DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

Transkript

1 DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

2 Değşel (Yayılım) Ölçüler İ arlı aaütley brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara heaplaa tattlere değşel(yayılım) ölçüler adı verlr.

3 Frea Aşağıda gra = 500 hacml alıa arlı öre doğrultuuda oluşturula htogramlardır. Her öre ortalamaı yalaşı olara 00 olduğua göre öreğ ayı aaütlede alıdığı öyleeblr m? ,33 8,33 95,33 09,33 3, ,33 8,33 95,33 09,33 3,33 X X 3

4 İ öreğ ayı aaütlede geldğ öyleemez. Buu ede alıa öre oucuda oluşturula htogramda dağılımları ortalama etraıda arlı olmaıda ayalamatadır. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla yayılım ölçüler artmet ortalama etraıda değşmler date ala taımlayıcı tattlerdr. Br ver etde artmet ortalamalarda her br gözlem arı alııp bu değerler tümü topladığıda oucu 0 olduğu görülür. 4

5 Öre: 4,8,9,3,6 şelde verle br bat er ç; Bu örete görüleceğ üzere gözlemler artmet ortalamada uzalığı alıp topladığıda 0 elde edldğde dolayı bu problem mutlaa değer ullaara veya areel uzalı alıara ortada aldırılır. 5

6 ) Ortalama Mutla Sapma(OMS) Ver etde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı mutla değerler toplamıı öre hacme bölümeyle elde edlr. Gözlem değerler artmet ortalamada alarıı toplamı 0 olacağıda bu problem ortada aldırma ç mutla değer ade ullaılır. Bat erler İç: OMS Gruplamış erler İç: Sıılamış Serler İç : OMS OMS m 6

7 Öre: İtatt I der ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb ıralamıştır. Bua göre vze otları ç ortalama mutla apma değer heaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90, OMS 45 4,

8 Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü üre çde br retoraı ulladığı et mtarıı dağılımı verlmştr. Gülü ullaıla et mtarıı ortalama mutla apmaıı heaplayıız. Sıılar m I ( m )I da az 33 I(33-46,6)I 36-4 de az 6 39 I6(39-46,6)I 4-48 de az 0 45 I0(45-46,6)I da az 7 5 I7(5-46,6)I de az 4 57 I4(57-46,6)I de az 63 I(63-46,6)I Toplam 30 63, m 46,6g. OMS m 63, 5,44g. 30 8

9 ) Varya Ortalama mutla apmada ullaıla mutla değerl adeler le şlem yapmaı zor hatta bazı durumlarda maız olmaı ebebyle ye değşel ölçüüe htyaç duyulmatadır. Mutla değer adede zorlu artmet ortalamada arları areler alımaıyla ortada almatadır. Ver etde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı areler toplamıı öre hacm br eğe bölümede elde edle değşel ölçüüe öre varyaı adı verlr. 9

10 0 Bat erler İç: Populayo Varyaı: m : Populayo Ortalamaı N : Populayo Hacm Öre Varyaı : Gruplamış Serler İç: Sıılamış Serler İç : N m ) ( m ) (

11 ade tattte br ço ormülde ullaılır ve areler toplamı olara adladırılır. Matematel olara heaplama olaylığı ağlamaı açııda ormüllerde areler toplamıı açılımı ola aşağıda eştl ullaılablr.

12 m m Gruplamış Serler İç: Sıılamış Serler İç : Bat Serler İç:

13 3) Stadart Sapma Varya heaplaıre ullaıla verler areler alıdığıda verler ölçü brm are varyaıda ölçü brm mevcut ölçü brm are olur. Öre: g, cm gb. Bu teledrme verler açııda br alam taşımayacağıda varya yere ortalama etraıda değşm br ölçüü olara ou pozt areöü ola tadart apma ullaılır. 3

14 4 Bat erler İç: Populayo Stadart Sapmaı: m : Populayo Ortalamaı N : Populayo Hacm Öre Stadart Sapmaı : Gruplamış Serler İç: Sıılamış Serler İç : N m ) ( m ) (

15 Öre: İtatt I der ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb ıralamıştır. Bua göre vze otları ç varya ve tadart apmayı heaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90, , 504, 9 504,,45 İtatt I vzede alıa otları ortalama etraıda yalaşı olara pua değştğ görülmetedr. 5

16 Ayı oru areler ortalamaıı açılımı ullaılara çözüldüğüde ayı ouçları verecetr. 30,4,53,6,68,79,8,88,90, , , ,45 6

17 Öre: Yada tabloda br Samug bayde LCD televzyoları era boyutlarıa göre atış mtarları verlmştr. Frea dağılımıı varya ve tadart apmaıı heaplayıız. Grup Frea = ,67 47,67,5 7

