YAPI SĠSTEMLERĠNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ

Transkript

1 YAPI SĠSTEMLERĠNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ Prof.Dr. Metin AYDOĞAN Ġ.T.Ü.ĠnĢaat Fakültesi, ĠnĢaat Müh. Bölümü Betonarme Yapılar Bilim Dalı Tel-Faks: E-posta:

2 GĠRĠġ Sonlu elemanlar yöntemi çok güçlü ve çağdaş bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 40 yılda bilgisayarların hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Bu sayısal yaklaşım yöntemi her ne kadar orijinal olarak yapı sistemleri için geliştirilmiş ise de dayandığı esasların genelliği dolayısıyla yöntem, akışkanlar mekaniği, zemin mekaniği, uçak mühendisliği, nükleer mühendislik, kaya mekaniği, elektromanyetik alanlar, termal analiz ve daha sayabileceğimiz pek çok mühendislik ve fizik problemlerinin çözümünde araç olarak kullanılmaktadır. Karşılaştığımız mühendislik problemlerin küçük bir kısmının analitik çözümü mevcuttur. Bu, çözüm aranan bölgede çözüme ait matematiksel ifadelerin bulunabilmesi, yani sonsuz noktada çözümün bilinmesi anlamına gelmektedir. Analitik çözümler yalnızca fizik problemin bazı basitleştirilmiş ve sadeleştirilmiş matematik modelleri için elde edilebilir. Uygulamada karşılaşılan pek çok mühendislik problemi için kapalı çözüm bulmak mümkün değildir. Ekseriya deneyimli mühendisler veya araştırmacılar problemin tabiatına çok uzak olmayan basitleştirmeler ve varsayımlar altında yaklaşık çözümlere ulaşmaktadırlar. Ancak, örneğin düzgün olmayan geometri, karışık sınır koşulları, üniform olmayan yüklemeler, lineer olmayan malzeme davranışı gibi nedenlerle bu gibi kapalı çözümlerin elde edilmesi çok güçleşmekte veya olanaksız hale gelmektedir. Sonlu elemanlar yönteminin kullanılması halinde bu gibi durumlara ait yaklaşık çözümler kolaylıkla elde edilebilmektedir. 2/83

3 Sayısal yöntemlerin pek çoğunda çözüm, bilinmeyen büyüklüklerin bölge içinde belirli bazı ayrık noktalardaki yaklaşık değerlerinin bulunmasına yöneliktir (Örneğin bir kirişin belirli noktalarında çökme değerlerinin bulunması gibi). Yani çözüm, bölgedeki bu seçilmiş noktalardaki değerlerin bulunması işlemine indirgenmektedir. Bölgede belirli bir sayıda noktayı seçme işlemine ayrıklaştırma denir. Bir bölgeyi ayrıklaştırmanın yolu onu küçük parçalara, ünitelere, bölmektir. Bu küçük parçalar bir araya gelerek orijinal yapıyı temsil ederler. Böylece tüm yapıyı bir seferde çözmek yerine, bu küçük üniteler için çözüm yapılıp bir araya getirilerek orijinal bölgeye ait çözüm elde edilebilmektedir. Bu suretle küçük parçalar için yapılan basit yaklaşımlar ile bölgenin tümü için kabul edilebilir sonuçlar elde etmek mümkün olabilmektedir. Ancak daha iyi sonuç elde etmek için orijinal yapıyı daha küçük ünitelere bölmek, yani daha çok sayısal veri işlemek gerekir ki, bu da mutlaka kapasiteli bilgisayarlar ve bilgisayar programları kullanımı gerektirir. 3/83

4 SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ NEDĠR? Sonlu elemanlar yönteminin esası çözüm aranan yapıyı, bölgeyi veya cismi çok sayıda küçük sonlu elemanlara, kısaca elemanlara, bölmektir. Bir, iki veya üç boyutlu olabilen bu elemanlar düğüm ya da düğüm noktası adı verilen noktalarda birbirlerine bağlanmaktadırlar. Örnek olmak üzere (Şekil.1) de bir, iki ve üç boyutlu elemanlardan örnekler gösterilmiştir. (Şekil.2) de ise düzensiz bir geometriyi haiz bir levhanın üçgen sonlu elemanlarla ayrıklaştırılması, veya idealleştirilmesi, görülmektedir. Bu problemin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümü sonucunda aranan büyüklüklerin, örneğin x ve y doğrultusundaki yer değiştirmelerin, dolu yuvarlaklar ile gösterilen düğüm notalarındaki sayısal değerleri elde edilecektir. Eleman düğüm noktalarındaki aranan büyüklüklerin sayısal değerleri düğüm nokta serbestlikleri olarak adlandırılmaktadır. 4/83

