ikici derece deklemii zlım. Yzcğımız ikici derece deklemide kt sılr gerçek sı olcğı göre bir kök = 5 + i ise diğer kök buu eşleiği olcktır. Ölese = 5 i dir. + = (5 + i) + (5 i) = ( + ) + =. = (5 i). (5 + i) = = 8 Ortöğretim Mtemtik

29 6. z = + i ve z = i ise z, z. z sılrıı bullım. z = z = i ( + i) = + i = 4i + i 5 = 5 + i dir. 5 z ile z sılrıı çrpımı; z z. z = ( + i). i z 5 + = = i = i Bu sıı, z sısıı z sısı bölümü olrk tımlcğız. olur. TANIM z ile z krmşık sılr ve z olsu. z z. z sısı, z i z e bölümü deir ve z : z d ile gösterilir. z Bu tım göre; z z = z. z z. z olur. ÖRNEKLER z. z = 5i ve z = + 4i ise ve z işlemlerii plım. z z z z = 5i + 4i = 5i 4i (6 ) + ( 8 5) i = +4i 4i 9+6 z z = +4i 5i = +4i +5i 5i +5i = (6 ) + (5 + 8)i 4+5 = i, = i olur. i. + i işlemii soucuu bullım. + i + i i + i i i + i + i i i = 4i i+i 4i. 5i. 7 i = deklemii köküü bullım. 5i. 7 i = 5i. = 7 + i = 4. + = deklemii çözüm kümesii bullım. + = ( ) = i = ( i) ( + i) = i = v + i = = i v = i Ç= { i, i} olur = deklemii çözüm kümesii bullım =, =, b = 5, c = 7 ; Δ = b 4c = = = i 7+i 5i. i i = 7i + i 5 = i çıkr. = b ± Δ 5 ± i 5 ± i, = = = 5 i, = 5 + i Ç = 5 i, 5 + i dir. i+i + i = 5i 5 + i = i dir.. Üite: Krmşık Sılr 9

30 6. i. + ( i) + i = deklemii köklerii bullım. Öce deklemde iki ı d i ile çrprk i kt sısıı gerçek sı plım. i.i. + ( i) ( i) + ( + i) ( i) = b i 9 ( + i) + + i =, = ± Δ = + ± =, b = (+i), c = + i ++ i 9i + 4i Δ = b 4c = [ (+i)] = = = + i, 4..(+i) = 4 + 4i + i 4i = 9 dur. i i i = + 9 = = i dir. 7. z + 4z + kz + = deklemii bir kökü i ise k sısıı bullım. Verile deklemde z erie i zlım ve ilgili işlemleri prk k sısıı bullım. ( i) + 4 ( i) + k ( i) + = ( i + i i ) + 4 ( i + i ) + k ( i) + = i 8i + k ( i) + = i + k ( i) = + i + i+ i+ i k = = i i ( + i) = 9+ i 9 = + i çıkr... ALIŞTIRMALAR 6. Aşğıdki işlemleri pıız ve souçlrı stdrt biçimde zıız.. ( 5 + i) ( i) + i. ( + i) b. i ( 4i) ( + i) c. ( i) ( + i) + i 6 ç. ( i) ( + i) ( i) ( i) i + i i i d.. +. e ( i ). ( + i) i 5. Aşğıdki eşitliklerde z krmşık sılrıı buluuz.. i z = 5 i ( + i) b. z. ( 4i) ( + 4i) = i c. z i ( i) = ( i) ( + i) ( + i). Aşğıdki işlemleri souçlrıı buluuz.. i b. i i i i i i + i c. ( i)( i) ç. i i ( + )( + ) i i i ( i)( i) i + + i i 4. Aşğıdki eşitliklerde, z krmşık sılrıı buluuz.. z + i. z = + i b. ( + z) ( i) = z 4i c. i. z z = 4 + z z 5. z = bi ve z = b + i ise işlemii pıız. z Ortöğretim Mtemtik

31 G. KARMAŞIK SAYILARDA EŞLENİK VE MODÜL İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ETKİNLİK. Bir z krmşık sısıı ve buu eşleiğii zıız. Yzdığıız z ve z sılrıı modüllerii hesplıız. Bulduğuuz souçlr eşit midir? z ve z sılrıı krmşık düzlemde göstererek bulduğuuz souçlrı orumlıız. z sısıı eşleiği hgi sıdır?. Herhgi iki z ve z krmşık sı zıız. Bu göre; z + z, z z, z +z, z z sılrı rsıd eşitlikler bulm çlışıız.. Herhgi iki z ve z krmşık sı zıız. Bu göre; z. z, z : z, z.z, z :z sılrı rsıd eşitlikler bulm çlışıız. z 4. de zdığıız z ve z sılrı içi z, z, z, z.z, sılrı rsıd eşitlikler bulm z çlışıız. ÖRNEK z = + i, z = + i ise z + z, z + z ; z z, z z ; z. z, z. z z,( z ) ve sılrıı bullım. z = + i, z = + i ise z = i ve z = i dir. Bu göre, z z + z = + i, z + z = i ve z + z = ( i) + ( i) = i; z = i, z z = i ve z z = ( i) ( i) = i; z. z = ( ) + i= + i, z. z = i ve z. z = ( i)( i) = ( ) + ( i i) = i; z i i = = = = = + i i, + = = + i ( + i)( i) z i ve ( z ) i ( i)( + i) = + i = + i dir. Bu işlemlerde sezilediğiiz özellikleri zlım, sor bu özellikleri kıtllım. ÖZELLİK z, z ve z krmşık sılr olsu.. ( z) = z dir. 4. z. z = z. z dir.. z + z = z. z + z dir. 5. z ise z = (z) dir. z = z z dir. z = + bi, z = + b i ve z = + b i olsu. Bu özellikleri doğruluğuu, şğıdki gibi kıtlbiliriz:. (z) = ( + bi) = bi (z) = ( bi) = + bi = z,. z + z = ( + ) + ( b + b ) i z + z = ( + ) ( b + b ) i= ( b i) + ( b i) = z + z,. z z = ( + b i) ( + b i) = ( ) + ( b b ) i z z = ( ) ( b b ) i= ( b i) ( b i) = z z olur.. Üite: Krmşık Sılr

32 4. z. z = ( + bi ). ( + bi ) = ( bb ) + ( b + b ) i 5. z z. z = ( b b ) ( b + b ) i = ( bb ) + ( b b) i z bi b = = = = z + bi + b + b + b i = = ( b i)( b i) = z. z dir. + b b b i bi bi bi + + = + + b = ( + )( ) ( + b )( bi) + b = = = = ( z) olur. ( + b ) ( bi) bi z z z ise = z. z = z. z = z. z z = z olur. z ÖRNEKLER. z = 5 i ve z = + 4i ise z + z ve z z sılrıı bullım.. z z + z = z + z = ( 5 + i) + ( 4i) = 8 i, z = z z = ( 5 + i) ( 4i) = + 6i dir. z = + i ve z = i ve z z ve z. z = z. z = ( i). ( + i) = i + i i = i, z z z i ( i)( i) + i i i i = = = = = = z + i ( + i)( i) 4 i 5 z z sılrıı bullım. 5 i dir. 5 i. z = ise z sısıı bullım. + i i i + i + i + i i z = = = = = = i olur. + i + i i i + i z = + 4i sısıı krmşık düzlemde gösterelim. Bu düzlemde, z ve z sılrıı eşlediği oktlrı d belirtelim. Ydki şekilde krmşık düzlemi z = + 4i sısı ile eşlee oktsı kırmızı rekle belirtilmiştir. z ile eşlee oktı ekseie göre simetriği ol (mvi) okt z = 4i, bşlgıç oktsı göre simetriği ol (eşil) okt ise z = 4i sısı ile eşlee oktdır. z = + 4i 4 z = 4i 4 z = 4i Ortöğretim Mtemtik

33 = deklemii köklerii bullım. Krmşık düzlemi bu köklerle eşlee oktlrıı koumlrıı iceleelim. Verile deklemde =, b = 6, c = dur. Δ = b 4c= 6 4= 4= 4i, b Δ 6 i = = = i = + i, = i olur. Bu köklerde her biri diğerii eşleiğidir. Krmşık düzlemi bu sılrl eşlee oktlrı, ekseie göre simetrik koumddır. 6. z = 6 8i, z = + 4i, z = i ise. z, z, z b. z z, z z c. ç. z z. z, z, z, değerlerii hespllım. z z. z = 6 8i = 6 + ( 8) = =, z = 6+8i = =, b. z.z = (6 8i) (6 + 8i) = 6 64i =, z = = c. z. z = ( + 4i). i = 9i = = 5 ç. z = 6+ 8i = ( 6) + 8 = z = + 4i = 9+ 6 = 5, z = i = z z + 4i i z = = = i = + = 5, = i 9 z () i z Bu örekte,, z. z = z. z ve = z z = z = z z z = z olduğuu görüoruz. z z ÖZELLİK z, z ve z krmşık sılr olsu.. z = z = z dir.. z. z = z dir. 5. z. z = z. z dir. 4. z z = (z ) dir. z z z = + bi, z = + b i ve z = + b i olsu. Bu özellikleri doğruluğuu şğıdki gibi kıtlbiliriz:. z = + b = + ( b) = ( ) + ( b) z b z z z = bi = bi z = z = z, z ). z. z = ( + bi). ( bi) = + b = ( + b = z, z b. Üite: Krmşık Sılr z z

34 . z. z = ( b b ) + ( b + b ) i = = ( b b ) + ( b + b ) + b b + b + b ( + b )+ b ( + b ) = = ( + b ) ( + b ) = z. z 4. z z = z. z z. z z = z. = z z. (z. z ) sısı pozitif gerçek sıdır. Bu edele z = z z olur. Bu göre; z z ( ). z. z = =. z. z =. z. z = z z z z. z z = dir. z ÖRNEKLER. z = 6 + 8i ise z sısıı zlım. z ile z sılrıı modülüü bullım. Bu sılrı krmşık düzlemde gösterelim. z = 6 + 8i ise z = 6 8i, z = = =, z = 6 + ( 8) = = olur. z ile z sılrıı eşlediği oktlr gerçek eksee göre simetrik olduğud bu oktlrı bşlgıç oktsı uzklıklrı, i bu iki sıı modülleri ıdır. 8 z 6. z + z = i ise z krmşık sısıı bullım. z = + bi olsu. z = + b ve z = bi olur. Bu değerleri, verile deklemde erlerie zrk ile b gerçek sılrıı bullım. z + z = i. + b + b z = + bi = i + = b = ( 5 i )( + 4i ) ( )( + ) 5 i 4i 5 i. 4i z = = = z = 5 + i 5 + i ( )( ) 5 + i = = 4 tür. b = = 5/6 ise z sısıı modülüü bullım. 4. z = i ve z = + i sılrı verilmiş olsu. + 4 = + 4 = 9 6+, z = 5 + i olur. 6. b. c. z z+ z z. z ç. z. z işlemlerii plım. z = z ( )( ) 4 Ortöğretim Mtemtik

35 . z + z = z + z = z + z = ( + i) + ( i) = 8 + i, c. z z b. z. z = z. z = z. z = = 5, z z + 4 = = = = = z z 4+ 5 z z ç. z z = çıkr z = = = =. z ( ) ( ) ( ) 5 5,.. ALIŞTIRMALAR 7. Aşğıdki z krmşık sılrı içi z sısıı + bi şeklide zıız. i i( + i) i i. b. c. z = ( )( + z = z = ) + i i ( 5+ i)( + i) i. z = + 4 krmşık sısı verilior. z = ise ı lbileceği gerçek değerler edir? i. zz ive z 9 = 6+ 7 = i ise z ve z değerlerii hesplıız. z z = ( i). ( + i) ise z ve z sılrıı hesplıız. Ğ. KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ETKİNLİK., b, c gerçek sılr olmk üzere + b + c = deklemii diskrimitıı htırlrk = b. + 4 = c = deklemlerii köklerii buluuz = deklemii diskrimitıı hesplıız = deklemii köklerii buluuz.. Deklemi kökleri rsıd sıl bir ilişki vrdır? Arkdşlrıızl trtışıız. b. Bu kökleri eşleik sılr olup olmdığıı çıklıız. + b + c = deklemide, b, c bilie krmşık sılr, ve deklemde bilimee olsu. + b + c = b c b b c + + = + + = 4 b b 4c b ± b 4c + = + = 4 eşitliklerii zbiliriz. Demek ki verile deklemi iki kökü vrdır. Her biri krmşık sı ol bu kökler; b Δ b + Δ = ve =, Δ = b 4c sılrıdır.. Üite: Krmşık Sılr 5

36 ÖRNEKLER. 4 + = deklemii köklerii bullım. Verile deklemde = 4, b =, c = tür. Δ = b 4c= = 8 = 8 = 8 i = b ±, Δ = ( ) ± 8 i. = ± 6 8 i = 6 i = i, = + 6 i 8 = i dir.. ( i) + i = deklemii köklerii bullım. Verile deklemde =, b = ( i) = + i, c = i dir. Δ = b 4c = ( + i) 4..( i) = i + i 8 + 8i = 8 + 6i = ( + i) = b ± Δ i±(+ i) =, Yukrıd çözdüğümüz birici örekteki 4 + = deklemide kt sılr gerçek sılrdır. Bu deklemi kökleri eşleik sılrdır. Bu durumu, b, c kt sılrıı gerçek sı olduğu her + b + c = deklemide geçerli olcğıı 8. sfd gördüğümüz özellikte bilioruz. ÖRNEK + + b = deklemide bir kök = i ise ve b gerçek sılrıı bullım. Verile deklemi kt sılrı,, b dir. ile b de gerçek sılr olrk istediğie göre bu deklemi bir kökü = i ise diğer kökü = + i olmlıdır. Bu göre; + = = ( i) + ( + i) = 4 = 8, i (+ i) = = i, = i+(+ i) = +i =+i dir.. = b =( i).( + i) = 4 i = 5 b = olur... ALIŞTIRMALAR 8. Aşğıdki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. + = b = c = ç =. Aşğıdki deklemleri çözüüz i = b. i. ( i) i = c. ( i) ( i) i = ç. (+i) (+5i) + i =. Kt sılrı gerçek sılr ol ve bir kökü şğıd verile ikici derecede bir bilimeeli deklemleri zıız.. = i b. = + i c. = i 4. Kökleri şğıd verile ikici derecede bir bilimeeli deklemleri zıız.. = i, = + i b. = i, = i c. = i, = + i 6 Ortöğretim Mtemtik

37 H. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK ETKİNLİK. Alitik düzlemde A(, ) ve B(, 5) oktlrıı işretleerek [AB] ı çiziiz. Alitik düzlemde rrlrk AB u hesplıız.. Krmşık düzlemde C( + i) ve D( + 5i) oktlrıı işretleiiz ve [CD] ı çiziiz. A ile C ve B ile D oktlrı rsıd sıl bir ilişki vrdır? Bu göre CD u hesplm çlışıız. Bu çlışmlrd rrlrk iki krmşık sı verildiğide, bu sılrı eşlediği oktlr rsıdki uzklığı sıl hesplbileceğii çıklıız.. M ( + i) ise krmşık düzlemi z ( +i) = koşulu u z sılrı ile eşlee oktlr sizce hgi şekli oluşturur? Yıtıızı şekil çizerek çıklıız. Krmşık düzlemde merkezi ve rıçp uzuluğu verile çemberi deklemii sıl zılbileceğii rkdşlrıızl trtışıız. z = + i sısı krmşık düzlemi A oktsı ile z = 4 + 4i sısı d B oktsı ile eşlemiş olsu. Bu ok- 4 B tlr dki şekilde gösterildiği gibidir. Bu şekildeki ACB dik üçgeide AC = 4 ( ) = 6 ve BC = 4 = birimdir. Bu dik üçgede AB = AC + BC = 6 + = 45 ve A C AB = 45 = 5 birim çıkr. Öte d; z z = 4 + 4i ( + i) = 6 + i ve 4 z z = 6 + = 5 birimdir. Bu örekte A(z ), B(z ) ike AB = z z olduğuu görüoruz. Şimdi bu durumu her z ve her z krmşık sısı içi doğru olup olmdığıı rştırlım. z = + b i krmşık sısı, krmşık düzlemi A oktsı ile, z = + b i sısı d bu düzlemi B oktsı ile eşlemiş olsu. Şekildeki ABC dik üçgeide, AC =, BC = b b AB = ( ) + (b b ) b B(z ) dir. Diğer d z z = ( ) + (b b ) i ve z z = ( ) + (b b ) olur. Demek ki AB = z z AB = z z dir. Söz gelimi, A( 4+i) ve B( i) ise AB = ( 4 + i) ( i) = 5 + i = = 9 olur. b A(z ) z B. C z. Krmşık düzlemi iki oktsı A(z ) ve B(z ) ise [AB] ı ort dikme doğrusuu deklemi z z = z z olur (sğdki şekil). z z = z z A z. Üite: Krmşık Sılr 7

38 . r R + ve z C sbit sılr olsu.. z z = r eşitliği z merkezli r rıçplı çember belirtir. z z > r b. z z < r eşitsizliği, merkezide z bulu r rıçplı çemberi iç bölgesii belirtir. c. z z > r eşitsizliği, merkezide z bulu r rıçplı çemberi dış bölgesii belirtir (sğdki şekil). z z < r z r z ÖRNEKLER. z 4+ i = eşitliğii sğl z krmşık sılrıı krm- şık düzlemde gösterelim. z 4 i = z 4 i = zbiliriz. Bu eşitlik, merkezi + ( ) M(4 i) ve rıçpı r = ol bir çemberi deklemidir. Ölese verile eşitliği sğl z krmşık sılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri, dki şekilde çizilmiş ol çemberdir. 4 M z. z 4+ i = eşitliğii sğl z = + i krmşık sılrıı geometrik erii deklemii ( ile rsıdki bir bğıtı şeklide) bullım. z 4+ i = + i 4+ i = ( 4) + ( + ) i ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) = 4 = 4 = 9 dur. So bulduğumuz eşitlik, söz kousu geometrik eri deklemidir. Buu, merkezi (4, ) oktsı ve rıçpı ol çemberi deklemi olduğuu bilioruz (Bu çemberi bir öceki örekte çizdik.).. Ydki şekilde, krmşık düzlemdeki birim çember ile ie bu düzlemde bulu M( + i) merkezli ve rıçplı çember çizilmiştir:. Bu çemberleri deklemlerii zlım. b. Birim çemberi içide, diğer çemberi dışıd bulu bölgedeki oktlrl eşlee z krmşık sılrıı hgi bğıtıı sğlcğıı bullım.. Birim çemberi merkezi O( + i) ve rıçp uzuluğu birim olduğu göre deklemi, z ( + i) = d z = olur. M( + i) merkezli ve rıçplı çemberi deklemi de z ( + i) = d z = dir. M b. Birim çemberi içide ve verile ikici çemberi dışıd bulu- oktlrd herhgi biri z olsu (Bu okt ile eşlee krmşık sıı d z olrk düşüebilirsiiz.). z oktsıı bşlgıç oktsı uzklığı de küçük, M oktsı uzklığı ise de büüktür. O hâlde, bu bölgedeki z krmşık sılrı, z M z < < z bğıtısıı sğlr. 8 Ortöğretim Mtemtik

39 4.. z b. z > eşitsizliğie u z krmşık sılrıı krmşık düzlemde gösterelim.. z = z = deklemi, mer-kezi + i sısıı eşlediği okt (oriji) ve rıçpı ol çemberi deklemidir. Bu göre z eşitsizliğii sğl krmşık sılr, bu çember ile buu içideki oktlr ile eşlee sılrdır (d, soldki şekil).. b. z z z z > b. Bezer şekilde, z > eşitsizliğii sğl krmşık sılr d merkezi oriji ve rıçpı ol çemberi dışıdki oktlr ile eşlee sılrdır. Çembere it oktlr bu kümee it değildir (ukrıd, sğdki şekil). 5. < z + 4i koşuluu sğl z krmşık sılrıı krmşık düzlemde gösterelim. z + 4i = z ( 4i). < z ( 4i) koşulu u z krmşık sılrı M( 4i) merkezli ve rıçpı ol çemberi dış bölgesii, b. z ( 4i) koşulu u z krmşık sılrı d M( 4i) merkezli ve rıçpı ol çemberi iç bölgesii oluşturur. 4 M < z + 4i koşulu u z krmşık sılrı, ve b de sözü edile iki bölgei r kesitidir. 6. Deklemleri z = ve z + i = ol iki çemberi kesim oktlrıd geçe doğruu deklemii zlım. Verile çemberler d çizilmiş ol çemberlerdir. Bulr rıçp uzuluklrı eşit ol iki çemberdir. Bu edele kesim oktlrıd geçe doğru, merkezleri birleştire doğru prçsıı ort dikme doğrusudur. Bu doğru üzerideki herhgi bir okt, çemberleri merkezleride eşit uzklıktdır. Ölese bu doğruu bir oktsı ile eşlee z krmşık sısı içi z = z ( i) olur. Bu eşitlik, söz kousu doğruu deklemidir. z 7. z+ 4i = eşitliğii sğl z krmşık sılrıd modülü e büük ve e küçük ollrıı modüllerii bullım.. Üite: Krmşık Sılr 9

40 z+ 4i = z ( + 4i) = deklemi M( + 4i) merkezli ve rıçp uzuluğu ol çemberi deklemidir. Bu çember. sfd çizildiği gibidir. OM doğrusu çemberi P ve Q oktlrıd kesmiş olsu. P ile z krmşık sısı, Q ile de z o krmşık sısı eşlesi. Q oktsı O ile P rsıd ise bu çember üzeride bulu krmşık sılr içide modülü e küçük olı z o, e büük olı d z dir. P (z ) M 4 Q (z ) O z = OM + = + 4i + = ( ) = 7, z = OM = + 4i = 5 = olur. o.. ALIŞTIRMALAR 9. Krmşık düzlemi A ve B oktlrı ile eşlee krmşık sılr şğıd verilmiştir. AB u hesplıız.. A( i), B(+i) b. A( i), B( + i) c. A( 4), B(i) ç. A( i), B(4). Deklemleri şğıd verile doğrulrı, krmşık düzlemde çiziiz.. z = z+i b. z = z i c. z i = z. Krmşık düzlemde:. Birici, b. İkici çıortı deklemii zıız. 4. Deklemleri şğıd verile çemberleri, krmşık düzlemde çiziiz.. z i = b. z = c. z (+i) = ç. z+i = 5. Aşğıdki kümeleri krmşık düzlemde trrk gösteriiz.. { z C z ( + i) > } b. { z C z ( + i) < } c. { z C z < } 6. Aşğıdki şekillerde krmşık düzlemlerde trlı bölgeler verilmiştir. Bulrd her biri bir eşitsizliği çözüm bölgesidir. Bu eşitsizlikleri zıız.. b. c. ç. d. e. 7. z 4 4 i = 4 eşitliğii sğl z krmşık sılrıd modülü e büük ve e küçük ollrıı modüllerii buluuz. Ortöğretim Mtemtik

41 .. KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ Rdrlr, uzktki hedefleri mikrodlg sıtm metodu ile tespit ede cihzlrdır. Rdrlrı çlışm presibi ses dlglrıı sım presibie çok bezer. Sesi sıt bir esee doğru (öreği, bir klık vdide ve mğrd) bğırmız hâlide bir kı işitirsiiz. Eğer sesi hvdki ılm hızıı biliorsız esei geel mesfesii ve geel öüü hesplbilirsiiz. Çevresii 6 trbile rdrlr bir merkez oluşturur. Bu rdrlr bize iki boutlu koordit ekseleride veriler surlr. Veriler her zm (, ) sırlı ikilisi şeklide ifde edilemeebilirler. Bu durumd frklı frklı gösterim biçimlerie ihtiç durız. A. KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE BİR NOKTANIN KARTEZYEN KOORDİNATLARI İLE KUTUPSAL KOORDİNATLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ETKİNLİK. Alitik düzlemi bir oktsı P ise [O ve [OP ışılrıı ptığı pozitif ölü çı hgi çıdır? OP doğrusuu eğimi e demektir? P. Alitik düzlemi, bşlgıç oktsıd frklı ol herhgi bir oktsı P(, b) olsu.. OP u ve b türüde zıız. b. OP doğrusuu ekseile ptığı pozitif ölü çıı ölçüsü θ ise tθ edir? c. P oktsıı koorditlrıı θ türüde zıız. O Burd ptığıız çlışml P oktsıı koorditlrıı OP ve θ ile de belirleebileceğii görüorsuuz. Bu ötemi krmşık düzlemi her P oktsı içi ugulıp ugulmcğıı çıklm çlışıız. Bir düzlemi oktlrı ile sı ikililerii eşlerke dik koordit sistemii kulldıız. Bu oll gerçek sı ikilileri ile düzlemi oktlrıı eşlediiz. Buu bire bir ve örte eşleme olduğuu gördüüz. Sı ikilileri ile bir düzlemi oktlrıı eşleebilmek içi kullbileceğimiz diğer bir sistem de kutupsl sistemdir. Bir E düzlemii oktlrıı bu sistemle gerçek sı ikililerile eşleişii gösterelim. E düzlemide sbit bir [O seçelim. Düzlemi herhgi bir oktsı P olsu. OP = r ve XOP ölü çısıı t P(r,θ) θ r ölçüsü θ ise P oktsıı ( r, θ ) ikilisi ile eşleelim. (E) O Burd θ ; rd d derece türüde olbilir. P (r, θ), r >. Üite: Krmşık Sılr

42 Krşıt olrk r > olmk üzere ( r, θ ) ikilisi verilmiş olsu. Bu ikili ile eşleecek oktı bulmk istioruz. Buu içi ölçüsü θ ol Ot ölü çısıı çizelim. [Ot d OP = r olck şekilde P oktsıı işretleelim. İşte bu P oktsı, ( r, θ ) ikilisile eşlee oktdır. Eğer r < ise bu kez P oktsıı, [Ot zıt t ol ışı üzeride OP = r olck şekilde işretleerek θ buluoruz. Aı P oktsıı, O r ( r, θ + π ) (E) P(r,θ) ikilisile de eşlediğie dikkt ediiz. P (r, θ), r < Bu ( kutupsl ) sistemdeki [O, kutup eksei ( d eksei) ; O oktsı, kutup oktsı ( d bşlgıç oktsı) ; ( r, θ ) ikilisie, kutupsl koorditlr; r e, rıçp bileşei ( rıçp koorditı ); θ d çısl bileşe ( çısl koordit ) dioruz. eksei üzeride, kutupt frklı bir oktı kutupsl koorditlrı ( r, ) d ( r, k.π ) şeklidedir. Kutup oktsıı koorditlrı ise (, θ ) şeklidedir. Burd θ, herhgi bir gerçek sıdır ( Bu edele kutup oktsıı çısl bileşei belirsizdir, deriz.). Koulrımızı işlerke kutup oktsı O erie litik düzlemde olduğu gibi (sıfır) zcğız. O hrfii, çok zorulu hâllerde zrız. Aşğıdki üç şekli iceleiiz. Bulrd biriciside P oktsıı çısl koorditı bir kez rd, bir kez de derece türüde zılmıştır. Diğer iki şekilde ise ı okt ile eşlee frklı iki ikili görüorsuuz. Demek ki kutupsl koorditlr sistemile pıl eşlemede, bir okt ile birde fzl ikili eşlemektedir. Diğer bir deişle bu sistem, gerçek sı ikilileri ile bir düzlemi oktlrı rsıd bire bir eşleme pmmktdır. Öte d düzlemi her oktsı içi e z bir ( r, θ ) ikilisi bulubildiğie göre bu eşleme örtedir (Krteze sistemde, gerçek sı ikilileri ile düzlemi oktlrıı bire bir ve örte olrk eşlediğii htırlıız.). π π P (, ) =(,6 ) P(, ) 9 P(, 9 ) Aşğıdki üç şekilde; ilk ikiside kutup oktsı, üçücüde ise kutup ekseie göre simetrik ol iki okt gösterilmiştir. Bulrı koorditlrıı krşılştırıız. 5π 4 π 4 π 4 π (, ) 4 (, π ) 5π π π π 6 π/6 π/6 (, π ) 6 π 5π π (, ), (, ), (, ) (, π ), (, 5π), (, π) (, π ), (, π ) 6 6 Şimdi, kutupsl koorditlrı, krteze koorditlr d krteze koorditlrı, kutupsl koorditlr sıl çevirebileceğimizi rştırlım. Ortöğretim Mtemtik

43 Kutupsl koorditlrı ( r, θ ) ol bir P oktsıı krteze koorditlrı (, ) olsu. Bu durumd; = = rcos θ, rsi θ, r = +, (r = + ) t, cos θ = θ = ve si θ = olur. r r Bu bğıtılr, bir oktı koorditlrıı d bir deklemi, bir koordit sistemide diğerie çevirmemize r eşitliklerdir. ÖRNEKLER. Deklemi r = cos θ ol eğrii, krteze koorditlrdki deklemii bullım. = r cosθ olduğuu bilioruz. Bu göre cosθ erie zbiliriz. Arıc r = + dir. r r = cos θ r =. r = + = ( ) + = r Demek ki kutupsl koorditlrdki deklemi r = cos θ ol eğri, bir çemberdir (Krteze koorditlrdki deklemi ( ) + = ol eğrii bir çember olduğuu bilioruz.). r θ P(,)=P(r,θ).. (, ) krteze koorditlrıı kutupsl, b. 6 π, kutupsl koorditlrıı krteze koorditlr çevirelim.. = = r cos θ si = = = rsiθ r 4 = θ θ = 5 P π, 6 = + = +4 cos θ = = 4 r= π (, ), 6 b. π r = 6 = r cos θ = 6 cos = 6. = π θ = π = r si θ = 6 si = 6. = π 6,, ( ) P r = 4 6 5π θ = 6 θ = π. Aşğıdki tblod verile kutupsl koorditlrı krteze koorditlr, krteze koorditlrı d kutupsl koorditlr çeviriiz ve bu koorditlrı tblodki boş kutucuklr zıız. Krteze koorditlr Kutupsl koorditlr (, ) π ( 4, ) 6 ( 6, 6 ) (, ) (, ) ( 5, 7 π ) 6 (, π ) 6 ( 6, 5 π ). Üite: Krmşık Sılr

44 Krmşık Sıı Kutupsl Koorditlrı z = + bi krmşık sısı, krmşık düzlemi bir P oktsı ile eşlemiş olsu. Bu düzlemde ekseii [O prçsı kutup eksei P(z) olck şekilde bir kutupsl koordit sistemi seçelim. Bu sisteme göre P i kutupsl koorditlrı (r, θ) olsu. Bu durumd, z krmşık sısı, krteze koordit sistemide (, b ), kutupsl koordit sistemide b θ de (r, θ) ikilisi ile gösterilir. Bu koorditlr rsıd; r = + b = z, b z (, b) (r, θ) t θ =, = r cosθ, b = r siθ bğıtılrıı buluduğuu gördük. ile b i burdki eşitleride rrlrk z krmşık sısıı, z = + bi = r cos θ + (r si θ) i z = r(cosθ + i siθ ) şeklide zbiliriz. Bu tür zılış, z krmşık sısıı kutupsl zılışı; (r, θ) ikilisie de bu sıı kutupsl koorditlrı dioruz. z = r (cos θ + i si θ) ifdesii, bş hrfler lırk z = r cis θ şeklide zıldığı d olur. Burdki r sısı, z krmşık sısıı modülü; θ ölü çısı d rgümeti deir ve rg(z) = θ zılır. Koumuzd, z krmşık sısıı rgümetie, bu sıı çısı d dieceğiz. θ ı [,π) dki değerie z i ess rgümeti dı verilir. Krteze koorditlrıl verile bir z krmşık sısıı kutupsl zmk içi. Bu sıı krmşık düzlemde gösteriiz.. r = + b değerii hesplıız.. θ ölü çısıı ( ile π rsıd ) hesplıız. b ( Buu içi cos θ = ve si θ = eşitliklerii ikisii de sğl θ sısıı bulmlısıız. Bölece z = (, b) krteze koorditlrıl d z = + bi krteze zılışıl verile r r krmşık sıı, (r, θ) şeklideki kutupsl koorditlrıı ve z = r ( cos θ + i si θ ) kutupsl zılışıı elde etmiş olursuuz.) r ( ) ÖRNEKLER.. z=,, b. z= i ise z krmşık sısıı kutupsl koorditlrıı bullım ve bu sıı kutupsl şekilde zlım.. z krmşık sısı, şekildeki krteze sistemde gösterilmiştir. Burd, cos θ = r = z = = ve + θ = dir. siθ = Bu göre z i kutupsl koorditlrı, (, ) ve kutupsl zılışı, z = ( cos + i si ) olur. r = θ z 4 Ortöğretim Mtemtik

45 b. z= i sısı, şekilde görüldüğü gibi üçücü bölgede bir okt ile eşleir. Bu edele z i ess rgümeti, π ile r= + b = 9+ = cos θ = = siθ = = π θ = olur. rsıddır. Bu göre; ( ) ( ) z i kutupsl koorditlrı,, ve kutupsl zılışı, z= cos + isi dir. z θ. Krmşık düzlemdeki birim çemberi koordit ekselerii kestiği oktlrl eşlee krmşık sılrı kutupsl şekilde zlım. Birim çember; ekseii A (, ) ve A' (, ), B i = cis π ekseii B (, ) ve B' (, ) oktlrıd keser. = cisπ = cis A' A A oktsı ile eşlee z = sısıı kutupsl zılışı z = cos + i si, B oktsı ile eşlee z = i sısıı kutupsl zılışı B' i = cis π π π z = cos + i si, A' oktsı ile eşlee z = sısıı kutupsl zılışı z = cosπ + i siπ, π π B' oktsı ile eşlee z = i sısıı kutupsl zılışı z = cos + i si dir ( Bu krmşık sılrd, r = dir.).. z = 6, z = i, z = 4 ve z 4 = 5i sılrı verilsi.. Bu sılrı kutupsl koorditlrıı zlım. b. Bu sılrı kutupsl şekilde zlım.. z = 6 sısıı kutupsl koorditlrı ( 6, ), b. z = i sısıı kutupsl koorditlrı, π, z = 4 sısıı kutupsl koorditlrı ( 4, π ), z 4 = 5i sısıı kutupsl koorditlrı 5, π dir. z z z ( ) = 6 cos + isi, π π = cos + isi, ( ) = 4 cos π+ i si π, π π z4 = 5 cos + i si olur. ( ) = 4. z + i eşitliğii sğl z krmşık sılrıd rgümeti e büük ve e küçük ollrıı rgümetlerii bullım.. Üite: Krmşık Sılr 5

46 ( ) = z + i deklemi dki şekilde çizilmiş ol çemberi deklemidir. Bu çemberi merkezi M( + i) oktsı ve rıçpı r = dir. Çember ekseie (Q oktsıd) teğet olur. Bşlgıç oktsıd çembere çizile öteki teğeti P z değme oktsı P ve bu okt eşlee krmşık sı z olsu. M Q Çemberi bir oktsı ile eşlee ve rgümeti e büük ol sı z, e küçük olı d i dir. o Arg ise t ( + i ) =θ = ve θ = olduğud şekildeki POM ve MOQ çılrıı her biri dir. Bu edele; ( ) + ( ) Arg z = = 5 ve Arg i = = 9 olur. Kutupsl koorditlrı bilie d kutupsl zılışı ile verile bir krmşık sıı krteze zılışıı elde etmek içi, z = r ( cos θ + i si θ ) ifdeside cos θ ve si θ ı eşitlerii erlerie zmlısıız. ÖRNEKLER. z= 6 π, ise z sısıı krteze şekilde zlım. π π z= 6 cos + isi = 6 i = + + idir. ( ) Kutupsl koorditlrı 6 π, ol krmşık sıı krteze koorditlrı, olur. Aşğıdki şekli iceleiiz. z = 6 cis π π z = (6, ) z = (, ) 6 si π z = + i 6 6 π/ π/ 6 cos π. Kutupsl koorditlrı 4 5 π, ol krmşık sıı, krteze şekilde zlım. 4 5π r = 4 ve θ = 4 rd verilmiştir. Bu göre; z = r (cos θ + i si θ) = 4 5π 5π cos + si 4 + i = 4 4 i = i olur. 6 Ortöğretim Mtemtik

47 .. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki krmşık sılrı kutupsl şekilde zıız.. z = 4 b. z = i c. z = ç. z = 6i d. z = + i e. z= + i f. z = + i g. z = i. Aşğıdki krmşık sılrı krteze şekilde zıız. π. 6 cis b. 4 cis c. cis π ç. cis 6 d.. z = r ( cos θ + i si θ ) krmşık sısı verilior. z, z, z sılrıı kutupsl şekilde zıız. π π 4. z = cos + i si sısı verilior. z + ve z sılrıı kutupsl şekilde zıız. 5. z= + i ve z = + i sılrı verilior.. z. z sısıı buluuz. b. z. z sısıı kutupsl şekilde zıız. c. z. z ve rg ( z. z ) sılrı kçtır? ç. z. z ile z ve z sılrı rsıdki ilişkii söleiiz. d. rg(z. z ) ile rg(z ) ve rg(z ) rsıd e ilişki vrdır? 6. z, deklemleri şğıd verile çemberleri oktlrıı göstermektedir. z krmşık sılrıd rgümeti e büük ve e küçük ollrı rgümetlerii buluuz.. z 4= b. z i = c. B. KUTUPSAL ŞEKİLDE YAZILMIŞ KARMAŞIK SAYILARLA İŞLEMLER ETKİNLİK π. z =cis ve z = 6 cis π sılrı verilmiş olsu. 4. Bu sılrı stdrt biçimde zıız. b. z + z işlemii pıız. Bulduğuuz soucu kutupsl şekilde de zıız. π π. z =6 cis ve z = cis sılrı verilmiş olsu. 6. Bu sılrı stdrt biçimde zmd z. z işlemii pıız. z b. z ve z sılrıı stdrt biçimde zıız. Bu sılrı çrpıız ve bulduğuuz soucu kutupsl şekle çeviriiz. z r ve b de bulduğuuz souçlrı krşılştırıız. r.. Şekilde verile z sısıı kutupsl biçimde zıız. α θ b. z = cis α olsu. z. z = r cis θ. cis α işlemii pıız ve soucu ie kutupsl biçimde zıız. c. Şekilde verile z sısıı kutupsl zıız. z = z. z eşitliğii doğruluğuu kotrol ediiz. 4. z =6 cis π ise bu sılrı stdrt biçimde zıız. z : z işlemii pıız. Bulduğuuz soucu kutupsl şekilde de zıız. Bu soucu verile z ve z sılrıl,z =cis π 6 krşılştırıız. 5. Kutupsl biçimde zılmış krmşık sılrl işlemleri sıl pbileceğiizi sııft trtışıız. z i = 6 cis. Üite: Krmşık Sılr 7

48 Stdrt (krteze) şekilde zılmış ol krmşık sılrl toplm, çıkrm, çrpm ve bölme işlemlerii ptık. Aı işlemleri, bu sılrı kutupsl şekilde zılmış olmlrı durumud d pbiliriz. Aşğıdki öreklerde pıl bu tür işlemleri iceleiiz. ÖRNEKLER. z= ( cos 5 + i si 5 ) ve z = 4 ( cos + i si ) ise z+ z ve z z sılrıı bullım. z z i i + = ( cos 5 + si 5 )+( 4 cos + 4 si ) = ( cos cos )+ i ( si si ) = i 4 = ( ) i z z = cos 5 + isi 5 4 ( cos + i si ). z = cis ve z = cis 4 ise z z sısıı bullım. z z = ( cos + isi ) cos 4 + isi 4 = ( cos cos 4 )+ i si si 4 = ( = cos( 4 ) = 4 6 z z = = = = dir.. z = 6 cis 5 ve z = cis 6 ise z. z işlemii plım. z. z = 6 cos 5 + isi 5. cos 6 isi 6 = cos 5 cos 6 si 5 si 6 ) + i(cos 5 si 6 + si5 cos6 = [ cos( ) + i si( )] = cos + i si ÖZELLİK ( ) 4 + i ( ) ( ) ( ) z z = cos cos 4 ) + si si 4 = (cos cos 4 + si si 4 ) ( ) ( + ) ( ) ( ) z = r (cosα + isiα) ve z = s (cosβ + isiβ) ise z.z = r.s (cos (α+β) + isi (α+β)) dır. 4 = ( + )+ i Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. z = r ( cos α + i si α ) z = s ( cos β + i si β ) z. z = r. s ( cos α + i si α ). ( cos β + i si β ) = r. s [ cos α cos β si α si β + i ( si α cos β + cos α si β ) ] = r. s [ cos ( α + β ) + i si ( α + β ) ] Demek ki iki krmşık sıı çrpımıı modülü, bu sılrı modüllerii çrpımı ve çrpımıı rgümeti, bu sılrı rgümetlerii toplmıdır. 8 Ortöğretim Mtemtik

49 ÖRNEKLER. z = + i ve z = + i sılrıı kutupsl zlım ve z. z işlemii, 8. sfdki özellikte rrlrk plım. z ve z sılrı dki şekilde gösterilmiştir. Bu şekilde de görüldüğü gibi z i çısı dr çı, z i çısı geiş çıdır. z s β r α z π π π. z= cis, z = cis, z = 4 cis ise z. z. z işlemii 9. sfd gördüğümüz özellikte rrlrk 4 plım. r= + = s= ( ) + ( ) = cos α= = = cos 45 α= 45 cos β= = cos β= z = (cos 45 + isi45 ) z = (cos + isi ) z. z =. [cos ( 45 + ) + i si(45 + ) ] = 4 (cos 65 + i si 65 ) z π π π cis 4 cis z z z π π =. + =.. = 4 cis π cis cis 4 π π 4π z = 4. 4cis + = 6 cis 4 cis cis 4 6 π π 4π =.. = π 6 π π = 6 cos + i si = 8 8i olur. 6 6 Bir Krmşık Sıı Eşlediği Noktı Oriji Etrfıd α Açısı Kdr Dödürülmesile Elde Edile Nokt z = r cis θ krmşık sısıı eşlediği oktı oriji etrfıd, pozitif öde, α kdr dödürdüğümüzü düşüelim. Gelie ei okt z krmşık sısı eşlemiş olsu. z = r cis (θ + α) dır. z sısı, z = r cis θ sısı ile z = cis α sısıı çrpımı mıdır? Ölese z = z. z = r cis θ. cis α = r cis (θ + α) dır. r α r z θ Demek ki bir krmşık sı cis α ile çrpılıc bu sıı eşlediği oktı oriji etrfıd α kdr dödürülmesile vrıl okt eşlee krmşık sı elde edilmektedir. z ÖRNEKLER. z = + 4i krmşık sısıı eşlediği okt P dir. P oktsıı oriji etrfıd pozitif öde dödürülmesile Q oktsı elde edilmiştir. Q ile eşlee krmşık sıı bullım. Q ile z krmşık sısı eşlemiş olsu. z = z. cis = ( + 4 i)( cis + i si ) = ( + 4i) + i + + = i dir. Q(z) P(z ) 4 5. Üite: Krmşık Sılr 9

50 . z = 8 + 6i sısıı eşlediği okt P dir. P oktsıı oriji etrfıd egtif öde 6 dödürülmesile Q oktsı elde edilmiştir. Q ile eşlee krmşık sıı bullım. Q ile eşlee krmşık sı z olsu. ( ) + ( + ) z = z. cis 6 = ( 8 6 i) cos ( 6 ) i si ( 6 ) = ( i) i = ( 4 i ) + i( 4 ) = ( 4+ )+ ( 4 )i olur. 6 P(z ) -6 8 Q(z).. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki işlemleri souçlrıı buluuz.. (cis 4 ).(cis 5 ) b. (4cis 7 ).(cis 5 ) c. (cis ).(4cis 8 ). Aşğıdki işlemleri souçlrıı buluuz. π π π. b. z = cis cis c. z=cis 8 z = ( 4 cis 7 ). cis. 4. Aşğıdki krmşık sılrı eşlediği okt, verile θ kdr dödürülüor. Vrıl okt ile eşlee krmşık sıı buluuz.. + i, θ = 6 b. 4 cis 75, θ = 5 c. + i, θ = 75 C. BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ VE DE MOIVRE FORMÜLÜ ÖRNEK z = ETKİNLİK π. z = cis ise z, z, z 4 sılrıı hesplıız. Bulduğuuz souçlrı;. Modülleri ile z i modülü rsıd sıl bir ilişki gözlemliorsuuz? b. Argümetleri ile z i rgümeti rsıd bir bğıtı bulm çlışıız.. de ptığıız çlışmı bu kez z sısı içi pıız. Aı gözlemleriizi bu sı 5 cis π = 4 içi de geçerli olup olmdığıı rştırıız. bir doğl sı ise örekteki z sısı içi z işlemii soucu sizce e olbilir? z=5cis = = 5 ` 5 ` π ise z ve z sılrıı hespllım. 4 cis π 5 cis π 5 cos π i si π = π + π cos i si 4 4 π π π π π π π π cos cos si si + i cos si + si cos π π cos + i si = 5 π cis ` Ortöğretim Mtemtik

51 π π π π π π z = z z= 5 cis 5 cis = 5 cos + si cos si i i 4 4 π π π π = 5 cos cos si si + i cos π si π + si π cos π π π π = 5 cos + i si = 5 cis ` Bu örekte; her doğl sısı içi, z =5 cis. π olcğıı sezilemekteiz. Şimdi sezgimizi doğru olup olmdığıı rştırlım. 5 z = r cis θ krmşık sısı verilmiş olsu. Bu sıı öce kedisi ile çrprk z, sor z. z işlemii prk z sısıı bullım. Bu işlemi devm ettirerek N + içi z sısıı bullım. z = r (cosθ + i siθ) z = r. r (cos (θ + θ) + i si (θ + θ) = r (cosθ+ i siθ) z = r.r (cos (θ + θ) + i si (θ + θ) = r (cosθ+ i siθ) z 4 = r.r (cos (θ + θ) + i si (θ + θ) = r 4 (cos4θ+ i si4θ). z = r (cos θ + i si θ), Z + olur., egtif bir tm sı ike de z = r (cos θ + i si θ) olduğuu gösterelim. Buu içi öce z + i ve z = r (cosθ + i siθ ) ise z = r (cos ( θ) + i si ( θ) olduğuu göstermeliiz. z = s(cosα + isiα) dielim. z.z = r.s (cos (θ + α) + i si (θ+α)) = cos + i si r.s =, θ + α = s = r, α = θ Demek ki z = r (cos ( θ) + i si( θ) dır. Z ise Z + dır. Bu göre; Z içi Z + ve z = (z ) = [r (cos( θ)) + i si ( θ)] = r (cos (θ) + i si (θ) olur. Burd ptığımız işlemler, şğıdki özelliği, Z ike sıl elde edildiğii göstermektedir. ÖZELLİK z = r (cos θ + i si θ) ise her R içi z = r (cos θ + i si θ ) dır. Bu özelliğe De Moivre* formülü deir. ÖRNEK z = r (cos θ + i si θ) ve z = s (cos α + i si α) ise z z işlemii plım. * Abrhm De Moivre, ıllrı rsıd şmış, Frsız sıllı İgiliz mtemtikçisidir.. Üite: Krmşık Sılr 4

52 z r(cos θ+ isi θ) = = r (cos θ + i si θ). [s (cos α + i si α) ] z s(cos α+ isi α) = r (cos θ + i si θ). r [cos ( α )+i si ( α ) ] = (cos (θ α) + i si (θ α) ) dır. s s De Moivre formülü, kutupsl şekilde zılmış ol krmşık sılrı kuvvetlerii hesplmmızd, bu sılrı herhgi bir derecede köklerii bulmmızd kollık sğlr. ÖRNEKLER π π π π π π. z= cos + isi, z = cos + isi, cos si z = i 6 sılrı verilmiş olsu. Aşğıdki işlemleri souçlrıı bullım.. z. z z b. c. z z. z. z. z 4 6 ç. z z. π π π π z. z = cos + isi. cos + isi π π π 8 + π = cos i si + = 5π 5π cos isi 4 4 b. z π π = z. z = cos + isi. i z π π cos + si π π cos si + π π π π = 8 i =8 cos + i si c. ç. z 6 6 6π 6π π π = cos + isi = 64 cos isi z π π = cos + isi (c de bulduk.) π π π π z = ( ) cos + isi = cos + isi 6 6 z 6. z 64. cis( π/ 4).( / 64). cis( π/ 4) π π π π π = = cis cos isi + = z cis ( π / ) olur. z π π π π = cos + isi = 4 cos isi z = = 4 π + π π π cos isi cos + isi ( ) π 4π π π z = cos isi = 4 cos + isi 6 6 z z z cos π π π π π π 7π.. = i si = cos + isi 7 π z i ve z i ise z = 6 = + sısıı bullım. Bu sı ile z ve z sılrıı krmşık z düzlemde gösterelim. Bulrı modülleri ile çılrı rsıdki ilişkii zlım. 4 Ortöğretim Mtemtik

53 z 6i i 6+ 6 i =. = = + i z + i i + z z, z ve sılrıı krmşık düzlemde gösterilişi, sğdki şekilde olduğu gibidir. Bu şekilde, z z z z = 6, z = ve 6 + = = = = tür. z z z Arg (z ) = 9, Arg (z ) = ve Arg z = 6 dir. 4.. ( + i) 5 b. ( i) sılrıı hespllım. + i ve i π + i= cis ve i= cis sılrı şekilde gösterilmiştir. Bu şekilde, 7π 6 6 z z z z 9 döüşümlerii zbiliriz. Şimdi De Moivre formülüü kullrk istee sılrı hespllım.. ( ) 5 5 π 5π + i = cis = cis = cis 5π = b. 4. ( ) 4 7π π i = cis = cis = cis 8π = cis = olur. 4 z = + i ise z sısıı hespllım π 6 + i π/ z = + = = olur. Aşğıdki şekilde görüldüğü gibi z, ikici bölgede bir okt ile eşleir. Bu edele; i / 4 5π t θ = = θ= dır. / 4 6 z = r cisθ = cis 5 π π π z = cis = 6 cis (De Moivre formülü) 6 π π = 6 cis 4π = 6 cis = 6 π π cos + i si =6 + i = i dir. z 4 / /4 5π/ z i ve z i ise z = + = işlemii plım. z ( ) ( ) Ydki şekilde, π π + i = cis ve i = cis 4 zbiliriz.. Üite: Krmşık Sılr 4

54 6 6 π 8π 9π z = ( + i) = cis = cis = cis = 4 4 ( ) π π z = i = cis = cis = z z π 4π = z. z = cis cis = = π π cis cis 4 π 4π 7 π cis + = cis = i = ( i) dir. 4π cis π cis P( +i) π 4 π Q( i).. ALIŞTIRMALAR. z = + i sısıı kutupsl şekilde zıız. Bud rrlrk; z, z, z 5 sılrıı hesplıız. Bulduğuuz souçlrı krteze şekilde zıız.. z = + i, z i sılrı verilior. Aşğıdki işlemleri pıız.. z. z b. z 6. z4 c. z : z ç. z : z 6. z 5π = 6 cis ve 8 z π = cis ise z 8 z sısıı buluuz. 4.. z = + i b. z = + i c. z = i ise z sılrıı kutupsl şekilde zıız. 5. Şekilde krmşık düzlemdeki birim çemberi (biri A olmk üzere) 6 eş böle oktlr işretlemiştir. Birici bölgede bulu z ve A e kı ol okt ile eşlee krmşık sı z dir. z, z 5, z 7, z 9, z, z 5 sılrıı, şekilde eşleeceği oktı ı zıız. A 6.. (+i) b. ( + 6i) 4 c. ( i) 9 ç. ( i) işlemlerii pıız. 7. z = (si 5 i cos ), z = 6( si + i cos ) ve z = (si 4 i si ) ise (z. z )/z işlemii pıız. 8. Aşğıdki sılrı eşitlerii zıız b. cis π cis π = = c. ` ` 6 π cisπ. cis ` = 9. Aşğıdki eşitlikleri hgisi lıştır? π π π cis A) B) cis π cis. cis = i = C) 5 ` 6 8π = ` 4 7π cis π D) cis = cis E) ( + i) 8 = 6 ` 5 ` 8 Ortöğretim Mtemtik

55 Ç. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ETKİNLİK. Bir pozitif gerçek sı söleiiz. Bu sıı kç te krekökü vrdır? Bu krekökler, sı doğrusud sısı göre simetrik midir?. =, 4 =, = deklemlerii çözüüz. Bulrd her birii kç kökü vrdır?. =, + = deklemlerii çözüüz. Bulrd her birii kçr kökü olduğuu buluuz. 4. =, + = deklemleride her birii üçer kökü vrdır. Bu kökleri bulm çlışıız = deklemii dört kökü vrdır. Bu kökleri bulmı deeiiz. Bulcğıız kökler hgi sıı kçıcı derecede kökleridir? ÖRNEK z= + i ve z = i ise z ve z sılrıı bullım. z i i i ve z i 4 = + = +. = = 4 = + i = i ki z ve z sılrı kresi i ol sılrdır. çıkr. Demek Diğer bir deişle i sısıı krekökleri ukrıdki z ve z sılrıdır. sılrıı küpleri çıkr (Bu sılrı küplerii he- Bezer şekilde, + i, splrk soucu çıktığıı görürüz.). i Demek ki sısıı küpkökleri, + i ve i sılrıdır. Şimdi bir krmşık sıı köklerii ve bu kökleri sıl bulbileceğimizi görelim. TANIM Bir z krmşık sısı verilmiş olsu. Kresi z ol krmşık sılr, z i krekökleri, küpü z ol krmşık sılr, z i küpkökleri, dördücü kuvveti z ol krmşık sılr, z i dördücü derecede kökleri... deir. Bu kısımd, verile bir z krmşık sısıı, istee derecede köklerii sıl bulbileceğimizi rştırcğız. Verile z sısıı, rgümetii (, 45 ve bulrı tm sı ktlrı gibi) trigoometrik değerlerii bildiğimiz bir sı olmsı işimizi kollştırcktır. Öce verile bir z krmşık sısıı kreköklerii sıl bulcğımızı rştırlım. z = r ( cos θ + i si θ ) Sısıı Krekökleri Sıfırd frklı ol z krmşık sısı, z = r cis θ kutupsl zılışı ile verilmiş olsu. Kresi z ol krmşık sıı d sılrıı bulmk istioruz. k Z ise z = r cis θ = r cis (θ + k.π) olcğı çıktır. z = z π + θ r θ z r θ/ z. Üite: Krmşık Sılr 45

