a) Newton un 2. yasasının direkt uygulanması (Hareket Denklemi) b) İş-Enerji ilkesi c) İmpuls-Momentum yöntemleri

Transkript

1

2 GİRİŞ Kinetik dengelenmemiş kuvvetler ile onlrın hrekette yrttıklrı değişiklikler rsındki bğıntıyı inceleyen dinmiğin bir koludur. Dengelenmemiş kuvvetler sistemine mruz bir cismin hreketi temelde üç genel yklşım kullnılrk incelenir: ) Newton un. yssının direkt uygulnmsı (Hreket Denklemi) b) İş-Enerji ilkesi c) İmpuls-Momentum yöntemleri Belirli bir problem için en uygun yöntemin seçimi kuvvet sisteminin doğsın (sbit vey değişken) ve bulunmsı istenen bilgiye (tepkiler, ivmeler, hızlr gibi) bğlıdır.

3 Üzerine F 1, F,, F n gibi n tne eş noktsl kuvvetin (concurrent forces) etkidiği m kütleli prçcığı göz önüne llım. n tne kuvvetin bileşkesi ΣF olsun. Newton un. yssın göre dengelenmemiş kuvvetlerin etkisindeki prçcık ivmeli hreket ypr. Kinetik, bu dengelenmemiş kuvvetle onun yol çtığı hreket ve bu hreketteki değişim rsınd bğ kurr. Temel formül Newton un. yssıdır.

4 Newton un. yssın göre: Eğer bir prçcığın üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfırdn frklı ise, prçcık bileşke kuvvetin şiddet ile orntılı ve bu kuvvetin yönünde bir ivmeye ship olur. Orntı ktsyısı prçcığın kütlesine eşittir. r r F = m (Hreket Denklemi) (1)

5 (1) bğıntısı hreket denklemi dını lır. Bğıntıyı ynı prçcık üzerine uygulnn değişik kuvvetler ve bunlrın oluşturduğu değişik ivmelerle F 1 1 F = =... = F n = n C şeklinde yzrsk bu ornlrın birbirine eşit ve sbit olduğu deneysel olrk d gösterilebilir. Uygulnn kuvvetin doğurduğu ivmeye ornı sbittir. Bu sbit (C) prçcığın değişmeyen bir özelliğini simgeler. C mddeyle ilgili tlet (eylemsizlik) özelliğidir. Eylemsizlik prçcığın ivmelenmesine gösterdiği dirençtir. m ile gösterilen kütle ise bu eylemsizlik özelliğinin nicel ölçüsüdür. F C = = km yzılbilir. SI birim sisteminde k=1 dir. F, m ve birbirinden bğımsız tnımlnmzlr. SI d [F] in birimi mutlk kütle biriminden giderek tnımlndığı için SI sistemine "mutlk sistem" dı verilir.

6 Birincil (Temel) Eylemsizlik Sistemi (Primry Inertil System) Bu sistem uzyd ötelenme ve dönme ypmdığı vrsyıln snl bir eksen tkımıdır. (1) no lu hreket denklemi böyle bir sistemde geçerli olduğu gibi bu sisteme göre sbit hızl ötelenme ypn bir sistemde de geçerlidir. Birçok mkin ve ypı elemnlrının hreketleri göz önüne lındığınd yeryüzüne iliştirilmiş bir eksen tkımı Birincil Eylemsizlik Sistemi yerine geçer. Düny üzerindeki küçük boyutlu hreketlerde formülün verdiği sonuç mühendislik hesplrındki kbul edilen ht sınırlrı içinde ve çok küçük klır.

7 Öte yndn roket ve uzy rcı dizynı gibi giderek syılrı rtn birçok problemde hrekete, dünynın hreketinden kynklnn ivme bileşenlerinin de doğru ve nlşılır biçimde ktılmsı gerekir. Zmn, Newton mekniğinde mekndn (uzydn) bğımsız mutlk bir kvrmdır. Einstein ise klsik mekniğin yslrını yeniden formüle eden bir yklşım orty koymuştur (Theory of Reltivity). Bu teoriye göre Einstein mutlk zmn diye bir kvrm yoktur, biri diğerine göre bğıl hız ship iki koordint sisteminde ypıln zmn ölçümleri frklı sonuçlr verir demiştir. Bununl berber incelenen cismin hızı ışık hızı mertebesine yklşmdığı sürece iki mekniğin sonuçlrı birbirine prtik olrk eşittir.