5 Aranan büyüklüğün eleman içindeki değişimi için seçimi kolay, matematik işlemlerin yapılması basit ve problemin fiziği ile uyumlu, yani davranışı yansıtan, sürekli fonksiyonlar, örneğin polinomlar, seçilmektedir. Bu fonksiyonlara elemanın yer değiştirme şeklini tanımladığı için genel olarak şekil fonksiyonları adı verilir. Seçilen fonksiyonların eleman içindeki davranışa katkıları, örneğin polinom seçilmesi halinde polinomun katsayıları, düğüm noktalarındaki aranan büyüklükler cinsinden tayin edilebilmektedir. Yani çözüm yapılıp düğüm noktalarındaki bilinmeyenler elde edildikten sonra eleman içindeki değişim belirlenmiş demektir. Sonlu eleman içinde davranışı iyi bir şekilde temsil eden fonksiyonlar yardımıyla oluşturulan elemana ait özellikler orijinal yapı için bir araya getirildiğinde tüm yapıyı iyi bir yaklaşımla temsil edebilmektedir. 5/83

6 Sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla çoğu mühendislik problemlerinin çözümünde karşılaşılan; Çözüm bölgesinin düzensiz geometriye haiz olması, Karışık ve süreksiz sınır koşullarının varlığı, Yüklemenin üniform olmaması, süreksiz ve tekil yüklerin varlığı, Malzemenin heterojen (beton gibi) olması, anizotrop(ahşap gibi) olması gibi problemler kolaylıkla çözülebilir. Sonlu elemanlar yöntemi lineer ve lineer olmayan sistemlere, keza statik olduğu gibi dinamik problemlere de uygulanabilir. Yukarıda sayılan önemli üstünlükler yanında yöntemin genellikle kapasiteli bilgisayarlara ve özellikle amaca yönelik ya da genel bilgisayar programlarına (software) gereksinimi olduğu unutulmamalıdır. Bu seminerin kapsamı içinde anlatılanlar yapı sistemleri ve özel olarak sonlu elemanlar deplasman yöntemi sınırları içinde kalacak ise de ifadeler ve kavramların genel olduğu ve tüm mühendislik problemleri için kullanılabileceği unutulmamalıdır. 6/83

7 HESAPTA ĠZLENEN YOLUN BASĠT YAY PROBLEMĠ ĠLE ÖZETLENMESĠ Sonlu elemanlar yönteminde izlenen yol basit yay örneği ile açıklanmaya çalışılacaktır. (Şekil.3a) da yay katsayısı s [kn/m] olan lineer bir yay görülmektedir. Yay eksenel P [kn] kuvveti altında u [m] kadar çökmektedir. Fizikten, potansiyel enerji kavramını kullanarak, yük yer değiştirme bağıntısı P = s. u (1) olarak elde edilir. Burada s yayın rijitliği olup çökme değerini birim yapan kuvvete eşittir. Eksenel yüklü kolon lineer yaya benzetilebilir (Şekil.3b). Bu durumda gerilme şekil değiştirme bağıntısı ve kolon rijitliği u=1 için (2) olur. 1 noktasında kolona aşağıya yönlü birim yer değiştirme uygular ve 2 noktasından tutarsak 1 noktasında AE / l, 2 noktasında ise -AE / l kuvvetini elde ederiz. Benzer olarak 1 noktasında kolonu tutar 2 noktasında birim yer değiştirme uygularsak 2 noktasında AE/l, 1 noktasında AE/l kuvvetlerini buluruz. Bu, 1 noktası u 1 kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla u 1. A E / l ve -u 1. AE/ l değerlerini alır sonucunu verir. 7/83

8 Benzer olarak 2 noktası u 2 kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla -u 2.AE/ l ve u 2.AE/ l değerlerini alır. Bu sonuçları süperpozisyon kuralını uygulayarak matris formunda özetlersek uçlarından Q 1 ve Q 2 eksenel yüklü kolona ait yük yer değiştirme bağıntısı, denge denklemleri, aşağıdaki gibi olur: (3) Burada eksenel yüklü kolona ait en basit sonlu eleman rijitlik matrisi [k] (4) ifadesi ile verilmiş olup (3) denge denklemlerinin katsayıları matrisinden ibarettir. (4) 8/83