56 De Moivre formülüde erie / zrk z / sılrıı bullım. / / θ + k. π θ z = r cis ( θ + k. π) z = r cis r cis π + = k olur. Burd k erie bir kez zlım ve bulcğımız z / sısıı z ile bir kez de zlım ve bulcğımız z / sısıı z ile gösterelim. / θ / θ k = z = z = r cis, k = z = r cis + π dir. k erie ile de bşk tm sılr zrsk ie z ile z de birii buluruz. O hâlde z / sılrı, z ile z sılrıdır. Diğer d; θ z cis r cis z ve z θ = ( ) = θ = = ( r ) cis + π = rcis( θ+ π) = z olduğu çıktır. Demek ki z ve z sılrıı kresi z dir. Ölese bu sılr z i krekökleridir. Görüldüğü gibi z ise kresi z ol frklı iki krmşık sı vrdır. Yukrıdki şekli iceleiiz. z ve z sılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri, bşlgıç oktsı göre simetrik midir? z = ise r = olduğud z ve z krmşık sılrıı ikisi de + i olur. ÖRNEKLER.. z = b. z = + i sılrıı kreköklerii bullım.. z = = cos π + i si π = cos (π + k.π) + i si (π + k.π) = z π = + k i k + π + cos π si π Şimdi k erie bir kez bir kez de zrk z i krekökleri ol z ve z sılrıı bullım. π π k= z = cos + isi = i π k= z = cos + π + i si π π + = i Demek ki sısıı krekökleri i ve i sılrıdır. Yukrıdki şekilde bu iki sıı orijie göre simetrik ol iki okt ile eşlediğii görüorsuuz. b. π π z = + i = 4 + i = 4 cos + isi π z= 4cis k z π + π = 4cis kπ +.. (Aşğıdki şekli iceleiiz.) z = + π 4 k = z π/ cis + i π π = = cos si, π/ π π π k = z = cis + π A = cos i si = z olur. π + π z, z ve z sılrıı eşlediği oktlr, dki şekilde görülmektedir. z = z π z = i π + π z =i π z = i = z z A 46 Ortöğretim Mtemtik

57 . z = i sısıı kreköklerii bullım. 8 8 z = + = =, Argz =θ ise z. bölg ede olduğud π π< θ< dir. / 8 4π tθ= = θ= / 8 4π 4π z = cis = cis k z π +. π = cis + kπ 4 4 π π π k = z = cis = cos + i si z = + i = + i, 4 4 k π 5 5 = = + = π + π z cis π cos isi = = i 4 i dir 4. dir. i π/ z / /4 / z z 4π/ 5π/ i Düflüelim Y tll m Bu öreklerde z sısı ile π buu kreköklerii şekil üzeride i + i de gördük. Arg (z ) sısıı Arg(z) sısıı rısı ve z i eşlediği oktı, z ı eşlediği oktı A A A bşlgıç oktsı göre simetriği ( z ) olduğuu rtık bilioruz. Bud π i rrlrk dki + üç şekilde i, i ve sılrıı her kreköküü, eşlediği oktı i ı (krteze şekilde) zıız. ÖRNEK z = 5 + i sısıı kreköklerii bullım. Verile z sısıı rgümeti ( çısı ), 45 ve bulrı tm sı ktlrıd biri değildir. Bu edele krekökleri bulmk içi bşk bir ol izleeceğiz. z i krekökleride biri + i olsu. Bu durumd, z = 5 + i = ( + i) = + i = 5 = olur. Bu deklem sistemii çözerek ile i bulbiliriz. Ack, bu sistemi çözmek birz zordur. Buu içi z = + i eşitliğide elde edeceğimiz deklemi de söz kousu sisteme ktrsk ile sılrıı dh kol bulbiliriz. ( ) +. z = 5+ i = + = olur O hâlde +i. Üite: Krmşık Sılr 47

58 = 5 = 9 ve = + = 4 = ± ve = ± = 6 ile ı işretli (,) = (, ) v (,) = (, ) dir. r s Z Z o Bu göre z = 5 + i sısıı krekökleri, z = + i, z = i dir. z = r ( cos θ + i si θ ) Sısıı Küpkökleri s = r s = r z o = z Sıfırd frklı ol z krmşık sısı z = r cisθ olsu. Küpü z ol krmşık sılrı rıoruz. De Moivre formülüde, erie / zrk z / sılrıı hespldık. Bulduğumuz sılr, z i krekökleridi. Bu kez = / lrk z / sılrıı hespllım. z = r cis θ = r cis (θ + k.π) / / k. z = r cis θ + π = rcis θ k. π olur. + Bu eşitlikte, iki ı d küpüü lırsk z sısı çıkr. Demek ki θ π rcis + k. sılrı z i küpkökleridir. Şimdi k erie,, sılrıı zrk z, z ve z i bullım. θ θ k= z = r cis k= z = cis + π,, k erie,, de bşk tm sılr zrsk ie z, z ve z sılrıd birii buluruz. Diğer bir deişle sıfırd frklı ol z sısıı frklı üç küpkökü vrdır. z ile küpköklerii krmşık düzlemdeki koumlrıı, dki şekilde iceleiiz. Küpköklerde ilkii (z ı) rgümetii, z i rgümetii / ü olduğu dikkt ediiz. Arıc köklerde birii rgümetie çemberi / ü ol π/ ekleice diğer köklerde birii elde edileceğii görüüz. Eğer z = ise r = olcğıd küpkökleri üçü de sıfırdır. ÖRNEK z = i sısıı küpköklerii bullım. θ k= z = r cis dir +. π. z θ π + θ 4π + z θ z θ/ z. ol z = i = cos π i si π = cos + π + k. π π + i si + k. π / z = cos π k. π + + i si π k. π + tür. O hâlde, z i küpkökleri; ( k = içi) z = π π cos + isi = i, ( k = içi) z = cos π π π π + = + + i si i, ( k = içi) z =cos π 4 π si π 4 + π + + i = i olur. olur. 48 Ortöğretim Mtemtik

59 . ol π z küpköküü rgümeti, z i rgümetii üdür. z sısıı pozitif öde (çemberi üçte biri) rd dödürülmesile z ve ou d rd dödürülmesile z küpkökle- π ri elde edilmektedir. Bulrd her birii modülü, z i küpköküdür. z = olduğud küpkökleri modülü de dir. Bu edele küpkökler birim çember üzeridedir. Bu çıklmlr göre z = i sısıı küpkökleri dki şekilde belirtile z, z ve z sılrıdır. Bu sılr; z = i π z = cis = i, π/ π π z = cis + = i, π π + A z z π 4π π π z = cis + = i dir. +. i = z Bir z krmşık sısıı krekökleri ile küpköklerii bulduk. Şimdi N + olmk üzere z krmşık sısıı. derecede köklerii sıl bulbileceğimizi rştırlım. Eğer z = ise z = r = olduğud z i. derecede kökleri (i z = z =... = z = ) çıkr. z ve z = r cis θ= r cis ( θ+ k. π) olsu. z Burd z r θ π = cis + k. θ z zbiliriz. k erie,,,..., sılrıı zrsk; θ θ z = r cis θ/ π z = r cis +. θ π z = r cis + θ z = r cis π + ( ) θ elde edilir. Görüldüğü gibi Arg( z) = θ ise Arg( z ve z ) = = z dir. etrfıd π rd dödürülmesile elde edile krmşık sılrdır. Diğer kökler, z ı oriji ÖRNEK z 6 = i deklemii çözelim. 6 π π z = i = cis = cis + k. π 6 z 6 π π ( ) =cis + k. 6 π + π z = cis k. 4 k = π z = cis k = z = cis 5 π k = z = π = z = cis π k k = 4 7π π z 4 = cis k = 5 z5= cis dir. cis 9π = z cis π = z cis 7π = z 4 i z = cis 5π z = cis π z 5 = cis π. Üite: Krmşık Sılr 49

60 .. ALIŞTIRMALAR 4. Aşğıdki sılrı kreköklerii buluuz.. z = i b. z = 4 c. z = 9i ç. z = 4 cis5 d. z = 9 cis π e. z 6 =+. Aşğıdki üç şekilde, z sısıı kreköklerii klşık thmi ederek işretleiiz (Şekillerdeki çemberler birim çemberlerdir.). i. Aşğıdki z sılrıı krekökleride birii + i ile gösteriiz. ve sılrıı bulrk z i kreköklerii zıız.. z = + 4i b. z = 7 4i c. z = 6 + 8i 4. Aşğıdki sılrı küpköklerii buluuz. Bu kökleri krmşık düzlemde gösteriiz.. z = b. z = i c. z = ç. z = 8 cis π 4 z 5. Aşğıdki deklemleri çözüüz. Bulduğuuz kökleri birim çember üzeride gösteriiz.. z 4 = b. z 5 = c. z 8i = ç. z i = d. z 8 + = 6., pozitif gerçek sı ise ı biri pozitif, diğeri egtif ol iki reel krekökü olduğuu biliorsuuz. Bulrd pozitif olıı ile egtif olıı d ile gösterdiiz. Şimdi, z krmşık sısıı k = içi bulduğumuz kreköküü z ile diğerii z ile gösterelim. Bu göre şğıdki sılrı krteze şekilde zıız.. i b. i c. ç. d. i e. i sorudkie bezer şekilde bir z krmşık sısıı k = içi elde edile küpköküü 4 ( z sısıı ) z, dördücü derecede köküü z ile gösterelim. Aşğıdki sılrı krteze şekilde zıız. A z A z A 4. i b. c. ç. 4 + i 8. z, z, z krmşık sılr, R ve z = + bi = r cis θ dır. Aşğıd düşe çizgii soludki ifdeleri eşitlerii bu çizgii sğıd verilelerde buluuz ve bulrı umrlrıı soruu bşıdki kutucuklrı içie zıız. Arg (z) z. z. z. r cis( θ). i z 5 z 4. rcisθ 5. + b 6. i z z z θ. 7. rcis( θ+ π) 8. r cis 9. rcisθ z z / 5 θ z. θ. r cis. z 5 z z i 4 5 Ortöğretim Mtemtik

61 BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Aşğıdki öermelerde boş bırkıl erleri bu öermeler doğru olck şekilde dolduruuz.. + bi sısı bir gerçek sı ise R ve dır. b. + bi = + i,, b,, R ise = ve = dir. c. Krmşık düzlemdeki bir okt P, buu ekseie göre simetriği P, orijie göre simetriği P ve ekseie göre simetriği P tür. P(z) ise P ( ), P ( ), P ( ) tir. ç. Krmşık düzlemde merkezi oriji ve rıçpı ol çemberi deklemi dir. d. Krmşık düzlemi bir P oktsı oriji etrfıd α kdr dödürülüce Q oktsı ulşılmış olsu. z = r cis θ sısı P ile eşlemiş ise z = sısı d Q ile eşleir. e. z = r cis θ ve z = r cis θ ise z. z =, z = dır. z. Aşğıdki öermelerde doğru ollrı bşıdki kutucuğu içie D, lış ollrıkie Y zıız. z = z ise z gerçek sıdır. i 5 = i 6 dır. {z C Re(z) = İm(z) } kümesi krmşık düzlemde birici çıortı gösterir. z z = z dir. π ise Re(z) pozitif gerçek sıdır. < Arg z < π Her gerçek sıı rgümeti dır.. Aşğıdki koordit sistemleride, verile kümeleri gösteriiz. {z C z i } {z C z + i > } {z C z i = z i } 4. Aşğıd verile deklemleri köklerii verile çember üzeride işretleerek gösteriiz.. Üite: Krmşık Sılr 5

62 5. Aşğıdki eşitliklerde hgisi lıştır? A) = i B) 9 = C) 4 = i D) 9 = i E) 4 = i 6. Aşğıdkilerde hgisi, i krmşık sısı eşittir? A) i 5 B) i 5 C) i 7 D) i 7 E) i 7 7. z = + 4i, z = ( ) + ( + ) i ve z = z ise kçtır? A) 4 B) C) D) E) 8. z = ( ) + ( + ) i krmşık sısı verilior. z = z ise Re( z) kçtır? A) B) C) D) E) = deklemii kökleride biri, şğıdkilerde hgisidir? A) + i B) + i C) i D) i E) + i. z+ 6i= z 4 ise z sısı şğıdkilerde hgisidir? A) 4 + i B) i C) + 4i D) i E) i. Kutupsl koorditlrı, π ol krmşık sı, şğıdkilerde hgisidir? A) + i B) + i C) + i D) + i E). z= + i krmşık sısıı kutupsl zılışı, şğıdkilerde hgisidir? A) cis π B) cis π C) cis π D) cis π E) i cis π π. z = cis ise z sısı kçtır? 8 A) B) C) D) i E) i π 4. z=4cis sısıı krekökleride biri, şğıdkilerde hgisidir? A) i B) + i C) i D) + i E) i 5. cis π sısı şğıdki deklemlerde hgisii bir köküdür? 4 A) z 4 = B) z 6 = C) z 8 = D) z = E) z = YANITLAR.. b = b., / b, c. z/ z/ z ç. z = d. z = r cis (θ + α) r e. r r cis(θ + θ ) / r cis ( θ θ). D, Y, D, D, Y, Y 5. C 6. D 7. B 8. E 9. B. A. A. A. E 4. D 5. C 5 Ortöğretim Mtemtik

63 İKİNCİ BÖLÜM LOGARİTMA Yer kbuğu içideki kırılmlr edeile i olrk ort çık titreşimleri dlglr hâlide ılrk geçtikleri ortmlrı ve erüzeii srsmsı deprem deir. Depremi sıl oluştuğuu, deprem dlglrıı er uvrı içide e şekilde ıldıklrıı, ölçü letleri ve ötemlerii, kıtlrı değerledirilmesii ve deprem ile ilgili diğer koulrı icelee bilim dlı d sismolojidir. Sismologlr, deprem ile ilgili verileri birbiride frklı m eşit derecede öemli iki ölçüm sistemile (büüklük ve şiddet) liz ederler. Büüklük ve şiddet birimlerii krşılştırbilmek içi logritmd rrlırlr. Bu Bölümde Göreceğimiz Koulr.. Üstel foksio ve logritm foksiou Üstel foksio ve grfiği; logritm foksiou ve grfiği; o tblı logritm ve doğl logritm foksiolrı; logritmı temel özellikleri; bir sıı o tblı logritmsıı tm kısmıı bulmk; üstel foksiou ve logritm foksiouu grfiklerii çizimi ile ilgili ugulmlr.. Üslü ve logritmlı deklemler ve eşitsizlikler Üslü ve logritmlı deklemler; logritmlı ve üslü eşitsizlikler. Üite: Logritm 5

64 .. ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONU Bk ıllık %t fiz orıl tırıl A TL ıllık vde soud A + t TL olur. A. ÜSTEL FONKSİYON VE GRAFİĞİ ETKİNLİK işlemii 5 ile lttığımızı bu d üslü ltım deildiğii biliorsuuz. Bezer şekilde ve ( ). ( ). ( ). ( ) işlemleri üslü biçimde sıl ltılır? 5 4 ile hgi işlemii ltıldığıı çıklıız.. pozitif bir gerçek sı ise,, 5 sılrıı köklü biçimde sıl zrsıız? /.,,,, sılrıı küçükte büüğe doğru sıl sırlrsıız? sılrı büüdükçe sılrıı değişimi kousud eler söleebilir? 4. teki örütüde tbdki erie zılırs ıtıız e olur? 5. Defteriize tım kümesi R ve kurlı = 5 ol foksiou grfiğii çizmeğe çlışıız. Buu içi foksio it ol kimi oktlrı koordit sistemide gösteriiz ve bu oktlrd geçe eğrii (klşık) çiziiz. Çizdiğiiz grfikte rrlrk foksiou türüü çıklm çlışıız ve sezilediğiiz bşk özelliklerii rkdşlrıızl trtışıız mddedeki çlışmı = foksiou içi de pıız. İki foksiou sizce bezer ve frklı 5 lrı elerdir? Dh öceki mtemtik dersleriizde, birici d ikici derece poliom foksiolr ve trigoometrik foksiolr gördüüz. Bu bölümde, üstel foksio ve logritm foksiou dediğimiz, birbirlerii ters foksiou ol iki ei foksio dh görecek ve bulrı özelliklerii iceleeceğiz. Üstel foksiou tımlbilmek içi öce, R + ve Q olmk üzere sısıı htırllım. te. Z + ise =. Z ise.... ; = ;. = ise = = ; 4. Z + ise = = ; p p 5. = Q ise = q = q q Z +, p Z q olduğuu biliorsuuz. Bu tımlrd, > olduğud, her rsoel sısı içi sısı d pozitiftir. Eğer irrsoel sı ise her pozitif gerçek sısı içi sısı ie pozitif gerçek sı olur. p zılışıdki, tb; e, üs deir. Dh öceki ıllrd mtemtik dersiizde, üslü ltımlrl ilgili şğıdki kurllrı gördüüz. Bu kurllrd tblr ( ile b), pozitif gerçek sılrdır. Bulrd üsleri gerçek sılr olrk düşüüüz. 54 Ortöğretim Mtemtik

65 A. Tblr eşitse B. Kuvvetler eşitse. kurl : m. = m+ dir. 4. kurl : (. b) m = m. b m dir. m m. kurl : m > ise = m m, 5. kurl : = dir. b m b m < ise = dir. 6. kurl : m ise m = b m = b dir. m. kurl : ise m = m = dir. C. Bir kuvveti kuvveti 7. kurl : ( m ) = m dir., pozitif ve de frklı sbit sı olsu. R ise i pozitif bir gerçek sı olduğuu bilioruz. Bir gerçek sısıı sısı ile eşlee foksiolr tımlbiliriz. Şimdi böle iki örek görelim. ÖRNEKLER. f : R R +, f() = foksiouu grfiğii çizelim. i bzı özel değerleri içi elde edile f() değerleri şğıdki tblod görüldüğü gibidir. = f() 4 4 ( ), m (,) (,4) Koorditlrı bu tblod görüle oktlr d gösterilmiştir. Bu oktlrd geçe eğri, f foksiouu grfiğidir. /. f : R R +, f() = foksiouu grfiğii çizelim. Bu foksio içi şğıdki tblou plım : f() 4 (,4) (,) (, = ) 4 Koorditlrıı bu tblod bulduğumuz oktlr ve bu oktlrd geçe eğri şekildeki gibidir. Bu eğri, f foksiouu grfiğidir. Bu iki örekte gördüğümüz foksiolrd şu souçlrı çıkrbiliriz / ( = d = olsu): `. R içi > dır ( Grfik, ekseii üstüdedir.).., R içi = = dir ( bire bir foksio ).. R + içi = olck şekilde bir R sısı vrdır ( örte foksio ). 4. = dir (Grfik, ekseii (,) koorditlı oktd keser.). TANIM, de frklı sbit pozitif gerçek sı olsu. f: R R +, f() = ise f foksiou, üstel foksio deir.. Üite: Logritm 55

66 f, üstel foksio ise sıfırd frklı her k gerçek sısı içi k.f foksiou d üstel foksiodur. Söz gelimi, R de tımlı ve kurllrı; f() =, g() = 5., h() = ol foksiolrd tb, pozitif ve de frklı sbit gerçek sıdır. Bu foksiolr üstel foksiodur. Kurllrı; α() =, β() = ve γ() = ( ) ol foksiolrd tb, pozitif ve de frklı sbit gerçek sı değildir. Bu foksiolr, üstel foksio değildir. Pozitif gerçek sılrı, gerçek kuvvetlerile ilgili pek çok özelliği gördük. Demek ki üstel foksiou birtkım temel özelliklerii bilmekteiz. Bu özelliklere dikkt ederek üstel foksiou grfiğii çizebiliriz. Üstel Foksiou Bire Bir ve Örte Olmsı ÖRNEKLER. f : R R +, f() = üstel foksiou verilior. = = özelliğii kullrk bu foksiou bire bir olduğuu kıtllım., R olsu. olur. Demek ki f, bire bir foksiodur.. f : R R +, f() = ve g : R R +, g() = foksiolrıı grfiklerii ı koordit sistemide çizelim. = 9 = f() = 9 9 g() = 9 Tblod bulduğumuz değerlere göre grfikleri dki şekilde çizile eğriler olur. 9 f ve g foksiolrıı Bu öreklerde gördüğümüz gibi f() = üstel foksiouu grfiği tb de büük ise şğıd sol trft verile grfiğe, tb ile rsıd ise şğıd sğ trft verile grfiğe bezer. = = > < < 56 < < < > Bu iki şekilde; > ise < <, (öreği < 4 ) < < ise < > öreği 4 > olduğuu gözlemekteiz. Ortöğretim Mtemtik

67 Demek ki tbı de büük ol üstel foksiod, değişkeleri büüdükçe bulrı görütüleri de büümektedir ( rt foksio ). Eğer tb ile rsıd ise bu kez değişkeleri büüdükçe, bulrı görütüleri küçülmektedir ( zl foksio ). İki grfiği ikiside de = ( > ) doğrusuu grfiği keseceği çıktır. Yi pozitif ol her sısı içi = olck şekilde bir gerçek sısı vrdır. Ölese üstel foksio örte foksiodur. ÖRNEKLER.. f : R R +, f() =. b. g : R R +, g() =. foksiolrıı grfiklerii çizelim. f() g() 6 6 =f() (,6) / 6 / d tbı de büük ol (), b de tbı ile rsıd ol üstel foksio verilmiştir. Bulrı gr- fikleri 58. sfd çizildiği gibidir: =g() (,6) 6 (, /) (,) (,) (, /). 6 TL i % bileşik fiz orıl ıld getireceği fizi hespllım. 6 TL % fiz orıl ıld 6. TL fiz getirir.. ılı soud pr = 6 ( TL olur. +, ) = 6 (, ) 6 (,) TL. ıld 6 (, ) TL fiz getirir. Pr, iki ılı soud toplm 6. (,) + 6 (,). (, ) = 6 (, ) ( +,) = 6.(,) (,)TL fiz getirir. Bu işlemleri pıc toplm fizi 56,4 TL buluruz.. %5 bileşik fiz orıl bk tırıl 9 TL i 5 ıld kç TL olcğıı bullım. 9 TL ıl sor fizi ile birlikte; TL olur. = 9.(, 5 ) 9 (,5) TL ıl sor (9 TL bk tırıldıkt ıl sor) 9 (,5) TL olur. Bu şekilde devm edice 9 TL i 5 ıl sor 9 (,5) 5 TL olduğuu görürüz. Bir hesp mkieside bu işlemi prsk 9 (,5) 5 8 TL buluruz.. Üite: Logritm 57

68 Düflüelim Y tll m = (, 5) = (, 8) 5 4 = (, ) 5 = 4 = (, ) = (, 5) Yukrıdki grfikler, bilgisrd mtemtik zılımlrı kullılrk çizilmiş grfiklerdir. Aşğıdki sorulrı bu grfiklerde rrlrk ıtlıız.. > ise tbı büüdükçe = foksiolrıı grfikleride gözlee değişimler elerdir?. < < ise tbı büüdükçe = foksiolrıı grfikleride gözlee değişimler elerdir?. Her > içi kçtır? 4. Her >, içi = foksiou hgi tür foksiodur?.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki ifdeleri tblrı sl sılr ol üslü sılr şeklide zıız. 4. b. 8 c. 796 ç. 687 / 9 d e. f. ( ) / g Aşğıdki ifdeleri, kök işreti kullmd pozitif üslü şekilde zıız b. c ç. ( 8 ) 5. Aşğıdki ifdeleri, köklü şekilde egtif üs kullmd zıız.. b. c. ç. b b 7 5 b 5 c5 b 4. Kurllrı şğıd verile f foksiolrıı üstel foksio olup olmdığıı çıklıız.. f() = 5 b. f() = c. f() = 4 ç. f() = ( 4) d. f() = si e. f() = 5. f() =.b üstel foksiou verilior :. f() = 64 b. f() = 9 c. f(/) = 8 ç. f (4) = f() = 4 f() = 5 f( /) = f () = ise ve b pozitif gerçek sılrıı buluuz. f() kurlıı ile b erie bulduğuuz sılrı kork zıız Ortöğretim Mtemtik

69 6. f() = 6. ise:. f( + ) : f() b. f( + ) : f( ) c. f( + ) f() değerlerii hesplıız. 7. f() = 4 üstel foksiou verilior.. Aşğıdki tblou tmmlıız. f()????? b. Koorditlrıı tblod bulduğuuz oktlrı litik düzlemde gösteriiz. c. f foksiouu grfiğii çiziiz. ç. f i tım ve görütü kümesii zıız. f, bire bir ve örte midir? d. Aı sistemde, f foksiouu grfiğii çiziiz. Bu foksiou tım ve görütü kümelerii zıız. e. f ve f, rt foksiolr mıdır? soruu, f() = üstel foksiou içi çözüüz. f ve f zl foksiolr mıdır? 4 9. f() = 5 ve g() = 5 ise f ve g foksiolrıı grfiklerii ı koordit sistemide çiziiz. Bu iki grfiği ekseie göre simetrik olup olmdığıı çıklıız.. Aşğıdki deklemleri çözüm kümelerii zıız.. = b. 5 = c. = ç. 5 = 5 + d. 9 = e. () = 7 f. (4) = 6 g. 5 = ğ. h. ı = 5 = 8 i. = ( 5 ) =. Aşğıdki deklemlerde hgisii çözüm kümesi dir? A) 5 = B) 5 = 5 C) = 9 D) 5 = 5 + E) 5.5 = 5. %5 bileşik fiz orıl bk tırıl 6 TL, ıld kç TL fiz getirir?. % 8 bileşik fiz orıl bk tırıl TL 5 ıl sor fizi ile birlikte kç TL olur? 4. f() = 5. ve f 5 () =, f = b ise + b kçtır? 4 A) 4 B) C) D) E) JOHN NAPIER (JON NEPER); (55-67) Amtör bir mtemtikçidir. Sısl hesplmlrı kollştırck ötem bulmk içi uğrştı. Npier cetvelleri die bilie, üzerie rkmlr zılı küçük deekler rdımıl pıl bir çrpm ve bölme ötemi geliştirdi.,, şeklideki ritmetik dizi ile bu krşılık gele,,, biçimideki geometrik dizi rsıdki ilişkii gördü. 64 ılıd zdığı Logritm Kurllrıı Tımı dlı eseride ritmetik dizi ile geometrik dizii krşılştırılmsıd logritm kvrmı ulştı. Üite: Logritm 59

70 B. LOGARİTMA FONKSİYONU VE GRAFİĞİ ETKİNLİK. Hgi tür foksiolrı ters foksiou vrdır? Ters foksiou ol bir foksio tımlıız.. f : [, ) [, ), f() = foksiou verilmiş olsu. =. f foksiuu bire bir ve örte foksio olup olmdığıı rştırıız. = b. = eşitliğide i türüde bulm çlışıız. f () kurlıı zıız. c. f foksiouu tım ve değer kümelerii söleiiz. ç. Ydki şekilde f foksiouu grfiği çizilmiştir. f foksiouu grfiğii de ie bu şekilde değişik rekte çiziiz. d. f ve f foksiolrıı grfikleri hgi doğru göre simetrik olur? e. Üstel foksiou grfiğii biliorsuuz. Bu foksiou ters foksiouu grfiğii sıl çizersiiz. Bire bir ve örte ol foksiolrı, ters foksiolrıı vr olduğuu bilioruz. Üstel foksiou bire bir ve örte olduğuu gördük. O hâlde bu foksiou ters foksiou vrdır. Öreği f : R R +, f() = foksiou bire bir ve örte foksio olduğud buu ters foksiou vrdır. =f()= f ve f foksiolrıı grfikleri d çizildiği gibidir. =f () = TANIM f : R R + ; f ( ) = üstel foksiouu ters foksiou tblı logritm foksiou deir. tblı logritm foksiou log ile gösterilir. Bu tım göre; f: R R + ; f ( ) = üstel foksio ise f : R + R, f ( ) = log foksiou tblı logritm foksioudur. log zılışıı "logritm tbıd " die okuruz. Bu tım göre öreği; f() = ise f () = log tir. Ölese, f() = = 8 ve f (8) = log 8 = tür. 6 Ortöğretim Mtemtik

71 Görüldüğü gibi = 8 olduğud log 8 = olmktdır. Bezer şekilde; = 4 olduğud log 4 =, = 9 olduğud log 9 =, 7 = 4 olduğud log7 4 =, 5 = olduğud log5 5 5 =, R (...) f R + =, olduğud log (,) = 5 = olduğud log =,, 5 log =t f = t 7 = 7 olduğud log 7= dir. 7 log (...) Geel olrk; t = log = t olur (dki şekil). Özel olrk; = olduğud log = ; = olduğud log = dır. Aşğıd f ( ) = foksiou ile f ( ) = log foksiouu grfiği bu foksiolrı kimi oktlrıd rrlılrk çizilmiştir. = b =c =4 b =log / b f : R R + ; f() = / =4 c= b f : R + R; f () = log = ve = log foksiolrıı grfikleri > ve < < içi şğıd çizildiği gibi olur. = = = = > = log < < = log. Üite: Logritm 6

72 Bu grfiklerde rrlrk şğıdki eşitsizlikleri zbiliriz.. > ise; < < < log < < log < < log < log dir. > ike log foksiou rt mıdır?. < < ise; < < < log > > log < < log > log < < ike log foksiou zl mıdır?. log 5 > ; log (,75) < ; log / 7 < ; log /5 (,4) > dır. ÖZELLİK < < < log. log < dır. ÖRNEKLER. f() = log ( + 5) + log ( 4) ise f foksiouu tım kümesii bullım. f foksiouu tım kümesi, + 5 ve 4 ifdelerii ikisii de pozitif p gerçek sılrıı kümesidir. Bu gerçek sılrı bulbilmek içi bulrı işret tblosuu plım: > 4 > Tblod e sğdki sütud, bu ifdeleri ikisii de pozitif olduğuu görüorsuuz. Verile foksiou tım kümesi, (, ) dır.. f() = log 5 ( 6) ise f foksiouu tım kümesii ve ters foksiouu bullım. f foksiou 6 iki terimlisii pozitif p gerçek sılrı içi tımlıdır. 6 > > olduğud verile foksiou tım kümesi (, ) dır. Her, (, ) içi 6 6 log 5 ( 6) log 5 ( 6) olduğud; f, bire bir foksiodur. Arıc, Her t R içi f() = log 5 ( 6) = t 6 = 5 = 6+ 5 t t ( ) + = 6 5 t + = 5 olur. > i (, ) dır. t 6 Ortöğretim Mtemtik

73 Demek ki f, örte foksiodur. Yi, f : (, ) R, f() = log 5 ( 6) foksiou bire bir ve örte foksiodur. f, bire bir ve örte olduğud ters foksiou vrdır. Şimdi f () kurlıı bullım.. = f(), = f (). = log 5 ( 6) 6 = 5 = (6 + 5 ) = f (). f () = (6 + 5 ), f : R (, ), f () = (6 + 5 ) tir.. f() = log 5 [ + log ( )] foksiouu tım kümesii bullım. Verile foksio + log ( ) > içi tımlıdır. + log ( ) > log ( ) > log ( ) > log ( =log ) > ( tblı logritm foksiou mooto rt foksiodur.) > + = 5 Verile foksiou tım kümesi, 5, dır. 4. f : R + R, f() = log 5 ; g : R R +, g() = 5 foksiolrı verilmiş olsu. f ile g foksiolrıı grfiklerii ı koordit sistemide çizelim. Bu iki grfik rsıdki ilişkii çıkllım. Bu foksiolrı değişim tblosuu plım. Bu tblolrd bulduğumuz oktlrd rrlrk grfikleri çizelim. =g()= = f() = log 5 =f()=log 5 /5 g() = /5 f ile g foksiolrı birbirlerii ters foksiolrıdır. Bulrı grfikleri, = doğrusu göre simetriktir. 5. f : R + R, f() = log /5 ; g : R R +, g() = 5 foksiolrı verilior. f ile g foksiolrıı grfiklerii ı koordit sistemide çizelim. Bu iki grfik rsıdki ilişkii çıkllım.. Üite: Logritm 6

74 Bu iki foksiou grfiğii şğıdki tblolrd bulduğumuz bzı oktlrd rrlrk çizeriz. Bu grfikler şğıdki gibidir. =g()=( ) f() = log /5 = 5 5 /5 5 5 f( ) l f ve g foksiolrı, birbirlerii ters foksiolrıdır. Bulrı grfikleri, çıort göre simetriktir. g() = ( ) 5 6. f : R R +, f() = 5. üstel foksiouu ters foksiouu bullım. f() = 5. = 5.. ( ) = 5. 9 üstel foksiouu, bire bir ve örte foksio olduğuu bilioruz. Ölese buu ters foksiou vrdır. Şimdi bu foksiou bullım.. = f() = 5. = 5. 9 (Bu eşitlikte erie, erie zlım.). = f() = 5. 9, = f (). = 9 = log = f () f : R R +, f() = 5. f : R + R, f () = log 9 5 olur. 7. f() = log ( 7 + ) ise f foksiouu tım kümesii bullım. Logritm foksioud tb pozitif ve de frklı sbit bir gerçek sı olcğıd f i tım kümesi { } R >,, 7 + > kümesidir Yukrıdki işret tblosud görüldüğü gibi < içi ve 7 + ifdeleri pozitiftir. Arıc olur. Ölese f foksiouu tım kümesi (, ) {} dir. 8. f() = 5 log ( ) + 7 ise f () kurlıı bullım. 5 + > 7 + > 64 Ortöğretim Mtemtik

75 . = f() = 5 log ( ) + 7 (Bu eşitlikte erie, erie zlım.). = f() = 5 log ( ) + 7 [ = f () = f ()]. 7 5 = log ( ) = ( 7)/ 5 = + ( 7)/ 5 = ( ) f () tir. 9. = log ve = log foksiolrıı grfiklerii ı koordit sistemide çizelim. < m < < ise log m ile log m ve log ile log sılrıı krşılştırlım. log log log Bu tblodki değerlere göre grfikler, dki şekilde çizildiği gibi olur. Bu grfiklere göre; < m < ise log m < log m <, < ise < log < log dir. log log log log m log m m = log = log. = log ( ) foksiouu grfiğii çizelim. = log ( ) foksiou, > i, > içi tımlıdır. Aşğıdki tblod bu foksiou grfiğie it bzı oktlr zılmıştır. Grfik bu oktlrd geçe, dki eğri olur log 5 [ + log ( 7)] = deklemii çözüm kümesii bullım. log 5 [ + log ( 7)] = + log ( 7) = 5 = 5 log ( 7) = 5 = 4 7 = 4 = 6 = = Verile deklemi çözüm kümesi {} olur.. Richter (Rihter) ölçeği ile depremleri şiddetii ölçmek içi R=log + B şeklide bir T formül kullılır. Bu formülde mikrometre türüde bir deprem dlgsıı geliğii, T sie türüde bu dlgı gerçekleşme süresii (periot) gösterir. B de depremi merkezi ve kdedildiği rsthe ile ilgili bir sbittir. B = 4, içi = mikrometre ve T =,5 sie ile kdedile depremi şiddetii hespllım. R=log + B, =, T =,5, B = 4, T R=log + 4, = log () + 4, (Bir hesp mkiesi rdımıl log,79 buluruz., 5,79 + 4, 6,79 6, olur.. Üite: Logritm 65

76 .. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki eşitlikleri, logritmlı eşitlikler şeklide zıız.. 5 = 5 b. 5 = c. 6 = ç. 9 = ( ) = d. 8 e f. = b g. 5 b =. Aşğıdki logritmlı eşitlikleri üslü eşitliklere çeviriiz.. log 5 5 = b. log 7 49 = c. log / 9 = ç. log 7 = d. log / = 4 e. log = 5 f. log = 7 g. log = b 6. f ( ) = ve f ( ) = log foksiolrıı grfiklerii ı koordit sistemide çiziiz. Bulrı tım ve görütü kümelerii zıız. Bu foksiolr rt mıdır? ( ) = 4.. soruu f () = ve f () = log / foksiolrı içi de ıtlıız. 5.. g ( ) = log ( ) b. h ( ) = log ( + ) foksiolrıı tım kümelerii buluuz ve grfiklerii çiziiz. 6. Aşğıdki ifdelerde oktlı erlere, < d > işretleride ugu olıı kouuz.. log 5 (,4)... b. log, ( 4 )... c. log, ( 5 ) ç. log 7 d. log 5... e. log 5 [ log ] log 5, log 5 7, log 5 (,), log 5 b. log,, log 5,, log, (,), log, 7 9 sılrıı küçükte büüğe doğru sırlıız. 8. Kurllrı şğıd verile f foksiolrıı tım kümelerii ( tımlı olduklrı tüm gerçek sılrı kümesi ) buluuz.. f() = log 5 ( ) b. f() = log ( ) c. f() = log 4 ( 6) ç. f() = log /5 ( + ) log / (5 ) d. f() = log ( ) log /5 ( 5) e. f() = log ( ) + log ( 4) 9. Kurllrı şğıd verile f foksiolrıı tım kümelerii buluuz.. f() = log [ log ] b. f() = log / [ log / ] c. f() = log [ log ( ) ] ç. f() = log [ log / ( ) ]. log 5 < log ise şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) < < B) < < 5 C) < < 5 D) < < E) < 66 Ortöğretim Mtemtik

77 C. ON TABANLI LOGARİTMA VE DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONLARI ETKİNLİK. f() = foksiou üstel foksiodur. Bu foksiod;. hgi gerçek sılr olmz? b. f () = log foksiou tblı logritm foksioudur. Bu foksiod tb hgi sılr olbilir?.. 5 sısıı tbıdki logritmsı kçtır? b. Z ise sısıı tbıdki logritmsıı tm sı olup olmdığıı çıklıız... Yştımızd kulldığımız tm sılr hgi tbd zılır? b. Bir tm sıı d bir odlık kesri bilimsel gösterimle zılışıı çıklıız. Böle zılmış ol bir sı 5, 6. 6 olsu. Bu sıı tbıdki logritmsıı buluuz. 4. Bilgisrıızd rrlrk e ile gösterile sıı rştırıız. Tbı Ol Logritm Foksiou Doğl sılrı, tm sılrı, oluk sı düzeide zrk iceledik. İslrı birbirlerile ol iletişimleride, ticrette, sosl şmı diğer llrıd ve mtemtiği mühedislik gibi ugulmlı dllrıd kullıl sılr, oluk düzede zılmış tm sılr d bu tm sılrl oluşturul kesirli sılrdır. Logritm d mtemtiği ugulışıd rrı ol öemli bir foksiodur. Bu edele tblı logritm ugulmd sık sık gerek duulbilir. Öreği, "ıllık %8 fizle bk tırıl 5 TL i ıl sor fizi ile birlikte kç TL olcğıı" ifde etmee çlışlım: 5 TL ıl sor olur. Yi bu pr ıl soud,8 = 5.(, 8 ) TL ktı olur.. ıl soud 5. (,8) TL ie,8 ktı çıkcğı içi bu pr 5. (,8) TL olur. Bu şekilde devm edilice bk tırıl pr. ılı soud 5 (,8) TL e çıkr. Buu klşık kç TL olduğuu hesplmk istediğimizde tblı logritm foksioud rrlbiliriz. tblı logritm foksiou içi; log = t = t olduğuu bilioruz. ÖRNEK log, log, log (,), log (,) değerlerii bullım. = olduğud log =, = 4 olduğud log = 4,, = olduğud log, =,, = olduğud log, = dir log erie log zıldığı d olur. Bir kısım doğl sılrı içi log sılrı hesplmıştır ( de e dek sılrı logritmlrıı İgiliz mtemtikçi Neper (Neper) hesplmıştır. Bu edele log foksiou, Neper logritmsı d deir.). Bu sılr, bugü kullıl hesp mkieleride öce, logritm cetvelleri dı ltıd kitpçık hâlide ımlmış, hesplr pılırke isteile logritm değerleri bu kitpçıkt bulurk kullılmıştır. Ack güümüzde logritm eteekli hesp mkielerii kullrk istediğimiz pozitif gerçek sılrı logritmlrıı (klşık d ols) kolc bulbilmekteiz.. Üite: Logritm 67

78 Aşğıdki logritm değerlerii doğruluğuu bir hesp mkiesi rdımıl kotrol ediiz. log 847 =,98, log 86,7 =,949, log,4 =,859 7 log =, 76, log 7 =, 9956, log =, ( ) ÖRNEK. < log > b. < < log < c. Z ve = ise log = olduğuu gösterelim.. < < log < log < log b. < < < < log < log log < c. Z, = ise log = log = dir. Doğl Logritm Foksiou Şimdi, bir özel logritm foksioud dh söz edeceğiz. Bu logritm foksiouu tbı ol sıı tıbilmek içi öce şğıdki e, e, e,..., e ( Z + ) sılrıı düşüüüz. e = +! e = + +!! e = + + +!!! e4 = !!! 4! e 4 = !!! 4! 5! e = !!! 4! 5!! Burd; e =, e =,5, e =, 6, e 4,78, e 5,766 olur. Listee devm ederek e 6, e 7, e 8,... sılrıı klşık hesplbilirsiiz. Bu listede, sısıı büüterek e toplmıı hespldıkç, dim,,7 ile,8 rsıd kl souçlr elde ederiz. Bu souçlr, e ile gösterile bir irrsoel sı klş souçlrdır. e sısı mtemtikte ve diğer bilim dllrıı bir kısmıd sıkç kullılır. e sısıı irrsoel olduğuu kıtlmk, üiversitemtemtiğii kousudur. Siz, koulrımızd gerekli olurs, e içi bir klşık değer olrk,7 d,78 sılrıd birii lbilirsiiz. = e Tbı e ol logritm foksiou, doğl logritm foksiou dioruz. Doğl logritm foksiouu l ile gösteririz. e = Demek ki l = log e tir. O hâlde, = l f() = e f () = l Bu foksiolrı grfikleri, dki şekilde çizildiği gibidir. tir. e 68 Ortöğretim Mtemtik

79 ÖRNEK Aşğıdki eşitliklerde i bullım.. e = b. le + = c. l( ) =. e = ise = I = I, + + b. Ie = ise e =e += =, c. I( ) = ise = e = + e olur... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki eşitlikleri logritmlı eşitlikler şeklide zıız.. 4 = b. =, c. e = ç. e = b. Aşğıdki eşitliklerde sılrıı buluuz.. log, = b. log = c. log =. Aşğıdki eşitliklerde, sılrıı e türüde buluuz.. l ( ) = b. l = 8 c. l ( + ) = ç. l = d. l = e. l ( e) = e Ç. LOGARİTMANIN TEMEL ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK. 5 =, 5 = 5 olduğu göre log 5 ve log 5 5 ifdelerii eşitlerii zıız. Bu eşitlikler 5 erie bşk pozitif sılr zılıc d doğru mudur?. f() = 5 foksiou içi f ()=log 5, (f o f ) () = ve (f o f) () = olduğuu biliorsuuz. Bu eşitlikleri sol ıı üslü ve logritmlı şekilde zm çlışıız. Yzdığıız eşitlikleri hgi sılrı içi doğru olcğıı rkdşlrıızl trtışıız.. Sğd lt lt zıl ilk iki eşitliği trf trf çrpıız ve bulcğıız eşitliği logritmlı zıız. İkici gruptki eşitlikleri lt 5 = = log 5 lt toplıız. Sold ve sğd elde ettiğiiz logritmlı eşitlikler t rsıd bir bğıtı bulm çlışıız. ` 5 = b ` + t= log b 5 4. te bulduğuuz bğıtıd log 5 ( b) = log 5 + log 5 b eşitliğii elde etmee çlışıız.. ÖZELLİK > ve olsu. log = dir. = olduğud logritm tımı göre log = dir. Öreği; log =, log 7 7 =, log /5 5 = olur.. ÖZELLİK > ve olsu. log = dır.. Üite: Logritm 69

80 > ve olsu. = olduğud log = dır. Öreği; log 5 =, log =, log 5/ = olur.. ÖZELLİK ile b pozitif sılr ve olsu. = b log b= tir. Bu özelliği logritmı tımı olduğuu gördük. ÖRNEK Aşğıdki üslü eşitlikleri logritmlı eşitlikler, logritmlı eşitlikleri de üslü eşitlikler şeklide zlım = b. log c. log 5 b= 6 = ç. log 7 = 5. 5 log b. log 5 = 5 = 5b= b= = c. log 6 = 6 = = ç. log 7 = 7 = / = tür. 4. ÖZELLİK >, ve R olsu. log = tir. f : R R +, f() = ( >, ) ise f : R + R, f () = log olduğuu bilioruz. Bu göre; (f o f)() = f [f()] = i log [f()] = log = olur. 5. ÖZELLİK > ve ise log = tir. > ve olsu. f : R R +, f() = ve f : R + R, f () = log foksiolrı içi (f o f ) () = f[f ()] = i, f () = log = elde ederiz. ÖRNEKLER log log 5 log 6 6, /, ( ) b. log 5 5, log 4, log 5 / 9 işlemlerii plım. ( ) log log log log 5 / / log log / =, = = 5, ( 6) 6 6 [ 6 6 = = ] = = log5 5 b. = 4 / 4 /, log = log =, log = log =. f : R + R, f() = log 5 () ise f foksiouu bullım. f, bire bir ve örte olduğud ters foksiou vrdır. f ( ) = = f() = log 5( ) 5 = = 5 f : R R f + ( ) 5, = olur. 7 Ortöğretim Mtemtik

81 . log 5 ( 4) = log 5 ( ) deklemii çözüm kümesii bullım. log 5( 4 ) = log ( 5 + ) 4 = +, 4> = 4+ + > = 7 7 sısı içi 4 ve + So örekte şğıdki özelliği çıkrbiliriz. 6. ÖZELLİK ifdeleri pozitif olur. Ç = {7} dir. > ve > ise log = log = dir. Bu özellik, logritm foksiouu bire bir oluşuu soucudur. ÖRNEK log ( ) = log ( ) deklemii çözüm kümesii bullım. log ( ) = log ( ), > = > + = ( ) ( + ) = =, = = içi, < olur. Ç dir. = içi, > ve > dır. Ç = { } olur. ÖRNEK log 8, log 6, log 8 değerlerii hespllım ve souçlr rsıdki ilişkii gözlemleelim. log 8 = = 8 = =, log 6 = b b = 6 = 4 b = 4, log 8 = c c = 8 = 7 c = =. 4 = 7 = 8 ve + 4 = 7 i log 8 + log 6 = log 8 = log (8. 6) dır. Siz de bir hesp mkieside rrlrk dki tblou dolduruuz. Bu tblod, her stırd, sılr rsıdki ilişkii bulm çlışıız. log = log 5 = log = log = log 8 = log 7 = log 6 = log 4 = log 77 = 7. ÖZELLİK > ve > ise log () = log + log dir. Bu özelliği doğruluğuu şğıdki gibi kıtlrız. > ve > olduğud p = ve q = olck şekilde, p ve q gerçek sılrı vrdır. Bu durumd p = log p = log p = log ve q = log q = log q = log olur (Üstel foksio örtedir.). Bu edele; = p. q = p+q log () = log p+q = p + q = log + log dir. (4. özellik). Üite: Logritm 7

82 ÖRNEK log 5 ve log ( 9 5c) ifdelerii logritmlrı toplmı şeklide zlım. log (5) = log (.4.) = log + log 4 + log = + log 4 + log log ( 9 5 c) = log + log 5+ logc= +log 5+ logc, (c > ) ÖRNEK log 56, log, log 8 değerleri rsıdki ilişkii bulm çlışlım. log 56 = = 56 = 8 = 8, log = b b = = 5 = b = 5, log 8 = c c = 8 = c = 8 5 = i log 56 log = log 8 dir. Arıc 56 = 8 olduğu içi ` 56 log 8 = log = log 56 log eşitliği doğrudur. Siz de bir hesp mkieside rrlrk dki tblou dolduruuz. Bu tblod, her stırd sılr rsıdki ilişkii bulm çlışıız. log = log 6 = log = 8 log 8 = log = log = 8. ÖZELLİK > ve > ise log = log log dir. log 5 = log 9 = log 5 = 9 Bu özelliği doğruluğuu şğıdki gibi kıtlrız. = t = t. log = log( t. ) = log t + log ( 7. özellik) log t= log log log = log log ÖRNEK log c d ifdesii logritmlrı toplmı şeklide zlım. c log = log (c) log d = log + log c log d = + log c log d (c >, d > ) d ÖRNEK log 5 ve log 5 sılrı rsıd bir bğıtı bulm çlışlım. log 5 = = 5 = 5 ve log 5 = b b = 5 tir. 5 = = ( b ) olur. Bu göre = b i log 5 = log 5 = log 5 tir. 9. ÖZELLİK > ve m R ise log m = m.log tir. 7 Ortöğretim Mtemtik

83 Bu özelliği doğruluğuu kıtllım. > olduğud = p olck şekilde p gerçek sısı vrdır. = p ise log = p dir. log m = log ( p ) m = log mp = mp = m log m m p pozitif gerçek sı ise = log p/m p p log = olur. m log Bu özelliğe göre, ( ) + l o g b l o g c olur. b log 5 log b5. c 5 logb5 log c 5 = = = c 5 ÖRNEK log ile log 5 ve log 5 sılrı rsıd bir bğıtı bulm çlışlım. log = =, log 5 = b 5 b =, log 5 = c 5 c = = = 5 b = (5 c ) = 5 c b log b =. c = log = 5 olur. c log. ÖZELLİK (Tb değiştirme formülü) log c b >, c > ve b ise log c = log b dır. b 5 5 Bu özelliği de şğıdki gibi kıtlrız. log c = c = log b c = log b logb c = log b = logb. c = b log b = log b. log b = dir. log b. log b. log b c. log c d = log d (d > ) dir.. log c = log c = log c ( R ve ) dir. log ÖRNEK log 5 7 log 5 7 ile log sılrı rsıd bir bğıtı bullım. log 7.log 7 = = = log olur. log 5.log ÖZELLİK ile b pozitif sılr ve olsu. Her m ve sıfırd frklı her gerçek sısı içi log m m = log tir. Bu özelliği tb değiştirme formülüde rrlrk şğıdki gibi kıtlrız. log = log log log log = m m log =. = m m m log. Üite: Logritm 7

84 ÖRNEK Aşğıdki işlemleri plım. log. log 5. log /. log b. 5 8 log c. log 8 ç. log b. log 5 / 5 /. log 5. log. log 8 = log / 5. log log log5 7 + = log5+ log7 = log ( 5. 7) = log 5 log / / 5 c. log 8 = log = log = =, ç. + + log + log 5+ log log 5 log 5 log log 7 + log = /... log log. log / 5 = 4 5 = log 5 log 5 log = log ( 57.. ) =.. ALIŞTIRMALAR 4. Aşğıdki logritm değerlerii hesplıız.. log 6 b. log 8 c. log 5 (,) ç. log (,5) d. log /4 e. log, 5 f. log,5 g. log (,) ğ. log () h. log,5 8. Aşğıdki ifdeleri eşitlerii, eşitliği sğı zıız. c. I = b. I = c. I e = ç. l e e = d. (l e) = e. Aşğıdki ifdeleri, bir tek logritm şeklide zıız.. l l l b. l 8 l 6 c. l 5 + l 6 e ç. l 4 l 5 d. l e l 4e e. I I e e + e 4. Aşğıdki ifdeleri eşitlerii e i kullmd lız türüde zıız.. l e b. e l c. e l ç. l e d. ( e ) l 5. Aşğıdki eşitliklerde, iki ı d doğl logritmsıı lrk sılrıı buluuz.. e = b. e = 5 c. e =9 ç. e + = 5 d. e =9 6. Aşğıdki eşitlikleri sğl sılrıı buluuz.. log = log (,) b. log 5 ( 4) = log 5 (4) c. log 5 = log 5 ç. log ( ) = log (+5) d. log 5 ( ) = log 5 ( ) e. log / (+) = log / ( + ) 7. f ( ) = l [ + l ( ) ] kurlıl tımlı f foksiouu tımlı olduğu tüm gerçek sılrıı kümesii buluuz. 74 Ortöğretim Mtemtik

85 8. Aşğıdki ifdeleri, logritmlrı toplmı d frkı şeklide zıız (Bu logritmlrd istediğiiz bir tbı düşüebilirsiiz.). ( ) 4. log. bc b. log. b 5. c c. log. b ç. log. b d c cd. 9. Aşğıdki eşitliklerde, i türüde buluuz.. log = log b. log log = log c. log = log 5 log ç. log + log = log d. log = (log4 + log ) e. log log = log π + log r. Aşğıdki sılrı hesplıız. log 5. b. 5 / c. ç. ( 5) log 5 log / d. (log+ log 5) e. ( ) log f. g. 7 (log log 5). Aşğıdki ifdeleri soucuu bir rsoel sı d bir rsoel sıı logritmsı şeklide hesplıız.. log 4. log 7 b. + c. + log log log b log b 4 ç. log 5 9. log 8. log 5 d. log / 49. log 9 5. log 7 e log b = b log olduğuu gösteriiz. (log foksiouu, istediğiiz tbd düşüebilirsiiz.). log 9 log = ise kçtır? 9 8 A) B) 8 C) D) E) log 5 ( ). log 5 = ise kçtır? A) B) C) D) E) 5. f() = I + I(4 ) foksiouu tım kümeside kç te tm sı buluur? A) 4 B) C) D) E) 6. log 5 (I) = ise kçtır? A) e 5 B) e C) e D) 5e E) 5 e 7. Aşğıdki eşitliklerde, sılrıı e türüde buluuz.. l = 8 b. l = c. l e = ç. l ( e) = 8. Aşğıdki eşitliklerde sısıı ( d sılrıı) buluuz.. log = b. log (si)= c. log (log )= ç. log 5 (log / ) = d. log log = e. log / (si) = f. log 4 = g. log (log ) = ğ. log 5 = + + log 6 log 6 log Üite: Logritm 75 b