8 Dinmikte Krşılşıln Problem Tipleri 1) İvme y verilir vey verilerden kinemtik bğıntılr yrdımıyl bulunur. Arnn ise kuvvet vey r kuvvetlerdir. Böyle bir durumd, F r = m hreket denklemi skler formd yzıldıktn sonr sğ trfı oluşturn veriler yerine konrk kuvvet vey kuvvetler bulunur. ) Eğer kuvvet zmnın, konumun vey hızın vey bunlrın bileşiminin bir fonksiyonu ise hreket denklemi bir bir difernsiyel denkleme dönüşür. Hızı ve yer değiştirmeyi bulmk için denklemin integrli lınır. Eğer kuvvetler sbit ise ivme de sbittir. Bzı durumlrd bu integrlin çözümü çok krmşık ise grfik vey nümerik integrsyon teknikleri kullnılır.

9 Serbest ve Kısıtlnmış Hreket (Constrined nd Unconstrined Motion) (Serbestlik Derecesi-Degree of Freedom) Bir prçcığın konumunun belirlenmesindeki bğımsız koordint syısı serbestlik derecesini verir. Fiziksel olrk iki frklı tip problem vrdır: İlki, prçcığın uzyd serbestçe hreket edebildiği ve herhngi bir meknik bğ ile bğlı olmdığı serbest hrekettir. Prçcık, ilk hreketi ve dış kynklrdn üzerine etkiyen kuvvetlerin belirlediği bir yörünge izler. Bir uçk, roket vey topun hreketi bu tip serbest bir hrekettir.

10 Kısıtlnmış hrekette ise, bir trenin ry üzerinde gitmesi, şftın üzerindeki bileziğin hreketi gibi prçcığın yörüngesi meknik bğlr ile kısmen vey tmmen belirlenmiş durumddır. Mil üzerinde hreket eden bilezik tek serbestlik derecesine shiptir. Hreketin incelenmesi mcıyl kullnılck oln koordint sistemi ve bu sistemdeki eksen syısı genel olrk bğ koşullrı ve bğın geometrisi trfındn belirlenir.

11 Örneğin uzyd bir prçcığın serbest hreketinde, bir roketin serbest uçuşt kütle merkezinin konumu gibi, konum üç bğımsız koordint trfındn sptnıyors prçcık üç serbestlik derecesine shiptir ve hreketin belirlenmesi için üç denklem kullnılır. Düz bir yüzeydeki bir bilynın hreketinde olduğu gibi konum yine birbirinden bğımsız fkt iki koordintl belirlenebiliyors cisim iki serbestlik derecesine shiptir ve hreketi iki denklemle ifde edilir.

12 Serbest Cisim Diygrmı (SCD) [Free-Body Digrm (FBD)] Hreket denklemlerinin uygulnmsındn önce incelenen cisme etkiyen tüm kuvvetleri bir şekil üzerinde göstermek gerekir. Bu şekle SCD denir. SCD nın doğru ve eksiksiz bir biçimde çizilmesi gerekir. SCD de incelenen cisme etkiyen tüm kuvvetler gösterilir. Bunlr yüzey kuvvetleri ve hcimsel kuvvetleri kpsr. Bu kuvvetlerden bzılrı bilinmiyors thmin ypılrk bir yön verilir. Seçilen koordint sisteminin doğrultu ve yönleri kinemtikte gördüğümüz kurllr ve problemin geometrisine uygun seçilmelidir. Tems kuvvetlerinin doğrultulrı için sttikte görülen kurllr geçerlidir.

13 Sttik ile dinmikteki serbest cisim diygrmı kvrmı tek bir nokt dışınd ynıdır, o d, sttikte kuvvetlerin bileşkesinin sıfır eşit olmsı F r = 0, dinmikte ise kuvvet ivme ile kütlenin çrpımın r F r = m eşit olmsıdır.

14 Hreket Denkleminin Doğrusl Hrekete Uyrlnmsı Bu durumd hreket düz bir doğru boyuncdır ve eğer koordint sistemi, hreket x ekseni boyunc olck şekilde seçilmiş ise, prçcığın konum, hız ve ivmesi tmmen x bileşenleri ile tnımlnırlr. ΣF ΣF ΣF x y z = = = m 0 0 x

15 Düzlemde Prçcığın Kinetiği ile İlgili Formüller 1) Krtezyen Koordintlrd: 1) F x = m x ) F y = m y x = v& =& x& x y = v& = & y y ( F ) ( ) x F = y F + = x + y ) Doğl Koordintlrd: 1) F = ) t t m t F n = m = v& =& s& v ( s& ) n = ρ = n ρ ( F ) ( ) t F = n F + = t + n

16 3) Kutupsl Koordintlrd: 1) F = ) r r m r = & r rθ& F = θ mθ θ = r& θ+ r&& θ F ( F ) + ( ) = F r θ r = + θ