9 Rijitlik matrisinin elemanları tesir katsayıları olup matrisin herhangi bir k ij terimi j düğüm noktasında birim yer değiştirmeden i düğüm noktasında oluşan kuvveti göstermektedir. Herhangi bir sonlu elemanın rijitlik matrisi (1) yer değiştirme modeline, yani seçilen şekil fonksiyonuna, (2) elemanın geometrisine ve (3) malzeme özellikleri veya bünye denklemlerine (gerilme-yer değiştirme bağıntılarına) bağlıdır. Bu en basit örnekte element rijitlik matrisi doğrudan yazılmıştır ve kesindir. Ancak genel halde incelenen sonlu eleman ortamında problemin fiziği ve geometrisine uygun yaklaşım fonksiyonları (şekil fonksiyonları) yazlarak eleman rijitlik matrisi çıkarılır ve bu sabit kesitli çubuk sistemler dışında yaklaşıktır. Yaklaşımın sıhhati seçilen fonksiyon ile çok yakından ilgilidir. Ancak hemen çoğu kez polinomlarla çok iyi yaklaşımlar elde edilebildiğini söylemek mümkündür. Eleman rijitlik matrislerinin bulunmasına ilişkin ayrıntılar ileride verilecektir. A 1 ve A 2 en kesit alanlarını haiz eksenel yüklü bir kolon alalım (Şekil.4a). Bu kolon sistemine ait yer, şekil değiştirme ve gerilme değerlerini bulmak istiyoruz. Kolon iki adet bir boyutlu sonlu elemana bölünmüştür. Bu sistemde toplam 3 adet düğüm noktası bulunmaktadır. Aynı sistem keza yay katsayıları,rijitlikleri, s 1 ve s 2 olan iki adet yay ile de temsil edilebilir (Şekil.4b). Her bir sonlu elemanın rijitlik bağıntıları (4) ifadesi yardımıyla aşağıdaki gibi hesaplanır. 9/83

10 Şimdiki adımda tüm sistem için denge denklemlerini bulmak üzere eleman rijitliklerini bir araya getirmek istiyoruz. Yani her bir elemana ait rijitlik ve yükleme matrislerinden sisteme ait (global) rijitlik ve yükleme matrisleri elde edilecektir. Bu amaçla en çok kullanılan yöntem biriktirme yöntemidir. Yöntem, aynı bir düğüm noktasında birleşen, dolayısıyla aynı yer değiştirmeyi yapan elemanlara sadece o noktaya komşu noktalardan katkı yapılması esasına dayanmaktadır. Örnek olarak seçtiğimiz basit sistemde 1 noktasına ait rijitlik teriminin 3 noktasına katkısı bulunmamaktadır. Sisteme ait denge denklemleri (5) ifadesi ile verilmiş olup burada [K] sistem rijitlik matrisi (veya daha genel olarak sistem davranış matrisi), {R}sistem toplam yük vektörü, {U} sistem yer değiştirme vektörüdür. [K]. {U} = {R} (5) 10/83

11 Örneğimize dönelim. Eleman denklemlerini bir araya getirerek (5) ifadesi örnek sistem için aşağıda yazılmıştır: Burada R 3, 3 noktasındaki reaksiyonu göstermektedir. Sisteme ait denklem sistemi geometrik sınır koşulları uygulanmaksızın çözülemez. Geometrik sınır koşulu yapının sınırlarında veya kenarlarındaki yer değiştirme değerlerinin yerine koyulması ile uygulanır. Örneğimizde kolon tabanı tutulmuş olduğundan geometrik sınır koşulu tabandaki yer değiştirmenin, burada u 3 değerinin, sıfıra eşit olduğudur. Bu koşulu yukarıdaki denklemde son satır ve sütunu kaldırmak suretiyle uygulayabiliriz. Dolayısıyla sınır koşulları uygulanmış sistem denklemleri aşağıdaki hale dönüşür: Bir araya getirilmiş ve sınır koşulları uygulanmış denklem sistemi çözülerek problemin bilinmeyenleri,burada boy kısalmaları, elde edilir. Lineer denklem sistemlerinde bu işlem matris teknikleri ile kolayca halledilebilir. Lineer olmayan problemler ile özdeğer problemlerinde başka teknikler uygulanır. Örnek problemin bilinmeyenleri u 1 = / = *10-3 m, u 2 = / = *10-3 m olarak elde edilir. 11/83

12 Eleman şekil değiştirmeleri ve gerilmeler tasarımda kullanmak amacıyla hesaplanmalıdır. Her iki eleman için hesaplanan şekil değiştirme ve gerilmelerin sayısal değerleri aşağıda verilmiştir: Burada (-) işareti basıncı göstermektedir. Bu basit örnek yardımıyla gösterildiği gibi sonlu eleman özetlenebilir: analizinde izlenen yol aşağıdaki altı adımda 1. Çözüm aranan bölgenin ayrıklaştırılması (bölgenin sonlu elemanlara bölünmesi, eleman ağı teşkili, idealleştirme), 2. Şekil fonksiyonlarının seçimi (yapı problemlerinde yer değiştirme modeli), 3. Eleman davranış (rijitlik) matrisinin varyasyon ilkesi veya ağırlıklı artıklar yöntemlerinden biri ile çıkarılması, 4. Eleman denklemlerinin bir araya getirilmesi ve sınır koşullarının uygulanması 5. Tüm sistemin çözülerek bilinmeyenlerin (yapı problemlerinde genellikle yer değiştirmelerin) elde edilmesi, 6. Tasarım veya kontrol amacına yönelik olarak diğer büyüklüklerin düğüm nokta bilinmeyenlerinden hareketle hesabı (yapı mekaniğinde eleman şekil değiştirme ve gerilmelerinin hesabı). 12/83