86 D. BİR SAYININ ON TABANLI LOGARİTMASININ TAM KISMINI BULMAK ETKİNLİK. tblı logritm foksiou mooto rt ise hgi sılr olbilir? Ölese tblı logritm foksiouu mooto rt mı mooto zl mı olduğuu çıklıız.. < ise log sısı hgi iki tm sı rsıd buluur? log sısıı tm (sı) kısmıı söleiiz.. log 87,4 sısıı tm kısmıı bulmk içi (hesp mkiesi kullmd) e prsıız? < < ise log < log olduğuu bilioruz (rt foksio). O hâlde, k Z olmk üzere, k < k+ k log < k + olur. Demek ki log = k + m, m < dir. Diğer bir deişle log sısıı tm kısmı k dir. O hâlde, pozitif bir sısıı logritmsıı tm kısmıı bulmk içi ukrıd çerçeveli ifdedeki k tm sısıı belirlemek gerekli ve eterlidir. Aşğıdki şekli ve bu bğlı olrk verile örekleri iceleiiz. =log 4 m m m m ,74 4,6 75, ,74 < olduğud log 8,74 =, m, k =, 4,6 < olduğud log 4,6 =, m, k =, 75,4< olduğud log 75,4 =, m, k =, 8 < 4 olduğud log 8 =, m, k = olur ( < m < ). Bu öreklerdeki gözlemlerimiz şulrdır: 8,74 sısıd tm kısım bsmklı ve log 8,74 sısıı tm kısmı, 4,6 sısıd tm kısım bsmklı ve log 4,6 sısıı tm kısmı, 75,4 sısıd tm kısım bsmklı ve log 75,4 sısıı tm kısmı, 8 sısıd tm kısım 4 bsmklı ve log 8 sısıı tm kısmı tür. Bu öreklerde de büük bir sıı logritmsıı tm kısmı, bu sıı tm kısmıı bsmk sısı ile ilişkili görülmektedir. Geel olrk; k < k+ k log < k +, log = k + m, m < olduğuu bilioruz. Eğer k ise i tm kısmı k + bsmklı olur. Arıc log sısıı tm kısmı k dir. 76 Ortöğretim Mtemtik

87 O hâlde de büük bir sıı oluk logritmsıı tm kısmı, bu sıı tm sı kısmıı bsmk sısıı eksiğidir. de büük ol sılrı içi ptığımız bu icelemee bezer bir icelemei ile rsıdki sılr içi de plım. Aşğıdki şekilde bu tür örekler görüorsuuz.,7,45,m , m, m, m ,6, =log <,56 < olduğud log,56 =, m, k =, (log,56 =,58) <,6 < olduğud log,6 =, m, k =, (log,6 =,447) <,45 < olduğud log,45 =, m, k =, (log,45 =,95) 4 <,7 < olduğud log,7 =, m, k = (log,7 =,549) Bu öreklerdeki gözlemlerimiz şulrdır.,56 sısıd virgülü sğıdki ilk rkm d frklıdır. log,56 sısıı tm kısmı dır.,6 sısıd virgülü sğıdki ilk rkmı tedir. log,6 sısıı tm kısmı dir.,45 sısıd virgülü sğıdki ilk lrı sısı dir. log,45 sısıı tm kısmı dir.,7 sısıd virgülü sğıdki lrı sısı tür. log,7 sısıı tm kısmı tür. Bu öreklerde ile rsıdki bir sıı logritmsıı tm kısmı, bu sıı odlık zılışıd virgülü sğıdki rdışık ilk sıfırlrı sısı ile ilişkili görülmektedir. k pozitif bir tm sı ve sıfır ise; k < k k log < k, log = k, m; k < k, m k olduğuu bilioruz. Burd log sısıı tm kısmı k dir. Arıc, i odlık kesir şeklideki zılışıd virgülü sğıdki ilk sıfırlrı sısı k dir. O hâlde ile rsıdki bir sıı oluk logritmsıı tm kısmı, bu sıı odlık kesir şeklideki zılışıd virgülü sğıdki ilk sıfırlrı sısıı ile çrpımıdır. Öreği; 5 <,75 4 Yi tm kısım 4 tür. ÖZELLİK olduğud log,75 = 4,m; 5 < ( 4,m) 4 tür. Tbı de büük ol logritm foksiou mooto rt, tbı ile rsıd ol logritm foksiou mooto zldır.. Üite: Logritm 77

88 . > ise < b < c log b < log c, b. < < ise < b < c log b > log c olduğuu göstermeliiz. b < b < c ise < < dir. c b b > ise log < ve < < ise log > olduğuu bilioruz. c c b b. >, < b < c < < log < log b log c < log b < log c c c b b. < <, < b < c < < log > log b log c > log b > log c c ÖRNEKLER. 7 4 sısı kç bsmklıdır? log 7 4 = 4.log 7 = 4. (,845) =,84 Tm kısım olduğu göre 7 4 sısı 4 bsmklıdır.. log 4,5867 =,665 ise log ve log,45867 değerlerii bullım. log = log (4, ) = log 4, log 6 =, = 6,665 log,45867 = log (4, ) = log 4, log 4 TANIM =,665 4 =, 85 log = ise sısı sısıı tilogritmsı deir. log 4 =,4969 olduğu göre,4969 sısıı tilogritmsı 4 tür. ÖRNEKLER..,4698 b.,76 sılrıı tilogritmlrıı bullım.. log =,4698 ise sısıı bulcğız (k = olduğud sısıı tm kısmı iki bsmklıdır.). log =,4698 =,4698 olduğuu biliorsuuz. Bir hesp mkieside bu sıı hesplrız. Buu içi zr, tuşu bsrız; sor,4698 zr ve = tuşu bsrız. Ekrd sısıı görürüz (Bu odlık sıd virgül erie okt komuştur.). Demek ki 9,5 tir. b. log =,76 ise sısıı bulcğız ( sısıı tm kısmı dört bsmklı doğl sıdır, ede? ). log =,76 =,76 sısıı ie bir hesp mkieside hesplrız. 567, olur..,86 sısıı tilogritmsıı bullım. log =,86 =,86, elde ederiz. 78 Ortöğretim Mtemtik

89 . 999 ılıd, ülkemizde, elektriği kilovt st ücreti her % 4 rtırılmıştır. Bu göre elektriği kilovt stii fitı 999 ılıd üzde kç rtmıştır? Elektriği kilovt stii fitı, ock ı bşıd birim ise; birici ı soud bşıdki fitı,4 ü =.(,4) =,4, ikici ı soud bu ı bşıdki fitı,4 ü = (,4). (,4) = (,4), üçücü ı soud bu ı bşıdki fitı,4 ü = (.4). (,4) = (,4) olur. Bu oll devm edilice rlık ı soud söz kousu fit (,4) olur. Hesp mkiesi rdımıl (,4),6 olduğuu kolc görebiliriz. Demek ki söz kousu ücret 999 ılıd klşık % 6 rtmıştır. 4. % 8 bileşik fiz orıl bk tırıl 4 TL i kç ıl sor ktı çıkcğıı bullım. 4 TL i % 8 bileşik fiz orıl ıl sor 4 8 TL olcğıı (bir öceki öreğe göre) söleebiliriz. Bu prı 4 TL i ktı olmsı istemektedir. 4 8 log 8, = log =. 4, 8 = ( ) log, =, log 8,, Demek ki klşık 9 ıl sor pr, fizi ile birlikte ktı çıkr. 5. Bir depremi şiddeti R ve çığ çık eerji kilovt st türüde E ise R ile E rsıd R = (,67)log (, 7E) +,46 eşitliği vrdır. 7 şiddetideki bir depremde çığ çık eerjii 6 şiddetideki depremde çığ çıkı kç ktı olduğuu bullım. 7 46, R = 7 ise, 7 = (, 67)log (, 7E) +, 46 log (, 7E) = 87, 67,, E =. 5,. 7, 87 8 R = 6 ise, 6 = (, 67)log (, 7E) + 46, log ( kilovt st olur , 7 E =., 6. kilovt st çıkr. 7, 8 7 5,. sısı, 6. i k ktı olsu. 6 46,, E) = 678, 67, 8 7 5,. 5,. = k., 6. k = 86, 7 6,. 8 Demek ki 7 şiddetideki bir depremde çığ çık eerji, 6 şiddetideki bir depremde çığ çık eerjii klşık ktıdır.. Üite: Logritm 79

90 .. ALIŞTIRMALAR 5. Aşğıdki sılrı tbıd logritmlrıı bir hesp mkiesi rdımıl buluuz b. 7685,4 c. 7,4 ç. (7,4) 7 d. (8,) 5 e.,7. log 5,7465 =, olduğu göre şğıdki sılrı eşitlerii zıız.. log 57,465 b. log,57465 c. log ç. log, Bir hesp mkiesi rdımıl, şğıdki deklemlerde bulu sısıı klşık hesplıız.. = b. = 8, c. = 56 ç. = 4. cm uzuluğudki bir kısmı bsmklı bir sı zılbile kâğıt şeridi, kç km uzuluğudki prçsı 9 (99) sısı zılbilir? 5. Bir bk ıllık % fiz orı ile tırıl pr, kç ıl sor ktı çıkr? 6. Bk belirli fiz orıl tırıl bir miktr pr, 4 ıl sor iki ktı çıktığı göre bu fiz orı üzde kçtır? 7. Ülkemizi 9 ılıd üfusu 5 du. Bud 67 ıl sor ( ılıd) pıl sımd üfusumuzu klşık 7 olduğu görülmüştür. Bu süre içide ülkemizde ıllık üfus rtışı ortlm üzde kç olmuştur? 8. Türkie de petrol üretimii her ıl % 5 orıd rttığıı kbul edelim:. Kç ıl sor üretim ktı çıkr? b. 5 ıl öceki üretim, şimdiki üretimi üzde kçıdır? 9. Okus coğrfsı (oşiogrfi) lıd pıl rştırmlrd bir pljı eğimi (m) ile o pljdki kum teciklerii mm türüde ortlm çpı (d) rsıd m =,59 + (,8) log d şeklideki bir bğıtı olduğu ort çıkrılmıştır. Bğıtıd rrlrk şğıdki tblod istee eğimleri hesplıız. Bulduğuuz souçlrı ile gösterile ere zıız. Çp (d) Kum türü Plj eğimi (m) 4 mm Çkıl mm Grül (tecik) mm Çok iri teli kum,5 mm İri teli kum,5 mm İce kum,65 mm Çok ice kum. 999 ılıd ülkemize 9 turist gelmiştir. Bud sor ülkemize gele turist sısıı her ıl % 8 rttığıı vrsrsk:. 8 ıl sor (7 ılıd) ülkemize kç turist gelmiştir? b. 999'd 4 ıl öce (995 ılıd), ülkemize kç turist gelmiştir? 8 Ortöğretim Mtemtik

91 . Depremleri şiddetii Richter ölçeği ile ölçüldüğüü, bu sistemde R, depremi şiddetii; E, çığ çık eerjii (kilowt st türüde) göstermek üzere; R = (,67) log (,7 E) +,46 eşitliğii buluduğuu 79. sfd gördük.. 6 Arlık 99'd Erzic ilimizde, Richter ölçeğie göre 7,9 şiddetide, b. Mrt 99'de ie ı ilimizde, Richter ölçeğie göre 6,8 şiddetide, c. 8 Ağustos 999'd İzmit, Adpzrı ve Gölcük çevresii etkilee Richter ölçeğie göre 7,4 şiddetide deprem olmuştur. Bu depremlerde çığ çık eerjii hesplıız. E. ÜSTEL FONKSİYONUN VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ İLE İLGİLİ UYGULAMALAR ETKİNLİK = ve = log fokisolrıı grfikleri d çizilmiştir. Bulrd soldkide = +, sğdkide de = log ( ) foksiolrıı grfiklerii ie ı sistemde frklı rekte çizmeğe çlışıız.. = ile = + foksiolrıd birii grfiği diğeride sıl elde edilebilir? b. = log ve = log ( ) foksiolrıı grfikleri rsıdki ilişki edir? = = log f : R R +, f() = üstel foksiou ile buu ters foksiou ol; f : R + R, f () = log logritm foksiouu grfiklerii = doğrusu göre simetrik olduğuu bilioruz. Arıc; > ise bu foksiolrı mooto rt, < < ise mooto zl olduklrıı gördük. Şimdi içide üstel d logritm foksiou ol bşk foksiolrd d örek grfikler çizelim. ÖRNEKLER. f : R R +, f() = + foksiouu grfiğii çizelim. R içi = > Bu edele + > dır. olur. Demek ki f foksiouu grfiği = doğrusuu üstüde klır. Foksio it kimi oktlr, koorditlrı şğıdki tblod zıl oktlrdır. Grfik bu oktlrd geçe, dki şekilde çizilmiş ol eğridir Üite: Logritm 8 / = f()

92 . f() = log ( + ) kurlı ile verile f foksiouu tım kümesii bullım ve grfiğii çizelim. Verile foksiou tımlı olmsı içi + > olmlıdır. + > > olduğud f foksiou (, ) d tımlıdır. Ölese grfik = doğrusuu sğ ıd buluur.. log Tblodki değerlere göre grfik, dki şekilde çizildiği gibidir.. Ydki şekilde, ı rekli grfikler = doğrusu göre simetriktir. Bu göre, b, c ve d sılrıı bullım. = ise = i = olur. Diğer kırmızı grfik buu = doğrusu göre simetriği olduğud = d = tür. = ise log c = = c = c çıkr. Öteki eşil grfik buu = doğrusu göre simetriği olduğu içi b = c = olur. 4. = log ( + b) i grfiği dki şekilde verilmiştir., b ve c sılrıı bullım. (, ) = log ( + b) + b= = 4 ( 4, ) = log ( 4+ b) 4+ b = 9 b = 7 = c içi + b = olmlıdır. Burd 7 4c 7= c= çıkr. 4 = =b = =log c =log d c 4.. ALIŞTIRMALAR 6. Aşğıdki foksiolrı tım kümesii zıız ve grfiğii çiziiz.. f() = b. f() = + c. f() = + log ( ). Ydki grfik = f() = + b. foksiouu grfiği ise (, b) şğıdkilerde hgisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). Ydki grfik = f() = log ( + b) foksiouu grfiği ise (, b) şğıdkilerde hgisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 8 Ortöğretim Mtemtik

93 .. ÜSLÜ VE LOGARİTMALI DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Ficdki khvei sıcklığıı zml od sıcklığı ile eşitleeceğii biliorsuuz. Eşit zm rlıklrıd khvei sıcklığıı ölçüüz. Koordit sistemide zmı, khvei sıcklığıı ile göstererek bulduğuuz (, ) ikililerii işretleiiz. Bu ikililerde geçe eğrii çiziiz. Buu üstel foksiou grfiğie bezediğii göreceksiiz. A. ÜSLÜ VE LOGARİTMALI DENKLEMLER ETKİNLİK. Bilimeei ol 6 = ve si + cos = deklemlerii düşüelim. Birici dekleme "poliom deklem" d "cebirsel deklem" deildiğii biliorsuuz. İkici dekleme ede poliom deklem deilemez?. Bilimeei sdece trigoometrik foksiolr içide ol dekleme, trigoometrik deklem" deildiğii gördüüz. Bilimeei lız üs içide ol bir deklem sizce sıl dldırılmlıdır.? "Üslü deklem" tımıı bu bezer biçimde pm çlışıız. Üslü Deklemler ÖRNEK = 4 ise sısıı bullım. = ( ) = 4 4 = ` ( ) = 8 = = tür. 4 + = deklemii düşüelim. Bu deklemde bilimee () sdece üs içide bulumktdır. Şimdi bu tür deklemleri tımllım ve bulrı sıl çözebileceğimizi rştırlım. TANIM Değişkei d değişkeleri (bilimeeleri) üs içide bulu dekleme, üslü deklem ve üstel deklem deir. Bu tım göre, bilimeeleri ve ol; =, =, + = 55 deklemleri üslü deklemlerdir. = 6,.5 =, + si = deklemleri ise üslü deklem değildir çükü bulrd bilimeei (sdece) üs içide geçmemektedir.. Üite: Logritm 8

94 ÖRNEKLER = b. 5. / + 6 = deklemlerii çözelim.. t = 5 dersek, t = 5 olur. b. t = / dersek, t = olur = 5. / + 6 =. t 6.5.t + 5 = ( t 5 ) ( t 5 ) = t = 5 t = 5 5 = 5 5 = 5 = = Ç = {, } olur =4 + 5 =4 t 5t + 6 = = ( t ) ( t ) t = t = / = / = = log = = log = Ç = {, log } deklem sistemii sğl ve sılrıı bullım. olur. = 5 ve b = dielim =4 5 + b = = 4 = = + 5 = = 4 5 b = 4 (Bu deklemi ile çrplım.) 5 + b = 4 75 b = = 5 =5 = ve = dir. Ç = {(,)} olur. b==. f() = 5 ise f (5) değerii bullım. f ( 5) = f() = = 5 5 = 5 = 5 = = olur. 4. e e + = deklemii çözelim. Öce verile deklemde iki ı d e ile çrplım. e e + + e = e +e = (e + ) (e ) = e =, (e + > ) = çıkr. Ç = {} dir. 5. f() = ve g() = 5 foksiolrı verilior. f() = g( + ) deklemii çözelim. 5 9 f() = 5 5 g( + ) = = 5 9 = 5 = 5 4 = 4 = 4 olur. 5 Logritmlı Deklemler ÖRNEK log 5 log 5 = ise sısıı bullım. log 5 log 5 = log = = 5 = 75 tir. 5 ` 84 Ortöğretim Mtemtik

95 log 5 ( ) + log 5 = deklemide bilimee () sdece logritm içide bulumktdır. Şimdi de bu tür deklemleri iceleelim. TANIM Değişkei d değişkeleri (bilimeeleri) logritm içide bulu dekleme, logritmlı deklem deir. Bu tım göre bilimeei ol; log 5 ( ) =, log 5 + log log 7 = deklemleri, logritmlı deklemlerdir. Yie bilimeei ol; l e =, + (log 5) 4 =, si(l) = deklemleri ise logritmlı deklemler değildir. Nede? Bilimeei ol logritmlı bir deklemi çözerke verile deklemde:. log f ( ) = b. log f ( ) = log g ( ) şeklide bir temel deklem elde etmee çlışıız. Bu durumd:. log f() = b f() = b,. log f() = log g() f() = g() > olur.. de f ( ) = g ( ) deklemii köklerii buluruz. Bu kökler içide f ( ) ifdesii pozitif p sılr log f () = log g () deklemii kökleridir. ÖRNEKLER.. log 5 ( ) = b. log + log ( + 8 ) = deklemlerii çözüm kümelerii bullım.. log 5 ( ) = = 5 =, Ç = {} ( = içi > dır.) b. log + log ( + 8 ) = log ( + 8 ) = ( + 8) = 9, >, + 8 > = =, = 9 = içi > ve + 8 > dır., çözüm kümesii elemıdır. = 9 içi logritm içleri pozitif değildir. Bu edele 9 sısı, verile deklemi kökü olmz. O hâlde, bu deklemi çözüm kümesi, Ç = {} dir... log ( ) =, b. log ( ) + log ( 8 ) = deklemlerii çözüm kümelerii bullım.. log ( ) = = 7 + = =, = / = ve = / içi > olduğud ve / sılrıı ikisi de bu deklemi kökleridir. Ölese, Ç = { /, } dir. b. log ( ) + log ( 8) = log ( ) ( 8) = ( ) ( 8) = 7 + = =, = / = içi < dır. Demek ki, verile deklemi kökü değildir. = / içi > ve 8 > dır. Bu edele / sısı, verile deklemi bir köküdür. Ç = {/} olur. ile b deki iki deklemde de 7 + = deklemi elde edildiği hâlde, çözüm kümelerii frklı olduğu dikkt ediiz.. Üite: Logritm 85

96 . log / [ log ( ) ] = deklemii çözelim. log / [ log ( ) ] = log ( ) = ( / ) log ( ) = = = = + = olur log = 5 log deklemii çözelim. Verile eşitlikte iki ı d tbıd logritmsıı llım. log log = log 5 log log = log log 5 = log5 = 5 tir. 5. l e = deklemii çözelim. l e = l = e l( l ) = l(e ) l. l = le + l = + I u = + u, u = l u u = (u ) (u + ) = u =, u = l = = e l = = e çıkr. 6. { } Ç= e, dir. e ( ) log = 7 deklem siste mii çözüm kümesi i bullım. log 4 = ( ) + + lo g = log log = log log = 7 İlk deklemi ktı ile ikicii log ktıı topllım. = log log = log log = 4 + log = 6 log =, = lo g + log = 7 ( ) + log = 7 log = = log = Çözüm kümesi, Ç = { (, ) } dir. 7. Türkie İsttistik Kurumu (TÜİK) u çıklmsı göre Türkie'i 99 ve ıllrıdki üfus sımlrıı souçlrı dki tblod verildiği gibidir. t zmı ıl olrk rıc t i değeri ılıı göstermek üzere ülkemizi üfusuu verecek foksiou (t) = e bt şeklide ifde edelim. Burd milo kişi türüde olsu. Bu göre;. Ülkemizi 5 ılıdki üfusuu (klşık) bullım. Sım trihi Nüfus b. Ülkemizi üfusuu hgi trihte milo kişi olcğıı bullım. ılıd, i t = içi üfusumuz 67,8 milo kişi olrk verilmiştir. Ölese; () =. e = 67,8 = 67,8 i (t) = 67,8 e bt dir. 99 ılıdki (i t = 99 = içi) üfusumuz 56,5 milo kişi verildiğide 86 Ortöğretim Mtemtik

97 ( ) = 67,8. e b( ) = 56,5 e b 56, = = 67, l e b 565 = l 678 b =, 8 b =,8 (t) = 67,8 e,8t olur.. 5 = 5 ve (5) = 67,8 e,8(5) = 67,8 e,745 67,8 (,45) 89, Bu souc göre 5 ılıd üfusumuz 89, ( ) = 89 kişi olcktır. b. (t) = 67,8 e,8t =, 8t e = 67 8,, 475, 8t l(, 475) t, + t = +, =, Bu souc göre üfusumuz klşık ılı ortlrıd milo olcktır... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki deklemleri çözüüz.. 5 = 5 b. 9 + = c. 5 = ç. = + d. e = 5. Aşğıdki deklemleri çözüm kümelerii buluuz... + = b = c = ç = d. e 5.e + 6 = e. e + e = 7e. Aşğıdki deklem sistemleride, ile gerçek sılrıı buluuz. + = + =. b. c. + + = = 5 = = 4. Aşğıdki logritmlı deklemleri çözüüz.. log (+) + log 5 = 4 b. log 4 (+) log 4 ( )= c. l l( ) = l ç. (l) = 6 d. log 6 (+) + log 6 = e. log ( + 8) = log + log 6 f. (l) 6l + 9 = g. I (l) = ğ. I = 5. Aşğıdki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. log [ + log ( 4) ] = b. log / [ log ] = c. log 5 [ log ( + ) ] = ç. 4 log + log = 5 d. log log 6 = e. log log = 6. Aşğıdki deklemleri çözüüz.. l = b. l ( si ) = c. si ( l ) = 7.. log 6 ( ) + log 6 ( + ) = b. log 6 ( ) ( + ) = deklemlerii çözüm kümelerii buluuz. Bu iki deklemi çözüm kümelerii ede frklı olduğuu çıklıız.. Üite: Logritm 87

98 8.. l ( ) + l ( 6 ) = l 4 b. l ( ) ( 6) = l 4 deklemlerii çözüm kümeleri ı mıdır? Nede? 9.. log 7 ( 6 ) = b. log 7 ( 4 ) + log 7 (4 + ) = deklemlerii çözüm kümeleri ı mıdır?. log (si ) + log (cos ) = deklemii kökleri birim çemberi frklı kç oktsı ile eşleir? A) 5 B) 4 C) D) E) B. LOGARİTMALI VE ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER ETKİNLİK. f() = log 5 foksiou verilmiş olsu.. < < log 5 < log 5 öermesii doğru olup olmdığıı çıklm çlışıız. b. log 5 (4 8) < log 5 ( + 4) eşitsizliği verildiğide bud < 4 8 < + 4 eşitsizliklerii zılıp zılmcğıı rkdşlrıızl trtışıız ve buu çözüm kümesii bulm çlışıız.. g() = log /5 foksiou verilmiş olsu.. < < log /5 > log /5 öermesii doğru olup olmdığıı çıklıız. b. log /5 ( + 4) > log /5 (4 ) eşitsizliği verildiğide hgi gerekçele < + 4 < 4 eşitsizliklerii zbilirsiiz? Bu eşitsizliği çözüm kümesii buluuz... 5 < 5 eşitsizliği hgi gerçek sılrı içi sğlır? b. 8 < eşitsizliğii çözüm kümesi sizce hgi rlıktır? ÖRNEK log (5 ) < eşitsizliğii çözüm kümesii bullım. = log ve tblı logritm foksiou rt foksio olduğu içi; log (5 ) < log < 5 < 5 < < 5 > > olur. Ç = (, 5) dır. > ise log foksiouu grfiğii şekildeki eğri olduğuu biliorsuuz. Bu grfikte: b =log. log f() > b f() > b. log f() < b < f() < b b eşitsizliklerii elde ederiz ( > ike log foksiouu rt olduğuu htırlıız.). Eğer < < ise log foksiouu grfiği dki şekilde olduğu gibidir. Bu grfikte:. log f() < b f() > b. log f() > b < f() < b b b =log souçlrıı elde ederiz. 88 Ortöğretim Mtemtik

99 ÖRNEKLER.. log 5 ( ) b. log ( 4 ) > eşitsizliklerii çözüm kümelerii bullım.. log 5 ( ) < 5 < 9 9 Ç=, olur. b. log ( 4 ) > 4 > 9 > 4 > Ç = (, ) dır... log ( 5 ), b. log ( + ) > eşitsizliklerii çözüm kümelerii bullım.. log ( 5 ) Ç=,, 8 b. log ( + ) > log ( + ) < log( + ) > ( > b ise < b > b olur. ) + > ( < + < 5 ) > < < 5 Ç =, (, + ) olur.. log ( log (4 )) eşitsizliğii çözüm kümesii bullım. log ( log (4 )) log ( log (4 )) log < log (4 ) (rt foksio) < log (4 ) log (4 ) < log log (4 ) < log 4 < 9 (rt foksio) < 5 5 < Verile eşitsizliği çözüm kümesi ( 5, ] dır > + 4 eşitsizliğii çözüm kümesii bullım. + ( + ) 4 9 = = 4 > 4 < 4 < < olduğud f( ) = foksiou zldır. < Verile eşitsizliği çözüm kümesi, Ç = (, ) olur.. Üite: Logritm 89

100 ( )( ) eşitsizliğii çözüm kümesii bullım. 7 = = 7 = = = 5 = = 5 = R ( 5 ) + + ( ) Bu tblo göre verile eşitsizliği çözüm kümesi, Ç = [ 5, ] [5, ) olur eşitsizliğii çözüm kümesii bullım. Verile ifdei öce çrplr ırlım. + 8 ( ) ( 4) ( ) ( 4) = = = ; 4= = = Verile eşitsizliği çözüm kümesi, 4 Çrpım rlığıdır ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki eşitsizlikleri çözüm kümelerii buluuz..log 5 < b. log ( + 4) c. log 7 ç. log 7 d. log (l) e. log l f. log g. log ( ) >. Aşğıdki eşitsizlikleri çözüüz.. log (4 ) b. log, ( ) c. l (log, ) < ç. log,6 (l) > d. log (log / ) e. log / (log (+4) ). I (4 ) eşitsizliğii çözüm kümeside kç te tm sı buluur? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 4. log = log deklemii kökleri toplmı kçtır? A) B) C) D) 99 E) 9 9 Ortöğretim Mtemtik

101 BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Aşğıdki öermelerde boş bırkıl erleri bu öermeler doğru olck şekilde dolduruuz.. Üstel foksiod tb gerçek sıdır. b. Logritm foksiou gerçek sılr kümeside tımlıdır. c. log 5 ve log (,7) sılrı işretli gerçek sılrdır. ç. Doğl logritm foksioud tb sısıdır. d. < ise 6 dir. e. < ise dir. f. > ise tir. 5. Aşğıdki öermelerde doğru ollrı bşıdki kutucuğu içie D, lış ollrıkie Y zıız. > ise < t < t dir. log /5 < log /5 t < < t dir. (,) < (,) t < t dir. + = logb dir. log log b = log 5 ise log = dir. 5 ( 5) log 4 = dir.. Aşğıd düşe çizgii solud verile eşitsizlikleri bu çizgii sğıd bulu çözüm kümeleri ile eşleiiz.. (, ]. (, ) log 5 (4 ) < log / ( ) >. [, ) 4. (, ) log (5 6) log /5 ( + ) 5. (, 4) 6. (, ) log (5 ) log /5 (4 5) > 7 I > log log ( ) ,,, > ise içi şğıdkilerde hgisi doğrudur? 5 A) < B) > C) < < D) < < E) > 5. f ( ) = log ( ) + log ( + ) + log 5 (4 ) ise f foksiouu tım kümesi, şğıdki rlıklrd hgisi olbilir? A) (, ) B) (, ) C) (, 4) D) (, ) E) (, 4) log 6. 5 = log ise şğıdkilerde hgisidir? log A) 5 B) 5 C) D) E) 5 7. log = k. l ise k şğıdkilerde hgisie eşittir? A) log e B) l C) e D) E) 8. f ( ) = e ise f ( ) kurlı şğıdkilerde hgisidir? A) log B) + l C) l D) l E) l π 9. f ( ) =, g ( ) = t ve h ( ) = log ise ( h o g o f ) ( ) değeri kçtır? A) B) C) D) E). Üite: Logritm 9

102 . Aşğıdki sılrd hgisii logritmsı ile rsıddır? A) 578,6 B) 4,46 C) 4, D),75 E), = deklemii kökü kçtır? A) B) C) D) E). log + log ( ) = log ( + ) deklemii çözüm kümesi, şğıdkilerde hgisidir? A) {, 6 } B) {, 6 } C) {, } D) { 6 } E) Ø. l (cos ) = deklemii geel çözümü, şğıdkilerde hgisidir (k Z)? π A) k.π B) + kπ C) π + k.π D) π + k.π E) k.π 4. log eşitsizliğii çözüm kümesi, şğıdki rlıklrı hgisidir? A) (, ) B) [ 8, ] { } C) [, 8 ] D) [ 9, 9 ] { } E) (, 9 ] 5. Şekildeki grfik f() = log (b + c) foksouu grfiği ise + b + c kçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 6. log b = c, log b c = ve log c = b ise şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) + b + c = B) = b + c C) = bc D) bc = E) = b = c 7. b = bc = 5 c ise, b, c pozitif sılrı içi şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) < b < c B) < c < b C) b < < c D) c < b < E) c < < b 8. > dir. log 5 < log 5 ise, şğıdkilerde hgisi olmz? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 9. log (si) log (cos) = deklemii geel çözümü, şğıdkilerde hgisidir (k Z dir.)? π π A) π π π B) π C) + k. π D) + k. π E) π 4 + k. + k. π + k log 7 < log b 7 ise şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) < b B) > b C) < < b < b < < D) < b < < < b < E) < < < b. log, ise şğıdki sılrd hgisi 5 bsmklı doğl sıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. log =, log = b ve log 5 6 = c ise + b c şğıdkilerde hgisie eşittir? A) log6 B) log 6 5 C) log5 D) log 5 6 E) log 6 YANITLAR. pozitif ve de frklı b. pozitif c. ters ç. e d. < ; < e. > f. <. D, Y, Y, Y, D, D. 5, 4,, 6, 7, 8,, 4. A 5. E 6. B 7. A 8. D 9. D. B. C. D. A 4. B 5. B 6. D 7. E 8. E 9. C. B. D. C 9 Ortöğretim Mtemtik

103 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM VE OLASILIK Sizce bu tlrd hgisii rışı kzm olsılığı dh üksektir? Bu Bölümde Göreceğimiz Koulr.. Permütso Smd eşleme, toplm ve çrpm ötemleri; permütso; döel (diresel) permütsolr; tekrrlı permütsolr.. Kombiso.. Biom çılımı.4. Olsılık Temel kvrmlr; olsılık foksiou ve temel özellikleri; eş olsılı (olumlu) öreklem uzı; koşullu olsılık; bğımlı ve bğımsız ollr.5. isttistik Yşmd seçilmiş verileri grfiklerle gösterilmesi; bir öreklemi sıtck ugu grfik türü ve grfikleri orumlmsı; merkezî eğilim ve ılım ölçüleri; stdrt pu. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 9

104 .. PERMÜTASYON A. SAYMADA EŞLEME, TOPLAMA VE ÇARPMA YÖNTEMLERİ Toplu hâlde sırlı ürüe skerleri sısıı sıl bulbilirsiiz? ETKİNLİK. Sm işide hgi kümei elemlrıı kullıoruz?. Klblık erlerde kç kişii olduğuu kolc smk içi e tür ötemler geliştirebiliriz?. Okuluuzu müdürü, okul mevcuduuzu öğremek içi e pr? 4. Türkie'de kç km kr olu olduğuu bulmk istee biri, sıl bir çlışm pr? 5. Dikdörtge şeklideki bir trlı lıı bulmk içi e prsıız, ede? 6. Sm işile krşılştığıız örekler söleiiz çrpımıı kısc sıl gösteririz? Yukrıdki sorulrd toplm ve çrpmı sıl kullıoruz? Bir kümei elemlrıı smk, bu kümedeki elemlrı,,, 4,... sılrı ile eşlemek demektir. Bu eşlemei prke sm sılrı kümesi dediğimiz, N + = {,,, 4,...} kümesii elemlrıı sırlı bir şekilde kulldığımız dikkt ediiz. Söz gelimi, sııftki öğrecileri srke öğretmeiiz; sm bşldığı ilk öğrecii ile buu ıdkii ile eşler. Bu işleme, sm sılrı kümesideki hiçbir elemı tlmd devm eder. Soucu öğrecii eşlediği sm sısı, bu sııftki öğrecileri sısıı gösterir. Öğretmeiiz size, 94 Ortöğretim Mtemtik

105 "Mtemtik kitbıız kç sfdır?" die sors e prsıız? Kitbıızı so sfsıdki sf umrsı bkmız etmez mi? Demek ki kitbıızı sflrı;,,,... sm sılrı ile bire bir eşlemiştir. Bu eşleme pılırke bir sm sısı çıkt bırkılrk dh büük ol sm sısı, sflrd biri ile eşlememiştir. Sm işii dim bu tür eşlemele mi prız? Çok sıdki elemlrı sbilmemiz içi bşk ollr d bulmlıız. Söz gelimi, bir bkı üç vezedrı, belli bir güde sırl, b ve c TL pr toplmışs o gü bu bk gele pr miktrıı bulmk içi bu prlrı bir r getirerek smk mı gerekir? + b + c toplmı, bk gele pr miktrı değil midir? Demek ki smı, toplm olul d pbiliriz. Şimdi de şu öreği düşüelim : Bir öğrecii 4 gömleği ile ceketi vrdır. Öğreci, bulrı kç değişik şekilde eşleerek giebilir? (G) (C) Ceketleri A ve B, gömlekleri,, ve 4 ile gösterelim. Öğrecii, A B bulrı; (, A), (, B), (, A),... şeklide eşleerek giebileceği çıktır. Bu eşlemeleri tümü dki şekilde gösterilmiştir. Bu göre öğrecii, 4 = 8 B A değişik şekilde seçim şsıı buluduğuu söleebiliriz. Buu, A B G C 4 A B 4 = 8 şeklide dh sde ltbileceğiz. Bu örekte; smı, çrpm olul d pılbildiğii görmekteiz. Aşğıd çözümü verilmiş problemler de smı çrpm olul pılışı ile ilgili öreklerdir. ÖRNEKLER. A ketide B ketie 4, B ketide C ketie değişik old gidilebilmektedir. A d C e kç değişik old gidilebilir? A d B e gidiş ollrı;, b, c, d ve B de C e gidiş ollrı, ile olsu. (, ), (, ),... şeklideki ikililer, A d C e gidiş ollrıı lt ikililerdir. Bu ikilileri sısıı bulmk içi ie iki kutu çizelim. Birici kutu A d B e gide ollrı sısıı (4), ikici kutu B de C e gide ollrı sısıı () zlım. Demek ki A d C e, 4. = 8 değişik oll gidilebilir. A b c B d 4 4. = 8 C A B B C. Ülkemizde motorlu tşıtlr, il umrsıd sor hrf ve üç bsmklı sı (öreği 6 PL 958 şeklide) ile plkldırıldılr. İstbul ve Akr gibi büük illerde bu çeşit plklr bitice, hrfli ve iki bsmklı sı şeklide plklr kullılm bşldı. Bir ilde hrf ve tüm rkmlr kullılrk bu iki sistemde kç tşıt plkldırılbilir?. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 95

106 ... = P L = A V T Bu iki sistemde, bir ilimizde toplm tşıt plkldırılbilir. Bu çözüme, plklrd sılı kısmı d şeklide olmsı d ktılmıştır. Eğer bu sılı kısımd her bsmğı birde sıfır olmsı istemezse o zm çözüm,..( ) +...( ) = olur. A. Bir kette B oktsı A oktsıı güedoğusuddır. A oktsı ile B oktsı rsıd, şekildeki çizgilerle belirtile ollr (sokklr) bulumktdır. Her gidişte bir sokkt iki kez geçmemek ve hiç kuze öüde gitmemek koşulul, A d B e kç frklı oll gidilebileceğii rştırlım. A B C D E G F H A D F H C E G B B = 4 4 A oktsıd CD e 4 frklı oll iilebilir. CD i bir okt gibi düşüürsek burd EF e ie 4 frklı old iilebilir. Bezer şekilde GH e 4 ve burd d B e 4 frklı old gidilebilir. Bu göre A d B e, kuze öüde gitmede, = 4 4 = 56 frklı oll gidilebilir. 4. {,,,, 4, 5, 6 } kümesii frklı elemlrıl kç te;. Dört bsmklı tek sı, b. Dört bsmklı çift sı zılbilir? Bu dört bsmklı sıd, bsmklrı ie kutulrl gösterelim. Her kutuu içie zıl sı, o bsmğ gelebilecek rkmlrı sısıı göstersi.. Dört bsmklı tek sı istediğie göre birler bsmğı ( sğdki ilk kutu ),, 5 rkmlrıd biri koulbilir. Soldki ilk kutu ( biler bsmğı ) ise sıfır ile sğdki ilk kutu zıl rkm gelemez. Ölese soldki ilk kutu zbileceğimiz 5 değişik rkm vrdır. Diğer ve 4. kutulr d 5 ve 4 frklı rkm koulbilir = 96 Ortöğretim Mtemtik

107 b. Çift sı olmsı içi birler bsmğı;,, 4, 6 rkmlrıd biri gelmelidir. Birler bsmğı; rkmı koulmuşs biler bsmğı 6, rkmı koulmmışs biler bsmğı ( sıfır d gelemeeceğide ) 5 rkm koulbilir. Buu içi kutulrı çizerek bulrı sısıı rı rı bullım. Birler bsmğı sıfır ollrı sısı; = Birler bsmğı sıfır olmlrı sısı; = 4 Demek ki dört bsmklı ve çift sı ol 4 te doğl sı zılbilir... ALIŞTIRMALAR. Bir öğreci, ptolo ile 5 gömleğii kç değişik şekilde eşleerek giebilir?. {,,,, 4 } kümesii elemlrıl üç bsmklı kç te doğl sı zbilirsiiz?. {,,,, 4 } kümesii frklı elemlrıl üç bsmklı kç te doğl sı zbilirsiiz? 4. {,,,, 4, 5 } kümesii elemlrıl dört bsmklı ve de büük kç te doğl sı zbilirsiiz? 5. {,,,, 4, 5 } kümesii frklı elemlrıl 5 ile bölüebile dört bsmklı kç te doğl sı zılbilir? 6. Her birii 5 seçeeği bulu, te test sorusu kç değişik şekilde ıtlbilir? 7. E z bir bsmğıd 7 bulu, üç bsmklı kç te doğl sı vrdır? 8. Ylız bir bsmğıd 7 bulu, üç bsmklı kç te doğl sı vrdır? 9. Ylız bir bsmğıd 7 bulu ve bsmklrıdki rkmlrı frklı ol üç bsmklı kç te doğl sı vrdır? B. PERMÜTASYON ETKİNLİK. Üç rkdş kç türlü sırlbilir? Yıtıızı zrk çıklm çlışıız.. Sııfıızd kç öğreci vrdır? Kızıl kulübüe bir sil bir de edek üe seçilecektir? Bu seçim sizce kç türlü pılbilir?. sısıd rkmlrı erlerii değiştirerek ie dört bsmklı sılr zm çlışıız. Böle frklı kç sı zbileceğiizi rştırıız. ÖRNEK 8 kişi kç değişik biçimde sırlbilir?. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 97

108 Birici sırd (sol bşt), bu 8 kişide herhgi biri bulubilir. İkici sırd gerie kl 7 kişide herhgi biri; üçücü sırd gerie kl 6 kişide herhgi biri bulubilir. Bu oll devm edice, sekizici sırd (e so kl) kişi bulubilir O hâlde, bu 8 kişii sırlışlrıı sısı, = 4 olur. Bu örekteki çrpımıı 8! şeklide zıldığıı ve "8 fktöriel" dierek okuduğuu biliorsuuz. Fktöriel foksiouu doğl sılrd;! =,! = ve N, içi! =.... şeklide tımldığıı mtemtik dersleriizde gördüüz. ÖRNEKLER. 8! + k (!) =! ise ile k doğl sılrıı bullım. k (!) =! 8! = 8! (9 ) = 79 (8!) k = 79, = 8 olur. (9 sısı, 79 u bir çrpı değildir. Bu edele, 8 de dh büük olmz.). ( + )!! ( + )!! = = ise sısıı bullım.!. ( + ). ( + )! = ( + ) ( + ) = + = ( ) ( + ) = = = olur. Verile eşitliği sğl doğl sısı dur.. 4! sısıı soud kç sıfır buluduğuu hespllım. Bir sıı soudki sıfır sısı kç te çrpı, dolısıl d kç te. 5 çrpı olduğu bğlıdır. 4! içide 5 çrpı çrpıd dh z olcğıd sıı soudki sıfır sısı sıı 5 çrpı dedi kdrdır. Ölese, 4! = 4.. sısı içide 4 : 5 = 4 te 5 çrpı vrdır. Bu durumd 4! sısıı soud 4 det sıfır olur. TANIM Elem sısı ol bir kümei herhgi r elemıı (r ) dizilişleride her birie, i r li bir permütsou; bu şekildeki frklı dizilişleri sısı d i r li permütsolrıı sısı deir. i r li permütsolrıı sısı P(, r), i li permütsolrıı sısı d P(, ) ile gösterilir. Bu tım göre permütsou bir sırlm olduğu, dikkt ediiz. 98 Ortöğretim Mtemtik

109 Tımd rrlrk şğıdki tblod istee permütsolrı ve bulrı sılrıı zıız. Küme li permütsolr li permütsolr lü permütsolr {, b}... b b {, b, c} b c P(, r) P(,) =..., P(, ) =... P(, ) =..., P(, ) = 6 P(, ) =... Şimdi, A = {,,..., } i li permütsolrıı sısıı rştırlım. Diğer bir deişle A kümesii eleml- rıı kç değişik biçimde dizebileceğimizi bullım. Buu içi te kutu çizelim. A kümesii elemlrıı bir dizilişide ; ilk ögei birici kutu, ikici ögei ikici kutu,...,. ögei de. kutuu içie zdığımızı düşüelim. Birici kutuu içie zılmış ol öge, A kümesideki te elemd rstgele biri olbilir. Buu, ilk kutuu içie zrk belirtelim. İkici kutuu içie zılmış ol ise gerie kl elemd herhgi biri olbilir. Buu d ikici kutuu içie, zrk ltlım. Bu şekilde devm edice,. kutuu içie zmmız gerekmez mi? İşte bu sılrı çrpımı, A kümeside bulu te elemı dizilişlerii sısıdır. Nede ( Çrpm olul smı düşüüüz.)? Bu sıı, P(, ) ile gösteririz. O hâlde; P(,) =. ( ). ( ).... =! olur. ÖRNEKLER. Rkmlrı sıfırd ve birbiride frklı ol dokuz bsmklı kç doğl sı vrdır? Her bsmğı bir W ile temsil edelim. Soldki ilk kutu 9 rkmd biri zılbilir. Yi bu kutu gelebilecek rkm sısı 9 dur. İkici kutu, ilk kutu zılmış ol bir rkm hriç, geri kl 8 rkmd herhgi biri zılbilir. Bu şekilde devm ederek kutulr zbileceğimiz rkmlrı sısıı şğıdki gibi olduğuu belirleriz = 9! Demek ki istee şekilde, P(9, 9) = 9! te sı zılbilir.. 5 kız ve 5 erkekte oluş kişilik bir grup, ı cisiette kişiler gelmemek koşulul bir sırd kç türlü dizilebilirler? Kızlrı 5!, erkekleri de 5! türlü sırlcğıı bilioruz. Bşlgıç K, E, K, E, biçimide olbileceği K E K E (5!). (5!) gibi; E, K, E, K,. biçimide de olbilir. Bu edele istee sırlışlrı sısı (5!) (5!) dir. E K E K (5!). (5!). (5!). (5!). Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 99

110 Te Elemı r li Permütsolrı {, b } i bir permütsouu (, b ) şeklide zıldığıı ve (, b ) e, sırlı ikili deildiğii biliorsuuz. Bezer şekilde; {, b, c } i bir permütsou, söz gelimi ( b,, c ) e, bir sırlı üçlü deriz. Bu tür düşücele permütsolrı sırlı ikili, sırlı üçlü,... ile de ltılbileceği soucu vrıoruz.,..., r elemlrı bir A kümeside lımış ol sırlı r li, (,,..., r ) şeklidedir. Böle iki sırlı r lii eşitliği ; (,,..., r ) = ( b, b,..., b r ) = b, = b,..., r = b r şeklide tımlır. Şimdi P (, r ) sısıı hespllım : A = {,,..., } i elemlrıl, kç te sırlı r li ( < r ) zbileceğimizi bulmk istioruz. Buu içi ie r te kutucuk çizelim. Sırlı r lideki birici ögei sold birici kutu zlım. Bu, A kümesideki te elemd herhgi biri olbilir. Sırlı r lideki ikici elemı ikici kutu zcğız, bu d, geri kl te elemd herhgi biri olcktır. Bu oll devm edilirse r ici kutu, r+ te elem koulbilecektir. (.) (.) (.) (4.) (r.)... r+ O hâlde, P(, r) = ( ) ( ) ( )... ( r+) dir. Bu sıı p ve pdsı ( r) ( r ).... ile çrpılırs, ( )...( r+ ) ( r) ( r ).... P(,r) = ( ) ( )... ( r+) = ( r) ( r )....! P (, r) = ( r)! elde edilir. ÖRNEKLER. Rkmlrı sıfırd ve birbiride frklı ol dört bsmklı kç doğl sı zılbilir?,,..., 9 rkmlrıd herhgi dördüü dizilişleride her biri dört bsmklı bir doğl sı olur. Öreği,, 5, 8 rkmlrıı 5 8 şeklideki dizilişi dört bsmklı bir sıdır. Ölese bizde istee P ( 9, 4 ) sısıdır. İstee dört bsmklı sılr, P(9,4) = 9! ( 9 4)! = = 4 tedir.. 5 sısıdki rkmlrı erlerii değiştirerek zbileceğimiz sılrı tümüü toplmı kçtır? 5 sısıdki rkmlrı erlerii değiştirerek! = 6 te sı zbiliriz. Bu sılrı, öreği üzler bsmğıd ikiside, ikiside ve ikiside de 5 buluur. Durum diğer bsmklr içi de ıdır ? Ortöğretim Mtemtik

111 Bulrı toplmı, ( + + 5) + ( + + 5) + ( + + 5) = (++5) + (++5) + (++5) = ( + + ) = = olur.. P(, ) = 6 P(, ) ise sısıı bullım. P (, ) = 6 P(, )! ( )! = 6! ( )! 4. 8 ouckt üçü, üç çocuğ kç değişik şekilde verilebilir? Bu oucklrd herhgi üçü ile pıl bir sırlı üçlü, (, b, c ) olsu. Çocuklrı d ( m,, p ) sırlı üçlüsü olrk düşüelim. Bu hâlde, oucğı m e, b oucğı e, diğeri p e verilsi. Çocuklrı sırsıı bozmd, oucklrı ( b,, c ) sırsıd düşüürsek; (, b, c ) bu kez, b oucğı m e, oucğı e, c oucğı d p e verilmiş olur. Demek ki problemi soucu, (, b, c) sırlı üçlülerii sısıdır. Bu d; m,, p P(8, ) = 8! (8 )! = 8! 5!!! ( )! = 6 ( )!.( ) 6 = = 6 = 8 olur. = = 6 olur. ( b,, c ) 5. 6 erkek ve 4 kdıd oluş kişilik grup, kdı olmmk üzere, kç değişik şekilde oturbilir? Yukrıdki şekilde, erkekleri oturcğı koltuklr ile gösterilmiştir. Erkekler bu koltuklr, P(6, 6) = 6! türlü sırlrk oturbilirler. Herhgi iki kdı oturmcğı göre bulr erkekleri rsıdki birer koltuğ; rıc sol bşt ve sğ bşt birer koltuğ oturbileceklerdir ( Bşk bir deişle iki kdıı rsıd e z bir erkek bulucktır.). O hâlde, kdılr (şekilde ile gösterile) bu 7 koltukt 4 üe, P( 7, 4 ) = 7! (7 4)! = 7!! = değişik sırd oturbilirler. Bu göre istee tüm dizilişleri (oturuşlrı) sısı, 6! = 8! 5 olur.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

112 6. Tümü birbiride frklı ol 5 sih, 6 kırmızı, 4 mvi kitp bir rf sihlr bir rd olck şekilde kç türlü dizilebilir? Sihlr bir rd olcğıd, bulrı tümüü kitp gibi düşüürsek toplm kitp olur. Sihlrı kedi içide dizilişlerii sısı, P(5, 5) = 5! ; S K M kitbı diziliş sısı, bulrd herhgi ikisi birbiride frklı olduğu içi P(, ) =! dir. Tüm dizilişleri sısı d;!.5! P(, ) P(5, 5) =! 5! olur. C. DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYONLAR ETKİNLİK. Ae, bb ve çocukt oluş 4 kişilik bir ile dire şeklideki bir ms etrfıd kç türlü sırlrk oturbilir? sorusuu dki şekil üzeride bu sırlışlrı zrk ıtlm çlışıız.. Arkdşlrıızl trtışrk bu tür sırlışlrı sısıı bulmk içi bir ötem geliştirmee çlışıız.,,, elemlrıı çember üzeride kç türlü sırlbileceklerii hesplmk istioruz. Bir dizilişi göz öüe llım. Bu dizilişte her elemı st döme öüde dödürerek ıdki elemı erie koduğumuzu düşüelim. İlk sırlm değişir mi? Öreği, ie ile rsıd olmz mı? Bu kez,,, elemlrıd birii sbit düşüerek geri kl elemlrı istediğimiz gibi er değiştirelim. Artık ei bir diziliş elde ederiz. O hâlde te elemı bir çember üzerideki değişik dizilişlerii sısı ( )! olur. Yi; te elemı döel permütsolrıı sısı = ( )! dir. ÖRNEKLER. 6 kişi, uvrlk bir ms etrfıd, kç değişik şekilde (dizilişte) oturbilir? Bu 6 kişi;,,, 4, 5, 6 olsu. Bulr, sti döme öüde, herkes bir sorki kişii erie geçerse ei bir sırlış şekli elde edilmez. Ölese bu ltı kişide birii sbit tutrk diğerlerii er değiştirdiğii düşüelim. Bu hâlde, herhgi ikisii er değiştirmesi, ei bir oturuş sırsı olcktır. Bu 6 kişii uvrlk ms etrfıdki dizilişlerii sısı; P ( (6 ), (6 ) ) = P(5,5) = 5! olur Ortöğretim Mtemtik

113 . 5 öğretme, 4 doktor ve mühedis uvrlk bir ms etrfıd oturcklrdır.. Kç değişik biçimde oturbilirler? b. Öğretmeler bir rd olmk üzere kç değişik biçimde oturbilirler?. Toplm kişi uvrlk bir ms etrfıd, ( )! =! değişik biçimde oturbilir. b. Öğretmeler bir rd oturcğı göre öğretmeleri kişi kbul edelim. Bu durumd; öğretme, 4 doktor ve mühedis uvrlk ms etrfıd, (8 )! = 7! değişik biçimde oturbilirler. Bu oturuşlrı her biride öğretmeler kedi rlrıd 5! değişik biçimde oturbilirler. Smı temel ilkesi gereğice istee oturuşlrı sısı, 7! 5! dir. Ç. TEKRARLI PERMÜTASYONLAR ETKİNLİK. Ydki tblou her bir stırıd verile hrfleri sırlışlrıı zıız Bu sırlışlrı sısıı sıl hesplbileceğii rkdşlrıızl trtışıız ve bir hesplm ötemi geliştirmee çlışıız. Hrfler,, b,, b, b,,, b, b Y dizilişleri (Permütsolrı) Dizilişleri sısı Bir kısmı birbirii ısı ol te elemı sır dizmek isteelim. Bu kez, birbirii ı ol iki elemı er değiştirmesi ei bir diziliş olmcktır. Söz gelimi, r tesi (birbirii ı) ol, diğerleri birbiride frklı, toplm te elem düşüelim. lrı bir içi birbiride frklı kbul edelim ve bulrı,,, r ile gösterelim; diğer elemlr b r+, b r+,..., b olsu. Bu hâlde listemiz; Aı elemlr Frklı elemlr,,..., r, b r+, b r+,..., b dir. Bu listedeki tüm er değiştirmeleri ( sırlışlrı ) sısı! dir. lrı er değiştirme sısı, r! dir. Diğer er değiştirmeleri sısı d P ile gösterilirse ( Buu içie lr ile b leri krışık dizilişlerii de dâhil olcğı dikkt ediiz. ); r! P =! ve burd d P =! r! olur. Bezer şekilde, te elemd p tesi birbirie, bulrd bşk q tesi de birbirie bezerse bu te elemı sırlış sısı d; olur. ÖRNEKLER.. ANKARA, b. ERZURUM kelimelerideki hrfleri erleri değiştirilerek lmlı d lmsız kç kelime zılbilir? P =! p!. q!. "ANKARA" kelimeside 6 hrf vrdır. Bulrd ü A dır. Diğerleri frklı hrflerdir. Ölese bu kelimede hrfleri erleri değiştirilerek lmlı d lmsız, 6!! = = ei sözcük zılbilir.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