18 Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü üre çde br retoraı ulladığı et mtarıı dağılımı verlmştr. Gülü ullaıla et mtarıı varyaıı ve tadart apmaıı heaplayıız. Sıılar m ( m ) da az 33 (33-46,6) 36-4 de az (39-46,6) m 4-48 de az (45-46,6) da az 7 5 7(5-46,6) 46, de az (57-46,6) de az 63 (63-46,6) Toplam , ( m ) 579, 30 54,46 54,46 7,38g. g. 8

19 4) Rage (Değşm Aralığı) Ver etde yayılımı ade etmede ullaıla e bat tatt değşm aralığıdır. Geel olara bat erler ç ullaılır. E büyü gözlem değer le e üçü gözlem değer araıda ar değşm aralığıı verr. Değşm aralığı, ver etde te br gözlem aşırı derecede üçü veya büyü olmaıda etledğ ç br başa adeyle örete yer ala adece ver ullaılara heapladığıda tüm ver et değşelğ açılamada yeterz almatadır. 9

20 R = X ma X m R = X ma X m + X: SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ X: KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ Öre: Br abrada çalışa 5 edütr mühed bldğ yabacı dl ayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedler bldğ yabacı dl ayıı ç değşm aralığıı heaplayıız.,0,,,0 X İ = 0,0,,,. = 5 :,,3,4,5. R = X ma X m + = 0 + = 3 0

21 5) Değşel(Varyayo) Katayıı Stadart apmayı ortalamaı br yüzde olara ade ede ve veya daha azla populayoda varyayou (değşelğ) arşılaştırmada ullaıla ölçüye varyayo(değşel) atayıı der. İ veya daha azla populayo üzerde ayı şa değşeler ç yapıla araştırmalarda değşeller arşılaştırılmaı ç ullaıla br ölçüdür. Öre: İtabul da ve Aara da yaşaya aleler aylı gelrler değşeller arşılaştırılmaı C V Varyayo Katayıı: X *00

22 Öre: Kuruyemş ata br düada br hatalı ürede atıla lebleb, ıtı ve bademler ortalamaları ve tadart apmaları aşağıda verlmştr. Bua göre uruyemşler değşeller açııda arşılaştırıız ve uruyemş değşelğ daha azla olduğuu belrtz. Lebleb 30 g. 5 g. Fıtı 40 g. 4 g. Badem 0 g. 3 g. CV lebleb CV ııtı CVBADEM X 5 * 00 *00 6,67 30 %6,67 4 * 00 *00 0 %0 X 40 3 * 00 *00 30 %30 X 0 Üç uruyemş değşeller arşılaştırıldığıda e üçü tadart apma değer bademde olmaıa rağme e büyü varyayo atayııa ahp olduğuda, e azla değşelğ bademde olduğu görülür. Artmet ortalamalar çerde tadart apma yüzdelere baıldığıda e büyü yüzde bademdedr.

23 Çarpılı (Ametr) ve Baılı Ölçüler Populayoları brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ve yayılım ölçüler yeterl olmayablr. Aşağıda arlı populayoda alımış öreler ç oluşturula htogramlar verlmştr. 0 m A A 0 m B 3

24 Şelde görüleceğ üzere A ve B öreler ayı ortalamaya ve yalaşı olara ayı değşelğe ahp olmalarıa rağme bu öreğ açıça ayı populayoda gelmedğ öyler. Ametr (çarpılı) ade metr olmaya alamıı taşımatadır. Şellere baıldığıda reaları A da daha ço ol tarata (üçü değerlerde), B de e daha ço ağ tarata (büyü değerlerde), topladığı görülmetedr. 4

25 Ametr ve baılı ölçüler br erde gözlem değerler dağılımıı şel ortaya oya ölçülerdr. Bu ölçüler yorumlaıre ormal dağılım özelller date alıır. Normal dağılım eğr metr ve ormal br baılığa ahptr. Ametr ölçüü er rea dağılımıı metr dağılımda uzalaşma derece göterre, baılı ölçüü verler ormal dağılıma göre ortalama etraıda e adar yoğu br şelde dağıldığıı götere ölçülerdr. Ametr ölçüüü şaret büyülüğü ver çarpılığıı yö ve şddet göterre, baılı ölçüüü büyülüğü verler ortalama cvarıda aşırı yoğulaştığıa, üçülüğü e verler ortalamaya etraıda azla dağıı olduğua şaret etmetedr. 5