13 GENEL SONLU ELEMAN DENKLEMLERĠ Sonlu eleman denklemleri için genel olarak kullanılabilen bir ifade yapı sistemlerinde çok kullanılan potansiyel enerjinin minimumu ilkesinden hareket edilerek elde edilebilir. Bu amaçla önce bazı tanımlar yapmaya gereksinim vardır. Bu tanımların çoğu matris formunda yapılacaktır. u : yer değiştirme fonksiyonu veya yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör a e : düğüm noktası serbestliklerinden (bilinmeyenlerinden) oluşan vektör N : şekil fonksiyonları matrisi (u=n a e ) ε : şekil değiştirme vektörü L : yer değiştirmeleri şekil değiştirmelere bağlayan lineer operatör (ε =Lu=LN a e ) B : düğüm noktası serbestliklerini şekil değiştirmelere bağlayan matris (B =LN ) σ: gerilme vektörü D : elastisite matrisi D( ) 0 0 ε0: ilkel şekil değiştirme vektörü (örneğin sıcaklık değişimi) σ0: ilkel gerilme vektörü (örneğin öngerilme) b : hacım kuvvetlerinden oluşan vektör (birim hacme gelen kuvvetler) s : yüzey kuvvetlerinden oluşan vektör(birim alana gelen kuvvetler) f p : düğüm noktası yüklerinden oluşan vektör 13/83

14 Minimum potansiyel enerji ilkesi bir yapıda geometrik sınır koşullarını sağlayan çözümler içinde denge denklemlerini sağlayan çözüme ait toplam potansiyel enerji minimumdur şeklinde tanımlanabilir. Burada toplam potansiyel enerji iki ayrı enerjinin toplamı olarak ifade edilebilir: İç potansiyel enerji(şekil değiştirme enerjisi), U i ve sisteme etkiyen dış yüklerden oluşan dış potansiyel enerji, U e. Yani = U i + U e olup dış potansiyel enerji ters işaretle dış kuvvetlerin yaptığı işe eşit alınarak (zira yer değiştirme esnasında potansiyel enerjide bir azalma söz konusudur) -U e =+W e ile = U i - W e yazılabilir. Toplamın minimumu varyasyon hesabından olarak elde edilir. Matris bağıntılar yardımıyla iş ifadeleri (6) (7a) (7b) şeklinde yazılabilir. (6) eşitliğinden (8) 14/83

15 Lineer elastik malzeme halinde σ=d(ε-ε0)+σ0 (Genel Hooke kanunu-eksenel yüklü kolon halinde D=E) yazılarak (9) (10) elde edilir. Bu sonuç bütün statik ve lineer elastik problemlere ait sonlu eleman karakteristiklerini bulmak için kullanılabilir. D matrisi homogen, izotrop sistemlerde elastisite modülü ve Poisson oranı ile belirlenir. Şekil değiştirmeleri düğüm nokta yer değiştirmelerine bağlayan matris (11) olup ilgili büyüklükler yerine koyulup varyasyon işlemi yapıldığında sonuç olarak lineer elastik sistemlerde (12) bağıntısı elde edilir. (12) 15/83

16 Burada a e vektörü bilinmeyenlerden oluşur ve koordinatların fonksiyonu olmadığından integral dışına alınabilir. Sonuçta (13) bağıntısı elde edilir. burada (13) (14) olup eleman rijitlik matrisi K e aşağıda verilmiştir. (15) Buradaki eleman eşdeğer tekil düğüm nokta kuvvetleri aşağıda gösterilmiştir: (16) (17) (18) (19) (20) 16/83

17 BĠR BOYUTLU HAL (EKSENEL ġekġl DEĞĠġTĠRME) Örneğin (Şekil.5) de görülen tek boyutlu eksenel yüklü çubuk probleminde yer değiştirme (parametre) fonksiyonu Şekil.5- Tek boyutlu (eksenel şekil değiştirme) sonlu eleman u = c 1 + c 2.x (21) şeklinde 1.derece polinom olarak ifade edilebilir. Burada her bir düğüm noktasındaki boyuna yer değiştirme düğüm nokta serbestliği olarak alınmıştır. İki noktadan bir doğru geçeceğinden yer değiştirme fonksiyonu lineer (21) bağıntısı ile verilebilir ve bu durum problemin fiziği ile de uyumludur. i düğüm noktasında u(x i ) = u i ve j düğüm noktasında, u(x j ) = u j uç koşulları yardımıyla c 1 ve c 2 katsayıları aşağıda izlenen yol ile kolayca bulunur: (22) 17/83