114 b. "ERZURUM" kelimeside te U ve te de R vrdır. Bu kez cevbımız; 7!!.! = = 6 olur.. 9 kişilik bir grupt şlrı frklı 5 krdeş ile bulrı 4 rkdşı vrdır. Bu grubu, krdeşlerde her birii şı soludki krdeşlerii şlrıd küçük olck şekilde kç türlü dizilebileceklerii bullım. Hiçbir ö koşul olmd 9 kişi 9! türlü sırlbilir. 5 krdeş şlrı küçükte büüğe doğru (büük krdeş diğerii solud) lız türlü sırlbilir. Bu 5 krdeşi öteki sırlışlrı istememektedir. Ölese 5 krdeşi ı elemlr gibi düşüebiliriz. Bu göre istee sırlışlrı sısı, 9! 5! = = 4 olur. A. Şekilde A oktsıd B oktsı e kıs olu izleerek kç değişik oll gidilebileceğii rştırlım. B Şekilde t ollrı,,, 4, 5, 6; dike ollrı d, b, c, d ile gösterelim. A d B e gide e kıs ollr bu sılrl hrfleri değişik sırlışlrıdır. Ack, sılr dim,,, 4, 5, 6 sırsıd; hrfler de, b, c, d sırsıddır. Öreği şekilde kırmızı rekle çizile ol;,,,, b, c, 4, 5, 6, d sırlışıı; eşil rekle çizile ol d, b,,,, 4, c, d, 5, 6 sırlışıı lttığı oldur. Bu sırlışlrd sılr,,, 4, 5, 6 ve hrfler, b, c, d şeklide sırlmlıdır. A b c d B 6 sı ile 4 hrfi tüm sırlışlrıı sısı (6 + 4)! dir. Sılrı sırlışlrıı sısı 6!, hrfleri sırlışlrıı sısı 4! dir. Sılrı ı elemlr, hrfleri ı elemlr gibi düşümeliiz. Bu göre A d B e (e kıs) ollrı sısı;! 6! 4! = / / / / 4/ = olur. 4. KELEBEK kelimesii hrfleri kullılrk K ile bşl ve E ile bitmee, lmlı ve lmsız, 7 hrfli kç kelime zılbilir? İlk hrf K oluc gerie kl 6 hrf içide te E vrdır. Bşk bezer hrf oktur. Bulrı sırlış sısı dir. Bu 6!! sırlışlrı rısı E ile biter, diğer rısı d L, B, K hrfleride biri ile biter. Ölese istee sırlışlrı sısı; K E L E B E K 6!! 6!! = = 6 tır. 4 Ortöğretim Mtemtik

115 .. ALIŞTIRMALAR.. 5! = 6!, b. 5! + b = 6! ise ve b sılrıı buluuz.. Aşğıdki ifdeleri souçlrıı hesplıız ( Z + ).. 5! 4! b.! + 4! c.! + 9! 8! + 9! ç.! 9! 8! d.! (!) e. (!) (!)! (! + 9! + 8! ) ( + )!!.! sısıı sod kç bsmğıd sıfır buluur? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 4. A = {, } i bütü permütsolrıı zıız kişi, bir bk üzeride, kç değişik dizilişte oturbilir? 6. Bir bb, değişik dört oucğı, 4 çocuğu kç frklı şekilde verebilir? 7. 8 i kız, u erkek ol 8 kişilik bir korou elemlrı, kızlr öde ve erkekler rkd olmk üzere kç değişik şekilde sır dizilebilir? 8. Bir öğrecii frklı 6 mtemtik ve frklı 4 Türkçe kitbı vrdır. Bu öğreci, mtemtik kitplrı bir rd, Türkçe kitplrı bir rd olck şekilde, bu kitplrı bir rf kç değişik dizilişte erleştirebilir? soruu; 6 mtemtik, 5 Türkçe ve 4 trih kitbı içi çözüüz... ADIYAMAN, b. MARMARİS, c. KIRIKKALE sözcüklerideki hrfleri erleri değiştirilerek lmlı d lmsız kç ei sözcük zılbilir?. Rkmlrı sıfırd ve birbiride frklı ol üç bsmklı kç sı vrdır?. 5 şekil, her şekil diğerleride frklı bir rekte olck biçimde, klemle bocktır. Değişik rekte 9 klem buluduğu göre bu bom işi kç türlü pılbilir?. 5 kız ve 5 erkek rkdş, titrod bir sırdki koltuklr, iki kız ve iki erkek olmmk üzere kç değişik sırd oturbilir? 4. İçleride Ali ile Aşe'i de buluduğu 6 kişi, bir bk üzerie Ali ile Aşe olrk kç değişik sırd oturbilir? 5. {, b, c, d, e } i 4'lü permütsolrıı;. Kç teside, b. Kç teside hem hem de b buluur? 6.. P (, r ) = 7 b. P (, ) = ise r ve sılrıı buluuz kişilik bir ile dire şeklideki bir emek mssıı etrfıd, kç değişik şekilde dizilerek oturbilir? A) B) 96 C) 7 D) 6 E) sısıı permütsolrıl elde edile üç bsmklı sılrı tümüü toplmı kçtır? A) 956 B) 846 C)48 D) 9 E) 46. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 5

116 .. KOMBİNASYON ETKİNLİK A, B, C hrfleride kç te iki elemlı küme oluşturbilirsiiz? Bu işlemi soucu ile kişi rsıd kişi seçilerek oluşturulbilecek frklı gruplrı sısı rsıd sıl bir ilişki vrdır? Bu tür işlemleri prke sizce sırlm öemli midir? ÖRNEK A, B, C, D oktlrıd herhgi tesi doğrusl olmsı. Bu oktlrı kç doğru belirttiğii bullım. A ve B gibi iki oktı bir doğru belirttiğii bilioruz. Demek ki AB doğrusu ile BA doğrusu ı doğrudur. Bu göre verile dört okt ile AB, AC, AD, BC, BD, CD doğrulrı belirtilir. Bu doğrulrı sısı A, B, C, D hrflerii herhgi ikisi ile pıl gruplrı sısıdır. TANIM elemlı bir kümei r elemlı ( r ) lt kümeleride her birie, bu kümei r li bir kombisou deir. elemlı bir kümei r elemlı kombisolrıı sısı, C(,r) d r şeklide gösterilir. C (, r ) zılışıd, r düşüülecektir. A = {, b, c, d } i elemlı tüm lt kümelerii ve ie bu kümei lü permütsolrıı zlım. Bölece, C ( 4, ) sısı ile P ( 4, ) sısıı d krşılştırmış olcğız. 4 ü lü kombisolrı C(4, ) = 4 A ı elemlı lt kümeleri A ı lü permütsolrı {,b,c}... (,b,c), (,c,b), (b,,c), (b,c,), (c,,b), (c,b,) {,b,d}... (,b,d), (,d,b), (b,,d), (b,d,), (d,,b), (d,b,) {,c,d}... (,c,d), (,d,c), (c,,d), (c,d,), (d,,c), (d,c,) {b,c,d}... (b,c,d), (b,d,c), (c,b,d), (c,d,b), (d,b,c), (d,c,b) P(4, ) =!. C(4, ) = 4 Yukrıdki tblod, 4 elemlı A kümesii elemlı 4 te lt kümesi buluduğuu ( C ( 4, ) = 4 olduğuu ) görüorsuuz. elemlı bu lt kümelerde her birii sırlış sısı! dir. O hâlde, bu tblo bize,!. C ( 4, ) = P ( 4, ) bğıtısıı vermektedir. Bezer şekilde, elemlı bir kümei r elemlı lt kümelerii sısı, C (, r ) ve bu lt kümelerde birideki elemlrı tüm sırlı dizilişlerii ( permütsolrıı ) sısı d P( r, r ) = r! olur. Ölese;! r! C (, r) = P (, r) C(, r) = dir. ( r)! r! 6 Ortöğretim Mtemtik

117 ÖRNEKLER. A = {, b, c, d, e, f } kümesii 4 lü kombisolrıı sısıı bullım. s(a) = 6 dır. Buu 4 lü kombisolrıı sısı ; 6! 5. 6 C(6, 4) = = = 5 tir. ( 6 4)!. 4!!. 8 kişilik bir bsketbolcu grupt, kç değişik bsketbol tkımı oluşturulbilir? Bize sorul 8 i 5 li kombisolrıdır ( Bir bsketbol tkımı 5 oucud oluşur. ). O hâlde, 8! P ( 8, 5 ) = = = 56 değişik tkım oluşturulbilir. ( 8 5)!. 5!!. 4 kişilik bir sııft, biri bşk ol, kişilik bir rştırm grubu kç değişik şekilde oluşturulbilir?. ol : Öce kişilik grubu seçtiğimizi düşüelim. Bu seçim; 4!.. 4 C ( 4, ) = = = 4 türlü pılbilir. kişilik bu grubu içide bşk,!.!. C (, ) = türlü seçilebilir. O hâlde, bu rştırm grubu, 4 = 67 türlü oluşturulbilir.. ol : Öce 4 kişide birii bşk seçtiğimizi düşüelim. Bu seçim, C ( 4, ) = 4 türlü pılbilir. Sor, gerie kl kişide sii bu grub,!. C (, ) = = = 5 türlü seçebiliriz.!.! O hâlde, söz kousu grup, 5 4 = 67 türlü oluşturulbilir. 4. erkek ve 8 kız öğrecide oluş bir grupt; 6 erkek ve 5 kız öğreci, durrk kç türlü fotoğrf çektirebilirler? erkek öğrecii 6 sı C(,6) türlü, 8 kız öğrecii 5 i C(8,5) türlü seçilebilir. Seçilmiş ol = öğreci, P(,) türlü sırlbilir. Ölese bu fotoğrf çekimi; C(, 6). C(8, 5). P(, ) =! 6!. 4! 8! 5!.!! = =. 56.! = 98.! türlü seçilebilir.! Kimi zm bir problemi permütsol mı oks kombisol mı çözmeiz gerektiği kousud kuşku düşebilirsiiz. Bu durumd, problemi çözüm listeside bir örek zıız. Bu örekteki iki ögei (elemı) erii değiştiriiz. Frklı bir çözüm elde ettiseiz, o problem bir permütso problemidir. Frklı bir çözüm elde edilmedise problemde kümeleme ( d gruplm ) söz kousudur. Bu bu durumd problem, kombiso problemidir. ÖRNEKLER. 55 üeli TBMM'de; biri bşk, biri bşk rdımcısı, biri de üe olmk üzere kişilik bir deetleme komitesi, kç değişik şekilde oluşturulbilir?. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 7

118 Seçile bir üçlüü; bşk, b rdımcısı ve c de üe olmk üzere, (, b, c ) şeklide düşüelim. Bu göre ( c, b, ) sırlışıd bşk c olmuş, ei bir çözüm elde edilmiştir. Demek ki bir çözümde, iki elemı er değiştirmesi ei bir çözüm olmktdır. Ölese problem bir permütso problemidir. İstee souç; 55! P ( 55, ) = = = olur. ( 55 )!. Herhgi üçü doğrusl olm rstgele okt ile kç üçge belirtilebilir? Bu oktı üçü; A, B ve C olsu. ABC üçgei ile BAC üçgei frklı iki şekil değildir. Demek ki bir çözümde iki elem er değiştirice, ei bir çözüm (üçge) elde edilmemektedir. Ölese problem, bir kombiso problemidir. İstee çözüm;! 8 9 C (, ) = = = olur. Söz kousu okt, frklı üçge belirtir.! 7!. Bir kümei, e çok elemı ol lt kümelerii sısı ise bu kümei elem sısı kçtır? Kümei elem sısı olsu. C (, ) + C(, ) + C(, ) = + +! = ( )!! + ( ) = 4 ( + ) = 4 = 6 7 = 6 Söz kousu küme, 6 elemlıdır. 4. Şekilde verile d ve d doğrulrı A oktsıd kesişmiştir. Bu şekilde hrflerle belirtilmiş ol 9 okt ile kç üç- C d D B ge belirtilebileceğii; bu üçgeleri kç teside bir köşei A, A kç teside D olduğuu bullım. E F G Verile 9 oktı herhgi tesi doğrusl olmsdı H K d bu oktlr C(9, ) te üçge belirtirdi. Os A, B, C, D oktlrıd herhgi ü bir üçge belirtmez. Bezer şekilde A, E, F, G, H, K oktlrıd herhgi ü de bir üçge belirtmeeceğide, söz kousu üçge sısı: C(9, ) C(4, ) C(6, ) = 84 4 = 6 tır. Aı çözümü oktı B, C, D de bir oktı E, F, G, H, K oktlrıd; oktı E, F, G, H, K oktlrıd bir oktı d B, C, D oktlrıd seçerek; bir de bir köşesi A ol üçgeleri düşüerek; C(, ) C(5, ) + C(5, ) C(, ) + C(, ) C(5, ) = = 6 şeklide de bulbiliriz. Bu üçgelerde bir köşesi A ollrı sısı = C(, ) C(5, ) = 5 = 5, bir köşesi D ollrı sısı = C(5, ) + C(, ) C(5, ) = + 5 = 5 olur. 8 Ortöğretim Mtemtik

119 5. Bir sııft erkek, 6 kız öğreci vrdır. Bu sııft si kız, ü erkek öğreci ol 5 kişilik bir çlışm grubuu kç türlü oluşturulbileceğii bullım.! C(, ) C(6, ) =! 7! 6! = = 4 = 6 8! 4! Söz kousu grup 6 8 türlü oluşturulbilir i geometri sorusu ol soruluk bir sıvd öğrecilerde geometri sorulrıı rısıı, diğer sorulrd d belirli si zorulu olmk üzere 9 soruu ıtlmlrı istemiştir. Bu sıvd bir öğrecii, ıtlcğı soruu kç frklı şekilde seçebileceğii bullım. 8 geometri sorusud rısı C(8, 4) türlü seçilebilir. sorud belirli si zorulu seçileceğide geri kl sorud 7 si C(, 7) türlü seçilebilir. Öğreci soruu; C( 8, 4) C(,7) = 8! 4! 4!! 7!! = 5 6 / 7 8 / / / 4/ 4 8 / 9 / = / / 7 = 84 türlü seçebilir. 7. Bir okuld 9 seçmeli dersi si ı stte verilmektedir. 4 seçmeli ders lck ol bir öğrecii bu seçimii kç türlü pbileceğii bullım. Seçeceği dersleri 4 üü de ı stte verile dersi dışıd kllrd d birii bu iki derste, geri kl üü öteki 7 derste seçebilir. O hâlde öğreci seçimii; C( 7, 4) + C(7, ) C(, ) = 7! 4!! + 7!!. 4! = = 5 türlü pbilir. Kombisou Özellikleri C(, r) =! r!.( r)! bğıtısıı kullrk şğıdki eşitlikleri zbiliriz.. C(, ) = = C(, ). C(, ) = C(, ) =. C(, r) = C(, r) 4. C(, r) + C(, r + ) = C( +, r + ) Bu özellikleri şğıdki gibi kıtlrız.!. C (, ) =!. ( )! =!!!! =, C(, ) = = =!. ( )!!.!. C (, ) =!. ( )! = ( )!. ( )! =, C(, ) =!!!!. C (, r) = = = = Cr (,) ( r)!. ( ( r))! ( r)!. r! r!.( r)! ( )!. ( ( ))! = ( )!. ( )!. = 4. C (, r) + C(, r + ) =!.r! +! ( r)! ( r )! (r + )! =! (r + ) +! ( r) ( r)! (r + )! (r + + r) =! ( r)! (r + )! = ( + )! ( r)! (r + )! = C( +, r + ). Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 9

120 Bu özeliklere göre şu eşitlikleri zbiliriz: C ( 7, ) =, C ( 5, 5 ) =, C (, 4 ) = C (, 6 ), C ( 8, ) + C ( 8, ) = C ( 9, ) C (, ), C (, r ), C (, r ), C (, r ),... değerlerile şğıdki gibi bir üçge oluşturlım. C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(, ) C(4, ) C(4, ) C(4, ) C(4, ) C(4, 4) + + C(5, ) C(5, ) C(5, ) C(5, ) C(5, 4) C(5, 5) Bu üçgee, Hm üçgei deildiğii biliorsuuz. Hm üçgeii bir stırıdki rdışık iki terimii toplmı, bir lt stırd, bu iki terimi ltıddır. Söz gelimi, C(4, ) + C(4, ) = C (5, ) ve C(4, ) + C(4, ) = C(5, ) eşitlikleri, tblod işretleerek gösterilmiştir. O hâlde, bu özeliği kullrk üçgei bir stırıdki terimleri, bu stırı üstüdeki terimlerde kolc zbiliriz. Bu göre Hm üçgei sğdki gibi olur: Düflüelim Y tll m Hm üçgeide;. Her stır ile bşlr, ile biter. Nede?. Ort düşe sütu göre simetrik elemlr eşittir. Nede?. Her stırd, e büük terim erededir? O hâlde, C (, r ) i mksimum ( e büük ) değeri içi e söleebilirsiiz? 4. Herhgi bir stırdki terimleri toplmı içi e söleebilirsiiz? Bu toplm, i hgi kuvveti olur? Burd sezgimizle frkı vrdığımız; C(, ) + C(, ) + C(, ) + + C(, ) = eşitliği, her doğl sısı içi doğrudur. Buu z ileride biom çılımıd kıtlcğız. ÖRNEKLER. Doğru-lış sorulrıı er ldığı soruluk bir sıvd, her soruu ot değeri (puı) frklıdır. Bu sıvd e çok kç frklı ot lıbilir? Ortöğretim Mtemtik

121 Sıv gire biri, bu soruu: Hiçbirii bilmeebilir; bu hâlde, C(, ) türlü, Ylız birii bilebilir; bu hâlde, C(, ) türlü, Ylız ikisii bilebilir; bu hâlde, C(, ) türlü, Ylız üçüü bilebilir; bu hâlde, C(, ) türlü,. Tümüü bilebilir ; bu hâlde, C(, ) türlü ot lbilir. Demek ki bu sıvd, C(, ) + C(, ) + C(, ) C(, ) = türlü ot lıbilir.. Ker sısı ol koveks çokgei köşege sısıı hespllım. Frklı iki oktd bir doğru geçtiğie göre verile te oktd geçe doğru sısı C(, ) dir. Bu sıd, çokgei ker sısı ol i çıkrıc, köşege sısıı buluruz. O hâlde;. Herhgi dördü düzlemsel olm 8 oktı kç düzlem belirttiğii bullım. Doğrusl olm okt bir düzlem belirttiğide 8 okt ile oluşturulbilir. 4. Herhgi 5 oktı kç vektör belirttiğii bullım. köşege sısı = C(, ) =! ( )!.! = ( ) frklı düzlem Herhgi iki okt bir doğru ve vektörler ölü olduğud iki vektör belirtir. O hâlde 5 okt P(5, ) = 5.4 = vektör belirtir. = ( ) olur =.... = kerlı bir dışbüke çokgei kç köşegei olduğuu bullım. 9 kerlı bir dışbüke çokgei köşesi vrdır. köşe ile 45 =.. = prçsı oluşur. Bulrd tesi ker olduğud 45 = 5 köşege vrdır. te doğru.( ). 7 Souc Köşege sısı = = = 5 şeklide de ulşbiliriz... ALIŞTIRMALAR. 5 elemlı bir kümei lü permütsolrı ile lü kombisolrı rsıdki frkı çıklıız.. A = {, b, c, d } i ikili kombisolrıı ve permütsolrıı zıız... C (, ) = 6, b. C (, ) = 5, c. C (, ) =, ç. C ( 6, r ) = ise ve r sılrıı buluuz volebolcu ile kç te frklı volebol tkımı oluşturulbilir? 5. 4 kişilik bir sııft, 4 kişi gezi kolu içi seçilecektir. Seçilelerde biri bu grubu bşkı olcğı göre grup kç değişik şekilde oluşturulbilir?. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

122 6. Aşğıd soldki şekilde kç üçge vrdır? P A A B C D E 7. Yukrıd sğdki şekilde, t koumd ve birbirlerie prlel ol 5 doğru, ie birbirlerie prlel ol dört doğru ile kesişmiştir;. Şekilde, kç te prlelker vrdır? b. Şekilde, bir köşesi A ol kç te prlelker vrdır? 8. Bir öğreci mtemtik, geometri, litik geometri dersleride ikisii; fizik, kim ve bioloji dersleride ikisii; Türkçe, Türk dili ve edebitı, kompoziso, trih, coğrf dersleride üçüü seçecektir. Bu öğreci kç değişik türlü seçim pbilir? 9. A = {, b, c, d, e, f } i bir elemı ol üç elemlı kç lt kümesi vrdır?. C(, r) = C(, 4) ise r i lbileceği değerleri buluuz.. Şekilde, herhgi ikisi doğrusl olm 7 ışı çizilmiştir. Bu ışılrl kç te;. Yölü b. Yösüz çı belirtilebilir? O. kişide 4 kişilik bir komite oluşturulcktır. Komitede; kişi bşk, kişi de ou rdımcısı olcktır. Bu komite, kç değişik şekilde oluşturulbilir?. Her post kutusu bir mektup koulmk üzere, mektupt ü, post kutusu kç değişik şekilde koulbilir? 4. Herhgi dördü düzlemsel olm okt, frklı kç düzlem belirtir? 5. Bir öğreci; 5 i mtemtik ve 4 ü fizik sorusu ol 9 sorud e z biri mtemtik sorusu olmk üzere 4 soruu ıtlcktır. Öğreci, ıtlcğı sorulrı kç değişik şekilde seçebilir? 6. Herhgi okt kç vektör belirtir? 7. Birbirlerii kopsı ol 5 şekil frklı reklerdeki 9 klem kullılrk bocktır. Bu bom işide;. Her şekil lız rek kullılrk bocktır.. İki şekil ı reklerle bomcktır (Öreği; şekillerde biri mvi ve kırmızı rekle bomış ise bşk bir şekil bu iki rek ile bomcktır. İki şekilde biri mvi ve kırmızı, diğeri mvi ve eşil ile bomış olbilir.). Bu göre verile 5 şekil kç türlü bobilir? 8. sısı pozitif tm sıı toplmı şeklide zılcktır. Bu zım kç türlü pılbilir? ( ve gibi zılımlr frklı düşüülecektir.). 9. te terimde oluş bir ifdei kresi hespldığıd kç terim elde edilir? A) B) ( + ) + C) + D) E) ( + ) Ortöğretim Mtemtik

123 .. BİNOM AÇILIMI ETKİNLİK.. ( + ) ( + ) çrpımıı pıız. b. d bulduğuuz soucu ( + ) ile çrpıız. Bölece, ( + ) ifdesii çılımıı bulmuş olursuuz. c. b de bulduğuuz soucu ( + ) ile çrprk ( + ) 4 ifdesii çılımıı elde ediiz. ç. c deki ifdei ( + ) ile çrprk ( + ) 5 ifdesii çılımıı buluuz.. ( + ), ( + ), ( + ) 4, ( + ) 5 ifdelerii çılımlrıdki kt sılrı birer stır şeklide lt lt zıız. Her stırdki sılrl bir lt stırdki sılr rsıdki ilişkii bulm çlışıız.. de bulduğuuz ilişkide rrlrk ( + ) 6, ( + ) 7, ( + ) 8 ifdelerii çılımlrıdki kt sılrı buluuz. 4. bir doğl sı ise ( + ) ifdesii çılımı içi e söleebilirsiiz? + şeklideki iki terimlie biom deriz. Bu kısımd N içi ( + ) ifdesii çılımıı iceleeceğiz. Aşğıdki eşitlikleri doğru olduğuu poliomlr kousud bilioruz: ( + ) = ( + ) = + ( + ) = + + ( + ) = ( + ) 4 = ( + ) 5 = Bu eşitliklerdeki kt sılr dikkt ediiz. Bulr Hm üçgeideki sılrdır. Burdki so eşitliği + ile çrprsız, i ( + ) 6 ifdesii hesplrsız bulcğıız ifdedeki kt sılr Hm üçgeide, 7. stırdki sılr olcktır. Bu çılımlr şğıdki eşitliği örekleridir. Bu eşitlikte i derecesi zlırke i derecesii rttığı dikkt ediiz. z = ÖZELLİK Her doğl sısı içi; ( + ) = C(, ) + C(, ) + C(, ) + + C(, ) dir. Biom çılımı die bilie bu çılımdki gözlemlerimiz şulrdır:. Açılımd + te terim vrdır.. Her terim. derecededir.. Açılım i zl kuvvetlerie göre düzelediğide i derecesi birer sı zlrk i derecesi birer sı rtrk devm eder. 4. Açılım i zl kuvvetlerie göre zıldığıd bşt k. terim C(, k ) k + k dir. 5. r {,,, } olmk üzere, çılımd her terim C(, r) r. r ile gösterilebilir (geel terim). 6. Açılım her ve her içi doğrudur. Ölese i ve i erie zıc; = C(, ) + C(, ) + C(, ) + + C(, ) olur.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

124 ÖRNEKLER. ( + ) 5 çılımı i zl kuvvetlerie göre zılıc bşt. terimi bullım. 5. terim = C(5, ) = 5! 4!! 4 = 65 4 olur.. ( ) 5 ifdesii çılımıd 8 li terimi bullım. Verile iki terimlii çılımıd bir terim (geel terim); C(5, r) ()5 r ( ) r elde edilebilmesi içi r = 4 olmlıdır. O hâlde; 8 dir. 8 li terim = C(5, 4) () 5 4 ( ) 4 = 4 C(5, 4) 8 dir. 4. ifdesii çılımı i zl kuvvetlerie göre zıldığıd; `. Bşt 7. terimi b. Sod. terimi c. Ortdki terimi bullım Bşt 7. terim = C(4, 6) ( ) = C(4, 6) dir. ) 9 b. Sod. terim, ( lu terim olur. Bu göre, Sod. terim = C(4, 5) ( = C(4, 5) olur. ) 9 5 c. Ortdki terim ( çılımd 5 terim buluduğud) bşt. terimdir. Bu terim de; C(4, ) ( ) = C(4, ) dir ifdesii çılımıd sbit terimi bullım. Açılımdki sbit terim i bulumdığı ( leri kısldığı) terimdir. r 8 r 8 r r r C( 8, r) ( ) = ( ) C(8, r) 8 r 4 r = r = 4 olur. Bu göre, sbit terim = ( ) C(8, 4) = C(8, 4) tür. 5. ( + z) ifdesii çılımıd z 4 lü terimi bullım. Verile ifdede (prtez içide) terim vrdır. u = döüşümüü ugulrk buu iki terimlie döüştürelim. ( + z) = (u + z) Elde ettiğimiz iki terimlide z 4 lü terim; C(, 4) u 6 z 4 = C(, 4) ( ) 6 z 4 olur. ( ) 6 ifdesii çılımıd lü terim; C(6, ) ( ) = C(6, ) tür. Bu göre; C(, 4) u 6 z 4 = C(, 4) ( ) 6 z 4 = C(, 4) [C(6, ) C(6, ) ( ) + + C(6, 6) ( ) 6 ] z 4 4 Ortöğretim Mtemtik

125 zbiliriz. Bu çılımd rdığımız terim; C(, 4 ). C( 6, ).! ( ). z!.!. 6! 4 = 6 4!.! z =.... z =... z = 4... z terimidir... ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki ifdeleri çılımıı zıız.. ( + ) 6 b. ( + ) 7 c. ( ) 7 ç. ( + ) 4 5. ( ) ifdesii çılımıd lu terimi buluuz.. ( + 5) ifdesii çılımıd 8 li terimi buluuz. 4. ifdesii çılımı i zl kuvvetlerie göre zıldığıd,. Bşt 7. terimi b. Sod. terimi c. Ortdki terimi buluuz. 5. Aşğıdki çılımlrd (vrs) sbit terimi buluuz. 9. b. 6 + c. 6. ( ) 5 ifdesii çılımıd bir terim k 6 ise k ve sılrıı buluuz. 7. ( + ) ifdesii çılımıd bir terim C(, r) () p ve p N olduğu göre ile r rsıdki bğıtıı buluuz. 8. C(5, 7) C(5, r) = C(5, r ) C(5, 6) ise r i lbileceği değerleri buluuz ( 5+ ) ifdesii çılımıd kç te rsoel terim vrdır? 5. ifdesii çılımıd bir terim ise sısıı buluuz. 4 `. Aşğıdki işlemleri pıız. 96. ( ) 6 b. ( ) 5 c. ( 5 ) ( 5 + ) ç. 4 7 ( 6 ) ( + 6). P() = ( + ) 5 5( + ) 4 + ( + ) ( + ) + 5( + ) + 6 ise 5 P( ) kçtır? A) 5 B) C) 9 D) 8 E) 4. ( ) ifdesii çılımıd bir terim k. 6 dır. k sısı şğıdkilerde hgisidir? A) 9 B) 45 C) 6 D) E) 7. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 5

126 .4. OLASILIK A. TEMEL KAVRAMLAR. Hgi oulrd şs t söz edildiğii dursıız? b.. "Bu hftki Gltsr - Feerbhçe mçıd şslr eşit. sözüde e lrsıız?. Bir gök tşıı dümız çrpm olsılığı milod birdir. sözüde e lrsıız? ETKİNLİK.. Şsı % (kesi) oluşu bir örek veriiz. b. Şsı % (imkâsız) oluşu bir örek veriiz.. Bir torbd 5 bez ve 7 kırmızı bile vrdır. Bileler özdeştir. Bu torbd lı bir bilei bez olm şsı (olsılığı) sizce sıl hesplbilir? Bu örekteki gibi istee bile sısıı torbdki bileleri sısı orlrk bir foksio tımlm çlışıız? Sizce bu foksiou e tür özellikleri olur? Hv tıl bir mdeî pr ere düşüce üst üzüü zı mı, tur mı olcğıı düşüelim. Heme "Y zı olur, d tur." demez miiz? Buul, bir mdeî prı tılmsı deeide üst üze gelebileleri zı ile tur olcğıı söleriz. İçiizde, "Yzı gelme şsı ile tur gelme şsı eşittir." die de düşüürsüüz. Bulrı bir sı ile ltmmız gerekirse "Yzı gelme şsı d, tur gelme şsı d / dir." deriz. "Yzı" ile "tur"d her birie, mdeî pr tılmsı deeideki çıktılr deir. Bezer şekilde, bir tvl zrıı ms üstüe rstgele trk üst üze gelebilecek sıı düşüelim. Bu deeimizdeki çıktılr,,, 4, 5, 6 sılrıdır. Bu hâlde, söz gelimi 5 sısıı gelme şsı ( d olsılığı ) /6 dır. Bu deede tek sı gelme olsılığıı söleiiz. Bu tür hesplrı, bir mtemtiksel temele ddırbilmek içi dı "olsılık foksiou" dediğimiz ve P ile gösterdiğimiz ei bir foksio tımlcğız. Bu foksiou tımlrke öreklem uz dediğimiz ve E ile gösterdiğimiz ( boş kümede frklı ) bir kümede söz edeceğiz. E, kou edile deede çıktılrı kümesidir. E i her bir elemı öreklem okt dı verilir. Yukrıdki mdeî pr tılmsı deeide öreklem uz, E = { zı, tur } ; zr tılmsı deeide öreklem uz, E = {,,, 4, 5, 6 } dır. ÖRNEK. İki mdeî prı birlikte tılmsı b. İki zrı birlikte tılmsı deeleride öreklem uzlrı ve bu uzlrı elem sılrıı zlım. c. dki öreklem uz it A olı, prlrı ikisii de tur; B olı prlrd birii zı diğerii tur gelmesi olı ise A ve B ollrıı elemlrıl zlım. 6 Ortöğretim Mtemtik

127 . Frklı iki mdeî pr birlikte tılırs ikisi de tur (T) ve ikisi de zı (Y) d biri tur, biri zı gelir (Ydki tblou iceleiiz.). Bu göre öreklem uz, E = { (T, T), (T, Y), (Y, T), (Y, Y) } olur. Bu uzı elem sısı 4 tür. Birici pr E T Y İkici pr T Y T, T T, Y Y, T Y, Y İkici zr b. İki zr birlikte tılırs öreklem uz, dki tblo- E d görüle ikililer olur. Bu göre;,,,,4,5,6 E = { (, ), (, ),... (6, 6) } dır. Buu elem sısı d 6 dır. c. A = { (T, T)} ve B = { (T, Y), (Y, T) } olur. Düflüelim Y tll m. Bir mdeî prı rt rd iki kez, Birici zr,,,,4,5,6,,,,4,5,6 4, 4, 4, 4,4 4,5 4,6 5, 5, 5, 5,4 5,5 5,6 6, 6, 6, 6,4 6,5 6,6 b. Bir zrı rt rd iki kez tılmsı deeleride öreklem uzlrı zıız. TANIM Öreklem uzı her elemı öreklem okt, her lt kümesie de ol deir. Boş küme ol ol imkâsız ol, öreklem uz eşit ol ol d kesi ol dı verilir. Yukrıdki örekte; d (T, T) bir öreklem okt, {(T, Y), (Y, T)} bir oldır. Yie bu örekte b de; A = { (, ) + = }, B = { (, ) + < 5 } kümeleri birer oldır. Bu tblod, + = olck şekilde bir (, ) çıktısı oktur. Demek ki A = Ø dir. Ölese A, imkâsız oldır. Tblodki tüm (, ) çıktılrıd, + < 5 tir. Bu edele B = E olur. O hâlde B, kesi oldır. TANIM A ile B, ı bir öreklem uzı iki olı olsu. A B = ise A ile B e, rık ollr deir. Bir zr tılmsı deeide, öreklem uz; E = {,,, 4, 5, 6} dır. Bu uzı; {, }, {4, 5, 6} ollrı rık ollrdır. ÖRNEK E = {,, } bir öreklem uz olsu. Bu uzı bütü ollrıı kümesi (listesi) L ise L kümesii elemlrı ile zlım. Bu listede herhgi ikisi rık ol ikide çok ol ve rık olm iki ol zlım.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 7

128 L = {A A E} = { Ø, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, } } olur. Bu listedeki; Ø, { }, { }, { } ollrı, herhgi ikisi rık ol (ikide çok) ollrdır. Arık olm ollrd ikisi de {, }, {, } ollrıdır. B. OLASILIK FONKSİYONU VE TEMEL ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK Yd verile E kümesii E, b, c bütü lt kümelerii listesi L kümesidir. L i eksik bırkıl ele- L=,{ },,{, b, c} mlrıı siz zıız. L kümesii elemlrıı [, ] rlığıdki kimi sılrl eşlee ve şğıdki koşullrı sğl bir P foksiou tımlıız: P(E) = dir. A, B L, A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) dir. (Buu içi sıfırd frklı ol P(), P(b), P(c) sılrıı, toplmlrı olck şekilde belirlemelisiiz.). A ve B kümelerii sıl seçersiiz P( ) = soucuu bulursuuz? b. Her A L içi P(A) değerii ve sılrı ile sırlıız. c. A E ise P(A) ve P(A ) sılrı rsıd bir bğıtı buluuz. ç. A, B L, A B ise P(A) ile P(B) sılrı rsıd sizce hgi sırlm vrdır? d. A, B L ise P(A B), P(A), P(B), P(A B) sılrı rsıd bir bğıtı bulm çlışıız. Bu çlışmlrıızl bir kısım özelliklerii sezilediğiiz P foksiouu sıl dldırmk istersiiz. = { } { } TANIM Bir E öreklem uzı verilmiş olsu. L = { A A E } olmk üzere, P: L [, ] A P(A) foksiou şğıdki iki özelliği sğlrs bu, L üzeride bir olsılık foksiou deir.. P(E) = dir.. A L, B L ve A B = Ø ise P(A B) = P(A) + P(B) dir. Olsılık foksiouu değer kümesi [, ] olduğu göre her A olı içi P ( A ) dir. Christi Huges (Kristi Hjigs): ıllrı rsıd şmış İgiliz Mtemtikçi, fizikçi ve gökbilimcidir. Olsılık hesbı ktkı pmıştır. Bu koudki çlışmsıı 656 ılıd ımlmıştır. 8 Ortöğretim Mtemtik

129 ÖRNEKLER. E = {, b} öreklem uzıd ollr listesi, L = { Ø, {}, {b}, {, b} } dir. P: L [, ], P(Ø) =, P( {} ) = P( {b} ) =, P( {, b} ) = ise P foksiou L üzeride bir olsılık foksiou mudur? P, olsılık foksiou tımıdki iki özeliği de sğlrs L üzeride bir olsılık foksiou olur.. P(E) = P( {, b} ) = verilmiştir.. Bir A L içi Ø A= Ø P(Ø A)? = P(Ø) + P(A) P(A)? = + P(A) P(A) = P(A) L de, her biri Ø de frklı ol rık iki ol, {} ile {b} dir. Bu ollr içi de {} {b} = {, b} P( {, b} ) = = + = P( {} ) + P( {b} ) dir. Demek ki P, olsılık foksioudur. (Bu örekte, P( {} ) = P( {b} ) = erie ; P( {} ) =, P( {b} ) = verilsedi, P olsılık foksiou olmzdı. Nede?) P ( {} ) erie, bud sor sdece P() zcğız. Bezer şekilde, P( {, b} ) i de P(, b) ile ltcğız.. E = {, b, c, d} bir öreklem uz ve P olsılık foksioudur. P() =,, P(b) =, ve P(c) =,45 ise P(d) ve P(c, d) olsılıklrıı bullım. {}, {b}, {c}, {d} kümeleri ikişer ikişer rık ve bulrı birleşimi E olduğud, P() + P(b) + P(c) + P(d) = P(d) =,,,45 =,5 P(c, d) = P(c) + P(d) =,45 +,5 =,5 tir. z = ÖZELLİK Bir öreklem uzı iki olı A ile B olsu. P olsılık foksiou içi;. P(A) + P(A') =, b. A B ise P(A) P(B), c. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. Bir öreklem uz E, buu iki olı A ile B olsu. Yukrıdki özellikleri şğıdki gibi kıtlrız.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 9

130 . A A' = Ø ve A A' = E olduğuu bilioruz. E A A'= Ø P(A A') = P(A) + P(A') P(E) = P(A) + P(A') = P(A) + P(A') A' A b. A B ise A (B A) = B dir. B A = C dielim. C = Ø ise A = B ve P(A) = P(B) olur. C Ø ise < P(C) dir. Bu hâlde, C = B A ; A C = B, A C = Ø A C = Ø P(A C) = P(A) + P(C) P (B) = P(A) + P(C) P (A) P(B) (P(C) ) elde edilir. c. (A B) (A B) = Ø (A B) B = Ø olduğuu bilioruz. Ölese olsılık foksiou tımıdki. özellik kullılrk; (A B) (A B) = A P(A B) + P(A B) = P(A), (A B) B = A B P(A B) + P ( B ) = P(A B) eşitlikleri elde edilir. Bu iki eşitlik trf trf çıkrılırs; P(A B) P(B) = P(A) P(A B) ve burd d; P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) soucu buluur. ÖRNEKLER. Bir E öreklem uzıd iki ol A ile B dir. P olsılık foksiou ve P(A) =, P(B) =, 7 5 P(A B) = 8 ise P(A B) sısıı bullım. 5 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 8 5 PA ( = + P(A B) B) = + = = Bir sııftki öğrecileri tmmı, bsketbol ve volebol d bu oulrı ikisii de omktdır. Volebol o öğrecileri kümesi V, bsketbol o öğrecileri kümesi B ile gösterilior. 7 PV ( ) =, P(B) = 5 8 ise sııft e z kç öğreci olduğuu ve bu sııft seçile bir öğrecii hem bsketbol hem de volebol o bir öğreci olm olsılığıı bullım. E A A' = E, A A' = Ø P(A) + P(A') = A A B B A A B A B A B B Ortöğretim Mtemtik

131 Verile olsılıklrd pdlrı eşitlersek , =, olur. Demek ki bu sııftki öğreci sısı, e z 4 tür Sııft bsketbol ve volebol oulrıd ikisii de om öğreci bulumdığı göre P( B V ) = dir. Bu göre; P(B V) = P(B) + P(V) P(B V) = + P(B V) P(B V) = tür C. EŞ OLASILI (OLUMLU) ÖRNEKLEM UZAYI ETKİNLİK Ydki kutud büüklükleri ve ğırlıklrı ı ol (özdeş) bileler vrdır. Bu kutud bir bile lımsı deeide:. Öreklem uz e olur? b. Bilelerde her birii çıkm olsılığı edir? c. Bu öreklem uzı sizce sıl dldırılmlıdır? z = ÖZELLİK E öreklem uzı solu () sıd elemı ol uz ve L = {A A E} olsu. sa ( ) P: L [, ], her A L içi P(A) = ise P olsılık foksioudur. Solu sıd ( te) öreklem oktsı ol bir öreklem uz E ve L = {A A E} olsu. A, B L, A B = Ø, s ( A ) = ve s ( B ) = ise, s ( A B ) = s ( A ) + s ( B ) s ( A B ) s ( A B ) = + P(A B) = + = + = P(A) + P(B) dir. Demek ki olsılık foksiou tımıdki. özellik sğlmktdır. Şimdi de ı tımd. özelliği sğldığıı gösterelim. E öreklem uzıı bir elemlı lt kümeleri; A, A,..., A olsu. Bu kümeler ikişer ikişer rıktır. Bu edele; E = A A... A ve P(E) = P(A A... A ) = P(A ) + P(A... A ) = P(A ) + P(A ) + P(A... A ). = P(A ) + P(A ) P(A ) = = olur. Demek ki olsılık foksiou tımıdki. özellik de sğlmktdır.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

132 Öreklem uzı, E = {, b, c } ise L = { Ø, {}, {b}, {c}, {, b}, {, c}, {b, c}, {, b, c} } olur. sa ( ) sa ( ) P: L [, ], P(A) = = se ( ) şeklide tıml P foksiou,. sfsıdki özellik gereğice olsılık foksioudur. Bu örekte; P(Ø) = =, P() = P(b) = P(c) =, P(, b) = P(b, c) = P(, c) = ve P ( E ) = P(, b, c) = = dir. TANIM Öreklem uzı E = { e, e, e } ol bir P olsılık foksiou içi; P(e ) = P (e ) = = P (e ) ise E e eş olsılı (olumlu) öreklem uz deir. ÖRNEKLER. Bir mdeî pr, rt rd iki kez tıldığıd, ikiside de üst üze tur (T) gelme olsılığı kçtır? Bu deede öreklem uz, E = { (T, T), (T, Y), (Y, T), (Y, Y) } dır. Bu, eş olumlu öreklem uzdır. Bizde istee ol, { (T, T) } dır. Bu olı olsılığı d; P(T, T) = tür. 4. İki zr birlikte hv tıldığıd, üst üze gele sılrı ı olm olsılığı edir? Bu deede öreklem uz, 7. sfdki öreği b şıkkıd gördüğümüz, E = { (, ), (, ),..., (6, 6) } kümesidir. Bu öreklem uz d eş olumludur. Problemde bizde istee ol, A = { (, ), (, ), (, ), (4, 4), (5, 5), (6, 6) } ve buu olsılığı, P(A) = sa ( ) dır. se ( ) = 6 = 6 6. Bir kutudki özdeş çikoltı 4 ü sütlüdür. Bu kutud çikolt ie Aşe i ediği çikoltlrı sii de sütlü çikolt olm olsılığıı bullım. Çikoltlr özdeş olduğud öreklem uz eş olumludur. çikoltd si ediğide öreklem uzı elem sısı, s(e) = C(, ) dir. Yee çikoltlrı sii de sütlü olmsı olı A ise A ı elem sısı s(a) = C(4, ) dir. Bu durumd; PA ( ) = C(4, ) C(, ) = 4!!! 8!!! = 6 9 = 5 olur. Ortöğretim Mtemtik

133 4. Bir torbd özdeş kırmızı, 6 srı, 5 mvi bile vrdır. Bu torbd lı bir bilei;. kırmızı, b. srı, c. mvi olm olsılığı kçtır? Kutud iki bile birlikte lıırs; ç. ikisii de mvi, d. birii mvi, birii srı olm olsılığı kçtır? Bileler özdeş olduğud, E öreklem uzı eş olumludur. Kırmızı bileler kümesi (olı) K, srı bileler kümesi (olı) S, mvi bileler kümesi (olı) M olsu. Torbd bile çekilmesi deeide öreklem uzı elem sısı, s ( E ) = s ( K ) + s ( S ) + s ( M ) = = 4 ; torbd bile çekilmesi deeide öreklem uzı elem sısı, s ( E ) = C ( 4, ) = 4! 4 = = 9 dir.!! Bu göre istee olsılıklr; sk ( ). PK ( ) = =, ç. P (M, M) = se ( ) 4 ss ( ) 6 b. P( S) = = =, d. P (M, S) = se ( ) 4 7 c. sm ( ) PM ( ) = se ( ) = 5 4, C( 5, ) C( 4, ) = 5! 4 5!! 9 = 9 = C( 5, ) C( 6, ) 5 6 C( 4, ) = 9 = 9 olur. 9, 5. Bir çift zr tılıor. Üst üze gele sılrı toplmıı. b. 7 c. 5 te küçük ç. 6 d büük sı gelme olsılıklrıı bullım. Bir çift zr tılıc öreklem uz E = { (, ), (,),, (6, 6) } olur (7. sfdki. tblo). Bu, eş olumlu öreklem uzdır.. Ögeleri toplmı ol ikili (6, 6) ve P(6, 6) = 6 dır. b. Ögeleri toplmı 7 ol ikilileri kümesi A = {(, ) + = 7 } = {(, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6, )} olur. P(A) = s(a) s(e) = 6 6 = 6 dır. c. B = {(, ) + < 5 } = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(B) = s(b) s(e) = 6 6 = 6 dır. ç. C = { (, ) + > 6 } = { (, 6), (, 5), (, 6), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } P(C) = s(c) s(e) = 6 = 7 olur.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

134 6. 5 erkek ve 6 kızd oluş kişilik bir grupt rstgele seçile 5 kişide e z üü erkek olm olsılığıı bullım. Seçile grupt e z erkek (e) olmsı istediğie göre bu 5 kişilik grup; (e, e, e, k, k), (e, e, e, e, k), (e, e, e, e, e) şeklide olmlıdır. Bu gruplrı kümesie A dersek istee olsılık; = 5! 6! = 8 / / 4 / 5 /! 7 8 / 9 = 8 / / / 46 olur. 7. Bir kutud özdeş 4 mvi, 5 kırmızı, 6 eşil bile vrdır. Bu kutud lı bilede üü de ı rekli olm olsılığıı bullım. PA ( ) = C(5, ) C(6, ) + C(5, 4) C(6, ) + C(5, 5) C(, 5) Öreklem uzı bileleri oluşturduğu lüler olur. Buu sısı ( = 5 olduğud) C(5, ) tür. p(a) = P(m, m, m) + P(k, k, k) + P(,, ) P(A) = C ( 4, ) C( 5, ) C( 6, ) =.!.! C( 5, ) C( 5, ) C( 5, ) 5! = = = olur. ` Bir kutud özdeş 5 mvi, 6 bez, 4 kırmızı bile vrdır. Bu kutud rstgele üç bile lııor. Bilelerde e z birii mvi olm olsılığı kçtır? Kutud, = 5 bile vrdır. Kutud üç bile lıdığı göre öreklem uzı elem sısı, s ( E ) = C ( 5, ) olur. Bileler özdeş verildiğide, E öreklem uzı eş olumludur. Bizde istee A olı, e z biri mvi ol ( m, m', m' ), ( m, m, m' ), ( m, m, m ) şeklide üçlü kombisolrdır ( m', mvi olm biledir. ). Bulrı üçüü de olsılığıı bulmk erie, bizde istemee A' olıı olsılığıı bullım. Buu de çıkrıc d istee P(A) olsılığıı elde etmiş oluruz. A' olı, ( m', m', m' ) şeklide üçlü kombisolrdır. Bu üçlü kombisolr bez ve kırmızı bileleri toplmı ol bilei üçlü kombisolrıdır. P(A') = P(m', m', m') = C(,) ` C(5,) =!! 7!!! = 8 9 5! 4 5 = 4 9 P(A) = P(A') = 4 9 = 67 9 olur kız ve erkek öğrecii buluduğu bir sııft kız öğrecileri 5 i, erkek öğrecileri 4 ü gözlüklüdür. Bu sııft rstgele seçile öğrecii;. Birii kız, diğerii erkek, b. İkisii de erkek, c. İkisii de gözlüklü, ç. İkisii de gözlüklü erkek, d. Birii kız ve birii gözlüklü erkek, e. İkisii de kız ve ikisii de gözlüklü öğreci olm olsılıklrıı bullım. 4 Ortöğretim Mtemtik

135 . Pk (, e) = C(5, ) C(, ) C(5, ) = 5 5 = Kız Gözlüklü 5 Gözlüksüz b. Pe (, e) = C(, ) C(5, ) = 45 5 = Erkek 4 6 c. Pg (, g) = C(9, ) C(5, ) = 6 5 = 5 ç. Pg ( e, g e ) = C(4, ) C(5, ) = 6 5 = 5 d. Pk (, g ) = e C(5, ) C(4, ) C(5, ) = = 5 C(5, ) + C(9, ) C(5, ) e. Pk (, k) + P(g, g) P(g k, g k ) = = C(5, ) =. İçide özdeş 5 mvi, 7 eşil top bulu bir torbd rstgele top lııor. Bu iki topu d ı rekli olm olsılığıı bullım.. ol : P(m, m) + P(, ) =. ol: Çekile iki bilei frklı rekte olmsı olı A' olsu. C( 5, ) C( 7, ) PA ( ') = Pm (, ) = = = C(, ) PA ( ) = PA ( ') = 5 = Ç. KOŞULLU OLASILIK ETKİNLİK C(5, ) C(, ) C(7, ) + C(, ) = = 66. "Bir çift zr tıldığıd üst üze frklı sılr gelmiş ise bu sılrı toplmıı tek sı olm olsılığı kçtır?" sorusud öreklem uzı hgi uzdır? İki zrd gele sılrı toplmıı tek sı olmsı hgi koşul bğlmıştır?. Bir mdeî pr ile bir zrı birlikte tılmsı deeide, prd zı ve tur gelmesii zrd gelecek sı bir etkisi vr mıdır? Birbiride etkilee ve etkilemee ollr örek verebilir misiiz? Bir kutud, de 9 kdr umrlmış 9 te kırmızı ve de 6 kdr umrlmış 6 te mvi bile bulusu. Bu bileleri özdeş olduğuu kbul edelim. Kutud çekile bir bile kırmızı rekli ise buu çift sı ile umrlı olm olsılığı edir? Bu problemde; kırmızı bileler kümesi, K = {k, k, k, k 4, k 5, k 6, k 7, k 8, k 9 }, mvi bileler kümesi, M = {m, m, m, m 4, m 5, m 6 }, çift sı ile umrlı bileler kümesi = Ç = {k, k 4, k 6, k 8, m, m 4, m 6 }. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 5

136 olsu. Çekile bir bilei kırmızı rekli olduğu vrsılıor, buu çift sı ile umrlı olmsı isteior. Demek ki bu kez, kırmızı bileler kümesi ol K öreklem uz ve istee ol d; Ç K = { k, k 4, k 6, k 8 } dir. k k..... k 9 m m..... m 6 P(Ç K) =? sç ( K) 4 K öreklem uzı eş olumlu olduğud istee olsılık, = olur. sk ( ) 9 Bu olsılığ, kırmızı ( K ) koşullu çift sı olm ( Ç ) olsılığı der ve P ( Ç K ) ile gösteririz. TANIM Eş olumlu bir öreklem uzı herhgi iki olı A ile B ve B Ø olsu. P(A B) = s(a B ) ise, P ( A B ) olsılığı, s(b) B koşullu A olıı olsılığı deir. E A A B P ( A B ) = s (A B ) s ( B ) B P(A B) = sa ( B) sa ( B)/ se ( ) PA ( B) = = sb ( ) sb ( )/ se ( ) PB ( ) dir. ÖRNEKLER. 4 kişilik bir sııftki öğrecileri 4 ü bsketbol, si volebol, 5 i hem bsketbol hem de volebol omktdır. Bu sııft seçile bir kişii volebol odığı bilidiğie göre buu bsketbol d o öğreci olm olsılığıı bullım. E Verileleri şem ile gösterimi sğdki gibidir. Bu göre; B V PB ( V) = P(B V) P(V) = 5 olur Bir çift zr tılıor. Üst üze gele sılrı toplmı tek sı ise bu toplmı sl sı olmmsı olsılığı kçtır? Üst üze gele sılrı toplmıı tek sı olmsı ; ; ; ;4 ;5 ;6 olı T dielim. T i elemlrı, dki tblo- d çizgi içie lı ikililerdir. s ( T ) = 8 dir. A, bu tblod ; ; ; ;4 ;5 ;6 toplmı sl sı olm ikilileri kümesi olsu. ; ; ; ;4 ;5 ;6 A T = {(,6), (4,5), (5,4), (6,) } olur. Bu göre istee olsılık, 4 4; 4; 4; 4;4 4;5 4;6 5 5; 5; 5; 5;4 5;5 5;6 sa ( T) 4 P( A T)= = = dur. st ( ) ; 6; 6; 6;4 6;5 6;6 6 Ortöğretim Mtemtik

137 . Bir çift zr tılıor. Zrlrd frklı sılrı geldiği bilidiğie göre toplmlrıı tek sı olm olsılığıı bullım. Bir çift zr tılıc elde edile 6 te ikilii ud ögeler frklı sılrdır (Bir öceki örekteki tblo bkıız.). Bu ikilileri kümesi A olsu. Bulr içide toplmlrı tek sı ollrı kümesi de B ise (tblod çerçeveli ikililer); PB ( A) = P(B A) P(A) = 8 = 5 olur. 4. u erkek ve u kız ol öğreci ile öğreci olm 6 kızı oluşturduğu 6 kişilik bir toplulukt rstgele kişi seçilior. Seçile bu kişii erkek değilse öğreci olm olsılığı kçtır? Erkek olmlrı kümesi E', öğreci ol kızlrı kümesi K olsu. s ( E' ) = + 6 = 6, s ( K ) = = s ( E' K ) olduğud, istee olsılık, P ( K E' ) sk ( E ) 5 = = = se ( ) 6 8 dir. D. BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR Bğımlı Ollr PA ( B) P ( A B ) = ( P ( B ) ) olduğuu 6. sfd souç olrk gördük. Burd, PB ( ) P( A B ) = P ( B ). P ( A B ) d B erie A, A erie de B zrk ( P ( A ) içi ), eşitliğii elde ederiz. Bu eşitliğe olsılıkt çrpm kurlı, A ve B ollrı d bğımlı ollr deriz. Burd, P(A B) erie P ( A ve B ) de zbilirsiiz. ÖRNEKLER. İçide özdeş 5 mvi, kırmızı bile bulu bir kutud, peş peşe iki bile çekilior. Bu bileleri ikisii de mvi olm olsılığı kçtır? P(A B) = P (A). P (B A) 5 5. i mvi gelme olsılığı, P ( M ) = ; 5+ = 8. i de mvi gelme olsılığı, P ( M M ) = 4 dir. 7 Çrpm kurlı göre ikisii de mvi olm olsılığı ; P(M, M) = P(M). P(M M ) = = tür Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 7