17 Uzyd Prçcığın Kinetiği ile İlgili Formüller 1) Krtezyen Koordintlrd: 1) x m x ) y m y 3) z z F = x = v& =& x& x F = y = v& = & y y z F = = v& =& z& z m ( F ) + ( F ) ( F ) = x y z F + ) Silindirik Koordintlrd: 1) F = ) r r m r = & r rθ& Fθ = mθ θ = r& θ+ r&& θ x y = + + 3) F z = m z z = v& =& z& z z ( F) ( ) ( ) r + F Fz F = + θ = r + θ + z

18 3) Küresel Koordintlrd: 1) F R = m R ) Fθ = mθ 3) R θ φ = R&& R cos φθ& Rφ& = R cosφθ+ & R& cosφθ & R sin = R&& φ+ R& φ+ & R cosφsinφθ& F φφθ && φ = m φ F ( F ) + ( F ) ( ) θ + = F R φ R θ + = + φ

19 Doğrusl Hreket 1. Şekildeki blok A noktsındn geçerken v 1 =0 m/s ve B noktsındn geçerken v =10 m/s hız shiptir. x=75 m nd θ=15 o için eğik düzlem ile blok rsındkiµ k kinetik sürtünme ktsyısını hesplyınız.

20 Doğrusl Hreket. Bşlngıçt hreketsiz oln rby P kuvveti uygulnmktdır. P 1 ve P kuvvet durumlrın göre t=5 s deki hızını ve yer değiştirmesini belirleyiniz.

21 Doğrusl Hreket 3. A ve B elemnlrı rijit hfif bir çubuk ile birbirine bğlnmışlr ve yty düzlemdeki sürtünmesiz knllrd hreket etmektedirler. Görülen konum için, A nın hızı sğ doğru 0.4 m/s ise her bir elemnın ivmesi ile çubuktki kuvveti hesplyınız.

22 Eğrisel Hreket kg kütleli kyr elemn düşey düzlemde yer ln diresel çubuk üzerinde A noktsınd yukrı doğru hrekete zorlnmktdır. B den geçerken hızı 4 m/s ise () sbit çubuktn kyr elemn etkiyen kuvveti (b) hızının şiddetindeki değişimi belirleyiniz. Sürtünmeyi ihml ediniz.

23 Eğrisel Hreket 5. Bileziğin kütlesi 5 kg olup yty düzlemde yer ln sürtünmesiz diresel çubuk üzerinde hrekete zorlnmktdır. Bğlı olduğu yyın serbest uzunluğu 00 mm dir. β=30 o iken bileziğin hızı v= m/s ise çubuktn bileziğe etkiyen norml kuvvet ile bileziğin ivmesini hesplyınız.

24 Eğrisel Hreket 6. 1 kg kütleli bilezik düşey düzlemde yer ln sürtünmesiz prbolik çubuk üzerinde O noktsınd doğru kymktdır. Yy sbiti k=600 N/m ve yyın serbest uzunluğu 1 m dir. Şekildeki konumd bileziğin hızı 3.5 m/s ise bu n için prbolik çubuktn bileziğe etkiyen kuvveti hesplyınız. y B k y= 3 9 x 1 m O m 3/4 m m x

25 Eğrisel Hreket 7. Knllı kol yty düzlemde O noktsındn geçen düşey eksen etrfınd dönmektedir. kg kütleli C elemnı S kblosu çekilerek sbit 50 mm/s ornı ile O noktsın doğru çekilmektedir. r=5 mm iken, kol stin tersi yönünde ω=6 rd/s çısl hız shiptir rd/s ile yvşlmktdır. Bu n için kblodki çekme kuvveti T ile knldn C ye etkiyen kuvveti belirleyiniz. A y d B kenrın tems ettiğini belirleyiniz.

26 Eğrisel Hreket 8. Knllı OB kolu yty düzlemde sbit diresel kmın O noktsı etrfınd sbit 15 rd/s çısl hızı ile dönmektedir. Yy sbiti 5 kn/m ve θ=0 iken yy serbest boyunddır. A nın kütlesi 0.5 kg dır. θ=45 o iken A y kmdn ve knldn etkiyen kuvvetleri hesplyınız. Sürtünmeyi ve A nın çpını ihml ediniz.

27 Eğrisel Hreket 9. B piminin ğırlığı 1. N olup hem knllı OC kolu hem de diresel DE knlı içinde hreket etmektedir. B ye etkiyen rdyl ve trnsvers kuvvetleri belirleyiniz. & θ = 15 rd/s, & θ = 50 rd/s, θ=0 o lınız. Sürtünmeyi ihml ediniz. Sürtünmeyi ihml ediniz. r D B C O θ b E