18 veya matris formunda (23) olur. Sabitler vektörü hesaplanıp yerine konulursa (24) bulunur. Matris tersi alınıp yerine konulur ve çarpım yapılırsa (25) (26) olur. Burada N i ve N j i ve j düğüm noktalarındaki serbestliklere ait şekil fonksiyonlarıdır. (27) 18/83

19 Şekil fonksiyonlarının özelliklerini burada kolayca görmek mümkündür. Herhangi bir düğüm nokta serbestliğine ait şekil fonksiyonu o noktada o serbestlik için 1 değerini, diğer noktalarda ve diğer tüm serbestlikler için 0 değerini alır (Şekil.6). Eleman içinde herhangi bir noktadaki yer değiştirme değeri süperpozisyon kuralı ile elde edilir. Şekil.6- İki noktalı lineer eleman şekil fonksiyonlarının değişimi Yer değiştirme fonksiyonu u, matris formunda u = N a e (28) olup bu sonlu eleman için şekil fonksiyonları matrisi N ve düğüm noktası bilinmeyenlerine ait vektör a e aşağıdaki gibi tanımlanır: N = [ N i (x) N j (x) ) ], a e = [ u i u j ] T (29a,b) 19/83

20 Tek boyutlu eksenel şekil değiştirme elemanı için paragraf başında tanımlanan büyüklükler (30a,b,c) (31) (32a,b) olarak elde edilir. Burada L ve D(1x1), N ve B (1x2) boyutlu matrislerdir. Bu büyüklüklerle (2x2) boyutlu eleman rijitlik matrisi l uzunluklu ve sabit A en kesit alanlı çubuk için (33) olarak elde edilir. K e matrisinin (2x2) boyutunda olması rastlantı değildir. Zira eleman üzerinde 2 düğüm noktası ve her bir noktada 1 adet olmak üzere toplam 2 serbestlik bulunmaktadır. Dolayısıyla kare rijitlik matrisinin boyutu toplam serbestlik sayısı olan 2 dir. 20/83

21 DÜZLEM ÇERÇEVE ELEMANI Bu halde her bir düğüm noktasında 3 serbestlik bulunmaktadır (Şekil.7). Bunlar x ekseni doğrultusunda yer değiştirme, y ekseni doğrultusunda yer değiştirme ve z ekseni etrafında dönmedir. Şekil.7- Çerçeve eleman,düğüm noktası serbestlikleri ve pozitif yönler 21/83

22 Düğüm noktası serbestliklerinden oluşan vektör a e (34) olup eleman rijitlik matrisi K e (35) olarak elde edilmiştir. Üniform yayılı yük için ankastrelik uç tesirleri: (36) 22/83

23 ĠKĠ BOYUTLU GERĠLME ANALĠZĠ LEVHA SONLU ELEMANLAR: DÜZLEM GERĠLME, DÜZLEM ġekġl DEĞĠġTĠRME Bu bölümde çok kullanılan iki boyutlu üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlardan bahsedilecektir. Ancak daha önce düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme kavramları kısaca açıklanacaktır. Düzlem Gerilme Düzlem gerilme halinde ince bir levha ortalama düzlemine paralel olarak yüklenmektedir. Bu halin tanımı (37) olarak verilmektedir (Şekil.8). Burada z indisli gerilme bileşenleri düzlem dışı değerleri göstermekte olup hepsi sıfırdır. Elemanda x ve y doğrultularında hacım kuvvetleri olabilir. Bu hale pek çok durumda rastlanabilir. Örneğin yatay yük taşıyan perde duvarlar, yüksek kirişler gibi. 23/83

24 Şekil.8- Düzlem gerilme hali (tüm yükler x-y düzlemindedir). Elastik halde yazılan gerilme şekil değiştirme bağıntısında D elastisite matrisi malzemenin izotrop veya anizotrop olması hallerine bağlıdır. Burada sadece izotropik hal konu edilmiştir. σ=d(ε-ε0)+σ0 D matrisi ve vektörü düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme halleri için farklıdır. Homojen izotrop malzeme için genelleştirilmiş Hooke kanunu (38a) (38b) (38c) 24/83

25 olup burada Poisson oranı, E elastisite modülü, G ise kayma modülüdür.g ile E arasındaki ilişki (39) bağıntısı ile verilmiştir. (39) (38) bağıntıları ve bu arada ilkel gerilme ve şekil değiştirmeleri de göz önüne alırsak (40a) (40b) (40c) 25/83