138 . A kutusud 4 kırmızı, mvi; B kutusud 5 mvi, 6 srı bile vrdır. Bileleri tümü özdeştir. A kutusud bile B kutusu kouor. Sor, B kutusud bile lııor. Alı bu bilei mvi olm olsılığı edir? A kutusud B kutusu koul bilei kırmızı 4 5 d mvi olmsı, B kutusud lı bir bilei mvi K M P(M) =? olmsı olsılığı etki eder. Yi, bu örekteki ollr bğımlı ollrdır. A M 6 S B A kutusud kırmızı bile lm olıı K A, mvi bile lm olıı M A ile; B kutusud mvi bile lm olıı M B ile gösterelim. Bize sorul P(M B K A ) + P(M B M A ) toplmıdır. P(K A ) = 4 ve P(M A ) = dir. 7 7 P(M B ) = P(M A ) P(M B M A ) + P(K A ) P(M B K A ) = = dir.. A kutusud 5 mvi, 4 srı; B kutusud 6 mvi, 7 srı bile vrdır. Bileleri tümü özdeştir. A kutusud bile lırk B kutusu kouor. Sor, B kutusud bile lııor. Alı bu bileleri ikisii de mvi olm olsılığıı bullım. A kutusud B kutusu koul iki bilei rekleri, B kutusud çekile iki bilei de mvi olmsı olsılığıı etkiler. Yi, bu örekteki ollr b- 5 ğımlı ollrdır. M 6 M P(M,M) =? A kutusud mvi bilei B kutusu komsı olsılığı, P((M,M) A ) ve bud sor B kutusud mvi bile çekilmesi olsılığıı d P((M,M) B (M,M) A ) şeklide zlım. Bu göre istee çözüm; 4 A S 7 S B P((M,M) B ) = P((M,M) A ). P((M,M) B (M,M) A ) + P((M,S) A ).P((M,M) B (M,S) A ) + P((S,S) A ).P((M,M) B (S,S) A ) C( 5, ) C( 8, ) C( 5, ). C( 4, ) C( 7, ) C( 4, ) C( 6, ) = + + C( 9, ) C( 5, ) C( 9, ) C( 5, ) C( 9, ) C( 5, ) 5!!. 7! 8!!!!!! = 5 4!! 9!! 6! 7 7!! 4! 7!! 6!!! + + 5! 9!! 5! 5!!! 9!! 4! 5! = = ( ) 79 = = olur Ortöğretim Mtemtik

139 4. Birici kutud (K ) 5 mvi, 4 eşil; ikici kutud (K ) mvi, 7 eşil bile vrdır. Bileler özdeştir. Bir zr tılıor. Zrd ve gelirse birici kutud, diğer durumd ikici kutud bir bile çekilior. Çekile bilei;. Mvi, b. Yeşil, c. Mvi ise birici kutud, ç. Yeşil ise ikici kutud olm olsılığıı bullım. Çözümü dki şemd rrlrk plım.. PM ( ) = PM ( K ) + PM ( K ) Zr = = = b. PY ( ) = P(Y + P(Y = 6 4 K) K ) = = 8 K K ol : P(M) + P(Y) = P(Y) = 5 5 = 8 M Y M Y 5 P(M M) c. P( MK M) = P(M) ç. PY ( K Y) = Bğımsız Ollr K ) = P(M = PM ( ) 5 5 K P( YK Y) = P( Y P(Y) PY ( ) K ) Bir zr ile bir mdeî prı rı rı tılmsı deeii düşüüüz. Prı zı d tur gelmesi, zrd gelebilecek sı etki eder mi? Bu öreğimizde prı tur gelme olı A, zrı 5 gelme olı B olsu. P(A) = ve P(B) = olduğuu biliorsuuz. A olıı gerçekleşmesii d gerçekleşmemesii, B olı bir etkisi oktur. Bu 6 edele; P(A B) = = P(A) olcktır. Bezer şekilde, P(B A) = = P(B) dir. 6 Bu örekte gördüğüüz gibi A ve B ollrı içi; P(A B) = P(A) ve P(B A) = P(B) ise A ile B ollrı, bğımsız ollrdır, deriz. A ile B bğımsız iki ol ise çrpm kurlıd; = = 5 5 = 6 8,, 4, 5, 6 P(A B) = P (A ve B) = P (A ). P ( B ) elde ederiz. ÖRNEKLER. Bir mdeî pr ile bir zr birlikte tılıor. Prı tur ve zrı 4 gelmesi olsılığıı bullım. Prı tur gelmesi olı A, zrı 4 gelmesi olı B olsu. A ile B bğımsız ollrdır. PA ( B) = P(A ve B) = P(A) P(B) = 6 = dir.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 9

140 . A kutusud mvi, 5 eşil; B kutusud 4 kırmızı, 6 mvi bile vrdır. Bileler özdeştir. İki kutud d birer bile lııor. Bu bileleri;. Aı rekli olm olsılığıı b. Frklı rekli olm olsılığıı bullım. Kutulrd biride çekile bir bilei diğer kutud çekilecek bilee bir etkisi oktur. Bu edele A ve B kutulrıd birer bile çekme ollrı bğımsız ollrdır.. İki kutud d lı birer bilei ı rekli olmsı olsılığı; M K PM ( A ve M B) = PM ( A) P(M B) = = tır Y M A B b. İki kutud d lı birer bilei frklı rekli olmsı olsılığı, A d mvi B de mvi değil ve A d eşil B de eşil değil olm olsılığıdır. P(M A ) P(M' B ) + P(Y A ) P(Y' B ) = olur = 4. Elektirikli ev eşlrı st bir mğzd, üçü bozuk ol ütü ve ikisi bozuk ol 8 elektrik ocğı vrdır. Bir müşteri, bu mğzd bir ütü, bir de elektrik ocğı lmıştır. Bulrı ikisii de sğlm olm olsılığı edir? Ütülerde biri lııor. Buu sğlm olm olsılığı, P(S Ü ) = 7 dur. Aı şekilde seçile bir elektrik ocğıı sğlm olm olsılığı d P(S E ) = 6 = tür. Bulrı ikisii de sğlm olm olsılığı; P(S Ü ve S E ) = P(S Ü ). P(S E ) = olur. 4 = 4 4. Bir zr, rt rd beş kez tılıor. Bu tışt, rt rd üç kez iki gelmesi olsılığıı bullım. Zrı bir kez tılmsıd gelmesi olsılığıı P(), gelmemesi olsılığıı d P(') ile gösterelim. P() = ve P(') = 5 = dır Zrı bir tılışıd (üst üze) gele sıı ikici tılışt gelecek sı bir etkisi oktur. Bu ollr bğımsız ollrdır. İstee soucu çrpm olul bulbiliriz. İstee ol A ise ; P(A) = P() P() P() P(') P(') + P(') P() P() P() P(') + P(') P(') P() P() P() = = olur. 5. Bir fbrikd A, B, C mkieleride ı tür (özdeş) cıvt üretilmektedir. güde A mkieside 6, B mkieside 4, C mkieside 4 cıvt üretilmiştir. A, B, C mkieleride üretile cıvtlrı sırl %5 i, %8 i ve %5 i bozuk çıkmktdır. Bu fbrikı bir gülük üretimide seçile cıvtı;. Bozuk, b. Sğlm, c. Bozuks A mkieside üretilmiş, ç. Sğlms B mkieside üretilmiş, olm olsılıklrıı bullım. Ortöğretim Mtemtik

141 Ydki tblo göre istee olsılıklrı bullım.. P ( bozuk cıvt ) = = 98 = 49 5 b. P (sğlm cıvt) = P ( bozuk civt)= 49 5 = 45 5 Üretim Bozuk A 6 54 B 4 C 4 c. P (A bozuk bozuk) = = = 7 49 ç. P (B s ğlm sğlm) = 4 (6 54) + (4 ) + (4 ) = 68 9 = ALIŞTIRMALAR. E = {, b} verilior. L = {A A E} kümeside [, ] tıml, şğıdki P foksiolrıd hgileri olsılık foksiou değildir? Nede?. P() =, P(b) = 4 b. P() = P(b) = c. P() =, P(b) = 5 5 P(, b) = P(, b) = P(, b) =. A ile B, bir E öreklem uzıd herhgi iki oldır. P olsılık foksiou ve P(A) =, P(B') = ise P(A') ve P(B) değerlerii buluuz A ve B, bir E öreklem uzıd rık iki oldır. P(A) =, P(B) = ise P(A B) 5 6 değerii hesplıız. 4. A ve B, bir E öreklem uzıd rık olm iki oldır. P(A) =, P(B) = ve P(A B) = ise P(A B) değerii buluuz Bir kutud özdeş 5 kırmızı, 4 eşil, 6 mvi ve bez bile vrdır. Bu kutud çekile bir bilei:. Mvi olm olsılığıı, b. Kırmızı ve bez olm olsılığıı, c. Yeşil olmm olsılığıı, ç. Yeşil ve kırmızı ve bez olm olsılığıı buluuz. 6. İçide özdeş 5 srı, 4 mvi bile bulu bir kutud;. İki bile, b. Üç bile birde lııor. Alı bileleri ı rekli olm olsılığıı buluuz. 7. Bir çift zr birlikte tılıor. Üst üze gele sılrı toplmıı tek sı olm olsılığı kçtır?. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

142 8. Bir mdeî pr peş peşe iki kez tılıor. Bu iki tışt e z bir kez tur gelme olsılığı kçtır? 9. Bir zr rt rd iki kez tılıor;. Hiç iki gelmemesi olsılığıı, b. E z bir kez iki gelmesi olsılığıı buluuz.. 4 kişilik bir grupt bululrd birii dı Ali'dir. Bu grupt seçile rstgele üç kişide birii Ali olm olsılığıı buluuz.. 9 kız ve erkek öğrecii buluduğu bir sııft; kızlrd, erkeklerde kişi gözlük tkmktdır. Bu sııft seçile iki öğrecii;. Birii kız, birii erkek öğreci olm olsılığıı, b. İkisii de gözlük tk öğreci olm olsılığıı, c. Birii gözlük tk, birii gözlük tkm öğreci olm olsılığıı buluuz.. A, B ve C tlrıı rıştığı bir koşuu A tıı kzm olsılığı, B tıı kzm olsılığıı rısı, C tıı kzm olsılığıı iki ktıdır. Bu tlrı rışı kzm olsılıklrıı buluuz.. Aı hedefe teş ede iki vcıd biricii hedefi vurm olsılığı, diğerii göre; dir. Bu-. Hedefi lız birici vcıı vurm olsılığıı, b. İki vcıı d hedefi vurm olsılığıı, c. Hedefi vurulm olsılığıı, ç. Hedefi vurulmm olsılığıı hesplıız. 4. Rstgele zdığıız iki bsmklı bir tm sıı 5 ile bölüebile bir tm sı olm olsılığıı hesplıız. 5. A kutusud bez, 5 mvi ; B kutusud 6 bez, mvi bile vrdır. Bilelerde her birii çıkm olsılıklrı eşittir. A kutusud rstgele bir bile lırk B kutusu kouluor. Sor B kutusud bir bile çekilior. Buu;. Bez olm olsılığıı, b. Mvi olm olsılığıı buluuz. 7. Bir slod evli 8 çift ve 4 bekâr b vrdır. Bu slod seçile bir kişi erkek değilse buu bekâr b olm olsılığı kçtır? 4 A) B) C) D) E) 5 Ortöğretim Mtemtik

143 .5. İSTATİSTİK A. YAŞAMDAN SEÇİLMİŞ VERİLERİN GRAFİKLERLE GÖSTERİLMESİ ETKİNLİK. Aileizi lık giderleri elerdir? Bu giderleri 4 grupt toplıız ve sğ d dire grfiği ile gösteriiz.. Bir ksbd kou eti fitlrı. d (ock ıd) itibre bouc şğıdki gibi olmuştur: 4, 4, 6, 7, 8,,, 4, 6, 5, 5, 4 Bu sılr TL türüde kg eti fitıdır. Yukrıdki dik koordit sistemide bu ksbd kou eti fitıı ıllık değişimii göstere çizgisel grfiği çiziiz.. Bu gözlemi pıldığı erde kou etii ıllık ortlm fitı edir? Bu fitı göstere doğru prçsıı d grfikte çiziiz. Fitlr hgi lrd ortlmı üstüde seretmiştir? b. Alık fit rtışı orı hgi d e üksek olmuştur? Bu rtış klşık üzde kçtır?. Ydki sütu grfiği bir sııftki öğrecilerde okul ürüerek, dolmuşl, otobüsle ve servisle geleleri sılrıı göstermektedir.. Bu sııft kç öğreci vrdır? b. E çok tercih edile rç hgisidir? Sııfı üzde kçı bu rcı tercih etmektedir? c. Frklı rç tercihii edeleri sizce eler olbilir? Dh öceki ıllrd okuduğuuz mtemtik dersleriizde, seçile bir öreklemde e küçük ve e büük değerler ile ortc, lt çerek ve üst çerek değerlerii sıl elde edildiğii gördüüz. Bu değerleri bir örek üzeride tekrr htırllım. Öğreci sısı Yürüerek geleler Dolmuşl geleler Otobüsle geleler Servisle geleler ÖRNEK kişilik bir erkek öğreci grubud her bir öğrecii kütlesi (kg olrk) 58, 74, 66, 7, 56, 57, 7, 64, 67, 75 ie kişilik kız öğreci grubud 6, 6, 6, 58, 5, 56, 49, 5, 48, 48 şeklidedir.. Bu verileri küçükte büüğe doğru sırllım. E küçük, e büük, ortc, lt çerek ve üst çerek değerleri ile çıklık ve çerek çıklığı her iki grupt rı rı bullım. b. Bu verileri grfikle gösterelim. c. Grfiğe göre iki gruptki ortc, lt çerek ve üst çerek değerlerii krşılştırlım. Frklılığı erede kklmış olcğıı orumllım.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık

144 . Verileri küçükte büüğe doğru sırlışı şğıdki gibidir: Erkekler : 56, 57, 58, 64, 66, 67, 7, 7, 74, 75 Kızlr : 48, 48, 49, 5, 5, 56, 58, 6, 6, 6 E küçük değer Alt çerek Yukrıdki tblod görüldüğü gibi; Ortc Üst çerek E büük değer ortc ; erkeklerde = 66, 5, kızlrd =54; çıklık ; erkeklerde = 9, kızlrd 6 48 = 5 ; Çerek çıklık; erkeklerde 7 58 =, Cisiet Alt çerek kızlrd 6 49 = dır. Ortc b. Bu verileri dki gibi kutu grfiği Üst çerek ile gösterilebilir. Erkek c. Bu grfikte ortcı erkeklerde üst çereğe, kızlrd lt çereğe dh kı Kız olduğu görülmektedir. Arıc çerek çıklık erkeklerde kızlr göre dh sğddır. Yi erkekleri kütlelerii kızlrd dh fzl olcğı beklee bir souçtur Kütle (kg) Bu örekte görüldüğü gibi kutu grfiği, bir veri setide elde edile e küçük değer, e büük değer, lt çerek, üst çerek ve ortc değeri içere bir grfik türüdür. ÖRNEK kişilik bir öğreci grubud her bir öğrecii bou cm ve kütlesi kg birimi ile ölçülmüş ve şğıdki (cm, kg) ikilileri elde edilmiştir: (64,6), (66,65), (7,68), (7,7), (55,5), (6,6), (55, 56), (69,7), (54,56), (75,75). Bu ikilileri bir dik koordit sistemide gösterelim. b. Grfiği kullrk değişkeler rsıdki ilişkii orumllım.. Öğrecii bouu t, kütlesii dike eksede gösterirsek grfik dki gibi olur. b. Grfikte sğ doğru gidildikçe oktlrı ukrı doğru çıktığıı gözlüoruz. Bu durum öğrecii bou uzdıkç ğırlığıı (kütlesii) d rttığıı göstermektedir. Bu tür grfiklere serpilme grfik dı verilir. Serpilme grfikler kopuk (serek) oktlrd oluşur ve iki değişke rsıdki ilişkii gösterir. Serpilme grfikleri çizimide elektroik tblolm zılımlrıd d rrlılbilir Kütle (kg) Bo (cm) 4 Ortöğretim Mtemtik

145 B. BİR ÖRNEKLEMİ YANSITACAK UYGUN GRAFİK TÜRÜ VE GRAFİKLERİN YORUMLANMASI ETKİNLİK. Aşğıd istee ugu grfikleri d bırkıl boşluklr çiziiz. Seçtiğiiz grfik türüü rkdşlrıızı seçtiklerile krşılştırıız.. Bir sııftki öğrecileri 8 i A, 4 ü B, u C spor kulübüü trftrıdır. Geri kl 4 öğreci bu kulüplerde herhgi birii tutmmktdır. Bu durumu dki boşlukt ugu bir grfikle gösteriiz. b. Bir çiftlikteki hvlrı %5 si küçük bş, %4 ı büük bş, % u d kümes hvıdır. Bu durumu dki boşlukt ugu bir grfikle gösteriiz. c. Çok kımetli bir bitki ol sfr ülkemizde Sfrbolu d üretilmektedir. Yıllık üretimi birkç kg ı geçmee bu ürüü TL/kg fitl stıldığı bir ıl it üretim-gelir grfiğii dki boşluğ çiziiz. ç. Sııfıızd herhgi rkdşıızı seçiiz. Mtemtik ve Türkçe derslerii ilk zılı sıvıd bu rkdşlrıızı ldığı otlrı (mtemtik otu, Türkçe otu) şeklide ikililerle ifde ediiz ve bu durumu dki boşlukt ugu bir grfikle gösteriiz. d. Bir ilei ıllık gelirii lr göre dğılımı ( TL olrk) ock ıd bşlmk üzere;,,,,,,,, 4,,, ve lık msrflrı d ie Ock ıd bşlmk üzere,,,,,,,,,,, şeklide gerçekleşmiştir. Bu ilei gelir ve giderie it verileri geişliğii ve ığılımıı sıtck ugu grfiği d boş bırkıl ere çiziiz. Yukrıdki öreklerde seçtiğiiz grfik türlerii rkdşlrıızı seçtiklerile krşılştırıız. Niçi bu tür grfiği seçtiğiizi rızd trtışıız.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 5

146 . Fzl kilolrıd kurtulmk istee A, B, C dlrıdki üç kişi bir lık sürede şer kilo vermei bşrmışlrdır. Bulrı lık sürede kütlelerideki değişimleri dki grfiklerde gösterildiği gibidir. Bu grfiği orumlıız.. Aşğıdki serpilme, kutu, sütu, çizgi ve dire grfiklerii hgi durumlrd tercih edilebilceğii vurgul cümleleri okuup iceleiiz. Bir grubu rıldığı prçlrı göstermek içi sütu grfiği çizilir. Bir değişkei ( d prçı) bütü içideki orıı belirtmek içi dire grfiği çizilir. Bir değişkei zm içerisideki değişimii icelemek içi çizgi grfiği çizilir. İki değişke rsıdki ilişkii göstermek içi serpilme grfiği çizilir. Verileri geişliğii ve ığılımıı görmek içi kutu grfiği çizilir. Kütle (kg) B A C Gü ÖRNEK Hreket hâlideke kıtı sbit hızl tükemekte ol bir otomobili sürücüsü kıt deposud 5 litre kıt vrke Akr d İstbul doğru hreket etmiş, stte Bolu vrmıştır. Bolu d rım st diledikte sor tekrr ol koul sürücüü İstbul idiğide kıtı tükemiştir. Sürücü Akr d hreket ettikte 6 st sor İstbul vrdığı göre bu olculuk sırsıd otomobili deposudki kıt miktrı hgi grfikle gösterilebilir? Bu grfiği çizelim. Yolculuk essıd dim depod bezi bulucğı ve hreket hâlide ike depodki bezi seviesi devmlı düşeceği içi, kıt miktrıı çizgi grfikle gösterilmesi ugu olur. Otomobil hreket hâlideke stte; 5 5 = 66, 6 (, 5) 55, litre bezi tüketir (litre) Bu göre kıt-zm grfiği d çizildiği gibidir. 5 Otomobil. st soud rım st çlıştırılmdığı içi bu sü- rede otomobili depodki kıt miktrı değişmez. Arıc bş- 5 lgıçt depod 5 litre kıt vrke 6. st soud bu kıt tükemiştir (st) ÖRNEK Ydki dire grfikte bir ilei lık giderleri gösterilmiştir. Alık geliri 8 TL ol bu ilei gelirii kç lirsıı kıt, elektrik ve elektroik içi hrcdığıı, prsıı üzde kçıı d biriktirdiğii bullım. Ykıt, elektrik ve elektroik içi hrc pr 6 lik dire dilimi ile gösterilmiştir. 6 Bu pr TL dir = 8 = 7 7 = Ykıt elektrik elektroik Yİecek 7 Eğitim Kir Biriktirile 6 Ortöğretim Mtemtik

147 Biriktirile pr 6 ( ) = 6 5 = 45 lik dire dilimi ile gösterilir. Buu üzde şeklide ifdesi: = = = =,5 ; %,5 olur Bu ile lık gelirii %,5 ii biriktirmektedir. C. MERKEZî EĞİLİM VE YAYILIM ÖLÇÜLERİ ETKİNLİK Mrk Alr Ock Şubt Mrt Nis Mıs Hzir Temmuz Ağustos Elül Ekim Ksım Arlık A B C A, B, C mrk otomobiller st bir glerii bir ıld sttığı otomobil sısıı lr göre dğılımı ukrıdki tblod gösterildiği gibidir. Bu göre dki tblod istee değerleri hesplrk erlerie zıız. Buu içi üstteki tblou her stırıdki sılrı öce küçükte büüğe doğru sırlıız. Bir veri listeside (öreklemde) e çok tekrrl sı mod deildiğii biliorsuuz. Bu listedeki sılr, stdrt spm S ise E büük sı E düşük sı Aritmetik ortlm Ortc Mod Arlık (Açıklık) A B C S Stdrt spm = ( i ) olduğuu dh öceki mtemtik dersleriizde i= htırlıız.. Glerici bu üç mrk otomobilde lız birii stışı devm etmek isterse, sizce bu mrklrd hgisii tercih etmelidir? Bu tercihiizi tblodki ölçülerle sıl çıklrsıız? b. Tercih ettiğiiz mrk otomobilde öümüzdeki ıl t det stılcğı düşüülürse, t i bulucğı muhtemel rlık edir? t i bu rlıkt olmsıı edelerii rkdşlrıızl trtışıız. İceleme pmk istediğimiz ld bilgi toplmk içi öce bir grup seçeriz. Sor bu grupt ölçme, sm d ket olul birtkım veriler elde ederiz. Bu verileri kedie özgü ötemlerle liz eder ve orumlrız. Bud mcımız grubu geel eğilimii ort çıkrbilmektir. Bu mc ulşbilmek içi mod, ortc (med), ritmetik ortlm, stdrt spm, çıklık ve çerek çıklığı hesplrız. Bulr merkezî eğilim ve ılım ölçüleri deildiğii biliorsuuz. Açıklık ve çerek çıklık stdrt spmı ılm ölçüleridir. Bu çlışmlrı pıldığı l isttistiktir. ÖRNEK TÜİK (Türkie İsttistik Kurumu) trfıd ıl dki grfikte ve ıllrı ile bu ıllr rsıd ülkemizdeki trımsl üretimi kişie düşe pı gösterilmektedir. 6,7 6, 546, Kişi bşı Trımsl Üretim (TL) 675, 78,4 885, 85,7,6 9,6 95,7 58, Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 7

148 Bu grfikte rrlrk,. Mod, med, ritmetik ortlm, çıklık ve çerek çıklığı bullım. b. Stdrt spmı hespllım. c. - ıllrı rsı içi thmiî görüş belirleelim. Grfikteki değerleri devmlı rttığıı gözlüoruz. Yi bu değerler küçükte büüğe doğru sırlmış durumddır. Bu liste şğıdki gibidir: 6,7 ; 6, ; 546, ; 675, ; 78,4 ; 885, ; 9,6 ; 95,7 ;,6 ; 85,7 ; 58,8. Listede tekrrl sı olmdığıd mod oktur. Ortc (med) = = 885, Aritmetik ortlm = = ( 67, + 6, + 546, + 675, + 78, , + 9, , ,, , , 8) = 786, 7 ` Açıklık = E büük değer e küçük değer = 58,8 6,7 = 997, Çerek çıklık = Üst çerek lt çerek =,6 546, = 464, b. Ydki tblo göre stdrt spm: S= ( i ) i= = = = 98868, 5 = 9886, 85 `, olur. c. S 786, 7, 48, 4 ` + S= 786,7 +, = 89,5 olur. ile ıllrı rsıd kişi bşı trımsl üretimii 48,4 TL ile 89,5 TL rsıd gerçekleşmesi güçlü bir olsılıktır. X X ( X ) 6,7 54, ,6 6, 46,7 94,54 546, 4,7 576,6 675,,7 4,8 78,4,97 5,76 885, 98,9 9787,4 9,6 6, 59,4 95,7 9, 576,5,6 4, 579,9 85,7 99, 89598,45 58,8 47,4 8696, ,5 Bu örekte çerek çıklıkt rrlrk d bir thmide bululım , 464,, = 75, 5 ve 885, + = 7, 45 olur. Bu değerler kutu grfiğideki kutucuğu lt ve üst sıırlrıdır. ` Bu edele kişi bşı trımsl üretimi ile ıllrı rsıd e z 75,5 TL, e çok 7,45 TL olmsı bekleir. 8 Ortöğretim Mtemtik

149 ÖRNEK Alr Ock Şubt Mrt Nis Mıs Hzir Temmuz Ağustos Elül Ekim Ksım Arlık Tüketici fitlrıdki değişim (%) 8,9, 9,56,9 9, 8,7 7,58 8, 9,4 8,6 7,9 6,4 Yukrıdki tblod ılı it tüketici fitlrıd gözlee değişim lr göre zılmıştır. TÜİK trfıd çıkl bu verileri kullrk ılı içi tüketici fitlrıdki değişimi hgi rlıkt seredeceğii thmi edelim. Verile tblod egtif sı bulummktdır. Demekki ılıd tüketici fitlrıd gerileme olmmış, rtışlr şmıştır. = ( 8, 9 +, + 9, 56 +, 9 + 9, + 8, 7 + 7, , + 9, 4 + 8, 6 + 7, 9 + 6, 4) ` X X ( X ) = ( ) = 8,5 dir. ` 8,9,4,56,,6,56 Ydki tblod stdrt spm; 9,56,,69 S =,9,66,7556 ( 4, 78) =, 65 9,,57,49 4, çıkr. 8,7,6,56 S= 85,, 4 = 7, 87 ; 7,58,95,95 8,,,4 ` + S= 8, 5 + 4, = 9, 67 9,4,7,54 8,6,9,8 ılıd tüketici fitlrıd %7,87 ile 7,9,4,576 %9,67 rsıd rtışlr olcğı güçlü bir olsılıktır. 6,4, 4, ,78 Ç. STANDART PUAN ETKİNLİK. Bir kurum sıvl elem lmk içi duuru pmış, d sıv girmek içi bşvurmuştur. Sıvd dlr test türüde 4 soru sorulmuş, dlrı doğru ıtlcklrı soru sısıd lış ıtlcklrı soru sısıı ii düşüleceği duurulmuştur. 4 Sıv pıldıkt sor dlrı ldıklrı hm pulr (et sılrı) şğıd verildiği gibi olmuştur. 7,75 ; 8,5 ; 8,5 ; 8,5 ; 9 ;,5 ; ;,75 ;,5 ;,5 Kurum sıv souçlrıı her biri de büük olck şekilde pulr döüştürerek duurmk istemektedir. Sırlm ve rdki sevie frklılıklrı korurk bu işi sıl pılbileceğii rkdşlrıızl trtışıız.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 9

150 . Bu kez dki hm pulr ie sır ve sevie frklılıklrı korumk koşulul, sizce, sıl küçültülebilir? 897, 96, 98, 6, 97, 4, 8,, 4, 4. Ydki pulr stdrt spmsı ve ortlmsı ol pulr döüştürülmek isteirse e pılbilir? Buu içi şğıdki çlışmlrı pıız:, 5, 7,, 5. Verile pulr içi ritmetik ortlmı ve stdrt spmı (S) hesplıız. X `( ) b. z = eşitliğide ukrıdki pulrı gösterdiğie göre bulrı krşılıklrı ol ve S X z ile gösterile pulrı hesplıız. Bulduğuuz 6 7 souçlr göre dki tblod boş ol gözlerdeki z 6 6 sılrı zıız. c. Tblod z formülüle bulduğuuz pulrı (z pulrıı) ortlmsıı ve stdrt spmsıı hesplıız. ç. z ile gösterdiğiiz puı egtif çıkmsı e lm tşır? Bu pu olbilir mi? Buu içi kç olmlıdır? 4. Bu kez dki tblod verile (ve X ile gösterile) X pulr içi ei bir pu türü 5 7 tımllım. T ile gösterdiğimiz bu puı T = z + 5 formülü ile hespllım. z ve T 7 5 z= X puı 7 7 ` S içi istee hesplrı pıız ve T = z + 5 puı dki tblod boş ol gözlerdeki sılrı zıız.. T formülü ile hespl pulrd (T pulrı) ortlmı hesplıız. b. T pulrıd stdrt spmı hesplıız. c. Bu souçlr göre T puıı hgi mçlr içi kullılbileceğii rkdşlrıızl trtışıız. 5. ve 4 teki çlışmlrıızd sor ve. sorulr verdiğiiz ıtlrı tekrr gözde geçiriiz. Üiversitee giriş sıvlrı ktıl öğrecileri, doğru ve lış ıt sılrı göre, lcklrı puı hesplm çlıştıklrıı bilirsiiz. Bulrı hesplmk istediği pulr stdrt pulrdır. Stdrt pu, lı hm pu ile ortlmı frkıı kullılmsıl bulu pudır. Yukrıdki etkilik çlışmızd hespldığıız z ve T pulrı bu tür pulrdır. Öreği üiversitee giriş sıvlrıd stdrt pu: Hm pu (et sısı) Türkie ortlmsı Stdrt pu = + 5 stdrt spm formülüle hesplır. Bu formül etkilikte gördüğüüz T puı hesbıd kulldığıız formüldür. ÖRNEK Ydki tblou her stırı içi boş gözlerde olmsı gereke sılrı bullım. X S z T , Ortöğretim Mtemtik

151 X stır : z = = =,, T = z+ 5= (, ) + 5 = 5, S 4 4 X. stır : z = (, ) = 48 =48, = 46, 8, T= z+ 5 = (, ) + 5 = 5 S X. stır : T= z+ 5 9 = z+ 5 z= 4, z= 4 5 =X X = S X 4 4. stır : T = z = z + 5 z = 5,, z = (, ` S ) s= s= = 5, 8 ÖRNEK ılı üiversite giriş sıvıd 5 soruu sorulduğu mtemtik sıvıd Türkie ortlmsı 5,9 ve stdrt spm,98 olmuştur. Bu sıvd 4 doğru, 7 lış p bir öğrecii hm puıı ve stdrt (T) puıı hespllım. Üiversite giriş sıvlrıd hm pu doğru ıtlrı sısıd lış ıtlrı sısıı i çıkrılrk buluur. Bu göre; hm pu = 4 = = ve ` 4 7 4, 75 4, `4 5 Hm pu Türkie ortlmsı Stdrt pu T = z + 5 = ( ) + 5 Stdrt spm ÖRNEK 4, 5 5, 9 = + 5 = 7, = 67, 96 `, 98 kişii ktıldığı bir sıvd şğıdki hm pulr lımıştır. Bu pulrı stdrt T puı döüştürelim. Bu pulrl ilgili işlemler dki sütulrd, 5,, 4, 5, 7, 9,, 5, 4 verildiği gibidir. X X ( X ) ` z T = ( ,6,8 5 6,7 7, ) = 6 ve 6 5 5,57 44, S = 67 8, 6 olur , 47,68 ` 9 5 6, 48,84 Sorud istee pulr tblou e sğıdki sütud hesplmış ol T pulrıdır ,,5,7 5,6 5,48 56,95. z puı verile hm pulrı stdrt ,4 6,4 spmsı ve ortlmsı ol pulr döüştürür ,6 66, T puı verile hm pulrı stdrt spmsı ve ortlmsı 5 ol pulr döüştürür.. T ve z pulrıd biride diğerie geçiş T = z + 5 bğıtısı ile sğlır.. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 4

152 .5. ALIŞTIRMALAR. Öğrecileri dkikd kç kelime E düşük Alt okubildikleri kousud bir rştırm değer çerek Ortc Üst E büük çerek değer pılmış, seçile kız ve erkek gruplrd dki tblod verile souçlr elde edilmiştir. Erkek Kız Arştırm souçlrı it kutu grfiklerii ı sistemde çiziiz b. Kız ve erkek öğrecileri okum hızlrıı ortc, e küçük ve e büük değerler ile çerekler çısıd krşılştırıız.. Bir grup öğrecii Türkçe ve mtemtik Türkçe sıvıd ldıklrı otlr dki tblod gösterildiği gibidir. Mtemtik Bu veriler bir grfikle gösterilmek isteirse, hgi tür grfik tercih edilebilir? Düşüdüğüüz grfiği çiziiz. b. Bu grfikte rrlrk değişkeler rsıdki ilişkileri orumlıız.. A, B, C gibi üç tleti rıştığı 8 metrelik bir koşu it grfikleri d verildiği gibidir.. Bu koşuu hgi tlet. hgisi. sırd tmmlmıştır? b. Hgi tlet koşu diğerleride dh hızlı bşlmıştır? c. A koşucusuu B ile C hgi dkiklrd geçmiştir? ç. Koşu essıd bir süre koşmd dur tlet vr mıdır? Mesfe (m) B 4 Zm (dkik) A C 4 4. Bir fbrikd çlış A, B, C işçilerii so 7 hftd kçr birim ml ürettikleri d verilmiştir. Bu verileri kullrk bulrı sğıdki tblou dolduruuz. Çlış sısıı zltmk zorud kl işvere, bu işçilerde lız birii çlıştırcktır. Sizce işvere bulrd hgisii tercih etmelidir? Bu tercihiizi edelerii çıklıız. 5. TÜİK trfıd ıl dki grfiğe it stdrt spmı hesplıız. Bu değerde rrlrk grfikteki 9 sektörde bir sorki ıld olmsı muhtemel iş kzlrı ortlmsıı hgi rlıkt bulucğıı çıklıız. A B C E büük sı E düşük sı Aritmetik ortlm Ortc Mod Arlık (Açıklık) Stdrt spm A B C Sektörlere Göre İş Kzsı Geçireleri Orı Zm (ıl)..7 Ortöğretim Mtemtik

153 6 TÜİK i ıldığı dki grfiğe it ortlm ve stdrt spmı hesplıız. Bu değerlerde rrlrk sorki ıl it ıllık ortlm eflso (TÜFE) thmiiizi çıklıız. Yıllık eflso (TÜFE) 99, 8 76, 79,8 68,8 68,5 6 67, ,7 8,4,5 9,65 8,9 9, Ydki grfik TÜİK trfıd ılmıştır. Aşğıdki sorulrı bu grfiğe göre ıtlıız.. Türkie e gele turist sısı hgi trihte zlmıştır? b. Hgi trihte iç ve dış htlrd seht ede toplm olcu sısı milou geçmiştir? Yolcu (milo) İç ht Dış ht Toplm Turist sısı c. Bu grfiğe göre - ıllrı rsıd iç htlrdki olcu sısıı hgi rlıkt olmsı bekleir? Bu rlık turist sısı içi edir? 8. Ydki pulrı stdrt T puı çeviriiz. 65, 5, 7, 4, 48, 7, 6, 44, 4, 7 9. Aşğıd e soldki tblou her stırıd boş kutucuklrd olmsı gereke sılrı hesplıız ve bu kutucuklr zıız. X S z T ılı üiversite giriş sıvlrıd her biri 4 sorud oluş Türkçe, mtemtik, fe bilgisi ve sosl bilgiler sıvlrıı Türkie ortlmsı ve stdrt spmsı ukrıd ortdki tblod verildiği gibidir. Yukrıd e sğdki tblod bu sıv it doğru ve lış sılrı verile öğrecii stdrt T puıı hesplıız. S Türkçe,9 8,9 Mtemtik 7,5 9,6 Fe Bilgisi 4, 8, Sosl Bilgiler,6 8, Doğru Ylış Türkçe 8 Mtemtik 4 7 Fe Bilgisi 8 Sosl Bilgiler 7. Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 4

154 BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Bsmklrıdki rkmlrı frklı ol üç bsmklı kç tm sı vrdır? A) 96 B) 8 C) 7 D) 648 E) 4. {,,, 4, 5, 6} kümesii elemlrı ile zılbile rkmlrı frklı beş bsmklı sılrı kç teside rkmı vrdır? A) B) 4 C) 45 D) 6 E) 75 ( ) +!!. ifdeside doğl sısı, de büüktür. Bu ifdei e sde şekli, şğıdkilerde hgisidir? ( + )! +! A) B) C) + D) E) + 4.! sısı, ile bölüebilmektedir. tm sısı e büük kç olbilir? A) B) 8 C) 6 D) 5 E) 4 5. Bir mhllede evler, bir hrf ve e çok iki bsmklı bir sı ile (Öreği, A4 gibi) umrldırılmktdır. Hrfi ı çift sıfır koulmmktdır. Söz kousu mhllede bu sistemle hrf kullılrk kç ev umrldırılbilir? A) 78 B) 6 C) 96 D) 4 E) 89 6.! =! b! ise + b kçtır? ( ) A) 5 B) 4 C) D) E) 7. Bir öğreci, herhgi ikisi birbiride frklı ol kitbı 4 üü, bir rf kç değişik şekilde dizebilir? A) 4 B) 54 C) 5 D) 68 E) öğretme, 4 öğreci bir bk üzeride oturcklrdır. Öğretmeler olmmk koşulu ile kç frklı şekilde otururlr? A) 4 B) 6 C) 6 D) 4 E) kişilik bir öğreci grubud; biri mtemtik, biri fizik, diğeri de kim rışmsı ktılck ol kişilik bir rışm ekibi, kç değişik şekilde oluşturulbilir? A) B) 6 C) 6 D) 9 E) 7. "ÇANAKKALE" sözcüğüde hrfleri erleri değiştirilerek lmlı d lmsız, "Ç" ile bşl kç sözcük zılbilir? A) B) 6 88 C) 4 D) 6 E) kişilik bir sııft, biri bşk ol üç kişilik bir komite, kç değişik şekilde oluşturulbilir? A) 9 8 B) 64 C) 448 D) 6 E) 4 44 Ortöğretim Mtemtik

155 . P(, ) = C ( +, 4) ise sısı kçtır? A) B) C) D) 9 E) 8. deklemii çözümüe it r sısı, şğıdkilerde hgisidir? 7 = r r 6 A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 4. Düzlemde herhgi üçü bir doğru üzeride olm 8 okt verilior. Bu oktlrd biri A dır. Bir köşesi A ol kç te dörtge çizilebilir? A) 56 B) 5 C) 8 D) E) elemlı bir kümei e çok 5 elemı ol kç lt kümesi vrdır? A) 64 B) 6 C) 46 D) E) 6. Frklı doğruu ü bir A oktsıd geçmektedir. Bu şekilde e çok kç kesim oktsı olur? A) 64 B) 6 C) 6 D) 56 E) kişilik bir gruptki erkeklerde seçilecek ikili gruplrı sısı, kızlrı sısı eşittir. Bu grupt kç kız vrdır? A) B) C) 5 D) E) 8. Şekilde A d B e, sol ve şğı gitmemek koşulul kç B değişik old gidilebilir? A) 54 B) 6 C) 6 D) 4 E) 5 9. ( ) 5 ifdesii çılımıd, terimlerde biride bulumktdır. Bu terimi kt sısı, şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 4 4 E) ifdesii çılımıd, lü terimi kt sısı kçtır? A) B) 8 C) 96 D) 7 E) 66 8 ( ). + 5 sısıı rsoel kısmı kçtır? A) 5 B) 4 C) 4 D) 98 E) 7. Bir torbd frklı sılrl umrlı 5 bile vrdır. Bu torbd e z bir bile lımsı deeide çıktılrı sısı kçtır? A) 6 B) C) D) 8 E) 4. Bir kutud kırmızı, eşil ve bez rekli özdeş bileler bulumktdır. Bu kutud rstgele lı 4 bir bilei ; kırmızı olm olsılığı, eşil olm olsılığı ise bu bilei bez olm olsılığı kçtır? 4 5 A) B) 9 8 C) D) E) Üite: Permütso, Kombiso, Biom ve Olsılık 45 A

156 4. İçide 5 kırmızı, eşil top bulu bir kutud bir top çekilior; bu top gerie kouluor ve eide bir top dh çekilior. Çekile toplrı ikisii de ı rekli olm olsılığı kçtır? A) 5 B) 8 7 C) D) 7 E) Bir torbd özdeş kırmızı, 4 mvi ve 5 bez bile vrdır. Bu torbd rstgele lı bilede sii bez olm olsılığı kçtır? A) 7/ B) /4 C) / D) 5/8 E) 4/9 6. Bir ilde si, trım, turizm, eğitim ve hizmet sektörleride çlışlrı sılrı bir grfikle gösterilmek istemektedir. Bu iş içi şğıdki grfik türleride hgisii seçilmesi dh ugu olur? A) Serpme grfiği B) Kutu grfiği C) Dire grfiği D) Çizgi grfiği E) Sütu grfiği 7. So 4 d bezi fitlrıdki rtış üzdesi, 4,, 4 şeklide olmuştur. Stdrt spm kullılrk pıl thmie göre gelecek 4 lık sürede bezi fitıı e çok üzde kç rtmsı bekleir? A) 4,8 B) 4, C) 4,4 D) 5,6 E) 5, 8. Ydki grfikte A, B, C, D illerideki ıllık ğış miktrlrı gösterilmiştir. Bu illerde gelecek ıl it, ıllık ortlm ğış miktrı kg/m birimide şğıdki rlıklrı hgiside geçekleşmesi bekleir? A) [6,] B) [,9] C) [96,4] D) [78,] E) [44,6] Yğış miktrı (kg/m ) A B C D İller 9. Yd verile hm pulr stdrt T puı çevrilirse e üksek pu kç olur? 4, 6,,, 8 A) 67,8 B) 67,6 C) 66 D) 64,8 E) 64,6.,,, 5, 7, 9, veriside stdrt spm klşık kçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 DOĞRU SEÇENEKLER. D. D. B 4. E 5. A 6. C 7. B 8. A 9. A. D. C. E. C 4. B 5. B 6. A 7. D 8. E 9. A. E. D. C. B 4. D 5. A 6. C 7. C 8. E 9. E. B 46 Ortöğretim Mtemtik

157 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM TÜMEVARIM VE DİZİLER Bu çiçeği trlsı bk üç kişii frklı düşüceleri: Ne çok pr eder bu çiçekleri! Ne güzel, resmii pbilsem bu trlı! Bir çiçeği bir tohumd oluşur. Her çiçeği üzlerce tohum verir. Bu tohumlrd ei çiçekleri olur. Sor olrd... İşte sıfırd sosuz gide bir zicir. Bu Bölümde Göreceğimiz Koulr 4.. Tümevrım Tümevrım ötemi; toplm (Σ) ve çrpım (Π) simgeleri ve özellikleri* 4.. diziler Dizi tımı, dizii grfiği, solu dizi, sbit dizi ve eşit diziler; dizilerle işlemler; mooto diziler 4.. Aritmetik ve geometrik diziler Aritmetik diziler; geometrik diziler. Üite: Tümevrım ve Diziler 47

158 4.. TÜMEVARIM Holld d her ıl domio güü düzelemektedir. Domio güüde mç, mümkü ol e fzl sıd domio tşıı zicir etkisile rt rd devirmektir. 6 ılıı Ksım ıd düzelee domio güüde tm 4 milo 79 bi 8 domio tşıı rt rd devrilmesile bu ld dü rekoru kırıldı. Domio tşlrıı dizilmesi işlemi 8 hft, tşlrı devrilmesi ise stte tmmldı. Sosuz sıd domio tşlrıı dizildiğii düşüelim. Domio tşlrıı tmmıı devrilebilmesi içi sıl bir koşul gereklidir? Refers: A. TÜMEVARIM YÖNTEMİ ETKİNLİK. Yd dik durumd sırlmış ol domio tşlrıı düşüelim. Bulr sğ doğru sosuz bir sır oluştursu. Bu sırdki domio tşlrıı tümüü devrilmesi içi hgi iki koşulu sğlmsı gerektiğii söleiiz.. Size " + ifdesi her N + içi bir sl sı gösterir." deirse, bu svı doğru olup olmdığıı kotrol etmek içi e prsıız?. Sosuz bsmklı bir merdive düşüüüz. Bu merdivede her bsmk bir sı ile gösterilmek isteirse ilk bsmğı göstere sı kç olmlıdır? Bu iş içi hgi sı kümesii seçilmesi sizce dh ugu olur? Düflüelim Y tll m Bu bölümde, ei bir ispt ötemi göreceğiz. Bu ötemle özellikle doğl sılrl ilgili pek çok teoremi isptlbileceğiz. Tümevrım dıı verdiğimiz bu ötemi iice kvrbilmeiz içi; öce, N = {,,,, 4,... } doğl sılr kümesi ile ilgili şğıdki sorulrı ıtlıız.. N i elemlrı, büüklük sırsı dizilebilir mi? Diğer bir deişle N tm sırlmlı bir küme midir?. N i e küçük elemı vr mıdır? Bu elem, hgi sıdır?. N i, boş kümede frklı ol herhgi bir lt kümesii zıız. Yzdığıız bu kümei e küçük elemı vr mıdır? 4. N ise ( + ) N midir? + sısı sısıı rdışığı deir., bir doğl sıı rdışığı mıdır? 5. N ve ise ( ) N midir? t, bir doğl sı olsu. N t ile t ve t de büük ol doğl sılrı kümesii gösterelim. N t = { t, t +, t +, t +,... } N dir. Bu tım göre N = {, 4, 5,... }, N 8 = { 8, 9,,... } olur. Özel olrk; N = N ve N = N + = {,,,... } dir. Yukrıdki sorulrı, N t kümesi içi de cevplıız. 48 Ortöğretim Mtemtik

159 N i bir lt kümesi A olsu. A ve A dki her elemı rdışığı ( fzlsı ) ie A d vrs, her doğl sıı A kümeside buluduğuu söleebilir misiiz? Söz gelimi; A, A, A,... olur mu? O hâlde, A ile N frklı kümeler olbilir mi? Bu gerçeği, bir özellik olrk ifde edecek ve buu isptıı pcğız. ÖZELLİK. A N.. A A dir =N.. A (+) A Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. A N vrslım. Bu durumd, N A = A' Ø ve A' N dir. A' N olduğud A' kümesii e küçük elemı (k) vrdır. k, A' kümesii e küçük elemı ve k > olduğu göre, (k ) A' ve (k ) N dir. Ölese, (k ) A dır.. hipotez gereğice [ (k )+ ] A i k A olur. k A' ve k A bir çelişkidir. Demek ki vrsım lıştır. O hâlde, A = N dir. Bu teoremi N erie, buu herhgi bir N t lt kümeside de ifde edebilirsiiz. Buu içi teoremde N erie N t ve. hipotezdeki A erie t A zmlısıız. Öreği, teoremi N kümesideki ifdesi, şğıdki gibi olur:. A N. A A= N dir.. A ( + ) A Şimdi, N t kümeside tımlmış P() çık öermesii düşüelim. Bu öermei, her N t içi ifdesii P() ile göstereceğiz. Söz gelimi; P() : + ise P(5) : dir. N t kümeside tımlı P() çık öermesii doğrul elemlrı kümesi A olsu.. A N t,. Öerme, N t kümesideki ilk elem içi doğru; i t A,. Öerme bir N t içi doğru ike + içi de doğru; i, " A ( + ) A" öermesi doğru ise teorem gereğice A = N t olur. Diğer bir deişle her N t içi P() öermesi doğru olur. TÜMEVARIM İLKESİ Bir P() çık öermesi ve N t kümesi verilmiş olsu:. P(t) öermesi doğru, b. k N t içi "P(k) P(k + )" öermesi doğru ise; N t içi P() doğrudur. " " bğlçlı bileşik öermede, sdece durumuu lış olduğuu htırlıız. Bu göre, P(k) P(k+) bileşik öermesii doğru olduğuu göstermek içi; P(k) doğru vrsıldığıd, P(k + ) öermesii de doğru olduğuu göstermemiz gerekir ve eter. Tümevrım ötemile ispt prke bu bsmğ dikkt edilmesi gerekir.. Üite: Tümevrım ve Diziler 49

160 ÖRNEKLER ( +). P() : = öermesii, N + içi doğru olduğuu gösterelim.. N + kümesii ilk elemı dir. Verile eşitliği, = içi doğru olup olmdığıı kotrol edelim. ( + ) P() : = öermesi doğrudur. b. Bir k N + içi P(k) P(k+) öermesii doğru olduğuu göstereceğiz. Buu içi P(k) öermesii doğru vrsdığımızd, P ( k + ) öermesii de doğru olduğuu göstermeliiz. P(k) : k = kk ( +) doğru olsu. [ ] ( k+ ) ( k+ ) + Pk ( + ): k+ ( k+ ) = kk ( + ) öermesi doğru mudur? P(k) öermesi doğru olduğu göre P(k + ) öermeside, sol dki k toplmı erie, buu eşiti ol kk ( +) ifdesii zrsk; kk k k Pk ( ): ( + )? ( + ) ( + ) ( k + [ ] ) = kk ( + ) + ( k+ )? ( k+ ) ( k+ ) = ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) = Demek ki P(k + ) öermesi doğrudur. O hâlde P(k) P(k + ) öermesi doğrudur. Verile eşitlik, tümevrım ilkesi gereğice N + içi doğrudur.. P() : = ( + ) öermesii N + içi doğru olduğuu kıtllım.. P() : = ( + ) öermesi doğrudur. b. Bir k N + içi; P(k) : k = k(k + ) öermesi doğru olsu. P(k + ) : k + (k+) = (k + ). [(k+) + ] öermesi doğru mudur? k. (k + ) P(k + ) : k. (k + ) + (k + )? = (k + ). [(k + ) + ] (k + ). (k + ) = (k + ). (k + ) P(k + ) doğrudur. Demek ki P(k) P(k + ) öermesi doğrudur. O hâlde verile eşitlik, tümevrım ilkesi gereğice N + içi doğrudur.. P() : ( ) = öermesii N + içi doğru olduğuu gösterelim.. P() : = öermesi doğrudur. b. Bir k N + içi P(k): (k ) = k doğru olsu. P(k+) : (k ) + (k + ) = (k + ) öermesi doğru mudur? P(k) öermesi doğru olduğu göre P(k+) öermeside, sol dki + + +(k ) 5 Ortöğretim Mtemtik

161 toplmı erie, buu eşiti ol k i zrsk; P(k + ) : k + (k + )? = (k + ) (k + ) = (k + ) olur. Demek ki P(k + ) öermesi doğrudur. O hâlde p(k) p(k + ) öermesi doğrudur. Verile eşitlik, tümevrım ilkesi gereğice N + içi doğru olur. 4. P() : ( + ) ( + ) = 6 öermesii, N + içi doğru olduğuu gösterelim.. P() : ( + ) (. + ) = öermesi doğrudur. 6 b. Bir k N + içi P(k) : k k.( k+ ) ( k+ ) = doğru olsu. 6 ( k+ ) ( k+ ) + ( k+ ) + P(k + ) : k + (k + ) = 6 k.(k+ ) (k+ ) 6 [ ] + + = [ ] k.( k+ ) ( k+ )? ( k+ ) ( k+ ) + ( k ) + ( k + ) 6 6 k.( k+ ) ( k+ ) + 6( k+ )? ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) = 6 6 ( k+ )( k + k+ 6k+ 6)? ( k+ )( k+ )( k+ ) = 6 6 [ ][ ] ( k+ ) ( k+ )( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) = Pk ( + ) doğrudur. 6 6 O hâlde tümevrım ilkesi gereğice verile eşitlik N + içi doğrudur. Demek ki P(k) P(k + ) öermesi doğrudur. Tümevrım ilkesi gereğice P() öermesi her N + içi doğrudur. öermesi doğru mudur? 5. P() : = ( + ) öermesii, N + içi doğru olduğuu gösterelim.. P() : ( + ) = öermesi doğrudur. b. + Bir k N içi P(k) : + + k = k (k + ) öermesi doğru olsu. (k + ) (k + ) P(k + ) : k + (k +) = k (k + ) /4 öermesi doğru mudur? k (k + )? (k + ) (k + ) + (k + ) = 4 (k + ) (k + 4k + 4)? (k + ) (k + ) = 4 (k + ) ( k + ) (k + ) (k + ) = 4 Pk ( + ) doğrudur.. Üite: Tümevrım ve Diziler 5

162 6. P() : + r + r r = öermesii her N + içi doğru olduğuu gösterelim. r. P() : = öermesi (r olduğu içi) doğrudur. r k b. + k r Bir k N içi P(k) : + r + r + + r = (r ) öermesi doğru olsu. r P(k) öermesi doğru ike P(k + ) öermesi de doğru olduğu göre P(k) P(k + ) doğru öermedir. O hâlde tümevrım ilkesi gereğice her N + içi P() doğru öermedir. 7. k P(k + ) : + r + r + r +r k + = k r +rk? r = P ( ) öermesii her N + : k k k+ r +r r? = r k+ r = r + + r r ( r ) ( + ) r r k+ r r r r r r içi doğru olduğuu gösterelim. = k+ k+ k+ + öermesi doğru mudur? P( k + ) doğrudur.. P( ): = ( + ) + öermesi doğrudur. b. + Bir k N içi k P(k) : = öermesi doğru olsu. 4 kk ( + ) k + k + P(k + ) : = öermesi doğru mudur? kk ( + ) ( k+ )( k+ ) ( k + ) + k/( k+ ) k + + =? k + k ( k+ )( k+ ) k + k(k + ) + ( k+ )( k+ ) (k + ) ( k+ )( k+ )? k + = k +? k + = k + k + k+ = k + k+ Pk ( + ) doğrudur. P(k) doğru öerme ike P(k + ) de doğru öerme olduğu göre tümevrım ilkesi gereğice P() öermesi her N + içi doğrudur. 8. P() : + h > ise + h ( + h) dir [ Beroulli (Beruli) eşitsizliği ]. öermesii her N içi doğru olduğuu gösterelim. 5 Ortöğretim Mtemtik