26 Ametr Ölçüler Ortalamaya Dayaa Ametr (PEARSON) Ölçüü Ametr ha erlerde ortalamalar araıda aşağıda gb br lş öz ouudur. ( mod) 3.( medya ) Bu lş her taraı tadart apmaya oraladığıda ametr ölçüü elde edlr. S p mod 3( med ) S p veya S P < 0 Negat çarpı(sola) S P > 0 Pozt Çarpı(Sağa) S P = 0 e dağılış metr 6

27 Yuarıda ametr ölçülerde daha ço brc ullaılır. Modu heaplaamadığı durumlarda c ormül ullaılara ametr belrler. Bu ametr ölçüü ± e yalaştıça çarpılı uvvetl hale gelre, 0,5 e yalaştıça orta şddette 0 a yalaştıça ha şddette çarpılı öz ouu olur. Sağa çarpı durumda gözlem değerler büyü br ımı modu ağıda, ola çarpı durumda e oluda yer alacatır. Dğer br deyşle ağa çarpı erlerde artmet ortalama ağa doğru (büyü değerler yöüe) ayare, ola çarpı erlerde artmet ortalama ola (üçü değerler yöüe) ayma götermetedr. 7

28 Kartllere Dayaa Ametr (BOWLEY) Ölçüü Smetr erlerde Q 3 -Q = Q -Q olduğu blmetedr. Eğer Q 3 -Q > Q -Q e er ağ taraıda br yoğulaşma olduğu, a halde ol tarata br yoğulaşma olduğu öyleeblr. Bu durumu daha y ortaya oyma ç Bowley taraıda gelştrle aşağıda ametr ölçüü ullaılablr. S b ( Q 3 Q ) ( Q Q ) Q 3 Q S b < 0 Negat çarpı(sola) S b > 0 Pozt Çarpı(Sağa) S b = 0 e dağılış metr Bu ölçü ııra yalaştıça ametr haler. ± e yalaştıça ametr uvvetl hale gelr. 8

29 Smetr Dağılım A.O = Med = Mod Sağa çarpı dağılım A.O > Med > Mod Sola çarpı dağılım A.O < Med < Mod İ modlu metr dağılım Modu olmaya dağılım Tedüze dağılım 9

30 Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü üre çde br retoraı ulladığı et mtarıı dağılımıda elde edle bazı taımlayıcı tattler verlmştr. Bua göre pearo ve bowley ametr ölçüler heaplayıp yorumlayıız. A r t m e t O r t. Mod Medya Q Q S p 46,6 45,4 46, 4,5 5,9 54,46 3( X med) 3(46,6 46,) 54,46 0,6 0 Sağa Çarpı, Pozt Ametr S p mod 46,6 45,4 54,46 0,6 0 Sağa Çarpı, Pozt Ametr S b ( Q 3 Q ) ( Q Q Q 3 Q ) (5,9 46,) (46, 4,5) 5,9 4,5 0,4 0,0 0 Sağa Çarpı, Pozt Ametr 30

31 Baılı Ölçüü Aşağıda A ve B dağılımlarıı ortalamaları, değşel ölçüler ayı olmaıda dolayı ve hatta de metr olmalarıda dolayı bu dağılışı ayırt etme ç Baılı Ölçüü ullaılır. A B m A = m B 3

32 Herhag br olaılı oyouu şel le lgl parametrelerde br tae de baılı ölçüüdür. Mometlere dayaa baılı ölçüü, ametr ortalamaya göre 4. momet tadart apmaı 4. uvvete oralamaı le elde edlr. 4 m 4 4 Sııladırılmış Ser İç m 4 ( m X ) 4 4 = 3 e er baılığı ormaldr. 4 < 3 e er ormal dağılıma göre daha baıtır. 4 > 3 e er ormal dağılıma göre daha vrdr. 3

33 Öre Aşağıda er baılı ölçüüü buluuz. Sıı Aralığı Toplam 50 33

34 Sıı Aralığı m m Toplam X m ,6 34

35 Artmet ortalamaya göre mometler m X ( m X ) ( m X -3,6-36 9,6-466,56 679,66 -, ,8 37,68 0,4 4 9,6 3,84,536,4 48 5, 76,48 663,55 4, ,6 85, ,096 Toplam ,8 640,48 ) ( m X 3 ) ( m X ) 4 35

36 Artmet ortalamaya göre mometler: ( m X ) 0 m 0 ( m X ) m 3, ( m X ) 4 460,8 ( m X ) m3 3,07 640,48 m 4, ametr ölçüü: m3 3 m 3,84,96 3 3,07 3 0,4 0 3 (,96) olduğuda er ağa çarpıtır.