26 eşitlikleri bulunur. Sonlu eleman formülasyonuna giren tanımlar düzlem gerilme elemanlar için aşağıdaki gibi yapılabilir: (41) (42) (43) (44) (45) (46) ifadesinde sıcaklık genleşme katsayısını, sıcaklık farkını göstermektedir. İzotrop malzeme halinde sıcaklık değişimi halinde kayma şekil değiştirmesi olmadığına dikkat ediniz. Düzlem dışı şekil değiştirme sıfırdan farklı ve aşağıdaki değeri haizdir: Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde t T olarak alınacaktır. (46) (47) 26/83

27 Düzlem ġekil DeğiĢtirme Düzlem şekil değiştirme halinde düzlem dışı gerilmeler sıfır olur. Örnek olmak üzere boylu boyunca giden bir istinat duvarı, bir baraj gövdesi düzlem şekil değiştirme şeklinde idealleştirilebilir. Burada da yükler yalnızca x-y düzlemindedir. Bu halde elastisite matrisi düzlem gerilme halinden farklıdır. Lineer, elastik ve izotropik malzeme için düzlem şekil değiştirme haline ait gerilme-şekil değiştirme bağıntıları Hooke kanunu yardımıyla aşağıdaki gibi yazılabilir: Burada Lame sabiti (50) ifadesiyle verilmiştir. (48) (49a) (49b) (49c) (50) 27/83

28 ,, 0 ve 0 ın yukarıdaki tanımları kullanılarak elastisite matrisi aşağıdaki gibi elde edilir: (51) Sıcaklık değişimi hali için ilkel şekil değiştirme vektörü (52) Düzlem dışı σ zz gerilmesi sıfırdan farklı olup düzlem şekil değiştirme hali için (53) bağıntısı ile verilir. Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde t T olarak alınacaktır. 28/83

29 Levha Sonlu Elemanlar Düzlem gerilme analizi yapmak amacıyla genellikle üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlar kullanılır (Şekil.9). Şekil.9- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar Eleman uç serbestlikleri (Şekil.10) da gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği üzere uç serbestlikleri her bir düğüm noktasında x ve y doğrultularındaki yer değiştirmelerden ibarettir. Şekil.10- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar uç serbestlikleri 29/83

30 Bu durumda üçgen levha elemanda toplam 6, dikdörtgen levha elemanda ise toplam 8 serbestlik bulunmaktadır. Üçgen elemanda yer değiştirme fonksiyonları (54a,b) olup örneğin u yer değiştirme fonksiyonu için matris formunda (55) yazılabilir. Buradaki c i katsayıları tek boyutlu örnektekine benzer olarak hesaplanıp aynı şekilde N i şekil fonksiyonları (x,y) koordinatlarının fonksiyonu olarak bulunur. x ve y doğrultusundaki yer değiştirme fonksiyonları katsayılar dışında aynı olup i,j ve k noktalarına ait şekil fonksiyonları u ve v yer değiştirmeleri için aynı bulunur.bir boyutlu haldekine benzer olarak (56a,b) 30/83

31 yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden ifade edilir. Üçgen eleman için yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör olup şekil fonksiyonları matrisi (57) dir. Şekil değiştirme düğüm noktaları yer değiştirme matrisi B= LN ile verilmekte olup düzlem gerilme haline ait (58) bağıntıları yardımıyla L ve B matrisleri kolayca elde edilir. (59a,b) 31/83

32 Burada düğüm noktası yer değiştirmelerinden oluşan vektör a e (60) olur. Bu hale ait K e rijitlik matrisi (6x6) boyutunda olacaktır. Dikdörtgen levha sonlu eleman halinde yer değiştirme fonksiyonları (61a,b) olup c i katsayıları önceki örneklerdeki gibi tayin edilerek (62a,b) şeklinde yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden hesaplanır. Bu haldeki gerilme ve şekil değiştirme vektörleri ve lineer operatör matrisi L üçgendekinin aynıdır. Bu halde N ve B matrisleri (2x8), rijitlik matrisi de (8x8) boyutlarında olacaktır. Keza a e vektörü de (63) 32/83

33 Levha problemlerinde öncelikle problemin türü, düzlem gerilme ya da düzlem şekil değiştirme, belirlenmelidir. Sonuçta düğüm notalarındaki yer değiştirmeler ve bunlardan hareketle şekil değiştirme ve gerilmeler hesaplanır. Bu değerler birim boya gelen kuvvetler (kn/m) olarak bulunur. Kalınlığa bölünerek gerilme bulunur. Bu gerilmeler x ve y yönündeki normal gerilmeler ile kayma gerilmeleri olup buradan asal gerilmelere mukavemetin bilinen bağıntıları yardımıyla geçilir. Levha elemanları kullanarak eksenel simetrik yüklü cisimlerin gerilme analizi yapılabilir. Dönel simetri dolayısıyla açıdan bağımsız olan durum 3 boyutlu yerine 2 boyutlu analize olanak sağlar. Ancak bu duruma karşı gelen lineer operatörün yukarıda (59a) bağıntısı ile verilenden farklı olduğuna dikkat edilmelidir. Ekte üçgen ve dikdörtgen levha elemanlar için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir. 33/83