163 . N kümesideki ilk elem, dır. P() : +.h ( + h) öermesi doğrudur ( + h > ). b. Bir k N içi, P(k) : + kh ( + h) k öermesi doğru olsu. P(k + ) : + (k + ) h ( + h) k+ öermesi doğru mudur? + h > verilmiştir. Doğru olduğuu bildiğimiz P(k) öermeside (eşitsizliğide), iki ı d + h ile çrprsk ie doğru ol bir eşitsizlik elde ederiz. ( + kh) ( + h) ( + h) k ( + h) + kh + h + kh ( + h) k+ + kh + h + kh + h + kh ( + h) k+ ( kh ) + (k + ) h ( + h) k+ Demek ki P(k + ) öermesi doğrudur. O hâlde verile eşitsizlik tümevrım ilkesi gereğice N içi doğrudur. 9. P() :! öermesii doğru olduğu N t kümesii bullım. = içi! eşitsizliği doğrudur. = içi! eşitsizliği lıştır. = içi! eşitsizliği lıştır. = 4 içi 4 4! eşitsizliği doğrudur. = içi! eşitsizliği lıştır. = 5 içi 5 5! eşitsizliği doğrudur. kümeside doğru olup olmdı- Bu listede elde ettiğimiz souçlr göre P() öermesii N 4 ğıı rştırmlıız.. P(4) : 4 4! öermesi doğrudur. b. k N 4 olmk üzere; P(k) : k k! öermesi doğru olsu. Bu öerme doğru ike P(k+) : k+ (k + )! öermesii de doğru olduğuu göstermeliiz. < k k! < < k+ ( k 4 olduğuu bilioruz.) < k+ (k+)! P(k + ) doğru O hâlde tümevrım ilkesi gereğice N 4 içi P() doğrudur.. N içi 5 (6 ) olduğuu kıtllım [ 5 (6 ) zılışı, 5 sısı (6 ) sısıı böler demektir.]. P() : 5 (6 ) ile P() : 6 = 5 m, m Z ı öermelerdir.. P() : 6 = 5.m (m = ) öermesi doğrudur. Yi, 6 sısı 5 ile ( tm ) bölüür. b. k N içi P(k) : 5 (6 k ) i 6 k = 5m, m Z olsu. Bu durumd, 6 k+ sısıı d 5 ile bölüdüğüü göstermeliiz. 6 k+ = 6.6 k = (5 + ) 6 k = 5.6 k + 6 k = 5.6 k + 5m = 5.(6 k +m) 5m tm sı Demek ki 6 k sısı 5 ile tm bölüürke 6 k+ sısı d 5 ile tm bölümektedir. O hâlde tümevrım ilkesi gereğice N içi 5 (6 ) dir.. Üite: Tümevrım ve Diziler 5

164 . i = olduğu göre N içi (cosθ + i siθ) = cos θ + i si θ eşitliğii doğru olduğuu gösterelim.. = olsu. Her θ gerçek sısı içi cos θ + i si θ krmşık sısı sıfırd frklıdır. Bu edele; (cos θ + i si θ) = cos.θ + i si.θ eşitliği doğrudur (Eşitliği iki ı d dir.). b. Bir k N içi (cos θ + i si θ) k = cos kθ + i si kθ eşitliği doğru olsu. Bu eşitliği k + içi de doğru olduğuu göstermeliiz. Buu içi eşitliği iki ıı d cos θ + i si θ sısı ile çrplım. ( cos θ + i si θ ) ( cos θ + i si θ ) k = ( cos θ + i si θ). ( cos kθ + i si kθ ) = ( cos θ.cos kθ si θ si kθ ) + i ( cos θ si kθ + si θ cos kθ ) = cos ( θ + kθ) + i si ( θ + kθ ) = cos ( k+)θ + i si ( k+ ) θ (cos θ+i si θ ) k+ = cos (k+) θ + i si (k+) θ Demek ki eşitlik, k + içi de doğrudur. O hâlde, verile eşitlik tümevrım ilkesi gereğice N içi doğrudur. 4.. ALIŞTIRMALAR. Tım kümesi N ve kurlı f() = + + ol f foksiou verilior:. f(), f(), f(),..., f(9) değerlerii hesplıız. Bulduğuuz souçlr sl sı mıdır? b. d bulduğuuz souçlr drk her N içi, + + sısıı sl sı olcğıı söleebilir misiiz? Nede? c. f() değerii hesplıız. Bu değer sl sı mıdır?. Nokt sısı : 4 5 Bölge sısı : 4 8? Yukrıdki şekilde, çember üzeride lı oktlr ikişer ikişer birleştirilerek çemberi içi birtkım rık bölgelere rılmıştır:. Çember üzeride lı oktlrı sısı ile bu rık bölgeleri sısı rsıd bir bğıtı kuruuz. b. Bu bğıtıı, her N içi doğru olcğıı söleebilir misiiz? Cevbıızı, = 6 içi (çember üzeride 6 okt lrk ) kotrol ediiz. 54 Ortöğretim Mtemtik

165 . Aşğıdki öermeleri isptlrke hgileride tümevrım ötemii kullbilirsiiz, ede?. Ardışık iki doğl sıı çrpımı ile bölüür. b. Dörtgei çılrıı ölçüleri toplmı 6 derecedir. c. kerlı ( ) bir dışbüke çokgei, çılrıı ölçüleri toplmı ( ).8 derecedir. ç. Üçgeii lı, bir kerı ile bu ker it üksekliği çrpımıı rısıdır. 4. Aşğıdki öermeleri doğruluğuu, tümevrım ötemile isptlıız.. (.b) =. b, N + b. log = log, N + c. (4 ), N ç. 4 (7 ), N 5. Aşğıd verile öermeleri doğru olduğu N t kümesii buluuz ( Buu içi 5. sfdki örekte gördüğümüz gibi tümevrım ötemii kullrk ispt pmız gerekir.).. b. > 6. N + içi.! +.! +.! + +.! = ( + )! olduğuu tümevrım ötemile isptlıız örekte rrlrk şğıdki toplmlrı dh sde bir şekilde zıız b. c , 64 ç , d. +,+,+...+, bsmk 8. Ardışık üç doğl sıı küpleri toplmıı 9 ile tm bölüdüğüü kıtlıız. 9. N + içi! olduğuu kıtlıız.. Tümevrım ötemii kullrk biom teoremi die bilie, (+) = C(,) + C(,). + C(,) C(,). eşitliğii her N + içi doğru olduğuu gösteriiz. (Yol: İsptı prke C(,) = C(+, ), C(,) = C(+, +) ve C(, r) + C(, r ) = C( +, r) eşitliklerii kullıız.). θ R olmk üzere; + si θ si θ siθ+ si θ siθ= θ si eşitliğii N + içi doğru olduğuu gösteriiz = ise kçtır? A) B) C) D) 9 E) = ise kçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) toplmı kç eşittir? A) B) C) D) E) 6 5. Üite: Tümevrım ve Diziler 55 5

166 B. TOPLAM ( Σ ) VE ÇARPIM (Π) SİMGELERİ VE ÖZELLİKLERİ * Aspedos tik fi titrosu Atl ili Serik ilçesi Belkıs köü köprüç dğlık bölgesii düzlüğe ulştığı erdedir. Titro sözcüğü Yucd seirlik eri lmı gele tetro d türetilmiştir. Titro htt gelip geçmiş ve olbilecek ollrı belli erlerde eteekli kişilerce seirciler öüde cldırılmsı stıdır. Arkdki seircii shei dh rht görebilmesi içi bir rk sırdki koltuklr ödeki iki koltuk rsı gelecek şekilde erleştirilir. Bu edele her sırdki koltuk sısı rk doğru gidildikçe birer rtr. İlk sırd koltuk bulu bir titro sloud 5 sır koltuk vrs bu slou toplm seirci kpsitesi sıl hesplbilir? ETKİNLİK şeklide bir toplm işlemii düşüüüz. Bu zılış şeklide ile gösterile kısımd 9 ile rsıd ol tek sılrı buluduğuu düşüelim. Bu toplmı dh kıs bir zılışl ltıp ltmcğımızı rkdşlrıızl trtışıız. Bu iş içi sizce özel bir simge gerekli midir?. Bu kez çrpm işlemii düşüüüz. Arkdşlrıızl ukrıdki trtışmızı bu işlem içi de pıız. Σ simgesii "sigm" die okuruz. Bu simgei kullrk çok terimli toplmlrı dh sde bir şekilde zbileceğiz. Söz gelimi, toplmıı düşüelim. Bu toplmdki,,..., 5 sılrıı ( Bu sılr idis deir. ) k değişkei ile göstererek söz kousu toplmı, 5 5 k şeklide dh sde bir biçimde zrız. k = olur. k= k= 5 k zılışıı "k, ile 5 rsıd, sigm k " die okuruz. k= Toplm simgesii kullrk zcğımız ifdelerdeki değişkeler (k gibi), dim tm sı gösterecektir. Bu değişke, sigm işretii ltı zıl tm sıd bşlck, bu işreti üstüe zıl tm sıd bitecektir. Değişke erie bu tm sılr kouluc elde edile ifdeler toplcktır. Bu göre; 4 k= ( ) i = k= i= t= 6 t 4 5 = = olur. j= 9 te (sigm) ve π (pi), Yuc toplm ve çrpım sözcüklerii bş hrfleridir. 56 Ortöğretim Mtemtik

167 Σ simgesii kullrk toplm içi ptıklrımızı, Π simgesii kullrk çrpm işlemi içi prız. Bu göre; k =..... dir ( N + ). k zılışıı "k, ile rsıd, çrpım k " die k= k= okuruz. ÖRNEKLER 7 9 k.. k b. k c. k k= 5 k= 9 k=5 + ifdelerii hespllım.. 7 k = ( 5) + ( 4) + ( ) = k= 5 b. k = ( 9) +( 8) + ( 7) k= 9 = = 8 c. 9 k = = = k k= 5 +. Ydki dikdörtgede kırmızı ve mvi oktlrı sısıd rrlrk = + ( ) eşitliğii doğruluğuu gösterelim ve buu toplm simgesi ile zlım. 4 Tblodki stır sısı, sütu sısı + dir. Yeşil kırık çizgii üstüde kl gözlerde kırmızı oktlr, ltıd kl gözlerde mvi oktlr vrdır. Her sütudki kırmızı oktlrı sısı o sütuu üstüe, her stırdki mvi oktlrı sısı d o stırı solu zılıdır. Tblodki tüm oktlrı sısı ( + ) dir. O hâlde; ( + ) = ( ) + ( ) = k + ( + ) = ( ) = k k= ( + ) = = k k= k= k= olur. k. Üite: Tümevrım ve Diziler 57

168 . Ydki şekilde verile kırmızı ve mvi oktlrı sısıd rrlrk ( ) = eşitliğii kıtllım ve buu toplm simgesi ile zlım. Tblodki tüm oktlrı sısı. i dir. Bu sı de e doğru kırmızı oktlr ile mvi oktlrı sısı rdışık toplrk elde edile sıdır. Bu edele; [ + ( ) ]= ( ) = ( k ) = olur. k= Aşğıdki dikdörtgede A, A,, A ile gösterile llrı toplmıd rrlrk = ( + ) eşitliğii kıtllım ve buu ile ifde edelim. Bu şekilde ABCD dikdörtge, AB = birim ve AD = + birimdir. Bu göre dikdörtgei lı A(ABCD) = ( + ) olur. D A C A, A,, A içie zıldıklrı (rık) bölgeleri lıı göstermektedir. A =. = A =. +. = 4 A = = 6 A 4 = = 8 A 4 A =. ( + ) + ( ). = dir. Bu göre; A A A A(ABCD) = A + A + A + A A ( + ) = = k k= olur. A B 58 Ortöğretim Mtemtik

169 = ( )( ) 6 eşitliğii bir de şğıdki şekilde rrlrk kıtllım ve bu eşitliği simgesi ile zlım. D C A A 4 A A A A 4 B Bu şekilde ABCD dikdörtge, AB = ve AD = = + dir. te A, A,, A içie zıldıklrı (rık) bölgeleri llrıı göstersi. A =. ( + ) =. =. A =. ( +. ) +. = (. + + ) =. (. ) =. A = ( +. ) + ( + ) = (. + ) +. =. A 4 = 4( + 4. ) + ( + + ) = 4(4. + ) +. 4 = A = ( +. ) + ( ( ) ) =. ( + ) +. ( ) =. ( + ) =. olur. Bu göre; A(ABCD) = A + A + A + A A ( + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 6 + ) ( + ) = ( ) = k k= = = = k k= elde edilir Üite: Tümevrım ve Diziler 59

170 + 6. Aşğıdki ABCD kresii lıd rrlrk = eşitliğii ( ) kıtllım ve buu simgesi ile zlım. D C A 4 A 4 A A A A 4 B Verile krei bir kerıı uzuluğu ( ) birimdir. Şekildeki A, A,, A içie zıldıklrı rık bölgeleri llrı ise; A = = A = = A = 6 = A 4 = 6 = 4... A = ( ) ( ( )) ( + ) ( ) = = olur. 4 Bulrı toplmı ABCD kresii lı eşittir. Bu edele; A+ A + A + + A = A( ABCD) = ( ) + ) k = k ( = k= i k= dir. 6 Ortöğretim Mtemtik

171 Σ ve Π Simgelerii Özellikleri 4 k= işlemii düşüelim. Buu çık ifdesi, 4= =. 4 olur. k= te 4 4 k= işlemii soucu 4= = 4 dur. k= te 4 Bu öreklerde ve Π simgelerii kullımı ile ilgili kimi özellikler bulbileceğimizi sezioruz. Şimdi bu özellikleri görelim.. ÖZELLİK c, sbit bir gerçek sı olsu. Bu durumd; c= c + c+ c c= c k= te ve c= ccc c= c k= te dir. ÖRNEKLER. Aşğıdki toplmlrı hespllım b. c. k= k=8 6 k=. [, 5 ] d 5 te tm sı vrdır. Bu edele; tır. 5 4= 5. 4= 6 k= b.... 6, 7, 8, 9,..., 9, 4, 4,... ; [ 8, 4 ] d te tm sı vrdır. O hâlde 4 7 = 4 =. = 66 k= 8 dır. c....,,,..., 5, 6, 7 ; [, 6 ] d 9 te tm sı vrdır. Ölese 6 ( ) = 9 6 k= = 9. = 7 dir. bir öceki krei lıı çıkrıoruz.).. 5 7, b. k çrpımlrıı hespllım. k= i= 4 (Bir kerı AB ol krei lıd....,,,,..., 4, 5, 6,... 5 ( ) = ile 5 rsıd ( ve 5 dâhil ) 6 te tm sı vrdır. Demek ki; 7= 7 dır. k=. Üite: Tümevrım ve Diziler 6

172 b. 4 ile rsıd ( 4 ve dhil ), ( 5) = 5 te tm sı vrdır. Bu edele k= k tir ( Değişke i dir. k i, c gibi sbit sı olduğu dikkt ediiz.). i= 4 5 ÖRNEK 5 k= k toplmıd sısıı simgesii dışıd zm çlışlım. 5 5 k = = ( ) = k olur. k= k=. ÖZELLİK ck = c k ve ck = c k dir. k= k= k= k= Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. k= c k = c + c + c = c( + + ) = c. k= k k= i c k = c. c. c.. c = ( c. c.. c).(... ) = te c. k k= dır. W ÖRNEKLER 6 7 k.. b. k c. log 5k değerlerii hespllım. k + k = k= k= 4 k= k= 5 k= 5( )= 55 k= 4 k= 4 b. 7 7 k 5 k = k k k= k= = = = (7 = 5) c. k= k log = log + log log = log = log k k log = k + log = log log log = ( ) ( log ) ( ) = log = k= + 4 =. N + içi = (+) olduğuu gösterelim. 6 Ortöğretim Mtemtik

173 Verile eşitliği sol ıdki toplmı, Σ simgesii kullrk Bizde, k= k= k = ( + ) eşitliğii doğru olduğuu kıtlmmız istemektedir. ( + ) k= k=. = ( + ) k= k= () = ( + ) ( + ) eşitliğii N + içi doğru olduğuu gösterelim. şeklide zbiliriz. Bu eşitlikte, sol d, ile ( bu sılr d dâhil ) rsıdki çift sılrı kreleri toplmı vrdır. Buu, Σ simgesii kullrk (k) şeklide zlım. (k) = ( + ) (+ ) k= (k) = 4k = 4 k = 4. k= k= k= k= olduğuu göstermeliiz. (+ ) (+ ) 6 = ( + ) ( + ) 4. ( k + bk ) ifdesi ile k ve b k ifdeleri rsıdki ilişkii rştırlım. k= k= k= k ( k + bk) = ( + b)+ ( + b)+ + + b k= ( ) = ( )+ ( b + b + + b ) = k + bk o k= k= lur.. ÖZELLİK ( k + bk) = k + bk dir. k= k= k= ( k + bk) = ( + b) + ( + b) + + ( + b) k= = ( ) + ( b + b + + b ) = k + b k k= k= α ile β, sbit gerçek sılr ise; ( αk + βbk) = α k + β bk k= k= k= dir. ( k + bk) = ( + b) + b ve k b k k= k= k= ( ) + = b b dir +. Bu iki ifde eşit midir? Demek ki Σ içi bu mdde de gördüğümüz özellik, Π içi oktur.. Üite: Tümevrım ve Diziler 6

174 ÖRNEKLER. 6 ( k k) toplmıı hespllım. k= k k = k k ( ) k= k= k= 6 66 ( + )(.6+ ) k = = 7., 6 k= k = = 7. k= 6 k k = = 7( 6) = 7. = 6 k= ( ). N + içi ( ) = olduğuu kıtllım. ( + ) ( ) = ( k ) = k =.. = ( + ) = k= k= k= 8. rsıd bir bğıtı bulm çlışlım. k ile k ve k k= k= k= 9 8 k = ( )+ ( ) = k + k dır. k= 9 k= k= 9 t< ise t k = ( t)+ ( t+ + t+ + + ) = k + k ve k= k= k= t+ t k = (.. t ).( t+. t+. ) = k. k eşitliklerii zbiliriz. Demek ki; k= k= k= t+ 4. ÖZELLİK t t k + k = k ve k. k, t< dir. k= k= t+ k= k= k= t+ ÖRNEKLER k b. k c. k. k değerlerii hespllım. k= 7 k= 4 k= k= k + k= k k= 7 k= k= zbiliriz Burd; k = k k = k k= = 97 elde ederiz. k= 7 k= k= k= k= 64 Ortöğretim Mtemtik

175 b. c. 4 k = k + k = k + k ( ) =, = k= 4 k= 4 k= k= k= 4.( 4+ )(. 4+ ).( + ).(. + ) = + = = k. k= k= = 4! k= k= 6 k= 5. 5k ifdesii k erie k kork zlım. k= k = 5 8 5( k ) = 5k 5 olur. ( ) k = k= 4 5. ÖZELLİK +t t f(k) = f(k t) = f(k + t) k= k=+t k= t Σ Σ Σ ve f(k) = f(k t) = f(k + t) k= +t k=+t t k= t dir. fk () k= ifdesii göz öüe llım. Bu toplmı, k erie bşk hrf d hrfli ifde zrk d ltbiliriz. Söz gelimi, 5= fk () = fi () = fj () = f( ) 5 eşitlikleri doğrudur. k= i= j= 5= O hâlde, verile toplmı, k erie k t kork zrsk; k= k t= + t fk ( ) = fk ( t) = fk ( t) k= k t= k= + t olur. So ifdede t erie t zıc + t t fk () = fk ( t) = fk ( + t) eşitliklerii elde ederiz. k= k= + t k= t Bezer değiştirmeleri, Π de de prk + t t fk () = fk ( t) = fk ( + t) k= k= + t k= t dir. W ÖRNEKLER. k toplmıı hespllım. ( ) k= 5 Verile ifdede, sigmı lt sıırıı prsk soucu formülde rrlrk kolc hesplbiliriz. Buu içi k erie k + 4 zmmız gerekmektedir. k+ 4= ( k ) = ( k+ 4) = ( k ) = k = = 57 olur. k= 5 k+ 4= 5 k= k= k=. Üite: Tümevrım ve Diziler 65

176 7. k + k 4 toplmıı hespllım. k= 5 ( ) Bu örekte de sigmı lt sıırıı prk dh öce gördüğümüz formüller rdımıl soucu hespllım. Sigmı lt sıırıı pmk içi k erie k 6 zmlıız. 7 k 6= 7 k + k 4 ( ) k 6 + k 6 4 = ( ) ( ) = ( k 7) = k 7 = k= 5 k 6= 5 k= k= k= = = ( 6 7) = 9 dir i j+ 4 b. 5i j 4 ifdelerii hespllım. ( ) ( + ) i= 4 j= j= i= ( 5i j+ 4) = ( 5i j+ 4) = 5 i j+ 4 = ( i + ) i= 4 j= i= 4 j= i= 4 j= j= j= i= 4 = ( ) +. = 6, b. ( 5i j+ 4) = ( 5i j+ 4) = 5 i j+ 4 = ( 6j+ 87) j= i= 4 4 j= i= j= i= i= i= j= = 6( + + ) = 6 olur. Bu örekte bulduğumuz souçlrı eşit olduğu dikkt ediiz. 4. ( k. bk) ile k ve b k ifdeleri rsıd bir bğıtı bulm çlışlım. k= k= k= ( k. bk) = (. b).(. b )..(. b ) k= = (... ).( b. b.. b ) = k. bk olur. k= k= 6. ÖZELLİK ( k. bk) = k. bk ve b. b.. b ise k= k= k= k b k= k k = k= bk k= dir. ( k bk) = ( b) ( b) ( b) = ( ) ( bb b) i k= ( k bk) = k bk k= k= k= k = = bk b b b b b b k= ve b, b,, b k sıfırd frklı ise; k olduğud k = k= b k= k bk eşitliğii zbiliriz. W k= 66 Ortöğretim Mtemtik

177 ÖRNEKLER 79 ksi k. = si si si 9 ise işlemii soucuu türüde bullım. k + k= ksi k k =. sik =. (si si si 79 ) k + k k= k= k= = si si si 89 si 9 = çıkr. 8 8 (si = si 79, si = si 78,, si 89 = si 9, si 9 = ) 8 cos k. işlemii soucuu hespllım. k k= 8 cos k 8 8 = cos k : k k k= k= k= = (cos cos.. cos 9.. cos 8 ): (.... ) =: (!) = dır. 4.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki toplmlrı, Σ simgesii kullrk zıız b c ç d e.. +.( ) +.( ) Aşğıdki ifdeleri, Π simgesii kullrk zıız b c. log + log 4 + log log ç d Aşğıdki ifdeleri hesplıız b. k k c. cos k ç. cos k d. k= 5 k= k=45 k=45 5 log k( k +) k= 4. Σ ve Π i özelikleride rrlrk şğıdki işlemleri soucuu, türüde buluuz.. ii ( +) b. i( i+ ) c. k i= i= k= ç. d. k + k e. k k= + k= k= k. Üite: Tümevrım ve Diziler 67

178 5. Aşğıdki eşitliklerde, sılrıı buluuz.. (k+) = b. ( k+ ) = ( k 4) c. k = ç. k k = 6. k d. = e. k= k= k= 6. Aşğıdki ifdeleri hesplıız ( 5k 4) b. ( k 5) c. 5 i ç. ( k + 9k) d. ( k k+ 4) e. ( )( i + 9) k= k=6 i= 7. Aşğıdki ifdeleri hesplıız (c de soucu i, ç de ü kuvveti şeklide buluuz.). 5 4 k k i. b. c. ç. d. i k ( ) kk ( + ) k=4 k= 8 k=5 k=4 i= 6 8. ij. + ij. ifdesii soucuu, e sde şekilde buluuz. k= i= 5 j= 4 9. ij ifdesii soucuu, türüde buluuz.. i= j= k= k= k= k= k= 7 ( k )! = 88 k= 5 k=7 k 5. Aşğıdki işlemleri souçlrıı hesplıız. k. b. c. ii k i k= i= ( +) k= 4 i= + = k= ( k ) 4. i krmşık sısı içi i k = olduğuu biliorsuuz. Bu göre i toplmıı hesplıız.. Aşğıdki işlemleri souçlrıı buluuz. 8. ( m+ ) b. m= 4 = = m=. kişii ( ) ktıldığı bir topltıd üeleri her biri, diğer üeleri her birile lız bir kez toklşıor. Bu topltıdki tüm toklşmlrı sısıı hesplıız. 4. k N + içi k sılrıı gerçek sı olduğu biliior. N + içi k k olduğuu, tümevrım ötemile isptlıız. k= k= 5. ile 5 rsıd, 4 ile bölüdüğüde klı ol sılrı toplmıı hesplıız. 6. Aşğıdki işlemleri pıız b. c. d. kk ( + ) kk ( + ) k= k = k 4 k= 4 (Yol: Toplm simgesi içideki ifdeleri bsit kesirlere ırıız.) 5 k= ( 5m) k = 5 4k 68 Ortöğretim Mtemtik

179 4.. DİZİLER Bilgisrlr doım ve zılım olmk üzere iki bölümde oluşur. Bilgisrı fiziksel kısmı doımı, doımı kullmk içi gerekli ol progrmlr ise zılımı oluşturur. Yzılımı oluştur progrmlr, çok sıdki ritmetik dizi mtığıl çlışır. A. DİZİ TANIMI, DİZİNİN GRAFİĞİ, SONLU DİZİ, SABİT DİZİ VE EŞİT DİZİLER ETKİNLİK Bir rışm ktıl 5 öğrecide. ol,. ol, 5,. ol, 4. ol 5 ve 5. ol TL ödül verilecektir... ol öğrecii ile. olı ile gösterirsek öğreciler kümesi A = {,,, 4, 5} olur. Verilecek pr ödüllerii kümesii de B ile gösteriiz ve B i elemlrıl zıız. Her öğrecii lcğı pr ödülü ile eşlee bğıtı bir foksio mudur? A d B e tımlı ol bu foksiou grfiğii çiziiz.. Foksiou f ile A kümesii elemlrıı d ile göstererek = f() derseiz;,,, 4, 5 hgi sılr olur? 4. A erie N + kümesii lrk bezer foksio tımlrı pm çlışıız. Bulrd birii grfiğii çiziiz. 5. f foksiolrıd biri sbit foksio olsu. Bu foksiou ilk 4 terimii zıız ve grfiğii çiziiz.! 6. = f() =, b =g = ( ) ise her N + içi ve b terimlerii frklı olup olmcğıı ( + )! + çıklıız. ÖRNEK f: N + R, f() = foksiou verilmiş olsu. 5, ve 5 değerlerii hespllım. 5 = f(5) = 5. 5 =, =. = 7, 5 = 5. 5 = 5 45 = 8 dir. A boş kümede frklı herhgi bir küme olsu. N + kümeside A kümesie örte ol bir foksio tımlbildiğimizi düşüelim. A kümesii; i görütüsü ol elemı, i görütüsü ol elemı,.. i görütüsü ol elemı.. ile gösterilirse, bu kümei elemlrıı ;. Üite: Tümevrım ve Diziler 69

180 ,,,...,,... sırsıl zbiliriz. Koumuzd;,,...,,... elemlrıı gerçek sılrd seçerek dizi tımıı pcğız. TANIM N + kümeside R kümesie tıml her foksio dizi deir. Dizi ol bir foksio f olsu. f : N + R, f() = f() =. f() =. zlım. Bu foksiou elemlrı ; (, ), (, ),..., (, ),... şeklideki ikililerdir. Ölese, bir dizii, {(, ) N +, = f ( )} kümesile ltbiliriz. (, ) ikiliside, N + ve = f() olduğu bellidir. Bu edele dizii, sdece ( ) ile de ltbiliriz. Sdeliği edeile koulrımızd bu tür ltımı tercih edeceğiz. ( ) zılışıı d dizisi die okucğız. TANIM = f() ifdesie, ( ) i geel terimi ( d. terimi) deir. = f() sısı, ( ) i birici terimi; = f() sısı, ( ) i ikici terimi,... olur. ( ) verildiğide litik düzlemi, (, ) ikililerile eşlee oktlrı bu dizii grfiğidir. ÖRNEKLER.. ( ) = + b. (b ) = 4 + verilior. ve b dizi midir? Açıkllım. 4+. = 4 olsu. 4 = R dir. 4 4 dizi değildir. b. N + içi b = + R dir. b dizidir.. Geel terimi, = ol ( ) i ilk beş terimii zlım. Dizii grfiğii çizelim. Verile dizii ilk beş terimi; (, ),,,,, 4,, 5, olur. 4 5 = Alitik düzlemi bulrl ve diğer, şeklideki ikililerle eşlee oktlrı, ( ) i grfiğidir. Bu grfik, dki şekilde görüle kırmızı oktlrdır. 7 / = (,) (, ) (, ) (5, (4, ) ) Ortöğretim Mtemtik

181 ( ). (b ) = ( ) i 5 ve 8. terimlerii zlım. Dizii grfiğii çizelim. b 5 = ( ) 5 = ve b 8 = ( ) 8 = olduğud dizii 5. terimi (5, ) ve 8. terimi (8, ) dir. Bu dizii grfiği şğıdki gibidir: (,) =b (8,) (,) (, ) (5, ) (9, ) 4. (c ) = () i grfiğii çizelim. (5,5) pozitif tm sı olmk üzere, litik düzlemi koorditlrı (,) ol oktlrı, bu dizii grfiğidir ( dki şekil ). (,) =c Bu öreklerde; foksiou, psisi pozitif tm sılr ol oktlrıı bir dizi belirttiğii görüorsuuz. Dizii grfiği foksiouu grfiği üzeride bu tür oktlrdır. Diziler içi ukrıdki öreklerde gördüğüüz grfikler erie, bud sor, (, ) biçimideki ikilileri, lız terimlerii sı ekseide göstermekle etieceğiz. Bu göre ukrıdki üç grfik erie şğıdkileri çizmemiz eterli olcktır. ( ) = ( ) 5 4 Bir dizii belli olbilmesi içi o dizii geel terimii verilmiş olmsı gerekir. Öreği;, 4, 6, 8,, terimlerii verilmesile dizii verilmiş olduğuu söleemeiz. Bu örekte, dizii ltıcı terimii olcğı seziliors d öle diziler bulubilir ki ilk beş terim, ukrıd verile terimler olduğu hâlde, ltıcı terim olmbilir. Gerçekte de geel terimleri, = ve b = ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 5) + ol iki dizii de ilk beş terimi, ukrıdki terimler olur. Fkt, 6 = olduğu hâlde, b 6 = 5! + = dir. (b )=( ) (c ) = () b b b b Üite: Tümevrım ve Diziler 7

182 ÖRNEKLER, (mod ) ise +. ( ) i geel terimi, = 5, (mod ) ise, (mod ) ise olduğu göre 5, ve terimleri kçtır? Bu dizii, k N + içi (k ). ve (k + ). terimlerii zlım. 5 (mod ) 5 = 5 = 5 (5 (mod ) olduğud i tımıd. stırdki kurl geçerlidir.) (mod ) = 5 ( (mod ) olduğud i tımıd. stırdki kurl geçerlidir.) (mod ) = + ( (mod ) olduğud i tımıd. stırdki kurl geçerlidir.) k (mod ) k = (k ), k + (mod ) k+ = 5 tir.. ( ) = i ilk 4 terimii zlım. geel terimii dh sde bir biçimde ifde edelim. = = = + 4 = = + + geel terimii dh sde bir şekilde zmk içi ; N + ve r içi bildiğimiz, + r + r r + r = eşitliğide rrllım. Bu eşitlikte r = lıırs; r = + = = elde edilir.. i kç terimii tm sı olduğuu bullım. + ( + ) = = olur. Bu soucu tm sı olmsı içi +, i tm bölei olmlıdır. pozitif tm sı olduğud + ;, 4, 6, olmlıdır. Demek ki bu dizii 4 terimi tm sıdır. TANIM k ve k de küçük pozitif tm sılrı kümesi D k olsu. D k kümeside R kümesie tıml her dizie, solu dizi deir. 7 Ortöğretim Mtemtik

183 Bu tımdki dizii elem sısı k dir. ÖRNEK f : D 5 R, f() = dizisii terimlerii zlım. Bu dizi kç terimlidir? D 5 = {,,,..., 5 } olduğud verile dizii terimleri, bu kümei elemlrıı f foksiou ile elde edile sırlı görütüleridir. O hâlde, verile solu dizi ;,, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9 olur. Bu solu dizii terim sısı 5 tir. 7. sfd gördüğümüz dizi tımı, solu olm dizi tımıdır. Bu kitpt dizi sözü, solu olm dizi lmıd kullılcktır. TANIM, sbit bir gerçek sı olsu. " N + içi = ise ( ) e, sbit dizi deir. Bu sbit dizi () ile gösterilir. () sbit dizisie de sıfır dizisi dı verilir. Bu tım göre ( 5 ), ( cos (.π) ), ( ) dizileri sbit dizilerdir. ( si π ) sıfır dizisidir. ÖRNEK + = verilior. ( ) sbit dizi ise kçtır? + 4 c sbit bir gerçek sı olsu. + = = c + = c + 4 c, N = c = 4 c (Poliomlrı eşitliğii htırlıız.) c = = olur. TANIM N + içi = b ise ( ) ile (b ) e, eşit diziler deir ve ( ) = (b ) zılır. ÖRNEK ( ) ( ) ( ) = ( ), ( b) = cos π ve( c) = ( ) eşit diziler midir? Açıkllım. N + içi; = ( ) =, = ( ) = ve b = cos π =, b = cos ( )π = dir. Demek ki her pozitif tm sısı içi = b dir. ( ) ile ( b ) eşit dizilerdir. = c olduğud ( c ) bu dizilere eşit değildir. Leordo Fibocci (Leordo Fiboçi): 7-5 ıllrı rsıd şmış ol Fiboci, ort çğı e eteekli mtetikçisi olrk biliir. Dizileri ilk keşfede Fibocci'i kedi dıl ıl dizisi e gı bilieidir.. Üite: Tümevrım ve Diziler 7

184 4.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki dizileri ilk üç terimii zıız.. b. c !!!. Aşğıdkileri bir dizi olup olmdığıı çıklıız ( N + ).. (si ) b. ( ) c. ( log ( ) ) ç. 5. Aşğıdki dizileri grfiklerii, litik düzlemde çiziiz.. ( ( ) ) b. (log ) c. ç. si π d. ( 6) 4.. sorud verile dizilerde her birii ilk ltı terimii sı ekseide gösteriiz. 5. Aşğıdki dizileri sbit dizi olup olmdıklrıı çıklıız ( si π ) b. c. (cos π) ç sbit dizi ise kçtır? + 7. = ve > içi =. ise = olduğuu gösteriiz.! ve eşit diziler ise sısıı buluuz Aşğıdki dizilere eşit ol diziler zıız ( k ) b. c k= ( ) + ( ) ( ( ) ) ç. d k e k= 5 log log 5. Geel terimi,, (mod ) ise, (mod ) ise, (mod ) ise ol ( ) verilior. Bu dizii :. 5,, 5 terimlerii, b. k N + olduğu göre 6k, k ve 6k+ terimlerii zıız.. ( ) verilior. Bu dizide N + içi + = 4 ve 5 = ise kçtır?. ( ) verilior. Bu dizide N + içi + = + + ve 5 = 8 ise 5 kçtır? 5 5. i kç terimi egtiftir? 4. i kç terimi pozitiftir? Ortöğretim Mtemtik

185 5. i kç terimi tm sıdır? 6. + i kç terimi de büüktür? i kç terimi de küçüktür? i kç terimi [, ] ddır? ( ) i kç terimi, d değildir?. i kç terimi [, ] ddır? + + B. DİZİLERLE İŞLEMLER ETKİNLİK. A R ve f ile g, A kümeside R e tımlı iki foksio olsu. k sbit bir sı ise f + kg ve f. g foksiolrıı tımıı ımsıız. f : R R, f() =, g : R R, g() = ise f ve g foksiolrıı toplm ve çrpımlrı sıl tımlır?. Tım kümesi N + ve değer kümesi R ol her foksio bir dizi olduğu göre diziler rsıdki işlemler sizce sıl tımlbilir?. = + b = + + ise ( b ), (.b ) ve b dizilerii kurllrıı zıız. ÖRNEK ( ) = ( ) (b ) = ise (. b ) ve dizilerii kurllrıı zlım. + b b = ( ) ( ) ( + ) = =, = + + b / ( + ) =( ) ( + ) = + dir. Yukrıdki etkilik çlışmızd diziler rsıd toplm, çrpm, bölme gibi işlemler pılbileceğii gördüüz. ( ) i,,... terimlerii gerçek sılr olduğuu bilioruz. Bu tür gerçek sı dizilerii kümesi D olsu. D kümeside; toplm, çrpm, bölme ve bir dizii bir gerçek sı ile çrpımı işlemleri, şğıdki gibi tımlır. TANIM R N + Bu tım göre iki dizii toplmı ie bir dizidir ve bu dizii bir k. terimi (k N + ), verile dizileri k. terimlerii toplmıdır. Aı durum, bir dizii bir λ gerçek sısı ile çrpımı, iki dizii çrpımı ve bölümü içi de geçerlidir. Ylız, böle dizide her terim sıfırd frklı olmlıdır.. Üite: Tümevrım ve Diziler 75

186 Öte d ( ) ve (b ) dizilerii frkıı; ( ) + ( ). (b ) = ( ) + ( b ) ( ) (b ) = ( b ) şeklide hesplrız. ÖRNEKLER. ( ) = ve (b ) = ise şğıdki dizileri bullım ( ) + (b ) b. ( ) + ( ). (b ). ( ) + (b ) = ( + b ) = + + = + + b. ( ) + ( ). (b ) = ( ) + ( b ) = ( b ) = = = + + () + +. ( ) = ve (b ) = ise şğıdki dizileri vrs bullım. + ( ). ( ). (b ) b. c. ( b) ( b) ( ). ( ). (b ) = (. b ) =. = ( ) dir. + b. b = ( = olduğud ) işlemi tımsızdır. ( b) c. N + içi = dır. ( b) işlemi tımlıdır. + ( ) ( b) b + ( )( + ) = =. = olur. ( ). ( ) = ( cos π ) ve (b ) = si π ise ( + b ) i bullım. + b = cos π + si olur. + b = π + =, (mod 4) ise + =, (mod 4) ise + =, (mod 4) ise =, (mod 4) ise = 4k +. π = 4k +. π. π = 4k +. π = 4k 76 Ortöğretim Mtemtik

187 4.. ALIŞTIRMALAR. ( ) = ( ( ) ) ve (b ) = ( ) ise ( + b ) i buluuz.. Geel terimi, =, (mod ) ise, (mod ) ise, (mod ) ise ol ( ) verilior. ( + + ) i geel terimii zıız.. ( ) = ( ( + )! ), ( b ) = () ve ( c ) = ( ( )! ) verilior. bc i buluuz. 4., çiftise, çiftise =, b, tekise, tekise olduğu göre şğıdki dizileri tımlı ise geel terimlerii zıız.. ( + b ) b. (. b ) c. b ç. b 5. ( ) = ( log ( + ) ) ve (b ) = ( l ( + ) ) ise i buluuz. b 6. = log ( + ) ve b = log + b verilior. (. b ) i buluuz. ( ).( + ) 7. = verilior. (. ) i buluuz ( ) = ( t ) ve (b ) = ( cot ) verilior. Aşğıdki dizileri buluuz.. ( + b ) b. (. b ) c. b 9. = log si + log ve b = log cos ise ( + b ) i buluuz.. = ( )! ve b =! ise ( b ) i ve i buluuz. b. ( ). (b ) = () ise ( ) ile (b ) de birii sıfır dizisi olmsı gerekmediğii bir örekle gösteriiz.. ( ) = ( + ) ve (b ) = ise ( ) (b ) ve ( ). (b ) işlemlerii pıız. +. ( ) = (log 5 ) ve (b ) = (cos π) dizilerii beşici terimleri toplmı kçtır? A) B),5 C) D),5 E). Üite: Tümevrım ve Diziler 77

188 C. MONOTON DİZİLER ETKİNLİK ( ) = ve ( b ) = ( ) dizileri içi şu çlışmlrı pıız..,,, 4, 5 terimlerii zıız. Bu terimleri küçükte büüğe doğru sırlıız. Her terim bir öceki terimde büük müdür? + işlemii soucuu pozitif mi, egtif mi olduğuu buluuz. + ile rsıdki sırlm edir? b. Bu kez b, b, b, b 4 terimlerii zıız. Bu terimler rsıdki sırlm sıldır? Bu dizide herhgi rdışık iki terim rsıdki sırlm edir? b + b işlemii prk b ile b + rsıdki sırlmı zıız. c. ( ) dizisii terimlerii devmlı rttığıı, (b ) dizisii ise zldığıı düşüerek bu dizileri sıl dldırbileceğiizi rkdşlrıızl trtışıız. ÖRNEK ( ). ( ) =, ( b ) = ( ) ve ( c ) = dizileri rt ve zl mıdır? Açıkllım. ` 5 + ( ) i ilk üç terimi,, ve > > tir. Geel olrk = ve + ` ` 5 = + olduğud > + dir. Demek ki ( ) terimleri devmlı zl bir dizidir. ` b =, b + = + ve < + i b < b + dir. (b ) terimleri devmlı rt bir dizidir. c =, c =, c = 4 ve c < c, c > c tür. (c ) i terimleri devmlı rt d zl değildir. TANIM ( ) verilmiş olsu. N + içi:. < + ise ( ) e mooto rt;. > + ise ( ) e mooto zl dizi deir. Mooto rt d mooto zl dizilere, kısc mooto diziler dioruz. Bu tım göre mooto rt dizide terimlerde her biri öceki terimde büük, mooto zl dizide ise küçüktür. Eğer N + içi + ise; ( ), zlm bir dizidir. + oluc d bu dizi, rtm dizi olur. ÖRNEKLER + ise; ( ) i mooto rt, ( b ) i mooto zl olduğuu gösterelim... = b. b = = = > > + + ( ) mooto rtdır. b. ( + ) b = ; b+ = = + + ( + ) + b+ b = = = + ( + ) < + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b + b < b + < b, (b ) mooto zldır. 78 Ortöğretim Mtemtik

189 ( ) +!. = ise ( ) i mooto olduğuu gösterelim. ( ) pozitif terimli bir dizidir = ( )!.( = > mooto rtdır. + + > + )!, ( ).. ( ) = ( 6 ) b. (b ) = ( si ) dizilerii mooto olup olmdıklrıı rştırlım.. (7, ) b. = π π π =b π 7 =si = 5 = = 8 = 9. = 6 ise > >, < 4 < 5 <... olur ( Yukrıd soldki şekli iceleiiz. ). ( ), mooto dizi değildir. b. Yukrıd sğdki şekilde, (si ) i bzı terimleri gösterilmiştir. Bu şekilde de görüldüğü gibi si değerleri devmlı rt d devmlı zl değildir. Öreği si < si ve si > si tür. Ölese (si ) mooto dizi değildir. 4. ( ) = ( + ) dizisii zlm dizi olduğuu gösterelim. Verile dizide = = dır. Sğdki şekilde de lşılcğı gibi de büük ol her tm sısı içi < + olur (Yi N + içi + dir.). Demek ki verile ( ) zlm dizidir = 5, { 4567,,, } olsu. Bu dizii rtm dizi olduğuu gösterelim., { 4567,,, } (, ) (4, ) 4 = 5 = 4, = 5 =, = 5 =, 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 5 8 = 9 = 5 9 = 4 olur. Eğer ; 4, 5, 6, 7 sılrıd frklı sm sısı ise + = 5 ( + ) ve = 5 dir. 5 ( + ) < 5 i + < dir. = 4 = 5 = 6 = 7 olduğuu d düşüürsek N + içi + olur. Demek ki verile dizi rtm dizidir Üite: Tümevrım ve Diziler 79

190 6. ( ) = (log ) i mooto olup olmdığıı rştırlım. = log + = log ( + ) + = log ( + ) log + = log =log + > + > olduğu içi log + > olur. (7, (, ) 7 ) = log > + > ( ) = (log ) mooto rt dizidir. 7. ( ) = i mooto olup olmdığıı rştırlım. = > dır. Yi ( ) pozitif terimli bir dizidir. = + = ve + + =. = < + (, ) (, + < + < ) ( ) mooto zl dizidir. Bu öreklerde; Terimleri büüdükçe devmlı büüe dizii mooto ortm, terimleri hiç küçülmee dizii zlm, Terimleri büüdükçe devmlı küçüle dizii mooto zl, terimleri hiç büümee dizii de rtm dizi olduğuu lıoruz. Sbit dizi ise hem rtm hem de zlm dizidir. 4.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıd geel terimleri verile dizileri, mooto olup olmdıklrıı rştırıız.!. = b. = c. = 5 ç. = 4 d. = e. = l. ( ) ve (b ) mooto rt iki dizi ise ( + b ) i de mooto rt olduğuu gösteriiz.. Aşğıdki dizileri mooto olduğuu gösteriiz. +. b. + 7 c. + + ç. d e.!!! 4. ( ) dizisi mooto mudur? Nede? 5. ( + ) i zlm dizi olduğuu gösteriiz. 6. ( + ) i rtm dizi olduğuu gösteriiz.!! 8 Ortöğretim Mtemtik

191 4.. ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER Resimdeki köprüde bğlm hltlrıı uzuluklrı, ortd köprü ğı kdr ol kesimde mooto rt bir dizi oluşturur. A. ARİTMETİK DİZİLER ETKİNLİK. ( ) de. terim = olsu... terimi. terime ekleerek elde edildiğii düşüelim: = + = + b.. terimi. terime ekleerek elde edildiğii düşüelim: = + = +. c. 4. terimi. terime ekleerek elde edildiğii düşüelim: 4 = + = +. ç. Bu şekilde devm edilerek dizii öteki terimlerii hespldığıı vrslım. d. Bu göre dizii geel terimii sıl zılbileceğii rkdşlrıızl trtışıız.. de zdığıız ( ) de;. Ardışık iki terim rsıdki bğıtı edir? b. Ardışık üç terimde ortdki ile diğer ikisi rsıd bir bğıtı bulm çlışıız. c. İlk terimii toplmıı bulm çlışıız. ÖRNEK ( ) = + 5 ise ( 7 6 ), 9 işlemlerii souçlrıı bullım. Her N + içi + ifdesii sbit sı olup olmdığıı rştırlım = =, 9 = = tür. Her N + içi = = olur. Souç dim sısıdır. Yukrıdki etkilik çlışmızd ve örekte gördüğüüz gibi kimi dizilerde rdışık iki terim rsıdki frk dim ı sı olbilir. Şimdi bu tür dizileri tımllım. TANIM ( ) verilmiş olsu. d, sbit bir gerçek sı ve N + içi + = + d ise; ( ) e, ritmetik dizi deir. d e de ortk frk dı verilir. Bu tım göre ritmetik dizide, bir terim ile buu rdışığı rsıdki frk dim sbittir. Ölese ( ) ritmetik dizi ike buu terimleri; = = + d = + d = ( + d) + d = + d 4 = + d = ( + d) + d = + d 5 = 4 + d = ( + d) + d = + 4d. = + d = ( + ( ) d ) + d = + ( ) d. şeklidedir. Burd d, sbit bir gerçek sıdır.. Üite: Tümevrım ve Diziler 8

192 ÖRNEK ( ) ritmetik dizi; 5 = 5, d = 4 ise geel terimii bullım. = 5, = 5 4, = (5 4) 4 = 5. 4, 4 = (5. 4) 4 = 5. 4,, = 5 ( ). 4 = 9 4 dir.. ÖZELLİK Birici terimi, ortk frkı d ol ritmetik dizide geel terim, = +( )d dir. Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. ÖRNEK = = + d = + d + = + d = + ( ) d olur. ( ) bir ritmetik dizi ise 4 +, 5 + 9, toplmlrıı hespllım ve souçlrıı orumllım. 4 + = ( + d) + ( + 9d) = + d, = ( + 4d) + ( + 8d) = + d, = ( + 5d) + ( + 7d) = + d dir. Bu souçlr göre 4 + = = = ( + 6d) = 7 olur.. ÖZELLİK ( ) ritmetik dizi ise + = + = + = dir. Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. ( ) ritmetik dizi ise = + ( )d olduğuu bilioruz. Bu göre; + = + + ( )d = + ( )d + = + d + + ( )d = + ( + )d = + ( )d + = + d + + ( )d = + ( + )d = + ( )d. eşitliklerii zbiliriz. Bu eşitliklerde sğ lr eşit olduğud sol lr d eşit olur. ÖRNEK ( ) ritmetik dizi ise 5 ve 5 terimlerii ortsıd hgi terim vrdır? Bu üç terim rsıdki ilişkii rştırlım ile 5 terimlerii ortsıd ( = 5 olduğud ) 5 terimi vrdır. Bu terimler rsıdki ilişki; = ( + 4d) + ( + 4d) = ( + 4d) = 5 eşitliğidir. 8 Ortöğretim Mtemtik

193 . ÖZELLİK Bir ritmetik dizide, iki terimi ortsıd dizii bir terimi vrs; bu terim, söz kousu iki terimi ritmetik ortlmsıdır. Yi ( ) ritmetik dizisii iki terimi k ve +k ise bulrı ortsıdki terimi = k + +k dir. Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. k = + ( k ) d k + + k = + ( ) d= [ + ( ) d] = + k= + ( + k ) d ÖRNEK ( ) ritmetik dizi ve = 6, = 5 ise bu dizii ilk terimii toplmıı hespllım. + = + 8 = + 7 = = 5 olduğud; = 5. 5 = = ( + ) = dir. 4. ÖZELLİK ( ) ritmetik dizi ise ilk terimii toplmı ( ) dir. S = + Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. S = = + ( + d ) + ( + d ) ( + ( ) d ) = + ( ( ) ) d ( ). = + = [ + ( ) d] =. d [ + + ( ) d] S = ( + ) dir. ÖRNEKLER. ( ) ritmetik dizi ve = 8, d= ise 7 terimii bullım. 7 = + (7 ) d = = dir toplmı, bir ritmetik dizii bşt terimii toplmıdır. Bu toplmı soucuu hespllım. = 5, = 9, d = = 9 5 = 4 = + ( ) d = 5 + ( ). 4 = 5 + = 49 + = 5 4 S = ( + ) = 5 (5 + ) = 5. = 55 çıkr.. ile rsı, bu sılrl birlikte bir ritmetik dizi oluşturck şekilde 4 sı dh erleştirelim.. Üite: Tümevrım ve Diziler 8

194 ,,,..., 5, 6 = = + 5d = + 5d d= Bu göre dizii ilk 6 terimi, 5 = 4 5 =,8 ;,;,4;,4;,; ;,8;,6; 4,4; 5,; 6; 6,8; 7,6; 8,4; 9,; olur. 4. Bir titrod her sırdki koltuk sısı bir ösırdkide fzldır. Bu titrod toplm 4 sır ve e ödeki sırd 8 koltuk bulumktdır. Titrou bilet ücretleri ö sırd rk sır doğru rtrk gitmektedir. Bir sezo içi biletler + (,5) TL formülü ile stılcktır. Burd, öde rk doğru, sır umrsıdır. Titrou tm dolu olduğu bir güdeki bilet gelirii hespllım. Öde rk doğru her sırdki koltuk sılrı bir ritmetik dizi oluşturur. Bu dizide = 8 ve d = dir. 4 olmk üzere. sırd elde edile gelir. (. sırdki koltuk sısı). (. sırdki koltuğu ücreti) = [ + ( ) d]. [ + (,5) ] = 8+( ). + [ ] = (6 + ) + =(8+ ) (4 + ) olur. Titro tm dolu oluc geliri; (8 + ) (4 + ) = ( ) =. = = = TL borcuu ilk tksidii TL, bud sorki her tksidii bir öcekide TL fzl ödeerek bitirmek istee bir borçlu, bu borcuu kç tksitte bitirir?. tksit TL,. tksit TL,. tksit 4 TL,,. tksit + ( ) TL olur. S = [ + ( ) ] = + ( + ( ) ) = 44 ( 58 + ) = ( + 9) = 44 ( + 9) = 44 = ( + 9) olur. Bu göre = çıkr. Borçlu borcuu tksitte bitirir. B. GEOMETRİK DİZİLER ETKİNLİK = = = 868 TL olur. ile r sıfırd frklı ol iki gerçek sı olsu., r, r, r, şeklideki dizii düşüelim. Bu dizide ilk terim dışıdki terimleri her biri bir öceki terim r ile çrpılrk elde edilmiştir. Böle dizileri de bu kısımd iceleeceğiz. 4 = 4 = 84 Ortöğretim Mtemtik

195 Aşğıdki şekillerde eşil rekle bomış ol (eşker) üçgesel bölgeleri sılrı size bu tür bir dizii çğrıştırır. Bulrd birici şekilde, köşeleri eşker üçgei kerlrıı ort oktlrı ol bir üçge çıkrılrk ikici şekil, sor budki üç (eşil) eşker üçgede ı işlem ugulrk üçücü şekil elde edilmiştir. Bu işleme devm edildiğii düşüerek kl (eşil) eşker üçgeleri sılrıı sırl zıc ukrıdki dizie bezer bir dizi elde edersiiz.. şekil. şekil. şekil 4. şekil. Yukrıdki eşil rekle bolı eşker üçgeleri sılrıd oluş dizii ilk dört terimii zıız. b. Bu dizide rdışık iki terim rsıd sıl bir ilişki vrdır? c. Dizii rdışık üç terimi rsıd bir ilişki bulm çlışıız. Bu tür dizilere sizce e d verilebilir? Burdki çlışmd verile bir sısıı sıfırd frklı sbit bir r sısı ile çrprk, i r ile çrprk, sılrıı bulup bu şekilde bir dizi tımlbileceğimizi sezioruz. ÖRNEK ( ) de = 6 dır. Sorki her terim bir öceki ile çrpılrk buluduğu göre dizii 8. terimii zlım. 5 = 6, =, = = 6,, 8 = 7 = 6 = 6 olur TANIM Birici terimi sıfırd frklı ol ( ) verilmiş olsu. r, sıfırd frklı sbit bir gerçek sı ve N + içi + = r. ise; ( ) e, geometrik dizi deir. r e ortk çrp dı verilir. Bu tım göre bir geometrik dizide bütü terimler sıfırd frklıdır. Arıc bu dizide bir terim ile buu rdışığı rsıdki or sbittir. Ölese ( ) geometrik dizi ise; buu terimleri, + = r. bğıtısıl, = =. r =. r = (. r). r =. r 4 =. r = ( r ). r =. r 5 = 4. r = ( r ). r =. r 4. =. r = (. r ). r =. r. şeklide ifde edilebilir.. ÖZELLİK Birici terimi, ortk çrpı r ol geometrik dizii geel terimi; = r dir.. Üite: Tümevrım ve Diziler 85