34 ĠNCE PLAKLARIN EĞĠLMEYE GÖRE HESABINA AĠT SONLU ELEMANLAR Ġnce Plak Teorisine Kısa Bir BakıĢ Plaklar ortalama düzlemine dik olarak yüklenen 2 boyutlu düzlemsel taşıyıcılardır. Kalınlıkları diğer iki plan boyutu yanında küçük olan ve bu suretle iki boyutlu olarak hesap edilen plaklara ince plak denir. Kalınlığın ortasından geçen düzleme ortalama düzlem adını alır. İnce plaklarda genellikle klasik küçük yer değiştirme teorisini esas alan Kirchoff teorisi kullanılır. Bu teoride yapılan varsayımlar aşağıda sıralanmıştır: 1. Plak çökmeleri kalınlığı yanında küçüktür. 2. Şekil değiştirmeden önce ortalama düzleme dik olan düzlem, şekil değiştirmeden sonra da dik kalır (düzlem kesit düzlem kalır ve kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilmiştir). 3. Ortalama düzleme dik gerilme bileşeni sıfırdır. 4. Şekil değiştirmiş düzlemin herhangi bir kesitteki eğimi küçük olup, eğimin karesi birin yanında ihmal edilebilir. 34/83

35 (Şekil.11) de x-y düzleminde bulunan ve z düzleminde q yükü ile yüklenmiş bir plakta yer değiştirme ve iç kuvvetler pozitif yönleri ile gösterilmiştir. Şekil.11- Eğilme etkisindeki ince plakta yer değiştirmeler ve iç kuvvetler İnce plakta gerilme şekil değiştirme bağıntıları aşağıdaki gibidir: (64) (65) 35/83

36 Plak diferansiyel denklemi (66) olup burada K[kN/m 3 ] temel radye plağı halinde zemin yatak katsayısını göstermektedir. Plak Sonlu Elemanlar İnce plakların eğilmesi problemi için kullanılabilecek bir sonlu eleman modeli her bir düğüm noktasında en az 3 adet serbestlik bulundurur. Bunlar düğüm noktasının çökmesi ve iki eksen etrafında dönmesidir (Şekil.12). i düğüm noktası yer değiştirme vektörü (67a) bağıntısı ile dönmeleri çökmelere bağlayan ilişkiler (67b,c) ile verilmiştir. Plak probleminin, şekil değiştirme vektörü,(68), eğriliklerden, gerilme vektörü (69) momentlerden ibarettir. Şekil serbestlik dereceli plak sonlu eleman koordinat eksenleri ve d.n.serbestlikleri 36/83

37 (67a,b,c) (68) (69) Elastisite matrisi (70) bağıntısı ile verilmiştir. (70) Bu tanımlardan sonra sonlu elemanlar yönteminde izlenen genel yol burada da aynen izlenerek plak sonlu eleman ifadeleri bulunur. Örneğin 12 serbestlikli dikdörtgen plak sonlu elemanda şekil fonksiyonlarının tanımlanması için 12 terimli çökme fonksiyonu alınır. Bu fonksiyon 3.dereceden tam polinoma ait tüm terimleri ihtiva ettiği gibi daha yüksek mertebeden iki terim daha bulundurur: (71) 37/83

38 Şekil fonksiyonunun daha önce yapılmış tanımı hatırlanarak ve (67) bağıntılarını kullanarak 12 serbestlikli plak eleman için şekil fonksiyonları matrisi,[n], teşkil edilir. Bununla yer değiştirme fonksiyonu (72) (73) (74) 38/83

39 Yukarıdaki bağıntılar yardımıyla genel formülasyona uygun olarak eleman rijitlik matrisi kolayca elde edilir: (75) Eleman bazında (76) yazılabilir.burada (77) olup dış etkilere ait bileşenlerin integral ifadeleri aşağıda verilmiştir: (78a) (78b) (78c) (78d) 39/83

40 Eleman gerilme matrisi, [S], (79) olarak elde edilir.tüm sistem için denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır: Burada [K] sistem rijitlik matrisi, {ɑ}, tüm düğüm noktalarındaki serbestlikleri (bilinmeyenleri) içeren vektör, {f}, elemanların üzerindeki yüklerin düğüm noktalarına olan katkılarının eklenmesiyle oluşturulan vektör, {R} ise doğrudan sistem düğüm noktalarına etkitilen yüklerden oluşan vektörü göstermektedir. Ekte 12 serbestlik dereceli ince plak sonlu eleman için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir. (80) 40/83