196 Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. = =. r =. r + =. r =. r. r.. r. r olur. = te. ÖZELLİK ( ) bir geometrik dizi ise. =. =. = dır. Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. ( ) geometrik dizi ise = r dir. Bu göre;. =. (. r ) =. r,. = (.r). (. r ) =. r,. = (. r ). (. r ) =. r,. olur. Bu eşitliklerde sğ lr eşit olduğud sol lr d eşittir.. ÖZELLİK Bir geometrik dizide, iki terimi ortsıd dizii bir terimi vrs bu terimi mutlk değeri, söz kousu iki terimi geometrik ortlmsıdır. Yi ( ) geometrik dizisii iki terimi k ve +k ise bulrı ortsıdki terim ve =. k +k dır. Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. k k =. r k k =. r + = (. r ) = = k. + k olur. + k + k=. r 4. ÖZELLİK ( ) geometrik dizi ise ilk terimii toplmı S = r r dir. Bu özelliği şğıdki gibi kıtlrız. r S = = +. r+ +. r = ( + r+ + r ) = r. dir. ÖRNEKLER. 6 +, 6, 6 terimleri, pozitif terimli bir geometrik dizii rdışık üç terimi ise sısı kçtır? 86 Ortöğretim Mtemtik

197 ( 6) = (6 + ) ( 6) = = 5 4 = = 8, = = 8 içi verile ifdeler pozitif, = içi egtif gerçek sılr olur. Yıt 8 dir.. 7 9,,,,,..., solu geometrik dizidir. Bu dizide, bşt (sold) dördücü ve sod dördücü terimi çrpımıı bullım. 4 Bşt dördücü terim ile sod dördücü terimi çrpımı, bşt birici terimle sod birici terimi çrpımı eşittir. İstee çrpım, 7. = dir. 4. (log,,, z, t, log 4) solu geometrik dizisii terimleri çrpımıı bullım. log. log 4 =. t =. z (log )... z. t. log 4 log. log 4 = log 4 = = (log. log 4). (. t). (. z). t =. z = =.. = 8 4. ( ) bir geometrik dizi; 5 = 6 ve 8 = ise 5 terimii bullım. 4 5 = r 5 = r 4 =6 = r = r = 8 =r = 5 4 :6= r = r =6 =6 = =.r =.. = 9 5. Mitoz bölüme olıd bir hücre öce iki hücree, sor bulrı her biri tekrr ikişer hücree bölüür ve bölüme bu şekilde devm eder. Bu göre bir hücrede, mitoz bölüme olul, sekizici bölüme soud kç hücre oluşur? Bir hücre ile bşlrk mitoz bölüme sırsıd elde edile sılr diziside geel terimi bullım. hücrede. bölüme soud,. bölüme soud,.. bölüme soud,. 8. bölüme soud 8 = 56 te ei hücre oluşur. Bu bölüme sırsıd,,,, geometrik dizisi elde edilir. Bu dizide = ve r = dir. Geel terim = r = dir TL lıkl işe bşl birii mşı her ıl % rtmıştır. Bu kişii ıl bouc ldığı toplm prı hespllım.. Üite: Tümevrım ve Diziler 87

198 . ıld ldığı,.5 = 6 TL. ıld ldığı,. ıld ldığı,. 6. = 6 (, ) TL 6.(,). = 6 (,) TL. ıld ldığı, 6 (, ) 9 TL olur. Bulrı toplmı: 9+ 9 (,) S = (, ) + 6 (, ) (, ) = (, ) 6 (, ) S =. 6 = 6 (,) , TL olur 4.. ALIŞTIRMALAR. ( ) = i ritmetik dizi olduğuu gösteriiz. 5. ( ) ritmetik dizi, 6 = ve = 6 dır. Bu dizii geel terimii buluuz.. ( ) ritmetik dizi ve = 8 ise 6 kçtır? toplmı, bir ritmetik dizii bşt terimii toplmıdır. Bu toplmı soucuu hesplıız. 5. si, si, si terimleri, bir ritmetik dizii rdışık üç terimi ise sılrıı buluuz. 6. log b, log c, log d sılrı bir ritmetik dizii rdışık üç terimi ise c = bd olduğuu gösteriiz. 7. ( ) ritmetik diziside, 5 = 6 ve S 5 = ise S toplmıı hesplıız. 8. ( ) ritmetik dizi ve =, + 4 = 5 ise geel terimii buluuz. 9. ( ) de = 6 ve + = + ise bu dizii geel terimii buluuz.. ( ) de = 6 ve + = + ise dizii ilk 5 terimii toplmıı buluuz.. ( ) ritmetik diziside 7 = 4 ve 5 = 5 ise bu dizii ilk terimii toplmıı buluuz.. Çoruh vdiside üreticiler zeti toplrke d görüle uzuc bir merdivede rrlırlr. Bu merdivee tırm üretici kedii ve merdivei uzuc bir hltl ğc bğlr ve zetii güvele ıdki bir sepeti (zembil) içie toplr. bsmklı böle bir merdivede ilk bsmğı uzuluğu 4 cm, so bsmğı uzuluğu cm dir. Ardışık iki bsmğı uzuluklrı frkı sbit ise bu merdivei bsmklrıı uzuluklrı toplmıı hesplıız. 4 cm 88 Ortöğretim Mtemtik

199 BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Aşğıdki öermelerde boş bırkıl erleri bu öermeler doğru olck şekilde dolduruuz.. N + kümeside bir p() çık öermesi verilmiş olsu. P() doğru ve k N + içi öermesi de doğru ise, her N + içi P() öermesi doğrudur. b. P(k) P(k + ) öermesii doğru olduğuu göstermek içi öermesi doğru kbul edilir ve bu vrsım kullılrk öermesii doğru olduğu gösterilir. c. Dizi ol foksiou tım kümesi, değer kümesi dir. + ç. dizisii te terimi tm sıdır. d. ( ) ritmetik dizi ise = dir. e. ( ) geometrik dizi ise = dir.. Aşğıdki öermelerde doğru ollrı bşıdki kutucuğu içie D, lış ollrıkie Y zıız. N + içi ( ) ( ) dir. öermesi tümevrım ötemile isptlbilir. Bir üçgei iç çılrıı ölçüleri toplmı 8 dir. öermesi tümevrım ötemile isptlbilir. A içi P() çık öermesi verilmiş olsu. P() P( + ) öermesi doğru ise A solu kümedir. Sıfır dizisi sbit dizidir. r ( ) geometrik dizi ve r < ise = dir. r = Bir ( ) geometrik diziside rdışık iki terimi orı (i + : ) sbittir.. Aşğıd düşe çizgii solud verile ifdeleri, bu çizgii sğıd bulu eşitleri ile eşleiiz. k= k 4 k= k. 4!. ( + ) 4 k= k k= k. r + 4. r k k k= k= + b k= ( k + bk) k= + ) kk ( k= k= r k r k k= k 7. ( + ) ( + ) ( + ) < öermesi, N t kümeside doğru olduğu göre t i e küçük pozitif değeri kçtır? A) 5 B) 4 C) D) E). Üite: Tümevrım ve Diziler 89

200 5. Aşğıdki teoremlerde hgisii isptı, tümevrıml pılmz? A) Ardışık iki pozitif tek sıı toplmı çift sıdır. B) Her tek doğl sıı kresi de tek sıdır. C) Her doğl sısı içi çift sıdır. π π D) N ise. sılrıd frklı her gerçek sısı içi t = cot ( ) tir. E) Her tm sısı içi si π = dır. 6. Aşğıdki ifdelerde hgisi sıfırd frklıdır? A) B) C) D) k k ( k 4k) cos k si π E) k= 6 k= k= k= 5 k ( ) k= 7. cis k ifdesi, şğıdkilerde hgisie eşittir? k= π A) cis ( +) B) cos C) cisπ D) E) π π 8. k+ k ifdesi, şğıdkilerde hgisie eşittir? k= ( ) A) B) + C) + D) + E) 9. ( k i) işlemii soucu kçtır? + k= i= A) 4 B) C) 8 D) 6 E). Aşğıdkilerde hgisi, 5 fk () ifdesie eşit değildir? k= A) fk ( + 6) B) fk ( + 8) C) fk ( ) D) fk ( ) E) k= k= k=9 k=4 5 fi () i=7. k 6 4 = ise kçtır? k= A) 6 B) 5 C) 4 D) E). 6 log k( k +) işlemii soucu kçtır? k= A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 8. i ( ) (i + 8) işlemii soucu kçtır? i= A) 6 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9 Ortöğretim Mtemtik

201 ij ij toplmı, şğıdkilerde hgisie eşittir? i= j= A) B) (j i) C) (i j) D) 4 (j i) E) 4 (i j) 5 5. işlemii soucu kçtır? kk ( + ) k= A) B) C) D) E) ij ifdesi, şğıdkilerde hgisie eşittir? i= j= A) B) C) ( + ) D) ( + ) E) ( + ) k + ( k) + = 4 olduğu göre k ifdesi şğıdkilerde hgisie eşittir? k= k= k= A) B) 5 C) D) 6 E) 8., pozitif çift sı ise; k k ( ). ifdesi, şğıdkilerde hgisie eşittir? k= A) B) ( ) C) ( k ) D) k 4 k= k= E) 9. + k k + ( k+ )( k+ 4) k= k= işlemii soucu, şğıdkilerde hgisidir? A) B) + C) D) E) k= k +. k = k= eşitliğii doğru olduğu biliior. 5 kçtır? A) 8 B) 68 C) 54 D) E) YANITLAR. p(k) p(k + ) b. p(k) / p(k + ) c. N + / R ç. d. + ( ) d e. r. D, Y, Y, D, Y, D. 6,, 7,, 8,, 4, 5 4. C 5. D 6. E 7. A 8. C 9. B. D. B. A. E 4. B 5. A 6. E 7. B 8. D 9. C. E. Üite: Tümevrım ve Diziler 9

202 OKUMA PARÇASI (Türk Dili ve Bilgisr) Öce şu soruu çözümüü düşüelim: Türkçedeki hece sısı kçtır? Türkçede heceler,, d 4 hrflidir. Alfbemizde 9 hrf vrdır. ğ hrfii heceleri bşıd kullılmdığıı bilioruz. Bu hrfi buluduğu hece sısıı dh z olcğıı d düşüebiliriz. İsterseiz bu hrfi kullıldığı heceleri sısıı hesplmı rı bir problem olrk düşüelim ve biz ukrıdki problemi 8 hrf içi çözelim. Öce problemimizi olbildiğice küçük ve kolc çözebileceğimiz problem prçcıklrı bölelim.. hrfli heceler sdece sesli hrfleri oluşturcğı hecelerdir. Bulrı sısı 8 dir. b. hrfli heceleri pısı sessiz hrf / sesli hrf d sesli hrf / sessiz hrf şeklidedir. Bulrı sısı d (8 sesli hrf, ğ dışıd sessiz hrf buluduğud) 8.. = dir. c. hrfli hecelerde sesli hrf dim iki sessiz hrf rsıddır. Yi, dilimizdeki hrfli heceler sessiz hrf / sesli hrf / sessiz hrf şeklidedir. Bulrı sısı d. 8. = dür. Bu souçlr göre dilimizde; ğ i kullılmdığı;, d hrfli toplm; = 58 hece bulubilir ve biz bu heceleri sesledirebiliriz. A dilimiz Türkçe, pek çok bcı dili ksie, mtemtiksel olrk sğlm temeller üzerie oturmktdır. Bir dil e ölçüde mtemtiksel kurllr dırs güümüzde büük bir ivmele gelişmekte ol bilgisr tekolojisie de o ölçüde tkı olur. Bu edeledir ki öreği, İgilizce içi bsit bir sesledirme zılımı uzu ve orucu çblr soucu çıkrtılbilirke Türkçede bu iş dh z iş gücüle kolc bşrılbilmektedir. Yzımızı bşıdki soru, örek bir sesledirme zılımı içi pılmsı gereke hesplrd birii içerir. Yukrıdki hesplmlr, iki sessiz hrfi geldiği heceler (sert, tre, ters, v.b.) ile ğ i buluduğu heceleri sısıı d ktrk sesledirilmesi gereke hece sısıı bulbiliriz. Bud sor pılmsı gereke bu heceleri sesledirmek ve bu sesleri elektroik ortmd kdetmektir. Alitik geometri dersleriizde her vektörü tb vektörlerii oluşturduğuu gördüüz. Tıpkı buu gibi kelimeleri de heceler oluşturur. Yi, kelimeler uzıı gere tb vektörleri hecelerdir. Heceler, sözcükleri prçlmış hlleri olduklrı içi bütü heceleri sesledirilmesi demek, bütü sözcükleri de sesledirilebilmesi demektir. Ölese ukrıd söz edile işlemleri pıc, herhgi bir zılı meti sesli hâle çevirilebilecektir. Bölece bcı dillerdeki gibi her kelimei rı rı sesledirmek erie, sdece pı tşlrıı (heceleri) sesledirerek bulrı birbirlerile birleştirmek olul sözcükleri sesledirilmesi sğlmış olcktır. Görüldüğü gibi bu süreç, mühedisliği temeli ol çözülmesi zor büük problemleri, çözülmesi kol küçük prçlr (problemlere) bölmek ve bu küçük problemleri çözmek klşımı çok ugudur. Bütü bu işlemleri tersi de söz kousudur. Nsıl ki meti sese çevirmek olsı ise tm tersi işlevler ugulrk sesi de mete ( d bilgisr komutlrı) çevirmek olsıdır. Diğer dillerde olm bu tür güzellikleride ötürü, Türkçemizi değerii çok ii bilmeliiz. Bu koud sizlere büük görevler düşmektedir. Özellikle büük öder Attürk ü bizlere hedef olrk gösterdiği çğdş ugrlığı klmk ve ou geçmek içi hepimizi gretlerii birleştirmekte e öemli rcı, dilimiz olduğuu uutmmlıız. Dilimizi korumk hepimizi ortk görevidir. Mehmet Kpl - Bilgisr mühedisi 9 Ortöğretim Mtemtik

203 BEŞİNCİ BÖLÜM MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Öem ve gizlilik tşı bzı belgeler gerekli erlere frklı şifreleme ötemlerile iletilir. Güümüzde bkcılık, pr trsferi gibi işlemlerde şifreleme sistemi kullılır. Şifre bilimi (kriptoloji) i temelii mtrisler oluşturmktdır. Veriler ugu sırl rkmlştırılıp mtris hâlie getirilerek şifreleir. Bu Bölümde Göreceğimiz Koulr 5.. Mtrisler Mtris ve türleri; kre mtris, sıfır mtrisi, birim mtris, köşege mtris, üçge mtris ve eşit mtrisler; mtrisleri toplmı ve frkı; mtrisi bir gerçek sı ile çrpımı; mtrislerde çrpm işlemi; mtrisi çrpm işlemie göre tersi; bir mtrisi devriği (trspozu) 5.. Doğrusl deklem sistemleri Doğrusl deklem sistemleri ve temel stır işlemleri; doğrusl deklem sistemlerii mtrislerle çözümü; bir mtrisi tersii temel stır (sütu) işlemleri ile bulmk 5.. Determitlr Determit tımı; miör, kofktör ve determitı özellikleri; srrus ötemi; ek (djoit) mtris 5.4. Doğrusl deklem sistemlerii determitlrl çözümü Doğrusl deklem sistemii ters mtris rdımıl çözmek; doğrusl deklem sistemii krmer kurlıl çözmek 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 9

204 5.. MATRİSLER Ekoomik htt işlerimizi bir kısmıı mtrisler rdımıl dh düzeli bir biçimde ürütürüz. A. MATRİS VE TÜRLERİ ETKİNLİK. Bir semtte buzdolbı, çmşır mkiesi, bulşık mkiesi ve elektrikli fırı st üç dükkâd bu ürülerde kçr det olduğu dki tblod gösterilmiştir. Bu tblou d görüldüğü gibi dh sde zbilir ve bir hrfle öreği M ile gösterebilirsiiz. M tblosud:. Birici stır e ltır? b. İkici sütu e ltır? Ürü Dükkâ Buzdolbı Çmşır mkiesi Bulşık mkiesi Elektrikli fırı A 5 B C 6 5 M= c. İkici stır ve üçücü sütud bulu sı (4) ei ltır? ç. C dükkâıdki buzdolbı dedii göstere sı, M tblosuu hgi stırıd ve kçıcı sütuud buluur? ÖRNEK Elemlrı şğıdki koşullr u bir tblo plım.. Birici stırd d küçük tek sılrd sl sı ollr küçükte büüğe doğru, b. ikici stırd d küçük ol ve ile bölüe pozitif tm sılr büükte küçüğe doğru sırlmış olsu. d küçük ve tek sı ol sl sılr, 5, 7; d küçük ve ile bölüe pozitif sılr, 6, 9 dur. İstee tblo (M) sğd zıldığı gibidir. M= Stır ve sütulrd oluş, her stır ve her sütuu kesim eride bir gerçek sı bulu tblolrı bu bölümde iceleeceğiz. Söz gelimi ukrıdki etkilik çlışmızd zıl M tblosu böle bir tblodur. Tblod öreği 4 sısıı buluduğu ere dikkt ediiz. Bu er. stır ile. sütuu kesiştiği erdir. Tblodki sılrı ile temsil edersek 4 ü ltmk içi zılımı sizce ugu bir gösterim midir? Budki ile. stırı, ile de. sütuu temsil etmeği mçlıoruz. 94 Ortöğretim Mtemtik

205 TANIM m, N + ve i =,,, m, j =,,, olmk üzere ij R ise; A = m m m m m te stır, te sütud oluş tblo, m düzeide (türüde) mtris deir. Bu tımd görüldüğü gibi koulrımızd, elemlrı gerçek j sılr ol mtrislerde söz edeceğiz. Mtrisleri A, B,... gibi büük hrflerle gösteririz. Bu tımdki mtris A ise buu kısc, j A= [ ij ] m şeklide zrk ltırız. i e stır, j e sütu idisi; ij sısı d i. stırı j. sütuudki terimi dioruz. i i ij i B= m m mj m mtriside; =, = 4, 4 = tür. Bu mtrisi; 4. stırı 4 5 ve. sütuu dır. 6 Öreğimizdeki B mtrisi; 4 türüde, 8 elemlı bir mtristir. 4 türüdeki bütü mtrisleri elem sısı 8 dir. Ack 8 elemlı bir mtris, 4 türüde olmbilir. ÖRNEK A= 5 4 mtrisi verilmiş olsu. Aşğıdki ifdeleri değerlerii hespllım.. + b =, = 5, = 4 tür. + = +5 4= + olur. b. =, = 5, =, = dir.. +. =.5 ( ) +.5 = + 5 = + 5 dir. 5.. ALIŞTIRMALAR i, i j. şeklide tımldığı göre [ ] ij = ij 4 mtrisii zıız. j, i > j. Aşğıdki mtrisler hgi türde mtrislerdir?. b. c. 4 6 ç A= mtriside ij = i j ij dir. Bu mtrisi elemlrıl zıız. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 95

206 B. KARE MATRİS, SIFIR MATRİSİ, BİRİM MATRİS, KÖŞEGEN MATRİS, ÜÇGEN MATRİS VE EŞİT MATRİSLER ETKİNLİK. X, Y, Z mrk buzdolplrı st birii A, B, Pzrtesi Slı C gibi üç dükkâıd pzrtesi ve slı güleri sttıklrı buzdolbı sılrı dki tblolrd gösterildiği Dükkâ Dükkâ Mrk Mrk X Y Z X Y Z gibidir.. Bu tblolrı P ve S mtrisleri ile ifde ediiz. b. Bu iki mtris birer tblo gibi düşüülürse bu A B C A B C tblolr kre şeklide midir? Bu mtrislere e d vermek istersiiz? P= S= c. P mtriside bütü terimler sıfırdır. Bu mtrise sizce e d verilebilir? Kl Ders. Ydki iki tblod soldkide bir öğrecii A, B, C dlı televizo kllrıı pzrtesi, slı A B C Gü Gü M F T ve çrşmb güleri kçr dkik izlediği, sğdkide bu öğrecii ı gülerde mtemtik, fizik ve Türkçe derslerie kçr st çlıştığı zılmıştır. P S Ç 4 5 P S Ç. Bu tblolrı dki mtrislerle ifde ediiz. b. T mtriside, 4, sılrıı buluduğu köşegei ltıd kl terimler kçtır? T= D= c. T ve D mtrislerii bezer ve frklı lrı elerdir? Bu iki mtrisi birbiride ırmk içi bulrı sıl dldırılbileceğii rkdşlrıızl trtışıız.. A= [ ij ] ve B = [b ij ] mtrisleride söz gelimi, b ise A ve B frklı mtrislerdir. Bu göre, "eşit mtrisler" deimide sizce e lşılmlıdır? ÖRNEK. te stır ve te sütuu ol herhgi bir A mtrisi zlım. b. b = 5, b = 6, b = ve diğer terimleri ol bir B mtrisi zlım.. 4 A = 5 olsu. A mtrisi düzeide bir mtristir. 4 7 b. 5 B = 6 olsu. B mtrisi 5, 6, sılrıı buluduğu köşege dışıdki terimleri ol mtristir. TANIM Stır sısı sütu sısı eşit ol mtrise kre mtris, bir kre mtriste i = j içi ij terimlerii buluduğu köşegee sl köşege deir. A = [4], B = 4 6, C = mtrisleri sırl, ve. sırd kre mtrislerdir. C mtriside sl köşege 4,, sılrıı buluduğu köşegedir. 96 Ortöğretim Mtemtik

207 TANIM. Bütü terimleri sıfır ol (herhgi bir türdeki) mtrise, sıfır mtrisi;. i = j içi ij terimleri, diğer terimleri sıfır ol kre mtrise, birim mtris;. i j içi ij terimleri sıfır ol kre mtrise, köşege mtris; 4. i < j içi ij terimleri sıfır ol kre mtrise, lt üçge mtris; 5. i > j içi ij terimleri sıfır ol kre mtrise, üst üçge mtris deir. ÖRNEKLER. A=, B =, C =, D = mtrisleri verilmiş olsu. Bu mtrisleri ukrıdki tım göre hgi tür mtrisler olduğuu çıkllım. Tım göre A, türüdeki sıfır mtrisi; B ikici, C üçücü sırd birim mtrisler; B, C, D köşege mtrislerdir.. A= 4, B = 4 mtrislerii hgi tür mtrisler olduğuu çıkllım. A mtriside sl köşegei üstüde kl terimleri tümü dır. Bu mtris lt üçge mtristir. B mtriside sl köşegei ltıd kl terimleri tümü dır. Bu mtris üst üçge mtristir. ÖRNEK K =, L =, M = mtrisleride eşit ol ikisi hgisidir? K ile L mtrisleri düzeide ve ı erlerdeki terimleri eşit ol mtrislerdir. K ile M mtrisleri ise ı türde mtrisler değildir. Bu mtrislerde eşit ol ikisi K ile L dir. TANIM A ve B mtrisleri verilmiş olsu:. A ı stır sısı B i stır sısı eşit, b. A ı sütu sısı B i sütu sısı eşit, c. A= [ ij ] m, B = [b ij ] m ise her i =,,, m ve her j = i,,, içi ij = b ij oluors; A ile B mtrislerie, eşit mtrisler deir ve A = B şeklide zılır. Bu tım göre iki mtrisi eşit olbilmesi içi gerek ve eter koşul; bu mtrisleri ikisii de ı türde (m türüde) olmsı ve ı erlerdeki terimleri krşılıklı eşit olmsıdır. ÖRNEK A= 4-5, B = 4-5, C = 4-5 t mtrisleri verilmiş olsu. A = B midir? B = C ise,, t edir? 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 97

208 A ile B ı türde olmdıklrı içi A B dir. B = C ise =, =, t = olur. 5.. ALIŞTIRMALAR. Elemlrı tek bsmklı ve frklı sl sılr ol düzeide kç te kre mtris zılbilir?. düzeideki sıfır mtrisii zıız.. 4 l( ) mtrisi üst üçge mtris ise sısı kçtır? l( + ) 5 4., cosθ mtrisi birim mtris ise ve θ sılrı edir?, siθ 5. mtrisi lt üçge mtris ise kçtır? [ ] [ ] 6. cos θ, tθ = si θ, ise sısıı buluuz. C. MATRİSLERİN TOPLAMI VE FARKI ETKİNLİK. Bir futbol ligide mç p iki tkımd glip gele pu, brebrlik durumud ise iki tkım d birer pu lmktdır. Bu ligdeki tkımlrd üçü A, B ve C dir. Bu üç tkımı kedi shlrıd ve deplsmd (rkibi shsıd) ptıklrı mçlrdki glibiet (G), berberlik (B), eilgi (Y) sılrı ve ldıklrı pulrı toplmı (P), şğıdki tblolrd gösterildiği gibi olsu. G B Y P G B Y P G B Y P A B C SAHASINDA DEPLASMANDA TOPLAM Burdki tblolrı biricisii S, ikicisii D, üçücüsüü T mtrisi olrk zıız. T mtrisii diğer iki mtriste sıl elde edersiiz? Bir toptcı hft bşıd depodki mllrı miktrlrıı A= 9 şeklide tespit etmiştir. Hft soud deposudki mllrı ie mtris şeklideki dökümü B= 8 7 olduğu ve hft içide depo ml girişi olmdığı göre bu toptcıı hft bouc sttığı mllrı bir C 4 6 mtrisi ile ltbilir misiiz? Buu içi ptığıız işlemi sıl tımlrsıız? 98 Ortöğretim Mtemtik

209 İki mtrisi toplmıı şğıdki gibi tımlıoruz. TANIM Aı türde (m türüde) iki mtris A ve B olsu. A= [ ij ] m, B = [ b ij ] m ise [ ij + b ij ] m mtrisie, A ve B mtrislerii toplmı deir ve A + B ile gösterilir. ÖRNEK A= 4, B = 5, C= vrs bullım. ise A + B ve A + C mtrislerii A ile B ı türde olmdığıd (A mtrisi, B mtrisi türüde), A + B tımlı değildir. A ile C ı türde ( türüde) mtrisler olduğud A + C tımlıdır. A+C= olur. + +( ) + + = = ÖRNEK Yd verile A, B, C mtrisleri içi; 6 A =, B =, C =. A + B ve B + A, b. A + (B + C) ve (A + B) + C mtrislerii hespllım.. A + B = = B + A= = b. A + B + C ( ) = = = ( A B) C = = + 9 Şimdi mtrislerle toplm işlemii özelliklerii görelim. ÖZELLİK Aı türdeki mtrisleri toplmıd;. Değişme özelliği vrdır.. Birleşme özelliği vrdır.. Sıfır mtrisi birim elemdır. 4. Her mtrisi bu işleme göre tersi vrdır. Bir A mtrisii toplm işlemie göre tersi A ile gösterilir. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 99

210 A= [ ij ] m, B = [b ij ] m, C = [c ij ] m ve O = [ ij ] m mtrislerii kullrk bu özellikleri şğıdki gibi kıtlrız.. A + B = [ ij] m + [b ij] m = [ ij + b ij] m = [bij + ij] m = [b ij] m + [ ij] m = B + A (R de + işlemii değişme özelliği). A + (B + C) = [ ] + ([b ] + [c ] ) = [ ] + [b + c ] = [ + (b + c )] ij m ij m ij m m ij m ij ij m ij ij ij m =[( ij +b)+ ij c ij] m = [( ij + b ij)] m + [c ij] m (R de + işlemii birleşme özelliği) =(A+B)+C. A+ O= O+ A= [ ] + [ ] = [ + ] = [ ] m = ij m ij m ij ij m ij A 4. A+[ ] ij m =[ ] ij m +A=[ ] ij m +[] ij m = [ ij + ij] m = [ ij] m olur. Demek ki A = [ ij] m dir. Öreği ; A= Bu iki mtrisi toplıız. [ ij ] ise A = mtrisii bulursuuz. olur. ÖRNEK mtrisleri verilmiş olsu. A + B = C ise,, z, t, u ve θ sılrıı bullım A+B= 4 + lt = + lt 5 = 5 z u siθ çıkr. A= 4 +6=, ÖZELLİK = + lt =, 5 = 5 6, B = lt z+ += u, + = siθ ve C = 5 z+ u siθ =, = = =, = lt =, z += = z t e, π =u, si θ = u =, θ = + k. π, k Z Bir A mtriside ı türdeki B mtrisii çıkrmk demek, A mtrisie B mtrisii toplmk demektir. Yi A B = A + ( B) dir. ÖRNEK A= ve B = 4 5 A B=A+( B)= ise A B mtrisii bullım. = 9 4 dir. Ortöğretim Mtemtik

211 5.. ALIŞTIRMALAR l l l l6. A =, B = ise şğıdki mtrisleri zıız A+ B b. A B c. B A b.. ise, b, c, d sılrıı buluuz. c d = 6 d b c+d Ç. MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI ETKİNLİK Ydki tblod; buğd, rp ve mısır ürete bir çiftçii bu ürüler içi ptığı gübre, sulm ve işçilik giderleri gösterilmiştir. Bu çiftçi üretim llrıı her birii ktı çıkrırs bu tblodki sılr sıl değişir? Ürü Gider Buğd Arp Mısır Gübre Sulm 75 4 İşçilik 5 5 ÖRNEK Birici stır 4 üfuslu bir ilei lık giecek, iecek ve ulşım; ikici stır eğlece, temizlik ve telefo giderleri sırl zılrk dki A mtrisi elde edilmiştir. Bu ile 6 üfuslu olsdı A mtrisii terimleri hgi sılr olurdu? Söz kousu ei mtris B ise bu mtrisi zlım. 6 Bu ile 4 değil 6 üfuslu olsdı giderler = orıd rtrdı. 4 B mtrisi A mtrisideki sılrı ile çrpımlrı ie ı erlere zılrk elde edilir A= B= TANIM A = [ ij ] m mtrisi ile k gerçek sısı verilmiş olsu. A = [ k ij ] m mtrisie, A mtrisii k ile çrpımı deir ve ka ile gösterilir. k gerçek sısı, skler; bir mtrisi k ile çrpımı, sklerle çrpm deir. A= [ ij ] m ve k R ise bu tım göre; k A = k [ ij ] m = [k ij ] m dir. ÖRNEKLER / 5 / 6. A= ise 6A B mtrisii bullım. ve B = / A B = 6A + ( )B = = 5 olur Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

212 8. A= ve B = t mtrisleri verilior. z A B = O ise,, z ve t sılrıı bullım (O sıfır mtrisidir.). 8 t 8 A B= = 4 t + z z t + 4 =, 8 = = = t =, z 6= z = olur. Bu deklemler çözülüce ; = 4, =, z = 6, t = buluur.. Toptcı hâlide sebze ve meve komisoculuğu p Ömer ile Slih i elül ve ekim lrıdki topt stış tutrlrı, TL türüde şğıdki mtrislerle verildiği şekilde gerçekleşmiş olsu.. Ömer ile Slih i iki dki topt stış tutrlrıı sebze ve meve içi rı rı bullım. b. Ekim ıdki stışlrı elül ı göre e kdr rttığıı d zldığıı bullım. c. Ömer ile Slih stışlrd %5 komiso ldıklrı göre bu iki d lcklrı komisolrı sebze ve meve içi rı rı bullım.. Toplm stış tutrıı, sebze ve meve içi rı rı hesplcğımız göre bu iki mtrisi toplmıı bulmlıız. 8 5 A+B= + = b. Bu kez B A mtrisii hesplrsk ekim ıdki stışlrd elül ı göre e kdr değişme gerçekleştiğii buluruz. Sebze Meve 5 8 B A= = 7 Ömer 4 Slih Bu souçlr göre öreği, Ömer i sebze stışıd TL zlm, Slih i sebze stışıd TL rtış gerçekleşmiş olur. c. Ömer ile Slih i bu iki d lcklrı % 5 komisou her bir ürüde rı rı bulbilmek içi A ve B mtrislerii % 5 ile çrpmlıız. 5 A+ 5 B= 5 5 (A + B) = Sebze Meve Sebze Meve So mtristeki sılr Ömer ile Slih i lcklrı komisolrı TL türüde göstere sılrdır. = Ömer Slih,,5,85,8 Ömer Slih Ortöğretim Mtemtik

213 Mtrisi sklerle çrpm işlemide şğıdki özellikler vrdır. ÖZELLİK A ile B ı türde iki mtris ve k ile p skler ise;. k (A + B) = k A + k B dir.. (k + p) A = k A + p A dır.. (k p) A = k (p A) dır. Bu eşitlikleri doğruluğuu şğıdki gibi kıtlrız. A= [ ij ] m ve B = [b ij ] m mtrisleri ile k ve p sılrı verilmiş olsu:. k (A + B) = k ([ ij ] m + [b ij ] m ) = k [ ij + b ij ] m = [ k ( ij + b ij ) ] m = [ k ij + k b ij ] m = [ k ij ] m + [ kb ij ] m = k [ ij ] m + k [ b ij ] m = k A + k B dir.. (k + p) A = (k + p) [ ij ] m = [ (k + p) ij ] m = [ k ij + p ij ] m = [ k ij ] m + [ p ij ] m =k [ ij ] m + p [ ij ] m = k A + p A dır.. (k p) A = (kp) [ ij ] m = [ (kp) ij ] m = [ k (p ij ) ] m = k [ p ij ] m = k ( p [ ij ] m ) = k (p A) dır. 5.. ALIŞTIRMALAR 4 4. A= 4 4 B = mtrisleri verilior. 5. A B, b. B + A, c. A B mtrislerii buluuz. 6. A= ise şğıdki mtrisleri zıız A b. A c.. A ç. A 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

214 D. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ ETKİNLİK Gıd mddesi Üretim eri İstbul İzmit A B C A Gıd mddesi Mrt Nis Mıs Hzir A,5,75,5 B,75,5 C,75,8,5 Üretim miktrlrı (to/) Stış fitlrı ( TL/to) A, B, C gibi üç rı gıd mddesi ürete bir firmı İstbul ve İzmit teki tesisleride üretile lık ürü miktrlrı ile bulrı mrt, is, mıs ve hzir lrıdki birim stış fitlrı ukrıdki tblolrd gösterildiği gibidir. Bu firm;. Mrt ıd İstbul d kç TL lik ürü stmıştır? b. Mrt ıd İzmit te kç TL lik ürü stmıştır? c. İstbul d mıs ıd kç TL lik ürü stmıştır? Yukrıd soldki tblou G, sğdkii F mtrisi şeklide zlım. Burdki sorulr verdiğiiz ıtlrı şğıd bu iki mtris üzeride de çıklıız. Bulcğıız souçlrı üçücü mtriste ugu erlere zm çlışıız.,5,75, ,75,5 6, 75,8,5 G F İki mtrisi çrpımıı bu şekilde tımlıp tımlmcğıı sııft trtışıız. ÖRNEK A= 4, B= ise A. B işlemii plım. A.B= ( ) = ( ) = 9 TANIM A = [ ij ] m p ve B = [ b ij ] p mtrisleri verilmiş olsu. C = [ c ij ] m mtriside, c = b ise; C mtrisie, A ile B mtrislerii ij ik kj k= çrpımı deir ve C = A. B d C = AB şeklide zılır. p 4 Ortöğretim Mtemtik

215 Bu tım göre; A mtrisii sütu sısı B mtrisii stır sısı eşit ise AB çrpımı tımlıdır. Öreği, A 5 ve B 54 ise A.B tımlıdır ve A 5. B 54 = C 4 olur. Eğer A 4 ve B 4 ise A.B tımlı değildir. Nede? ÖRNEKLER A= ve B = ise A.B mtrisii bullım. 4 6 A mtrisii sütu sısı, B mtrisii stır sısı eşit olduğud A ile B i çrpımı tımlıdır. A.B 4 =C 4 olur. Şimdi C mtrisii c ij terimlerii bullım. eşitliğide, Bu işlemde, A mtrisii birici stırıdki terimlerle B mtrisii birici sütuudki terimleri krşılıklı çrpımlrı toplmıı, C mtrisii c terimi olduğuu görüoruz. c c = kbk = b + b + b = 5. + ( 5) = dir. Şimdi C mtrisii c ij = k= k= terimii bullım. c = kbk = b + b + b =.( ) + ( 5) = 4 olur. k= b ik kj Demek ki; Görüldüğü gibi A.B mtrisi hesplırke A mtrisii stırıdki terimler, B mtrisii sütuudki terimlerle krşılıklı olrk çrpılrk elde edile souçlr toplmkt, bu toplmlr d A.B mtrisii terimlerii oluşturmktdır. Bu işlemler, A mtrisii her stırı ve B mtrisii her sütuu içi rı rı pılırs; AB. = 4 = elde edilir Bu örekte, ( ) ve ( 4) türüdeki iki mtrisi çrpımıı, ( 4) türüde bir mtris olduğuu görüorsuuz A= 4 ve B = ise A. B mtrisii bullım A= 4. = = olur. = 4 tür. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 5

216 . Aşğıdki çrpımlrı tımlı ise bullım b c. 6 ` ` ` = [] olur. b. ( ) düzeideki bir mtris ile ( ) düzeideki bir mtris, (birici mtrisi sütu sısı, ikici mtrisi stır sısı eşit olmdığıd) çrpılmz. O hâlde, bu iki mtrisi çrpımı tımlı değildir c..[ 5 8 ] = 5 8 i + j, i = j ise 4. ij = olduğu göre [ ij ] mtrisii elemlrıl zlım., i j ise Verile kurl göre; istee mtrisi ii şeklideki (köşege üzerideki) terimleri 4 sıfırd frklı, diğer terimleri sıfır olur. Sorul mtris d zıldığı gibidir. 6 K kümesi, türüdeki kre mtrisler kümesi olsu. K = {[ ij ] ij R } dir. K kümeside, köşegeideki terimleri ol köşege mtris, dir. b K kümesii herhgi bir elemı, olsu. c d c b b dir. d. =. = b c d c d Ölese ; her A K içi ; A. =.A = A dır. Demek ki K kümeside çrpm işlemie göre birim elem vrdır ve bu elem, mtrisidir. Bu mtrisi, I ile göstereceğiz. Bezer şekilde; K kümesideki çrpm işlemie göre birim mtris I = [], K kümesideki çrpm işlemie göre birim mtris I = mtrisidir. Geel olrk ; K m, m. sırd kre mtrisler kümesi ise bu kümedeki çrpm işlemie göre birim mtris, I m = olur. Görüldüğü gibi ; I m, köşegeideki terimleri ol köşege mtristir. 6 Ortöğretim Mtemtik

217 I herhgi bir sırd birim mtris ise I = I, I = I,..., I = I olur. Buu, I mtrisi içi (tümevrım ötemile) siz kıtlıız. ÖRNEKLER. f() = poliom foksiou verilmiş olsu. A, türüde bir kre mtris ise; f(a) = A + A A+ I biçimide tımlıor. Bu göre; A= A =. = ve f() = + 4 ise f(a) mtrisii bullım. ve fa ( ) = + 4 = olur.. A= ise N + içi A mtrisii bullım. A = = =, A. =.. = A 4. =. 4. =,, k A. k + =, k N olsu.. + k.. + k. k+ k ( k + ) A =. = = dir. O hâlde tümevrım ilkesi gereğice her N + içi A = dir.. A= 9 ise A mtrisii bullım. A ( ) =. 4 =. + ( )...( ) = = A = (A ) = = olur A = A. A =.. = 8 olur. 4. ise AB = BA eşitliğii gerçeklee B= A= mtrisii bullım. z w 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 7

218 z w AB = = ve B + + A z w z w z w = + z z w olu r. + +z +w AB = BA = + +z= + w=+ z w z z + w w=z+w z=, w= O hâlde ; = ve = b herhgi iki gerçek sı olmk üzere, Mtrislerde Çrpm İşlemii Özellikleri b B= dır. Bu özellikleri kıtllım.. ÖZELLİK A, B, C, O (sıfır mtrisi), I (birim mtris) mtrisleri şğıd geçe toplm ve çrpm işlemleri tımlı olck türde mtrisler ise;. A.(B.C) = (A.B).C dir.. A.(B+C) = A.B + A.C, (B + C).A = B.A + C.A dır.. A.I = I.A = A dır. 4. A.O = O.A = O dır. A= ij, B= b jk, C= ckl ve A. B= T= tik, P= B. C= p jl olsu. m tik = ibk + i bk + + im bmk = ij bjk ; pjl = bj cl + bj cl + + bj cl = bjk ckl j= k= Şimdi T mtrisii C ile çrplım. T. C = (A. B). C olur. Bu mtrisi i. stır ve l. sütuudki elemı; ticl + ti cl + + ti cl = tik ckl = ( ij bjk) ckl dır. ( ) Bu kez A mtrisi ile P mtrisii çrplım. A. P = A. (B. C) olur. Bu mtrisi i. stır ve l. sütuudki elemı: m m ipl + i pl + + im pml = ij pjl = ij ( bjk.ckl) dır. ( ) j= j= k= Bulduğumuz () ve () souçlrı eşittir. Demek ki A. (B. C) = (A. B). C dir.. A = ij, B = b jk ve C = c jk olsu. B+ C= D= d jk, A. B = E = [ eik] ve A. C = F = [ fik] dielim. d = b + c jk jk jk e = b + b + + b = b ik i k i k im mk ij jk j= f = c ik i [ ] [ ] + c + + c = c k i k im mk ij jk j= k= k= j= m m m 8 Ortöğretim Mtemtik

219 A. B + A. C mtrisii i. stır ve k. sütuudki elemı; A. D = A. (B + C) mtrisii i. stır ve k. sütuudki elemı; d + d + + d = d = b + c () ve (4) te bulu souçlr ı olduğu göre A. (B + C) = A. B + A. C dir.. m m ik ik ij jk ij j= j= i k k im mk ij jk j= A= ij ve I olsu m.. = m m m. = m m m Yukrıdki çrpm işlemlerii souçlrı ı olduğu göre A. I = I. A = A dır. 4. A= ij ve O sıfır mtrisi O = m ij t sılrı ile sıfırı çrpımlrı ve souçlrı toplmı sıfır olcğıd A. O = O. A = O çıkr. 5.. ALIŞTIRMALAR 5 m jk ij jk jk j= e + f =. b + c = b + c dır. ( ) m m m m m m. Aşğıdki çrpm işlemlerii pıız.. b cos θ siθ cos θ c.. ç.. siθ cos θ siθ. A= mtrisleri verilior :, B =, C = [ ]. A B C, b. C A B çrpımlrıı hesplıız. m ( ) ( ) ij jk jk. A B ve B A çrpımlrı tımlı olduğu göre A ile B i sütu ve stır sılrıı krşılştırıız. A mtrisi ile B mtrisii kre mtrisler olmsı gerekli midir? 4. A ile B, ı türde kre mtrislerdir. B köşege mtris ise AB ve BA mtrislerii köşegelerii ı olduğuu bir örekle gösteriiz türüde bir A mtrisi zıız. A I = A mıdır? I A tımlı mıdır? Nede? 6. A= ve g() = + ise g(a) mtrisii buluuz. 4 m j= 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 9 dır. ( 4)

220 7. ve N + ise A = A= olduğuu gösteriiz. 8. ve N + A= ise A = olduğuu gösteriiz. 9. Her biri sıfır mtriside frklı ol, öle iki A ve B mtrisi zıız ki A B = O olsu.. A= mtrisleri verilior. ve B =. (A + B), b. A + AB + BA + B, c. A + AB + B mtrislerii buluuz. Bulduğuuz souçlrd eşit ol ikisi hgisidir? f(). poliom foksiou ile A= f() = k k mtrisi verilior. f(a) = f() k= olduğuu gösteriiz.. A= ise A 4 mtrisii terimleri toplmı kç olur? A) 4 B) + C) D) + E) 5 cos θ siθ. A= ise A 5 mtrisi şğıdkilerde hgisidir? si θ cos θ A) 5 I B) A C) 5 I D) 5 A E) A E. MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ ETKİNLİK. A= 5, B = ve I = mtrisleri verilmiş olsu. 4 7 z t A.B =B.A = I ise,, z ve t sılrıı bulm çlışıız. A mtrisi ile B mtrisii krşılştırıız. B mtriside ile 7 hgi koumddır. 5 ile 4 erie hgi sılr gelmiştir. 5. Aı soruu A = mtrisi içi ıtlıız. B mtrisii şeklide zıız. 4 7 deki bulgulrıız bu mtris içi de geçerli midir? A mtrisii elemlrıl hgi işlemler pılrk 7 i buluduğuu rştırıız.. 6 A= mtriside şu işlemleri pıız.. A mtriside ile sılrıı erlerii, diğer sılrı işretlerii değiştirerek ei bir B mtrisi zıız. b.. ( 6). ( ) işlemii pıız. Bu işlemi soucu ise C= mtrisii zıız.. B c. A. C ve C. A işlemlerii pıız. Bulduğuuz souçlr hgi mtristir? Burdki C mtrisii A mtrisii ters mtrisi olrk tımlcğız. ÖRNEK 8 A= ve B= ise A B ve B A mtrislerii bullım. Ortöğretim Mtemtik

221 8 5 8 A B = = 5 A B = = olur. TANIM A bir kre mtris olsu. A. B = B. A = I olck şekilde bir B mtrisi vrs bu, A mtrisii çrpm işlemie göre tersi deir. A mtrisii (çrpm işlemie göre) tersi, A ile gösterilir. Eğer A. B = B. A = I ise; A mtrisi ile B mtrisie, tersleri ol mtrisler deir. ÖRNEK. A= 5 5, B = b. ise A = B ve C = D olduğuu gösterelim. C= 4 5, D = A.B = 5. 5 = 5 5 B.A =. = olduğud A = B dir. 5 4 b. CD =. 7 6 = ve ve DC = = 4 5 olduğud C = D dir. ÖZELLİK Bir mtrisi çrpm işlemie göre tersi vrs tektir. A mtrisii B ve C gibi frklı iki ters mtrisi olduğuu vrslım. Bu durumd, B A = I olur. Bu eşitliği iki ıı d sğd C ile çrprsk; (B A) C = I.C B (A C) = C B I = C B = C elde ederiz. Demek ki B ile C frklı iki mtris olmz. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

222 Şimdi A= b mtrisii ters mtrisii rştırlım. Bu mtrisi şeklide bir ters c d z t mtrisi vrs; b c d. b =. = dir. z t z t c d Bu iki deklemde birii lrk,, z ve t sılrıı bullım. + bz c + dz + bt c + dt = d. + bz = b. c + dz = c. + bz =. c + dz = A = Bezer şekilde; + bt = = c + dt = d d bc = z t c bc d Demek ki d bc A = c ÖRNEK (d bc) elde ederiz. O hâlde ( d d bc ) ise A mtrisii tersi vrdır. Bu mtris,. A= 5 mtrisleri verilior. 7, B = 6 4 A ve B mtrislerii vrs bullım. A= d + bdz = d + bc bdz = ( d bc) = d c + bcz = c + c dz = ( bc d) z = c b d b d bc bc d d b = d bc c mtriside. 7.5 olduğud A mtrisii tersi vrdır. Bu mtris, 5 mtrisidir. B= 6 = 5 mtriside, 6. ( 4). = dır Demek ki B mtrisii tersi oktur. b d bc, t = bc d d b = dır. d bc c dır. = z= d d bc c bc d (d bc) (d bc) ÖRNEK A =, B = 7 5 ise (A ), (A B) ve B A işlemlerii plım. Ortöğretim Mtemtik

223 A 7 = = ( ) A = 7. ( ) ( ) 7 = 7 A B = = ( A B) = 76. ( ). 6 = B = 5 5 =. ( ). 5 B A 5 = Bu souçlr göre (A ) = A ve (A.B) = B.A dir. ÖZELLİK 7 = 6 7 A ve B, ı türde kre mtrisler olsu. Bulrı tersleri vrs;. (A ) = A dır.. (A. B) = B. A dir. Bu özellikleri doğruluğuu şğıdki gibi kıtlbiliriz.. A. B = B.A = I ise B = A olduğuu bilioruz. B mtrisi erie A mtrisii zrsk (A ) = A olur.. (A.B). (B. A ) = (B. A ). (A.B) = I olduğuu göstermeliiz.. Öce (A.B). (B. A ) çrpm işlemide birleşme özelliğii kullrk; (A.B). (B. A ) = A. (B.B. A ) zlım. = A. (I. A ) = A. A = I b. (B. A ). (A.B) = B. (A. A.B) (birleşme özeliği) = B. (I. B) = B. B = I ve b de elde ettiğiiz souçlrd (A.B). (B. A ) = (B. A ). (A.B) = I eşitliğii zbilirsiiz. Bu d (A.B) = B. A demektir. Bir mesjı şifrelemesi işlemide ters mtrislerde rrlırız. Buu içi hrflere, oktlm işretlerie ve kelime rlığı sılr tır. Sor göderilecek mesj bu sılrl sı dizisie çevrilerek bu dizii istee ere ulştırılmsı çlışılır. Bu işte mtrisler ve ters mtrisler kullıldığı gibi modüler ritmetikte de rrlıldığı olur. Bu işi sıl pıldığıı 4. sfdki öreği iceleerek görürüz. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

224 ÖRNEK Bzı hrfleri ve oktlm işretlerii şğıdki tblod verile sılrl gösterelim. A B C Ç D 4 E 5 F 6 G 7 Ğ 8 H 9 I İ J K L 4 M 5 N 6 O 7 Ö 8 P 9 R S Ş T U 4 Ü 5 V 6 Y 7 Z 8. 9, :?! 4 Boşluk 5. DÜŞMAN FİLOSU KAÇTI. mesjıı bu tblod rrlrk sı dizisie çevirelim. D Ü Ş M A N F İ L O S U K A Ç T I Oluşturul sı diziside stırlı bir B mtrisi zlım (Bu mtrise, bilgi mtrisi deir.). B mtriside birici stır sı diziside sold sğ tek sırdki sılrd oluşsu. Çift sırdki sılrd ikici stırı oluştursu. B = ` A= 5 mtrisii htr mtris olrk seçelim. C=A.B= ` 4. C mtrisideki sılrı erlerie 6 modülüe göre eşitlerii zlım. Bulduğumuz ei mtris şğıdki K mtrisi olur (Bu kodlmış mtris deir.). K = ` Bölece bşlgıçtki mesj şifrelemiş bir sı dizisie çevrilmiş oldu. Bu dizii şeklide olduğuu K mtriside lıoruz. Şimdi bu dizii l birii bşlgıçtki şifree sıl ulşcğıı görelim. Bu kişii ldığı dizide K mtrisii zdığıı düşüelim. Bşlgıçtki şifree ulşmk içi diğer sfdki işlemleri sırsıl plım.. A = 5 = A.K = ` mtrisleri buluur.. Bu mtristeki sılrı erlerie 6 modülüe göre eşitleri zılır. Bulu mtris ukrıdki B mtrisi olcktır. B = ` mtrisii zıız Ortöğretim Mtemtik

225 4. B mtrisideki sılr şğıdki gibi sı dizisi şeklide zlım ve bşlgıçtki mesj ulşlım. Bu örekte mesjı gödere ile lı ı sı tm tblosu ve ı htr mtrisi kullmlrıı zorulu olduğu çıktır. Burdki sılrı, htr mtris ve seçile modül ile deşifre edilmesi zor bir sı dizisie döüştüğüü görüoruz. 5.. ALIŞTIRMALAR 6. Aşğıdki mtrisleri çrpm işlemie göre terslerii (vrs) buluuz (c ve i = dir.). 4. b. c. ç c c cos si d. e. f. g. cos si i i. A= mtrisleri verilior. A X = B ise X mtrisii buluuz. ve B =.. sorud verile A ve B mtrisleri içi X A = B eşitliğie u X mtrisii buluuz. 4. "SINAVI KAZANDIM" cümlesii 4. sfdki tblod rrlrk şifreli sı dizisie çeviriiz. F. BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU) ETKİNLİK A= 5 4 mtrisii birici stırıı birici sütu, ikici stırıı ikici sütu prk ei bir mtris zıız. Bulduğuuz ei mtris hgi düzededir? Yeide A mtrisii elde etmek b c içi bu mtriste hgi işlemi prsıız? ÖRNEK 5 A= mtrisii stırlrıı ı umrlı sütu, sütulrıı ı umrlrı stır prk ei bir mtris 4 zlım. İstee mtris ` 4 5 olur. Bir mtriste, bu mtrisi her bir stırıı ı umrlı sütu şeklide zrk ei bir mtris elde edebiliriz. Şimdi bu mtrisi tımllım. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 5

226 TANIM A = [ ij ] m mtrisi verilmiş olsu. [ ji ] m mtrisie, A mtrisii devriği ( d trspozu) deir ve A T ve A D ile gösterilir. Verile bir mtrisi devriğii zmk içi bu tım gereğice her i içi bu mtrisi i. stırıı, i. sütu olrk zmlıız. Birim mtrisi devriği kedisidir, ede? ÖRNEKLER 4 7. A= ve B = ise (A + B) T ve A T + B T mtrislerii bullım A+B= T = (A + B) = 6 ve 5 T T A + B = + = dır A= ve B = ise (A B) T ve B T A T mtrislerii bullım. 4 ( AB) T T 4 6 = 6 = 4 4 4,B T A T = = dır A = ise. (A T ) T b. 4. A T, (4.A T ), c. (A T ), (A ) T mtrislerii bullım.. A T 6 T =, ( A ) = 6 b. T 4. A = ( T =, 4A ) = c. A T = = 6, ( ) A = ( ) =, A T = 6 6 Bu öreklerde A ve B mtrisleri içi (A T ) T = A, (A + B) T = A T + B T, (4A) T = 4A T, (A B) T = B T A T ve (A T ) = (A ) T olduğuu görüorsuuz. Söz kousu işlemler tımlı ise bu eşitlikleri dim doğru olduğuu kıtlrız. 6 Ortöğretim Mtemtik

227 ÖZELLİK A ve B mtrisler, k R olsu.. (A T ) T = A dır.. A + B tımlı ise (A+B) T = A T + B T dur.. (k.a) T = k.a T dur. 4. A.B tımlı ise (A.B) T = B T.A T dur. 5. (A T ) = (A ) T dur. Bu özellikleri şğıdki gibi kıtlrız.. A= [ ij ] m ise A T = [ ji ] m dir. Tım göre; (A T ) T = [ ji ] T m = [ ij ] m = A dır.. A= [ ij ] m ise A T = [ ji ] m ; B = [b ij ] m ise B T = [b ji ] m olur. c ij = ij + b ij lıırs : c ji = ji + b ji olur. O hâlde, (A+B) T = [ ij + b ij ] = [c ij ] = [c ji ] m = [ ji + b ji ] m = [ ji ] m + [b ji ] m = A T + B T dir.. A= [ ij ] m ve k R olsu. (k. A) T = [k. ij ] = [k. ji ] m = k [ ji ] m = k. A T dir. 4. A=[ ij ] m ve B = [b ij ] p mtrisleri verilmiş olsu. A.B = [c ij ] mp ve c = b dir. Burd [AB] T = [c ji ] pm ve c = b = b zılır. Demek ki c ji = b i j + b i j b i j dir. Bu ifde, b b b j m b i b i b i. j m b p b p b p p j m m çrpımıd birici mtrisi i. stırı ile ikici mtrisi j. sütuuu çrpımıdır. Bu çrpımdki ilk mtris B T, ikici mtris ise A T dir. O hâlde (A.B) T = B T. A T dir. 5. A T. (A ) T = (A ) T. A T = I olduğuu göstermeliiz. Bu hâlde (A T ) = (A ) T T T m m ij ji r= r= T m ir jr rj ri r= ri olur. A T. (A ) T = (A. A) T (Yukrıdki 4. özellik ) = I T = I (A ) T. A T = (A. A ) T (Yukrıdki 4. özellik ) = I T = I Demek ki A T. (A ) T = (A ) T. A T = I, i (A T ) = (A ) T dur. jr 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 7

228 5.. ALIŞTIRMALAR 7 i, i j ise T. olduğu göre ij ij = mtrisii zıız. j, i > j ise 4 cosθ siθ. A= mtrisi verilior. siθ cosθ. A.A T mtrisii buluuz. b. A T.A mtrisii buluuz. c. A mtrisii zıız. OKUMA METNİ 7 Abel Ödülü, Hitli Mtemtikçii Mtemtiği Nobel'i koumudki Abel Ödülü, 7 de New York Üiversiteside mtemtikçi ol Hitli Sriivs Vrdh' verildi. Norveç Bilimler kdemisi'i 975 bi dolrlık ödüle Vrdh'ı lık görmesii edeise, özellikle de "çlışmlrıı, eder ollrıı simülso ve lizide, bilgisr kullım sıırlrıı ve eteeğii büük ölçüde geişletmesi." Vrdh'ı uzmlık lı, kbc rstltısl ollrı lizile ilgilee olsılık kurmı. Çlışmlrıl özellikle kutum ol kurmı, populso dimiği, mlie ve trfik mühedisliği gibi llrd öemli etkiler ve ei soru işretleri ort komuş durumd. "Fizik slrıı her şei belirleebilecek olduğuu düşüürüz m öcede thmi edilemeecek şeler her zm vr. Büük bir felkete ol çbilecek bir sel d steroidi Dü'l çrpışmsı olsılğı düşük m gerçekleşmesi durumu d korkuç olbilir. Bu edele bu olsılıklrı hesplmk çok öemli." Vrdh'l birlikte çlışmış ol Msschusetts Teklooji Estitüsü mtemtikçisi Diel Strock ise çlış rkdşıı şöle ltıor: "Müthiş eteekli, bir o kdr d lçk göüllü; i kedisi de oldukç eder rstl türde. Souçt bşlı bşı büük bir mtemtiksel spm oluşturuor." Sciece Now Dil News, Mrt 7 Nis 7 9 BİLİM ve TEKNİK 8 Ortöğretim Mtemtik

229 5.. DOĞRUSAL (LİNEER) DENKLEM SİSTEMLERİ Demir olu, hv olu ve kr olu tşımcılığı ulşım sektörüü vzgeçilmezleridedir. Hizmetleri sorusuz ürütülmesi birçok değişkei değerledirilmesi ile mümküdür. Frklı ulşım seçeeklerii tercih edilmesi ulşım sektörüü gelişmesie ktkıd buluur. Aı d oluş frklı ollr, bir deklem sistemii çözümüe bezer. A. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ VE TEMEL SATIR İŞLEMLERİ ETKİNLİK. S birici stırı (birici deklemi), S ikici stırı (ikici deklemi) göstermek üzere; S : z= S : + z = 5 doğrusl deklem sistemi verilmiş olsu. S : + + z = 8 Bu sistemde:. İki stırı, söz gelimi birici stır ile ikici stırı er değiştirmesi durumud bu deklem sistemi değişir mi (Birici stırı ikici stırl er değiştirmesii S S şeklide zrk ltlım.)? b. Bir stırı sıfırd frklı bir sı ile çrprsk bu deklem sistemii değişip değişmeeceğii çıklıız (Öreği. stırı 4 ile çrpıor ve ie. stır zıorsk buu, 4S S şeklide ltlım.). c. Bir stırı k ktı bşk bir stır ekleirse bu deklem sistemii değişip değişmeeceği sıl çıklbilir (Öreği. stırı 5 ktı. stır ekleirse buu 5S + S S şeklide zlım.)? Bu işlemler rdımıl verile deklem sistemide kimi kt sılrı pıldığıı düşüüüz. Buu rrı sizce e olur?. S + S S ve S + S S işlemlerii prk bulduğuuz ei deklem sistemii zıız. Yei sistemi çözümüü bulmı ilk sisteme göre dh kol olup olmdığıı çıklıız. ÖRNEK z = ile bilimeeler olmk üzere = ve + z = 8 deklem sistemleri + = + + z = 4 verilmiş olsu. Bu iki sistemi bezer lrı elerdir? Frklı lrı elerdir? Açıkllım. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 9

230 İki sistemde de bilimeeleri lız birici derecededir. Bu iki sistemi frklı lrı biricii iki bilimeeli ve iki deklemli, ikicii üç bilimeeli ve üç deklemli olmsıdır.,, z bilimee gerçek sılr olmk üzere = d, + b = d, +b + cz = d, şeklideki deklemlere, doğrusl d lieer deklemler deildiğii biliorsuuz. Bu deklemler, sırsıl bir bilimeeli, iki bilimeeli, üç bilimeeli, doğrusl deklemlerdir. Bulrd, b, c, d, bilie gerçek sılrdır. Birde fzl doğrusl deklemde oluş + = b + = b + + z =b + + z = b + + z = b şeklideki deklem gruplrıd her birie doğrusl deklem sistemi dı verilir. Bulrd ilkie, iki bilimeeli ve iki deklemli doğrusl deklem sistemi; ikicie, üç bilimeeli ve üç deklemli doğrusl deklem sistemi deriz. Çözüm kümeleri ı ol iki doğrusl deklem sistemlerie, dek sistemler deir. Bir doğrusl deklem sistemide temel stır işlemleri dı verile şğıdki üç işlem pılırs bu sisteme dek ol doğrusl deklem sistemi elde edilir.. Sistemdeki deklemlerde herhgi birii bir k gerçek sısı ile çrpmk,. Deklemlerde birie, diğer deklemlerde birii k ile çrpımıı eklemek,. Herhgi iki deklemi erlerii değiştirmek. Bu kısımd bilimee sısı ile verile deklem sısı eşit ol doğrusl deklem sistemlerii temel stır işlemleri prk çözeceğiz. ÖRNEKLER S. : 5 = 4 sistemii verile deklemler üzeride temel stır işlemleri prk çözelim. S : + 4 = S : 5 = 4 S : + 4 = S : 9 = 5 ( ).S + S S S : + 4 = ( ).S + S S S : 9 = 5 (9 / ) S + S S S : = ( / ) S S 99 S : = 5 = = S : = = S : 4 + z =. S : + z = sistemii verile deklemler üzeride temel stır işlemleri prk S : z = çözelim. Ortöğretim Mtemtik

231 S : 4 + z = S : + z = S : z = ( ) S + S S S + S S S : 7 + 4z = 5 S : + z = S : = S ( / ) S S S S : + z = S : 7 + 4z = 5 S : = z= = = z = = = 5.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki doğrusl deklem sistemlerii bu deklemler üzeride temel stır işlemleri ugulrk çözüüz.. = b. + = 4 c. + z = ç. + + z = + = 6 = z = z = z = + + z = B. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN MATRİSLERLE ÇÖZÜMÜ ETKİNLİK. A= 4, X = ve B = mtrisleri verilmiş olsu.. A.X mtrisii buluuz. b. A.X = B ise bu eşitlikte hgi deklem sistemii elde edersiiz? Bu sistemi zıız.. + z= + 4z = z = 4 deklem sistemide kt sılr mtrisii (A), bilimeeler mtrisii (X) ve sbit terimler mtrisii (B) zıız. Verile sistemi de olduğu gibi mtrislerde oluş bir deklem sistemie sıl döüştürebilirsiiz? ÖRNEK 5 = 4 + = deklem sistemii mtrislerle ifde edelim. ise verile sistem A X = B mtris eşitliği şeklide A =, B = ve X = zılbilir. Bilimeeleri ile ol, + = b + = b 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

232 doğrusl deklem sistemi verilmiş olsu. Bilimeeleri kt sılrıd oluş A = ` b mtrisie, kt sılr mtrisi; mtrisie, bilimeeler mtrisi, X = B = mtrisie de b sbit terimler mtrisi deriz. B mtrisii A mtrisie so sütu olrk zıc elde edile b mtrisie eklemeli kt sılr mtrisi d geişletilmiş kt sılr mtrisi deir. Bu mtris [A : B ] ile gösterilir. A, X ve B mtrislerii kullrk verile deklem sistemii, ` b A. X = B şeklide zrız. Bu sistemi çözmek içi şu iki ötemde birii ugulbiliriz.. Temel stır işlemleri ugulrk çözümü bulmk,. Vrs A mtriside rrlrk çözümü bulmk,. ötemi şimdi,. ötemi de sorki koud öreklerle göreceğiz.. ötemde sbit terimler mtrisi, kt sılr mtrisie so sütu olrk zılır. Sor bu geişletilmiş mtriste temel stır işlemleri ugulrk kt sılr mtrisii buluduğu kısım üst üçge ( d lt üçge) ve köşege mtris pılır. Bu işlemlerde sor verile doğrusl deklem sistemie dek ol ei sistem zılrk,, bilimeeleri kolc buluur. Bu ötem iki d dh çok bilimeei buluduğu doğrusl deklem sistemleride ugulır. ÖRNEKLER. + = 6 sistemii temel stır işlemleri ile çözelim. + = 6 Verile sistemde kt sılr mtrisi, sbit terimler mtrisi ve geişletilmiş kt 6 sılr mtrisi dir. Bu mtris üzeride temel stır işlemleri ugulrk kt sılr mtrisii köşege mtris plım. 6 Bu göre verile sistem, 6 44 S + S S S S S 7 5 ( / ) S S S + S S S 4 S. + = +. = 4 sistemie dektir. Bu so sistemdeki deklemlerde =, = 4 çıkr. + 5z = z = 6 sistemi temel stır işlemleri ile çözelim z = 9 Ortöğretim Mtemtik

233 Verile sisteme it geişletilmiş kt sılr mtrisii zlım ve bu mtriste çıkl temel stır işlemlerii ugullım S + S S 4S + S S S + S S S + S S 5 5 S + S S 5 Köşege mtris Bu souc göre + + z = + z = + 5z = olur. Burd =, =, z = 5 çıkr.. + z = + + 4z = sistemii temel stır işlemleri ile çözelim ve çözüm kümesii zlım z = 7 9/ 5 / S + S S ( 5 / ) S + S S S + S S S + S S Bu göre; + z = z = + + 4z = z = z = 4 olur. Demek ki bize verile sistem, üç bilimeeli ve iki deklemli doğrusl deklem sistemidir. Bu edele ck bilimeelerde ikisii, üçücü bilimee türüde zbiliriz. Söz gelimi t R olmk üzere z = 5t düşüürsek ile i t türüde zbiliriz. 9 z = 5t = t = t z = t ( ) 9, = ( 4 ) Verile sistemi çözüm kümesi, Ç = 9t, 4 t, 5t t R Yusufeli Brjı iştı içi her seferide 4, 5 ve 6 to toprk tşıbile kmolrd toplm 7 det lıck ve bulrl güde sefer pılrk 74 to toprk tşıcktır. Bu kmolrı her biride kçr det lımsı gerektiğii rştırlım. Buu içi;. Problemi doğrusl deklem sistemile ifde edelim. b. Deklem sistemii mtrislerle gösterelim ve çözümü bullım. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

234 . Her seferide 4, 5 ve 6 to toprk tşıbile kmolrd sırsıl, ve z det lıdığıı düşüelim. Bu göre probleme it doğrusl deklem sistemi; + + z =7 olur. ( z) = 74 b S S 7 ( 4)S + S S ( )S 9 + S S ` z= 9 + z= 9 = z >> < z < 45 = 9 z olmlıdır. Arıc,, z tm sılrdır. Bu değerler içi şğıdki tblou düzeleelim. z Brjı p şirket, bu tblodki çözümlerde kedisie ugu ol herhgi birii seçebilir. Verile bir doğrusl deklem sistemide bilimee sısı ile deklem sısı eşit olsu. Kt sılr mtrisi A, bilimeeler mtrisi X ve sbit terimler mtrisi B olmk üzere, bu sistemi A.X = B şeklide ifde edildiğii bilioruz. A ve B mtrisleri üzeride ı temel stır işlemleri ugulrk;. A mtrisi sl köşegeideki terimleri ol üst üçge mtrise döüştürülmüş ise bu çözüm ötemie, Guss (Guz) ok etme ötemi,. A mtrisi birim mtrise döüştürülmüş ise bu çözüm ötemie, Guss-Jord (Guz - Yord) ok etme ötemi deir. ÖRNEKLER + z = z = 5 sistemii Guss ok etme ötemile çözelim z = 9 4 S + S S = z 9 4S + S S 5 = z 5 ( )S + S S 5 S S = 5 z ( / ) S S S S 5 ( ) 5 = z ( 5) S + S S 4 Ortöğretim Mtemtik

235 44 z z z = = S S = 5 44 S S z = + z = = z = 5 = olur.. S+ S S = S+ S S 4 z 9 ( )S S = 57 S+ S S 4 z = 57 S+ S S 4 z 9 S+ S S = 4 ( 5/ 4) S + S S z 8 ( / 4) S + S S 4 S S 4 = 4 ( / 4) S S z S S + z = + + z = + + 4z = 9 sistemii Guss Jord ok etme ötemile çözelim. = 4 =, = 4, z= dir. z 5.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki doğrusl deklem sistemlerii mtrislerle ifde ediiz. Sor bu mtrisler üzeride temel stır işlemleri ugulrk verile sistemi çözümüü buluuz.. + = b. + = 5 c. + + z = ç. 5 + z = = 4 = + z = z = z = z = 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 5

236 . Bir ksp to eti bir soğuk hv deposud to, to ve 5 to et koulbile odlrd sklcktır. Bu odlrı ücretleri sırsıl 6, 5 ve 8 TL dir. Ksp güde 6 TL vererek bu odlrı her biride kçr det kirlmlıdır?. Aşğıdki deklem sistemlerii Guss ok etme ötemile çözüüz.. + = 5, 7 = 4 b. + + z =, z =, z = 5 4. Aşğıdki deklem sistemlerii Guss-Jord ok etme ötemile çözüüz =, + = b. + z =, + + z =, + + z = 8 C. BİR MATRİSİN TERSİNİ TEMEL SATIR (SÜTUN) İŞLEMLERİ İLE BULMAK ETKİNLİK A= 4 4 mtrisi verilmiş olsu. Bu mtrise I mtrisii şeklide ktlım. Bu mtrisi (A/I) ile gösterelim. Bu so mtrise temel stır işlemleri ugulrk (I/B) mtrisii buluuz. A. B = B. A = I midir? Mtrislerde Temel (Elemeter) Sütu İşlemleri ÖRNEK 5 A= mtriside;.. sütuu ile çrplım. b.. sütu. sütuu 4 ktıı ekleelim. c. İki sütuu erlerii değiştirelim B =, b. C =, c. D = 5 mtrisleri elde edilir. TANIM Bir mtrisi sütulrı rsıd ugul;. Bir sütuu sıfırd frklı bir k gerçek sısı ile çrpılmsı,. Sütuu birie, bir diğer sütulrı k ktıı eklemesi,. İki sütuu erlerii değiştirilmesi işlemlerie, temel sütu işlemleri deir. Bu işlemleri bir mtrisi stırlrı rsıd pılbildiğii de gördük. Bir kre mtrisi tersii (vrs) bu mtris üzeride temel stır (sütu) işlemleri ugulrk d [ ] bulbiliriz. Buu içi A bir kre mtris ise ı türdeki birim mtrisi A mtrisie sğ sütulr şeklide ktrk A I ile gösterdiğimiz geişletilmiş bir mtris zrız. Sor bud temel stır işlemleri ugulrk birim mtrisi sold er ldığı [ I B ] şeklide bir mtris elde etmeğe çlışırız. Bu gerçekleşirse B mtrisi, A mtrisi olur. ÖRNEKLER A= b. A = mtrislerii terslerii temel stır işlemleri ugulrk bullım S + S S 6 7 S + S S Ortöğretim Mtemtik

237 7 9 4 S + S S 4. S S S S 4 = Bu göre A o 7 9 I A 5 5 b. 6 S + 5 S + S S 5S + S S S S 5 5 S + S S 5 I A Bu göre A = dir.. A= ise A mtrisii temel sütu (kolo) işlemleri ugulrk bullım. [Aşğıdki işlemlerde kullıl K hrfi, bu işlemleri sütulr (kololr) rsıd pıldığıı ltmktdır.] K + K K 4K + K K 4 4 K K 5 K K ( ). K K K + K K K + K K K + K K K + K K 4 4 I A A = dir. 5.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki mtrisleri terslerii (vrs) temel stır işlemleri ugulrk buluuz.. 4 b. 7 6 c Aşğıdki mtrisleri terslerii (vrs) temel sütu işlemleri ugulrk buluuz.. b. 5 4 c Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 7

238 5.. DETERMİNANTLAR Uzu, uğrştırıcı sısl işlemlerde determitlr işlerimizi kollştırıcı olur. A. DETERMİNANT TANIMI; MİNÖR, KOFAKTÖR VE DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK Kre mtrisleri gerçek sılrl eşlemek içi bir ötem geliştirmee çlışlım.. düzeideki kre mtrisleri içideki gerçek sı ile eşleelim. [] mtrisii sısı ile eşleelim.. mtrisii işlemii soucu ol sı ile eşleelim. Bu göre; `. 8 b. 7 c. 8 ` 7 ` 8 ` 7 mtrislerii eşlediği sılrı buluuz. b ve c deki mtrisler dki mtriste hgi oll elde edilmiştir? Bu durumd mtrisi eşlediği sı sıl değişmektedir?. 7 4 mtrislerii eşlediği sılrı buluuz. Hgi tür mtrisler ` 4, 4, 7 içi bu soucu değişmeeceğii rkdşlrıızl trtışıız mtrisi hgi sı ile eşleir? düzeide bşk köşege mtrisler zrk olrı eşlediği sılrı buluuz. Bu rştırmızd sezilediğiiz souç ` 4 edir? ÖRNEK ve mtrisleride kurlı ile elde edile sılrı bullım = 5. 7 ( 4). = 47, =. ( ) ( 6). = olur. Determit, kre mtrisleri gerçek sılrl eşlee bir foksiou dıdır. Derslerimizde, e çok türüde ol kre mtrisleri determitlrıı hesplcğız. Bir A kre mtrisii, determit foksiou ile elde edile görütüsüü, det A ( d A ) ile göstereceğiz. TANIM A = [ ] ise deta = = dir. 8 Ortöğretim Mtemtik

239 Bu tım göre A = [7] ve B = [ 6] mtrislerii determitlrı, A = 7 = 7 ve B = 6 = 6 dır. TANIM ise A = = dir. Bu tım göre; A = 4 5 ETKİNLİK 4 A = ve B = 5 7 = 5 ( 8) =, B = 7 = 7 ( ) = 7 + dır. Şimdi de üçücü sırd bir kre mtrisi determitıı sıl hesplcğımızı rştırlım mtriside i buluduğu stır ile sütuu sildiğimizi düşüelim. Geri ` 6 kl mtrisi determitıı ( ) +. ile çrplım. Burd = dir ve ( ) + ifdeside +, idisleri toplmıdır. Ölese sözü edile işlem + ( ).. 7 işlemidir. Aı işlemleri 4 ` 6 ve içi de plım ve souçlrı topllım ( ) ( ) ( ).( ). 5 ` 6 6 İşte bu işlemi soucu A mtrisii determitı olrk tımlır. Burdki işlemleri prk A değerii kç olduğuu buluuz. ise ÖRNEK determitıı ukrıdki etkilikte çıkl oll hespllım. =( ) ( ) ( ) = ( 5.. ) 55 (. 6. ) + 4 (. 6. ) = 5 ( ) 5( 5 ) + 4( 8) = = 7 dir. 6 A TANIM A = ise; = = ( ) ( ) ( ) +.. dir. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 9

240 Üçücü sırd determitı tımıdki determitı, elemıı miörü; bu miörü ( ) + sısıl (işret kt sısı) çrpımı d i kofktörü (eş çrpı) dı verilir. i eş çrpı A ile gösterilir. ile ü eş çrplrıı d bezer şekilde tımlrız. Bu göre; A = ( ), A = ( ), A = ( ) dir. Üçücü sırd bir determitı çılımıı; = A + A + A şeklide ifde edebiliriz. Bu, determitı birici stır göre çılımı dioruz. Determitt, herhgi bir elemı miörüü zrke bu elemı buluduğu stır ile sütu tılrk gerie kl elemlrı lıdığı dikkt ediiz. Öreği üçücü sırd, determitıd, ü miörü dir. Bu determit, A mtriside terimii buluduğu stır ve sütuu silimesile elde edile mtrisi determitıdır. Bir determitı çılımıı, herhgi bir stır d herhgi bir sütu göre pbilirsiiz. Yi, A + A + A = A + A + A = A + A + A =... dir. Bu edele A bir kre mtris ise A ile A T mtrislerii determitlrı eşittir. Ölese determitlrd stırlr içi göreceğimiz her özellik sütulr içi de geçerlidir. Arıc bir stırdki elemlrı tümü sıfır ise bu determitı sıfır olcğı çıktır. Bir de dki determitı düşüüüz. Bu determitt ilk iki stır ıdır. Bu determitı üçücü stır göre çıc elde edile miörleri tümü sı- =? fır olur. Demek ki bu determit sıfır eşittir. Bu durum herhgi iki stır içi geçerlidir. Ölese iki stırı ı ol bir determit sıfır eşittir. ÖRNEKLER determitıı bir kez ikici stır, bir kez de üçücü sütu göre çrk 6 hespllım =( ).. + ( ).( ) ( ). 6. = ( ) ( 8 5) 6( 6 ) = = 79 dur. Bu kez determitı üçücü sütu göre çrk hespllım =( ) ( ) ( ).( ) = 5( 8 + 9) 6( 6 ) ( ) = = 79 dur. + 4 Ortöğretim Mtemtik

241 . Aşğıdki determitlrı hespllım.. 4 b. 6 7 c. 7 d d verile determitt. sütu b de. stır sıfır olduğud bu determitlr sıfırdır. c de. stır ile. stır d de. sütu ile. sütu ı olduğu içi bu determitlr d sıfırdır. Determitı Özellikleri ÖZELLİK Bir determitt:. İki stırı (ve sütuu) erleri değiştirilirse determitı işreti değişir.. Bir stır (ve sütu) k gerçek sısı ile çrpılırs determit k ile çrpılmış olur.. Bir stır (ve sütu) bir gerçek sı ile çrpılır ve bşk bir stır (sütu) ekleirse determit değişmez. Bu özelliği üçücü sırd determitlr içi şğıdki gibi kıtlrız.. A = = + A d birici ve ikici stırlrı erlerii değiştirelim ve B i zlım. B A =( + + ) ( + + ) = = Bulduğuuz bu souçlr göre B = A dır. + B =( + + ) ( + + ). A = olsu. Bu determitt birici stırı k R ile çrprk B i zlım. B = k k k =k k + k =k( A + A + A ) = k. A dır.. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

242 ÖRNEK Aşğıdki determitlrı hespllım A = b. B = A = 5 4 5S + S S 4S + S S = b. B = = = = = 87 8 = 69 olur. 8 K + K K 4K + K K 7 8 = ( ) = = 57 6 = 67 olur. 5.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki determitlrı eşitlerii lrı zıız. 5 i. = b. c. = ç. = i cos si si cos = si d. 7 = e. = f. = g. 6 si log b log b = Ortöğretim Mtemtik

243 A. Şekildeki ABC üçgeide [AN] çıortdır. BN =, NC = m ise m determitıı hesplıız. b c B c N m b C. Şekilde AC ve AD doğrulrı ortk teğetler ve B, C, D, E değme oktlrıdır. AB =, BC = b, BE =, CD = ise b determitıı hesplıız. C D b B E A 4. Aşğıdki determitlrı her biri sıfır eşittir. Hesplmd, bu determitlrı ede sıfır eşit olduğuu çıklıız b. c b b b b b b c ç. c b d. + c b + c si cos t log log4 log8 si cos cot e. log5 log5 log5 t log log log 9 7 e e f. e e g ğ. si45 cos 45 6 h. t sec sec si sec cos si t 5. Aşğıdki determitlrd, ortılı iki stır d ortılı iki sütu vr mıdır? Bu determitlrı hesplıız b. 6 c. 6 4 b c 6. b c = bc ( b) (b c) (c ) olduğuu gösteriiz. b c 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri

244 B. SARRUS YÖNTEMİ ETKİNLİK =( + + ) ( + + ) olduğuu gördük. Bu determitı sğı ilk iki sütuu d görüldüğü gibi tekrr zlım.. Yukrıd birici prtezi içide çrpım durumud bulu,, terimlerii dki tblod kırmızı çizgi ile birleştiriiz. Aı işlemi bu prtezi içide bulu öteki terimler içi de pıız.. İkici prtezi içideki terimler içi bu işlemi mvi çizgiler kullrk pıız. düzeideki bir mtrisi determitıı bu oll kolc hesplbileceğii sezioruz. Aşğıd verile A mtrisi düzeide bir kre mtristir. Ortdki tblod, mtrisi üst iki stırı ltı; sğdki tblod, mtrisi sol iki kolou sğı zılmıştır. Bu tblolrd sl köşege öüde sırlı üç terimi çrprk bulduğuuz souçlrı toplıız. Bu souçt, diğer köşege öüdeki sırlı üç terimi çrprk bulduğuuz souçlrı çıkrıız. Elde ettiğiiz souçlr eşit midir? A = Bu icelemei düzeideki bşk kre mtrisler üzeride de pıız. Üçücü sırd bir determitı = + + ( + + ) olduğuu bilioruz. Bu eşitliği sğ ıdki terimler, şğıdki tblod oklrl belirtile terimleri çrpımıdır türüdeki bir determitı hesplmsıdki bu öteme, Srrus kurlı dioruz. ÖRNEKLER ve c b b c determitlrıı Srrus kurlıl hespllım. 4 Ortöğretim Mtemtik

245 = ( 54 6) = 8, c b b c c b b c = + b c ( + c + bc) = b c c bc olur deklemii (, ) ve (, ) oktlrıd geçe doğru deklemi olduğuu gösterelim. Çözümü birlikte plım. Öce determitı hesplıız. = = Bu eşitliği + = + şeklide zıız ve eşitliği her iki ı terimii ekleiiz. Burd; = ( ) = eşitliğii buluuz. Bu eşitlik (, ) ve (, ) oktlrıd geçe doğru deklemidir.. A(, ), B(, ), C(, ) ise sısıı mutlk değerii ABC üçgeii lı olduğuu gösterelim. Ydki şekilde, Δ AABC ( ) = A(ABDE) + A(AEFC) A(BDFC) zbiliriz. A Burdki muklr dik muklrdır. Bulrı ükseklikleri, ve dir. Şimdi bu muklrı llrıı zlım: B A( ABDE) = ( )( + ) D A( AEFC) = ( )( + ) ABDFC ( ) = ( )( + ) Bu göre; Δ AABC ( ) = ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + ) ol [ ] ur. E C F Prtez içideki çrpm işlemlerii pr ve her terime sısıı çrp olrk zrsk Δ AABC ( ) = ( ) ( [ ]. ) olur. Bu ifde sorud verile determitı çılımıdır. Alı pozitif sı olduğuu biliorsuuz. Ölese l bu soucu mutlk değeridir. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 5

246 4. A( 4, 6), B(, ), C(4, ) ise ABC üçgeii lıı bullım = =.( ) = Δ A(ABC) = 8 = 8 birimkredir (İlk determitt 4. K + K K, 6K + K K ugulmış, ikici determit birici stır göre çılmıştır.). 5. Deklemi = ol doğruu eğimii bullım. 6 8 = ( 6) = 8 işlemleri Öce determitı hespllım. Sor doğruu deklemii + b + c = şeklide zlım. = = 6 + (6 + + ) = = = = Doğruu eğimi 8 dir. 5.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki determitlrı, Srrus kurlıı kullrk hesplıız b. c Köşelerii koorditlrı şğıd verile üçgeleri llrıı hesplıız.. (, ), (, ), (4, ) b. (, ), (, ), (6, 4) =, b. + e e 4 5 = deklemleride R dir. Bu deklemleri çözüüz. 4. düzeideki bir mtris A ve B = ka ise B = k A olduğuu gösteriiz. 5. düzeide ol A ve B mtrisleri ile düzeide ol C ve D mtrislerii zıız. Yzdığıız mtrisler içi;. AB mtrisii determitı ile A ve B sılrıı çrpımıı buluuz. Bulduğuuz souçlr eşit midir? b. Aı soruu C ve D mtrisleri içi ıtlıız = ise i lbileceği değerleri toplmı kçtır? 6 Ortöğretim Mtemtik

247 C. EK (ADJOİNT) MATRİS ETKİNLİK. A= 5 8 mtriside her terimi kofktörüü bu terimi buluduğu ere zıız. Bulduğu- 4 uz mtrisi devriğii zıız. Elde ettiğiiz so mtrisi A ile gösteriiz. A sısı ile A.A mtrisii elemlrıı krşılştırıız. A.A mtrisi hgi tür mtristir? Bezer çlışmı türüdeki bir mtris üzeride de pıız. Bu bulgulrıızd rrlrk A mtrisii bulmk içi bir ötem belirlemee çlışıız. A = ise A mtrisi içi e söleebilir? Bir determitt ij terimii buluduğu stır ile sütu siliice elde edile ei determitı ( ) i+j ile çrpımı, ij elemıı eş çrpı ( d kofktörü) dedik ve A ij ile gösterdik. Bu göre; A= olur. Bezer şekilde; + ise öreği, A = ( ) + +, A = ( ) A = ( ), A = ( ) + + A= ise öreği, A = ( ) ve A = ( ) + dır. 4 7 determitıd eş çrplr: A = ( ) + 7 = 7, A = ( ) + =, A = ( ) + = ( ) =, A = ( ) + 4 = 4 tür. T A A T Bu eş çrplr ile 7 7 = = mtrisii zlım. A A ve. işlemlerii siz pıız. Bulcğıız souçlr ile ukrıdki determitı soucu rsıdki ilişkii gözlemleiiz. TANIM Bir A kre mtriside elemlrı erlerie bu elemlrı eş çrplrı koulduğud elde edile mtrisi devriğie, A ı ek (djoit) mtrisi deir ve A ile gösterilir. Bu t ım göre; A = mtrisii ek mtrisi T A= = dir. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 7

248 A = ise A = Buu simgesel olrk ÖRNEKLER 5 6. A = 4 ise A ve A. A mtrislerii bullım. Çözümü birlikte plım. Siz A ı determitıı hesplıız. 4 ( ) A = =, A. A = = = (Bu örekte A. A = AI. I olduğuu gözlemekteiz.) 5 4. A = 5 ise A sısıı ve A ile A. A mtrisi i bullım. Öce mtristeki her elemı eş çrpıı hespllım. 5 5 A = =, A = = 7, A = = 6, A A 4 = 4 = 5 T Bu souçlr göre; =, A = = 7, A = = 4, = 4, A = = 4, A = = 8 5 A = A + A + A = ( 4). 6 = = 8 A A A A = A A A A A A T A A A = A A A A A A T dur. şeklide zrız. T A A A 7 6 A = A A A = 7 4 A A A T 4 = ve A. A = = 8 = çıkr. Bu örekte de A A ÖZELLİK. A = A. I olduğuu gözlemekteiz. bir kre mtris ise A. A = A.A = A.I dır. 8 Ortöğretim Mtemtik

249 Bu özelliği. sırd kre mtrisler içi kıtllım. A = ise A A A A = A A A A A A A mtrisii bir stırıdki elemlrı eş çrplrıl çrpımlrı toplıc A sısı, bşk bir stırı eş çrplrıl çrpımlrı toplıc elde edilir. Yi, A + A + A = A + A + A = A + A + A = A ve A + A + A = = A + A + A = dır. Bu göre; dır. A A. A = A = A. A ve A A. A = A = A. A olur. Demek ki A. A = A. A = A. dir. Bu özelliği isptı bşk sırd kre mtrisler içi de bu bezer şekilde pılır. A kre mtris ve A ise A = A A dır. A ise, A. A = A. A = A. I A A A.. =. A A. A = I olcğı dikkt ediiz. ÖRNEKLER. A = ise A mtrisii, ek mtris rdımıl bullım. 5 A T 5 = =, A = = 5 / / A =. = = A A 5 5 / / 4. A = ise A mtrisii, ek mtris rdımıl bullım A = = 6 4 T A = A + A + A = 4() + ( ) + ( ) = A = 6. A = = A 6 / 8 / 4 8 mtrisi, tersi olm bir mtris (Böle mtrislere sigüler mtris. A= deildiği de olur.) ise ı lbileceği değerleri bullım. 5 A = ise A mtrisii ters mtrisi olmz. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 9

250 8 5 = ( + + 5) = + 4 = + 4 = ( 8) ( 5) = = 8 v = 5 tir. 5.. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki mtrisleri ek mtrislerii zıız.. Aşğıdki mtrisleri ek mtrislerii zıız b. 6 c A = 4 ise A. A mtrisii hesplıız. b 4. A = 6 mtrisi içi A = 6, A = 5 ve A = ise A sısıı buluuz. d c 5. Aşğıdki mtrisleri terslerii (vrs) bulrı ek mtrisleride rrlrk buluuz b. c. ç A, türüde bir mtris ve A. A = B ise B = A olduğuu gösteriiz. 7. A ise A = A (Yol: İki mtrisi çrpımıı determitıı bulrı determitlrı çrpımı eşit olduğuu vrsrk bu isptı pıız.) 8. A ile B ı türde ve tersleri ol iki mtris ise (AB) = B A olduğuu gösteriiz. 9. A = b c. A = b c. A, tersi ol ( türüde) bir mtris ise şğıdki özellikleri kıtlıız.. b. ise A mtrisi i buluuz. ise A mtrisi i buluuz. A. B = ij B = ij olduğuu gösteriiz. ( ka) k A = ( k R, k ) T T T T c. ( A ) = ( A ) ( Yol : A. A = A. I ve ( ka) = ka eşitlikleride rrlıız.) 4 Ortöğretim Mtemtik

251 5.4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN DETERMİNANTLARLA ÇÖZÜMÜ Mtrisler ve güçlü bilgisrlr rdımıl, olrc bilimeei bulu doğrusl deklem sistemlerii çok kıs zmd kolc çözebilmekteiz A. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİNİ TERS MATRİS YARDIMIYLA ÇÖZMEK ETKİNLİK = = 9 deklem sistemide bilimeeler mtrisi X= olsu. Bu deklem sistemii A. X = B şeklide zdığımızı biliorsuuz. Bu eşitlikte A kt sılr mtrisi, B de sbit terimler mtrisidir. A ve A mtrislerii zıız. A. X = B eşitliğide iki ı d A mtrisi ile çrprk ve bilimeelerii bulm çlışıız. ÖRNEK + = 5 = 7 deklem sistemii kt sılr mtrisii ters mtriside rrlrk çözelim. kt sılr mtrisi A= dir. 5 A / / = olduğuu. sfd bulduk. X = ve B= ise 5 / / 7 verile deklem sistemii A. X = B şeklide zılbileceğii biliorsuuz. So eşitlikte iki ı d A mtrisi ile sold çrplım. A A X A B /.. =. = 5/ I / /. 7 = =, = olur. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 4

252 + + z = b + + z = b + + z=b doğrusl deklem sistemi verilmiş olsu. Bu sisteme it kt sılr mtrisi A, bilimeeler mtrisi X ve sbit terimler mtrisi B ise b A=, X =, B = b olur. z b Verile doğrusl deklem sistemii bu mtrislerle A. X = B şeklide ifde ettik. Eğer A mtrisi vrs; A.X = B A (A.X) = A B (A.A) X = A.B IX = A.B X = A.B çıkr. Demek ki verile A.X = B doğrusl deklem sistemi X = A.B sistemie dektir. Burd bilimeeler (,, z) kolc zılır. Bu oll iki bilimeeli iki deklemli doğrusl deklem sistemii de çözebiliriz. ÖRNEKLER =. deklem sistemii çözelim = Bu sistemde kt sılr mtrisi A= ve A = 9 dir. Bilimeeler mtrisi ve sbit terimler mtrisi B= X= olmk üzere verile sistem A. X = B deklemie dektir. Burd; A.X = B X = A.B = 9 4 = / / =,= çıkr. 4 5z = z = deklem sistemii çözelim z = A= 8,X= ve B= olur. Öce A 5 z 4 4 mtrisii, sor d,, z i bullım. Ortöğretim Mtemtik

253 S + S S S + S S A X=A.B = 4 5 z 5 8. TL prsıı borsd,, z gibi frklı üç hisse seedie tır biri, ıl soud % gelir elde etmei ummktdır. Birz dh fzl riskli gördüğü içi hissesie diğer iki hissee tırdığı toplm prsıı kdr pr tırmıştır.,, z hisse seetleride ıl soud sı- i rl %, %5 ve % 8 orıd getiri beklemektedir. Bu hisse seetlerie kçr TL tırıldığıı bullım.,, z bu seetlere tırıl pr miktrlrıı d göstersi. Verile bilgilerde; + + z = + + z = +z = d +z= z =, +,5 +,8 z = (,).( ) doğrusl deklem sistemii oluşturbiliriz. Bu deklemde kt sılr mtrisi A ise; 9 45 A=, A = 8, A = S + S S 5 S + S S S + S S S + S S 5 8 ( )S S 4 = 5 7 T = = 5, =, z = 7 A = olur. Bu göre; z =A.B= = 5 5 dir. Demek ki = 5 TL, = 5 TL, z = 5 TL dir. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 4

254 5.4. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki doğrusl deklem sistemleride öce kt sılr mtrisii tersii zıız. Bu mtriste rrlrk bilimeeleri buluuz.. + = b. + 5 = c. 6 = ç. 5 4 = 6 = 5 9 = + = + = 9 d. +z= 6 e. 6 +4z = f. +z= g. z= + z = z = + + z = 4 + z = + + z = 5 + 8z = z = z =. +8+z= +4z= sistemii solu sıd çözümü olmdığı göre ı lbileceği değeri + 4 5z = buluuz. B. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİNİ KRAMER KURALIYLA ÇÖZMEK ETKİNLİK 5 4 = + = deklem sistemide kt sılr determitı Δ = 5 4 dir. Δ = 4 ve Δ = 5 olsu. Δ ve Δ determitlrıı sıl oluşturulduğuu söleiiz. Verile deklem sistemii ve köklerii buluuz. Bu kökleri Δ, Δ, Δ sılrıd sıl elde edilebileceğii bulm çlışıız. Bilimee sısı ile deklem sısıı eşit olduğu doğrusl deklem sistemlerii çözerke bu ötemi sıkç ugulrız. + = b ( ) + = b doğrusl deklem sistemii; A=,X=, B = b olmk üzere A. X = B şeklide b zdık. A ise A mtrisii vrlığıı bilioruz. Bu durumd; A. X = B deklemii çözümüü, X = A. B şeklide bulduk. Bu sistemi A = durumuu d içerecek şekilde eide iceleelim. ( ) ( ) A= ( ) ( ) A.X = B A.(A.X) = A.B (A.A).X = A.B ( A.I).X = A.B A.(I.X) = A.B A.X= A.B T = A. B = b b olduğuu gördük. b b = b b Δ = Δ 44 Ortöğretim Mtemtik

255 Bu souçlr göre; A. X = A A = Δ Δ A. = Δ, A. = Δ dir. Δ = b b determitıı A kt sılr determitıd i kt sılrı (. kolo) erie s bit terimler, Δ = b determitıı d ie kt sılr determitıd i kt sılrı (. b sütu) erie sbit terimleri koulmsıl elde edildiğie dikkt ediiz. Δ Δ. A ise () sistemii tek çözümü vrdır. Bu çözüm, ikilisidir. Çözümü bu A A oll bulumsı Krmer kurlı deir. Bu durumd; deklemleri () sistemide verilmiş ol iki doğru, koorditlrı bu ikili ol oktd kesişir (şğıdki. şekil).. A = ve Δ ile Δ de e z biri sıfırd frklı ise () sistemii çözümü oktur. Bu durumd deklemleri () sistemide verilmiş ol iki doğru birbirie prleldir (şğıdki. şekil).. A = Δ = Δ = ise () sistemii çözümü solu sıd değildir. Bu durumd, deklemleri () sistemide verilmiş ol doğrulr çkışıktır (şğıdki. şekil). Δ, Δ A A + = b + = b + = b + = b + = b + = b. şekil. şekil. şekil. sfdki () sistemide b = b = ise bu sisteme, homoje deklem sistemi deriz. Homoje deklem sistemide Δ = Δ = olcğı çıktır. Sistemdeki doğrulr orijide kesişe doğrulr d orijide geçe çkışık doğrulr olur. ÖRNEKLER. = = sistemii çözümüü Crmer ötemile bullım. A = 4 = 5 ( 4) = 9, Δ = Δ Δ = = 8 A 9, = A = 9 = ( ) = 8, Δ = 4 7 = ( 8) = + =. sistemii çözüm kümesi solu olmdığı göre ile b i lbileceği = b değerleri bullım. 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 45

256 Verile sistemi çözüm kümesi solu olmdığı göre A = Δ = Δ = olmlıdır. A = = 4 = = 4 = b = 6 b= 4 Δ b=6 b= 9 b i bu değeri Δ = b = eşitliğii de sğlmlıdır. b erie 9/ zrsk bu eşitlik sğlır. O hâlde = 4 9 ve b = dir. 5 + = 6. b = sistemii çözüm kümesi boş küme ise ile b sılrıı bullım. Bu sistemii çözümüü olmmsı içi A = ve Δ ile Δ de e z birii sıfırd frklı olmsı gerekir A = = 5 b = b = 5, Δ= = 8 8, Δ = = 5 6b b b b Bu souçlr göre 5 8 ve b olmk üzere ile b, çrpımlrı 5 ol her sı 6 olbilir. + = 4. homoje deklem sistemii çözelim. += Bir sütuu sıfır olcğı içi Δ ve Δ determitlrı olur. Δ = olduğu içi = = = dır = 4 =. Verile sistemi çözüm kümesi { (, ) } olur. Şimdi de Crmer kurlıı üç bilimeeli ve üç deklemde oluş doğrusl deklem sistemleride ugullım. Aşğıd verile () deklem sistemie it kt sılr mtrisi (A), bilimeeler mtrisi (X) ve sbit terimleri oluşturduğu mtris (B) sistemi ı zıldığı gibidir z = b + + z = b + + z=b () A =,X= z b,b= b b Verile () sistemi A.X = B deklemie dektir. Bu sistemi çözümüü de şğıdki gibi buluruz. A.X = B A.(A.X) = A.B (A.A).X = A.B ( A.I).X = A.B A.(I.X) = A.B A.X= AB A A A A.B = A A A A A A b b b b A + b A + b A = ba + b A +b A b A + b A + b A Δ = Δ Δ 46 Ortöğretim Mtemtik

257 + Δ = b A + b A + b A = b ( ) = b b b + b ( ) + + b ( ) + çıkr. Görüldüğü gibi kt sılr mtriside i kt sılrı (birici sütu) erie sbit terimleri zılmsıl Δ determitı elde edilmiştir. Bezer şekilde; Δ =b A +b A +b A = b b olur. Bu göre; b, Δ =b A +b A +b A = b b b A. Δ A.X= A.= Δ A. = Δ, A.= Δ, A.z= Δ tür. A.z Δ Δ Δ Δ. A ise () sistemii tek çözümü vrdır. Bu çözüm,, üçlüsüdür. A A A. A = ve Δ, Δ, Δ te e z biri sıfırd frklı ise () sistemii çözümü oktur.. A = Δ = Δ = Δ = ise () sistemii çözümü solu sıd değildir. ÖRNEKLER. z= + + z = z = sistemii Crmer ötemile çözelim. A = = (9 + 8) = 7 Δ = = 6 ( 6 + 8) = 4 Δ = = + ( ) = Δ = = (8 + ) = 5 Δ = 4 = A 7 =,= Δ A = 7 =,z= Δ A = 5 7 = 5 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 47

258 . + 5z = z = 5 z = 7 sistemii Crmer ötemile çözelim. A 5 = 4 = ( 4 + ) = 5 Δ Δ = = = ( 4 8) = = ( ) = Δ = = (8 7 4)= A = Δ = Δ = Δ = olduğu içi verile sistemi çözümü tek değildir. İlk iki deklemde ile i z türüde bullım. + = 4 + 5z 9 = 6 + z 9 = 5 z z z + 4 = z = + = z = t (t R) ise sistemi çözüm kümesi, 5 Ç = + 7t, + t, t t R olur z = 5 + z = + 5z = homoje deklem sistemii bir tek çözümü olmsı içi ı hgi sılr olbileceğii zlım ve sistemi çözümüü bullım. Verile sistemde sbit terimler sıfır olduğu içi Δ = Δ = Δ = dır. Sistemi tek çözümü olmsı içi A olmlıdır. A= 5 5 = 5 + ( ) = 4, ile de frklı bir gerçek sı olduğud A olcğıd Δ = = A A =, = Δ A = A =, z= Δ A = A = =( )( +) ve çıkr. Verile sistemi çözüm kümesi Ç = {(,, )} dir. 48 Ortöğretim Mtemtik

259 + z = 4. +z= sistemii çözümüü olmmsı içi ı lbileceği değerleri bullım. 4 + z = Bu sistemi çözümüü olmmsı içi kt sılr determitı sıfır ve Δ, Δ, Δ te e z biri sıfırd frklı olmlıdır. A= 4 = (9+6 8)= += = Δ = = =+4+4 (++6)= 4 4 = içi; Δ ve Δ = olduğud verile sistemi çözümü oktur. 5. Ülkemizde ilk ve ortöğretimde toplm kız, erkek öğreci eğitim görmektedir. İlköğretimde öğrecileri % 49 u, ort öğretimde %5 si kız öğrecidir. İlköğretimdeki ve ortöğretimdeki öğreci sılrıı bullım. İlköğretimdeki öğreci sısı, ortöğretimdeki olsu. Bu göre şğıdki doğrusl deklem sistemii zbiliriz.,49 +,5 = Bu sistemi Crmer kurlıl çözelim. + = 9 8 = 9 846,5 9 8,49,5 = , = 45, K E % 49 % 5 İlköğretim = 5 K E % 5 % 48 Ortöğretim, = 9 8,49,5 = , = 44, = ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki deklem sistemlerii Krmer ötemile çözüüz.. =4 b. += c. +5 = ç = 5 += += 4 = + 4 = d. = e. + z = f. + z= g. + 5z= z = +z = z= ++z= z = 5 6z = z = 4 + z =. +z= ++z= b + z = sistemii çözüm kümesii boş küme olmsı içi ile b hgi değerleri lmlıdır? 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 49

260 BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI. Aşğıdki öermelerde boş bırkıl erleri bu öermeler doğru olck şekilde dolduruuz.. Bir köşege mtriste köşege üzeride olm elemlr dır. b. [ ij ] birim mtris ise i = j içi ij = ve i j içi ij = dır. c. Mtrislerde işlemii değişme özelliği vr, işlemii değişme özelliği oktur. ç. A ve B ı türde mtrisler ise her m gerçek sısı içi A + m(a B) = ( ) A mb dır. d. A mtrisii bir stırı ise, A. B mtrisii bir sıfır olur. e. B mtrisii bir sütuu ise, A. B mtrisii bir sıfır olur.. Aşğıdki öermelerde doğru ollrı bşıdki kutucuğu içie D, lış ollrıkie Y zıız. (m + ). (A + B) = m. A + m. B +. A +. B dir. Bir kre mtrisi ile çrpımıı determitı bu mtrisi determitıı ile çrpımıdır. (A + B) = A + A. B + B dir. A mtrisi tersi ol bir mtris olsu. A. B mtrisi ile A mtrisi verildiğide B mtrisii bulbiliriz. A = l ise A = A dır. Her kre mtrisi tersi vrdır.. A =, B = ve C = dir. 4 A + B C mtrisideki, ve terimlerii toplmı kçtır? A) 8 B) 5 C) 9 D) E) 4 4. cos θ siθ cos θ. işlemii soucu şğıdkilerde hgisidir? siθ cos θ siθ A) B) [ ] C) D) [ cos θ si θ ] E) cos θ si θ 5. A = ise A ( N + ) mtrisi şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. Asl köşegee göre simetrik elemlrı eşit ol mtrise, simetrik mtris deir. 6 + simetrik mtris ise t kçtır? z t 5 A) 5 B) 4 C) D) 5 E) 6 5 Ortöğretim Mtemtik

261 7. = ise kçtır? 5 A) 7 B) 5 C) D) E) 8. İki mtrisi çrpımı sıfır mtrisi ise bu mtrislerde ikisi de sıfır mtrisi olmbilir. Bu öermei çıkl örek şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) [ ].. 5 D) E) Aşğıdki öermelerde hgisi lıştır? A) A ve B mtrisleri içi A.B tımlı ve B mtrisii bir sütuu sıfır ise A.B mtrisii e z bir stırı sıfırdır. B) A sıfır mtrisi ve A.B tımlı ise A.B mtrisi de sıfır mtrisidir. C) A ile B mtrisleri içi A.B = B.A = I ise A = B ve B = A dır. D) I birim mtris ise I = I dır. E) A köşege mtris ise A T = A dır. 4. mtrisii tersi şğıdkilerde hgisidir? 4 A) B) C) D) E). = ise kçtır? A) 5 B) C) D) E). = ise kçtır? A) 4 B) 8 C) D) E). = ise ı pozitif değeri kçtır? A) B) C) D) E) 4. Üite: Mtris, Determit ve Doğrusl Deklem Sistemleri 5

262 4. Aşğıdki determitlrd hgisi sıfırd frklıdır? A) 4 B) C) D) 4 E) = 4 ise şğıdkilerde hgisi 4 te frklıdır? b b b / A) B) C) D) E) b b / + b + b 6. = 6 ise determitı kçtır? b b A) 8 B) 5 C) D) 9 E) 6 7. Dik ker uzuluklrı b ile c, hipoteüs uzuluğu ol bir dik üçgede ükseklik h dir. b determitı şğıdkilerde hgisie eşittir? c h A) B) b C) c D) h E) b c 6 b c 8. b c = 6 ise b c determitı şğıdkilerde hgisie eşittir? b c b c A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 4 DOĞRU YANITLAR.. b. ; c. toplm ; çrpm ç. + m d. stırı e. sütuu. D, Y, Y, D, D, Y. C 4. E 5. A 6. D 7. C 8. E 9. A. D. C. D. B 4. B 5. C 6. A 7. E 8. D 5 Ortöğretim Mtemtik

263 SÖZLÜK A B C Ç D tilogritm rgümet ritmetik dizi : Logritmsı bilie pozitif sı. : Bir krmşık sıı çısı, çısl bileşe. : Ardışık iki terimi rsıdki frkı sbit ol dizi. E F eşleik sılr : ile b gerçek sılr ise + bi ile bi krmşık sılrı. G Ğ H geometrik dizi geel terim : Ardışık iki terimii orı sbit ol dizi. : Bir dizide. terim, dizii tım kurlı. I İ J imjier : Sl birim, i sısı. imjier kısım : Sl kısım. idis : Sır d er belirteci, i ifdesideki i, ij ifdeside i ve j. K-L miör : Bir determitt bir stır ile bir sütuu silimesile elde edile ei determit. M N modül : Bir krmşık sıı slt (mutlk) değeri. Neper logritmsı : Tbı ol logritm foksiou. O Ö özdeşlik : Tımldığı her elem içi doğru ol eşitlik. P R reel kısım : Gerçek kısım. S Ş sl kısım : ile b gerçek sılr ise + bi krmşık sısıd b sısı. stır idisi : ij terimide i. sklr : Gerçek sı. sütu idisi : ij terimide j. T U Ü tümevrım : N içi doğru ol bir öermei N ( ) içi doğru vrsıc + içi de doğru olduğuu gösterme tekiği. V Y Z rıçp bileşei : Bir krmşık sıı kutupsl koorditlrıdki birici bileşei. 5

264 SİMGELER VE ANLAMLARI P() değişkei ol çık öerme Σ toplm simgesi, sigm Π çrpım simgesi, pi ( ) dizisi () sıfır dizisi e sısı!!! i sl birim Re(z) z krmşık sısıı gerçek kısmı İm(z) z krmşık sısıı sl kısmı z z krmşık sısıı eşleiği z z krmşık sısıı mutlk değeri d modülü rg z z krmşık sısıı rgümeti (çısı d çısl bileşimi) A D A mtrisii devriği A T A mtrisii devriği (trspozu) A A mtrisii determitı A A mtrisii çrpm göre tersi A A mtrisii ek mtrisi I. sırd birim mtris O 5S + S S sıfır mtrisi. stırı 5 ktı ile. stır toplmış ve. stır zılmıştır. 4K. sütuu (kolou) 4 ile çrpımıı. sütul toplmı,. sütu + K K zılmıştır. KAYNAKÇA Adms, Robert A.; Clculus, Addiso Wesle Publishers Limited, New York, 995. Ebos, Frk; Nrriso, Brbr; Mthemtics, Nelso Cd, Otrio, 99. Dolcii, Mr P.; Brow, Richrd G.; Algebr, Houghto Miffli Comp, Bosto, 99. Silverm, Richrd A.; Clculus With Altic Geometr, Pretice Hll Ic., New Jerse, 995. Sorgefre, Rober H.; Hechebcsh, Edwi F.; Alsis of Elemetr Fuctios, Houghto Miffli Comp, Bosto, 94. TDK Yzım Kılvuzu, Türk Dil Kurumu Yılrı, Akr, 5. TDK Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yılrı, Akr, Ortöğretim Mtemtik