41 UYGULAMALAR 1. örnek; X yönünde 2x5m ve Y yönünde 2x4m açıklıklı 3m yükseklikli uzay betonarme çerçeve örneğidir. Kolon kesitleri 40x40cm, kiriş enkesit boyutları içte 30x80cm, dışta 30x100cm dir. Malzemeye ait Elastisite modülü E= 3.00E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20 Yük birimi kn dur. Bu örnek iki farklı yaklaşımla ele alınmıştır. İlk durumda B aksında yer alan kiriş enkesitleri 30x100cm dir. İkinci durumda ise kısa doğrultuda ki iç kiriş enkesiti olarak daha rijit bir kesit değeri (30x200cm) girilerek sistem davranışı incelenmiştir. Kirişlerdeki yayılı yük değerleri; 1 ve 3 akslarında 22.8 kn/m, 2 aksında 39.0 kn/m, A ve C akslarında 16.9 kn/m ve B aksında 27.2 kn/m dir. 41/83

42 42/83

43 43/83

44 44/83

45 45/83

46 46/83

47 47/83

48 48/83

49 İkinci durum olan B aksı kiriş kesitlerinin 30x200cm olarak ele alınması; 49/83

50 50/83

51 51/83

52 52/83

53 53/83

54 2. örnek; yatay yüklere maruz 3m genişlikli ve 5m yükseklikli betonarme bir perde kesit tesirlerinin hesabına aittir. Burada 4x5 dikdörtgen levha (düzlem gerilme) sonlu eleman ağı kullanılmıştır (yatayda 4x0.75m, düşeyde 5x1.0m). Malzemeye ait Elastisite modülü E= 2.85E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20, levha kalınlığı h=0.25m dir. Yük birimi kn dur. 54/83

55 55/83

56 56/83

57 3. örnek; 4 kenarından ankastre dikdörtgen bir plağa aittir. Plak 5.35kN/m 2 üniform yayılı yük ve ortasından 50kNluk bir yüke maruzdur. Plak kare olup kenar uzunlukları 4.0m dir. Burada 4x4 plak sonlu eleman ağı kullanılmıştır(eleman boyutları 1.0x1.0m dir). Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.15m dir. 57/83

58 58/83

59 59/83

60 60/83

61 61/83

62 4. örnek; kirişsiz bir döşeme plağına aittir. Plak 13.5kN/m 2 üniform yayılı yüke maruzdur. Plak kare olup ölçüleri 24x24m dir. Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni kullanılmıştır. Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.25m dir. 62/83

63 63/83

64 64/83

65 65/83

66 Maksimum çökme değeri 0,0058m dir. 66/83

67 M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri: 67/83

68 M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri: 68/83

69 Kirişsiz döşeme plağının dış konturuna 25x75cm boyutunda çepeçevre bir kiriş konulmuştur. 69/83

70 70/83

71 71/83

72 Maksimum çökme değeri 0,0039m dir. 72/83

73 M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri: 73/83

74 M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri: 74/83

75 5. örnek; 8 katlı bir betonarme binanın radye temel çözümüne aittir. Şekilde gösterilen 75 cm kalınlığındaki radye temelin verilen düşey yükler altında hesabı yapılacaktır. Zemin yatak katsayısı K=3000 t/m 3, zemin emniyet gerilmesi σ zem =18 t/m 2 dir. Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni kullanılmıştır. Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.0E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20 dir. 75/83

76 76/83

77 77/83

78 78/83

79 G+Q kombinasyonu altında oluşan çökme değerleri: Maksimum çökme 0,0041m değerine karşılık gelen σ zmax =0,0041*3000=12,27t/m 2 dir. 79/83

80 G+Q kombinasyonu altında oluşan M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri: 80/83

81 G+Q kombinasyonu altında oluşan M22(Y) yönü eğilme momenti değerleri: 81/83

82 SEÇĠLMĠġ KAYNAKLAR: [1] Çakıroğlu, A.,Özden, E., Özmen, G.,(1974) Yapı Sistemlerinin Hesabı için Matris Metotları ve Elektronik Hesap Makinası Programları, C.I ve II, İ.T.Ü.Kütüphanesi, Sayı.1005, İstanbul. [2] Özden, K., (1996) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce), İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi,İstanbul. [3] Aydoğan, M., Omurtag M.H. (2010) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce), İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi,İstanbul. [4] Zienkiewicz, O.C.,(1977) The Finite Element Method in Engineering Science,3 rd edition. Mc.Graw Hill, London. [5] Stasa, Frank.L.,(1986) Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS Publ. Japan Ltd. [6] Przemieniecki, J.S.,(1968) Theory of Matrix Structural Analysis, Mc.Graw Hill Book Company,London. 82/83

83 TEŞEKKÜRLER.. 83/83